OYUN TEORİSİ Özlem AYDIN Trakya Üniversitesi Bilgisayar Mühendisliği Bölümü
TANIM ''Oyun Teorisi'', iki yada daha fazla rakibi belirli kurallar altında birleştirerek karşılıklı olarak çelişen olasılıklar karşısında, birbirlerine karşı en doğru stratejiyi belirleme yöntemidir. Oyun Teorisi uygulamalı matematik ve iktisat bilimlerinin bir dalıdır. 20. yy'ın başında matematik ve bilgisayar bilimcisi John Von Neuman tarafından geliştirilmiştir. Daha sonraki yıllarda diğer bilim adamlarının da katkılarıyla ekonomi, sosyoloji, politika, hukuk, biyoloji gibi bilim dallarında kullanılmıştır.
TANIM Kaynakların kıt olduğu bir ortamda amaçlarını gerçeklemeye çalışan iki ya da daha fazla sayıda karar verici rekabet halindedirler. Diğer bir deyişle kaynakları paylaşım çabası içindedirler. Karar vericilerin bu paylaşımda kendilerine en yüksek getiriyi sağlamak için birbirlerine karşı kullandıkları stratejileri vardır ve bu stratejileri mümkün olan en akılcı şekilde kullanırlar
TANIM Karar vericiler varsa, karar vericiler stratejilere sahiplerse, karar vericilerin stratejilerinin sayısal değerleri ölçülebiliyorsa ve karar vericiler her şartta akılcı hareket ediyorlarsa o halde karar vericiler arasındaki rekabet problemi matematiksel olarak modellenebilir ve çözülebilir. 1944 yılında Neumann ve Morgenstern bu rekabet problemini rekabetçi (0 toplamlı) ve işbirlikçi durumlara göre formüle etmişler ve geliştirdikleri yönteme de Oyun Teorisi adını vermişlerdir. Daha sonra 1954 yılında Nash, hem rekabetçi hem de işbirlikçi oyunlarda kullanılabilecek bir denge kavramını ortaya çıkarmıştır.
TEMEL KAVRAMLAR Bir oyunda iki yada daha fazla oyuncu veya rakip bulunur ve oyuncuların seçeceği alternatiflerin kombinasyonu ile karar matrisi elde edilir. Genelde rekabet problemlerinde aşağıdaki özellikler bulunur: 1) n oyuncu sayısını göstermek üzere n 2 dir. n=2 için 2 kişilik oyun, n>2 için n kişilik oyun adı verilir. Dolayısıyla oyuncu sayısı sonludur. 2) Her bir oyuncu rasyonel davranacaktır ve kendi menfaatine karar verecektir.
TEMEL KAVRAMLAR 3) Oyun sonucu oyunu kazanma, kaybetme veya oyundan çekilme olarak belirlenir. Her bir sonuç veya ödeme; negatif, pozitif ve sıfır olmak üzere her oyuncunun rakibine karşı kazancını veya kaybını belirler. 4) Tarafların seçenekleri belirlidir ve her bir oyuncunun davranışlar seti rakibince bilinmektedir. 5) Her bir oyuncunun seçenek sayısı sınırlıdır. 6) Oyunlar sıfır toplamlı ve sıfır toplamlı olmayan oyunlar olmak üzere sınıflandırılabilir.
TEMEL KAVRAMLAR 7) Sıfır toplamlı oyunlarda verilen rakip yapılı problemlerin özelliklerine göre tarafların kararı için benimseyeceği strateji veya alternatif tam strateji ve karma strateji olabilir. Tam (arı) Stratejiler: Oyunun sonucunu tek bir strateji çiftinin oluşturması durumu. Söz konusu sonuç her oyuncu için olabilecek en iyi sonuçtur. Tam stratejiler, oyunun tepe (eyer) noktasını belirler. Karma Stratejiler: Oyunun sonucunu birden fazla strateji çiftinin belirlemesi durumu. Strateji çiftleri olasılık değerleri ile ifade edilir ve oyunun sonucunu oluşturan strateji çiftleri olasılık değerleri toplamı 1 dir.
İKİ OYUNCULU SIFIR TOPLAMLI OYUNLARI A ve B iki ayrı rakibi göstermek üzere seçenekleri sonludur. A nın seçenekleri m, B nin n olmak üzere (mxn) matrisi hazırlanır. İki kişilik sıfır toplamlı oyunlarda sonuç değerleri veya ödemeler A ya göre ödemeler, diğer bir değişle A nın kazanç matrisi şeklinde yazmak bir gelenek olmuştur.
ÖDEMELER MATRİSİ
ÖDEMELER MATRİSİ Oyunun sonucu ister tam strateji ister karma strateji olsun çözüm süreci ödemeler matrisi üzerinde gerçekleştirilir. Çözüm süreci oyunun hangi oyuncu açısından değerlendirileceğinin seçimi ile başlar. Eğer ödemeler matrisinin satırlarını temsil eden oyuncu için çözüm gerçekleştirilecekse maximin (minimumların maksimumu) yöntemi, sütunlarını temsil eden oyuncu için çözüm gerçekleştirilecekse minimax (maksimumların minimumu) yöntemi uygulanır. Oyunun sonucunda maximin ve minimax değerleri birbirine eşitse, oyun tam stratejili bir oyundur.
