SONUÇ YAYINLARI. 9. Sınıf Kümeler

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "SONUÇ YAYINLARI. 9. Sınıf Kümeler"

Transkript

1 9. SINIF

2 SONUÇ YYINLRI 9. Sınıf Kümeler Bu kitabın tamamının ya da bir kısmının, kitabı yayımlayan şirketin önceden izni olmaksızın elektronik, mekanik, fotokopi ya da herhangi bir kayıt sistemiyle çoğaltılması, yayımlanması ve depolanması yasaktır. Bu kitabın tüm hakları, Etkin Sonuç Yayıncılık Mat. Dağ. Eğt. San. Tic. Ltd. Şti.'ne aittir. Baskı Tarihi ğustos 01 Baskı Cilt Tuna Matbaacılık.Ş. Bahçekapı Mahallesi 460. Sokak Nu.: Şaşmaz / NKR Tel: (0 1) (pbx) Belgeç: (0 1) Dizgi Grafik Sonuç Yayınları Dizgi Birimi na Dağıtım Necatibey Cad. Oyak İş Merkezi 51/19 Çankaya / NKR Tel: (0 1) Cep: (0 5)

3 İ Ç İ N D E K İ L E R KÜME KVRMI, SONLU, SONSUZ EVRENSEL VE BOŞ KÜMELER... 5 LT KÜME KÜMELERDE BİRLEŞİM VE KESİŞİM İŞLEMLERİ... 0 KÜMELERİN BİRLEŞİMİNİN VE KESİŞİMİNİN ELEMN SYISINI BULM... 5 TÜMLEYEN... İKİ KÜMENİN FRKI... 7 KÜME PROBLEMLERİ... 4 SIRLI İKİLİ VE KRTEZYEN ÇRPIMI... 5

4 KÜME KVRMI, SONLU, SONSUZ EVRENSEL VE BOŞ KÜMELER TEST LT KÜME... 6 TEST 1, TEST KÜMELERDE BİRLEŞİM VE KESİŞİM İŞLEMLERİ TEST KÜMELERİN BİRLEŞİMİNİN VE KESİŞİMİNİN ELEMN SYISINI BULM TEST TÜMLEYEN TEST İKİ KÜMENİN FRKI... 7 TEST KÜME PROBLEMLERİ TEST SIRLI İKİLİ VE KRTEZYEN ÇRPIMI TEST KÜMELER KRM TEST

5 Kümenin Tanımı I. YGS de barajı geçen öğrenciler. II. 50 den büyük asal sayılar. III. Sınıfın güzel kızları. IV. nkara'nın ilçeleri. V. 01 sayısının rakamları. Yukarıdakilerden hangileri bir küme belirtmez? ) Yalnız I B) Yalnız III C) I ve II D) I ve III E) IV ve V Nesnelerin iyi tanımlanmış olduğu listeye küme denir. Kümeyi oluşturan nesnelerin her birine eleman denir. Kümeler, B, C, gibi büyük harflerle gösterilir. "Sınıfın güzel kızları" cümlesi iyi tanımlı olmadığı için küme belirtmez. Çünkü güzellik tanımı herkes için aynı değildir. I., II., IV. ve V. seçenekler ise belirli elemanları içermektedir. Yani birer küme belirtir. Not 1 : x nesnesi kümesinin elemanı ise x biçiminde gösterilir ve " x, kümesinin elemanıdır" şeklinde okunur. Not : x nesnesi kümesinin elemanı değil ise, x biçiminde gösterilir ve " x, kümesinin elemanı değildir" şeklinde okunur. Not : kümesinin eleman sayısı s ( ) ile gösterilir. Cevap B TEST şağıdakilerden hangisi bir küme belirtir? ) Okulumuzdaki zeki kızlar. B) Bazı haftalar. C) Haftanın C harfi ile başlayan günleri. D) Esmer erkekler. E) Uzun boylu bazı bayanlar.. şağıdakilerden hangisi bir küme belirtmez? ) 1 ten küçük tane asal sayı. B) x ten büyük asal sayılar. C) M harfiyle başlayan aylar. D) ile 1 arasındaki doğal sayılar. E) 76 dan büyük iki basamaklı çift doğal sayılar.. I. 5 ten küçük rakamlar. II. Başarılı öğrenciler. III. En güzel savaş filmleri. IV. RB kelimesindeki harfler. V. Yazın sıcak günleri. Yukarıdakilerden hangileri bir küme belirtmez? ) Yalnız I B) I ve IV C) II ve III D) III ve IV E) II, III ve V 4. kümesi " 1976 sayısındaki rakamlar" cümlesinin belirttiği küme olmak üzere, aşağıdakilerden hangisi yanlıştır? ) 1 B) 9 C) 76 D) 19 E) s ( ) = 4 1. C. B. E 4. D 5

6 Kümelerin Gösterimi - I = { 1,, {, 4 }, 5 } kümesi için aşağıdakilerden hangisi yanlıştır? ) 1 B) {, 4 } C) 4 D) s ( ) = 4 E) Kümenin her bir elemanının, aralarında virgül olacak şekilde, { } sembolü içine yazılmasına liste yöntemiyle gösterim denir. kümesinin elemanlarından biri 1 dir. Bu durumda 1 dır. kümesinin elemanlarından bir diğeri de {, 4 } tür. Bu durumda {, 4 } dır. kümesinin elemanları içinde 4 yoktur. Bu durumda 4 dır. kümesinin elemanları 1,, {, 4 }, 5 olduğundan kümesinin eleman sayısı 4 tür. kümesinde elemanı yoktur. Dolayısıyla dır. Kümede her eleman bir kere yazılır. Kümedeki elemanların yer değiştirmesi kümeyi değiştirmez. Cevap E TEST - 1. şağıdakilerden hangisi yanlıştır? ) BURS kelimesindeki harflerin kümesi { B, U, R, S, } dır. B) 4965 sayısındaki rakamların kümesi {, 4, 5, 6, 9 } dur. C) MRMR kelimesindeki harflerin kümesi { M,, R } dır. D) MKS kelimesindeki harflerin kümesi { M,, K,, S } tır. E) 1000 sayısındaki rakamların kümesi { 0,1 } dir.. = {, 4, { 5, 6, 7 }, 8 } kümesi için aşağıdakilerden hangisi yanlıştır? ) B) {, 4 } C) s ( ) = 4 D) 8 E) = {{ 5, 6, 7 },, 8, 4 } İpucu : Kümenin elemanlarının yerini değiştirmek, kümeyi değiştirmez.. = { a, b, { c, d }, { d } } kümesinin eleman sayısı kaçtır? ) B) 4 C) 5 D) 6 E) 7 4. = { s, n, { ç, o }, o, u } kümesi için aşağıdakilerden hangisi yanlıştır? ) { o } B) s C) { ç, o } D) s ( ) = 5 E) { ç } 1. D. B. B 4. E 6

7 Kümelerin Gösterimi - II En küçük üç rakamın oluşturduğu kümenin sırasıyla Venn şeması yöntemi ve ortak özellik yöntemi ile gösterimi aşağıdakilerden hangisinde doğru olarak verilmiştir? 1 ) B) 1, B = { x : x <, x Z + }, B = { x : x <, x N + } 1. Venn Şeması ( Venn Diagramı ) Yöntemi : Kümeyi oluşturan elemanların kapalı bir şekil içine, yanına ". " konularak yazılmasıdır.. Ortak Özellik ( Genelleme ) Yöntemi : Kümenin elemanlarının ortak özelliklerinin belirlenerek gösterimidir. { x : x elemanlarının ortak özellikleri } veya { x x elemanlarının ortak özellikleri } olarak gösterilir. C) D) , B = { x : x <, x N }, B = { x : x, x N + } 0 1 En küçük üç rakam 0, 1, dir. Bu elemanların Venn şeması ile gösterimi yandaki şekilde olduğu gibidir. E) 0 1, B = { x : x, x Z } En küçük üç rakam : B = { x : x <, x N } veya B = { x x <, x N } olarak da gösterilebilir. Cevap C TEST - 1. = { x : 4 < x <, x Z + } kümesinin Venn Diagramı ile gösterimi aşağıdakilerden ) B) C) D) E) = { 0,, 4, 6, 8, 10 } kümesinin ortak özellik yöntemi ile gösterimi aşağıdakilerden hangisi olabilir? ) { x x bir çift sayı } B) { x x bir çift sayı, x Z + } C) { x x bir çift sayı, x < 10 } D) { x x bir çift sayı, x N } E) { x x 10, x bir çift sayı, x N } sayısındaki rakamların oluşturduğu B kümesi aşağıdakilerden hangisi ile gösterilemez? ) B = { 0, 1,,, 4, 5, 6 } B) B = { x x < 7, x N + } C) B = { x 0 x < 7, x Z } D) B = { x x 6, x N } B 5 E) = { x : x < 10, x bir çift doğal sayı } kümesinin elemanlarının sayısal değerleri toplamı kaçtır? ) 16 B) 18 C) 0 D) E) 4 1. C. E. B 4. C 7

8 Sonlu ve Sonsuz Küme I. = { x : x <, x Z } II. B = { x : 1 < x 4, x R } III. C = {..., 1,,,... } Yukarıdaki kümelerden hangisi ya da hangileri sonsuz kümedir? ) Yalnız I B) Yalnız II C) I ve II D) I ve III E) I, II ve III Eleman sayısı doğal sayı ile ifade edilebilen kümeye sonlu küme denir. Eleman sayısı doğal sayı ile ifade edilemeyen kümeye sonsuz küme denir. = { x : x <, x Z } kümesi, den küçük sonsuz çoklukta negatif tam sayı olduğundan sonsuz kümedir. B = { x : 1 < x 4, x R } kümesi, 1 ile 4 arasındaki reel sayılardan oluşur. Bu aralıkta sonsuz çoklukta reel sayı olduğundan B kümesi sonsuz bir kümedir. C = {..., 1,,,... } kümesinin elemanları bütün tam sayılardır. Sonsuz çoklukta tam sayı olduğundan C kümesi sonsuz bir kümedir. Cevap E TEST şağıdakilerden hangisi sonlu küme belirtir? ) = { x : x 9, x Z } B) B = { x : < x < 4, x R + } C) C = { x : x > 1, x Z + } D) D = { x : x < 5, x N } E) E = { x : x > 5, x N }. şağıdakilerden hangisi sonsuz küme belirtir? ) Okulumuzdaki kitaplar. B) Sınıfımızdaki akvaryumdaki balıklar. C) Uzaydaki yıldızlar. D) Okulun otoparkındaki araçlar. E) Sınıfımızdaki sıralar.. şağıdakilerden hangisi sonsuz küme belirtir? ) = { x : < x < 4, x N + } B) B = { x : x asal bir rakam } C) C = { x : x iki basamaklı 5 in katı olan doğal sayılar } D) D = {,, 1 } E) E = { x : x negatif olmayan tam sayılar } 4. şağıdakilerden hangisi sonlu bir küme belirtir? ) = { x : x asal bir rakam } B) B = { x : x asal bir sayı } C) C = { x : 1 x <, x R } D) D = { x : x çift sayı } E) E = { x : x = k + 1, k Z } 1. D. E. C 4. 8

9 Boş ve Evrensel Küme şağıdaki kümelerden hangisi boş kümedir? ) = { x : x = 1, x Z } B) B = { } C) C = { x : < x < 1, x R + } D) D = { x : x <, x N } E) E = { 1,,,... } Elemanı olmayan kümeye boş küme denir ve { } ya da ile gösterilir. kümesi x = 1 denklemini sağlayan tam sayılardan oluşur. x = 1 x = dir. Dolayısıyla kümesinin elemanı olduğundan boş küme değildir. B kümesi elemanı " " sembolü olan bir elemanlı bir kümedir. < x < 1 aralığında pozitif reel sayı olmadığı için C kümesi boş kümedir. 0 ve 1, den küçük doğal sayılar olduğundan D kümesi boş küme değildir. E kümesi sonsuz elemanlıdır. Dolayısıyla boş küme değildir. Üzerinde çalışılan bir konu veya problem için gerekli olan bütün elemanları kapsayacak biçimde seçilen kümeye evrensel küme denir ve E harfi ile gösterilir. Cevap C TEST şağıdakilerden hangisi boş kümedir? ) = { x : x + 1 > x, x N } B) B = { x : x < x, x R } C) C = { x : x 1 < 0, x R } D) D = { x : < x, x R } E) E = { x : 5 < x 0, x N }. şağıdaki kümelerden hangisi boş kümedir? ) D = { x x 0, x Z } B) B = { x x 4 = 0, x Z + } C) C = { x 5x + 7 = 1, x R } D) = { x x + 1 < 0, x R } E) E = { x 9 < x 0, x Z }. şağıdaki kümelerden hangisi diğerlerinin evrensel kümesi olabilir? ) { x lisesindeki öğrenciler. } B) { x lisesindeki 9. sınıf öğrencileri. } C) { x lisesindeki 9 - sınıfı. } D) { x lisesindeki 9 - sınıfının erkek öğrencileri. } E) { x lisesindeki 9 - sınıfının gözlüklü erkek öğrencileri. } 4. ve B aynı evrensel kümede bulunan kümeler olmak üzere, s ( ) = ve s ( B ) = tür. Buna göre, ve B kümelerinin evrensel kümesinin eleman sayısı aşağıdakilerden hangisi olamaz? ) B) C) 4 D) 5 E) 6 1. C. D. 4. 9

10 şağıda verilen boşlukları doldurunuz. 1. Nesnelerin iyi tanımlanmış olduğu listeye... denir.. Kümeyi oluşturan nesnelerin herbirine kümenin... denir.. kümesinin eleman sayısı... ile gösterilir. 4. x, bir kümesinin elemanı ise x..., elemanı değil ise x... şeklinde gösterilir. 5. Kümeleri,...,... ve... yöntemleri ile gösterebiliriz. 6. Bir kümenin kapalı bir şeklin içine, yanına "." koyularak gösterilmesine kümenin... ile gösterimi denir. 7. Bir kümenin elemanlarının aralarında virgül olacak şekilde, { } sembolünün içine yazılmasına kümenin... ile gösterimi denir. şağıdaki ifadelerden doğru olanları D, yanlış olanları Y harfi ile belirtiniz. 1. ( ) Bir kümede aynı elemanlar bir kere yazılır.. ( ) Kümeyi oluşturan elemanların yeri değişirse küme de değişir.. ( ) Elemanı olmayan kümeye sonsuz küme denir. 4. ( ) Tam sayılar kümesi sonsuz bir kümedir. 5. ( ) " 1 ile arasındaki doğal sayılar" kümesi bir küme belirtmez. 6. ( ) = { a, b, c, {d}, {{d}, e }} ise s( ) = 5 tir. 7. ( ) B = { x x çift asal sayı } kümesi boş küme belirtir. 8. ( ) C = { 9, 1, 15,..., 4 } ise s ( C ) = 1 dir. 8. Eleman sayısı doğal sayı ile ifade edilebilen kümeye... küme denir. 9. Eleman sayıları doğal sayı ile ifade edilemeyen kümeye... küme denir. 10. Hiç elemanı olmayan kümeye... denir.... veya... ile gösterilir. 9. ( ) KLBLIK kelimesindeki harflerin kümesi, BLIK kelimesindeki harflerin kümesi B olmak üzere, s ( ) = s ( B ) dir. 10. ( ) ", 456 sayısındaki rakamlar" cümlesinin belirttiği küme sonsuz kümedir. 11. Üzerinde çalışılan konu hakkındaki bütün kümeleri ve elemanları kapsayan kümeye... denir. Genellikle... harfi ile gösterilir. 1. küme. elemanı. s ( ) 4. (, ) 5. Venn şeması, liste, ortak özellik 6. Venn şeması 7. liste yöntemi 8. sonlu 9. sonsuz 10. boş küme,, { } 11. Evrensel küme, E 1. D. Y. Y 4. D 5. Y 6. D 7. Y 8. D 9. D 10. Y 10

