2. (v+w+x+y+z) 8 ifadesinin açılımında kaç terim vardır? 3. log 5 0, olduğuna göre sayısı kaç basamaklıdır?

Transkript

1 Ayrık Hesaplama Yapıları A GRUBU Numarası Adı Soyadı : CEVAP : ANAHTARI SINAV YÖNERGESİ İşaretlemelerinizde kurşun kalem kullanınız. Soru ve cevap kağıtlarına numaranızı ve isminizi mürekkepli kalem ile yazınız. Sınavın ilk 30 dakikasında sınıftan çıkılmayacaktır. Hesap makinesi kullanmak yasaktır. Sınav boyunca cep telefonlarınızı kapalı tutunuz. Cep telefonunuzun açık olması sınavınızın geçersiz sayılmasına neden olacaktır. Hesaplamalarınız için soru kağıdındaki boş yerleri kullanınız. Değerlendirmede 4 yanlış doğruyu götürecektir. Toplam 0 adet soru vardır. Sınav süresi 0 dakikadır. Sınavda her türlü ders notunun kullanımı yasaktır. Başarılar dilerim. Prof. Dr. Emrah AKYAR. (v+w+x+y+z) 8 ifadesinin açılımında kaç terim vardır? A) 9 B) 3 C) 49 D) 84 E) log 0, olduğuna göre 0 0 sayısı kaç basamaklıdır? A) 7 B) 3 C) 4 D) 6 E) SORULAR. ( x+y+ x) z 0 ifadesinin açılımında xy 7 z nin katsayısı nedir? A) B) 360 C) 0 D) 90 E) Aşağıdakilerden hangisi Goldbach Sanısının ifadesidir? A) Her pozitif tamsayı farklı Fibonacci sayılarının toplamı olarak yazılabilir. B) İkiden büyük her çift tamsayı iki asal sayının toplamı şeklinde yazılabilir. C) Her pozitif tamsayı asal sayıların çarpımı olarak tek türlü yazılabilir. D) Sonsuz tane ikiz asal sayı vardır. E) Sonsuz tane asal sayı vardır. Ara Sınav 04 0 Bahar Dönemi

2 Ayrık Hesaplama Yapıları A GRUBU Bir dolmuşta bulunan kişiden ikisinin aynı ayda doğma olasılığı aşağıdakilerden hangisi olur? A) 0.46 B) = 0.00 ( C) ) 0.83 ( D) ) 0.68 E) 8. {,,..., } kümesindeki sayılardan kaç tanesi sayısı ile aralarında asaldır? A) 00 B) 640 C) 840 D) 70 E) ? (mod 449) A) 7 B) C) 4 D) 8 E) 6 9. ALAFRANGA sözcüğündeki harflerin tümü kullanılarak elde edilebilecek anlamlı ya da anlamsız 9 harfli kelimelerin kaç tanesinde ikiaharfi yan yana gelmez (üç ya da dörtaharfi yan yana geldiğinde ikiaharfi de yan yana gelmiş sayılır)? A) 0 B) 0 C) 00 D) 800 E) Euclid Bölme Algoritması tersten kullanılarak bulunabilecek, 4 = a 68+ b eşitliğini sağlayan a ve b tamsayılarının toplamı aşağıdakilerden hangisi olabilir? A) B) 3 C) 4 D) 6 E) 0. ( ) 00 sayısının iki basamaklı en büyük asal çarpanı aşağıdakilerden hangisidir? 00 A) 9 B) 3 C) 37 D) 79 E) 6 Ara Sınav 04 0 Bahar Dönemi

