Soru 1. Çözüm. Soru 2. Çözüm Yýlý Sorularý ve Çözümleri. Cevap D. Cevap E. Tübitak Ulusal Bilgisayar Olimpiyatlarý

Transkript

1 005 Yýlý Sorularý ve Çözümleri Soru m sayýda yetiþkin izci ile n sayýda yavrukurttan oluþan bir izci grubu (m, n ), bir gezi sýrasýnda bir nehir kýyýsýna ulaþýr. Karþý tarafa geçmek için sahip olduklarý tek araç bir kayýktýr. Ancak bu çok küçük bir kayýktýr Kayýða ayný anda ya bir veya iki yavrukurt ya da bir yetiþkin izci binebilmektedir. Grubun tamamýnýn karþý kýyýya geçmesi için, kayýkla en az kaç sefer (nehrin bir kýyýsýndan diðer kýyýsýna) yapýlmalýdýr? A) 4m + n B) 4m+n C) 4m+n D) 4m + n E) 4m + n 4 Çözüm Ýlk önce yavrukurt ve yetiþkin izcinin karþýya geçirilmesinin kaç seferde tamamlanabileceðini inceleyelim Yetiþkin Ýzci Ýlk önce iki yavrukurt karþýya geçer. () Ardýndan bir tanesi geri döner, () Sonra da karþýdaki izci geriye gelir (4) ve 4 seferde yetiþkin izcinin karþýya geçirilmesi tamamlanmýþ olur. Yavru Kurt Ýlk önce birlikte iki yavrukurt karþýya geçer, () sonra biri iner ve diðeri geri döner (). Böylece bir yavru, seferde karþýya geçirilmiþtir. Daha az sefer yapmak amacýyla bir yetiþkini sonradan, en son gönderirsek 4(m ) + n + = 4m + n 4 + = 4m + n Söz konusu grup 4m + n seferde karþýya geçmiþ olur. Cevap D Soru Bir bakteri kolonisi deney tabaðý üzerine yerleþtirilmekte ve her gün ayný saatte gözlenmektedir. Bakteri kolonisi, her gün bir önceki gün kapladýðý alanýn üç katýný kaplayarak büyümektedir. Kolonin, yerleþtirildiði 0cm lik bir deney tabaðýnýn yüzeyini tamamen kaplamasý, gün almaktadýr. Ýki özdeþ koloninin deney tabaðýnýn yüzeyini birlikte kaplamasý kaç günde tamamlanýr? A) 4 B) C) 0 D) E) Çözüm Bir bakteri kolonisi. günde 0 cm yer kaplar. Bu bakteri kolonisi. günde 0 cm yer kaplar. özdeþ bakteri kolonisi. günde 40 cm yer kaplar. Yani özdeþ bakteri kolonisi bir deney tabaðýnýn yüzeyini. günde tamamlayamaz.. günde ise toplam 0 cm yer kaplarlar. Yani bu deney tabaðýnýn yüzeyini tamamen kaplamalarý. günde olur. Cevap E 7