11 lt Küme - I = { a, b, { b, c }, d } kümesi için aşağıdakilerden hangisi yanlıştır? ) { b, c } B) { d } C) { c } D) E) {b, { b, c }} ve B herhangi iki küme olsun. kümesinin her elemanı, B kümesinin de elemanı ise kümesine, B kümesinin alt kümesi denir ve B ile gösterilir. şıkkında { b, c } ifadesi doğrudur. B şıkkında d olduğu için { d } dır. D şıkkında doğrudur. E şıkkında b, { b, c } olduğu için { b, { b, c }} doğrudur. Not 1 : Her küme kendisinin alt kümesidir. ( ) Not : Boş küme her kümenin alt kümesidir. ( ) C şıkkında c olduğu için { c } ifadesi yanlıştır. Cevap C TEST = { 1,, {, 5 }} kümesi için aşağıdakilerden hangisi yanlıştır? ) { 1 } B) { } C) { 1, 5 } D) E) {{, 5 }}. Yandaki şemaya göre, B ö o aşağıdaki ifadelerden a e u hangisi yanlıştır? ) { a, e } B B) {o, ö, u } C) B D) { a, B } E) { a, e, o, ö, u }. = { 1,,, {, }} kümesi için aşağıdakilerden hangisi yanlıştır? ) {, } B) { } C) {, } D) {, 1 } E) { 1,, } 4. = { x x bir rakam } B = { x 4 < x 7, x N } C = { x 1 < x < 1, x Z } D = { x x <, x Z } kümeleri veriliyor. Buna göre, aşağıdakilerden hangisi doğrudur? ) C B B) D B C) D D) D C E) C 1. C. E. D 4. E 11

12 lt Küme - II Küme Eleman Sayısı lt Kümeleri lt Küme Sayısı = { a, b, c, d } 0 elemanlı 1 elemanlı elemanlı elemanlı 4 elemanlı Yukarıda verilen tablodaki boş kutucukları doldurunuz. 0 elemanlı : Bir kümenin hiç elemanı olmayan tek alt kümesi boş kümedir. { } Sıfır elemanlı alt küme sayısı 1 tanedir. 1 elemanlı : Her bir elemanı tek tek seçersek; { a }, { b }, { c } ve { d } Bir elemanlı alt küme sayısı 4 tanedir. elemanlı : Elemanları ikişer ikişer seçersek; { a, b }, { a, c }, { a, d }, { b, c }, { b, d }, { c, d } İki elemanlı alt küme sayısı 6 tanedir. elemanlı : Elemanları üçer üçer seçersek; { a, b, c }, { a, b, d }, { a, c, d }, { b, c, d } Üç elemanlı alt küme sayısı 4 tanedir. 4 elemanlı : Dört elemanı da seçersek; { a, b, c, d } Dört elemanlı alt küme sayısı 1 tanedir. TEST Küme lt Kümeleri 0 elemanlı lt Küme Sayısı Küme lt Kümeleri Kümenin Eleman Sayısı lt Küme Sayısı 1 elemanlı = { } = { a, b, c } elemanlı B = { 1 } elemanlı 4 elemanlı Yukarıda verilen tablodaki boş kutucukları doldurunuz. C = { 1, } D = { 1,, } Yukarıda verilen tablodaki boş kutucukları doldurunuz. Küme = { a, b, c } lt Kümeleri lt Küme Sayısı 0 elemanlı { } 1 1 elemanlı { a }, { b }, { c } elemanlı { a, b }, { a, c }, { b, c } elemanlı { a, b, c } 1 Küme lt Kümeleri Kümenin Eleman Sayısı lt Küme Sayısı = { } { } 0 0 = 1 B = { 1 } { }, { 1 } 1 1 = C = { 1, } { }, { 1 }, { }, { 1, } = 4 D = { 1,, } { }, { 1 }, { }, { 1, }, { 1, }, {, }, { 1,, } = 8 1

13 lt Küme - III = { 1,, { 1, }, } kümesinin alt kümelerinin sayısı kaçtır? ) 4 B) 8 C) 16 D) 18 E) s ( ) = n olmak üzere, kümesinin alt küme sayısı : n dir. Bu durumda, = { 1,, { 1, }, } s ( ) = 4 kümesinin alt küme sayısı : 4 = 16 olur. Cevap C TEST = { x : x asal rakam } kümesinin alt küme sayısı kaçtır? ) 8 B) 16 C) D) 64 E) lt küme sayısının, eleman sayısına oranı olan bir kümenin eleman sayısı kaçtır? ) B) C) 4 D) 5 E) 6. = { x x < 7, x N } kümesinin alt küme sayısı kaçtır? ) B) 6 C) 64 D) 17 E) lt kümelerinden birisi {a, b, { a, c } } olan bir kümenin eleman sayısı en az kaçtır? ) 1 B) C) D) 4 E) 5. = { a, b, c, d } kümesinin, kuvvet kümesinin eleman sayısı kümesinin eleman sayısının kaç katıdır? ) 4 B) 16 C) D) 64 E) 18 İpucu : kümesinin bütün alt kümelerinin oluşturduğu kümeye kümesinin kuvvet kümesi denir. 6. Eleman sayısı arttırıldığında alt küme sayısı 56 artan bir kümenin eleman sayısı kaçtır? ) B) C) 4 D) 5 E) 6 1. B. E. 4. E 5. C 6. B 1

14 lt Küme - IV = { a, b, c, d, e } kümesinin, a) en çok elemanlı alt kümelerinin sayısı kaçtır? b) en az elemanlı alt kümelerinin sayısı kaçtır? a) En çok elemanlı alt küme sayısı : = C ( 5, ) + C ( 5, 1 ) + C ( 5, 0 ) 5! 5! 5! = + + _ 5 - i!.! _ 5-1i!. 1! _ 5-0i!. 0! n r olmak üzere, n elemanlı bir kümenin r elemanlı alt kümelerinin sayısı = = 16 olur. b) En az elemanlı alt küme sayısı : = C ( 5, ) + C ( 5, 4 ) + C ( 5, 5 ) 5! 5! 5! = + + ( 5 - )!.! ( 5-4)!. 4! ( 5-5)!. 5! n n! C( n, r) = d n = r _ n - ri!. r! dir. = = 16 olur. TEST Sesli harflerden oluşan 8 elemanlı bir kümenin elemanlı alt kümelerinin sayısı kaçtır? ) 1 B) 5 C) 8 D) 0 E) elemanlı bir kümenin en az 8 elemanlı alt kümelerinin sayısı kaçtır? ) 10 B) 18 C) 19 D) 8 E) 56. = { x : x 16, x Z } kümesinin elemanlı alt kümelerinin sayısı kaçtır? ) 90 B) 84 C) 56 D) 5 E) 0 5. = { a, b, c, d, e, f } kümesinin en çok elemanlı alt küme sayısı kaçtır? ) 17 B) C) 7 D) 4 E) elemanlı bir kümenin en çok elemanlı alt kümelerinin sayısı kaçtır? ) 6 B) 4 C) 0 D) 18 E) = { a, b, c, d, x, y, z } kümesinin en az 5 elemanlı alt kümelerinin sayısı kaçtır? ) 8 B) 15 C) 9 D) 41 E) C. B. 4. E 5. D 6. C 14

15 lt Küme - V 8 elemanlı bir kümenin en çok 6 elemanlı alt kümelerinin sayısı kaçtır? ) 9 B) 149 C) 19 D) 47 E) 56 Not 1 : Not : Not : n n c m = c m = 1 dir. 0 n n n c m = c m = n dir. 1 n - 1 n n c m = c m + n = r + k ya da r = k dır. r k n n n n Not 4 : c m + c m + c m c m = n dir. 0 1 n I. Yol f p + f p + f p + f p + f p + f p + f p ! 8! 8! 8! 8! 8! 8! = !. 0! 7!. 1! 6!.! 5!.! 4!. 4!!. 5!!. 6! = = 47 olur. II. Yol Bütün alt kümelerinin sayısından 7 ve 8 elemanlı alt kümelerinin sayısı çıkarılır f p - f p = = 47 olur. 7 8 Cevap D TEST = { 0, 1,,, 4, 5, 6, 7 } boş olan alt küme sayısı ile tüm elemanlarını içeren alt küme sayısının toplamı kaçtır? ) 1 B) C) D) 4 E) elemanlı bir kümenin en çok elemanlı alt kümelerinin sayısı ile en az 5 elemanlı alt kümelerinin sayısının toplamı kaçtır? ) 9 B) 74 C) 9 D) 108 E) 10. Bir kümenin 1 elemanlı alt kümelerinin sayısı, 8 elemanlı alt kümelerinin sayısına eşit olduğuna göre, bu küme kaç elemanlıdır? ) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 10 İpucu : "Not " kuralını uygulamaya çalışınız. 5. Bir kümenin eleman sayısı arttırıldığında alt küme sayısı 11 artıyor. Buna göre, bu kümenin en az elemanlı alt kümelerinin sayısı kaçtır? ) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8. 7 elemanlı bir kümenin en çok 5 elemanlı alt kümelerinin sayısı kaçtır? ) 99 B) 100 C) 10 D) 17 E) 18 İpucu : "Not 4" kuralını uygulamaya çalışınız. 6. Bir kümenin elemanlı alt kümelerinin sayısı, 4 elemanlı alt kümelerinin sayısına eşittir. Buna göre, bu kümenin en çok elemanlı alt kümelerinin sayısı kaçtır? ) 17 B) C) 7 D) 4 E) B. D. C 4. C 5. B 6. D 15

16 lt Küme - VI = { s, o, n, u, ç } kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde; a) s elemanı bulunmaz? b) n elemanı bulunur? c) s ve n elemanları bulunur? d) s veya n elemanları bulunur? e) s elemanı bulunur, n elemanı bulunmaz? a) s dışındaki 4 elemanla 4 = 16 tane s nin bulunmadığı alt küme yazılabilir. b) n dışındaki 4 elemanla 4 = 16 tane n nin bulunmadığı alt küme yazılabilir. Bu kümelerin her birine n elemanı eklenirse içinde n elemanı bulunan 16 tane alt küme elde edilir. c) s ve n dışındaki elemanla = 8 tane alt küme yazılabilir. s ve n elemanlarını eklediğimizde içinde s ve n elemanları bulunan 8 tane alt küme elde edilir. dı geçen elemanlar kümeden atılır. Geriye kalan elemanlarla oluşturulabilecek alt kümelerin sayısı hesaplanır. d) 5 = tane alt kümenin içinden = 8 tanesinde s ve n elemanları bulunmaz. Geriye kalan 8 = 4 tane alt kümede s veya n elemanları bulunur. e) s ve n elemanları dışındaki elemanla yazılabilecek = 8 tane alt kümeye s elemanı eklenirse içinde s elemanının bulunup n elemanının bulunmadığı 8 tane küme elde edilir. TEST = {, a, b, c, 10 } kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde rakam bulunmaz? ) 8 B) 1 C) 16 D) 0 E) 4 4. = { 1,,, 4, 5, 6 } kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde ve 5 elemanları bulunmaz? ) 56 B) 48 C) D) 16 E) 8. = { x < x 4, x Z } kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde negatif sayı bulunur? ) B) 16 C) 8 D) 4 E) 5. = { 0, 1,,, 4, 5 } kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde 4 elemanı bulunur, 1 elemanı bulunmaz? ) 4 B) 8 C) 16 D) E) 64. = { 1,,, a, b, c, d } kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde 1 ve a elemanları bulunur? ) 8 B) 16 C) D) 64 E) = { a, b, c, d, e } kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde b veya d elemanı bulunur? ) 8 B) 1 C) 16 D) 0 E) 4 İpucu : Bütün alt kümelerden b ve d nin birlikte bulunmama durumu çıkarılırsa çözüme daha kolay ulaşılır C.. C 4. B 5. C 6. E

17 lt Küme - VII = { a, b, c, d, e, f, g } kümesinin elemanlı alt kümelerinin kaç tanesinde a elemanı bulunur, e elemanı bulunmaz? ) 5 B) 10 C) 15 D) 0 E) 5 a ve e elemanlarını yok kabul edersek kümesinde geriye 5 eleman kalır. Bu 5 elemanın elemanlı alt kümelerinin içine a elemanını eklersek, içinde a elemanı bulunan ama e elemanı bulunmayan elemanlı alt kümeleri bulmuş oluruz. O halde istenen alt küme sayısı 5 5! 5! 5. 4 f p = = = = 10 _ 5 - i!.!!.!. 1 olur. Cevap B TEST = { a, b, c, d, e } kümesinin elemanlı alt kümelerinin kaç tanesinde c elemanı bulunmaz? ) 4 B) 6 C) 8 D) 10 E) 1 4. = { 0, 1,,, 4, 6, 8 } kümesinin 4 elemanlı alt kümelerinin kaç tanesinde 8 elemanı bulunur, elemanı bulunmaz? ) 10 B) 15 C) 0 D) 0 E) 5. = { a, b, c, d, e, f } kümesinin 4 elemanlı alt kümelerinin kaç tanesinde f elemanı bulunur? ) B) 5 C) 6 D) 10 E) = { x : x bir rakam } kümesinin 5 elemanlı alt kümelerinin kaç tanesinde 1 ve 7 elemanları bulunur? ) 10 B) 1 C) 15 D) 8 E) 56. = { a, b, c, d, e, f, g, h } kümesinin 5 elemanlı alt kümelerinin kaç tanesinde e ve f elemanları birlikte bulunmaz? ) 6 B) 0 C) 16 D) 10 E) 6 6. = { a, b, c, d, 1,, } kümesinin 4 elemanlı alt kümelerinin kaç tanesinde a veya elemanı bulunur? ) 0 B) 8 C) 4 D) 1 E) D E 6. 17

18 lt Küme - VIII = {1, } B = {1,, 5, 7, 9 } olduğuna göre, K B ve K şartını sağlayan kaç farklı K kümesi vardır? ) 7 B) 8 C) 15 D) 16 E) 0 K B ise { 1, } K {1,, 5, 7, 9 } K kümesi {1,, 5, 7, 9 } kümesinin alt kümesidir. yrıca 1 ve elemanlarını bulundurmak zorundadır. { 1,, 5, 7, 9 } kümesinden 1 ve elemanlarını daha sonra dahil etmek üzere alırsak, { 5, 7, 9 } kümesini elde ederiz. elemanlı olan { 5, 7, 9 } kümesinin = 8 tane alt kümesi vardır. Bu alt kümelerin her birine 1 ve elemanlarını dahil edersek istenilen kümeleri elde ederiz. Fakat K olduğundan bu kümelerden { 1, } olanını alamayız. Dolayısıyla istenilen koşula uygun 8 1 = 7 farklı K kümesi yazılabilir. Cevap TEST = { 1,, } B = { 0, 1,,, 4, 5 } olduğuna göre, M B şartını sağlayan kaç farklı M kümesi vardır? ) 7 B) 8 C) 15 D) 16 E) 4. = { a, b, c } B = { a, b, c, d, e, f, g } olduğuna göre, B kümesinin 6 elemanlı alt kümelerinden kaç tanesi kümesini kapsar? ) 4 B) 7 C) 8 D) 15 E) 16. = { x : x asal bir rakam } B = { x 1 x < 10, x N } olduğuna göre, K B ve K şartını sağlayan kaç farklı K kümesi vardır? ) 7 B) 8 C) 15 D) 16 E) 1 5. s ( ) = s ( B ) = 10 s ( M ) = 6 olduğuna göre, M B şartını sağlayan kaç farklı M kümesi vardır? ) 16 B) 1 C) 5 D) 56 E) 70 İpucu : Kümelerin elemanları bellidir.. s ( ) = ve s ( B ) = 8 olduğuna göre, K B, K ve B K şartını sağlayan kaç farklı K kümesi vardır? ) 0 B) 1 C) D) 6 E) s ( B ). s ( ) = 7 olduğuna göre, K B ve B K ve K şartını sağlayan kaç farklı K kümesi vardır? ) 14 B) C) 6 D) 64 E) B. E E 6. C 18

19 Kümelerin Eşitliği = {0,, 4, 6, 8 }, B = { x : x 4, x N } ve C = { x : x bir çift rakam } kümeleri veriliyor. Buna göre, aşağıdakilerden hangisi yanlıştır? ) s( ) = s( B ) B) s( B ) = s( C ) C) s( ) = s( C ) D) = C E) B = C ynı elemanlardan oluşan kümelere eşit kümeler denir. kümesi, B kümesine eşit ise = B ile gösterilir. Bu durumda, = { 0,, 4, 6, 8 }, B = { 0,1,,, 4 } ve C = { 0,, 4, 6, 8 } dir., B ve C kümelerinin eleman sayıları eşittir. Dolayısıyla, s ( ) = s ( B ) = s ( C ) dir. yrıca kümesi ile C kümesinin elemanları aynı olduğundan = C dir. Buna göre, B = C ifadesi yanlıştır. Cevap E TEST a ve b birbirinden farklı sayılardır. = { 1, a, 5, b, 7 } ve B = { x x tek rakam } kümeleri veriliyor. = B olduğuna göre, a + b toplamı kaçtır? ) 4 B) 6 C) 8 D) 10 E) 1. a, b ve c birbirinden farklı sayılardır. = { x x < 15, x N } ve B = {, a, b, c } kümeleri veriliyor. B ve B olduğuna göre, a + b + c toplamı kaçtır? ) 1 B) C) D) 4 E) 5 İpucu : B ve B ise = B dir.. a, b ve c birbirinden farklı sayılardır. = { x x, x N } ve B = {, a, b, c } kümeleri veriliyor. = B olduğuna göre, a + b + c toplamının değeri kaçtır? ) 11 B) 9 C) 6 D) 5 E) 4. a, b, c birer rakam olmak üzere, B a b 6 c 7 5 C = { x : 4 < x 7, x Z } Yukarıda verilen, B ve C kümeleri birbirlerine eşit olduklarına göre, b + c a ifadesinin değeri kaçtır? ) 8 B) 4 C) 0 D) 4 E) 8 1. E. E. C 4. 19

