SONUÇ YAYINLARI. 9. Sınıf Kümeler

Transkript

1 9. SINIF

2 SONUÇ YYINLRI 9. Sınıf Kümeler Bu kitabın tamamının ya da bir kısmının, kitabı yayımlayan şirketin önceden izni olmaksızın elektronik, mekanik, fotokopi ya da herhangi bir kayıt sistemiyle çoğaltılması, yayımlanması ve depolanması yasaktır. Bu kitabın tüm hakları, Etkin Sonuç Yayıncılık Mat. Dağ. Eğt. San. Tic. Ltd. Şti.'ne aittir. Baskı Tarihi ğustos 01 Baskı Cilt Tuna Matbaacılık.Ş. Bahçekapı Mahallesi 460. Sokak Nu.: Şaşmaz / NKR Tel: (0 1) (pbx) Belgeç: (0 1) Dizgi Grafik Sonuç Yayınları Dizgi Birimi na Dağıtım Necatibey Cad. Oyak İş Merkezi 51/19 Çankaya / NKR Tel: (0 1) Cep: (0 5)

3 İ Ç İ N D E K İ L E R KÜME KVRMI, SONLU, SONSUZ EVRENSEL VE BOŞ KÜMELER... 5 LT KÜME KÜMELERDE BİRLEŞİM VE KESİŞİM İŞLEMLERİ... 0 KÜMELERİN BİRLEŞİMİNİN VE KESİŞİMİNİN ELEMN SYISINI BULM... 5 TÜMLEYEN... İKİ KÜMENİN FRKI... 7 KÜME PROBLEMLERİ... 4 SIRLI İKİLİ VE KRTEZYEN ÇRPIMI... 5

4 KÜME KVRMI, SONLU, SONSUZ EVRENSEL VE BOŞ KÜMELER TEST LT KÜME... 6 TEST 1, TEST KÜMELERDE BİRLEŞİM VE KESİŞİM İŞLEMLERİ TEST KÜMELERİN BİRLEŞİMİNİN VE KESİŞİMİNİN ELEMN SYISINI BULM TEST TÜMLEYEN TEST İKİ KÜMENİN FRKI... 7 TEST KÜME PROBLEMLERİ TEST SIRLI İKİLİ VE KRTEZYEN ÇRPIMI TEST KÜMELER KRM TEST

5 Kümenin Tanımı I. YGS de barajı geçen öğrenciler. II. 50 den büyük asal sayılar. III. Sınıfın güzel kızları. IV. nkara'nın ilçeleri. V. 01 sayısının rakamları. Yukarıdakilerden hangileri bir küme belirtmez? ) Yalnız I B) Yalnız III C) I ve II D) I ve III E) IV ve V Nesnelerin iyi tanımlanmış olduğu listeye küme denir. Kümeyi oluşturan nesnelerin her birine eleman denir. Kümeler, B, C, gibi büyük harflerle gösterilir. "Sınıfın güzel kızları" cümlesi iyi tanımlı olmadığı için küme belirtmez. Çünkü güzellik tanımı herkes için aynı değildir. I., II., IV. ve V. seçenekler ise belirli elemanları içermektedir. Yani birer küme belirtir. Not 1 : x nesnesi kümesinin elemanı ise x biçiminde gösterilir ve " x, kümesinin elemanıdır" şeklinde okunur. Not : x nesnesi kümesinin elemanı değil ise, x biçiminde gösterilir ve " x, kümesinin elemanı değildir" şeklinde okunur. Not : kümesinin eleman sayısı s ( ) ile gösterilir. Cevap B TEST şağıdakilerden hangisi bir küme belirtir? ) Okulumuzdaki zeki kızlar. B) Bazı haftalar. C) Haftanın C harfi ile başlayan günleri. D) Esmer erkekler. E) Uzun boylu bazı bayanlar.. şağıdakilerden hangisi bir küme belirtmez? ) 1 ten küçük tane asal sayı. B) x ten büyük asal sayılar. C) M harfiyle başlayan aylar. D) ile 1 arasındaki doğal sayılar. E) 76 dan büyük iki basamaklı çift doğal sayılar.. I. 5 ten küçük rakamlar. II. Başarılı öğrenciler. III. En güzel savaş filmleri. IV. RB kelimesindeki harfler. V. Yazın sıcak günleri. Yukarıdakilerden hangileri bir küme belirtmez? ) Yalnız I B) I ve IV C) II ve III D) III ve IV E) II, III ve V 4. kümesi " 1976 sayısındaki rakamlar" cümlesinin belirttiği küme olmak üzere, aşağıdakilerden hangisi yanlıştır? ) 1 B) 9 C) 76 D) 19 E) s ( ) = 4 1. C. B. E 4. D 5

6 Kümelerin Gösterimi - I = { 1,, {, 4 }, 5 } kümesi için aşağıdakilerden hangisi yanlıştır? ) 1 B) {, 4 } C) 4 D) s ( ) = 4 E) Kümenin her bir elemanının, aralarında virgül olacak şekilde, { } sembolü içine yazılmasına liste yöntemiyle gösterim denir. kümesinin elemanlarından biri 1 dir. Bu durumda 1 dır. kümesinin elemanlarından bir diğeri de {, 4 } tür. Bu durumda {, 4 } dır. kümesinin elemanları içinde 4 yoktur. Bu durumda 4 dır. kümesinin elemanları 1,, {, 4 }, 5 olduğundan kümesinin eleman sayısı 4 tür. kümesinde elemanı yoktur. Dolayısıyla dır. Kümede her eleman bir kere yazılır. Kümedeki elemanların yer değiştirmesi kümeyi değiştirmez. Cevap E TEST - 1. şağıdakilerden hangisi yanlıştır? ) BURS kelimesindeki harflerin kümesi { B, U, R, S, } dır. B) 4965 sayısındaki rakamların kümesi {, 4, 5, 6, 9 } dur. C) MRMR kelimesindeki harflerin kümesi { M,, R } dır. D) MKS kelimesindeki harflerin kümesi { M,, K,, S } tır. E) 1000 sayısındaki rakamların kümesi { 0,1 } dir.. = {, 4, { 5, 6, 7 }, 8 } kümesi için aşağıdakilerden hangisi yanlıştır? ) B) {, 4 } C) s ( ) = 4 D) 8 E) = {{ 5, 6, 7 },, 8, 4 } İpucu : Kümenin elemanlarının yerini değiştirmek, kümeyi değiştirmez.. = { a, b, { c, d }, { d } } kümesinin eleman sayısı kaçtır? ) B) 4 C) 5 D) 6 E) 7 4. = { s, n, { ç, o }, o, u } kümesi için aşağıdakilerden hangisi yanlıştır? ) { o } B) s C) { ç, o } D) s ( ) = 5 E) { ç } 1. D. B. B 4. E 6

7 Kümelerin Gösterimi - II En küçük üç rakamın oluşturduğu kümenin sırasıyla Venn şeması yöntemi ve ortak özellik yöntemi ile gösterimi aşağıdakilerden hangisinde doğru olarak verilmiştir? 1 ) B) 1, B = { x : x <, x Z + }, B = { x : x <, x N + } 1. Venn Şeması ( Venn Diagramı ) Yöntemi : Kümeyi oluşturan elemanların kapalı bir şekil içine, yanına ". " konularak yazılmasıdır.. Ortak Özellik ( Genelleme ) Yöntemi : Kümenin elemanlarının ortak özelliklerinin belirlenerek gösterimidir. { x : x elemanlarının ortak özellikleri } veya { x x elemanlarının ortak özellikleri } olarak gösterilir. C) D) , B = { x : x <, x N }, B = { x : x, x N + } 0 1 En küçük üç rakam 0, 1, dir. Bu elemanların Venn şeması ile gösterimi yandaki şekilde olduğu gibidir. E) 0 1, B = { x : x, x Z } En küçük üç rakam : B = { x : x <, x N } veya B = { x x <, x N } olarak da gösterilebilir. Cevap C TEST - 1. = { x : 4 < x <, x Z + } kümesinin Venn Diagramı ile gösterimi aşağıdakilerden ) B) C) D) E) = { 0,, 4, 6, 8, 10 } kümesinin ortak özellik yöntemi ile gösterimi aşağıdakilerden hangisi olabilir? ) { x x bir çift sayı } B) { x x bir çift sayı, x Z + } C) { x x bir çift sayı, x < 10 } D) { x x bir çift sayı, x N } E) { x x 10, x bir çift sayı, x N } sayısındaki rakamların oluşturduğu B kümesi aşağıdakilerden hangisi ile gösterilemez? ) B = { 0, 1,,, 4, 5, 6 } B) B = { x x < 7, x N + } C) B = { x 0 x < 7, x Z } D) B = { x x 6, x N } B 5 E) = { x : x < 10, x bir çift doğal sayı } kümesinin elemanlarının sayısal değerleri toplamı kaçtır? ) 16 B) 18 C) 0 D) E) 4 1. C. E. B 4. C 7

