Soru 1. Çözüm. Soru 2. Çözüm Yýlý Sorularý ve Çözümleri. Cevap D. Cevap E. Tübitak Ulusal Bilgisayar Olimpiyatlarý

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "Soru 1. Çözüm. Soru 2. Çözüm. 2005 Yýlý Sorularý ve Çözümleri. Cevap D. Cevap E. Tübitak Ulusal Bilgisayar Olimpiyatlarý"

Transkript

1 005 Yýlý Sorularý ve Çözümleri Soru m sayýda yetiþkin izci ile n sayýda yavrukurttan oluþan bir izci grubu (m, n ), bir gezi sýrasýnda bir nehir kýyýsýna ulaþýr. Karþý tarafa geçmek için sahip olduklarý tek araç bir kayýktýr. Ancak bu çok küçük bir kayýktýr Kayýða ayný anda ya bir veya iki yavrukurt ya da bir yetiþkin izci binebilmektedir. Grubun tamamýnýn karþý kýyýya geçmesi için, kayýkla en az kaç sefer (nehrin bir kýyýsýndan diðer kýyýsýna) yapýlmalýdýr? A) 4m + n B) 4m+n C) 4m+n D) 4m + n E) 4m + n 4 Çözüm Ýlk önce yavrukurt ve yetiþkin izcinin karþýya geçirilmesinin kaç seferde tamamlanabileceðini inceleyelim Yetiþkin Ýzci Ýlk önce iki yavrukurt karþýya geçer. () Ardýndan bir tanesi geri döner, () Sonra da karþýdaki izci geriye gelir (4) ve 4 seferde yetiþkin izcinin karþýya geçirilmesi tamamlanmýþ olur. Yavru Kurt Ýlk önce birlikte iki yavrukurt karþýya geçer, () sonra biri iner ve diðeri geri döner (). Böylece bir yavru, seferde karþýya geçirilmiþtir. Daha az sefer yapmak amacýyla bir yetiþkini sonradan, en son gönderirsek 4(m ) + n + = 4m + n 4 + = 4m + n Söz konusu grup 4m + n seferde karþýya geçmiþ olur. Cevap D Soru Bir bakteri kolonisi deney tabaðý üzerine yerleþtirilmekte ve her gün ayný saatte gözlenmektedir. Bakteri kolonisi, her gün bir önceki gün kapladýðý alanýn üç katýný kaplayarak büyümektedir. Kolonin, yerleþtirildiði 0cm lik bir deney tabaðýnýn yüzeyini tamamen kaplamasý, gün almaktadýr. Ýki özdeþ koloninin deney tabaðýnýn yüzeyini birlikte kaplamasý kaç günde tamamlanýr? A) 4 B) C) 0 D) E) Çözüm Bir bakteri kolonisi. günde 0 cm yer kaplar. Bu bakteri kolonisi. günde 0 cm yer kaplar. özdeþ bakteri kolonisi. günde 40 cm yer kaplar. Yani özdeþ bakteri kolonisi bir deney tabaðýnýn yüzeyini. günde tamamlayamaz.. günde ise toplam 0 cm yer kaplarlar. Yani bu deney tabaðýnýn yüzeyini tamamen kaplamalarý. günde olur. Cevap E 7

2 00 Yýlý Sorularý ve Çözümleri Can ýn parasýný al Destenin üstündeki kartý al. Kartta yazan parayý Can a ver (Can 70 TL) Ali ye Can ýn parasý kadar para ver (Ali = 0 TL) *Can ýn parasý 0 TL den azsa ye git. (Fazla olduðu için gidilmiyor, az olsa gidilirdi) Ýþlem Can dan 0 TL al (Can 0 TL) Desteye ye git kartý koy Can ýn parasýný yeni karta yaz (0 TL) Kartý desteye koy ye git. Buradan sonra iþlem diye belirtilmiþ kýsmý kere daha tekrarlanýr. En sonunda * ile iþaretlenmiþ iþlemde Can ýn parasý 0 TL den az çýktýðý için oyun biter. Ali nin parasý 0 TL olur. Cevap D [4-8] sorularý için açýklama Size bir kaplumbaða çizim dili veriliyor. Bu dilde çizimler sanal bir kaplumbaðayý hareket ettirerek elde ediliyor. Kaplumbaðanýn yüzü her zaman 8 doðrultudan birisine bakar ve kaplumbaða sadece bu yönlerde ileri doðru bir sonraki kesiþim noktasýna kadar hareket eder. Bu hareket sýrasýnda da geçtiði yolu çizer. Kaplumbaðanýn hareketlerini tanýmlayan dil aþaðýdaki öðelerden oluþur i Kaplumbaðanýn kendi yönünde ileri doðru, bir sonraki kesiþim noktasýna kadar gitmesini ve bu yolu çizmesini saðlayan komut. Not Bundan sonraki yýllarda da benzer kaplumbaða sorularý verilmiþtir. Çözümleri anlayarak geçmeniz diðer yýllar için de faydalý olacaktýr. < Kaplumbaðanýn bulunduðu konumda saat yönünün tersinde (soluna doðru) 45 derece dönmesini saðlayan komut. > Kaplumbaðanýn bulunduðu konumda saat yönünde (saðýna doðru) 45 derece dönmesini saðlayan komut. [ Kaplumbaðanýn bulunduðu yön konumda anýmsamasýný saðlar. Bu durum karþýlýk gelen ] komutu için kullanýlýr. ] Kaplumbaðanýn karþýlýk gelen [ ifadesinde anýmsadýðý duruma (yön ve konum) dönmesini saðlar. Kaplumbaða bu sýrada iz ve çizim üretmez. n(k) n bir rakam, k de herhangi bir komut dizisidir. Kaplumbaða bu durumda k komutunu n kez yineler. Yinelemelerde bir önceki yinelemenin sonunda kaldýðý durumdan hareketine devam eder. Örneðin (<i) satýrý <i<i<i satýrý ile ayný iþi yapar. B A 9

3 00 Yýlý Sorularý ve Çözümleri Yukarýda saðdaki çizim A noktasýndan baþlayan kaplumbaðanýn i>i(<)ii<<[i]<i komutunu çalýþtýrmasýyla çizilmiþtir ve kaplumbaða bu komut sonrasýnda B durumunda kalýr. Aþaðýdaki sorularý bu kaplumbaða dil tanýmýna göre yanýtlayýnýz. Kaplumbaða komuta her zaman kuzey (y ekseni artý yönünde) yönünde baþlar. Kaplumbaða bir çizginin üzerinden birden fazla kez geçebilir ve bu çizilmiþ yolu etkilemez. () () () (4) (5) () (7) (8) (9) (0) () () () (4) Soru 4 Aþaðýdakilerden hangisi () numaralý þekli çizer? A) 4(i<i) B) 8([i]<) C) 4(i<) D) >>4(i<i<) E) 4(i<<i) Çözüm A) B) C) Önce ilerler sonra 45 döner ve 4 defa gerçekleþir. Önce yerini kaybeder sonra bir ilerler, yerini hatýrlar 45 döner ve ilerler bu döngü sekiz defa gerçekleþir. D) E) Baþlangýç 4 Cevap D 0

4 009 Yýlý Sorularý ve Çözümleri Soru 5 Gezginimiz bu sefer A dan B ye giderken bütün þehirleri görüp gezmeyi amaçlamaktadýr. Dolayýsýyla geçtiði þehirden bir daha geçmeden A þehrinden yola çýkarak bütün þehirlerden tam olarak bir kez geçerek B ye ulaþmak istemektedir. Haritadaki bütün bilgileri gördüðünüzü varsayarsak bu þekilde yapýlacak yolculuk en kýsa ne kadar sürede tamamlanabilir? A) 8 B) C) 4 D) 7 E) 40 Çözüm 4 A 5 0 B A noktasýndayken farklý yolu vardýr, en kýsasý saatlik yoldur daha sonra yine en kýsa yol olan saatlik yoldan devam eder. Yolun sonunda saatlik, saatlik ve 4 saatlik yollar vardýr. saatlik yoldan gidemez çünkü uðradýðý þehre bir daha uðramýþ olur. Bu yüzden en kýsa yol olan 4 saatlik yoldan devam eder. Bu noktada saatlik ve 5 saatlik yol çýkar hem en kýsa olmasý hem de diðer yolun uðradýðýmýz bir þehre çýkmasýndan dolayý 5 saatlik yoldan devam eder. Bu noktadan sonra saat ve saatlik iki yol çýkar ilk bakýþta saatlik yoldan gitmek daha kýsa olacak gibi gözüküyor fakat daha ilerisine baktýðýmýzda bu yolun daha uzun olduðunu görüyoruz. Bu sebeple saatlik yoldan devam ederiz. Yolun sonunda yine farklý yol önümüze çýkýyor. Normalde 8 saatlik yoldan B þehrine varabiliriz fakat her þehre uðrama þartý vardý. Bu yüzden saatlik yoldan devam ederiz. Yolun sonunda farklý yol karþýmýza çýkar saatlik yol daha kýsa olduðundan bu yoldan gideriz. Bu yolun sonunda tek gidebileceðimiz yol saatlik yoldur çünkü diðer yollarýn sonu daha önce uðradýðýmýz þehirlere çýkýyor. Bulunduðumuz noktadan 4 saat ve saatlik iki yol vardýr. 4 saatlik yolu hem daha önce uðradýðýmýz þehre çýkmasý hem de daha uzun olduðundan seçmiyoruz. saatlik yoldan devam ettiðimizde ise farklý yol önümüze çýkýyor. saatlik yol en kýsa olduðundan buradan gider ve B þehrine ulaþýrýz = 8 Cevap A [-40] sorularý için açýklama Size bir kaplumbaða çizim dilimi veriliyor. Bu dilde çizimler sanal bir kaplumbaðayý hareket ettirerek elde ediliyor. Kaplumbaðanýn yüzü her zaman 8 doðrultudan birisine bakar ve kaplumbaða sadece bu yönlerde ileri doðru bir sonraki kesiþim noktasýna kadar hareket eder. Bu hareket sýrasýnda da geçtiði yolu çizer. Kaplumbaðanýn hareketlerini tanýmlayan dil aþaðýdaki öðelerden oluþur

