A GRUBU {1, 2, 3,..., 7} kümesinin kaç tane alt kümesinde üç tane ardışık sayı bulunmaz? A) 89 B) 81 C) 55 D) 38 E) 34

Transkript

1 Numarası Adı Soyadı : CEVAP : ANAHTARI SINAV YÖNERGESİ İşaretlemelerinizde kurşun kalem kullanınız Soru ve cevap kağıtlarına numaranızı ve isminizi mürekkepli kalem ile yazınız Sınavın ilk 30 dakikasında sınıftan çıkılmayacaktır Hesap makinesi kullanmak yasaktır Sınav boyunca cep telefonlarınızı kapalı tutunuz Cep telefonunuzun açık olması sınavınızın geçersiz sayılmasına neden olacaktır Hesaplamalarınız için soru kağıdındaki boş yerleri kullanınız Soru kağıtları zımbalanmıştır Soru kağıtlarını birbirinden ayırmayınız Değerlendirmede 4 yanlış doğruyu götürecektir Toplam 0 adet soru vardır Sınav süresi 0 dakikadır Sınavda ders notlarının kullanımı serbest, ancak alış verişi yasaktır Başarılar dilerim SORULAR Doç Dr Emrah AKYAR {,, 3,, 7} kümesinin kaç tane alt kümesinde üç tane ardışık sayı bulunmaz? A) 89 B) 8 55 D) 38 E) 34 S = {,,, 00} kümesinin bir alt kümesi rastgele ve eşit olasılıkla seçildiğinde, bu alt kümenin en büyük elemanının 50 olma olasılığı nedir? A) B) D) (00 50 ) E) a 0, a, a, sayı dizisi a n+ = a n + a n yineleme (recurrence) formülünü sağlasın a 0 = 4 ve a = 3 ise a 5 =? A) 49 B) D) 93 E) Verilenlerle hesaplanamaz 00 0 Güz Dönemi

2 4 Kullanıcılar bir sisteme a,b,c,ç,,z (9 harf) karakterlerinden ve 0,,,9 rakamlarından oluşan, büyük küçük harf duyarlı (case sensitive) ve en az bir karakteri mutlaka rakam olan 6,7 ya da 8 karakter uzunluğunda bir şifre ile girmektedir Bu şekilde kaç farklı şifre vardır? A) (68 6 )(68 7 )(68 8 ) 0! ( )[( ) ( ) B) ( ) ( ) ( ) D) 0 E) 6 [( ) ( ) ( ) + + ( )] ! ( )] 58 8 ( ) + ( ) 6 Dik koordinat sisteminde uzunlukları birim olan m + n tane yatay ve düşey doğru parçası ile orijinden koordinatları tam sayı olan (m, n) noktasına kaç farklı yol çizilebilir? A) m+n n B) (m+n)! m!n! D) m+n ( ) m+n E) n 7 0 soruluk Doğru/Yanlış sınavına giren bir öğrenci cevapların hiç birisini bilmemektedir Buna rağmen her soruya doğru ya da yanlış şeklinde rastgele cevap verirse sınavdan 80 ya da daha yüksek alma olasılığı ne olur? A) 7 8 B) 5 5 Aşağıdaki program parçası bir sıralama yöntemine göre (insertion sort) bir A dizisini sıralamaktadır Buna göre sıralanacak her A dizisi için A[j]<A[j-] karşılaştırması en fazla kaç kez yapılır? for i = to n j = i while ( j >= ) and ( A[j] < A[j-]) exchange A[j] and A[j-] j = j - A) n(n ) B) n n(n ) D) n+ E) n 04 D) 3 5 E) 0 8 Aşağıdaki şekle göre A noktasından B noktasına en kısa yoldan kaç farklı şekilde gidilebilir? A) 0 B) D) 40 E) 80 B A 00 0 Güz Dönemi

