DİNAMİK PROGRAMLAMA Dr. Mehmet Hulusi DEMİR 1 Konunun Tarihçesi Tekniğin büyük adımlarla ilerlemesi, üretim işletmelerini sürekli olarak geliştirmekte, böylelikle teşebbüsleri plânlamalarında yeni yolları denemeye götürmektedir. Yöneylem araştırması kavramı altında önem kazanmış ve geliştirilmiş plânlama ve proğramlama yöntemleri otomasyon çağında daha da Özel bir anlam kazanmıştır. Uygun modeller yolu ile objektif bir çözümü sağlama amacını güden doğrusal proğramlama problemleri çok büyük sınıflamaya göre gruplandrrılabilirler. Bütün bu problemlerin ortak özelliği, hepsinin statik olmalarında görülür. Her olayda inceleme ve araştırma belirli bir zaman dönemi ile sınırlandırıldığından, bu özellik, konunun kriteri olarak düşünülür. Doğrusal proğramlama problemlerinin çözümlenmesi konumuzun amacı yapılmadığından, üzerinde durulmamıştır. îş hayatında ve endüstride çözümlenmesi gereken daha kompleks problemler vardır. Bu çok zor ve kompleks problemler tipinin bir kategorisi, problemi açıklayan koşulların veya amaç fonksiyonunun, ya da her ikisinin, doğrusal olmaması noktasında görülür. Doğrusal olmayan programlama problemleri birçok bilim adamları tarafından inceleme konusu yapılmıştır. 2 Statik doğrusal proğramlama problemlerinin başka tipleri, «Stokastik Doğrusal Proğramlama-' veya «Belirsizlik Altında Doğrusal Proğramlama Problemleri» olarak açıklanır. Stokastik problemler, 1) E.Ü. İktisadi ve Ticari Bilimler Fakültesi Üretim Kürsüsü Asistanı. 21 Doğrusal olmayan programlama için bkz.: Kuhn, H.W. and A.W. Tucken «Nonîinear Programming», in: Proceedings of the Second Berkeley Symposium on Mathematical Statistics and Probability», University of California Press, Berkeley, California 1951. 296
Dinamik Programlama 297 matriks katsayılarını tesadüfi değişkenler veya frekans dağılımı elemanları olarak kabul edenlere göre iki gruba ayrılırlar. Birinci grup ilk 3 kez G. Tintner tarafından inceleme konusu yapılmıştır. İkinci gruba ilişkin çözümleri ise G. B. Dantzig geliştirmiştir. Ancak bir modelin zaman faktörü dikkate alınmadığı sürece statik olan karakterinde bir de 1 ğişme olacağı düşünülemez. Bu nedenle bir doğrusal proğramlama problemi zaman faktörü dikkate alınarak incelendiğinde, ancak geleneksel ve orijinal teknikler yerine zaman faktörünü uygulayan yeni bir yaklaşım ile objektif çözüm olanaklı görülebilir. Bir modelin parametreleri zamanla değişme gösterdiğinde, o modele «Dinamik» tir denebilir. Bu parametrelerin veya hiç olmazsa olasılık dağılımlarının ileriye doğru giden belirli zaman sınırı için zamanın fonksiyonu olduğu kabul edilebilir. Dinamik bir durum için uzun süreli optimal politikanın tamamlanması çok güçtür; çünkü kararların ileriye doğru durmadan değişen bilgilere dayandırılması zorunluğu vardır. Bir problemin açıklanmasında zaman faktörü rol oynuyor ise, kullanılacak en uygun yaklaşımm adı «Dinamik Proğramlama» dır. Dinamik modeller yolu ile çözümlenen problemler ikinci grubu oluştururlar. Bu da yukarıda belirtilen grubun karşıtını verir. Konunun Açıklanması Son yıllarda Anglo-Sakson ülkelerinde, özellikle Birleşik Amerika Devletleri'nde, dinamik proğramlama büyük adımlarla gelişmeler göstermeğe başlamıştır. Dinamik programlama kuramı A. Wald'm «Sıralama Analizi Kuramı» (Theory of Sequential Analysis) ile yakından ilgili bulunmaktadır. Daha geniş açıklamaları Amerikalı Matematikçi Richard Bellmanl'm «Dinamik Proğramlama» adlı yapıtında ve çok sayıdaki makalelerinde, H. Simon, S. Karlın, F. Modigliani, F. Hohn ve K.J. Arrow'un çalışmalarında bulabiliriz. Uygulamada ise dinamik proğ- 5 3) Di Rocaferrera, Guiseppe M. Ferrero : «Operations Research Models for Business and Industry», South Western Publishing Co., Ohio 1884, s. 726. 