2 00 Yýlý Sorularý ve Çözümleri Can ýn parasýný al Destenin üstündeki kartý al. Kartta yazan parayý Can a ver (Can 70 TL) Ali ye Can ýn parasý kadar para ver (Ali = 0 TL) *Can ýn parasý 0 TL den azsa ye git. (Fazla olduðu için gidilmiyor, az olsa gidilirdi) Ýþlem Can dan 0 TL al (Can 0 TL) Desteye ye git kartý koy Can ýn parasýný yeni karta yaz (0 TL) Kartý desteye koy ye git. Buradan sonra iþlem diye belirtilmiþ kýsmý kere daha tekrarlanýr. En sonunda * ile iþaretlenmiþ iþlemde Can ýn parasý 0 TL den az çýktýðý için oyun biter. Ali nin parasý 0 TL olur. Cevap D [4-8] sorularý için açýklama Size bir kaplumbaða çizim dili veriliyor. Bu dilde çizimler sanal bir kaplumbaðayý hareket ettirerek elde ediliyor. Kaplumbaðanýn yüzü her zaman 8 doðrultudan birisine bakar ve kaplumbaða sadece bu yönlerde ileri doðru bir sonraki kesiþim noktasýna kadar hareket eder. Bu hareket sýrasýnda da geçtiði yolu çizer. Kaplumbaðanýn hareketlerini tanýmlayan dil aþaðýdaki öðelerden oluþur i Kaplumbaðanýn kendi yönünde ileri doðru, bir sonraki kesiþim noktasýna kadar gitmesini ve bu yolu çizmesini saðlayan komut. Not Bundan sonraki yýllarda da benzer kaplumbaða sorularý verilmiþtir. Çözümleri anlayarak geçmeniz diðer yýllar için de faydalý olacaktýr. < Kaplumbaðanýn bulunduðu konumda saat yönünün tersinde (soluna doðru) 45 derece dönmesini saðlayan komut. > Kaplumbaðanýn bulunduðu konumda saat yönünde (saðýna doðru) 45 derece dönmesini saðlayan komut. [ Kaplumbaðanýn bulunduðu yön konumda anýmsamasýný saðlar. Bu durum karþýlýk gelen ] komutu için kullanýlýr. ] Kaplumbaðanýn karþýlýk gelen [ ifadesinde anýmsadýðý duruma (yön ve konum) dönmesini saðlar. Kaplumbaða bu sýrada iz ve çizim üretmez. n(k) n bir rakam, k de herhangi bir komut dizisidir. Kaplumbaða bu durumda k komutunu n kez yineler. Yinelemelerde bir önceki yinelemenin sonunda kaldýðý durumdan hareketine devam eder. Örneðin (<i) satýrý <i<i<i satýrý ile ayný iþi yapar. B A 9

3 00 Yýlý Sorularý ve Çözümleri Yukarýda saðdaki çizim A noktasýndan baþlayan kaplumbaðanýn i>i(<)ii<<[i]<i komutunu çalýþtýrmasýyla çizilmiþtir ve kaplumbaða bu komut sonrasýnda B durumunda kalýr. Aþaðýdaki sorularý bu kaplumbaða dil tanýmýna göre yanýtlayýnýz. Kaplumbaða komuta her zaman kuzey (y ekseni artý yönünde) yönünde baþlar. Kaplumbaða bir çizginin üzerinden birden fazla kez geçebilir ve bu çizilmiþ yolu etkilemez. () () () (4) (5) () (7) (8) (9) (0) () () () (4) Soru 4 Aþaðýdakilerden hangisi () numaralý þekli çizer? A) 4(i<i) B) 8([i]<) C) 4(i<) D) >>4(i<i<) E) 4(i<<i) Çözüm A) B) C) Önce ilerler sonra 45 döner ve 4 defa gerçekleþir. Önce yerini kaybeder sonra bir ilerler, yerini hatýrlar 45 döner ve ilerler bu döngü sekiz defa gerçekleþir. D) E) Baþlangýç 4 Cevap D 0

4 009 Yýlý Sorularý ve Çözümleri Soru 5 Gezginimiz bu sefer A dan B ye giderken bütün þehirleri görüp gezmeyi amaçlamaktadýr. Dolayýsýyla geçtiði þehirden bir daha geçmeden A þehrinden yola çýkarak bütün þehirlerden tam olarak bir kez geçerek B ye ulaþmak istemektedir. Haritadaki bütün bilgileri gördüðünüzü varsayarsak bu þekilde yapýlacak yolculuk en kýsa ne kadar sürede tamamlanabilir? A) 8 B) C) 4 D) 7 E) 40 Çözüm 4 A 5 0 B A noktasýndayken farklý yolu vardýr, en kýsasý saatlik yoldur daha sonra yine en kýsa yol olan saatlik yoldan devam eder. Yolun sonunda saatlik, saatlik ve 4 saatlik yollar vardýr. saatlik yoldan gidemez çünkü uðradýðý þehre bir daha uðramýþ olur. Bu yüzden en kýsa yol olan 4 saatlik yoldan devam eder. Bu noktada saatlik ve 5 saatlik yol çýkar hem en kýsa olmasý hem de diðer yolun uðradýðýmýz bir þehre çýkmasýndan dolayý 5 saatlik yoldan devam eder. Bu noktadan sonra saat ve saatlik iki yol çýkar ilk bakýþta saatlik yoldan gitmek daha kýsa olacak gibi gözüküyor fakat daha ilerisine baktýðýmýzda bu yolun daha uzun olduðunu görüyoruz. Bu sebeple saatlik yoldan devam ederiz. Yolun sonunda yine farklý yol önümüze çýkýyor. Normalde 8 saatlik yoldan B þehrine varabiliriz fakat her þehre uðrama þartý vardý. Bu yüzden saatlik yoldan devam ederiz. Yolun sonunda farklý yol karþýmýza çýkar saatlik yol daha kýsa olduðundan bu yoldan gideriz. Bu yolun sonunda tek gidebileceðimiz yol saatlik yoldur çünkü diðer yollarýn sonu daha önce uðradýðýmýz þehirlere çýkýyor. Bulunduðumuz noktadan 4 saat ve saatlik iki yol vardýr. 4 saatlik yolu hem daha önce uðradýðýmýz þehre çýkmasý hem de daha uzun olduðundan seçmiyoruz. saatlik yoldan devam ettiðimizde ise farklý yol önümüze çýkýyor. saatlik yol en kýsa olduðundan buradan gider ve B þehrine ulaþýrýz = 8 Cevap A [-40] sorularý için açýklama Size bir kaplumbaða çizim dilimi veriliyor. Bu dilde çizimler sanal bir kaplumbaðayý hareket ettirerek elde ediliyor. Kaplumbaðanýn yüzü her zaman 8 doðrultudan birisine bakar ve kaplumbaða sadece bu yönlerde ileri doðru bir sonraki kesiþim noktasýna kadar hareket eder. Bu hareket sýrasýnda da geçtiði yolu çizer. Kaplumbaðanýn hareketlerini tanýmlayan dil aþaðýdaki öðelerden oluþur

