İÇİNDEKİLER 1. Analitik Hiyerarşi Prosesi(AHP) Yöntemi 2. TOPSİS Yöntemi 3. ENTROPİ Yöntemi 4. MAUT Yöntemi 1. Analitik Hiyerarşi Prosesi (AHP) Analitik Hiyerarşi Süreci tekniği karmaşık karar problemlerinde karar alternatif ve kriterlerine göreceli önem değerleri verilmek suretiyle yönetsel karar mekanizmasının çalıştırılması esasına dayanan bir çok amaçlı karar verme yöntemidir. Thomas L. Saaty tarafından geliştirilen yöntem çoklu kriterler içeren kompleks problemleri çözmek için tasarlanmıştır. Süreç, karar vericinin belirlediği her bir kriterin göreceli önemlerinin belirlemesine ve daha sonra her bir kritere göre karar alternatifleri arasında seçim yapmasına gereksinim duyar. AHP kullanılarak çözülecek problemlerde mümkün olduğunca ayrıntılı bir tanım yapılır. Bu tanımlar belli bir öncelik hiyerarşisine göre belirlenir. Hiyerarşinin en yüksek seviyesini ana hedef;en düşük seviyesini karar alternatifleri oluşturmaktadır. AHP Modellerinin Çözüm Süreci 1. Hedeflerin listesinin çıkarılması 2. Hedefleri gerçekleştirmek için gerekli kriterlerin listelenmesi 3. Her bir kriter için (n adet) olası karar alternatifinin belirlenmesi 4. Hiyerarşik modelin belirlenmesi Hiyerarşik Yapının Kurulması Hiyerarşinin en üstünde bir amaç (seçim) yer alır. Bu amacın altında sırasıyla kriterler, alt kriterler ve en altta seçenekler olacak biçimde yapı tamamlanır.
Araba Seçimi Probleminde AHP nin Yapısı AHP İle Problem Çözme Aşamaları: 1. İkili Karşılaştırma Matrisi: Hiyerarşik yapının belirlenmesinden sonra tüm kriter veya alternatiflerin birbiri üzerindeki göreceli önemlerinin belirlenmesi için ikili karşılaştırma matrislerinin oluşturulması gerekir. Bu matrisler oluşturulurken karar verici her ikili karşılaştırma için önem dereceleri belirler. Önem derecesi tablosu aşağıdaki gibidir.
Önem Tanım Açıklama 1 Eşit derecede önemli İki faktör aynı derecede önem taşır 3 Biraz daha fazla önemli (Zayıf Önem) 5 Oldukça önemli (Güçlü Önem) 7 Çok daha önemli (Çok Güçlü Önem) Biri diğerine göre biraz daha fazla önem taşır Biri diğerine göre oldukça önem taşır Biri diğerine göre çok daha fazla önem taşır 9 Kesinlikle daha önemli (Mutlak Önem) Biri diğerine göre kesinlikle daha fazla önem taşır 2,4,6,8 Ara değerler Tercih değerleri birbirine yakın olduğunda kullanılır Önem skalasında yer almayan 2, 4, 6, 8 gibi değerler ara değerlerdir. Karar verici 1 ve 3 değerleri arasında kararsız kalması durumunda 2 değerini kullanabilir. Karar verici eğer aij hücresine önem değeri olarak 3 değerini veriyorsa aji nin değeri 1/3 olması gerektiğidir. Ayrıca ikili karşılaştırmalar matrisinde köşegen değerler bire eşittir. Burada bir grup karar vericinin kişisel yargısına başvurulursa ortak bir matrisin nasıl oluşturulacağı sorunu gündeme gelebilir. Bu sorun iki yolla çözülebilir: a) Karar vericileri bir araya getirip her aij için fikir birliğine ulaşmalarını sağlamak, b) Karar vericilerin kişisel yargılarının geometrik ortalamalarından oluşan bir matris elde etmek. Birinci yöntemin uygulanması zor olduğundan genelde ikinci yöntem kullanılır. 2. Normalize Edilmiş Matris: Karşılaştırma matrisinin her bir sütunundaki eleman toplam sütun ağırlığına bölünerek elde edilir. 3. Öncelikler Vektörü(W): Normalize edilmiş matrisin her bir satırının ortalaması alınarak hesaplanır. 4. Tüm Öncelikler Matrisi(V): Öncelikler vektörü hesaplandıktan sonra elde edilen vektör başlangıçta verilen 2 li karşılaştırma matrisi ile çarpılarak oluşturulur.
