ANADOLU ÜNİVERSİTESİ BİLİM VE TEKNOLOJİ DERGİSİ B Teor Blmler ANADOLU UNIVERSITY JOURNAL OF SCIENCE AND TECHNOLOGY B Theoretcal Sceces Clt/Vol.:-Sayı/No: : -8 (0 ŞANS KISITLI STOKASTİK PROGRAMLAMA PROBLEMLERİNİN DETERMİNİSTİK EŞİTLİKLERİ Kumru Ddem ATALAY, Ayşe APAYDIN ÖZ Doğrusal programlama problem olara modellee brço gerçe hayat problemde atsayılar rasgele değşe olara ortaya çıar. Bu durumda urula probleme stoast programlama problem adı verlmetedr. Stoast programlamaı çözümüde temel yalaşım, problem olasılısal br yapıda determst br yapıya döüştürülere ble yötemlerle çözülmesdr. Stoast programlama telerde br ola şas ısıtlı programlama yalaşımı, rasgele ısıtları belrl sevyelere göre determst duruma getrmey amaçlar. Bu çalışmada rasgele değşe ola atsayıları ormal dağılıma ve K-are dağılımıa sahp olması durumuda ortaya çıa şas ısıtlı stoast programlama modeller ullaılara determst modeller oluşturulması sürec celemştr. Katsayıları dağılımıı doğru olara seçlmes öemllğ sayısal br örele açılamış ve rdelemştr. Aahtar Kelmeler : Şas ısıtlı stoast programlama, Normal dağılım, K-Kare dağılımı. DETERMINISTIC EQUIVALENTS OF CHANCE CONSTRAINED STOCHASTIC PROGRAMMING PROBLEMS ABSTRACT May real lfe problems whch are modeled as lear programmg problems where coeffcets appear as radom varables. I ths case, such problems are called as stochastc programmg problem. The basc approach the stochastc programmg s solvg the problem wth ow methods by covertg the problem from a probablty structure to a determstc structure. The chace costrats ths programmg approach ca be forced from beg the radom coeffcets to determstc oe accordg to ther specfc levels. I ths study whe the coeffcets whch are radom varables have ormal ad Ch-square dstrbutos, obtag of determstc models that are equvalet to chace costraed stochastc programmg models are examed. The mportace of choosg the correct dstrbutos of coeffcets s explaed by a umerc example. Keywords: Chace costraed stochastc programmg, Normal dstrbuto, Ch-Square dstrbuto., Başet Üverstes, Tıp Faültes, Byostatst Aablm Dalı, Bağlıca Kampüsü, 0680 Etmesgut, Aara. E-posta: atalay@baset.edu.tr, Aara Üverstes, Fe Faültes, İstatst Bölümü, 0600 Tadoğa, Aara. E-posta: aapayd@aara.edu.tr Gelş: Temmuz 007; Düzeltme: 4 Mart 008; Düzeltme: 9 Şubat 009; Kabul: Aralı 009
. GİRİŞ Aadolu Üverstes Blm ve Teolo Dergs - B ( Teor Blmler Gerçe hayatta alıara, doğrusal programlama olara modellee problemler çoğuda arşı- c, a veb uygu değerler belrleme laşıla geel problemlerde brs model parametreler ( güçlüğüdür. Parametreler elde bulua verler yardımıyla veya daha öce çalışmalarda yararlaılara es değerler olara seçlr ve uygulaaa adar doğruluğu blmeyeblr. Bu baze araştırmaı yasızlığıı etleyeblr. Buula brlte model parametreler geellle öcede belrleemeye, es olmaya rasgele değşeler ets altıda almatadır. Dğer br fadeyle modelde bazı veya tüm parametreler rasgele değşe olablr. Bu tür problemlere stoast programlama problemler adı verlr. Determst yalaşım, armaşı sstemler araştırılması ve optmzasyou sırasıda tasarlama, proeledrme ve yöetm durumlarıı eoomde, teolode ve aser yöetmde yaygı olara ullaılmasıa olaa sağlar. Başlagıç