Basým Yeri: Ceren Matbaacılık AŞ. Basým Tarihi: Haziran / ISBN Numarası: Sertifika No: 33674

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "Basým Yeri: Ceren Matbaacılık AŞ. Basým Tarihi: Haziran / ISBN Numarası: Sertifika No: 33674"

Transkript

1 kapak sayfası

2 İÇİNDEKİLER 6. ÜNİTE İKİNCİ DERECEDEN DENKLEM VE FNKSİYNLAR İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler... 4 a + b + c = 0 Denkleminin Genel Çözümü Karmaşık Sayılar Konu Testleri İkinci Dereceden Denklemin Kökleri ile Kökleri ile Katsayıları Arasındaki Bağıntılar Konu Testleri İkinci Dereceden Fonksiyonlar ve Grafikleri... İkinci Dereceden Fonksiyonlar... 6 Konu Testi İkinci Dereceden Fonksiyonların Grafikleri Konu Testleri Yayımlayan: Sebit Eğitim ve Bilgi Teknolojileri AŞ Üniversiteler Mah. İhsan Doğramacı Bulv. No: DTÜ Teknokent Ankara / TÜRKİYE Tel: Basým Yeri: Ceren Matbaacılık AŞ. Basým Tarihi: Haziran / 06 ISBN Numarası: Sertifika No: 674 Bu kitabın her hakkı saklıdır. Kısmen ve kaynak gösterilerek de olsa kesinlikle hiçbir alıntı yapılamaz. Metin, biçim, sorular, yayımlayan şirketin izni olmaksızın elektronik, mekanik, fotokopi ya da herhangi bir sistemle çoğaltılamaz, dağıtılamaz ve yayımlanamaz.

3 İKİNCİ DERECEDEN DENKLEM VE FNKSİYNLAR Ünite-6 Kazanımlar İkinci dereceden bir bilinmeyenli denklemler İkinci dereceden bir bilinmeyenli denklemleri çözer i = sanal birim olmak üzere bir karmaşık sayının a + bi (a, b R) biçiminde ifade edildiğini açıklar İkinci dereceden bir bilinmeyenli denklemin kökleri ile katsayıları arasındaki ilişkileri belirler İkinci dereceden fonksiyonlar ve grafikleri İkinci dereceden bir değişkenli fonksiyonu açıklar ve grafiğini çizer İkinci derece denklem ve fonksiyonlarla modellenebilen problemleri çözer. Raunt

4 İKİNCİ DERECEDEN DENKLEM VE FNKSİYNLAR İKİNCİ DERECEDEN DENKLEM VE FNKSİYNLAR İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler a 0 ve a, b, c birer reel sayý olmak üzere, a + b + c = 0 ifadesine ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem denir. a, b, c sayýlarýna denklemin katsayýlarý, 'e denklemin bilinmeyeni denir. Denklemde, yerine konulduðunda denklemi saðlayan sayýlara denklemin kökleri, bu sayýlarýn kümesine denklemin çözüm kümesi, bu sayýlarý bulma iþlemine de denklemi çözmek denir. Bazen a + b + c = 0 ikinci derece denklemini saðlayan reel sayý bulamayacaðýz. Bu durumda denklemin çözüm kümesi boþ kümedir ( ) diyeceðiz. Buna göre; = = 0 + = 0 denklemleri birer ikinci dereceden, bir bilinmeyenli denklemdir. 9 + = 0 denkleminde ikinci dereceden terim olmadýðýndan, ikinci dereceden denklem deðildir. Bu denklem birinci derecedendir = 0 denkleminde üçüncü dereceden terim olduðundan, ikinci dereceden denklem deðil, üçüncü dereceden denklemdir. Örnek 9 = 0 denkleminin çözüm kümesi nedir? Çözüm 9 = 0 = 9 = ± tür. Yani, = ve = tür. Ç = {, } dir. 4 Raunt

5 Matematik-0 Ünite-6 a + b + c = 0 Denkleminin Genel Çözümü a b c + b + c = 0 a + + = 0 a a b c + + = 0 a a b + + a c a b b + 4a 4a = 0 b b + + a 4a + c a b 4a = 0 + b a 4ac b + 4a = 0 b + = a b 4ac 4a elde edilir. Bu eþitliðin sol tarafý daima pozitif veya sýfýrdýr. Eþitliðin tanýmlý olabilmesi için b 4ac 0 olmalýdýr. b 4ac ifadesine a + b + c = 0 denkleminin diskriminantý denir ve ile gösterilir. halde; ikinci dereceden denklemin diskriminantý, = b 4ac dir. = b 4ac nin pozitif, sýfýr veya negatif olmasý durumuna göre kökleri bulma iþlemine devam edelim: i) > 0 ise; + b a = b = a a b 4ac a = b a b + = a, b = a bulunur. Yani, > 0 ise a + b + c = 0 denkleminin birbirinden farklý iki reel kökü vardýr. Bu durumda denklemin çözüm kümesi; b + a b, a dýr. Raunt 5

6 İKİNCİ DERECEDEN DENKLEM VE FNKSİYNLAR ii) = 0 ise; b + = a 0 4a b b + = 0 veya + = 0 a a b =, = a b a bulunur. Yani, = 0 ise a + b + c = 0 denkleminin birbirine eþit iki reel kökü vardýr. Bu b durumda denklemin çözüm kümesi; dýr. a = 0 durumunda; denklemin kökleri birbirine eþittir, denklemin kökleri çakýþýktýr veya denklemin iki katlý bir kökü vardýr denir. iii) < 0 ise, denklemin reel kökü yoktur; reel sayýlarda Ç = { } dir. Örnek = 0 denkleminin çözüm kümesi nedir? Çözüm Burada a =, b = 7 ve c = 0 dir. = b 4ac = 7 4..( 0) = = 89 olduğundan denklemin birbirinden farklı iki reel kökü vardır. b = + a 7 89 = = = 6 5 = b = a 7 89 =. 7 7 = 6 4 = 6 = 4 olduğundan Ç =, 4 5 * 4 bulunur. HATIRLATMA a + b + c = 0 denkleminde a ile c ters iþaretli ise, mutlaka pozitiftir. Denklemin, daima birbirinden farklý iki reel kökü vardýr. 6 Raunt

7 Matematik-0 Ünite-6 Örnek 4. + = 0 denkleminin çözüm kümesi nedir? Çözüm Burada a =, b = 4 ve c = dir. = b 4ac = ( 4 ) 4.. = = 0 olduğundan eşit iki reel kökü vardır. b ( 4 ) = = = = a. Ç = { } tür. Örnek 4 (m 4) + m m = 0 denkleminin köklerinden biri olduğuna göre, diğer kök kaçtır? Çözüm 4 Denklemin kökü, denklemi sağlar. = (m 4). +..m m = 0 m 4 + m m = 0 m 4 = 0 m = 4 m = bulunur. m değeri denklemde yerine yazılırsa ( 4) +.. = = 0 + ( + )( ) = 0 + = 0 veya = 0 = = Diğer kökü = bulunur. Örnek 5 m R olmak üzere, (m ) + (m + ) + m + = 0 denkleminin birbirine eşit iki gerçel kökü varsa m kaçtır? Çözüm 5 Ç = { } ise = 0 olmalıdır. = b 4ac = 0 (m + ) 4.(m ) (m + ) = 0 4m + 4m + 4(m ) = 0 4m + 4m + 4m + 4 = 0 4m + 5 = 0 m = 5 bulunur. 4 Raunt 7

8 İKİNCİ DERECEDEN DENKLEM VE FNKSİYNLAR Karmaşık Sayılar Reel sayılar kümesinde + 4 = 0 denkleminin çözüm kümesi dir. Çünkü, + 4 = 0 = b 4ac = = 6 < 0 dır. Sanal Sayı Birimi Karesi e eşit olan sayıya "Sanal sayı birimi" denir ve i ile gösterilir. Yani, i = dir. halde, i R dir. i sayısının kuvvetleri i = i i = i = i. i = ( ). i = i i 4 = i. i = ( ). ( ) = } i 4n+ = i i 4n+ = i 4n+ = i i 4n+4 = olur. (n Z) HATIRLATMA i nin herhangi bir kuvveti bulunurken, kuvvetin 4 ile bölümündeki kalan, i nin kuvveti olarak alınır. Örnekler a. i 99 = b. i 5 = c. i 4 = d. i 46 = Örnek 6 n bir doğal sayı i 4n+77 i 47 nin eşiti nedir? Çözüm 6 i nin 4 ün katı lan kuvvetlire. olduğundan i 4n+77 i 47 = i 4n+76. i i 44. i = (i 4 ) n+9. i (i 4 ). ( i) = i ( i) = i + i = i bulunur. 8 Raunt

9 Matematik-0 Ünite-6 Karmaşık Sayının Standart Formu a, b R ve i = olmak üzere, z = a + bi sayısına bir karmaşık sayı denir. Karmaşık sayılar kümesi, C = {z : z = a + bi, a, b R ve i = } dir. z = a + bi karmaşık sayısında "a" reel kısım olup Re(z) = a, "b" imajiner (sanal) kısım olup Im(z) = b yazılır. Örnek 7 Aşağıda verilen karmaşık sayıların reel ve sanal kısımları nedir? a. z = 4i b. z = 5 + i c. z = 4 d. z = i e. z = 0 Çözüm 7 a. Re(z) = ve İm(z) = 4 b. Re(z) = 5 ve İm(z) = c. Re(z) = 4 ve İm(z) = a d. Re(z) = 0 ve İm(z) = e. Re(z) = 0 ve İm(z) = 0 dır. Karmaşık Sayıların Eşitliği z = a + bi ve z = c + di olmak üzere; z = z a = c ve b = d dir. Karmaşık Sayılarda Toplama, Çıkarma İşlemleri z = a + bi ve z = c + di olsun. a. z + z = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i b. z z = (a + bi) (c + di) = (a c) + (b d)i Örnek 8 a, b R olmak üzere, z = a + (b + )i z = a + (b 5)i z = z olduğuna göre, a + b toplamı kaçtır? Çözüm 8 z = z a + (b + )i = a + (b 5)i a = a b + = b 5 a = b = 8 a + b = ( ) + (8) = 6 bulunur. Raunt 9

10 İKİNCİ DERECEDEN DENKLEM VE FNKSİYNLAR Örnek 9 z = 6 + i ve z = 5 i olmak üzere, z + z ve z z ifadelerinin eşitleri nedir? Örnek 0 Çözüm 9 z + z = 6 + i + 5 i = + i z z = 6 + i 5 + i = + 5i dir. Çözüm karmaşık sayısının reel ve sanal kısmının toplamı kaçtır? Örnek i = olmak üzere, z = i + i + i + i 4 + i i 6 olduğuna göre, Im(z) kaçtır? Karmaşık Düzlem 4W 9 T 5 W64 = 4W. 9 W. W5 6 = 4i. i. 5 6 = i 5i 6 = i 6 ( ) + ( 6) = 9 bulunur. Çözüm i = } i = i = i ise i + i + i + i 4 = 0 olur. i 4 = Buna göre, z = i + i + i + i 4 + i 5 + i 6 + i 7 + i i 57 + i 58 + i 59 + i 60 + i z = i 6 = i 60. i = (i 4 ) 5. i = i olur. z = 0 + i olduğundan İm(z) = dir. Analitik düzlemin eksenini reel eksen, y eksenini imajiner eksen olarak aldığımızda oluşan düzleme karmaşık düzlem denir. Karmaşık düzlemdeki her noktaya bir karmaşık sayı, her karmaşık sayıya ise karmaşık düzlemde bir nokta karşılık gelir. y (imajiner eksen) 4 z = 4 z = + i 4 (reel eksen) 4 z 4 = 4i z 5 = 4 i Örneğin karmaşık düzlemdeki z = + i noktası, analitik düzlemdeki L(, ) noktasına karşılık gelir. 0 Raunt

11 Matematik-0 Ünite-6 Karmaşık Sayının Eşleniği Bir karmaşık sayıya karşılık gelen noktanın reel eksene göre simetriğine o karmaşık sayının eşleniği denir. z karmaşık sayısının eşleniği z ile gösterilir. Im(z) b IzI z = a + bi IzI a Re(z) b z = a bi z = a + bi karmaşık sayısının eşleniği z = a bi karmaşık sayısıdır. Örnek Aşağıdaki ifadelerin eşitlerini bulunuz. a. z = 5i z = b. z = 4 + i z = c. z = i z = d. z 4 = 5 z 4 = Örnek z = i (4 + i) + 5 olduğuna göre, Im(z) kaçtır? Çözüm a. z = + 5i b. z = 4 i c. z = i d. z 4 = 5 Çözüm z = i (4 + i) + 5 z = i 4 i + 5 z = + i dir. z = i olur. İm(z) = bulunur. HATIRLATMA Kökleri Karmaşık Sayı lan İkinci Dereceden Denklemler a, b, c R olmak üzere, a + b + c = 0 denkleminin diskriminantı negatif ise bu denklemin kökleri birbirinin eşleniği olan iki karmaşık sayıdır. Raunt