8 Sonlu ve Sonsuz Küme I. = { x : x <, x Z } II. B = { x : 1 < x 4, x R } III. C = {..., 1,,,... } Yukarıdaki kümelerden hangisi ya da hangileri sonsuz kümedir? ) Yalnız I B) Yalnız II C) I ve II D) I ve III E) I, II ve III Eleman sayısı doğal sayı ile ifade edilebilen kümeye sonlu küme denir. Eleman sayısı doğal sayı ile ifade edilemeyen kümeye sonsuz küme denir. = { x : x <, x Z } kümesi, den küçük sonsuz çoklukta negatif tam sayı olduğundan sonsuz kümedir. B = { x : 1 < x 4, x R } kümesi, 1 ile 4 arasındaki reel sayılardan oluşur. Bu aralıkta sonsuz çoklukta reel sayı olduğundan B kümesi sonsuz bir kümedir. C = {..., 1,,,... } kümesinin elemanları bütün tam sayılardır. Sonsuz çoklukta tam sayı olduğundan C kümesi sonsuz bir kümedir. Cevap E TEST şağıdakilerden hangisi sonlu küme belirtir? ) = { x : x 9, x Z } B) B = { x : < x < 4, x R + } C) C = { x : x > 1, x Z + } D) D = { x : x < 5, x N } E) E = { x : x > 5, x N }. şağıdakilerden hangisi sonsuz küme belirtir? ) Okulumuzdaki kitaplar. B) Sınıfımızdaki akvaryumdaki balıklar. C) Uzaydaki yıldızlar. D) Okulun otoparkındaki araçlar. E) Sınıfımızdaki sıralar.. şağıdakilerden hangisi sonsuz küme belirtir? ) = { x : < x < 4, x N + } B) B = { x : x asal bir rakam } C) C = { x : x iki basamaklı 5 in katı olan doğal sayılar } D) D = {,, 1 } E) E = { x : x negatif olmayan tam sayılar } 4. şağıdakilerden hangisi sonlu bir küme belirtir? ) = { x : x asal bir rakam } B) B = { x : x asal bir sayı } C) C = { x : 1 x <, x R } D) D = { x : x çift sayı } E) E = { x : x = k + 1, k Z } 1. D. E. C 4. 8

9 Boş ve Evrensel Küme şağıdaki kümelerden hangisi boş kümedir? ) = { x : x = 1, x Z } B) B = { } C) C = { x : < x < 1, x R + } D) D = { x : x <, x N } E) E = { 1,,,... } Elemanı olmayan kümeye boş küme denir ve { } ya da ile gösterilir. kümesi x = 1 denklemini sağlayan tam sayılardan oluşur. x = 1 x = dir. Dolayısıyla kümesinin elemanı olduğundan boş küme değildir. B kümesi elemanı " " sembolü olan bir elemanlı bir kümedir. < x < 1 aralığında pozitif reel sayı olmadığı için C kümesi boş kümedir. 0 ve 1, den küçük doğal sayılar olduğundan D kümesi boş küme değildir. E kümesi sonsuz elemanlıdır. Dolayısıyla boş küme değildir. Üzerinde çalışılan bir konu veya problem için gerekli olan bütün elemanları kapsayacak biçimde seçilen kümeye evrensel küme denir ve E harfi ile gösterilir. Cevap C TEST şağıdakilerden hangisi boş kümedir? ) = { x : x + 1 > x, x N } B) B = { x : x < x, x R } C) C = { x : x 1 < 0, x R } D) D = { x : < x, x R } E) E = { x : 5 < x 0, x N }. şağıdaki kümelerden hangisi boş kümedir? ) D = { x x 0, x Z } B) B = { x x 4 = 0, x Z + } C) C = { x 5x + 7 = 1, x R } D) = { x x + 1 < 0, x R } E) E = { x 9 < x 0, x Z }. şağıdaki kümelerden hangisi diğerlerinin evrensel kümesi olabilir? ) { x lisesindeki öğrenciler. } B) { x lisesindeki 9. sınıf öğrencileri. } C) { x lisesindeki 9 - sınıfı. } D) { x lisesindeki 9 - sınıfının erkek öğrencileri. } E) { x lisesindeki 9 - sınıfının gözlüklü erkek öğrencileri. } 4. ve B aynı evrensel kümede bulunan kümeler olmak üzere, s ( ) = ve s ( B ) = tür. Buna göre, ve B kümelerinin evrensel kümesinin eleman sayısı aşağıdakilerden hangisi olamaz? ) B) C) 4 D) 5 E) 6 1. C. D. 4. 9

10 şağıda verilen boşlukları doldurunuz. 1. Nesnelerin iyi tanımlanmış olduğu listeye... denir.. Kümeyi oluşturan nesnelerin herbirine kümenin... denir.. kümesinin eleman sayısı... ile gösterilir. 4. x, bir kümesinin elemanı ise x..., elemanı değil ise x... şeklinde gösterilir. 5. Kümeleri,...,... ve... yöntemleri ile gösterebiliriz. 6. Bir kümenin kapalı bir şeklin içine, yanına "." koyularak gösterilmesine kümenin... ile gösterimi denir. 7. Bir kümenin elemanlarının aralarında virgül olacak şekilde, { } sembolünün içine yazılmasına kümenin... ile gösterimi denir. şağıdaki ifadelerden doğru olanları D, yanlış olanları Y harfi ile belirtiniz. 1. ( ) Bir kümede aynı elemanlar bir kere yazılır.. ( ) Kümeyi oluşturan elemanların yeri değişirse küme de değişir.. ( ) Elemanı olmayan kümeye sonsuz küme denir. 4. ( ) Tam sayılar kümesi sonsuz bir kümedir. 5. ( ) " 1 ile arasındaki doğal sayılar" kümesi bir küme belirtmez. 6. ( ) = { a, b, c, {d}, {{d}, e }} ise s( ) = 5 tir. 7. ( ) B = { x x çift asal sayı } kümesi boş küme belirtir. 8. ( ) C = { 9, 1, 15,..., 4 } ise s ( C ) = 1 dir. 8. Eleman sayısı doğal sayı ile ifade edilebilen kümeye... küme denir. 9. Eleman sayıları doğal sayı ile ifade edilemeyen kümeye... küme denir. 10. Hiç elemanı olmayan kümeye... denir.... veya... ile gösterilir. 9. ( ) KLBLIK kelimesindeki harflerin kümesi, BLIK kelimesindeki harflerin kümesi B olmak üzere, s ( ) = s ( B ) dir. 10. ( ) ", 456 sayısındaki rakamlar" cümlesinin belirttiği küme sonsuz kümedir. 11. Üzerinde çalışılan konu hakkındaki bütün kümeleri ve elemanları kapsayan kümeye... denir. Genellikle... harfi ile gösterilir. 1. küme. elemanı. s ( ) 4. (, ) 5. Venn şeması, liste, ortak özellik 6. Venn şeması 7. liste yöntemi 8. sonlu 9. sonsuz 10. boş küme,, { } 11. Evrensel küme, E 1. D. Y. Y 4. D 5. Y 6. D 7. Y 8. D 9. D 10. Y 10

11 lt Küme - I = { a, b, { b, c }, d } kümesi için aşağıdakilerden hangisi yanlıştır? ) { b, c } B) { d } C) { c } D) E) {b, { b, c }} ve B herhangi iki küme olsun. kümesinin her elemanı, B kümesinin de elemanı ise kümesine, B kümesinin alt kümesi denir ve B ile gösterilir. şıkkında { b, c } ifadesi doğrudur. B şıkkında d olduğu için { d } dır. D şıkkında doğrudur. E şıkkında b, { b, c } olduğu için { b, { b, c }} doğrudur. Not 1 : Her küme kendisinin alt kümesidir. ( ) Not : Boş küme her kümenin alt kümesidir. ( ) C şıkkında c olduğu için { c } ifadesi yanlıştır. Cevap C TEST = { 1,, {, 5 }} kümesi için aşağıdakilerden hangisi yanlıştır? ) { 1 } B) { } C) { 1, 5 } D) E) {{, 5 }}. Yandaki şemaya göre, B ö o aşağıdaki ifadelerden a e u hangisi yanlıştır? ) { a, e } B B) {o, ö, u } C) B D) { a, B } E) { a, e, o, ö, u }. = { 1,,, {, }} kümesi için aşağıdakilerden hangisi yanlıştır? ) {, } B) { } C) {, } D) {, 1 } E) { 1,, } 4. = { x x bir rakam } B = { x 4 < x 7, x N } C = { x 1 < x < 1, x Z } D = { x x <, x Z } kümeleri veriliyor. Buna göre, aşağıdakilerden hangisi doğrudur? ) C B B) D B C) D D) D C E) C 1. C. E. D 4. E 11