5 009 Yýlý Sorularý ve Çözümleri i Kaplumbaðanýn kendi yönünde ileri doðru, bir sonraki kesiþim noktasýna kadar gitmesini ve bu yolu çizmesini saðlayan komut. < Kaplumbaðanýn bulunduðu konumda saat yönünün tersinde (soluna doðru) 45 derece dönmesini saðlayan komut. > Kaplumbaðanýn bulunduðu konumda saat yönününde (saðýna doðru) 45 derece dönmesini saðlayan komut. [ Kaplumbaðanýn bulunduðu yön ve konumu anýmsamasýný saðlar. Bu durum karþýlýk gelen ] komutu için kullanýlýr. ] Kaplumbaðanýn karþýlýk gelen [ ifadesinde anýmsadýðý duruma (yön ve konum) dönmesini saðlar. Kaplumbaða bu sýrada iz ve çizim üretmez. n(k) n bir rakam, k de herhangi bir komut dizisidir. Kaplumbaða bu durumda k komutunu n kez yineler. Yinelemelerde bir önceki yinelemenin sonunda kaldýðý durumdan hareketine devam eder. Örneðin (<i) satýrý <i<i<i satýrý ile ayný iþi yapar. B A Yukarýda saðdaki çizim A noktasýndan baþlayan kaplumbaðanýn i>i(<)ii<<[i]<i komutunu çalýþtýrmasýyla çizilmiþtir ve kaplumbaða bu komut sonrasýnda B durumunda kalýr. Aþaðýdaki sorularý bu kaplumbaða dil tanýmýna göre yanýtlayýnýz. Kaplumbaða komuta her zaman kuzey yönünde (y ekseni artý yönünde) baþlar. Kaplumbaða bir çizginin üzerinden birden fazla kez geçebilir ve bu çizilmiþ yolu etkilemez. () () () (4) (5) () (7) (8) (9) (0) () () () (4) 4

6 009 Yýlý Sorularý ve Çözümleri Soru i((<)i) komutu kaç numaralý þekli çizer? A) () B) () C) (9) D) (0) E) (4) Çözüm * i((<)i) komutu en soldan baþlarýz. en baþtaki i komutunu uyugularýz. i komutunu uyguladýktan sonra kaplumbaðanýn bulunduðu yer. baþlangýç noktasý i ((<) i) Sýradaki uygulayacaðýmýz komut Bu komutu uyguladýk. * kez 45 derece sola dönerek kendi yönünde bir birim ileri gideriz. Bu komutu kez uygularýz.. AÞAMA. AÞAMA. AÞAMA (<)i komutunu uygularýz. Yani kez 45 sola dönerek kendi yönünde birim ileri gideriz. yönü. kez (<)i komutunu uygularýz. yönü. kez (<)i komutunu uygularýz. Oluþan þekil. þekildir. Cevap C Soru 7 i(([i]>)) komutu kaç numaralý þekli çizer? A) (8) B) () C) () D) (4) E) (7) 5

