3.Ders Rasgele Değişkenler
|
|
|
- Bilge Akbaba
- 5 yıl önce
- İzleme sayısı:
Transkript
1 3.Ders Rasgele Değişkenler Tanım:,U, P bir olasılık uzayı ve X : R X olmak üzere, a R için, : X a U oluyorsa X fonksiyonuna bir rasgele değişken denir. a R için X, a : X a U özelliğine sahip bir X rasgele değişkeni için, X a, b : a X b U olduğu kolayca gösterilebilir. Reel sayılardakibborel cebirinin her B B elemanı için X rasgele değişkeni altındaki ters görüntüsü U nun elemanıdır. Bir olasılık deneyinin sonuçlarının kümesi olan Örnek uzayının elemanları çok değişik türde olabilir. Rasgele değişkenler yardımıyla nın elemanları reel sayılara dönüşmektedir, öyleki,u, P olasılık uzayındaki her A U için PA olasılığı reel sayılardaki B Borel cebiri üzerinde kurulmuş uygun bir olasılık ölçüsü ile verilmektedir. Böylece teorik olarak incelenmesi gereken olasılık ölçüleri Borel cebiri üzerindeki olasılık ölçülerine indirgenmiş olmaktadır. Uygulama tarafından bakıldığında, rasgele değişkenler, deneyde ilgilenilen özelliğin ölçülerek sayısallaştırılmasının matematiksel karşılığı olmaktadır. Bir tavla zarının atılması ve üste gelen yüzeyin gözlenmesi deneyinde üst yüzeydeki nokta sayısı ölçüldüğünde (sayma ölçüsüne göre), Örnek uzayın elemanları sayılara dönüşmektedir. Zar üzerinde bu sayılar yazılı değildir, bunlar ölçme sonucu ortaya çıkmaktadır. Rasgele değişken bu ölçmeye karşılık gelmektedir. Bir yaşındaki çocukların belli bir kitlesinden rasgele bir çocuğun seçilmesin-de Örnek uzay, bu çocukların isimlerinin kümesi olabilir. Seçilen çocuğun boy uzunluğunun ölçülmesi sonucunda bir sayı ortaya çıkmaktadır. Rasgele değişken bu ölçmeye karşılık gelmektedir. Rasgele değişken Örnek uzayın elemanlarını reel sayılara dönüştüren bir fonksiyon olmakla birlikte matematiksel açıdan Borel ölçülebilir bir fonksiyon olması gerekir. Bu özellik, ölçme sonucunda ortaya çıkan Borel cebirindeki bir olayın, deneyde ilgilendiğimiz olayların cebirinde yorumlanabilir olmasını sağlamaktadır.
2 Tanımdaki,U, P olasılık uzayı,u ikilisi ile değiştirilirse X fonksiyo-nuna ölçülebilir veyauölçülebilir fonksiyon denir. Her rasgele değişken aynı zamanda bir ölçülebilir fonksiyondur, ancak biruölçülebilir fonksiyo-nun rasgele değişken olması için dakiu-cebiri üzerinde bir P olasılık ölçüsünün var olması gerekir.uölçülebilir bir fonksiyon yardımıyla, U üzerinde değişik olasılık ölçüleri tanımlanarak değişik rasgele değişkenler elde edilir. Rasgele değişkenler genellikle X, Y, Z, U, V, gibi büyük harflerle göste-rilir. Kısalık olması bakımından : X A, A R yerine X A yazılır. Örneğin X a : X a dır. Bir X rasgele değişkenin tanım kümesi olmak üzere, X x R : için X x kümesine X in değer kümesi (X in aldığı değerlerin kümesi) denir. Bu kümeyi bazen D X veya sadece D ile göstereceğiz. Örnek:,, 3,, 8, U P ve A U için, PA na 8 olmak üzere X fonksiyonu aşağıdaki gibi tanımlansın. X bir rasgele değişkendir. Gerçekten, a R için a ise X a U a ise X a U a ise X a,, 3, 4 U a 3 ise X a,, 7 U olduğundan X bir rasgele değişkendir. a 3 ise X a U YYY, YYT, YTY, TYY, YTT, TYT, TTY, TTT olduğunda, yukarıda verilen rasgele değişkenin aldığı değerler bir paranın üç kez atılışında gelen turaların sayısı olacaktır. Böyle tanımlanan X rasgele değişkeni yardımıyla aşağıdaki olasılıkları hesaplayabiliriz.
3 PX P : X PYYY /8 PX PYYY, YYT, YTY, TYY 4/8 PX PYYT, YTY, TYY 3/8 PX 3 PTTT /8 PX / P PX 3 P X fonksiyonunun değer kümesi, yada X rasgele değişkenin aldığı değerlerin kümesi X,,, 3 dır. Alışagelmiş biçimde, rasgele değişkenin bu değerleri ve bunları alması olasılıkları aşağıdaki gibi gösterilir. X x 3 PX x /8 3/8 3/8 /8 Bu örnekteki olasılık uzayını, içinde eşit sayıda kırmızı ve beyaz top bulunan bir kavanozdan çekileni yine yerine koyarak ardarda 3 top çekilmesi deneyine uygularsak, KKK, KKB, KBK, BKK, KBB, BKB, BBK, BBB olmak üzere, X rasgele değişkeni üç çekilişte gelen beyaz topların sayısı olacaktır. Bir olasılık uzayı belli bir olasılık deneyinin matematiksel modeli olarak kullanıldığında X fonksiyonunun değer kümesi bilinmekle birlikte X in alacağı değer deney sonucuna bağlıdır, yani değer kümesinden "rasgele" bir sayıdır. Örnek:,, U B,, PA "A nın aralık uzunluğu" olmak üzere X : R X fonksiyonu bir rasgele değişkendir. Gerçekten, a R için a ise X a U a ise X a : a,,, a/ U a ise X a, U olduğundan X bir rasgele değişkendir. X,,U, P uzayında tanımlı bir rasgele değişken olmak üzere B B için
4 : X B U dır. Bununla birlikte, X B A U : A : X B, B B A U : A X B, B B sınıfı da bir -cebirdir. Gerçekten: i) B için : X R olduğundan X B ii) A X B için B B vardır öyleki, A : X B dir. O zaman B B için, A : X B, yani A X B dir. iii) A n, X B de bir dizi olsun. n,, için B n B vardır, öyleki A n : X B n dır. A n : X B n olmak üzere A n X B dır. n n X B -cebiriunun bir alt kümesidir. X B -cebirine X rasgele değişkenin doğurduğu -cebir denir. n Teorem:,U, P bir olasılık uzayı ve X bir rasgele değişken ise P X : B R B P X B P : X B fonksiyonu bir olasılık ölçüsüdür. Đspat: i) B B için P X B P : X B ii) P X R P : X R P iii) Ayrık kümelerin B n dizisi için
5 P X B n n P : X B n n P : X B n n P : X B n P X B n n n olduğundan P X, B üzerinde bir olasılık ölçüsüdür. B üzerinde tanımlı P X olasılık ölçüsüne X in olasılık dağılımı veya X in doğurduğu olasılık ölçüsü denir. Bir X rasgele değişkeni ile ilgili olasılık hesabında P X dağılımının bilinmesi yeterlidir. Eğer B B için P X B P Y B ise X ve Y ye özdeş (aynı) dağılımlıdır denir. Dağılım Fonksiyonları Tanım:,U, P bir olasılık uzayı ve X bir rasgele değişken olmak üzere, F : R, x Fx PX x fonksiyonuna X rasgele değişkenin dağılım fonksiyonu denir. F fonksiyonunun X rasgele değişkeni ile belirlendiğini vurgulamak istediğimiz-de F yerine F X gösterimini kullanacağız. Örnek:
6 olmak üzere X rasgele değişkeninin dağılım fonksiyonu, F : R, x Fx PX x x ise Fx PX x x ise Fx PX x /8 x ise Fx PX x 4/8 x 3 ise Fx PX x 7/8 dır. Bu forksiyonunun grafiği aşağıdadır (a). x 3 ise Fx PX x Örnek: olmak üzere X rasgele değişkeninin dağılım fonksiyonu,
7 F : R,, x x Fx PX x x 6, x 6, x 6 dır. Bu fonksiyonunun grafiği yukarıdadır (b). Örnek:,, U B,, PA "A nın aralık uzunluğu" X : R X olmak üzere X rasgele değişkeninin dağılım fonksiyonu F : R,, x x Fx PX x x/, x, x dır. Bu fonksiyonun grafiği aşağıdadır. Örnek:,, U B,, PA "A nın aralık uzunluğu"/ olmak üzere,
8 X : R X Y : R Y Z : R Z rasgele değişkenlerinin dağılım fonksiyonları, x F X x x/ /, x, x, y F Y y y, y, y, z F Z z z, z dır. Bu fonksiyonların grafikleri aşağıdadır., z Örnek: (,U, P) önceki örnekte tanımlanan olasılık uzayı olsun.
