T.C. SELÇUK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

Transkript

1 T.C. SELÇUK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ GRAFLAR ÜZERİNDE YENİ KIRCHHOFF YAPILARININ TANITILMASI Betül ACAR YÜKSEK LİSANS TEZİ Matemat Aablm Dalı Şubat-0 KONYA Her Haı Salıdır

2

3 TEZ BİLDİRİMİ Bu tezde bütü blgler et davraış ve aadem urallar çerçevesde elde edldğ ve tez yazım urallarıa uygu olara hazırlaa bu çalışmada baa at olmaya her türlü fade ve blg ayağıa essz atıf yapıldığıı bldrrm. DECLARATION PAGE I hereby declare that all formato ths documet has bee obtaed ad preseted accordace wth academc rules ad ethcal coduct. I also declare that, as requred by these rules ad coduct, I have fully cted ad refereced all materal ad results that are ot orgal to ths wor. Betül ACAR Tarh:.0.0

4 ÖZET YÜKSEK LİSANS TEZİ GRAFLAR ÜZERİNDE YENİ KIRCHHOFF YAPILARININ TANITILMASI Betül ACAR Selçu Üverstes Fe Blmler Esttüsü Matemat Aablm Dalı Daışma: Doç. Dr. A. Dle MADEN (GÜNGÖR) 0, 50 Sayfa Jür Doç. Dr. A. Dle MADEN (GÜNGÖR) Prof. Dr. Ahmet Sa ÇEVİK Prof. Dr. İsmal Nac CANGÜL Bu çalışmada bast bağlatılı br graf ç lteratüre l defa grece ola Krchhoff matrs, ye br Krchhoff des, Krchhoff eerj ve Krchhoff Estrada des avramları taımlamış ve bulara bağlı olara çeştl alt ve üst sıır değerler elde edlmştr. Bu sıırları öreler üzerde uygulaması Çzelge 3.., Çzelge 3.. ve Çzelge 3..3 de suulmuş ve bazı souçlar elde edlmştr. Aahtar Kelmeler: Krchhoff matrs, Krchhoff des, ye br Krchhoff des, Krchhoff eerj, Krchhoff Estrada des v

5 ABSTRACT MSC THESIS INTRODUCING THE NEW KIRCHHOFF STRUCTURES OVER GRAPHS Betül ACAR THE GRADUATE SCHOOL OF NATURAL AND APPLIED SCIENCE OF SELÇUK UNIVERSITY THE DEGREE OF MASTER OF SCIENCE DEPARTMENT OF MATHEMATICS Advsor: Assoc. Prof. A. Dle MADEN (GÜNGÖR) 0, 50 Pages Jury Assoc. Prof. A. Dle MADEN (GÜNGÖR) Prof. Dr. Ahmet Sa ÇEVİK Prof. Dr. İsmal Nac CANGÜL I ths thess t has bee frstly defed ad studed Krchhoff matrx, a ew Krchhoff dex, Krchhoff eergy ad Krchhoff Estrada dex for a smple coected graph. Moreover t has bee also vestgated ad so obtaed some ew boud values deped o these ew parameters. The geometrc cofgurato of these bouds are preseted the Fgures 3.., 3.. ad 3..3 as examples, ad the some results dd obta related to them. Keywords: Krchhoff matrx, Krchhoff dex, a ew Krchhoff dex, Krchhoff eergy, Krchhoff Estrada dex v

6 ÖNSÖZ Bu çalışma Selçu Üverstes Fe Faültes Matemat Bölümü Öğretm Üyes, Doç. Dr. A. Dle MADEN (GÜNGÖR) yöetmde yapılara, Selçu Üverstes Fe Blmler Esttüsü e Yüse Lsas tez olara suulmuştur. Bu çalışma 4 bölümde oluşmatadır. Brc bölümde ouları öemde bahsedlmş, graf taımları, özdeğerler ve uygulamaları le çalışmada gerel ola bazı taımlara yer verlmştr. İc bölümde aa teoremler verlmş olup bast bağlatılı br grafı Krchhoff matrs, ye br Krchhoff des, Krchhoff eerjs ve Krchhoff Estrada des taımlamış ve bu parametreler ç sıırlar elde edlmştr. Üçücü bölümde bu parametrelere bağlı öreler gösterlmş, so olara dördücü bölümde souç ve öerlere yer verlmştr. Çalışma boyuca her türlü desteğ göstere ve tüm olaylığı sağlaya daışma hocam sayı Doç. Dr. A. Dle MADEN (GÜNGÖR) e ve yardımlarıı esrgemeye sayı hocam Prof. Dr. A. Sa ÇEVİK e, ayrıca destelerde dolayı caım aem Hatce ACAR a teşeürlerm suarım. Betül ACAR KONYA-0 v

7 İÇİNDEKİLER ÖZET... v ABSTRACT...v ÖNSÖZ... v İÇİNDEKİLER... v SİMGELER... v. GİRİŞ..... Graf Teor Ve Uygulama Alaları..... Taımlar Ve Parametreler Graf taımı Br grafta yürüme ve yol Br grafta bağlatılılı Tam, parçalı, düzel ve ağırlılı graflar Grafta ullaıla bazı matrsler ve Krchhoff des Br grafı eerjs ve Estrada des Bazı leer cebr taımları Arta ve azala fosyo Bazı reel sayı eştszller Kaya Araştırması...6. GRAFLAR ÜZERİNDE YENİ KIRCHHOFF YAPILARININ TANITILMASI Br Grafı Krchhoff Matrs ve Ye Br Krchhoff İdes Br Grafı Krchhoff Eerjs Br Grafı Krchhoff Estrada İdes ARAŞTIRMA SONUÇLARI VE TARTIŞMA SONUÇLAR VE ÖNERİLER Souçlar Öerler...47 KAYNAKLAR...48 ÖZGEÇMİŞ...49 v

8 SİMGELER Reel Sayılar a j a j bleşel br A matrs A A T A E A A matrs determatı A matrs ters A matrs traspozu A matrs adjot M tpde matrsler ümes G V G V G E G v v j Herhag br graf G grafıı ota ümes V G ümes elema sayısı G grafıı ear ümes v ve v j otalarıa at ear d v v otasıı dereces G V G grafıı c bleşe K N otalı tam graf Boş graf (Kear çermeye graf) w j vv j earıı ağırlığı A G G grafıı omşulu matrs AG c özdeğer D G L G R G grafıı ota dereceler öşege matrs G grafıı Laplaca matrs L G c özdeğer G grafıı dreç mesafes matrs r j vv j earıa at dreç mesafes Kf G G grafıı ble Krchhoff des v

9 Kf G G grafı üzerde ye Krchhoff des A Kf G G grafı üzerde ye Krchhoff matrs Kf Kf K Kf A A A G c özdeğer G determatıı mutla değer G elemalarıı areler toplamı KfD G Esas öşege üzerde elemaları Kf A toplamlarıda oluşa öşege matrs Kf G G grafıı Krchhoff Laplaca matrs L E G LE G EKf G EE G Kf LEE G KEE G G grafıı eerjs L G c özdeğer G grafıı Laplaca eerjs G grafıı Krchhoff eerjs G grafıı Estrada des G grafıı Laplaca Estrada des G grafıı Krchhoff Estrada des G satır x