3 Ayrık Hesaplama Yapıları A GRUBU {,, 3, 4,, 6} kümesinin rastgele seçilen bir alt kümesinde ardışık iki eleman bulunmama olasılığı nedir? A) 3 6 B) C) 6 6 D) E) Erkek, 7 kadın, kadınlar yan yana gelmeyecek şekilde bir sıra halinde kaç farklı şekilde sıralanır? (Not: Elbette her bir kişi diğerinden farklı) 3! A) 6! 7! B) 3! C) 3! 7! 6! D) 6! 7! ( )( ) 3 3 E) 6 7. Dört basamaklı, binler basamağı ve tam olarak iki basamağı aynı olan kaç farklı sayı vardır? (Örneğin 667, 0, 00 istenen türden sayılara örnek olur) A) 46 B) 43 C) 464 D) 8 E) Her zaman için 000 kişilik keyfi bir toplulukta en az k kişinin doğum günü aynıdır ifadesini her zaman doğru yapacak en büyük k tamsayısı aşağıdakilerden hangisidir. (Not: bir kişinin doğum günü için 366 farklı seçenek söz konusudur) A) 6 B) C) 4 D) 3 E) 7. Keyfi bir m tamsayısı için m m ise aşağıdaki ifadelerden hangileri doğru olur? i. m bir asal sayıdır. ii. m m Z iii. m = km olacak şekilde k Z sayısı vardır. A) Yalnız i. B) Yalnız ii. C) ii. ve iii. D) Yalnız iii. E) i.,ii. ve iii. Ara Sınav Bahar Dönemi

4 Ayrık Hesaplama Yapıları A GRUBU (mod n) olacak şekildeki en büyük n tamsayısı aşağıdakilerden hangisidir? A) 769 B) 0673 C) 346 D) E) KOKART sözcüğünün tüm harfleri kullanılarak elde edilebilecek anlamlı ya da anlamsız 6 harfli sözcüklerin kaç tanesi iki sesli harf ile başlar. Örneğin OAKRTK ve AOTRKK istenen türden sözcükler iken OKAKRT ve KKOART istenen türden olmayan sözcüklerdendir. A) 48 B) C) 36 D) 360 E) 4 7. Yuvarlak bir masa etrafında oturan kişi içerisinden rastgele seçilen 3 kişiden en az ikisinin yan yana oturuyor olma olasılığı nedir? A) ( 3 ) 3 B) ( 3 )! C) 3!! D) 7 E) 7 8. A kümesi, S = {,,..., 00} kümesinin 90-elemanlı bir alt kümesi ise A kümesinin tüm elemanlarının toplamı kaç farklı değer alabilir? A) 90 B) 0 C) 499 D) 409 E) Art arda 0 kez yazı-tura atıldığında ardışık iki atışın Tura olmama olasılığı nedir? A) 04 B) 9 C) 9 64 D) 3 04 E) 7 Ara Sınav Bahar Dönemi

5 Ayrık Hesaplama Yapıları A GRUBU ÇÖZÜMLER. Multinomial Teoremine göre, ( ) 0 x y 7( z ) 0! =, 7, x! 7!! xy7 z = xy 7 z = 360xy 7 z olduğundan cevap 360 olur.. Soru 8 özdeş objenin farklı kutuya dağılım problemidir (kutular boş kalabilir). Buna göre cevap ( ) ( ) 8+ = =! 4 8! 4! = 0 9 = olur. 3. Bir n pozitif tamsayısı k basamaklı ise k = log n + olduğunu biliyoruz. Buna göre 0 0 sayısının basamak sayısı log = 0 log 0 + = 0 log( 0) + = 0(log +log 0) + = 0(+log ) + = 0(+0, 69897) + = 7 4. Goldbach Sanısı: İkiden büyük her çift tamsayı iki asal sayının toplamı şeklinde yazılabilir.. Dolmuşta bulunan beş kişinin aynı ayda doğmaması için birinci kişi oniki aydan herhangi birinde doğmuş olacağından, ikinci kişinin kalan onbir aydan birinde doğması, üçüncü kişinin kalan on aydan birinde doğması, dördüncü kişinin kalan dokuz aydan birinde doğmuş olması ve beşinci kişinin de kalan sekiz aydan birinde doğmuş olması gerekir. Olası tüm durumların sayısı da olduğundan bu beş kişinin farklı aylarda doğma olasılığı olur. Buradan bu beş kişinin en az ikisinin aynı ayda doğma olasılığı bulunur Euclid bölme algoritmasını kullanarak önce 449 modülüne göre değerini hesaplayalım olduğundan = olur. 4 sayısı ile 448 arasında olmadığından bu sayıyı 449 a bölüp kalanı almalıyız. (mod 449) elde ederiz Sorunun cevabını bulmak için denkliğin her iki tarafını ile çarparsak, sonucunu elde ederiz. 7 (mod 449) 7. gcd(, 68) = 4 ve Euclid bölme algoritmasına göre olduğundan olduğundan =4 0 = 4 (44 4) =(68 44) (44 (68 44)) =(68 ( 68)) (( 68) (68 ( 68))) = 68 3 Yani a =, b = 3 olmalıdır. Buradan cevap 3 = olur. 8. = 7 olduğundan cevap, içerme dışlama prensibine göre ( φ() = )( ) = = 840 Ara Sınav 04 0 Bahar Dönemi