9 X :, R X,, Y :, R Y,,,, olmak üzere, x, x F X x, x x, x, x F Y x, x x, x dır.
10 Teorem: F bir X rasgele değişkenin dağılım fonksiyonu ise, a) F azalmayan bir fonksiyon, b) F sağdan sürekli, dir. Đspat: c) lim Fx, x lim Fx x F fonksiyonu,,u, P olasılık uzayında tanımlı bir X rasgele değiş-kenin dağılım fonksiyonu olsun. a) x, x R, x x, x, x X x X x PX x PX x Fx Fx olduğundan F azalmayan bir fonksiyondur. b) F fonksiyonunun sağdan sürekli olduğunu göstermek için n olmak üzere a R için olduğunu göstermemiz yeterlidir. lim F a n n Fa F a n Fa P X a n PX a P a X a n PA n yazılabilir, burada A n a X a n A A A n ve dır.buradan n U, n,,dır. A n olduğundan lim PA P n lim F a n n lim A n P n Fa
11 dır. c) lim Fx, lim Fx olduğunu göstermek için n n lim Fn, lim Fn n n olduğunu göstermemiz yeterlidir. B n X n, A n X n, n,, olsun. olduğundan, ve B B ve A A ve n B n n A n n lim Fn lim PB n P n n lim Fn lim PA n P n dir. Bu teoremdeki a), b), c)şartlarını sağlayan her F fonksiyonu P, x Fx, x R olacakşekilde bir tek R,B, P olasılık uzayı belirlediği ve ayrıca uygun bir olasılık uzayında tanımlı bir X rasgele değişkenin dağılım fonksiyonu olduğu gösterilebilir. Bir X rasgele değişkenin dağılımı P X, X in dağılım fonksiyonu ile tek biçiminde belirlidir. Teorem: Bir X rasgele değişkenin dağılım fonksiyonu, F olmak üzere, her a, b, c R, a b için Pa X b Fb Fa dır. Đspat: PX c Fc Fc, a a, b, b ve, a a, b P X, a P X a, b P X, b PX a Pa X b PX b Diğer taraftan c c n, c n Pa X b Fb Fa lim c n, c olmak üzere, n
12 PX c P X c P X lim n c n, c lim P X n c n, c lim P c n n X c lim n Fc F c n Fc Fc dır. Örnek: X rasgele değişkenin dağılım fonksiyonu Fx, x e x, x olsun. PX, PX, PX, P X, PX, P X, PX olasılıklarını hesaplayalım. PX F, PX F PX F e, P X F F e PX F F e lim e x x P X P X PX P X e PX PX F e e Örnek: Y rasgele değişkeninin dağılım fonksiyonu
13 , y Gy /4, y 3/4, y olsun. Bu durumda,, y PY G, PY G 3/4 PY G G, PY G G 3/4 /4 /4 PY G G /4 /4, PY G G 3/4 /4, PY 3 G3 G3, P Y G G 3/4 /4 /4, P Y PY P Y /4 /4 3/4, PY PY PY PY 3/4 /4 3/4 Son iki örnekteki dağılım fonksiyonlarının grafikleri aşağıdadır.
14 X rasgele değişkenin dağılım fonksiyonu sürekli bir fonksiyon, Y nin ki ise bir basamak fonksiyonudur. Dağılım fonksiyonunun sürekli olduğu değerlerde rasgele değişkenin bu değerlere eşit olması olasılığı sıfırdır. Süreksizlik noktaları için rasgele değişkenin böyle bir değere eşit olması olasılığı, o noktadaki dağılım fonksiyonunun sıçrama miktarına eşittir. Dağılım fonksiyonu a, b R, a b noktalarında sürekli ise rasgele değişkenin bu noktaların belirlediği açık, kapalı, yarı açık aralıklarda bulunması olasılığı eşittir. Dağılım fonksiyonun grafiksel yorumlanması rasgele değişkenin olasılık dağılımı hakkında bir çok bilgi sağlamaktadır. Ksikli Rasgele Değişkenler Tanım: X rasgele değişkenin X değer kümesi sayılabilir olduğunda X e kesikli rasgele değişken ve X in belirlediği olasılık dağılımına da kesikli dağılım denir. Kesikli X rasgele değişkenin aldığı değerlerin kümesi X olsun. X in x X değerini alması olasılığı, PX x P : X x olmak üzere, PX x P xx dır. Kesikli X rasgele değişkeninin dağılım fonksiyonu Fx PX x PX a, ax ax olmak üzere, F bir basamak fonksiyonu olacaktır. X x xx x Tanım: X kesikli bir rasgele değişken olmak üzere f : X R x fx PX x fonksiyonuna X rasgele değişkeninin olasılık fonksiyonu denir. Bir rasgele değişkenin olasılık fonksiyonu olarak yukarıdaki tanımda verilen fonksiyon yerine bu fonksiyonun X dan R ye genişletilmişi olan
15 f : R R x fx PX x PX x, x X, x X fonksiyonunu almakla düşüncelerde bir değişiklik olmayacağını belirtelim. Kesikli bir X rasgele değişkenin olasılık fonksiyonu f ise, ) fx, x X ) fx xx ve X in dağılım fonksiyonu, Fx fa, ax ax x dır. X in olasılık fonksiyonu, X in olasılık dağılımının bilinmesi için yeterlidir. Genelde sayılabilir bir küme üzerinde tanımlı ve özelliğini sağlayan bir f fonksiyonu bir F dağılım fonksiyonu, dolayısıyla bir olasılık dağılımı belirler. Örnek:U P, PA na/8 olmak üzere X rasgele değişkenin aldığı değerlerin kümesi X,,, 3 ve X in olasılık fonksiyonu f : X R f PX /8 f PX 3/8 f PX 3/8 3 f3 PX 3 /8 dır. Alışılagelmiş olarak bu olasılıklar aşağıdaki biçimde gösterilir.