12 lt Küme - II Küme Eleman Sayısı lt Kümeleri lt Küme Sayısı = { a, b, c, d } 0 elemanlı 1 elemanlı elemanlı elemanlı 4 elemanlı Yukarıda verilen tablodaki boş kutucukları doldurunuz. 0 elemanlı : Bir kümenin hiç elemanı olmayan tek alt kümesi boş kümedir. { } Sıfır elemanlı alt küme sayısı 1 tanedir. 1 elemanlı : Her bir elemanı tek tek seçersek; { a }, { b }, { c } ve { d } Bir elemanlı alt küme sayısı 4 tanedir. elemanlı : Elemanları ikişer ikişer seçersek; { a, b }, { a, c }, { a, d }, { b, c }, { b, d }, { c, d } İki elemanlı alt küme sayısı 6 tanedir. elemanlı : Elemanları üçer üçer seçersek; { a, b, c }, { a, b, d }, { a, c, d }, { b, c, d } Üç elemanlı alt küme sayısı 4 tanedir. 4 elemanlı : Dört elemanı da seçersek; { a, b, c, d } Dört elemanlı alt küme sayısı 1 tanedir. TEST Küme lt Kümeleri 0 elemanlı lt Küme Sayısı Küme lt Kümeleri Kümenin Eleman Sayısı lt Küme Sayısı 1 elemanlı = { } = { a, b, c } elemanlı B = { 1 } elemanlı 4 elemanlı Yukarıda verilen tablodaki boş kutucukları doldurunuz. C = { 1, } D = { 1,, } Yukarıda verilen tablodaki boş kutucukları doldurunuz. Küme = { a, b, c } lt Kümeleri lt Küme Sayısı 0 elemanlı { } 1 1 elemanlı { a }, { b }, { c } elemanlı { a, b }, { a, c }, { b, c } elemanlı { a, b, c } 1 Küme lt Kümeleri Kümenin Eleman Sayısı lt Küme Sayısı = { } { } 0 0 = 1 B = { 1 } { }, { 1 } 1 1 = C = { 1, } { }, { 1 }, { }, { 1, } = 4 D = { 1,, } { }, { 1 }, { }, { 1, }, { 1, }, {, }, { 1,, } = 8 1

13 lt Küme - III = { 1,, { 1, }, } kümesinin alt kümelerinin sayısı kaçtır? ) 4 B) 8 C) 16 D) 18 E) s ( ) = n olmak üzere, kümesinin alt küme sayısı : n dir. Bu durumda, = { 1,, { 1, }, } s ( ) = 4 kümesinin alt küme sayısı : 4 = 16 olur. Cevap C TEST = { x : x asal rakam } kümesinin alt küme sayısı kaçtır? ) 8 B) 16 C) D) 64 E) lt küme sayısının, eleman sayısına oranı olan bir kümenin eleman sayısı kaçtır? ) B) C) 4 D) 5 E) 6. = { x x < 7, x N } kümesinin alt küme sayısı kaçtır? ) B) 6 C) 64 D) 17 E) lt kümelerinden birisi {a, b, { a, c } } olan bir kümenin eleman sayısı en az kaçtır? ) 1 B) C) D) 4 E) 5. = { a, b, c, d } kümesinin, kuvvet kümesinin eleman sayısı kümesinin eleman sayısının kaç katıdır? ) 4 B) 16 C) D) 64 E) 18 İpucu : kümesinin bütün alt kümelerinin oluşturduğu kümeye kümesinin kuvvet kümesi denir. 6. Eleman sayısı arttırıldığında alt küme sayısı 56 artan bir kümenin eleman sayısı kaçtır? ) B) C) 4 D) 5 E) 6 1. B. E. 4. E 5. C 6. B 1

14 lt Küme - IV = { a, b, c, d, e } kümesinin, a) en çok elemanlı alt kümelerinin sayısı kaçtır? b) en az elemanlı alt kümelerinin sayısı kaçtır? a) En çok elemanlı alt küme sayısı : = C ( 5, ) + C ( 5, 1 ) + C ( 5, 0 ) 5! 5! 5! = + + _ 5 - i!.! _ 5-1i!. 1! _ 5-0i!. 0! n r olmak üzere, n elemanlı bir kümenin r elemanlı alt kümelerinin sayısı = = 16 olur. b) En az elemanlı alt küme sayısı : = C ( 5, ) + C ( 5, 4 ) + C ( 5, 5 ) 5! 5! 5! = + + ( 5 - )!.! ( 5-4)!. 4! ( 5-5)!. 5! n n! C( n, r) = d n = r _ n - ri!. r! dir. = = 16 olur. TEST Sesli harflerden oluşan 8 elemanlı bir kümenin elemanlı alt kümelerinin sayısı kaçtır? ) 1 B) 5 C) 8 D) 0 E) elemanlı bir kümenin en az 8 elemanlı alt kümelerinin sayısı kaçtır? ) 10 B) 18 C) 19 D) 8 E) 56. = { x : x 16, x Z } kümesinin elemanlı alt kümelerinin sayısı kaçtır? ) 90 B) 84 C) 56 D) 5 E) 0 5. = { a, b, c, d, e, f } kümesinin en çok elemanlı alt küme sayısı kaçtır? ) 17 B) C) 7 D) 4 E) elemanlı bir kümenin en çok elemanlı alt kümelerinin sayısı kaçtır? ) 6 B) 4 C) 0 D) 18 E) = { a, b, c, d, x, y, z } kümesinin en az 5 elemanlı alt kümelerinin sayısı kaçtır? ) 8 B) 15 C) 9 D) 41 E) C. B. 4. E 5. D 6. C 14

15 lt Küme - V 8 elemanlı bir kümenin en çok 6 elemanlı alt kümelerinin sayısı kaçtır? ) 9 B) 149 C) 19 D) 47 E) 56 Not 1 : Not : Not : n n c m = c m = 1 dir. 0 n n n c m = c m = n dir. 1 n - 1 n n c m = c m + n = r + k ya da r = k dır. r k n n n n Not 4 : c m + c m + c m c m = n dir. 0 1 n I. Yol f p + f p + f p + f p + f p + f p + f p ! 8! 8! 8! 8! 8! 8! = !. 0! 7!. 1! 6!.! 5!.! 4!. 4!!. 5!!. 6! = = 47 olur. II. Yol Bütün alt kümelerinin sayısından 7 ve 8 elemanlı alt kümelerinin sayısı çıkarılır f p - f p = = 47 olur. 7 8 Cevap D TEST = { 0, 1,,, 4, 5, 6, 7 } boş olan alt küme sayısı ile tüm elemanlarını içeren alt küme sayısının toplamı kaçtır? ) 1 B) C) D) 4 E) elemanlı bir kümenin en çok elemanlı alt kümelerinin sayısı ile en az 5 elemanlı alt kümelerinin sayısının toplamı kaçtır? ) 9 B) 74 C) 9 D) 108 E) 10. Bir kümenin 1 elemanlı alt kümelerinin sayısı, 8 elemanlı alt kümelerinin sayısına eşit olduğuna göre, bu küme kaç elemanlıdır? ) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 10 İpucu : "Not " kuralını uygulamaya çalışınız. 5. Bir kümenin eleman sayısı arttırıldığında alt küme sayısı 11 artıyor. Buna göre, bu kümenin en az elemanlı alt kümelerinin sayısı kaçtır? ) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8. 7 elemanlı bir kümenin en çok 5 elemanlı alt kümelerinin sayısı kaçtır? ) 99 B) 100 C) 10 D) 17 E) 18 İpucu : "Not 4" kuralını uygulamaya çalışınız. 6. Bir kümenin elemanlı alt kümelerinin sayısı, 4 elemanlı alt kümelerinin sayısına eşittir. Buna göre, bu kümenin en çok elemanlı alt kümelerinin sayısı kaçtır? ) 17 B) C) 7 D) 4 E) B. D. C 4. C 5. B 6. D 15

16 lt Küme - VI = { s, o, n, u, ç } kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde; a) s elemanı bulunmaz? b) n elemanı bulunur? c) s ve n elemanları bulunur? d) s veya n elemanları bulunur? e) s elemanı bulunur, n elemanı bulunmaz? a) s dışındaki 4 elemanla 4 = 16 tane s nin bulunmadığı alt küme yazılabilir. b) n dışındaki 4 elemanla 4 = 16 tane n nin bulunmadığı alt küme yazılabilir. Bu kümelerin her birine n elemanı eklenirse içinde n elemanı bulunan 16 tane alt küme elde edilir. c) s ve n dışındaki elemanla = 8 tane alt küme yazılabilir. s ve n elemanlarını eklediğimizde içinde s ve n elemanları bulunan 8 tane alt küme elde edilir. dı geçen elemanlar kümeden atılır. Geriye kalan elemanlarla oluşturulabilecek alt kümelerin sayısı hesaplanır. d) 5 = tane alt kümenin içinden = 8 tanesinde s ve n elemanları bulunmaz. Geriye kalan 8 = 4 tane alt kümede s veya n elemanları bulunur. e) s ve n elemanları dışındaki elemanla yazılabilecek = 8 tane alt kümeye s elemanı eklenirse içinde s elemanının bulunup n elemanının bulunmadığı 8 tane küme elde edilir. TEST = {, a, b, c, 10 } kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde rakam bulunmaz? ) 8 B) 1 C) 16 D) 0 E) 4 4. = { 1,,, 4, 5, 6 } kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde ve 5 elemanları bulunmaz? ) 56 B) 48 C) D) 16 E) 8. = { x < x 4, x Z } kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde negatif sayı bulunur? ) B) 16 C) 8 D) 4 E) 5. = { 0, 1,,, 4, 5 } kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde 4 elemanı bulunur, 1 elemanı bulunmaz? ) 4 B) 8 C) 16 D) E) 64. = { 1,,, a, b, c, d } kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde 1 ve a elemanları bulunur? ) 8 B) 16 C) D) 64 E) = { a, b, c, d, e } kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde b veya d elemanı bulunur? ) 8 B) 1 C) 16 D) 0 E) 4 İpucu : Bütün alt kümelerden b ve d nin birlikte bulunmama durumu çıkarılırsa çözüme daha kolay ulaşılır C.. C 4. B 5. C 6. E