3 ( ) 99 9 Hangi k tam sayısı için k en büyük değerine ulaşır? k A) 4 B) 50 5 D) 64 E) 99 B A, A = n ve B = k olsun Bu durumda C B = olacak şekilde kaç farklı C A alt kümesi vardır? A) k n k B) n k ( n k )k D) (n k ) E) n k =? A) 00 B) D) E) 3 (0) 7 sayısının ilk 4 ondalık basamağı aşağıdakilerin hangisinde doğru olarak verilmiştir? A) 47 B) D) 47 E) 435 A, B ve C kişileri aşağıdaki gibi yazı tura atıyorlar: A ve B aynı anda yazı tura atıyorlar C kişisi A nın sonucuna bakıyor ve A tura attıysa C de yazı-tura atıyor, A yazı attıysa B nin sonucunu kullanıyor Buna göre verilen olay çiftlerinden hangisi bağımlıdır? A) A nın tura ve B nin yazı atması B) A nın tura ve C nin tura atması A nın yazı ve C nin yazı atması D) B nin tura ve C nin yazı atması E) B nin tura ve A nın tura atması 4 Aşağıdaki ifadeler açıldığında hangisinin terim sayısı en fazladır? A) (x + x + x 3 ) 8 B) (x + x + x 3 + x 4 ) 7 (x + x + x 3 + x 4 + x 5 ) 6 D) (x + x + x 3 + x 4 + x 5 + x 6 ) 5 E) (x + x + x 3 + x 4 + x 5 + x 6 + x 7 ) Güz Dönemi

4 5 BİLGİSAYAR sözcüğünün tüm harfleri kullanılarak elde edilen 0 harfli anlamlı ya da anlamsız sözcüklerin kaç tanesinde sesli harfler yan yana gelmez? A) 6!+4!!! 0! B)!! 6!4!!! D) 6!(7 4 )!! E) 0!! 6 Aşağıdaki konulardan hangisi derste anlatılmamıştır? A) Sekreter Problemi B) Doğum günü Problemi Multinomial Teoremi D) Stirling Formülü E) Dört renk problemi 7 Ceren, hafta süren bir etkinlikte okuldan 7 arkadaşıyla karşılaşmıştır Ceren, etkinlik boyunca öğle yemeklerinde kendisi hariç birerli olarak 35 kez, yine kendis hariç ikişerli olarak 6 kez, üçerli olarak 8 kez, dörderli olarak 4 kez, beşerli olarak kez ve altışarlı olarak ise kez yemek yemiş, fakat yine kendisi hariç yedişerli olarak hiç yemek yememiştir Buna göre 84 gün boyunca Ceren kaç kez yalnız yemek yemiştir? A) 0 B) D) 3 E) adet özdeş madeni TL iki küçük kardeşteki paraların toplamı, iki büyük kardeşteki paraların toplamından daha fazla olmak üzere dört kardeşe kaç farklı şekilde dağıtılabilir? A) B) 57 4 D) 65 E) 86 9 A,B,C,Ç,D,E,F,G,H,I harfleri A harfi B harfinden, C harfi de Ç harfinden önce gelmek üzere kaç farklı şekilde sıralanabilir? ( ) 8 A) 8! ( ) 0 B) 0! 4 6!!! D) 6!4! E) 0! 4 0 Aşağıdaki şekilde kaç farklı paralelkenar vardır? A) 80 B) 0 40 D) 70 E) Güz Dönemi