verler, amaç urallarıı ets altıda gelşrler ve bu durumda determst yapıya sahptrler. Faat bu sstemler determst gelşmler sadece br eğlmdr ve rasgele fatörlerle bozulurlar. Bu edele gerçe hayat problemler çoğuda stoast yalaşım ullama daha doğru olacatır (Kolb, 977. Belrszl altıda doğrusal programlar ç bazı yalaşımlar gelştrlmştr. Belrszl aslıda doğrusal programlama parametreler es olara belrlemes zor olduğu durumlarda ortaya çıar. Stoast programlamada rasgele değşe çere tüm ısıtları br olasılığa sahp olması geremetedr. Burada geel yalaşım, problem olasılısal yapısıı, problem gerçe yapısıı bozmada oa eşdeğer ola determst duruma döüştürmetr. Bu tp problemlerde esl elde edlr ve smples yötem le çözülür (Taha, 997 Stoast programlama teler ço aşamalı programlama ve şas ısıtlı programlama olma üzere ye ayrılır. Bu çalışmada ele alıa şas ısıtlı stoast programlama teğdr. Şas ısıtlı stoast programlar l olara Chares ve Cooper (959 tarafıda modellemştr. Symods (967, çalışmasıda şas ısıtlı programlama problemler ç determst çözümler sumuştur. Segupta (970, şas ısıtlı doğrusal programlamaı bazı dağılımlar açısıda geelleştrlmes üzerde çalışmıştır. Segupta (97, stoast programlama yötemler sstem güvelrlğ yalaşımı altıda celemş, uygulama ve yalaştırma yötemler sumuştur. Resh (970, stoast hesaplama zamaları le mae yüleme problemler şas ısıtlı programlaması üzere çalışmıştır. Kolb (977, stoast programlama problemler açıça taımlamıştır. Plalama ve yöetm problemlerde rs ve belrszlğ celemş, şas ısıtlı programlama modeller sumuştur. Hulsurar, Bswal ve Sha (997, ço amaçlı stoast doğrusal programlama problemler bulaı programlama yalaşımıı br uygulamasıı çalışmışlardır. Déa (998, stoast programlama problem e ylemesde çolu ormal dağılımlar ç doğrusal regresyo tahm edcler sumuştur. Kampas ve Whte (003, çalışmalarıda trat rllğ otrolü ç olasılısal programlamayı öermşlerdr. Jaa ve Bswal (004, atsayıları sürel dağılıma sahp rasgele değşeler ola şas ısıtlı stoast programlama problemler çözümü ç, geet algortmayı temel ala stoast smülasyo sumuşlardır. Bu çalışmada şas ısıtlı stoast programlama problemlerde atsayıları ormal ve -are dağılımıa sahp rasgele değşeler olmaları durumuda determst eştller buluması celemştr. Katsayıları ormal dağılıma sahp rasgele değşeler olmaları durumuda, rasgele ısıtları ve amaç fosyouu determst hale döüştürülmes olay ve zahmetszdr. Bu edele şas ısıtlı problemler çoğuda atsayıları ormal dağılıma sahp ola modeller ele alımıştır. Aca gerçe hayat problemlerde farlı dağılımlara sahp atsayıları da olduğu düşüülere ormal dağılım dışıda farlı br dağılıma sahp şas ısıtlarıı da celemese gere duyulmuştur. K are dağılımıı seçlmesde sebep, ormal dağılıma sahp rasgele değşeler areler toplamlarıı are dağılımıa sahp olduğu özellğ ullaılara determst eştller bulumasıdır. Katsayıları are dağılımıa sahp olması durumuda determst eştller elde edlşler olduça armaşı hesaplamalar geretrr. Bu da lteratürde ormal dağılımı terch edlme sebeb açı br şelde ortaya oymatadır. Çalışmada, farlı dağılım ç rasgele değşe ola atsayıları rasgelelte urtulara determst bçmler elde edlş ayrıtılı olara suulmuştur. Sayısal br öre verlere celemştr.