16 X x 3 PX x /8 3/8 3/8 /8 X rasgele değişkeni ile ilgili olasılıklar, dağılım fonksiyonu yardımıyla hesap-landığı gibi olasılık fonksiyonu yardımıyla da hesaplanır. PX PX PX PX f f f 7/8 dır. P. 5 X PX f 3/8 Örnek:,,,n sayıları birer kağıt parçasına yazılıp bir kavanoza atılsın. Bu kağıt parçalarından r r n tanesi: a) aynı anda, b) çekileni yerine koymaksızın ardarda, c) çekileni yine yerine koyarak ard arda, alındığında gelen en küçük sayı X olsun. X in olasılık fonksiyonunu bulunuz. a) a, a,,a r : a, a,,a r,,,n olmak üzere, ve n n r fx, U P, PA na n X,,,n r n x x n r, x,,,n r dır. b) a, a,,a r : a i,,,n, i,,,r ve a i ler farklı
17 olmak üzere, ve fx n nn n r U P, PA na/n X,,,n r rn xn x n x r nn n r n x x n r, x,,,n r dır. c) olmak üzere X,,,n ve a, a,,a r : a i,,,n, i,,,n n n r, U P PA na/n fx n x r n x r n r, x,,,n dır. Kesikli rasgele değişkenler ile ilgili bazı kavramlar arasındaki ilişkiler:
18 Tanım: Bir f : R R fonksiyonu için Sürekli Rasgele Değişkenler. fx, x R. fxdx özellikleri sağlanıyorsa f fonksiyonuna olasılık yoğunluk fonksiyonu denir. Tanım: Bir X rasgele değişkenin F dağılım fonksiyonu bir f olasılık yoğunluk fonksiyonu yardımıyla x Fx fxdx, x olarak yazılabiliyorsa X rasgele değişkenine mutlak sürekli veya kısaca sürekli rasgele değişken ve f fonksiyonuna X in olasılık yoğunluk fonksiyonu denir. X rasgele değişkeni ile ilgili olasılık hesapları X rasgele değişkeninin dağılım fonksiyonunu, dolayısıyla olasılık dağılımını belirleyen f olasılık yoğunluk fonksiyonu yardımıyla da yapılabilir. Sürekli rasgele değişkenin dağılım fonksiyonu sürekli bir fonksiyon olduğundan a, b R, a b için, PX a PX a PX a fxdx a Pa X b Pa X b Pa X b Pa X b b fxdx a olacaktır. PX a PX a fxdx a Örnek:,, U B,, A U aralığı için, PA "A nın aralık uzunluğu" olsun. X : R X
19 rasgele değişkenin dağılım fonksiyonu,, x Fx x, x, x dır. Bu dağılım fonksiyonu, f : R R x fx, x, fonksiyonu yardımıyla, Fx ftdt x, x,, x x dt x, x, x olarak yazıldığından, X sürekli bir rasgele değişkendir. Ancak, g : R R x gx, x, fonksiyonu yardımıyla da x Fx gtdt,, x, x yazabiliriz. Bu şekilde F fonksiyonunu belirleyecek çok sayıda başka olasılık yoğunluk fonksiyonları bulabiliriz. Bunlardan herhangi birinin bilinmesi halinde F fonksiyonu ve dolayısıyla X in olasılık dağılımı belirlenmiş olacaktır. F fonksiyonunu belirleyen fonksiyonlardan herhangi birine X in olasılık yoğunluk fonksiyonu diyeceğiz. Şimdi sürekli bir rasgele değişkenin dağılım fonksiyonu bilindiğinde olasılık yoğunluk fonksiyonunu belirleyen bir teoremi ispatsız olarak verelim.
20 Teorem: Sürekli bir X rasgele değişkenin dağılım fonksiyonu F ve F in türevlenebildiği noktaların kümesi A olmak üzere, fx dfx dx, x A, x A fonksiyonu X in bir olasılık yoğunluk fonksiyonudur. Örnek : Sürekli bir X rasgele değişkeninin dağılım fonksiyonu,, x Fx x, x, x olsun. F fonksiyonu x ve x noktaları dışında her yerde türevlenebilir-dir. X rasgele değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu, fx dır. F ve f fonksiyonlarının grafikleri,, x,, x, dır. P X. 5 olasılığını her iki fonksiyon yardımıyla hesaplayalım. P X. 5 F. 5 F. 5/ /. 5.5 P X. 5 fxdx dx. 5.5 Örnek: X rasgele değişkenin olasılık yoğunluk fonksiyonu,
21 fx 3e 3x, x, x olsun. X in dağılım fonksiyonunu bulunuz. Fx x ftdt x, x 3e 3t dt, x, x e 3x, x Şimdi PX olasılığını her iki fonksiyon yardımıyla hesaplayalım. PX fxdx 3e 3x dx e 3 PX PX F e 3 e 3 Örnek: Her atışta isabet kaydeden bir atıcı için yarıçapı birim olan dairesel bir hedefe yaptığı atışların dairenin merkezine uzaklığı X olmak üzere X in olasılık yoğunluk fonksiyonu, fx dır. Buna göre atıcının yaptığı bir atışta: 3 x, x, diğer yerlerde a) X, b) X 5, c) X 8 olması olasılığı nedir? d) Atıcının hedefe yaptığı atışların "gelişigüzel" olması durumunda X rasgele
22 değişkenin olasılık fonksiyonu ve yukarıdaki olasılıklar ne olur? Đstenen olasılıklar, a) b) c) PX fxdx 3 x dx. 7 5 P X 5 3 x dx. 387 PX 8 fxdx 3 x Bu olasılıklar aşağıda da gösterilmiştir (a). d) Atışların "gelişigüzel" olması durumunda, hedefin belli bölgesinin isabet alması olasılığı o bölgenin alanı ile orantılı olmalıdır düşüncesi altında, probleme aşağıdaki olasılık uzayı ile bir yaklaşımda bulunabiliriz. x, y R ; x y, U BR, A U için PA A nın alan ölçüsü nın alan ölçüsü X rasgele değişkeni, isabet alan noktanın hedefin merkezine uzaklığı olsun.
23 X : R u, v Xu, v u v PX P u, v : u v n n X rasgele değişkeninin dağılım fonksiyonu,, x Fx x, x olmak üzere, X in olasılık yoğunluk fonksiyonu, dır. Buna göre, fx x 5, x, x, diğer yerlerde
24 a) PX x dx. 5 5 b) P X 5 x dx. 5 olacaktır. c) PX 8 x dx Örnek: Bir aylık deney farelerinin, uygulanan bir haftalık bir gıda rejimi sonunda gram cinsinden kazandıkları ağırlığın (X), fx 3 8 4x x 5, x 5, d. y. olasılık yoğunluk fonksiyonuna sahip olduğunu varsayalım. Böyle bir gıda rejimi sonucu, a) kazanılan ağırlığın en az gram olması, b) ile 3 gram arasında bir ağırlık kazanılması, c) ağırlık kaybedilmesi, olasılığı nedir? Đstenen olasılıklar: a) PX fxdx 3 8 4x x 5dx b) P X x x 5dx 8 5 c) PX fxdx 3 8 4x x 5 8 8
25 dır. Örnek: X rasgele değişkenin olasılık yoğunluk fonksiyonu, fx e x, x olsun. A, olmak üzere X /XA rasgele değişkenin dağılım fonksiyonunu ve olasılık yoğunluk fonksiyonunu bulalım. X rasgele değişkenin dağılım fonksiyonu dır. Fx ex, x ex, x X /XA rasgele değişkenin dağılım fonksiyonunu bulalım. F X/XA x PX x/x A PX x/ X PX x X P X olup, PX, x, F F
26 , x F X/XA x Fx F F F, x, x, x /e x /e e, x /e x /e e, x, x elde edilir. Buradan, f X/XA x f X/X x e x e, x e x e, x, diğer yerlerde fx FF, x, diğer yerlerde X /XA nın olasılık yoğunluk ve dağılım fonksiyonlarının grafikleri yukarıdadır. Sürekli rasgele değişkenlerle ilgili bazı kavramlar arasındaki ilişkiler aşağıda verilmiştir.
27 Bir X rasgele değişkeni söz konusu olduğunda bizi ilgilendiren şey bu rasgele değişkenin olasılık dağılımıdır, yani B B için P X B olasılığının hesaplanabilmesidir. Bu sebepten, bir çok durumda bir rasgele değişkeni verirken, dağılım fonksiyonu veya olasılık yoğunluk fonksiyonu ile yetinip,,u, P olasılık uzayını gözardı etmekdeyiz. Karma Dağılımlar F ve F iki dağılım fonksiyonu olsun. Fx p F x p F x, p, p, p p de bir dağılım fonksiyonudur. Örnek: F x F x, x e x, x, x e x, x ve Fx F x F x, x ex ex, x dağılım fonksiyonların grafikleri aşağıdadır.
