İstabul Tcaret Üverstes Sosal Blmler Dergs Yıl:8 Saı:5 Bahar 2009 s.73-87 WEİBULL DAĞILIMII ÖLÇEK VE BİÇİM PARAMETRELERİ İÇİ İSTATİSTİKSEL TAHMİ YÖTEMLERİİ KARŞILAŞTIRILMASI Flz ÇAKIR ZEYTİOĞLU* ÖZET Güümüzde aşam sürel vea başarısızlık oraları le lgl ver aalzde agı olarak kullaıla Webull olasılık dağılımı, çoğulukla k parametrel logartmk br model çermektedr. Webull olasılık dağılımıı parametreler, farklı ötemler le tahm edleblr. Bu ötemler çde e çok kullaılalar, grafk ötem, e küçük kareler ötem, maksmum bezerlk ötem ve momet ötemdr. Grafk ötemde, tamame grafk ortamıda şekl ardımıla br tahm apılırke, dğer ötemlerde matematksel eştlkler ve statstksel özellkler kullaılarak tahmler apılmaktadır. Bu çalışmada öcelkle parametre tahmde kullaıla ötemlerde kısaca bahsedlmştr. Çalışmaı souda, br fotokop makes baskı ütes olarak kullaıla br malzeme ömürler le lgl ver set ç, Webull olasılık dağılımıı parametreler, bu bahsedle ötemler aracılığı le tahm edlmş ve souçlar karşılaştırılmıştır. Aahtar Kelmeler: Webull olasılık dağılımı, grafk ötem, e küçük kareler, maksmum bezerlk, momet COMPARISO OF STATISTICAL ESTIMATIO METHODS FOR THE SCALE AD SHAPE PARAMETERS OF THE WEIBULL DISTRIBUTIO ABSTRACT Webull probablt dstrbuto, whch s commol used toda data aalss relato wth lfetme ad falure ratos, mostl cludes a logarthmc model wth parameters. The parameters of Webull probablt dstrbuto ca be predcted through varous methods. Out of those methods, the most frequetl used oes are graphc method, least squares method, maxmum lkelhood method ad momet method. Whle a predcto s made through the help of shapes a totall graphcal evromet graphc method, predctos are made b wa of emplog mathematcal equatos ad statstcal fuctos other methods. I ths stud, the methods used parameter predctos are brefl covered frst. At the ed of the stud, the parameters of a Webull probablt dstrbuto have bee predcted for a data set respect to the lfetme of a materal that s beg used as the prtg ut of a photocoper through usg the sad methods ad the results of whch have bee compared respectvel. Kewords: Webull probablt dstrbuto, probablt plot, least square, maxmum lkelhood, momet * Yrd.Doç.Dr, Marmara Üverstes Sosal Blmler Meslek Yüksekokulu,, flzzetoglu@gmal.com 73
Flz Çakır Zetoğlu. GEEL OLARAK Webulll dağılımı, lk olarak 95 ılıda Walodd Webull tarafıda makeler aşam süreler tahm etmek amacıla ked adıla ortaa komuş br dağılımdır. Güümüzde se aşam sürel ver aalzde ve mühedslkte er ala statstksel modellerde agı olarak kullaılmaktadır. Bçm parametres aldığı değerlere bağlı olarak bazı durumlarda Ralegh ve üssel dağılımlara da sahp ola Webull dağılımı, başarısızlık oraları le lgl ver set ç kurulacak modellerde agı olarak kullaılmaktadır. Bldğ gb, değşke bell aralıkta