17 lt Küme - VII = { a, b, c, d, e, f, g } kümesinin elemanlı alt kümelerinin kaç tanesinde a elemanı bulunur, e elemanı bulunmaz? ) 5 B) 10 C) 15 D) 0 E) 5 a ve e elemanlarını yok kabul edersek kümesinde geriye 5 eleman kalır. Bu 5 elemanın elemanlı alt kümelerinin içine a elemanını eklersek, içinde a elemanı bulunan ama e elemanı bulunmayan elemanlı alt kümeleri bulmuş oluruz. O halde istenen alt küme sayısı 5 5! 5! 5. 4 f p = = = = 10 _ 5 - i!.!!.!. 1 olur. Cevap B TEST = { a, b, c, d, e } kümesinin elemanlı alt kümelerinin kaç tanesinde c elemanı bulunmaz? ) 4 B) 6 C) 8 D) 10 E) 1 4. = { 0, 1,,, 4, 6, 8 } kümesinin 4 elemanlı alt kümelerinin kaç tanesinde 8 elemanı bulunur, elemanı bulunmaz? ) 10 B) 15 C) 0 D) 0 E) 5. = { a, b, c, d, e, f } kümesinin 4 elemanlı alt kümelerinin kaç tanesinde f elemanı bulunur? ) B) 5 C) 6 D) 10 E) = { x : x bir rakam } kümesinin 5 elemanlı alt kümelerinin kaç tanesinde 1 ve 7 elemanları bulunur? ) 10 B) 1 C) 15 D) 8 E) 56. = { a, b, c, d, e, f, g, h } kümesinin 5 elemanlı alt kümelerinin kaç tanesinde e ve f elemanları birlikte bulunmaz? ) 6 B) 0 C) 16 D) 10 E) 6 6. = { a, b, c, d, 1,, } kümesinin 4 elemanlı alt kümelerinin kaç tanesinde a veya elemanı bulunur? ) 0 B) 8 C) 4 D) 1 E) D E 6. 17

18 lt Küme - VIII = {1, } B = {1,, 5, 7, 9 } olduğuna göre, K B ve K şartını sağlayan kaç farklı K kümesi vardır? ) 7 B) 8 C) 15 D) 16 E) 0 K B ise { 1, } K {1,, 5, 7, 9 } K kümesi {1,, 5, 7, 9 } kümesinin alt kümesidir. yrıca 1 ve elemanlarını bulundurmak zorundadır. { 1,, 5, 7, 9 } kümesinden 1 ve elemanlarını daha sonra dahil etmek üzere alırsak, { 5, 7, 9 } kümesini elde ederiz. elemanlı olan { 5, 7, 9 } kümesinin = 8 tane alt kümesi vardır. Bu alt kümelerin her birine 1 ve elemanlarını dahil edersek istenilen kümeleri elde ederiz. Fakat K olduğundan bu kümelerden { 1, } olanını alamayız. Dolayısıyla istenilen koşula uygun 8 1 = 7 farklı K kümesi yazılabilir. Cevap TEST = { 1,, } B = { 0, 1,,, 4, 5 } olduğuna göre, M B şartını sağlayan kaç farklı M kümesi vardır? ) 7 B) 8 C) 15 D) 16 E) 4. = { a, b, c } B = { a, b, c, d, e, f, g } olduğuna göre, B kümesinin 6 elemanlı alt kümelerinden kaç tanesi kümesini kapsar? ) 4 B) 7 C) 8 D) 15 E) 16. = { x : x asal bir rakam } B = { x 1 x < 10, x N } olduğuna göre, K B ve K şartını sağlayan kaç farklı K kümesi vardır? ) 7 B) 8 C) 15 D) 16 E) 1 5. s ( ) = s ( B ) = 10 s ( M ) = 6 olduğuna göre, M B şartını sağlayan kaç farklı M kümesi vardır? ) 16 B) 1 C) 5 D) 56 E) 70 İpucu : Kümelerin elemanları bellidir.. s ( ) = ve s ( B ) = 8 olduğuna göre, K B, K ve B K şartını sağlayan kaç farklı K kümesi vardır? ) 0 B) 1 C) D) 6 E) s ( B ). s ( ) = 7 olduğuna göre, K B ve B K ve K şartını sağlayan kaç farklı K kümesi vardır? ) 14 B) C) 6 D) 64 E) B. E E 6. C 18

19 Kümelerin Eşitliği = {0,, 4, 6, 8 }, B = { x : x 4, x N } ve C = { x : x bir çift rakam } kümeleri veriliyor. Buna göre, aşağıdakilerden hangisi yanlıştır? ) s( ) = s( B ) B) s( B ) = s( C ) C) s( ) = s( C ) D) = C E) B = C ynı elemanlardan oluşan kümelere eşit kümeler denir. kümesi, B kümesine eşit ise = B ile gösterilir. Bu durumda, = { 0,, 4, 6, 8 }, B = { 0,1,,, 4 } ve C = { 0,, 4, 6, 8 } dir., B ve C kümelerinin eleman sayıları eşittir. Dolayısıyla, s ( ) = s ( B ) = s ( C ) dir. yrıca kümesi ile C kümesinin elemanları aynı olduğundan = C dir. Buna göre, B = C ifadesi yanlıştır. Cevap E TEST a ve b birbirinden farklı sayılardır. = { 1, a, 5, b, 7 } ve B = { x x tek rakam } kümeleri veriliyor. = B olduğuna göre, a + b toplamı kaçtır? ) 4 B) 6 C) 8 D) 10 E) 1. a, b ve c birbirinden farklı sayılardır. = { x x < 15, x N } ve B = {, a, b, c } kümeleri veriliyor. B ve B olduğuna göre, a + b + c toplamı kaçtır? ) 1 B) C) D) 4 E) 5 İpucu : B ve B ise = B dir.. a, b ve c birbirinden farklı sayılardır. = { x x, x N } ve B = {, a, b, c } kümeleri veriliyor. = B olduğuna göre, a + b + c toplamının değeri kaçtır? ) 11 B) 9 C) 6 D) 5 E) 4. a, b, c birer rakam olmak üzere, B a b 6 c 7 5 C = { x : 4 < x 7, x Z } Yukarıda verilen, B ve C kümeleri birbirlerine eşit olduklarına göre, b + c a ifadesinin değeri kaçtır? ) 8 B) 4 C) 0 D) 4 E) 8 1. E. E. C 4. 19

20 Kümelerin Birleşimi = { 1,, } ve B = {, 4, 6, 8 } olduğuna göre, B kümesi aşağıdakilerden ve B herhangi iki küme olmak üzere, ile B kümelerindeki bütün elemanlardan meydana gelen kümeye birleşim B kümesi denir ve B ile gösterilir. B ) { 1, } B) { 1,, } C) { 1,,, 4 } D) { 1,,, 4, 6, 8 } E) { 1,,, 4, 6 } Bu durumda, B = { x x veya x B } B = { 1,, } ve B = {, 4, 6, 8 } olduğundan, B ={ 1,,, 4, 6, 8 } dir. Cevap D TEST = { a, b, c, d } ve B = { c, d, e } olduğuna göre, B kümesinin Venn Şeması ile gösterimi aşağıdakilerden. = { x : x 5, x bir rakam } B = { x : 1 x < 6, x Z } olduğuna göre, B kümesi kaç elemanlıdır? ) B a b c d e B) B a b c d e C) B a b c d e ) 5 B) 6 C) 8 D) 9 E) 11 D) B a b c d e E) B a b c d e 4. = { a, b, c } ve B C = { c, d, e, f } olduğuna göre, ( B C ) kümesinin eleman sayısı kaçtır? ) 6 B) 5 C) 4 D) E). = { 1,, 5 } ve B = { 7, 9 } olduğuna göre, B kümesi aşağıdakilerden ) { x : x < 9, x N } B) { x : x < 9, x Z } C) { x : x tek rakam } D) { x : x asal sayı } E) { x : x 9, x N + } 5. = { x : x = k, k N + }, B = { x : x = k, k N + } ve C = { 0 } olduğuna göre, ( B C ) kümesi aşağıdakilerden ) N B) Z C) Z + D) Z E) 1. B. C. E D 0

21 Kümelerin Kesişimi = { x : 1 x < 7, x Z } ve B = { x : x tek doğal sayı } olduğuna göre, B kümesi aşağıdakilerden ) { 1,, 5 } B) {, 5 } C) {, 5, 7 } D) { 1,, 5, 7 } E) { 1,, 5, 7, 9 } ve B herhangi iki küme olmak üzere, ile B kümelerindeki ortak elemanlardan meydana gelen kümeye kesişim B kümesi denir ve B ile gösterilir. B B = { x x ve x B } Bu durumda, = { x : 1 x < 7, x Z } = { 1,,, 4, 5, 6 } B = { 1,, 5, 7, 9,...} B = { 1,, 5 } bulunur. Cevap TEST B Yandaki şemaya göre, B a b c kümesinin eleman g d e f sayısı kaçtır? ) B) C) 4 D) 5 E) 6. = { x : x bir rakam } ve B = { x : x bir çift sayı } olduğuna göre, B kümesi aşağıdakilerden ) B) { } C) {, 4 } D) {, 4, 6 } E) { 0,, 4, 6, 8 } 4. = (, 1 ) ve. = { a, b, { b }, c, d } ve B = {{ b }, c, a, { b, d }} olduğuna göre, B kümesi kaç elemanlıdır? ) 5 B) 4 C) D) E) 1 B = (, ] olduğuna göre, B kümesi aşağıdakilerden ) [, 1 ) B) (, 1 ) C) (, 1 ] D) [, ] E) 1.. C. E 4. B 1