28 subplot(3,,) x:.:5; plot(x,-exp(-x)) subplot(3,,) plot(x,-exp(-*x)) subplot(3,,3) plot(x,-/*exp(-x)-/*exp(-*x)) Örnek: F x F x, x, x, x e x, x ve
29 , x Fx F x F x ex, x ex, x dağılım fonksiyonların grafikleri aşağıdadır
30 Örnek: f ve f iki sürekli dağılımın olasılık yoğunluk fonksiyonu olsun. fx p f x p f x, p, p, p p de bir olasılıkı yoğunluk fonksiyonudur. fx x3 e x7 e, - x x:.:; subplot(3,,) plot(x,normpdf(x,3,)) subplot(3,,) plot(x,normpdf(x,7,)) subplot(3,,3) plot(x,/*normpdf(x,3,)/*normpdf(x,7,))
31 fx 5 x3 e 4 5 x7 e, - x x:.:; subplot(3,,) plot(x,normpdf(x,3,)) subplot(3,,) plot(x,normpdf(x,7,)) subplot(3,,3) plot(x,/5*normpdf(x,3,)4/5*normpdf(x,7,))
32
Örnek Bir zar atıldığında zarın üstünde bulunan noktaların sayısı gözlensin. Çift sayı gelmesi olasılığı nedir? n(s) = 3 6 = 1 2
Bir Olayın Olasılığı P(A) = n(a) n(s) = A nın eleman sayısı S nin eleman sayısı Örnek Bir zar atıldığında zarın üstünde bulunan noktaların sayısı gözlensin. Çift sayı gelmesi olasılığı nedir? Çözüm: S
Rasgele Vektörler Çok Değişkenli Olasılık Dağılımları
4.Ders Rasgele Vektörler Çok Değişkenli Olasılık Dağılımları Tanım:,U, P bir olasılık uzayı ve X, X,,X n : R n X, X,,X n X, X,,X n olmak üzere, her a, a,,a n R n için : X i a i, i,, 3,,n U özelliği sağlanıyor
Rassal Değişken. Yrd. Doç. Dr. Tijen ÖVER ÖZÇELİK
Rassal Değişken Yrd. Doç. Dr. Tijen ÖVER ÖZÇELİK tover@sakarya.edu.tr S örnek uzayı içindeki her bir basit olayı yalnız bir gerçel (reel) değere dönüştüren fonksiyona rassal değişken adı verilir. O halde
Ders 4: Rastgele Değişkenler ve Dağılımları
Ders 4: Rastgele Değişkenler ve Dağılımları Rastgele değişken kavramı Kesikli ve sürekli rastgele değişkenler İki boyutlu rastgele değişkenler Beklenen değer Varyans Örnek uzaydaki her elemanı bir sayıyla
Tesadüfi Değişken. w ( )
1 Tesadüfi Değişken Tesadüfi değişkenler gibi büyük harflerle veya gibi yunan harfleri ile bunların aldığı değerler de gibi küçük harflerle gösterilir. Tesadüfi değişkenler kesikli veya sürekli olmak üzere
Olasılık Kuramı ve İstatistik. Konular Olasılık teorisi ile ilgili temel kavramlar Küme işlemleri Olasılık Aksiyomları
Olasılık Kuramı ve İstatistik Konular Olasılık teorisi ile ilgili temel kavramlar Küme işlemleri Olasılık Aksiyomları OLASILIK Olasılık teorisi, raslantı ya da kesin olmayan olaylarla ilgilenir. Raslantı
RASSAL DEĞİŞKENLER VE OLASILIK DAĞILIMLARI. Yrd. Doç. Dr. Emre ATILGAN
RASSAL DEĞİŞKENLER VE OLASILIK DAĞILIMLARI Yrd. Doç. Dr. Emre ATILGAN 1 RASSAL DEĞİŞKENLER VE OLASILIK DAĞILIMLARI Olasılığa ilişkin olayların çoğunluğunda, deneme sonuçlarının bir veya birkaç yönden incelenmesi
Uygulama 3 Dr. Öğr. Üyesi Aslı SUNER KARAKÜLAH
BİYOİSTATİSTİK Uygulama 3 Dr. Öğr. Üyesi Aslı SUNER KARAKÜLAH Ege Üniversitesi, Tıp Fakültesi, Biyoistatistik ve Tıbbi Bilişim AD. Web: www.biyoistatistik.med.ege.edu.tr Olasılık Hatırlatma Olasılık teorisi,
Olasılık, bir deneme sonrasında ilgilenilen olayın tüm olaylar içinde ortaya çıkma ya da gözlenme oranı olarak tanımlanabilir.
5.SUNUM Olasılık, bir deneme sonrasında ilgilenilen olayın tüm olaylar içinde ortaya çıkma ya da gözlenme oranı olarak tanımlanabilir. Günlük hayatta sıklıkla kullanılmakta olan olasılık bir olayın ortaya
İstatistik ve Olasılık
İstatistik ve Olasılık Rastgele Değişkenlerin Dağılımları I Prof. Dr. İrfan KAYMAZ Ders konusu Bu derste; Rastgele değişkenlerin tanımı ve sınıflandırılması Olasılık kütle fonksiyonu Olasılık yoğunluk
İÇİNDEKİLER. Ön Söz Saymanın Temel Kuralları Permütasyon (Sıralama) Kombinasyon (Gruplama) Binom Açılımı...
İÇİNDEKİLER Ön Söz... Saymanın Temel Kuralları... Permütasyon (Sıralama)... 8 Kombinasyon (Gruplama)... 6 Binom Açılımı... Olasılık... 9 İstatistik... 8... Dağılımlar... 5 Genel Tarama Sınavı... 6 RASTGELE
TÜREV VE UYGULAMALARI
TÜREV VE UYGULAMALARI A R, a A ve f de A da tanımlı bir fonksiyon olsun. Eğer f(x) f(a) lim x a x a limiti veya x=a+h koymakla elde edilen f(a+h) f(a) lim h 0 h Bu türev f (a), df dx limiti varsa f fonksiyonu
1.4 Tam Metrik Uzay ve Tamlaması
1.4. Tam Metrik Uzay ve Tamlaması 15 1.4 Tam Metrik Uzay ve Tamlaması Öncelikle şunu not edelim: (X, d) bir metrik uzay, (x n ), X de bir dizi ve x X ise lim n d(x n, x) = 0 = lim n,m d(x n, x m ) = 0
İstatistik I Ders Notları
İstatistik I Ders Notları Sürekli Rassal Değişkenler Hüseyin Taştan Kasım 2, 26 İçindekiler Sürekli Rassal Değişkenlerin Özellikleri 2 2 Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu 2 Birikimli Olasılık Fonksiyonu 6 4
SORU 1: En az iki elemana sahip bir X kümesi ile bunun P (X) kuvvet. kümesi veriliyor. P (X) üzerinde 0 ; A = 1 ; A
2.2 Ölçüler SORU 1: En az iki elemana sahip bir X kümesi ile bunun P (X kuvvet kümesi veriliyor. P (X üzerinde 0 ; A (A : 1 ; A şeklinde tanımlanan dönüşümü ölçü müdür? ÇÖZÜM 1: (i Tanımdan ( 0. (ii A
BİYOİSTATİSTİK Olasılıkta Temel Kavramlar Yrd. Doç. Dr. Aslı SUNER KARAKÜLAH
BİYOİSTTİSTİK Olasılıkta Temel Kavramlar Yrd. Doç. Dr. slı SUNER KRKÜLH Ege Üniversitesi, Tıp Fakültesi, Biyoistatistik ve Tıbbi Bilişim D. Web: www.biyoistatistik.med.ege.edu.tr 1 OLSILIK Olasılık; Tablo
İSTATİSTİK I KAVRAMLARININ
YTÜ-İktisat İstatistik II İstatistik I Gözden Geçirme İSTATİSTİK I KAVRAMLARININ GÖZDEN GEÇİRİLMESİ Hüseyin Taştan Yıldız Teknik Üniversitesi, İktisat Bölümü, email: tastan@yildiz.edu.tr YTÜ-İktisat İstatistik
BAYES KURAMI. Dr. Cahit Karakuş
BAYES KURAMI Dr. Cahit Karakuş Deney, Olay, Sonuç Küme Klasik olasılık Bayes teoremi Permütasyon, Kombinasyon Rasgele Değişken; Sürekli olasılık dağılımı Kesikli - Süreksiz olasılık dağılımı Stokastik
Örnek...2 : Hilesiz iki zar atma deneyinin bütün çıktılarını aşağıdaki tabloya yazınız.