7 009 Yýlý Sorularý ve Çözümleri Çözüm * i(([i]>)) komutuna en soldan baþlarýz. En baþtaki i komutunu uygularýz. i komutunu uyguladýktan sonra kaplumbaðanýn bulunduðu yer. baþlangýç noktasý i (([i]>)) Sýradaki uygulayacaðýmýz komut Bu komutu uyguladýk. * kez kaplumbaða kendi konumunu anýmsar, bir birim ileri gider, anýmsadýðý yere geri döner ve 45 saða döneriz. Bu iþlemi kez uygularýz.. AÞAMA. AÞAMA. AÞAMA ([i]>) komutunu yönü uygularýz. Yani kez kendi komutunu anýmsar, bir birim ileri gider, anýmsadýðý yere geri döner ve 45 saða döneriz.. kez ([i]>) komutunu uygularýz. yönü. kez ([i]>) komutunu uygularýz. Oluþan þekil 8. þekildir. Cevap A Soru 8 8(i(>)) komutu kaç numaralý þekli çizer? A) () B) (0) C) (4) D) (5) E) ()

8 Çalýþma Notlarý Program Çýktýsý b[0]=0 b[]= b[]= b[4]=4 b[5]=5 b[]= b[7]=7 b[8]=8 b[9]=9 STANDART KULLANIM ÝLE ATAMA for(i=0;i<0;i++) b[i]=i; b[0] b[] b[] b[9] ÝÞARETÇÝ VE DÝZÝ ÝSMÝ KULLANARAK ATAMA for(i=0,p=b;i<0;i++,p++) *p=i; p p+ p+ p+ p *(p+0) *(p+) *(p+) *(p+) *(p+4) *(p+5) *(p+) *(p+7) *(p+8) *(p+9) ÝÞARETÇÝ VE DÝZÝ ÝSMÝ KULLANARAK ATAMA for(i=0,p=b; i<0; i++) *(p+i)=i p p+ p+ p+ p *(p+0) *(p+) *(p+) *(p+) *(p+4) *(p+5) *(p+) *(p+7) *(p+8) *(p+9) ÝÞARETÇÝ OLAN DÝZÝ ÝSMÝNÝ ÝLE ATAMA for(i=0); i<0; i++) *(b+i)=i b b[0] b[] b[9] *(b+0) *(b+) *(b+) *(b+) *(b+4) *(b+5) *(b+) *(b+7) *(b+8) *(b+9) Not b, statik olarak dizinin baþlangýç adresini gösterdiðinden, b++; gibi bir ifade kullanýlamaz. Yani b nin deðeri deðiþtirilemez. Bunun yerine *(b+i) ifadesinin kullanýlmasý gerekir. Bunun yanýnda pointer olarak tanýmlanmýþ deðiþkenlere ++ operatörünü kullanabiliriz. p++; gibi. ÖZYÝNELEME RECURSÝVE. Giriþ Özyinelemeli (ÝngilizcesiRecursive) çözüm yaklaþýmlarý insanoðlunun gündelik düþünme biçimine oldukça terstir. Ancak bilgisayar dünyasýna getirdiði sadelik ve kolay anlaþýlabilirlik bakýmýndan da bizler için vazgeçilmez, mutlaka çok çok iyi anlaþýlmasý ve özümsenmesi gereken bir yaklaþýmdýr. Belki en fazla bilinen, sizin de þüphesiz lise düzeyinde öðrenmiþ olduðunuz faktöryel sayýsýna bakalým. Önce aþina olduðumuz taným 0 dýþýndaki herhangi bir doðal sayýnýn faktöryeli, den baþlayarak o sayýya kadarki tüm doðal sayýlarýn çarpýmýný almak yolu ile elde edilir. 0 sayýsýnýn faktöryeli olarak tanýmlanmaktadýr. Yani matematiksel gösterim ile N! = (N ) N N > 0 0! = Þimdi bir tanýma biraz daha yakýndan bakalým. Aslýnda çarpým dizisinde sonuncu terimi (N) bir kenara býrakýrsak diðer sayýlarýn çarpýmý, yine verilmiþ taným gereði (N )! olmaktadýr. N! = (N ) N N> (N )! Demek ki faktöryel tanýmýný yukarýdaki tanýma alternatif olmak üzere, N! = (N )! N N > 0 0! = biçiminde verebilirdik. 97

