SONUÇ YAYINLARI. 9. Sınıf Kümeler
|
|
- Esen Başar
- 8 yıl önce
- İzleme sayısı:
Transkript
1 9. SINIF
2 SONUÇ YYINLRI 9. Sınıf Kümeler Bu kitabın tamamının ya da bir kısmının, kitabı yayımlayan şirketin önceden izni olmaksızın elektronik, mekanik, fotokopi ya da herhangi bir kayıt sistemiyle çoğaltılması, yayımlanması ve depolanması yasaktır. Bu kitabın tüm hakları, Etkin Sonuç Yayıncılık Mat. Dağ. Eğt. San. Tic. Ltd. Şti.'ne aittir. Baskı Tarihi ğustos 01 Baskı Cilt Tuna Matbaacılık.Ş. Bahçekapı Mahallesi 460. Sokak Nu.: Şaşmaz / NKR Tel: (0 1) (pbx) Belgeç: (0 1) Dizgi Grafik Sonuç Yayınları Dizgi Birimi na Dağıtım Necatibey Cad. Oyak İş Merkezi 51/19 Çankaya / NKR Tel: (0 1) Cep: (0 5)
3 İ Ç İ N D E K İ L E R KÜME KVRMI, SONLU, SONSUZ EVRENSEL VE BOŞ KÜMELER... 5 LT KÜME KÜMELERDE BİRLEŞİM VE KESİŞİM İŞLEMLERİ... 0 KÜMELERİN BİRLEŞİMİNİN VE KESİŞİMİNİN ELEMN SYISINI BULM... 5 TÜMLEYEN... İKİ KÜMENİN FRKI... 7 KÜME PROBLEMLERİ... 4 SIRLI İKİLİ VE KRTEZYEN ÇRPIMI... 5
4 KÜME KVRMI, SONLU, SONSUZ EVRENSEL VE BOŞ KÜMELER TEST LT KÜME... 6 TEST 1, TEST KÜMELERDE BİRLEŞİM VE KESİŞİM İŞLEMLERİ TEST KÜMELERİN BİRLEŞİMİNİN VE KESİŞİMİNİN ELEMN SYISINI BULM TEST TÜMLEYEN TEST İKİ KÜMENİN FRKI... 7 TEST KÜME PROBLEMLERİ TEST SIRLI İKİLİ VE KRTEZYEN ÇRPIMI TEST KÜMELER KRM TEST
5 Kümenin Tanımı I. YGS de barajı geçen öğrenciler. II. 50 den büyük asal sayılar. III. Sınıfın güzel kızları. IV. nkara'nın ilçeleri. V. 01 sayısının rakamları. Yukarıdakilerden hangileri bir küme belirtmez? ) Yalnız I B) Yalnız III C) I ve II D) I ve III E) IV ve V Nesnelerin iyi tanımlanmış olduğu listeye küme denir. Kümeyi oluşturan nesnelerin her birine eleman denir. Kümeler, B, C, gibi büyük harflerle gösterilir. "Sınıfın güzel kızları" cümlesi iyi tanımlı olmadığı için küme belirtmez. Çünkü güzellik tanımı herkes için aynı değildir. I., II., IV. ve V. seçenekler ise belirli elemanları içermektedir. Yani birer küme belirtir. Not 1 : x nesnesi kümesinin elemanı ise x biçiminde gösterilir ve " x, kümesinin elemanıdır" şeklinde okunur. Not : x nesnesi kümesinin elemanı değil ise, x biçiminde gösterilir ve " x, kümesinin elemanı değildir" şeklinde okunur. Not : kümesinin eleman sayısı s ( ) ile gösterilir. Cevap B TEST şağıdakilerden hangisi bir küme belirtir? ) Okulumuzdaki zeki kızlar. B) Bazı haftalar. C) Haftanın C harfi ile başlayan günleri. D) Esmer erkekler. E) Uzun boylu bazı bayanlar.. şağıdakilerden hangisi bir küme belirtmez? ) 1 ten küçük tane asal sayı. B) x ten büyük asal sayılar. C) M harfiyle başlayan aylar. D) ile 1 arasındaki doğal sayılar. E) 76 dan büyük iki basamaklı çift doğal sayılar.. I. 5 ten küçük rakamlar. II. Başarılı öğrenciler. III. En güzel savaş filmleri. IV. RB kelimesindeki harfler. V. Yazın sıcak günleri. Yukarıdakilerden hangileri bir küme belirtmez? ) Yalnız I B) I ve IV C) II ve III D) III ve IV E) II, III ve V 4. kümesi " 1976 sayısındaki rakamlar" cümlesinin belirttiği küme olmak üzere, aşağıdakilerden hangisi yanlıştır? ) 1 B) 9 C) 76 D) 19 E) s ( ) = 4 1. C. B. E 4. D 5
6 Kümelerin Gösterimi - I = { 1,, {, 4 }, 5 } kümesi için aşağıdakilerden hangisi yanlıştır? ) 1 B) {, 4 } C) 4 D) s ( ) = 4 E) Kümenin her bir elemanının, aralarında virgül olacak şekilde, { } sembolü içine yazılmasına liste yöntemiyle gösterim denir. kümesinin elemanlarından biri 1 dir. Bu durumda 1 dır. kümesinin elemanlarından bir diğeri de {, 4 } tür. Bu durumda {, 4 } dır. kümesinin elemanları içinde 4 yoktur. Bu durumda 4 dır. kümesinin elemanları 1,, {, 4 }, 5 olduğundan kümesinin eleman sayısı 4 tür. kümesinde elemanı yoktur. Dolayısıyla dır. Kümede her eleman bir kere yazılır. Kümedeki elemanların yer değiştirmesi kümeyi değiştirmez. Cevap E TEST - 1. şağıdakilerden hangisi yanlıştır? ) BURS kelimesindeki harflerin kümesi { B, U, R, S, } dır. B) 4965 sayısındaki rakamların kümesi {, 4, 5, 6, 9 } dur. C) MRMR kelimesindeki harflerin kümesi { M,, R } dır. D) MKS kelimesindeki harflerin kümesi { M,, K,, S } tır. E) 1000 sayısındaki rakamların kümesi { 0,1 } dir.. = {, 4, { 5, 6, 7 }, 8 } kümesi için aşağıdakilerden hangisi yanlıştır? ) B) {, 4 } C) s ( ) = 4 D) 8 E) = {{ 5, 6, 7 },, 8, 4 } İpucu : Kümenin elemanlarının yerini değiştirmek, kümeyi değiştirmez.. = { a, b, { c, d }, { d } } kümesinin eleman sayısı kaçtır? ) B) 4 C) 5 D) 6 E) 7 4. = { s, n, { ç, o }, o, u } kümesi için aşağıdakilerden hangisi yanlıştır? ) { o } B) s C) { ç, o } D) s ( ) = 5 E) { ç } 1. D. B. B 4. E 6
7 Kümelerin Gösterimi - II En küçük üç rakamın oluşturduğu kümenin sırasıyla Venn şeması yöntemi ve ortak özellik yöntemi ile gösterimi aşağıdakilerden hangisinde doğru olarak verilmiştir? 1 ) B) 1, B = { x : x <, x Z + }, B = { x : x <, x N + } 1. Venn Şeması ( Venn Diagramı ) Yöntemi : Kümeyi oluşturan elemanların kapalı bir şekil içine, yanına ". " konularak yazılmasıdır.. Ortak Özellik ( Genelleme ) Yöntemi : Kümenin elemanlarının ortak özelliklerinin belirlenerek gösterimidir. { x : x elemanlarının ortak özellikleri } veya { x x elemanlarının ortak özellikleri } olarak gösterilir. C) D) , B = { x : x <, x N }, B = { x : x, x N + } 0 1 En küçük üç rakam 0, 1, dir. Bu elemanların Venn şeması ile gösterimi yandaki şekilde olduğu gibidir. E) 0 1, B = { x : x, x Z } En küçük üç rakam : B = { x : x <, x N } veya B = { x x <, x N } olarak da gösterilebilir. Cevap C TEST - 1. = { x : 4 < x <, x Z + } kümesinin Venn Diagramı ile gösterimi aşağıdakilerden ) B) C) D) E) = { 0,, 4, 6, 8, 10 } kümesinin ortak özellik yöntemi ile gösterimi aşağıdakilerden hangisi olabilir? ) { x x bir çift sayı } B) { x x bir çift sayı, x Z + } C) { x x bir çift sayı, x < 10 } D) { x x bir çift sayı, x N } E) { x x 10, x bir çift sayı, x N } sayısındaki rakamların oluşturduğu B kümesi aşağıdakilerden hangisi ile gösterilemez? ) B = { 0, 1,,, 4, 5, 6 } B) B = { x x < 7, x N + } C) B = { x 0 x < 7, x Z } D) B = { x x 6, x N } B 5 E) = { x : x < 10, x bir çift doğal sayı } kümesinin elemanlarının sayısal değerleri toplamı kaçtır? ) 16 B) 18 C) 0 D) E) 4 1. C. E. B 4. C 7
8 Sonlu ve Sonsuz Küme I. = { x : x <, x Z } II. B = { x : 1 < x 4, x R } III. C = {..., 1,,,... } Yukarıdaki kümelerden hangisi ya da hangileri sonsuz kümedir? ) Yalnız I B) Yalnız II C) I ve II D) I ve III E) I, II ve III Eleman sayısı doğal sayı ile ifade edilebilen kümeye sonlu küme denir. Eleman sayısı doğal sayı ile ifade edilemeyen kümeye sonsuz küme denir. = { x : x <, x Z } kümesi, den küçük sonsuz çoklukta negatif tam sayı olduğundan sonsuz kümedir. B = { x : 1 < x 4, x R } kümesi, 1 ile 4 arasındaki reel sayılardan oluşur. Bu aralıkta sonsuz çoklukta reel sayı olduğundan B kümesi sonsuz bir kümedir. C = {..., 1,,,... } kümesinin elemanları bütün tam sayılardır. Sonsuz çoklukta tam sayı olduğundan C kümesi sonsuz bir kümedir. Cevap E TEST şağıdakilerden hangisi sonlu küme belirtir? ) = { x : x 9, x Z } B) B = { x : < x < 4, x R + } C) C = { x : x > 1, x Z + } D) D = { x : x < 5, x N } E) E = { x : x > 5, x N }. şağıdakilerden hangisi sonsuz küme belirtir? ) Okulumuzdaki kitaplar. B) Sınıfımızdaki akvaryumdaki balıklar. C) Uzaydaki yıldızlar. D) Okulun otoparkındaki araçlar. E) Sınıfımızdaki sıralar.. şağıdakilerden hangisi sonsuz küme belirtir? ) = { x : < x < 4, x N + } B) B = { x : x asal bir rakam } C) C = { x : x iki basamaklı 5 in katı olan doğal sayılar } D) D = {,, 1 } E) E = { x : x negatif olmayan tam sayılar } 4. şağıdakilerden hangisi sonlu bir küme belirtir? ) = { x : x asal bir rakam } B) B = { x : x asal bir sayı } C) C = { x : 1 x <, x R } D) D = { x : x çift sayı } E) E = { x : x = k + 1, k Z } 1. D. E. C 4. 8
9 Boş ve Evrensel Küme şağıdaki kümelerden hangisi boş kümedir? ) = { x : x = 1, x Z } B) B = { } C) C = { x : < x < 1, x R + } D) D = { x : x <, x N } E) E = { 1,,,... } Elemanı olmayan kümeye boş küme denir ve { } ya da ile gösterilir. kümesi x = 1 denklemini sağlayan tam sayılardan oluşur. x = 1 x = dir. Dolayısıyla kümesinin elemanı olduğundan boş küme değildir. B kümesi elemanı " " sembolü olan bir elemanlı bir kümedir. < x < 1 aralığında pozitif reel sayı olmadığı için C kümesi boş kümedir. 0 ve 1, den küçük doğal sayılar olduğundan D kümesi boş küme değildir. E kümesi sonsuz elemanlıdır. Dolayısıyla boş küme değildir. Üzerinde çalışılan bir konu veya problem için gerekli olan bütün elemanları kapsayacak biçimde seçilen kümeye evrensel küme denir ve E harfi ile gösterilir. Cevap C TEST şağıdakilerden hangisi boş kümedir? ) = { x : x + 1 > x, x N } B) B = { x : x < x, x R } C) C = { x : x 1 < 0, x R } D) D = { x : < x, x R } E) E = { x : 5 < x 0, x N }. şağıdaki kümelerden hangisi boş kümedir? ) D = { x x 0, x Z } B) B = { x x 4 = 0, x Z + } C) C = { x 5x + 7 = 1, x R } D) = { x x + 1 < 0, x R } E) E = { x 9 < x 0, x Z }. şağıdaki kümelerden hangisi diğerlerinin evrensel kümesi olabilir? ) { x lisesindeki öğrenciler. } B) { x lisesindeki 9. sınıf öğrencileri. } C) { x lisesindeki 9 - sınıfı. } D) { x lisesindeki 9 - sınıfının erkek öğrencileri. } E) { x lisesindeki 9 - sınıfının gözlüklü erkek öğrencileri. } 4. ve B aynı evrensel kümede bulunan kümeler olmak üzere, s ( ) = ve s ( B ) = tür. Buna göre, ve B kümelerinin evrensel kümesinin eleman sayısı aşağıdakilerden hangisi olamaz? ) B) C) 4 D) 5 E) 6 1. C. D. 4. 9
10 şağıda verilen boşlukları doldurunuz. 1. Nesnelerin iyi tanımlanmış olduğu listeye... denir.. Kümeyi oluşturan nesnelerin herbirine kümenin... denir.. kümesinin eleman sayısı... ile gösterilir. 4. x, bir kümesinin elemanı ise x..., elemanı değil ise x... şeklinde gösterilir. 5. Kümeleri,...,... ve... yöntemleri ile gösterebiliriz. 6. Bir kümenin kapalı bir şeklin içine, yanına "." koyularak gösterilmesine kümenin... ile gösterimi denir. 7. Bir kümenin elemanlarının aralarında virgül olacak şekilde, { } sembolünün içine yazılmasına kümenin... ile gösterimi denir. şağıdaki ifadelerden doğru olanları D, yanlış olanları Y harfi ile belirtiniz. 1. ( ) Bir kümede aynı elemanlar bir kere yazılır.. ( ) Kümeyi oluşturan elemanların yeri değişirse küme de değişir.. ( ) Elemanı olmayan kümeye sonsuz küme denir. 4. ( ) Tam sayılar kümesi sonsuz bir kümedir. 5. ( ) " 1 ile arasındaki doğal sayılar" kümesi bir küme belirtmez. 6. ( ) = { a, b, c, {d}, {{d}, e }} ise s( ) = 5 tir. 7. ( ) B = { x x çift asal sayı } kümesi boş küme belirtir. 8. ( ) C = { 9, 1, 15,..., 4 } ise s ( C ) = 1 dir. 8. Eleman sayısı doğal sayı ile ifade edilebilen kümeye... küme denir. 9. Eleman sayıları doğal sayı ile ifade edilemeyen kümeye... küme denir. 10. Hiç elemanı olmayan kümeye... denir.... veya... ile gösterilir. 9. ( ) KLBLIK kelimesindeki harflerin kümesi, BLIK kelimesindeki harflerin kümesi B olmak üzere, s ( ) = s ( B ) dir. 10. ( ) ", 456 sayısındaki rakamlar" cümlesinin belirttiği küme sonsuz kümedir. 11. Üzerinde çalışılan konu hakkındaki bütün kümeleri ve elemanları kapsayan kümeye... denir. Genellikle... harfi ile gösterilir. 1. küme. elemanı. s ( ) 4. (, ) 5. Venn şeması, liste, ortak özellik 6. Venn şeması 7. liste yöntemi 8. sonlu 9. sonsuz 10. boş küme,, { } 11. Evrensel küme, E 1. D. Y. Y 4. D 5. Y 6. D 7. Y 8. D 9. D 10. Y 10