5 009 Yýlý Sorularý ve Çözümleri i Kaplumbaðanýn kendi yönünde ileri doðru, bir sonraki kesiþim noktasýna kadar gitmesini ve bu yolu çizmesini saðlayan komut. < Kaplumbaðanýn bulunduðu konumda saat yönünün tersinde (soluna doðru) 45 derece dönmesini saðlayan komut. > Kaplumbaðanýn bulunduðu konumda saat yönününde (saðýna doðru) 45 derece dönmesini saðlayan komut. [ Kaplumbaðanýn bulunduðu yön ve konumu anýmsamasýný saðlar. Bu durum karþýlýk gelen ] komutu için kullanýlýr. ] Kaplumbaðanýn karþýlýk gelen [ ifadesinde anýmsadýðý duruma (yön ve konum) dönmesini saðlar. Kaplumbaða bu sýrada iz ve çizim üretmez. n(k) n bir rakam, k de herhangi bir komut dizisidir. Kaplumbaða bu durumda k komutunu n kez yineler. Yinelemelerde bir önceki yinelemenin sonunda kaldýðý durumdan hareketine devam eder. Örneðin (<i) satýrý <i<i<i satýrý ile ayný iþi yapar. B A Yukarýda saðdaki çizim A noktasýndan baþlayan kaplumbaðanýn i>i(<)ii<<[i]<i komutunu çalýþtýrmasýyla çizilmiþtir ve kaplumbaða bu komut sonrasýnda B durumunda kalýr. Aþaðýdaki sorularý bu kaplumbaða dil tanýmýna göre yanýtlayýnýz. Kaplumbaða komuta her zaman kuzey yönünde (y ekseni artý yönünde) baþlar. Kaplumbaða bir çizginin üzerinden birden fazla kez geçebilir ve bu çizilmiþ yolu etkilemez. () () () (4) (5) () (7) (8) (9) (0) () () () (4) 4

6 009 Yýlý Sorularý ve Çözümleri Soru i((<)i) komutu kaç numaralý þekli çizer? A) () B) () C) (9) D) (0) E) (4) Çözüm * i((<)i) komutu en soldan baþlarýz. en baþtaki i komutunu uyugularýz. i komutunu uyguladýktan sonra kaplumbaðanýn bulunduðu yer. baþlangýç noktasý i ((<) i) Sýradaki uygulayacaðýmýz komut Bu komutu uyguladýk. * kez 45 derece sola dönerek kendi yönünde bir birim ileri gideriz. Bu komutu kez uygularýz.. AÞAMA. AÞAMA. AÞAMA (<)i komutunu uygularýz. Yani kez 45 sola dönerek kendi yönünde birim ileri gideriz. yönü. kez (<)i komutunu uygularýz. yönü. kez (<)i komutunu uygularýz. Oluþan þekil. þekildir. Cevap C Soru 7 i(([i]>)) komutu kaç numaralý þekli çizer? A) (8) B) () C) () D) (4) E) (7) 5

7 009 Yýlý Sorularý ve Çözümleri Çözüm * i(([i]>)) komutuna en soldan baþlarýz. En baþtaki i komutunu uygularýz. i komutunu uyguladýktan sonra kaplumbaðanýn bulunduðu yer. baþlangýç noktasý i (([i]>)) Sýradaki uygulayacaðýmýz komut Bu komutu uyguladýk. * kez kaplumbaða kendi konumunu anýmsar, bir birim ileri gider, anýmsadýðý yere geri döner ve 45 saða döneriz. Bu iþlemi kez uygularýz.. AÞAMA. AÞAMA. AÞAMA ([i]>) komutunu yönü uygularýz. Yani kez kendi komutunu anýmsar, bir birim ileri gider, anýmsadýðý yere geri döner ve 45 saða döneriz.. kez ([i]>) komutunu uygularýz. yönü. kez ([i]>) komutunu uygularýz. Oluþan þekil 8. þekildir. Cevap A Soru 8 8(i(>)) komutu kaç numaralý þekli çizer? A) () B) (0) C) (4) D) (5) E) ()

8 Çalýþma Notlarý Program Çýktýsý b[0]=0 b[]= b[]= b[4]=4 b[5]=5 b[]= b[7]=7 b[8]=8 b[9]=9 STANDART KULLANIM ÝLE ATAMA for(i=0;i<0;i++) b[i]=i; b[0] b[] b[] b[9] ÝÞARETÇÝ VE DÝZÝ ÝSMÝ KULLANARAK ATAMA for(i=0,p=b;i<0;i++,p++) *p=i; p p+ p+ p+ p *(p+0) *(p+) *(p+) *(p+) *(p+4) *(p+5) *(p+) *(p+7) *(p+8) *(p+9) ÝÞARETÇÝ VE DÝZÝ ÝSMÝ KULLANARAK ATAMA for(i=0,p=b; i<0; i++) *(p+i)=i p p+ p+ p+ p *(p+0) *(p+) *(p+) *(p+) *(p+4) *(p+5) *(p+) *(p+7) *(p+8) *(p+9) ÝÞARETÇÝ OLAN DÝZÝ ÝSMÝNÝ ÝLE ATAMA for(i=0); i<0; i++) *(b+i)=i b b[0] b[] b[9] *(b+0) *(b+) *(b+) *(b+) *(b+4) *(b+5) *(b+) *(b+7) *(b+8) *(b+9) Not b, statik olarak dizinin baþlangýç adresini gösterdiðinden, b++; gibi bir ifade kullanýlamaz. Yani b nin deðeri deðiþtirilemez. Bunun yerine *(b+i) ifadesinin kullanýlmasý gerekir. Bunun yanýnda pointer olarak tanýmlanmýþ deðiþkenlere ++ operatörünü kullanabiliriz. p++; gibi. ÖZYÝNELEME RECURSÝVE. Giriþ Özyinelemeli (ÝngilizcesiRecursive) çözüm yaklaþýmlarý insanoðlunun gündelik düþünme biçimine oldukça terstir. Ancak bilgisayar dünyasýna getirdiði sadelik ve kolay anlaþýlabilirlik bakýmýndan da bizler için vazgeçilmez, mutlaka çok çok iyi anlaþýlmasý ve özümsenmesi gereken bir yaklaþýmdýr. Belki en fazla bilinen, sizin de þüphesiz lise düzeyinde öðrenmiþ olduðunuz faktöryel sayýsýna bakalým. Önce aþina olduðumuz taným 0 dýþýndaki herhangi bir doðal sayýnýn faktöryeli, den baþlayarak o sayýya kadarki tüm doðal sayýlarýn çarpýmýný almak yolu ile elde edilir. 0 sayýsýnýn faktöryeli olarak tanýmlanmaktadýr. Yani matematiksel gösterim ile N! = (N ) N N > 0 0! = Þimdi bir tanýma biraz daha yakýndan bakalým. Aslýnda çarpým dizisinde sonuncu terimi (N) bir kenara býrakýrsak diðer sayýlarýn çarpýmý, yine verilmiþ taným gereði (N )! olmaktadýr. N! = (N ) N N> (N )! Demek ki faktöryel tanýmýný yukarýdaki tanýma alternatif olmak üzere, N! = (N )! N N > 0 0! = biçiminde verebilirdik. 97

9 Çalýþma Notlarý Ýki taným arasýnda özde esaslý bir farklýlýk var, birincisinde tanýmlanan kavram (faktöryel kavramý) tanýmýn içinde (yani eþit iþaretinin sað tarafýnda) kullanýlmamakta. Ýkinci tanýmda ise, bunun tersine olarak tanýmlanan kavram tanýmýn içinde kullanýlmakta. Bi ilk anda kiþiye ters gelse de, mantýksal bütünlük korunduðu sürece ilki kadar geçerlidir. Bu tür tanýmlara özyinelemeli diyoruz. Pek çok bilgisayar dilinde altyordam tanýmlamalarýnda altyordamýn kendi kendisini çaðýrmasýna izin verilmektedir. (Örneðin C, Pascal, Algol, ADA, Lisp, Prolog, ML). Dolayýsýyla bu tür özyinelemeli tanýmlardan yola çýkarak altyordamlar yazmak olanaklý olmaktadýr. Yukarýdaki iki biçimde (özyinelemesiz/özyinelemeli) matematiksel tanýmý verilen faktöryeli hesaplayacak C dilinde birer altyordam yazalým ÖZYÝNELEMESÝZ long faktoryel (int n) { long carpim = ; while (n > 0) { carpim *= n; n--; } return carpim; } ÖZYÝNELEMELÝ long faktoryel (int n) { if (n == 0) return ; return n * faktoryel (n - ) ; } (C dilinde return komutunu fonksiyondan dönmeye neden olmasýndan ötürü yukarýdaki if kullanýmýnda ayrýca bir else e gereksinim yoktur.) Özyinelemeli programýn ne kadar kýsa olduðuna ve matematik tanýma benzeþ kaldýðýna dikkatinizi çekmek isteriz. Özyineleme biraz daha karmaþýk biçimlerde de olabilir. Örneðin doðal sayýlarýn çift veya tek olmalarýný þöyle tanýmlayabilirdik 0 sayýsý çifttir. sayýsý tektir. Bir sayý eðer bir eksiði çift ise, tektir. Bir sayý eðer bir eksiði tek ise, çifttir. Bu özyinelemeli bir tanýmdýr, çünkü tanýmýn içinde çift veya tek olma kavramlarýný kullandýk. Bu sözel tanýma dayanan C altyordamlarý þöyle olacaktýr. (C de dönülen deðerinin doðru, 0 deðerinin yanlýþ anlamýnda olduðunu anýmsatýyoruz) 98

10 Çalýþma Notlarý int cift (long n) { if (n == 0) return ; return tek(n ) ; } int tek(long n) { if (n == 0) return 0 ; if (n == ) return ; return cift (n ) ; } Bu tanýmlara kendi aralarýnda özyinelemeli (ingilizcesi; mutually recursive) diyoruz. Bir probleme özyinelemeli bir göz ile bakmak bu doðrultuda çözüm getirmek özel bir alýþkanlýk gerektirir. Bunun nedeni gündelik yaþantýmýzýn bir düþünce biçimimizin getirdiði programlama alýþkanlýklarýnýn daha çok ardýþýk (iterative) türde oluþudur. Bir örnek verelim Amacýmýz verilmiþ bir kümenin içinde belirli bir elemanýn var olup olmadýðýný belirlemek olsun. Bu problem bize çizili olarak verilmiþ ise tepeden bir bakýþla tüm elemanlarý gözden geçirir, aradýðýmýzýn bunlarýn arasýnda olup olmadýðýný fark etmeye çalýþýrýz. Eðer kümenin eleman sayýsý çok büyük ise bu durumda elemanlarý teker teker alýp aradýðýmýz eleman ile karþýlaþtýrýrýz. Oysa özyinelemeli yaklaþýmda bu problemin çözümünü þöyle dile getiriyor olacaktýr Küme boþ mu? Eðer boþsa yanýtýmýz olumsuzdur. Kümenin içinden aldýðýmýz, çýkardýðýmýz bir eleman aradýðýmýza eþit mi? Eþit ise yanýtýmýz olumludur. Eþit deðil ise bu probleme yanýtýmýz yeni bir problemin çözümünden gelecektir Bu yeni problemde içinden bir elemanýn (yukarýdaki þýktaki iþe yaramayan eleman) çýkarýldýðý (azalmýþ) küme için eleman arama sorusunun tekrar sorulmasýdýr.. Özyinelemenin Dört Altýn Kuralý Kural Size verilen problemin verilerinden yola çýkarak, onlarý en iyi betimleyecek programlama dünyasýnýn veri yapýlarýný belirleyin. Örneðin probleminizde yaþ tan söz ediliyorsa bunun için bir integer deðiþkeni; En çok 00 kiþi olduðunu bildiðiniz bir küme insanýn adlarýndan söz ediliyorsa bunun için bir array [.. 00] of string deðiþkeni; Boyutu çok çok büyük olabilen (Örneðin ) bir matrisin içinde çoðunluðun 0 olduðunu bilmemiz durumunda iki-yönlü-baðlý liste yapýsý seçmenin akýlcý olacaðý gibi. Bu iþi yaparken seçeneðiniz varsa kolay küçültülebilen veri yapýlarý seçin. Örneðin string veri türü çok kolay küçültülebilmektedir; buna karþýn bir array verisinin bu kadar kolay küçültülemediðine dikkatinizi çekeriz, yine de dizinin (array) in baþýnýn veya sonunun dizinini (indeks) tutmak sureti ile baþtan veya sondan iþlevsel olarak küçültülebilir bir veri yapýsý elde edebiliyoruz. Dinamik aðaç ve liste yapýlarý ise en kolay küçültülebilen veri yapýlarýndandýr. 99