herhag br değer alabldğ tesadüf olaları taımlamak ç sürekl tesadüf değşkeler kullaılmaktadır. Webull dağılımı da bu alamda sürekl ve aı zamada esek br dağılımdır ve br çok ugulamada teork olarak ugu çözümler sağlar. Yaşam süres le lgl aalzlerde, geellkle parametrk modeller ere, logartmk modeller kullaılmaktadır. Bu alamda Webull dağılımı da logartmk br modeldr. Bu çalışmada, Webull dağılımıı parametreler ç farklı tahm ötemler le çalışılmıştır. Öcelkle Webull dağılımıı geel olarak alatımı apılmış, daha sora parametre tahmde kullaıla ötemler celemştr. Bu çalışmaı amacı, Webull dağılımı parametreler ç farklı tahmcler ortaa komak ve buları karşılaştırmaktır. Bu amaçla, çalışmaı souda br ugulama le tahmcler değerler elde edlmştr. Webull dağılımı geel olarak ölçek ve bçm parametres olmak üzere k parametrel br dağılımdır. İk parametrel Webull olasılık oğuluk foksou, T f ( T ) T exp şeklde taımlamaktadır (Tumdajsk vd,2006:287). Burada, bçm parametres, se ölçek parametres olup, f ( T ) 0, T 0, > 0, > 0 dır. İk parametrel Webull kümülatf dağılım Foksou da, T F( T ) exp şeklde fade edlr (Pder vd,979:75). 74
İstabul Tcaret Üverstes Sosal Blmler Dergs Yıl:8 Saı:5 Bahar 2009 s.73-87 Bazı durumlarda dağılım koum parametres de eklemes le üç parametrel olarak da çözümleeblr. Üç parametrel Webull olasılık dağılımı (Sürücü ve Sazak,2009:504), x a f ( T ) kümülatf dağılım foksou se, x a F( T ) exp x a exp şeklde fade edlmektedr (Lockhart ve Stephes, 994:49). Dkkat edlrse, k parametrel dağılımda farklı olarak burada br parametre daha vardır. a le smgelee bu parametre bekleme süres a da koum parametresdr (Lu vd,2005:323). Webull dağılımıı ortalaması, T. Γ +, medaı T ( (l 2), modu 2 Γ + Γ + ~ T, stadart sapması 2 σ T formüller le hesaplamaktadır (0.06.2008, http://www.tl.st.gov.7dv898/hadbook/apr/secto/apr62.htm).dağılımı güvelrlk foksou, R( T ) F( t), başarısızlık oraı se, T le hesaplaır. Br çok aşam test ve güvelrlk aalzlerde, tüm deesel brmler ç başarısızlık süreler tamamıı elde edlmes mümkü olmaablr. Bu durumda çalışmaa kou ola ver set ç çeştllk söz kousudur. Başarısızlık oraları vea saıları le lgl ver geel olarak k aa grupta toplaır; Tamamlamış (tam) ver ve tamamlamamış (sasürlü) ver. T, T2,..., T, br olasılık foksouda saıda bağımsız tesadüf değşke çere br örek, t, t 2,..., t, T değşke değerler fade ederse, tamamlamış (tam) verde, model ç var ola ver set, 75