4) Tintner, G.: «Stochastic Linear Programming with Applications to Agricultural Economics», in; Proceedings of the Second Symposium in linear programming, Vol. I and II, Washington January 1955, s. 197-228; Dantzig, G.B.: «Linear Programming under Uncertainty», Rand Report, RM-1374, Santa Monica, Colifornia 1954. 5) Bellman, R.: «Dynamic Programming», Princeton University Press, Princeton N.J. 1951; Wald, A.: «Statisticai Decision Functions», New York 1950; Simon, H.: «Dynamic Programming under Uncertainty, with a Cjuadratic Criterion
298 M. H. Demir ramlama ile ilgili en iyi örneklerden birini A. Vazsonyi vermektedir 13. Önemli problemlerin çözümlenmesinde dinamik proğramlama belirli bir teknik olarak birçok bilim adamları yakından incelenmekte ve geliştirilmektedir. Anglo-Amerikan literatüründe dinamik proğramlama ile daha çok matematikçiler ilgilenmişler, genel formüllerin geliştirilmesinde matematikçiler ağırlıklarını koymuşlardır. Ne var ki, programlamanın işletme bilimi ile bir ilişkisinin olmadığını da ileri sürmek doğru olmasa gerekir. Ancak, şurası kesinlikle belirtilebilir ki, modern plânlama yöntemleri matematiğin yardımı ile uygulama olanağını bulmaktadır. Aslında uygulanan yöntemler yepyeni bilim dalı olmadıklarından, matematik ve sosyal bilimler yıllardır komşu bilimler olarak birbirinden yararlanmakta ve birlikte çalışmalar yürütülmektedir. Dinamik programlama, yöneylem araştırmasının optimumlaştırma yöntemleri arasına giren, doğrusal programlamadan bir aşama daha ileride olan, bir işlem yerine birden çok işlemleri sıra ile elde edebilen, özel bir plânlama ve proğramlama yönetimidir. Dinamik proğramlama yöntemi, «Kekürsiyon» (tekrarlama) faktörüne dayanır ve bir kritere bakılarak optimal karara ulaşıldıktan sonra, önceki kararın sonuçlarının benimsenilmesine göre bir sonraki karar için optimallik araştırmasını yapar. Her programlama probleminde; maksimum ve minimum yapılması istenilen bir amaç fonksiyonu ve ayrıca koşulları belirtilen bir denklemler veya eşitsizlikler grubu vardır. Bir problemde optimal olarak bulunması istenilen «n» sayıda değişken ve «m» sayıda sınırlayıcı koşullar var ise, bu probleme n-değişkenli, m-koşullü optimumlaştırma problemi denir. Doğrusal proğramlama böyle problemi bir adımda çözümleyebilir. Doğrusal programlamanın tersine, dinamik programlamada, mevcut sistem parçalara ayrılmış bulunur. Verilen bir optimumlaştırma problemi, her biri bir değişkenli n-sayıda parça-optimumlaştırma problemlerine bölünür ve her bir parça problem, adım adım çözümlenir., Doğrusal programlamadan değişkene genellikle simultan Function», Econometrica 1956, s. 74; Karlin, S. and Shapiro, H.N.: «Decision Processes and Functional Equations», The Rand Corp., RM-933, 1952; Modigliani, F. and Hohn, F.: «Production Planning över Time and the Nature of the Expectation and Planning Horizon», Econometrica 1955, s. 46. 6İ Vazsonyi, Andrew = «Scientific Programming in Business and Industry», New York 1959.