10 . GİRİŞ.. Graf Teor ve Uygulama Alaları Graf teor ousuda ble l çalışma, 736 yılıda Euler tarafıda yazıla The Kögsberg Brdge Problem (Kögsberg öprü problem) sml maaledr. Buu zleye yıllarda graf teor ousuda çalışmalar devam etmş, 847 yılıda G. Krchhoff eletr devreler üzere çalışmalar yapmıştır. Graf teor uygulamaları moder hayatı armaşı ve geş apsamlı brço problem çözümü ç ullaılmatadır. Bu uygulamalar; eoom, yöetm blm, satış pazarlama, blg letm, taşıma plalaması gb alaları apsamatadır. Ayrıca mya, eletr mühedslğ, mmarlı gb sayısal alalarda da uygulamaları vardır. Graf teors problemler taımlama ve yapısal olara lşler belrlemete de faydalıdır. Bastçe br graf; düğüm olara adladırıla otalar ve her br bu otaları veya sadece otaı eds brleştre ve ayrıt olara da adladırıla earlar topluluğudur. Öre olara şehrler ota ve oları bağlaya yolları ear olara göstere yol hartaları verleblr. Bu earlar; apaste, güç ve uzalıları göstermde ullaılablrler ve yöledrleblrler. Graf teors problemler ço çeştl türler vardır. Mesela ülü satış temslcs problem; her br otada geçere grafı br ucuda dğer ucua e ısa yolu bulma problemdr. Küçü graflar ç bu yötem olay geleblr faat ota sayısı arttıça bu problem ço zorlaşır. Problem, sm problem baş harfler brleşmde alır. Faat ço lgçtr, bu problem olduça farlı alalarda uyguladığı gözlemştr. Öreğ; Ço Büyü Ölçüde Çemberler Brleştrlmes (ÇBÖÇB) gb. Br dğer problem se bağlatılılı problemdr. Bu problem de; herhag br otada başa br otaya graf boyuca yürümes esasıda aç tae ear slebleceğe dayaır. Smetr graf teorde leer cebr ullaım alaları olduça yaygıdır. Sadece smetr graf teorde değl, graf teor dğer ısımlarıda da leer cebr bu ullaımı yaygıdır. Graf teor e öeml alt dallarıda br spetral graf teordr. Spetral graf teor, blgsayar blmler, mya ve odlama teors gb brço alada uygulaablr olması açısıda ayrı (dsrete) matematğ öeml br parçasıdır. Bu alada grafı bazı matrsler özdeğerler ve özvetörler üzere çalışılır. Bu çalışmada e öeml amaç,

11 grafı matrslerde elde edle spetral blgler sayesde grafı bell başlı özelller haıda blg edmetr. Br grafı eerjs ve Estrada des parametreler grafı özdeğerler htva ettğde bu oular spetral graf teor alaıa grmetedr. Bu parametreler myada ço öeml br yere sahptr. Şmd br grafta eerj avramıı çıış otasıı verp öemde bahsedelm. G grafı, otalı ve özdeğerler,,..., ola br graf olsu. Bu tatrde G eerjs E G şelde 978 yılıda Iva Gutma tarafıda ortaya atılmış ve teor myada souçlarda eslelere graf teorye azadırılmıştır. Iva Gutma tarafıda 978 yılıda br grafı eerjs ortaya atıldıta sora 998 yılıa adar grafı eerjs üzere hçbr çalışma yapılmamış daha sora bu durum değşmş ve 00 yılı ve sorasıda grafı eerjs üzere 50 de fazla çalışma yapılmıştır. Daha sora grafı eerjs taımıa bezer taımlar ortaya çımıştır. Bularda başlıcaları; grafı Laplaca eerjs, uzalı eerjs, Radc eerjs ve Harary eerjsdr. Şmd br grafta Estrada des avramıı verp uygulama alaıda bahsedelm. G grafı, otalı ve özdeğerler,,..., ola br graf olma üzere G Estrada des EE G şelde E. Estrada tarafıda 000 yılıda orga moleüller 3D yapılarıı belrl özelller temsl edeble ye br yapı taımlayıcı olara verlmştr. Özellle de proteler ve dğer uzu zcrl byopolmerler bağ dereceler araterzasyouda ullaılmıştır. Ayrıca Estrada des byomya ve omples etwor teorde de uygulamalarıı olduğu blmetedr. Br grafı Estrada des yaıda Laplaca Estrada des de taımlamış ve buu üzere çalışmalar yapılmıştır. Br grafı dreç mesafes matrs se l olara Kle ve Radc tarafıda 993 yılıda ye br uzalı fosyou olara taımlamış ve dreç mesafes olara smledrlmştr. Çüü bu term fzte ullaılmatadır. G grafı otalı bağlatılı e

12 3 br graf olsu. Br eletr şebees G grafı olara düşüülüp brm dreçler her br G grafıı otaları olara fade edlrse, v ve v j otaları arasıda dreç mesafes r j le gösterlr. Dreç mesafes, ağlarla eşleştrlmş br grafa at Laplaca matrs ve ormalze Laplaca matrs özdeğer ve özvetörler le bağlatısı vardır. Aşağıda verle avram ve taımlar ç as belrtlmedçe ayağımız, Aldous ve ar., (000) dır. Şmd bu çalışmada yararlaılaca bazı temel avramları öreler le brlte verere, buları teoremler eşlğde uvvetledrelm... Taımlar ve Parametreler... Graf taımı Br graf ; V boşta farlı br üme ve E, her elemaı V elemalarıı oluşturduğu sıralı olmaya llerde oluşa br üme olma üzere V ve E ümelerde meydaa gelr ve G V, E bçmde gösterlr. V elemalarıa otalar, E elemalarıa earlar der. Aşağıda Şel.. le verle 6 otalı 5 earlı grafı göz öüe alırsa, Şel.. bu grafı ota ümes ve ear ümes sırasıyla a, b, c, d, e, f ve E G ab, ac, bc, bd, ef V G bçmde fade edlr. Br grafta ayı ota çft brleştre ya da daha fazla eara çolu ear, br otayı edsyle brleştre eara lme, çolu ear ve lmeğ olmaya grafa se bast graf der. Ayrıca çolu ear ve lmelere sahp bast grafa çolu graf (multgraph) der.

13 4 Aşağıda Şel.. le gösterle graf, çolu ear ve lme çere br graftır. Şel.. Br grafta herhag br v otasıı dereces o otaya omşu ola otaları sayısıdır ve d v le gösterlr. Dereces sıfır ola otaya zole ota, dereces (br) ola otaya se asılı (pedat) ota der. Buula beraber br grafta herhag otaı oluşturduğu br ear varsa bu otalara omşu otalar der ve v v j şelde gösterlr, as halde omşu değldr der ve v v j le gösterlr. Aşağıda herhag br G grafıa at otaları dereceler ve omşulularıı buluması ele alımıştır: otadır. w otası; v ve s otalarıa omşu, s otası; v, u ve w otalarıa omşu, u otası; s ve v otalarıa omşu, v otası; w, s, u ve t otalarıa omşu, t otası v otasıa omşu olup, pedat otadır. g otasıı hçbr ear bağlatısı olmadığı ç ota dereces sıfırdır ve zole Burada w ve u otaları ayı ada otaya omşu olduları ç, dereceler dr. Ayı zamada v otası dört otaya omşu olduğu ç dereces 4 ve s otası üç otaya omşu olduğu ç dereces 3 tür. So olara t otası br otaya omşu