5. Tutarlılık(Uyum) Oranı(CR): CR = CI / RI eşitliği ile hesaplanır. Burada; n: Karar alternatifleri sayısı, CI: Tutarlılık indeksi, CI = ( - n) / (n-1) şeklindedir. nın hesaplanabilmesi için tüm öncelikler matrisinin her bir elemanının öncelikler vektörü elemanlarına bölünerek elde edilen yeni matris elemanlarının ortalamasının alınmasıyla bulunmaktadır. RI: Rasgele değer indeksidir. İşlemlerde aşağıda verilen rassallık gösterge(rassgele değer indeks) tablosundan uygun olanı seçilir. n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 RI 0 0 0,58 0,9 1,12 1,24 1,32 1,41 1,45 1,49 Eğer tutarlılık oranı CR, 0.10 dan küçük ise matris tutarlı olarak kabul edilir. Değilse matris ağırlıkları gözden geçirilir. 6. Tutarlılık oranının kontrol edilmesinde sonra her bir alternatifin her bir kriter açısından ne kadar önemli olduğunun belirlenmesi işlemi gerçekleştirilir. Örnek 1: Öncelik Değerleri ve Tutarlılık Hesabı
Örnek 2: 1 3 4 A = 1/3 1 2 1/4 1/2 1 Yan tarafta verilen A matrisindeki ağırlık değerlerini ve ikili karşılaştırmaların tutarlı olup olmadığını test ediniz ( RI için 0.58 değeri alınmalıdır.) a) Karşılaştırma Matrisi: b) Normalize Edilmiş Matris: A B C A 1 3 4 B 1/3 1 2 C 1/4 1/2 1 Toplam 1.58 4.5 7 A B C A 1/1.58 3/4.5 4/7 B 0.33/1.58 1/4.5 2/7 C 0.25/1.58 0.5/4.5 1/7 Toplam 1.58 4.5 7
c) Öncelikler Vektörü: A B C Satır toplamı Öncelikler Matrisi Satır ağırlığı A 0.63 0.67 0.57 1.87 0.62 B 0.21 0.22 0.29 0.72 0.24 C 0.16 0.11 0.14 0.41 0.14 d) Tüm Öncelikler Matrisi: 0.62* 1 3 4 1/3 + 0.24* 1 + 0.14* 2 1/4 1/2 1 = 1.90 0.72 0.41 Elde edilen matris elemanları öncelikler vektörü elemanlarına bölünür: 1.90/0.62 = 3.03, 0.72/0.24 = 3.01, 0.41/0.14 = 3.01 λ maks =(3.03+3.01+3.01) / 3 = 3.02 CI = (λ maks -n) / ( n-1) = (3.02-3)/( 3-1) = 0.01 dir. RI = 0.58 dir. CR = CI/RI = 0.01/0.58 = 0.02 dir. Sonuç: CR<0.01 olduğundan sonuç uyum sınırları içindedir. Örnek 3: Ahmet, Salı günü ders çıkışı arkadaşları ile sinemaya gitmektense 4(dört) farklı iş teklifini ne şekilde değerlendireceği hususu ile ilgilenmeyi tercih etmiştir. İş teklifleri yaratıcı danışmanlık(yd), temel yatırım(ty), batı leasing(bl) ve dinamik pazarlama(dp) şirketlerindendir. Ahmet, iş tercihinde maaş(m), uzaklık(u), yöneylem bilgisini kullanma(ybk) ve uzun vadede gelecek vaad etme(uvgve) gibi faktörleri göz önüne almıştır. Bu faktörlere bakarak hangi işi tercih etmesi gerektiğine karar vermesi gerekmektedir. Bu faktörlere bakarak hangi işi tercih etmesi gerektiğine karar vermesi gerekmektedir. İş teklifleri (alternatifler): yaratıcı danışmanlık(yd), temel yatırım(ty), batı leasing(bl) ve dinamik pazarlama(dp) Faktörler(Kriterler): maaş(m), uzaklık(u), yöneylem bilgisini kullanma(ybk) ve uzun vadede gelecek vaad etme(uvgve)
Yapılması gereken işlemler aşağıdaki gibidir: 1. Faktörlerin Önem Derecelerinin Belirlenmesi: a) Karşılaştırma Matrisi: b) Normalize Edilmiş Matris: Faktörler U M YBK UVGVE U 1 1/5 1/3 1/2 M 5 1 2 4 YBK 3 1/2 1 3 İlk sütundaki ilk değer: 1/(1+5+3+2) = 0.091 İkinci değer: 5/(1+5+3+2) = 0.454 Üçüncü değer: : 3/(1+5+3+2) = 0.273 Dördüncü değer: 2/(1+5+3+2) = 0.182 UVGVE 2 1/4 1/3 1 Toplam 11 8.5 Faktörler U M YBK UVGVE Ortalamalar U 0.091 0.101 0.091 0.059 0.086 M 0.454 0.513 0.545 0.47 0.496 YBK 0.273 0.256 0.272 0.353 0.288 UVGVE 0.182 0.128 0.091 0.118 0.13 Tabloya bakıldığında ücrete yaklaşık yarı yarıya ağırlık verildiğini, %30 civarında ağırlığın bilgi kullanımına, %13 ağırlığın uzun vadedeki getiriye verildiğini ve son olarak da işe gitmek için gereken mesafe faktörünün %9 lar civarında önem taşıdığı söylenebilir. CR=0.021 2. Her Bir Faktör İş Alternatifleri Açısından Değerlendirilir: Örneğin uzaklık faktörüne bakılarak hangi iş teklifinin diğerlerine ne kadar tercih edileceği belirlenebilir. Uzaklık Kriteri İçin İş Alternatifleri YD TY BL DP YD 1 1/2 1/3 5 TY 2 1 1/2 7 BL 3 2 1 9 Yandaki 2 li karşılaştırma matrisinde her bir hücre değeri ilgili hücrenin bulunduğu sütun toplamına bölünmek suretiyle normalize edilerek aşağıdaki ağırlıklar matrisi elde edilmiştir. DP 1/5 1/7 1/9 1
İş Alternatifleri YD TY BL DP Ortalamalar YD 0.161 0.137 0.172 0.227 0.174 TY 0.323 0.275 0.257 0.318 0.293 BL 0.484 0.549 0.514 0.409 0.489 DP 0.032 0.039 0.057 0.046 0.044 CR=0.016 Uzaklık açısından bakıldığında, toplam üzerinden BL yaklaşık %50, TY %30, YD %17, DP ise %4 değer almıştır. Benzer işlemler(karşılaştırma ve normalize edilmiş matrisler) diğer faktörler açısından da bütün iş alternatifleri için uygulanınca aşağıdaki tablo bulunur. İşler Faktörler YD TY BL DP U 0.174 0.293 0.489 0.044 M 0.050 0.444 0.312 0.194 YBK 0.21 0.038 0.354 0.398 UVGVE 0.51 0.012 0.29 0.188 Başta elde edilen faktör ağırlıkları tablosundaki ortalamalar dikkate alınarak toplam ağırlıkların hesaplanma şekli aşağıda verilmiştir. YD İçin: (0.174) (0.086) +(0.050) (0.496)+ (0.210) (0.288)+ (0.510) (0.130) = 0.167 TY İçin: (0.293) (0.086) +(0.444) (0.496)+ (0.038) (0.288)+ (0.012) (0.130) = 0.258 BL İçin: (0.489) (0.086) +(0.312) (0.496)+ (0.354) (0.288)+ (0.290) (0.130) = 0.336 DP İçin: (0.044) (0.086) +(0.194) (0.496)+ (0.398) (0.288)+ (0.188) (0.130) = 0.239
Örnek 4: Araba Seçimi Probleminde AHP Uygulaması Yaygın etki ölçütü için ikili karşılaştırma matrisi: Proje A Proje B Proje C Proje A 1 1/3 1/9 Proje B 3 1 1/3 Proje C 9 3 1 Yaygın Etki ölçütü açısından arabaların öncelikleri:
Diğer ölçütler için ikili karşılaştırmalar: Bütün Ölçütler için Projelerin öncelik vektörleri: Ölçütlerin ikili karşılaştırma matrisi: Ölçütlerin öncelikleri: AHP yi kullanarak alternatiflerin bütünsel öncelik derecelerinin bulunması Alternatiflerin bütünsel öncelikleri, alternatifin ölçütlere göre öncelik değerleriyle ölçüt ağırlıklarının çarpımlarının toplamına eşittir.