5 ÇÖZÜMLER (Ders kitabı alıştırma 544-b) Alt kümenin en büyük elemanı 50 ise bu alt küme, {,,, 49} kümesinin bir alt kümesi ile {50} kümesinin birleşimi şeklinde düşünülebilir O zaman{,,, 49} kümesinin alt kümelerinin sayısı 49 ve S kümesinin tüm alt kümelerinin sayısı 50 olduğundan cevap = olur 5 (Ders kitabı alıştırma 437) n nin bazı değerleri için {,,, n} kümesinin istenen bazı alt kümelerini yazarsak, n Alt kümeler Sayısı, {}, {}, {},{, } 4 3, {}, {},{3}, {, },{, 3},{, 3} 7 4, {}, {}, {3}, {4}, {, }, {, 3}, {, 4}, {, 3}, 3 {, 4},{3, 4},{,, 4},{, 3, 4} 5, {}, {}, {3}, {4}, {5}, {, }, {, 3}, {, 4}, {, 5}, {, 3}, {, 4}, {, 5}, {3, 4}, {3, 5}, {4, 5}, 4 {,, 4}, {,, 5}, {, 3, 4}, {, 3, 5}, {, 4, 5}, {, 3, 5},{, 4, 5},{,, 4, 5} 6, {}, {}, {3}, {4}, {5}, {6}, {, }, {, 3}, {, 4}, {, 5}, {, 6}, {, 3}, {, 4}, {, 5}, {, 6}, {3, 4}, {3, 5}, {3, 6}, {4, 5}, {4, 6}, {5, 6}, {,, 4}, 44 {,, 5}, {,, 6}, {, 3, 4}, {, 3, 5}, {, 3, 6}, {, 4, 5}, {, 4, 6}, {, 5, 6}, {, 3, 5}, {, 3, 6}, {, 4, 5}, {, 4, 6}, {, 5, 6}, {3, 4, 6}, {3, 5, 6}, {,, 4, 5}, {,, 4, 6}, {,, 5, 6}, {, 3, 4, 6}, olur Dikkat edilecek olursa, {, 3, 5, 6},{, 3, 5, 6} 3 = +4+7, 4 = 3+7+4, 44 = 4+3+7, Şimdi bunu kanıtlayalım:{,,, n} kümesinin istenen koşulu sağlayan alt kümelerinin sayısı A n olsun A istenen koşulu sağlayan alt kümelerden birisi ise iki durum söz konusudur: n A Bu durumda{,,, n } kümesinin istenen koşulu sağlayan alt kümeleri kadar bu alt kümelerden vardır ve bunların sayısı A n tanedir n A Bu durumda da iki durum söz konusu olur: n A Bu durumda{,,, n } kümesinin istenen koşulu sağlayan her alt kümesine n yi eklersek bu şekildeki alt kümelerin tümünü elde ederiz Bunların sayısı da A n tanedir n A Bu durumda n A ve n A olduğundan n A olmalıdır O halde{,,, n 3} kümesinin istenen koşulu sağlayan her alt kümesine n ve n i eklersek bu şekildeki kümelerin tümünü elde ederiz Bunların sayısı da A n 3 olur O halde A n = A n + A n + A n 3 yineleme formülü elde edilir Yukarıda i =,, 6 için A i değerleri hesaplandığına göre elde edilir A 7 = = 8 3 (Ders kitabı alıştırma 433) a = a + a 0 = 3 olduğundan verilenleri yerine yazarsak, a + 4 = 3 olur Buradan a = 5 elde edilir O halde a 3 = a + a = 3+ 5 = 3, a 4 = a 3 + a = 3+ 3 = 49 ve a 5 = a 4 + a 3 = = 95 sonucuna ulaşılır 4 Şifreler büyük küçük harf duyarlı olduğundan = 68 farklı karakter söz konusudur O zaman k = 6, 7, 8 için k karakter uzunluğunda 68 k farklı şifre oluşturulabilir Ancak bunlardan 58 k tanesi istenmeyen türdedir (çünkü rakam bulundurmuyor) O halde istenen türdeki şifrelerin sayısı 68 k 58 k olur Buradan cevap elde edilir ( ) ( ) + ( ) 5 Verilen sıralama küçükten büyüğe doğru sıralamadır Olası en kötü durum A dizisinin büyükten küçüğe sıralı olarak verilmesidir Bu durumda önce ikinci eleman birinci elemanla, sonra üçüncü eleman ikinci ve birinci elemanla, dördüncü eleman kendinden önceki 3 elemanla, böyle devam edilirse n eleman da kendinden önce gelen n elemanla karşılaştırılacaktır O halde cevap olur (n ) = n(n ) 00 0 Güz Dönemi