14 5 olduğu ç dereces ve g ear bağlatısı olmadığı ç ota dereces 0 dır. Ya dr. d w, d s 3, d u, d v 4, d t, d g 0... Br grafta yürüme ve yol Br grafı ota ümeler V G a, a, a,..., a, a olsu. Grafı herhag 3 a otasıda başlayıp ardı ardıa earı dzlmesyle oluşa a a, a a, a a,..., a a 3 3 formua, G de uzuluğuda br yürüme der. Ayı otada başlaya ve bte br yürümeye G de apalı yürüme, eğer bu yürümede j ç a a şartı sağlaıyorsa j bu özel yürümeye de yol der. Başlagıç ve btş otaları harç bütü otaları farlı ola apalı br yürümeye se G grafıda br devr der. Aşağıda gb br graf verls. Bu grafta aa3aa5a 4 yazımı beş uzuluğuda br yürüme, a5a4a aa 5 apalı br yürüme, so olara aa a5a4a 3 yazımı br yol ve aa 4a 5a3a se br devrdr...3. Br grafta bağlatılılı G V, E grafıı herhag otası arasıda br yol varsa, bu otalara bağlatılı otalar, br grafı her ota çft arasıda br yol varsa bu grafa bağlatılı graf der. Br artezye çarpım ümes ola

15 6 u, vv ; u v, u le v bağlatılı otalardır. ümes taımlayalım. Bu üme V üzerde br bağıtı taımlar. Ayrıca, olayca gösterleblr, ümes ye V üzerde br del bağıtısıdır. V del sııfları, V, V,..., V r olma üzere, G V, G V,..., G V r graflarıa G bleşeler der. Yuarıda zcrde r olması özel olara grafı bağlatılı olduğuu söyler. As tadrde G grafı, r bleşee sahp bağlatısız br graftır. Aşağıda G grafı bağlatılı, G grafı, G V, G V, G V 3 bleşeler le bağlatısız br graftır. alt..4. Tam, parçalı, düzel ve ağırlılı graflar graf Farlı her br ota çft omşu ola G grafıa tam graf der. otalı br tam K le gösterlr. Aşağıda tam graf öreler verlmştr. Br G grafıı herbr otası ayı dereceye sahpse bu grafa düzel (regüler) graf der. Eğer düzell dereces r se r-düzel graf (r-regüler graf) olara adladırılır. Aşağıda bazı düzel graf öreler verlmştr.

16 7 Nota ümes X ve Y gb alt ümeye ayrılmış ola ve earları da X de br otayla Y de br otaı brleştrlmesyle elde edle G grafıa parçalı graf ve X, Y lse de G parçaları der. İ parçalı br G grafı ç, E ear ümes olma üzere, G X, Y : E gösterm ullaılır. Ayrıca X p ve Y q olaca şelde parçalı tam graf, ısaca K le gösterlr. Özel olara K grafıa p, q,q se star grafı adı verlr. Aşağıda parçalı graf, parçalı tam graf ve star grafı öreler verlmştr. İ parçalı graf K 3, grafı K,3 star grafı Br grafı her br vv j earı, egatf olmaya reel sayı le şaretl se, bu grafa ağırlılı graf der. Verle bu vv j earıa at ağırlı özel olara Aşağıda graf earları sayılarla fade edle ağırlılı br graftır. w j le gösterlr.

17 8..5. Grafta ullaıla bazı matrsler ve Krchhoff des Şmd graf teorde sılıla ullaıla bast br grafı omşulu, Laplaca, dreç mesafes matrsler taımlarıı verelm. G grafı, ota ümes V G v v v omşulu matrs,,..., ola br graf olsu. G A G, v v j, aj 0, as tadrde. (..) şelde taımlaa smetr matrstr. Öre... Aşağıda Şel..5 de graf verls. Şel..5 matrs; A G omşulu matrs olma üzere Şel..5 le verle grafı omşulu A G olur. G grafı, otalı br graf olma üzere, bu grafı ota dereceler (ya (..) le verle AG omşulu matrs her br satır değer toplamıı) öşege matrs,,..., D G dag d v d v d v

18 9 le gösterlr. Şel..5 grafıı ota dereceler d v 3, d v 4, d v, d v 3, d v olup, ota dereceler öşege matrs dr. D G Tüm bularda sora, AG ve D G matrsler yardımıyla, verle br G grafıı Laplaca matrs L G DG AG olaca şelde ye smetr br matrs olara taımlaır. Ayı zamada bu L G matrs d v, v v j se, L G, v v j se, j (..) 0, dğer durumlarda. şelde de fade edlebleceğ açıtır. (..) de taımı date alara, ear ağırlığı wj ola bast bağlatılı ve ağırlılı br G grafı ç Laplaca matrs poztf sayısı bçmde yazılır. d w, v v j se, L G wj, v v j se, j 0, dğer durumlarda. Şel..5 le verle grafı terar göz öüe alırsa, bu grafı Laplaca matrs

19 L G DG AG (..3) olara elde edlr. Aşağıda vereceğmz dreç mesafes matrs ve Krchhoff des, Kle ve Radc tarafıda 993 yılıda taımlamıştır. G grafı, ota ümes V G v v v,,..., ola bağlatılı br graf olsu. Verle br X matrs; J tüm elemaları e eşt ola tpde br matrs ve olma üzere X x L J j şelde hesaplaa ters çevrleblr br are matrs se bu şelde hesap edle X matrs elemalarıda oluşa matrse dreç mesafes matrs der ve G herhag v ve v j elemaları arasıda dreç mesafes r j le gösterlr. Dreç mesafes elemaları ola r j ler r x x x (..4) j jj j şelde hesaplaır. G dreç mesafes matrs, br matrstr. R r olaca şelde smetr G grafıı, dreç mesafes elemalarıda oluşa ve uzalı fosyoua alteratf olara taıtıla dese Krchhoff des der ve G grafıı Krchhoff des ( r j ler dreç mesafes olma üzere) bçmde taımlaır. Kf G r r j j j < j Dreç mesafes matrs ve Krchhoff des Şel..5 le verle graf üzerde hesaplarsa; (..3) de verle L G matrs yardımıyla X matrs j

20 X x L J 4 4 j olara buluur ve X x matrs elemaları le elde edle r j ler, (..4) le j verle eştl yardımıyla hesap edlrse, dreç mesafes matrs R r j olara elde edlr ve Şel..5 le verle grafı Krchhoff des de r 8.5 Kf G < j j olur. Şmd çalışmamızda ullaacağımız bazı graf parametreler taıtalım...6. Br grafı eerjs ve Estrada des G grafı, omşulu matrs AG ola br graf olsu. Bu tatrde AG özdeğerlere G grafıı özdeğerler der. G grafı, otalı ve özdeğerler,,..., ola br graf se

21 E G fadese G grafıı eerjs der (Gutma, 978). G grafı, otalı ve özdeğerler,,..., ola br graf olma üzere EE G fadese G grafıı Estrada des der. Ayrıca olma üzere, x e serye açılımıda eştlğ yazılablr (E. Estrada, 000). e M M G EE G M 0! Öre.... Aşağıda Şel..6 da -düzel G grafıı göz öüe alalım. Şel..6 Bu grafı omşulu matrs olup, özdeğerler A G , 0 ve 3 4