Örneğin Proje A alternatifinin bütünsel önceliği =.0595 (.0769) +.163 (.0598) +.163 (.7482) +.163 (.7231)+.4515(.4545) Projelerin bütünsel öncelikleri ve tercih sıraları Örnek Olay: Çok kriterli karar problemlerinde hedefler kantitatif (sayısal) veya kalitatif (nitel) olabilir. Sadece kantitatif hedeflere yoğunlaşarak, kalitatif hedefleri göz ardı etmemek gerekir. Bu durumu örneklendirmek için şöyle bir örneği ele alalım. Örnek olayda amaç Bütçesine uygun en iyi arabayı satın almak. olarak belirlensin. Hedefler ise aşağıdaki gibi ortaya konmuştur: Motor gücünü maksimize etmek, 0-100 km hızlanma süresini minimize etmek, Yakıt tüketimini minimize etmek, Güvenlik donanımını maksimize etmek, Malzeme kalitesini maksimize etmek, Yol tutuşunu maksimize etmek. Bu hedeflere ulaşma ölçütü olan kriterler ise aşağıda belirlenmiştir. Motor gücü, 0-100 km hızlanma süresi, Yakıt tüketimi, Güvenlik donanımı, Malzeme kalitesi, Yol tutuşu. Karar verici bu segmente uygun olarak 5 alternatif araba tespit etmiştir. Bunlar Alternatif- 1, Alternatif-2, Alternatif-3, Alternatif-4 ve Alternatif-5 olarak adlandırılmıştır. Her alternatife ait kriterlerin değerleri aşağıdaki tabloda gösterilmiştir.
Alt. Motor Gücü Hızlanma (0-100 km/sn) Tablo 1. Çok Kriterli Karar Matrisi Yakıt Güvenlik Tüketimi Donanımı (lt/100 km) Malzeme Kalitesi Yol Tutuşu Alt-1 100 5,5 4,8 Düşük Düşük Yüksek Alt-2 105 5,2 5,8 Orta Yüksek Çok Yüksek Alt-3 110 6,1 6,0 Yüksek Çok Yüksek Orta Alt-4 120 5,0 5,7 Düşük Orta Orta Alt-5 115 5,8 5,0 Yüksek Orta Yüksek Fayda Maliyet Maliyet Fayda Fayda Fayda Örneğin yukarıdaki karar matrisi incelendiğinde, Alt-1 den Alt-2 ye geçilince, motor gücü, hızlanma, güvenlik donanımı, malzeme kalitesi ve yol tutuşu iyileşmekte, ancak buna karşılık, yakıt tüketimi kötüleşmektedir. Bu karar matrisinden de görüleceği gibi, burada tipik birçok kriterli karar problemi mevcuttur. Ayrıca karar matrisinden görüleceği gibi, kriterlerin bazıları sıfatlar kullanılarak kalitatif olarak, bazıları ise rakamlarla ancak farklı birimler kullanılarak ifade edilmiştir. Aynı zamanda kriterlerin yönü de farklıdır. Kriterin yönü, o kriter için küçük değerlerin mi, yoksa büyük değerlerin mi tercih edildiğini gösterir. Eğer kriter için küçük değerler tercih ediliyorsa kriter maliyet, büyük değerler tercih ediliyor ise kriter faydadır. Bu üç unsurun etkisinden dolayı (kalitatif değerler, farklı birimler ve kriterin yönü) alternatifleri birbirleri ile kıyaslamak olanaksızdır. Bu nedenle öncelikle karar matrisindeki orijinal değerler ortak bir ölçeğe dönüştürülmelidir. Bu amaçla geliştirilecek ölçeğin, aşağıdaki özelliklere sahip olması istenmektedir. Ölçek sayısal olmalıdır, Ölçek, kriterler arasındaki birim farkını ortadan kaldırmalıdır, Ölçeklendirme sonunda kriterlerin yönü aynı olmalıdır. Alternatifler arasından anlamlı bir kıyaslama yapabilmek için, karar matrisinin yukarıda açıklanan özelliklere sahip bir ölçekle dönüştürülmesi gerekmektedir. Orijinal karar matrisini ölçeklendirilmiş karar matrisine dönüştürmek için kalitatif değerler sayısal bir ölçeğe dönüştürülür. Bu amaçla aşağıdaki Tablo 2 deki ölçek kullanılır.