Aadolu Uversty Joural of Scece ad Techology - B ( Theoretcal Sceces 3. ŞANS KISITLI STOKASTİK PROGRAMLAMA PROBLEMİ Stoast programlama problem determst programlama probleme döüştürme ç ullaıla yalaşımlarda br şas ısıtlı stoast programlama problemdr. Şas ısıtlı stoast programlama problem rasgele verler çerr ve belrlee olasılı lmtlere adar ısıt bozulmalarıa z verr. Eğer doğrusal ısıtlar, ısıtlarda bozulmaları geşlğ belrte olasılı ölçüler ümesyle brleştrlyorsa doğrusal programlama model şas ısıtlı olara adladırılır. Kısıtları ısm bozulmasıa z vere şas ısıtlı stoast programlama problem, yalaşı güvelrlğ sağlaya br yötem olara görüleblr. Bu yötem geelleştrlmş ve brço edüstryel ve eoom problemde uygulamıştır (Segupta, 97. Şas ısıtlı doğrusal programlama model, max(m z ( x P ax b u,,..., m x 0,,..., u 0,,,..., m c x bçmde taımlaır. Burada c, a ve b atsayılarıı tümü, l veya te olara rasgele değşelerdr ve u ler seçlmş olasılılardır. x arar değşeler determst olduğu varsayılmıştır (Taha, 997. (. modelde atsayıları rasgele değşe olması durumuda, her br bell br dağılıma sahp olması veya buları orta dağılımıı blmes geremetedr. Problem çözüm aşamasıda amaç, model rasgele değşelerde urtarara şas ısıtlı probleme de ola determst problem elde etmetr. Katsayıları ormal veya are dağılımıa sahp olması durumuda şas ısıtlı problemler determst eştller elde edlmes alt esmlerde verlmştr.. Katsayıları Normal Dağılıma Sahp Rasgele Değşeler Ola Şas Kısıtlı Modeller Doğrusal programlama problemlerde, atsayıları rasgele değşe olduğu durumda geel olara ormal dağılıma sahp olduğu varsayılır. Bu varsayım altıda (. model le verle şas ısıtlı stoast doğrusal programlama problemde c, a ve b ler ormal dağılıma sahp rasgele değşelerdr. Katsayıları ormal dağılıma sahp şas ısıtlarıı determst eştller buluması Yalız a atsayıları rasgele değşe, Yalız b atsayıları rasgele değşe, 3 Yalız c atsayıları rasgele değşe, 4 a ve b atsayılarıı her s de rasgele değşe, bçmde taımlaa dört durum le verlmştr. Dğer durumlar bu dört durumu ombasyou le elde edleblr. (.
4 Aadolu Üverstes Blm ve Teolo Dergs - B ( Teor Blmler Durum : Yalız a atsayıları rasgele değşe se; Var a varyaslı ormal dağılıma sahp rasgele değşe olsu. a ve a l rasgele değşeler arasıda ovaryası bldğ varsayılsı. d rasgele değşe E a ortalamalı ve ( a, ( d a x,,..., m bçmde taımlası. a,..., a atsayıları ormal dağılımlı rasgele değşeler ve x,..., x arar değşeler olma üzere, d rasgele değşe ve ( E d E a x,,..., m T,,..., Var d X V X m le ormal dağılır. Burada V, (,... (, (,... (, Var a Cov a a Cov a a Cov a a Var a Cov a a V...... Cov ( a, a Cov ( a, a... Var ( a bçmde taımlaa c ovaryas matrsdr. Bu durumda (. model ısıtları, [ ] Pd b u (. olara yazılablr. ( d E( d Var ( d dağılıma sahp olduğuda, (. le verle ısıt d E d b E d P u,,..., m Var d Var d rasgele değşe ortalaması sıfır ve varyası br ola stadart ormal bçmde yazılır. φ ( z, stadart ormal dağılıma sahp z dağılım fosyou olma üzere, [ b] Pd b E d φ Var d (.3
Aadolu Uversty Joural of Scece ad Techology - B ( Theoretcal Sceces 5 olara yazılır. Eğer ısıtı, K, ( K u φ u ola stadart ormal değşe değer olara alıırsa (.3 u b E d φ Var d φ ( Ku bçmde fade edlr. (.4 eştszlğ, sadece b E d Var d K u olduğu durumda sağlaır, veya u,,..., m (.4 E d + K Var d b,..., m (.5 şelde de yazılablr. (.5 eştszlğde d rasgele değşe değer yere oulara, T E a x + Ku X V X b,,..., m (.6 eştszlğ elde edlr. (.6 ısıtı, oral olasılısal doğrusal ısıtlara de, determst doğrusal olmaya ısıtlardır. Bu durumda, olasılısal programlama problem çözümü, max(m z ( x T E a x + K X V X b,..., m u x 0,..., c x bçmde oluşturula determst doğrusal olmaya programlama problem çözümü le elde edlr. Eğer tüm ormal dağılımlı a rasgele değşeler bağımsız se ovaryas termler heps sıfır olacatır ve (.6 le verle ısıtlar, E a x + K Var a x b,,..., m u bçme döüşecetr (Hulsurar vd., 997. Durum : Yalız b atsayıları rasgele değşe se; b, E ( b ortalamalı ve Var b varyaslı ormal dağılıma sahp rasgele değşeler olsu. Bu durumda (. modelde verle şas ısıtı
6 Aadolu Üverstes Blm ve Teolo Dergs - B ( Teor Blmler b E b P Var b ax Eb Var b bçmde yazılır. Burada p u ve stadart ormal rasgele değşedr. Bu durumda (.7 le verle eştszl p,,..., m (.7 ( b E( b Var ( b b E b P Var b ax Eb Var b p (.8 bçme döüşür. Eğer, (.8 le verle ısıtlar, K, ( K p φ p ola stadart ormal değşe değer olara alıırsa p φ ax Eb Var b φ ( K p bçmde fade edlr. (.9 eştszlğ sadece (.9 ax Eb Var b K p,,..., m olduğu durumda sağlaır ya da, ax Eb ( + Kp Varb,,..., m şelde de yazılablr. Böylece olasılısal doğrusal programlama probleme de ola determst doğrusal programlama problem, max(m z ( x ax Eb + K Varb,,..., m p x 0,..., c x bçmde fade edlr (Hulsurar vd., 997.