22 3 dr. Ayrıca bu grafı eerjs E G 4 4 ve Estrada des EE G 4 e olara elde edlr. G grafı, Laplaca matrs L G ola br graf olsu. Bu tatrde L G özdeğerlere G grafıı Laplaca özdeğerler der. G grafı, otalı ve m earlı br graf ve G Laplaca özdeğerler,,..., olma üzere LE G fadese G grafıı Laplaca eerjs der. üzere m G grafı, otalı br graf ve G Laplaca özdeğerler,,..., olma LEE G e fadese G grafıı Laplaca Estrada des der. matrs Şel..6 da -düzel G grafıı göz öüe alırsa, bu grafı Laplaca ve Laplaca özdeğerler L G , ve dr. Ayrıca bu grafı ota sayısı ve ear sayısı 4 ve m 4 olma üzere, Laplaca eerjs ve Laplaca Estrada des sırasıyla

23 4 ve LE G 4 LEE G e olara hesaplaır...7. Bazı leer cebr taımları Taım..7.. (Bozurt ve ar., 003) A : T farlı br vetör olma üzere Ax x T leer döüşümü ve x T sıfırda eştlğ sağlaya br sayısıa A döüşümüü özdeğer, x vetörüe de özdeğere arşılı gele özvetörü der. Özdeğer ve özvetörler ç aşağıda özelller vardır. a A matrs tel se, e az br özdeğer sıfırdır. A tel değl se tüm özdeğerler sıfırda farlıdır. b Brm matrs bütü özdeğerler dr. c A öşege br matrs se, özdeğerler bu matrs öşege elemalarıdır. d A smetr br matrs se, tüm özdeğerler reeldr. e A Hermtye br matrs se, tüm özdeğerler reeldr. f A matrs özdeğerler, A ı özdeğerler terse eşttr. g Reel smetr br matrs tüm özvetörler arşılılı ortogoaldr. h A ve A T matrsler özdeğerler ayıdır. Br matrs özdeğerler toplamı o matrs öşege elemaları toplamıa (ze) eşttr. j Eğer br A matrs özdeğere arşılı gele özvetör v se, c br sabt olma üzere cv de A matrs özvetörüdür.

24 5 A a bçmde are matrsler, çarpmaya göre ters j A şelde gösterlr. Determatı sıfırda farlı matrsler ters vardır. A are matrs ters A. E A A 0 A le hesaplaır. ( E A fades, A matrs adjot (e matrs) göstermetedr). Teorem..7.. (Zhag F., 999) (Schur Teorem) Bu durumda A a tpde br matrs ve A matrs özdeğerler de,,..., olsu. j a j j olur...8. Arta ve azala fosyo A solu veya sosuz br aralı olma üzere f : A fosyou verls. Her x, x A ve x x ç f x f x se f x fosyoua A üzerde mooto arta fosyo f x f x se es arta fosyo der. Bezer şelde, eğer her x, x f x f x A ve x x ç se f x fosyoua A üzerde mooto azala fosyo f x f x se es azala fosyo der.

25 6 Br aralığı tüm x otalarıda f x 0 arta, f x 0 f se fosyo bu aralıta mooto se es arta fosyodur. Eğer br aralığı tüm x otalarıda x 0 se fosyo bu aralıta mooto azala, f x 0 fosyodur (Hor ve ar., 985). se es azala..9. Bazı reel sayı eştszller Aşağıda çalışmada ullaacağımız reel sayı eştszller verlmştr. Teorem..9.. (Marshall ve ar., 979) (Artmet-Geometr Ortalama Eştszlğ) Negatf olmaya tae a, a,..., a reel sayıları ç a a... a a a... a eştszlğ sağlaır. Aca taımlaa bu eştszlğ eştl olablmes ç gere ve yeter şart a a... a olmasıdır. Teorem..9.. (Cauchy-Schwartz Eştszlğ) a, a,..., a ve b, b,..., b ler her br reel sayı olma üzere ab a b eştszlğ sağlaır. Eştszlğ eştl olması ç gere ve yeter şart her br ç a rb olaca şelde br r olmasıdır..3. Kaya Araştırması I. Gutma ve B. Zhou (006) çalışmalarıda, otalı, m earlı br G grafıı Laplaca eerjs taımlamışlar daha sora bu grafı eerjs ve Laplaca eerjs arasıda bazı öeml farlar üzerde durmuşlardır. H. Che ve F. Zhag (007) çalışmalarıda, br G grafıı ormalze Laplaca matrs özdeğerler ve özvetörler le fade edlebleceğ göstermş, ormalze

26 7 Laplaca matrs özdeğerler le yaıda lgl ola ye br des taımlamışlardır. So olara ble Krchhoff des le ye des arasıda br lş bulmuşlardır. J. A. De La Pea ve aradaşları (007) çalışmalarıda, otalı, m earlı br G grafıı Estrada des ç ota sayısıı ve ear sayısıı çere br alt ve br üst sıır elde etmşlerdr. Ayrıca Estrada des ç grafı eerjs de çere bazı üst sıırlar vermşlerdr. H. S. Ramae ve aradaşları (008) çalışmalarıda, otalı br G grafıı uzalı eerjs ç br alt ve br üst sıır elde etmşlerdr. I. Gutma (008) çalışmasıda, otalı, m earlı br G grafıı Estrada des ç ota sayısıı ve ear sayısıı htva ede bazı alt sıırlar elde etmştr. A. Dle Gügör ve Ş. Burcu Bozurt (009) çalışmalarıda, otalı br G grafıı uzalı Estrada des ç ota sayısıı htva ede alt ve üst sıırlar elde etmşlerdr. Ayrıca uzalı Estrada des ç grafı eerjs de çere br üst sıır vermşlerdr. B. Zhou ve I. Gutma (009) çalışmalarıda, otalı, m earlı ve derece dzs d, d,..., d ola br G grafıı Laplaca-Estrada des ç ota sayısıı, ear Z G sayısıı ve grafı l Zagreb des ola d y htva ede bazı alt ve üst sıırlar elde etmşlerdr. C. Adga ve M. Smtha (009) çalışmalarıda, yöledrlmş br G grafıı ters Laplaca eerjs taımlamışlar ve ota sayısı de üçü olmaya bu G grafı ç ota sayısıı çere br alt ve br üst sıır elde etmşlerdr. C. Adga ve M. Smtha (009) çalışmalarıda, yöledrlmş bağlatılı br G grafıı ters Laplaca eerjs taımlamışlar ve ota sayısı de üçü olmaya bu G grafıı eerjs ç ota sayısıı htva ede br alt ve br üst sıır elde etmşlerdr. J. L ve aradaşları (009) çalışmalarıda, otalı, m earlı, masmum dereces ve mmum dereces ola br G grafıı Laplaca Estrada des ç ota sayısı, ear sayısı, masmum ve mmum dereceye bağlı alt ve üst sıırlar elde etmşlerdr. Ayrıca Laplaca Estrada des ç grafı Laplaca eerjs çere alt ve üst sıırlar elde etmşlerdr.