Tablo 2. Kalitatif Değerlerin Sayısallaştırılması Ölçek Fayda Maliyet 9 Çok Yüksek Çok Düşük 7 Yüksek Düşük 5 Orta Orta 3 Düşük Yüksek 1 Çok Düşük Çok Yüksek Tablo 2 ye göre bir kriter fayda ise ve çok yüksek olarak ifade edilmişse, bu kritere karşılık gelen sayısal değer 9 iken, kriter maliyet ise en yüksek maliyet değerine karşılık gelen bu değer 1 olur. Kalitatif değerlerin sayısal değerlere dönüştürülmesi sonucu elde edilen karar matrisi aşağıdaki tabloda gösterilmiştir. Alt. Motor Gücü Tablo 3. Kalitatif Değerler Dönüştürülmüş Karar Matrisi Yakıt Hızlanma Güvenlik Tüketimi (0-100 km/sn) Donanımı (lt/100 km) Malzeme Kalitesi Yol Tutuşu Alt-1 100 5,5 4,8 3 7 7 Alt-2 105 5,2 5,8 5 3 9 Alt-3 110 6,1 6,0 7 1 5 Alt-4 120 5,0 5,7 3 5 5 Alt-5 115 5,8 5,0 7 5 7 Yukarıdaki karar matrisinin incelenmesi sonucunda dikkati çeken bir diğer nokta da, kalitatif değerler dönüştürüldükten sonra hepsinin fayda şeklini almasıdır. Bu tablo 2 nin bir sonucudur. Çünkü bu ölçekte yüksek değerler arzu edilen değerlerdir. 2. TOPSIS Yöntemi İdeal Noktalarla Çok Boyutlu Ağırlıklandırma (TOPSIS [Technique for Order Preference by Similarity to Ideal Solution]) yöntemi, çok kriterli karar problemleri için Hwang ve Yoon (1981: 129) tarafından geliştirilen alternatiflerin tercih sıralamasını belirlemek için kullanılan ve diğer yöntemlere göre daha kapsamlı bir karşılaştırma sağlayan bir yaklaşımdır (Zeleny, 1932: 327-388). Bu yöntem uzlaşık model olup, alternatifler ideal çözümlere olan yakınlık ve uzaklıklarına göre kıyaslanır ve pozitif ideal çözüme en yakın, negatif ideal çözüme en uzak olan alternatif seçilir. Yani, bir alternatif ideal pozitife ne kadar yakın, ideal negatife ne kadar uzaksa, tercih derecesi de o kadar yüksek olur. yöntemin temel aşamaları aşağıda sıralanmıştır: 1. Aşama: Yöntemin uygulanabilmesi için öncelikle mxn boyutunda bir karar matrisi (Xij) oluşturulması gerekir. Matris elemanları, i nci alternatifin j inci kritere göre değerini
göstermektedir. Karar matrisinde kalitatif değerler varsa, öncelikle bu değerlerin sayısal bir ölçeğe dönüştürülmesi gerekir. X ij x x... x x x... x...... x x... x 11 12 1n 21 22 2n m1 m2 mn Denklemdeki matrise göre, alternatif sayısı kadar (m) satır vektör, kriter sayısı kadar (n) sütun vektör bulunmaktadır. 2. Aşama: Bu yöntemde oluşturulan karar matrisinin (Xij) normalizasyonu için vektör normalizasyonu yöntemi kullanılmaktadır. Vektör normalizasyonu aşağıdaki gibi hesaplanır. R ij x m ij i1 x 2 ij (i = 1, 2,..., m; j =1, 2,..., n) Burada rij değerleri, vektör normalizasyonu yöntemi ile ölçeklendirilmiş değerleri gösterir. Her bir xij değeri ilgili sütun vektörünün toplamının kareköküne bölünüp normalize edilerek rij değerleri elde edilir. Böylece matristeki değerler arasındaki orantı bozulmadan (0-1) aralığında bir ölçek elde edilmiş olur. 3. Aşama: Bu aşamada ağırlıklandırılmış normalize karar matrisi elde edilmesi gerekmektedir. Karar verici tarafından her kriterin ağırlıkları (wj) belirlenmelidir. Ağırlıkların toplamı 1 e eşit olmalıdır ( n j=1 Wj = 1). Xij matrisinin normalize edilmiş hali olan Rij matrisindeki her bir değer ilgili kriter ağırlığıyla çarpılarak elde edilecek Vij ağırlıklandırılmış normalize karar matrisinin nasıl hesaplanacağı aşağıda gösterilmiştir. Vij = Wj x Rij (i = 1, 2,..., m; j = 1, 2,..., n)
Vij = w r w r... w r w r w r... w r...... w r w r... w r 1 11 2 12 n 1n 1 21 2 22 n 21 1 m1 2 m2 n mn (i = 1, 2,..., m; j = 1, 2,..., n) 4. Aşama: Bu aşamada ideal pozitif ve ideal negatif çözüm değerleri elde edilmesi gerekir. Kriter fayda ise pozitif ideal her kriterdeki en büyük değerler, negatif ideal en küçük değerler olur; öte yandan kriter maliyet ise pozitif ideal her kriterdeki en küçük değerler, negatif ideal en büyük değerler olur. İdeal negatif ve pozitif noktaların nasıl belirleneceği aşağıda gösterilmiştir. Aj + = Maks / Min (vij) ( j = 1, 2,..., n) kriter fayda / maliyet ise Aj - = Min / Maks (vij) ( j = 1, 2,..., n) kriter fayda / maliyet ise 5. Aşama: Her alternatif için her iki ideal çözümden olan uzaklık hesaplanır. Uzaklık hesaplamaları Öklid uzaklığı formülüne göre yapılır. Pozitif İdealden Uzaklık: Si + = Negatif İdealden Uzaklık: Si - = n 2 ( vij A j ) (i = 1, 2,..., m; j = 1, 2,..., n) j1 n 2 ( vij A j ) (i = 1, 2,..., m; j = 1, 2,..., n) j1 Burada Si + i nci alternatifin pozitif ideal noktalardan, Si - ise negatif ideal noktalardan toplam uzaklığını gösterir. Bir alternatif pozitif ideale ne kadar yakın ve negatif idealden ne kadar uzaksa sıralamada öne geçme ihtimal artar. 6. Aşama: Son aşama olan bu aşamada, alternatiflerin idealden (pozitife yakınlık, negatife uzaklık) nispi uzaklıkları aşağıdaki denkleme göre hesaplanır ve sıralama yapılır. Her bir alternatif için nispi uzaklıklar aşağıdaki formüle göre yapılır (Aktaş vd, 2015: 231).