6 Ayrık Hesaplama Yapıları A GRUBU Verilen kelimeden A harflerini çıkarırsak, kalan harf! farklı şekilde dizilir. Sonra aşağıda ile işaret edilen 6 yerden 4 tanesi seçilip dört A harfi buralara yerleştirilirse ikiaharfi yan yana gelmemiş olur. L F R N G Buradan cevap!( 6 4 ) = 0 = 800 olur. 0. ( ) = 00! 00! 00! olduğunu biliyoruz. Bu sayının iki basamaklı en büyük asal çarpanı p olsun. Bu durumda p ( ), 0 < p < 00 olacak şekildeki p asal sayısını arıyoruz. Şimdi eğer p > 0 ise bu p sayısı paydada (kesrin alt kısmında) kez yer alır. ( ) sayısının p ye bölünebilmesi için de p sayısının payda (kesrin üst kısmında) 3 kez yer alması gerekir. Yani, 3p < 00 olması gerekir. Buradan p < 00 3 = 66, olur. Bu koşulu sağlayan en büyük asal sayı da 6 olduğundan cevap 6 olarak elde edilmiş olur.. Derste {,,..., n} kümesinin ardışık iki eleman içermeyen alt kümelerinin sayısının F n+ olduğunu kanıtlamıştık. Buna göre {,, 3, 4,, 6} kümesinin ardışık iki eleman içermeyen alt kümelerinin sayısı F 8 = olur.{,, 3, 4,, 6} kümesinin tüm alt kümelerinin sayısı da 6 olduğundan cevap 6. İki farklı durum söz konusudur: Aynı olan rakamlar ise, bu durumda sayı xy, xy, xy biçiminde olmalıdır. Aynı olacak basamak sayısı tam olarak olması istendiğinden x y, x ve y olmalıdır. O zaman bu türden = 6 farklı sayı elde edilebilir. Aynı olan rakamlar den farklı ise, bu durumda sayı için yine xxy, xyx, yxx üç durumu söz konusudur. Yine x y, x ve y olmalıdır. O zaman yine bu türden = 6 farklı sayı mümkündür. İki durumu birleştirecek olursak cevap 6+6 = 43 olur. 3. Doğum günü için 366 farklı seçenek ve 000 kişi bulunduğundan en az , 464 yani doğum günü aynı olan en az 6 kişi her zaman bulunabilir. Buradan cevap 6 elde edilir farklı kadın yan yana 7! farklı şekilde dizilir. Daha sonra K K K 3 K 4 K K 6 K 7 diziliminde ile işaret edilen 6 yere 6 erkek tek şekilde ( 6 6 ) = yerleşebileceğinden ve erkekler de yine 6! farklı şekilde kendi arasında sıralanabileceğinden cevap 6! 7! Not: Önce erkekleri dizip, sonra kalan 7 yere kadınlar yerleştirilseydi de aynı sonuç elde edilirdi.. Fermat ın küçük Teoremine göre p asal sayı ise keyfi a tamsayısı için p a p a olur. Ancak bunun tersi doğru olmayabilir. Bu nedenle i. her zaman doğru olmayabilir. a b nin tanımı gereği ise ii. ve iii. her zaman doğru olacaktır (mod n) ifadesinin anlamı 643 ve 346 sayıları n ye bölündüğünde aynı kalanı veriyorlar. Dolayısıyla bu sayıların farkı n ye bölünür. Bu sayıların farkı = 3086 olduğundan ve bu sayıyı bölen en büyük sayı da kendisi olduğundan cevap 3086 olur. 7. kişi yuvarlak masa etrafında( )! =! farklı şekilde oturur. Seçilen 3 kişi içerisinden bir ikili ( 3 ) = 3 farklı şekilde seçilir. Bu iki kişinin kendi içinde yer değiştirmesini de hesaba katarsak bu üç kişi( 3 )! farklı şekilde + kişilik iki gruba ayrılır. Şimdi bu ikiliyi tek kişi gibi düşünürsek geriye kişi kalmış olur. Bu kişi yuvarlak masa etrafına( )! = 0! farklı şekilde oturur ve bu oturuşların tamamında seçilen üç kişiden ikisi yan yana olmuş olur. Ancak bu durumda seçilen üç kişinin üçü de yan yana olursa fazladan sayma yapmış oluruz. Bu nedenle üçünün de yan yana olduğu durumları çıkartmamız lazım. Üçünü tek kişi gibi düşünürsek kendi aralarında 3! farklı şekilde, 0 kişi de masa etrafına(0 )! = 9! farklı şekilde oturabileceğinden cevap ( 3 )! 0! 3! 9! = 6 0! 6 9! 6 9!(0 ) = = 6 9!!! 0 = 4 0 = 7 8. A kümesinin elemanlarının toplamının alabileceği en küçük değer, = 90 9 = 409 Ara Sınav Bahar Dönemi