11 lt Küme - I = { a, b, { b, c }, d } kümesi için aşağıdakilerden hangisi yanlıştır? ) { b, c } B) { d } C) { c } D) E) {b, { b, c }} ve B herhangi iki küme olsun. kümesinin her elemanı, B kümesinin de elemanı ise kümesine, B kümesinin alt kümesi denir ve B ile gösterilir. şıkkında { b, c } ifadesi doğrudur. B şıkkında d olduğu için { d } dır. D şıkkında doğrudur. E şıkkında b, { b, c } olduğu için { b, { b, c }} doğrudur. Not 1 : Her küme kendisinin alt kümesidir. ( ) Not : Boş küme her kümenin alt kümesidir. ( ) C şıkkında c olduğu için { c } ifadesi yanlıştır. Cevap C TEST = { 1,, {, 5 }} kümesi için aşağıdakilerden hangisi yanlıştır? ) { 1 } B) { } C) { 1, 5 } D) E) {{, 5 }}. Yandaki şemaya göre, B ö o aşağıdaki ifadelerden a e u hangisi yanlıştır? ) { a, e } B B) {o, ö, u } C) B D) { a, B } E) { a, e, o, ö, u }. = { 1,,, {, }} kümesi için aşağıdakilerden hangisi yanlıştır? ) {, } B) { } C) {, } D) {, 1 } E) { 1,, } 4. = { x x bir rakam } B = { x 4 < x 7, x N } C = { x 1 < x < 1, x Z } D = { x x <, x Z } kümeleri veriliyor. Buna göre, aşağıdakilerden hangisi doğrudur? ) C B B) D B C) D D) D C E) C 1. C. E. D 4. E 11
12 lt Küme - II Küme Eleman Sayısı lt Kümeleri lt Küme Sayısı = { a, b, c, d } 0 elemanlı 1 elemanlı elemanlı elemanlı 4 elemanlı Yukarıda verilen tablodaki boş kutucukları doldurunuz. 0 elemanlı : Bir kümenin hiç elemanı olmayan tek alt kümesi boş kümedir. { } Sıfır elemanlı alt küme sayısı 1 tanedir. 1 elemanlı : Her bir elemanı tek tek seçersek; { a }, { b }, { c } ve { d } Bir elemanlı alt küme sayısı 4 tanedir. elemanlı : Elemanları ikişer ikişer seçersek; { a, b }, { a, c }, { a, d }, { b, c }, { b, d }, { c, d } İki elemanlı alt küme sayısı 6 tanedir. elemanlı : Elemanları üçer üçer seçersek; { a, b, c }, { a, b, d }, { a, c, d }, { b, c, d } Üç elemanlı alt küme sayısı 4 tanedir. 4 elemanlı : Dört elemanı da seçersek; { a, b, c, d } Dört elemanlı alt küme sayısı 1 tanedir. TEST Küme lt Kümeleri 0 elemanlı lt Küme Sayısı Küme lt Kümeleri Kümenin Eleman Sayısı lt Küme Sayısı 1 elemanlı = { } = { a, b, c } elemanlı B = { 1 } elemanlı 4 elemanlı Yukarıda verilen tablodaki boş kutucukları doldurunuz. C = { 1, } D = { 1,, } Yukarıda verilen tablodaki boş kutucukları doldurunuz. Küme = { a, b, c } lt Kümeleri lt Küme Sayısı 0 elemanlı { } 1 1 elemanlı { a }, { b }, { c } elemanlı { a, b }, { a, c }, { b, c } elemanlı { a, b, c } 1 Küme lt Kümeleri Kümenin Eleman Sayısı lt Küme Sayısı = { } { } 0 0 = 1 B = { 1 } { }, { 1 } 1 1 = C = { 1, } { }, { 1 }, { }, { 1, } = 4 D = { 1,, } { }, { 1 }, { }, { 1, }, { 1, }, {, }, { 1,, } = 8 1
13 lt Küme - III = { 1,, { 1, }, } kümesinin alt kümelerinin sayısı kaçtır? ) 4 B) 8 C) 16 D) 18 E) s ( ) = n olmak üzere, kümesinin alt küme sayısı : n dir. Bu durumda, = { 1,, { 1, }, } s ( ) = 4 kümesinin alt küme sayısı : 4 = 16 olur. Cevap C TEST = { x : x asal rakam } kümesinin alt küme sayısı kaçtır? ) 8 B) 16 C) D) 64 E) lt küme sayısının, eleman sayısına oranı olan bir kümenin eleman sayısı kaçtır? ) B) C) 4 D) 5 E) 6. = { x x < 7, x N } kümesinin alt küme sayısı kaçtır? ) B) 6 C) 64 D) 17 E) lt kümelerinden birisi {a, b, { a, c } } olan bir kümenin eleman sayısı en az kaçtır? ) 1 B) C) D) 4 E) 5. = { a, b, c, d } kümesinin, kuvvet kümesinin eleman sayısı kümesinin eleman sayısının kaç katıdır? ) 4 B) 16 C) D) 64 E) 18 İpucu : kümesinin bütün alt kümelerinin oluşturduğu kümeye kümesinin kuvvet kümesi denir. 6. Eleman sayısı arttırıldığında alt küme sayısı 56 artan bir kümenin eleman sayısı kaçtır? ) B) C) 4 D) 5 E) 6 1. B. E. 4. E 5. C 6. B 1
14 lt Küme - IV = { a, b, c, d, e } kümesinin, a) en çok elemanlı alt kümelerinin sayısı kaçtır? b) en az elemanlı alt kümelerinin sayısı kaçtır? a) En çok elemanlı alt küme sayısı : = C ( 5, ) + C ( 5, 1 ) + C ( 5, 0 ) 5! 5! 5! = + + _ 5 - i!.! _ 5-1i!. 1! _ 5-0i!. 0! n r olmak üzere, n elemanlı bir kümenin r elemanlı alt kümelerinin sayısı = = 16 olur. b) En az elemanlı alt küme sayısı : = C ( 5, ) + C ( 5, 4 ) + C ( 5, 5 ) 5! 5! 5! = + + ( 5 - )!.! ( 5-4)!. 4! ( 5-5)!. 5! n n! C( n, r) = d n = r _ n - ri!. r! dir. = = 16 olur. TEST Sesli harflerden oluşan 8 elemanlı bir kümenin elemanlı alt kümelerinin sayısı kaçtır? ) 1 B) 5 C) 8 D) 0 E) elemanlı bir kümenin en az 8 elemanlı alt kümelerinin sayısı kaçtır? ) 10 B) 18 C) 19 D) 8 E) 56. = { x : x 16, x Z } kümesinin elemanlı alt kümelerinin sayısı kaçtır? ) 90 B) 84 C) 56 D) 5 E) 0 5. = { a, b, c, d, e, f } kümesinin en çok elemanlı alt küme sayısı kaçtır? ) 17 B) C) 7 D) 4 E) elemanlı bir kümenin en çok elemanlı alt kümelerinin sayısı kaçtır? ) 6 B) 4 C) 0 D) 18 E) = { a, b, c, d, x, y, z } kümesinin en az 5 elemanlı alt kümelerinin sayısı kaçtır? ) 8 B) 15 C) 9 D) 41 E) C. B. 4. E 5. D 6. C 14
15 lt Küme - V 8 elemanlı bir kümenin en çok 6 elemanlı alt kümelerinin sayısı kaçtır? ) 9 B) 149 C) 19 D) 47 E) 56 Not 1 : Not : Not : n n c m = c m = 1 dir. 0 n n n c m = c m = n dir. 1 n - 1 n n c m = c m + n = r + k ya da r = k dır. r k n n n n Not 4 : c m + c m + c m c m = n dir. 0 1 n I. Yol f p + f p + f p + f p + f p + f p + f p ! 8! 8! 8! 8! 8! 8! = !. 0! 7!. 1! 6!.! 5!.! 4!. 4!!. 5!!. 6! = = 47 olur. II. Yol Bütün alt kümelerinin sayısından 7 ve 8 elemanlı alt kümelerinin sayısı çıkarılır f p - f p = = 47 olur. 7 8 Cevap D TEST = { 0, 1,,, 4, 5, 6, 7 } boş olan alt küme sayısı ile tüm elemanlarını içeren alt küme sayısının toplamı kaçtır? ) 1 B) C) D) 4 E) elemanlı bir kümenin en çok elemanlı alt kümelerinin sayısı ile en az 5 elemanlı alt kümelerinin sayısının toplamı kaçtır? ) 9 B) 74 C) 9 D) 108 E) 10. Bir kümenin 1 elemanlı alt kümelerinin sayısı, 8 elemanlı alt kümelerinin sayısına eşit olduğuna göre, bu küme kaç elemanlıdır? ) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 10 İpucu : "Not " kuralını uygulamaya çalışınız. 5. Bir kümenin eleman sayısı arttırıldığında alt küme sayısı 11 artıyor. Buna göre, bu kümenin en az elemanlı alt kümelerinin sayısı kaçtır? ) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8. 7 elemanlı bir kümenin en çok 5 elemanlı alt kümelerinin sayısı kaçtır? ) 99 B) 100 C) 10 D) 17 E) 18 İpucu : "Not 4" kuralını uygulamaya çalışınız. 6. Bir kümenin elemanlı alt kümelerinin sayısı, 4 elemanlı alt kümelerinin sayısına eşittir. Buna göre, bu kümenin en çok elemanlı alt kümelerinin sayısı kaçtır? ) 17 B) C) 7 D) 4 E) B. D. C 4. C 5. B 6. D 15
16 lt Küme - VI = { s, o, n, u, ç } kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde; a) s elemanı bulunmaz? b) n elemanı bulunur? c) s ve n elemanları bulunur? d) s veya n elemanları bulunur? e) s elemanı bulunur, n elemanı bulunmaz? a) s dışındaki 4 elemanla 4 = 16 tane s nin bulunmadığı alt küme yazılabilir. b) n dışındaki 4 elemanla 4 = 16 tane n nin bulunmadığı alt küme yazılabilir. Bu kümelerin her birine n elemanı eklenirse içinde n elemanı bulunan 16 tane alt küme elde edilir. c) s ve n dışındaki elemanla = 8 tane alt küme yazılabilir. s ve n elemanlarını eklediğimizde içinde s ve n elemanları bulunan 8 tane alt küme elde edilir. dı geçen elemanlar kümeden atılır. Geriye kalan elemanlarla oluşturulabilecek alt kümelerin sayısı hesaplanır. d) 5 = tane alt kümenin içinden = 8 tanesinde s ve n elemanları bulunmaz. Geriye kalan 8 = 4 tane alt kümede s veya n elemanları bulunur. e) s ve n elemanları dışındaki elemanla yazılabilecek = 8 tane alt kümeye s elemanı eklenirse içinde s elemanının bulunup n elemanının bulunmadığı 8 tane küme elde edilir. TEST = {, a, b, c, 10 } kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde rakam bulunmaz? ) 8 B) 1 C) 16 D) 0 E) 4 4. = { 1,,, 4, 5, 6 } kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde ve 5 elemanları bulunmaz? ) 56 B) 48 C) D) 16 E) 8. = { x < x 4, x Z } kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde negatif sayı bulunur? ) B) 16 C) 8 D) 4 E) 5. = { 0, 1,,, 4, 5 } kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde 4 elemanı bulunur, 1 elemanı bulunmaz? ) 4 B) 8 C) 16 D) E) 64. = { 1,,, a, b, c, d } kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde 1 ve a elemanları bulunur? ) 8 B) 16 C) D) 64 E) = { a, b, c, d, e } kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde b veya d elemanı bulunur? ) 8 B) 1 C) 16 D) 0 E) 4 İpucu : Bütün alt kümelerden b ve d nin birlikte bulunmama durumu çıkarılırsa çözüme daha kolay ulaşılır C.. C 4. B 5. C 6. E
17 lt Küme - VII = { a, b, c, d, e, f, g } kümesinin elemanlı alt kümelerinin kaç tanesinde a elemanı bulunur, e elemanı bulunmaz? ) 5 B) 10 C) 15 D) 0 E) 5 a ve e elemanlarını yok kabul edersek kümesinde geriye 5 eleman kalır. Bu 5 elemanın elemanlı alt kümelerinin içine a elemanını eklersek, içinde a elemanı bulunan ama e elemanı bulunmayan elemanlı alt kümeleri bulmuş oluruz. O halde istenen alt küme sayısı 5 5! 5! 5. 4 f p = = = = 10 _ 5 - i!.!!.!. 1 olur. Cevap B TEST = { a, b, c, d, e } kümesinin elemanlı alt kümelerinin kaç tanesinde c elemanı bulunmaz? ) 4 B) 6 C) 8 D) 10 E) 1 4. = { 0, 1,,, 4, 6, 8 } kümesinin 4 elemanlı alt kümelerinin kaç tanesinde 8 elemanı bulunur, elemanı bulunmaz? ) 10 B) 15 C) 0 D) 0 E) 5. = { a, b, c, d, e, f } kümesinin 4 elemanlı alt kümelerinin kaç tanesinde f elemanı bulunur? ) B) 5 C) 6 D) 10 E) = { x : x bir rakam } kümesinin 5 elemanlı alt kümelerinin kaç tanesinde 1 ve 7 elemanları bulunur? ) 10 B) 1 C) 15 D) 8 E) 56. = { a, b, c, d, e, f, g, h } kümesinin 5 elemanlı alt kümelerinin kaç tanesinde e ve f elemanları birlikte bulunmaz? ) 6 B) 0 C) 16 D) 10 E) 6 6. = { a, b, c, d, 1,, } kümesinin 4 elemanlı alt kümelerinin kaç tanesinde a veya elemanı bulunur? ) 0 B) 8 C) 4 D) 1 E) D E 6. 17