C i S i S i (i = 1, 2,..., m) Si Burada Ci i nci alternatif ideal negatif ve pozitif noktalara nispi uzaklıklarını gösterir. Ci nin büyük olması ilgili alternatifin ideal pozitif değere yakın ideal negatif değerden ise uzak olduğunu gösterir. Burada Ci, 0 ile 1 arasında bir değer alır. Alternatifler Ci değerine göre büyükten küçüğe doğru sıralanır. Daha büyük değere sahip olan alternatif daha iyi performansa sahiptir. ÖRNEK OLAY a. Araba satın almayı planlayan bir karar vericinin 5 araç alternatifi arasından, 6 kritere göre seçim yapabilmesi problemini TOPSIS yöntemini kullanarak çözelim ve alternatifleri sıralayalım. Burada karar verici, seçim yaparken kriter ağırlıklarını eşit varsaymaktadır. b. Araba satın almayı planlayan kişinin seçim kriterlerini eşit ağırlıklı varsaymadığı ve kriter ağırlıklarını aşağıdaki tabloda sunulduğu gibi kabul ettiği durumda problemi TOPSIS yöntemini kullanarak çözelim ve alternatifleri sıralayalım. Tablo 4. Kriter Ağırlıkları Kriter K-1 K-2 K-3 K-4 K-5 K-6 Fayda Maliyet Maliyet Fayda Fayda Fayda Ağırlık 0,25 0,2 0,15 0,15 0,1 0,15 ÇÖZÜM a. ÇKKV problemini TOPSIS yöntemi ile çözmeden önce Tablo 5 deki karar matrisi oluşturulmaktadır. Bu problemde amacımız araç alternatiflerini performanslarına yani kriterlerine bağlı olarak sıralamak ve nispi olarak en iyi alternatifi seçmektir. Bu amaç fonksiyonuna bağlı olarak kriterleri fayda ve maliyet kriterleri olarak grupladığımızda; motor gücü, güvenlik donanımı, karbon emisyonu ve yol tutuşu fayda; hızlanma ve yakıt tüketimi maliyet kriterleri olmaktadır.
Alt. Motor Gücü Hızlanma (0-100 km/sn) Tablo 5. Karar Matrisi Yakıt Tüketimi (lt/100 km) Güvenlik Donanımı Malzeme Kalitesi Yol Tutuşu Alt-1 100 5,5 4,8 3 7 7 Alt-2 105 5,2 5,8 5 3 9 Alt-3 110 6,1 6,0 7 1 5 Alt-4 120 5,0 5,7 3 5 5 Alt-5 115 5,8 5,0 7 5 7 Fayda Maliyet Maliyet Fayda Fayda Fayda Karar matrisi 1. Aşamaya göre oluşturulduktan sonra vektör normalizasyonu yöntemiyle (2. Aşamadaki formül kullanılarak) aşağıdaki normalize karar matrisi elde edilmektedir. Daha önce de ifade edildiği gibi normalize karar matrisi (Rij) değerleri 0-1 aralığında bir değer almaktadır. Alternatif Tablo 6. Normalize Karar Matrisi Kriter K-1 K-2 K-3 K-4 K-5 K-6 Fayda Maliyet Maliyet Fayda Fayda Fayda Alt-1 0,41 0,44 0,39 0,25 0,67 0,46 Alt-2 0,43 0,42 0,47 0,42 0,29 0,59 Alt-3 0,45 0,49 0,49 0,59 0,10 0,33 Alt-4 0,49 0,40 0,47 0,25 0,48 0,33 Alt-5 0,47 0,47 0,41 0,59 0,48 0,46 Şimdi kriter ağırlıklarının belirlenmesi ve ona bağlı olarak ağırlıklandırılmış normalize karar matrisinin oluşturulması gerekmektedir. Karar vericinin, kriterleri eşit ağırlıklı varsaydığı kabulüyle her bir kriterin ağırlığı wj = 1 6 0,167 olarak hesaplanır. Daha sonra 3. Aşama yardımıyla ağırlıklandırılmış normalize karar matrisi (Vij) elde edilmektedir.
Tablo 7. Kriter Ağırlıkları Kriter K-1 K-2 K-3 K-4 K-5 K-6 Fayda Maliyet Maliyet Fayda Fayda Fayda Ağırlık 0,167 0,167 0,167 0,167 0,167 0,167 Alternatif Tablo 8. Ağırlıklandırılmış Normalize Karar Matrisi Kriter K-1 K-2 K-3 K-4 K-5 K-6 Fayda Maliyet Maliyet Fayda Fayda Fayda Alt-1 0,068 0,074 0,065 0,042 0,112 0,077 Alt-2 0,071 0,070 0,079 0,070 0,048 0,099 Alt-3 0,074 0,080 0,082 0,098 0,016 0,055 Alt-4 0,081 0,067 0,078 0,042 0,080 0,055 Alt-5 0,078 0,078 0,068 0,098 0,080 0,077 Sırada her bir kriter için pozitif ve negatif ideal çözümlerin belirlenmesi vardır. burada kriterleri fayda veya maliyet özelliği göstermesine dikkat edilmelidir. Çünkü fayda kriterlerinde, pozitif ideal çözüm ve negatif ideal çözüm her kriterdeki sırasıyla en büyük ve en küçük değerlerden; diğer yandan maliyet kriterlerinde, pozitif ideal çözüm ve negatif ideal çözüm her kriterdeki sırasıyla en küçük ve en büyük değerlerden oluşur. 4. Aşamadaki formüller yardımıyla hesaplanan pozitif ideal çözüm (Ai + ) ve negatif ideal çözüm (Ai - ) değerleri aşağıdaki tabloda hesaplanmıştır. Tablo 9. Pozitif ve Negatif İdeal Çözümler Kriter K-1 K-2 K-3 K-4 K-5 K-6 Fayda Maliyet Maliyet Fayda Fayda Fayda Pozitif İdeal Çözüm(Ai + ) 0,081 0,067 0,065 0,098 0,112 0,099 Negatif İdeal Çözüm (Ai - ) 0,068 0,082 0,082 0,042 0,016 0,055 Alternatiflerin, pozitif ve negatif ideal çözümlere olan mesafesinin (Si + ve Si - ) hesaplanması 5. Aşamaya göre yapıldıktan sonra, 6. Aşamada belirtildiği gibi ideal çözüme nispi mesafelerin (Ci) hesaplanması yapılmaktadır.
