Teori ve Problemleriyle ANALİZ-I. Hüseyin DEMİR. 2. Baskı

Transkript

1 Teori ve Problemleriyle NLİZ-I Hüseyin DEMİR 2. Baskı

2 Yrd. Doç. Dr. Hüseyin Demir TEORİ VE PROBLEMLERİYLE NLİZ-I ISBN Kiap içeriğinin üm sorumluluğu yazarlarına aiir. 2014, Pegem kademi Bu kiabın basım, yayın ve saış hakları Pegem kademi Yay. Eğ. Dan. Hizm. Tic. Ld. Şi.ne aiir. nılan kuruluşun izni alınmadan kiabın ümü ya da bölümleri, kapak asarımı; mekanik, elekronik, fookopi, manyeik, kayı ya da başka yönemlerle çoğalılamaz, basılamaz, dağıılamaz. Bu kiap T.C. Külür Bakanlığı bandrolü ile saılmakadır. Okuyucularımızın bandrolü olmayan kiaplar hakkında yayınevimize bilgi vermesini ve bandrolsüz yayınları saın almamasını diliyoruz. 1. Baskı: ğusos 2008, nkara 2. Baskı: Eylül 2014, nkara Yayın-Proje Yönemeni: yşegül Eroğlu Dizgi-Grafik Tasarım: Gamze Dumlupınar Kapak Tasarımı: Gürsel vcı Baskı: yrını Basım Yayın ve Mabaacılık Ld. Si İvedik Organize Sanayi 28. Cadde 770. Sokak No: 105/ Yenimahalle/NKR ( ) Yayıncı Serifika No: Mabaa Serifika No: İleişim Karanfil 2 Sokak No: 45 Kızılay / NKR Yayınevi Yayınevi Belgeç: Dağıım: Dağıım Belgeç: Hazırlık Kursları: İnerne: E-ilei: pegem@pegem.ne

3 ÖN SÖZ Bu kiap Eğiim Faküleleri İlköğreim Maemaik Öğremenliği Lisans Programı nın ikinci sınıflarında okuulmaka olan NLİZ I dersinin içeriğine göre hazırlanmışır. yrıca Eğiim Faküleleri İlköğreim Fen Bilgisi Öğremenliği ve Bilgisayar ve Öğreim Teknolojileri Eğiimi Lisans Programı MTEMTİK I-II derslerinin konularının ve yine Fen-Edebiya Faküleleri Maemaik Bölümü NLİZ I-II derslerinin içeriklerini de kapsamakadır. Kiapa konularla ilgili kimi anımlar verilmeden önce, anımlara anlaşılır bir emel oluşurmak amacıyla, sade örnekler verilmişir. Sonra, konuyu daha anlaşılır kılmak adına bol örnek çözülmüş, çözümlerde yapılanların nedenleri anlaılarak, mümkün olduğunca grafiklerle ve şekillerle deseklenmişir. On ünie olarak düzenlenen kiapa büün ünielerde amamı çözülmüş 680 ane probleme yer verilmişir. yrıca öğrenilenlerin, kalıcı anlaşılırlığını sağlamak adına, 527 ane alışırma ile deseklenmişir. Kiabı hazırlarken haa yapmamaya özen göserdim. Faka yine de gözden kaçan haalar olabileceğini gözardı emiyorum. Bu ip haalar için şimdiden özür diliyorum. Haalardan haberdar eden okuyucularıma eşekkür eder, minne duygularımı sunarım. Özellikle kiabın bilgisayarda yazımı için büyük emek harcayan Elif kbalık Hanımefendi ye ve baskıya hazırlanmasında emeği geçen diğer Pegem kademi çalışanlarına eşekkür ederim. Yrd. Doç. Dr. Hüseyin DEMİR masya Üniversiesi Öğreim Üyesi