27 8 A. Dle Gügör ve A. Sa Çev (00) çalışmalarıda, br G grafıı Harary eerjs ve Harary Estrada des taıtmış ve celemşlerdr. Ayrıca ye eerj ve des ç ayrı ayrı alt ve üst sıırlar elde etmşlerdr. A. Dle Gügör, A. Sa Çev, Eylem G. Karpuz, Fırat Ateş ve İ. Nac Cagül (00) çalışmalarıda, mertebel A hermtye matrs Estrada des ç z( A ) fades çere br alt ve br üst sıır elde etmşlerdr. Ayrıca bu A hermtye matrs Estrada des ve eerjs arasıda br bağıtı elde etmşlerdr. Kar Ch. Das, A. Dle Gügör ve A. Sa Çev (00) çalışmalarıda, dreç mesafes eerjs, dreç mesafe matrs özdeğerler mutla değerler toplamı olara taıtılmış ve bu eerj ç alt ve üst sıırlar elde edlmştr. Ş. Burcu Bozurt, A. Dle Gügör, I. Gutma ve A. Sa Çev (00) çalışmalarıda, Radc eerjy Radc matrs özdeğerler mutla değerler toplamı olara taıtmışlar ve bazı özelller saptayara bu eerj ç alt ve üst sıırlar elde etmşlerdr.

28 9. GRAFLAR ÜZERİNDE YENİ KIRCHHOFF YAPILARININ TANITILMASI Bu bölüm üç alt bölümde oluşmatadır. Özet ısmıda da yazıldığı üzere, as belrtlmedçe, bu bölümde verle tüm taım, teorem ve öerme gb avramlar, tarafımızda l defa lteratüre azadırıldığı ç, bular le lgl herhag br referas tez çde ullaılmamıştır. İl olara verle br G grafıı Krchhoff matrs ve bu matrse bağlı olara ye br Krchhoff des taımlaaca (bz. Alt Bölüm.), daha sora Krchhoff eerjs ve Krchhoff Estrada des taımlaara (bz. Alt Bölüm.,.3), bu parametreler ç bazı sıır değerler elde edlecetr... Br Grafı Krchhoff Matrs ve Ye Br Krchhoff İdes Bu bölümde bast bağlatılı br graf ele alıara, Krchhoff matrs taımlamış ve taımlaa bu matrs yardımıyla ye br Krchhoff des çeşd taımlaıp, buu üzerde bazı sıırlar bulumuştur. Bu bölümü aa temasıı oluştura temel avramları, aşağıda taımlar le vereblrz: Taım... Krchhoff matrs G bast bağlatılı, elemalı br graf olsu. G Krchhoff matrs A Kf G j le gösterle formuda smetr br matrs olup, bu matrs elemaları j r, v v, j j 0, dğer durumlarda.. şeldedr. Taım... Krchhoff Laplaca matrs G bast bağlatılı, elemalı br graf olsu. Bu durumda esas öşege üzerde elemaları Kf A G matrs satır toplamlarıda oluşa ye br öşege matrs

29 0 Kf G dag,,..., D j j j j j j (..) le gösterls. Burada (..) le verle matrs taımıda, olma üzere, j j ısaca D,,..., Kf G dag olara da yazılableceğ açıtır. Bua e olara, G Krchhoff Laplaca Matrs Kf G Kf G Kf G L D A olaca şelde tpde br smetr matrs taımladığıda, verle bu Kf G matrs, v v j se, KfL G rj, v v j se, (..3) 0, dğer durumlarda. L şelde de fade etme mümüdür. (..3) le verle Krchhoff Laplaca matrs (dğer br değşle Kf G matrs) özdeğerler, 0,,..., matrs e üçü özdeğer ola 0 olara gösterls. Kf L G Krchhoff Laplaca özdeğere arşılı gele özvetör, j,,..., dr. Buula beraber, özel olara, G grafı bağlatılı br graf se 0 özdeğer atlılığı olacatır. Ayrıca (..3) le verle Kf özdeğerler reel değerl olup sıralıdır. Ya, ısaca L G matrs smetr br matrs olduğuda, L (..4) bçmdedr.

30 Taım..3. Ye br Krchhoff des Bast bağlatılı br G grafıı Krchhoff matrs elemaları ola j ler, ota arasıda dreç mesafes ola r j ler le hesaplama üzere, bu matrs elemalarıyla elde edle ye Krchhoff des Kf G le gösterlr ve şelde hesaplaır. Kf G j v v j Bu otada, verle herhag br G grafı ç taımlaaca ola eyf br B matrs üzerde spetrum taımıı hatırlatalım: T br leer döüşüm olsu. Bu döüşümü mmal polomuu sıfırlarıa, araterst öler (özdeğerler) ve bu ölere arşılı gele vetörlere de döüşümü araterst vetörler (özvetör) der. Karaterst öler oluşturduğu ümeye T döüşümüü spetrumu der ve spe(t) le gösterlr (Joes, 973). Şmd (..4) de sıralama le verle özdeğerler atlılığıı, sırası le s0, s, s,..., sb ve b olduğuu abul edelm. Ayrıca yuarıda hatırlatma olara verdğmz spetrum ve Taım..3 de verdğmz Ye br Krchhoff des taımlarıı göz öüde buludurara; aşağıda, bu bölümü aa souçlarıda br vereblrz: Teorem... G grafı bast bağlatılı br graf ve G Kf 0, s b,..., s L b Spe Kf G L G matrs spetrumu olsu. O halde G grafıı özdeğerler l b l le Kf G des ç Kf G s..5 b l l l bağıtıları vardır. Kf G..6 b

31 İspat. G grafıı Krchhoff matrs Kf A G olup, (..3) gereğ, Krchhoff Laplaca matrs Kf L G KfD G Kf A G... olur. (..3) le verle Kf L G matrs özdeğerler toplamı, bu matrs öşege elemalarıı toplamıa eşt olacağıda (bz Alt Bölüm..7) yazılablr. Ayrıca, b l m z Kf G l l L L z Kf G,... 3, Kf G s j l l v v j l olup, burada da..5 eştlğ elde edlr. b (..4) de gösterldğ üzere, 0 0 dır. Şmd ala tae özdeğer her brs ayrı ayrı e eşt olduğuu abul edelm. O halde..4 eştlğde Kf G

32 3 olur. Şmd ye ayı tae özdeğer b ye eşt olduğuu abul edelm. O halde..5 eştlğde elde edlp Kf G b..6 eştszlğe ulaşılır. Kf G b Tüm bular se araa souçları doğruluğuu gösterr... Br Grafı Krchhoff Eerjs Bu bölümde bast bağlatılı br grafı Krchhoff matrs özdeğerlere bağlı Krchhoff eerjs tarafımızda l defa taımlamış olup, bu eerjye bağlı sıırlar elde edlmştr. Taım... G grafı, otalı ve m earlı br graf olsu. Bu grafı Krchhoff matrs.. de taımlaa matrs olsu ve Kf G le gösterls. Kf G matrs özdeğerler... olsu. Bu tadrde G grafıı Krchhoff eerjs A A bçmde taımlaır. EKf G.. edlecetr. Aşağıda, Taım.. yardımı le Krchhoff eerjye bağlı sıır değerler elde Teorem... G grafı, elemalarıı areler toplamıı gösterme üzere dr. otalı br graf olsu. sembolü, Kf EKf G A G matrs..