Tablo 10. Alternatiflerin, Pozitif ve Negatif İdeal Çözümlere Olan Mesafesi İle Nispi Mesafeleri Alternatif Si + Si - Ci Alt-1 0,062 0,100 0,617 Alt-2 0,072 0,063 0,465 Alt-3 0,108 0,057 0,344 Alt-4 0,079 0,067 0,459 Alt-5 0,041 0,090 0,689 Bu hesaplamadan sonra Ci değerleri büyükten küçüğe doğru sıralanır. Daha büyük değere sahip olan alternatif daha iyi performansa sahiptir. Dolayısıyla karar verici açısından 5. Alternatif en iyi performansa sahiptir ve onu sırasıyla 1, 2, 4 ve 3 nolu alternatifler izlemektedir. TOPSIS yönteminin doğası gereği en iyi alternatif, aynı anda pozitif ideal çözüme en yakın, negatif ideal çözüme en uzak nispi mesafeyi sağlamaktadır. Tablo 11. Alternatiflerin TOPSIS Yöntemiyle Sıralanması Sıra No Alternatif Ci 1 Alt-5 0,689 2 Alt-1 0,617 3 Alt-2 0,465 4 Alt-4 0,459 5 Alt-3 0,344 b. Araba satın almayı planlayan kişinin seçim kriterlerini eşit ağırlıklı varsaymadığı ve kriterlerin Tablo 4 deki gibi ağırlıklandırıldığı kabul edilmesi durumunda da bir çözüm elde edilebilir. 3. Entropi Yöntemi Entropi yöntemi alt kriter ağırlığını hesaplamak için kullanılır. Shannon Entropisi olarak da anılan bu kavram, doğa bilimlerinde sistemin düzensizliğinin ölçüsü olarak kullanılan termodinamiğin ikinci yasası olan entropi, bilgiyle ilgili olarak kullanıldığında belirsizliğin düzeyini belirlemektedir. Bu haliyle bilginin boyutu ve kalitesi açısından bir ölçüttür ve verinin sağladığı bilginin etkinliğinin göstergesi olarak kullanılabilir. Çok kriterli karar verme yöntemlerinde entropi ölçütü ağırlıkların objektif olarak hesaplanması için kullanılan bir yöntemdir. Bir kriter için hesaplanan entropi değerinin büyük olması, alternatifler arasındaki farkların küçük olmasından kaynaklanır ve bu kriterin karar için az bilgi sağladığını belirtir, dolayısıyla entropi ağırlığı küçük değer alır.
Shannon ve Weaever (1948), Entropi kavramını olasılık teorisi açısından bilginin içerisindeki belirsizliğin ölçülmesi olarak tanımlamıştır. Entropi yönteminin adımları aşağıdaki gibi verilebilir (Shannon, 1948: 10-14): Adım 1: Karar Matrisinin (A) Oluşturulması: Karar matrisinin satırlarında performansları sıralanmak istenen karar birimleri, sütunlarında ise karar vermede kullanılacak değerlendirme kriterleri yer alır. A matrisi karar verici tarafından oluşturulan başlangıç matrisidir. Karar matrisi aşağıdaki gibidir: x 11 x 1n X = [ ] (1) x m1 x mn Adım 2: Karar Matrisinin Normalizasyonu: r ij = x ij m i x ij (2) i: alternatif değeri, j: kriter değeri, rij : normalize edilmiş değerler. Adım 3: Entropi Değerlerinin Hesaplanması: m e j = k r ij lnr ij i=1 (3) k = (ln(m)) 1 k : entropi katsayısı, rij : normalize edilmiş değerler, ej : j. kriterin entropi değeri.
Adım 4: Ağırlık Değerlerinin Hesaplanması: w j = (1 e j ) m i (1 e j ) (4) Wj : ağırlık değeri, ej : entropi değeri. 4. MAUT Yöntemi MAUT, birbiri ile çatışan, birden fazla ölçütü olan problemlere ilişkin maksimum faydanın elde edilmesini amaçlamaktadır (Kul, 2012: 34). MAUT yönteminde hem niteliksel hem de niceliksel kriterler temel alınarak en faydalı alternatifin bulunmasına yönelik kullanılan bir yöntemdir. Bu yöntemde öznel veriler hesaplanabilir hale getirilerek en çok fayda sağlayan alternatifin bulunması amaçlanır. MAUT yönteminin adımlarına aşağıda yer verilmiştir. Adım 1: Kriterlerin ve Alternatiflerin Belirlenmesi: Karar problemine konu olan kriterler( an ) ve kriterlerin seçilmesinde yardımcı olacak alternatifler/kriterler ( xm) belirlenmelidir. Adım 2: Ağırlık Değerlerinin Belirlenmesi: Alternatiflerin doğru şekilde değerlendirilmesini sağlayan ve önceliklerin belirlendiği ağırlık değerlerinin (wj ) ataması yapılır. Tüm ( wj ) değerlerinin toplamı 1 e eşit olmalıdır. n w j = 1 (5) j Adım 3: Karar Matrisinin Belirlenmesi: Kriterlerin değer ölçülerinin ataması yapılır. Bu atama nicel kriterler için nicel değerler olurken nitel kriterler için ikili karşılaştırmalar göz önünde bulunarak yapılır. Tüm bunların ışığında 5 lik 100 lük vb. sistemde değer atamaları yapılır. Adım 4: Normalize Edilmiş Fayda Değerlerinin Hesaplanması: Atanan değerler karar matrisine yerleştirilerek normalize etme işlemine geçilir. Normalizasyon işleminde öncelikle her nitelik için en iyi ve en kötü değerler belirlenerek en iyi
değere 1, en kötü değere 0 değeri atanır ve diğer değerlerin hesaplanması için aşağıdaki eşitlik kullanılır: u i (x i ) = x x i + x i + x i (6 ) Bu eşitlikte kullanılan terimler aşağıdaki gibi gösterilmektedir: x + i : alternatif için en iyi değer, x i : alternatif için en kötü değer, x: hesaplanan satırdaki mevcut fayda değeri. Adım 5: Toplam Fayda Değerlerinin Hesaplanması: Normalizasyon işleminin hemen ardından fayda değerlerinin belirlenmesi işlemine geçilir. Fayda fonksiyonu eşitlik (7) ile ifade edilir: m u x = u i (x i ) w j i (7) u x : alternatifin fayda değeri, u i (x i ): her kriter ve her alternatif için normalize fayda değerleri, w j : ağırlık değerleri. Eşitlik 6 da gösterildiği gibi, elde edilmiş her bir normalize değer, entropi yöntemi ile hesaplanan ağırlık değerleri ile çarpılarak MAUT yönteminin fayda matrisi oluşturulur. Adım 6: Alternatiflerin Sıralanması: Kriterlerin ağırlık toplamı alınır ve alternatifler hesaplanır. Alternatifler arasında en çok fayda sağlayan alternatif sıralaması yapılır.