11 Çalýþma Notlarý Kural Altyordama bir parametre olarak yollanan yukarýda seçtiðiniz türden verinin olabilecek en büyük halinde olup olmadýðýný sýnamak ile altyordama baþlamak kuraldýr. Alt yordamýnýz bir deðer dönecek ise (yani bir function ise) bunun minimal durum için ne olacaðýna karar vermelisiniz. Yok eðer bir deðer dönmeyecek iseniz (yani bir procedure yazmakta iseniz), hâlâ problemin özelliðine göre bir iþ yapmak durumunda olabilirsiniz (örneðin bir kapsama parantezi basmak, bir deðiþkenin deðerini basmak gibi). Bazý durumlarda hiç bir iþlem yapmadan altyordamdan çýkýp gitmek yeterli olacaktýr. (Aþaðýda verilen örnekleri inceleyiniz). Kural En küçük durumda olmayan veri durumlarýný þimdi ele alacaksýnýz. Altyordamýn takip eden kýsmýnda parametre olarak yollanmýþ veriyi parçaladýðýnýzý düþleyin. Bu parçalama farklý biçimlerde olabilir. Ancak genellikle bu veriyi oluþturan eþ türden alt yapýlarýn varlýðý söz konusu olacaktýr (çünkü ilk kuralýn gereði probleminize özgü veri yapýsýný böþle seçmiþtiniz). Dolayýsýyla iki farklý biçimde parçalama söz konusu olabilir.. Parçalardan biri parçaladýðýnýz veri yapýsý türünden artýk deðildir. Örneðin veri türünüz bir string idi ve ilk karakterini kopardýnýz. Bu karakter artýk parçalanabilir bir string olma özelliðinde deðildir. Veya bu parçaya bu gözle bakýlmayacaktýr, buna karar verilmiþtir.. Parçalarýn hepsi parçaladýðýnýz veri türündendir. Örneðin veri türünüz bir string idi ve onu uygun bulduðunuz bir yerinden bölerek iki string elde ettiniz, (belki de daha fazla). Her iki durum için de yapacaðýnýz çok önemli bir varsayým vardýr. Türü ayný kalmýþ parçalar için altyordamýn tekrar çaðrýlmasýnýn doðru çözüm ürettiðini varsayabilirsiniz. Dolayýsýyla, tam anlamý ile sihirli bir þekilde, parçalar için altyordamýn doðru çözümle çýkageleceðini düþünmek durumundasýnýz. Asla, bunun nasýl olduðunu kavramadýkça ilerleyemeyeceðinizi, bu yaklaþýmý kullanamayacaðýnýzý düþünmeyin. Zaman içinde bu olgunun mantýðýný daha iyi özümseyeceksiniz. O zamana kadar yalnýzca bunun böyle olduðunu kabul ediniz. Kural 4 Size düþen iþ þimdi baþlýyor Asýl veriyle ayný türde (küçülmüþ) veriler için altyordamý tekrar çaðýrmanýzla birlikte sonuçlarý doðru biçimde elinize geliyor, bunu biliyorsunuz. Bir kenarda asýl veri de durmakta. Ve ayrýca elinizde ayný türden olmayan bir (minik) parça da var (yukarýdaki. türden parçalamayý seçtiyseniz var,. türden parçalamayý seçtiyseniz yok). Þimdi bu elinizdekilere bir bakmanýz gerekli Bunlardan asýl sorunun sonucunu, çözmünü nasýl imal edebilirsiniz? Bunu bulduðumuz anda bütün problemi çözmüþ olacaksýnýz. Yapacaðýnýz tek þey bu imalatý yapmak ve eðer bu deðer olarak geri dönülecekse bunu altyordamýn dönüþ deðeri olarak atamak. Þimdi çeþitli örnekler üzerinden geçerek bu kurallarýn nasýl uygulandýðýna daha yakýndan bakalým. Önce verdiðimiz faktöryel örneðini ele alacaðýz. 400

12 Çalýþma Notlarý Kural in Uygulanmasý Faktöryeli alýnacak sayý bir tamsayý ve dolayýsýyla sonuç da bir tamsayý olacak. Öyleyse verinin tamsayý olmasý, altyordamýn da bir tamsayý dönmesi gerekli (Bir function yazýyor olacaðýz). Tamsayý göstermeye uygun veri türü de integer olacak. Peki, bu veri küçültmeye uygun mu? diðer bir deðiþle bu problemde (faktöryel hesaplama problemi) veri nin hangi durumu daha küçük (veya çözümü basit) bir probleme karþýlýk gelmekte? Þüphesiz! hesaplamak 005! hesaplamaktan çok çok daha kolay. Öyleyse bu problemin tek verisi olan faktöryeli hesaplanacak tamsayý nýn sayýsal olarak küçüklüðü daha basit bir probleme karþýlýk gelmekte. Problem verisini küçültmenin yolu da bu durumda çok açýk bir N tamsayýsýna en yakýn (ama ondan küçük kalan) tamsayý N dir. Bu da bir çýkarma iþlemi elde edilmekte. (Diðer örneklerimizde göreceðiz ki bu küçültme iþlemi problemden probleme deðiþen veri yapýsýna göre farklý farklý olacaktýr ve kesinlikle matematiksel bir iþlem olmak zorunluluðunda deðildir.) Bunu aklýmýzda tutarak tanýmýmýzýn ilk kýsmýný yazabiliriz. long faktoryel (int n) {. } Kural nin Uygulanmasý Veri yapýsýný ve türünü seçtik. Þimdi ilk iþ olarak bitiþ kuralýný koymamýz gerekli Kendimize sormamýz gereken soru þu En küçük hangi verinin faktöryeli hesaplanýyor olabilir? Yanýt 0 tamsayýsý. Zira için faktöryel iþlemi tanýmlý deðil. Bu durumda döneceðimiz bir deðer var (çünkü biz bir function yazmaktayýz). Bu dönülecek deðer de, bildiðiniz üzere, dir. Öyleyse tanýmýmýzýn ikinci kýsmý da oluþtu long faktoryel (int n) { if (n == 0) return ;. } Kural ün Uygulanmasý Veriyi, yani bizim durumumuzda faktöryeli hesaplanacak sayýyý nasýl küçültebiliriz? Þüphesiz bunun birden fazla yolu var. Ýþin kolayýna kaçmadan alternatiflere bir göz atalým Birden Fazla Parçaya Ayýrmak Ýþte size birkaç olasýlýk; Örneðin sayýmýz N ise çarpanlarýna {n, n,..., n k } ayýrabiliriz. Öyle ki N = n n... n k olsun. Þüphesiz n i çarpanlarýnýn herbiri N sayýmýzdan küçük kalacaktýr ve bu sayýlarýn faktöryellerini almak mümkündür. Dolayýsýyla faktöryeli alýnabilir olmak özelliðini saðlarlar. Veya sayýmýzý {m, m,..., m k } toplam öðelerine ayýrabiliriz. Öyle ki N = m + m m k olsun. Aynen çarpanlardaki gibi m i toplam oðelerinin herbiri N sayýmýzdan küçük kalacaktýr. Yine benzer biçimde bu doðal sayýlarýn herbirinin faktöryelini almak olanaklýdýr. 40

Kanguru Matematik Türkiye 2017

Kanguru Matematik Türkiye 2017 4 puanlýk sorular 1. Dünyanýn en büyük dairesel pizzasý 128 parçaya bölünecektir. Her bir kesim tam bir çap olacaðýna göre kaç tane kesim yapmak gerekmektedir? A) 7 B) 64 C) 127 D) 128 E) 256 2. Ali'nin

Detaylı

EÞÝTSÝZLÝKLER. I. ve II. Dereceden Bir Bilinmeyenli Eþitsizlik. Polinomlarýn Çarpýmý ve Bölümü Bulunan Eþitsizlik

EÞÝTSÝZLÝKLER. I. ve II. Dereceden Bir Bilinmeyenli Eþitsizlik. Polinomlarýn Çarpýmý ve Bölümü Bulunan Eþitsizlik l l l EÞÝTSÝZLÝKLER I. ve II. Dereceden Bir Bilinmeyenli Eþitsizlik Polinomlarýn Çarpýmý ve Bölümü Bulunan Eþitsizlik Çift ve Tek Katlý Kök, Üslü ve Mutlak Deðerlik Eþitsizlik l Alýþtýrma 1 l Eþitsizlik

Detaylı

Kanguru Matematik Türkiye 2017

Kanguru Matematik Türkiye 2017 4 puanlýk sorular 1. Küçük bir salyangoz, 10m yüksekliðinde bir telefon direðine týrmanmaktadýr. Gündüzleri 3m týrmanabilmekte ama geceleri 1m geri kaymaktadýr. Salyangozun direðin tepesine týrmanmasý

Detaylı

Kanguru Matematik Türkiye 2015

Kanguru Matematik Türkiye 2015 3 puanlýk sorular 1. Aþaðýdaki þekillerden hangisi bu dört þeklin hepsinde yoktur? A) B) C) D) 2. Yandaki resimde kaç üçgen vardýr? A) 7 B) 6 C) 5 D) 4 3. Yan taraftaki þekildeki yapboz evin eksik parçasýný

Detaylı

1. Böleni 13 olan bir bölme iþleminde kalanlarýn

1. Böleni 13 olan bir bölme iþleminde kalanlarýn 4. SINIF COÞMAYA SORULARI 1. BÖLÜM 3. DÝKKAT! Bu bölümde 1 den 10 a kadar puan deðeri 1,25 olan sorular vardýr. 1. Böleni 13 olan bir bölme iþleminde kalanlarýn toplamý kaçtýr? A) 83 B) 78 C) 91 D) 87

Detaylı

3. Tabloya göre aþaðýdaki grafiklerden hangi- si çizilemez?

3. Tabloya göre aþaðýdaki grafiklerden hangi- si çizilemez? 5. SINIF COÞMY SORULRI 1. 1. BÖLÜM DÝKKT! Bu bölümde 1 den 10 a kadar puan deðeri 1,25 olan sorular vardýr. Kazan Bardak Tam dolu kazandan 5 bardak su alýndýðýnda kazanýn 'si boþalmaktadýr. 1 12 Kazanýn

Detaylı

Kanguru Matematik Türkiye 2015

Kanguru Matematik Türkiye 2015 3 puanlýk sorular 1. Hangi þeklin tam olarak yarýsý karalanmýþtýr? A) B) C) D) 2 Þekilde görüldüðü gibi þemsiyemin üzerinde KANGAROO yazýyor. Aþaðýdakilerden hangisi benim þemsiyenin görüntüsü deðildir?

