Kansas City 5. Omaha Aşama 1 Aşama Dallas 7. Aşama 2 Aşama 3

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "Kansas City 5. Omaha 6. 660 940 Aşama 1 Aşama 5 1390. Dallas 7. Aşama 2 Aşama 3"

Transkript

1 En Kısa Yol (Ağ) Sorunu (Winston 0.., s. 1005) Joe Cougar New York ta yaşamakta ancak ün ve şans aramak için Los Angeles a gitmeyi planlamaktadır. Joe nun sınırlı parası vardır, bu nedenle yolculuğundaki her geceyi bir arkadaşının evinde geçirmeye karar verir. Joe nun Colombus, Nasville, Louisville, Kansas City, Omaha, Dallas, San Antonio ve Denver şehirlerinde arkadaşları vardır. Joe, bir günlük yolculuğun sonunda Colombus, Nashville veya Louisville e; iki günlük yolculuğun sonunda Kansas City, Omaha veya Dallas a; üç günlük yolculuğun sonunda ise San Antonio veya Denver a ulaşabilir. Kat edilen yolu enküçüklemek için Joe yolculuğunun her gecesini hangi kentlerde geçirmelidir? Şehirler arasındaki yol uzunlukları Şekil 1 de gösterilmektedir. Şekil 1 Colombus Kansas City Denver New York Nashville 760 Omaha 6 Los Angeles Aşama 1 Aşama San Antonio Aşama Louisville 80 Dallas 7 Aşama Aşama Yanıt: Joe, Şekil 1 deki New York ve Los Angeles arasındaki en kısa yolu bilmek istemektedir. Bu yol geriye doğru giderek (geriye doğru yineleme yöntemi ile) bulunabilir.

2 Joe nun yolculuğunun n. gününün başlangıcında bulunabileceği tüm şehirler, n. aşama şehirleri olarak sınılandırılmıştır. Örneğin; Joe. günün başlangıcında (1. gün Joe New York tan ayrıldığında başlar) sadece San Antonio ya da Denver da bulunabileceğinden, San Antonio ve Denver dördüncü aşama şehirleri olarak sınılandırılmıştır. Geriye doğru gitme (yineleme) ikri, kolay bir problemin çözümüyle başlamanın, sonunda karmaşık bir problemin çözümüne yardım edeceğini göstermektedir. Bu nedenle, yalnız bir günlük sürüş mesaesinin kaldığı şehirlerden (. aşama şehirler) Los Angeles a giden en kısa yol belirlenir. Bundan sonra bu bilgiden yararlanılarak yalnız iki günlük sürüş mesaesinin kaldığı şehirlerden (. aşama şehirleri) Los Angeles a giden en kısa yol bulunur. Eldeki bu bilgi ile Los Angeles a üç günlük uzaklıktaki şehirlerden (. aşama şehirler) Los Angeles a giden en kısa yol bulunabilir. Sonunda, Los Angeles a dört gün uzaklıktaki şehirlerden (yalnız bir taner: New York) Los Angeles a giden en kısa yol bulunabilir. Gösterimi basitleştirmek için on şehir Şekil 1 deki 1,,...,10 sayıları ile eşleştirilmiştir. c ij i şehirden j şehire gitmek için kat edilmesi gereken yolu göstermektedir. Örneğin; c 5 =580 Nashville () ile Kansas City (5) arasındaki uzaklığı iade etmektedir. t (i) ise t. aşamadaki i. şehirden Los Angeles a (10. şehir) giden en kısa yoldur.. AŞAMA HESAPLAMALARI Önce her. aşama şehirinden 10. şehire giden en kısa yol belirlenir. Her. aşama şehirinden 10. şehire giden yalnız bir yol vardır. Denver dan Los Angeles a giden en kısa yol (8)=100 dur. Benzer şekilde, (9)=190 dur.. AŞAMA HESAPLAMALARI Şimdi bir aşama geri giderek her. aşama şehirinden 10. şehire giden en kısa yol bulunur. Örneğin; (5) i belirlemek için 5. şehirden 10. şehire giden en kısa yolun aşağıdaki yollardan biri olduğuna dikkat edilmelidir. Yol 1: 5. şehirden 8. şehire git ve 8. den 10. ya en kısa yolu seç. Yol : 5. şehirden 9. şehire git ve 9. dan 10. ya en kısa yolu seç. Yol 1 in uzunluğu c 58 + (8) ve Yol nin uzunluğu c 59 + (9) olarak yazılabilir.

3 Böylece 5. şehirden 10. şehire en kısa yol; () 5 c = min c () 8 () 9 = = 160* = = 180 şeklinde yazılabilir (* (5) i oluşturan rotayı göstermektedir): 5. şehirden 10. şehire en kısa yol yoludur. Burada (8) ve (9) bilgilerinin kullanıldığına dikkat edilmelidir. Benzer şekilde, (6) yı bulmak için 6. şehirden 10. şehire giden en kısa yolun 8. şehire veya 9. şehire giderek başladığına dikkat edilmelidir: ( 6) c = min c () 8 () 9 = = 1570 * = = 0 6. şehirden 10. şehire en kısa yol 1570 uzunluğundaki yoludur. (7) yi bulmak için; ( 7) c = min c () 8 () 9 = = 180 = = 1660 * (7)=1660 ve 7. şehirden 10. şehire en kısa yol yoludur.. AŞAMA HESAPLAMALARI (5), (6) ve (7) bilgileri ile bir aşama geri gitmek ve (), () ve () ü, yani.,. ve. şehirlerden 10. şehire giden en kısa yolu hesaplamak kolaydır. Bunu göstermek için ilgili şehirlerden 10. şehire giden en kısa yol (ve onun uzunluğu) bulunacaktır.. şehirden 10. şehire giden en kısa yol. şehirden 5., 6. veya 7. şehire giderek başlamalıdır. En kısa yol bir kez 5., 6., ya da 7. şehire geldiğinde bu şehirden Los Angeles a giden en kısa yolu izlemelidir. Bu usavurum. şehirden 10. şehire giden yolun aşağıdakilerden biri olduğunu göstermektedir: Yol 1:. şehirden 5. şehire git, 5. şehirden 10. iehre en kısa yolu izle. c 5 + (5) Yol :. şehirden 6. şehire git, 6. şehirden 10. iehre en kısa yolu izle: c 6 + (6) Yol :. şehirden 7. şehire git, 7. şehirden 10. iehre en kısa yolu izle: c 7 + (7) ( ) c = min c c () 5 ( 6) ( 7) = = 0 * = = 60 = = 710 Böylece, ()=0 ve. şehirden 10. şehire en kısa yol: dur.

4 Diğer şehirler için benzer bir hesaplama yapılırsa: () c = min c c () 5 ( 6) ( 7) = = 0* = = 0 = = 0 ()=0 ve. şehirden 10. şehire en kısa yol: dur. ( ) c = min c c () 5 ( 6) ( 7) = = 150* = = 70 = = 90 ()=150 ve. şehirden 10. şehire en kısa yol: dur. 1. AŞAMA HESAPLAMALARI 1 () 1 c = min c c ( ) () ( ) = = 870* = = 10 = = 90 EN İYİ ÇÖZÜMÜN (OPTİMAL YOL) BELİRLENMESİ 1 (1)=870 ve New York tan Los Angeles a giden en kısa yol ( ): New York, Columbus, Kansas City, Denver, ve Los Angeles tir.

5 Dinamik Programlama Uygulamalarının Özellikleri 1. Sorun her aşamada bir karar alınacak şekilde aşamalara bölünebilir. En Kısa Yol sorununda t. aşama Joe nun yolculuğunun t. gününün başlangıcında bulunabileceği şehirleri kapsamaktadır. Bir çok dinamik programlama sorununda aşama, sorunun başlangıcından itibaren geçen süredir. Bazı durumlarda her aşamada karar vermek gerekmeyebilir.. Her aşamanın kendisi ile ilgili durumları vardır. Durum ile her aşamada en iyi kararı vermek için gerekli bilgi kastedilmektedir. En Kısa Yol sorununda t. aşamadaki durum basit olarak Joe nun t. günün başlangıcında bulunduğu şehirdir. Örneğin. aşamada olası durumlar; Kansas City, Omaha ve Dallas tır. Herhangi bir aşamada doğru kararı vermek için Joe nun o aşamadaki şehire nasıl geldiğini bilmesine gerek olmadığına dikkat edilmelidir. Örneğin Joe Kansas City de ise, alacağı karar Kansas City ye nasıl geldiğinden etkilenmez, sadece o anda Kansas City de olmasından etkilenir.. Herhangi bir aşamada seçilen karar mevcut aşamadaki durumun bir sonraki aşamadaki duruma nasıl dönüştüğünü tanımlar. En Kısa Yol sorununda Joe nun herhangi bir aşamadaki kararı basitçe ziyaret edeceği diğer şehirdir. Bu bir sonraki aşamadaki durumu açık bir şekilde belirler. Yine de bir çok sorunda karar, bir sonraki aşamanın durumunu kesinlik ile belirlemez, aslında, mevcut karar bir sonraki aşamadaki durumun yalnızca olasılık dağılımını belirler.. Mevcut durum verildiğinde, geri kalan aşamalar için geçerli en iyi karar önceden erişilen durumlara veya önceden seçilen kararlara dayanmamalıdır. Bu özelliğe optimallik (en iyilik) ilkesi de denir. En Kısa Yol sorununda optimallik ilkesi şu şekildedir: 1. şehirden 10. şehire en kısa yolun (R olsun) i. şehirden geçtiği bilinsin. Bu durumda R nin i. şehirden 10. şehire giden parçası i. şehirden 10. şehire giden en kısa yol olmak zorundadır. Bu zorunluluk olmasaydı R nin 1. şehirden i. şehire giden parçasına i. şehirden 10. şehire giden en kısa yolu ekleyerek R den daha kısa bir yol elde edilebilirdi ki bu durum R nin 1. şehirden 10. şehire giden en kısa yol olma özelliği ile çelişir. Örneğin, 1. şehirden 10. şehire giden en kısa yolun. şehirden geçtiği biliniyorsa, o zaman 1. şehirden 10. şehire giden en kısa yol. şehirden 10. şehire giden en kısa yol parçasını da ( ) içermelidir.

6 5. Sorundaki durumlar T aşamadan birine sınılandırılmışsa; t, t+1,...,t aşamaları boyunca kazanılan ödül veya maliyetleri, t+1, t+,..., T aşamalarında kazanılan ödül veya maliyetler ile ilişkilendiren bir yineleme vardır. En Kısa Yol sorununda geriye doğru yineleme bağıntısı (denklemi) () i = { c ( j )} min + t j ij t 1 şeklinde yazılabilir. Burada j, t+1. aşamadaki bir şehir olmalıdır ve 5 (10)=0 dır.

7 Stok Modelleri Aşağıdaki özelliklere sahip herhangi bir stok (envanter) sorunu dinamik programlama ile çözülebilir: 1. Zaman dönemlere ayrılmıştır. Mevcut dönem Dönem 1, bir sonraki Dönem ve son dönem de Dönem T olarak isimlendirilir. Dönem 1 in başlangıcında, her dönem boyunca talep bilinmektedir.. Her dönemin başlangıcında, irma üretilmesi gereken ürün adediniı belirlemelidir. Her dönem boyunca üretim kapasitesi sınırlıdır.. Her dönemin talebi mevcut üretimden veya stoktan zamanında karşılanmalıdır. Üretim yapılan her dönemde üretim için bir sabit maliyet ve birim başına değişken maliyet oluşmaktadır.. Firmanın sınırlı stok kapasitesi vardır. Bu kapasite dönem sonu stoğunda bir sınırlama ile yansıtılır. Dönem sonu stoğunda ürün varsa birim başına stokta tutma (envanter taşıma) maliyeti söz konusudur. 5. Firmanın amacı; 1.,.,..., T. dönemlerin taleplerini zamanında karşılama maliyetini en küçüklemektir. Bu modellerde, irmanın stok düzeyine her dönemin (örneğin her ayın) sonunda bakılmakta ve daha sonra üretim kararı verilmektedir. Böyle bir modele Dönemsel İnceleme Modeli denir. Stok Sorunu (Winston 0.., s. 101) Bir şirketin ürününe önümüzdeki dört ay boyunca talep sırasıyla 1,, ve adettir. Her ayın başında şirket o ay kaç adet ürün üreteceğine karar vermek zorundadır. Üretim için hazırlık (sabit) maliyeti $ dır. Üretilen her ürün için değişken maliyet $1 dır. Her ayın sonunda eldeki her ürün için 50 lik bir stokta tutma maliyeti söz konusudur. Bir ayda en azla 5 adet ürün üretilebilir. Her ayın sonunda stokta en azla adet ürün olabilir. Birinci ayın başında elde 0 ürün olduğu varsayılacaktır. Şirket dört ay boyunca taleplerin zamanında karşılandığı ve üretim ile taşıma maliyetlerinin en küçüklendiği bir üretim çizelgesi belirlemek istemektedir.