18 lt Küme - VIII = {1, } B = {1,, 5, 7, 9 } olduğuna göre, K B ve K şartını sağlayan kaç farklı K kümesi vardır? ) 7 B) 8 C) 15 D) 16 E) 0 K B ise { 1, } K {1,, 5, 7, 9 } K kümesi {1,, 5, 7, 9 } kümesinin alt kümesidir. yrıca 1 ve elemanlarını bulundurmak zorundadır. { 1,, 5, 7, 9 } kümesinden 1 ve elemanlarını daha sonra dahil etmek üzere alırsak, { 5, 7, 9 } kümesini elde ederiz. elemanlı olan { 5, 7, 9 } kümesinin = 8 tane alt kümesi vardır. Bu alt kümelerin her birine 1 ve elemanlarını dahil edersek istenilen kümeleri elde ederiz. Fakat K olduğundan bu kümelerden { 1, } olanını alamayız. Dolayısıyla istenilen koşula uygun 8 1 = 7 farklı K kümesi yazılabilir. Cevap TEST = { 1,, } B = { 0, 1,,, 4, 5 } olduğuna göre, M B şartını sağlayan kaç farklı M kümesi vardır? ) 7 B) 8 C) 15 D) 16 E) 4. = { a, b, c } B = { a, b, c, d, e, f, g } olduğuna göre, B kümesinin 6 elemanlı alt kümelerinden kaç tanesi kümesini kapsar? ) 4 B) 7 C) 8 D) 15 E) 16. = { x : x asal bir rakam } B = { x 1 x < 10, x N } olduğuna göre, K B ve K şartını sağlayan kaç farklı K kümesi vardır? ) 7 B) 8 C) 15 D) 16 E) 1 5. s ( ) = s ( B ) = 10 s ( M ) = 6 olduğuna göre, M B şartını sağlayan kaç farklı M kümesi vardır? ) 16 B) 1 C) 5 D) 56 E) 70 İpucu : Kümelerin elemanları bellidir.. s ( ) = ve s ( B ) = 8 olduğuna göre, K B, K ve B K şartını sağlayan kaç farklı K kümesi vardır? ) 0 B) 1 C) D) 6 E) s ( B ). s ( ) = 7 olduğuna göre, K B ve B K ve K şartını sağlayan kaç farklı K kümesi vardır? ) 14 B) C) 6 D) 64 E) B. E E 6. C 18
19 Kümelerin Eşitliği = {0,, 4, 6, 8 }, B = { x : x 4, x N } ve C = { x : x bir çift rakam } kümeleri veriliyor. Buna göre, aşağıdakilerden hangisi yanlıştır? ) s( ) = s( B ) B) s( B ) = s( C ) C) s( ) = s( C ) D) = C E) B = C ynı elemanlardan oluşan kümelere eşit kümeler denir. kümesi, B kümesine eşit ise = B ile gösterilir. Bu durumda, = { 0,, 4, 6, 8 }, B = { 0,1,,, 4 } ve C = { 0,, 4, 6, 8 } dir., B ve C kümelerinin eleman sayıları eşittir. Dolayısıyla, s ( ) = s ( B ) = s ( C ) dir. yrıca kümesi ile C kümesinin elemanları aynı olduğundan = C dir. Buna göre, B = C ifadesi yanlıştır. Cevap E TEST a ve b birbirinden farklı sayılardır. = { 1, a, 5, b, 7 } ve B = { x x tek rakam } kümeleri veriliyor. = B olduğuna göre, a + b toplamı kaçtır? ) 4 B) 6 C) 8 D) 10 E) 1. a, b ve c birbirinden farklı sayılardır. = { x x < 15, x N } ve B = {, a, b, c } kümeleri veriliyor. B ve B olduğuna göre, a + b + c toplamı kaçtır? ) 1 B) C) D) 4 E) 5 İpucu : B ve B ise = B dir.. a, b ve c birbirinden farklı sayılardır. = { x x, x N } ve B = {, a, b, c } kümeleri veriliyor. = B olduğuna göre, a + b + c toplamının değeri kaçtır? ) 11 B) 9 C) 6 D) 5 E) 4. a, b, c birer rakam olmak üzere, B a b 6 c 7 5 C = { x : 4 < x 7, x Z } Yukarıda verilen, B ve C kümeleri birbirlerine eşit olduklarına göre, b + c a ifadesinin değeri kaçtır? ) 8 B) 4 C) 0 D) 4 E) 8 1. E. E. C 4. 19
20 Kümelerin Birleşimi = { 1,, } ve B = {, 4, 6, 8 } olduğuna göre, B kümesi aşağıdakilerden ve B herhangi iki küme olmak üzere, ile B kümelerindeki bütün elemanlardan meydana gelen kümeye birleşim B kümesi denir ve B ile gösterilir. B ) { 1, } B) { 1,, } C) { 1,,, 4 } D) { 1,,, 4, 6, 8 } E) { 1,,, 4, 6 } Bu durumda, B = { x x veya x B } B = { 1,, } ve B = {, 4, 6, 8 } olduğundan, B ={ 1,,, 4, 6, 8 } dir. Cevap D TEST = { a, b, c, d } ve B = { c, d, e } olduğuna göre, B kümesinin Venn Şeması ile gösterimi aşağıdakilerden. = { x : x 5, x bir rakam } B = { x : 1 x < 6, x Z } olduğuna göre, B kümesi kaç elemanlıdır? ) B a b c d e B) B a b c d e C) B a b c d e ) 5 B) 6 C) 8 D) 9 E) 11 D) B a b c d e E) B a b c d e 4. = { a, b, c } ve B C = { c, d, e, f } olduğuna göre, ( B C ) kümesinin eleman sayısı kaçtır? ) 6 B) 5 C) 4 D) E). = { 1,, 5 } ve B = { 7, 9 } olduğuna göre, B kümesi aşağıdakilerden ) { x : x < 9, x N } B) { x : x < 9, x Z } C) { x : x tek rakam } D) { x : x asal sayı } E) { x : x 9, x N + } 5. = { x : x = k, k N + }, B = { x : x = k, k N + } ve C = { 0 } olduğuna göre, ( B C ) kümesi aşağıdakilerden ) N B) Z C) Z + D) Z E) 1. B. C. E D 0
21 Kümelerin Kesişimi = { x : 1 x < 7, x Z } ve B = { x : x tek doğal sayı } olduğuna göre, B kümesi aşağıdakilerden ) { 1,, 5 } B) {, 5 } C) {, 5, 7 } D) { 1,, 5, 7 } E) { 1,, 5, 7, 9 } ve B herhangi iki küme olmak üzere, ile B kümelerindeki ortak elemanlardan meydana gelen kümeye kesişim B kümesi denir ve B ile gösterilir. B B = { x x ve x B } Bu durumda, = { x : 1 x < 7, x Z } = { 1,,, 4, 5, 6 } B = { 1,, 5, 7, 9,...} B = { 1,, 5 } bulunur. Cevap TEST B Yandaki şemaya göre, B a b c kümesinin eleman g d e f sayısı kaçtır? ) B) C) 4 D) 5 E) 6. = { x : x bir rakam } ve B = { x : x bir çift sayı } olduğuna göre, B kümesi aşağıdakilerden ) B) { } C) {, 4 } D) {, 4, 6 } E) { 0,, 4, 6, 8 } 4. = (, 1 ) ve. = { a, b, { b }, c, d } ve B = {{ b }, c, a, { b, d }} olduğuna göre, B kümesi kaç elemanlıdır? ) 5 B) 4 C) D) E) 1 B = (, ] olduğuna göre, B kümesi aşağıdakilerden ) [, 1 ) B) (, 1 ) C) (, 1 ] D) [, ] E) 1.. C. E 4. B 1
22 Kümelerde Birleşim ve Kesişim İşleminin Özellikleri - I = { a, b, c, d }, B = { b, c, d, e } ve C = { d, e, f, g, h } kümeleri veriliyor. Buna göre, a) ile kümelerini kümesi ile b) B ile B ve B ile B kümelerini c) ( B C ) ile ( B ) C ve ( B C ) ile ( B ) C kümelerini d) ile ve ile kümelerini karşılaştırınız. c) ( B C ) = { a, b, c, d } b_ { b, i c, d, e } { d, e, f, g, _ h } il ( B C ) = { a, b, c, d } { d, e } ( B C ) = { d } olur. ( B ) C = b_ { a, i b, c, d } {b, c, d, _ e } i l { d, e, f, g, h } ( B ) C = { b, c, d } { d, e, f, g, h } ( B ) C = { d } olur. Dolayısıyla ( B C ) = ( B ) C dir Birleflme Özelli i ( B C ) = { a, b, c, d } b_ { b, i c, d, e } { d, e, f, g, _ h } il ( B C ) = { a, b, c, d } { b, c, d, e, f, g, h } a) = { a, b, c, d } { a, b, c, d } = { a, b, c, d } = dır. = { a, b, c, d } { a, b, c, d } = { a, b, c, d } = dır. ( B C ) = { a, b, c, d, e, f, g, h } olur. ( B ) C = b_ { a, i b, c, d } {b, c, d, _ e } i l { d, e, f, g, h } ( B ) C = { a, b, c, d, e } { d, e, f, g, h } ( B ) C = { a, b, c, d, e, f, g, h } olur. Dolayısıyla ( B C ) = ( B ) C dir Birleflme Özelli i b) B = { a, b, c, d } { b, c, d, e } B = { b, c, d } B = { b, c, d, e } { a, b, c, d } B = { b, c, d } olur. Dolayısıyla B = B dır. ( Değişme özelliği ) B = { a, b, c, d } { b, c, d, e } d) = { a, b, c, d } { } = { } = dir. = { a, b, c, d } { } = { a, b, c, d } = dır. B = { a, b, c, d, e } olur. B = { b, c, d, e } { a, b, c, d } B = { a, b, c, d, e } olur. Dolayısıyla B = B dır. ( Değişme özelliği )
23 Kümelerde Birleşim ve Kesişim İşleminin Özellikleri - II ve B boş kümeden farklı iki küme olmak üzere aşağıdaki ifadelerden hangisi yanlıştır? ) = B) ( ) ( B ) = C) B = B D) = E) = Not 1 : =, = B = B ( B C ) = ( B ) C Not : =, = B = B ( B C ) = ( B ) C ve B iki küme olmak üzere, B = ise ile B kümelerine ayrık kümeler denir. Kısaca, ortak elemanı olmayan kümelere ayrık kümeler denir. E şıkkında = olarak verilmiştir. = olduğundan E şıkkı yanlıştır. Cevap E TEST şağıdaki ifadelerden hangisi yanlıştır? ) = B) = C) = { } D) B = B E) ( B C ) = ( B ) C. şağıdaki ifadelerden hangisi yanlıştır? ) = B) = C) B = B D) ( ) ( ) = E) ( B C ) = ( B ) C. = { x x bir rakam } ve B { x x < 0, x Z } olmak üzere, B kümesi aşağıdakilerden ) { 1,, } B) { 1,,, 4 } C) { 0, 1,, } D) { 0, 1,,, 4 } E) { 4,,, 1, 0, 1,,, 4 } 4. = { x : x <, x Z } ve B = ( 1, 5] olduğuna göre, B kümesi aşağıdakilerden ) [ 1, ] B) [ 1, ) C) { 1 } D) { 1, 0, 1 } E) 1. C. D. B 4. E
24 Kümelerde Birleşme ve Kesişme İşlemlerinin Birbirleri Üzerine Dağılma Özelliği B = { a, b, c, d, e } C = { a, e, ı, i } olduğuna göre, ( B C ) kümesi aşağıdakilerden ) B) { a } C) { a, e, ı } D) { a, b, c, d, e, ı, i } E) { a, e } işleminin işlemi üzerine dağılma özelliği : ( B C ) = ( B ) ( C ) ( B ) C = ( C ) ( B C ) işleminin işlemi üzerine dağılma özelliği : ( B C ) = ( B ) ( C ) ( B ) C = ( C ) ( B C ) Bu durumda, ( B C ) = ( B ) ( C ) = { a, b, c, d, e } { a, e, ı, i } = { a, e } bulunur. Cevap E TEST B = { 1,, 5 } C = { 0,, 4, 5 } olduğuna göre, ( B C ) kümesi aşağıdakilerden ) B) { 0, 1,,, 4, 5 } C) {, 0, 4 } D) { 5 }. C = { x : < x 4, x Z } B C = { x : x <, x N } olduğuna göre, ( B ) C kümesi aşağıdakilerden ) B) { 0 } C) { 1 } D) { 0, 1, } E) N E) {1,, 5 }. B Yandaki şemaya göre, 4. ( B ) ( C ) kümesi aşağıdakilerden hangisine eşittir? ) C B) ( B C ) C) ( B ) C D) ( B C ) E) B ( C ) a e b d f c ( B ) C kümesi aşağıdakilerden 5. B = (, 5 ) C = [ 4, ) g olduğuna göre, ( B C ) kümesi aşağıdaki- C lerden ) { e, d } B) { d } C) { e, d, f } D) { b, e, d } E) { a, b, d, e, f } ) (, 5 ) B) ( 4, ] C) [, 5 ) D) (, ) E) (, ] 1. B. C. 4. B 5. D 4
25 İki Kümenin Birleşiminin Eleman Sayısını Bulma I ve B, E evrensel kümesinin iki alt kümesidir. s ( ) = s ( B ) ve B herhangi iki küme olmak üzere, s ( B ) = s ( ) + s ( B ) s ( B ) dir. s ( B ) = 10 B s ( B ) = olduğuna göre, s ( ) kaçtır? ) B) C) 4 D) 5 E) 6 x x s ( B ) = 10 s ( ) = s ( B ) = x olsun. s ( B ) = s ( ) + s ( B ) s ( B ) 10 = x + x x = 6 bulunur. Cevap E TEST ve B, E evrensel kümesinin iki alt kümesidir. s ( ) = 5 s ( B ) = 7 s ( B ) = 10 olduğuna göre, s ( B ) kaçtır? ) 5 B) 4 C) D) E) 1 4. ve B, E evrensel kümesinin iki alt kümesidir. s ( ) = 4. s ( B ) s ( B ) = 10 ve B kümesinin alt küme sayısı 16 olduğuna göre, s ( B ) kaçtır? ) 1 B) C) D) 4 E) 5. ve B, E evrensel kümesinin iki alt kümesidir. s ( ) = s ( B ) = olduğuna göre, s ( B ) kaçtır? ) 1 B) C) 5 D) 9 E) ve B, E evrensel kümesinin iki alt kümesidir. s ( ) =. s ( B ) = 6. s ( B ) s ( B ) = 16 olduğuna göre, s ( B ) kaçtır? ) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9. ve B, E evrensel kümesinin iki alt kümesidir. B ve s ( B ) = 9 olduğuna göre, s ( B ) kaçtır? ) B) 4 C) 6 D) 9 E) 1 6. ve B, E evrensel kümesinin iki alt kümesidir.. s ( ) = 4. s ( B ), s ( B ) = 5 ve s ( B ) < 5 olduğuna göre, kümesinin eleman sayısı en çok kaçtır? ) 1 B) 14 C) 16 D) 18 E) 0 1. D. C. D 4. B 5. B 6. C 5
26 İki Kümenin Birleşiminin Eleman Sayısını Bulma II ve B ayrık olmayan iki kümedir. s ( B ) = 6 ve s ( ) = 7 ve B ayrık olmayan iki küme ise B dir. s ( B ) nın değerinin çok olması için s ( B ) en az olmalıdır. Yani s ( B ) = 1 olmalıdır. olduğuna göre, s ( B ) en çok kaçtır? B ) 14 B) 1 C) 1 D) 11 E) s ( B ) = = 1 bulunur. Cevap C TEST ve B iki kümedir. s ( ) = 9 s ( B ) = 4 olduğuna göre, s ( B ) en çok kaçtır? ) 10 B) 11 C) 1 D) 1 E) ve B iki kümedir. s ( B ) = 1 s ( ) = 6 olduğuna göre, s ( B ) en az kaçtır? ) 16 B) 15 C) 1 D) 11 E) 10. ve B iki küme ve B dır. s ( ) = 6 s ( B ) = 5 olduğuna göre, s ( B ) en çok kaçtır? ) 9 B) 10 C) 11 D) 1 E) 1 5. kümesinin alt küme sayısı 16, B kümesinin alt küme sayısı 4 tür. Buna göre, B kümesinin eleman sayısı en az kaçtır? ) B) 4 C) 5 D) 6 E) 7. ve B iki kümedir. s ( B ) = 8 olduğuna göre, s ( B ) en çok kaçtır? ) 4 B) 5 C) 8 D) 9 E) ve B iki küme ve B dir. s ( ) = 11 s ( B ) = 5 olduğuna göre, s ( B ) en az kaçtır? ) 1 B) 11 C) 10 D) 9 E) 8 1. D. B. C 4. C 5. B 6. 6