4 Yrd. Doç. Dr. Hüseyin DEMİR Yrd. Doç. Dr. Hüseyin DEMİR, 1955 yılında Iğdır da doğdu. İlk, ora ve lise öğrenimini Iğdır da amamlayarak, 1977 yılında aürk Üniversiesi Fen Fakülesi Maemaik Bölümü nü biirdi yılında Samsun Çarşamba Lisesi nde öğremen olarak göreve başladı. Sonra sırasıyla Bursa Eğiim Ensiüsü (Bursa Eğiim Fakülesi), Bursa İznik Lisesi, Samsun Bafra Lisesi, Samsun Ondokuzmayıs Lisesi nde görevlerde bulundu yılında Ondokuzmayıs Üniversiesi Fen Bilimleri Ensiüsü nde Maemaik Eğiimi Bilim Dalı nda yüksek lisansını amamlayarak, 1994 yılında adı geçen üniversienin masya Eğiim Fakülesi Maemaik Eğiimi Bölümü ne öğreim görevlisi olarak aandı yılında da aynı üniversienin Fen Bilimleri Ensiüsü Maemaik nabilim Dalı nda dokora ihisasını amamladı. Halen masya Üniversiesi Eğiim Fakülesi nde Maemaik Eğiimi nabilim Dalı nda öğreim üyesi olarak görev yapmakadır. Yazarın ders kiabı olarak yayınlanmış. OLSILIK kiabının ikinci baskısı Ekim 2007 de eğiim ve öğreime sunulmuşur. Yrd. Doç. Dr. Hüseyin DEMİR evli ve iki çocuk babasıdır.

5 İçindekiler Önsöz... iii İçindekiler... v 1. Bölüm GENEL BİLGİLER (ss:1-47) 1.1 Kümeler Sayılar Tümevarım Prensibi Reel Sayı Kümeleri Mulak Değer Çözümlü lışırmalar Çözülecek lışırmalar Bölüm FONKSİYONLR (ss:49-132) 2.1. Fonksiyon Kavramı Fonksiyonların Sınıflandırılması Üsel ve logarimik fonksiyonlar Trigonomeri ve Trigonomerik Fonksiyonlar Hiperbolik Fonksiyonlar Paramerik Fonksiyonlar Kapalı Biçimde Tanımlı Fonksiyonlar Çözülmüş Bölüm Örnekleri Bölüm lışırmaları Bölüm TEK DEĞİŞKENLİ FONKSİYONLRD LİMİT VE SÜREKLİLİK KVRMLRI (ss: ) Limi Çözülmüş Kısım Örnekleri Süreklilik ve Süreksizlik Çözülmüş Kısım Örnekleri Bölüm lışırmaları v

6 4. Bölüm TÜREV (ss: ) Giriş Türev lmada Genel Kurallar Trigonomerik Fonksiyonların Türevleri Logarimik ve Üssel Fonksiyonların Türevi Hiperbolik Fonksiyonların Türevleri Paramerik Denklemli Fonksiyonların Türevleri Kapalı Biçimde Tanımlanan Fonksiyonların Türevleri Yüksek Merebeden Türevler Çözülmüş Bölüm Örnekleri Bölüm lışırmaları Bölüm TÜREVİN UYGULMLRI (ss: ) 5.1. Türevin Geomerik nlamı Türevin Fiziksel nlamı Türev ve ran zalan Fonksiyonlar Fonksiyonlarda Eksremum Nokaları ve Türev İlişkisi Fonksiyon Eğrilerinde Konvekslik, Konkavlık ve Dönüm Nokaları Maksimum ve Minimum Problemleri Türevle İlgili Teoremler Limi İşlemlerinde Belirsiz Hallerde Türevinin Kullanılması Sonlu Taylor Formülü (Polinomu) simpo Kavramı Eğri Çizimleri Diferensiyel Kavramı Çözülmüş Bölüm Örnekleri Bölüm lışırmaları vi

7 6. Bölüm KUTUPSL KOORDİNTLR (ss: ) Giriş Kuupsal Koordinalarda Denklemler Kuupsal Denklemli Eğrilerin Çizimi Bölüm raşırmaları Bölüm BELİRSİZ İNTEGRL (ss: ) Giriş racısız İnegral Formülleri Bir Basi Diferensiyel Denklem Değişken Değişirme Meodu ile İnegrasyon Parçalı İnegrasyon (Kısmi İnegrasyon) Rasyonel Fonksiyonların İnegrali Trigonomerik Fonksiyonların İnegrali Bazı Özel Dönüşümler Yardımıyla İnegral Bazı İrrasyonel Fonksiyonların İnegrali Bölüm lışırmaları Bölüm BELİRLİ İNTEGRL (ss: ) Bir ralığın Parçalanması Grafik lındaki lan Belirli İnegralin Bazı Temel Özellikleri Belirli İnegral ve İlgili Teoremler Bölüm lışırmaları vii