8 Yanıt Bu sorunun çözümünde dinamik programlama kullanılabilmesi için uygun durum, aşama ve kararın belirlenmesi gerekmektedir. Tek bir aşama kaldığında sorun açıkça çözülebilecek şekilde aşama tanımlanmalıdır. Dördüncü ayın başlangıcında irma talebi en küçük maliyetle basit olarak o ay ürettiğinin ve üçüncü ay sonu stokda kalanın dördüncü ay talebini karşılayacak şekilde üretimi yaparak (. ay üretimi =. ay talebi. ay sonu stoğu) karşılayacaktır. Böylece geriye bir ay kaldığında irmanın sorunu kolayca çözülebilir. Bu nedenle zaman aşamayı gösterecektir. Pek çok dinamik programlama sorununda aşama zamanla ilgilidir. Her aşamada (ya da ayda) şirket kaç adet ürün üreteceğine karar vermelidir. Bu kararı vermek için şirket içinde bulunulan ayın başlangıcındaki stok düzeyini bilmelidir. Bu nedenle herhangi bir aşamadaki durum başlangıç stoğu düzeyi olacaktır. t (i) yi t, t+1,..., ayları için t ayının başlangıcında i birimin elde olması durumunda talebi karşılamanın en düşük maliyeti olacak şekilde tanımlamak gereklidir. c(); bir dönemde adet üretmenin maliyetidir. c(0)=0 ve >0 için c()=+ dir. Sınırlı stok kapasitesi ve talebin zamanında karşılanması zorunluluğu nedeniyle her dönemde olası durumlar 0, 1,, ve dür. Bu nedenle (0), (1), (), (), ve () belirlenerek çözüme başlanmalıdır. Daha sonra bu bilgi kullanılarak (0), (1), (), () ve () belirlenir. Bir sonraki aşama (0), (1), (), () ve () belirlenmesidir. Son olarak 1 (0) belirlenir. Tüm bu işlemler sonucu her ay için en iyi bir üretim seviyesine karar verilir. t (i): t ayının başlangıcında elde i birim olması durumunda t, t+1,..., ayları boyunca toplam maliyeti en küçükleyen üretim düzeyidir.

9 . AY HESAPLAMALARI Firma dördüncü ay boyunca dördüncü ayın talebi olan dört birimi karşılamaya yetecek kadar ürün üretecektir. (0)= 0 birim üretmenin maliyeti = c()= + = $7 ve (0)= 0 = (1)= 1 birim üretmenin maliyeti = c()= + = $6 ve (1)= 1 = ()= birim üretmenin maliyeti = c()= + = $5 ve ()= = ()= birim üretmenin maliyeti = c(1)= + 1= $ ve ()= = 1 ()= birim üretmenin maliyeti = c(0)= 0 ve ()= = 0. AY HESAPLAMALARI (i),. ve. aylar boyunca. ayın başlangıcında elde i birm olması durumunda oluşan en küçük maliyettir.. ay boyunca bütün olası üretim düzeyleri için. ve. aylar boyunca toplam maliyet: ( ½ ) (i + ) + c() (i + ) (1). ay boyunca adet ürün üretilirse. ayın bitiş stoğu i + olacaktır. Bu durumda. ay stokta tutma maliyeti ( ½ ) (i + ) ve. ay üretim maliyeti de c() olacaktır.. aya elde (i + ) birim ile girileceğinden. ayın en iyi maliyeti (i + ) olacaktır.. ayın üretim düzeyini Denklem 1 deki değeri en küçükleyecek şekilde seçmek istediğimizden 1 min () i = ( i + ) + c( ) ( i + ) Denklem de {0, 1,,,, 5} kümesinin bir elemanı olmalıdır. Ayrıca, i + 0 koşulunu sağlamalıdır. Bu kısıt mevcut ayın talebinin karşılanması (i + 0) ve Dönem sonuı stok seviyesinin aşılmamasını ( i + ) iade etmektedir. (0), (1), (), (), ve () için hesaplamalar aşağıdaki Tablo 1 de verilmiştir. ()

10 Tablo 1. için hesaplama i (½) (i+ ) + c() (i + ) Toplam maliyet.,. aylar = = 1 * = = = = = 19 + = = = = = = = = 17 + = = = 10 * = = 7 * = = = = = 15 + = + 7 = = = = = = = 1 + = + 6 = = = = 6 * = 11 + = + 5 = = (i) (i) (0)=1 (0)= (1)=10 (1)=5 ()=7 ()=0 ()= 1 ()=0 ()=6 ()=0

11 . AY HESAPLAMALARI İkinci ayın başında elde i adet ürün bulunması durumunda.,. ve. aylar boyunca toplam en küçük maliyet demek olan (i) hesaplanabilir.,. ayın üretim miktarı olmak üzere,. ayın talebi birim olduğundan. ayın sonunda stokta tutma maliyeti (½) (i + ) ormülü ile hesaplanır. Bu durumda. ay boyunca oluşan toplam maliyet (½) (i+ ) + c() ormülü ile hesaplanır. Üçüncü ay (i + ) stoğu ile başladığından. ve. aylar boyunca oluşan maliyet (i + ) dür. () deki denkleme benzer şekilde ağağıdaki denklem yazılabilir: 1 = min i + ) () () i ( i + ) + c( ) ( Denklem de {0, 1,,,, 5} kümesinin elemanıdır Ayrıca, 0 (i+ ) koşulunu sağlamalıdır. (0), (1), (), (), ve () hesaplamaları Tablo de verilmiştir. 1. AY HESAPLAMALARI 1 (i) aşağıdaki yineleme bağıntısı ile belirlenebilir: 1 min () i = ( i + 1) + c( ) ( i + 1) 1 Denklem de {0, 1,,,, 5} kümesinin elemanıdır. Ayrıca, 0 (i+ 1) koşulunu sağlamalıdır. Birinci ayın başında elde ürün bulunmadığından 1 (0) ve 1 (0) değerlerinin hesaplanması yeterlidir (Tablo ). ()

12 Tablo. için hesaplama i (½) (i+ ) + c() (i + ) Toplam maliyet -. aylar = = = = = = 16 * = = = = = = 15 * = = = = = = = = 1 * + 7 = = = = = = 1 * = = = = = = = = = = * = = = = = = 1 (i) (i) (0)=16 (0)=5 (1)=15 (1)= ()=1 ()= ()=1 ()=0 1 ()= ()=0

13 Tablo 1 (0) için hesaplama i (½) (i+ 1) + c() (i + 1) Toplam maliyet 1.-. aylar 1 (i) 1 (i) = = 0 * = = = = = = 1 1 (0)=0 1 (0)= = = 1 EN İYİ ÜRETİM ÇİZELGESİNİN BELİRLENMESİ Bu hesaplamaların sonunda her ayın talebini zamanında karşılayan en küçük maliyetli bir üretim çizelgesi belirlenebilir. Başlangıç stoğu 0 adet ürün olduğundan dört ay için en düşük maliyet 1 (0)=$0 olacaktır. 1 (0) ı bulmak için birinci ay boyunca bir adet ürün üretilmelidir: 1 (0)=1. İkinci. ayın başındaki stok = 0 adet olacaktır. İkinci ayda (0)=5 adet ürün üretilmelidir. Bu durumda üçüncü ayın başında eldeki stok miktarı: = dir. Bu nedenle üçüncü ay boyunca ()=0 adet ürün üretilmeli, yani üretim yapılmamalıdır. Bu durumda dördüncü ay stokta + 0 = 0 adet ürün ile başlayacaktır. Böylece dördüncü ay boyunca (0)= adet ürün üretilmelidir. Özetle, en iyi üretim planı $0 lık toplam maliyet ile birinci ayda 1 adet, ikinci ayda 5 adet ve dördüncü ayda adet ürün üretmekle elde edilir.

14 Kaynak Tahsisi Modelleri Sınırlı kaynakların, belirli aktivitelere atandığı kaynak tahsisi sorunları, genellikle dinamik programlama ile çözülür. Kaynak tahsisi sorunlarını doğrusal programlama ile de çözmek mümkündür. Ancak kaynak tahsis sorunlarında doğrusal programlama kullanmak için aşağıdaki varsayımları yapmamız gerekir: 1. Kaynağın herhangi bir aktiviteye tahsis edilen miktarı, negati olmayan bir sayıdır.. Her bir aktiviteden elde edilen ayda, o aktiviteye tahsis edilen kaynak ile orantılıdır.. Birden çok aktiviteden elde edilen ayda, her bir aktiviteden elde edilen aydaların toplamıdır. Dinamik programlama ise birinci ve ikinci kabullenme koşulları sağlanmasa bile, üçüncü koşul sağlandığında ve her bir aktiviteye atanacak kaynak miktarının sonlu bir kümenin elemanı olması durumunda; kullanılabilmektedir. Kaynak Tahsisi Sorunu (Winston 0.., s. 1018) Finco nun yatırım için ayırdığı $6000 ve bu yatırımı yapabileceği üç yatırım seçeneği vardır. Finco d j doları j yatırımına harcarsa r j (d j ) dolar kazanç sağlayacaktır: r ( d ) = 7d + ( d > 0) r r r ( d ) = d + 7 ( d > 0) ( d ) = d + 5 ( d > 0) ( 0) = r ( 0) = r ( 0) = 0 1 Her bir yatırıma ayrılan para $1000 ın katları kadar olmalıdır. Finco kazancını enbüyüklemek için $6000 ı nasıl kullanmalıdır? 1

15 Yanıt: Yatırımın geri dönüş oranı, yatırım miktarı ile doğru orantılı değildir. (Örneğin; 16=r 1 () r 1 (1)=18). Bu yüzden bu sorunda en iyi çözümü bulmak için doğrusal programlama kullanılamaz. Finco sorunu matematiksel olarak aşağıdaki gibi gösterilebilir: ma {r 1 (d 1 ) + r (d ) + r (d )} s.t. d 1 + d + d = 6 d j > 0 ve tamsayı (j=1,,) r j (d j ) doğrusal olsaydı, bir sırtçantası sorunu söz konusu olacaktı. Finco sorununu bir dinamik programlama modeli olarak ormüle etmek için, öncelikle aşamalar tanımlanmalıdır (Stok ve en kısa yol örneklerinde olduğu gibi, sorunu aşama aşama ele almak çözümü kolaylaştırmaktadır). t. aşama eldeki paranın t, t+1,..., yatırımları için tahsis edilmesi olarak tanımlanabilir. Belirlenen bir aşama için bulunması gereken en iyi yatırımın ne olduğudur. Basit olarak, t, t+1,..., yatırımları için ne kadar para kullanılabilir? sorusu yanıtlanmaya çalışılır. Bu doğrultuda, her bir aşamadaki durum; t, t+1,..., yatırımları için kullanılabilir para miktarı (binlik birimlerde) olarak tanımlanabilir. $6000 dan daha azla harcanılmayacağı için, aşamalardaki olası durumlar da 0, 1,,,, 5 ve 6 dır. d t, t. yatırıma yatırılabilecek mevcut kullanılabilir parayı göstersin. t, t+1,..., yatırımlarına d t bin doları yatırarak elde edilebilecek en büyük net şimdiki değer (NŞD) para miktarı t (d t ) olarak tanımlanır. Ayrıca t (d t ) de t (d t ) yi elde etmek için t yatırımına tahsis edilmesi gereken miktar olarak tanımlanır. Öncelikle (0), (1),..., (6) yı belirlenir, daha sonra ise (0), (1),..., (6) belirlerinir. $6000 ı yatırım 1,, ve e yatırmamız mümkün olduğu için, hesaplamalar 1 (6) nın hesaplandığı noktada tamamlanır. Daha sonra her bir aşamayı geriye doğru izleyerek, hangi yatırımlara ne miktarda yatırım yapılacağını belirlenir.

16 . AŞAMA HESAPLAMALARI (d ) kullanılabilir d miktar parayı. yatırıma tahsis etme durumu olarak belirlenmişti: (0) = 0 (0) = 0 (1) = 9 (1) = 1 () = 1 () = () = 17 () = () = 1 () = (5) = 5 (5) = 5 (6) = 9 (6) = 6. AŞAMA HESAPLAMALARI (0), (1),..., (6) yı hesaplamak için,. yatırıma atanabilecek olası miktarlara bakılır. (d ) yi bulmak için, yatırım ye yatırılan para miktarı olarak tanımlanmıştı. Böylece ikinci yatırımdan elde edilebilecek en büyük değer r ( ) ve üçüncü yatırımdan elde edilebilecek olan en büyük değer (d ) kazanılmış olacaktır., en iyilik ilkesi gereği,. ve. yatırımlardan elde edilecek net şimdiki değeri en büyüklemeye çalıştığına göre, aşağıdaki denklem yazılabilir: ( d ) ma{ r ( ) ( d )} = (5) {0,1,...,d } kümesinin bir elemanıdır. (0), (1),..., (6) ve (0), (1),..., (6) için yapılan hesaplamalar aşağıdaki Tablo de verilmiştir. 1. AŞAMA HESAPLAMALARI (5) nolu denkleme benzer bir denklem yazılır: ( 6) ma{ r ( ) ( )} = (6) Denklem 6 da 1 {0,1,,,,5,6} kümesinin bir elemanıdır. 1 (6) için yapılan hesaplamalar Tablo 5 de gösterilmiştir.

17 Tablo. için hesaplama d r ( ) (d ) Yatırım ve İçin NŞD * * * * * * * (d ) (d ) (0)=0 (0)=0 (1)=10 (1)=1 ()=19 ()=1 ()= ()=1 ()=7 ()=1 (5)=1 (5)=1 (6)=5 (6)=1

18 Tablo 5. 1 için hesaplama d 1 1 r 1 ( 1 ) F (6 1 ) Yatırım 1 İçin NŞD 1 (6) 1 (6) * 1 (6)=9 1 (6)= EN İYİ ÇÖZÜMÜN BELİRLENMESİ 1 (6)=9, 1 (6)= olduğundan, Finco birinci yatırıma $000 tahsis edecektir.. Bu durumda ikinci ve üçüncü yatırımlara $6000 $000 = $000 kalmaktadır: (), ()=1. Finco ikinci yatırıma $1000 tahsis edeceğinden üçüncü yatırıma da $1000 kalmaktadır: (1), (1)=1 Böylece Finco üçüncü yatırıma $1000 tahsis eder. Böylece Finco $9000 net şimdiki geliri, $000 yatırım 1 e, $1000 yatırım ye ve $1000 yatırım e yatırarak elde eder.