Dinamik. Programlama 299 (hemzaman) optimal değerler verilerek bununla yetinilmesine karşılık; dinamik proğramlamada, çözüm prosedürünün her basamağiyle ilgili ve yalnızca o andaki parça probleminin değişkenini optimall eştirecek ikinci değerli (sekantiel) çözüm ilişkisinin yerleştirilmesi yoluna gidilir 7. Dinamik proğramlama problemlerinin en Önemli prensibi R. Bellman'm «Optimallik Prensibi» dir. Başlangıç değerleri ve başlangıçta alman karar ne olursa olsun, bu prensip, herhangi bir adımda optimal olarak seçilen yolun özelliği gözönünde tutularak, ilk alman kararın sonucu olarak varılan duruma göre geriye kalan kararların optimal olmasını gerektirecek biçimde olur. Yani izlenecek çözüm yolu öyledir ki, önceki kararlar ne olursa olsun, bunu izleyen adımlar yine optimum politikayı verir. Örneğin; birinci ve ikinci dönemde yanlış kararlar verilse bile, üçüncü, dördüncü ve sonraki adımlarda (basamaklarda) doğru kararlar verilebilir. Optimallik prensibi, dinamik proğramlamanın aslını oluşturur. Bu prensibe göre birbiri ardmdan gelen iki 0 adım arasında optimal değeri verebilecek biçimde ilişki kurulabilmektedir. Dinamik proğramlama her problemi ayrı ayrı ele alır ve bunların fonksiyonel denklemini kurarak, bu denklemin çözümünü araştırır. Dinamik proğramlamayı, üretim, envanter kontrolü ve pazarlama alanlarına başarı ile uygulamak olanağı vardır. Özellikle envanter kontrolü, dinamik proğramlama ile çözümlenebilen sonlu sayıdaki karar işlemleri için en iyi örneği ortaya koyar. Aşağıda konunun işleyiş biçimini sayılarla göstermek amaciyle yalın bir örnek verilmiştir. Örnek Motorlu araçlar için far ampulü üretiminde bulunan bir işletme, üretimin planlanmasını üç ay önce yapmaktadır. Ekim-Aralık ayları arasında piyasanın değişmez ihtiyacı olan 9.000 far ampulünün piyasaya sürülmüş olması gerekmektedir. İşletmenin aylık üretim maliyetinin giderleri ve çeşitli alternatif üretim nicelikleri aşağıdaki gibidir. 7) Turgay, Yağmur: «Dinamik Programlama», Bursa İ.T.İ.A. Dergisi, No. 1, Bursa Temmuz - 1973, s. 187. 8) Karayalçın, İlhami : «Harekât Araştırması Dersleri», Teknik Üniversite Matbaası, İstanbul 1968, s. 176,
300 M. H. Demir Üretim Niceliği (Ünite Sayısı) Üretim Maliyet Giderleri (T.L.) 0 15.000 3.000 45.000 6.000 75.000 9.000 105.000 12.000 135,000 15.000 165.000 İşletmede her ay 15.000 far ampulünden daha çok üretim yapılamamakta ve bir ay içerisinde üretilen ampuller ise o ay içinde hemen elden çıkarılamamaktadır. Satılamayan bu ampuller için her ay ampul başına 0,02 TL. stoklama gideri ortaya çıkmaktadır. Problemin yalınlaştırılması için bu stoklama giderleri her ay sonundaki depo envanteri asıl tutularak saptanmaktadırlar. Ayrıca depo kapasitesi maksimum 12.000 ampul ile sınırlandırılmıştır. 1 Ekim tarihinde depoda 3.000 ampul stoku mevcuttur. 31 Aralık'ta da depo boşaltılmış olacaktır. Dinamik proğramlama yardımiyle Ekim'den Aralık'a kadar minimum giderli üretim ve stoklama plânlaması aşağıdaki biçimde saptanmıştır. Çözüm için kullanılacak simgeler şunlardır: q.t = i Ayındaki üretim niceliği, Ci = i Ayındaki ihtiyaç niceliği, \ = i Ayının sonunda depodaki mal niceliği, E Ünite başına ve her aya düşen stoklama maliyet gideri, D Depolama kapasitesi, Q = Plânlama başından i ayı dahil tüm üretim niceliği, k(qj) = qt niceliğinin üretim giderleri. (yan-koşullarm) bu Problemin çözümü için sınırlayıcı koşulların lunması gerekir. Üretim Kapasitesi Koşulu: Qi < 15.000 (i = 1, 2, 3).
