Tesadüf Blokları Tertibi /İki Yönlü varyans Analizi (Randomized Complete Block Designs) /Two-way Analysis. Bölüm 4

Transkript

1 Tesadüf Blokları Tertibi /İki Yönlü varyans Analizi (Randomized Complete Block Designs) /Two-way Analysis Bölüm 4 1

2 Tesadüf Blokları Tertibi Deneysel şartlarda deney konuları arasındaki yapısal farkların kontrolü, özellikle biyolojik bilimlerde araştırıcıların karşılaştıkları zor problemlerden birisidir. Çok sayıdaki deneysel karşılaştırma grupları olduğunda, tesadüf blokları tertibi, seçilen farklı gruplar arasında mütecanisliği sağlamak için kullanılır. Muamele grupları arasında ki değişkenliği, daha ziyade konuların mütecanis kombinasyonuyla azaltmanın en basit yolu, tesadüf blokları tertibidir. 2

3 Tesadüf Blokları Tertibi Araştırıcı, bir bağımsız değişkenin bağımlı değişken üzerinde etkisini incelemek istediğinde faydalıdır. Bağımsız değişken, birkaç kategoriye sahip olmalıdır. Bağımsız değişkenin her bir kategorisi (seviyesi) bir muamele olarak göz önünde bulundurulur. 3

4 Tesadüf Blokları Tertibi Bir ürünü satmak istediğimizi ve ona hangi fiyatı yükleyeceğimizi bilmek istediğimizi farz ediniz. Burada bağımsız değişken fiyattır ve düşük, orta ve yüksek olmak üzere kullanılacak üç farklı seviye muamelelerdir. Test birimleri (dükkanlar), üç farklı fiyata rasgele tahsis edilsin. Bağımsız değişken satışlardır, hangi muamelenin (fiyat seviyesi) en iyisi olduğunu tespit etmek için muamelelerin her birine karşılık gelen ortalama satış seviyesini karşılaştırmak gerekir. 4

5 Faktöryel Tertip Burada araştırıcı, iki veya daha fazla bağımsız değişkenin bağımlı değişken üzerindeki etkilerini müşahede etmek ister. Bu tertip, iki bağımsız değişkenden daha fazla değişken test edildiğinde özellikle faydalıdır. 5

6 Mütecanis Olmayan Birimler Bir deney için yeteri kadar mütecanis (homojen) olmayan deneysel birimlerin varlığıyla sık sık karşılaşılır. Deney birimlerinin önceden mevcut özellikleri, ilgilenilen sonucu (responsu) etkileyebilir, bu sebeple önceden mevcut özelliklerden muamelelerin etkisini ayırt etmek mümkün olmayabilir. 6

7 Birimlerin Alt Grupları Birimler, mütecanis alt gruplara (blok) bölünürse ve alt grupların her birinde deney yapılırsa, bu durumda gruptan gruba değişim ölçülebilecek ve hata dan düşülecek, böylece testin gücü artacaktır. 7

8 Bloklar Deney birimlerinin mütecanis alt gruplarına blok adı verilir. Mümkün olduğu kadar birbirinden farklı bloklara sahip olunması istenir, böylece deney sonucu büyük oranda genelleştirilebilir. 8

9 Örnek A, B, C ve D adlı dört lastik firması, km den sonra en az aşınmayı görmek için mukayese edilmek isteniyor. Hatayı ölçmek için her lastik çeşidinden birden fazla lastiğin test edilmesine ihtiyaç vardır ve her birinden dört adet satın alınması mantıklı görünmektedir. Sonra deneyi gerçekleştirmek için dört araba, gerekecektir. Dört arabanın birbirinin birbirinden tamamen farklı olduğunu farz ediniz. 9

10 Deneyde Şaşkınlık Tekerleklerin arabalara Cetvel 4.1 deki gibi atanması, tertibte şaşkınlığın bir örneğidir. Araba Marka Dağılımı A B C D A B C D A B C D A B C D 10