8 9. Bölüm BELİRLİ İNTEGRLLERİN UYGULMLRI (ss: ) Karezyen Koordinalarda lan Hesabı Kuupsal Koordinalarda lan Hesabı Paramerik Denklemli Eğrilerin Sınırladığı Bölgelerin lan Hesabı Bir Eğrinin Uzunluğunu Hesaplama Dönel Yüzeyin lanı Hacimlerin Hesaplanması Bölüm lışırmaları Bölüm GENELLEŞTİRİLMİŞ İNTEGRLLER (ss: ) Birinci Türden Genelleşirilmiş İnegraller İkinci Türden Genelleşirilmiş İnegraller Üçüncü Türden Genelleşirilmiş İnegraller Bölüm lışırmaları Kaynakça viii

9 1. Bölüm GENEL BİLGİLER Bu bölümde bir çok maemaik dalının kullandığı bazı emel konuların bir özei verilecekir. maç öğrencinin öğrendiği veya öğrenip unuuğu bilgileri haırlamakır. Çünkü bu bilgiler yeni öğrenilecek konuların öğrenilmesinde kavramları anlama güçlülüğünü giderme bakımından yol göserici olacakır. 1.1 KÜMELER Maemaik sisemaiğinde küme kavramı ilk defa George Canor ( ) arafından incelenmişir. Küme kavramı sosyal ve ikisadi birçok alanda araşırmalarda kullanılmakadır. Küme kavramının kesin bir anımı yapılmamakla beraber, ne olduğu açıklanabilir. Küme; karakerisik özellikleri iyi anımlanmış bir akım nesnelerin oluşurduğu bir opluluk olarak anımlanabilir, öyle ki bu karakerisik özellikler hangi nesnelerin küme içinde hangilerinin dışında kalmasını kesinlikle açıklar. Kümeyi oluşuran nesnelere kümenin elemanları denir. Kümeler genellikle büyük harflerle, B, C, X, Y, K, gibi, elemanları da a, b, c, x, y, gibi küçük harflerle adlandırılır. Bir x nesnesi kümesinin elemanı ise x değilse x sembolleriyle göserilir. Verilen bir küme üç biçimde göserilir. a) çık olarak göserme (Lise Yönemi): Bu göserimde { }... sembolü kullanılır. Kümeyi oluşuran elemanlar sembol içine aralarına virgül konarak ek ek yazılır.

10 2 naliz -1 Örnek = { a,b,x,y,k } b) Kapalı olarak göserme (Orak Özellik Yönemi): Bu göserimde kümeyi oluşuran elemanların karakerisik olan özelliklerini emsilen bir bilinmeyen seçilir ve; = { x I x in karakerisik özelliği } biçiminde göserilir. Örnek = { x I x, Türkiye nin illeri} c) Şema ile göserme (Venn Şeması): Kümeyi oluşuran elemanları kapalı bir bölge içinde kalan nokalar olarak gösermekir. Örnek a c e b d Tanım Hiçbir elemanı olmayan küme boş küme diye adlandırılır ve sembolü ile göserilir. Örnek = { x I x N, x 2 = 2} Tanım Kümeler eorisinde üzerinde işlemler yapacağımız kümeleri oluşurmak için elemanlar alacağımız en geniş sabi bir kümenin varlığını göz önünde bulunduracağız, bu kümeye evrensel küme denir. Bu küme büün kümeleri kapsar ve E ile göserilir. Tanım Bir kümesinin büün elemanları, B kümesininde elemanları ise kümesine B kümesinin bir al kümesi denir ve B biçiminde göserilir. Bu anımı şöyle sembolize ederiz. B (a a B)