19 Genelleştirilmiş Kaynak Atama Sorunu Mevcut kaynağın w birim ve bu kaynağın tahsis edilebileceği T adet aktivite olduğu varsayılsın. t aktivitesi t düzeyinde ( t negati olmayan bir tamsayı iken) uygulanırsa, kaynağın g t ( t ) birimi t aktivitesi taraından kullanılır ve r t ( t ) kadar yarar sağlar. Sınırlı kaynaklar kısıtı altında toplam yararın en büyüklenmesi sorunu aşağıdaki şekilde ormüle edilebilir: ma s.t. t = T t= 1 t = T t = 1 g t r t ( ) ( ) w t t Burada t {0, 1,,...} kümesinin elemanı olmak zorundadır. Çeşitli örneklerde r t ( t ), g t ( t ), ve w için bazı olası yorumlar Tablo 6 da verilmiştir: Tablo 6. Genelleştirilmiş Kaynak Atama Örnekleri r t ( t ) g t ( t ) w t miktarda t tipi birimin bir t miktarda t tipinde birimin Bir sırt çantasının sırt çantasına yerleştirilmesinden elde edilen kazanç ağırlığı alabileceği maksimum yük miktarı Hatada t saat t dersinin çalışılması sonunda t t dersini çalışmak için hata harcanan t saat Bir hatalık çalışma saati dersinden elde edilen not t bölgesine t adet satış temsilcisi gönderildiğinde t satış temsilcisini t bölgesine atamanın maliyeti Toplam satış gücü bütçesi bir ürünün t bölgesindeki satışları t bölgesine t adet araç t bölgesine hatada t adet Yangın araçları için atandığında 1 dakika içinde olumlu yanıt verilen yangın ihbarlarının sayısı yangın aracının atanmasının maliyeti hatalık bütçe (7)

20 Denklem 7 yı dinamik programlama ile çözmek t (d) tanımlanır: t, t+1,..., T aktivitelerine d birim kaynak ayrıldığında bu aktivitelerden elde edilebilecek en büyük yarar. Yinelemeler aşağıdaki şekilde genelleştirilebilir: T+1 (d)=0 tüm d ler için t (d)=ma {r t ( t ) t+1 (d g t ( t ))} t t, g t ( t ) d koşulunu sağlayan negati olmayan tam sayıdır. t (d), t (d) yararını sağlayan tahsis miktarı olsun. 1,,..., T aktivitelerine kaynakların en iyi şekilde tahsis edilmesini belirlemek için ilk önce T ( ) ve T ( ) belirlenir. Daha sonra ( ) ve ( ) belirlenene kadar tüm T 1 ( ) ve T 1 ( ) ler belirlenir. Sonuç olarak 1 (w) ve 1 (w) bulunur. Bu durumda aktivite 1 1 (w) düzeyinde yerine getirilir. Bu noktada geri kalan,,..., T aktiviteleri için w g 1 ( 1 (w)) birim kaynak kalmıştır. Daha sonra aktivite [w g 1 ( 1 (w))] düzeyinde yerine getirilir. Tüm aktivitelerin yerine getirilme düzeyleri belirlenene kadar bu şekilde devam edilir.

21 Sırt Çantası Sorunu (Winston 0.., s. 10) Ağırlığı sırasıyla, ve 5 kg olan eşya 1, ve ün sağlayacağı yararlar 11, 7 ve 1 dir. 10 kg lık bir sırt çantası söz konusu olduğunda toplam aydayı en büyüklemek için sırt çantası nasıl doldurulmalıdır? Yanıt: r 1 ( 1 ) = 11 1, r ( ) = 7, r ( ) = 1 g 1 ( 1 ) = 1, g ( ) =, g ( ) = 5 1 (d), d kg ağırlığın t, t+1,..., eşyalarıyla doldurulmasından elde edilen en büyük ayda olarak tanımlanır.. AŞAMA HESAPLAMALARI ( d ) = ma{ } 1 5 d ve negati olmayan bir tamsayı olduğu için: (10) = (5) = (6) = (7) = (8) = (9) = 1 (0) = (1) = () = () = () = 0 (10) = (9) = (8) = (7) = (6) = (5) = 1 (0) = (1) = () = () = () = 0. AŞAMA HESAPLAMALARI ( d ) = ma{ 7 ( d )} d ve negati olmayan bir tamsayı olduğu için: ( 10) ( 0) () ( ) ( ) = ma ( ) 10 ( ) 7 ( ) () 1 = * = 19 = 1 = 1 = 0 = 1 = =

22 ( 10) ( 8) ( 7) ( 6) ( 5) ( ) ( ) ( 0) () ( ) ( ) = ma 7 7 ( ) () ( ) 7 0 = ma ( 0) () ( ) 7 = ma ( 0) () ( ) 7 = ma ( 0) () 7 = ma 7 1 ( 0) () 7 = ma 7 1 ( ) () 7 0 = ma 7 1 ( 9) ( 8) ( ) ( 0) ( 8) ( 5) ( ) ( 7) ( ) () 1 ( 6) ( ) ( 0) ( 5) ( ) ( ) () 1 ( ) ( 0) = 1 = 19 = 1 = 1* = 1 = 19 * = 1 = 1 = 7 = 1 * = 1 = 7 = 1 * = 1 * = 7 = 0 = 7 * = 0 = 7 * = 0 = 1 = = = 0 = 1 = = 0 = 1 = = 0 = 1 = = 0 = 1 = 0 = 1 = 0 = 1 = = 0 = 0 ( ) ma 7( 0) ( ) = = 0 = 0 () ma 7( 0) () 1 1 = = 0 = 0 ( ) ma 7( 0) ( 0) 0 1. AŞAMA HESAPLAMALARI 1 d ve 1 negati olmayan bir tamsayı olduğu için: 1 ( 10) ( ) () ( ) 11 0 = ma ( 10) ( ) 6 ( ) = = 5 * = = 0 1 = 1 1 = 1

23 SIRTÇANTASI SORUNUNUN EN İYİ ÇÖZÜMÜNÜN BELİRLENMESİ 1 (10) = 5 ve 1 (10) = 1 olarak belirlenmiştir. Bunun için öncelikle birinci eşyadan 1 adet sırt çantasına yerleştirilmelidir. Bundan sonra 10 = 6 kg ikinci ve üçüncü eşyalar için kalmış olur. (6) =, adet ikinci eşyadan konulması gerektiğini önerir. Son olarak 6 () = 0 kg üçüncü eşya için kalmıştır. Özet olarak, 10 kg lık bir sırt çantasını doldurmak için elde edilen en büyük ayda (10)=5 tir. Bu aydayı sağlamak için de birinci eşyadan 1 ve ikinci eşyadan adet, çantaya konulmalıdır.

24 Teçhizat Yenileme Modelleri Bir makinenin veya teçhizatın hizmet verme süresi arttıkça bakım maliyeti de aynı oranda yüksek olur ve üretkenliği de aynı oranda azalır. Bir makine belirli bir yaşa geldiği zaman onu yenilemek daha ekonomik olabilir. Burada sorun, makinenin en ekonomik kullanılacağı yaşın belirlenmesidir. Söz konusu sorun çoğu zaman dinamik programlama ile çözülür. Teçhizat Yenileme Sorunu (Winston 0.5., s. 100) Bir otomobil tamir atölyesi, bir motor analiz makinesını her zaman hazır bulundurmalıdır. Yeni bir motor analiz makinesini $1000 a mal olmaktadır. i. yılındaki bir motor analiz makinesini onarma maliyeti şu şekildedir: m 1 = $60, m = $80, m = $10. Bir analiz makinesı 1, veya yıl kullanılabilir. i yıldır kullanılan makine yenisiyle değiştirildiğinde, s i hurda değeri elde edilir. Yıllara göre hurda değerler s 1 =$800, s =$600, s =$500. şeklindedir. Şirketin şu an (zaman 0; şekile bakınız) yeni bir alet alması gerektiği gerçeğini göz önüne alarak gelecek beş yıl için şirketin net maliyetlerini [(onarım maliyetlerii) + (değiştirme maliyetlerii) (hurda değeri)] enazlayacak bir satın alma politikası belirleyiniz. Yıl 1 Yıl Yıl Yıl Yıl 5 Zaman 0 Zaman 1 Zaman Zaman Zaman Zaman 5 Yanıt: Öncelikle atölye yeni bir makine aldığında, bu makineyi yenisiyle ne zaman değiştireceğine karar vermelidir. Bu doğrultuda, g(t): t zamanında yeni bir makine alındığında t. zamandan 5. zamana kadar karşılaşılan en küçük net maliyet olarak tanımlanmıştır (Bu değerde yeni alınan makinenın ücreti ile, hurda değeri de göz önünde bulundurulmuştur). Ayrıca c t bir makineyı t zamanında alıp zamanına kadar kullanmanın net maliyetidir (satın alma ve hurda maliyetleri de buna eklenmiştir..

25 Bu durum için uygun yineleme bağıntısı aşağıdadır: g () t = min { c + g( ) } ( t = 0, 1,,, ) t Makineyi zamanında değiştirme kararı alındığında t. zamandan 5. zamana kadar oluşan maliyet, makinenın alımından zamanındaki satışına kadar oluşan maliyet (c t ) ile zamanından 5. zamana kadar ( zamanında yeni bir makine alınacağı göz önünde bulundurularak) oluşan maliyetin (g()) toplamıdır. Söz konusu bağıntı t+1 t+ ve 5 koşullarını sağlamalıdır. Bu sorun beş yıllık bir zaman dilimini kapsadığından, 5. zaman için oluşan maliyet 0 dır: g(5)=0 yazılabilir. Bakım maliyeti, hurda değer ve satın alma maliyeti sabit kabul edildiğinden her bir c t sadece makinenın ne kadar elde tutulacağı ile ilgilidir. Diğer bir deyişle c t sadece t ile ilgilidir. c t =$ m m s t Buradan şu sonuçlara ulaşılır: c c c = c $60 1 = c = c = c5 = + = = c = c = c = = $50 = c 1 1 = c 5 5 = = $760 Önce g() hesaplanır ve g(0) a ulaşana kadar geriye doğru yineleme yapılır. lerin g(0), g(1), g(), g() ve g() teki değerleri optimal değiştirme stratejisinin belirlenmesinde kullanılır. zamanında bir makine alındığında yalnız bir anlamlı karar vardır: 5 zamanına kadar makineyı elde tutmak ve hurda değerine satmak: g ( ) = c + g( 5) = = $60 * 5 zamanında yeni bir makine alınırsa zamanına kadar ya da 5 zamanına kadar elde tutulabilir: g ( ) c = min c 5 + g + g ( ) ( 5) = = $50 * = = $50 Bir makinenin zamanında alınması durumunda zamanında değiştirilmesi gerektiği anlaşılır.

26 zamanında bir makine alınırsa.,., veya 5. zamanda değiştirilebilir. g ( ) ( ) ( ) ( 5) c + g = = $780 = min c + g = = $ 800 c + g = $760 * 5 Bir makinenin zamanında alınması durumunda 5 zamanında değiştirilmesi gerektiği anlaşılır. 1 zamanında alınan bir makine ise,, veya zamanında değiştirilebilir. g () 1 c = min c c g + g + g ( ) ( ) ( ) = = 100 * = = 1060 = = 100 * 1 zamanında bir makine alınırsa veya zamanında değiştirilmelidir. 0 zamanında bir makine alınırsa 1,, veya zamanlarında değiştirilebilir. g ( 0) c = min c c g + g + g () 1 ( ) ( ) = = 180 * = = = 100 = 180 * 0 zamanında bir makine alınırsa 1 veya zamanında değiştirilmelidir. EN İYİ ÇÖZÜMÜN BELİRLENMESİ Önce rassal bir seçimle 0 zamanında alınan bir makine 1 zamanında değiştirilsin. 1 zamanında alınan makine veya zamanında değiştirilmelidir. Yine rassal bir seçimle 1 zamanında alınan makine zamanında değiştirilsin. zamanında alınan makine 5 zamanına kadar tutulacak ve 5 zamanında hurda değerine satılacaktır. Bu politika ile g(0)=$180 net maliyet oluşmaktadır. Aşağıdaki diğer değiştirme politikaları da aynı en iyi çözümü verir: 1, ve 5 zamanlarında değiştirme yapmak, ve 5 zamanlarında değiştirme yapmak Burada bütün maliyetlerin sabit kaldığı varsayılmıştır. Bu varsayım c t hesaplamalarını basitleştirmek için yapılmıştır. Çok kısa bir planlama süresi söz konusu olduğunda, optimal değiştirme politikası bu süreye azlasıyla bağımlı olmaktadır. Daha uzun planlama süresi kullanmak daha anlamlı sonuçlar yaratacaktır.