Detaylı

DENEME Bu testte 40 soru bulunmaktadýr. 2. Bu testteki sorular matematiksel iliþkilerden yararlanma gücünü ölçmeye yöneliktir.

DENEME Bu testte 40 soru bulunmaktadýr. 2. Bu testteki sorular matematiksel iliþkilerden yararlanma gücünü ölçmeye yöneliktir. 1. Bu testte 40 soru bulunmaktadýr. 2. Bu testteki sorular matematiksel iliþkilerden yararlanma gücünü ölçmeye yöneliktir. 1. 3 2x +1 = 27 olduðuna göre, x kaçtýr? A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4 4. Yukarýda

Detaylı

Kanguru Matematik Türkiye 2015

Kanguru Matematik Türkiye 2015 3 puanlýk sorular 1. Aþaðýda verilen iþlemleri sýrayla yapýp, soru iþareti yerine yazýlmasý gereken sayýyý bulunuz. A) 7 B) 8 C) 10 D) 15 2. Erinç'in 10 eþit metal þeridi vardýr. Bu metalleri aþaðýdaki

Detaylı

3. Çarpýmlarý 24 olan iki sayýnýn toplamý 10 ise, oranlarý kaçtýr? AA 2 1 1 2 1. BÖLÜM

3. Çarpýmlarý 24 olan iki sayýnýn toplamý 10 ise, oranlarý kaçtýr? AA 2 1 1 2 1. BÖLÜM 7. SINIF COÞMAYA SORULARI 1. BÖLÜM DÝKKAT! Bu bölümde 1 den 10 a kadar puan deðeri 1,25 olan sorular vardýr. 3. Çarpýmlarý 24 olan iki sayýnýn toplamý 10 ise, oranlarý kaçtýr? 2 1 1 2 A) B) C) D) 3 2 3

Detaylı

Kümeler II. KÜMELER. Çözüm A. TANIM. rnek... 3. Çözüm B. KÜMELERÝN GÖSTERÝLMESÝ. rnek... 1. rnek... 2. rnek... 4. 9. Sýnýf / Sayý..

Kümeler II. KÜMELER. Çözüm A. TANIM. rnek... 3. Çözüm B. KÜMELERÝN GÖSTERÝLMESÝ. rnek... 1. rnek... 2. rnek... 4. 9. Sýnýf / Sayý.. Kümeler II. KÜMLR. TNIM Küme, bir nesneler topluluðudur. Kümeyi oluþturan nesneler herkes tarafýndan ayný þekilde anlaþýlmalýdýr. Kümeyi oluþturan nesnelerin her birine eleman denir. Kümeyi genel olarak,,

Detaylı

014-015 Eðitim Öðretim Yýlý ÝSTANBUL ÝLÝ ORTAOKULLAR ARASI "7. AKIL OYUNLARI ÞAMPÝYONASI" Ýstanbul Ýli Ortaokullar Arasý 7. Akýl Oyunlarý Þampiyonasý, 18 Nisan 015 tarihinde Özel Sancaktepe Bilfen Ortaokulu

Detaylı

5. 2x 2 4x + 16 ifadesinde kaç terim vardýr? 6. 4y 3 16y + 18 ifadesinin terimlerin katsayýlarý

5. 2x 2 4x + 16 ifadesinde kaç terim vardýr? 6. 4y 3 16y + 18 ifadesinin terimlerin katsayýlarý CEBÝRSEL ÝFADELER ve DENKLEM ÇÖZME Test -. x 4 için x 7 ifadesinin deðeri kaçtýr? A) B) C) 9 D). x 4x ifadesinde kaç terim vardýr? A) B) C) D) 4. 4y y 8 ifadesinin terimlerin katsayýlarý toplamý kaçtýr?.

Detaylı

2014-2015 Eðitim Öðretim Yýlý ÝSTANBUL ÝLÝ ORTAOKULLAR ARASI "4. AKIL OYUNLARI TURNUVASI" Ýstanbul Ýli Ortaokullar Arasý 4. Akýl Oyunlarý Turnuvasý, 21 Þubat 2015 tarihinde Özel Sancaktepe Okyanus Koleji

Detaylı

DENEME Bu testte 40 soru bulunmaktadýr. 2. Bu testteki sorular matematiksel iliþkilerden yararlanma gücünü ölçmeye yöneliktir.

DENEME Bu testte 40 soru bulunmaktadýr. 2. Bu testteki sorular matematiksel iliþkilerden yararlanma gücünü ölçmeye yöneliktir. 1. Bu testte 40 soru bulunmaktadýr. 2. Bu testteki sorular matematiksel iliþkilerden yararlanma gücünü ölçmeye yöneliktir. 1. a, b, c birbirinden farklý rakamlardýr. 2a + 3b - 4c ifadesinin alabileceði

Detaylı

Kanguru Matematik Türkiye 2017

Kanguru Matematik Türkiye 2017 4 puanlýk sorular 1. Bir dik ikizkenar ABC üçgeni, BC = AB = birim olacak þekilde veriliyor. Üçgenin C köþesini merkez kabul ederek çizilen ve yarýçapý birim olan bir yay, hipotenüsü D noktasýnda, üçgenin

Detaylı

Aþaðýdaki tablodaki sayýlarýn deðerlerini bulunuz. Deðeri 0 veya 1 olan sayýlarýn bulunduðu kutularý boyayýnýz. b. ( 3) 4, 3 2, ( 3) 3, ( 3) 0

Aþaðýdaki tablodaki sayýlarýn deðerlerini bulunuz. Deðeri 0 veya 1 olan sayýlarýn bulunduðu kutularý boyayýnýz. b. ( 3) 4, 3 2, ( 3) 3, ( 3) 0 Tam Sayýlarýn Kuvveti Sýfýr hariç her sayýnýn sýfýrýncý kuvveti e eþittir. n 0 = (n 0) Sýfýrýn (sýfýr hariç) her kuvvetinin deðeri 0 dýr. 0 n = 0 (n 0) Bir sayýnýn birinci kuvveti her zaman kendisine eþittir.

Detaylı

HAFIZA TEKNÝKLERÝ ile MATEMATÝK

HAFIZA TEKNÝKLERÝ ile MATEMATÝK BÖLÜM 8 HAFIZA TEKNÝKLERÝ ile MATEMATÝK Birler Hanesi "5" Olan Ýki Basamaklý Sayýlarýn Karesi Örnek 1: 35² = 1225 Bu iþlemi basit bir yöntem ile 2 saniye içinde gerçekleþtirmeniz mümkündür. Tek yapmanýz

Detaylı

3. FASÝKÜL 1. FASÝKÜL 4. FASÝKÜL 2. FASÝKÜL 5. FASÝKÜL. 3. ÜNÝTE: ÇIKARMA ÝÞLEMÝ, AÇILAR VE ÞEKÝLLER Çýkarma Ýþlemi Zihinden Çýkarma

3. FASÝKÜL 1. FASÝKÜL 4. FASÝKÜL 2. FASÝKÜL 5. FASÝKÜL. 3. ÜNÝTE: ÇIKARMA ÝÞLEMÝ, AÇILAR VE ÞEKÝLLER Çýkarma Ýþlemi Zihinden Çýkarma Ýçindekiler 1. FASÝKÜL 1. ÜNÝTE: ÞEKÝLLER VE SAYILAR Nokta Düzlem ve Düzlemsel Þekiller Geometrik Cisimlerin Yüzleri ve Yüzeyleri Tablo ve Þekil Grafiði Üç Basamaklý Doðal Sayýlar Sayýlarý Karþýlaþtýrma

Detaylı

BÖLÜM 3 FONKSÝYONLARIN LÝMÝTÝ. ~ Limitlerin Tanýmý ve Özellikleri. ~ Alýþtýrmalar 1. ~ Özel Tanýmlý Fonksiyonlarýn Limitleri

BÖLÜM 3 FONKSÝYONLARIN LÝMÝTÝ. ~ Limitlerin Tanýmý ve Özellikleri. ~ Alýþtýrmalar 1. ~ Özel Tanýmlý Fonksiyonlarýn Limitleri BÖLÜM FONKSÝYONLARIN LÝMÝTÝ Limitlerin Tanýmý ve Özellikleri Alýþtýrmalar Özel Tanýmlý Fonksionlarýn Limitleri (Saðdan ve Soldan Limitler) Alýþtýrmalar Trigonometrik Fonksionlarýn Limitleri Alýþtýrmalar

Detaylı

DOĞAL SAYILARLA İŞLEMLER

DOĞAL SAYILARLA İŞLEMLER bilgi Üslü Doğal Sayılar DOĞAL SAYILARLA İŞLEMLER Bir bardak suda kaç tane molekül vardýr? Dünya daki canlý sayýsý kaçtýr? Ay ýn Dünya ya olan uzaklýðý kaç milimetredir? Tüm evreni doldurmak için kaç kum

Detaylı

17 ÞUBAT kontrol

17 ÞUBAT kontrol 17 ÞUBAT 2016 5. kontrol 3 puanlýk sorular 1. 20,16 ile 3,17 ondalýk sayýlarý arasýnda kaç tane tam sayý vardýr? A) 15 B) 16 C) 17 D) 18 E) 19 2. Aþaðýdaki trafik iþaretlerinden hangisinin simetri ekseni

Detaylı

Mantýk Kümeler I. MANTIK. rnek rnek rnek rnek rnek... 5 A. TANIM B. ÖNERME. 9. Sýnýf / Sayý.. 01

Mantýk Kümeler I. MANTIK. rnek rnek rnek rnek rnek... 5 A. TANIM B. ÖNERME. 9. Sýnýf / Sayý.. 01 Matematik Mantýk Kümeler Sevgili öðrenciler, hayatýnýza yön verecek olan ÖSS de, baþarýlý olmuþ öðrencilerin ortak özelliði, 4 yýl boyunca düzenli ve disiplinli çalýþmýþ olmalarýdýr. ÖSS Türkiye Birincisi

Detaylı

Matematik ve Türkçe Örnek Soru Çözümleri Matematik Testi Örnek Soru Çözümleri 1 Aþaðýdaki saatlerden hangisinin akrep ve yelkovaný bir dar açý oluþturur? ) ) ) ) 11 12 1 11 12 1 11 12 1 10 2 10 2 10 2