11 Yukarıdaki tertipte firmadan firmaya değişimi, arabadan arabaya değişimden mutlak olarak ayırmanın yolu yoktur, çünkü firma ortalamaları aynı zamanda araba ortalamalarıdır. Tüm arabalar aynı marka ve model olsa dahi, arabalar gerçek şartlarda sürülürse, ortalamalar muhtemelen arabadan arabaya az da olsa farklı olacaktır. 11

12 Rasgeleleştirme Cetvel 4.2, tamamen tesadüfi tertibi (tesadüf parselleri) göstermektedir. Parantez içindeki sayılar, aşınma miktarlarıdır. Marka Dağılımı (kalınlık kaybı, km) Araba C(12) A(14) C(10) A(13) A(17) A(13) D(11) D(9) D(13) B(14) B(14) B(8) D(11) C(12) B(13) C(9) 12

13 Şans eseri olarak A markasının Araba 3 tarafından, B markasının Araba 1 tarafından ve D markasının da araba 2 tarafından kullanılmadığına dikkat ediniz. A markası içindeki değişim (varyasyon) aynı zamanda Araba 1, 2 ve 4 arasındaki değişimi yansıtır. Tesadüf parselleri (One-Way ANOVA - tek yönlü ANOVA, tek faktörlü tertip) analizi, markalar arasında önemli bir fark olmadığını göstermektedir (bir sonraki slayta bakınız). 13

14 Tesadüf Parselleri Tertibi (One-Way ANOVA) Sonuçları Kaynak SD KT KO F p Marka Hata Toplam

15 Hatanın Azaltılması Deney tertibinin ana gayesi, deneysel hatayı azaltmaktır. Bu sebeple, arabadan kaynaklanan değişimin hata değişiminden çıkarılması, daha iyi bir tertip olur. Tamamen tesadüfi tertip (tesadüf parselleri deney tertibi), araba etkilerinin ortalamasını almışsa da, arabalar arasındaki değişimi yok etmemektedir. 15

16 Birim Blokları Deney birimi (muamele) olarak tekerleği ve blok olarak da arabayı düşünüyoruz. Tekerleklerin maruz kaldığı baskılar, aynı araba üzerindeki tekerlekler için benzerdir fakat bir arabadan diğerine farklı olabilir. 16

17 Tam Tesadüfi Blok Tertibi (Randomized Complete Block Design) Her bir araba üzerine her markadan bir lastik yerleştireceğiz. - Bu tam yerleşimdir. Tam olmayan yerleşimde ise, mesela 6 marka lastiği mukayese etmek istersek, sadece tüm markaların bir blokta test edilemeyeceği, marka alt grubunun bir blokta test edileceği anlamına gelir, Her bir marka için konum (hangi tekere takılacağı), tesadüfen atanır. - Bu nedenle tesadüfidir. 17

18 Model Tamamen tesadüfi bloklar tertibi için model: Y ij =µ+β i +t j +ε ij Burada: Y ij = j inci bloktaki birimde i numaralı muamele gözleminin ölçümüdür. µ= Genel populasyon ortalamasını β i = i-inci muamelenin etkisini, t j = j-inci blok etkisini, ε ij = j-inci blokta, i-inci muameleye ait tesadüfi hatayı, ifade eder 18

19 İki Yönlü Varyans Analizi (Two-Way ANOVA) Toplam değişim, muamelelerden ileri gelen değişim ve hatadan kaynaklanan değişimin ölçülmesine ilave olarak, bloklardan (veya arabalardan) kaynaklanan değişimi de artık ölçebiliriz. Artık arabalar ve markalar olmak üzere değişimin teşhis edilebilir iki kaynağına sahip olduğumuzdan dolayı, analiz iki yönlü varyans analizi (two-way anova) diye adlandırılır. 19