27 İleriye Doğru Yineleme Dinamik programlama sorunları geriye doğru yineleme yöntemi ile çözülürken; t aşamasının başındaki i durumu için t, t+1,..., T aşamalarında oluşan en küçük maliyet t (i) olarak tanımlanmıştı. Geriye yineleme ile öncelikle T (i), daha sonra T-1 (i),... ve en son 1 (i 1 ) hesaplanmaktaydı. Elde edilen değerler kullanılarak sırasıyla en iyi birinci aşama, en iyi ikinci aşama,..., en iyi T. aşama kararı veriliyordu. Çoğu zaman dinamik programlama modelleri ileriye doğru yineleme yapılarak da çözülebilir: T aşamasının sonunda, sistemin içinde olduğu arzulanan bir durum olduğu varsayılır. t (i), t aşamasının sonundaki i durumu için 1,,..., t aşamalarında oluşan en küçük maliyet olarak tanımlanır. Öncelikle 1 (i), birinci aşama sonunda oluşabilecek tüm durumlar göz önünde bulundurularak, hesaplanır. Daha sonra (i) ler için 1 (i) ler cinsinden yinelemeler geliştirilerek ikinci aşama sonunda oluşabilecek tüm durumlar için (i) hesaplanır. Bu şekilde T belirleninceye kadar devam edilir. Elde edilen değerler kullanılarak sırasıyla en iyi T 1. aşama, en iyi T. aşama,..., en iyi birinci aşama kararı verilir. Stok Sorunu (Winston 0.., s. 101) Bir şirketin ürününe önümüzdeki dört ay boyunca talep sırasıyla 1,, ve adettir. Her ayın başında şirket o ay kaç adet ürün üreteceğine karar vermek zorundadır. Üretim için hazırlık (sabit) maliyeti $ dır. Üretilen her ürün için değişken maliyet $1 dır. Her ayın sonunda eldeki her ürün için 50 lik bir stokta tutma maliyeti söz konusudur. Bir ayda en azla 5 adet ürün üretilebilir. Her ayın sonunda stokta en azla adet ürün olabilir. Birinci ayın başında elde 0 ürün olduğu varsayılacaktır. Şirket dört ay boyunca taleplerin zamanında karşılandığı ve üretim ile taşıma maliyetlerinin en küçüklendiği bir üretim çizelgesi belirlemek istemektedir.

28 Yanıt (İleriye yineleme ile): Öncelikle t (i t ); 1,..., t ayları sırasında oluşan en küçük maliyet olarak tanımlanır (t ayının bitiş stoğu i t ve t ayındaki üretim miktarı t (i t ) iken) Sınırlı stok kapasitesi; 1.,. ve. ayların sonundaki stok miktarının 0, 1,, veya değerine eşit olmasını gerektirmektedir. Toplam maliyeti en küçüklemek için. ayın sonundaki stok düzeyi 0 olmalıdır. Bundan sonra işlemlere 1 (i 1 ) hesaplanarak başlanır. Birinci ayın talebi 1 birim ve başlangıç stoğu 0 olduğu için eğer bu ay boyunca i t +1 birim üretim yapılırsa birinci ay sonunda oluşacak stok miktarı i t dir. c() bir ayda miktar ürün üretmenin maliyeti olsun: c(0) = 0, c(1) =, c() = 5, c() = 6, c() = 7 ve c(5) = 8 (ay sonu stok miktarı en azla adet olmalı!) Elde tutma maliyetleri $0.5/adet/ay olduğu için 1 (i 1 ) = c(i 1 +1) (i 1 ) olarak yazılabilir. Bu doğrultuda aşağıdaki hesaplamalar yapılır: 1 (0) = c(1) = $.0 1 (0)=1 1 (1) = c() = $5.5 1 (1)= 1 () = c() + 1 = $7.0 1 ()= 1 () = c() = $8.5 1 ()= 1 () = c(5) +.0 = $ ()=5 Bu aşamada 1 (.) lerden yararlanarak (-) yi hesaplamak için yineleme yapılır: (i ) = min (c( ) i 1 ( + i )). Eğer ikinci ay boyunca adet üretim yapılırsa, ikinci ay sonunda oluşan stok miktarı (i ) i 1 + şeklinde gösterilebilecektir (ikinci ayın talebi adet). Böylece ikinci ayda birim üretmenin maliyeti c( ) (i ) olacaktır. Ayrıca 0 < < 5 ve > + i > 0 koşulları gözönünde tutulmalıdır. c(0) 1() = 0 + 8,5 = $8.50 * c(1) 1() = + 7 = $11.01 (0) = min c() 1(1) = 5 + 5,5 = $10.50 c() 1(0) = 6 + = $10.00 Buradan (0) = $8.5 ve (0) = 0 olarak bulunur.

29 c(0) + 0,5 1() = 0 + 0, = $10.50 * c(1) + 0,5 1() = + 0,5 + 8,5 = $1.00 (1) = min c() + 0,5 1() = 5 + 0,5 + 7 = $1.50 c() + 0,5 1(1) = 6 + 0,5 + 5,5 = $1.00 c() + 0,5 1(0) = 7 + 0,5 + = $11.50 Buradan (1) = $10.5 ve (1) = 0 olarak bulunur. c(1) + 1 1() = = $15.00 c() + 1 1() = ,5 = $1.50 () = min c() + 1 1() = = $1.00 c() + 1 1(1) = ,5 = $1.50 c(5) + 1 1(0) = = $1.00 * Buradan () = $1.0 ve () = 5 olarak bulunur. c() + 1,5 1() = 5 + 1, = $16.50 c() + 1,5 1() = 6 + 1,5 + 8,5 = $16.00 () = min c() + 1,5 1() = 7 + 1,5 + 7 = $15.50 c(5) + 1,5 1(1) = 8 + 1,5 + 5,5 = $15.00 * Buradan () = $15.0 ve () = 5 olarak bulunur. c() + 1() = = $18 () = min c() + 1() = ,5 = $17.5 c(5) + 1() = = $17 * Buradan () = $17.0 ve () = olarak bulunur. (i ) i (i ) ile bağıntılı olarak tanımlamak için ün üçüncü ay boyunca yapılan üretim olduğunu söylüyoruz. Söz konusu ayın talebi adet olduğu için üçüncü ay sonunda oluşan stok miktarı (i ) i + şeklinde gösterilebilecektir. 0 < < 5 ve > + i > 0 koşulları için (i ) = min (c( ) i ( + i )) olarak yazılabilir. 0 (0) = min 5 () = $1.0 * (1) = $1.5 (0) = $1.5 Buradan (0) = $1.0 ve (0) = 0 olarak bulunur.

30 0 + 0,5 + 0,5 (1) = min 5 + 0, ,5 () = $15.5 () = $17.5 (1) = $16.0 (0) = $15.0 * Buradan (1) = $15.0 ve (1) = olarak bulunur () = min () = $18.0 () = $0.01 () = $19.0 (1) = $17.5 (0) = $16.5 * Buradan () = $16.5 ve () = olarak bulunur. + 1, ,5 () = min 6 + 1, , ,5 () = $.5 () = $1.5 () = $0.5 (1) = $19.0 (0) = $18.0 * Buradan () = $18.0 ve () = 5 olarak bulunur () = min () = $.0 () = $.0 () = $.0 (1) = $0.5 * Benzer yinelemelerle (i ) için: 0 < < 5 ve > + i > 0 koşulları için (i ) = min (c( ) i ( + i )) yazılabilir: 0 (0) = min () = $0.5 () = $.0 () = $1.5 (1) = $1.0 (0) = $0.0 * Buradan (0) = $0.0 ve (0) = olarak bulunur.

31 Tüm bu hesaplamalar yapıldıktan sonra en iyi üretim çizelgesi belirlenir: (0) = olduğuna göre dördüncü ayda adet ürün üretilmelidir. Bu durumda üçüncü ayın sonunda i = + i = 0 stok olmalıdır. (0) = 0 olduğu için üçüncü ayda üretim yapılmamalıdır. İkinci ayın sonunda i = + i = birim stok olmalıdır. () = 5 birim olduğuna göre ikinci ayda 5 adet ürün üretilmelidir. Son olarak birinci ayın sonunda i 1 = + i = 0 birim stok olmalıdır. Böylece 1 (0) = 1 adet ürün birinci.ayda üretilecektir. Bu üretim çizelgesi için toplam maliyet $ 0 olacaktır.

32 Wagner-Whitin Algoritması ve Silver-Meal Sezgisel Yaklaşımı Bu algoritmalar dinamik parti hacmi belirlemede kullanılırlar. DİNAMİK PARTİ HACMİ MODELİNİN TANIMLANMASI 1. İlk dönemin başında t döneminin (t = 1,,..., T) d t talebi bilinmektedir.. t döneminin talebi stoktan veya t dönemi üretiminden karşılanabilmelidir. adet ürünü herhangi bir dönemde üretme maliyeti c() dir. c(0) = 0 ve >0 için c() = K + c olarak tanımlanmıştır (K= bir peryotta ürünü üretmenin sabit maliyeti, c= birim başına üretim maliyetidir.). Bir t döneminin sonunda i t stoğu oluşmaktadır ve bu stoğu elde tutma maliyeti hi t dir. i 0 birinci.dönemden önce elde bulunan stok miktarını göstermektedir.. Amaç her bir t dönemindeki talepleri zamanında karşılamak için toplam maliyeti en küçükleyecek i leri (t dönemindeki üretim miktarı) hesaplamaktır. 5. t dönemi sonunda oluşan stok üst sınırı c t dir. 6. t döneminin üretim üst sınırı r t dir. Parti Hacmi Sorunu (Winston 0.7., s. 107) K = $50, c = $, h= $1, d 1 = 0, d = 80, d = 60, d = 10 ve d 5 = 70 değerlerinden oluşan beş dönemlik bir dinamik parti hacmi modeli için en iyi üretim çizelgesi belirlenmek istenmektedir. Başlangıç stoğu sıır olarak kabul edilecektir. Wagner-Within Algoritması Parti Hacmi Sorunu örneği bir dinamik programlama modeli olarak düşünülebilir. Birinci dönem sırasında 0 dan d 1 +d +d +d +d 5 = 170 e kadar her miktarda üretim olasıdır. Aynı durum ikinci dönem için de geçerlidir. İkinci dönem başlangıç stok değeri 0, 1,..., 170 d 1 = 1050 olsun. En iyi çözümü bulmak için (0), (1),..., (1050) yi belirlemek gerekmektedir. Görüldüğü gibi söz konusu sorunu dinamik programlama yaklaşımıyla çözmek çok azla matematiksel işlem gerektirmektedir. Bu yüzden Wagner ve Within (1958) parti hacmi belirleme modelleri için program yapmayı kolaylaştıran bir yöntem önermişlerdir. Wagner-Within algoritmasının geliştirilmesi için iki aksiyom kullanılır.

33 AKSİYOM 1 t döneminde poziti bir değerde üretim yapmanın optimal olduğunu varsayılsın. Bu durumda bazı j = 0, 1,..., T t değerleri için t dönemindeki üretimden sonra d t + d t d t+j miktarları stokta olacaktır. Bir başka deyişle eğer t döneminde üretim yapılacaksa bu üretimin t, t+1,..., t+j dönemlerinin taleplerini karşılaması gerekmektedir. AKSİYOM Eğer t döneminde üretim yapmak optimalse i t-1 < d t olmalıdır. Bir başka deyişle t döneminin talebini karşılamaya yetmeyecek kadar az stok olmadıkça t döneminde üretim yapılamaz. Wagner-Within Algoritması ile Soruna Yanıt: 6 = 0 5 = 50 + (70) 6 = 790 (beşinci dönem için üretim yapmak) Eğer beşinci dönemin başında yeterli stok yoksa beşinci dönemde bu döneme yetecek miktarda üretim yapmak gerekmektedir = min ( 70) 5 ( + 70) = 10 * + 70 (. Dönem 6 = 10 için üretim yapmak) (. ve 5. dönemler için üretim yapmak) Eğer dördüncü döneme 0 stok düzeyi ile başlanırsa dördüncü dönemin talebini karşılayacak miktarda üretim yapmak gerekmektedir. ( 60) = 90 ( ) + 10 ( ) 50 +.dönem için üretim yapmak = min = 180*. ve.dönemler için üretim yapmak (70) 6 = 70,,,5.dönemler için üretim yapmak Eğer üçüncü döneme 0 stok düzeyi ile başlanırsa üçüncü dönemin talebini karşılayacak miktarda üretim yapmak gerekmektedir. ( 80) = ( ) + 60 ( ) * 50 + = 10 = min (10) 5 = (10) + (70) = 0 6 Eğer ikinci döneme 0 stok düzeyi ile başlanırsa ikinci dönemin talebini karşılayacak miktarda üretim yapmak gerekmektedir.