Detaylı

Geometriye Y olculuk. E Kare, Dikdörtgen ve Üçgen E Açýlar E Açýlarý Ölçme E E E E E. Çevremizdeki Geometri. Geometrik Þekilleri Ýnceleyelim

Geometriye Y olculuk. E Kare, Dikdörtgen ve Üçgen E Açýlar E Açýlarý Ölçme E E E E E. Çevremizdeki Geometri. Geometrik Þekilleri Ýnceleyelim Matematik 1. Fasikül ÜNÝTE 1 Geometriye Yolculuk ... ÜNÝTE 1 Geometriye Y olculuk Çevremizdeki Geometri E Kare, Dikdörtgen ve Üçgen E Açýlar E Açýlarý Ölçme Geometrik Þekilleri Ýnceleyelim E E E E E Üçgenler

Detaylı

TEST. 8 Ünite Sonu Testi m/s kaç km/h'tir? A) 72 B) 144 C) 216 D) 288 K 25 6 L 30 5 M 20 7

TEST. 8 Ünite Sonu Testi m/s kaç km/h'tir? A) 72 B) 144 C) 216 D) 288 K 25 6 L 30 5 M 20 7 TEST 8 Ünite Sonu Testi 1. 40 m/s kaç km/h'tir? A) 72 B) 144 C) 216 D) 288 2. A noktasýndan harekete baþlayan üç atletten Sema I yolunu, Esra II yolunu, Duygu ise III yolunu kullanarak eþit sürede B noktasýna

Detaylı

Kareli kaðýda çizilmiþ olan. ABC üçgenin BC kenarýna ait yüksekliði kaç birimdir?

Kareli kaðýda çizilmiþ olan. ABC üçgenin BC kenarýna ait yüksekliði kaç birimdir? 8. SINI ÜÇGN YRII NR TTi YÜSÝ üçgenin köþesinden kenarýna ait dikme inþa ediniz. yný iþlemi köþesinden kenarýna ve köþesinden kenarýna da uygulayýnýz. areli kaðýda çizilmiþ olan üçgenin kenarýna ait yüksekliði

Detaylı

0.2-200m3/saat AISI 304-316

0.2-200m3/saat AISI 304-316 RD Firmamýz mühendisliðinde imalatýný yaptýðýmýz endüstriyel tip hava kilidleri her türlü proseste çalýþacak rotor ve gövde seçeneklerine sahiptir.aisi304-aisi316baþtaolmaküzerekimya,maden,gýda...gibi

Detaylı

2014 2015 Eðitim Öðretim Yýlý ÝSTANBUL ÝLÝ ÝLKOKULLAR ARASI 2. Zeka Oyunlarý Turnuvasý 7 Mart Silence Ýstanbul Hotel TURNUVA PROGRAMI 09.30-10.00 10.00-10.45 11.00-11.22 11.35-11.58 12.10-12.34 12.50-13.15

Detaylı

1. BÖLÜM. 4. Bilgi: Bir üçgende, iki kenarýn uzunluklarý toplamý üçüncü kenardan büyük, farký ise üçüncü kenardan küçüktür.

1. BÖLÜM. 4. Bilgi: Bir üçgende, iki kenarýn uzunluklarý toplamý üçüncü kenardan büyük, farký ise üçüncü kenardan küçüktür. 8. SINIF COÞMY SORULRI 1. ÖLÜM DÝKKT! u bölümde 1 den 10 a kadar puan deðeri 1,25 olan sorular vardýr. 3. 1. 1 1 1 1 1 1 D E F 1 1 1 C 1 ir kenarý 1 birim olan 24 küçük kareden oluþan þekilde alaný 1 birimkareden

Detaylı

Kanguru Matematik Türkiye 2015

Kanguru Matematik Türkiye 2015 3 puanlýk sorular 1. Ayla 1997 ve kardeþi Cemile 2001 yýlýnda doðmuþtur. Bu iki kýz kardeþin yaþlarý farký için aþaðýdakilerden hangisi her zaman doðrudur? A) 4 yýldan azdýr B) en az 4 yýldýr C) tam 4

Detaylı

Yönergeyi dikkatlice oku. Gözden hiçbir þeyi kaçýrmamaya dikkat et. Þifrenin birini testin iþaretlenen yerine ( Adayýn Þifresi ), diðer þifreyi de

Yönergeyi dikkatlice oku. Gözden hiçbir þeyi kaçýrmamaya dikkat et. Þifrenin birini testin iþaretlenen yerine ( Adayýn Þifresi ), diðer þifreyi de ADAYIN ÞÝFRESÝ Eðitimi Geliþtirme Dairesi DENEME DEVLET OLGUNLUK SINAVI ÖÐRENCÝLERÝN BÝLGÝ VE BECERÝLERÝNÝ DEÐERLENDÝRME SEKTÖRÜ Öðrencilerin Bilgi Ve Becerilerini Deðerlendirme Sektörü BÝRÝNCÝ deðerlendiricinin

Detaylı

MATEMATİK SORU BANKASI

MATEMATİK SORU BANKASI Bu kitap tarafından hazırlanmıştır. MATEMATİK SORU BANKASI ISBN-978-605-6067-8- Sertifika No: 748 Konu Kavrama s e r i s i Üniversiteye Hazırlık & Okula Yardımcı Bu kitabın tüm basım ve yayın hakları na

Detaylı

10. 4a5, 2b7 ve 1cd üç basamaklý sayýlardýr.

10. 4a5, 2b7 ve 1cd üç basamaklý sayýlardýr. 5. ACB + AC BC iþlemine göre, A.C çarpýmý kaçtýr? 0. 4a5, b7 ve cd üç basamaklý sayýlardýr. 4a5 b7 cd A) B) 4 C) 5 D) 6 E) olduðuna göre, c + b a + d ifadesinin deðeri kaçtýr? A) 8 B) C) 5 D) 7 E) 8 (05-06

Detaylı

ünite1 1. Aþaðýdaki kavram ve gösterimi çiftlerinden hangisi doðrudur? A. ýþýn, B. doðru parçasý, d C. nokta, A D. doðru,

ünite1 1. Aþaðýdaki kavram ve gösterimi çiftlerinden hangisi doðrudur? A. ýþýn, B. doðru parçasý, d C. nokta, A D. doðru, ünite1 Geometri Matematik E 1 3. 1. þaðýdaki kavram ve gösterimi çiftlerinden hangisi doðrudur?. ýþýn, B B. doðru parçasý, d. nokta,. doðru, B Y erilen açýnýn gösterimi aþaðýdakilerden hangisi olabilir?.

Detaylı

POLÝNOMLAR TEST / Aþaðýdakilerden hangisi polinom fonksiyonu deðildir?

POLÝNOMLAR TEST / Aþaðýdakilerden hangisi polinom fonksiyonu deðildir? POLÝNOMLAR TEST / 1 1. Bir fonksiyonun polinom belirtmesi için, deðiþkenlerin kuvveti doðal sayý olmalýdýr. Buna göre, aþaðýdakilerden hangisi bir polinomdur? 5. m 4 8 m 1 P(x) = x + 2.x + 2 ifadesi bir

Detaylı

4. 5. x x = 200!

4. 5. x x = 200! 8. SINIF COÞMY SORULRI 1. ÖLÜM 3. DÝKKT! u bölümde 1 den 10 a kadar puan deðeri 1,25 olan sorular vardýr. 1. adým (2) 2. adým (4) 1. x bir tam sayý ve 4 3 x 1 7 5 x eþitsizliðinin doðru olmasý için x yerine

Detaylı

* Okuyalım: * Akıl Oyunları: * Matematik: * El Becerisi: * Alıștırma-Bulmaca: * Bilim ve Teknoloji: * Gezelim-Görelim:

* Okuyalım: * Akıl Oyunları: * Matematik: * El Becerisi: * Alıștırma-Bulmaca: * Bilim ve Teknoloji: * Gezelim-Görelim: 3. SINIF 1.ta haf * Okuyalım: Eșek * Matematik: Çevremizdeki Üçgenler * Alıștırma-Bulmaca: Sözcük Avı * Gezelim-Görelim: Doğal Yașam Parkı * Alıștırma-Bulmaca: Sıradaki Șekil Hangisi * Doğa: Karıncaların

Detaylı

1. Bir yel deðirmen motoru þekildeki gibi 3 diþliden oluþuyor.

1. Bir yel deðirmen motoru þekildeki gibi 3 diþliden oluþuyor. 6. SINIF COÞMAYA SORULARI 1. BÖLÜM DÝKKAT! Bu bölümde 1 den 10 a kadar puan deðeri 1,25 olan sorular vardýr. 36 12 6 O 1 O 2 O 3 1. Bir yel deðirmen motoru þekildeki gibi 3 diþliden oluþuyor. 3. A = 3

Detaylı

HATIRLAYALIM TAM SAYILAR

HATIRLAYALIM TAM SAYILAR HATIRLAYALIM bilgi TAM SAYILAR Sayıların önüne koyulan "+" ve " " işaretleri sayıların yönünü belirtir. Önünde "+" işareti olan tam sayılar "pozitif tam sayılar", önünde " " işareti olan tam sayılar "negatif

Detaylı

Kanguru Matematik Türkiye 2017

Kanguru Matematik Türkiye 2017 3 puanlýk sorular. Aþaðýdaki þekilde her kutudaki sayý altýndaki iki kutuda bulunan sayýlarýn toplamýna eþittir. Soru iþaretinin bulunduðu kutudaki sayý kaçtýr? 2039 2020? 207 A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9

Detaylı

4. a ve b, 7 den küçük pozitif tam sayý olduðuna göre, 2 a a b. 5. 16 x+1 = 3

4. a ve b, 7 den küçük pozitif tam sayý olduðuna göre, 2 a a b. 5. 16 x+1 = 3 LYS ÜNÝVSÝT HAZILIK ÖZ-D-BÝ YAYINLAI MATMATÝK DNM SINAVI A Soru saýsý: 5 Yanýtlama süresi: 75 dakika Bu testle ilgili anýtlarýnýzý optik formdaki Matematik bölümüne iþaretleiniz. Doðru anýtlarýnýzýn saýsýndan

Detaylı

YAZILIYA HAZIRLIK TESTLERÝ TEST / 1

YAZILIYA HAZIRLIK TESTLERÝ TEST / 1 YAZILIYA HAZIRLIK TESTLERÝ TEST / 1 1. x +6x+5=0 5. x +5x+m=0 denkleminin reel kökü olmadýðýna göre, m nin alabileceði en küçük tam sayý deðeri kaçtýr? A) {1,5} B) {,3} C) { 5, 1} D) { 5,1} E) {,3} A)

Detaylı

4. f(x) = x 3 3ax 2 + 2x 1 fonksiyonunda f ý (x) in < x < için f(x) azalan bir fonksiyon olduðuna

4. f(x) = x 3 3ax 2 + 2x 1 fonksiyonunda f ý (x) in < x < için f(x) azalan bir fonksiyon olduðuna Artan - Azalan Fonksionlar Ma. Min. ve Dönüm Noktalarý ÖSYM SORULARI. Aþaðýdaki fonksionlardan hangisi daima artandýr? A) + = B) = C) = ( ) + D) = E) = + (97). f() = a + fonksionunda f ý () in erel (baðýl)

Detaylı

Basým Yeri: Ceren Matbaacılık AŞ. Basým Tarihi: Haziran / ISBN Numarası: Sertifika No: 33674

Basým Yeri: Ceren Matbaacılık AŞ. Basým Tarihi: Haziran / ISBN Numarası: Sertifika No: 33674 kapak sayfası İÇİNDEKİLER 7. ÜNİTE POLİNOMLAR Polinom Kavramı ve Polinomlarda İşlemler... 4 Polinom Kavramı... 4 9 Polinomlarda İşlemler... 9 Konu Testleri - - - 4-5... 6 Polinomlarda Çarpanlara Ayırma...