20 Kümelerin Birleşimi = { 1,, } ve B = {, 4, 6, 8 } olduğuna göre, B kümesi aşağıdakilerden ve B herhangi iki küme olmak üzere, ile B kümelerindeki bütün elemanlardan meydana gelen kümeye birleşim B kümesi denir ve B ile gösterilir. B ) { 1, } B) { 1,, } C) { 1,,, 4 } D) { 1,,, 4, 6, 8 } E) { 1,,, 4, 6 } Bu durumda, B = { x x veya x B } B = { 1,, } ve B = {, 4, 6, 8 } olduğundan, B ={ 1,,, 4, 6, 8 } dir. Cevap D TEST = { a, b, c, d } ve B = { c, d, e } olduğuna göre, B kümesinin Venn Şeması ile gösterimi aşağıdakilerden. = { x : x 5, x bir rakam } B = { x : 1 x < 6, x Z } olduğuna göre, B kümesi kaç elemanlıdır? ) B a b c d e B) B a b c d e C) B a b c d e ) 5 B) 6 C) 8 D) 9 E) 11 D) B a b c d e E) B a b c d e 4. = { a, b, c } ve B C = { c, d, e, f } olduğuna göre, ( B C ) kümesinin eleman sayısı kaçtır? ) 6 B) 5 C) 4 D) E). = { 1,, 5 } ve B = { 7, 9 } olduğuna göre, B kümesi aşağıdakilerden ) { x : x < 9, x N } B) { x : x < 9, x Z } C) { x : x tek rakam } D) { x : x asal sayı } E) { x : x 9, x N + } 5. = { x : x = k, k N + }, B = { x : x = k, k N + } ve C = { 0 } olduğuna göre, ( B C ) kümesi aşağıdakilerden ) N B) Z C) Z + D) Z E) 1. B. C. E D 0

21 Kümelerin Kesişimi = { x : 1 x < 7, x Z } ve B = { x : x tek doğal sayı } olduğuna göre, B kümesi aşağıdakilerden ) { 1,, 5 } B) {, 5 } C) {, 5, 7 } D) { 1,, 5, 7 } E) { 1,, 5, 7, 9 } ve B herhangi iki küme olmak üzere, ile B kümelerindeki ortak elemanlardan meydana gelen kümeye kesişim B kümesi denir ve B ile gösterilir. B B = { x x ve x B } Bu durumda, = { x : 1 x < 7, x Z } = { 1,,, 4, 5, 6 } B = { 1,, 5, 7, 9,...} B = { 1,, 5 } bulunur. Cevap TEST B Yandaki şemaya göre, B a b c kümesinin eleman g d e f sayısı kaçtır? ) B) C) 4 D) 5 E) 6. = { x : x bir rakam } ve B = { x : x bir çift sayı } olduğuna göre, B kümesi aşağıdakilerden ) B) { } C) {, 4 } D) {, 4, 6 } E) { 0,, 4, 6, 8 } 4. = (, 1 ) ve. = { a, b, { b }, c, d } ve B = {{ b }, c, a, { b, d }} olduğuna göre, B kümesi kaç elemanlıdır? ) 5 B) 4 C) D) E) 1 B = (, ] olduğuna göre, B kümesi aşağıdakilerden ) [, 1 ) B) (, 1 ) C) (, 1 ] D) [, ] E) 1.. C. E 4. B 1

22 Kümelerde Birleşim ve Kesişim İşleminin Özellikleri - I = { a, b, c, d }, B = { b, c, d, e } ve C = { d, e, f, g, h } kümeleri veriliyor. Buna göre, a) ile kümelerini kümesi ile b) B ile B ve B ile B kümelerini c) ( B C ) ile ( B ) C ve ( B C ) ile ( B ) C kümelerini d) ile ve ile kümelerini karşılaştırınız. c) ( B C ) = { a, b, c, d } b_ { b, i c, d, e } { d, e, f, g, _ h } il ( B C ) = { a, b, c, d } { d, e } ( B C ) = { d } olur. ( B ) C = b_ { a, i b, c, d } {b, c, d, _ e } i l { d, e, f, g, h } ( B ) C = { b, c, d } { d, e, f, g, h } ( B ) C = { d } olur. Dolayısıyla ( B C ) = ( B ) C dir Birleflme Özelli i ( B C ) = { a, b, c, d } b_ { b, i c, d, e } { d, e, f, g, _ h } il ( B C ) = { a, b, c, d } { b, c, d, e, f, g, h } a) = { a, b, c, d } { a, b, c, d } = { a, b, c, d } = dır. = { a, b, c, d } { a, b, c, d } = { a, b, c, d } = dır. ( B C ) = { a, b, c, d, e, f, g, h } olur. ( B ) C = b_ { a, i b, c, d } {b, c, d, _ e } i l { d, e, f, g, h } ( B ) C = { a, b, c, d, e } { d, e, f, g, h } ( B ) C = { a, b, c, d, e, f, g, h } olur. Dolayısıyla ( B C ) = ( B ) C dir Birleflme Özelli i b) B = { a, b, c, d } { b, c, d, e } B = { b, c, d } B = { b, c, d, e } { a, b, c, d } B = { b, c, d } olur. Dolayısıyla B = B dır. ( Değişme özelliği ) B = { a, b, c, d } { b, c, d, e } d) = { a, b, c, d } { } = { } = dir. = { a, b, c, d } { } = { a, b, c, d } = dır. B = { a, b, c, d, e } olur. B = { b, c, d, e } { a, b, c, d } B = { a, b, c, d, e } olur. Dolayısıyla B = B dır. ( Değişme özelliği )

23 Kümelerde Birleşim ve Kesişim İşleminin Özellikleri - II ve B boş kümeden farklı iki küme olmak üzere aşağıdaki ifadelerden hangisi yanlıştır? ) = B) ( ) ( B ) = C) B = B D) = E) = Not 1 : =, = B = B ( B C ) = ( B ) C Not : =, = B = B ( B C ) = ( B ) C ve B iki küme olmak üzere, B = ise ile B kümelerine ayrık kümeler denir. Kısaca, ortak elemanı olmayan kümelere ayrık kümeler denir. E şıkkında = olarak verilmiştir. = olduğundan E şıkkı yanlıştır. Cevap E TEST şağıdaki ifadelerden hangisi yanlıştır? ) = B) = C) = { } D) B = B E) ( B C ) = ( B ) C. şağıdaki ifadelerden hangisi yanlıştır? ) = B) = C) B = B D) ( ) ( ) = E) ( B C ) = ( B ) C. = { x x bir rakam } ve B { x x < 0, x Z } olmak üzere, B kümesi aşağıdakilerden ) { 1,, } B) { 1,,, 4 } C) { 0, 1,, } D) { 0, 1,,, 4 } E) { 4,,, 1, 0, 1,,, 4 } 4. = { x : x <, x Z } ve B = ( 1, 5] olduğuna göre, B kümesi aşağıdakilerden ) [ 1, ] B) [ 1, ) C) { 1 } D) { 1, 0, 1 } E) 1. C. D. B 4. E

24 Kümelerde Birleşme ve Kesişme İşlemlerinin Birbirleri Üzerine Dağılma Özelliği B = { a, b, c, d, e } C = { a, e, ı, i } olduğuna göre, ( B C ) kümesi aşağıdakilerden ) B) { a } C) { a, e, ı } D) { a, b, c, d, e, ı, i } E) { a, e } işleminin işlemi üzerine dağılma özelliği : ( B C ) = ( B ) ( C ) ( B ) C = ( C ) ( B C ) işleminin işlemi üzerine dağılma özelliği : ( B C ) = ( B ) ( C ) ( B ) C = ( C ) ( B C ) Bu durumda, ( B C ) = ( B ) ( C ) = { a, b, c, d, e } { a, e, ı, i } = { a, e } bulunur. Cevap E TEST B = { 1,, 5 } C = { 0,, 4, 5 } olduğuna göre, ( B C ) kümesi aşağıdakilerden ) B) { 0, 1,,, 4, 5 } C) {, 0, 4 } D) { 5 }. C = { x : < x 4, x Z } B C = { x : x <, x N } olduğuna göre, ( B ) C kümesi aşağıdakilerden ) B) { 0 } C) { 1 } D) { 0, 1, } E) N E) {1,, 5 }. B Yandaki şemaya göre, 4. ( B ) ( C ) kümesi aşağıdakilerden hangisine eşittir? ) C B) ( B C ) C) ( B ) C D) ( B C ) E) B ( C ) a e b d f c ( B ) C kümesi aşağıdakilerden 5. B = (, 5 ) C = [ 4, ) g olduğuna göre, ( B C ) kümesi aşağıdaki- C lerden ) { e, d } B) { d } C) { e, d, f } D) { b, e, d } E) { a, b, d, e, f } ) (, 5 ) B) ( 4, ] C) [, 5 ) D) (, ) E) (, ] 1. B. C. 4. B 5. D 4

25 İki Kümenin Birleşiminin Eleman Sayısını Bulma I ve B, E evrensel kümesinin iki alt kümesidir. s ( ) = s ( B ) ve B herhangi iki küme olmak üzere, s ( B ) = s ( ) + s ( B ) s ( B ) dir. s ( B ) = 10 B s ( B ) = olduğuna göre, s ( ) kaçtır? ) B) C) 4 D) 5 E) 6 x x s ( B ) = 10 s ( ) = s ( B ) = x olsun. s ( B ) = s ( ) + s ( B ) s ( B ) 10 = x + x x = 6 bulunur. Cevap E TEST ve B, E evrensel kümesinin iki alt kümesidir. s ( ) = 5 s ( B ) = 7 s ( B ) = 10 olduğuna göre, s ( B ) kaçtır? ) 5 B) 4 C) D) E) 1 4. ve B, E evrensel kümesinin iki alt kümesidir. s ( ) = 4. s ( B ) s ( B ) = 10 ve B kümesinin alt küme sayısı 16 olduğuna göre, s ( B ) kaçtır? ) 1 B) C) D) 4 E) 5. ve B, E evrensel kümesinin iki alt kümesidir. s ( ) = s ( B ) = olduğuna göre, s ( B ) kaçtır? ) 1 B) C) 5 D) 9 E) ve B, E evrensel kümesinin iki alt kümesidir. s ( ) =. s ( B ) = 6. s ( B ) s ( B ) = 16 olduğuna göre, s ( B ) kaçtır? ) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9. ve B, E evrensel kümesinin iki alt kümesidir. B ve s ( B ) = 9 olduğuna göre, s ( B ) kaçtır? ) B) 4 C) 6 D) 9 E) 1 6. ve B, E evrensel kümesinin iki alt kümesidir.. s ( ) = 4. s ( B ), s ( B ) = 5 ve s ( B ) < 5 olduğuna göre, kümesinin eleman sayısı en çok kaçtır? ) 1 B) 14 C) 16 D) 18 E) 0 1. D. C. D 4. B 5. B 6. C 5

26 İki Kümenin Birleşiminin Eleman Sayısını Bulma II ve B ayrık olmayan iki kümedir. s ( B ) = 6 ve s ( ) = 7 ve B ayrık olmayan iki küme ise B dir. s ( B ) nın değerinin çok olması için s ( B ) en az olmalıdır. Yani s ( B ) = 1 olmalıdır. olduğuna göre, s ( B ) en çok kaçtır? B ) 14 B) 1 C) 1 D) 11 E) s ( B ) = = 1 bulunur. Cevap C TEST ve B iki kümedir. s ( ) = 9 s ( B ) = 4 olduğuna göre, s ( B ) en çok kaçtır? ) 10 B) 11 C) 1 D) 1 E) ve B iki kümedir. s ( B ) = 1 s ( ) = 6 olduğuna göre, s ( B ) en az kaçtır? ) 16 B) 15 C) 1 D) 11 E) 10. ve B iki küme ve B dır. s ( ) = 6 s ( B ) = 5 olduğuna göre, s ( B ) en çok kaçtır? ) 9 B) 10 C) 11 D) 1 E) 1 5. kümesinin alt küme sayısı 16, B kümesinin alt küme sayısı 4 tür. Buna göre, B kümesinin eleman sayısı en az kaçtır? ) B) 4 C) 5 D) 6 E) 7. ve B iki kümedir. s ( B ) = 8 olduğuna göre, s ( B ) en çok kaçtır? ) 4 B) 5 C) 8 D) 9 E) ve B iki küme ve B dir. s ( ) = 11 s ( B ) = 5 olduğuna göre, s ( B ) en az kaçtır? ) 1 B) 11 C) 10 D) 9 E) 8 1. D. B. C 4. C 5. B 6. 6

27 Üç Kümenin Birleşiminin Eleman Sayısını Bulma s ( B C ) =, s ( ) = s ( C ) = 1, s (B ) = 7, s ( C ) = ve s ( B ) = s ( B C ) = 6 olduğuna göre, s ( B C ) kaçtır?, B ve C herhangi üç küme olmak üzere, s ( B C ) = s ( ) + s ( B ) + s ( C ) s ( B ) s ( C ) s ( B C ) + s ( B C ) dir. Bu durumda, = s ( B C ) s ( B C ) = 7 bulunur. ) B) 4 C) 5 D) 6 E) 7 Cevap E TEST s ( ) = 7, s ( B ) = 6, s ( C ) = 14, s ( C ) = 5, s ( B C ) = 4, s ( B ) = ve s ( B C ) = 1 olduğuna göre, s ( B C ) kaçtır? ) 1 B) 14 C) 16 D) 18 E) 0. s ( B C ) = 1, s ( ) = 9, s ( B ) = 5, s ( C ) = 6, s ( B ) = s ( C ) = 4 ve s ( B C ) = olduğuna göre, ( B C ) kümesinin eleman sayısı kaçtır? ) 5 B) 4 C) D) E) 1. C ve B ayrık kümelerdir. s ( ) = 10, s ( C ) = 4, s ( B ) = 1 ve s ( C ) = olduğuna göre, s ( (B C )) kaçtır? ) 1 B) 1 C) 14 D) 15 E) B ve C ayrık kümelerdir. B, s ( B ) = 5 ve s ( C ) = 4 olduğuna göre, ( B C ) kümesinin eleman sayısı kaçtır? ) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 9 1. C. B. 4. E 7

28 Kümelerin Birleşiminin Eleman Sayısını Bulma Karma I İngilizce ve lmanca dillerinden en az birini bilenlerin oluşturduğu 0 kişilik bir turist kafilesinde her iki dili de bilenlerin sayısı İngilizce bilenlerin sayısının 5 ine, lmanca bilenlerin sayısının ise 1 sına eşittir. 6 Buna göre, bu kafiledeki İngilizce bilenlerin sayısı kaçtır? ) 10 B) 1 C) 14 D) 16 E) 18 İngilizce bilenlerin kümesi İ, lmanca bilenlerin kümesi ve her iki dili de bilenlerin sayısı x olsun. İ x x 10x s ( İ ) = x ise s ( İ ) = 5x ve s ( ) = 1x olur. s ( İ ) = 0 dur. s ( İ ) = s ( İ ) + s ( ) s ( İ ) 0 = 5x + 1x x 0 = 15x x = olur. s ( İ ) = 5x s ( İ ) = 10 olur. Cevap TEST - 1. Matematik ve Türkçe derslerinin en az birinden geçenlerin bulunduğu 0 kişilik bir sınıfta kişi Matematik dersinden, 18 kişi Türkçe dersinden geçmiştir. Buna göre, bu sınıfta Matematik ve Türkçe derslerinin ikisinden de geçen kaç kişi vardır? ) 8 B) 9 C) 10 D) 11 E) 1. lmanca ve Fransızca dillerinden en az birini bilenlerin bulunduğu bir sınıfta her iki dili de bilen 6 kişi vardır. Fransızca bilenlerin sayısı lmanca bilenlerin sayısının katından 1 eksik ve sınıf mevcudu 6 kişi olduğuna göre, bu sınıfta Fransızca bilen kaç kişi vardır? ) 16 B) 18 C) 0 D) E) 4. Futbol ve voleybol oyunlarından en az birini oynayanların bulunduğu 4 kişilik bir grupta futbol oynayan 15, hem futbol hem voleybol oynayan 7 kişi vardır. Buna göre, bu grupta voleybol oynayan kaç kişi vardır? ) 10 B) 1 C) 14 D) 16 E) Basketbol ve voleybol oyunlarından en az birini oynayanların bulunduğu 48 kişilik bir sınıfta her iki oyunu da oynayanların sayısı basketbol oynayanların 5 1 ine, voleybol oynayanların ise 8 1 sine eşittir. Buna göre, bu sınıfta voleybol oynayan kaç kişi vardır? ) B) 8 C) 4 D) 0 E) D. D. E 4. 8