34 1 ( 0) = ( ) + 80 ( ) * 50 + = (60) = 90 = min (60) + (10) = (60) + (10) + (70) 6 = 60 Bu hesaplamalar sonucunda: Birinci döneme 0 stok düzeyi ile başlandığı varsayıldığından birinci dönem sırasında d 1 = 0 adet ürün üretmek en iyidir. İkinci döneme 0 stok düzeyi ile başlanılır ve ikinci dönemin talebini karşılamak olarak belirlendiği için ikinci dönem sırasında d = 80 adet ürün üretilir. Böylece üçüncü döneme de 0 stok ile başlanılır. En iyi değeri. ve. dönemler için üretim yapmak olarak belirlendiği için üçüncü dönem sırasında d + d = 500 adet ürün üretilir. Beşinci döneme 0 stok düzeyi ile başlanılır ve beşinci dönem sırasında d 5 = 70 adet ürün üretilit. Özetlenirse en iyi üretim çizelgesinin toplam maliyeti 1 = $680 dır ve birinci dönemde 0 adet, ikinci dönemde 80 adet, üçüncü dönemde 500 adet ve beşinci dönemde 70 adet ürün üretilir. Silver-Meal Sezgisel Yaklaşımı Silver-Meal sezgisel yaklaşımı, Wagner-Within algoritmasından daha kolay uygulanabilir ve en iyi çözüme yakın sonuç verir. Söz konusu örnek gibi sorunlarda her zaman d 1 + d + d + d + d 5 = 170 adet ürün üretilmelidir. Bu da hesaplamaları yaparken her zaman (170) olan değişken maliyeti göz ardı edebilmeyi sağlar. Bu tarz sorunların çözümünde, hesaplamaları kolaylaştırmak için değişken maliyetler göz ardı edilebilir. Bu durumda amaç dönem başına ortalama maliyeti enküçüklemektir. Birinci dönemin başında iken birinci dönemde yapılacak üretimle kaç dönemin talebinin karşılanması gerektiği belirlenmeye çalışılsın. Sonraki t dönem için üretim yapılırsa (değişken maliyetler göz ardı edildiğinde); HC(t), t dönem boyunca oluşan elde tutma maliyeti (şu anki dönem de dahil) olmak üzere toplam maliyet aşağıdaki gibidir: TC (t) = K + HC(t)

35 t dönem boyunca oluşan ortalama maliyet: AC(t) = TC(t) / t 1/t t nin azalan bir konveks onksiyonu olduğuna göre, t arttıkça k/t azalan ivmeyle azalır. Çoğu durumda t < t* için, AC(t+1) < AC(t) ve AC(t*+1) > AC(t*) koşullarını sağlayan t* tamsayısı vardır. S-M yaklaşımı birinci dönemde 1,,..., t* dönemlerinin talebini karşılayacak miktarda üretim yapılmasını önerir (eğer böyle bir t* yoksa 1. dönemde 1,,..., T dönemlerinin tümünün karşılanması gerekmektedir). t*, AC(t) için yerel (belki de global) minimum olduğu için, birinci dönem sırasında d 1 + d d t* miktarında üretmek 1,..., t* dönemleri boyunca oluşan minimum ortalama maliyete yakın bir maliyet sağlayacaktır. Daha sonra, t*+1 inci dönem ilk dönem olarak düşünülerek yeniden işlem yapılır ve T döneminin talebi karşılanana kadar S-M yaklaşımı uygulanmaya devam edilir. Pek çok arklı dinamik parti hacmi belirleme problemi için S-M yaklaşımı en iyi çözümü verir. S-M yaklaşımı ile çözülen parti hacmi sorunlarının Wagner-Within algoritmasına göre %1 den az maliyet artışına yol açtığı belirlenmiştir. Silver-Meal Sezgisel Yaklaşımı ile Soruna Yanıt: TC(1) = 50 AC(1) = 50 / 1 = 50 TC() = = 50 AC() = 50 / = 65 AC() > AC(1) olduğu için t*=1 dir. S-M yaklaşımı çerçevesinde birinci dönemde d 1 = 0 adet ürün üretilmelidir. TC(1) = 50 AC(1) = 50 / 1 = 50 TC() = = 610 AC() = 610 / = 05 AC() > AC(1) olduğu için t*=1 dir. S-M yaklaşımı çerçevesinde ikinci dönemde d = 80 adet ürün üretilmelidir. TC(1) = 50 AC(1) = 50 / 1 = 50 TC() = = 90 AC() = 90 / = 195 TC() = 50 + (70) + 10 = 90 AC() = 90 / = 10 AC() > AC() olduğu için t*= dir. S-M yaklaşımı çerçevesinde üçüncü dönemde üçüncü ve dördüncü dönemlerin talebini karşılamak üzere d + d = 500 adet ürün üretilmelidir. Son dönem olan beşinci dönemde d 5 = 70 adet ürün üretilmelidir.

EM302 Yöneylem Araştırması 2 Dinamik Programlama. Dr. Özgür Kabak

EM302 Yöneylem Araştırması 2 Dinamik Programlama. Dr. Özgür Kabak EM0 Yöneylem Araştırması Dinamik Programlama Dr. Özgür Kabak Kibrit Çöpü Oyunu Masa üzerinde 0 kibrit çöpü vardır İki kişi (ben ve rakibim) oynuyor: Sırası gelen 1, veya kibrit çöpü çekiyor. Ben başlıyorum,

Detaylı

FABRİKA ORGANİZASYONU Üretim Planlama ve Yönetimi 2. Uygulama: Sipariş ve Parti Büyüklüğü Hesaplama

FABRİKA ORGANİZASYONU Üretim Planlama ve Yönetimi 2. Uygulama: Sipariş ve Parti Büyüklüğü Hesaplama FABRİKA ORGANİZASYONU Üretim Planlama ve Yönetimi 2. Uygulama: Sipariş ve Parti Büyüklüğü Hesaplama Uygulamalar 1. İhtiyaç Hesaplama 2. Sipariş ve Parti Büyüklüğü Hesaplama 3. Dolaşım Akış Çizelgeleme/Terminleme

Detaylı

EM302 Yöneylem Araştırması 2. Dr. Özgür Kabak

EM302 Yöneylem Araştırması 2. Dr. Özgür Kabak EM302 Yöneylem Araştırması 2 Dr. Özgür Kabak TP Çözümü TP problemlerinin çözümü için başlıca iki yaklaşım vardır kesme düzlemleri (cutting planes) dal sınır (branch and bound) tüm yaklaşımlar tekrarlı

Detaylı

YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI - II

YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI - II YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI - II Araş. Gör. Murat SARI 1/35 I Giriş Biri diğerini izleyen ve karşılıklı etkileri olan bir dizi kararın bütünüyle ele alındığı problemler için geliştirilen karar modelleri ve bunların

Detaylı

YÖNEYLEM ARAŞTIRMALARI 1

YÖNEYLEM ARAŞTIRMALARI 1 YÖNEYLEM ARAŞTIRMALARI 1 1.HAFTA Amacı:Karar vericiler işletmelerde sahip oldukları kaynakları; insan gücü makine ve techizat sermaye kullanarak belirli kararlar almak ister. Örneğin; en iyi üretim miktarı

Detaylı

EM302 Yöneylem Araştırması 2 Doğrusal Olmayan Programlamaya Giriş. Dr. Özgür Kabak

EM302 Yöneylem Araştırması 2 Doğrusal Olmayan Programlamaya Giriş. Dr. Özgür Kabak EM302 Yöneylem Araştırması 2 Doğrusal Olmayan Programlamaya Giriş Dr. Özgür Kabak Doğrusal Olmayan Programlama Eğer bir Matematiksel Programlama modelinin amaç fonksiyonu ve/veya kısıtları doğrusal değil

Detaylı

YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI - I

YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI - I YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI - I /0 İçerik Matematiksel Modelin Kurulması Grafik Çözüm DP Terminolojisi DP Modelinin Standart Formu DP Varsayımları 2/0 Grafik Çözüm İki değişkenli (X, X2) modellerde kullanılabilir,

Detaylı

Temelleri. Doç.Dr.Ali Argun Karacabey

Temelleri. Doç.Dr.Ali Argun Karacabey Doğrusal Programlamanın Temelleri Doç.Dr.Ali Argun Karacabey Doğrusal Programlama Nedir? Bir Doğrusal Programlama Modeli doğrusal kısıtlar altında bir doğrusal ğ fonksiyonun değerini ğ maksimize yada minimize

Detaylı

TAMSAYILI PROGRAMLAMAYA GİRİŞ

TAMSAYILI PROGRAMLAMAYA GİRİŞ TAMSAYILI PROGRAMLAMAYA GİRİŞ (Bu notlar Doç.Dr. Şule Önsel tarafıdan hazırlanmıştır) DP sorunlarının modeli kurulurken bazı karar değişkenlerinin kesinlikle tamsayı değerler alması gerektiğini görürüz

Detaylı

EM302 Yöneylem Araştırması 2 TP Modelleme. Dr. Özgür Kabak

EM302 Yöneylem Araştırması 2 TP Modelleme. Dr. Özgür Kabak EM302 Yöneylem Araştırması 2 TP Modelleme Dr. Özgür Kabak Çek Tahsilatı Ofisi Örneği Bir Amerikan şirketinin Birleşik Devletlerdeki müşterilerinin ödemelerini gönderdikleri çekler ile topladığını varsayalım.

Detaylı

YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI - I

YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI - I YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI - I 1/71 İçerik n Bulunması Kuzey-Batı Köşe Yöntemi En Küçük Maliyetli Göze Yöntemi Sıra / Sütun En Küçüğü Yöntemi Vogel Yaklaşım Metodu (VAM) Optimum Çözümün Bulunması Atlama Taşı

Detaylı

doğrusal programlama DOĞRUSAL PROGRAMLAMA (GENEL)

doğrusal programlama DOĞRUSAL PROGRAMLAMA (GENEL) DOĞRUSAL PROGRAMLAMA (GENEL) Belirli bir amacın gerçekleşmesini etkileyen bazı kısıtlayıcı koşulların ve bu kısıtlayıcı koşulların doğrusal eşitlik ya da eşitsizlik biçiminde verilmesi durumunda amaca

Detaylı

BAŞLANGIÇ TEMİNATI VE GARANTİ FONU HESAPLAMASI

BAŞLANGIÇ TEMİNATI VE GARANTİ FONU HESAPLAMASI BAŞLANGIÇ TEMİNATI VE GARANTİ FONU HESAPLAMASI Başlangıç Teminatı Hesaplaması: Başlangıç teminatı, gelecekte herhangi bir temerrüt durumunun ortaya çıktığı hallerde, temerrüdün ortaya çıktığı tarihten

Detaylı

BÖLÜM I: Hedef Programlama. Prof.Dr. Bilal TOKLU. HEDEF PROGRAMLAMAYA GİRİŞ HEDEF PROGRAMLAMA MODELLERİNİN ÇÖZÜMÜ

BÖLÜM I: Hedef Programlama. Prof.Dr. Bilal TOKLU. HEDEF PROGRAMLAMAYA GİRİŞ HEDEF PROGRAMLAMA MODELLERİNİN ÇÖZÜMÜ Yöneylem Araştırması III Prof.Dr. Bilal TOKLU btoklu@gazi.edu.tr Yöneylem Araştırması III BÖLÜM I: Hedef Programlama HEDEF PROGRAMLAMAYA GİRİŞ ÖNCELİKSİZ HEDEF PROGRAMLAMA ÖNCELİKLİ HEDEF PROGRAMLAMA HEDEF

Detaylı

GEDİZ ÜNİVERSİTESİ SİSTEM MÜHENDİSLİĞİ YÜKSEK LİSANS PROGRAMI SMY 544 ALGORİTMALAR GÜZ 2015

GEDİZ ÜNİVERSİTESİ SİSTEM MÜHENDİSLİĞİ YÜKSEK LİSANS PROGRAMI SMY 544 ALGORİTMALAR GÜZ 2015 GEDİZ ÜNİVERSİTESİ SİSTEM MÜHENDİSLİĞİ YÜKSEK LİSANS PROGRAMI SMY 544 ALGORİTMALAR GÜZ 2015 Algoritmalar Ders 9 Dinamik Programlama SMY 544, ALGORİTMALAR, Güz 2015 Ders#9 2 Dinamik Programlama Böl-ve-fethet

Detaylı

Çok değişkenli fonksiyonlar. Maksimum- Minimum

Çok değişkenli fonksiyonlar. Maksimum- Minimum 66 Bölüm 6 Ders 06 Çok değişkenli fonksiyonlar. Maksimum- Minimum 6.1 Çözümler:Alıştırmalar 06 Prof.Dr.Haydar Eş Prof.Dr.Timur Karaçay Ön Bilgi: z = f (x, y) fonksiyonu 3-boyutlu uzayda bir yüzeyin denklemidir.

Detaylı

YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI - III

YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI - III YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI - III Prof. Dr. Cemalettin KUBAT Yrd. Doç. Dr. Özer UYGUN İçerik Bu bölümde eşitsizlik kısıtlarına bağlı bir doğrusal olmayan kısıta sahip problemin belirlenen stasyoner noktaları

Detaylı

Endüstri Mühendisliğine Giriş

Endüstri Mühendisliğine Giriş Endüstri Mühendisliğine Giriş 5 ve 19 Aralık 2012, Şişli-Ayazağa, İstanbul, Türkiye. Yard. Doç. Dr. Kamil Erkan Kabak Endüstri Mühendisliği Bölümü,, Şişli-Ayazağa, İstanbul, Türkiye erkankabak@beykent.edu.tr

Detaylı

Gerçek uygulamalarda, standart normal olmayan sürekli bir rassal. değişken, sıfırdan farklı bir ortalama ve birden farklı standart sapma

Gerçek uygulamalarda, standart normal olmayan sürekli bir rassal. değişken, sıfırdan farklı bir ortalama ve birden farklı standart sapma 2 13.1 Normal Dağılımın Standartlaştırılması Gerçek uygulamalarda, standart normal olmayan sürekli bir rassal değişken, sıfırdan farklı bir ortalama ve birden farklı standart sapma değerleriyle normal

Detaylı

Her bir polis devriyesi ancak bir çağrıyı cevaplayabilir. Bir çağrıya en fazla bir devriye atanabilir.