Aadolu Uversty Joural of Scece ad Techology - B ( Theoretcal Sceces 7 Durum 3: Yalız c atsayıları rasgele değşe se, z x, amaç fosyou da or- c atsayıları ormal dağılıma sahp rasgele değşeler olduğuda mal dağılıma sahp olacatır. z ( x ortalaması, ( ( x, E z E c x olacatır. Böylece E-modele ( belee değer modele sahp determst amaç fosyou ( ( x, max(m E z E c x bçme döüşecetr (Taha, 997. Durum 4: a ve b atsayılarıı her s de rasgele değşe se; h ax b şelde taımlaa br rasgele değşe olma üzere, (. modelde verle şas ısıtları [ ] Ph 0 u,,..., m (.0 bçmde yazılablr. h ormal dağılıma sahp rasgele değşeler doğrusal ombasyou olara verldğde ormal dağılıma sahp olacatır. Böylece (.0 le verle ısıt, h E h E h P Var h Var h şelde yazılacatır. Burada u,,..., m (. h E h Var h stadart ormal dağılıma sahp rasgele değşelerdr. Böylece K, ( K u φ u ola stadart ormal değşe değer olara alıırsa (. ısıtı, u ( E h φ φ( Ku,,..., m (. Var h bçmde fade edlr. (. eştszlğ sadece, ( E h Var h K,,..., m u olduğu durumda sağlaır veya
8 Aadolu Üverstes Blm ve Teolo Dergs - B ( Teor Blmler 0 E h + K Var h,,..., m u şelde de yazılablr. Bu durumda olasılısal doğrusal programlama probleme de ola doğrusal olmaya determst programlama problem, h rasgele değşeler de yere yazılmasıyla z( x max m E a x b + Ku Var a 0,,..., x b m x 0,..., c x bçme döüşür (Taha, 997. Durum, ve 4 de açıladığı gb, atsayıları ormal dağılıma sahp rasgele değşeler ola şas ısıtlı modellerde, bu atsayılara at belee değer ve varyaslar blyorsa stadartlaştırma şlem uygulaara, stadart ormal dağılım tablolarıda yararlaılmıştır. Durum 3 de se, amaç fosyou atsayıları rasgele değşe se, atsayıları belee değerler alıara, amaç fosyou determst hale döüştürülmüştür. Bu esmde görüldüğü gb, ormal dağılım varsayımı altıda hesaplama şlemler olduça olay ve zahmetszdr.. Katsayıları K Kare Dağılımıa Sahp Rasgele Değşeler Ola Şas Kısıtlı Modeller Katsayıları are dağılımıa sahp ola şas ısıtlı modeller determst eştller buluuşu armaşı şlemler geretrdğde lteratürde pe sı rastlamaz. Şas ısıtlı modeller farlı dağılımlara da sahp olableceğ düşücesyle dört durum ç are dağılımlı modellerde celemştr. Durum : b atsayıları rasgele değşe se; ' a, A atsayılar matrs c satır vetörü ve u, 0 le arasıda sabt olma üzere, b rasgele değşe b elemaları s parametres le bağımsız merezsel -are değşeler olsu. Bu durumda model (. le verle şas ısıtları, ' ( P ax b u,..., m (.3 bçmde yazılablr. (.3 le verle şas ısıtıı determst eştlğ ' ax F u,..., m x 0 (.4 değer le s serbestl derecel -are dağılım fos- term -are tablosuda rahatlıla buluablr. bçmde yazılır. Burada F ( w, w u youu tersdr. (.4 eştszlğde F ( u (Segupta, 97. Durum : a atsayıları bağımsız merezsel -are değşeler se; ' a, A matrs ıcı satırıı gösterme üzere,
Aadolu Uversty Joural of Scece ad Techology - B ( Theoretcal Sceces 9 d a x,,..., m ' eştlğ taımlası. Her br a atsayısıı -are dağıldığı varsayılırsa, a rasgele değşeler, ormal dağılımlı rasgele değşeler ares olara yazılablr. Bu durumda, ; 0,,...,,,..., ξ τ τ x m bçmde taımlaablr. Burada solu ortalama ve varyasla ormal dağıla rasgele değşelerdr ve a, dağılımıa sahptr. Eğer τ ler stoast olmaya arar değşeler se ve ler bağımsız olduğu varsayılırsa, ξ, ξ,..., ξ ler m E ( ξ ( ξ,,..., V E m olma üzere solu belee değer ve varyasla bağımsız ormal rasgele değşeler olduğu görülür. Bu durumda ξ (.5 d V q + m bçmde yazılır. Burada ortalama ve q m m, q V ( ξ m V eştller le verlr ve ξ rasgele değşe ortalaması m ve varyası V ola ormal dağılıma, q rasgele değşe stadart ormal dağılıma sahptr. Böylece (.5 le verle d ı araterst fosyou Φ ( t, tξ tv q + m Φ t E( e E( e ( ( q tv q + m e e dq π şlem çözümü soucuda ( tvm Φ t tv exp (.6 tv