OLASILIK (İHTİMALLER HESABI) Olasılık kavram ı ilk önceleri şans oyunları ile başlamıştır. Örneğin bir oyunda kazanıp kazanmama, bir paranın atılmasıyla tura gelip gelmemesi gibi. Bu gün bu kavramın birçok
sayıların kümesi N 1 = { 2i-1: i N } ve tüm çift doğal sayıların kümesi N 2 = { 2i: i N } şeklinde gösterilebilecektir. Hiç elemanı olmayan kümeye
KÜME AİLELERİ GİRİŞ Bu bölümde, bir çoğu daha önceden bilinen incelememiz için gerekli olan bilgileri vereceğiz. İlerde konular işlenirken karşımıza çıkacak kavram ve bilgileri bize yetecek kadarı ile
İstatistik, genel olarak, rassal bir olayı (ya da deneyi) matematiksel olarak modellemek ve bu model yardımıyla, anakütlenin bilinmeyen karakteristik
6.SUNUM İstatistik, genel olarak, rassal bir olayı (ya da deneyi) matematiksel olarak modellemek ve bu model yardımıyla, anakütlenin bilinmeyen karakteristik özellikleri (ortalama, varyans v.b. gibi) hakkında
MIT OpenCourseWare http://ocw.mit.edu. 14.30 Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009
MIT OpenCourseWare http://ocw.mit.edu 14.30 Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009 Bu materyale atıfta bulunmak ve kullanım koşulları için http://ocw.mit.edu/terms sayfasını ziyaret ediniz.
Ankara Üniversitesi Kütüphane ve Dokümantasyon Daire Başkanlığı Açık Ders Malzemeleri. Ders izlence Formu
Ankara Üniversitesi Kütüphane ve Dokümantasyon Daire Başkanlığı Açık Ders Malzemeleri Ders izlence Formu Dersin Kodu ve İsmi Dersin Sorumlusu Dersin Düzeyi MAT407 REEL ANALİZ Prof. Dr. Ertan İBİKLİ ve
SÜREKLİ OLASILIK DAĞILIMI
SÜREKLİ OLASILIK DAĞILIMI Normal Olasılık Dağılımı Akülerin dayanma süresi, araçların belli bir zamanda aldığı yol, bir koşuya katılanların bitirme süresi gibi sayılamayacak kadar çok değer alabilen sürekli
Matematik Ders Notları. Doç. Dr. Murat Donduran
Matematik Ders Notları Doç. Dr. Murat Donduran Mart 18, 28 2 İçindekiler 1 Tanımlı Integral Uygulamaları 5 1.1 Olasılık.............................. 5 3 4 İÇINDEKILER Bölüm 1 Tanımlı Integral Uygulamaları
TEK BOYUTLU RASSAL DEĞİŞKENLER
TEK BOYUTLU RASSAL DEĞİŞKENLER Rassal değişken: S örnek uzayının her bir basit olayını yalnız bir gerçel değere dönüştüren fonksiyonuna rassal (tesadüfi) değişken denir. İki para birlikte atıldığında üste
MAT223 AYRIK MATEMATİK
MAT223 AYRIK MATEMATİK Kombinatoryal Olasılık 5. Bölüm Emrah Akyar Anadolu Üniversitesi Fen Fakültesi Matematik Bölümü, ESKİŞEHİR 2014 2015 Öğretim Yılı Olaylar ve Olasılıklar Kombinatoryal Olasılık Olaylar
KAMU PERSONEL SEÇME SINAVI ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ TESTİ ORTAÖĞRETİM MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ TG 4 ÖABT ORTAÖĞRETİM MATEMATİK Bu testlerin her hakkı saklıdır. Hangi amaçla olursa olsun, testlerin tamamının
Örnek...3 : Aşağıdaki ifadelerden hangileri bir dizinin genel terim i olabilir?
DİZİLER Tanım kümesi pozitif tam sayılar kümesi olan her fonksiyona dizi denir. Örneğin f : Z + R, f (n )=n 2 ifadesi bir dizi belirtir. Diziler, değer kümelerine göre adlandırı - lırlar. Dizinin değer
kümeleri sırasıyla n 1, n 2,..., n k eleman içeriyorsa, önce A 1 nin bir elemanını seçmenin n 1
3. Olasılık Hesapları ve Olasılık Dağılımları 3.3. Sayma Teknikleri Olasılık hesapları ve istatistikte birçok problem, verilen küme elemanlarının sayılmasını veya sıralanmasını gerektirir. Eğer bir olayın
Buna göre, eşitliği yazılabilir. sayılara rasyonel sayılar denir ve Q ile gösterilir. , -, 2 2 = 1. sayıdır. 2, 3, 5 birer irrasyonel sayıdır.
TEMEL KAVRAMLAR RAKAM Bir çokluk belirtmek için kullanılan sembollere rakam denir. 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 sembolleri birer rakamdır. 2. TAMSAYILAR KÜMESİ Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,... }
EME Sistem Simülasyonu. Giriş. Olasılık Dağılımı. Rassal Degiskenler
EME 3105 1 Giriş Sistem Simülasyonu Önümüzdeki hafta simulasyon girdilerinin modellenmesinde kullanılan kesikli ve sürekli Simulasyonda İstatistiksel Modeller-I Ders 4 dağılımlar hatırlatılacaktır. Rassal
SÜREKLİ RASSAL DEĞİŞKENLER
SÜREKLİ RASSAL DEĞİŞKENLER Sürekli Rassal Değişkenler Sürekli Rassal Değişken: Değerleriölçümyadatartımla elde edilen, bir başka anlatımla sayımla elde edilemeyen, değişkene sürekli rassal değişken denir.
Çözüm: Siyah top çekilme olasılığı B olsun. Topların sayısı 12 olduğuna göre P(B)=8/12=2/3 tür.
1 Olasılık Örnekler 1. Bir çantada 4 beyaz 8 siyah top vardır. Bir siyah top çekilmesi olasılığı nedir? Çözüm: Siyah top çekilme olasılığı B olsun. Topların sayısı 12 olduğuna göre P(B)=8/12=2/3 tür. 2.
Lineer Dönüşümler ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv.Dr. Nevin ORHUN
Lineer Dönüşümler Yazar Öğr. Grv.Dr. Nevin ORHUN ÜNİTE 7 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; Vektör uzayları arasında tanımlanan belli fonksiyonları tanıyacak, özelliklerini öğrenecek, Bir dönüşümün,
SÜREKLİLİK. 9.1 Süreklilik ve Süreksizlik Kavramları
SÜREKLİLİK Bu bölümde süreklilik kavramı, süreksizlik, sürekli fonksiyonların özellikleri ile buna ilişkin teoremler örnekler ve grafiklerle açıklanmaktadır. 9.1 Süreklilik ve Süreksizlik Kavramları Tanım
OLASILIK ve KURAMSAL DAĞILIMLAR
OLASILIK ve KURAMSAL DAĞILIMLAR Kuramsal Dağılımlar İstatistiksel çözümlemelerde; değişkenlerimizin dağılma özellikleri, çözümleme yönteminin seçimi ve sonuçlarının yorumlanmasında önemlidir. Dağılma özelliklerine
VEKTÖR UZAYLARI 1.GİRİŞ
1.GİRİŞ Bu bölüm lineer cebirin temelindeki cebirsel yapıya, sonlu boyutlu vektör uzayına giriş yapmaktadır. Bir vektör uzayının tanımı, elemanları skalar olarak adlandırılan herhangi bir cisim içerir.
1-2 - * Bu Ders Notları tam olarak emin olmamakla birlikte 2012-2013 yıllarına aiitir.tekrardan Sn.Hakan Paçal'a çoook tsk ederiz...