Her bir polis devriyesi ancak bir çağrıyı cevaplayabilir. Bir çağrıya en fazla bir devriye atanabilir. 7. Atama Modelleri: Atama modelleri belli işlerin veya görevlerin belli kişi veya kurumlara atanması ile alakalıdır. Doğrusal programlama modellerinin bir türüdür ve yapı itibariyle ulaştırma modellerine

Detaylı

EXCEL DE BENZETİM ÖRNEKLERİ BMÜ-422 BENZETİM VE MODELLEME

EXCEL DE BENZETİM ÖRNEKLERİ BMÜ-422 BENZETİM VE MODELLEME EXCEL DE BENZETİM ÖRNEKLERİ BMÜ-422 BENZETİM VE MODELLEME GİRİŞ Bu bölümde benzetim için excel örnekleri önerilmektedir. Örnekler excel ile yapılabileceği gibi el ile de yapılabilir. Benzetim örnekleri

Detaylı

4.3. Türev ile İlgili Teoremler

4.3. Türev ile İlgili Teoremler 4.. Türev ile İlgili Teoremler Bu kesimde ortalama değer teoremini vereceğiz. Ortalama değer teoremini ispatlarken kullanılacak olan Fermat teoremini ve diğer bazı teoremleri ispat edeceğiz. 4...Teorem

Detaylı

Mühendislik Mekaniği Statik. Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş

Mühendislik Mekaniği Statik. Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş Mühendislik Mekaniği Statik Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş Bölüm 10 Eylemsizlik Momentleri Kaynak: Mühendislik Mekaniği: Statik, R. C.Hibbeler, S. C. Fan, Çevirenler: A. Soyuçok, Ö. Soyuçok. 10. Eylemsizlik Momentleri

Detaylı

SÜREKLİ RASSAL DEĞİŞKENLER

SÜREKLİ RASSAL DEĞİŞKENLER SÜREKLİ RASSAL DEĞİŞKENLER Sürekli Rassal Değişkenler Sürekli Rassal Değişken: Değerleriölçümyadatartımla elde edilen, bir başka anlatımla sayımla elde edilemeyen, değişkene sürekli rassal değişken denir.

Detaylı

DERS 6. Çok Değişkenli Fonksiyonlarda Maksimum Minimum

DERS 6. Çok Değişkenli Fonksiyonlarda Maksimum Minimum DERS Çok Değişkenli onksionlarda Maksimum Minimum.. Yerel Maksimum Yerel Minimum. z denklemi ile tanımlanan iki değişkenli bir onksionu ve bu onksionun tanım kümesi içinde ab R verilmiş olsun. Tanım. Eğer

Detaylı

Ayrık Fourier Dönüşümü

Ayrık Fourier Dönüşümü Ayrık Fourier Dönüşümü Tanım: 0 n N 1 aralığında tanımlı N uzunluklu bir dizi x[n] nin AYRIK FOURIER DÖNÜŞÜMÜ (DFT), ayrık zaman Fourier dönüşümü (DTFT) X(e jω ) nın0 ω < 2π aralığında ω k = 2πk/N, k =

Detaylı

KAPASİTE PLANLAMASI ve ÖLÇME KRİTERLERİ

KAPASİTE PLANLAMASI ve ÖLÇME KRİTERLERİ KAPASİTE PLANLAMASI ve ÖLÇME KRİTERLERİ Kuruluş yeri belirlenen bir üretim biriminin üretim miktarı açısından hangi büyüklükte veya kapasitede olması gerektiği işletme literatüründe kapasite planlaması

Detaylı

YAPI STATİĞİ II (Hiperstatik Sistemler) Yrd. Doç. Dr. Selçuk KAÇIN

YAPI STATİĞİ II (Hiperstatik Sistemler) Yrd. Doç. Dr. Selçuk KAÇIN YAPI STATİĞİ II (Hiperstatik Sistemler) Yrd. Doç. Dr. Selçuk KAÇIN Yapı Sistemleri: İzostatik (Statikçe Belirli) Sistemler : Bir sistemin tüm kesit tesirlerini (iç kuvvetlerini) ve mesnet reaksiyonlarını

Detaylı

KONU 3: DOĞRUSAL PROGRAMLAMA PROBLEMLERİ İLE İLGİLİ ÖRNEKLER

KONU 3: DOĞRUSAL PROGRAMLAMA PROBLEMLERİ İLE İLGİLİ ÖRNEKLER KONU 3: DOĞRUSAL PROGRAMLAMA PROBLEMLERİ İLE İLGİLİ ÖRNEKLER Örnek 1: Bir boya fabrikası hem iç hem dış boya üretiyor. Boya üretiminde A ve B olmak üzere iki tip hammadde kullanılıyor. Bir günde A hammaddesinden

Detaylı

Bir Doğrusal Programlama Modelinin Genel Yapısı

Bir Doğrusal Programlama Modelinin Genel Yapısı Bir Doğrusal Programlama Modelinin Genel Yapısı Amaç Fonksiyonu Kısıtlar M i 1 N Z j 1 N j 1 a C j x j ij x j B i Karar Değişkenleri x j Pozitiflik Koşulu x j >= 0 Bu formülde kullanılan matematik notasyonların

Detaylı

11. Sunum: İki Kapılı Devreler. Kaynak: Temel Mühendislik Devre Analizi, J. David IRWIN-R. Mark NELMS, Nobel Akademik Yayıncılık

11. Sunum: İki Kapılı Devreler. Kaynak: Temel Mühendislik Devre Analizi, J. David IRWIN-R. Mark NELMS, Nobel Akademik Yayıncılık 11. Sunum: İki Kapılı Devreler Kaynak: Temel Mühendislik Devre Analizi, J. David IRWIN-R. Mark NELMS, Nobel Akademik Yayıncılık 1 Giriş İki kapılı devreler giriş akımları ve gerilimleri ve çıkış akımları

Detaylı

Tedarik Zinciri Yönetimi

Tedarik Zinciri Yönetimi Tedarik Zinciri Yönetimi -Tedarikçi Seçme Kararları- Yrd. Doç. Dr. Mert TOPOYAN Satın Alma Bir ișletme, dıșarıdan alacağı malzeme ya da hizmetlerle ilgili olarak satın alma (tedarik) fonksiyonunda beș

Detaylı

İSG PROJE YÖNETİMİ ve ACİL DURUM PLÂNI

İSG PROJE YÖNETİMİ ve ACİL DURUM PLÂNI 29 İSG011 1/7 İSG PROJE YÖNETİMİ İSG PROJE YÖNETİMİ ve ACİL DURUM PLÂNI AMAÇ: İSG de Proje yönetimi ile tehlike araştırma yöntemleri hakkında bilgilendirme Slayt III BÖLÜM CPM GANT PERT YÖNTEMİLERİ VE

Detaylı

İşgücü Talebinin Tahmininde Sayısal ve. ve Ayrıntılı Yöntemler. İnsan Kaynakları Planlamasında Sayısal

İşgücü Talebinin Tahmininde Sayısal ve. ve Ayrıntılı Yöntemler. İnsan Kaynakları Planlamasında Sayısal İşgücü Talebinin Tahmininde Sayısal ve Sayısal Yrd. Doç. Dr. Rıza DEMİR İstanbul Üniversitesi İşletme Fakültesi İnsan Kaynakları Planlaması ve Seçimi Dersi 2017 Talep Tahmin i İnsan kaynakları talebi veya

Detaylı

Okut. Yüksel YURTAY. İletişim : (264) Sayısal Analiz. Giriş.

Okut. Yüksel YURTAY. İletişim :  (264) Sayısal Analiz. Giriş. Okut. Yüksel YURTAY İletişim : Sayısal Analiz yyurtay@sakarya.edu.tr www.cs.sakarya.edu.tr/yyurtay (264) 295 58 99 Giriş 1 Amaç : Mühendislik problemlerinin bilgisayar ortamında çözümünü mümkün kılacak

Detaylı

ULAŞTIRMA MODELİ VE ÇEŞİTLİ ULAŞTIRMA MODELLERİ

ULAŞTIRMA MODELİ VE ÇEŞİTLİ ULAŞTIRMA MODELLERİ ULAŞTIRMA MODELİ VE ÇEŞİTLİ ULAŞTIRMA MODELLERİ Özlem AYDIN Trakya Üniversitesi Bilgisayar Mühendisliği Bölümü ULAŞTıRMA MODELININ TANıMı Ulaştırma modeli, doğrusal programlama probleminin özel bir şeklidir.

Detaylı

12/27/2011. Yenileme kararları. Bu dersin amacı

12/27/2011. Yenileme kararları. Bu dersin amacı Yenileme kararları Bu dersin amacı Elimizdeki varlığı serviste tutmalı mıyız yoksa yeni bir makine ile değiştirmeli miyiz sorusuna cevap vermektir. Bu alternatifler birbirini dışlayan alternatiflerdir,

Detaylı

Planlama Seviyelerine Bir Bakış

Planlama Seviyelerine Bir Bakış Kısa Vade Planlama Ufku Orta Vade Şimdi 2 ay 1 yıl Uzun vade Toplam planlama: Orta vadeli kapasite planlaması. Genellikle 2 ila 12 aylık dönemi kapsar. Planlama Seviyelerine Bir Bakış Kısa vadeli planlar

Detaylı

SİSTEM MÜHENDİSLİĞİ DOĞRUSAL PROGRAMLAMA MODEL KURMA ÖRNEKLERİ

SİSTEM MÜHENDİSLİĞİ DOĞRUSAL PROGRAMLAMA MODEL KURMA ÖRNEKLERİ SİSTEM MÜHENDİSLİĞİ DOĞRUSAL PROGRAMLAMA MODEL KURMA ÖRNEKLERİ Örnek (2-5) Güzel-Giyim konfeksiyon piyasaya ceket, etek ve elbise yapmaktadır. Konfeksiyoncu, ceketi, eteği ve elbiseyi kendisinin A1, A2

Detaylı

TAMSAYILI PROGRAMLAMA

TAMSAYILI PROGRAMLAMA TAMSAYILI PROGRAMLAMA Doğrusal programlama problemlerinde sık sık çözümün tamsayı olması gereken durumlar ile karşılaşılır. Örneğin ele alınan problem masa, sandalye, otomobil vb. üretimlerinin optimum

Detaylı

Algoritmalar, Akış Şemaları ve O() Karmaşıklık Notasyonu

Algoritmalar, Akış Şemaları ve O() Karmaşıklık Notasyonu Algoritmalar, Akış Şemaları ve O() Karmaşıklık Notasyonu Öğr. Gör. M. Ozan AKI r1.0 Algoritmalar (Algorithms) Algoritma, bir problemin çözümünü sağlayan ancak deneme-yanılma ve sezgisel çözüme karşıt bir

Detaylı

BÖLÜM 4: MADDESEL NOKTANIN KİNETİĞİ: İMPULS ve MOMENTUM

BÖLÜM 4: MADDESEL NOKTANIN KİNETİĞİ: İMPULS ve MOMENTUM BÖLÜM 4: MADDESEL NOKTANIN KİNETİĞİ: İMPULS ve MOMENTUM 4.1. Giriş Bir önceki bölümde, hareket denklemi F = ma nın, maddesel noktanın yer değiştirmesine göre integrasyonu ile elde edilen iş ve enerji denklemlerini

Detaylı

Stok Kontrol. Önceki Derslerin Hatırlatması. Örnek (Ekonomik Sipariş Miktarı Modeli)(2) Örnek (Ekonomik Sipariş Miktarı Modeli)(1)

Stok Kontrol. Önceki Derslerin Hatırlatması. Örnek (Ekonomik Sipariş Miktarı Modeli)(2) Örnek (Ekonomik Sipariş Miktarı Modeli)(1) Stok Kontrol Önceki Derslerin Hatırlatması Ders 7 Farklı Bir Stok Yönetimi Durumu Uzun Dönemli Stok Problemi Talep hızı sabit, biliniyor Birim ürün maliyeti sabit Sipariş maliyeti sabit Tedarik Süresi

Detaylı

ARAZİ ÖLÇMELERİ. Temel Ödev I: Koordinatları belirli iki nokta arasında ki yatay mesafenin

ARAZİ ÖLÇMELERİ. Temel Ödev I: Koordinatları belirli iki nokta arasında ki yatay mesafenin Temel ödevler Temel ödevler, konum değerlerinin bulunması ve aplikasyon işlemlerine dair matematiksel ve geometrik hesaplamaları içeren yöntemlerdir. öntemlerin isimleri genelde temel ödev olarak isimlendirilir.

Detaylı

1203608-SIMÜLASYON DERS SORUMLUSU: DOÇ. DR. SAADETTIN ERHAN KESEN. Ders No:5 Rassal Değişken Üretimi

1203608-SIMÜLASYON DERS SORUMLUSU: DOÇ. DR. SAADETTIN ERHAN KESEN. Ders No:5 Rassal Değişken Üretimi 1203608-SIMÜLASYON DERS SORUMLUSU: DOÇ. DR. SAADETTIN ERHAN KESEN Ders No:5 RASSAL DEĞIŞKEN ÜRETIMI Bu bölümde oldukça yaygın bir biçimde kullanılan sürekli ve kesikli dağılımlardan örneklem alma prosedürleri

Detaylı

ULAŞTIRMA MODELİ VE ÇEŞİTLİ ULAŞTIRMA MODELLERİ

ULAŞTIRMA MODELİ VE ÇEŞİTLİ ULAŞTIRMA MODELLERİ ULAŞTIRMA MODELİ VE ÇEŞİTLİ ULAŞTIRMA MODELLERİ Özlem AYDIN Trakya Üniversitesi Bilgisayar Mühendisliği Bölümü ULAŞTIRMA MODELİNİN TANIMI Ulaştırma modeli, doğrusal programlama probleminin özel bir şeklidir.