29 Kümelerin Birleşiminin Eleman Sayısını Bulma Karma II Bir sınıftaki öğrenciler matematik, geometri ve fizik derslerinin en az birinden geçmişlerdir. Matematikten geçenlerin sayısı 14, geometriden geçenlerin sayısı 15 ve fizikten geçenlerin sayısı 17 dir. Matematik ve geometri derslerinden geçenlerin sayısı 5, matematik ve fizik derslerinden geçenlerin sayısı 6, geometri ve fizik derslerinden geçenlerin sayısı 5 ve bu üç dersten de geçenlerin sayısı dir. Buna göre, bu sınıfta kaç kişi vardır? ) B) 40 C) 48 D) 54 E) 60 I. Yol Matematik, geometri ve fizik dersinden geçenlerin kümeleri sırasıyla M, G ve F olsun. Bu durumda s ( M ) = 14, s ( G ) = 15, s ( F ) = 17 s ( M G ) = 5, s ( M F ) = 6, s ( G F ) = 5 ve s ( M G F ) = dir. Buna göre, s ( M G F ) = s ( M ) + s ( G ) + s ( F ) s ( M G ) s ( M F ) s ( G F ) + s ( M G F ) s ( M G F ) = = olur. II. Yol Derslerden geçenlerin kümelerini Venn şeması ile gösterirsek; M 5 7 G Sınıftaki öğrencilerin sayısı = = olur. 8 F Cevap TEST - 1. Bir lokantada fasulye, pilav ve salatadan en az birini yiyen bir gruptan 18 kişi fasulye, kişi pilav ve 14 kişi de salata yemiştir. Bu gruptaki 10 kişi hem fasulye hem pilav, 6 kişi hem fasulye hem salata, 8 kişi hem pilav hem salata ve kişi de bu üç yemeği de yemiştir. Buna göre, bu grupta kaç kişi vardır? ) 1 B) 4 C) 7 D) 0 E). Daha önce lmanya, Fransa ve İtalya ülkelerinden birine gitmiş kişilerin bulunduğu 40 kişilik bir topluluktan 0 kişi lmanya'ya, 18 kişi Fransa'ya, 8 kişi lmanya ve Fransa'ya, 7 kişi lmanya ve İtalya'ya, 6 kişi Fransa ve İtalya'ya gitmiştir. Bu gruptaki, kişi bu üç ülkeye de gittiğine göre, İtalya'ya giden kaç kişi vardır? ) 0 B) 1 C) D) E) 4 1. E. 9

30 Kümelerin Birleşiminin Eleman Sayısını Bulma Karma III = { x x < 75, x = k, k Z + } ve B = { x x < 100, x = 4k, k Z + } kümeleri veriliyor. Buna göre, B kümesinin eleman sayısı kaçtır? ) 7 B) 4 C) 4 D) 45 E) 48 kümesi 75 ten küçük ve ün katı olan pozitif tam sayılardan oluşuyor. 7 - = {, 6, 9,, 7 }, s _ i = + 1 = 4 olur. B kümesi 100 den küçük ve 4 ün katı olan pozitif tam sayılardan oluşuyor B = { 4, 8, 1,, 96 }, s _ B i = + 1 = 4 olur. 4 B kümesinin elemanları OKEK (, 4 ) = 1 nin katlarından oluşur. B = { 1, 4, 6,, 7 } s ( B ) = = 6 olur. 1 s ( B ) = s ( ) + s ( B ) s ( B ) = Not : Terim Sayısı = S o n Terim - l k Terim + 1 rt fl Miktar = 4 olur. Cevap B TEST = { x : 1 < x 150, x Z } kümesinin elemanlarından kaç tanesi ve 4 ile tam bölünür? ) 9 B) 10 C) 11 D) 1 E) 1. = { x : 15 < x 40, x Z } kümesinin elemanlarından kaç tanesi 4 veya 6 ile tam bölünür? ) 64 B) 68 C) 7 D) 75 E) 76. = { x 0 < x < 10, x = k, x Z } B = { x 1 < x < 14, x = 5k, x Z } kümeleri veriliyor. Buna göre, B kümesinin eleman sayısı kaçtır? ) 4 B) 46 C) 5 D) 5 E) = { x : 0 < x < 45, x Z } kümesinin elemanlarından kaç tanesi ile bölünür fakat 4 ile bölünmez? ) 54 B) 56 C) 58 D) 60 E) 6 1. D. C. E 4. B 0

31 Kümelerin Birleşiminin Eleman Sayısını Bulma Karma IV ( B C ) = { a, b, c, d, e } ve B = { a, b, c, d, x, y, z } ve B = { a, b, x, y } B = { c, d } kümeleri veriliyor. Buna göre, C kümesinin eleman sayısı en az kaçtır? olduğuna göre, kaç farklı kümesi yazılabilir? ) B) 4 C) 8 D) 16 E) ) 1 B) C) D) 4 E) 5 B = { a, b, x, y } ( B C ) = ( B ) ( C ) { a, b, c, d, e } = { c, d } ( C ) olduğundan C kümesinde a, b ve e elemanları bulunmak zorundadır. Bundan dolayı s ( C ) en az olur. Cevap C { a, b, c, d, x, y, z } = { a, b, x, y } dir. kümesinde c, d ve z elemanları kesinlikle bulunmak zorundadır. Bu elemanların yanına B kümesinin elemanlarıyla oluşturulabilecek herhangi bir alt kümenin elemanlarını ekleyebiliriz. s ( B ) = 4 olduğundan 4 = 16 farklı alt küme vardır. Dolayısıyla 16 farklı kümesi yazılabilir. Cevap D TEST ( B C ) = { 1,,, a, b, c } ve B = { 1,,, a } kümeleri veriliyor. Buna göre, C kümesinin eleman sayısı en az kaçtır? ) 1 B) C) D) 4 E) 5. = { a, b, c, d} ve B = { a, b, c, d, e, f, g } kümeleri veriliyor. Buna göre, B kümesinin alt kümelerinden kaç tanesi kümesini kapsar? ) B) 4 C) 8 D) 16 E) 4. B, B,. B = { x, y, z, a, b, c } ve = { a, b, c } olduğuna göre, kaç farklı B kümesi yazılabilir? ) 4 B) 8 C) 16 D) E) 64 s ( ) = 8 ve s ( B ) = 1 olduğuna göre, B kümesinin eleman sayısı en az kaçtır? ) 5 B) 8 C) 11 D) 14 E) 0 1. B. B. C 4. D 1

32 Evrensel Küme ve Bir Kümenin Tümleyeni - I kümesi, E evrensel kümesinin bir alt kümesidir. E = { x : x bir harf } = { x : x bir sessiz harf } olduğuna göre, kümesinin tümleyeni aşağıdakilerden ) { a, e } B) { a, e, ı, i } C) { a, e, ı, i, o, ö, u, ü } D) { o, ö, u } E) { o, i, ü, a } E Üzerinde işlem yapılan bütün B kümeleri kapsayan, boş kümeden farklı kümeye evrensel küme denir. E, B E, ( B ) E E evrensel bir küme ve E olsun. E Evrensel kümede olan fakat kümesinde olmayan bütün elemanların oluşturduğu kümeye kümesinin = { x x ve x E } tümleyeni denir ve ' ya da ile gösterilir. Bu durumda, E = { x : x bir harf } = { a, b, c,..., z } = { x : x bir sessiz harf } = { b, c, ç, d,..., z } dir. Buna göre, ' kümesinde yalnızca sesli harfler bulunur. ' = { a, e, ı, i, o, ö, u, ü } olur. Cevap C TEST E. E B a b x y z B Yukarıdaki şekilde verilenlere göre, aşağıdakilerden hangisi yanlıştır? ) E = { a, b, x, y, z, 1, } B) = { a, b, x, y, z } C) ' = { 1, } D) B' = { x, y, z } E) B = { a, b } 8 9 Yukarıdaki şekilde verilenlere göre, ' B kümesi aşağıdakilerden ) { 4, 5, 6, 7 } B) { 4 } C) { 5, 6, 7, 8, 9 } D) { 8, 9 } E) { 5, 6, 7 } 1. D. E

33 Evrensel Küme ve Bir Kümenin Tümleyeni - II E evrensel küme olmak üzere, ı : _, ' i + D + : _ + ' i, D ifadesinin eşiti aşağıdakilerden ) B) ' C) D) E E) Hiçbiri ı : _, _ >, i _ < i >, ' i + D + : _ + ' i, D = 7 E + + 7Q, ; E Q = ' = olur. ı a) E = E b) E = c) ' = E d) ' = e) E' = f) ' = E g) (')' = h) B B' ' Cevap C TEST kümesi, E evrensel kümesinin bir alt kümesi olmak üzere, ı < b_, Ei, _ + Eil + EF ifadesinin eşiti aşağıdakilerden ) B) ' C) D) E E) Hiçbiri. ve B, E evrensel kümesinin farklı iki alt kümesi ve B dir. Buna göre, b _ ' + B' i + _ ', B' il + b_ + B' i + _ ' + Bil ifadesinin eşiti aşağıdakilerden ) B' B) ' B C) B D) E) E. kümesi, E evrensel kümesinin bir alt kümesi olmak üzere, ' ' ı ı :_, i + _Q + id ifadesi aşağıdakilerden hangisine eşit değildir? ) B) C) E D) ' E) ' E 4. şağıdaki ifadelerden hangisi yanlıştır? ) Evrensel kümenin tümleyeni ile bir kümenin kesişimi boş kümedir. B) Bir küme ile tümleyeninin birleşimi evrensel kümedir. C) Boş kümenin tümleyeni ile bir kümenin kesişimi o kümenin kendisine eşittir. D) Bir kümenin tümleyeni ile kesişimi evrensel kümedir. E) Boş kümenin tümleyeninin tümleyeni boş kümedir. 1.. E. D 4. D

34 De Morgan Kuralları ve B, E evrensel kümesinin iki alt kümesidir. Buna göre, ( B ) ( B )' kümesi aşağıdakilerden hangisine eşittir? ) B) C) B D) B E) E ve B herhangi iki küme olmak üzere, J N ( B )' = ' B' K O K De Morgan O K O ( B )' = ' B' Kuralları K O L P ( B ) ( B )' = ( B ) ( ' B' ) = ( ' ) ( B B' ) = E E = E bulunur. Cevap E TEST ve B, E evrensel kümesinin iki alt kümesi olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi yanlıştır? ) ( B )' = ' B' B) ' = C) ( B )' = ' B' D) ( ' B )' = B' E) ( B' )' = ' B 4. ve B, E evrensel kümesinin iki alt kümesidir. Buna göre, B [( B' )' ]' kümesi aşağıdakilerden hangisine eşittir? ) B) C) B D) B' E) E. ve B, E evrensel kümesinin iki alt kümesidir. Buna göre, ( B )' B kümesi aşağıdakilerden hangisine eşittir? ) B) C) ' D) E E) Hiçbiri 5. ve B, E evrensel kümesinin iki alt kümesidir. Buna göre, B' ı ı :_, i + _ ', Bi D kümesi aşağıdakilerden hangisine eşittir? ) B) C) B D) ' E) E ı. ve B, E evrensel kümesinin iki alt kümesidir. Buna göre, ( ' B )' B kümesi aşağıdakilerden hangisine eşittir? ) B) C) B D) B' E) E 6. ve B, E evrensel kümesinin iki alt kümesidir. Buna göre, ( ' B' )' ( ' B )' kümesi aşağıdakilerden hangisine eşittir? ) B) C) B D) B E) E 1. E.. E 4. C 5. E 6. 4

35 Evrensel Kümenin ve Bir Kümenin Tümleyeninin Eleman Sayısını Bulma ve B, E evrensel kümesinin farklı iki alt kümesidir. s ( ) + s ( B ) = 1 s ( ' ) + s ( B' ) = 11 olduğuna göre, s ( E ) kaçtır? ) 9 B) 10 C) 11 D) 1 E) 1, E evrensel kümesinin bir alt kümesi ise, s ( ) + s ( ' ) = s ( E ) dir. Bu durumda, s ( ) + s ( B ) = 1 s ( ' ) + s ( B' ) = 11 s ( ) + s ( ' ) + s ( B ) + s ( B' ) = 4 s ( E ) + s ( E ) = 4 s ( E ) = 1 bulunur. Cevap D TEST , E evrensel kümesinin bir alt kümesidir. s ( E ) = 1, s ( ) = 9 olduğuna göre, s ( ' ) kaçtır? ) B) 4 C) 5 D) 6 E) 7 4., B ve C, E evrensel kümesinin farklı alt kümeleridir. s ( ) + s ( B ) + s ( C' )= 10, s ( ' ) + s ( B' ) = 14 ve s ( E ) = 9 olduğuna göre, s ( C ) kaçtır? ) 7 B) 6 C) 5 D) 4 E). E evrensel küme ve E dir. kümesinin alt küme sayısı 16, ' kümesinin alt küme sayısı 8 olduğuna göre, s ( E ) kaçtır? ) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8 5. ve B, E evrensel kümesinin alt kümeleridir. s ( B ) = 9, s ( B ) = 1 s ( B ) = 4, s ( E ) = 11 olduğuna göre, kümesinin tümleyeninin eleman sayısı kaçtır? ) B) C) 4 D) 5 E) 6. ve B, E evrensel kümesinin iki alt kümesidir. s ( ' ) + s ( B ) = 19, s ( ) + s ( B' ) = 7 olduğuna göre, s ( E ) kaçtır? ) 9 B) 10 C) 11 D) 1 E) 1 6. ve B, E evrensel kümesinin ayrık alt kümeleridir.. s ( ) = 4. s ( B ) s ( B' ) = s ( ' ) + 5 olduğuna göre, s ( B ) kaçtır? ) 10 B) 1 C) 1 D) 15 E) B. D. E 4. E 5. D 6. D 5

36 Evrensel Küme ltında İki Kümenin Birleşiminin Eleman Sayısını Bulma ve B, E evrensel kümesinin iki alt kümesidir. x = B = x s ( E ) =. s ( B ) =. s ( ) s ( E ) =. s ( B ) =. s ( ) s ( ' B' ) = 8 x x 6x x x s ( B ) = 8 olduğuna göre, s ( ) kaçtır? E = 6x ) 15 B) 1 C) 1 D) 10 E) 8 ( B)' = ' B' 6x = 8 + ( x ) + + ( x ) 6x = 5x + 5 x = 5 s ( ) = 15 bulunur. Cevap TEST ve B, E evrensel kümesinin alt kümeleridir. s ( E ) = 16, s ( ' B' ) = 10 olduğuna göre, s ( B ) kaçtır? ) B) C) 4 D) 5 E) 6 4. ve B, E evrensel kümesinin ayrık iki alt kümesidir. s ( ) = 4, s ( B ) = 1, s ( ' B' ) = 6 olduğuna göre, s ( E ) kaçtır? ) 14 B) 1 C) 1 D) 11 E) 10. ve B, E evrensel kümesinin alt kümeleridir. s ( E ) = 1, s ( ) = 6, s ( B ) =, s ( B ) = 1 olduğuna göre, s ( ' B' ) kaçtır? ) 7 B) 6 C) 5 D) 4 E) 5. ve B, E evrensel kümesinin iki alt kümesidir. s ( B ) =. s ( ), s ( B ) = s (( B )'), s ( E ) = 15 olduğuna göre, s ( ) kaçtır? ) 4 B) 5 C) 6 D) 8 E) 10. ve B, E evrensel kümesinin alt kümeleridir. s ( E ) = 1, s ( ) = 7 s ( B ) = 4, s (( B )') = olduğuna göre, s ( B ) kaçtır? ) 8 B) 7 C) 6 D) 5 E) 4 6. E evrensel küme olmak üzere, E, B E ve B dır. s ( E ) = 15, s ( ) = 7, s ( B ) = 5 olduğuna göre, s (( B )') en az kaçtır? ) B) 4 C) 5 D) 6 E) 7 1. E. D. 4. D 5. B 6. B 6