12 İKİNCİ DERECEDEN DENKLEM VE FNKSİYNLAR Örnek = 0 denkleminin çözüm kümesi nedir? Örnek 5 Reel katsayılı ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklemin köklerinden birisi + 7i olduğuna göre, bu denklemin köklerinin toplamı kaçtır? Örnek = 0 denkleminin çözüm kümesi nedir? Çözüm 4 Burada a =, b = ve c = 4 dir. = b 4ac = ( ) = 4 6 = = + = = + Wi Çözüm 5 Çözüm 6 = Wi olduğundan Ç = { Wi, + Wi} dir. Reel katsayılı ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklemin kökleri birbirinin eşleniğidir. Bir kökü + W7i olan denklemin diğer kökü W7i olur. Buradan kökler toplamı + W7i W7i = 6 bulunur. Denklemde a =, b =, c = 0 dır. = 4..0 = 4 40 = = + = Örnek 7 = + i Çözüm 7 = i olduğundan Ç = { i, + i} bulunur. + 8 = 0 denkleminin çözüm kümesi nedir? + 8 = 0 ifadesi çarpanlarına ayrılarak ( + )( + 4) = 0 bulunur = = 0 = b = + a + 6 = + 4i = b = a 6 = 4i = + 4i 4i Ç = *,, 4 bulunur. = b 4ac = ( ) = 7 = 6 dır. Raunt

13 Matematik-0 Ünite-6 Örnek 8 z iz + = 0 denkleminin çözüm kümesi nedir? Katsayıları Karmaşık Sayı lan İkinci Dereceden Denklemler a, b, c birer karmaşık sayı olmak üzere, az + bz + c = 0 denkleminin köklerini bulmak için önce = b 4ac hesaplanır. b " Sonra, z, = formülünden kökler bulunur. a Çözüm 8 Bu denklemde a =, b = i ve c = tür. = b 4ac = 4i 4.. = 4 = 6 i + 6 = i 6. =. i+ 4i i 4i = = = i = i olduğundan, Ç = { i, i} dir. İki Karmaşık Sayının Çarpımı z = a + bi ve z = c + di olsun z. z = (a + bi). (c + di) = a. c + a. d. i + b. c. i + b. d. i = a. c + a. d. i + b. c. i + b. d. ( ) = (a. c b. d) + (a. d + b. c)i z. z = ( i). ( + 4i) = 6 + i i + 4 = 0 + 0i Örnek 9 z = ( i) olduğuna göre, Im(z) kaçtır? Çözüm 9 z = ( i) = i + i = i + ( ) z = i bulunur. Buradan z = i olur. İm(z) = dir. Raunt

14 İKİNCİ DERECEDEN DENKLEM VE FNKSİYNLAR Örnek 0 z = i olduğuna göre, z. z değeri kaçtır? Çözüm 0 z = Wi ise z = + Wi olur. z.z = ( Wi). ( + Wi) = 9 + Wi Wi i = 9.( ) = bulunur. Karmaşık Sayılarda Bölme İşlemi Karmaşık sayılarda bölme işlemi yaparken pay ve payda, paydanın eşleniği ile çarpılır. z zz. = z z. z Örnek + i z = i karmaşık sayısının reel kısmı kaçtır? Çözüm + i z = i ( + i) ( + i)( + i) = + + i+ i+ i = 5 = + i olduğundan, Re(z) = dir. Örnek 4n+ 4n+ + i i f p + f p i + i işleminin sonucunu nedir? Çözüm J N4n + J N4n + K + i i + K & i + i K ( + i) K ( i) L P L P J N 4 n+ J N 4 n+ K ( + i) K ( i) = + K + K + L P L P 4 n+ 4 n+ + i+ i i+ i = f p + f p = i 4n+ + ( i) 4n+ =i 4n. i + ( i) 4n. ( i) = + i bulunur. 4 Raunt

15 Sınav Kodu: M0065 Matematik-0 Ünite-6 Konu Testi. i = olmak üzere, i işleminin sonucu nedir? 5. i = olmak üzere, z = ( + i) 8. ( i) olduğuna göre, z karmaşık sayısının reel kısmı kaçtır? A) 00 B) 0 C) 8 D) 0 E) 8 A) i B) C) D) i E) i. i = olmak üzere, f() = olduğuna göre, f( i) nedir? A) i B) i C) i D) i E) i+ 6. i = olmak üzere, 4i z = i olduğuna göre, z 4 sayısının eşiti nedir? A) 0 B) 4 C) D) 4 7 E) 4 0. i = olmak üzere, z = i w = i z+ w olduğuna göre, nedir? z w A) B) i C) i D) i E) 7. ( + iy). ( + i) = i olduğuna göre,. y kaçtır? A) 0 B) C) D) E) 4. i = olmak üzere, i + i z = i + i karmaşık sayısının sanal kısmı kaçtır? A) B) i C) i D) E) 8. i = olmak üzere, z = z = i + i i olduğuna göre, z + z toplamı nedir? A) 5i B) 5i C) D) 5 E) 5i+ Raunt 5

16 İKİNCİ DERECEDEN DENKLEM VE FNKSİYNLAR 9. a < b < 0 olmak üzere, z = a + ab b 4a b karmaşık sayısının gerçek kısmı ile sanal kısmının toplamı nedir? A) a B) b C) a b D) a + b E) a. i = olmak üzere, 4 ( + i) 4 ( i) işleminin sonucu kaçtır? A) B) C) 0 D) E) 0. z = a + bi olmak üzere, z + 5 = ( i) olduğuna göre, a + b toplamı kaçtır? 5 7 A) B) C) D) E). + 7 = 0 denkleminin çözüm kümesi nedir? A){, i, i} B) {,, } i + C) *,, i + i D) *,, 4 E) { i,,.i} 4. i = olmak üzere,. i = olmak üzere, ( + i). z = i 4 olduğuna göre, z karmaşık sayısının eşiti nedir? A) +i B) i C) +i D) i E) + i 4 i 4 f p + f p i + i işleminin sonucu kaçtır? A) 0 B) C) D) E) 4 6 Raunt

17 Sınav Kodu: M0066 Matematik-0 Ünite-6 Konu Testi. i = olmak üzere, i + i 4 + i i 0 toplamı kaçtır? A) B) 0 C) D) i E) i 6. z = 5 i z = Im(z ) + 5i z =.Re(z ) + i olduğuna göre, z + z (z z ) işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?. i =, n Z olmak üzere, i 8n + i 5 4n ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir? A) i B) i C) i + D) i E) A) +i B) +i C) +i D) 5+5i E) 5 5i 7. y z. i = olmak üzere, 5.i i 986 ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir? z z 4 z 4 A) 4i B) 5 C) 5i D) 5i 4 E) 4 5i karmaşık sayısının reel kısmının sanal kısmına oranı kaçtır? 6 A) B) C) D)5 E) i = olmak üzere, z = i + i + i i 5 z = 5 +.i 9 + olduğuna göre, Im(z + z ) değeri kaçtır? Karmaşık düzlemde z, z, z, z 4 karmaşık sayıları gösterilmiştir. Yukarıda verilenlere göre, z z + z z 4 toplamının eşiti aşağıdakilerden hangisidir? A) i B) +i C) i D) i E) +i 8. ve y reel sayılar olmak üzere, z = y + i + yi z = 6 + y + 4i 5i karmaşık sayıları birbirine eşit olduğuna göre, + y toplamı kaçtır? A) B) C) 5 D) 8 E) 9 A) B) 0 C) D) E) Raunt 7

18 İKİNCİ DERECEDEN DENKLEM VE FNKSİYNLAR 9. i = olmak üzere, i + i i 8 işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir? = 0 denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) 0 B) C) D) E) A) {0, 4, 4} B) { 4i, 4i} C) {0, 4i, 4i} D) { 4, 4} E) {0, 4i} 0. i = olmak üzere, z = ( ) + i yi z = 5 + 5i karmaşık sayıları birbirine eşit olduğuna göre,.y çarpımı kaçtır? A) 6 B) C) D) E) m + n = 0 reel katsayılı denkleminin köklerinden biri i olduğuna göre, m + n toplamı kaçtır? A) 5 B) C) D) 6 E) 8. z = + i z = + i olduğuna göre, z z işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir? A) + i B) 5 i C) 5 i D) 5 i E) 5 + i 6. z ( + i)z + + i = 0 denkleminin köklerinden biri aşağıdakilerden hangisidir? A) 4 i B) 5i C) 5 i D) + i E) + i. z karmaşık sayısının eşleniği z dir. z + z = 6 + i olduğuna göre, z karmaşık sayısı aşağıdakilerden hangisidir? A) + i B) i C) + i D) i E) + i 7. z (4 + i).z i = 0 denkleminin köklerinden biri aşağıdakilerden hangisidir? A) 4i B) + i C) + i D) 6 E) 4 i. z + z = i olduğuna göre, z aşağıdakilerden hangisine eşittir? 8. z ( i)z i = 0 denkleminin köklerinden biri aşağıdakilerden hangisidir? A) 4 + i B) 4 i C) + i D) i E) 6 + i A) i B) 4 + i C) + i D) 5i E) i 8 Raunt

19 Matematik-0 Ünite-6 Ýkinci Dereceden Denklemin Kökleri ile Katsayıları Arasındaki Baðıntılar a + b + c = 0 denkleminin kökleri ve olsun. Bu köklerle a, b, c katsayýlarý arasýnda aþaðýdaki baðýntýlar vardýr. Kökler Toplamý + hâlde; b + b = + a a b + b = a = b a = b olur. a b + = dýr. a Kökler Çarpýmý b + b =. a a ( b) ( ) 4a = ( = b 4ac) b (b 4ac) 4ac = = 4a 4a c = a olur. c hâlde;. = a dýr. Örnek (m + ) + (m + ) = 0 denkleminin ve kökleri arasýnda, + = baðýntýsý vardýr. Buna göre, m nin alabileceði değerleri toplamı kaçtır? Çözüm Denklemde a =, b = (m + ), c = (m+) b ( m ) + = = + = m + a / + = m = = m bulunur. = m denklemi sağlar. m (m + )m + (m + ) = 0 m + 5m + = 0 Denkleminde a =, b = 5, c = b 5 m + m = = bulunur. a Raunt 9

20 İKİNCİ DERECEDEN DENKLEM VE FNKSİYNLAR Örnek 4 (m ) 8 = 0 denkleminin kökleri ve dir. 4 + = 4 olduðuna göre, m kaçtýr? Örnek 5 Çözüm = 4 ( ) + 4 c 8 = 4. =. = = 4 a ( 4) + 4 = 4, = olduğuna göre, () (m ) 8 = 0 8 m = 0 ise m = olur. Çözüm m = m + 7 = 0 denkleminin birer kökleri ortak olduğuna göre, m kaçtır? Örnek 6 ler ortak olsun. / 4 } + m = m + 7 = 0 = gelir. Kök denklemi sağlar m = 0 m = 6 bulunur. Kökleri Verilen Ýkinci Derece Denklemin Yazýlmasý (Kurulmasý) Kökleri ve olan ikinci dereceden denklem: ( ) ( ) = 0 biçiminde veya bu eþitlik düzenlenirse, ( + ) + ( ) = 0 biçiminde kurulur. Çözüm 6 li terimleri yok edelim. = 0 denkleminin kökleri ve dir. Buna göre, kökleri 4 ve 4 olan ikinci derece denklem nedir? Örnek 7 Sanal köklerinden biri i olan gerçek katsayılı ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem nedir? Denklemde a =, b =, c = ( ) ve ( 4) ( + 4) ifadesi bulunur. + 8 ve. 4( + ) + 6 b c b 8 = 7 ve = 9 a a a = 0 bulunur. Çözüm 7 Köklerden biri ( i)= ise diğeri ( + i) dir. Kökler toplamı i + + i = 4 Kökleri çarpımı ( i) ( + i) = + = = 0 bulunur. 0 Raunt