Örnek Uygulama: MENA Ülkelerinde Petrol Ve Petrol Ürünlerinin Performans Değerlendirilmesi Çalışmanın bu bölümünde petrol ihraç eden Cezayir(A1), İran(A2), Irak(A3), Kuveyt(A4), Libya(A5), Katar(A6), Suudi Arabistan(A7) ve Birleşik Arap Emirlikleri(A8) MENA ülkeleri temel alınmıştır. Bu ülkeler, kurulan modelin alternatif değişkenlerini temsil etmektedir. Tüm bu ülkelerin petrol üretimi, petrol türevleri üretimi ve ihracat değerlerine ait 10 adet değişken modelin kriter değişkenlerini oluşturmaktadır. Bu değişkenler ve kodları Tablo 1 de verilmiştir. Veri seti 2016 yılını kapsamaktadır ve tüm veriler OPEC in yılık istatistiki bülteninden derlenmiştir. Tablo 1. Kriter ve Kodları Kriterler İhracat Değeri(milyon $) Petrol İhracatını Değeri(milyon $) Kanıtlanmış Ham Petrol Rezervleri(milyon varil) Doğalgaz Rezervleri(milyar m 3 ) Ham Petrol Üretimi(1000 varil/gün) Doğalgaz üretimi(milyar m 3 ) Rafineri Kapasitesi(1000 varil/takvim gün) Rafineri Çıktısı(1000 varil/gün) Ham Petrol ihracatı(1000 varil/gün) Petrol ürünleri ihracatı(1000 varil/gün) Kriter Kodları K1 K2 K3 K4 K5 K6 K7 K8 K9 K10 Entropi Yöntemiyle Kriter Ağırlıklarının Bulunması Çalışmada ülkelerin performanslarının değerlendirilmesinde kullanılacak kriterlerin ağırlıklarının hesaplanması için Entropi yöntemi kullanılmıştır. Yöntemin uygulama adımları aşağıdaki gibidir. Adım 1: Karar Matrisinin (X) Oluşturulması: Karar matrisinin satırlarında performansları sıralanmak istenen karar birimleri, sütunlarında ise karar vermede kullanılacak değerlendirme kriterleri yer alır. X matrisi karar verici tarafından oluşturulan başlangıç matrisi olup OPEC in petrol ihraç eden ülkelerin yıllık bültenlerindeki raporlarından alınan değerlerdir. Karar matrisi aşağıdaki Tablo 2 deki gibidir.
Tablo 2. Karar Matrisi K1 K2 K3 K4 K5 K6 K7 K8 K9 K10 A1 29054 18638 12200 4504 1146,3 93152 650,8 658,5 668,3 541,1 A2 97386 41123 157200 33721,2 3651,3 226905 1901 1857,3 1921,7 897,9 A3 43890 43753 148766 3819,9 4647,8 10416,4 900 625,8 3803,5 36,8 A4 46261 41461 101500 1784 2954,3 17291 936 801 2128,2 707,4 A5 11986 9313 48363 1504,9 390,2 15570,5 380 90,1 254,7 34,3 A6 72459 22958 25244 24072,5 651,5 182830,3 429 280 503,4 568,1 A7 179575 134373 266208 8619,3 10460,2 110860 2899 2459,1 7463,4 1502,6 A8 298653 45559 97800 6091 3088,3 61083,7 1124 1100,3 2407,8 630 Toplam 779264 357178 857281 84116,8 26989,9 718108,9 9219,8 7872,1 19151 4918,2 Enbüyük 298653 134373 266208 33721,2 10460,2 226905 2899 2459,1 7463,4 1502,6 Enküçük 11986 9313 12200 1504,9 390,2 10416,4 380 90,1 254,7 34,3 Adım 2: Karar Matrisinin Normalizasyonu: Eşitlik (2) yardımıyla oluşturulan normalize edilmiş karar matrisi Tablo 3 deki gibidir. Tablo 3. Entropi Yöntemine Göre Normalize Edilmiş Karar Matrisi K1 K2 K3 K4 K5 K6 K7 K8 K9 K10 A1 0,037 0,052 0,014 0,054 0,042 0,130 0,071 0,084 0,035 0,110 A2 0,125 0,115 0,183 0,401 0,135 0,316 0,206 0,236 0,100 0,183 A3 0,056 0,122 0,174 0,045 0,172 0,015 0,098 0,079 0,199 0,007 A4 0,059 0,116 0,118 0,021 0,109 0,024 0,102 0,102 0,111 0,144 A5 0,015 0,026 0,056 0,018 0,014 0,022 0,041 0,011 0,013 0,007 A6 0,093 0,064 0,029 0,286 0,024 0,255 0,047 0,036 0,026 0,116 A7 0,230 0,376 0,311 0,102 0,388 0,154 0,314 0,312 0,390 0,306 A8 0,383 0,128 0,114 0,072 0,114 0,085 0,122 0,140 0,126 0,128 Adım 3: Entropi Değerlerinin Hesaplanması: Her bir kriter için Entropi değeri Eşitlik 3 yardımıyla oluşturulur. Normalize edilmiş değerler ile bu değerlerin logaritmik değerleri çarpılarak toplanır. Bu toplam, en son k entropi katsayısı ile çarpılarak tabloya yerleştirilir. Burada entropi katsayısı k ele alınan ülke sayısının logaritmik halidir. Sonuçlar Tablo 4 de verilmiştir.