37 İki Kümenin Farkı - I E B a f c e b d g Yandaki şekilde E evrensel kümesine ait ve B alt kümeleri verilmiştir. ve B iki küme olmak üzere, da olup B de olmayan elemanların oluşturduğu kümeye fark B kümesi denir ve \ B ya da B şeklinde gösterilir. B = { x : x ve x B } dir. Buna göre, B, B, E, E B, ' B ve ( B ) ( B ) kümelerini bulunuz. B = { a, b } B = { e } E = { e, f, g } E B = { a, b, f, g } ' B = { f, g } ( B ) ( B ) = { a, b, e } dir. TEST = { a, b, c, d, e } ve B = { a, e, f } olduğuna göre, \ B kümesi aşağıdakilerden ) B) { b, c, d } C) { b, c } D) { b, c, d, e } E) { a, b, c }. = { x 4 < x <, x Z } ve B = { x : x N + } olduğuna göre, \ B kümesinin eleman sayısı kaçtır? ) B) C) 4 D) 5 E) B E Yandaki Venn Şemasına göre, aşağıdakilerden hangisi yanlıştır? ) \ B = { } B) B \ = { 5, 6 } C) ( B )' = { 1,, 7, 8 } D) ( \ B ) = { } E) B' ( \ B ) = { 1,,, 7, 8 } 4. = { 1,, {, 4 }, 5, { 6 }} ve B = { 1, } olduğuna göre, B kümesinin elemanlı alt kümelerinin sayısı kaçtır? ) 1 B) C) 6 D) 8 E) B. D. C 4. 7

38 İki Kümenin Farkı - II = { a, b, c, d, e } B = { a, b, c, x } olduğuna göre, ( B ) ( B ) kümesi aşağıdakilerden ) { d, e } B) { x } C) { a, b, c } D) { d, e, x } E) { a, b, x } ( B ) ( B ) kümesine simetrik fark kümesi denir. B ile gösterilir. B B B B = ( B ) ( B ) E, evrensel kümesinin iki alt kümesi ve B olmak üzere, a) B ise B B dır. b) = c) = d) = e) E = f) E = ' g) B ise B = dir. h) B = ise B = ve B = B dir. d e a b c x B B = { d, e } B = { x } ( B ) ( B ) = { d, e, x } olur. i) s ( B ) = s ( ) + s ( B ) s ( B ) = s ( B ) + s ( B ) dir. Cevap D TEST - 1. = { 1,,, 4, 5, 6, 7, 8 } ve B = {,, 5, 7, 9 } olmak üzere, ( B ) ( B ) kümesi aşağıdakilerden ) { 1,,, 7 } B) {,, 5, 7 } C) { 1, 4, 6, 8, 9 } D) { 1, 4, 6 } E) { 9 }. şağıdaki ifadelerden hangisi yanlıştır? ) = B) = C) = D) E = E) E = ' 1. C. D 8

39 İki Kümenin Farkı - III ve B, E evrensel kümesinin iki alt kümesi olmak üzere, ( B )' ( B ) kümesi aşağıdakilerden hangisine eşittir? ) B) C) B D) B' E) E ve B herhangi iki küme olmak üzere, B = B' dir. Bu durumda, ( B )' ( B ) = ( ' B' ) ( B' ) = ( ' ) B' = B' = bulunur. Not : Bu tip soruları Venn şeması kullanarak kolayca çözebilirsiniz. Cevap TEST - 1. [( B' )]' kümesi aşağıdakilerden hangisine eşittir? ) B) C) B D) B' E) ' B' 4. ( B )' ( B ) kümesi aşağıdakilerden hangisine eşittir? ) B) C) B D) B' E) E. ' ( B ) kümesi aşağıdakilerden hangisine eşittir? ) B) C) B D) B E) ' B 5. B \ = olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur? ) = B) B C) B D) B E) ve B ayrık kümelerdir.. B olmak üzere, ( B )' ( B )' kümesi aşağıdakilerden hangisine eşittir? ) E B) C) B D) ' E) B' 6. ve B, E evrensel kümesinin farklı iki alt kümesidir. Buna göre, ( ' ) [( E B ) ( B E )] kümesi aşağıdakilerden hangisine eşittir? ) E B) C) ' D) B E) B' 1. E. E. 4. D 5. D 6. E 9

40 Kümelerin Farkının Eleman Sayısını Bulma s ( ) = 1, s ( B ) = 7 ve s ( B' ) = 9 olduğuna göre, s ( B ) kaçtır? B s() = 1 s(b) = 7 B B B ) 1 B) C) D) 4 E) 5 s( B) = s() s( B) ( B' = B) = 1 9 = 4 s ( B ) = s ( B ) s ( B ) = 7 4 = bulunur. Cevap C TEST s ( \ B ) = 4, s ( B \ ) = 1, s ( B ) = olduğuna göre, s ( B ) kaçtır? ) 7 B) 8 C) 9 D) 10 E) ve B, E evrensel kümesinin iki alt kümesidir. s ( B \ ) =. s ( \ B ), s ( E ) = 4, s ( B ) = ve s ( ' ) = 15 olduğuna göre, s ( B ) kaçtır? ) 6 B) 8 C) 10 D) 1 E) 15. s ( ) = 1, s ( B ) = 6 olduğuna göre, B kümesinin eleman sayısı kaçtır? ) 6 B) 10 C) 14 D) 18 E) 0 5. s ( B ) = 4. s ( ) s ( B ) = olduğuna göre, s ( B ) en az kaçtır? ) B) 5 C) 6 D) 8 E) 11. B, B, B kümelerinin alt kümelerinin sayısı sırasıyla 18, 64 ve 16 olduğuna göre, s ( B ) kaçtır? ) 18 B) 17 C) 16 D) 15 E) ve B, E evrensel kümesinin farklı iki alt kümesidir. s ( ) = 9, s ( E ) = 15 olduğuna göre, :_ ' - B' i, _ ' - BiD kümesinin eleman sayısı kaçtır? ) 1 B) C) 6 D) 9 E) B. D. B 4. E 5. C 6. C 40

41 Bir Kümenin Venn Şeması İle Temsili Gösterimi B C Yandaki Venn şemasında verilen bölge aşağıdakilerden hangisi ile ifade edilebilir? ) C' B) ( B ) \ C) \ ( B C ) D) \ ( B C ) E) ( B C )' a d b e B c f C Kümelerin belirttiği bölgeleri harflendirirsek, = { a, b, e, d } B = { b, c, e, f } ve C = { d, e, f, g } g kümeleri temsili olarak oluşur. Bu durumda, \ ( B C ) = { a, b, e, d } \ { e, f } = { a, b, d } kümesi taralı bölgeyi temsil eder. Cevap C TEST ( C ) B kümesinin Venn Şeması ile gösterimi aşağıdakilerden ) B B) B C) B. B Yandaki şemada verilen taralı bölge aşağıdakilerden hangisi ile ifade edilebilir? C C C C ) ( B ) C B) ( B ) C D) B E) C C B C) C' B D) ( B ) C' E) ( B ) C 4. B. B Yandaki şemada verilen taralı bölge aşağıda- E C kilerden hangi- ve B kümeleri, E evrensel kümesinin iki alt si ile ifade edi- kümesidir. Buna göre, yukarıdaki taralı bölge lebilir? aşağıdakilerden hangisi ile ifade edilemez? ) C ( B ) B) ( C ) B C) B ( C ) D) ( ' B' ) C E) C ( B ) ) ( B ) ( B ' ) B) ( B )' C) ( B ) ( B ) D) ( B' ) (B \ ) E) ( B ) \ ( B ) 1. D. E. 4. B 41

KÜMELER ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 2. ÜNİTE 1. ÜNİT

KÜMELER ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 2. ÜNİTE 1. ÜNİT KÜMELER ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 2. ÜNİTE 1. ÜNİT Kümelerde Temel Kavramlar 1. Kazanım : Küme kavramını açıklar; liste, Venn şeması ve ortak özellik yöntemleri ile gösterir. 2. Kazanım : Evrensel küme,

Detaylı

KÜMELER ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİT

KÜMELER ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİT KÜMELER ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİT Kümelerde Temel Kavramlar 1. Kazanım : Küme kavramını açıklar; liste, Venn şeması ve ortak özellik yöntemleri ile gösterir. 2. Kazanım : Evrensel küme,

Detaylı

YENİ ORTAÖĞRETİM MATEMATİK PROGRAMINA UYGUNDUR. YGS MATEMATİK 3. KİTAP MERVE ÇELENK FİKRET ÇELENK

YENİ ORTAÖĞRETİM MATEMATİK PROGRAMINA UYGUNDUR. YGS MATEMATİK 3. KİTAP MERVE ÇELENK FİKRET ÇELENK YENİ ORTAÖĞRETİM MATEMATİK PROGRAMINA UYGUNDUR. YGS MATEMATİK 3. KİTAP MERVE ÇELENK FİKRET ÇELENK İÇİNDEKİLER Kümeler 5 44 Fonksiyonlar 1 45 88 Fonksiyonlar 2 89 124 Sayma Kuralları 125 140 Faktöriyel

Detaylı

Starboard dosya aç dosyayı seçerek Andropi teach menu içe aktar dosyayı seçiyoruz nesne olarak seç

Starboard dosya aç dosyayı seçerek Andropi teach menu içe aktar dosyayı seçiyoruz nesne olarak seç Not: Starboard programında dosya aç kısmından dosyayı seçerek açabilirsiniz. Yazı karakterlerinde bozulma oluyorsa program kapatılıp tekrar açıldığında yazı düzelecektir. Ben yaptığımda düzelmişti. Andropi

Detaylı

TEST - 1 ÖDEV TESTİ elemanlı alt kümelerinin sayısı 3 elemanlı alt kümelerinin. 1. A = {1, {2}, {1, 2}, 3, Ø} kümesi için aşağıdakilerden

TEST - 1 ÖDEV TESTİ elemanlı alt kümelerinin sayısı 3 elemanlı alt kümelerinin. 1. A = {1, {2}, {1, 2}, 3, Ø} kümesi için aşağıdakilerden 10 Kümeler ÖDEV TESTİ TEST - 1 6. 5 elemanlı alt kümelerinin sayısı 3 elemanlı alt kümelerinin sayısına eşit olan bir kümenin en az 6 elemanlı kaç alt kümesi vardır? ) 24 ) 28 C) 37 D) 38 E) 42 1. = {1,

Detaylı

TEOG. Kümeler KÜME VE ELEMAN KAVRAMI ÖRNEK KÜMELERİN GÖSTERİMİ ÖRNEK ÖRNEK KÜMENİN ELEMAN SAYISI ÖRNEK 3. ORTAK ÖZELLİK YÖNTEMİ 1.

TEOG. Kümeler KÜME VE ELEMAN KAVRAMI ÖRNEK KÜMELERİN GÖSTERİMİ ÖRNEK ÖRNEK KÜMENİN ELEMAN SAYISI ÖRNEK 3. ORTAK ÖZELLİK YÖNTEMİ 1. TEOG ümeler ÜE VE EEN VRI Elemanları belirlenebilen, belirli bir anlam taşıyan canlı ya da cansız varlıkların veya kavramların oluşturduğu topluluğa küme denir. ümeyi oluşturan varlıkların, kavramların

Detaylı

Örnek...1 : Örnek...2 : A = { a, {a}, b, c, {b, d}, d }, B = { {a}, {c, d}, c, d, x, Δ } k ümeleri için s( AUB) kaçtır?

Örnek...1 : Örnek...2 : A = { a, {a}, b, c, {b, d}, d }, B = { {a}, {c, d}, c, d, x, Δ } k ümeleri için s( AUB) kaçtır? KÜMELER 2 İKİ KÜMENİN BİRLEŞİMİ A ve B gibi iki kümeden, A' ya veya B' ye ait olan elemanlardan oluşan yeni kümeye A ile B' nin birleşimi denir ve AUB ile gösterilir. Bu gösterim A birleşim B di ye okunur.

Detaylı

Cebir Notları. Kümeler. Gökhan DEMĐR, KÜME KAVRAMI

Cebir Notları. Kümeler. Gökhan DEMĐR, KÜME KAVRAMI , 2006 MC Cebir Notları Gökhan DEMĐR, gdemir23@yahoo.com.tr Kümeler KÜME KVRMI Kümenin tanım yoktur. undan dolayı kümeyi tanıtmaya çalışalım. Küme kavramında bir topluluk, bir kolleksiyon ifadesi vardır.

Detaylı

1 A IV. a. Kümelerin Gösterimleri-Boş Küme-Denk ve Eşit Kümeler A II. A. a VI. A. b C ) c. 1. A kümesini venn şeması ile gösteriniz.

1 A IV. a. Kümelerin Gösterimleri-Boş Küme-Denk ve Eşit Kümeler A II. A. a VI. A. b C ) c. 1. A kümesini venn şeması ile gösteriniz. Kümelerin Gösterimleri-Boş Küme-Denk ve Eşit Kümeler 1. kümesini venn şeması ile gösteriniz. 6. M kümesine denk olan N kümesini ortak özellik yöntemi ile gösteriniz. 2. B kümesini liste yöntemi ile gösteriniz.

Detaylı

İçindekiler. 3. Sonlu ve Sonsuz Kümeler Denk ve Eşit Kümeler Kümelerde Birleşim ve Kesişim

İçindekiler. 3. Sonlu ve Sonsuz Kümeler Denk ve Eşit Kümeler Kümelerde Birleşim ve Kesişim İçindekiler 1. Küme Kavramı...6-7 2. Kümelerin Gösterimi...8-15 3. Sonlu ve Sonsuz Kümeler... 16-17 4. lt Küme Kavramı... 18-27 5. Denk ve şit Kümeler... 28-29 6. Kümelerde irleşim ve Kesişim... 31-41

Detaylı

1. BÖLÜM: KÜMELERDE TEMEL KAVRAMLAR, KÜMELERDE İŞLEMLER BÖLÜM: KARTEZYEN ÇARPIM, KÜME PROBLEMLERİ BÖLÜM: GERÇEK SAYILAR...

1. BÖLÜM: KÜMELERDE TEMEL KAVRAMLAR, KÜMELERDE İŞLEMLER BÖLÜM: KARTEZYEN ÇARPIM, KÜME PROBLEMLERİ BÖLÜM: GERÇEK SAYILAR... İçindekiler 1. BÖLÜM: KÜMELERDE TEMEL KVRMLR, KÜMELERDE İŞLEMLER... 10. KÜMELERDE TEMEL KVRMLR... 10 B. SONLU, SONSUZ VE BOŞ KÜME... 12 C. KÜMELERİN EŞİTLİĞİ... 14 D. LT KÜME, ÖZ LT KÜME... 14 E. KÜMELERDE

Detaylı

MateMito AKILLI MATEMATİK DEFTERİ

MateMito AKILLI MATEMATİK DEFTERİ Ar tık Matematiği Çok Seveceksiniz! MateMito AKILLI MATEMATİK DEFTERİ Artık matematikten korkmuyorum. Artık matematiği çok seviyorum. Artık az yazarak çok soru çözüyorum. Artık matematikten sıkılmıyorum.

Detaylı

YAZILI ÇALIŞMA TEKNİKLERİ. w w w. g e o m e t r i g o r m e t e k n i k l e r i. c o m. { } : boþ küme demek deðildir. ÇÖZÜMÜ:

YAZILI ÇALIŞMA TEKNİKLERİ. w w w. g e o m e t r i g o r m e t e k n i k l e r i. c o m. { } : boþ küme demek deðildir. ÇÖZÜMÜ: KONU BİLGİSİ 1.KÜME TNIMI VE GÖSTERÝM ÞEKÝLLERÝ Belli özellikleri saðlayan nesneler topluluðuna küme denir. Kümede tüm elemanlar net olmalýdýr. Kümeler büyük harflerle gösterilir. Bir kümede bir eleman

Detaylı

Cebir Notları. Kümeler TEST I. Gökhan DEMĐR, gdemir23@yahoo.com.tr. www.matematikclub.com, 2006

Cebir Notları. Kümeler TEST I. Gökhan DEMĐR, gdemir23@yahoo.com.tr. www.matematikclub.com, 2006 , 2006 MC Cebir Notları Gökhan DEMĐR, gdemir23@yahoo.com.tr Kümeler TEST I 1. s(a) = 13 s(a \ B) = 7 s(a B) = 23 ise, s(b) nedir? A) 6 B) 7 C) 10 D) 13 E) 16 7. Üç basamaklı 5 ve 7 ile tam bölünebilen,

Detaylı

MATM 133 MATEMATİK LOJİK. Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev

MATM 133 MATEMATİK LOJİK. Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev MATM 133 MATEMATİK LOJİK Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev 3.KONU Kümeler Teorisi; Küme işlemleri, İkili işlemler 1. Altküme 2. Evrensel Küme 3. Kümelerin Birleşimi 4. Kümelerin Kesişimi 5. Bir Kümenin Tümleyeni

Detaylı

KÜMELER. Kümeler YILLAR 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 MATEMATĐK ĐM /LYS. UYARI: {φ} ifadesi boş kümeyi göstermez.