33 4 İspat. Yuarıda verle.. yardımıyla, Cauchy-Schwartz eştszlğde., EKf G EKf G eştszller yazma mümüdür. x ve y seçm le,, f x, y x y x y x > 0, y > 0 fosyou elde edlr. Burada amaç, f, bulmatır. f, türevler olur. Burada x y fosyouu maxmum değer x y fosyouu x ve y değerler doğrultusuda brc derecede x y y fx, f,, y f xx 3 x y x y x y xy x fxy f yx ve f 3 yy 3 x y x y f f 0 x y x y ve x y ç f f f f x y 3 x y xx 0, xx yy xy 0

34 5 elde edlr. Yuarıda bulua değerlere baılara x y fosyouu maxmum değer olara buluur. O halde f, eerjs üst sıırı f x, y, f x, y, f x, y ç f x, y x y fosouu maxmum değer ç Krchhoff EKf G olup.. fades elde edlr. Aşağıda spatı le brlte verle Lemma.., bu bölümde verlece sıır değerler spatıda yardımcı rol oyamatadır. Lemma... G grafı, otalı m earlı br graf olsu ve Kf özdeğerler olsu. O halde... A G matrs 0 j j..3 dr. İspat. Br matrs özdeğerler toplamı, o matrs öşege elemalarıı toplamıa (ya ze) eşt olup, Kf A G matrs öşege elemalarıı toplamı 0 olduğuda

35 6 yazılır. Ayrıca A Kf A G, fades elde edlr. Souç olara z Kf G 0 A Kf G smetr br matrs olduğuda,,..., olma üzere elemaları ç j j j j j z Kf A G j j j j olup böylece (..3) fadeler doğruluğu gösterlmş olur. Yuarıda verle Lemma.. yardımı le, Taım.. de taımlaa Krchhoff eerj ç çeştl sıır değerler aşağıda elde edlmştr. Teorem... G grafı, otalı m earlı bağlatılı br graf olsu. O halde dr. j EKf G j..4 j j İspat. Cauchy-Schwartz eştszlğde yazılır. Burada a ve b derse, ab a b.,, EKf G, j j

36 7 EKf G (..5) j j olup burada üst sıır elde edlmş olur. Şmd EKf G ç alt sıırı bulalım. EKf G ç, (..) fades göz öüde buludurulursa EKf G j, EKf G j (..6) j j olduğu görülür ve gerel düzelemelerle (..6) fades olaylıla elde edlr. (..5) ve (..6) fadelerde soucu elde edlr. j EKf G j j j Ayrıca burada üst sıır ç c br spatı aşağıda gb vereblrz: Kf A G matrs tüm özdeğerler mutla değerler farıı areler toplamı M le gösterls, ya olsu. Bast br hesapla yazılablr. j j M M j j (..7) (..7) le verle fade,.. ve..3 de verle fadeler yardımıyla j j M 4 EKf G olduğu açıtır. M toplamıı taımlaışıda, M 0 olacağıda M EKf G 4 j, j

37 8 EKf G 4 j, j EKf G j j şlemler le üst sıır elde edlmş olur. Teorem..3. G grafı, otalı m earlı bağlatılı br graf ve sembolü, Kf G matrs determatıı mutla değer gösterme üzere A dr. İspat... ve j j EKf G le verle Krchhoff eerj taımıda j, j EKf G j j, j j..9 j j j j eştller yazılablr. Artmet-Geometr ortalama eştszlğ yardımıyla soucu elde edlr. Burada j j j j,,, j..0 j

38 9 sıırıa ulaşılır...9 ve..0 le verle fadelerde j, j EKf G j j EKf G buluur. Teorem..4. G grafı, otalı m earlı bağlatılı br graf olsu. O halde eştszlğ vardır. İspat. EKf G j j j j j j..,,..., ve, 3,..., olaca şelde taımlı, alır bu vetörlere Cauchy-Schwartz eştszlğ uygularsa, bleşel vetör.,.,, j EKf G j EKf G j (..) j eştszlğ elde edlr. x derse, aşağıda (..3) fosyou yazılır..3 le verle eştl ullaılara f x x j x (..3) j x j j

39 30 yazılablr. Ayrıca, olaylıla f x fosyouu taım aralığı j 0 x j olara elde edleblr. Dğer tarafta, (..3) eştlğ le verle f fosyouu. türev br öü olup burada f fosyouu x j j j x j j j aralığıda mooto azala br fosyo olduğu görülür. j j j j eştszlğ sağladığıı görme olaydır. Souç olara f fosyou mooto azala olduğuda f f j (..4) j yazılıp, (..4) yardımıyla, (..4) eştszlğ üzerde gerel düzelemeler yapıldıta sora EKf G j j j j j j sıırı elde edlr..3. Br Grafı Krchhoff Estrada İdes Bu bölümde tarafımızda l defa, bast bağlatılı br grafı Krchhoff Estrada des taımlamış ve bu des ç bazı sıırlar elde edlmştr. Ayrıca taımlaa

40 3 Krchhoff eerj le Krchhoff Estrada des arasıda lş ortaya oara bu parametre arasıda br üst sıır elde edlmştr. Taım.3.. G grafı, otalı br graf olsu. G Krchhoff özdeğerler (Krchhoff matrs özdeğerler)... olduğuu daha öce (bz. Alt Bölüm.) fade etmşt. Burada G grafıı Krchhoff Estrada des KEE G e.3. bçmde taımlaır ve KEE G le gösterlr. Ayrıca olma üzere eştlğ yazma da mümüdür..3. L G KEE G L.3.3 0! (.3.) eştlğ le verdğmz Krchhoff Estrada des ç, (.3.) ve (.3.3) eştller yardımı le aşağıda sıır değerler elde edlmştr. Teorem.3.. G grafı, otalı m earlı bağlatılı br graf olsu. Bu durumda j j 4 j KEE G e.3.4 j dr. (.3.4) eştszlğ her tarafıda da eştl olması ç gere ve yeter şart G K olmasıdır. İspat..3.,.3. ve.3.3 de verle fadelerde KEE G e 0!

41 3 yazılır. Reel sayılar ç geçerl ola eştlğ ullaırsa a a aa j j j KEE G e e e.3.5 j fades elde edlr. Artmet-Geometr ortalama eştszlğde j j e e e e j j, j j e e e e, j j e, buluur. O halde soucua ulaşılır. (.3.) le verle e L, j e e.3.6 j L fades uvvet serse açarsa

42 33 L 0 L 0 L 8 j j.3.7 ve bu şelde elde edle eştller (.3.) eştszlğde yere yazarsa e, 0! L 0 L L, 0!!!! 3 j 4 j 3! elde edlr. Mümü ola e y alt sıırı elde edeblme ç 3 yere bu! fadede daha üçü ola 4 fades ve 4 ü yere 0, 4 3! t atsayısıı alara şlem sürdürürse e 4 j t, j 3! j j, 4 t t t j j 0 4 j. t t t KEE G j! elde edlp yazılır. e t 4 t j t. KEE G.3.8 j.3.6 ve.3.8 eştszller.3.5 fadesde yere yazıldığıda 4 j. KEE G t t t KEE G j

43 34 souç olara da elde edlr. t t KEE G t j 4 j Şmd, ve m olaca şelde t x alara fosyouu taımlayalım. x x f x x j 4 j Bu fosyou 0, 4 aralığıda mooto arta olduğuu görme olaydır. Souç olara t 0 ç KEE G e y alt sıırı olara buluur. KEE G j j Şmd KEE G ç üst sıır oluşturalım. Bezer şelde (.3.) eştlğ yardımıyla KEE G 0!,!,!,! elde edlr, so fade ç aşağıda düzelemeler yapılırsa!!,! j j,