20 Veri Gösterimi Cetvel 4.3 muhtemel tesadüf blokları tertibini göstermektedir. Parantez içindeki sayılar, aşınma ölçümleri (mukayese amacı için CRD ile aynı) dır. Araba Marka Dağılımı (kalınlık kaybı, km) B(14) D(11) A(13) C(9) C(12) C(12) B(13) D(9) A(17) B(14) D(11) B(8) D(13) A(14) C(10) A(13) 20

21 Veri Çalışma Yaprağı Hesaplamaları elle yapıyorsanız, veriyi muhtemelen Cetvel 4.4 deki gibi düzenleyeceksiniz, burada satırlar arabaları ve sütunlar markaları göstermektedir. - Satır ortalamaları araba ortalamalarını ve sütun ortalamaları da marka ortalamalarını ifade eder. - Sonraki slayta bakınız 21

22 Veri Yerleşimi Marka Araba A B C D Mean Mean

23 Toplam ve Muameleler Kareleri Toplamı Toplam kareler toplamı, onaltı aşınma okumasının genel ortalamadan olan den sapmasının toplamıdır. - Bunun olduğu daha önceki gibi bulunur Marka ortalamalarının genel ortalamadan sapmalarının karelerinin toplamı, Muamele/Marka/Model kareler toplamıdır. - Bunun olduğu daha önceki gibi bulunur. 23

24 Bloklar ve Hata için Kareler Toplamı Ayrıca dört araba ortalamasının genel ortalamadan sapmalarının kareleri toplamı olan arabaların kareleri toplamını hesaplayabiliriz. - Bunun olduğu bulunur. Hata kareler toplamı (SSE), araba ya da marka tarafından açıklanamayan değişimdir: SSE = SSTotal SSTreatment SSBlocks =

25 Hatadaki Azalma One-way tertibi için SSE = Two-Way tertibi için SSAraba ve SSError ün toplamı: = Değişimin tesadüfi olmayan kaynağı teşhis edilmiş, ölçülmüş ve hatadan düşülmüştür. 25

26 Serbestlik Derecesi (Degrees of Freedom) Numaratör/Marka serbestlik derecesi k 1 = 4 1 = 3. Bloklar/Arabalar serbestlik derecesi b 1 = 4 1 = 3 Hata serbestlik derecesi (k 1)(b 1) = 9 Error df, CRD bloklar df için 12 3 = df E yoluyla elde edilebilir. 26

27 Daha Güçlü Test Hata kareler ortalaması, artık MSE = 11.56/9 = 1.3. Marka farklarını test etmek için bu hata terimi kullanılırsa, 3 ve 9 sd. ile F = MSMarkalar/MSError = elde edilebilir. =10.2/1.3 =

28 p-value (p-değeri) Testin p-değeri H 0 : dört marka arasında ortalama aşınma miktarında fark yoktur CRD deneyi icra edildiğinde elde edilen sonuca zıt olarak bulunur. p = 0.007, 28

29 Özet Deneyi, incelemek istediğimiz faktörün (lastik markası) etkisinden tamamen ayrı olarak değişkenliğin bilinen kaynağının (arabalar) etkisini ölçecek şekilde ayarlarız. Bilinen kaynaktan ileri gelen değişkenlik miktarı, tesadüfi (hata) değişkenlikten ayrılır, böylece incelenen faktörden ileri gelen değişkenlik için çok daha hassas test yapılmış olur. 29

30 JMP Kullanımı Veri, üç sütun halinde girilir: Muameleler/markalar için bir (nominal) Bloklar/arabalar için bir (nominal) Aşınma için bir (continuous) Bir sonraki slayta bakınız Ancak, artık Fit Y by X platformunu kullanamayız çünkü two-way tertibine sahibiz. Fit Model platformunu kullanırız. 30