21 Sınav Kodu: M0067 Matematik-0 Ünite-6 Konu Testi = 0 denkleminin çözüm kümesini nedir? A) *, 4 B) *, 4 C) * m = 0 denkleminin kökleri reel olduðuna göre, m nin alacaðý deðerler hangi aralýktadır? A) < m 5 B) m 5 C) 0 < m 5 D) *, 4 E) %, / D) m 5 E) m > 5. m = 5 denkleminin köklerinden biri = olduğuna göre, m kaçtır? A) 6 B) 4 C) D) E) 4 7. (m ) m + m + 6 = 0 ikinci derece denkleminin bir kökü = olduðuna göre, m ve denklemin diðer kökü kaçtır? A) m =, = 4 B) m =, = 4 C) m =, = 4 D) m =, = 4 E) m =, = = 0 denkleminin reel sayılardaki çözüm kümesi nedir? A) {, } B) { } C) {} D) {, } E) 8. (a ) + (a 9) = 0 denkleminin simetrik iki kökü olduğuna göre, a kaçtır? A) B) C) D) E) 4. (6 a) = a denkleminin e göre çözüm kümesi nedir? a a a A) ), B) ) C) ) a D) a a a ) E) ), 9. 8m mn 5n = 0 denkleminin çözüm kümesi nedir? n 5n n n A) *, 4 B) *, 4 m 4m m m 5n n n n C) *, 4 D) *, 4 4m m 4m m E) % n, m/ 5. (a + 4) + 5a 4 = 0 denkleminin eşit iki kökü olduğuna göre, köklerden biri nedir? A) 9 B) 6 C) 4 D) E) 6 0. (m ) + m = 0 denkleminin bir kökü 4 olduğuna göre, m kaçtýr? A) B) C) D) E) Raunt

22 İKİNCİ DERECEDEN DENKLEM VE FNKSİYNLAR Sınav Kodu: M0068 Konu Testi 4. + a + b = ab denkleminin e göre çözüm kümesinin elemanlarýndan biri aþaðýdakilerden hangisidir? A) a B) b C) ab D) E) 4. (m ) m + m = 0 ifadesi bir tam kare olduðuna göre, m nin alacaðý deðerlerin toplamý kaçtýr? A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8. + = denkleminin çözüm kümesi aþaðýdakilerden hangisidir? A) {, } B) R {, } C) R {0} D) R E) {} 5. (m + ) m + 4 = 0 denkleminin, kökleri arasýnda, + = 6 baðýntýsý olduðuna göre, m nin deðeri kaçtýr? A) B) 4 C) D) 4 E) 8. (a ) (a ) + a = 0 denkleminin kökleri çakýþýk olduðuna göre, a nýn alacaðý deðerlerden biri aþaðýdakilerden hangisidir? A) 9 B) 5 5 C) 5 D) 5 9 E) 6. a = 0 denkleminin kökleri ve dir. + = 4 olduðuna göre, a nýn alabileceði deðerlerin toplamý kaçtýr? A) B) 5 C) D) E) Raunt

23 Matematik-0 Ünite c = 0 denkleminin kökleri ve dir.. +. = 4 olduðuna göre, c kaçtýr? A) 9 B) 4 C) D) E) 6 0. (4k + ) + k + 4 = 0 denkleminin köklerinin geometrik ortalamasý olduðuna göre, köklerinin aritmetik ortalamasý kaçtýr? A) B) 4 C) 6 D) 8 E). + a + b = 0 + (a ) 4 = k 6 = 0 denkleminin köklerinden biri = 7 olduðuna göre, k kaçtýr? denklemlerinin ikiþer kökleri de ayný olduðuna göre, a + b toplamý kaçtýr? A) 4 B) C) D) E) A) B) C) D) E). (a b + ) + a + b = m + = 0 denkleminin kökleri ve dir.. +. = 60 olduðuna göre, m kaçtýr? A) B) C) 4 D) 6 E) 9 denkleminin kökler toplamý ile kökler çarpýmý aralarýnda asal iki doðal sayýdýr. 5 Köklerin çarpmaya göre terslerinin toplamý olduðuna göre, a kaçtýr? A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8 Raunt

24 İKİNCİ DERECEDEN DENKLEM VE FNKSİYNLAR Sınav Kodu: M0069 Konu Testi. (m + ) + m = 0 + (n ) n = 0 denklemlerinin birer kökü ortak ve diðer köklerinin toplamý olduðuna göre, m n ifadesinin deðeri aşağıdakilerden hangisidir? = 0 denkleminin çözüm kümesi aþaðýdakilerden hangisidir? A) { } B) {0} C) {} D) {, 0, } E) {0, } 5 A) B) C) D) 4 E) (m + 7) + (n ) = 0. m n = 0 denkleminin kökleri, 6 0 = 0 denkleminin köklerinden þer fazla olduðuna göre, m + n kaçtýr? A) 4 B) 0 C) 4 D) 8 E) 4 denkleminin kökleri ve dir. = m = m olduðuna göre, n kaçtýr? A) B) C) 4 D) 6 E) 0. + (m ) + c = 0 denkleminin kökleri, + (m ) + d = 0 denkleminin köklerinin ikişer katý olduðuna göre, m kaçtýr? A) 0 B) C) D) E) 5 6. (m ) + m = 0 denkleminin gerçel kökleri ve dir. + =.. olduðuna göre, m kaçtýr? A) 4 B) 6 C) 9 D) E) 4 4 Raunt

25 Matematik-0 Ünite-6 7. = 0 denkleminin kökleri ve dir. Buna göre, kökleri ve olan denklem aþaðýdakilerden hangisidir? A) + 7 = 0 B) 9 = 0 C) + 0 = 0 D) + = 0 E) 5 = 0 0. (a + ) 7 = 0 denkleminin kökleri ve dir. = olduðuna göre, a kaçtýr? A) 7 B) 6 C) 5 D) 4 E) 8. Kökleri ve olan ikinci derece denklemin kökleri arasýnda, ( + ) 4 = = baðýntýlarý olduðuna göre, bu denklem aþaðýdakilerden hangisidir?. ( 4) (5 + ) + 5 = 5 denkleminin köklerinin çarpmaya göre terslerinin toplamı kaçtır? A) B) C) D) E) A) = 0 B) + = 0 C) = 0 D) + = 0 E) = 0 9. m + = 0 denkleminin kökleri ve dir. + = 6 olduðuna göre, m kaçtýr? A) B) 8 C) 8 D) 0 E). + (a ) + a = 0 denkleminin kökleri ve dir. 5 Bu köklerin aritmetik ortalamasý olduðuna göre,. +. ifadesinin deðeri aþaðýdakilerden hangisidir? A) 4 B) 7 C) 7 D) 8 E) 4 Raunt 5

26 İKİNCİ DERECEDEN DENKLEM VE FNKSİYNLAR Sınav Kodu: M0070 Konu Testi. + + m + 4 m = 0 denkleminin köklerinden biri = olduðuna göre, m kaçtır? 4 5 A) B) C) D) E) 6. + a = a = 0 denklemlerinin birer köklerinin ortak olmasý için a nýn değerleri toplamı kaçtır? A) 0 B) 40 C) 0 D) E) 5 6. ( ) ( ) + 6 = 0 denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) { 5, 5} B) { 5} C) {5} D) {0, 5} E) { 5, 0} = 0 denkleminin köklerinin katýnýn eksiðini kök kabul eden ikinci dereceden denklem nedir? A) = 0 B) = 0 C) = 0 D) 7 0 = 0 E) 0 7 = = denkleminin kökü, ( m) ( + ) = 0 denkleminin de kökü olduðuna göre, m kaçtır? A) B) C) D) 4 E) 5 8. m + 4 = 0 denkleminin reel kökleri ve dir. + = 44 olduðuna göre, m nin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) {, } B) {W, W} C) {, } D) {, } E) {4, 4} 4. + ( a) + + a = 0 denkleminin eþit iki kökünün olmasý için a nýn alabileceği deðerlerin toplamý kaçtır? A) B) C) D) 4 E) 5 9. Köklerinden biri = 4 olan rasyonel katsayýlý ikinci dereceden denklem nedir? A) 6 + = 0 B) = 0 C) = 0 D) 4 8 = 0 E) 8 6 = a 4 = 0 denkleminin kökleri ve dir. Kökler arasýnda + = 4 baðýntýsý olduðuna göre, a kaçtır? 0 8 A) B) C) D) E) (m + ) + m = 0 denkleminin ve kökleri arasýnda 4( + ) + = m + baðýntýsý olduğuna göre, m kaçtır? A) 0 B) C) D) E) 4 6 Raunt

27 Sınav Kodu: M007 Matematik-0 Ünite-6 Konu Testi. + m m + = 0 denkleminin bir kökü = olduðuna göre, m kaçtýr? A) 0 B) 5 C) D) 5 E) m + 7 = 0 denkleminin kökleri arasında = 5 bağıntısı olduğuna göre, (..m) çarpımı kaçtır? A) 0 B) 6 C) 5 D) E) (m ) + m + = 0 denkleminin bir kökü = olduðuna göre, diðer kökü kaçtýr? 5 A) 5 B) C) D) E) II = 0 denkleminin kökler çarpımı kaçtır? A) 6 B) C) 9 D) E) 44. (m ) + m = 0 denkleminin birbirine eþit iki kökü olduðuna göre, m nin alabileceði deðerler toplamý kaçtýr? A) 0 B) 9 C) 8 D) E) m + 5 = 0 denkleminin kökleri ve dir. = olduðuna göre, m kaçtýr? A) B) C) D) E) 4. + (m 9) + m = 0 denkleminin simetrik iki gerçel kökü olduðuna göre, negatif kökü kaçtýr? A) B) 5 C) 7 D) 5 E) m = 0 denkleminin kökleri ve dir. Kökler arasında = bağıntısı olduğuna göre, m kaçtır? A) B) 0 C) D) E) 5. = 5 denkleminin kökü, + (m + ) + m 4 = 0 denkleminin de kökü olduðuna göre, m tamsayýsý kaçtýr? = 0 denkleminin kökleri ve olduðuna göre, + toplamýnýn pozitif deðeri kaçtýr? A) B) C) D) 4 E) 5 A) B) C) D) E) Raunt 7

28 İKİNCİ DERECEDEN DENKLEM VE FNKSİYNLAR. Rasyonel katsayýlý ikinci dereceden bir denklemin köklerinden biri = olduðuna göre, bu denklem aþaðýdakilerden hangisidir? A) + 4 = 0 B) 4 = 0 C) 4 + = 0 D) = 0 E) 5 + = (m + ) + m + = 0 + m + m + = 0 denklemlerinin birer kökleri ortak olduðuna göre, m kaçtýr? A) B) C) 0 D) E). 5 = 0 denkleminin köklerinin ikiþer katýnýn bir fazlasýný kök kabul eden ikinci derece denklem aþaðýdakilerden hangisidir? A) = 0 B) + 7 = 0 C) 7 = 0 D) + 7 = 0 E) 5 + = (m ) + n + = 0 + (m + ) + n = 0 denklemlerinin ikiþer kökleri de birbirine eþit olduðuna göre, m n kaçtýr? A) 9 B) 6 C) 5 D) E) 0. + (m + ) + = 0 denkleminin kökleri ve dir. + = 5. olduðuna göre, m nin alabileceði deðerler çarpýmý kaçtýr? 7. (a ) + a(a + 6) 8 = 0 denklemini sağlayan a değerlerinin toplamı kaçtır? A) B) 0 C) D) E) 4 A) 4 B) C) D) 4 E) ( ) 4 = 0 4. (a + ) + a + = 0 denkleminin köklerinin aritmetik ortasý geometrik ortasýna eþit olduðuna göre, a kaçtýr? A) B) C) 0 D) E) denkleminin kökleri, sýfýrdan farklý olan ve reel sayýlarýdýr. Buna göre, bu denklemin küçük kökü kaçtýr? A) 4 B) C) D) E) 4 8 Raunt

29 Sınav Kodu: M007 Matematik-0 Ünite-6 Konu Testi 8. (a 5) + b = 0 ifadesi ikinci dereceden bir bilinmeyenli bir denklem olduðuna göre, a + b kaçtýr? A) 0 B) 4 C) 8 D) E) ( + ) 5 + 4m = 0 denkleminin kökleri ve dir. + = olduðuna göre, m kaçtýr? A) 4 B) 4 4 C) 5 4 D) 7 E). + a + 6 = 0 denkleminin çözüm kümesi bir elemanlý olduðuna göre, a nýn alabileceði deðerler çarpýmý kaçtýr?. A) 64 B) C) 0 D) E) 64 5 = + + denkleminin çözüm kümesi aþaðýdakilerden hangisidir? 7. + (a + ) a + = 0 denkleminin köklerinin toplamý, köklerinin çarpýmýndan 6 eksik olduðuna göre, a kaçtýr? A) 6 B) 5 C) 4 D) E) A) Ø B) { } C) {} D) {, } E) {, } 4. (m ). + m = 0 denkleminin bir kökü olduðuna göre, diðer kökü kaçtýr? 8. = 0 denkleminin kökleri ve dir. + kaçtır? A) 7 B) 4 C) 7 8 D) 7 E) 9 A) B) C) D) E) 6 9. (m + ) + n + = 0 m (n + ) + 6 = m + 7 = 0 denkleminin kökleri ve dir. denklemlerinin her iki kökü de ortak olduðuna göre, (m, n) ikilisi aþaðýdakilerden hangisidir? = olduðuna göre, m nin negatif deðeri kaçtýr? A) 9 B) 6 C) 4 D) E) A), B), D), E) (,) C), Raunt 9