27 Üç Kümenin Birleşiminin Eleman Sayısını Bulma s ( B C ) =, s ( ) = s ( C ) = 1, s (B ) = 7, s ( C ) = ve s ( B ) = s ( B C ) = 6 olduğuna göre, s ( B C ) kaçtır?, B ve C herhangi üç küme olmak üzere, s ( B C ) = s ( ) + s ( B ) + s ( C ) s ( B ) s ( C ) s ( B C ) + s ( B C ) dir. Bu durumda, = s ( B C ) s ( B C ) = 7 bulunur. ) B) 4 C) 5 D) 6 E) 7 Cevap E TEST s ( ) = 7, s ( B ) = 6, s ( C ) = 14, s ( C ) = 5, s ( B C ) = 4, s ( B ) = ve s ( B C ) = 1 olduğuna göre, s ( B C ) kaçtır? ) 1 B) 14 C) 16 D) 18 E) 0. s ( B C ) = 1, s ( ) = 9, s ( B ) = 5, s ( C ) = 6, s ( B ) = s ( C ) = 4 ve s ( B C ) = olduğuna göre, ( B C ) kümesinin eleman sayısı kaçtır? ) 5 B) 4 C) D) E) 1. C ve B ayrık kümelerdir. s ( ) = 10, s ( C ) = 4, s ( B ) = 1 ve s ( C ) = olduğuna göre, s ( (B C )) kaçtır? ) 1 B) 1 C) 14 D) 15 E) B ve C ayrık kümelerdir. B, s ( B ) = 5 ve s ( C ) = 4 olduğuna göre, ( B C ) kümesinin eleman sayısı kaçtır? ) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 9 1. C. B. 4. E 7
28 Kümelerin Birleşiminin Eleman Sayısını Bulma Karma I İngilizce ve lmanca dillerinden en az birini bilenlerin oluşturduğu 0 kişilik bir turist kafilesinde her iki dili de bilenlerin sayısı İngilizce bilenlerin sayısının 5 ine, lmanca bilenlerin sayısının ise 1 sına eşittir. 6 Buna göre, bu kafiledeki İngilizce bilenlerin sayısı kaçtır? ) 10 B) 1 C) 14 D) 16 E) 18 İngilizce bilenlerin kümesi İ, lmanca bilenlerin kümesi ve her iki dili de bilenlerin sayısı x olsun. İ x x 10x s ( İ ) = x ise s ( İ ) = 5x ve s ( ) = 1x olur. s ( İ ) = 0 dur. s ( İ ) = s ( İ ) + s ( ) s ( İ ) 0 = 5x + 1x x 0 = 15x x = olur. s ( İ ) = 5x s ( İ ) = 10 olur. Cevap TEST - 1. Matematik ve Türkçe derslerinin en az birinden geçenlerin bulunduğu 0 kişilik bir sınıfta kişi Matematik dersinden, 18 kişi Türkçe dersinden geçmiştir. Buna göre, bu sınıfta Matematik ve Türkçe derslerinin ikisinden de geçen kaç kişi vardır? ) 8 B) 9 C) 10 D) 11 E) 1. lmanca ve Fransızca dillerinden en az birini bilenlerin bulunduğu bir sınıfta her iki dili de bilen 6 kişi vardır. Fransızca bilenlerin sayısı lmanca bilenlerin sayısının katından 1 eksik ve sınıf mevcudu 6 kişi olduğuna göre, bu sınıfta Fransızca bilen kaç kişi vardır? ) 16 B) 18 C) 0 D) E) 4. Futbol ve voleybol oyunlarından en az birini oynayanların bulunduğu 4 kişilik bir grupta futbol oynayan 15, hem futbol hem voleybol oynayan 7 kişi vardır. Buna göre, bu grupta voleybol oynayan kaç kişi vardır? ) 10 B) 1 C) 14 D) 16 E) Basketbol ve voleybol oyunlarından en az birini oynayanların bulunduğu 48 kişilik bir sınıfta her iki oyunu da oynayanların sayısı basketbol oynayanların 5 1 ine, voleybol oynayanların ise 8 1 sine eşittir. Buna göre, bu sınıfta voleybol oynayan kaç kişi vardır? ) B) 8 C) 4 D) 0 E) D. D. E 4. 8
29 Kümelerin Birleşiminin Eleman Sayısını Bulma Karma II Bir sınıftaki öğrenciler matematik, geometri ve fizik derslerinin en az birinden geçmişlerdir. Matematikten geçenlerin sayısı 14, geometriden geçenlerin sayısı 15 ve fizikten geçenlerin sayısı 17 dir. Matematik ve geometri derslerinden geçenlerin sayısı 5, matematik ve fizik derslerinden geçenlerin sayısı 6, geometri ve fizik derslerinden geçenlerin sayısı 5 ve bu üç dersten de geçenlerin sayısı dir. Buna göre, bu sınıfta kaç kişi vardır? ) B) 40 C) 48 D) 54 E) 60 I. Yol Matematik, geometri ve fizik dersinden geçenlerin kümeleri sırasıyla M, G ve F olsun. Bu durumda s ( M ) = 14, s ( G ) = 15, s ( F ) = 17 s ( M G ) = 5, s ( M F ) = 6, s ( G F ) = 5 ve s ( M G F ) = dir. Buna göre, s ( M G F ) = s ( M ) + s ( G ) + s ( F ) s ( M G ) s ( M F ) s ( G F ) + s ( M G F ) s ( M G F ) = = olur. II. Yol Derslerden geçenlerin kümelerini Venn şeması ile gösterirsek; M 5 7 G Sınıftaki öğrencilerin sayısı = = olur. 8 F Cevap TEST - 1. Bir lokantada fasulye, pilav ve salatadan en az birini yiyen bir gruptan 18 kişi fasulye, kişi pilav ve 14 kişi de salata yemiştir. Bu gruptaki 10 kişi hem fasulye hem pilav, 6 kişi hem fasulye hem salata, 8 kişi hem pilav hem salata ve kişi de bu üç yemeği de yemiştir. Buna göre, bu grupta kaç kişi vardır? ) 1 B) 4 C) 7 D) 0 E). Daha önce lmanya, Fransa ve İtalya ülkelerinden birine gitmiş kişilerin bulunduğu 40 kişilik bir topluluktan 0 kişi lmanya'ya, 18 kişi Fransa'ya, 8 kişi lmanya ve Fransa'ya, 7 kişi lmanya ve İtalya'ya, 6 kişi Fransa ve İtalya'ya gitmiştir. Bu gruptaki, kişi bu üç ülkeye de gittiğine göre, İtalya'ya giden kaç kişi vardır? ) 0 B) 1 C) D) E) 4 1. E. 9
30 Kümelerin Birleşiminin Eleman Sayısını Bulma Karma III = { x x < 75, x = k, k Z + } ve B = { x x < 100, x = 4k, k Z + } kümeleri veriliyor. Buna göre, B kümesinin eleman sayısı kaçtır? ) 7 B) 4 C) 4 D) 45 E) 48 kümesi 75 ten küçük ve ün katı olan pozitif tam sayılardan oluşuyor. 7 - = {, 6, 9,, 7 }, s _ i = + 1 = 4 olur. B kümesi 100 den küçük ve 4 ün katı olan pozitif tam sayılardan oluşuyor B = { 4, 8, 1,, 96 }, s _ B i = + 1 = 4 olur. 4 B kümesinin elemanları OKEK (, 4 ) = 1 nin katlarından oluşur. B = { 1, 4, 6,, 7 } s ( B ) = = 6 olur. 1 s ( B ) = s ( ) + s ( B ) s ( B ) = Not : Terim Sayısı = S o n Terim - l k Terim + 1 rt fl Miktar = 4 olur. Cevap B TEST = { x : 1 < x 150, x Z } kümesinin elemanlarından kaç tanesi ve 4 ile tam bölünür? ) 9 B) 10 C) 11 D) 1 E) 1. = { x : 15 < x 40, x Z } kümesinin elemanlarından kaç tanesi 4 veya 6 ile tam bölünür? ) 64 B) 68 C) 7 D) 75 E) 76. = { x 0 < x < 10, x = k, x Z } B = { x 1 < x < 14, x = 5k, x Z } kümeleri veriliyor. Buna göre, B kümesinin eleman sayısı kaçtır? ) 4 B) 46 C) 5 D) 5 E) = { x : 0 < x < 45, x Z } kümesinin elemanlarından kaç tanesi ile bölünür fakat 4 ile bölünmez? ) 54 B) 56 C) 58 D) 60 E) 6 1. D. C. E 4. B 0
31 Kümelerin Birleşiminin Eleman Sayısını Bulma Karma IV ( B C ) = { a, b, c, d, e } ve B = { a, b, c, d, x, y, z } ve B = { a, b, x, y } B = { c, d } kümeleri veriliyor. Buna göre, C kümesinin eleman sayısı en az kaçtır? olduğuna göre, kaç farklı kümesi yazılabilir? ) B) 4 C) 8 D) 16 E) ) 1 B) C) D) 4 E) 5 B = { a, b, x, y } ( B C ) = ( B ) ( C ) { a, b, c, d, e } = { c, d } ( C ) olduğundan C kümesinde a, b ve e elemanları bulunmak zorundadır. Bundan dolayı s ( C ) en az olur. Cevap C { a, b, c, d, x, y, z } = { a, b, x, y } dir. kümesinde c, d ve z elemanları kesinlikle bulunmak zorundadır. Bu elemanların yanına B kümesinin elemanlarıyla oluşturulabilecek herhangi bir alt kümenin elemanlarını ekleyebiliriz. s ( B ) = 4 olduğundan 4 = 16 farklı alt küme vardır. Dolayısıyla 16 farklı kümesi yazılabilir. Cevap D TEST ( B C ) = { 1,,, a, b, c } ve B = { 1,,, a } kümeleri veriliyor. Buna göre, C kümesinin eleman sayısı en az kaçtır? ) 1 B) C) D) 4 E) 5. = { a, b, c, d} ve B = { a, b, c, d, e, f, g } kümeleri veriliyor. Buna göre, B kümesinin alt kümelerinden kaç tanesi kümesini kapsar? ) B) 4 C) 8 D) 16 E) 4. B, B,. B = { x, y, z, a, b, c } ve = { a, b, c } olduğuna göre, kaç farklı B kümesi yazılabilir? ) 4 B) 8 C) 16 D) E) 64 s ( ) = 8 ve s ( B ) = 1 olduğuna göre, B kümesinin eleman sayısı en az kaçtır? ) 5 B) 8 C) 11 D) 14 E) 0 1. B. B. C 4. D 1
32 Evrensel Küme ve Bir Kümenin Tümleyeni - I kümesi, E evrensel kümesinin bir alt kümesidir. E = { x : x bir harf } = { x : x bir sessiz harf } olduğuna göre, kümesinin tümleyeni aşağıdakilerden ) { a, e } B) { a, e, ı, i } C) { a, e, ı, i, o, ö, u, ü } D) { o, ö, u } E) { o, i, ü, a } E Üzerinde işlem yapılan bütün B kümeleri kapsayan, boş kümeden farklı kümeye evrensel küme denir. E, B E, ( B ) E E evrensel bir küme ve E olsun. E Evrensel kümede olan fakat kümesinde olmayan bütün elemanların oluşturduğu kümeye kümesinin = { x x ve x E } tümleyeni denir ve ' ya da ile gösterilir. Bu durumda, E = { x : x bir harf } = { a, b, c,..., z } = { x : x bir sessiz harf } = { b, c, ç, d,..., z } dir. Buna göre, ' kümesinde yalnızca sesli harfler bulunur. ' = { a, e, ı, i, o, ö, u, ü } olur. Cevap C TEST E. E B a b x y z B Yukarıdaki şekilde verilenlere göre, aşağıdakilerden hangisi yanlıştır? ) E = { a, b, x, y, z, 1, } B) = { a, b, x, y, z } C) ' = { 1, } D) B' = { x, y, z } E) B = { a, b } 8 9 Yukarıdaki şekilde verilenlere göre, ' B kümesi aşağıdakilerden ) { 4, 5, 6, 7 } B) { 4 } C) { 5, 6, 7, 8, 9 } D) { 8, 9 } E) { 5, 6, 7 } 1. D. E
33 Evrensel Küme ve Bir Kümenin Tümleyeni - II E evrensel küme olmak üzere, ı : _, ' i + D + : _ + ' i, D ifadesinin eşiti aşağıdakilerden ) B) ' C) D) E E) Hiçbiri ı : _, _ >, i _ < i >, ' i + D + : _ + ' i, D = 7 E + + 7Q, ; E Q = ' = olur. ı a) E = E b) E = c) ' = E d) ' = e) E' = f) ' = E g) (')' = h) B B' ' Cevap C TEST kümesi, E evrensel kümesinin bir alt kümesi olmak üzere, ı < b_, Ei, _ + Eil + EF ifadesinin eşiti aşağıdakilerden ) B) ' C) D) E E) Hiçbiri. ve B, E evrensel kümesinin farklı iki alt kümesi ve B dir. Buna göre, b _ ' + B' i + _ ', B' il + b_ + B' i + _ ' + Bil ifadesinin eşiti aşağıdakilerden ) B' B) ' B C) B D) E) E. kümesi, E evrensel kümesinin bir alt kümesi olmak üzere, ' ' ı ı :_, i + _Q + id ifadesi aşağıdakilerden hangisine eşit değildir? ) B) C) E D) ' E) ' E 4. şağıdaki ifadelerden hangisi yanlıştır? ) Evrensel kümenin tümleyeni ile bir kümenin kesişimi boş kümedir. B) Bir küme ile tümleyeninin birleşimi evrensel kümedir. C) Boş kümenin tümleyeni ile bir kümenin kesişimi o kümenin kendisine eşittir. D) Bir kümenin tümleyeni ile kesişimi evrensel kümedir. E) Boş kümenin tümleyeninin tümleyeni boş kümedir. 1.. E. D 4. D
34 De Morgan Kuralları ve B, E evrensel kümesinin iki alt kümesidir. Buna göre, ( B ) ( B )' kümesi aşağıdakilerden hangisine eşittir? ) B) C) B D) B E) E ve B herhangi iki küme olmak üzere, J N ( B )' = ' B' K O K De Morgan O K O ( B )' = ' B' Kuralları K O L P ( B ) ( B )' = ( B ) ( ' B' ) = ( ' ) ( B B' ) = E E = E bulunur. Cevap E TEST ve B, E evrensel kümesinin iki alt kümesi olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi yanlıştır? ) ( B )' = ' B' B) ' = C) ( B )' = ' B' D) ( ' B )' = B' E) ( B' )' = ' B 4. ve B, E evrensel kümesinin iki alt kümesidir. Buna göre, B [( B' )' ]' kümesi aşağıdakilerden hangisine eşittir? ) B) C) B D) B' E) E. ve B, E evrensel kümesinin iki alt kümesidir. Buna göre, ( B )' B kümesi aşağıdakilerden hangisine eşittir? ) B) C) ' D) E E) Hiçbiri 5. ve B, E evrensel kümesinin iki alt kümesidir. Buna göre, B' ı ı :_, i + _ ', Bi D kümesi aşağıdakilerden hangisine eşittir? ) B) C) B D) ' E) E ı. ve B, E evrensel kümesinin iki alt kümesidir. Buna göre, ( ' B )' B kümesi aşağıdakilerden hangisine eşittir? ) B) C) B D) B' E) E 6. ve B, E evrensel kümesinin iki alt kümesidir. Buna göre, ( ' B' )' ( ' B )' kümesi aşağıdakilerden hangisine eşittir? ) B) C) B D) B E) E 1. E.. E 4. C 5. E 6. 4