6 6 Orijinden (m, n) noktasına m+n doğru parçası ile ulaşmak için m-defa Yatay ve n defa da Düşey hareket edilmelidir O halde toplam yol sayısı YY } {{ Y }} DD {{ D } m tane n tane karakterleri ile oluşturulabilecek m + n karakter uzunluğundaki farklı stringlerin sayısı kadar olur Bunların sayısı da olur (m+n)! m!n! ( ) ( ) m+n m+n = = n m 7 Öğrenci 0 sorunun tümüne de doğru ya da yanlış şeklinde cevap verebileceğinden öğrencinin verebileceği tüm mümkün cevapların sayısı 0 olur Öğrencinin 00 alması için on sorunun onunu da bilmesi gerekir Bu( 0 0 ) = şekilde mümkündür 90 alması için on sorunun dokuzunu bilmesi gerekir Bu da ( 0 9 ) = 0 farklı şekilde mümkündür Son olarak 80 alması için 8 soruyu bilmesi gerekir Bu ise ( 0 8 ) = 8!! 0! = 45 farklı şekilde mümkündür Buradan cevap olur = 56 0 = = 7 7 = 7 8 [ e ] 8 Şekli saat yönünde 45 derece döndürürseniz soru dik koordinat sistemine dönüşür Bu durumda en kısa yol için her seferinde ya Sağa ya da Yukarı gitmek gerekir S,S,S,S,Y,Y,Y karakterleri ile oluşturulabilecek 7 karakter uzunluğundaki string ifadelerin sayısı sorunun cevabı olur O halde cevap olur 7! 4! 3! = 35 9 (Ders kitabı alıştırma 385) k( k ) ve(k+ )( k+ ) ardışık sayılarını karşılaştırmak için bunların oranına bakalım: (k+)( 99 k+ ) k( 99 k ) = (k+)99! k!(99 k)! = 99 k (k+)!(98 k)! k 99! k Eğer (k+)( 99 k+ ) < k( 99 k ) ise k( k ) > (k+)( k+ ) olur Buradan 99 k k < 99 k < k k > 99 olur k tam sayı olduğundan k = 50 olmalıdır 0 (Ders kitabı alıştırma 5) Bazı n değerleri için değerlerini hesaplayalım: Tümevarım yöntemiyle kolayca (n ) n = = + 3 = 3 = = 3 4 = (n ) n = n olduğunu doğrulayabilirsiniz O halde cevap 00 = olur C nin sonucu A ya bağımlı gibi gözükse de aslında B ye bağımlıdır Gerçekten de örnek uzayını yazacak olursak, olur Ayrıca, S = {TTT, TTY, TYT, TYY, YTT, YYY} (T : Tura, Y : Yazı) A nın tura atma olayı A T = {TTT, TTY, TYT, TYY} P(A T ) = 3 A nın yazı atma olayı A Y = {YTT, YYY} P(A Y ) = 3 B nin tura atma olayı B T = {TTT, TTY, YTT} P(B T ) = B nin yazı atma olayı B Y = {TYT, TYY, YYY} P(B Y ) = C nin tura atma olayı C T = {TTT, TYT, YTT} P(C T ) = C nin yazı atma olayı C Y = {TTY, TYY, YYY} P(C Y ) = olduğuna göre 00 0 Güz Dönemi