44 35 j j, 0! üst sıırı elde edlr..3.9 ve j j e, j j.3.0 KEE G e.3.0 fadelerde j 4 KEE G e j j j (.3.4) eştszlğ elde edlr. Ayrıca.3.4 eştszlğ her tarafıda da eştl olması ç gere ve yeter şart G bütü Krchhoff özdeğerler sıfır olmasıdır. G bağlatılı br graf olduğuda bu sadece G K olmasıyla mümüdür. Aşağıda Teorem.3. de verlece ola (.3.) fades spatı ç gerel ola br lemma verlmştr. Lemma.3.. [B. Zhou ve ar, 008] G grafı, otalı bağlatılı br graf olsu. fades, (..) de verle fade le taıtıla, elemalarıı toplamı olma üzere Kf G matrs. satır A G.3. (.3.) fades olması ç gere ve yeter şart... olmasıdır. Teorem.3.. G grafı, otalı, m earlı br graf olsu. Bu tadrde

45 36 KEE G e e.3. eştszlğ vardır. İspat. G grafı, N grafıa (boş graf) eşt olsu. Her br ç 0 ve... 0 olur. Bu tadrde fades geçerl ve KEE G e.3. eştszlğ sağlamış olur. Şmd KEE G KEE G olduğuu abul edelm. Artmet-Geometr ortalama eştszl oşulu gereğ... 0 olur. O halde G N dr. (Ya G grafı boş br graftır) Dğer tarafta G N ve > 0 olduğu görülür. Burada... KEE G e e e ve Artmet-Geometr ortalama eştszlğde elde edlr. 0 olduğuda e e, e e, e e e e, KEE G e e.3.3

46 37 olduğu açıça görülür. Burada 3... KEE G e e.3.4 elde edlr. O halde; x olma üzere aşağıda fosyou taımlayalım: x f x e, x > 0 x e Bu f x fosyou brc türev x x, 0 f x e e x> olara buluur. f fosyou x > 0 ç, arta br fosyodur. O halde Lemma.3. ve.3. fadesde KEE G e e.3. elde edlr. Aşağıda bağlatılı br grafı Krchhoff eerjs le Krchhoff Estrada des arasıda lş ortaya oara bu parametrelere bağlı sıır elde edlmştr. Teorem.3.3. G grafı, otalı m earlı bağlatılı br graf olsu. Bu tadrde ve j j KEE G EKf G e j.3.5 j EKf G.3.6 KEE G e

47 dr..3.5 ve.3.6 eştszller eşt olması ç gere ve yeter şart G K olmasıdır. İspat. Teorem.3. spatıda yapıla şlemlere paralel olara.3.5 le verle üst sıırı spatıa başlayalım. 38 KEE G L 0, 0! 0!!!!! Krchhoff eerj taımıda! EKf G yazılır ve (.3.7) de bulua değerler göz öüde buludurulara gerel düzelemeler yapılırsa KEE G EKf G!,!! KEE G EKf G,! j j, j j j, j 0! e j j j j olduğu açıça görülür. O halde.3.5 le verle j j KEE G EKf G e j j

48 39 sıır elde edlr. ışığıda.3.6 le verle EKf G ye bağlı sıır ç, bezer şelde Teorem.3. KEE G,!! 0!,!, EKf G,! EKf G, 0! EKf G KEE G e olur. Ayrıca.3.5 ve.3.6 eştszller her tarafıda da eştl olması ç gere ve yeter şart G bütü Krchhoff özdeğerler sıfır olmasıdır. G bağlatılı br graf olduğuda bu sadece G K olmasıyla mümüdür.

49 40 3. ARAŞTIRMA SONUÇLARI VE TARTIŞMA Bu bölümde, bu çalışmada elde edle sıırlarla lgl öreler ve arşılaştırmalara yer verlmştr.. Bölümde verdğmz taımlar ç oluşturula sıırlara öreler verp, bu sıırlar, örelerle çzelgeler üzerde arşılaştırılmıştır. İl olara Teorem.. de ye br Krchhoff des ç br öre verelm. Öre 3... Aşağıda Şel 3.. le gösterle G X, Y : E verls. parçalı grafı Şel 3.. G X, Y : E grafıı Krchhoff matrs Kf A olup, Krchhoff Laplaca matrs se dr. Burada Kf KfL G G G des reel değer Kf G j v v j 4 dr. Ayrıca Krchhoff Laplaca matrs özdeğerler

50 4 0, 0.389,.389,.680 ve şeldedr. Burada..5 ç,..6 ç se b Kf G sll l Kf G 7.36 elde edlr. Bu değerlere bağlı olara aşağıda çzelgede souçlar rdeleeblr. Çzelge 3.. Kf G (..6) (..6) (Alt sıır) (Üst sıır) G Çzelge celedğde (..6) le verle alt sıırı, üst sıırda daha y souç verdğ görülür. Alt Bölüm.. de bulua Teorem.., Teorem.., Teorem..3 ve Teorem..4 de verle Krchhoff eerj ç br öre verp bu teoremlerde elde edle sıırları br çzelge üzerde arşılaştıralım. Öre 3... Aşağıda Şel 3.. de G ve H grafları verls. Şel 3.. G grafıı Krchhoff matrs

51 4 ve bu Kf A Kf A G G matrs Krchhoff özdeğerler ve determatıı mutla değer G.33333, G ve G G olara elde edlr. G Krchhoff eerjs se (3..) EKf G olara hesaplaır. ve Kf A H grafıı Krchhoff matrs Kf A H H matrs Krchhoff özdeğerler ve determatıı mutla değer H.547, H 0, H 0.5 ve H 3 H 0 olur. Burada H grafıı Krchhoff eerjs (3..) dr. EKf H

52 43 Bu grafları Krchhoff eerjler ç, yuarıda bahsedle sıırlar le gerçe değerler, aşağıda sıırlara ve çzelgeye baılara ıyaslaablr... ç, EKf G ç,..8 ç,.. ç, EKf H EKf G EKf H EKf G.9039 EKf H EKf G EKf H 5.65 Öre 3.. ç alt sıır ve üst sıır çzelge değerler aşağıda sırasıyla verlmştr. Çzelge 3.. EKf (..4) (..8) G H EKf (..) (..4) (..) G H Yuarıda çzelge celedğde, G grafıı Krchhoff eerjs ç, alt sıırlarda (..8) alt sıırı ve üst sıırlarda (..) ve (..4) üst sıırları eşt olup Krchhoff eerjye e yaı değerlerdr. Bezer şelde H grafı ç, alt sıırlarda (..4) ve (..8) alt sıırları eşt olup Krchhoff eerjye e yaı değerler ve üst

53 44 sıırlarda (..) ve (..4) üst sıırları da ayı değere sahp olup Krchhoff eerjye e yaı değerlerdr. So olara Alt Bölüm.3 de verle Teorem.3., Teorem.3. ve Teorem.3.3 ç br öre verp bu öreler ç br çzelge oluşturalım. Öre Öre 3.. le verle G ve H graflarıı göz öüe alalım. G grafıı Krchhoff özdeğerler (3..) de buluduğu üzere G.33333, G ve G şeldedr. Şmd bu özdeğerlere bağlı G grafıı Krchhoff Estrada des KEE G e olur. Ayı şelde H grafıı Krchhoff özdeğerler (3..) de şelyle H.547, H 0, H 0.5 ve H 3 olup bu özdeğerlere bağlı H grafıı Krchhoff Estrada des KEE H e olara elde edlr. G ve H graflarıı Krchhoff Estrada desler ç sıır değerler, aşağıda sıırlara ve çzelgeye baılara ıyaslaablr..3.4 ç,.3. ç,.3.5 ç, KEE G KEE H KEE G KEE H KEE G

54 ç, KEE H KEE G KEE H 4.06 olup alt sıır ve üst sıır çzelge değerler sırasıyla aşağıda gbdr. Çzelge 3..3 KEE (.3.4) (.3.) G H KEE (.3.4) (.3.5) (.3.6) G H Yuarıda çzelge değerlerde, G ve H graflarıı Krchhoff Estrada deser ç, (.3.) le verle alt sıırları ve (.3.5) le verle üst sıırları KEE değerlere daha yaı souçlar verdğ görülür.