35 Evrensel Kümenin ve Bir Kümenin Tümleyeninin Eleman Sayısını Bulma ve B, E evrensel kümesinin farklı iki alt kümesidir. s ( ) + s ( B ) = 1 s ( ' ) + s ( B' ) = 11 olduğuna göre, s ( E ) kaçtır? ) 9 B) 10 C) 11 D) 1 E) 1, E evrensel kümesinin bir alt kümesi ise, s ( ) + s ( ' ) = s ( E ) dir. Bu durumda, s ( ) + s ( B ) = 1 s ( ' ) + s ( B' ) = 11 s ( ) + s ( ' ) + s ( B ) + s ( B' ) = 4 s ( E ) + s ( E ) = 4 s ( E ) = 1 bulunur. Cevap D TEST , E evrensel kümesinin bir alt kümesidir. s ( E ) = 1, s ( ) = 9 olduğuna göre, s ( ' ) kaçtır? ) B) 4 C) 5 D) 6 E) 7 4., B ve C, E evrensel kümesinin farklı alt kümeleridir. s ( ) + s ( B ) + s ( C' )= 10, s ( ' ) + s ( B' ) = 14 ve s ( E ) = 9 olduğuna göre, s ( C ) kaçtır? ) 7 B) 6 C) 5 D) 4 E). E evrensel küme ve E dir. kümesinin alt küme sayısı 16, ' kümesinin alt küme sayısı 8 olduğuna göre, s ( E ) kaçtır? ) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8 5. ve B, E evrensel kümesinin alt kümeleridir. s ( B ) = 9, s ( B ) = 1 s ( B ) = 4, s ( E ) = 11 olduğuna göre, kümesinin tümleyeninin eleman sayısı kaçtır? ) B) C) 4 D) 5 E) 6. ve B, E evrensel kümesinin iki alt kümesidir. s ( ' ) + s ( B ) = 19, s ( ) + s ( B' ) = 7 olduğuna göre, s ( E ) kaçtır? ) 9 B) 10 C) 11 D) 1 E) 1 6. ve B, E evrensel kümesinin ayrık alt kümeleridir.. s ( ) = 4. s ( B ) s ( B' ) = s ( ' ) + 5 olduğuna göre, s ( B ) kaçtır? ) 10 B) 1 C) 1 D) 15 E) B. D. E 4. E 5. D 6. D 5
36 Evrensel Küme ltında İki Kümenin Birleşiminin Eleman Sayısını Bulma ve B, E evrensel kümesinin iki alt kümesidir. x = B = x s ( E ) =. s ( B ) =. s ( ) s ( E ) =. s ( B ) =. s ( ) s ( ' B' ) = 8 x x 6x x x s ( B ) = 8 olduğuna göre, s ( ) kaçtır? E = 6x ) 15 B) 1 C) 1 D) 10 E) 8 ( B)' = ' B' 6x = 8 + ( x ) + + ( x ) 6x = 5x + 5 x = 5 s ( ) = 15 bulunur. Cevap TEST ve B, E evrensel kümesinin alt kümeleridir. s ( E ) = 16, s ( ' B' ) = 10 olduğuna göre, s ( B ) kaçtır? ) B) C) 4 D) 5 E) 6 4. ve B, E evrensel kümesinin ayrık iki alt kümesidir. s ( ) = 4, s ( B ) = 1, s ( ' B' ) = 6 olduğuna göre, s ( E ) kaçtır? ) 14 B) 1 C) 1 D) 11 E) 10. ve B, E evrensel kümesinin alt kümeleridir. s ( E ) = 1, s ( ) = 6, s ( B ) =, s ( B ) = 1 olduğuna göre, s ( ' B' ) kaçtır? ) 7 B) 6 C) 5 D) 4 E) 5. ve B, E evrensel kümesinin iki alt kümesidir. s ( B ) =. s ( ), s ( B ) = s (( B )'), s ( E ) = 15 olduğuna göre, s ( ) kaçtır? ) 4 B) 5 C) 6 D) 8 E) 10. ve B, E evrensel kümesinin alt kümeleridir. s ( E ) = 1, s ( ) = 7 s ( B ) = 4, s (( B )') = olduğuna göre, s ( B ) kaçtır? ) 8 B) 7 C) 6 D) 5 E) 4 6. E evrensel küme olmak üzere, E, B E ve B dır. s ( E ) = 15, s ( ) = 7, s ( B ) = 5 olduğuna göre, s (( B )') en az kaçtır? ) B) 4 C) 5 D) 6 E) 7 1. E. D. 4. D 5. B 6. B 6
37 İki Kümenin Farkı - I E B a f c e b d g Yandaki şekilde E evrensel kümesine ait ve B alt kümeleri verilmiştir. ve B iki küme olmak üzere, da olup B de olmayan elemanların oluşturduğu kümeye fark B kümesi denir ve \ B ya da B şeklinde gösterilir. B = { x : x ve x B } dir. Buna göre, B, B, E, E B, ' B ve ( B ) ( B ) kümelerini bulunuz. B = { a, b } B = { e } E = { e, f, g } E B = { a, b, f, g } ' B = { f, g } ( B ) ( B ) = { a, b, e } dir. TEST = { a, b, c, d, e } ve B = { a, e, f } olduğuna göre, \ B kümesi aşağıdakilerden ) B) { b, c, d } C) { b, c } D) { b, c, d, e } E) { a, b, c }. = { x 4 < x <, x Z } ve B = { x : x N + } olduğuna göre, \ B kümesinin eleman sayısı kaçtır? ) B) C) 4 D) 5 E) B E Yandaki Venn Şemasına göre, aşağıdakilerden hangisi yanlıştır? ) \ B = { } B) B \ = { 5, 6 } C) ( B )' = { 1,, 7, 8 } D) ( \ B ) = { } E) B' ( \ B ) = { 1,,, 7, 8 } 4. = { 1,, {, 4 }, 5, { 6 }} ve B = { 1, } olduğuna göre, B kümesinin elemanlı alt kümelerinin sayısı kaçtır? ) 1 B) C) 6 D) 8 E) B. D. C 4. 7
38 İki Kümenin Farkı - II = { a, b, c, d, e } B = { a, b, c, x } olduğuna göre, ( B ) ( B ) kümesi aşağıdakilerden ) { d, e } B) { x } C) { a, b, c } D) { d, e, x } E) { a, b, x } ( B ) ( B ) kümesine simetrik fark kümesi denir. B ile gösterilir. B B B B = ( B ) ( B ) E, evrensel kümesinin iki alt kümesi ve B olmak üzere, a) B ise B B dır. b) = c) = d) = e) E = f) E = ' g) B ise B = dir. h) B = ise B = ve B = B dir. d e a b c x B B = { d, e } B = { x } ( B ) ( B ) = { d, e, x } olur. i) s ( B ) = s ( ) + s ( B ) s ( B ) = s ( B ) + s ( B ) dir. Cevap D TEST - 1. = { 1,,, 4, 5, 6, 7, 8 } ve B = {,, 5, 7, 9 } olmak üzere, ( B ) ( B ) kümesi aşağıdakilerden ) { 1,,, 7 } B) {,, 5, 7 } C) { 1, 4, 6, 8, 9 } D) { 1, 4, 6 } E) { 9 }. şağıdaki ifadelerden hangisi yanlıştır? ) = B) = C) = D) E = E) E = ' 1. C. D 8
39 İki Kümenin Farkı - III ve B, E evrensel kümesinin iki alt kümesi olmak üzere, ( B )' ( B ) kümesi aşağıdakilerden hangisine eşittir? ) B) C) B D) B' E) E ve B herhangi iki küme olmak üzere, B = B' dir. Bu durumda, ( B )' ( B ) = ( ' B' ) ( B' ) = ( ' ) B' = B' = bulunur. Not : Bu tip soruları Venn şeması kullanarak kolayca çözebilirsiniz. Cevap TEST - 1. [( B' )]' kümesi aşağıdakilerden hangisine eşittir? ) B) C) B D) B' E) ' B' 4. ( B )' ( B ) kümesi aşağıdakilerden hangisine eşittir? ) B) C) B D) B' E) E. ' ( B ) kümesi aşağıdakilerden hangisine eşittir? ) B) C) B D) B E) ' B 5. B \ = olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur? ) = B) B C) B D) B E) ve B ayrık kümelerdir.. B olmak üzere, ( B )' ( B )' kümesi aşağıdakilerden hangisine eşittir? ) E B) C) B D) ' E) B' 6. ve B, E evrensel kümesinin farklı iki alt kümesidir. Buna göre, ( ' ) [( E B ) ( B E )] kümesi aşağıdakilerden hangisine eşittir? ) E B) C) ' D) B E) B' 1. E. E. 4. D 5. D 6. E 9
40 Kümelerin Farkının Eleman Sayısını Bulma s ( ) = 1, s ( B ) = 7 ve s ( B' ) = 9 olduğuna göre, s ( B ) kaçtır? B s() = 1 s(b) = 7 B B B ) 1 B) C) D) 4 E) 5 s( B) = s() s( B) ( B' = B) = 1 9 = 4 s ( B ) = s ( B ) s ( B ) = 7 4 = bulunur. Cevap C TEST s ( \ B ) = 4, s ( B \ ) = 1, s ( B ) = olduğuna göre, s ( B ) kaçtır? ) 7 B) 8 C) 9 D) 10 E) ve B, E evrensel kümesinin iki alt kümesidir. s ( B \ ) =. s ( \ B ), s ( E ) = 4, s ( B ) = ve s ( ' ) = 15 olduğuna göre, s ( B ) kaçtır? ) 6 B) 8 C) 10 D) 1 E) 15. s ( ) = 1, s ( B ) = 6 olduğuna göre, B kümesinin eleman sayısı kaçtır? ) 6 B) 10 C) 14 D) 18 E) 0 5. s ( B ) = 4. s ( ) s ( B ) = olduğuna göre, s ( B ) en az kaçtır? ) B) 5 C) 6 D) 8 E) 11. B, B, B kümelerinin alt kümelerinin sayısı sırasıyla 18, 64 ve 16 olduğuna göre, s ( B ) kaçtır? ) 18 B) 17 C) 16 D) 15 E) ve B, E evrensel kümesinin farklı iki alt kümesidir. s ( ) = 9, s ( E ) = 15 olduğuna göre, :_ ' - B' i, _ ' - BiD kümesinin eleman sayısı kaçtır? ) 1 B) C) 6 D) 9 E) B. D. B 4. E 5. C 6. C 40
41 Bir Kümenin Venn Şeması İle Temsili Gösterimi B C Yandaki Venn şemasında verilen bölge aşağıdakilerden hangisi ile ifade edilebilir? ) C' B) ( B ) \ C) \ ( B C ) D) \ ( B C ) E) ( B C )' a d b e B c f C Kümelerin belirttiği bölgeleri harflendirirsek, = { a, b, e, d } B = { b, c, e, f } ve C = { d, e, f, g } g kümeleri temsili olarak oluşur. Bu durumda, \ ( B C ) = { a, b, e, d } \ { e, f } = { a, b, d } kümesi taralı bölgeyi temsil eder. Cevap C TEST ( C ) B kümesinin Venn Şeması ile gösterimi aşağıdakilerden ) B B) B C) B. B Yandaki şemada verilen taralı bölge aşağıdakilerden hangisi ile ifade edilebilir? C C C C ) ( B ) C B) ( B ) C D) B E) C C B C) C' B D) ( B ) C' E) ( B ) C 4. B. B Yandaki şemada verilen taralı bölge aşağıda- E C kilerden hangi- ve B kümeleri, E evrensel kümesinin iki alt si ile ifade edi- kümesidir. Buna göre, yukarıdaki taralı bölge lebilir? aşağıdakilerden hangisi ile ifade edilemez? ) C ( B ) B) ( C ) B C) B ( C ) D) ( ' B' ) C E) C ( B ) ) ( B ) ( B ' ) B) ( B )' C) ( B ) ( B ) D) ( B' ) (B \ ) E) ( B ) \ ( B ) 1. D. E. 4. B 41
ÜNİTE 11 ÜNİTE 9 MATEMATİK. Kümeler. 1. Bölüm: Kümelerde Temel Kavramlar 2. Bölüm: Kümelerde İşlemler. 9. Sınıf Matematik
ÜNİTE 11 ÜNİTE Kümeler 1. Bölüm: Kümelerde Temel Kavramlar 2. Bölüm: Kümelerde İşlemler 9 MATEMATİK 1. ÜNİTEDE HEDEFLENEN KAZANIMLAR 1. BÖLÜM: KÜMELERDE TEMEL KAVRAMLAR Kazanım 9.1.1.1: Küme kavramını
DetaylıKÜMELER ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 2. ÜNİTE 1. ÜNİT
KÜMELER ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 2. ÜNİTE 1. ÜNİT Kümelerde Temel Kavramlar 1. Kazanım : Küme kavramını açıklar; liste, Venn şeması ve ortak özellik yöntemleri ile gösterir. 2. Kazanım : Evrensel küme,
DetaylıA { x 3 x 9, x } kümesinin eleman sayısı A { x : x 1 3,x } kümesinin eleman sayısı KÜMELER
KÜMELER Küme, nesnelerin iyi tanımlanmış bir listesidir. Kümeyi oluşturan nesnelerin her birine kümenin elemanı denir. Kümeler genellikle A, B, C,... gibi büyük harflerle gösterilir. x nesnesi A kümesinin
DetaylıKÜMELER ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİT
KÜMELER ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİT Kümelerde Temel Kavramlar 1. Kazanım : Küme kavramını açıklar; liste, Venn şeması ve ortak özellik yöntemleri ile gösterir. 2. Kazanım : Evrensel küme,
DetaylıYENİ ORTAÖĞRETİM MATEMATİK PROGRAMINA UYGUNDUR. YGS MATEMATİK 3. KİTAP MERVE ÇELENK FİKRET ÇELENK
YENİ ORTAÖĞRETİM MATEMATİK PROGRAMINA UYGUNDUR. YGS MATEMATİK 3. KİTAP MERVE ÇELENK FİKRET ÇELENK İÇİNDEKİLER Kümeler 5 44 Fonksiyonlar 1 45 88 Fonksiyonlar 2 89 124 Sayma Kuralları 125 140 Faktöriyel
DetaylıStarboard dosya aç dosyayı seçerek Andropi teach menu içe aktar dosyayı seçiyoruz nesne olarak seç
Not: Starboard programında dosya aç kısmından dosyayı seçerek açabilirsiniz. Yazı karakterlerinde bozulma oluyorsa program kapatılıp tekrar açıldığında yazı düzelecektir. Ben yaptığımda düzelmişti. Andropi
DetaylıTEST - 1 ÖDEV TESTİ elemanlı alt kümelerinin sayısı 3 elemanlı alt kümelerinin. 1. A = {1, {2}, {1, 2}, 3, Ø} kümesi için aşağıdakilerden
10 Kümeler ÖDEV TESTİ TEST - 1 6. 5 elemanlı alt kümelerinin sayısı 3 elemanlı alt kümelerinin sayısına eşit olan bir kümenin en az 6 elemanlı kaç alt kümesi vardır? ) 24 ) 28 C) 37 D) 38 E) 42 1. = {1,
DetaylıTEOG. Kümeler KÜME VE ELEMAN KAVRAMI ÖRNEK KÜMELERİN GÖSTERİMİ ÖRNEK ÖRNEK KÜMENİN ELEMAN SAYISI ÖRNEK 3. ORTAK ÖZELLİK YÖNTEMİ 1.