1-2 - * Bu Ders Notları tam olarak emin olmamakla birlikte 2012-2013 yıllarına aiitir.tekrardan Sn.Hakan Paçal'a çoook tsk ederiz... CABİR VURAL BAHAR 2006 Açıklamalar
OLASILIK LASILIK ve İSTATİSTİK Olasılık
1-1 Click To Edit Master Title Style OLASILIK ve İSTATİSTİK Olasılık Yrd.Doç.Dr Doç.Dr.. Pınar YILDIRIM Okan Üniversitesi Mühendislik ve Mimarlık Fakültesi Bilgisayar Mühendisliği Bölümü 1-2 GİRİŞ Olasılık,
BİNOM AÇILIMI. Binom Açılımı. çözüm. kavrama sorusu. çözüm. kavrama sorusu. ö æ ö æ ö,,
BİNOM AÇILIMI Binom Açılımı n doğal sayı olmak üzere, (x+y) n ifadesinin açılımını pascal üçgeni yardımıyla öğrenmiştik. Pascal üçgenindeki katsayılar; (x+y) n ifadesi 1. Sütun: (x+y) n açılımındaki katsayılar
Örnek...3 : Aşağıdaki ifadelerden hangileri bir dizinin genel terim i olabilir? Örnek...4 : Genel terimi w n. Örnek...1 : Örnek...5 : Genel terimi r n
DİZİLER Tanım kümesi pozitif tam sayılar kümesi olan her fonksiyona dizi denir. Örneğin f : Z + R, f (n )=n 2 ifadesi bir dizi belirtir. Diziler değer kümelerine göre adlandırılırlar. Dizinin değer kümesi
2. SİMETRİK GRUPLAR. Tanım 2.1. X boş olmayan bir küme olmak üzere X den X e birebir örten fonksiyona permütasyon denir.
2. SİMETRİK GRUPLAR Tanım 2.1. X boş olmayan bir küme olmak üzere X den X e birebir örten fonksiyona permütasyon denir. Tanım 2.2. X boş olmayan bir küme olsun. S X ile X den X e tüm birebir örten fonksiyonlar
MATM 133 MATEMATİK LOJİK. Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev
MATM 133 MATEMATİK LOJİK Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev 5.KONU Cebiresel yapılar; Grup, Halka 1. Matematik yapı 2. Denk yapılar ve eş yapılar 3. Grup 4. Grubun basit özellikleri 5. Bir elemanın kuvvetleri
x e göre türev y sabit kabul edilir. y ye göre türev x sabit kabul edilir.
TÜREV y= f(x) fonksiyonu [a,b] aralığında tanımlı olsun. Bu aralıktaki bağımsız x değişkenini h kadar arttırdığımızda fonksiyon değeri de buna bağlı olarak değişecektir. Fonksiyondaki artma miktarını değişkendeki
TÜREV VE UYGULAMALARI
TÜREV VE UYGULAMALARI 1-TÜREVİN TANIMI VE GÖSTERİLİŞİ a,b R olmak üzere, f:[a,b] R fonksiyonu verilmiş olsun. x 0 (a,b) için lim x X0 f(x)-f( x 0 ) limiti bir gerçel sayı ise bu limit değerine f fonksiyonunun
Çalışma Soruları 1. a) x > 5 b) y < -3 c) xy > 0 d) x 3 < y e) (x-2) 2 + y 2 > 1. ( ) 2x
Çalışma Soruları. Aşağıdaki denklemleri çözünüz: a) 7x = 4x + b) x 7x = x 4 c) x 4 x + = 0. Aşağıdaki eşitsizliklerin çözüm kümelerini belirleyiniz ve aralıklar cinsinden ifade ediniz: a) 4x > 9 b) x 4
1984 ÖYS A) 875 B) 750 C) 625 D) 600 E) 500
984 ÖYS. + + a a + a + a işleminin sonucu nedir? a A) +a B) a C) +a D) a E) +a a b ab. ifadesinin kısaltılmış biçimi a b + a b + ab a + b A) a b a b D) a b B) a b a + b E) ab(a-b) C) a b a + b A) 87 B)
2(1+ 5 ) b = LYS MATEMATİK DENEMESİ. işleminin sonucu kaçtır? A)2 5 B)3 5 C)2+ 5 D)3+ 5 E) işleminin sonucu kaçtır?
017 LYS MATEMATİK DENEMESİ Soru Sayısı: 50 Sınav Süresi: 75 ı 1. 4. (1+ 5 ) 1+ 5 işleminin sonucu kaçtır? A) 5 B)3 5 C)+ 5 işleminin sonucu kaçtır? D)3+ 5 E)1+ 5 A) B) 1 C) 1 D) E) 3. 4 0,5.16 0,5 işleminin
7.2 Fonksiyon ve Fonksiyon Tanımları (I) Fonksiyon ve Fonksiyon Tanımları (II)
7.2 Fonksiyon ve Fonksiyon Tanımları (I) Tanım kümesindeki her elemanın değer kümesinde bir ve yalnız bir görüntüsü varsa, tanım kümesinden değer kümesine olan bağıntıya fonksiyon denir. Fonksiyonu f ile
DİKKAT! SORU KİTAPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ A OLARAK CEVAP KÂĞIDINIZA İŞARETLEMEYİ UNUTMAYINIZ. MATEMATİK SINAVI MATEMATİK TESTİ
DİKKAT! SORU KİTAPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ A OLARAK CEVAP KÂĞIDINIZA İŞARETLEMEYİ UNUTMAYINIZ. MATEMATİK SINAVI MATEMATİK TESTİ 1. Bu testte 50 soru vardır.. Cevaplarınızı, cevap kâğıdının Matematik Testi için
ÖABT Olasılık - İstatistik KONU TESTİ Saymanın Temel Kuralları
ÖABT Olasılık - İstatistik KONU TESTİ Saymanın Temel Kuralları. 9 + = 6. A dan B ye 5 farklı şekilde gidebilir. B den C ye 3 farklı şekilde gidebilir. 5.3 = 5. 4.5 = 0 7. 5.3.3.5 5 3. kişi için iki durum
MIT OpenCourseWare http://ocw.mit.edu. 14.30 Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009
MIT OpenCourseWare http://ocw.mit.edu 14.30 Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009 Bu materyale atıfta bulunmak ve kullanım koşulları için http://ocw.mit.edu/terms sayfasını ziyaret ediniz.
BMT 206 Ayrık Matematik. Yük. Müh. Köksal GÜNDOĞDU 1
BMT 206 Ayrık Matematik Yük. Müh. Köksal GÜNDOĞDU 1 Fonksiyonlar Yük. Müh. Köksal GÜNDOĞDU 2 Fonksiyonlar Tanım: A ve B boş olmayan kümeler. A dan B ye bir f fonksiyonu f: A B ile gösterilir ve A nın her
Sürekli Olasılık Dağılım (Birikimli- Kümülatif)Fonksiyonu. Yrd. Doç. Dr. Tijen ÖVER ÖZÇELİK
Sürekl Olasılık Dağılım Brkml- KümülatFonksyonu Yrd. Doç. Dr. Tjen ÖVER ÖZÇELİK tover@sakarya.edu.tr Sürekl olasılık onksyonları X değşken - ;+ aralığında tanımlanmış br sürekl rassal değşken olsun. Aşağıdak
13.Konu Reel sayılar
13.Konu Reel sayılar 1. Temel dizi 2. Temel dizilerde toplama ve çarpma 3. Reel sayılar kümesi 4. Reel sayılar kümesinde toplama ve çarpma 5. Reel sayılar kümesinde sıralama 6. Reel sayılar kümesinin tamlık
Kesikli ġans DeğiĢkenleri Ġçin; Olasılık Dağılımları Beklenen Değer ve Varyans Olasılık Hesaplamaları
Kesikli ġans DeğiĢkenleri Ġçin; Olasılık Dağılımları Beklenen Değer ve Varyans Olasılık Hesaplamaları Kesikli ġans DeğiĢkenlerinin Olasılık Fonksiyonları X, şans değişkeni ve, 2,.., n ise bu tesadüfi değişkenin
SÜREKLİ ŞANS DEĞİŞKENLERİ. Üstel Dağılım Normal Dağılım
SÜREKLİ ŞANS DEĞİŞKENLERİ Üstel Dağılım Normal Dağılım 1 Üstel Dağılım Meydana gelen iki olay arasındaki geçen süre veya bir başka ifadeyle ilgilenilen olayın ilk defa ortaya çıkması için geçen sürenin
rasgele değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu,
3.6. Bazı Sürekli Dağılımlar 3.6.1 Normal Dağılım Normal dağılım hem uygulamalı hem de teorik istatistikte kullanılan oldukça önemli bir dağılımdır. Normal dağılımın istatistikte önemli bir yerinin olmasının
Bir Rasgele Değişkenin Fonksiyonunun Olasılık Dağılımı
5.Ders Döüşümler Bir Rasgele Değişkei Foksiyouu Olasılık Dağılımı Bu kısımda olasılık dağılımı bilie bir rasgele değişkei foksiyoları ola rasgele değişkeleri olasılık dağılımlarıı buluması ile ilgileeceğiz.