Dinamik Programlama İhtiyaç Koşulu (her ay 9.000 far ampulü ihtiyacı karşılanmalıdır) Ekim ayı için q., > c 1 IQ Kasım ayı için ^ + ^ c ± 4- c2 ID Aralık ayı için qx + qe + q3 > c ± + c2 + c3 IQ ya da genel olarak (i = 1,2,3) Dinamik Stoklama İlişkisi: Ii-L 4- c, = ii (İ - 1, 2, 3) Stoklama Kapasitesi Koşulları: Ön Koşul: I,_ı + q,-c i=i i (i = 1,2,3) Formül Oluşumu: la = ID +^1 ^ q ı < D L, +Ci < D veya veya q, + q2 < D I + ct + c2 I3 = I + Qı C! + cb cz 4- q3 1ı + + q3 < D IQ + Ci + c3 + c3 c3 < D veya Genel Formüle Biçimi: Q<D 1 + 1=1 (i = 1,2,3) Depo Boşaltılması Koşulu:
302 M. H. Demir Ekim ayı içinde, karar değişkeni qt, üretim kapasitesi q l < 15.000 ve ihtiyaç koşulu q1 ;> 6.000 ile sınırlandırılmış durumdadır. Üretim ve stoklama maliyet giderlerini içine alan gider fonksiyonu qx=q nun gözönüne almmasiyle ekim ayı için : Kt(Q = kt^) + E(Q + I 0 Cl) biçimini alır. Basamaklı çözüm aşağıdaki biçimde yürütülür. Aşağıda sınırlı üretim nicelikleri ve bunlara ilişkin toplam maliyet giderleri gösterilmektedir. 6.000 75.000 T.L. 9.000 105.060 12.000 135.120 15.000 165.180 Kasım ayında Q ^ -f q2 eşitliği, ihtiyaç ve stoklama koşullarından 15.000 ile 27.000 far ampulü arasındaki değerleri alabilmektedir. Ekim ayından minimum üretim 6.000 ampul olursa, kasımda işletme ihtiyaçları karşılamak için en azından 9.000 ampulün üretimini yapmak zorunluğundadır. İşletme eğer ekim ayında 15.000 ampulün üretimini yaparsa, kasımda depolama kapasitesinden ötürü 12.000 den daha çok ampulün üretimini yapamayacaktır. Bu nedenle kasım ayında Q, 15.000 ile 27.000 arasındaki değerleri alabilmektedir. Bu durumda gider fonksiyonu : 2 K2(Q)=Min [ k(q2) + K,(Q q2) ] -f- E(Q + I0 2(cp;0 < q., <Q olarak ifade edilir. Q = 15.000, 18.000, 27.000 değerleri için minimal tüm giderler K2(Q) bilinen ve kullanılan yöntemle kolaylıkla bulunabilir. Aşağıda örnek olarak Q = 18.000 için hesaplama yapılmıştır.
Dinamik Programlama 303 Q Q-q 2 k(q 2) K }(Q-q 2) Üretim maliyet gid&ri toplamı Stoklama Giderleri Toplam Giderler 3.000 15.000 45.000 165.180 210.180 60 210.240 18.000 6.000 12.000 75.000 135.120 210.120 60 210.180 9.000 9.000 105.000 105.0601 210.060 60 210.120 12.000 6.000 135.000 75.000 210,000 60 210.060 MİN Aşağıdaki tablo yukarıdaki gibi işlemlerin Q = 15.000, 18.000, 27.000 (ekim ve kasım ayları) sonucunda en düşük toplam giderleri göstermesi amacıyle düzenlenmiştir. Q Q-q 2 k(q z) K/Q - q 2) E 2(Q-15.000) K 2(Q) 15.000 0 15.000 0 165.180 & 165.180 18.000 12.000 6.000 135,000 75.000 60 210,060 21.000 15,000 6.000 165,000 75.000 120 240.120 24.000 15.000 9.000 165.000 105.060 180 270,240 27.000 15.000 12.000 165.000 135.120 240 300.360 Aralık ayı içindeki üretim miktarının hesabı sırasında, (13 = 0 ile ilgili olan) deponun tam olarak boşaltılmasından dolayı plânlama süresince üretilecek nicelikle aynı olmasına özen gösterilmesi gerekir. O halde I3 = Q C j -1- ID /=; 3 Q = 24.000 içinse, ancak aşağıdaki üretim plânlaması olanaklıdır.
3Û4 M. H. Demir Q % Q-q 3 k(q 3) K 2(Q - q 3) E 3(Q-24.000) K 3(Q) 0 24.000 0 270.240 0 270.240 24.000 3.000 21.000 45.000 240.120 0 285.120 6.000 18.000 75.000 210.030 0 285.060 9.000 15.000 105.000 165.180 0 270.180 MİN K3 (Q) = 270.180TL. değeri bütün plânlama süresindeki en düşük üretim ve stoklama giderlerini vermektedir. Sonuncu tabloya göre aralık ayında 9.000, kasım ayında 0, ekim aymda ise 15.000 far ampulünün üretiminin yapılması gerekmektedir. Bunlara ilişkin stoklama nicelikleri de Ekim Ayı ti,) = 9.000 far ampulü, Kasım Ayı (Ia) = 0, Aralık Ayı ü3) = 0 olur 9. 9) Dinamik programlamanın uygulamasına ilişkin türlü örnekler için bkz. Turgay, Yağmur: «Dinamik Programlama Yardımiyle İşletmelerde Management» (basılmamış kişisel çalışma),