TEOG ümeler ÜE VE EEN VRI Elemanları belirlenebilen, belirli bir anlam taşıyan canlı ya da cansız varlıkların veya kavramların oluşturduğu topluluğa küme denir. ümeyi oluşturan varlıkların, kavramların
DetaylıÖrnek...4 : A = { a, b, c, d, {a}, {b,c}} kümesi veriliyor. Aşağıdakilerin doğru mu yanlış mı olduğunu yazınız.
KÜME KAVRAMI Küme matematiğin tanımsız bir kavramıdır. Ancak kümeyi, iyi tanımlanmış kavram veya nesneler topluluğu diye tarif edebiliriz. Kümeler A, B, X, K,... gibi büyük harflerle gösterilir. Bir kümeyi
DetaylıKÜMELER. İyi tanımlanmış nesneler topluluğuna küme denir. Bir küme, birbirinden farklı nesnelerden oluşur. Bu nesneler somut veya soyut olabilir.
1 KÜMELER İyi tanımlanmış nesneler topluluğuna küme denir. ir küme, birbirinden farklı nesnelerden oluşur. u nesneler somut veya soyut olabilir. Kümeyi oluşturan nesnelerin her birine eleman(öğe) denir.
DetaylıCebir Notları. Kümeler. Gökhan DEMĐR, KÜME KAVRAMI
, 2006 MC Cebir Notları Gökhan DEMĐR, gdemir23@yahoo.com.tr Kümeler KÜME KVRMI Kümenin tanım yoktur. undan dolayı kümeyi tanıtmaya çalışalım. Küme kavramında bir topluluk, bir kolleksiyon ifadesi vardır.
DetaylıÖrnek...1 : Örnek...2 : A = { a, {a}, b, c, {b, d}, d }, B = { {a}, {c, d}, c, d, x, Δ } k ümeleri için s( AUB) kaçtır?
KÜMELER 2 İKİ KÜMENİN BİRLEŞİMİ A ve B gibi iki kümeden, A' ya veya B' ye ait olan elemanlardan oluşan yeni kümeye A ile B' nin birleşimi denir ve AUB ile gösterilir. Bu gösterim A birleşim B di ye okunur.
DetaylıKÜMELER KÜMELER. Ortak Özellik Yöntemi: Kümenin içindeki elemanlar ortak bir özelliğe yazılır.
Küme: elirli nesneler topluluğuna küme adını veriyoruz. n iyi sanatçı ( - ) n güzel şarkı ( - ) Sınıftaki en güzel kız ( - ) Sınıftaki mavi gözlü erkekler ( + ) Uçan insanlar ( + ) oş Küme: lemanı olmayan
DetaylıL İ S E S İ MATEMATİK. Kümeler. Üzerine Kısa Çalışmalar
MTEMTİK T T Ü R K N D O L U L İ S E S İ M T E M T İ K Üzerine Kısa Çalışmalar KONY \ SELÇUKLU 017 MTEMTİK KÜMELER (CÜMLELER).1 Küme (Cümle) Kavramı Matematiğin dili mantıktır., matematiğin kendisini anlatabilmesini
Detaylı1 A IV. a. Kümelerin Gösterimleri-Boş Küme-Denk ve Eşit Kümeler A II. A. a VI. A. b C ) c. 1. A kümesini venn şeması ile gösteriniz.
Kümelerin Gösterimleri-Boş Küme-Denk ve Eşit Kümeler 1. kümesini venn şeması ile gösteriniz. 6. M kümesine denk olan N kümesini ortak özellik yöntemi ile gösteriniz. 2. B kümesini liste yöntemi ile gösteriniz.
Detaylı1. BÖLÜM: KÜMELERDE TEMEL KAVRAMLAR, KÜMELERDE İŞLEMLER BÖLÜM: KARTEZYEN ÇARPIM, KÜME PROBLEMLERİ BÖLÜM: GERÇEK SAYILAR...
İçindekiler 1. BÖLÜM: KÜMELERDE TEMEL KVRMLR, KÜMELERDE İŞLEMLER... 10. KÜMELERDE TEMEL KVRMLR... 10 B. SONLU, SONSUZ VE BOŞ KÜME... 12 C. KÜMELERİN EŞİTLİĞİ... 14 D. LT KÜME, ÖZ LT KÜME... 14 E. KÜMELERDE
DetaylıMateMito AKILLI MATEMATİK DEFTERİ
Ar tık Matematiği Çok Seveceksiniz! MateMito AKILLI MATEMATİK DEFTERİ Artık matematikten korkmuyorum. Artık matematiği çok seviyorum. Artık az yazarak çok soru çözüyorum. Artık matematikten sıkılmıyorum.
Detaylıİçindekiler. 3. Sonlu ve Sonsuz Kümeler Denk ve Eşit Kümeler Kümelerde Birleşim ve Kesişim
İçindekiler 1. Küme Kavramı...6-7 2. Kümelerin Gösterimi...8-15 3. Sonlu ve Sonsuz Kümeler... 16-17 4. lt Küme Kavramı... 18-27 5. Denk ve şit Kümeler... 28-29 6. Kümelerde irleşim ve Kesişim... 31-41
Detaylı{ x,y x y + 19 = 0, x, y R} = 3 tir. = sonlu kümesinin 32 tane alt kümesinde
1. Aşağıdaki kümelerden hangisi sonsuz küme belirtir? A) A = { x 4 < x < 36,x N} B) B = { x 19 < x,x asal sayı} C) C = { x x = 5k,0 < x < 100,k Z} D) D = { x x = 5, x Z} E) E = { x x < 19,x N}. A, B ve
DetaylıYAZILI ÇALIŞMA TEKNİKLERİ. w w w. g e o m e t r i g o r m e t e k n i k l e r i. c o m. { } : boþ küme demek deðildir. ÇÖZÜMÜ:
KONU BİLGİSİ 1.KÜME TNIMI VE GÖSTERÝM ÞEKÝLLERÝ Belli özellikleri saðlayan nesneler topluluðuna küme denir. Kümede tüm elemanlar net olmalýdýr. Kümeler büyük harflerle gösterilir. Bir kümede bir eleman
Detaylı5. A ve B gibi iki cümleden A nın bir, B nin iki elemanı A B cümlesinin elemanı değildir. dışında A. 9. A ve B iki kümedir.
1. KÜMELER 5. A ve B gibi iki cümleden A nın bir, B nin iki elemanı A B cümlesinin elemanı değildir. dışında A B nin alt cümleleri sayısı 63 olduğuna göre, A B cümlesinin alt cümleleri sayısı kaçtır? (51)
Detaylıİçindekiler. 3. Sonlu ve Sonsuz Kümeler Denk ve Eşit Kümeler Kümelerde Birleşim ve Kesişim
İçindekiler 1. Küme Kavramı...6-7 2. Kümelerin Gösterimi...8-15 3. Sonlu ve Sonsuz Kümeler... 16-17 4. lt Küme Kavramı... 18-27 5. Denk ve şit Kümeler... 28-29 6. Kümelerde irleşim ve Kesişim... 31-41
DetaylıMATM 133 MATEMATİK LOJİK. Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev
MATM 133 MATEMATİK LOJİK Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev 3.KONU Kümeler Teorisi; Küme işlemleri, İkili işlemler 1. Altküme 2. Evrensel Küme 3. Kümelerin Birleşimi 4. Kümelerin Kesişimi 5. Bir Kümenin Tümleyeni
DetaylıCebir Notları. Kümeler TEST I. Gökhan DEMĐR, gdemir23@yahoo.com.tr. www.matematikclub.com, 2006
, 2006 MC Cebir Notları Gökhan DEMĐR, gdemir23@yahoo.com.tr Kümeler TEST I 1. s(a) = 13 s(a \ B) = 7 s(a B) = 23 ise, s(b) nedir? A) 6 B) 7 C) 10 D) 13 E) 16 7. Üç basamaklı 5 ve 7 ile tam bölünebilen,
DetaylıKÜMELER. Kümeler YILLAR 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 MATEMATĐK ĐM /LYS. UYARI: {φ} ifadesi boş kümeyi göstermez.
MTEMTĐK ĐM YILLR 00 00 004 005 006 007 008 009 010 011 ÖSS-YGS - 1 - - - - - 1 1 1/1 /LYS KÜMELER TNIM: in tam bir tanımı yoksa da matematikçiler kümeyi; iyi tanımlanmış nesneler topluluğu olarak kabul
DetaylıKüme Temel Kavramları
Kümeler Kümeler Küme, matematiksel anlamda tanımsız bir kavramdır. Bu kavram "nesneler topluluğu veya yığını" olarak yorumlanabilir. Bu tanımdaki "nesne" soyut ya da somut bir şeydir; fakat her ne olursa
DetaylıHer türlü görüş, öneri ve eleştirilerinize açık olduğumu bilmenizi ister çalışmalarınızda ve sınavlarınızda başarılar dilerim.
Önsöz Değerli Öğrenciler, u fasikül ortaöğretimde başarınızı yükseltmeye, üniversite giriş sınavlarında yüksek puan almanıza yardımcı olmak için özenle hazırlanmıştır. Konular anlamlı bir bütün oluşturacak
DetaylıTEMEL SAYMA KURALLARI
TEMEL SAYMA KURALLARI SAYMA Toplama Yoluyla Sayma A ve B sonlu ve ayrık kümeler olmak üzere, bu iki kümenin birleşiminin eleman sayısı; s(a,b) = s(a) + s(b) dir. Sonlu ve ayrık iki kümenin birleşiminin
DetaylıRakam : Sayıları yazmaya yarayan sembollere rakam denir.
A. SAYILAR Rakam : Sayıları yazmaya yarayan sembollere rakam denir. Sayı : Rakamların çokluk belirten ifadesine sayı denir.abc sayısı a, b, c rakamlarından oluşmuştur.! Her rakam bir sayıdır. Fakat bazı
Detaylı9. Sınıf Matemat k Ders İşleme Defter. Altın Kalem Yayınları
9. Sınıf Matemat k Ders İşleme Defter KÜMELER - 1 Altın Kalem Yayınları Küme: B rb r nden farklı nesneler n oluşturduğu topluluklar küme şekl nde adlandırılır. Kümey oluşturan nesneler n y bel rlenm ş
DetaylıKÜMELER Test -1. 5. A a,b,c, 1,2, 5. 1. A a,b,c,d 2. A,1,2,3, 1. 7. s(a) = 10 ve s(b) = 7. 4. B x:0 x 40 ve x 5k, k. 8. s(a) = 9 ve s(b) = 4
KÜMELER Test -1 1. A a,b,c,d kümesi için aşağıdakilerden hangisi yanlıştır? A) A B) a A C) d A D) {a, c} A E) {a} A 5. A a,b,c, 1,2, 5 kümesi için aşağıdakilerden hangisi doğrudur? A) s(a) = 6 B) b A C)
DetaylıKÜMELER. a. Doğal sayılar b. Elimdeki parmaklar c. Yaşayan dahi insanlar d. Üç ayaklı hayvanlar e.
1 KÜMELER KÜME KVRMI Modern matematiğin en önemli ve temel öğelerinden biri küme kavramıdır. Kümeler teorisinin dili ve teknikleri matematiğe ve bilimin diğer birçok branşına temel teşkil eder. Kümenin,
DetaylıKÜMELER. A = {x : (x in özelliği)} Burada x : ifadesi öyle x lerden oluşur ki diye okunur. Küme oluşturur. Çünkü Kilis in üç tane ilçesi.
KÜMELER Canlı yada cansız varlıkların oluşturduğu iyi A = {a, b, {a, b, c}} ise, s(a) = 3 tür. tanımlanmış nesneler topluluğuna küme denir. 2. Ortak Özellik Yöntemi Kümenin elemanlarını, daha somut ya
DetaylıTEOG. Sayma Sayıları ve Doğal Sayılar ÇÖZÜM ÖRNEK ÇÖZÜM ÖRNEK SAYI BASAMAKLARI VE SAYILARIN ÇÖZÜMLENMESİ 1. DOĞAL SAYILAR.
TEOG Sayma Sayıları ve Doğal Sayılar 1. DOĞAL SAYILAR 0 dan başlayıp artı sonsuza kadar giden sayılara doğal sayılar denir ve N ile gösterilir. N={0, 1, 2, 3,...,n, n+1,...} a ve b doğal sayılar olmak
Detaylı7. Aşağıda verilen önermelerin değillerini yazınız. a. p: Bazı aylar 30 gündür. p : Bazı aylar 30 gün değildir.