55 46 4. SONUÇLAR VE ÖNERİLER 4.. Souçlar İc bölümde; Teorem.. le verle ye br Krchhoff des ç br eştl ve br sıır elde edlmş ve Çzelge 3.. de souçlar arşılaştırılmıştır. Bezer şelde Teorem.., Teorem.., Teorem..3 ve Teorem..4 de Krchhoff eerj ç sıırlar bulumuş ve bu sıırlar Çzelge 3.. de arşılaştırılmıştır. Teorem.3. ve Teorem.3. de Krchhoff Estrada des ç sıırlar elde edlmş ve Teorem.3.3 de Krchhoff eerj le Krchhoff Estrada des arasıda lş ortaya oara bu sıırlara bağlı arşılaştırmalar Çzelge 3..3 üzerde yapılmıştır. Üçücü bölümde verle örelere baıldığıda, Çzelge 3.. de (..6) le verle alt sıırı, üst sıırda daha y souç verdğ görülür. Çzelge 3.. le verle G grafıı Krchhoff eerjs ç, alt sıırlarda (..8) alt sıırı ve üst sıırlarda (..) ve (..4) üst sıırları eşt olup Krchhoff eerjye e yaı değerlerdr. Bezer şelde H grafı ç, alt sıırlarda (..4) ve (..8) alt sıırları ayı değere sahp ve üst sıırlarda (..) ve (..4) üst sıırları da ayı değere sahp olup Krchhoff eerjye e yaı değerlerdr. Bezer şelde Çzelge 3..3 le verle G ve H graflarıı Krchhoff Estrada deser ç, (.3.) le verle alt sıırları ve (.3.5) le verle üst sıırları daha y souçlar verdğ olaylıa görülür. Bu saptamalar verle öreler üzerde geçerl olup, alıablece başa öreler ç değşl göstereblr. Aşağıda verle souçlar çalışma sırasıda elde edlmş olup spat edlmemştr. Bu souçlarla lgl daha apsamlı araştırmalar yapılableceğ düşüüyoruz. Souç 4... Bu çalışmada taımlaa Krchhoff matrs elemaları, dreç mesafes matrs elemaları olara seçle özel br omşulu matrsdr. Bu şelde ele alıa graf, tam graf se bu grafı Krchhoff matrs lteratürde ble dreç mesafes matrse, ye br Krchhoff des se ble Krchhoff dese eşt olur. Ayı sıırlar bu tür graflar çde geçerldr. Souç 4... G grafı otalı br graf olma üzere bu grafı Kf G des şelde elde edleblr. Kf G

56 47 Souç G grafı, otalı, tam parçalı olmaya ve hçbr alt grafıda tam parçalı graf çermeye br graf se, bu grafı özel olara taımlaa Kf lteratürde ble omşulu matrse eşt olur. A G matrs 4.. Öerler Br grafı omşulu matrs özel ağırlılarla yede taımlaara, grafları yapısı farlı açılarda celeeblr. Buu dışıda, br grafı dreç mesafese bağlı ye farlı desler taımlaablr. Ayrıca bazı özel grafları eerj ve Estrada desler le lgl ye çalışmalar yapılablr. Bu çalışmaı ötesde, elde edle bu sıırlar ç eştl oşulları da oluşturulablr.

57 48 KAYNAKLAR Aldous, J. M., Wlso R. J. 000, Graphs ad Applcatos, The Ope Uversty Prted Great Brta. Bozurt, Ş. B., Gügör, A. D., Gutma I., Çev, A. S., 00, Radc Matrx ad Radc Eergy, MATCH Commu. Math.Comput. Chem., 64, Bozurt, D., Türe, D., 003, Leer Cebr, S.D.Ü. Fe-Edebyat Faültes, Koya. De La Pea, J., Gutam, I., Rada, J., 007, Estmatg the Estrada dex, Lear Algebra ad Its Applcatos, 47, E. Estrada, 000, Characterzato of 3D Molecular Structure, Chem. Phys. Lett., 39, Gutma, I., 978, The Eergy of a Graph, Ber. Math. Stst. Set. Forschugsz. Graz, 03, -. Gutma, I., 008, Lower bouds for Estrada dex, Publcatos De L sttut Mathematque, 83, -7. Gügör, A., D, Çev, A. S., 00, O the Harary eergy ad Harary Estrada dex of a graph, MATCH Comput. Chem., 64, Hor, R. A., Johso, C. R., 985, Matrx Aalyss, Cambrdge Uversty Pres New Yor. Joes, B. I., 973, Leer Algebra, The Uversty of Colorado. Kar, Ch. Das, Gügör, A. D., Çev, A. S., 00, O the Krchhoff dex ad the resstace-dstace eergy of a graph, yayı aşamasıda. Kle, D. J., Radc M., 993, Resstace dstace, Appled graph theory ad dscrete mathematcs chemstry, J. Math. Chem.,, Marshall, A. W., Ol, I., 979, Iequaltes, Theory of Majorzato ad Its Applcatos, Academc, New Yor. Rodrguez, J. A., 005, A spectral approach to the Radc dex, Lear Algebra ad Its Applcatos 400, Xao, W., Gutma, I., 003, O resstace matrces, MATCH Commu. Math. Comput. Chem., 49, Zhou, B., Trajstc, N., 008, Maxmum Egevalues of the Recprocal Dstace Matrx ad the Reserve Weer Matrx, It. J. Quat. Chem., 08, Zhag, F., 999, Matrx Theory, Basc Results ad Techques, North Amerca.

58 49 ÖZGEÇMİŞ KİŞİSEL BİLGİLER Adı Soyadı : Betül Acar Uyruğu : T.C. Doğum Yer ve Tarh : Uşa / Baaz Telefo : Fas : e-mal : acarbetul86@hotmal.com EĞİTİM Derece Adı, İlçe, İl Btrme Yılı Lse : Güvetaş Lses, Selçulu, Koya 003 Üverste : Selçu Üverstes, Selçulu, Koya 008 Yüse Lsas : Selçu Üverstes, Selçulu, Koya 0 Dotora : YABANCI DİLLER: İglzce YAYINLAR: Acar, B., Made (Gügör), A. D., Çev, A. S., 0, O the Krchhoff matrx, ew Krchhoff dexes ad the Krchhoff eergy, MATCH Commu. Math.Comput. Chem., yayı aşamasıda. (Yüse Lsas tezde yapılmıştır.)