Detaylı

KARINCA KOLONİ ALGORİTMASI BMÜ-579 Meta Sezgisel Yöntemler. Yrd. Doç. Dr. İlhan AYDIN Fırat Üniversitesi, Bilgisayar Mühendisliği Bölümü

KARINCA KOLONİ ALGORİTMASI BMÜ-579 Meta Sezgisel Yöntemler. Yrd. Doç. Dr. İlhan AYDIN Fırat Üniversitesi, Bilgisayar Mühendisliği Bölümü KARINCA KOLONİ ALGORİTMASI BMÜ-579 Meta Sezgisel Yöntemler Yrd. Doç. Dr. İlhan AYDIN Fırat Üniversitesi, Bilgisayar Mühendisliği Bölümü Karınca Koloni Algoritması Bilim adamları, böcek davranışlarını inceleyerek

Detaylı

Gazi Üniversitesi Endüstri Mühendisliği Bölümü. ENM 307 Mühendislik Ekonomisi. Ders Sorumlusu: Prof. Dr. Zülal GÜNGÖR

Gazi Üniversitesi Endüstri Mühendisliği Bölümü. ENM 307 Mühendislik Ekonomisi. Ders Sorumlusu: Prof. Dr. Zülal GÜNGÖR Gazi Üniversitesi Endüstri Mühendisliği Bölümü ENM 307 Mühendislik Ekonomisi Ders Sorumlusu: Prof. Dr. Zülal GÜNGÖR Oda No:850 Telefon: 231 74 00/2850 E-mail: zulal@mmf.gazi.edu.tr Gazi Üniversitesi Endüstri

Detaylı

ENM 525 İleri Üretim Planlama ve Kontrolü PAÜ Fen Bilimleri Enstitüsü Endüstri Mühendisliği Ana Bilim Dalı

ENM 525 İleri Üretim Planlama ve Kontrolü PAÜ Fen Bilimleri Enstitüsü Endüstri Mühendisliği Ana Bilim Dalı ENM 525 İleri Üretim Planlama ve Kontrolü PAÜ Fen Bilimleri Enstitüsü Endüstri Mühendisliği Ana Bilim Dalı Bu ders notları, 2012-2013 ve 2013-2014 Bahar yarıyılında PAÜ Endüstri Mühendisliği bölümünde

Detaylı

Gazi Üniversitesi, Kimya Mühendisliği Bölümü KM 378 Mühendislik Ekonomisi

Gazi Üniversitesi, Kimya Mühendisliği Bölümü KM 378 Mühendislik Ekonomisi Problem Seti 1 (Arz-Talep) 1. Bir firma, satış fiyatı ile talep arasında D=780$-10p eşitliğini geliştirmiştir. Aylık sabit gider 800$ ve ürün başına değişken gider 30$ dır. Aylık karı maksimum yapmak için

Detaylı

OLASILIK (Probability)

OLASILIK (Probability) OLASILIK (Probability) Olasılık, bir olayın meydana gelme, ortaya çıkma şansını ifade eder ve P ile gösterilir. E i ile gösterilen bir basit olayın olasılığı P (E i ), A bileşik olayının olasılığıysa P

Detaylı

Faktöriyel: 1'den n'ye kadar olan tüm pozitif tamsayıların çarpımına, biçiminde gösterilir. Aynca; 0! = 1 ve 1!=1 1 dir. [Bunlar kabul değildir,

Faktöriyel: 1'den n'ye kadar olan tüm pozitif tamsayıların çarpımına, biçiminde gösterilir. Aynca; 0! = 1 ve 1!=1 1 dir. [Bunlar kabul değildir, 14. Binom ve Poisson olasılık dağılımları Faktöriyeller ve kombinasyonlar Faktöriyel: 1'den n'ye kadar olan tüm pozitif tamsayıların çarpımına, n! denir ve n! = 1.2.3...(n-2).(n-l).n biçiminde gösterilir.

Detaylı

= 2 6 Türevsel denkleminin 1) denge değerlerinin bulunuz. 2) Bulmuş olduğunuz dengenin istikrarlı olup olmadığını tespit ediniz.

= 2 6 Türevsel denkleminin 1) denge değerlerinin bulunuz. 2) Bulmuş olduğunuz dengenin istikrarlı olup olmadığını tespit ediniz. Siyasal Bilgiler Fakültesi İktisat Bölümü Matematiksel İktisat Ders Notu Prof. Dr. Hasan Şahin Faz Diyagramı Çizimi Açıklamarı = 2 6 Türevsel denkleminin 1) denge değerlerinin bulunuz. 2) Bulmuş olduğunuz

Detaylı

YENİLEME / MUHAFAZA ETME (REPLACEMENT / RETENTION)

YENİLEME / MUHAFAZA ETME (REPLACEMENT / RETENTION) SAKARYA ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ MÜHENDİSLİK EKONOMİSİ -10 / MUHAFAZA ETME (REPLACEMENT / RETENTION) Haz.: Doç. Dr. Ahmet DEMİRER KAYNAKLAR: 1-Mustafa KUTANİŞ, SAÜ. İnşaat Müh. Ders notları, 2014.

Detaylı

MAK 210 SAYISAL ANALİZ

MAK 210 SAYISAL ANALİZ MAK 210 SAYISAL ANALİZ BÖLÜM 6- İSTATİSTİK VE REGRESYON ANALİZİ Doç. Dr. Ali Rıza YILDIZ 1 İSTATİSTİK VE REGRESYON ANALİZİ Bütün noktalardan geçen bir denklem bulmak yerine noktaları temsil eden, yani

Detaylı

TEMEL KAVRAMLAR MÜHENDİSLİK EKONOMİSİ GİRİŞ GİRİŞ

TEMEL KAVRAMLAR MÜHENDİSLİK EKONOMİSİ GİRİŞ GİRİŞ GİRİŞ MÜHENDİSLİK EKONOMİSİ Yrd. Doç. Dr. Beytullah EREN beren@sakarya.edu.tr 0264 295 5642 Günümüzde tüm üretim faaliyetleri ve mühendislik hizmetlerinin ne derece ekonomik olup olmadığı ilk aşamada dikkate

Detaylı

OYUN TEORİSİ. Özlem AYDIN. Trakya Üniversitesi Bilgisayar Mühendisliği Bölümü

OYUN TEORİSİ. Özlem AYDIN. Trakya Üniversitesi Bilgisayar Mühendisliği Bölümü OYUN TEORİSİ Özlem AYDIN Trakya Üniversitesi Bilgisayar Mühendisliği Bölümü TANIM ''Oyun Teorisi'', iki yada daha fazla rakibi belirli kurallar altında birleştirerek karşılıklı olarak çelişen olasılıklar

Detaylı

Mühendislik Ekonomisi

Mühendislik Ekonomisi Mühendislik Ekonomisi Dersin Koordinatörü Prof. Dr. Orhan TORKUL Dersi Verenler Yrd. Doç. Dr. Alper GÖKSU Yrd. Doç. Dr. Abdülkadir HIZIROĞLU Yrd. Doç. Dr. Tijen ÖVER ÖZÇELİK Dr. Halil İbrahim CEBECİ Dersin

Detaylı

Nedensel Modeller Y X X X

Nedensel Modeller Y X X X Tahmin Yöntemleri Nedensel Modeller X 1, X 2,...,X n şeklinde tanımlanan n değişkenin Y ile ilgili olmakta; Y=f(X 1, X 2,...,X n ) şeklinde bir Y fonksiyonu tanımlanmaktadır. Fonksiyon genellikle aşağıdaki

Detaylı

YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI - III

YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI - III YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI - III Prof. Dr. Cemalettin KUBAT Yrd. Doç. Dr. Özer UYGUN İçerik Quadratic Programming Bir karesel programlama modeli aşağıdaki gibi tanımlanır. Amaç fonksiyonu: Maks.(veya Min.) z

Detaylı

Gezgin Satıcı Probleminin İkili Kodlanmış Genetik Algoritmalarla Çözümünde Yeni Bir Yaklaşım. Mehmet Ali Aytekin Tahir Emre Kalaycı

Gezgin Satıcı Probleminin İkili Kodlanmış Genetik Algoritmalarla Çözümünde Yeni Bir Yaklaşım. Mehmet Ali Aytekin Tahir Emre Kalaycı Gezgin Satıcı Probleminin İkili Kodlanmış Genetik Algoritmalarla Çözümünde Yeni Bir Yaklaşım Mehmet Ali Aytekin Tahir Emre Kalaycı Gündem Gezgin Satıcı Problemi GSP'yi Çözen Algoritmalar Genetik Algoritmalar

Detaylı

ATAMA (TAHSİS) MODELİ

ATAMA (TAHSİS) MODELİ ATAMA (TAHSİS) MODELİ ATAMA (TAHSİS) MODELİ Doğrusal programlamada kullanılan bir başka hesaplama yöntemidir. Atama problemleri, doğrusal programlama (simpleks yöntem) veya transport probleminin çözüm

Detaylı

SAYISAL ÇÖZÜMLEME. Yrd.Doç.Dr.Esra Tunç Görmüş. 1.Hafta

SAYISAL ÇÖZÜMLEME. Yrd.Doç.Dr.Esra Tunç Görmüş. 1.Hafta SAYISAL ÇÖZÜMLEME Yrd.Doç.Dr.Esra Tunç Görmüş 1.Hafta Sayısal çözümleme nümerik analiz nümerik çözümleme, approximate computation mühendislikte sayısal yöntemler Computational mathematics Numerical analysis

Detaylı

MONTE CARLO BENZETİMİ

MONTE CARLO BENZETİMİ MONTE CARLO BENZETİMİ U(0,1) rassal değişkenler kullanılarak (zamanın önemli bir rolü olmadığı) stokastik ya da deterministik problemlerin çözümünde kullanılan bir tekniktir. Monte Carlo simülasyonu, genellikle

Detaylı

7. BÖLÜM İÇ ÇARPIM UZAYLARI İÇ ÇARPIM UZAYLARI İÇ ÇARPIM UZAYLARI İÇ ÇARPIM UZAYLARI .= 1 1 + + Genel: Vektörler bölümünde vektörel iç çarpım;

7. BÖLÜM İÇ ÇARPIM UZAYLARI İÇ ÇARPIM UZAYLARI İÇ ÇARPIM UZAYLARI İÇ ÇARPIM UZAYLARI .= 1 1 + + Genel: Vektörler bölümünde vektörel iç çarpım; İÇ ÇARPIM UZAYLARI 7. BÖLÜM İÇ ÇARPIM UZAYLARI Genel: Vektörler bölümünde vektörel iç çarpım;.= 1 1 + + Açıklanmış ve bu konu uzunluk ve uzaklık kavramlarını açıklamak için kullanılmıştır. Bu bölümde öklit

Detaylı

MALİYETE GÖRE FİYATLANDIRMA

MALİYETE GÖRE FİYATLANDIRMA MALİYETE GÖRE FİYATLANDIRMA Ürün fiyatlama kararlarında ilk adım fiyat belirleme olduğuna göre öncelikle fiyatın belirlenmesi gerekmektedir. Maliyete göre fiyatlandırma yapılırken ürünün maliyeti dikkate

Detaylı

EŞİTLİK KISITLI TÜREVLİ YÖNTEMLER

EŞİTLİK KISITLI TÜREVLİ YÖNTEMLER EŞİTLİK KISITLI TÜREVLİ YÖNTEMLER LAGRANGE YÖNTEMİ Bu metodu incelemek için Amaç fonksiyonu Min.z= f(x) Kısıtı g(x)=0 olan problemde değişkenler ve kısıtlar genel olarak şeklinde gösterilir. fonksiyonlarının

Detaylı

VERİ MADENCİLİĞİ (Kümeleme) Yrd.Doç.Dr. Kadriye ERGÜN

VERİ MADENCİLİĞİ (Kümeleme) Yrd.Doç.Dr. Kadriye ERGÜN VERİ MADENCİLİĞİ (Kümeleme) Yrd.Doç.Dr. Kadriye ERGÜN kergun@balikesir.edu.tr İçerik Kümeleme İşlemleri Kümeleme Tanımı Kümeleme Uygulamaları Kümeleme Yöntemleri Kümeleme (Clustering) Kümeleme birbirine

Detaylı

MAK 210 SAYISAL ANALİZ

MAK 210 SAYISAL ANALİZ MAK 210 SAYISAL ANALİZ BÖLÜM 8- SAYISAL İNTEGRASYON 1 GİRİŞ Mühendislikte sık karşılaşılan matematiksel işlemlerden biri integral işlemidir. Bilindiği gibi integral bir büyüklüğün toplam değerinin bulunması

Detaylı

Tedarik Zincirlerinde Yer Seçimi Kararları (Location Decisions)

Tedarik Zincirlerinde Yer Seçimi Kararları (Location Decisions) Tedarik Zincirlerinde Yer Seçimi Kararları (Location Decisions) Öğr. Üyesi: Öznur Özdemir Kaynak: Waters, D. (2009). Supply Chain Management: An Introduction to Logistics, Palgrave Macmillan, New York

Detaylı

Kuyruk Sistemlerinin Simülasyonu

Kuyruk Sistemlerinin Simülasyonu Kuyruk Sistemlerinin Simülasyonu Kuyruk sistemlerinin simülasyonu sonraki adımda ne olacağını belirlemek üzere bir olay listesinin tutulmasını ve bakımını gerektirir. Simülasyonda olaylar genellikle gerçek

Detaylı

Doğrusal Programlama. Prof. Dr. Ferit Kemal Sönmez

Doğrusal Programlama. Prof. Dr. Ferit Kemal Sönmez Doğrusal Programlama Prof. Dr. Ferit Kemal Sönmez Doğrusal Programlama Belirli bir amacın gerçekleşmesini etkileyen bazı kısıtlayıcı koşulların ve bu kısıtlayıcı koşulların doğrusal eşitlik ya da eşitsizlik

Detaylı

PROJE YÖNETİMİ: PERT VE CPM ANALİZİ: Prof. Dr. Şevkinaz Gümüşoğlu (I.Üretim Araştırmaları Sempozyumu, Bildiriler Kitabı-İTÜ Yayını, Ekim1997, İstanbul

PROJE YÖNETİMİ: PERT VE CPM ANALİZİ: Prof. Dr. Şevkinaz Gümüşoğlu (I.Üretim Araştırmaları Sempozyumu, Bildiriler Kitabı-İTÜ Yayını, Ekim1997, İstanbul PROJE YÖNETİMİ: PERT VE CPM ANALİZİ: Prof. Dr. Şevkinaz Gümüşoğlu (I.Üretim Araştırmaları Sempozyumu, Bildiriler Kitabı-İTÜ Yayını, Ekim1997, İstanbul Proje:Belirli bir işin tamamlanabilmesi için yapılması

Detaylı

JEOİD ve JEOİD BELİRLEME

JEOİD ve JEOİD BELİRLEME JEOİD ve JEOİD BELİRLEME İÇİNDEKİLER GİRİŞ JEODEZİDE YÜKSEKLİK SİSTEMLERİ Jeopotansiyel Yükseklikler (C) Dinamik Yükseklikler (H D ) Normal Yükseklik (H N ) Elipsoidal Yükseklik Ortometrik Yükseklik Atmosferik

Detaylı

Stok Kontrol. Önceki Derslerin Hatırlatması. Örnek (Ekonomik Sipariş Miktarı Modeli)(1) Örnek (Ekonomik Sipariş Miktarı Modeli)(2)

Stok Kontrol. Önceki Derslerin Hatırlatması. Örnek (Ekonomik Sipariş Miktarı Modeli)(1) Örnek (Ekonomik Sipariş Miktarı Modeli)(2) Stok Kontrol Önceki Derslerin Hatırlatması Ders 5 Farklı Bir Stok Yönetimi Durumu Uzun Dönemli Stok Problemi Talep hızı sabit oranlı, biliniyor Birim ürün maliyeti sabit Sipariş maliyeti sabit Tedarik

Detaylı

İbrahim Küçükkoç Arş. Gör.