ADIM 0. Aşağıdaki ifadelerin bir önerme olup olmadığını belirtiniz. a. Asal sayıların hepsi tek sayıdır. önerme b. Türkiye 7 farklı coğrafi bölgeden oluşur. önerme c. Çay içmeye gelen var mı? önerme değil.
Detaylısayıların kümesi N 1 = { 2i-1: i N } ve tüm çift doğal sayıların kümesi N 2 = { 2i: i N } şeklinde gösterilebilecektir. Hiç elemanı olmayan kümeye
KÜME AİLELERİ GİRİŞ Bu bölümde, bir çoğu daha önceden bilinen incelememiz için gerekli olan bilgileri vereceğiz. İlerde konular işlenirken karşımıza çıkacak kavram ve bilgileri bize yetecek kadarı ile
DetaylıKÜMELER. Küme nesneler topluluğudur. Bu bölümde kümelerle kurulan matematiksel yapıyı tanıtacağız.
KÜMELER Küme nesneler topluluğudur. u bölümde kümelerle kurulan matematiksel yapıyı tanıtacağız. Küme kavramı matematiğe girmeden önce matematik denilince akla sayılar ve şekiller gelirdi. Kümeler kuramının
DetaylıTEMEL KAVRAMLAR. SAYI KÜMELERİ 1. Doğal Sayılar
TEMEL KAVRAMLAR Rakam: Sayıları ifade etmeye yarayan sembollere rakam denir. Bu semboller {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} kümesinin elemanlarıdır., b ve c birer rakamdır. 15 b = c olduğuna göre, + b + c
DetaylıBuna göre, eşitliği yazılabilir. sayılara rasyonel sayılar denir ve Q ile gösterilir. , -, 2 2 = 1. sayıdır. 2, 3, 5 birer irrasyonel sayıdır.
TEMEL KAVRAMLAR RAKAM Bir çokluk belirtmek için kullanılan sembollere rakam denir. 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 sembolleri birer rakamdır. 2. TAMSAYILAR KÜMESİ Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,... }
Detaylıİlter TÜRKMEN, Tolga TANIŞ, Simay AYDIN,
YAYIN KURULU Hazırlayanlar İlter TÜRKMEN, Tolga TANIŞ, Simay AYDIN, YAYINA HAZIRLAYANLAR KURULU Kurumsal Yayınlar Yönetmeni Saime YILDIRIM Kurumsal Yayınlar Birimi Dizgi & Grafik Mustafa Burak SANK & Ezgi
DetaylıDers 2: Küme Teorisi, Örnek Uzay, Permütasyonlar ve Kombinasyonlar
Ders 2: Küme Teorisi, Örnek Uzay, Permütasyonlar ve Kombinasyonlar Küme Kavramı Küme İşlemleri Deney, Örnek Uzay, Örnek Nokta ve Olay Kavramları Örnek Noktaları Sayma Permütasyonlar Kombinasyonlar Parçalanmalar
DetaylıTemel Kavramlar 1 Doğal sayılar: N = {0, 1, 2, 3,.,n, n+1,..} kümesinin her bir elamanına doğal sayı denir ve N ile gösterilir.
Temel Kavramlar 1 Doğal sayılar: N = {0, 1, 2, 3,.,n, n+1,..} kümesinin her bir elamanına doğal sayı denir ve N ile gösterilir. a) Pozitif doğal sayılar: Sıfır olmayan doğal sayılar kümesine Pozitif Doğal
DetaylıAYRIK YAPILAR ARŞ. GÖR. SONGÜL KARAKUŞ- FIRAT ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ YAZILIM MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ, ELAZIĞ
AYRIK YAPILAR P r o f. D r. Ö m e r A k ı n v e Y r d. D o ç. D r. M u r a t Ö z b a y o ğ l u n u n Ç e v i r i E d i t ö r l ü ğ ü n ü ü s t l e n d i ğ i «A y r ı k M a t e m a t i k v e U y g u l a
DetaylıA) 4 B) 8 C) 16 D) 32 E) 63. kaçtır?(d) A) 28 B) 44 C) 58 D) 64 E) 79 A) 16 B) 14 C) 12 D) 10 E) 8 8. ( ) veriliyor.a B kümesinin en az iki
TEST 3 1.={{x},y,{Ø}} kümesi için, aşağıdakilerden kaç tanesi yanlıştır?() i.ø ii.{x} iii.ø iv.{ø} v.{y} ) 1 ) 2 ) 3 D) 4 E) 5 2.Şekildeki taralı küme aşağıdakilerden hangisiyle ifade edilemez? 5. ( Α
DetaylıTAMSAYILAR. 9www.unkapani.com.tr. Z = {.., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, } kümesinin her bir elemanına. a, b, c birer tamsayı olmak üzere, Burada,
TAMSAYILAR Z = {.., -, -, -, 0,,,, } kümesinin her bir elemanına tamsayı denir. Burada, + Z = {,,,...} kümesine, pozitif tamsayılar kümesi denir. Z = {...,,,,} kümesine, negatif tamsayılar kümesi denir.
DetaylıKÜMELER 05/12/2011 0
KÜMELER 05/12/2011 0 KÜME NEDİR?... 2 KÜMELERİN ÖZELLİKLERİ... 2 KÜMELERİN GÖSTERİLİŞİ... 2 EŞİT KÜME, DENK KÜME... 3 EŞİT OLMAYAN (FARKLI) KÜMELER... 3 BOŞ KÜME... 3 ALT KÜME - ÖZALT KÜME... 4 KÜMELERDE
DetaylıMATEMATİK Fasikül 1 KONU ANLATIMLI FASİKÜL SET ÖLÇEN SIRA SENDE UYGULAMALARI ÇÖZÜMLÜ ÖRNEK SORULAR
ATU MATEMATİK Fasikül 1 KONU ANLATIMLI FASİKÜL SET ZENGİN İÇERİKLİ ÖZGÜN KONU ANLATIMI ÖLÇEN SIRA SENDE UYGULAMALARI ÇÖZÜMLÜ ÖRNEK SORULAR BİLGİ KONTROLÜ ODAKLI KARMA SORULAR PEKİŞTİREN BÖLÜMLERİ AKILLI
DetaylıBMT 206 Ayrık Matematik. Yük. Müh. Köksal GÜNDOĞDU 1
BMT 206 Ayrık Matematik Yük. Müh. Köksal GÜNDOĞDU 1 Kümeler Yük. Müh. Köksal GÜNDOĞDU 2 Kümeler Kümeler Ayrık Matematiğin en temel konularından biridir Sayma problemleri için önemli Programlama dillerinin
Detaylı1. Ünite - ÜTT. 1. Ünite. Aşağıdaki karşılaştırmalardan hangisi yanlıştır? Aşağıdakilerden hangisi 256 sayısına eşit değildir? 1 57 < < 3 4
. Ünite - ÜTT. Ünite. şağıdakilerden hangisi 6 sayısına eşit değildir?. şağıdaki karşılaştırmalardan hangisi yanlıştır? < 6 < 3 = 6 3 > 3. ir postacı, her gün tane eve birer adet fatura bırakmaktadır.
DetaylıPERMÜTASYON, KOMBİNASYON. Örnek: Örnek: Örnek:
SAYMANIN TEMEL KURALLARI Toplama Kuralı : Sonlu ve ayrık kümelerin eleman sayılarının toplamı, bu kümelerin birleşimlerinin eleman sayısına eşittir. Mesela, sonlu ve ayrık iki küme A ve B olsun. s(a)=
Detaylı1. BÖLÜM. Sayılarda Temel Kavramlar. Bölme - Bölünebilme - Faktöriyel EBOB - EKOK. Kontrol Noktası 1
1. BÖLÜM Sayılarda Temel Kavramlar Bölme - Bölünebilme - Faktöriyel EBOB - EKOK Kontrol Noktası 1 Isınma Hareketleri 1 Uygun eşleştirmeleri yapınız. I. {0, 1, 2,..., 9} II. {1, 2, 3,...} III. {0, 1, 2,
DetaylıKPSS soruda SORU GENEL YETENEK - GENEL KÜLTÜR MATEMATİK GEOMETRİ TAMAMI ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI
KPSS 019 10 soruda 86 SORU GENEL YETENEK - GENEL KÜLTÜR MATEMATİK GEOMETRİ TAMAMI ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI Komisyon KPSS LİSANS MATEMATİK - GEOMETRİ SORU BANKASI ISBN 978-605-41-77-0 Kitapta yer alan bölümlerin
DetaylıÜNİTE 1: TEMEL KAVRAMLAR
MATEMATİK ÜNİTE : TEMEL KAVRAMLAR Temel Kavramlar ADF 0 RAKAM Sayı oluşturmak için kullanılan sembollere... denir. 0 luk sayma düzenindeki rakamlar 0,,,... 8 ve 9 olup 0 tanedir. örnek a, b, c sıfırdan
DetaylıMATEMATİK. Doç Dr Murat ODUNCUOĞLU
MATEMATİK Doç Dr Murat ODUNCUOĞLU Mesleki Matematik 1 TEMEL KAVRAMLAR RAKAM Sayıları yazmak için kullandığımız işaretlere rakam denir. Sayıları ifade etmeye yarayan sembollere rakam denir. Rakamlar 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9
Detaylıezberbozan MATEMATİK GEOMETRİ SORU BANKASI KPSS 2018 eğitimde tamamı çözümlü 30.yıl
ezberbozan MATEMATİK GEOMETRİ KPSS 2018 SORU BANKASI eğitimde tamamı çözümlü 30.yıl KOMİSYON KPSS EZBERBOZAN MATEMATİK - GEOMETRİ SORU BANKASI ISBN: 978-605-241-121-6 Kitapta yer alan bölümlerin tüm sorumluluğu
Detaylı1. Bir kümenin eleman say s 3 artt r ld nda, alt küme say s 56 artmaktad r.
1. ir kümenin eleman say s artt r ld nda, alt küme say s 56 artmaktad r. una göre, ilk durumdaki kümenin eleman say - s kaçt r? ) 2 ) ) D) 5 E) 6 6. ve kümelere E evrensel kümesinin alt kümeleri olmak
DetaylıAtatürk Anadolu. Temel Kavramlar Üzerine Kısa Çalışmalar
Atatürk Anadolu Lisesi M A T E M A T İ K Temel Kavramlar Üzerine Kısa Çalışmalar KONYA \ SELÇUKLU 01 MATEMATİK 1. TEMEL KAVRAMLAR 1.1. RAKAM Sayıların yazılmasında kullanılan sembollere rakam denir. Onluk
Detaylı1. BÖLÜM Mantık BÖLÜM Sayılar BÖLÜM Rasyonel Sayılar BÖLÜM I. Dereceden Denklemler ve Eşitsizlikler
ORGANİZASYON ŞEMASI 1. BÖLÜM Mantık... 7. BÖLÜM Sayılar... 13 3. BÖLÜM Rasyonel Sayılar... 93 4. BÖLÜM I. Dereceden Denklemler ve Eşitsizlikler... 103 5. BÖLÜM Mutlak Değer... 113 6. BÖLÜM Çarpanlara Ayırma...
DetaylıÖrnek...3 : Aşağıdaki ifadelerden hangileri bir dizinin genel terim i olabilir?
DİZİLER Tanım kümesi pozitif tam sayılar kümesi olan her fonksiyona dizi denir. Örneğin f : Z + R, f (n )=n 2 ifadesi bir dizi belirtir. Diziler, değer kümelerine göre adlandırı - lırlar. Dizinin değer
Detaylı1) Aşağıdaki varlıklar içerisinde küme oluşturabilecek bir topluluğu yuvarlak içerisine alarak kümenin tarifini yapınız.
1ÖLÜM KÜMELER KÜMELER TEST 1 1) şağıdaki varlıklar içerisinde küme oluşturabilecek bir topluluğu yuvarlak içerisine alarak kümenin tarifini yapınız..güzelyurt.yeni İskele.Lefkoşa.Gazi Magosa.Girne 2)
DetaylıSAYILAR DOĞAL VE TAM SAYILAR
1 SAYILAR DOĞAL VE TAM SAYILAR RAKAM: Sayıları ifade etmek için kullandığımız 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 sembollerinden her birine rakam denir. Soru: a ve b farklı rakamlar olmak üzere a + b nin alabileceği
DetaylıTEMEL KAVRAMLAR. a Q a ve b b. a b c 4. a b c 40. 7a 4b 3c. a b c olmak üzere a,b ve pozitif. 2x 3y 5z 84
N 0,1,,... Sayı kümesine doğal sayı kümesi denir...., 3,, 1,0,1,,3,... sayı kümesine tamsayılar kümesi denir. 1,,3,... saı kümesine sayma sayıları denir.pozitif tamsayılar kümesidir. 15 y z x 3 5 Eşitliğinde
Detaylıales dört bin soru tarzına en yakın EŞİT AĞIRLIK ve SAYISAL ADAYLARA ALES SORU BANKASI Kenan Osmanoğlu - Kerem Köker - Savaş Doğan
ales 2015 tarzına en yakın dört bin soru EŞİT AĞIRLIK ve SAYISAL ADAYLARA ALES SORU BANKASI Kenan Osmanoğlu - Kerem Köker - Savaş Doğan Kenan Osmanoğlu - Kerem Köker - Savaş Doğan ALES Eşit Ağırlık ve
DetaylıKomisyon DİKEY GEÇİŞ SINAVI TAMAMI ÇÖZÜMLÜ ÇIKMIŞ SORULAR ISBN Kitapta yer alan bölümlerin tüm sorumluluğu yazarlarına aittir.
Komisyon DİKEY GEÇİŞ SINAVI TAMAMI ÇÖZÜMLÜ ÇIKMIŞ SORULAR ISBN 978-605-318-702-8 Kitapta yer alan bölümlerin tüm sorumluluğu yazarlarına aittir. Pegem Akademi Bu kitabın basım, yayın ve satış hakları Pegem
DetaylıMATEMATİK ADF. Önermeler - I ÜNİTE 1: MANTIK. Önerme. örnek 2. Bir önermenin değili (olumsuzu) örnek 3. Doğruluk Tablosu. örnek 1.