Detaylı

KÜMELER TEST / 1. 1. Aþaðýdakilerden hangisi bir küme belirtir?

KÜMELER TEST / 1. 1. Aþaðýdakilerden hangisi bir küme belirtir? KÜMELER TEST /. þaðýdakilerden hangisi bir küme belirtir? 6. ten küçük asal sayýlar kümesinin Venn þemasý ile gösterimi aþaðýdakilerden ) Yýlýn aylarý ) Sokaktaki yaþlý insanlar ) Trabzondaki en iyi lokantalar

Detaylı

ÇEVRE VE TOPLUM. Sel Erozyon Kuraklýk Kütle Hareketleri Çýð Olaðanüstü Hava Olaylarý: Fýrtýna, Kasýrga, Hortum

ÇEVRE VE TOPLUM. Sel Erozyon Kuraklýk Kütle Hareketleri Çýð Olaðanüstü Hava Olaylarý: Fýrtýna, Kasýrga, Hortum ÇEVRE VE TOPLUM 11. Bölüm DOÐAL AFETLER VE TOPLUM Konular DOÐAL AFETLER Dünya mýzda Neler Oluyor? Sel Erozyon Kuraklýk Kütle Hareketleri Çýð Olaðanüstü Hava Olaylarý: Fýrtýna, Kasýrga, Hortum Volkanlar

Detaylı

Bakým sigortasý - Sizin için bilgiler. Türkischsprachige Informationen zur Pflegeversicherung. Freie Hansestadt Bremen.

Bakým sigortasý - Sizin için bilgiler. Türkischsprachige Informationen zur Pflegeversicherung. Freie Hansestadt Bremen. Gesundheitsamt Freie Hansestadt Bremen Sozialmedizinischer Dienst für Erwachsene Bakým sigortasý - Sizin için bilgiler Türkischsprachige Informationen zur Pflegeversicherung Yardýma ve bakýma muhtaç duruma

Detaylı

GEOMETRÝK ÞEKÝLLER. üçgen. bilgi

GEOMETRÝK ÞEKÝLLER. üçgen. bilgi bilgi GEOMETRÝK ÞEKÝLLER Tacýn ve basket potasýnýn þekilleri arasýnda nasýl bir benzerlik veya fark vardýr? Tacýn þeklinde bir açýklýk varken, basket potasýnýn þekli tamamen kapalýdýr. Buradan þekillerin

Detaylı

1. BÖLÜM. 1. a < b < 0 < c ise, aþaðýdakilerden hangisi daima pozitiftir? BB A) (a b). (b + c) B) (a + b). (a c) C) b. (c + b) D) a. b.

1. BÖLÜM. 1. a < b < 0 < c ise, aþaðýdakilerden hangisi daima pozitiftir? BB A) (a b). (b + c) B) (a + b). (a c) C) b. (c + b) D) a. b. 7. SINIF COÞMAYA SORULARI 1. BÖLÜM DÝKKAT! Bu bölümde 1 den 10 a kadar puan deðeri 1,25 olan sorular vardýr. 1. a < b < 0 < c ise, aþaðýdakilerden hangisi daima pozitiftir? A) (a b). (b + c) B) (a + b).

Detaylı

LYS MATEMATÝK II. Polinomlar. II. Dereceden Denklemler

LYS MATEMATÝK II. Polinomlar. II. Dereceden Denklemler LYS MATEMATÝK II Soru Çözüm Dersi Kitapçığı 1 (MF - TM) Polinomlar II. Dereceden Denklemler Bu yayýnýn her hakký saklýdýr. Tüm haklarý bry Birey Eðitim Yayýncýlýk Pazarlama Ltd. Þti. e aittir. Kýsmen de

Detaylı

KÖÞE TEMÝZLEME MAKÝNASI ELEKTRONÝK KONTROL ÜNÝTESÝ KULLANIM KILAVUZU GENEL GÖRÜNÜM: ISLEM SECIMI FULL

KÖÞE TEMÝZLEME MAKÝNASI ELEKTRONÝK KONTROL ÜNÝTESÝ KULLANIM KILAVUZU GENEL GÖRÜNÜM: ISLEM SECIMI FULL KÖÞE TEMÝZLEME MAKÝNASI ELEKTRONÝK KONTROL ÜNÝTESÝ KULLANIM KILAVUZU GENEL GÖRÜNÜM: calismaya hazir Enter Tuþu menülere girmek için kullanýlýr. Kýsa süreli basýldýðýnda kullanýcý menüsüne, uzun sürelibasýldýðýnda

Detaylı

Firmamýz mühendisliðinde imalatýný yaptýðýmýz endüstriyel tip mikro dozaj sistemleri ile Kimya,Maden,Gýda... gibi sektörlerde kullanýlan hafif, orta

Firmamýz mühendisliðinde imalatýný yaptýðýmýz endüstriyel tip mikro dozaj sistemleri ile Kimya,Maden,Gýda... gibi sektörlerde kullanýlan hafif, orta Mikro Dozaj Firmamýz mühendisliðinde imalatýný yaptýðýmýz endüstriyel tip mikro dozaj sistemleri ile Kimya,Maden,Gýda... gibi sektörlerde kullanýlan hafif, orta ve aðýr hizmet tipi modellerimizle Türk

Detaylı

Genel Yetenek Testi Örnek Soru Çözümleri

Genel Yetenek Testi Örnek Soru Çözümleri Genel Yetenek Testi Örnek Soru Çözümleri Genel Yetenek Testi Örnek Soru Çözümleri 1 2 1 1 2 Çok Sýcak Soðuk Sýcak Çok Soðuk D B C Çorba Kutuplar Yanardað Sonbahar Yukarýda yer alan 1. ve 2. kutudakiler

Detaylı

FEN BÝLÝMLERÝ. TEOG-2 DE % 100 isabet

FEN BÝLÝMLERÝ. TEOG-2 DE % 100 isabet TEOG-2 DE % 1 isabet 1. Geyik Aslan Ot Fare ýlan Atmaca Doðal bir ekosistemde enerji aktarýmý þekildeki gibi gösterilmiþtir. Buna göre, aþaðýdaki açýklamalardan hangisi yanlýþtýr? Aslan ile yýlan 2. dereceden

Detaylı

2 - Konuþmayý Yazýya Dökme

2 - Konuþmayý Yazýya Dökme - 1 8 Konuþmayý Yazýya Dökme El yazýnýn yerini alacak bir aygýt düþü XIX. yüzyýlý boyunca çok kiþiyi meþgul etmiþtir. Deðiþik tasarým örnekleri görülmekle beraber, daktilo dediðimiz aygýtýn satýlabilir

Detaylı

FLASH ile Kayan Menüler

FLASH ile Kayan Menüler FLASH ile Kayan Menüler Eðer sayfanýza koyacaðýnýz linklerin sayýsý az ise, deðiºik efektler kullanýlabilir. En çok tercih edilen menülerden birisi de, kayan menülerdir. Projemiz, menülerin yeraldýðý fotoðraflarý,

Detaylı

ilkokul 3 ve 4. sınıflar zeka oyunları turnuvası

ilkokul 3 ve 4. sınıflar zeka oyunları turnuvası ilkokul 3 ve 4. sınıflar zeka oyunları turnuvası Dünyanın en büyük sigorta şirketlerinden Sompo Japan olarak, kurulduğumuz 1888 yılından bugüne, 8 ülkede sigorta sektörünün öncüsü konumundayız. u konum

Detaylı

Þimdi beraber sarmal bir yay yapacaðýz. Bakýr tel, çubuða eþit aralýklarla sarýlýr. Daha sonra çubuk yayýn içinden çýkarýlýr.

Þimdi beraber sarmal bir yay yapacaðýz. Bakýr tel, çubuða eþit aralýklarla sarýlýr. Daha sonra çubuk yayýn içinden çýkarýlýr. SARMAL YAYLAR Malzemeler Bu bölümde benimle beraber deneyler yapacaksýnýz. Çubuk Bakýr tel Þimdi beraber sarmal bir yay yapacaðýz. Bakýr tel, çubuða eþit aralýklarla sarýlýr. Daha sonra çubuk yayýn içinden

Detaylı

T.C. MÝLLÎ EÐÝTÝM BAKANLIÐI EÐÝTÝMÝ ARAÞTIRMA VE GELÝÞTÝRME DAÝRESÝ BAÞKANLIÐI KENDÝNÝ TANIYOR MUSUN? ANKARA, 2011 MESLEK SEÇÝMÝNÝN NE KADAR ÖNEMLÝ BÝR KARAR OLDUÐUNUN FARKINDA MISINIZ? Meslek seçerken

Detaylı

Konular 5. Eðitimde Kullanýlacak Araçlar 23. Örnek Çalýþtay Gündemi 29. Genel Bakýþ 7 Proje Yöneticilerinin Eðitimi 10

Konular 5. Eðitimde Kullanýlacak Araçlar 23. Örnek Çalýþtay Gündemi 29. Genel Bakýþ 7 Proje Yöneticilerinin Eðitimi 10 Proje Yönetimi ÝÇÝNDEKÝLER Konular 5 Genel Bakýþ 7 Proje Yöneticilerinin Eðitimi 10 Eðitimde Kullanýlacak Araçlar 23 Araç 1: Araþtýrma sorularý Araç 2: Belirsiz talimatlar Araç 3: Robotlar 28 Örnek

Detaylı

Ön Hazýrlýk Geometrik Þekiller

Ön Hazýrlýk Geometrik Þekiller Ön Hazýrlýk Geometrik Þekiller 1 4 7 10 5 2 3 11 6 8 9 Noktalý kâðýtta bazý geometrik þekiller verilmiþtir. Bu þekillere göre aþaðýdaki ifadelerden doðru olanlarýn yanýna D yanlýþ olanlarýn yanýna Y harfini

Detaylı

NOKTA DOÐRU. Doðru; üzerindeki iki nokta ile ya da kenarýna yazýlan küçük bir harf ile gösterilir. okunur. AB, AB veya "d" ile gösterilir.