30 İKİNCİ DERECEDEN DENKLEM VE FNKSİYNLAR = 0 denkleminin kökleri ve dir. Kökleri, olan ikinci derece denklem aþaðýdakilerden hangisidir? A) + = 0 B) = 0 C) + 4 = 0 D) + = 0 E) + = = 0 denkleminin kökler çarpımı kaçtýr? A) 8 B) 6 C) D) 6 E) =. 5 = 0 denkleminin köklerinin kareleri toplamı kaçtır? denkleminin kökler toplamý kaçtýr? A) 0 B) C) 4 D) 6 E) 8 A) 9 B) 0 C) D) E) 6. + = + 7 denkleminin reel köklerinin çarpýmý kaçtýr?. m olmak üzere, m = 0 m = 0 denklemlerinin birer kökü ortak olduðuna göre, m kaçtýr? A) B) C) 0 D) E) A) 4 B) C) 6 D) 56 E) a + 4 = 0 denkleminin kökleri ve dir. + = 8 olduğuna göre, a tamsayısının negatif değeri kaçtır? A) B) C) D) 4 E) 5. Çözüm kümesi Ç = & 5, + 50 olan ikinci dereceden denklem aþaðýdakilerden hangisidir? A) = 0 B) = 0 C) 6 4 = 0 D) = 0 E) 6 = 0 8. m = 0 denkleminin köklerinin şer katını kök kabul eden ikinci derece denklem aşağıdakilerden hangisidir? A) m = 0 B) m = 0 C) m = 0 D) 4 m = 0 E) m + = 0 0 Raunt

31 Matematik-0 Ünite-6 İkinci Dereceden Fonksiyonlar ve Grafikleri İkinci Dereceden Fonksiyonlar a 0 ve a, b, c R olmak üzere, f : R R, f() = a + b + c biçiminde tanýmlanan fonksiyonlara ikinci dereceden bir deðiþkenli fonksiyonlar denir. Ýkinci dereceden bir deðiþkenli fonksiyonlarýn grafiðine parabol denir. Örnek 8 f() = + 5 fonksiyonu veriliyor. A(m, 7) noktasý bu fonksiyonun grafiðine ait ise m nin alabileceði deðerlerin toplamý kaçtýr? Çözüm 8 A(m, 7) noktası parabolün üzerinde ise denklemi sağlar. 7 = (m ) (m ) = m 4m + m + 0 = m 7m + 5 m m 5 (m 5)(m ) = 0 m 5 = m = = bulunur. Parabolün Tepe Noktasý (Köþesi) f: R R, f() = a + b + c ikinci dereceden fonksiyonunda b r = a 4ac b k = f(r) = 4a olmak üzere, T(r, k) noktasýna parabolün tepe noktasý (köþesi) denir. Örnek 9 f() = denklemi ile verilmiþ parabolün tepe noktasının koordinatları nedir? Çözüm 9 Denklemde a =, b = 6, c = 5 T(r, k) olduğuna göre, b 6 r = = = a 4 4( ) k = f() r = = = 4( ) 8 Tf, 9 p bulunur. Raunt

32 Örnek 0 İKİNCİ DERECEDEN DENKLEM VE FNKSİYNLAR Aþaðýda soru iþareti gelen yerleri doldurunuz. r k f() = 6 +?? f() = f() = +???? f() = ?? f() = a + b + c Fonksiyonunun Tepe Noktasý Cinsinden Ýfadesi f : R R, y = f() = a + b + c fonksiyonunun tepe noktasý T(r, k) olsun. Bu durumda f() = a + b + c fonksiyonu ile f() = a.( r) + k fonksiyonu birbirine denktir. f() = a.( r) + k denklemi, parabolün tepe noktasý cinsinden denklemidir. Örnek f() = 4 5 fonksiyonunun tepe noktasý cinsinden ifadesi nedir? Çözüm Denkleminde a =, b = 4, c = 5 T = (r, k) olduğuna göre, b 4 r = = = a 4ac b 4..( 5) ( 4) k = f() r = = = 4a 4. T(, ) ise f() = ( ) 9 bulunur. Raunt

33 Matematik-0 Ünite-6 Örnek f : R R, küçük deðeri kaçtýr? Örnek f: R R, f() = a.( r) + k Fonksiyonunun Görüntü Kümesi - En Büyük Deðeri - En Küçük Deðeri f() = a.( r) + k fonksiyonunda a > 0 ise; a.( r) 0 olur. Buradan a.( r) + k k f() k elde ederiz. Yani, her R için, f() in alabileceði deðerler k den büyük veya k ye eþit olur. Öte yandan f(r) = k olduðunu biliyoruz. hâlde, her R için f() = a + b + c fonksiyonunun = r için en küçük deðerini aldýðýný söyleyebiliriz. Fonksiyonun en küçük deðeri k olur. Fonksiyonun görüntü kümesi: [k, + ) olur. a < 0 ise; a.( r) 0 olur. Buradan a.( r) + k k f() k elde ederiz. hâlde, a < 0 ise ikinci derece fonksiyonu = r için en büyük deðerini alýr. Fonksiyonun en büyük deðeri k olur. Fonksiyonun görüntü kümesi: (, k] olur. f() = fonksiyonunun en Çözüm Denkleminde a =, b = 0, c = 5 y = f() parabolünde a > 0 olduğu için = r için parabolün en küçük değerini aldığını biliyoruz. b 0 r = = = 5, f(5) en küçük değer olur. a. f(5) = f(5) = 45 bulunur. Çözüm f : R R, f() = + 6 fonksiyonunun en büyük deðeri kaçtýr? Örnek 4 y = (m ). m + m + fonksiyonunun görüntü kümesinin en küçük elemaný olduðuna göre, m kaçtýr? Denkleminde a =, b = 6, c = f() parabülünde a < 0 olduğuna için, = r için parabolün en büyük değerini aldığını biliyoruz. b b r = = =, f() en büyük değer olur. a ( ) f() = + 6., f() = 6 bulunur. Çözüm 4 T(r, k) ise a > 0 iken Tepe noktasının ordinatı en küçük değeri verir. Yani k = olur. Buradan 4ac b k =, m > 0, m > 4a 4( m )( m+ ) ( m) = denklemi çözülür ise 4( m ) m = bulunur. Raunt

34 İKİNCİ DERECEDEN DENKLEM VE FNKSİYNLAR f() = a + b + c Fonksiyonunun Eksenleri Kestiði Noktalar y = a + b + c = 0 için y = c olur. hâlde, parabol y eksenini P(0, c) noktasýnda keser. Grafiðin eksenini kestiði noktalarý bulmak için fonksiyonun denkleminde y = f() = 0 yazýlýr. Böylece, a + b + c = 0 denklemi elde edilir. Bu denklemde reel köklerin varlýðý = b 4ac sayýsýna baðlýdýr. = b 4ac < 0 ise, parabol eksenini kesmez. = b 4ac = 0 ise, parabol eksenine teðettir. Teðet olduðu nokta parabolün tepe noktasý T(r, 0) dýr. = b 4ac > 0 ise, parabol eksenini farklý iki noktada keser. a + b + c = 0 denkleminin kökleri ve ise parabolün eksenini kestiði noktalar; A(, 0) ve B(, 0) dýr. ve ye baðlý parabolün denklemi; y = f() = a.( ). ( ) dir. Örnek 5 f() = 5 fonksiyonunun grafiğinin eksenleri kestiði noktalarýn apsisleri toplamý kaçtýr? Çözüm 5 y = f() fonksiyonunun grafiğinin eksenleri kestiği noktalar denkleminin kökleridir. Yani b + = a = = bulunur. Örnek 6 f() = fonksiyonunun grafiğinin eksenini kestiði noktanýn apsisi kaçtýr? Çözüm 6 Denklemde a =, b = 8, c = 8 = b 4ac = = 0 dır. Yani eşit iki kök vardır. b ", = olduğundan a = 8 4 = bulunur. 4 Raunt

35 Matematik-0 Ünite-6 Örnek 7 f() = fonksiyonunun grafiğinin eksenini kestiði noktaların apsisleri toplamı kaçtır? Çözüm 7 y = f() fonksiyonunun grafiğinin eksenleri kestiği noktalar denklemin kökleridir. Yani + = + = b a 8 = 4 Örnek 8 eksenini = ve = 4 apsisli noktalarda, y eksenini y = 4 ordinatlý noktada kesen parabolün denklemi nedir? Çözüm 8 Kökleri verilen parabolün denklemi y = a( ) ( ) olduğuna göre, y = a( + )( 4)'dir. y = 4 iken = 0 olduğundan, a = bulunur. y = ( + )( 4) düzenlenirse y = bulunur. f: R R, y = f() = a + b + c Fonksiyonunun Simetri Ekseni Tepe noktasý T(r, k) olan parabolün denklemi; f() = a. ( r) + k dir. Bu fonksiyonda = r + t ve = r t yazalým: f(r + t) = a. (r + t r) + k f(r + t) = at + k f(r t) = a. (r t r) + k f(r t) = at + k Görüldüðü gibi, f(r + t) = f(r t) olmaktadýr. r + t ve r t sayýlarý r ye göre simetriktir. hâlde, f() = a + b + c ikinci dereceden fonksiyonun grafiði = r doðrusuna göre simetriktir. = r doðrusuna parabolün simetri ekseni denir. Aþaðýdaki þekillerin simetri eksenleri kesik çizgilerle belirtilen doğrular olabilir. Raunt 5

36 İKİNCİ DERECEDEN DENKLEM VE FNKSİYNLAR Örnek 9 f() = fonksiyonunun simetri ekseninin denklemi nedir? Çözüm 9 Denkleminde a =, b = 6, c = 8 T(r, k) için = r doğrusu. f() fonksiyonunun simetri ekseni denklemidir. b 6 r = r = = olduğu için = denklemidir. a Örnek 40 Simetri ekseni = doðrusu olup A(, ) ve B(, 4) noktalarýndan geçen parabolün denklemi nedir? Çözüm 40 y = a( + ) + k denklemi için A(, ) ve B(, 4) noktaları sağlatılırsa, = a( + ) + k, = a + k 4 = a( + ) + k, 4 = 4a + k / a + k = denkleminde yok 4a + k = 4 etme kullanılırsa a =, k = 4 y = ( + ) 4 y = bulunur. Örnek 4 f() = 4 + m fonksiyonu veriliyor. f( 4) Buna göre, oranı kaçtır? f( 0) Çözüm 4 Denkleminde a =, b = 4, c = m b 4 r =, r = = a f(4) ve f(0), = simetri ekseni denklemine eşit uzaklıkta bulunduğu için f(4) = f(0) olur. f( 4) = bulunur. f( 0) 6 Raunt

37 Sınav Kodu: M007 Matematik-0 Ünite-6 Konu Testi 9. y = + 5 parabolü A(, a) noktasýndan geçtiðine göre a kaçtýr? A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9 6. f() = p (p ) + 9 parabolünün simetri ekseninin denklemi + = 0 olduðuna göre, p kaçtýr? 4 A) B) C) D) E) f() = a fonksiyonunun en büyük deðeri olduðuna göre, a kaçtýr? A) B) C) D) 5 E) 7. f() = (m ) (m + 7) 5 fonksiyonunun belirttiði parabolün simetri ekseni = doðrusu olduðuna göre, m kaçtýr? 5 A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9. f() = a + b + c parabolünün tepe noktasý A(, 8) dir. Parabol B(6, 0) noktasýndan da geçtiðine göre, a kaçtýr? A) B) C) 0 D) E) 8. y = + parabolünün eksenini kestiði noktalar A ve B dir. Buna göre, IABI kaç birimdir? A) B) C) D) 4 E) 5 4. f : [, ] R f() = 4 fonksiyonunun en büyük ve en küçük deðerlerinin toplamý kaçtýr? A) 0 B) 9 C) 8 D) 7 E) 6 9. f() = + (m + ) + m + 5 parabolü eksenine negatif tarafta teðet olduðuna göre, m kaçtýr? A) B) 4 C) 5 D) 6 E) 7 5. f() = a fonksiyonunun görüntü kümesinin en büyük elemanýnýn 9 dan büyük olmasý için a nýn alabileceði deðerlerin aralýðý nedir? A) (, 5) B) (, 5) C) ( 5, ) D) (, 5) E) (5, ) 0. f() = (m + ) + m + 4 parabolü eksenini kesmediðine göre, m nin alabileceði tamsayý deðerleri kaç tanedir? A) B) C) D) 4 E) 5 Raunt 7