7 A nın tura ve B nin yazı atması, P(A T B Y ) = P({TYT, TYY}) = 3 = P(A T) P(B Y ) = 3 olduğundan bağımsız olaylardır A nın tura ve C nin tura atması, P(A T C T ) = P({TTT, TYT}) = 3 = P(A T) P(C T ) = 3 olduğundan bağımsız olaylardır A nın yazı ve C nin yazı atması, P(A Y C Y ) = P({YYY}) = 6 = P(A Y) P(C Y ) = 3 olduğundan bağımsız olaylardır B nin tura ve C nin yazı atması, P(B T C Y ) = P({TTY}) = 6 P(B T) P(C Y ) = olduğundan bağımlı olaylardır B nin tura ve A nın tura atması, P(B T A T ) = P({TTT, TTY}) = 3 = P(B T) P(A T ) = 3 olduğundan bağımsız olaylardır (Ders kitabı alıştırma 8) Bunun için önce B kümesinden kesişimde olacak elemanı seçer sonra bu elemanı A B kümesinin alt kümesine eklersek istenen türde kümeler elde ederiz B kümesinden bir eleman k farklı şekilde seçilebilir A B kümesinin n k elemanı olduğundan n k alt kümesi vardır O halde cevap k n k olur 3 Binom Teoremini kullanarak soruyu çözebiliriz (0) 7 =(+0) 7 = ( 7 0 )+(7 )(00)+(7 )(00) +( 7 3 )(00)3 +( 7 4 )(00)4 +( 7 5 )(00)5 +( 7 6 )(00)6 +( 7 7 )(00)7 olduğunu biliyoruz Ayrıca,(00) = 4e 3, (00) 3 = 8e 5, (00) 4 = 6e 6, (00) 5 = 3e 8, (00) 6 = 64e 0, (00) 7 = 8e olduğundan yukarıdaki toplamı (00) 3 ne kadar devam ettirmek yeterlidir Buradan (+00) 7 ( 7 0 )+(7 )(00)+(7 )(00) +( 7 3 )(00)3 = +7 (00)+ (00) + 35 (00) 3 = = Multinomial Teoreminden (x + x + +x k ) n ifadesinin açılımındaki terim sayısının n, n,, n k 0 olmak üzere n + n + +n k = n denkleminin tam sayılar kümesindeki çözümlerinin sayısı kadar olduğunu söyleyebiliriz Bu çözümlerin sayısının da( n+k k ) olduğunu biliyoruz Buradan olur (x + x + x 3 ) 8 için terim sayısı( 0 ) = 45 (x + x + x 3 + x 4 ) 7 için terim sayısı ( 0 3 ) = 0 (x + x + x 3 + x 4 + x 5 ) 6 için terim sayısı( 0 4 ) = 0 (x + x + x 3 + x 4 + x 5 + x 6 ) 5 için terim sayısı( 0 5 ) = 5 (x + x + x 3 + x 4 + x 5 + x 6 + x 7 ) 4 için terim sayısı ( 0 6 ) = 0 5 BİLGİSAYAR kelimesindeki sesli harfleri çıkarırsak kalan harfler 6! farklı şekilde sıralanabilir Şimdi çıkarılan bu 4 sesli harfi aşağıda ile gösterilen yerlere yerleştirirsek sesli harfler yan yana gelmez B L G S Y R 4 sesli harf 7 pozisyona ( 7 4 ) farklı şekilde yerleştirilebilir Ancak tane İ ve tane A harfi olduğundan bu harflerin yer değiştirmesi elde edilen kelimeyi değiştirmeyecektir O halde cevap 6!(7 4 )!! olur 6 Dört renk problemi dönem sonuna yakın anlatılacaktır 7 Soruyu içerme dışlama prensibi ile kolayca çözebiliriz c i (i =,,, 7) Ceren ile Ceren in i arkadaşının yemekte karşılaşmasını gösterirse, c i = 35, c i c j = 6, c i c j c k = 8, c i c j c k c l = 4, c i c j c k c l c m =, c i c j c k c l c m c n = olur Buradan, cevabı elde edilir c c c 3 c 4 c 5 c 6 c 7 =84 ( 7 )35+(7 )6 (7 3 )8 +( 7 4 )4 (7 5 )+(7 6 ) (7 7 )0 = 0 8 İki büyük kardeşin toplamda alabileceği para miktarı,, 3 ve 4 olabilir İki büyük kardeşe k TL verilirse, küçük kardeşlere 0 k TL verilecektir O zaman cevap olur 4 k= (k+ )((0 k)+ )= 4 k= (k+ )( k ) = 4 k= (k+)( k) = = = Güz Dönemi

8 9 Önce A ve B harflerini yerleştirelim Bunu ( 0 ) farklı şekilde yapabiliriz Daha sonra C ve Ç harflerini yerleştirelim Bu harfleri de kalan 8 yere ( 8 ) farklı şekilde yerleştirebiliriz Kalan 6 harfi ise 6! şekilde sıralayabiliriz O halde cevap ( ) 0 ( ) 8 6! = 0!! 8! 8!! 6! 6! = 0! 4 0 Aynı doğru üzerinde bulunmayan iki nokta bize bir paralelkenar verir (paralelkenarın karşı köşeleri) Bunun tersi de doğrudur Yani, bir paralelkenarın iki karşı köşesi bize aynı doğru üzerinde bulunmayan iki nokta verir O halde bu şekildeki noktaların sayısını bulmalıyız Bu noktaların sayısının yarısı paralelkenarların sayısını verir ( P, Q noktaları ile Q, P noktaları aynı paralelkenarı verecektir) İlk nokta olarak 7 5 = 35 noktanın herhangi birisini alabiliriz İkinci nokta ise bu noktayla aynı doğru üzerinde olmayan 35 = 4 noktadan biri olabilir Ayrıca bu iki noktanın paralelkenarın hangi hangi iki köşesi olduğu da önemlidir Buradan cevap elde edilir 35 4 = Güz Dönemi