İç-Çarpım Uzayları ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv. Dr. Nevin ORHUN
İç-Çarpım Uzayları Yazar Öğr. Grv. Dr. Nevin ORHUN ÜNİTE Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; R n, P n (R), M nxn vektör uzaylarında iç çarpım kavramını tanıyacak ve özelliklerini görmüş olacaksınız.
OYAK ADANA - BALIKESİR - BATMAN - BOLU - DÜZCE HATAY - KAHRAMANMARAŞ - MARDİN - ORDU RİZE - SAKARYA - SİVAS - TEKİRDAĞ - ZONGULDAK 7 NİSAN 2012
OYAK TÜBİTAK BİLİM İNSANI DESTEKLEME DAİRE BAŞKANLIĞI OYAK MATEMATİK YARIŞMASI FİNAL SINAVI ADANA - BALIKESİR - BATMAN - BOLU - DÜZCE HATAY - KAHRAMANMARAŞ - MARDİN - ORDU RİZE - SAKARYA - SİVAS - TEKİRDAĞ
Bir değişkenin bir sabite mümkün olduğu kadar çok yaklaşması durumu ancak onun limitiyle ifade edilebilir.
LİMİT VE SÜREKLİLİK A- LİMİTLER Bir top 10 metre yükseklikten bırakılmaktadır. Top yere vurduktan sonra ilk yüksekliğin 2/5 i kadar sıçramakta ve bunu her yükseliş için devam ettirmektedir. Topun sıçrayacağı
MIT Açık Ders Malzemeleri Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için
MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocm.mit.edu Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için http://ocm.mit.edu/terms veya http://tuba.açık ders.org.tr adresini ziyaret
Ders 2: RP 1 ve RP 2 - Reel izdüşümsel doğru ve
Ders 2: RP 1 ve RP 2 - Reel izdüşümsel doğru ve düzlem Geçen ders doğrusal cebir aracılığıyla izdüşümsel geometri için bir model kurduk. Şimdi bu modeli daha somut bir şekle sokalım, F = R durumunda kurduğumuz
Kesikli Şans Değişkenleri İçin; Olasılık Dağılımları Beklenen Değer ve Varyans Olasılık Hesaplamaları
Kesikli Şans Değişkenleri İçin; Olasılık Dağılımları Beklenen Değer ve Varyans Olasılık Hesaplamaları 1 Şans Değişkeni: Bir dağılışı olan ve bu dağılışın yapısına uygun frekansta oluşum gösteren değişkendir.
8. 2 x+1 =20 x. 9. x 3 +6x 2-4x-24=0 10.
MAT-1 EK SORULAR-2 1. 6. A)7 B)8 C)15.D)56 E)64 Olduğuna göre x.a)1 B)2 C)3 D)4 E)6 7. 2. Birbirinden farklı x ve y gerçek A)5.B)6 C)7 D)8 E)9 sayıları için; x 2 +2009y=y 2 +2009x eşitliği sağlandığına
kişi biri 4 kişilik, üçü ikişer kişilik 4 takıma kaç farklı şekilde ayrılabilir? (3150)
PERMÜTASYON KOMBİNASYON. A = {,,,,5} kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde 5 elemanı bulunur? (). 7 elemanlı bir kümenin en az 5 elemanlı kaç tane alt kümesi vardır? (9). A { a, b, c, d, e, f, g, h}
Olasılık Kavramı. Recep YURTAL. Mühendislikte İstatistik Metotlar. Çukurova Üniversitesi İnşaat Mühendisliği Bölümü
Olasılık Kavramı Mühendislikte İstatistik Metotlar Çukurova Üniversitesi İnşaat Mühendisliği ölümü OLSILIK KVRMI KÜME KVRMI irlikte ele alınan belirli nesneler topluluğuna küme, Kümede içerilen nesnelere
UYGULAMALI MATEMATİK KONU ANLATIMLI ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI
ÖABT UYGULAMALI MATEMATİK KONU ANLATIMLI ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI Yasin ŞAHİN ÖABT UYGULAMALI MATEMATİK KONU ANLATIMLI ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI Her hakkı saklıdır. Bu kitabın tamamı ya da bir kısmı, yazarın izni
f fonksiyonuna bir üç değişkenli fonksiyon adı verilir. Daha çok değişkenli fonksiyonlar benzer şekilde tanımlanır.
Çok Değişkenli Fonksiyonlar Tanım 1. D düzlemin bir bölgesi, f de D nin her bir (x, y) noktasına bir f(x, y) reel sayısı karşılık getiren bir fonksiyon ise f fonksiyonuna bir iki değişkenli fonksiyon adı
10. SINIF MATEMATİK FONKSİYONLARDA İŞLEMLER-2
. SINIF MTEMTİK FONKSİYONLRD İŞLEMLER- ÇKEY NDOLU LİSESİ MTEMTİK ÖLÜMÜ . ÜNİTE.. FONKSİYONLRD DÖRT İŞLEM Neler öğreneceksiniz? Fonksiyonlarda dört işlem yani toplama çıkarma, çarpma ve bölmeyi öğreneceksiniz.
13. Olasılık Dağılımlar
13. Olasılık Dağılımlar Mühendislik alanında karşılaşılan fiziksel yada fiziksel olmayan rasgele değişken büyüklüklerin olasılık dağılımları için model alınabilecek çok sayıda sürekli ve kesikli fonksiyon
(m+2) +5<0. 7/m+3 + EŞİTSİZLİKLER A. TANIM
EŞİTSİZLİKLER A. TANIM f(x)>0, f(x) - eşitsizliğinin
Grup Homomorfizmaları ve
Bölüm 7 Grup Homomorfizmaları ve İzomorfizmalar Bu bölümde verilen gruplar arasında grup işlemlerini koruyan fonksiyonları ele alacağız. Bu fonksiyonlar yardımıyla verilen grupların cebirsel yapılarının
SAB 101 OLASILIK DERS NOTLARI. Prof.Dr. Fatih TANK. SAB 101 Olasılık. F.Tank. 1. Geometirk Dağılım. 2. Negatif Binom Dağılımı
SAB 101 OLASILIK DERS NOTLARI Prof.Dr. Fatih TANK Ankara Üniversitesi Uygulamalı Bilimler Fakültesi Sigortacılık ve Aktüerya Bilimleri Bölümü Prof.Dr. Fatih TANK - Olasılık Ders Notları- Sayfa : 1/7 Haftalık
1. Metrik Uzaylar ve Topolojisi
1. Metrik Uzaylar ve Topolojisi Euclidean R uzayının tabanının B = {(a, b) : a, b R} olduğunu biliyoruz. Demek ki bu uzayda belirleyiçi unsur açık aralıklar. Her açık aralık (a, b) için, olmak üzere, d
Olasılık bir olayın meydana gelme şansının sayısal ifadesidir. Örnekler:
OLASILIK Populasyon hakkında bilgi sahibi olmak amacı ile alınan örneklerden elde edilen bilgiler, bire bir doğru olmayıp hepsi mutlaka bir hata payı taşımaktadır. Bu hata payının ortaya çıkmasının sebebi
KESİKLİ DÜZGÜN DAĞILIM
KESİKLİ DÜZGÜN DAĞILIM Eğer X kesikli rassal değişkeninin alabileceği değerler (,,..., ) eşit olasılığa sahip ise, kesikli düzgün dağılım söz konusudur. p(x) =, X=,,..., şeklinde gösterilir. Bir kutuda
Ders 2: Küme Teorisi, Örnek Uzay, Permütasyonlar ve Kombinasyonlar
Ders 2: Küme Teorisi, Örnek Uzay, Permütasyonlar ve Kombinasyonlar Küme Kavramı Küme İşlemleri Deney, Örnek Uzay, Örnek Nokta ve Olay Kavramları Örnek Noktaları Sayma Permütasyonlar Kombinasyonlar Parçalanmalar
ZMY501 Mühendislikte İstatistik Yöntemler
ZMY501 Mühendislikte İstatistik Yöntemler Bölüm 4 Olasılık http://www1.gantep.edu.tr/~bingul/stat Gaziantep Üniversitesi Mühendislik Yönetimi Tezsiz Yüksek Lisans Programı Aralık 016 Sayfa 1 İçerik Küme
MAT223 AYRIK MATEMATİK
MAT223 AYRIK MATEMATİK Kombinatoryal Olasılık 5. Bölüm Emrah Akyar Anadolu Üniversitesi Fen Fakültesi Matematik Bölümü, ESKİŞEHİR 2014 2015 Öğretim Yılı Olaylar ve Olasılıklar Kombinatoryal Olasılık Olaylar
Tanım 2.1. X boş olmayan bir küme olmak üzere X den X üzerine bire-bir fonksiyona permütasyon denir.