22 Kümelerde Birleşim ve Kesişim İşleminin Özellikleri - I = { a, b, c, d }, B = { b, c, d, e } ve C = { d, e, f, g, h } kümeleri veriliyor. Buna göre, a) ile kümelerini kümesi ile b) B ile B ve B ile B kümelerini c) ( B C ) ile ( B ) C ve ( B C ) ile ( B ) C kümelerini d) ile ve ile kümelerini karşılaştırınız. c) ( B C ) = { a, b, c, d } b_ { b, i c, d, e } { d, e, f, g, _ h } il ( B C ) = { a, b, c, d } { d, e } ( B C ) = { d } olur. ( B ) C = b_ { a, i b, c, d } {b, c, d, _ e } i l { d, e, f, g, h } ( B ) C = { b, c, d } { d, e, f, g, h } ( B ) C = { d } olur. Dolayısıyla ( B C ) = ( B ) C dir Birleflme Özelli i ( B C ) = { a, b, c, d } b_ { b, i c, d, e } { d, e, f, g, _ h } il ( B C ) = { a, b, c, d } { b, c, d, e, f, g, h } a) = { a, b, c, d } { a, b, c, d } = { a, b, c, d } = dır. = { a, b, c, d } { a, b, c, d } = { a, b, c, d } = dır. ( B C ) = { a, b, c, d, e, f, g, h } olur. ( B ) C = b_ { a, i b, c, d } {b, c, d, _ e } i l { d, e, f, g, h } ( B ) C = { a, b, c, d, e } { d, e, f, g, h } ( B ) C = { a, b, c, d, e, f, g, h } olur. Dolayısıyla ( B C ) = ( B ) C dir Birleflme Özelli i b) B = { a, b, c, d } { b, c, d, e } B = { b, c, d } B = { b, c, d, e } { a, b, c, d } B = { b, c, d } olur. Dolayısıyla B = B dır. ( Değişme özelliği ) B = { a, b, c, d } { b, c, d, e } d) = { a, b, c, d } { } = { } = dir. = { a, b, c, d } { } = { a, b, c, d } = dır. B = { a, b, c, d, e } olur. B = { b, c, d, e } { a, b, c, d } B = { a, b, c, d, e } olur. Dolayısıyla B = B dır. ( Değişme özelliği )

23 Kümelerde Birleşim ve Kesişim İşleminin Özellikleri - II ve B boş kümeden farklı iki küme olmak üzere aşağıdaki ifadelerden hangisi yanlıştır? ) = B) ( ) ( B ) = C) B = B D) = E) = Not 1 : =, = B = B ( B C ) = ( B ) C Not : =, = B = B ( B C ) = ( B ) C ve B iki küme olmak üzere, B = ise ile B kümelerine ayrık kümeler denir. Kısaca, ortak elemanı olmayan kümelere ayrık kümeler denir. E şıkkında = olarak verilmiştir. = olduğundan E şıkkı yanlıştır. Cevap E TEST şağıdaki ifadelerden hangisi yanlıştır? ) = B) = C) = { } D) B = B E) ( B C ) = ( B ) C. şağıdaki ifadelerden hangisi yanlıştır? ) = B) = C) B = B D) ( ) ( ) = E) ( B C ) = ( B ) C. = { x x bir rakam } ve B { x x < 0, x Z } olmak üzere, B kümesi aşağıdakilerden ) { 1,, } B) { 1,,, 4 } C) { 0, 1,, } D) { 0, 1,,, 4 } E) { 4,,, 1, 0, 1,,, 4 } 4. = { x : x <, x Z } ve B = ( 1, 5] olduğuna göre, B kümesi aşağıdakilerden ) [ 1, ] B) [ 1, ) C) { 1 } D) { 1, 0, 1 } E) 1. C. D. B 4. E

24 Kümelerde Birleşme ve Kesişme İşlemlerinin Birbirleri Üzerine Dağılma Özelliği B = { a, b, c, d, e } C = { a, e, ı, i } olduğuna göre, ( B C ) kümesi aşağıdakilerden ) B) { a } C) { a, e, ı } D) { a, b, c, d, e, ı, i } E) { a, e } işleminin işlemi üzerine dağılma özelliği : ( B C ) = ( B ) ( C ) ( B ) C = ( C ) ( B C ) işleminin işlemi üzerine dağılma özelliği : ( B C ) = ( B ) ( C ) ( B ) C = ( C ) ( B C ) Bu durumda, ( B C ) = ( B ) ( C ) = { a, b, c, d, e } { a, e, ı, i } = { a, e } bulunur. Cevap E TEST B = { 1,, 5 } C = { 0,, 4, 5 } olduğuna göre, ( B C ) kümesi aşağıdakilerden ) B) { 0, 1,,, 4, 5 } C) {, 0, 4 } D) { 5 }. C = { x : < x 4, x Z } B C = { x : x <, x N } olduğuna göre, ( B ) C kümesi aşağıdakilerden ) B) { 0 } C) { 1 } D) { 0, 1, } E) N E) {1,, 5 }. B Yandaki şemaya göre, 4. ( B ) ( C ) kümesi aşağıdakilerden hangisine eşittir? ) C B) ( B C ) C) ( B ) C D) ( B C ) E) B ( C ) a e b d f c ( B ) C kümesi aşağıdakilerden 5. B = (, 5 ) C = [ 4, ) g olduğuna göre, ( B C ) kümesi aşağıdaki- C lerden ) { e, d } B) { d } C) { e, d, f } D) { b, e, d } E) { a, b, d, e, f } ) (, 5 ) B) ( 4, ] C) [, 5 ) D) (, ) E) (, ] 1. B. C. 4. B 5. D 4

25 İki Kümenin Birleşiminin Eleman Sayısını Bulma I ve B, E evrensel kümesinin iki alt kümesidir. s ( ) = s ( B ) ve B herhangi iki küme olmak üzere, s ( B ) = s ( ) + s ( B ) s ( B ) dir. s ( B ) = 10 B s ( B ) = olduğuna göre, s ( ) kaçtır? ) B) C) 4 D) 5 E) 6 x x s ( B ) = 10 s ( ) = s ( B ) = x olsun. s ( B ) = s ( ) + s ( B ) s ( B ) 10 = x + x x = 6 bulunur. Cevap E TEST ve B, E evrensel kümesinin iki alt kümesidir. s ( ) = 5 s ( B ) = 7 s ( B ) = 10 olduğuna göre, s ( B ) kaçtır? ) 5 B) 4 C) D) E) 1 4. ve B, E evrensel kümesinin iki alt kümesidir. s ( ) = 4. s ( B ) s ( B ) = 10 ve B kümesinin alt küme sayısı 16 olduğuna göre, s ( B ) kaçtır? ) 1 B) C) D) 4 E) 5. ve B, E evrensel kümesinin iki alt kümesidir. s ( ) = s ( B ) = olduğuna göre, s ( B ) kaçtır? ) 1 B) C) 5 D) 9 E) ve B, E evrensel kümesinin iki alt kümesidir. s ( ) =. s ( B ) = 6. s ( B ) s ( B ) = 16 olduğuna göre, s ( B ) kaçtır? ) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9. ve B, E evrensel kümesinin iki alt kümesidir. B ve s ( B ) = 9 olduğuna göre, s ( B ) kaçtır? ) B) 4 C) 6 D) 9 E) 1 6. ve B, E evrensel kümesinin iki alt kümesidir.. s ( ) = 4. s ( B ), s ( B ) = 5 ve s ( B ) < 5 olduğuna göre, kümesinin eleman sayısı en çok kaçtır? ) 1 B) 14 C) 16 D) 18 E) 0 1. D. C. D 4. B 5. B 6. C 5

26 İki Kümenin Birleşiminin Eleman Sayısını Bulma II ve B ayrık olmayan iki kümedir. s ( B ) = 6 ve s ( ) = 7 ve B ayrık olmayan iki küme ise B dir. s ( B ) nın değerinin çok olması için s ( B ) en az olmalıdır. Yani s ( B ) = 1 olmalıdır. olduğuna göre, s ( B ) en çok kaçtır? B ) 14 B) 1 C) 1 D) 11 E) s ( B ) = = 1 bulunur. Cevap C TEST ve B iki kümedir. s ( ) = 9 s ( B ) = 4 olduğuna göre, s ( B ) en çok kaçtır? ) 10 B) 11 C) 1 D) 1 E) ve B iki kümedir. s ( B ) = 1 s ( ) = 6 olduğuna göre, s ( B ) en az kaçtır? ) 16 B) 15 C) 1 D) 11 E) 10. ve B iki küme ve B dır. s ( ) = 6 s ( B ) = 5 olduğuna göre, s ( B ) en çok kaçtır? ) 9 B) 10 C) 11 D) 1 E) 1 5. kümesinin alt küme sayısı 16, B kümesinin alt küme sayısı 4 tür. Buna göre, B kümesinin eleman sayısı en az kaçtır? ) B) 4 C) 5 D) 6 E) 7. ve B iki kümedir. s ( B ) = 8 olduğuna göre, s ( B ) en çok kaçtır? ) 4 B) 5 C) 8 D) 9 E) ve B iki küme ve B dir. s ( ) = 11 s ( B ) = 5 olduğuna göre, s ( B ) en az kaçtır? ) 1 B) 11 C) 10 D) 9 E) 8 1. D. B. C 4. C 5. B 6. 6