İbrahim Küçükkoç Arş. Gör. Doğrusal Programlamada Karışım Problemleri İbrahim Küçükkoç Arş. Gör. Balikesir Üniversitesi Endüstri Mühendisliği Bölümü Mühendislik-Mimarlık Fakültesi Çağış Kampüsü 10145 / Balıkesir 0 (266) 6121194

Detaylı

Örnek: bir montaj hattı için Dizayn Kapasitesi=100 adet/gün; Etkin Kapasite=80 adet/gün; Gerçek Kapasite=72 adet/gün olarak verildiğinde; Verimlilik=

Örnek: bir montaj hattı için Dizayn Kapasitesi=100 adet/gün; Etkin Kapasite=80 adet/gün; Gerçek Kapasite=72 adet/gün olarak verildiğinde; Verimlilik= 1 Kapasite, üretim oranı olarak ölçüldüğünde, gerçek üretim miktarının maksimum üretim miktarına oranı söz konusudur. Maksimum üretim fiziksel yapı ile ilgili olduğundan kolay belirlenebilir. Ancak gerçek

Detaylı

Tedarik Zinciri Yönetimi

Tedarik Zinciri Yönetimi Tedarik Zinciri Yönetimi -Tedarik Zinciri Ağı Tasarımı- Yrd. Doç. Dr. Mert TOPOYAN Ağ tasarımı, tedarik zinciri açısından üç karar düzeyini de ilgilendiren ve bu düzeylerde etkisi olan bir konudur. Zincirin

Detaylı

GİRİŞİMİM GELECEĞİM PROJESİ GİRİŞİMCİLİK EĞİTİMİ. Konu: Girişim Finansmanı Ders: Yatırım Döneminde Dikkat Edilmesi Gereken Noktalar

GİRİŞİMİM GELECEĞİM PROJESİ GİRİŞİMCİLİK EĞİTİMİ. Konu: Girişim Finansmanı Ders: Yatırım Döneminde Dikkat Edilmesi Gereken Noktalar GİRİŞİMİM GELECEĞİM PROJESİ GİRİŞİMCİLİK EĞİTİMİ Konu: Girişim Finansmanı Ders: Yatırım Döneminde Dikkat Edilmesi Gereken Noktalar YATIRIM PROJELERİ YÜKSEK MALİYETLİDİR Yatırım bütçesi, şirketler için

Detaylı

Daha iyi, daha sorunsuz, daha kolay, daha cazip, daha ekonomik olana ulaşabilmek içinse;

Daha iyi, daha sorunsuz, daha kolay, daha cazip, daha ekonomik olana ulaşabilmek içinse; Soruna yol açan temel nedenleri belirlemek için bir yöntem: Hata Ağacı Sorun hayatta olmanın, sorunu çözmeye çalışmak daha iyiye ulaşma çabalarının göstergesi. Sorunu sıkıntı veren, olumsuz olay ya da

Detaylı

KARAR TEORİSİ. Özlem AYDIN. Trakya Üniversitesi Bilgisayar Mühendisliği Bölümü

KARAR TEORİSİ. Özlem AYDIN. Trakya Üniversitesi Bilgisayar Mühendisliği Bölümü KARAR TEORİSİ Özlem AYDIN Trakya Üniversitesi Bilgisayar Mühendisliği Bölümü Karar Ortamları Karar Analizi, alternatiflerin en iyisini seçmek için akılcı bir sürecin kullanılması ile ilgilenir. Seçilen

Detaylı

*İlk aşamada, bahsedilen problemin matematiksel modelinin kurulması gerekmektedir. İlgili modelin açık ve kapalı formunu birlikte veriniz.

*İlk aşamada, bahsedilen problemin matematiksel modelinin kurulması gerekmektedir. İlgili modelin açık ve kapalı formunu birlikte veriniz. Yöneylem Araştırması Proje Ödevi Teslim Tarihi: 04.12.2017 *İlk aşamada, bahsedilen problemin matematiksel modelinin kurulması gerekmektedir. İlgili modelin açık ve kapalı formunu birlikte veriniz. Filo

Detaylı

Stok Yönetimi. Pamukkale Üniversitesi Endüstri Mühendisliği Bölümü IENG 227 Modern Üretim Yaklaşımları

Stok Yönetimi. Pamukkale Üniversitesi Endüstri Mühendisliği Bölümü IENG 227 Modern Üretim Yaklaşımları Stok Yönetimi Pamukkale Üniversitesi Endüstri Mühendisliği Bölümü IENG 227 Modern Üretim Yaklaşımları Stok nedir? Stok, işletmenin ihtiyaçlarını karşılamak üzere bulundurduğu bitmiş ürün veya çeşitli düzeylerden

Detaylı

DERS 8 BELIRSIZ TALEP DURUMUNDA STOK KONTROL. Zamanlama Kararları. Bir Seferlik Karar

DERS 8 BELIRSIZ TALEP DURUMUNDA STOK KONTROL. Zamanlama Kararları. Bir Seferlik Karar DERS 8 BELIRSIZ TALEP DURUMUNDA STOK KONTROL Zamanlama Kararları Miktar kararları Ne zaman sipariş verilecek? kararıyla birlikte verilir. Bu karar, stok yönetimindeki ana kararlardan biridir. Ne zaman

Detaylı

BÖLÜM 6 MERKEZDEN DAĞILMA ÖLÇÜLERİ

BÖLÜM 6 MERKEZDEN DAĞILMA ÖLÇÜLERİ 1 BÖLÜM 6 MERKEZDEN DAĞILMA ÖLÇÜLERİ Gözlenen belli bir özelliği, bu özelliğe ilişkin ölçme sonuçlarını yani verileri kullanarak betimleme, istatistiksel işlemlerin bir boyutunu oluşturmaktadır. Temel

Detaylı

Ödev TeslimTarihi 12.Ocak 2010 KAR PLANLAMASI

Ödev TeslimTarihi 12.Ocak 2010 KAR PLANLAMASI İTÜ Tekstil Teknolojileri ve Tasarımı Fakültesi / Tekstil Mühendisliği Bölümü 2009-2010Öğretim Yılı / Güz Yarıyılı TEK485-MALİYET MUHASEBESİ DERSİ ÖDEV5 (YÖNETİM MUHASEBESİ) 30.Aralık.2009 Ödev TeslimTarihi

Detaylı

MAK 210 SAYISAL ANALİZ

MAK 210 SAYISAL ANALİZ MAK 210 SAYISAL ANALİZ BÖLÜM 5- SONLU FARKLAR VE İNTERPOLASYON TEKNİKLERİ Doç. Dr. Ali Rıza YILDIZ MAK 210 - Sayısal Analiz 1 İNTERPOLASYON Tablo halinde verilen hassas sayısal değerler veya ayrık noktalardan

Detaylı

BAŞABAŞ NOKTASI ANALİZİ

BAŞABAŞ NOKTASI ANALİZİ BAŞABAŞ NOKTASI ANALİZİ Herhangi bir işe girişirken, genellikle o iş için harcanacak çaba ve kaynaklarla, o işten sağlanacak fayda karşılaştırılır. Bu karşılaştırmada amaç, kaynaklara (üretim faktörlerine)

Detaylı

RASSAL DEĞİŞKENLER VE OLASILIK DAĞILIMLARI. Yrd. Doç. Dr. Emre ATILGAN

RASSAL DEĞİŞKENLER VE OLASILIK DAĞILIMLARI. Yrd. Doç. Dr. Emre ATILGAN RASSAL DEĞİŞKENLER VE OLASILIK DAĞILIMLARI Yrd. Doç. Dr. Emre ATILGAN 1 RASSAL DEĞİŞKENLER VE OLASILIK DAĞILIMLARI Olasılığa ilişkin olayların çoğunluğunda, deneme sonuçlarının bir veya birkaç yönden incelenmesi

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

İSTATİSTİK II (İST202U)

İSTATİSTİK II (İST202U) İSTATİSTİK II (İST202U) KISA ÖZET KOLAYAOF DİKKATİNİZE: BURADA SADECE ÖZETİN İLK ÜNİTESİ SİZE ÖRNEK OLARAK GÖSTERİLMİŞTİR. ÖZETİN TAMAMININ KAÇ SAYFA OLDUĞUNU ÜNİTELERİ İÇİNDEKİLER BÖLÜMÜNDEN GÖREBİLİRSİNİZ.

Detaylı

KUYRUK TEORİSİ (BEKLEME HATTİ MODELLERİ) Hazırlayan: Özlem AYDIN

KUYRUK TEORİSİ (BEKLEME HATTİ MODELLERİ) Hazırlayan: Özlem AYDIN KUYRUK TEORİSİ (BEKLEME HATTİ MODELLERİ) Hazırlayan: Özlem AYDIN GİRİŞ Bir hizmet için beklemek günlük yaşantının bir parçasıdır. Örneğin, restoranlarda yemek yemek için bekleme, hastanelerdeki hasta kuyruğunda

Detaylı

fonksiyonu aralığında sürekli bir fonksiyon ve için ise olur. Eğer bu aralıktaki bütün x ler için ise bu fonksiyonun noktasında bir minimumu vardır.

fonksiyonu aralığında sürekli bir fonksiyon ve için ise olur. Eğer bu aralıktaki bütün x ler için ise bu fonksiyonun noktasında bir minimumu vardır. TÜREV UYGULAMALARI Bölüm içinde maksimum, minimum, artan ve azalan fonksiyonlar, büküm noktası, teğet, normal ve belirsizliğin türev yardımıyla giderilmesi işlenmektedir. 11.1 Maksimum ve Minimum (Ekstremum)

Detaylı

İŞLETME VE ORGANİZASYON STAJI UYGULAMA ESASLARI

İŞLETME VE ORGANİZASYON STAJI UYGULAMA ESASLARI İŞLETME VE ORGANİZASYON STAJI UYGULAMA ESASLARI ENDÜSTRİ MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ İŞLETME VE ORGANİZASYON STAJI UYGULAMA ESASLARI 2014 İŞLETME VE ORGANİZASYON STAJI UYGULAMA ESASLARI Açıklama Staj yapılan işletmelerde

Detaylı

RASSAL SAYI ÜRETİLMESİ

RASSAL SAYI ÜRETİLMESİ Dr. Mehmet AKSARAYLI Ekonometri Böl. Simülasyon Ders Notları Rassal Sayı Üretilmesi RASSAL SAYI ÜRETİLMESİ Simülasyon analizinde kullanılacak az sayıda rassal sayı üretimi için ilkel yöntemler kullanılabilir.

Detaylı

rasgele değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu,

rasgele değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu, 3.6. Bazı Sürekli Dağılımlar 3.6.1 Normal Dağılım Normal dağılım hem uygulamalı hem de teorik istatistikte kullanılan oldukça önemli bir dağılımdır. Normal dağılımın istatistikte önemli bir yerinin olmasının

Detaylı

Ashi112.Net Teknik Servis Modülü Kullanım Klavuzu

Ashi112.Net Teknik Servis Modülü Kullanım Klavuzu Ashi112.Net Teknik Servis Modülü Kullanım Klavuzu 1-Tanımlamalar 1.1-Teknik Servis Birimlerinin Oluşturulması Merkez/Tanımlamalar/Operasyonel Birim Tanımlama Başhekimlikte ilgili teknik destek birimleri

Detaylı

EM302 Yöneylem Araştırması 2. Dr. Özgür Kabak

EM302 Yöneylem Araştırması 2. Dr. Özgür Kabak EM302 Yöneylem Araştırması 2 Dr. Özgür Kabak GAMS Giriş GAMS (The General Algebraic Modeling System) matematiksel proglamlama ve optimizasyon için tasarlanan yüksek seviyeli bir dildir. Giriş dosyası:

Detaylı

Üretim Planlarında AÜP'nin Yeri

Üretim Planlarında AÜP'nin Yeri Ana Üretim Programı Ana Üretim Programı Nihai ürünlerin üretimi için yapılan programdır. Ana üretim programı, bütünleşik üretim planını detaylandırarak üretilecek ürün kalemlerine çevirir. Seçenek planları

Detaylı