38 İKİNCİ DERECEDEN DENKLEM VE FNKSİYNLAR İkinci Dereceden Fonksiyonların Grafikleri f() = a Fonksiyonunun Grafiði f() = a + b + c fonksiyonunda b = 0 ve c = 0 için, f() = a fonksiyonu elde edilir. a > 0 ise; a > 0 olmak üzere, f() = a fonksiyonunun özellikleri: Parabolün kollarý yukarýya doðrudur. Grafik y eksenine göre simetriktir. Parabolün tepe noktasý orijindir. Görüntü kümesinin en küçük elemaný y = 0 dýr. a < 0 ise, y a 4a a < 0 olmak üzere, y = a fonksiyonunun özellikleri: Parabolün kollarý aþaðý doðrudur. Grafik y eksenine göre simetriktir. Parabolün tepe noktasý orijindir. Görüntü kümesinin en büyük elemaný y = 0 dýr. 8 Raunt

39 Matematik-0 Ünite-6 Örnek 4 Aþaðýdaki tabloda bulunan her fonksiyon için deðerlerine karþýlýk gelen y sayýlarýný hesaplayýnýz. Bulduðunuz deðerleri analitik düzlemde göstererek verilen her fonksiyonun grafiðini farklý renk kullanarak çiziniz. Çizilen grafiklere bakarak y = a. fonksiyonunda a nýn iþareti ile grafik arasýndaki iliþkiyi söyleyiniz. Örnek y =, y =, y =, y =, y =, y = fonksiyonlarýnýn grafiklerinin ayný analitik düzlemdeki çizimlerini yapalım. HATIRLATMA Yukarýdaki grafiklerde IaI büyüdükçe parabolün kollarýnýn y ekseni boyunca birbirine yaklaþtýðýný gözlemleyiniz. f() = a + c Fonksiyonun Grafiði Önce f() = a fonksiyonunun grafiði çizilir. Bu fonksiyonun grafiði y ekseni boyunca; c > 0 ise yukarý doðru, c < 0 ise aþaðý doðru IcI birim ötelenir. Raunt 9

40 İKİNCİ DERECEDEN DENKLEM VE FNKSİYNLAR Örnek f() = fonksiyonunun grafik çizimini yapalım. y y = y = c = < 0 olduðundan, y = parabolü y ekseni boyunca aþaðý doðru birim ötelenmiþtir. Örnek f() = + fonksiyonunun grafiðini çizelim. y y = + y = c = > 0 olduðundan, y = parabolü y ekseni boyunca yukarý doðru birim ötelenmiþtir. f() = a( r) Fonksiyonunun Grafiði Önce f() = a parabolü çizilir. Bu çizilen parabol; r > 0 ise, ekseninin pozitif tarafýna doðru r birim, r < 0 ise, ekseninin negatif tarafýna doðru IrI birim ötelenir. Böylece f() = a( r) grafiði çizilmiþ olur. 40 Raunt

41 Matematik-0 Ünite-6 Örnek f() = ( ) fonksiyonunun grafiðini çizelim. y y = y = ( ) r = olduðundan, y = parabolünün grafiði ekseni boyunca pozitif yönde birim ötelenmiþtir. Örnek f() = ( + ) fonksiyonunun grafiðini çizelim. y r = olduðundan, y = parabolünün grafiði ekseni boyunca negatif yönde birim ötelenmiþtir. y = ( + ) y = Örnek 4 f() = ( ) fonksiyonu için aþaðýdaki tabloyu doldurunuz. Tabloyu kullanarak fonksiyonun grafiðini çiziniz. Tabloya ve grafiðe bakarak fonksiyonun hangi deðeri için en küçük deðeri aldýðýný söyleyiniz. Raunt 4

42 İKİNCİ DERECEDEN DENKLEM VE FNKSİYNLAR f() = a( r) + k Fonksiyonunun Grafiði Önce f() = a( r) fonksiyonunun grafiði çizilir. Bu çizilen parabolün tepe noktasý y eksenine paralel olarak k birim ötelenerek verilen fonksiyonun grafiði çizilmiþ olur. Örnek 44 f() = ( + ) fonksiyonunun grafiðini çiziniz. Çözüm 44 r = olduğundan önce y = ( + ) grafiği çizilir. Daha sonra grafik y ekseni boyunca aşağı doğru birim ötelenir. y y = ( + ) Örnek 45 f() = ( ) + fonksiyonunun grafiðini çiziniz. Çözüm 45 r = olduğundan önce y = ( ) grafiği çizilir. Daha sonra grafik y ekseni boyunca yukarı doğru birim ötelenir. y 4 Örnek 46 f() = fonksiyonunun grafiðini çiziniz. Çözüm 46 Öncelikle y = f() denklemi r = 'e göre düzenlenir. y = ( ) 4 r = olduğundan önce y = ( ) grafiği çizilir. Daha sonra grafik y ekseni boyunca aşağı doğru 4 birim ötelenir. y 4 Raunt

43 Matematik-0 Ünite-6 Örnek 47 f() = ( ) + fonksiyonu için aþaðýdaki tabloyu doldurunuz. Tabloyu kullanarak fonksiyonun grafiðini çiziniz. Tabloya ve grafiðe bakarak fonksiyonun hangi deðeri için en küçük deðeri aldýðýný söyleyiniz. f: R R, y = f() = a + b + c Fonksiyonunun Grafiði y = a + b + c eþitliðini saðlayan bütün (, y) ikililerinin analitik düzlemde iþaretlenmesiyle meydana gelen þekle fonksiyonun grafiði denir. Ýkinci dereceden y = a + b + c fonksiyonunun grafiðini çizmek için aþaðýdaki sýra izlenebilir. a) b 4ac b b r = ve k = ya da k = ff a 4a a b) = 0 yazýlarak, y eksenini kestiði (0, c) noktasý bulunur. p hesaplanarak tepe noktasý; T(r, k) bulunur. c) y = 0 yazýlarak elde edilen a + b + c = 0 denkleminin çözümüyle grafiðin eksenini kestiði noktalar araþtýrýlýr. d) Gerek duyulursa 'e baþka deðerler verilerek, grafiðe ait daha baþka noktalar bulunur. e) Bu bilgiler bir tablo (deðiþim tablosu) üzerinde gösterilir. f) Bulunan noktalar analitik düzlemde iþaretlenir. Uygun bir çizimle bu noktalar birleþtirilerek parabol çizilir. Raunt 4

44 İKİNCİ DERECEDEN DENKLEM VE FNKSİYNLAR Örnek y = f() = fonksiyonunun deðiþim tablosunu yapıp grafiğini çizelim. y = f() = fonksiyonunda; a =, b =, c = tür. k = f() =. = 4 olduðundan tepe noktasý: T(, 4) tür. = 0 f(0) = 0.0 = A(0, ) parabolün y eksenini kestiði noktadýr. y = 0 = 0 ( ) ( + ) = 0 =, = B(, 0), C(, 0) noktalarý parabolün, eksenini kestiði noktalardýr. Bu bilgileri deðiþim tablosunda gösterelim. Örnek 48 f() =. +. (m ) fonksiyonunun grafiði eksenine teðet olduðuna göre, m nin alabileceði deðerler toplamı kaçtır? Çözüm 48 Denkleminde a =, b = m, c = grafik eksenine teğet olduğuna göre, f() = 0 denkleminin bir tane kökü vardır. Öyleyse = 0 alınır. = (m ) 4 f p( ) 4m + 8m 6 = 0 denkleminde kökler toplamı için, a = 4, b = 8, c = 6 m + m = m + m = b a 8 4 m + m = 44 Raunt

45 Matematik-0 Ünite-6 Örnek 49 Aþaðýdaki parabollerin simetri eksenleri çizilmiþtir. Bu þekillerde soru iþareti yerine yazýlmasý gereken sayýlarý bulunuz. A) y B)? 6 - y? C) y -4? D) y 4? 0 E) y 5? Örnek f() = + + fonksiyonunun grafiðini çizelim. Fonksiyonu f() = a( r) + k formuna getirmeden, tepe noktasý ve eksenleri kestiði noktalar bulunarak da grafik çizimi yapýlabilir. T b a 4ac b 9, = T, tür. 4a = 0 denkleminin kökleri eksenini kestiði noktalarýn apsislerini verir. + + = 0 = 0 ( ) ( + ) = 0 = veya = A(, 0), B(, 0) = 0 için, y eksenini kestiði nokta bulunur. f(0) = = y = C(0, ) C(0, ) noktasý da y eksenini kestiði noktanýn koordinatlarýdýr. Bulunan T, A, B, C noktalarý çizim için yeterlidir. Grafik yanda çizilmiþtir. y 9 4 C A B Raunt 45

46 İKİNCİ DERECEDEN DENKLEM VE FNKSİYNLAR Sınav Kodu: M0074 Konu Testi. f() = m + (m ) + m + parabolünün simetri ekseni = doðrusu olduðuna göre, parabolün y eksenini kestiði nokta nedir? A) (0, ) B) (0, 0) C) (0, ) D) (0, ) E) (0, ) 6. f() = (m + ) parabolü eksenine negatif tarafta teðet olduðuna göre, m kaçtır? 5 A) B) C)0 D) E). Þekilde tepe noktasý T olan ve orjinden geçen parabolün denklemi f() = a + b + c olduðuna göre, (fof) () kaçtır? A) B) 0 C) D) E) 4 7. f : ( 4, ) B f() = + fonksiyonu örten olduðuna göre, B kümesi nedir? A) [, 8] B) [, 6) C) [, 7) D) (, 5) E) ( 4, 0). f() = + (n ) + 4 fonksiyonunun en küçük deðeri olduðuna göre, n nin alacaðý deðerler kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) {0, } B) {, } C) {, 4} D) {0, 4} E) {4, 5} 4. IR olmak üzere bir M kümesinin elemanlarý, ( ) + ( + ) ile hesaplanmaktadýr. M kümesinin en büyük elemaný kaçtır? 5 5 A) B) C)5 D)6 E) 8. C y A B 0 + y 6 = Şekilde B köşesi doğru üzerinde verilen ABC dikdörtgeninin alanının en büyük değeri kaç br dir? A) 0 B) C) 4 D) 5 E) 6 5. (m ) m = 0 denkleminin kökleri ve dir. + toplamının alacağı en küçük değeri kaçtır? A) B) C)6 D) E) m IR olduðuna göre, f() = (m) + (m 5) parabollerinin tepe noktalarýnýn geometrik yer denklemi nedir? A) y = + 5 B) y = + C) y = D) y = + + E) Raunt

47 Sınav Kodu: M0075 Matematik-0 Ünite-6 Konu Testi. f() = (m 4) + m + (m 5) fonksiyonu A(, ) noktasýndan geçtiðine göre, m kaçtýr? A) B) C) D) E) 4. Tepe noktasý T(, ) olan ve A(, ) noktasýndan geçen parabolün denklemi aþaðýdakilerden hangisidir? A) y = B) y = C) y = y D) = E) y = f() = m + (m ) + 6m + parabolünün simetri ekseni = doğrusu olduğuna göre, parabolün, y eksenini kestiği noktanın ordinatı kaçtır? A) B) C) D) 0 E) 5. Grafikleri verilen f() = + 6 ve g() = + b + c parabollerinin tepe noktalarý A ve B dir. [AB] // y AB = birim Yukarýdaki verilere göre, b + c toplamý kaçtýr?. y f() = a + b + c fonksiyonuna ait grafik þekilde verilmiþtir. A) 4 B) 6 C) 8 D) 9 E) 0 Buna göre, a + b + c toplamý kaçtýr? A) B) 4 C) 5 D) 6 E) 9 6. f() = parabolünün y eksenini kestiði nokta aþaðýdakilerden hangisidir? A) (0, 5) B) (0, 4) C) (0, ) D) (0, 4) E) (0, 7) Raunt 47