Flz Çakır Zetoğlu { t t,..., }, 2 t setdr.ya ver setde gerçek değerler her br gözlem değer ç gözlemlemştr a da blmektedr. Sasürlü verde se, gözlemler tamamı vea bazısıı değerler blmemektedr. Ya ver, tam değldr. Sasürlü ver farklı türler vardır. Sağ, Sol ve Aralıklı sasürlü, tek vea çoklu sasürlü ve.tp ve 2.Tp sasürlü gb. Öreğ, bozulma oraları le lgl br ver setde, bazı verler ç test souda bozulma oraı hesaplaamıorsa, a bu verler bozulmuorsa bu tp sasürlü verlere, sağ kısıtlı ver der (,3,2009,htt p://www.webull. com/ LfeDataWeb ). Verler ç br dğer aırım, gruplu vea gruplu olmaa verlerdr. Gruplamış ver, sııflar çde kategorze edlmş ve sııf frekasları ble verlerdr. Gruplamış ver aı zamada aralıklı kısıtlı ver olarak da fade edleblr (Murth vd,2004:262). 2. DAĞILIMI PARAMETRELERİ Webull dağılımıı parametrlelerde br bçm parametresdr. Bçm parametres, daha sorak bölümlerde açıklaa parametre tahmde kullaıla grafk ötemde elde edle regreso doğrusuu eğme eşt olduğu ç aı zamada eğm olarak da blr. Bçm parametres aldığı değerlere göre, baze daha farklı dağılımlar söz kousudur. 0 < < durumuda, a eğm 0 le arasıda br değere sahp olduğuda, başarısızlık oraları zama çde artmaktadır. T durumuda, özel br durum olarak f T ) exp dağılımdır (Grmmett ve Strzaker,2004:97). Burada, λ ( dağılımı, üssel başarısızlık oraıı fade eder. 2 durumuda se, e özel br durum olarak Ralegh dağılımı olur (Carrasco vd,2008:45). Ölçek parametres se saat, ml gb formüllerde T le fade edle ve zama çere brmlere sahptr. Bçm parametres aı kalırke, ölçek parametres artarsa, dağılımı basıklığı artar, dolaısıla dağılımı ükseklğ azalır. Ölçek parametres azalırsa, dağılım svr uçlu olur ve ükseklğ artar (28,,2009, http://webull.com/lfedataweb). 3. PARAMETRELERİ TAHMİİ: Dağılımı ugulamada başarılı olması, parametreler tahmler apılmasıa bağlıdır. Farklı ugulamalar ç Webull dağılımıı parametre tahmlerde br çok ötem ortaa atılmıştır. Maksmum bezerlk ve momet tahm bu ötemler çde e agı kullaıla tahmlerdr. 76
İstabul Tcaret Üverstes Sosal Blmler Dergs Yıl:8 Saı:5 Bahar 2009 s.73-87 3.. GRAFİK YÖTEMİ Webull olasılık grafğ, dağılımı parametreler tahm etmek ç kullaıla ötemlerde brdr. Grafk ötemde, Webull olasılık dağılımıı parametreler grafk çzlerek hesaplaır, a burada herhag br hesaplama oktur. Grafk ötemde öcelkle ver küçükte büüğe doğru sıralaır ve her br gözlem değer ç sıra medaları hesaplaır. Sıra medalarıı hesaplamasıda 0,3.00 + 0,4 formülü kullaılmaktadır (0,6,2008, http://www.tl.st.gov.7dv898/hadbook/apr/secto/apr62.htm). Burada, ver sıra saısı, se toplam örek büüklüğüdür. Verler sıra medaları belrledkte sora, grafk üzerde ver ve sıra medaları çzlr. Grafğ X eksede zama verler, Y eksede se kümülatf üzdeler er almaktadır. Bu oktalar çde e mümkü doğru elde edlr. Bu doğruda elde edle değer, bçm parametres tahm değerdr. X eksee paralel çzle doğruu üzerde er ala değer Q(t) değerde dke br doğru çzldğde, doğruu X ekse kestğ okta se ölçek parametres değerdr. Parametreler tahm edldkte sora, Webull güvelrlk foksouda, bell zama değerler ç tahm apılablr. Dağılımı Webull olasılık grafğ, ( x) l{/( F( t)} şeklde fade edle döüşüm le başlar. İk