11 Genel Bilgiler 3 Örnek = {2, 5, 6}, B = {1, 2, 4, 5, 6, 7} ise Bdir. B Uyarı: Boş küme her kümenin al kümesidir. Tanım ynı özdeş elemanlardan oluşan kümelere eşi kümeler denir. ve B eşi kümeler ise = B ile göserilir. Örnek = { 1, 1 }, B = { x x 2 = 1, x Z} I kümeleri için = B dir. Tanım Bir kümenin kendinden farklı olan al kümesine öz al kümesi denir., B nin öz al kümesi ise B faka Bdir. Tanım Verilen ve B kümelerinin orak elemanlarının oluşurduğu yeni kümeye bu iki kümenin kesişim kümesi denir. B ile göserilir. Buna göre; { I } B = x ve x B, B kümelerinin durumuna göre kesişim kümesi aşağıda şekillerde aralı olarak göserilmişir. B E B B E E E Kesişimin aşağıdaki özelliklerinin sağlandığı göserilebilir. 1) = 2) = 3) E = 4) B= B 5) B, B B 6) B B= 7) (B C) = ( B) C

12 4 naliz -1 Tanım ve B gibi iki kümenin elemanlarının beraberce oluşurduğu kümeye birleşim kümesi denir. Bile göserilir ve, { I } B = x x veya x B olarak anımlanır yani ve B kümesinden en az birine ai olan elemanların meydana geirdiği küme Bkümesidir. ve B kümelerinin durumuna göre birleşim kümesi aşağıdaki şekillerde aralı olarak göserilmişir. Birleşimin aşağıdaki özelliklerinin sağlandığı göserilebilir. 1) = 2) = 3) E = E 4) B= B 5) B, B B 6) (B C) = ( B) C Tanım Verilen iki kümenin kesişimi boş küme ise bu ürden kümelere ayrık kümeler denir. Yani; B = ve B ayrıkır. Örnek = {1, 3, 5}, B = {2, 4, 6, 8} ise B = yani ve B ayrıkır. Tanım E evrensel kümesinin bir al kümesi olarak verilsin, E nin kümesinde olmayan elemanlarının oluşurduğu kümeye nın E ye göre ümleyeni denir ve ile göserilir. { I } = x x ve x E E

13 Genel Bilgiler 5 Tümleyen ile ilgili şu özellikler kolayca görülebilir. 1) = 2) = E 3) ( ) = 4) ( B) = B 5) ( B) = B Tanım kümesinde bulunup, B kümesinde bulunmayan elemanların oluşurduğu kümeye nın B ye göre farkı denir ve { I } \ B = x x ve x B biçiminde anımlanır. ve B nin durumuna göre \ B kümesi şekillerde aralı olarak göserilmişir. B B E E \B= B \B= B= olduğunu görünüz. Tanım ve B gibi kümenin birleşimlerinin, kesişimine göre farkına ile B nin simerik farkı denir ve B = ( B) \ ( B) biçiminde anımlanır. B E

14 6 naliz -1 Tanım ve B kümeleri verildiğinde a ve b B olmak üzere büün sıralı (a,b) ikililerinin oluşurduğu kümeye ile B nin kareziyen çarpımı denir ve { I } xb = (a, b) a ve b B Örnek = { 2,3 },B= { 1,4,5} verilsin. xb = {(2,1), (2,4), (2,5), (3,1), (3,4), (3,5)} şağıdaki çözümlü alışırmalarda yukarıda verilen anım ve özelliklerin yanında sembolik manıka kullanılan ve " Λ" veya "V " ise " " bağlaçlarıda kullanılmışır ÇÖZÜMLÜ RŞTIRMLR 1) (B C) = ( B) ( C)olduğunu göseriniz. x (B C) x Λ x (B C) x Λ(x B V x C) (x Λ x B) V (x Λ x C) x ( B) V x ( C) x ( B) ( C) 2) ( B) = B olduğunu göseriniz x ( B) x ( B) x Λ x B x Λ x B x B 3) \B= B x ( \ B) x Λ x B x Λ x B x B

15 Genel Bilgiler 7 4) B = ( \ B) (B \ ) olduğunu göseriniz. B = ( B)\ ( B) anımdan = ( B) ( B) = ( B) ( B ) = ( B) ( B) B = ( ) (B ) ( B ) (B B ) = (B ) ( B ) = (B \ ) ( \ B) 5) \(B C) = (\B)\Colduğunu göseriniz. \ (B C) = (B C) = (B C ) = ( B ) C = ( \ B) C = ( \ B)\ C 6) ( B) ( B) = ( B) ( B) ( B) = [( \ B) (B \ ) ] ( B) = ( B ) (B ) ( B) = ( B ) ( B) (B ) = (B B) (B ) = ( E) (B ) = (B ) = ( B) ( ) = ( B) E = B