MATEMATİK ÜNİTE 1: MANTIK Önermeler - I ADF 01 Önerme Doğru ya da yanlış kesin bir hüküm bildiren ifadelere... denir. R Doğru hüküm bildiren önermeye..., Yanlış hüküm bildiren önermeye... denir. R Önermelerin
DetaylıTEMEL KAVRAMLAR Test -1
TEMEL KAVRAMLAR Test -1 1. 6 ( ) 4 A) B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 5. 4 [1 ( 3). ( 8)] A) 4 B) C) 0 D) E) 4. 48: 8 5 A) 1 B) 6 C) 8 D) 1 E) 16 6. 4 7 36:9 18 : 3 A) 1 B) 8 C) D) 4 E) 8 3. (4: 3 + 1):4 A) 3 B) 5
DetaylıYGS - LYS SAYILAR KONU ÖZETLİ ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI
YGS - LYS SAYILAR KONU ÖZETLİ LÜ SORU BANKASI ANKARA ÖN SÖZ Sevgili Öğrenciler, ÖSYM nin son yıllarda yaptığı sınavlardaki matematik sorularının eski sınav sorularından çok farklı olduğu herkes tarafından
DetaylıALES EŞİT AĞIRLIK VE SAYISAL ADAYLAR İÇİN ALES SORU BANKASI. Kenan Osmanoğlu - Kerem Köker - Savaş Doğan. Eğitimde
ALES 2017 EŞİT AĞIRLIK VE SAYISAL ADAYLAR İÇİN ALES SORU BANKASI Kenan Osmanoğlu - Kerem Köker - Savaş Doğan Eğitimde 30. yıl Kenan Osmanoğlu - Kerem Köker - Savaş Doğan ALES Eşit Ağırlık ve Sayısal Soru
Detaylı1. ÜNİTE 2. ÜNİTE 3. ÜNİTE. Bölüm 1 : Üslü Sayılar... 8. Bölüm 2 : Doğal Sayılar... 18. Bölüm 3 : Doğal Sayı Problemleri... 30
İçindekiler 1. ÜNİTE Bölüm 1 : Üslü Sayılar... 8 Bölüm 2 : Doğal Sayılar... 18 Bölüm 3 : Doğal Sayı Problemleri... 30 Bölüm 4 :- Çarpanlar ve Katlar, Bölünebilme... 40 Bölüm 5 : Asal Sayılar, Ortak Bölenler,
DetaylıMODÜLER ARİTMETİK A)1 B)3 C)8 D)11 E)13. TANIM Z tam sayılar kümesinde tanımlı
MODÜLER ARİTMETİK A)1 B)3 C)8 D)11 E)13 TANIM Z tam sayılar kümesinde tanımlı ={(x,y): x ile y nin farkı n ile tam bölünür} = {(x,y): n x-y, n N + } bağıntısı bir denklik bağıntısıdır. (x,y) ise x y (mod
DetaylıMATEMAT K 1 ÜN TE II KÜMELER
ÜN TE II KÜMELER 1. TANIM 2. KÜMELER N GÖSTER M a) Liste yöntemi ile gösterimi b) Venn flemas ile gösterimi c) Ortak özelik yöntemi ile gösterimi 3. KÜMELER N KARfiILAfiTIRILMASI a) Kümenin elaman say
Detaylı( ) (, ) Kombinasyon. Tanım: r n olmak üzere n elemanlı bir kümenin r elemanlı her alt kümesine bu n elemanın r li kombinasyonu denir.
Kombinasyon Tanım: r n olmak üzere n elemanlı bir kümenin r elemanlı her alt kümesine bu n elemanın r li kombinasyonu denir. n elemanın tüm r li kombinasyonlarının sayısı; (, ) C n r ( ) r n P n, r n!
DetaylıPERMÜTASYON DERS NOTLARI. Sayma Yöntemleri. TEMEL SAYMA KURALLARI Toplama yoluyla sayma. Çarpma yoluyla sayma
TEMEL SAYMA KURALLARI Toplama yoluyla sayma A ve B ayrık iki küme olsun. Bu iki kümenin birleşimlerinin eleman sayısı, bu kümelerin eleman sayılarının toplamına eşittir. Bu sayma yöntemine toplama yoluyla
DetaylıTEMEL KAVRAMLAR A: SAYI Sayıları ifade etmeye yarayan sembollere rakam denir. Ör: 0,1,2,3,4,5,6 Rakamların çokluk belirtecek şekilde bir araya getirilmesiyle oluşturulan ifadeler ifadesine sayı denir.
Detaylı9SINIF MATEMATİK. Denklemler ve Eşitsizlikler
9SINIF MATEMATİK Denklemler ve Eşitsizlikler YAYIN KOORDİNATÖRÜ Oğuz GÜMÜŞ EDİTÖR Hazal ÖZNAR - Uğurcan AYDIN DİZGİ Muhammed KARATAŞ SAYFA TASARIM - KAPAK F. Özgür OFLAZ Eğer bir gün sözlerim bilim ile
DetaylıASAL SAYILAR - TAM BÖLENLER - FAKTÖRİYEL Test -1
ASAL SAYILAR - TAM BÖLENLER - FAKTÖRİYEL Test -1 1. ve y aralarında asal iki doğal sayıdır. 7 y 11 olduğuna göre, y farkı 5. 364 sayısının en büyük asal böleni A) 3 B) 7 C) 11 D) 13 E) 17 A) B) 3 C) 4
Detaylı1. BÖLÜM Polinomlar BÖLÜM II. Dereceden Denklemler BÖLÜM II. Dereceden Eşitsizlikler BÖLÜM Parabol
ORGANİZASYON ŞEMASI . BÖLÜM Polinomlar... 7. BÖLÜM II. Dereceden Denklemler.... BÖLÜM II. Dereceden Eşitsizlikler... 9. BÖLÜM Parabol... 5 5. BÖLÜM Trigonometri... 69 6. BÖLÜM Karmaşık Sayılar... 09 7.
DetaylıÖrnek...2 : Örnek...3 : Örnek...1 : MANTIK 1. p: Bir yıl 265 gün 6 saattir. w w w. m a t b a z. c o m ÖNERMELER- BİLEŞİK ÖNERMELER
Terim: Bir bilim dalı içerisinde konuşma dilinden farklı anlamı olan sözcüklerden her birine o bilim dalının bir terimi denir. Önermeler belirtilirler. p,q,r,s gibi harflerle Örneğin açı bir geometri terimi,
Detaylıkişi biri 4 kişilik, üçü ikişer kişilik 4 takıma kaç farklı şekilde ayrılabilir? (3150)
PERMÜTASYON KOMBİNASYON. A = {,,,,5} kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde 5 elemanı bulunur? (). 7 elemanlı bir kümenin en az 5 elemanlı kaç tane alt kümesi vardır? (9). A { a, b, c, d, e, f, g, h}
DetaylıEşit Ağırlık ve Sayısal Adaylar İçin ALES SORU BANKASI ALES. eğitimde 30.yıl. Kenan Osmanoğlu Kerem Köker
Eşit Ağırlık ve Sayısal Adaylar İçin ALES ALES 2018 SORU BANKASI eğitimde 30.yıl Kenan Osmanoğlu Kerem Köker Kenan Osmanoğlu - Kerem Köker ALES Eşit Ağırlık ve Sayısal Soru Bankası ISBN-978-605-318-868-1
DetaylıTEMEL SAYMA. Bill Gates
Bölüm 1 TEMEL SAYMA YÖNTEMLERİ Firmamızın sahip olduğu tek şey insan düş gücüdür. Bill Gates Bu bölümde fazla kuramsal bilgi gerektirmeyen sayma problemleri üzerinde duracağız. Bu tür problemlerde sayma;
DetaylıDENEME MATEMATİK GEOMETRİ KPSS KPSS. Genel Yetenek Genel Kültür. Eğitimde
KPSS Genel Yetenek Genel Kültür MATEMATİK GEOMETRİ 30 DENEME KPSS 06 Pegem Akademi Sınav Komisyonu; 05 KPSS ye Pegem Yayınları ile hazırlanan adayların, 00'ün üzerinde soruyu kolaylıkla çözebildiğini açıkladı.
DetaylıSORU BANKASI. kpss MATEMATİK GEOMETRİ SORU. Lise ve Ön Lisans. Önce biz sorduk. Güncellenmiş Yeni Baskı. Tamamı Çözümlü.
Önce biz sorduk kpss 2 0 1 8 120 Soruda 85 SORU Güncellenmiş Yeni Baskı Genel Yetenek Genel Kültür Lise ve Ön Lisans MATEMATİK GEOMETRİ Tamamı Çözümlü SORU BANKASI Editör Kenan Osmanoğlu - Kerem Köker
DetaylıTanım Bir A kümesinin her elemanı, bir B kümesinin de elamanı ise, A kümesine B kümesinin alt kümesi denir.
BÖLÜM 1 KÜMELER CEBİRİ Küme, iyi tanımlanmış ve farklı olan nesneler topluluğudur. Yani küme, belli bir kurala göre verilmiş nesnelerin listesidir. Nesneler reel veya kavramsal olabilir. Kümede bulunan
DetaylıKÜMELER KÜMELER Kümeler Konu Özeti Konu Testleri (1 6) Kartezyen Çarpım Konu Özeti Konu Testleri (1 6)...
Sayfa No....................................................................9 - Kümeler Konu Özeti.......................................................... 9 Konu estleri ( 6)...........................................................
DetaylıÖrnek...3 : Aşağıdaki ifadelerden hangileri bir dizinin genel terim i olabilir? Örnek...4 : Genel terimi w n. Örnek...1 : Örnek...5 : Genel terimi r n
DİZİLER Tanım kümesi pozitif tam sayılar kümesi olan her fonksiyona dizi denir. Örneğin f : Z + R, f (n )=n 2 ifadesi bir dizi belirtir. Diziler değer kümelerine göre adlandırılırlar. Dizinin değer kümesi
DetaylıÝÇÝNDEKÝLER. 1. ÜNÝTE Kümeler. 2. ÜNÝTE Bölünebilme Kurallarý ve Kesirler
ÝÇÝNDEKÝLER 1. ÜNÝTE Kümeler KÜMELER... 13 Ölçme ve Deðerlendirme... 19 Kazaným Deðerlendirme Testi - 1... 21 Kazaným Deðerlendirme Testi - 2 (Video lü)... 23 KÜMELERLE ÝÞLEMLER... 25 Ölçme ve Deðerlendirme...
DetaylıDERSHANELERÝ MATEMATÝK
BÝREY DERSHANELERÝ SINIF ÝÇÝ DERS ANLATIM FÖYÜ DERSHANELERÝ KÜMELER - I Konu Bölüm Sýnav DAF No. MATEMATÝK 53 TS YGSH YGS 53 Bu yayýnýn her hakký saklýdýr. Tüm haklarý bry Birey Eðitim Yayýncýlýk Pazarlama
DetaylıMERKEZİ ORTAK SINAV KAZANDIRAN MATEMATİK FÖYÜ
MERKEZİ ORTAK SINAV KAZANDIRAN MATEMATİK FÖYÜ ÖRNEK: 18 sayısının pozitif çarpanları nelerdir? Çarpımları 18 olan sayılar arayalım. 18 = 1. 18 18 =. 9 18 =. 6 Her doğal sayı iki doğal sayının çarpımı şeklinde
DetaylıMATEMATİK SORU BANKASI. ezberbozan serisi GEOMETRİ 30. KPSS tamamı çözümlü. eğitimde
ezberbozan serisi MATEMATİK GEOMETRİ KPSS 2017 SORU BANKASI eğitimde tamamı çözümlü 30. Kerem Köker Kenan Osmanoğlu Levent Şahin Uğur Özçelik Ahmet Tümer Yılmaz Ceylan KOMİSYON KPSS EZBERBOZAN MATEMATİK
DetaylıSunum ve Sistematik 1. BÖLÜM: ÖNERMELER
Sunum ve Sistematik. ÜNİTE: MANTIK KONU ÖZETİ Bu başlık altında, ünitenin en can alıcı bilgileri, kazanım sırasına göre en alt başlıklara ayrılarak hap bilgi niteliğinde konu özeti olarak sunulmuştur..
Detaylıp sayısının pozitif bölenlerinin sayısı 14 olacak şekilde kaç p asal sayısı bulunur?
07.10.2006 1. Kaç p asal sayısı için, x 3 x + 2 (x r) 2 (x s) (mod p) denkliğinin tüm x tam sayıları tarafından gerçeklenmesini sağlayan r, s tamsayıları bulunabilir? 2. Aşağıdaki ifadelerin hangisinin
DetaylıMODÜLER ARİTMETİK. Örnek:
MODÜLER ARİTMETİK Bir doğal sayının ile bölünmesinden elde edilen kalanlar kümesi { 0,, } dir. ile bölünmesinden elde edilen kalanlar kümesi { 0,,, } tür. Tam sayılar kümesi üzerinde tanımlanan {( x, y)
DetaylıMATEMATİK ASAL ÇARPANLARA AYIRMA. ÖRNEK 120 sayısını asal çarpanlarına ayırınız. ÖRNEK 150 sayısının asal çarpanları toplamını bulunuz.
MATEMATİK ASAL ÇARPANLARA AYIRMA A S A L Ç A R P A N L A R A A Y I R M A T a n ı m : Bir tam sayıyı, asal sayıların çarpımı olarak yazmaya, asal çarpanlarına ayırma denir. 0 sayısını asal çarpanlarına
DetaylıKÜMELER A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 A) 30 B) 31 C) 32 D) 33 E) 34 A) 30 B) 25 C) 21 D) 19 E) 17 A) 24 B) 26 C) 28 D) 30 E) 32
TARAMA TESTİ 1 KÜMELER 1. A= x N : x 6 A B x N : x 8 B \ A aşağıdakikerden hangisidir? A)7,8 B)6,7,8 C)8 D)7 E) 2. A = x N : 2 x 7, B = x N : 2 x 5 olduğuna göre,a \ B nin eleman sayısı kaç? 3. A = x N
DetaylıÜNİTE: RASYONEL SAYILAR KONU: Rasyonel Sayılar Kümesinde Çıkarma İşlemi
ÜNTE: RASYONEL SAYILAR ONU: Rasyonel Sayılar ümesinde Çıkarma şlemi ÖRNE SORULAR VE ÇÖZÜMLER. işleminin sonucu B) D) ki rasyonel sayının farkını bulmak için çıkan terimin toplama işlemine göre tersi alınarak
Detaylı2. Matematiksel kavramları organize bir şekilde sunarak, bu kavramları içselleştirmenizi sağlayacak pedagojik bir alt yapı ile yazılmıştır.
Sevgili Öğrenciler, Matematik ilköğretimden üniversiteye kadar çoğu öğrencinin korkulu rüyası olmuştur. Buna karşılık, istediğiniz üniversitede okuyabilmeniz büyük ölçüde YGS ve LYS sınavlarında matematik
DetaylıOlasılık, bir deneme sonrasında ilgilenilen olayın tüm olaylar içinde ortaya çıkma ya da gözlenme oranı olarak tanımlanabilir.
5.SUNUM Olasılık, bir deneme sonrasında ilgilenilen olayın tüm olaylar içinde ortaya çıkma ya da gözlenme oranı olarak tanımlanabilir. Günlük hayatta sıklıkla kullanılmakta olan olasılık bir olayın ortaya
DetaylıÖrnek...2 : Hilesiz iki zar atma deneyinin bütün çıktılarını aşağıdaki tabloya yazınız.
OLASILIK (İHTİMALLER HESABI) Olasılık kavram ı ilk önceleri şans oyunları ile başlamıştır. Örneğin bir oyunda kazanıp kazanmama, bir paranın atılmasıyla tura gelip gelmemesi gibi. Bu gün bu kavramın birçok
Detaylı