48 İKİNCİ DERECEDEN DENKLEM VE FNKSİYNLAR 7. y = a + b + c 0. y parabolünün tepe noktası I. bölgede ve kolları eksenini pozitif tarafında farklı iki noktadan kesiyorsa a, b, c nin işaretleri sırasıyla hangisidir? A), +, B) +, +, + C),, + D) +,, + E), +, + A 4 T(, k) Grafiði verilen parabolün denklemi f() = a + b + c dir. Tepe noktasý T(, k), f(0) = 4 ve AB = 6 birim olduðuna göre, a b + c kaçtýr? B A) 5 B) C) D) 9 E) 7 8. A(0, 0), B(6, 0) ve C(, 5) noktalarından geçen parabolün denklemi nedir? A) y = + 8 B) y = 6 C) y = + 6 D) y = 8 E) y = + 4. Şekildeki parabolün denklemi A C B f() = 8 0 dur. y Parabol A ve B noktalarından geçtiğine göre, ABC dikdörtgeninin alanı kaç birimkaredir? A) 0 B) 0 C) 0 D) 40 E) y = + (a + ) + a + 5 parabolü eksenine pozitif tarafta teğet olduğuna göre, a kaçtır? A) 8 B) 6 C) 4 D) E) 4. f: [, ) B f() = + 8 fonksiyonu örten olduðuna göre, B kümesi aþaðýdakilerden hangisidir? A) [, 9) B) [ 8, 7) C) [ 9, 7) D) [ 8, 9) E) [ 0, 9) 48 Raunt

49 Sınav Kodu: M0076 Matematik-0 Ünite-6 Konu Testi. A(a, ) noktasý f() = 9 parabolünün üzerinde bir nokta olduðuna göre, a nýn alabileceði deðerlerin toplamý kaçtýr? A) B) C) D) 4 E) 5 6. y = + (m + ) m + parabolünün eksenine, ikinci bölgede teðet olabilmesi için m kaç olmalýdýr? A) 6 B) C) D) 9 E). f() = b + c fonksiyonunun tepe noktasý T(, ) noktasý olduðuna göre, b + c kaçtýr? A) B) C) D) 4 E) 8 7. y = a + 4 parabolünün simetri ekseninin denklemi = 6 olduðuna göre, a kaçtýr? A) 4 B) C) 9 40 D) 4 E). f() = a + 6 fonksiyonunun grafiðinin eksenini kesmemesi için a nýn alabileceði doðal sayý deðerlerinin toplamý kaçtýr? A) 6 B) 8 C) 0 D) 5 E) 8. f() = m( + 8) fonksiyonunun en küçük deðeri 7 olduðuna göre, m kaçtýr? A) 8 B) 5 C) D) E) y = (a 4) + a eğrisi eksenini orijine göre simetrik iki noktada kesiyorsa a kaçtır? A) B) C) 0 D) E) Þekildeki parabolün denklemi, y = 4 + m dir. 5. liraya alınan bir mal liraya satılırsa en az kaç lira kâr edilir? A) 8 B) 9 C) 0 D) E) 5 B =. A olduðuna göre, C noktasýnýn ordinatý kaçtýr? A) B) 8 C) 6 D) 5 E) Raunt 49

50 İKİNCİ DERECEDEN DENKLEM VE FNKSİYNLAR 0. A(, 0), B(, 0) ve C(0, ) noktalarýndan geçen ikinci dereceden polinom fonksiyonun denklemi aþaðýdakilerden hangisidir? A) y = + B) y = C) y =. f : ( 4, ) B. D) y = E) y = + f() = + 5 fonksiyonu örten olduğuna göre, B kümesi nedir? A) (4, 9] B) [4, 9) C) [4, 9] D) (4, 9) E) [5, 9) y 4. Tepe noktasýnýn koordinatlarý T(, 4) olan ve A(, 0) noktasýndan geçen parabolün denklemi y = a + b + c olduðuna göre, a b + c toplamý kaçtýr? A) B) C) 0 D) E) 5. f() = m + (m + 4) + (m + 7) parabolü eksenini farklý iki noktada kestiðine göre, m nin alabileceði deðerler aþaðýdaki aralýklardan hangisinde bulunur? A) (, 6) B) ( 6, ) {0} C) (, 0) D) (, ) E) ( 6, 6) {0} T y = f() 6. f : (, ] R f() = + 8 fonksiyonunun görüntü kümesi aþaðýdakilerden hangisidir? Þekilde grafiði verilen tepe noktası T(, ) olan y = f() parabolünün denklemi aþaðýdakilerden hangisidir? A) y = ( ) B) y = ( ) C) y ( ) 5 = + D) y = ( ) E) y = ( + ) 9 A) [ 5, 7] B) [ 9, 7] C) [ 4, 7] D) [0, 7] E) [ 9, 0] 7. Şekilde f() = a + b + c parabolü veriliyor.. f() = + a parabolünün tepe noktasý dördüncü bölgede olduðuna göre, a nýn en geniş değer aralýðý aþaðýdakilerden hangisidir? A) a < B) < a < C) < a < D) < a < E) 4 < a < 4 Buna göre, a + b toplamı kaçtır? A) 4 B) 8 C) D) 6 E) 7 8. y = 8 parabolünün eksenleri kestiği noktaları köşe kabul eden üçgenin alanı kaç br dir? A) B) C) D) 4 E) 5 50 Raunt

51 Sınav Kodu: M0077 Matematik-0 Ünite-6 Konu Testi. y = + 5 parabolü A(, a) noktasýndan geçtiðine göre, a kaçtýr? A) B) 5 C) 6 D) 7 E) 8 5. f() = (m ) m + 5 fonksiyonu eksenini kesmediðine göre, m nin alabileceði deðerlerin aralýðý aþaðýdakilerden hangisidir? A) m > B) m < 4 C) < m < D) < m < 4 E) < m < 5. f() = (m 4) (m 6) + m + parabolünün simetri ekseni y ekseni olduðuna göre, m kaçtýr? 6. a < 0, b < 0, c > 0 olmak üzere, tepe noktasý T olan y = a + b + c parabolünün grafiði aþaðýdakilerden hangisi olabilir? A) 4 B) C) D) E) 4 A) B) T y T. f() = ( + ). (m ) fonksiyonunun grafiði eksenine teðet C) y D) T T y olduðuna göre, m kaçtýr? A) B) C) 0 D) E) E) T y 4. f() = a.( + ) + c g() = ( b). ( + 5) parabollerinin tepe noktalarý ayný olduðuna göre, b + c kaçtýr? A) B) C) D) E) 4 7. f() = + 6 m fonksiyonunun grafiðinin tepe noktasý y = 4 doðrusu üzerinde olduðuna göre, m kaçtýr? A) B) C) D) 6 E) 8 Raunt 5

52 İKİNCİ DERECEDEN DENKLEM VE FNKSİYNLAR 8. T y Þekilde grafiði verilen y = f() = a + b + c parabolünün tepe noktasý ikinci bölgededir.. y 5 y = f() y = f() 5 Buna göre, aþaðýdakilerden hangisi yanlýþtýr? A) a.c < 0 B) b > 4ac C) b.c > 0 D) a + b < 0 E) a. b > 0 Yukarýdaki þekilde y = f() parabolünün grafiði verilmiþtir. Yukarıdaki verilere göre, (fof) () kaçtýr? 9. y T y=f( ) Tepe noktasý, T(, ) olan y = f( ) parabolünün grafiði y a n - d a k i þ e k i l d e verilmiþtir. A) 8 B) 40 C) 8 D) 9 E) 9 Buna göre, f() kaçtýr? A) B) 4 C) 5 D) 7 E) 9 0. y Þekildeki y = f(). y y = f() parabolü y eksenini C, eksenini A ve B A B y = f() A B noktalarýnda kesmektedir. C C B = 4. A ve f() = 0 denkleminin köklerinin toplamý olduðuna göre, parabolün tepe noktasýnýn y eksenine olan uzaklýðý kaç birimdir? Şekildeki parabolün denklemi y = + m dir. IBI =.IAI olduğuna göre, C noktasının ordinatı kaçtır? 5 A) 8 5 B) C) D) E) A) B) C) D) 4 E) 5 5 Raunt

53 Matematik-0 Ünite-6. f() = (m + ) + m + k 6. a, b R olmak üzere, parabolü y eksenini A(0, ) noktasýnda kesmektedir. Bu parabolün tepe noktasýnýn birinci bölgede olmasý için m hangi aralýkta olmalýdýr? a b = a + için a kaçtır? eşitliğinde b'nin en küçük değeri A) (, 6) B) (, 6) C) (, ) D) (, 0) E) (, 0) A) 5 B) C) D) E) f() = 4 + a + b parabolü = de eksenine teðet olduðuna göre, a + b toplamý kaçtýr? A) 8 B) 0 C) D) 4 E) 6 Grafiğe göre, f() = olmasını sağlayan değerlerinin toplamı kaçtır? A) B) C) 4 D) 6 E) y = a (a ) + a parabolünün ekseni ile en çok bir ortak noktasý olduðuna göre, a nýn alabileceði deðerlerin aralýðý aþaðýdakilerden hangisidir? Şekilde tepe noktası T olan f() = + b + c fonksiyonunun grafiği verilmiştir. Buna göre, parabolün alabileceği en küçük değer kaçtır? A) 9 B) 7 C) 5 D) E) A), C), E) [, ] B), D) (, ], + ) Raunt 5

54 İKİNCİ DERECEDEN DENKLEM VE FNKSİYNLAR Sınav Kodu: M0078 Konu Testi 4. f() = + + k 4 parabolünün y = doðrusuna teðet olmasý için k kaç olmalýdýr? 9 A) B) 6 C) 5 D) 7 E) 4. f() = (a ) + (4 a ) a + 7 parabolünün tepe noktasý y ekseni üzerindedir. Bu parabolün eksenleri kestiði noktalarý köþe kabul eden üçgenin alaný kaç birimkaredir? A) 5 B) 4 7 C) 9 D) 7 E). f() = (k 4) + k + 6k + parabolünün eksenine teðet olmasý için k kaç olmalýdýr? A) B) 0 C) D) E) 5. f() = a fonksiyonunun görüntü kümesinin en büyük elemanýnýn 9 dan büyük olmasý için a nýn alabileceði deðerlerin aralýðý aþaðýdakilerden hangisidir? A) (, + ) B) (4, + ) C) (5, + ) D) (, 6 ) E) (, 4 ). 6. y f g 4 K Þekilde grafiði verilen parabolün denklemi f() = a + b + c dir. Buna göre, f() in görüntü kümesinin en büyük elemaný kaçtýr? A) 8 B) 6 5 C) 6 D) 5 E) 6 5 Þekilde grafikleri verilen f() = + b + c g() = + d + e fonksiyonlarý için b d farký kaçtýr? A) B) 0 C) D) E) 5 54 Raunt

LYS MATEMATÝK II - 10

LYS MATEMATÝK II - 10 ÝREY DERSHNELERÝ SINIF ÝÇÝ DERS UYGULM FÖYÜ (MF-TM) DERSHNELERÝ LYS MTEMTÝK II - 0 PRL - I Ders anlatým föleri öðrenci tarafýndan dersten sonra tekrar çalýþýlmalýdýr. dý Soadý :... u kitapçýðýn her hakký

Detaylı

EÞÝTSÝZLÝKLER. I. ve II. Dereceden Bir Bilinmeyenli Eþitsizlik. Polinomlarýn Çarpýmý ve Bölümü Bulunan Eþitsizlik

EÞÝTSÝZLÝKLER. I. ve II. Dereceden Bir Bilinmeyenli Eþitsizlik. Polinomlarýn Çarpýmý ve Bölümü Bulunan Eþitsizlik l l l EÞÝTSÝZLÝKLER I. ve II. Dereceden Bir Bilinmeyenli Eþitsizlik Polinomlarýn Çarpýmý ve Bölümü Bulunan Eþitsizlik Çift ve Tek Katlý Kök, Üslü ve Mutlak Deðerlik Eþitsizlik l Alýþtýrma 1 l Eþitsizlik

Detaylı

BÝREY DERSHANELERÝ SINIF ÝÇÝ DERS ANLATIM FÖYÜ MATEMATÝK - II

BÝREY DERSHANELERÝ SINIF ÝÇÝ DERS ANLATIM FÖYÜ MATEMATÝK - II ÝREY DERSHNELERÝ SINIF ÝÇÝ DERS NLTIM FÖYÜ DERSHNELERÝ Konu Ders dý ölüm Sýnav DF No. MTEMTÝK - II PRL - I MF TM LYS 09 Ders anlatým föleri öðrenci tarafýndan dersten sonra tekrar çalýþýlmalýdýr. dý Soadý

Detaylı

4. f(x) = x 3 3ax 2 + 2x 1 fonksiyonunda f ý (x) in < x < için f(x) azalan bir fonksiyon olduðuna

4. f(x) = x 3 3ax 2 + 2x 1 fonksiyonunda f ý (x) in < x < için f(x) azalan bir fonksiyon olduðuna Artan - Azalan Fonksionlar Ma. Min. ve Dönüm Noktalarý ÖSYM SORULARI. Aþaðýdaki fonksionlardan hangisi daima artandýr? A) + = B) = C) = ( ) + D) = E) = + (97). f() = a + fonksionunda f ý () in erel (baðýl)

Detaylı

PARABOL TEST / 1. 1. Aþaðýdaki fonksiyonlardan hangisinin grafiði parabol. 5. Aþaðýdaki fonksiyonlardan hangisinin grafiði A(0,2) noktalarýndan geçer?