16 8 naliz -1 7) (B C) = ( B) ( C) olduğunu göseriniz. [ ] [ ] ( B) ( C) = ( B) \ ( C) ( C) \ ( B) = ( B) ( C) ( C) ( B) = ( B) ( C ) ( C) ( B ) = = ( B) C ( C) B = (B C ) ( C B) = (B C ) (C B ) = [ (B \ C) (C \ B) ] = (B C) { ( B) ( B) C } { ( C) ( C) B } 8), B kümeleri için B B= Bdir. İspalayınız. : B B= B olduğunu göserelim. Hipoezden; x için, x B x ( B) dir. Burdan B B sağlanır. x ( B) x B dır. Buradan B Bsağlanır. O halde B = B dir. (1) : B= B Bolduğunu göserelim. x için, x alalım burdan x ( B) ve B gerçekleşir. Hipoezden Bnin eşii yerine yazılırsa, B olur. (2) (1) ve (2) den önermenin var olduğu görülür.

17 Genel Bilgiler 9 9) (B) B = B= önermesinin varlığını göseriniz. ( ) B B = B= ( B) B = ( B ) (B B ) = ( B ) = ( B ) = \B elde edilir. Hipoezden \ B = sonucu yazılır. Bu sonuç ile B nin ayrıklığını yani B= olduğunu göserir. B = (B) B = olduğunu göserelim. B= verildiğinden ile B ayrık Yani x, x B (veya x, x B)'dir. Burdan x (B) ve x B den x B olduğundan, x ( B) B ve x dan ( B) B = dır. 10) ( B) = ( B) ( B) olduğunu göseriniz. [ ] ( B) = ( \ B) (B \ ) = ( B ) (B ) = ( B ) (B ) = ( B) (B ) = ( B) B B) ( = ( B ) (B B ) ( ) (B = ( B ) (B ) = ( B) (B )

18 10 naliz -1 11) x(b C) = ( x B) ( x C) olduğunu göseriniz. (x,y) x(b C) x Λ y (B C) x Λ (y B V y C) (x Λ y B) V (x Λ y C) (x, y) (xb) V (x, y) (xc) (x, y) (xb) (xc) 1.1. Çözülecek lışırmalar 1), B, C herhangi üç küme olduğuna göre aşağıdaki önermelerin doğruluğunu göseriniz. a) (B C) = ( B) C b) (B C) = ( B) C c) (B C) = ( B) ( C) d) ( B) = B 2) = { 1,2,3,4,5,6 }, B C = { 1,3,4} ise ( B) ( C) kümesini yazınız. 3) B = { 1,2,3,4,7,9 }, C = { 1,2,3,4,5,6,7,8} kümeleri veriliyor. (B ) (B C) kümesini yazınız. 4), B kümeleri için B B = dir. Göseriniz. 5), B, C kümeleri için ( \ B) [ ( B) ( \ C) ] = \ (B C) olduğunu göseriniz. 6), B, C kümeleri için aşağıdaki eşiliklerin varlığını araşırınız. a) [( B) \ B] B = b) B (\B) \B = B c) (B\C) = ( B)\(C\)

19 Genel Bilgiler 11 d) ( \ B) C = ( C) \ (B C) e) ( B)\C = (\C) (B\C) 7), B, C, D kümeleri için; ( x B) (C x D) = ( C) x (B D) olduğunu göseriniz. 8), B kümeleri için, ( B) = ( B) ( C) olduğunu göseriniz. 9), B, C kümeleri için (B C) = (B ) (C ) olduğunu ispalayınız. 10), B, C kümeleri için, ( B)\C = (\C) (B\C) olduğunu ispalayınız. 11) B B= gerekirmesinin varlığını ispalayınız. 12) \B= Bolduğunu göseriniz SYILR Sayı kavramı maemaiğin yapılanmasında önemli yer uar. Bu kavramın eorik yapısı inşa edilirken kabul edilen emel kavram olarak doğal sayılar çıkış nokası alınır. Doğal sayılar kümesi N = dir. { 1,2,3,...,n,...}