KÜMELER. Kümeler YILLAR 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 MATEMATĐK ĐM /LYS. UYARI: {φ} ifadesi boş kümeyi göstermez. MTEMTĐK ĐM YILLR 00 00 004 005 006 007 008 009 010 011 ÖSS-YGS - 1 - - - - - 1 1 1/1 /LYS KÜMELER TNIM: in tam bir tanımı yoksa da matematikçiler kümeyi; iyi tanımlanmış nesneler topluluğu olarak kabul

Detaylı

Küme Temel Kavramları

Küme Temel Kavramları Kümeler Kümeler Küme, matematiksel anlamda tanımsız bir kavramdır. Bu kavram "nesneler topluluğu veya yığını" olarak yorumlanabilir. Bu tanımdaki "nesne" soyut ya da somut bir şeydir; fakat her ne olursa

Detaylı

TEMEL SAYMA KURALLARI

TEMEL SAYMA KURALLARI TEMEL SAYMA KURALLARI SAYMA Toplama Yoluyla Sayma A ve B sonlu ve ayrık kümeler olmak üzere, bu iki kümenin birleşiminin eleman sayısı; s(a,b) = s(a) + s(b) dir. Sonlu ve ayrık iki kümenin birleşiminin

Detaylı

Her türlü görüş, öneri ve eleştirilerinize açık olduğumu bilmenizi ister çalışmalarınızda ve sınavlarınızda başarılar dilerim.

Her türlü görüş, öneri ve eleştirilerinize açık olduğumu bilmenizi ister çalışmalarınızda ve sınavlarınızda başarılar dilerim. Önsöz Değerli Öğrenciler, u fasikül ortaöğretimde başarınızı yükseltmeye, üniversite giriş sınavlarında yüksek puan almanıza yardımcı olmak için özenle hazırlanmıştır. Konular anlamlı bir bütün oluşturacak

Detaylı

KÜMELER Test -1. 5. A a,b,c, 1,2, 5. 1. A a,b,c,d 2. A,1,2,3, 1. 7. s(a) = 10 ve s(b) = 7. 4. B x:0 x 40 ve x 5k, k. 8. s(a) = 9 ve s(b) = 4

KÜMELER Test -1. 5. A a,b,c, 1,2, 5. 1. A a,b,c,d 2. A,1,2,3, 1. 7. s(a) = 10 ve s(b) = 7. 4. B x:0 x 40 ve x 5k, k. 8. s(a) = 9 ve s(b) = 4 KÜMELER Test -1 1. A a,b,c,d kümesi için aşağıdakilerden hangisi yanlıştır? A) A B) a A C) d A D) {a, c} A E) {a} A 5. A a,b,c, 1,2, 5 kümesi için aşağıdakilerden hangisi doğrudur? A) s(a) = 6 B) b A C)

Detaylı

Rakam : Sayıları yazmaya yarayan sembollere rakam denir.

Rakam : Sayıları yazmaya yarayan sembollere rakam denir. A. SAYILAR Rakam : Sayıları yazmaya yarayan sembollere rakam denir. Sayı : Rakamların çokluk belirten ifadesine sayı denir.abc sayısı a, b, c rakamlarından oluşmuştur.! Her rakam bir sayıdır. Fakat bazı

Detaylı

9. Sınıf Matemat k Ders İşleme Defter. Altın Kalem Yayınları

9. Sınıf Matemat k Ders İşleme Defter. Altın Kalem Yayınları 9. Sınıf Matemat k Ders İşleme Defter KÜMELER - 1 Altın Kalem Yayınları Küme: B rb r nden farklı nesneler n oluşturduğu topluluklar küme şekl nde adlandırılır. Kümey oluşturan nesneler n y bel rlenm ş

Detaylı

KÜMELER. A = {x : (x in özelliği)} Burada x : ifadesi öyle x lerden oluşur ki diye okunur. Küme oluşturur. Çünkü Kilis in üç tane ilçesi.

KÜMELER. A = {x : (x in özelliği)} Burada x : ifadesi öyle x lerden oluşur ki diye okunur. Küme oluşturur. Çünkü Kilis in üç tane ilçesi. KÜMELER Canlı yada cansız varlıkların oluşturduğu iyi A = {a, b, {a, b, c}} ise, s(a) = 3 tür. tanımlanmış nesneler topluluğuna küme denir. 2. Ortak Özellik Yöntemi Kümenin elemanlarını, daha somut ya

Detaylı

TEOG. Sayma Sayıları ve Doğal Sayılar ÇÖZÜM ÖRNEK ÇÖZÜM ÖRNEK SAYI BASAMAKLARI VE SAYILARIN ÇÖZÜMLENMESİ 1. DOĞAL SAYILAR.

TEOG. Sayma Sayıları ve Doğal Sayılar ÇÖZÜM ÖRNEK ÇÖZÜM ÖRNEK SAYI BASAMAKLARI VE SAYILARIN ÇÖZÜMLENMESİ 1. DOĞAL SAYILAR. TEOG Sayma Sayıları ve Doğal Sayılar 1. DOĞAL SAYILAR 0 dan başlayıp artı sonsuza kadar giden sayılara doğal sayılar denir ve N ile gösterilir. N={0, 1, 2, 3,...,n, n+1,...} a ve b doğal sayılar olmak

Detaylı

KÜMELER. Küme nesneler topluluğudur. Bu bölümde kümelerle kurulan matematiksel yapıyı tanıtacağız.

KÜMELER. Küme nesneler topluluğudur. Bu bölümde kümelerle kurulan matematiksel yapıyı tanıtacağız. KÜMELER Küme nesneler topluluğudur. u bölümde kümelerle kurulan matematiksel yapıyı tanıtacağız. Küme kavramı matematiğe girmeden önce matematik denilince akla sayılar ve şekiller gelirdi. Kümeler kuramının

Detaylı

İlter TÜRKMEN, Tolga TANIŞ, Simay AYDIN,

İlter TÜRKMEN, Tolga TANIŞ, Simay AYDIN, YAYIN KURULU Hazırlayanlar İlter TÜRKMEN, Tolga TANIŞ, Simay AYDIN, YAYINA HAZIRLAYANLAR KURULU Kurumsal Yayınlar Yönetmeni Saime YILDIRIM Kurumsal Yayınlar Birimi Dizgi & Grafik Mustafa Burak SANK & Ezgi

Detaylı

TEMEL KAVRAMLAR. SAYI KÜMELERİ 1. Doğal Sayılar

TEMEL KAVRAMLAR. SAYI KÜMELERİ 1. Doğal Sayılar TEMEL KAVRAMLAR Rakam: Sayıları ifade etmeye yarayan sembollere rakam denir. Bu semboller {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} kümesinin elemanlarıdır., b ve c birer rakamdır. 15 b = c olduğuna göre, + b + c

Detaylı

Temel Kavramlar 1 Doğal sayılar: N = {0, 1, 2, 3,.,n, n+1,..} kümesinin her bir elamanına doğal sayı denir ve N ile gösterilir.

Temel Kavramlar 1 Doğal sayılar: N = {0, 1, 2, 3,.,n, n+1,..} kümesinin her bir elamanına doğal sayı denir ve N ile gösterilir. Temel Kavramlar 1 Doğal sayılar: N = {0, 1, 2, 3,.,n, n+1,..} kümesinin her bir elamanına doğal sayı denir ve N ile gösterilir. a) Pozitif doğal sayılar: Sıfır olmayan doğal sayılar kümesine Pozitif Doğal

Detaylı

sayıların kümesi N 1 = { 2i-1: i N } ve tüm çift doğal sayıların kümesi N 2 = { 2i: i N } şeklinde gösterilebilecektir. Hiç elemanı olmayan kümeye

sayıların kümesi N 1 = { 2i-1: i N } ve tüm çift doğal sayıların kümesi N 2 = { 2i: i N } şeklinde gösterilebilecektir. Hiç elemanı olmayan kümeye KÜME AİLELERİ GİRİŞ Bu bölümde, bir çoğu daha önceden bilinen incelememiz için gerekli olan bilgileri vereceğiz. İlerde konular işlenirken karşımıza çıkacak kavram ve bilgileri bize yetecek kadarı ile

Detaylı

Buna göre, eşitliği yazılabilir. sayılara rasyonel sayılar denir ve Q ile gösterilir. , -, 2 2 = 1. sayıdır. 2, 3, 5 birer irrasyonel sayıdır.

Buna göre, eşitliği yazılabilir. sayılara rasyonel sayılar denir ve Q ile gösterilir. , -, 2 2 = 1. sayıdır. 2, 3, 5 birer irrasyonel sayıdır. TEMEL KAVRAMLAR RAKAM Bir çokluk belirtmek için kullanılan sembollere rakam denir. 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 sembolleri birer rakamdır. 2. TAMSAYILAR KÜMESİ Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,... }

Detaylı

TAMSAYILAR. 9www.unkapani.com.tr. Z = {.., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, } kümesinin her bir elemanına. a, b, c birer tamsayı olmak üzere, Burada,

TAMSAYILAR. 9www.unkapani.com.tr. Z = {.., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, } kümesinin her bir elemanına. a, b, c birer tamsayı olmak üzere, Burada, TAMSAYILAR Z = {.., -, -, -, 0,,,, } kümesinin her bir elemanına tamsayı denir. Burada, + Z = {,,,...} kümesine, pozitif tamsayılar kümesi denir. Z = {...,,,,} kümesine, negatif tamsayılar kümesi denir.

Detaylı

KÜMELER 05/12/2011 0

KÜMELER 05/12/2011 0 KÜMELER 05/12/2011 0 KÜME NEDİR?... 2 KÜMELERİN ÖZELLİKLERİ... 2 KÜMELERİN GÖSTERİLİŞİ... 2 EŞİT KÜME, DENK KÜME... 3 EŞİT OLMAYAN (FARKLI) KÜMELER... 3 BOŞ KÜME... 3 ALT KÜME - ÖZALT KÜME... 4 KÜMELERDE

Detaylı

AYRIK YAPILAR ARŞ. GÖR. SONGÜL KARAKUŞ- FIRAT ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ YAZILIM MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ, ELAZIĞ

AYRIK YAPILAR ARŞ. GÖR. SONGÜL KARAKUŞ- FIRAT ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ YAZILIM MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ, ELAZIĞ AYRIK YAPILAR P r o f. D r. Ö m e r A k ı n v e Y r d. D o ç. D r. M u r a t Ö z b a y o ğ l u n u n Ç e v i r i E d i t ö r l ü ğ ü n ü ü s t l e n d i ğ i «A y r ı k M a t e m a t i k v e U y g u l a

Detaylı

1) Aşağıdaki varlıklar içerisinde küme oluşturabilecek bir topluluğu yuvarlak içerisine alarak kümenin tarifini yapınız.

1) Aşağıdaki varlıklar içerisinde küme oluşturabilecek bir topluluğu yuvarlak içerisine alarak kümenin tarifini yapınız. 1ÖLÜM KÜMELER KÜMELER TEST 1 1) şağıdaki varlıklar içerisinde küme oluşturabilecek bir topluluğu yuvarlak içerisine alarak kümenin tarifini yapınız..güzelyurt.yeni İskele.Lefkoşa.Gazi Magosa.Girne 2)

Detaylı

MATEMATİK. Doç Dr Murat ODUNCUOĞLU

MATEMATİK. Doç Dr Murat ODUNCUOĞLU MATEMATİK Doç Dr Murat ODUNCUOĞLU Mesleki Matematik 1 TEMEL KAVRAMLAR RAKAM Sayıları yazmak için kullandığımız işaretlere rakam denir. Sayıları ifade etmeye yarayan sembollere rakam denir. Rakamlar 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9

Detaylı

PERMÜTASYON, KOMBİNASYON. Örnek: Örnek: Örnek:

PERMÜTASYON, KOMBİNASYON. Örnek: Örnek: Örnek: SAYMANIN TEMEL KURALLARI Toplama Kuralı : Sonlu ve ayrık kümelerin eleman sayılarının toplamı, bu kümelerin birleşimlerinin eleman sayısına eşittir. Mesela, sonlu ve ayrık iki küme A ve B olsun. s(a)=

Detaylı

Örnek...3 : Aşağıdaki ifadelerden hangileri bir dizinin genel terim i olabilir?

Örnek...3 : Aşağıdaki ifadelerden hangileri bir dizinin genel terim i olabilir? DİZİLER Tanım kümesi pozitif tam sayılar kümesi olan her fonksiyona dizi denir. Örneğin f : Z + R, f (n )=n 2 ifadesi bir dizi belirtir. Diziler, değer kümelerine göre adlandırı - lırlar. Dizinin değer

Detaylı

MATEMAT K 1 ÜN TE II KÜMELER

MATEMAT K 1 ÜN TE II KÜMELER ÜN TE II KÜMELER 1. TANIM 2. KÜMELER N GÖSTER M a) Liste yöntemi ile gösterimi b) Venn flemas ile gösterimi c) Ortak özelik yöntemi ile gösterimi 3. KÜMELER N KARfiILAfiTIRILMASI a) Kümenin elaman say

Detaylı

1. Bir kümenin eleman say s 3 artt r ld nda, alt küme say s 56 artmaktad r.

1. Bir kümenin eleman say s 3 artt r ld nda, alt küme say s 56 artmaktad r. 1. ir kümenin eleman say s artt r ld nda, alt küme say s 56 artmaktad r. una göre, ilk durumdaki kümenin eleman say - s kaçt r? ) 2 ) ) D) 5 E) 6 6. ve kümelere E evrensel kümesinin alt kümeleri olmak

Detaylı

ALES EŞİT AĞIRLIK VE SAYISAL ADAYLAR İÇİN ALES SORU BANKASI. Kenan Osmanoğlu - Kerem Köker - Savaş Doğan. Eğitimde

ALES EŞİT AĞIRLIK VE SAYISAL ADAYLAR İÇİN ALES SORU BANKASI. Kenan Osmanoğlu - Kerem Köker - Savaş Doğan. Eğitimde ALES 2017 EŞİT AĞIRLIK VE SAYISAL ADAYLAR İÇİN ALES SORU BANKASI Kenan Osmanoğlu - Kerem Köker - Savaş Doğan Eğitimde 30. yıl Kenan Osmanoğlu - Kerem Köker - Savaş Doğan ALES Eşit Ağırlık ve Sayısal Soru

Detaylı

ales dört bin soru tarzına en yakın EŞİT AĞIRLIK ve SAYISAL ADAYLARA ALES SORU BANKASI Kenan Osmanoğlu - Kerem Köker - Savaş Doğan

ales dört bin soru tarzına en yakın EŞİT AĞIRLIK ve SAYISAL ADAYLARA ALES SORU BANKASI Kenan Osmanoğlu - Kerem Köker - Savaş Doğan ales 2015 tarzına en yakın dört bin soru EŞİT AĞIRLIK ve SAYISAL ADAYLARA ALES SORU BANKASI Kenan Osmanoğlu - Kerem Köker - Savaş Doğan Kenan Osmanoğlu - Kerem Köker - Savaş Doğan ALES Eşit Ağırlık ve

Detaylı

TEMEL KAVRAMLAR Test -1

TEMEL KAVRAMLAR Test -1 TEMEL KAVRAMLAR Test -1 1. 6 ( ) 4 A) B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 5. 4 [1 ( 3). ( 8)] A) 4 B) C) 0 D) E) 4. 48: 8 5 A) 1 B) 6 C) 8 D) 1 E) 16 6. 4 7 36:9 18 : 3 A) 1 B) 8 C) D) 4 E) 8 3. (4: 3 + 1):4 A) 3 B) 5

Detaylı

YGS - LYS SAYILAR KONU ÖZETLİ ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI

YGS - LYS SAYILAR KONU ÖZETLİ ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI YGS - LYS SAYILAR KONU ÖZETLİ LÜ SORU BANKASI ANKARA ÖN SÖZ Sevgili Öğrenciler, ÖSYM nin son yıllarda yaptığı sınavlardaki matematik sorularının eski sınav sorularından çok farklı olduğu herkes tarafından

Detaylı

MODÜLER ARİTMETİK A)1 B)3 C)8 D)11 E)13. TANIM Z tam sayılar kümesinde tanımlı

MODÜLER ARİTMETİK A)1 B)3 C)8 D)11 E)13. TANIM Z tam sayılar kümesinde tanımlı MODÜLER ARİTMETİK A)1 B)3 C)8 D)11 E)13 TANIM Z tam sayılar kümesinde tanımlı ={(x,y): x ile y nin farkı n ile tam bölünür} = {(x,y): n x-y, n N + } bağıntısı bir denklik bağıntısıdır. (x,y) ise x y (mod

Detaylı

TEMEL KAVRAMLAR A: SAYI Sayıları ifade etmeye yarayan sembollere rakam denir. Ör: 0,1,2,3,4,5,6 Rakamların çokluk belirtecek şekilde bir araya getirilmesiyle oluşturulan ifadeler ifadesine sayı denir.