27 Üç Kümenin Birleşiminin Eleman Sayısını Bulma s ( B C ) =, s ( ) = s ( C ) = 1, s (B ) = 7, s ( C ) = ve s ( B ) = s ( B C ) = 6 olduğuna göre, s ( B C ) kaçtır?, B ve C herhangi üç küme olmak üzere, s ( B C ) = s ( ) + s ( B ) + s ( C ) s ( B ) s ( C ) s ( B C ) + s ( B C ) dir. Bu durumda, = s ( B C ) s ( B C ) = 7 bulunur. ) B) 4 C) 5 D) 6 E) 7 Cevap E TEST s ( ) = 7, s ( B ) = 6, s ( C ) = 14, s ( C ) = 5, s ( B C ) = 4, s ( B ) = ve s ( B C ) = 1 olduğuna göre, s ( B C ) kaçtır? ) 1 B) 14 C) 16 D) 18 E) 0. s ( B C ) = 1, s ( ) = 9, s ( B ) = 5, s ( C ) = 6, s ( B ) = s ( C ) = 4 ve s ( B C ) = olduğuna göre, ( B C ) kümesinin eleman sayısı kaçtır? ) 5 B) 4 C) D) E) 1. C ve B ayrık kümelerdir. s ( ) = 10, s ( C ) = 4, s ( B ) = 1 ve s ( C ) = olduğuna göre, s ( (B C )) kaçtır? ) 1 B) 1 C) 14 D) 15 E) B ve C ayrık kümelerdir. B, s ( B ) = 5 ve s ( C ) = 4 olduğuna göre, ( B C ) kümesinin eleman sayısı kaçtır? ) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 9 1. C. B. 4. E 7

28 Kümelerin Birleşiminin Eleman Sayısını Bulma Karma I İngilizce ve lmanca dillerinden en az birini bilenlerin oluşturduğu 0 kişilik bir turist kafilesinde her iki dili de bilenlerin sayısı İngilizce bilenlerin sayısının 5 ine, lmanca bilenlerin sayısının ise 1 sına eşittir. 6 Buna göre, bu kafiledeki İngilizce bilenlerin sayısı kaçtır? ) 10 B) 1 C) 14 D) 16 E) 18 İngilizce bilenlerin kümesi İ, lmanca bilenlerin kümesi ve her iki dili de bilenlerin sayısı x olsun. İ x x 10x s ( İ ) = x ise s ( İ ) = 5x ve s ( ) = 1x olur. s ( İ ) = 0 dur. s ( İ ) = s ( İ ) + s ( ) s ( İ ) 0 = 5x + 1x x 0 = 15x x = olur. s ( İ ) = 5x s ( İ ) = 10 olur. Cevap TEST - 1. Matematik ve Türkçe derslerinin en az birinden geçenlerin bulunduğu 0 kişilik bir sınıfta kişi Matematik dersinden, 18 kişi Türkçe dersinden geçmiştir. Buna göre, bu sınıfta Matematik ve Türkçe derslerinin ikisinden de geçen kaç kişi vardır? ) 8 B) 9 C) 10 D) 11 E) 1. lmanca ve Fransızca dillerinden en az birini bilenlerin bulunduğu bir sınıfta her iki dili de bilen 6 kişi vardır. Fransızca bilenlerin sayısı lmanca bilenlerin sayısının katından 1 eksik ve sınıf mevcudu 6 kişi olduğuna göre, bu sınıfta Fransızca bilen kaç kişi vardır? ) 16 B) 18 C) 0 D) E) 4. Futbol ve voleybol oyunlarından en az birini oynayanların bulunduğu 4 kişilik bir grupta futbol oynayan 15, hem futbol hem voleybol oynayan 7 kişi vardır. Buna göre, bu grupta voleybol oynayan kaç kişi vardır? ) 10 B) 1 C) 14 D) 16 E) Basketbol ve voleybol oyunlarından en az birini oynayanların bulunduğu 48 kişilik bir sınıfta her iki oyunu da oynayanların sayısı basketbol oynayanların 5 1 ine, voleybol oynayanların ise 8 1 sine eşittir. Buna göre, bu sınıfta voleybol oynayan kaç kişi vardır? ) B) 8 C) 4 D) 0 E) D. D. E 4. 8

29 Kümelerin Birleşiminin Eleman Sayısını Bulma Karma II Bir sınıftaki öğrenciler matematik, geometri ve fizik derslerinin en az birinden geçmişlerdir. Matematikten geçenlerin sayısı 14, geometriden geçenlerin sayısı 15 ve fizikten geçenlerin sayısı 17 dir. Matematik ve geometri derslerinden geçenlerin sayısı 5, matematik ve fizik derslerinden geçenlerin sayısı 6, geometri ve fizik derslerinden geçenlerin sayısı 5 ve bu üç dersten de geçenlerin sayısı dir. Buna göre, bu sınıfta kaç kişi vardır? ) B) 40 C) 48 D) 54 E) 60 I. Yol Matematik, geometri ve fizik dersinden geçenlerin kümeleri sırasıyla M, G ve F olsun. Bu durumda s ( M ) = 14, s ( G ) = 15, s ( F ) = 17 s ( M G ) = 5, s ( M F ) = 6, s ( G F ) = 5 ve s ( M G F ) = dir. Buna göre, s ( M G F ) = s ( M ) + s ( G ) + s ( F ) s ( M G ) s ( M F ) s ( G F ) + s ( M G F ) s ( M G F ) = = olur. II. Yol Derslerden geçenlerin kümelerini Venn şeması ile gösterirsek; M 5 7 G Sınıftaki öğrencilerin sayısı = = olur. 8 F Cevap TEST - 1. Bir lokantada fasulye, pilav ve salatadan en az birini yiyen bir gruptan 18 kişi fasulye, kişi pilav ve 14 kişi de salata yemiştir. Bu gruptaki 10 kişi hem fasulye hem pilav, 6 kişi hem fasulye hem salata, 8 kişi hem pilav hem salata ve kişi de bu üç yemeği de yemiştir. Buna göre, bu grupta kaç kişi vardır? ) 1 B) 4 C) 7 D) 0 E). Daha önce lmanya, Fransa ve İtalya ülkelerinden birine gitmiş kişilerin bulunduğu 40 kişilik bir topluluktan 0 kişi lmanya'ya, 18 kişi Fransa'ya, 8 kişi lmanya ve Fransa'ya, 7 kişi lmanya ve İtalya'ya, 6 kişi Fransa ve İtalya'ya gitmiştir. Bu gruptaki, kişi bu üç ülkeye de gittiğine göre, İtalya'ya giden kaç kişi vardır? ) 0 B) 1 C) D) E) 4 1. E. 9

30 Kümelerin Birleşiminin Eleman Sayısını Bulma Karma III = { x x < 75, x = k, k Z + } ve B = { x x < 100, x = 4k, k Z + } kümeleri veriliyor. Buna göre, B kümesinin eleman sayısı kaçtır? ) 7 B) 4 C) 4 D) 45 E) 48 kümesi 75 ten küçük ve ün katı olan pozitif tam sayılardan oluşuyor. 7 - = {, 6, 9,, 7 }, s _ i = + 1 = 4 olur. B kümesi 100 den küçük ve 4 ün katı olan pozitif tam sayılardan oluşuyor B = { 4, 8, 1,, 96 }, s _ B i = + 1 = 4 olur. 4 B kümesinin elemanları OKEK (, 4 ) = 1 nin katlarından oluşur. B = { 1, 4, 6,, 7 } s ( B ) = = 6 olur. 1 s ( B ) = s ( ) + s ( B ) s ( B ) = Not : Terim Sayısı = S o n Terim - l k Terim + 1 rt fl Miktar = 4 olur. Cevap B TEST = { x : 1 < x 150, x Z } kümesinin elemanlarından kaç tanesi ve 4 ile tam bölünür? ) 9 B) 10 C) 11 D) 1 E) 1. = { x : 15 < x 40, x Z } kümesinin elemanlarından kaç tanesi 4 veya 6 ile tam bölünür? ) 64 B) 68 C) 7 D) 75 E) 76. = { x 0 < x < 10, x = k, x Z } B = { x 1 < x < 14, x = 5k, x Z } kümeleri veriliyor. Buna göre, B kümesinin eleman sayısı kaçtır? ) 4 B) 46 C) 5 D) 5 E) = { x : 0 < x < 45, x Z } kümesinin elemanlarından kaç tanesi ile bölünür fakat 4 ile bölünmez? ) 54 B) 56 C) 58 D) 60 E) 6 1. D. C. E 4. B 0