9 Çalýþma Notlarý Ýki taným arasýnda özde esaslý bir farklýlýk var, birincisinde tanýmlanan kavram (faktöryel kavramý) tanýmýn içinde (yani eþit iþaretinin sað tarafýnda) kullanýlmamakta. Ýkinci tanýmda ise, bunun tersine olarak tanýmlanan kavram tanýmýn içinde kullanýlmakta. Bi ilk anda kiþiye ters gelse de, mantýksal bütünlük korunduðu sürece ilki kadar geçerlidir. Bu tür tanýmlara özyinelemeli diyoruz. Pek çok bilgisayar dilinde altyordam tanýmlamalarýnda altyordamýn kendi kendisini çaðýrmasýna izin verilmektedir. (Örneðin C, Pascal, Algol, ADA, Lisp, Prolog, ML). Dolayýsýyla bu tür özyinelemeli tanýmlardan yola çýkarak altyordamlar yazmak olanaklý olmaktadýr. Yukarýdaki iki biçimde (özyinelemesiz/özyinelemeli) matematiksel tanýmý verilen faktöryeli hesaplayacak C dilinde birer altyordam yazalým ÖZYÝNELEMESÝZ long faktoryel (int n) { long carpim = ; while (n > 0) { carpim *= n; n--; } return carpim; } ÖZYÝNELEMELÝ long faktoryel (int n) { if (n == 0) return ; return n * faktoryel (n - ) ; } (C dilinde return komutunu fonksiyondan dönmeye neden olmasýndan ötürü yukarýdaki if kullanýmýnda ayrýca bir else e gereksinim yoktur.) Özyinelemeli programýn ne kadar kýsa olduðuna ve matematik tanýma benzeþ kaldýðýna dikkatinizi çekmek isteriz. Özyineleme biraz daha karmaþýk biçimlerde de olabilir. Örneðin doðal sayýlarýn çift veya tek olmalarýný þöyle tanýmlayabilirdik 0 sayýsý çifttir. sayýsý tektir. Bir sayý eðer bir eksiði çift ise, tektir. Bir sayý eðer bir eksiði tek ise, çifttir. Bu özyinelemeli bir tanýmdýr, çünkü tanýmýn içinde çift veya tek olma kavramlarýný kullandýk. Bu sözel tanýma dayanan C altyordamlarý þöyle olacaktýr. (C de dönülen deðerinin doðru, 0 deðerinin yanlýþ anlamýnda olduðunu anýmsatýyoruz) 98

10 Çalýþma Notlarý int cift (long n) { if (n == 0) return ; return tek(n ) ; } int tek(long n) { if (n == 0) return 0 ; if (n == ) return ; return cift (n ) ; } Bu tanýmlara kendi aralarýnda özyinelemeli (ingilizcesi; mutually recursive) diyoruz. Bir probleme özyinelemeli bir göz ile bakmak bu doðrultuda çözüm getirmek özel bir alýþkanlýk gerektirir. Bunun nedeni gündelik yaþantýmýzýn bir düþünce biçimimizin getirdiði programlama alýþkanlýklarýnýn daha çok ardýþýk (iterative) türde oluþudur. Bir örnek verelim Amacýmýz verilmiþ bir kümenin içinde belirli bir elemanýn var olup olmadýðýný belirlemek olsun. Bu problem bize çizili olarak verilmiþ ise tepeden bir bakýþla tüm elemanlarý gözden geçirir, aradýðýmýzýn bunlarýn arasýnda olup olmadýðýný fark etmeye çalýþýrýz. Eðer kümenin eleman sayýsý çok büyük ise bu durumda elemanlarý teker teker alýp aradýðýmýz eleman ile karþýlaþtýrýrýz. Oysa özyinelemeli yaklaþýmda bu problemin çözümünü þöyle dile getiriyor olacaktýr Küme boþ mu? Eðer boþsa yanýtýmýz olumsuzdur. Kümenin içinden aldýðýmýz, çýkardýðýmýz bir eleman aradýðýmýza eþit mi? Eþit ise yanýtýmýz olumludur. Eþit deðil ise bu probleme yanýtýmýz yeni bir problemin çözümünden gelecektir Bu yeni problemde içinden bir elemanýn (yukarýdaki þýktaki iþe yaramayan eleman) çýkarýldýðý (azalmýþ) küme için eleman arama sorusunun tekrar sorulmasýdýr.. Özyinelemenin Dört Altýn Kuralý Kural Size verilen problemin verilerinden yola çýkarak, onlarý en iyi betimleyecek programlama dünyasýnýn veri yapýlarýný belirleyin. Örneðin probleminizde yaþ tan söz ediliyorsa bunun için bir integer deðiþkeni; En çok 00 kiþi olduðunu bildiðiniz bir küme insanýn adlarýndan söz ediliyorsa bunun için bir array [.. 00] of string deðiþkeni; Boyutu çok çok büyük olabilen (Örneðin ) bir matrisin içinde çoðunluðun 0 olduðunu bilmemiz durumunda iki-yönlü-baðlý liste yapýsý seçmenin akýlcý olacaðý gibi. Bu iþi yaparken seçeneðiniz varsa kolay küçültülebilen veri yapýlarý seçin. Örneðin string veri türü çok kolay küçültülebilmektedir; buna karþýn bir array verisinin bu kadar kolay küçültülemediðine dikkatinizi çekeriz, yine de dizinin (array) in baþýnýn veya sonunun dizinini (indeks) tutmak sureti ile baþtan veya sondan iþlevsel olarak küçültülebilir bir veri yapýsý elde edebiliyoruz. Dinamik aðaç ve liste yapýlarý ise en kolay küçültülebilen veri yapýlarýndandýr. 99