31 JMP de girilen Cetvel 4.3 verisi 31

32 32

33 33

34 Arabadan arabaya dikkate değer bir değişim vardır hatta markalar arasında olandan daha fazla 34

35 Bloklar Üzerindeki Testler JMP arabaların blok değişkeni olduğunu bilmez ve biz de dört araba arasındaki farkın önemli olup olmadığıyla ilgilenmiyoruz, bu ayrı bir testtir. Bunu şimdilik ihmal edelim. Bloklar önemli olmasa bile bu, hala en uygun analizdir. Arabadan arabaya değişim test edilmek istenirse, bu durumda iki-faktörlü tertip kullanılır. 35

36 Çoklu Mukayeseler Artık hangi markanın diğerlerinden faklı olduğuyla ilgilenelim. Marka solundaki kırmızı üçgene tıklayınız ve LSMeans Studnt s t yi seçiniz: 36

37 Cetvel kopyalandığında önemli farklar kırmızıyla gösterilmiş ve altı çizilmiştir. 37

38 Özet A markasını satın almayınız (her bir test için α= 0.05 ) 38

39 Blok Yapmanın Üstünlükleri Tesadüf Blokları Tertibi, etkili bir gruplandırmayla, mukayese edilebilir bir büyüklük için Tesadüf Parselleri Tertibinden (CRD) çok daha hassas sonuçlar sağlayabilir. Muamele ve tekerrürlerin herhangi bir sayısı birbiriyle uygun hale getirilebilir. dahası 39

40 Üstünlükler, devam İstatistik analiz, nispeten kolaydır. Tam bir muamele veya blok eksik olursa bu, analizi zorlaştırmaz. Deney birimlerindeki değişkenlik, hassasiyeti feda etmeksizin sonuçların geçerli olduğu aralığı genişletmek için kasten girilebilir. 40

41 Mahzurları Blok içindeki eksik müşahedeler, çok daha karmaşık analiz gerektirir. Hatanın serbestlik derecesi (df), CRD deki kadar büyük değildir: bir df, birinciden sonra her blok için eksiktir. CRD için ihtiyaç duyulandan daha fazla kabuller gereklidir: - bloktan bloğa sabit değişim - muameleler ve bloklar arasında interaksiyon yoktur. 41

42 İnteraksiyonun olmaması İnteraksiyon, differansiyel etkidir. (Bunu hatırlayınız!) Muameleler ve bloklar arasında interaksiyonun olmadığını söylemek, bir muamelenin bir blok içinde en iyi olduğu fakat diğer muamelenin diğer blokta en iyi olduğu durumun meydana gelmediğini söylemektir. 42

43 Tekerrür Sadece iki tekerlek markasını mukayese etseydik, bu durumda iki adet Marka A ve iki adet Marka B tekeri, 2 arabanın her birinde kullanılacaktı, dolayısıyla marka ve arabanın her kombinasyonu için n=1 yerine n=2 ye sahip olacaktık. Tekerrüre sahipsek, bu durumda muamele x blok interaksiyonu yapmaya izin verilebilir. 43

44 Eksik Değerler Tekerrürsüz RCB de eksik değerler varsa veri kullanılır, ancak bu eksiklik JMP de problem değildir. (Faktöryel analizden yapılırsa) Ancak SSmuamele ve SSBlok toplamı artık SSModel e eşit olmayacak ve adjusted means, unadjusted means a eşit olmayacaktır (bir sonraki slayt) Eksik değer, bloklar ve muamelelerin dikliğini tahrip etme sebebidir. 44

45 Marka D, Araba 3 ün ölçümü silindi. 45

46 46

47 Eşleşen Veri Paired t-test i çağırınız. - Konu çiftleri, bazı blok değişkeni üzerinde eşleşti ve çiftin her üyesi rasgele iki muameleden birine atandı. Bunu ikiden daha fazla muamele haline ve iki eşleşmiş konudan daha fazlasına uzattık. - Deney birimi = konu - Blok = konuların eşleşmiş grubu 47