parametrel dağılım ç grafk düz br çzg ke, üç parametrel dağılımda grafk eğr şekldedr (Zhag ve Xe,2007:584). Grafk ötemde verler küçükte büüğe doğru sıraladıkta sora, x T ) ve { /( ( t )} l F hesaplaır. Bölece, bu değerler le grafk çzlr. l( 3.2.E KÜÇÜK KARELER TAHMİCİSİ Webull dağılımıı parametreler tahm etmede kullaıla ötemlerde br de e küçük kareler ötemdr. İk parametrel Webull dağılımı ç, kümülatf olasılık foksou, T F( T ) exp fades her k tarafıı da logartması alıdığıda, l [ F ( T )] T 77
Flz Çakır Zetoğlu T [ F( T )]} l l{ l l{ l F( T ) ]} l( ) + l( T [ ] ) elde edlr. Burada, l{ l[ F( T )]} a l() b elde edlr (Gurvch vd,997:2562).bu eştlklerde, a bˆ ˆ x bx ˆ bˆ x x 2 x ( x ) 2 x ve ç deklemler l{ l[ F( T )]} x l( T ) â ve bˆ değerler buludukta sora, ˆ ve ˆ değerler ukarıdak formüller le elde edleblr. 78
İstabul Tcaret Üverstes Sosal Blmler Dergs Yıl:8 Saı:5 Bahar 2009 s.73-87 79 3.3.MAKSİMUM BEZERLİK TAHMİCİSİ Tam a da kısıtlı verler ç model parametreler maksmum bezerlk tahm etkdr. Webull dağılımıı parametreler bezerlk foksou, x f x x L ), ; ( ),,,..., ( eştlğ le fade edlr (Smth ve alor,987:360). Webull dağılımıı parametreler maksmum bezerlk ötem le de tahm edleblr. Bezerlk foksouu maksmze ede + Λ T T T 0 l l + Λ T 0. olmak üzere k arı eştlk elde edlr (Km ve Yum,2008:479;Ta,2009:395). brm saısıdak başarısızlık süreler,,...,, 2 olarak fade edlrse, bu durumda ı maksmum bezerlk tahm, + 0 ) (l l maksmum bezerlk tahm, ˆ ˆ
Flz Çakır Zetoğlu eştlkler le elde edlr (Basu vd,2007:239;to ve Wag,2009:47). Yukarıdak formüller kullaılarak, br çok statstksel paket programıı ardımıla tahmler apılablr. 3.4.MOMET TAHMİCİSİ Webull dağılımıı parametreler tahm etmek ç kullaıla e esk ötemlerde br de momet ötemdr. Momet ötem, dağılım ortalaması ve stadart sapması arasıdak lşk bçm parametres ç çöze ve bölece dağılım parametreler tahm vere br ötemdr (Akdağ ve Güler,2008:70). Olasılık oğuluk foksou temelde Webull dağılımıı k.momet, E( Y K ) k / k Γ + şeklde fade edlr. Burada, Γ (.), gama foksoudur. Örek brc ve kc mometler temelde bçm parametres ç, 2 Γ + 2 Γ + deklem le çözüm apılır (To ve Wag,2009:50). 4. UYGULAMA Webull olasılık dağılımıı parametreler tahm etmek ve ukarıda kısaca açıklaa çeştl tahm ötemlerde hags vea hagler daha tahmc olduğuu belrleeblmek amacıla aşağıda br ugulama apılmıştır. Bu ugulamada, aşağıdak tabloda da görüldüğü gb farklı brmlerde kullaılmakta ola Toshba marka ve E-STUDİO 352 kod umaralı fotokop makes br parçası ola ve baskı ütes olarak kullaıla Heat Roller Upper-Lower malzemes ömürler araştırılmış ve aşağıdak tabloda görüle verler elde edlmştr. 80