Tablo 4. Entropi Değerinin Hesaplanması Kriterler K1 K2 K3 K4 K5 K6 K7 K8 K9 K10 Entropi(Ej) 0,819 0,871 0,868 0,769 0,825 0,822 0,898 0,861 0,815 0,855 Adım 4: Ağırlık Değerlerinin Hesaplanması: Her bir kriterin ağırlık değeri Eşitlik 4 yardımıyla oluşturulur. Ağırlık değerlerinin hesaplanması için hesaplanan entropi değerlerinin her biri 1 değerinden çıkarılarak toplanır. Daha sonra hangi kriter isteniyorsa o değerin entropi değeri 1 değerinden çıkarılarak ilk hesaplanan toplama bölünerek ağırlık değeri bulunur. Sonuçlar Tablo 5 de verilmiştir. Tablo 5. Ağırlık Değerlerinin Hesaplanması Kriterler K1 K2 K3 K4 K5 K6 K7 K8 K9 K10 TOPLAM Ağırlıkar(wj) 0,088 0,063 0,064 0,113 0,085 0,087 0,050 0,068 0,090 0,071 1,00 Entropi yönteminden elde edilen ağırlıklar 0 ve 1 aralığında olmalı ve elde edilen ağırlıkların toplamı 1 değerini vermelidir. Entropi yöntemi sonuçlarına göre; en önemli kriterin doğalgaz rezervleri(k4) olduğu en önemsizin ise rafineri kapasitesi(k7) kriterinin olduğu görülmektedir. Bu ağırlıklar MAUT yönteminde kullanılacaktır. MAUT Yönteminin Uygulanması Petrol ihraç eden MENA ülkelerinin performanslarının değerlendirilmesinde kullanılan kriter ağırlıkları Entropi yönteminden elde edildikten sonra MAUT yönteminde kullanılmıştır. Adım 1: Kriterlerin ve Alternatiflerin Belirlenmesi: Karar probleminin alternatif ve kriterlerinin değerleri Tablo 2 deki gibidir. Adım 2: Ağırlık Değerlerinin Belirlenmesi: Alternatiflerin doğru şekilde değerlendirilmesini sağlayan ve önceliklerin belirlendiği ağırlık değerlerinin (wj ) ataması yapılır. Tüm (wj ) değerlerinin toplamı 1 değerine eşit olmalıdır. Entropi yöntemi ile bulunan ağırlık değerlerinin toplamının eşitlik 5 e uygun olarak 1 değerine eşit olması gerekir. Bu durum zaten Tablo 5 de de verilmişti. Burada da bir kez daha Tablo 6 olarak verilmiştir.
Tablo 6. Ağırlık Değerlerinin Toplamı Kriterler K1 K2 K3 K4 K5 K6 K7 K8 K9 K10 TOPLAM Ağırlıkar(wj) 0,088 0,063 0,064 0,113 0,085 0,087 0,050 0,068 0,090 0,071 1,00 Adım 3: Karar Matrisinin Belirlenmesi: Her bir sütun için en iyi, en kötü değer atamalarının yapılması yani en iyi ve en kötü değerlerin belirlenmesi gerekir. Buradaki işlemlere Tablo 2 deki bilgiler kullanılır. Adım 4: Normalize Edilmiş Fayda Değerlerinin Hesaplanması: Atanan değerler karar matrisine yerleştirilerek MAUT yönteminde normalize etme işlemine geçilir. Eşitlik 6 yardımıyla veriler normalize edilir. Normalizasyon işleminde öncelikle 3. adımda elde edilen sonuçlara göre her nitelik için en iyi ve en kötü değerler belirlenerek en iyi değere 1, en kötü değere 0 değeri atanır. Daha sonra diğer değerlerin hesaplanması için, hangi değer isteniyorsa o değerin o sütundaki en kötü değerden farkı, yine aynı sütundaki en iyi değerin en kötü değerden farkına bölünür. Sonuçlar Tablo 7 daki gibidir. Tablo 7. MAUT Yöntemine Göre Normalize Edilmiş Karar Matrisi K1 K2 K3 K4 K5 K6 K7 K8 K9 K10 A1 0,060 0,075 0,000 0,093 0,075 0,382 0,108 0,240 0,057 0,345 A2 0,298 0,254 0,571 1,000 0,324 1,000 0,604 0,746 0,231 0,588 A3 0,111 0,275 0,538 0,072 0,423 0,000 0,206 0,226 0,492 0,002 A4 0,120 0,257 0,352 0,009 0,255 0,032 0,221 0,300 0,260 0,458 A5 0,000 0,000 0,142 0,000 0,000 0,024 0,000 0,000 0,000 0,000 A6 0,211 0,109 0,051 0,701 0,026 0,796 0,019 0,080 0,034 0,364 A7 0,585 1,000 1,000 0,221 1,000 0,464 1,000 1,000 1,000 1,000 A8 1,000 0,290 0,337 0,142 0,268 0,234 0,295 0,426 0,299 0,406 Adım 5: Toplam Fayda Değerlerinin Hesaplanması: Eşitlik 7 de gösterildiği gibi, elde edilmiş her bir normalize değer, entropi yöntemi ile hesaplanan ağırlık değerleri ile çarpılarak MAUT yönteminin fayda matrisini oluşturur. Bu matris Tablo 8 de verilmiştir.
Tablo 8. MAUT Yöntemine Göre Elde Edilmiş Fayda Matrisi K1 K2 K3 K4 K5 K6 K7 K8 K9 K10 TOPLAM A1 0,005 0,005 0,000 0,010 0,006 0,033 0,005 0,016 0,005 0,024 0,111 A2 0,026 0,016 0,037 0,113 0,028 0,087 0,030 0,051 0,021 0,042 0,449 A3 0,010 0,017 0,035 0,008 0,036 0,000 0,010 0,015 0,044 0,000 0,176 A4 0,011 0,016 0,023 0,001 0,022 0,003 0,011 0,020 0,023 0,032 0,162 A5 0,000 0,000 0,009 0,000 0,000 0,002 0,000 0,000 0,000 0,000 0,011 A6 0,019 0,007 0,003 0,079 0,002 0,069 0,001 0,005 0,003 0,026 0,214 A7 0,052 0,063 0,064 0,025 0,085 0,040 0,050 0,068 0,090 0,071 0,608 A8 0,088 0,018 0,022 0,016 0,023 0,020 0,015 0,029 0,027 0,029 0,287 Adım 6: Alternatiflerin Sıralanması: Kriterlerin ağırlık toplamı alınır ve alternatifler hesaplanır. Alternatifler arasında en çok fayda sağlayan alternatif sıralaması yapılır. Tablo 8 deki sıralama değerleri dikkate alındığında ilk sırada Suudi Arabistan(A7) son sırada ise Libya(A5) olduğu görülür.