31 Kümelerin Birleşiminin Eleman Sayısını Bulma Karma IV ( B C ) = { a, b, c, d, e } ve B = { a, b, c, d, x, y, z } ve B = { a, b, x, y } B = { c, d } kümeleri veriliyor. Buna göre, C kümesinin eleman sayısı en az kaçtır? olduğuna göre, kaç farklı kümesi yazılabilir? ) B) 4 C) 8 D) 16 E) ) 1 B) C) D) 4 E) 5 B = { a, b, x, y } ( B C ) = ( B ) ( C ) { a, b, c, d, e } = { c, d } ( C ) olduğundan C kümesinde a, b ve e elemanları bulunmak zorundadır. Bundan dolayı s ( C ) en az olur. Cevap C { a, b, c, d, x, y, z } = { a, b, x, y } dir. kümesinde c, d ve z elemanları kesinlikle bulunmak zorundadır. Bu elemanların yanına B kümesinin elemanlarıyla oluşturulabilecek herhangi bir alt kümenin elemanlarını ekleyebiliriz. s ( B ) = 4 olduğundan 4 = 16 farklı alt küme vardır. Dolayısıyla 16 farklı kümesi yazılabilir. Cevap D TEST ( B C ) = { 1,,, a, b, c } ve B = { 1,,, a } kümeleri veriliyor. Buna göre, C kümesinin eleman sayısı en az kaçtır? ) 1 B) C) D) 4 E) 5. = { a, b, c, d} ve B = { a, b, c, d, e, f, g } kümeleri veriliyor. Buna göre, B kümesinin alt kümelerinden kaç tanesi kümesini kapsar? ) B) 4 C) 8 D) 16 E) 4. B, B,. B = { x, y, z, a, b, c } ve = { a, b, c } olduğuna göre, kaç farklı B kümesi yazılabilir? ) 4 B) 8 C) 16 D) E) 64 s ( ) = 8 ve s ( B ) = 1 olduğuna göre, B kümesinin eleman sayısı en az kaçtır? ) 5 B) 8 C) 11 D) 14 E) 0 1. B. B. C 4. D 1

32 Evrensel Küme ve Bir Kümenin Tümleyeni - I kümesi, E evrensel kümesinin bir alt kümesidir. E = { x : x bir harf } = { x : x bir sessiz harf } olduğuna göre, kümesinin tümleyeni aşağıdakilerden ) { a, e } B) { a, e, ı, i } C) { a, e, ı, i, o, ö, u, ü } D) { o, ö, u } E) { o, i, ü, a } E Üzerinde işlem yapılan bütün B kümeleri kapsayan, boş kümeden farklı kümeye evrensel küme denir. E, B E, ( B ) E E evrensel bir küme ve E olsun. E Evrensel kümede olan fakat kümesinde olmayan bütün elemanların oluşturduğu kümeye kümesinin = { x x ve x E } tümleyeni denir ve ' ya da ile gösterilir. Bu durumda, E = { x : x bir harf } = { a, b, c,..., z } = { x : x bir sessiz harf } = { b, c, ç, d,..., z } dir. Buna göre, ' kümesinde yalnızca sesli harfler bulunur. ' = { a, e, ı, i, o, ö, u, ü } olur. Cevap C TEST E. E B a b x y z B Yukarıdaki şekilde verilenlere göre, aşağıdakilerden hangisi yanlıştır? ) E = { a, b, x, y, z, 1, } B) = { a, b, x, y, z } C) ' = { 1, } D) B' = { x, y, z } E) B = { a, b } 8 9 Yukarıdaki şekilde verilenlere göre, ' B kümesi aşağıdakilerden ) { 4, 5, 6, 7 } B) { 4 } C) { 5, 6, 7, 8, 9 } D) { 8, 9 } E) { 5, 6, 7 } 1. D. E

33 Evrensel Küme ve Bir Kümenin Tümleyeni - II E evrensel küme olmak üzere, ı : _, ' i + D + : _ + ' i, D ifadesinin eşiti aşağıdakilerden ) B) ' C) D) E E) Hiçbiri ı : _, _ >, i _ < i >, ' i + D + : _ + ' i, D = 7 E + + 7Q, ; E Q = ' = olur. ı a) E = E b) E = c) ' = E d) ' = e) E' = f) ' = E g) (')' = h) B B' ' Cevap C TEST kümesi, E evrensel kümesinin bir alt kümesi olmak üzere, ı < b_, Ei, _ + Eil + EF ifadesinin eşiti aşağıdakilerden ) B) ' C) D) E E) Hiçbiri. ve B, E evrensel kümesinin farklı iki alt kümesi ve B dir. Buna göre, b _ ' + B' i + _ ', B' il + b_ + B' i + _ ' + Bil ifadesinin eşiti aşağıdakilerden ) B' B) ' B C) B D) E) E. kümesi, E evrensel kümesinin bir alt kümesi olmak üzere, ' ' ı ı :_, i + _Q + id ifadesi aşağıdakilerden hangisine eşit değildir? ) B) C) E D) ' E) ' E 4. şağıdaki ifadelerden hangisi yanlıştır? ) Evrensel kümenin tümleyeni ile bir kümenin kesişimi boş kümedir. B) Bir küme ile tümleyeninin birleşimi evrensel kümedir. C) Boş kümenin tümleyeni ile bir kümenin kesişimi o kümenin kendisine eşittir. D) Bir kümenin tümleyeni ile kesişimi evrensel kümedir. E) Boş kümenin tümleyeninin tümleyeni boş kümedir. 1.. E. D 4. D

34 De Morgan Kuralları ve B, E evrensel kümesinin iki alt kümesidir. Buna göre, ( B ) ( B )' kümesi aşağıdakilerden hangisine eşittir? ) B) C) B D) B E) E ve B herhangi iki küme olmak üzere, J N ( B )' = ' B' K O K De Morgan O K O ( B )' = ' B' Kuralları K O L P ( B ) ( B )' = ( B ) ( ' B' ) = ( ' ) ( B B' ) = E E = E bulunur. Cevap E TEST ve B, E evrensel kümesinin iki alt kümesi olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi yanlıştır? ) ( B )' = ' B' B) ' = C) ( B )' = ' B' D) ( ' B )' = B' E) ( B' )' = ' B 4. ve B, E evrensel kümesinin iki alt kümesidir. Buna göre, B [( B' )' ]' kümesi aşağıdakilerden hangisine eşittir? ) B) C) B D) B' E) E. ve B, E evrensel kümesinin iki alt kümesidir. Buna göre, ( B )' B kümesi aşağıdakilerden hangisine eşittir? ) B) C) ' D) E E) Hiçbiri 5. ve B, E evrensel kümesinin iki alt kümesidir. Buna göre, B' ı ı :_, i + _ ', Bi D kümesi aşağıdakilerden hangisine eşittir? ) B) C) B D) ' E) E ı. ve B, E evrensel kümesinin iki alt kümesidir. Buna göre, ( ' B )' B kümesi aşağıdakilerden hangisine eşittir? ) B) C) B D) B' E) E 6. ve B, E evrensel kümesinin iki alt kümesidir. Buna göre, ( ' B' )' ( ' B )' kümesi aşağıdakilerden hangisine eşittir? ) B) C) B D) B E) E 1. E.. E 4. C 5. E 6. 4

35 Evrensel Kümenin ve Bir Kümenin Tümleyeninin Eleman Sayısını Bulma ve B, E evrensel kümesinin farklı iki alt kümesidir. s ( ) + s ( B ) = 1 s ( ' ) + s ( B' ) = 11 olduğuna göre, s ( E ) kaçtır? ) 9 B) 10 C) 11 D) 1 E) 1, E evrensel kümesinin bir alt kümesi ise, s ( ) + s ( ' ) = s ( E ) dir. Bu durumda, s ( ) + s ( B ) = 1 s ( ' ) + s ( B' ) = 11 s ( ) + s ( ' ) + s ( B ) + s ( B' ) = 4 s ( E ) + s ( E ) = 4 s ( E ) = 1 bulunur. Cevap D TEST , E evrensel kümesinin bir alt kümesidir. s ( E ) = 1, s ( ) = 9 olduğuna göre, s ( ' ) kaçtır? ) B) 4 C) 5 D) 6 E) 7 4., B ve C, E evrensel kümesinin farklı alt kümeleridir. s ( ) + s ( B ) + s ( C' )= 10, s ( ' ) + s ( B' ) = 14 ve s ( E ) = 9 olduğuna göre, s ( C ) kaçtır? ) 7 B) 6 C) 5 D) 4 E). E evrensel küme ve E dir. kümesinin alt küme sayısı 16, ' kümesinin alt küme sayısı 8 olduğuna göre, s ( E ) kaçtır? ) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8 5. ve B, E evrensel kümesinin alt kümeleridir. s ( B ) = 9, s ( B ) = 1 s ( B ) = 4, s ( E ) = 11 olduğuna göre, kümesinin tümleyeninin eleman sayısı kaçtır? ) B) C) 4 D) 5 E) 6. ve B, E evrensel kümesinin iki alt kümesidir. s ( ' ) + s ( B ) = 19, s ( ) + s ( B' ) = 7 olduğuna göre, s ( E ) kaçtır? ) 9 B) 10 C) 11 D) 1 E) 1 6. ve B, E evrensel kümesinin ayrık alt kümeleridir.. s ( ) = 4. s ( B ) s ( B' ) = s ( ' ) + 5 olduğuna göre, s ( B ) kaçtır? ) 10 B) 1 C) 1 D) 15 E) B. D. E 4. E 5. D 6. D 5