İstabul Tcaret Üverstes Sosal Blmler Dergs Yıl:8 Saı:5 Bahar 2009 s.73-87 Tablo : Heat Roller Malzeme Ömürler Malzeme Ömrü Malzeme Ömrü 65000 3 26.589 2 33.000 4 45.000 3 340.000 5 36.700 4 87.000 6 46.897 5 237.000 7 29.000 6 20.000 8 57.45 7 55.000 9 236.000 8 220.000 20 78.900 9 325.000 2 234.760 0 4.000 22 70.000 44.234 23 26.000 2 34.568 Grafk Yötem: 23 adet fotokop makes malzeme ömürler ç öcelkle küçükte büüğe doğru br sıralama apılmış ve sıra medaları le l{ /( F( t )} değerler hesaplamıştır. İlgl souçlar aşağıdak tabloda görülmektedr. Tablo 2: Grafk Yötemde X ve Y Değerler Sıra Malzeme Sıra Meda Olasılık Sıra Malzeme Sıra Meda Olasılık o Ömrü (-0,3)/23,4 l(/(-f(t)) o Ömrü (- 0,3)/23,4 l(/(- F(t)) 26000 0,03 0,030 3 65000 0,54 0,782 2 26589 0,07 0,075 4 70000 0,59 0,88 3 29000 0,2 0,23 5 78900 0,63 0,989 4 33000 0,6 0,72 6 87000 0,67,2 5 34568 0,20 0,224 7 20000 0,7,25 6 36700 0,24 0,279 8 220000 0,76,42 7 4000 0,29 0,337 9 234760 0,80,605 8 44234 0,33 0,399 20 236000 0,84,844 9 45000 0,37 0,465 2 237000 0,88 2,59 0 46897 0,4 0,535 22 325000 0,93 2,622 55000 0,46 0,6 23 340000 0,97 3,509 2 5745 0,50 0,693 Tabloda görüle x (Malzeme Ömrü değerler) ve (Olasılık değerler) değerler le aşağıdak grafk çzlmş ve grafk üzerde br doğru çzlerek bçm ve ölçek 8
Flz Çakır Zetoğlu parametreler tahm edlmştr. Bu verlere göre, Webull olasılık dağılımıı parametreler tahm ˆ 3, 5 ve ˆ 202000 olarak bulumuştur. RelaSoft Webull++ 7 - www.relasoft.com 99,000 WEIBULL OLASILIK DAGILIMI 90,000 50,000 F(t) 0,000 5,000,000 00000,000 000000,000 MALZEME ÖMRÜ Şekl : Grafk Yötemde Olasılık Dağılımı Grafğ E Küçük Kareler Yötem: E Küçük kareler öteme göre hesapla tüm değerler aşağıdak tabloda er almaktadır. Tabloda er ala bu değerler soucuda, ˆ 3, 5382 ve ˆ 202.950, korelaso katsaısı se 0,874 olarak bulumuştur. Sıra o Tablo 3: E Küçük Kareler Yöteme Göre Elde Edle Değerler Malzeme,2,.3 Ömrü l(t) F(T) (lt) 2 2 (lt) 26000,74 0,030-3,49 37,92 2,2-4,04 2 26589,75 0,073-2,58 38,03 6,68-30,37 3 29000,77 0,5-2,0 38,48 4,4-24,70 4 33000,80 0,58 -,76 39,20 3,0-20,76 5 34568,8 0,20 -,50 39,47 2,24-7,66 6 36700,83 0,244 -,28 39,84,63-5,09 82
İstabul Tcaret Üverstes Sosal Blmler Dergs Yıl:8 Saı:5 Bahar 2009 s.73-87 7 4000,86 0,286 -,09 40,58,8-2,88 8 44234,88 0,329-0,92 4,2 0,84-0,9 9 45000,88 0,372-0,77 4,24 0,59-9,0 0 46897,90 0,45-0,62 4,55 0,39-7,43 55000,95 0,457-0,49 42,83 0,24-5,89 2 5745,96 0,500-0,37 43,6 0,3-4,39 3 65000 2,0 0,543-0,25 44,33 0,06-2,95 4 70000 2,04 0,585-0,3 45,05 0,02 -,53 5 78900 2,09 0,628-0,0 46,28 0,00-0,3 6 87000 2,4 0,67 0, 47,35 0,0,28 7 20000 2,25 0,74 0,22 50,8 0,05 2,74 8 220000 2,30 0,756 0,35 5,32 0,2 4,25 9 234760 2,37 0,799 0,47 52,93 0,22 5,85 20 236000 2,37 0,842 0,6 53,06 0,37 7,57 2 237000 2,38 0,885 0,77 53,6 0,59 9,53 22 325000 2,69 0,927 0,96 6,08 0,93 2,23 23 340000 2,74 0,970,26 62,22,58 5,99 277,52-2,60 3350,37 37,59-45,37 Aşağıda e küçük kareler öteme göre olasılık dağılımları le lgl grafkler görülmektedr. RelaSoft Webull++ 7 - www.relasoft.com WEIBULL OLASILIK DAGILIMI 7,000E-6 5,600E-6 4,200E-6 F(t) 2,800E-6,400E-6 0,000 0,000 40000,000 280000,000 420000,000 560000,000 700000,000 MALZEME ÖMRÜ Şekl 2: E Küçük Kareler Yötemde Kümülatf Olasılık Dağılımı 83