48 Tekrarlanan Ölçümler Ölçümler, iki şartın her ikisi de her konu üzerinde yapıldığında paired t-test için bir başka uygulama söz konusu olur. Tek bir konu üzerinde yapıldığında, bunu tekrarlanan ölçümlerin herhangi bir sayısına kadar kolayca uzatabiliriz. Burada blok değişkeni konudur ve deney birimi, ölçme fırsatında bir konudur (muameleler, zaman, vb.) 48

49 Eksik Bloklar Eksik blok tertibi, tek bir bloğa konulabilenden daha fazla muamelelerin olduğu basit bir tertiptir. Dengelenmiş eksik blok tertibi, her muamele çiftinin deneyde tekerrürün aynı sayıda olduğu eksik blok tertibidir. 49

50 Örnek 4 lastik markası yerine 6 markayı mukayese etmek istediğimizi varsayalım. Bu, dengelenmiş tertip için 15 araba gerektirecektir. - Her bir araba için kullanmamak üzere iki markayı seçmeliyiz. - 6 markadan iki markayı seçmek için 6!/2!4! = 15 farklı yol vardır. 50

51 Latin Kareleri İki blok değişkeni vardır, tertip Latin Karesi diye adlandırılır. Üç blok değişkeni = Greko-Latin Karesi (bakınız Kısım 4.8) Örneğimizde, her lastiği sadece her araba üzerinde test etmek istemiyor, arka ve ön tekerlekler ile sağ ve sol lastikler de farklı aşındığından dolayı her tekerlekte de test etmek istiyoruz. 51

52 Latin Karelerin İnşası Cetvel 4.11 deki gibi sistematik tahsisle başlayınız: Araba Konum I II III ıv 1 A B C D 2 D A B C 3 C D A B 4 B C D A 52

53 Satır ve Sütun Çekişmesi 4 rasgele sayı üretiniz ve bunları üretildiği sıra ile 1-4. satırlara tahsis ediniz. Satırları, rasgele sayının büyüklüğüne göre yeniden düzenleyiniz. Aynısını sütünlar için de yapınız. (115. sayfadaki örnekte sadece satırlar karıştırılmıştır.) 53

54 Cetvel 4.12 Araba Konum I II III IV Ortalama 1 C(12) D(11) A(13) B(8) 11 2 B(14) C(12) D(11) A(13) A(17) B(14) C(10) D(9) D(13) A(14) B(13) C(9) Ortalama

55 Cetvel 4.12 JMP deki veri 55

56 56

57 57

58 Ev Ödevi - Bar ı blok değişkeni olarak alınız ve ilerleme ve kesme derinliği arasındaki farkları test ediniz. - Yüzey pürüzlülüğüne hangi parametreler etkilidir. Yüzey işlemede en iyi yüzey pürüzlülüğü veren parametreleri tavsiye edebilir misiniz? α= 0.05 de test yapınız. Tarih 58

59 Yüzey Bitirme Tam tesadüfi Bloklar 59

60 Örnek Bir deneyde kesici takımın dört farklı kesme hızı, mukayese ediliyor. Değişik sertlik derecelerindeki beş kesme malzemesi, deney blokları olarak kullanılıyor. Ölçülen kesme zamanları saniye olarak aşağıdaki tabloda verilmiştir. 60

61 Tesadüf Blokları Tertibi F Testi Dört marka lastikten hangisinin daha uzun diş ömrüne sahip olduğunu tespit etmek isteyelim. 5 arabanın her birinde rasgele olarak her bir markayı (A, B, C ve D) bir teker yerine atayınız. 0,05 seviyede, diş ömründe ortalamalar arasında fark var mıdır? 61

62 Tesadüf Blokları Tertibi F Testi Çözüm 62

63 ANOVA İÇİN SAS KODLARI 63

64 SAS ÇIKTISI - ANOVA 64

65 SAS ÇIKTISI - LSD 65