KARMA STRATEJİLİ OYUNLARIN ÇÖZÜMÜ Bir m x n oyununun tepe noktası yoksa, özellikle m ve n nin büyük değerleri için oyunun çözümü zor olabilir. Genel olarak bir oyunun tepe noktası yoksa oyunu çözmeden önce mümkünse m ve n değerleri küçültülmesi yani, bazı stratejilerin devre dışı bırakılmaları uygun olur. Bu işlem ancak bazı özel stratejilerin belirlenmesiyle gerçekleşir. Karma stratejili oyunlar için kullanılabilecek Grafik Yöntem ve Doğrusal Programlama Yaklaşımı bulunmaktadır.
GRAFİK YÖNTEM Eğer ödemeler matrisi B oyuncusu açısından mx2 ya da A oyuncusu açısından 2xn boyut şartlarından birini taşıyorsa ya da ödemeler matrisi matris işlemleriyle bu boyutlara indirgenebiliyorsa, oyun Grafik Yöntemle çözülebilir. Diğer deyişle satır ya da sütunları temsil eden oyunculardan biri 2 den fazla stratejiye sahip olmamalıdır. Koordinat sisteminin yatay ekseni 2 stratejiye sahip oyuncunun 1. stratejisinin gerçekleşme olasılığını x 1 gösterir. Söz konusu olasılık değeri doğal olarak 0 x 1 1 aralığında olacaktır. Bu durumda oyuncunun 2. stratejisinin olasılık değeri x 2 = 1 x 1 olacaktır.
GRAFİK YÖNTEM Daha sonra A oyuncusunun, B oyuncusunun stratejileri karşısındaki beklenen değerleri hesaplanır. Beklenen değer, satır vektörü ile ödemeler matrisindeki B oyuncusunun ilgili stratejilerine karşılık gelen sütun vektörlerinin çarpımına eşittir. Diğer bir deyişle A oyuncusuna ilişkin ödemeler matrisi, a A a 11 21 a a 12 22... 1n 2n Beklenen değer formülü:... a a E j A = a 1j a 2j x 1 + a 2j şeklinde hesaplanır.
GRAFİK YÖNTEM Görüldüğü gibi beklenen değerler doğru denklemi formatındadır. Daha sonra elde edilen doğru denklemleri grafik eksene işlenir. Koordinat sisteminin düşey ekseni beklenen değerleri gösterir. Koordinat sisteminin x 1 = 0 ve x 1 = 1 için iki düşey ekseni vardır. Koordinat sistemindeki mümkün çözüm noktaları doğruların kesiştiği noktalarda gerçekleşir. A oyuncusunun maximin yöntemine göre hareket ettiği göz önüne alındığında mümkün noktalardan optimal olanı, minimumların maksimumunda gerçekleşenidir.
DOĞRUSAL PROGRAMLAMA YAKLAŞIMI Eğer ödemeler matrisi Grafik Yöntemle çözülemeyecek boyutlara sahipse optimal çözüm için Doğrusal Programlama Yaklaşımı kullanılabilir. Bunun için öncelikle oyun değerleri, Doğrusal Programlama Yaklaşımına uygun olarak modellenir ve başlangıç simpleks tablo oluşturulur. Ancak çözüm sütunları temsil eden oyuncu (B oyuncusu) açısından gerçekleştirilir.
DOĞRUSAL PROGRAMLAMA YAKLAŞIMI A oyuncusunun problemi aşağıdaki gibi yazılabilir. MaxZ = v m i=1 a ij x i v, j = 1,2,, n x 1 +x 2 + + x m = 1 x i 0 i = 1,2,, m v sınırlandırılmamış
DOĞRUSAL PROGRAMLAMA YAKLAŞIMI A nın probleminde izlenene benzer bir prosedür kullanılarak B nin problemi aşağıdaki probleme indirgenir. MinW = v n i=1 a ij y i v, i = 1,2,, n y 1 +y 2 + + y m = 1 y j 0 j = 1,2,, n v sınırlandırılmamış
SIFIR TOPLAMLI OLMAYAN OYUNLAR Sıfır toplamlı olmayan oyunlarda oyunculara yapılan ödemelerin toplamı sıfırdan farklı bir değerdir. Diğer bir deyişle her iki tarafta izledikleri strateji nedeniyle zarar edebilir, kazanç sağlayabilir veya biri kazanırken diğeri kaybedebilir.
KAYNAKLAR TAHA, A. Hamdy, Yöneylem Araştırması, Literatür Yayınları, 2009. www.deu.edu.tr/userweb/k.yaralioglu/dosyalar/oyu n%20teorisi.doc