Flz Çakır Zetoğlu RelaSoft Webull++ 7 - www.relasoft.com 99,000 WEIBULL OLASILIK DAGILIMI 90,000 50,000 Şekl 3: E Küçük Kareler Yötemde Olasılık Dağılımı ve Dağılımı Güve Aralıkları Maksmum Bezerlk Yötem: İşlemler karmaşıklığı edele maksmumu bezerlk ötem souçları, Webull++ paket programı le çözülmüş ve ˆ 3, 266, ˆ 95. 650 olarak bulumuştur. RelaSoft Webull++ 7 - www.relasoft.com WEIBULL OLASILIK DAGILIMI F(t) F(t) 0,000 5,000,000 00000,000 000000,000 MALZEME ÖMRÜ 99,000 90,000 50,000 0,000 5,000,000 00000,000 000000,000 MALZEME ÖMRÜ Şekl 4: Maksmum Bezerlk Yötemde Olasılık Dağılımı ve Dağılımı Güve Aralıkları 84
İstabul Tcaret Üverstes Sosal Blmler Dergs Yıl:8 Saı:5 Bahar 2009 s.73-87 RelaSoft Webull++ 7 - www.relasoft.com 7,000E-6 WEIBULL OLASILIK DAGILIMI 5,600E-6 4,200E-6 F(t) 2,800E-6,400E-6 0,000 0,000 40000,000 280000,000 420000,000 560000,000 700000,000 MALZEME ÖMRÜ Şekl 5: Maksmum Bezerlk Yötemde Kümülatf Olasılık Dağılımı Momet Yötem: Maksmum bezerlk ötemde olduğu gb, Momet ötemde de souçlar Webull++ paket programı le çözülmüş, ˆ 3, 0975 ve ˆ 200. 696 değerler bulumuştur. 5. SOUÇLAR VE KARŞILAŞTIRMALAR Bu makalede, k parametrel Webull dağılımıı parametre tahmlerde farklı ötemler kullaarak tahmler apılmıştır. Aşağıdak tabloda tüm souçlar br arada er almaktadır. İşlemler hem Webull++ paket programı le, hem de lgl formüller le hesaplaarak apılmıştır. Tablo 4: Tüm Souçlar TAHMİ YÖTEMİ ˆ ˆ Grafk 3,5 202.000 E küçük Kareler 3,5382 202.952 Maksmum Bezerlk 3,266 202.70 Momet 3,0975 200.696 85
Flz Çakır Zetoğlu Görüldüğü gb, grafk ötem le e küçük kareler ötem le apıla tahmler örtüşmektedr. Buu ede, grafk ötemde çzle grafk ve eğm tahm e küçük kareler ötem le apılmasıdır. Dolaısıla, grafk ötem, e küçük kareler ötem daha kaba br tahm olduğu söleeblr. Başka br fade le, grafk ötem, parametreler tahm bakımıda matematksel şlemler çermedğde daha geel br tahm apmaktadır. Acak grafğ karakterstğ bakımıda, model seçmde etkedr. Maksmum bezerlk tahm etklğ açısıda e ble ötem olmakla brlkte, momet tahm hesaplama açısıda kolalık sağlaması ve parametreler kes tahmcler vermes açısıda e agı olarak kullaılmaktadır. Acak momet tahmcs hesaplama açısıda kolalık sağlamasıa rağme, etk olmaablr (Mert Katar ve Şeoğlu,2008:900). 6. KAYAKÇA AKDAĞ.S.-GÜLER.