0 Aadolu Üverstes Blm ve Teolo Dergs - B ( Teor Blmler elde edlmetedr (Segupta, 970. (.6 merezsel olmaya -are araterst fosyoudur. (.6 araterst fosyou yardımıyla ortalama, ( V + Vm ve varyas, ( V + V m olara elde edlr. Burada, m ( E( ( x V (, V x E E x τ bçmdedr. Merezsel olmama parametres λ Vm dr (Segupta, 97. Buula brlte eğer herhag br y rasgele değşe, h serbestl dereces le merezsel -are dağılımıa sahpse buu olasılı yoğulu fosyou, f ( y e y h h Γ y ( h bçmde gösterlr. y ler ( h ( E ( E ler a olara alıırsa ve d l χ h olacatır. Burada l a x a x a ler ( a ve χ le gösterls. χ le gösterlrse, ax h ax bçmde taımlamıştır (Pata, 949. Böylece şas ısıtlı problem, ( P l χ h b u,..., m a rasgele değşeler ortalamaları ya
Aadolu Uversty Joural of Scece ad Techology - B ( Theoretcal Sceces fades yardımıyla hesaplaablr. Burada şlemler olaylaştırma amacıyla h celğ ç alteratf yalaşım ullaılır. Bu yalaşım ç, ax ax eştlğ taımlaır. Buula brlte a x ax D a a yazılablr. Bu durumda, D stele br sabt olma üzere D alımasıyla, ya h ı e üst sıırıı seçlmesyle, ax χ a ax fades buluur ve d rasgele değşe yalaşı olara dağılımı elde edleblr. Böylece şas ısıtları b ax P χ a u; b 0 > a x bçme döüşür. Alteratf olara (.7 (.7 F b a x a x u yazılablr.,,..., m u lar öcede belrlemş toleras ölçümlerdr. Burada F N a ola merezsel -are dağılım fosyoudur ve w ( N N N t 0 F w Γ t exp dt w serbestl dereces le gösterlr. Seçle serbestl derecese göre w değerler merezsel -are tablosuda rahatlıla buluur ya da doğruda
Aadolu Üverstes Blm ve Teolo Dergs - B ( Teor Blmler b w a x ax eştlğ elde edlr. Böylece şas ısıtlı eştl, b a x q a x 0 bçme döüşecetr. Burada q wo olara alıır. Bu durumda eşdeğer determst model dışbüey programlama problem olma üzere, m z cx 0; o b a x q a x q w x 0,..., m,,..., bçmde modeller ( Segupta, 970. Durum 3: a ve b orta bağımsız merezsel -are değşeler se; ( P Ax b u şas ısıtı ele alısı. İl olara, Q d b a x b,,..., m (.8 değşe taımlası. Bu durumda şas ısıtlı eştl P Q u,,..., m bçmde yazılablr. Durum de açılamalara göre (.8 paydası merezsel olmaya -are dağılımıa sahptr. Ayı zamada b ler, b ortalamasıa sahp merezsel -are değşeler olara alıdığıda (.8 le verle ora merezsel olmaya F dağılımıa sahp olacatır. Merezsel olmaya F dağılımıı olasılı yoğulu fosyou, v exp + L L v v v ( f x g x 0 B! +, v eştlğ le gösterlr. Burada, ;
Aadolu Uversty Joural of Scece ad Techology - B ( Theoretcal Sceces 3 g x v + vx x + v ( v+ v olara alımıştır. Dğer otasyolar, B( m, : Stadart beta fosyouu v, L v : Payı serbestl dereces ve payı merezsel olmama parametres (merezsel olmaya -are parametres : Paydaı serbestl dereces gösterme üzere (.8 fades dağılımı, χ ( b b l h a χ ax χ ( h ax χ ( b b a oraıı dağılımıa eşttr. Bu durumda, r a x a b a x ve serbestl dereceler M a ; M b (.9 olma üzere Q d oraı (, b M ve M serbestl derecel merezsel F dağılımıdır. Şas ısıtları, ( P F M, M r u, r > 0 ya da alteratf olara, G ( r rf M M dağılımı le buluur. (, F M M, u,,..., m (.0 w, (.9 da verle serbestl dereceler le merezsel F değşe brml dağılım fosyoudur. Böylece verle u ve serbestl dereceler ç poztf sabt l değer tabloda buluablr. Şöyle, bçmde yazılır. Burada G l r 0 değer (.0 eştszlğ sağlar. Böylece eşdeğer determst model, max z cx