NOKTA DOÐRU. Doðru; üzerindeki iki nokta ile ya da kenarýna yazýlan küçük bir harf ile gösterilir. okunur. AB, AB veya d ile gösterilir. bilgi NOKT DOÐRU Yollardaki þeritler, tren raylarý, iki duvarýn kesiþimi, elektrik telleri vb. doðru modelleridir. Doðru, sonsuz tane noktadan oluþtuðu için baþlangýç ve bitiþ noktasý yoktur. Gösterimi

Detaylı

Kanguru Matematik Türkiye 2017

Kanguru Matematik Türkiye 2017 3 puanlýk sorular 1. Dört tane kart aþaðýda görüldüðü gibi sýralanmýþlardýr. Yalnýzca iki kartýn yerleri birbirleriyle deðiþtirilerek aþaðýdaki sýralamalardan hangisini elde etmek mümkün deðildir? A) B)

Detaylı

Fiskomar. Baþarý Hikayesi

Fiskomar. Baþarý Hikayesi Fiskomar Baþarý Hikayesi Fiskomar Gýda Temizlik Ve Marketcilik Ticaret Anonim Þirketi Cumhuriyetin ilanýndan sonra büyük önder Atatürk'ün Fýndýk baþta olmak üzere diðer belli baþlý ürünlerimizi ilgilendiren

Detaylı

BÝLGÝLENDÝRME BROÞÜRÜ

BÝLGÝLENDÝRME BROÞÜRÜ IPA Cross-Border Programme CCI No: 2007CB16IPO008 BÝLGÝLENDÝRME BROÞÜRÜ SINIR ÖTESÝ BÖLGEDE KÜÇÜK VE ORTA ÖLÇEKLÝ ÝÞLETMELERÝN ORTAK EKO-GÜÇLERÝ PROJESÝ Ref. ¹ 2007CB16IPO008-2011-2-063, Geçerli sözleþme

Detaylı

Gökyüzündeki milyonlarca yýldýzdan biriymiþ Çiçekyýldýz. Gerçekten de yeni açmýþ bir çiçek gibi sarý, kýrmýzý, yeþil renkte ýþýklar saçýyormuþ

Gökyüzündeki milyonlarca yýldýzdan biriymiþ Çiçekyýldýz. Gerçekten de yeni açmýþ bir çiçek gibi sarý, kýrmýzý, yeþil renkte ýþýklar saçýyormuþ Gökyüzündeki milyonlarca yýldýzdan biriymiþ Çiçekyýldýz. Gerçekten de yeni açmýþ bir çiçek gibi sarý, kýrmýzý, yeþil renkte ýþýklar saçýyormuþ çevresine. Bu adý ona bir kuyrukluyýldýz vermiþ. Nasýl mý

Detaylı

30 SORULUK DENEME TESTÝ Gönderen : abana - 10/11/ :26

30 SORULUK DENEME TESTÝ Gönderen : abana - 10/11/ :26 30 SORULUK DENEME TESTÝ Gönderen : abana - 10/11/2008 12:26 Konu: 30 Soruluk Test Gönderim Zamaný: 21-Mart-2007 Saat 10:32 MALÝYET MUHASEBESÝ DENEME SINAVI 1- Aþaðýdakilerden hangisi maliyet muhasebesinin

Detaylı

ÝÇÝNDEKÝLER 1. ÜNÝTE 2. ÜNÝTE

ÝÇÝNDEKÝLER 1. ÜNÝTE 2. ÜNÝTE ÝÇÝNDEKÝLER. ÜNÝTE ÇEVREMÝZDEKÝ GEOMETRÝ... Açýlarý Ýsimlendirme... Açýlarý Ölçme... Açý Çeþitleri... Üçgen Çeþitleri... 7 Üçgenlerin iç Açýlarýnýn Ölçüleri Toplamý... 9 Ölçme ve Deðerlendirme... Kazaným

Detaylı

KÖKLÜ SAYILAR TEST / 1

KÖKLÜ SAYILAR TEST / 1 KÖKLÜ SAYILAR TEST / 1 1. Aþaðýdakilerden hangisi reel sayý deðildir? A) B) C) 0 D) 8 E). 6 2 9 A) 16 B) 18 C) 20 D) 2 E) 0 2. Aþaðýdakilerden hangisi irrasyonel sayýdýr? 6. Aþaðýdakilerden hangisi yanlýþtýr?

Detaylı

6. Büyük kan dolaþýmýnýn amacý nedir? Büyük kan dolaþýmýnda kanýn izlediði yolu kýsaca açýklayýnýz.

6. Büyük kan dolaþýmýnýn amacý nedir? Büyük kan dolaþýmýnda kanýn izlediði yolu kýsaca açýklayýnýz. Soru - Yanýt 10 1. Dolaþým sisteminin elemanlarý nelerdir? Yanýt: Dolaþým sisteminin elemanlarý kalp, damarlar ve kandýr. 2. Dolaþým sisteminin görevi nedir? Yanýt: Vücuttaki hücrelere oksijen ve besin

Detaylı

MODÜLER ARÝTMETÝK TEST / 1

MODÜLER ARÝTMETÝK TEST / 1 MODÜLER ARÝTMETÝK TEST / 1 1. m Z, x y(mod m) ise xy=m.k, k Z olduðuna göre, aþaðýdaki eþitliklerden hangisi yanlýþtýr? 5. 3x+1 2(mod 7) olduðuna göre, x in en küçük pozitif tam sayý deðeri kaçtýr? A)

Detaylı

Spor Bilimleri Derneði Ýletiþim Aðý

Spor Bilimleri Derneði Ýletiþim Aðý Spor Bilimleri Derneði Ýletiþim Aðý Spor Bilimleri Derneði, üyeler arasýndaki haberleþme aðýný daha etkin hale getirmek için, akademik çalýþmalar yürüten bilim insaný, antrenör, öðretmen, öðrenci ve ilgili

Detaylı

Geometri Çalýþma Kitabý

Geometri Çalýþma Kitabý LYS GMTRÝ ÇLIÞM ÝTI LYS Geometri Çalýþma itabý opyright Sürat asým Reklamcýlýk ve ðitim raçlarý San. Tic. Þ u kitabýn tamamýnýn ya da bir kýsmýnýn, kitabý yayýmlayan þirketin önceden izni olmaksýzýn elektronik,

Detaylı

T.C. İSTANBUL VALİLİĞİ ÖZEL COŞKUN EĞİTİM KURUMLARI İSTANBUL GENELİ MATEMATİK ŞENLİĞİ 10. MATEMATİK YARIŞMASI SORU KİTAPÇIĞI 21 MART 2009

T.C. İSTANBUL VALİLİĞİ ÖZEL COŞKUN EĞİTİM KURUMLARI İSTANBUL GENELİ MATEMATİK ŞENLİĞİ 10. MATEMATİK YARIŞMASI SORU KİTAPÇIĞI 21 MART 2009 T.C. İSTANBUL VALİLİĞİ ÖZEL COŞKUN EĞİTİM KURUMLARI İSTANBUL GENELİ MATEMATİK ŞENLİĞİ 10. MATEMATİK YARIŞMASI SORU KİTAPÇIĞI 21 MART 2009 DİKKAT: 1.Soru kitapçıklarını kontrol ederek, baskı hatası olan

Detaylı

Ý Ç Ý N D E K Ý L E R

Ý Ç Ý N D E K Ý L E R ÝÇÝNDEKÝLER A. BÝRÝNCÝ ÜNÝTE: ÞEKÝLLER VE SAYILAR Nokta...9 Düzlem...10 Geometrik Cisimler ve Modelleri...12 Geometrik Cisimler ve Yüzeyleri...14 Haftanýn Testi...16 Veri Toplama - Þekil Grafiði...18 Tablo...20

Detaylı

Kanguru Matematik Türkiye 2015

Kanguru Matematik Türkiye 2015 3 puanlýk sorular 1. Þemsiyemin üzerinde saðdaki þekilde de görüldüðü gibi KANGAROO yazýyor. Aþaðýdakilerden hangisi benim þemsiyeme ait bir resimdir? A) B) C) D) 2. Dört eþ dikdörtgen daha büyük bir dikdörtgen

Detaylı

Týp Fakültesi öðrencilerinin Anatomi dersi sýnavlarýndaki sistemlere göre baþarý düzeylerinin deðerlendirilmesi

Týp Fakültesi öðrencilerinin Anatomi dersi sýnavlarýndaki sistemlere göre baþarý düzeylerinin deðerlendirilmesi 1 Özet Týp Fakültesi öðrencilerinin Anatomi dersi sýnavlarýndaki sistemlere göre baþarý düzeylerinin deðerlendirilmesi Mehmet Ali MALAS, Osman SULAK, Bahadýr ÜNGÖR, Esra ÇETÝN, Soner ALBAY Süleyman Demirel

Detaylı

ünite SAYILAR ve İŞLEMLER Matematik Yandaki işlemde, her harf farklı bir doğal sayıyı göstermektedir. 4. A C C D E F TEST 1 Buna göre A + B kaçtır?

ünite SAYILAR ve İŞLEMLER Matematik Yandaki işlemde, her harf farklı bir doğal sayıyı göstermektedir. 4. A C C D E F TEST 1 Buna göre A + B kaçtır? ünite SYILR ve İŞLEMLER ES 4. B D E 5 5 Matematik Yandaki işlemde, her harf farklı bir doğal sayıyı göstermektedir. Buna göre + B kaçtır?. 8 ) 40 B) 50 ) 75 D) 90 B 8 sayısı şekildeki gibi asal çarpanlarına

Detaylı

ÇEMBERÝN ANALÝTÝÐÝ - I

ÇEMBERÝN ANALÝTÝÐÝ - I YGS-LYS GEOMETRÝ Konu Anlatýmý ÇEMBERÝN ANALÝTÝÐÝ - I 1. Çember Denklemi: Analitik düzlemde merkezi M(a, b) ve yarýçapý r birim olan çemberin denklemi, (x - a) 2 + (y - b) 2 = r 2 (x - a) 2 + y 2 = r 2

Detaylı

Romalýlar Mektubu Kursu Doðrulukla Donatýlmak

Romalýlar Mektubu Kursu Doðrulukla Donatýlmak Romalýlar Mektubu Kursu Doðrulukla Donatýlmak Ders 10, Romalýlar Mektubu, Onuncu bölüm «Tanrý nýn Mesih e iman yoluyla insaný doðruluða eriþtirmesi» A. Romalýlar Mektubu nun onuncu bölümünü okuyun. Özellikle

Detaylı

ÝÇÝNDEKÝLER. 1. ÜNÝTE Kurallý Þekillerden Kurallý Sayýlara. 2. ÜNÝTE Olasýlýk, Ýstatistik ve Sayýlar