Ö., (2008) Webull Dağılım Parametreler Belrleme Metodlarıı Karşılaştırılması, VII.Ulusal Temz Eerj Sempozumu, UTES 7-9 Aralık,İstabul, 707-74 BASU.B-TIWARI.D-KUDU.D-PRASAD.R., (2007), Is Webull Dstrbuto the Most Approprate Statstcal Stregth Dstrbuto for Brttle Materals?, Ceramcs Iteratıoal, Volume 35, (Issue ), 237-246 CARRASCO.J-ORTEGAE.-CORDEİRO.G., (2008) A Geeralzed Modfed Webull Dstrbuto for Lfetme Modelg, Computatoal Statstcs&Data Aalss, Vol 53, (İssue 2), 450-462 GRİMMETT.G.R.-STIRZAKER.D.R., (2004) Probablt ad Radom Processes, ew York, Oxford Uverst Press, GURVİCH.M.R.-DİBEEDETTO.A.T.-RAADE.S.V., (997) A ew Statstcal Dstrbuto for Characterzg the Radom Stregth of Brttle Materals, Joural of Materals Scece, (Issue 32), 2559-2564 KIM.J.-YUM.B.,(2008), Selecto Betwee Webull ad Logormal Dstrbutos: A Comparatve Smulato Stud, Computatoal Statstcs&Data Aalss, Volume 53, (Issue 2), 477-485 LİU.J.-CAO.L.-XİE.M.-GOH.T.-TAG.Y.,(2005), A Geeral Webull Model for Relablt Aalss Uder Dfferet Falure Crtera-Applcato o Asotropc Adhesve Jog Techolog, IEE Trasacto o Electroc Packagg Maufacturg, Vol 28, ( o 4), 322-327 LOCKHART.R.-STEPHES.M., (994), Estmato ad Tests of Ft for the Three-Parameter Webull Dstrbuto, 56, (o 3), 49-500 86
İstabul Tcaret Üverstes Sosal Blmler Dergs Yıl:8 Saı:5 Bahar 2009 s.73-87 MERT KATAR,Y-ŞEOĞLU,B.,A Comparatve Stud for the Locato ad Scale Parameters of the Webull Dstrbuto wth Gve Shape Parameter, Computer&Geosceces, Volume 34, İssue 2, December 2008, s.900 MURTHY.P-BULME.,M.-ECCLESTO.J.,(2004), Webull Model Selecto for Relablt Modelg, Relablt Egeerg&Sstem Safet, Volume 86, (Issue 3),257-267 PIDER.J.E.-WIEER.J.G.-SMITH M.H., (979), The Webull Dstrbuto: A ew Method of Summarzg Survvorshp Data, Ecologcal Socet of Amerca, 59, (), 75-79 SMITH.R.-AYLOR.J.C.,(987), A Comparso of Maxmum Lkelhood ad Baesa Estmators for the three-parameter Webull Dstrbuto, Appled Statstcs, 36, (o 3), 358-369 SÜRÜCÜ.B.-SAZAK.H.,(2009), Robust Cotrol Charts to Motorg Relablt for a three-parameter Webull Dstrbtıo, Relablt Egeerg&Sstem Safet, Vol 94, (Issue 2), 503-508 TA.Zhb, (2009), A ew Approach to MLE of Webull Dstrbuto wth İterval Data, Relablt Egeerg ad Sstem Safet, (94), 394-403 TOY.H.-WAG.Z.,(2009), Statstcal Estmato for the Parameters of Webull Dstrbuto Based o Progressvel Tpe-I Iterval Cesored Sample, Joural of Statstcal Computato ad Smulato, Vol 79, (o 2),45-59 TUMIDAJSKİ.P.J.-FİORE.L.-KHODABOCUS.T.-LACHEMİ.M.-PARİ.R., (2006), Comparso of Webull ad ormal Dstrbuto for Cocrete Compressve Stregths, Ca.J.Cv.Eg. (33), 287-292 ZHAG.T.-XIE.M., (2007), Falure Data Aalss wth Exted Webull Dstrbuto, Commcato Statstcs-Smulato ad Computato, (36), 579-592 http://www.tl.st.gov.7dv898/hadbook/apr/secto/apr62.htm, [0.06.2008] http://www.webull.com/lfedataweb, [.3.2009] http://webull.com/lfedataweb, [28.0.2009] http://www.tl.st.gov.7dv898/hadbook/apr/secto/apr62.htm, [0.06.2008] 87