2. SİMETRİK GRUPLAR Tanım 2.1. X boş olmayan bir küme olmak üzere X den X üzerine bire-bir fonksiyona permütasyon denir. Tanım 2.2. boş olmayan bir küme olsun. ile den üzerine bire-bir fonksiyonlar kümesini
OLASILIĞA GİRİŞ P( )= =
OLASILIĞA GİRİŞ - Bugün yağmur yağma olasılığı % 75 dir. - X marka bilgisayarın hiç servis gerektirmeden 100000 saat çalışması olasılığı %85 dir. Olasılık modelleri; Sıvı içindeki moleküllerin davranışlarını
2. Klasik Kümeler-Bulanık Kümeler
2. Klasik Kümeler-Bulanık Kümeler Klasik Küme Teorisi Klasik kümelerde bir nesnenin bir kümeye üye olması ve üye olmaması söz konusudur. Bu yaklaşıma göre istediğimiz özelliğe sahip olan bir birey, eleman
Ayrık Olasılık. Ayrık Olasılığa Giriş
Ayrık Olasılık CC-59 Ayrık Yaılar Konstantin Busch - LU Ayrık Olasılığa Giriş Hilesiz zar Örnek uzay: {,,3,4,5,6} Olası tüm sonuçlar olayının olasılığı: olay kümesinin buyuklugu örnek uzayin buyuklugu
dir. Bir başka deyişle bir olayın olasılığı, uygun sonuçların sayısının örnek uzaydaki tüm sonuçların sayısına oranıdır.
BÖLÜM 3 OLASILIK HESABI 3.. Br Olayın Olasılığı Tanım 3... Br olayın brbrnden ayrık ve ortaya çıkma şansı eşt n mümkün sonucundan m tanes br A olayına uygun se, A olayının P(A) le gösterlen olasılığı P(A)
Dr. Mehmet AKSARAYLI
Dr. Mehmet AKSARAYLI Şans Değişkeni: Bir dağılışı olan ve bu dağılışın yapısına uygun frekansta oluşum gösteren değişkendir. Şans Değişkenleri KESİKLİ RASSAL DEĞİŞKENLER ve OLASILIK DAĞILIMLARI Kesikli
ANADOLU ÜNİVERSİTESİ OLASILIĞA GİRİŞ
ANADOLU ÜNİVERSİTESİ İST 213 OLASILIK DERSİ OLASILIĞA GİRİŞ DOÇ. DR. NİHAL ERGİNEL OLASILIĞA GİRİŞ - Bugün yağmur yağma olasılığı % 75 dir. - X marka bilgisayarın hiç servis gerektirmeden 100000 saat çalışması
Dr. Mehmet AKSARAYLI OLASILIK. Ders 3 / 1
Dr. Mehmet AKSARAYLI OLASILIK Ders 3 / 1 1 0 Kesin İmkansız OLASILIK; Bir olayın gerçekleşme şansının sayısal değeridir. N adet denemede s adet başarı söz konusu ise, da başarının nisbi frekansı lim (s/n)
Bu tanım aralığı pozitif tam sayılar olan f(n) fonksiyonunun değişim aralığı n= 1, 2, 3,, n,
DİZİLER Tamamen belirli bir kurala göre sıralanmış sayılar topluluğuna veya kümeye Dizi denir. Belirli bir kurala göre birbiri ardınca gelen bu sayıların her birine dizinin terimi ve hepsine birden dizinin
İkinci Mertebeden Lineer Diferansiyel Denklemler
A(x)y + B(x)y + C(x)y = F (x) (5) Denklem (5) in sağ tarafında bulunan F (x) fonksiyonu, I aralığı üzerinde sıfıra özdeş ise, (5) denklemine lineer homogen; aksi taktirde lineer homogen olmayan denklem
Tanım Bir A kümesinin her elemanı, bir B kümesinin de elamanı ise, A kümesine B kümesinin alt kümesi denir.
BÖLÜM 1 KÜMELER CEBİRİ Küme, iyi tanımlanmış ve farklı olan nesneler topluluğudur. Yani küme, belli bir kurala göre verilmiş nesnelerin listesidir. Nesneler reel veya kavramsal olabilir. Kümede bulunan
SORU 1: X bir sonsuz küme ve A da X kümesinin tüm sonlu alt kümelerinin. A := {B P (X) : B sonlu} SORU 2: X sayılamayan bir küme
2. ÖLÇÜLER 2.1 BazıKüme Sınıfları SORU 1: X bir sonsuz küme ve A da X kümesinin tüm sonlu alt kümelerinin bir sınıfıolsun. A sınıfıx üzerinde bir σ cebir midir? ÇÖZÜM 1: A := {B P (X) : B sonlu} X / A
SORU 1: Herbir A R kümesi için A G ve λ (A) = λ (G) olacak şekilde. ÇÖZÜM 1: B sayılabilir bir küme olsun. Bu durumda λ (B) = 0 gerçeklenir.
2.4 Lebesgue Dış Ölçüsü ve Lebesgue Ölçüsü SORU : Herbir A R kümesi için A G ve λ (A) = λ (G) olacak şekilde G R kümesinin varlığınıgösteriniz? ÇÖZÜM : B sayılabilir bir küme olsun. Bu durumda λ (B) =
14.Konu Reel sayılarının topolojisi. 1.Tanım:, verilsin. açık aralığına noktasının -komşuluğu denir. { } kümesine nın delinmiş -komşuluğu denir.
14.Konu Reel sayılarının topolojisi 1.Teorem: cismi tamdır. 1.Tanım:, verilsin. açık aralığına noktasının -komşuluğu denir. { } kümesine nın delinmiş -komşuluğu denir. 2.Tanım: ve verilsin. nın her komşuluğunda
11. SINIF. No Konular Kazanım Sayısı GEOMETRİ TRİGONOMETRİ Yönlü Açılar Trigonometrik Fonksiyonlar
11. SINIF No Konular Kazanım Sayısı GEOMETRİ Ders Saati Ağırlık (%) 11.1. TRİGONOMETRİ 7 56 26 11.1.1. Yönlü Açılar 2 10 5 11.1.2. Trigonometrik Fonksiyonlar 5 46 21 11.2. ANALİTİK GEOMETRİ 4 24 11 11.2.1.
Lys x 2 + y 2 = (6k) 2. (x 2k) 2 + y 2 = (2k 5) 2 olduğuna göre x 2 y 2 =? Cevap: 14k 2
1. 1 =? Lys 1 7. x + y = (6k) (x k) + y = (k 5) olduğuna göre x y =?. 6 a.b = ise a + 1 b. b 1 a =? 1k 8. x ve y birbirinden farklı pozitif gerçel sayılar olmak üzere, x y y x. x.y = (x y) ise x y =?.
Olasılık bir diğer ifadeyle bir olayın meydana gelme şansının sayısal ifadesidir. Örnekler:
OLASILIK Populasyon hakkında bilgi sahibi olmak amacı ile alınan örneklerden elde edilen bilgiler bire bir doğru olmayıp hepsi mutlaka bir hata payı taşımaktadır. Bu hata payının ortaya çıkmasının sebebi
Çalışma Soruları 1. a) x > 5 b) y < -3 c) xy > 0 d) x 3 < y e) (x-2) 2 + y 2 > 1. ( ) 2x
Çalışma Soruları. Aşağıdaki denklemleri çözünüz: 7x = 4x + b) x 7x = x 4 c) x 4 x + = 0. Aşağıdaki eşitsizliklerin çözüm kümelerini belirleyiniz ve aralıklar cinsinden ifade ediniz: 4x > 9 b) x 4 < - c)