4 Aadolu Üverstes Blm ve Teolo Dergs - B ( Teor Blmler b ax l ax a 0 0,...,,,..., x m bçme döüşür (Segupta 97. Durum 4: a, b ve c atsayıları -are dağılımıa sahp rasgele değşeler se, Durum 3 le verle modelde, a, b atsayıları brlte rasgele değşe olduğu durum celemşt ve de determst ısıt elde edlmşt. O halde Durum 4 de amaç fosyouu rasgelelğ celeme yeterldr. Amaç fosyou, z ' ve alt lmt f ç ele alımıştır. Burada, ' ( cx P z f v cx c x e büyülemes her verle olasılı ölçüsü v (0< v < olasılığı, c fyat vetörüü rasgele olduğu durumda z amaç fosyouu belee değer e büyülemes temsl eder. Br e büyüleme problem ç eğer toplam ar z, e azıda z 0 a eşt veya z 0 da büyüse ya, P z z u 0 u (. 0 0, 0 eştlğ e büyülemes se, seçlmş u 0 olasılığı le arar verc stedğ e büyülemey sağlar. (. durumu ele alısı. u ler öcede atası ve c elemaları (c fyat vetörüü elemaları ortalaması c le orta bağımsız dağıla -are değşeler olsu ve ( c R x χ c ; c : c belee değerdr. oraıı dağılımı Durum dee bezer olara, χ le gösterls. Böylece, R lχ ( h, burada cx l, h c cx bçmde taımlamasıyla ortaya çıar. Bu durumda determst amaç fosyou, 0 0 max z w c x c x probleme drger. Burada, ( w F u 0 0
Aadolu Uversty Joural of Scece ad Techology - B ( Theoretcal Sceces 5 olma üzere poztf sabttr ve F( v, c ortalamalı merezsel -are değşe dağılım fo- syoudur (Segupta, 970. Durum de, b atsayılarıı rasgele değşe olması durumuda, rasgele değşe dağılım fosyouu ters alıablyorsa, şas ısıtı (.4 eştszlğde gb determst hale getrlr. K are dağılımıı tablolaşmış değerler olduğuda ble serbestl dereces ullaılara determst ısıt rahatlıla elde edleblr. Durum de, a atsayıları bağımsız -are değşeler se, ormal dağıla rasgele değşeler areler toplamıı are dağılımıa sahp olması özellğ ullaılmıştır. Karar değşeler le çarpım halde bulua teolo atsayılarıa at dağılımı merezsel olmaya are dağılımıa uyduğu gözlemştr. Merezsel olmaya are dağılımıı merezsel are dağılımıa döüştüre br yalaşım ullaılara are tablosuu ullaılmasıyla şas ısıtı determst hale döüştürülmüştür. Durum 3 de, a ve b orta bağımsız merezsel are değşeler se, paydası merezsel olmaya, payı merezsel areye at oraı dağılımı merezsel olmaya F dağılımıa sahp olacatır. Merezsel F dağılımıa döüştürme şlem ve ble serbestl dereceler ullaılara F tablosu yardımıyla determst ısıt buluur. Durum 4 de amaç fosyouu rasgelelğ celemştr. Durum le verle yötem zleere determst eştl bulumuştur. 3. SAYISAL ÖRNEK Kesm. ve. le verle atsayıları ormal veya are dağılımıa sahp olması durumuda, determst modeller ayrı ayrı oluşturulması ve model çözümlerde elde edle souçları arşılaştırılması amacıyla üç değşede ve üç stoast ısıtta oluşa farlı şas ısıtlı stoast programlama problem; max z c x + c x + c x 3 3 ( ax a x a3 x3 ( ax ax a3x3 ( a x a x a x P + + 8 0.95 P + + 6 0.90 P + + 5 0.80 3 3 33 3 x 0,,,3 (3. ve max z c x + c x + c x 3 3 ( x x x3 b ( x x x3 b ( x x x b P5 + + 6 0.0 P 3 + + 7 0.05 P 6 + + 5 0.0 3 3 x 0,,,3 (3. bçmde verls. (3. modelde amaç fosyouda c,,,3 atsayıları, ısıtlarda a,,,3,,3 atsayıları ve (3. modelde amaç fosyouda c,,,3 atsayıları, ısıtlarda b,,,3 atsayıları l olara ormal, c olara are dağıla rasgele değşeler olara ele alısı. Her dağılıma da sahp olmaları durumuda (3. ve (3. modellerde, a, b ve c rasgele değşelere lş belee değerler ve varyaslar, rasgele türetlere Tablo le suulmuştur.