PARABOL TEST / 1. 1. Aþaðýdaki fonksiyonlardan hangisinin grafiði parabol. 5. Aþaðýdaki fonksiyonlardan hangisinin grafiði A(0,2) noktalarýndan geçer? PARABOL TEST /. Aþaðýdaki fnksinlardan hangisinin grafiði parabl belirtir? 5. Aþaðýdaki fnksinlardan hangisinin grafiði A(0,) nktalarýndan geçer? A) f()=5 f()=+ C) f()= D) f()= f()= 4 + + A) f()= f()=

Detaylı

DOÐRUNUN ANALÝTÝÐÝ - I

DOÐRUNUN ANALÝTÝÐÝ - I YGS-LYS GEOMETRÝ Konu Anlatýmý DOÐRUNUN ANALÝTÝÐÝ - I ANALÝTÝK DÜZLEM Baþlangýç noktasýnda birbirine dik olan iki sayý doðrusunun oluþturduðu sisteme dik koordinat sistemi, bu doðrularýn belirttiði düzleme

Detaylı

1. BÖLÜM Polinomlar BÖLÜM II. Dereceden Denklemler BÖLÜM II. Dereceden Eşitsizlikler BÖLÜM Parabol

1. BÖLÜM Polinomlar BÖLÜM II. Dereceden Denklemler BÖLÜM II. Dereceden Eşitsizlikler BÖLÜM Parabol ORGANİZASYON ŞEMASI . BÖLÜM Polinomlar... 7. BÖLÜM II. Dereceden Denklemler.... BÖLÜM II. Dereceden Eşitsizlikler... 9. BÖLÜM Parabol... 5 5. BÖLÜM Trigonometri... 69 6. BÖLÜM Karmaşık Sayılar... 09 7.

Detaylı

Matematikte karşılaştığınız güçlükler için endişe etmeyin. Emin olun benim karşılaştıklarım sizinkilerden daha büyüktür.

Matematikte karşılaştığınız güçlükler için endişe etmeyin. Emin olun benim karşılaştıklarım sizinkilerden daha büyüktür. - 1 - ÖĞRENME ALANI CEBİR BÖLÜM KARMAŞIK SAYILAR ALT ÖĞRENME ALANLARI 1) Karmaşık Sayılar Karmaşık Sayıların Kutupsal Biçimi KARMAŞIK SAYILAR Kazanım 1 : Gerçek sayılar kümesini genişletme gereğini örneklerle

Detaylı

BÝREY DERSHANELERÝ SINIF ÝÇÝ DERS ANLATIM FÖYÜ MATEMATÝK - II

BÝREY DERSHANELERÝ SINIF ÝÇÝ DERS ANLATIM FÖYÜ MATEMATÝK - II ÝREY DERSHNELERÝ SINIF ÝÇÝ DERS NLTIM FÖYÜ DERSHNELERÝ Konu Ders dý ölüm Sýnav DF No. MTEMTÝK - II PRL - IV MF TM LYS1 12 Ders anlatým föleri öðrenci tarafýndan dersten sonra tekrar çalýþýlmalýdýr. dý

Detaylı

BÝREY DERSHANELERÝ SINIF ÝÇÝ DERS ANLATIM FÖYÜ MATEMATÝK - II

BÝREY DERSHANELERÝ SINIF ÝÇÝ DERS ANLATIM FÖYÜ MATEMATÝK - II BÝREY DERSHANELERÝ SINIF ÝÇÝ DERS ANLATIM FÖYÜ DERSHANELERÝ Konu Ders Adý Bölüm Sýnav DAF No. MATEMATÝK - II KARMAÞIK SAYILAR - II MF TM LYS 3 Ders anlatým föleri öðrenci tarafýndan dersten sonra tekrar

Detaylı

YAZILIYA HAZIRLIK TESTLERÝ TEST / 1

YAZILIYA HAZIRLIK TESTLERÝ TEST / 1 YAZILIYA HAZIRLIK TESTLERÝ TEST / 1 1. x +6x+5=0 5. x +5x+m=0 denkleminin reel kökü olmadýðýna göre, m nin alabileceði en küçük tam sayý deðeri kaçtýr? A) {1,5} B) {,3} C) { 5, 1} D) { 5,1} E) {,3} A)

Detaylı

DERSHANELERÝ MATEMATÝK - I

DERSHANELERÝ MATEMATÝK - I B Ý R E Y D E R S H A N E L E R Ý S I N I F Ý Ç Ý D E R S A N L A T I M F Ö Y Ü DERSHANELERÝ Konu Bölüm DAF No. FONKSÝYONLAR - I MF-TM 53 MATEMATÝK - I 53 Bu yayýnýn her hakký saklýdýr. Tüm haklarý bry

Detaylı

BÝREY DERSHANELERÝ SINIF ÝÇÝ DERS ANLATIM FÖYÜ MATEMATÝK - II

BÝREY DERSHANELERÝ SINIF ÝÇÝ DERS ANLATIM FÖYÜ MATEMATÝK - II BÝREY DERSHANELERÝ SINIF ÝÇÝ DERS ANLATIM FÖYÜ DERSHANELERÝ Konu Ders Adý Bölüm Sýnav DAF No. MATEMATÝK - II EÞÝTSÝZLÝKLER - I MF TM LYS1 13 Ders anlatým föyleri öðrenci tarafýndan dersten sonra tekrar

Detaylı

PARABOL. çözüm. kavrama sorusu. çözüm. kavrama sorusu

PARABOL. çözüm. kavrama sorusu. çözüm. kavrama sorusu PARABL Bu bölümde birinci dereceden fonksion =f()=a+b ve ikinci dereceden fonksion =f()=a +b+c grafiklerini üzesel olarak inceleeceğiz. f()=a +b+c ikinci dereceden bir bilinmeenli polinom fonksionun grafiği

Detaylı

- 2-1 0 1 2 + 4a a 0 a 4a

- 2-1 0 1 2 + 4a a 0 a 4a İKİNCİ DERECEDEN FNKSİYNLARIN GRAFİKLERİ a,b,c,z R ve a 0 olmak üzere, F : R R f() = a + b + c şeklinde tanımlanan fonksionlara ikinci dereceden bir değişkenli fonksionlar denir. Bu tür fonksionların grafikleri

Detaylı

PARABOL Test -1. y x 2x m 1 parabolü x eksenini kesmiyorsa m nin alabileceği değerler kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

PARABOL Test -1. y x 2x m 1 parabolü x eksenini kesmiyorsa m nin alabileceği değerler kümesi aşağıdakilerden hangisidir? PROL est -. m parabolü eksenini kesmiorsa m nin alabileceği değerler kümesi aşağıdakilerden hangisidir?. f a b c (, ) ) (, ) (, ) (, ) ( 6, ). m parabolü eksenini iki farklı noktada kesmektedir. una göre,

Detaylı

Örnek...1 : f (x)=2x 2 5x+6 parabolü K(2,p) noktasından geçiyorsa p kaçtır? Örnek...2 : Aşağıda çeşitli parabol grafikleri verilmiştir incele yi niz.

Örnek...1 : f (x)=2x 2 5x+6 parabolü K(2,p) noktasından geçiyorsa p kaçtır? Örnek...2 : Aşağıda çeşitli parabol grafikleri verilmiştir incele yi niz. a, b,c R,a 0 olmak koşulula f ()=a 2 +b+c fonksionuna ikinci dereceden bir değişkenli fonksion ve bu fonksionun belirttiği eğrie de parabol denir. Uarı ir parabolün grafiği başkatsaı olan a saısına bağlı

Detaylı

2. Dereceden Denklem ve Eşitsizlikler x 2 2x + 2m + 1 = 0 denkleminin kökleri x 1 ve x 2 dir. 4x 1 + 5x 2 = 7 ise m aşağıdakilerden hangisidir?

2. Dereceden Denklem ve Eşitsizlikler x 2 2x + 2m + 1 = 0 denkleminin kökleri x 1 ve x 2 dir. 4x 1 + 5x 2 = 7 ise m aşağıdakilerden hangisidir? MC www.matematikclub.com, 006 Cebir Notları Gökhan DEMĐR, gdemir3@ahoo.com.tr. Dereceden Denklem ve Eşitsizlikler- TEST I A) 1 B) C) 3 D) 4 E) 5 1. 1/ = 0 denkleminin köklerinin toplamı aşağıdakilerden

Detaylı

DENEME Bu testte 40 soru bulunmaktadýr. 2. Bu testteki sorular matematiksel iliþkilerden yararlanma gücünü ölçmeye yöneliktir.

DENEME Bu testte 40 soru bulunmaktadýr. 2. Bu testteki sorular matematiksel iliþkilerden yararlanma gücünü ölçmeye yöneliktir. 1. Bu testte 40 soru bulunmaktadýr. 2. Bu testteki sorular matematiksel iliþkilerden yararlanma gücünü ölçmeye yöneliktir. 1. 3 2x +1 = 27 olduðuna göre, x kaçtýr? A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4 4. Yukarýda

Detaylı

Denklemler İkinci Dereceden Denklemler. İkinci dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler. a,b,c IR ve a 0 olmak üzere,

Denklemler İkinci Dereceden Denklemler. İkinci dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler. a,b,c IR ve a 0 olmak üzere, Bölüm 33 Denklemler 33.1 İkinci Dereceden Denklemler İkinci dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler a,b,c IR ve a 0 olmak üzere, ax 2 + bx + c = 0 biçimindeki her açık önermeye ikinci dereceden bir bilinmeyenli

Detaylı

LYS MATEMATÝK II. Polinomlar. II. Dereceden Denklemler

LYS MATEMATÝK II. Polinomlar. II. Dereceden Denklemler LYS MATEMATÝK II Soru Çözüm Dersi Kitapçığı 1 (MF - TM) Polinomlar II. Dereceden Denklemler Bu yayýnýn her hakký saklýdýr. Tüm haklarý bry Birey Eðitim Yayýncýlýk Pazarlama Ltd. Þti. e aittir. Kýsmen de

Detaylı

Polinomlar II. Dereceden Denklemler

Polinomlar II. Dereceden Denklemler Ödev Tarihi :... Ödev Kontrol Tarihi :... Kontrol Eden :... LYS MATEMATİK - II Ödev Kitapçığı 1 (MF-TM) Polinomlar II. Dereceden Denklemler Adý Soyadý :... BÝREY DERSHANELERÝ MATEMATÝK-II ÖDEV KÝTAPÇIÐI

Detaylı

BÝREY DERSHANELERÝ SINIF ÝÇÝ DERS ANLATIM FÖYÜ MATEMATÝK - II

BÝREY DERSHANELERÝ SINIF ÝÇÝ DERS ANLATIM FÖYÜ MATEMATÝK - II BÝREY DERSHANELERÝ SINIF ÝÇÝ DERS ANLATIM FÖYÜ DERSHANELERÝ Konu Ders Adý Bölüm Sýnav DAF No. MATEMATÝK - II II. DERECEDEN DENKLEMLER - IV MF TM LYS1 08 Ders anlatým föyleri öðrenci tarafýndan dersten

Detaylı

BÝREY DERSHANELERÝ SINIF ÝÇÝ DERS ANLATIM FÖYÜ MATEMATÝK - II

BÝREY DERSHANELERÝ SINIF ÝÇÝ DERS ANLATIM FÖYÜ MATEMATÝK - II DERSHANELERÝ Konu Ders Adý Bölüm Sýnav DAF No. MATEMATÝK - II KARMAÞIK SAYILAR - I MF TM LYS 30 Ders anlatým föleri öðrenci tarafýndan dersten sonra tekrar çalýþýlmalýdýr. Adý Soadý :... Bu kitapçýðýn

Detaylı

İl temsilcimiz sizinle irtibata geçecektir.