11 Çalýþma Notlarý Kural Altyordama bir parametre olarak yollanan yukarýda seçtiðiniz türden verinin olabilecek en büyük halinde olup olmadýðýný sýnamak ile altyordama baþlamak kuraldýr. Alt yordamýnýz bir deðer dönecek ise (yani bir function ise) bunun minimal durum için ne olacaðýna karar vermelisiniz. Yok eðer bir deðer dönmeyecek iseniz (yani bir procedure yazmakta iseniz), hâlâ problemin özelliðine göre bir iþ yapmak durumunda olabilirsiniz (örneðin bir kapsama parantezi basmak, bir deðiþkenin deðerini basmak gibi). Bazý durumlarda hiç bir iþlem yapmadan altyordamdan çýkýp gitmek yeterli olacaktýr. (Aþaðýda verilen örnekleri inceleyiniz). Kural En küçük durumda olmayan veri durumlarýný þimdi ele alacaksýnýz. Altyordamýn takip eden kýsmýnda parametre olarak yollanmýþ veriyi parçaladýðýnýzý düþleyin. Bu parçalama farklý biçimlerde olabilir. Ancak genellikle bu veriyi oluþturan eþ türden alt yapýlarýn varlýðý söz konusu olacaktýr (çünkü ilk kuralýn gereði probleminize özgü veri yapýsýný böþle seçmiþtiniz). Dolayýsýyla iki farklý biçimde parçalama söz konusu olabilir.. Parçalardan biri parçaladýðýnýz veri yapýsý türünden artýk deðildir. Örneðin veri türünüz bir string idi ve ilk karakterini kopardýnýz. Bu karakter artýk parçalanabilir bir string olma özelliðinde deðildir. Veya bu parçaya bu gözle bakýlmayacaktýr, buna karar verilmiþtir.. Parçalarýn hepsi parçaladýðýnýz veri türündendir. Örneðin veri türünüz bir string idi ve onu uygun bulduðunuz bir yerinden bölerek iki string elde ettiniz, (belki de daha fazla). Her iki durum için de yapacaðýnýz çok önemli bir varsayým vardýr. Türü ayný kalmýþ parçalar için altyordamýn tekrar çaðrýlmasýnýn doðru çözüm ürettiðini varsayabilirsiniz. Dolayýsýyla, tam anlamý ile sihirli bir þekilde, parçalar için altyordamýn doðru çözümle çýkageleceðini düþünmek durumundasýnýz. Asla, bunun nasýl olduðunu kavramadýkça ilerleyemeyeceðinizi, bu yaklaþýmý kullanamayacaðýnýzý düþünmeyin. Zaman içinde bu olgunun mantýðýný daha iyi özümseyeceksiniz. O zamana kadar yalnýzca bunun böyle olduðunu kabul ediniz. Kural 4 Size düþen iþ þimdi baþlýyor Asýl veriyle ayný türde (küçülmüþ) veriler için altyordamý tekrar çaðýrmanýzla birlikte sonuçlarý doðru biçimde elinize geliyor, bunu biliyorsunuz. Bir kenarda asýl veri de durmakta. Ve ayrýca elinizde ayný türden olmayan bir (minik) parça da var (yukarýdaki. türden parçalamayý seçtiyseniz var,. türden parçalamayý seçtiyseniz yok). Þimdi bu elinizdekilere bir bakmanýz gerekli Bunlardan asýl sorunun sonucunu, çözmünü nasýl imal edebilirsiniz? Bunu bulduðumuz anda bütün problemi çözmüþ olacaksýnýz. Yapacaðýnýz tek þey bu imalatý yapmak ve eðer bu deðer olarak geri dönülecekse bunu altyordamýn dönüþ deðeri olarak atamak. Þimdi çeþitli örnekler üzerinden geçerek bu kurallarýn nasýl uygulandýðýna daha yakýndan bakalým. Önce verdiðimiz faktöryel örneðini ele alacaðýz. 400