7 Ayrık Hesaplama Yapıları A GRUBU olur. A nın elemanlarının toplamının alabileceği en büyük değer ise, = = 00 = 499 olur. 90-elemanlı herhangi bir alt küme seçildiğinde elemanları toplamı 499 ile 409 arasında olacağından = 90 farklı değer alabilir. 9.O veaharflerini tek bir harf gibi düşünelim. Bunlar kendi içerisinde de yer değiştirebileceğinden farklı durum söz konusu olur. Sözcüğün en başında bu tek harf gibi düşündüğümüz sesli harfler olsun. İkinci harf olarak kalan 4 sessiz harften biri, üçüncü harf olarak geriye kalan 3 sessiz harften biri, dördüncü harf olarak kalan ve beşinci harf olarak da kalan harf gelebileceğinden, bu şekilde 4 3 farklı sözcük üretilir. Ancak iki tane K harfinin kendi arasında yer değiştirmesi elde edilen kelimeyi değiştirmeyeceğinden her kelimeyi ikişer kez saymış oluruz. Buradan cevap 4 3 = 4 0. n kez yazı-tura atıldığında art arda iki kez Tura gelmediği tüm durumlarının sayısı S n olsun. n nin küçük değerleri için S n sayılarını inceleyelim: n Durumlar S n T,Y YY, TY, YZ 3 3 YYY, YTY, TYY, YYT, TYT 4 YYYY, TYYY, YTYY, YYTY, YYYT, TYTY, TYYT, YTYT elde edilen sayılar Fibonacci sayılarıdır. Gerçekten de n atışın ilk atışı yazı geldi ise kalan n atışta ardışık tura gelmemesi S n farklı şekilde olabilir. Ancak ilk atış tura ise ikinci atış yazı olmak zorundadır ve kalan n atışta ardışık tura gelmemesi S n farklı şekilde mümkün olabilir. Böylece bu iki durumu birleştirirsek, S n = S n + S n olur. S = ve S = 3 olduğundan S n = F n+ Böylece cevap S 0 = F = 44 olduğundan 44 = bulunur. Ara Sınav Bahar Dönemi