6 Tablo. Katsayıları Belee Değerler ve Varyasları Aadolu Üverstes Blm ve Teolo Dergs - B ( Teor Blmler a a a 3 b c Katsayılar a a a3 a a a3 a3 a3 a33 b b b3 c c c3 Belee Değer 3 3 4 3 4 7 6 5 5 6 3 Varyas 4 9 5 3 7 6 8 9 4 6 8 7 6 İl olara, a ve c rasgele değşeler ormal dağılıma sahp e (3. modele lş determst model max z 5x + 6x + 3x 3 x + x + 3x +.645 4x + x + 9x 8 3 3 3x + x + 4x +.85 5x + 3x + 7x 6 3 3 x + 3x + 4x + 0.845 6x + x + 8x 5 3 3 x 0,,,3 (3.3 b ve c rasgele değşeler ormal dağılıma sahp e (3. modele lş determst model max z 5x + 6x + 3x 3 3 3 3 5x + x + 6x 0.855 3x + x + 7x 9.9 6x + x + 5x 8.38 x 0,,,3 (3.4 bçmde buluur. Burada Kesm. de yararlaılmıştır. Amaç fosyou atsayıları rasgele değşe olduğu ç Durum3 de, a atsayıları rasgele değşe olduğu ç Durum de, b atsayılarıı rasgele değse olduğu ç Durum de verle determst modeller ullaılmıştır. c rasgele değşeler are dağılımıa sahp e (3. modele lş de- İc olara, a ve termst model max z.06(5x + 6x + 3 x /(5x + 6x + 3 x 0 3 3 6x + 8x + 4x 5.x.6x 37.8x 0 3 3 8x + x + 4x 44.x 9.4x 58.8x 0 3 3 0x + 5x + 0x 4.4x 36.6x 48.8x 0 3 3 x 0,,,3 (3.5 b ve c rasgele değşeler are dağılımıa sahp e (3. modele lş determst model
Aadolu Uversty Joural of Scece ad Techology - B ( Theoretcal Sceces 7 max z.06(5x + 6x + 3 x /(5x + 6x + 3 x 0 3 3 5x + x + 6x.0 3 3x + x + 7x.59 3 6x + x + 5x 7.89 3 x 0,,,3 (3.6 bçmde buluur. Burada Kesm. de yararlaılmıştır. Amaç fosyou atsayıları ç Durum 4 de, a atsayıları rasgele değşe olduğu ç Durum de, b atsayılarıı rasgele değse olduğu ç Durum de verle determst modeller ullaılmıştır. Amaç fosyou ç u 0 olasılığı 0.90 olara alımıştır. (3.3, (3.4, (3.5 ve (3.6 modeller LİNGO paet programı le çözülere elde edle souçlar Tablo le verlmştr. Tablo. (3.3, (3.4, (3.5 ve (3.6 modeller souçları. (3.3 Model NORMAL (3.5 Model Kİ KARE (3.4 Model NORMAL (3.6 Model Kİ KARE x 0.4984 0.000000 0.000000 0.000000 x 0.90355 0.57085 4.645000 6.95000 x 0.0000000 0.849498 0.000000 0.000000 3 max z 7.67595 9.88653 7.87 3.577 4. SONUÇ ve TARTIŞMA Prat olara bast br problemde başlagıç vers yetersz olduğuda, elde ola verler ullaılara durum çersde ararlar verme br uraldır. Karmaşı durumlarda, determst modeller yere stoast modeller seçere arar verme daha uygu olduğu görülmüştür. Başlagıç verler tam olara blmedğ ya br belrszl veya esl çerdğ durumda şas ısıtlı stoast programlama problemler ullama geremetedr. Katsayıları rasgele değşe olması, bu atsayıları brer dağılıma sahp olmasıı zorulu ılar. Şas ısıtlarıı atsayılarıı sahp olduğu dağılımı doğru olara seçlmes öeml br problem olup seçle dağılıma lş şas ısıtlarıı, determst eştller asıl elde edleceğ sorusuu beraberde getrr. Bu düşücede yola çıara ormal ve -are dağılımlı şas ısıtlı modeller determst modeller elde edlşler ayrıtılı olara her atsayı ç celemştr. Uygulama aşamasıda ele alıa şas ısıtlı model atsayılarıı ormal ve are dağılımıa sahp olmaları durumuda determst modeller bulumuştur. Bu modellere at çözümler Tablo le verlmştr. Çözüm souçlarıa göre, dağılımı değşmes le arar değşeler ve amaç fosyolarıı değerler olduça etledğ görülmüştür. Bu edele gerçe hayat problemlerde atsayıları hag dağılıma sahp olduğu doğru olara belrlemeldr. Souç olara rasgele değşe atsayılara sahp modellerde öcelle atsayılara uygu ola dağılım seçlmeldr. Ele alıa şas ısıtlı model determst eştlğ teor temellere dayadırılara bulumalıdır.