12 Çalýþma Notlarý Kural in Uygulanmasý Faktöryeli alýnacak sayý bir tamsayý ve dolayýsýyla sonuç da bir tamsayý olacak. Öyleyse verinin tamsayý olmasý, altyordamýn da bir tamsayý dönmesi gerekli (Bir function yazýyor olacaðýz). Tamsayý göstermeye uygun veri türü de integer olacak. Peki, bu veri küçültmeye uygun mu? diðer bir deðiþle bu problemde (faktöryel hesaplama problemi) veri nin hangi durumu daha küçük (veya çözümü basit) bir probleme karþýlýk gelmekte? Þüphesiz! hesaplamak 005! hesaplamaktan çok çok daha kolay. Öyleyse bu problemin tek verisi olan faktöryeli hesaplanacak tamsayý nýn sayýsal olarak küçüklüðü daha basit bir probleme karþýlýk gelmekte. Problem verisini küçültmenin yolu da bu durumda çok açýk bir N tamsayýsýna en yakýn (ama ondan küçük kalan) tamsayý N dir. Bu da bir çýkarma iþlemi elde edilmekte. (Diðer örneklerimizde göreceðiz ki bu küçültme iþlemi problemden probleme deðiþen veri yapýsýna göre farklý farklý olacaktýr ve kesinlikle matematiksel bir iþlem olmak zorunluluðunda deðildir.) Bunu aklýmýzda tutarak tanýmýmýzýn ilk kýsmýný yazabiliriz. long faktoryel (int n) {. } Kural nin Uygulanmasý Veri yapýsýný ve türünü seçtik. Þimdi ilk iþ olarak bitiþ kuralýný koymamýz gerekli Kendimize sormamýz gereken soru þu En küçük hangi verinin faktöryeli hesaplanýyor olabilir? Yanýt 0 tamsayýsý. Zira için faktöryel iþlemi tanýmlý deðil. Bu durumda döneceðimiz bir deðer var (çünkü biz bir function yazmaktayýz). Bu dönülecek deðer de, bildiðiniz üzere, dir. Öyleyse tanýmýmýzýn ikinci kýsmý da oluþtu long faktoryel (int n) { if (n == 0) return ;. } Kural ün Uygulanmasý Veriyi, yani bizim durumumuzda faktöryeli hesaplanacak sayýyý nasýl küçültebiliriz? Þüphesiz bunun birden fazla yolu var. Ýþin kolayýna kaçmadan alternatiflere bir göz atalým Birden Fazla Parçaya Ayýrmak Ýþte size birkaç olasýlýk; Örneðin sayýmýz N ise çarpanlarýna {n, n,..., n k } ayýrabiliriz. Öyle ki N = n n... n k olsun. Þüphesiz n i çarpanlarýnýn herbiri N sayýmýzdan küçük kalacaktýr ve bu sayýlarýn faktöryellerini almak mümkündür. Dolayýsýyla faktöryeli alýnabilir olmak özelliðini saðlarlar. Veya sayýmýzý {m, m,..., m k } toplam öðelerine ayýrabiliriz. Öyle ki N = m + m m k olsun. Aynen çarpanlardaki gibi m i toplam oðelerinin herbiri N sayýmýzdan küçük kalacaktýr. Yine benzer biçimde bu doðal sayýlarýn herbirinin faktöryelini almak olanaklýdýr. 40