Detaylı

1. ÜNİTE 2. ÜNİTE 3. ÜNİTE. Bölüm 1 : Üslü Sayılar... 8. Bölüm 2 : Doğal Sayılar... 18. Bölüm 3 : Doğal Sayı Problemleri... 30

1. ÜNİTE 2. ÜNİTE 3. ÜNİTE. Bölüm 1 : Üslü Sayılar... 8. Bölüm 2 : Doğal Sayılar... 18. Bölüm 3 : Doğal Sayı Problemleri... 30 İçindekiler 1. ÜNİTE Bölüm 1 : Üslü Sayılar... 8 Bölüm 2 : Doğal Sayılar... 18 Bölüm 3 : Doğal Sayı Problemleri... 30 Bölüm 4 :- Çarpanlar ve Katlar, Bölünebilme... 40 Bölüm 5 : Asal Sayılar, Ortak Bölenler,

Detaylı

ASAL SAYILAR - TAM BÖLENLER - FAKTÖRİYEL Test -1

ASAL SAYILAR - TAM BÖLENLER - FAKTÖRİYEL Test -1 ASAL SAYILAR - TAM BÖLENLER - FAKTÖRİYEL Test -1 1. ve y aralarında asal iki doğal sayıdır. 7 y 11 olduğuna göre, y farkı 5. 364 sayısının en büyük asal böleni A) 3 B) 7 C) 11 D) 13 E) 17 A) B) 3 C) 4

Detaylı

KÜMELER KÜMELER Kümeler Konu Özeti Konu Testleri (1 6) Kartezyen Çarpım Konu Özeti Konu Testleri (1 6)...

KÜMELER KÜMELER Kümeler Konu Özeti Konu Testleri (1 6) Kartezyen Çarpım Konu Özeti Konu Testleri (1 6)... Sayfa No....................................................................9 - Kümeler Konu Özeti.......................................................... 9 Konu estleri ( 6)...........................................................

Detaylı

TEMEL SAYMA. Bill Gates

TEMEL SAYMA. Bill Gates Bölüm 1 TEMEL SAYMA YÖNTEMLERİ Firmamızın sahip olduğu tek şey insan düş gücüdür. Bill Gates Bu bölümde fazla kuramsal bilgi gerektirmeyen sayma problemleri üzerinde duracağız. Bu tür problemlerde sayma;

Detaylı

MATEMATİK SORU BANKASI. ezberbozan serisi GEOMETRİ 30. KPSS tamamı çözümlü. eğitimde

MATEMATİK SORU BANKASI. ezberbozan serisi GEOMETRİ 30. KPSS tamamı çözümlü. eğitimde ezberbozan serisi MATEMATİK GEOMETRİ KPSS 2017 SORU BANKASI eğitimde tamamı çözümlü 30. Kerem Köker Kenan Osmanoğlu Levent Şahin Uğur Özçelik Ahmet Tümer Yılmaz Ceylan KOMİSYON KPSS EZBERBOZAN MATEMATİK

Detaylı

Sunum ve Sistematik 1. BÖLÜM: ÖNERMELER

Sunum ve Sistematik 1. BÖLÜM: ÖNERMELER Sunum ve Sistematik. ÜNİTE: MANTIK KONU ÖZETİ Bu başlık altında, ünitenin en can alıcı bilgileri, kazanım sırasına göre en alt başlıklara ayrılarak hap bilgi niteliğinde konu özeti olarak sunulmuştur..

Detaylı

KÜMELER A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 A) 30 B) 31 C) 32 D) 33 E) 34 A) 30 B) 25 C) 21 D) 19 E) 17 A) 24 B) 26 C) 28 D) 30 E) 32

KÜMELER A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 A) 30 B) 31 C) 32 D) 33 E) 34 A) 30 B) 25 C) 21 D) 19 E) 17 A) 24 B) 26 C) 28 D) 30 E) 32 TARAMA TESTİ 1 KÜMELER 1. A= x N : x 6 A B x N : x 8 B \ A aşağıdakikerden hangisidir? A)7,8 B)6,7,8 C)8 D)7 E) 2. A = x N : 2 x 7, B = x N : 2 x 5 olduğuna göre,a \ B nin eleman sayısı kaç? 3. A = x N

Detaylı

MATEMATİK ASAL ÇARPANLARA AYIRMA. ÖRNEK 120 sayısını asal çarpanlarına ayırınız. ÖRNEK 150 sayısının asal çarpanları toplamını bulunuz.

MATEMATİK ASAL ÇARPANLARA AYIRMA. ÖRNEK 120 sayısını asal çarpanlarına ayırınız. ÖRNEK 150 sayısının asal çarpanları toplamını bulunuz. MATEMATİK ASAL ÇARPANLARA AYIRMA A S A L Ç A R P A N L A R A A Y I R M A T a n ı m : Bir tam sayıyı, asal sayıların çarpımı olarak yazmaya, asal çarpanlarına ayırma denir. 0 sayısını asal çarpanlarına

Detaylı

MODÜLER ARİTMETİK. Örnek:

MODÜLER ARİTMETİK. Örnek: MODÜLER ARİTMETİK Bir doğal sayının ile bölünmesinden elde edilen kalanlar kümesi { 0,, } dir. ile bölünmesinden elde edilen kalanlar kümesi { 0,,, } tür. Tam sayılar kümesi üzerinde tanımlanan {( x, y)

Detaylı

Komisyon DGS TAMAMI ÇÖZÜMLÜ 10 DENEME SINAVI ISBN Kitapta yer alan bölümlerin tüm sorumluluğu yazarına aittir.

Komisyon DGS TAMAMI ÇÖZÜMLÜ 10 DENEME SINAVI ISBN Kitapta yer alan bölümlerin tüm sorumluluğu yazarına aittir. Komisyon DGS TAMAMI ÇÖZÜMLÜ 10 DENEME SINAVI ISBN 978-605-318-010-4 Kitapta yer alan bölümlerin tüm sorumluluğu yazarına aittir. 2015, Pegem Akademi Bu kitabın basım, yayın ve satış hakları Pegem Akademi

Detaylı

Örnek...2 : Hilesiz iki zar atma deneyinin bütün çıktılarını aşağıdaki tabloya yazınız.

Örnek...2 : Hilesiz iki zar atma deneyinin bütün çıktılarını aşağıdaki tabloya yazınız. OLASILIK (İHTİMALLER HESABI) Olasılık kavram ı ilk önceleri şans oyunları ile başlamıştır. Örneğin bir oyunda kazanıp kazanmama, bir paranın atılmasıyla tura gelip gelmemesi gibi. Bu gün bu kavramın birçok

Detaylı

TABAN ARĠTMETĠĞĠ. ÇÖZÜM (324) 5 = = = = 89 bulunur. Doğru Seçenek C dir.

TABAN ARĠTMETĠĞĠ. ÇÖZÜM (324) 5 = = = = 89 bulunur. Doğru Seçenek C dir. TABAN ARĠTMETĠĞĠ Kullandığımız 10 luk sayma sisteminde sayılar {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} kümesinin elemanları (Rakam) kullanılarak yazılır. En büyük elemanı 9 olan, 10 elemanlı bir kümedir. Onluk sistemde;

Detaylı

ÝÇÝNDEKÝLER. 1. ÜNÝTE Kümeler. 2. ÜNÝTE Bölünebilme Kurallarý ve Kesirler

ÝÇÝNDEKÝLER. 1. ÜNÝTE Kümeler. 2. ÜNÝTE Bölünebilme Kurallarý ve Kesirler ÝÇÝNDEKÝLER 1. ÜNÝTE Kümeler KÜMELER... 13 Ölçme ve Deðerlendirme... 19 Kazaným Deðerlendirme Testi - 1... 21 Kazaným Deðerlendirme Testi - 2 (Video lü)... 23 KÜMELERLE ÝÞLEMLER... 25 Ölçme ve Deðerlendirme...

Detaylı

p sayısının pozitif bölenlerinin sayısı 14 olacak şekilde kaç p asal sayısı bulunur?

p sayısının pozitif bölenlerinin sayısı 14 olacak şekilde kaç p asal sayısı bulunur? 07.10.2006 1. Kaç p asal sayısı için, x 3 x + 2 (x r) 2 (x s) (mod p) denkliğinin tüm x tam sayıları tarafından gerçeklenmesini sağlayan r, s tamsayıları bulunabilir? 2. Aşağıdaki ifadelerin hangisinin

Detaylı

( 2x+1, 3y 1. Örnek...4 : A = {1, 2, 3} ve B = {a, b} kümeleri için, AxB ve BxA kümelerini liste biçimde yazınız.

( 2x+1, 3y 1. Örnek...4 : A = {1, 2, 3} ve B = {a, b} kümeleri için, AxB ve BxA kümelerini liste biçimde yazınız. SIRALI İKİLİ a ve b'nin (a,b) biçiminde tek bir eleman olarak yazılmasına sıralı ikili ya da kısaca ikili denir. Burada a' ya ikilinin birinci bileşeni, b' ye ise ikinci bileşeni denir. Örneğin ; (4, 3)

Detaylı

KARTEZYEN ÇARPIM VE BAĞINTI

KARTEZYEN ÇARPIM VE BAĞINTI KRTEZYEN ÇRPIM VE BĞINTI 3. Bölüm TEST -2 1. β={(x,y):2x+y=8,x,y N} şeklinde tanımlı β bağıntısı kaç elemanlıdır? ) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8 6. R'de bağıntısı yansıyan ise a.b kaçtır? ) 18 B) 9 C) 2 D) 18

Detaylı

Elemanların yerlerinin değiştirilmesi kümeyi değiştirmez. A kümesinin eleman sayısı s(a) ya da n(a) ile gösterilir.

Elemanların yerlerinin değiştirilmesi kümeyi değiştirmez. A kümesinin eleman sayısı s(a) ya da n(a) ile gösterilir. KÜMELER Küme : Nesnelerin iyi tanımlanmış listesine küme denir ve genellikle A, B, C gibi büyük harflerle gösterilir. Kümeyi oluşturan öğelere, kümenin elemanı denir. a elemanı A kümesine ait ise,a A biçiminde

Detaylı

SORU BANKASI GEOMETRİ KPSS KPSS. Genel Yetenek Genel Kültür. Sayısal ve Mantıksal Akıl Yürütme. Eğitimde. Lise ve Ön Lisans Adayları İçin MATEMATİK

SORU BANKASI GEOMETRİ KPSS KPSS. Genel Yetenek Genel Kültür. Sayısal ve Mantıksal Akıl Yürütme. Eğitimde. Lise ve Ön Lisans Adayları İçin MATEMATİK KPSS Genel Yetenek Genel Kültür Lise ve Ön Lisans Adayları İçin MATEMATİK Sayısal ve Mantıksal Akıl Yürütme KPSS 2016 Pegem Akademi Sınav Komisyonu; 2014 KPSS ye Pegem Yayınları ile hazırlanan adayların,

Detaylı

Cebir Notları. Permutasyon-Kombinasyon- Binom TEST I. Gökhan DEMĐR, gdemir23@yahoo.com.tr. www.matematikclub.com, 2006

Cebir Notları. Permutasyon-Kombinasyon- Binom TEST I. Gökhan DEMĐR, gdemir23@yahoo.com.tr. www.matematikclub.com, 2006 MC www.matematikclub.com, 2006 Cebir Notları Gökhan DEMĐR, gdemir23@yahoo.com.tr Permutasyon-Kombinasyon- Binom TEST I 1. Ankra'dan Đstanbul'a giden 10 farklı otobüs, Đstanbul'- dan Edirne'ye giden 6 farklı

Detaylı

13.Konu Reel sayılar

13.Konu Reel sayılar 13.Konu Reel sayılar 1. Temel dizi 2. Temel dizilerde toplama ve çarpma 3. Reel sayılar kümesi 4. Reel sayılar kümesinde toplama ve çarpma 5. Reel sayılar kümesinde sıralama 6. Reel sayılar kümesinin tamlık

Detaylı

Problem 1. Problem 2. Problem 3. Problem 4. Problem 5. PURPLE COMET MATEMATİK BULUŞMASI Nisan c Copyright Titu Andreescu and Jonathan Kane

Problem 1. Problem 2. Problem 3. Problem 4. Problem 5. PURPLE COMET MATEMATİK BULUŞMASI Nisan c Copyright Titu Andreescu and Jonathan Kane PURPLE COMET MATEMATİK BULUŞMASI Nisan 2010 İLKÖĞRETİM - PROBLEMLERİ c Copyright Titu Andreescu and Jonathan Kane Çeviri Sibel Kılıçarslan CANSU ve Fatih Kürşat CANSU Problem 1 Eğer 125 + n + 135 + 2n

Detaylı

Dikkat: Bir eleman, her iki kümede de olsa bile sadece bir kez yazılır.

Dikkat: Bir eleman, her iki kümede de olsa bile sadece bir kez yazılır. KÜMELER Kümelerin birleşimi (A B ): Kümelerin bütün elemanlarından oluşur. Kümelerin kesişimi (A B): Kümelerin ortak elemanlarından oluşur. Kümelerin Farkı (A \ B ) veya (A - B ): Birinci kümede olup ikinci

Detaylı

AKADEMİK PERSONEL VE LİSANSÜSTÜ EĞİTİMİ GİRİŞ SINAVI (ALES)

AKADEMİK PERSONEL VE LİSANSÜSTÜ EĞİTİMİ GİRİŞ SINAVI (ALES) 00000000001 AKADEMİK PERSONEL VE LİSANSÜSTÜ EĞİTİMİ GİRİŞ SINAVI (ALES) plam cevaplama süresi 150 akikadır. (,5 saat) SAYISAL BÖLÜM SAYISAL - 1 TESTİ Sınavın bu bölümünden alacağınız standart puan, Sayısal

Detaylı

Bir küme nesnelere bakış açımızla değil onları gruplandırmamız ile ilgilidir.

Bir küme nesnelere bakış açımızla değil onları gruplandırmamız ile ilgilidir. Φ \ Є Ø ˆ KÜMELER Bir küme nesnelere bakış açımızla değil onları gruplandırmamız ile ilgilidir. Sınıf arkadaşlarınıza bakınız ve aşağıdaki gruplarda bulununanların isimlerini yazınız. a) Kızlar b) Erkekler

Detaylı

Çözümlü Yüksek Matematik Problemleri. Yrd. Doç. Dr. Erhan Pişkin

Çözümlü Yüksek Matematik Problemleri. Yrd. Doç. Dr. Erhan Pişkin Çözümlü Yüksek Matematik Problemleri Yrd. Doç. Dr. Erhan Pişkin 1 Yrd. Doç. Dr. Erhan PİŞKİN ÇÖZÜMLÜ YÜKSEK MATEMATİK PROBLEMLERİ 1 ISBN 978-605-318-249-8 Kitap içeriğinin tüm sorumluluğu yazarına aittir.

Detaylı

12-A. Sayılar - 1 TEST

12-A. Sayılar - 1 TEST -A TEST Sayılar -. Birbirinden farklı beş pozitif tam sayının toplamı 0 dur. Bu sayılardan sadece ikisi den büyüktür. Bu sayılardan üç tanesi çift sayıdır. Buna göre bu sayılardan en büyüğü en çok kaç

Detaylı

Komisyon ALES ÇIKMIŞ SINAV SORULARI 9 FASİKÜL ISBN Kitapta yer alan bölümlerin tüm sorumluluğu yazarlarına aittir.