36 Evrensel Küme ltında İki Kümenin Birleşiminin Eleman Sayısını Bulma ve B, E evrensel kümesinin iki alt kümesidir. x = B = x s ( E ) =. s ( B ) =. s ( ) s ( E ) =. s ( B ) =. s ( ) s ( ' B' ) = 8 x x 6x x x s ( B ) = 8 olduğuna göre, s ( ) kaçtır? E = 6x ) 15 B) 1 C) 1 D) 10 E) 8 ( B)' = ' B' 6x = 8 + ( x ) + + ( x ) 6x = 5x + 5 x = 5 s ( ) = 15 bulunur. Cevap TEST ve B, E evrensel kümesinin alt kümeleridir. s ( E ) = 16, s ( ' B' ) = 10 olduğuna göre, s ( B ) kaçtır? ) B) C) 4 D) 5 E) 6 4. ve B, E evrensel kümesinin ayrık iki alt kümesidir. s ( ) = 4, s ( B ) = 1, s ( ' B' ) = 6 olduğuna göre, s ( E ) kaçtır? ) 14 B) 1 C) 1 D) 11 E) 10. ve B, E evrensel kümesinin alt kümeleridir. s ( E ) = 1, s ( ) = 6, s ( B ) =, s ( B ) = 1 olduğuna göre, s ( ' B' ) kaçtır? ) 7 B) 6 C) 5 D) 4 E) 5. ve B, E evrensel kümesinin iki alt kümesidir. s ( B ) =. s ( ), s ( B ) = s (( B )'), s ( E ) = 15 olduğuna göre, s ( ) kaçtır? ) 4 B) 5 C) 6 D) 8 E) 10. ve B, E evrensel kümesinin alt kümeleridir. s ( E ) = 1, s ( ) = 7 s ( B ) = 4, s (( B )') = olduğuna göre, s ( B ) kaçtır? ) 8 B) 7 C) 6 D) 5 E) 4 6. E evrensel küme olmak üzere, E, B E ve B dır. s ( E ) = 15, s ( ) = 7, s ( B ) = 5 olduğuna göre, s (( B )') en az kaçtır? ) B) 4 C) 5 D) 6 E) 7 1. E. D. 4. D 5. B 6. B 6

37 İki Kümenin Farkı - I E B a f c e b d g Yandaki şekilde E evrensel kümesine ait ve B alt kümeleri verilmiştir. ve B iki küme olmak üzere, da olup B de olmayan elemanların oluşturduğu kümeye fark B kümesi denir ve \ B ya da B şeklinde gösterilir. B = { x : x ve x B } dir. Buna göre, B, B, E, E B, ' B ve ( B ) ( B ) kümelerini bulunuz. B = { a, b } B = { e } E = { e, f, g } E B = { a, b, f, g } ' B = { f, g } ( B ) ( B ) = { a, b, e } dir. TEST = { a, b, c, d, e } ve B = { a, e, f } olduğuna göre, \ B kümesi aşağıdakilerden ) B) { b, c, d } C) { b, c } D) { b, c, d, e } E) { a, b, c }. = { x 4 < x <, x Z } ve B = { x : x N + } olduğuna göre, \ B kümesinin eleman sayısı kaçtır? ) B) C) 4 D) 5 E) B E Yandaki Venn Şemasına göre, aşağıdakilerden hangisi yanlıştır? ) \ B = { } B) B \ = { 5, 6 } C) ( B )' = { 1,, 7, 8 } D) ( \ B ) = { } E) B' ( \ B ) = { 1,,, 7, 8 } 4. = { 1,, {, 4 }, 5, { 6 }} ve B = { 1, } olduğuna göre, B kümesinin elemanlı alt kümelerinin sayısı kaçtır? ) 1 B) C) 6 D) 8 E) B. D. C 4. 7

38 İki Kümenin Farkı - II = { a, b, c, d, e } B = { a, b, c, x } olduğuna göre, ( B ) ( B ) kümesi aşağıdakilerden ) { d, e } B) { x } C) { a, b, c } D) { d, e, x } E) { a, b, x } ( B ) ( B ) kümesine simetrik fark kümesi denir. B ile gösterilir. B B B B = ( B ) ( B ) E, evrensel kümesinin iki alt kümesi ve B olmak üzere, a) B ise B B dır. b) = c) = d) = e) E = f) E = ' g) B ise B = dir. h) B = ise B = ve B = B dir. d e a b c x B B = { d, e } B = { x } ( B ) ( B ) = { d, e, x } olur. i) s ( B ) = s ( ) + s ( B ) s ( B ) = s ( B ) + s ( B ) dir. Cevap D TEST - 1. = { 1,,, 4, 5, 6, 7, 8 } ve B = {,, 5, 7, 9 } olmak üzere, ( B ) ( B ) kümesi aşağıdakilerden ) { 1,,, 7 } B) {,, 5, 7 } C) { 1, 4, 6, 8, 9 } D) { 1, 4, 6 } E) { 9 }. şağıdaki ifadelerden hangisi yanlıştır? ) = B) = C) = D) E = E) E = ' 1. C. D 8

39 İki Kümenin Farkı - III ve B, E evrensel kümesinin iki alt kümesi olmak üzere, ( B )' ( B ) kümesi aşağıdakilerden hangisine eşittir? ) B) C) B D) B' E) E ve B herhangi iki küme olmak üzere, B = B' dir. Bu durumda, ( B )' ( B ) = ( ' B' ) ( B' ) = ( ' ) B' = B' = bulunur. Not : Bu tip soruları Venn şeması kullanarak kolayca çözebilirsiniz. Cevap TEST - 1. [( B' )]' kümesi aşağıdakilerden hangisine eşittir? ) B) C) B D) B' E) ' B' 4. ( B )' ( B ) kümesi aşağıdakilerden hangisine eşittir? ) B) C) B D) B' E) E. ' ( B ) kümesi aşağıdakilerden hangisine eşittir? ) B) C) B D) B E) ' B 5. B \ = olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur? ) = B) B C) B D) B E) ve B ayrık kümelerdir.. B olmak üzere, ( B )' ( B )' kümesi aşağıdakilerden hangisine eşittir? ) E B) C) B D) ' E) B' 6. ve B, E evrensel kümesinin farklı iki alt kümesidir. Buna göre, ( ' ) [( E B ) ( B E )] kümesi aşağıdakilerden hangisine eşittir? ) E B) C) ' D) B E) B' 1. E. E. 4. D 5. D 6. E 9

40 Kümelerin Farkının Eleman Sayısını Bulma s ( ) = 1, s ( B ) = 7 ve s ( B' ) = 9 olduğuna göre, s ( B ) kaçtır? B s() = 1 s(b) = 7 B B B ) 1 B) C) D) 4 E) 5 s( B) = s() s( B) ( B' = B) = 1 9 = 4 s ( B ) = s ( B ) s ( B ) = 7 4 = bulunur. Cevap C TEST s ( \ B ) = 4, s ( B \ ) = 1, s ( B ) = olduğuna göre, s ( B ) kaçtır? ) 7 B) 8 C) 9 D) 10 E) ve B, E evrensel kümesinin iki alt kümesidir. s ( B \ ) =. s ( \ B ), s ( E ) = 4, s ( B ) = ve s ( ' ) = 15 olduğuna göre, s ( B ) kaçtır? ) 6 B) 8 C) 10 D) 1 E) 15. s ( ) = 1, s ( B ) = 6 olduğuna göre, B kümesinin eleman sayısı kaçtır? ) 6 B) 10 C) 14 D) 18 E) 0 5. s ( B ) = 4. s ( ) s ( B ) = olduğuna göre, s ( B ) en az kaçtır? ) B) 5 C) 6 D) 8 E) 11. B, B, B kümelerinin alt kümelerinin sayısı sırasıyla 18, 64 ve 16 olduğuna göre, s ( B ) kaçtır? ) 18 B) 17 C) 16 D) 15 E) ve B, E evrensel kümesinin farklı iki alt kümesidir. s ( ) = 9, s ( E ) = 15 olduğuna göre, :_ ' - B' i, _ ' - BiD kümesinin eleman sayısı kaçtır? ) 1 B) C) 6 D) 9 E) B. D. B 4. E 5. C 6. C 40

41 Bir Kümenin Venn Şeması İle Temsili Gösterimi B C Yandaki Venn şemasında verilen bölge aşağıdakilerden hangisi ile ifade edilebilir? ) C' B) ( B ) \ C) \ ( B C ) D) \ ( B C ) E) ( B C )' a d b e B c f C Kümelerin belirttiği bölgeleri harflendirirsek, = { a, b, e, d } B = { b, c, e, f } ve C = { d, e, f, g } g kümeleri temsili olarak oluşur. Bu durumda, \ ( B C ) = { a, b, e, d } \ { e, f } = { a, b, d } kümesi taralı bölgeyi temsil eder. Cevap C TEST ( C ) B kümesinin Venn Şeması ile gösterimi aşağıdakilerden ) B B) B C) B. B Yandaki şemada verilen taralı bölge aşağıdakilerden hangisi ile ifade edilebilir? C C C C ) ( B ) C B) ( B ) C D) B E) C C B C) C' B D) ( B ) C' E) ( B ) C 4. B. B Yandaki şemada verilen taralı bölge aşağıda- E C kilerden hangi- ve B kümeleri, E evrensel kümesinin iki alt si ile ifade edi- kümesidir. Buna göre, yukarıdaki taralı bölge lebilir? aşağıdakilerden hangisi ile ifade edilemez? ) C ( B ) B) ( C ) B C) B ( C ) D) ( ' B' ) C E) C ( B ) ) ( B ) ( B ' ) B) ( B )' C) ( B ) ( B ) D) ( B' ) (B \ ) E) ( B ) \ ( B ) 1. D. E. 4. B 41