ÝÇÝNDEKÝLER. 1. ÜNÝTE Kurallý Þekillerden Kurallý Sayýlara. 2. ÜNÝTE Olasýlýk, Ýstatistik ve Sayýlar ÝÇÝNDKÝLR 1. ÜNÝT Kurallý Þekillerden Kurallý Sayýlara FRAKTALLAR... 13 Ölçme ve Deðerlendirme... 16 Kazaným Deðerlendirme Testi - 1... 18 Kazaným Deðerlendirme Testi - 2 (Video Çözümlü)... 20 YANSIYAN

Detaylı

Atlantis IMPERATOR. Kullanim Kilavuzu. Metal Dedektörü

Atlantis IMPERATOR. Kullanim Kilavuzu. Metal Dedektörü Atlantis IMPERATOR Kullanim Kilavuzu Metal Dedektörü Dedektörü Tanýma ON-OFF Açýk-Kapalý Kulaklýk giriþi Tüm Metal Arama ve Toprak Sýfýrlama Atlantis IMPERATOR AUTO Duyarlýlýk, Hassasiyet Toprak Ayarý

Detaylı

Firmamýz mühendisliðinde imalatýný yaptýðýmýz endüstriyel tip proses filtreleri ile, siklonlar, seperatörler çalýþma koþullarýna göre anti nem,anti

Firmamýz mühendisliðinde imalatýný yaptýðýmýz endüstriyel tip proses filtreleri ile, siklonlar, seperatörler çalýþma koþullarýna göre anti nem,anti Filtre Firmamýz mühendisliðinde imalatýný yaptýðýmýz endüstriyel tip proses filtreleri ile, siklonlar, seperatörler çalýþma koþullarýna göre anti nem,anti statik seçenekleri, 1-200m2 temizleme alaný ve

Detaylı

BÖLÜM 5 TÜREV ALMA KURALLARI

BÖLÜM 5 TÜREV ALMA KURALLARI BÖLÜM 5 TÜREV ALMA KURALLARI ~ Türevin Tanýmý ~ Saðdan ve Soldan Türev ~ Türevin Süreklilikle Ýliþkisi ~ Türev Alma Kurallarý ~ Özel Tanýmlý Fonksiyonlarýn Türevi ~ Alýþtýrmalar ~ Test ~ Türevde Zincir

Detaylı

INTERIOR PARTITIONS BÖLME SÝSTEMLERÝ BÖLME SÝSTEMLERÝ INTERIOR PARTITIONS. aluwall.com. Arpa GLASS FITTINGS & ACCESSORIES COMPACT LAMINATE PANELS

INTERIOR PARTITIONS BÖLME SÝSTEMLERÝ BÖLME SÝSTEMLERÝ INTERIOR PARTITIONS. aluwall.com. Arpa GLASS FITTINGS & ACCESSORIES COMPACT LAMINATE PANELS BÖLME SÝSTEMLERÝ BÖLME SÝSTEMLERÝ GLASS FITTINGS & ACCESSORIES Arpa COMPACT LAMINATE PANELS aluwall SYSTEMS R INDEX 1 ÖNSÖZ PREFACE 2 Güvenlik amaçlý demontable bölme duvar sistemleri Demontable security

Detaylı

Satýþ Noktasý Satýþlarýnýzý garsonlar ya da kasiyer aracýlýðý ile Ürünleri belli gruplar altýnda toplayabilir, resimli menüler aracýlýðý ile dokunmatik ekranlarla ya da el terminalleriyle satýþ Menüler

Detaylı

ÇEVREMÝZDEKÝ GEOMETRÝ

ÇEVREMÝZDEKÝ GEOMETRÝ ÇEVREMÝZDEÝ GEOMETRÝ çýlarý Ýsimlendirme þaðýdaki masa üzerindeki açýlarý gösterelim: çýlar, köþesine yazýlan büyük harfle isimlendirilirler. çý ^ veya sembollerinden biri kullanýlarak gösterilir. Yukarýda

Detaylı

BÝREY DERSHANELERÝ SINIF ÝÇÝ DERS ANLATIM FÖYÜ MATEMATÝK - II

BÝREY DERSHANELERÝ SINIF ÝÇÝ DERS ANLATIM FÖYÜ MATEMATÝK - II BÝREY DERSHANELERÝ SINIF ÝÇÝ DERS ANLATIM FÖYÜ DERSHANELERÝ Konu Ders Adý Bölüm Sýnav DAF No. MATEMATÝK - II KARMAÞIK SAYILAR - II MF TM LYS 3 Ders anlatým föleri öðrenci tarafýndan dersten sonra tekrar

Detaylı

1. Merkezi ve çevresel sinir sistemini oluþturan sinir hücrelerine ne ad verilir?

1. Merkezi ve çevresel sinir sistemini oluþturan sinir hücrelerine ne ad verilir? Soru - Yanýt 3 1. Merkezi ve çevresel sinir sistemini oluþturan sinir hücrelerine ne ad verilir? Yanýt: Nöron 2. Merkezi sinir sistemini oluþturan organlar nelerdir? Yanýt: Beyin, beyincik, omurilik soðaný

Detaylı

olarak çalýºmasýdýr. AC sinyal altýnda transistörler özellikle çalýºacaklarý frekansa göre de farklýlýklar göstermektedir.

olarak çalýºmasýdýr. AC sinyal altýnda transistörler özellikle çalýºacaklarý frekansa göre de farklýlýklar göstermektedir. Transistorlu Yükselteçler Elektronik Transistorlu AC yükselteçler iki gurupta incelenir. Birincisi; transistorlu devreye uygulanan sinyal çok küçükse örneðin 1mV, 0.01mV gibi ise (örneðin, ses frekans

Detaylı

Yüksek kapasiteli Bigbag boþaltma proseslerimiz, opsiyon olarak birden fazla istasyonile yanyanabaðlanabilirözelliðesahiptir.

Yüksek kapasiteli Bigbag boþaltma proseslerimiz, opsiyon olarak birden fazla istasyonile yanyanabaðlanabilirözelliðesahiptir. Firmamýzmühendisliðindeimalatýnýyaptýðýmýzendüstriyel tipbigbag dolum,bigbag boþaltma prosesleri kimya,maden,gýda... gibi sektörlerde kullanýlan hafif, orta ve aðýr hizmet tipi modellerimizle TürkSanayicisininhizmetindeyiz...

Detaylı

Electronic Workbench 5.12 (EWB 5.12)

Electronic Workbench 5.12 (EWB 5.12) BÖLÜM 2 Electronic Workbench 5.12 (EWB 5.12) 1. Giriþ: EWB yazýlýmýnýn 5.12 sürümü 4.0 sürümünden daha üstün özelliklere sahiptir. Þekil 1: EWB 5.12'nin kýsa yol simgesi Þekil 2: EWB 5.12'nin baþlangýç

Detaylı

Üçgenler Geometrik Cisimler Dönüþüm Geometrisi Örüntü ve Süslemeler Ýz Düþümü

Üçgenler Geometrik Cisimler Dönüþüm Geometrisi Örüntü ve Süslemeler Ýz Düþümü Üçgenler Geometrik isimler önüþüm Geometrisi Örüntü ve Süslemeler Ýz üþümü 119 120 Üçgenler Üçgenler 4 cm 2 cm 2 cm Yukarýdaki çubuklarýn uzunluklarý 4 cm, 2 cm ve 2 cm dir. u üç çubuðun uç noktalarýný

Detaylı

0-0 Eðitim Öðretim Yýlý ANKARA ÝLÝ LÝSELER ARASI "8. AKIL OYUNLARI YARIÞMASI" Ankara Ýli Liseler Arasý 8.. Akýl Oyunlarý Yarýþmasý, Mayýs 0 tarihinde Özel Sýnav Koleji ev sahipliðinde, Sýnav Eðitim Kurumlarý,

Detaylı

Madde ve Isý. Maddeyi oluþturan taneciklerin hareketleri ýsý alýþ-veriþinden etkilenir. Aþaðýda yapýlan deneyler bu etkiyi göstermektedir.

Madde ve Isý. Maddeyi oluþturan taneciklerin hareketleri ýsý alýþ-veriþinden etkilenir. Aþaðýda yapýlan deneyler bu etkiyi göstermektedir. Maddeler tanecikli yapýdadýrlar. Bu tanecikler görülmeyecek kadar küçüktür. Fakat maddeyi oluþturan tüm taneciklerin hareketli olduðunu görmüþtük. Aþaðýda katý, sývý ve gaz hâllerinde bulunan maddelerin

Detaylı

MATEMATÝK TESTÝ. Pozitif n tam sayýlarý için, 10,23 0, 4 1,023 0,04. n! = (n. iþleminin sonucu kaçtýr? R(n) 2).

MATEMATÝK TESTÝ. Pozitif n tam sayýlarý için, 10,23 0, 4 1,023 0,04. n! = (n. iþleminin sonucu kaçtýr? R(n) 2). MATEMATÝK TESTÝ. Bu testte 0 soru vardýr.. Cevaplarýnýzý, cevap kaðýdýnýn Matematik Testi için ayrýlan kýsmýna iþaretleyiniz.. 0, 0, 4,0 0,04 iþleminin sonucu kaçtýr? A) 0 B) 9 0 D) 0 E) 0 4. Pozitif n

Detaylı

10-00 20-00 MEÞGULÝYET PANOSU. TEKNÝK TANITIM ve KULLANIM KILAVUZU

10-00 20-00 MEÞGULÝYET PANOSU. TEKNÝK TANITIM ve KULLANIM KILAVUZU DSS DSS 10-00 20-00 07/2004 TEKNÝK TANITIM ve KULLANIM KILAVUZU Dikkat Edilecek Hususlar: Cihazınızı kullanmadan önce bu kılavuzu dikkatle okuyunuz ve gerektiğinde tekrar kullanmak üzere saklayınız. Cihazınızın

Detaylı

Yaþamýmýzdaki Elektrik

Yaþamýmýzdaki Elektrik ÇALÞMA KÂÐD 1 6. sýnýfta öðrendiklerinizin ne kadarýný hatýrlýyorsunuz? Aþaðýdaki sorularý cevaplayarak bunu kontrol edin. 1. Aþaðýda verilen devrelerden ýþýk verenlerin yanýndaki kutucuklarý iþaretleyiniz.

Detaylı

7215 7300-02/2006 TR(TR) Kullanýcý için. Kullanma talimatý. ModuLink 250 RF - Modülasyonlu kalorifer Kablosuz Oda Kumandasý C 5. am pm 10:41.

7215 7300-02/2006 TR(TR) Kullanýcý için. Kullanma talimatý. ModuLink 250 RF - Modülasyonlu kalorifer Kablosuz Oda Kumandasý C 5. am pm 10:41. 7215 73-2/26 TR(TR) Kullanýcý için Kullanma talimatý ModuLink 25 RF - Modülasyonlu kalorifer Kablosuz Oda Kumandasý off on C 5 off 2 on pm 1:41 24 Volt V Lütfen cihazý kullanmaya baþladan önce dikkatle

Detaylı