8 KAYNAKLAR Aadolu Üverstes Blm ve Teolo Dergs - B ( Teor Blmler Chares, A. ve Cooper, W.W. (959. Chace Costraed Programmg. Maagemet Scece 6, 73-79. Déa, I. (998. Lear Regresso Estmators for Multormal Dstrbutos Optmzato of Stochastc Programmg Problems. Europea Joural of Operatoal Research, 555-568. Hller, F.S. ve Leberma, G.J. (990. Itroducto to Mathematcal Programmg. Hll Publshg Compay, New Yor. Hulsurar, S., Bswal, M.P. ve Sha, S.B. (997. Fuzzy Programmg Approach to Mult-Obectve Stochastc Lear Programmg Problems. Fuzzy Sets ad Systems 88,73-8. Jaa, R.K. ve Bswal, M.P. (004. Stochastc Smulato-Based Geetc Algorıthm for Chace Costrat Programmg Problems wth Cotuous Radom Varables. Iteratoal Joural of Computer Mathematcs 8(9, 069-076. Kampas, A. ve Whte, B. (003. Probablstc Programmg for Ntrate Polluto Cotrol: Comparg Dfferet Probablstc Costrat Approxmatos. Europea Joural of Operatoal Research 47, 7-8. Kolb, V.V. (977. Stochastc Programmg. D. Redel Publshg Compay, Bosto. Pata, P.B. (949. The No-Cetral χ ad F- Dstrbutos ad Ther Applcatos. Bometra 36,0-3. Resh, M. (970. Chace Costraed Programmg of the Mache Loadg Problem wth Stochastc Proccessg Tmes. Maagemet Scece 7,48-65. Segupta, J.K. (970. A Geeralzato of Some Dstrbuto Aspects of Chace Costraed Lear Programmg. Iteratoal Ecoomc Revew, 87-304. Segupta, J.K. (97. Stochastc Programmg: Methods ad Applcatos. North-Hollad Publshg Compay, Amsterdam. Symods, G.H. (967. Determstc Solutos for A Class of Chace Costraed Programmg Problems. Operatos Research 5, 495-5. Taha, H.A. (997. Operatos Research a Itroducto. Pretce Hall, Ic. Upper Saddle Rver, NJ. Kumru Ddem ATALAY, 975, Aara doğumludur. Aara Üverstes Fe Faültes İstatst Bölümü de 998 yılıda mezu olduta sora ayı bölümde 000 yılıda yüse lsas, 007 yılıda dotora dereces aldı ve Araştırma Görevls olara çalıştı. 008 yılıda tbare Başet Üverstes Tıp Faültes Byostatst Aablm Dalı da çalışmalarıı sürdürmetedr. Ayşe APAYDIN, 956, Dezl doğumludur. Hacettepe Üverstes, Fe Faültes, İstatst Bölümü de 979 yılıda mezu olduta sora ayı bölümde 98 yılıda yüse lsas, 987 yılıda dotora dereces aldı ve Araştırma Görevls olara çalıştı. 988 yılıda Aara Üverstes Fe Faültes İstatst Bölümü de Yardımcı Doçet, 996 yılıda Doçet ve 00 yılıda Profesör oldu. Hale ayy bölümde Yöeylem Araştırması Aablm Dalı Başaı olara görev sürdürmetedr.