Komisyon ALES ÇIKMIŞ SINAV SORULARI 9 FASİKÜL ISBN Kitapta yer alan bölümlerin tüm sorumluluğu yazarlarına aittir. Komisyon ALES ÇIKMIŞ SINAV SORULARI 9 FASİKÜL ISBN 978-605-64-508-5 Kitapta yer alan bölümlerin tüm sorumluluğu yazarlarına aittir. Pegem Akademi Bu kitabın basım, yayın ve satış hakları Pegem Akademi

Detaylı

AYRIK YAPILAR ARŞ. GÖR. SONGÜL KARAKUŞ- FIRAT ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ YAZILIM MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ, ELAZIĞ

AYRIK YAPILAR ARŞ. GÖR. SONGÜL KARAKUŞ- FIRAT ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ YAZILIM MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ, ELAZIĞ AYRIK YAPILAR P r o f. D r. Ö m e r A k ı n v e Y r d. D o ç. D r. M u r a t Ö z b a y o ğ l u n u n Ç e v i r i E d i t ö r l ü ğ ü n ü ü s t l e n d i ğ i «A y r ı k M a t e m a t i k v e U y g u l a

Detaylı

16. ULUSAL ANTALYA MATEMATİK SORULARI A A A A A A A

16. ULUSAL ANTALYA MATEMATİK SORULARI A A A A A A A AKDENİZ ÜNİVERSİTESİ 16. ULUSAL ANTALYA MATEMATİK OLİMPİYATLARI BİRİNCİ AŞAMA SORULARI A A A A A A A SINAV TARİHİ VESAATİ:16 NİSAN 2011 - Cumartesi 10.00-12.30 Bu sınav 25 sorudan oluşmaktadır vesınav

Detaylı

SAYILAR MATEMATİK KAF03 BASAMAK KAVRAMI TEMEL KAVRAM 01. İki basamaklı en küçük sayı : İki basamaklı en büyük negatif sayı :.

SAYILAR MATEMATİK KAF03 BASAMAK KAVRAMI TEMEL KAVRAM 01. İki basamaklı en küçük sayı : İki basamaklı en büyük negatif sayı :. SAYILAR BASAMAK KAVRAMI İki basamaklı en küçük sayı : İki basamaklı en büyük negatif sayı :. Üç basamaklı rakamları farklı en küçük sayı :. SORU 5 MATEMATİK KAF03 TEMEL KAVRAM 01 Üç basamaklı birbirinden

Detaylı

YGS MATEMATİK SORU BANKASI

YGS MATEMATİK SORU BANKASI YGS MATEMATİK SORU BANKASI Sebahattin ÖLMEZ www.limityayinlari.com Sınavlara Hazırlık Serisi YGS Matematik Soru Bankası ISBN: 978-60-48--9 Copyright Lmt Limit Yayınları Bu kitabın tüm hakları Lmt Limit

Detaylı

MATEMATİK 29. KPSS KPSS. Genel Yetenek Genel Kültür. yıl. Eğitimde. konu anlatımlı

MATEMATİK 29. KPSS KPSS. Genel Yetenek Genel Kültür. yıl. Eğitimde. konu anlatımlı KPSS Genel Yetenek Genel Kültür MATEMATİK KPSS 2016 Pegem Akademi Sınav Komisyonu; 2015 KPSS ye Pegem Yayınları ile hazırlanan adayların, 100'ün üzerinde soruyu kolaylıkla çözebildiğini açıkladı. konu

Detaylı

( KÜME LİSTE, ORTAK ÖZELLİK, ŞEMA YÖNTEMİ ELEMAN SAYISI BOŞ, SONLU, SONSUZ KÜME ALT KÜME VE ÖZELLİKLERİ ) ... BOŞ KÜME. w w w. m a t b a z.

( KÜME LİSTE, ORTAK ÖZELLİK, ŞEMA YÖNTEMİ ELEMAN SAYISI BOŞ, SONLU, SONSUZ KÜME ALT KÜME VE ÖZELLİKLERİ ) ... BOŞ KÜME. w w w. m a t b a z. KÜME KAVRAMI Küme matematiği taımsız bir kavramıdır. Acak kümeyi, iyi taımlamış kavram veya eseler topluluğu diye tarif edebiliriz. Kümeler A, B, X, K,... gibi büyük harflerle Bir kümeyi oluştura eseleri

Detaylı

1.DENEME HAZIRLIK MATEMATİK MATEMATİK TESTİ. 1-En yakın yüzlüğe yuvarlandığında 2200 olan en küçük sayı hangisidir? A-2150 B-2151 C-2190 D-2199

1.DENEME HAZIRLIK MATEMATİK MATEMATİK TESTİ. 1-En yakın yüzlüğe yuvarlandığında 2200 olan en küçük sayı hangisidir? A-2150 B-2151 C-2190 D-2199 1.DENEME HAZIRLIK MATEMATİK MATEMATİK TESTİ 1-En yakın yüzlüğe yuvarlandığında 2200 olan en küçük sayı hangisidir? A-2150 B-2151 C-2190 D-2199 2-Onlar basamağı 5, yüzler basamağı 2 ve binler basamağı 6

Detaylı

1. ÜNİTE: MANTIK. Bölüm 1.1. Önermeler ve Bileşik Önermeler

1. ÜNİTE: MANTIK. Bölüm 1.1. Önermeler ve Bileşik Önermeler . ÜNİTE: MANTIK . ÜNİTE: MANTIK... Önerme Tanım (Önerme) BÖLÜM.. - Doğru ya da yanlış kesin bir hüküm bildiren ifadelere önerme adı veriler. Örneğin Bir hafta 7 gündür. (Doğru) Eskişehir Türkiye'nin başkentidir.

Detaylı

9. Sınıf. Matematik. Soru Bankası. Yeliz ÇELEN

9. Sınıf. Matematik. Soru Bankası. Yeliz ÇELEN 9. Sınıf Matematik Soru ankası Yeliz ÇELEN opyright Evrensel İletişim Yayın ağıtım San. Tic. Ltd. Şti. u kitabın her hakkı EVRENSEL İLETİŞİM LT. ŞTİ. e aittir. Hangi amaçla olursa olsun, bu kitabın tamamının

Detaylı

0.1 Küme Cebri. Teorem 1 A ve B iki küme olmak üzere i) (A B) c = A c B c ii) (A B) c = A c B c

0.1 Küme Cebri. Teorem 1 A ve B iki küme olmak üzere i) (A B) c = A c B c ii) (A B) c = A c B c 0. Küme Cebri Bu bölümde verilen keyfikümeler üzerinde birleşim, kesişim, fark, tümleyen,...gibi özellikleri sağlayan eşitliklerle ilgilenceğiz. İlk olarak De Morgan kurallarıdiye bilinen bir Teoremi ifade

Detaylı

say s kaç basamakl d r? 2. Bir düzlemde verilen 8 noktadan 4 tanesi ayn do ru üzerindedir. Di er 4 noktadan. 3. n do al say olmak üzere;

say s kaç basamakl d r? 2. Bir düzlemde verilen 8 noktadan 4 tanesi ayn do ru üzerindedir. Di er 4 noktadan. 3. n do al say olmak üzere; . 7 8 say s kaç basamakl d r? ) 2 B) 0 ) 9 ) 8 E) 7 2. Bir düzlemde verilen 8 noktadan 4 tanesi ayn do ru üzerindedir. i er 4 noktadan hiçbiri bu do ru üzerinde bulunmamaktad r ve bu 4 noktadan herhangi

Detaylı

ÜNİVERSİTEYE GİRİŞ SINAV SORULARI

ÜNİVERSİTEYE GİRİŞ SINAV SORULARI ÜNİVERSİTEYE GİRİŞ SINAV SORULARI 1. 1999 ÖSS a, b, c pozitif gerçel (reel) sayılar olmak üzere a+ b ifadesindeki her sayı 3 ile çarpılırsa aşağıdakilerden hangisi elde c edilir? 3 a+ b A) B) c a+ 3b C)

Detaylı

Cebir Notları. Gökhan DEMĐR, ÖRNEK : A ve A x A nın bir alt kümesinden A ya her fonksiyona

Cebir Notları. Gökhan DEMĐR, ÖRNEK : A ve A x A nın bir alt kümesinden A ya her fonksiyona , 2006 MC Cebir Notları Gökhan DEMĐR, gdemir23@yahoo.com.tr Đşlem ĐŞLEM A ve A x A nın bir alt kümesinden A ya her fonksiyona ikili işlem denir. Örneğin toplama, çıkarma, çarpma birer işlemdir. Đşlemler

Detaylı

SORU 1: En az iki elemana sahip bir X kümesi ile bunun P (X) kuvvet. kümesi veriliyor. P (X) üzerinde 0 ; A = 1 ; A

SORU 1: En az iki elemana sahip bir X kümesi ile bunun P (X) kuvvet. kümesi veriliyor. P (X) üzerinde 0 ; A = 1 ; A 2.2 Ölçüler SORU 1: En az iki elemana sahip bir X kümesi ile bunun P (X kuvvet kümesi veriliyor. P (X üzerinde 0 ; A (A : 1 ; A şeklinde tanımlanan dönüşümü ölçü müdür? ÇÖZÜM 1: (i Tanımdan ( 0. (ii A

Detaylı

Kümenin özellikleri. KÜMELER Burada x : ifadesi öyle x lerden oluşur ki diye okunur. Örnek: Kilis in ilçeleri

Kümenin özellikleri. KÜMELER Burada x : ifadesi öyle x lerden oluşur ki diye okunur. Örnek: Kilis in ilçeleri Canlı yada cansız varlıkların oluşturduğu iyi tanımlanmış nesneler topluluğuna küme denir. KÜMELER urada x : ifadesi öyle x lerden oluşur ki diye okunur. iyi tanımlanmış: herkes tarafından kabul edilen

Detaylı

BÖLÜNEBĐLME KURALLARI

BÖLÜNEBĐLME KURALLARI YILLAR 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 ÖSS-YGS - 2 2-2 1 1-1 1 kalanı bulmak için sağdan ve + ile başlamak gerekir BÖLÜNEBĐLME KURALLARI 2 Đle Bölünebilme: tüm çift sayılar, yani birler

Detaylı

2. (v+w+x+y+z) 8 ifadesinin açılımında kaç terim vardır? 3. log 5 0, 69897 olduğuna göre 50 10 sayısı kaç basamaklıdır?

2. (v+w+x+y+z) 8 ifadesinin açılımında kaç terim vardır? 3. log 5 0, 69897 olduğuna göre 50 10 sayısı kaç basamaklıdır? Ayrık Hesaplama Yapıları A GRUBU 3.03.0 Numarası Adı Soyadı : CEVAP : ANAHTARI SINAV YÖNERGESİ İşaretlemelerinizde kurşun kalem kullanınız. Soru ve cevap kağıtlarına numaranızı ve isminizi mürekkepli kalem

Detaylı

ÖABT LİSE MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ

ÖABT LİSE MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ ÖABT LİSE MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ 000000000 Komison ÖABT LİSE MATEMATİK PİYASA 9 DENEME ISBN 978-605-38-86-6 Kitapta er alan bölümlerin tüm sorumluluğu azarlarına aittir. Pegem Akademi Bu kitabın basım,

Detaylı

BÖLÜM I MATEMATİK NEDİR? 13 1.1. Matematik Nedir? 14

BÖLÜM I MATEMATİK NEDİR? 13 1.1. Matematik Nedir? 14 İÇİNDEKİLER Önsöz. V BÖLÜM I MATEMATİK NEDİR? 13 1.1. Matematik Nedir? 14 BÖLÜM II KÜMELER 17 2.1.Küme Tanımı ve Özellikleri 18 2.2 Kümelerin Gösterimi 19 2.2.1 Venn Şeması Yöntemi 19 2.2.2 Liste Yöntemi

Detaylı

Örnek...5 : A = { a, b, c, d, e, f } kümesinin 4 lü perm ütas yonlarının kaç tanesinde,

Örnek...5 : A = { a, b, c, d, e, f } kümesinin 4 lü perm ütas yonlarının kaç tanesinde, PERMÜTASYON ( SIRALAMA OLAYI ) Birbirinden farklı n tane nesnenin r tanesinin farklı her dizilişine (sıralanışına) n nesnenin r li permütasyonları denir ve P(n,r)= n! (r n) (n r)! biçim inde gösterilir.

Detaylı

ALES SÖZEL ADAYLAR İÇİN ALES SORU BANKASI. Savaş Doğan - Kenan Osmanoğlu - Kerem Köker. Eğitimde

ALES SÖZEL ADAYLAR İÇİN ALES SORU BANKASI. Savaş Doğan - Kenan Osmanoğlu - Kerem Köker. Eğitimde ALES 2017 SÖZEL ADAYLAR İÇİN ALES SORU BANKASI Savaş Doğan - Kenan Osmanoğlu - Kerem Köker Eğitimde 30. yıl Savaş Doğan - Kenan Osmanoğlu - Kerem Köker ALES Sözel Soru Bankası ISBN-978-605-364-423-1 Kitapta

Detaylı

İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER

İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER İkinci Dereceden Denklemler a, b ve c reel sayı, a ¹ 0 olmak üzere ax + bx + c = 0 şeklinde yazılan denklemlere ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem denir. Aşağıdaki denklemlerden

Detaylı

VEKTÖR UZAYLARI 1.GİRİŞ

VEKTÖR UZAYLARI 1.GİRİŞ 1.GİRİŞ Bu bölüm lineer cebirin temelindeki cebirsel yapıya, sonlu boyutlu vektör uzayına giriş yapmaktadır. Bir vektör uzayının tanımı, elemanları skalar olarak adlandırılan herhangi bir cisim içerir.

Detaylı

2002 ÖSS Soruları. 5. a, b, c, d pozitif tam sayılar ve 123,4 0, ,234 12,34. işleminin sonucu kaçtır?

2002 ÖSS Soruları. 5. a, b, c, d pozitif tam sayılar ve 123,4 0, ,234 12,34. işleminin sonucu kaçtır? 00 ÖSS Soruları 3,4.,34 0, 34,34 işleminin sonucu kaçtır? ) 0 ) 0, ) 9,9 ) 0, E),. a, b, c, d pozitif tam sayılar ve a 7 a 4 : = c, : = d b 0 b 4 olduğuna göre, c + d nin alabileceği en küçük değer kaçtır?

Detaylı

İÇİNDEKİLER BASİT EŞİTSİZLİKLER. HARFLİ İFADELER Harfli İfadeler ve Elemanları Eşitsizlik Sembolleri ve İşaretin Eşitsizlik İfadesi...

İÇİNDEKİLER BASİT EŞİTSİZLİKLER. HARFLİ İFADELER Harfli İfadeler ve Elemanları Eşitsizlik Sembolleri ve İşaretin Eşitsizlik İfadesi... İÇİNDEKİLER HARFLİ İFADELER Harfli İfadeler ve Elemanları... 1 Benzer Terim... Harfli İfadenin Terimlerini Toplayıp Çıkarma... Harfli İfadelerin Terimlerini Çarpma... Harfli İfadelerde Parantez Açma...

Detaylı

SAYILAR ( ) MATEMATİK KAF01 RAKAM VE DOĞAL SAYI KAVRAMI TEMEL KAVRAM 01. Sayıları ifade etmeye yarayan

SAYILAR ( ) MATEMATİK KAF01 RAKAM VE DOĞAL SAYI KAVRAMI TEMEL KAVRAM 01. Sayıları ifade etmeye yarayan SAYILAR RAKAM VE DOĞAL SAYI KAVRAMI MATEMATİK KAF01 TEMEL KAVRAM 01 Sayıları ifade etmeye yarayan { 0,1,, 3, i i i,9} kümesindeki semollere onluk sayma düzeninde rakam denir. N =... kümesinin elemanlarına

Detaylı

10.Konu Tam sayıların inşası

10.Konu Tam sayıların inşası 10.Konu Tam sayıların inşası 1. Tam sayılar kümesi 2. Tam sayılar kümesinde toplama ve çarpma 3. Pozitif ve negatif tam sayılar 4. Tam sayılar kümesinde çıkarma 5. Tam sayılar kümesinde sıralama 6. Bir

Detaylı

MATEMATİK SORU BANKASI GEOMETRİ KPSS KPSS. Genel Yetenek Genel Kültür. Sayısal ve Mantıksal Akıl Yürütme. Eğitimde

MATEMATİK SORU BANKASI GEOMETRİ KPSS KPSS. Genel Yetenek Genel Kültür. Sayısal ve Mantıksal Akıl Yürütme. Eğitimde KPSS Genel Yetenek Genel Kültür MATEMATİK Sayısal ve Mantıksal Akıl Yürütme KPSS 2016 Pegem Akademi Sınav Komisyonu; 2015 KPSS ye Pegem Yayınları ile hazırlanan adayların, 100'ün üzerinde soruyu kolaylıkla

Detaylı