İl temsilcimiz sizinle irtibata geçecektir. Biz, Sizin İçin Farklı Düşünüyor Farklı Üretiyor Farklı Uyguluyoruz Biz, Sizin İçin Farklıyız Sizi de Farklı Görmek İstiyoruz Soru Bankası matematik konularını yeni öğrenen öğrenciler için TMOZ öğretmenlerince

Detaylı

5. 2x 2 4x + 16 ifadesinde kaç terim vardýr? 6. 4y 3 16y + 18 ifadesinin terimlerin katsayýlarý

5. 2x 2 4x + 16 ifadesinde kaç terim vardýr? 6. 4y 3 16y + 18 ifadesinin terimlerin katsayýlarý CEBÝRSEL ÝFADELER ve DENKLEM ÇÖZME Test -. x 4 için x 7 ifadesinin deðeri kaçtýr? A) B) C) 9 D). x 4x ifadesinde kaç terim vardýr? A) B) C) D) 4. 4y y 8 ifadesinin terimlerin katsayýlarý toplamý kaçtýr?.

Detaylı

Cebirsel Fonksiyonlar

Cebirsel Fonksiyonlar Cebirsel Fonksiyonlar Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV ÜNİTE 4 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; polinom, rasyonel ve cebirsel fonksiyonları tanıyacak ve bu türden bazı fonksiyonların grafiklerini öğrenmiş

Detaylı

Basým Yeri: Ceren Matbaacılık AŞ. Basým Tarihi: Haziran / ISBN Numarası: Sertifika No: 33674

Basým Yeri: Ceren Matbaacılık AŞ. Basým Tarihi: Haziran / ISBN Numarası: Sertifika No: 33674 kapak sayfası İÇİNDEKİLER. ÜNİTE DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER Gerçek Sayılar... 4 Doğal Sayılarda İşlemler... 4 Tam Sayılar... 4 Rasyonel Sayılar... 5 İrrasyonel Sayılar... 5 Gerçek (Reel) Sayılar... 6 9 Konu

Detaylı

LYS 1 ÖZ-DE-BÝR YAYINLARI MATEMATÝK DENEME SINAVI 1 MA = a 4, 3 b Bazý M pozitif gerçek sayýlarý için, 5M = M 5 ve. 6.

LYS 1 ÖZ-DE-BÝR YAYINLARI MATEMATÝK DENEME SINAVI 1 MA = a 4, 3 b Bazý M pozitif gerçek sayýlarý için, 5M = M 5 ve. 6. LYS ÜNÝVERSÝTE HAZIRLIK ÖZ-DE-BÝR YAYINLARI MATEMATÝK DENEME SINAVI A Soru saýsý: 0 Yanýtlama süresi: dakika Bu testle ilgili anýtlarýnýzý optik formdaki Matematik bölümüne iþaretleiniz. Doðru anýtlarýnýzýn

Detaylı

POLİNOMLAR I MATEMATİK LYS / 2012 A1. 1. Aşağıdakilerden kaç tanesi polinomdur? 6. ( ) ( ) 3 ( ) 2. 2. ( ) n 7 8. ( ) 3 2 3. ( ) 2 4.

POLİNOMLAR I MATEMATİK LYS / 2012 A1. 1. Aşağıdakilerden kaç tanesi polinomdur? 6. ( ) ( ) 3 ( ) 2. 2. ( ) n 7 8. ( ) 3 2 3. ( ) 2 4. POLİNOMLAR I MATEMATİK. Aşağıdakilerden kaç tanesi polinomdur? I. ( ) P = + II. ( ) P = + III. ( ) + + P = + 6. ( ) ( ) ( ) P = a b a + b sabit polinom olduğuna göre ( ) ( ) ( ) P a +P b +P 0 toplamı kaçtır?

Detaylı

4. a ve b, 7 den küçük pozitif tam sayý olduðuna göre, 2 a a b. 5. 16 x+1 = 3

4. a ve b, 7 den küçük pozitif tam sayý olduðuna göre, 2 a a b. 5. 16 x+1 = 3 LYS ÜNÝVSÝT HAZILIK ÖZ-D-BÝ YAYINLAI MATMATÝK DNM SINAVI A Soru saýsý: 5 Yanýtlama süresi: 75 dakika Bu testle ilgili anýtlarýnýzý optik formdaki Matematik bölümüne iþaretleiniz. Doðru anýtlarýnýzýn saýsýndan

Detaylı

Örnek...1 : Örnek...5 : n bir pozitif tamsayı ise i 4 n + 2 +i 8 n + 1 2 +i 2 0 n + 6 =?

Örnek...1 : Örnek...5 : n bir pozitif tamsayı ise i 4 n + 2 +i 8 n + 1 2 +i 2 0 n + 6 =? KARMAŞIK SAYILAR Karmaşık saılar x 2 + 1 = 0 biçimindeki denklemlerin çözümünü apabilmek için tanım lanm ıştır. Örnek...2 : Toplamları 6 ve çarpımları 34 olan iki saı bulunuz. a ve b birer reel saı ve

Detaylı

DENEME Bu testte 40 soru bulunmaktadýr. 2. Bu testteki sorular matematiksel iliþkilerden yararlanma gücünü ölçmeye yöneliktir.

DENEME Bu testte 40 soru bulunmaktadýr. 2. Bu testteki sorular matematiksel iliþkilerden yararlanma gücünü ölçmeye yöneliktir. 1. Bu testte 40 soru bulunmaktadýr. 2. Bu testteki sorular matematiksel iliþkilerden yararlanma gücünü ölçmeye yöneliktir. 1. a, b, c birbirinden farklý rakamlardýr. 2a + 3b - 4c ifadesinin alabileceði

Detaylı

ÜNİTE. MATEMATİK-1 Yrd.Doç.Dr.Ömer TARAKÇI İÇİNDEKİLER HEDEFLER DOĞRULAR VE PARABOLLER

ÜNİTE. MATEMATİK-1 Yrd.Doç.Dr.Ömer TARAKÇI İÇİNDEKİLER HEDEFLER DOĞRULAR VE PARABOLLER HEDEFLER İÇİNDEKİLER DOĞRULAR VE PARABOLLER Birinci Dereceden Polinom Fonksiyonlar ve Doğru Doğru Denklemlerinin Bulunması İkinci Dereceden Polinom Fonksiyonlar ve Parabol MATEMATİK-1 Yrd.Doç.Dr.Ömer TARAKÇI

Detaylı

(m+2) +5<0. 7/m+3 + EŞİTSİZLİKLER A. TANIM

(m+2) +5<0. 7/m+3 + EŞİTSİZLİKLER A. TANIM EŞİTSİZLİKLER A. TANIM f(x)>0, f(x) - eşitsizliğinin

Detaylı

BÝREY DERSHANELERÝ SINIF ÝÇÝ DERS ANLATIM FÖYÜ MATEMATÝK - II

BÝREY DERSHANELERÝ SINIF ÝÇÝ DERS ANLATIM FÖYÜ MATEMATÝK - II ÝREY DERSHNELERÝ SINIF ÝÇÝ DERS NLTIM FÖYÜ DERSHNELERÝ Konu Ders dý ölüm Sýnav DF No. MTEMTÝK - II TRÝGNMETRÝ - I MF TM LYS 8 Ders anlatým föleri öðrenci tarafýndan dersten sonra tekrar çalýþýlmalýdýr.

Detaylı

ÖZEL EGE LİSESİ EGE BÖLGESİ OKULLAR ARASI 16. MATEMATİK YARIŞMASI 10. SINIF ELEME SINAVI TEST SORULARI

ÖZEL EGE LİSESİ EGE BÖLGESİ OKULLAR ARASI 16. MATEMATİK YARIŞMASI 10. SINIF ELEME SINAVI TEST SORULARI EGE BÖLGESİ OKULLAR ARASI. MATEMATİK YARIŞMASI 0. SINIF ELEME SINAVI TEST SORULARI 5. sayısının virgülden sonra 9 99 999 5. basamağındaki rakam kaçtır? A) 0 B) C) 3 D) E) 8!.!.3!...4! 4. A= aşağıdaki hangi

Detaylı

POLÝNOMLAR TEST / Aþaðýdakilerden hangisi polinom fonksiyonu deðildir?

POLÝNOMLAR TEST / Aþaðýdakilerden hangisi polinom fonksiyonu deðildir? POLÝNOMLAR TEST / 1 1. Bir fonksiyonun polinom belirtmesi için, deðiþkenlerin kuvveti doðal sayý olmalýdýr. Buna göre, aþaðýdakilerden hangisi bir polinomdur? 5. m 4 8 m 1 P(x) = x + 2.x + 2 ifadesi bir

Detaylı

YAZILIYA HAZIRLIK TESTLERÝ TEST / 1

YAZILIYA HAZIRLIK TESTLERÝ TEST / 1 YAZILIYA HAZIRLIK TESTLERÝ TEST / 1 1. Yandaki tablonun kutucuklarýna terimler yazýlmýþtýr. Buna göre, aþaðýdakilerden hangisi yanlýþtýr? x x 4 x 3x 6x 5. P(x). Q(x) çarpým polinomunun derecesi 5 tir.

Detaylı

A A A A) 2159 B) 2519 C) 2520 D) 5039 E) 10!-1 A)4 B)5 C)6 D)7 E)8. 4. x 1. ,...,x 10. , x 2. , x 3. sýfýrdan farklý reel sayýlar olmak üzere,

A A A A) 2159 B) 2519 C) 2520 D) 5039 E) 10!-1 A)4 B)5 C)6 D)7 E)8. 4. x 1. ,...,x 10. , x 2. , x 3. sýfýrdan farklý reel sayýlar olmak üzere, ., 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 ve 0 sayýlarý ile bölündüðünde sýrasýyla,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, ve 9 kalanlarýný veren en küçük tamsayý aþaðýdakilerden hangisidir? A) 59 B) 59 C) 50 D) 5039 E) 0!- 3. Yasin, annesinin

Detaylı

1. BÖLÜM. 4. Bilgi: Bir üçgende, iki kenarýn uzunluklarý toplamý üçüncü kenardan büyük, farký ise üçüncü kenardan küçüktür.

1. BÖLÜM. 4. Bilgi: Bir üçgende, iki kenarýn uzunluklarý toplamý üçüncü kenardan büyük, farký ise üçüncü kenardan küçüktür. 8. SINIF COÞMY SORULRI 1. ÖLÜM DÝKKT! u bölümde 1 den 10 a kadar puan deðeri 1,25 olan sorular vardýr. 3. 1. 1 1 1 1 1 1 D E F 1 1 1 C 1 ir kenarý 1 birim olan 24 küçük kareden oluþan þekilde alaný 1 birimkareden

Detaylı

ÇEMBERÝN ANALÝTÝÐÝ - I

ÇEMBERÝN ANALÝTÝÐÝ - I YGS-LYS GEOMETRÝ Konu Anlatýmý ÇEMBERÝN ANALÝTÝÐÝ - I 1. Çember Denklemi: Analitik düzlemde merkezi M(a, b) ve yarýçapý r birim olan çemberin denklemi, (x - a) 2 + (y - b) 2 = r 2 (x - a) 2 + y 2 = r 2

Detaylı

BÝREY DERSHANELERÝ SINIF ÝÇÝ DERS ANLATIM FÖYÜ MATEMATÝK - II

BÝREY DERSHANELERÝ SINIF ÝÇÝ DERS ANLATIM FÖYÜ MATEMATÝK - II BÝREY DERSHANELERÝ SINIF ÝÇÝ DERS ANLATIM FÖYÜ DERSHANELERÝ Konu Ders Adý Bölüm Sýnav DAF No. MATEMATÝK - II II. DERECEDEN DENKLEMLER - II MF TM LYS 06 Ders anlatým föyleri öðrenci tarafýndan dersten sonra

Detaylı

BASIN KİTAPÇIĞI ÖSYM

BASIN KİTAPÇIĞI ÖSYM BASIN KİTAPÇIĞI 00000000 AÇIKLAMA 1. Bu kitapç kta Lisans Yerle tirme S nav -1 Matematik Testi bulunmaktad r. 2. Bu test için verilen toplam cevaplama süresi 75 dakikadır. 3. Bu kitapç ktaki testlerde

Detaylı

;] u Y hb* p(a/ > V aaa!a!a!a!!!!!a! BASIN KİTAPÇIĞI

;] u Y hb* p(a/ > V aaa!a!a!a!!!!!a! BASIN KİTAPÇIĞI BASIN KİTAPÇIĞI 00000000 AÇIKLAMA 1. Bu kitapç kta Lisans Yerle tirme S nav -1 Matematik Testi bulunmaktad r. 2. Bu test için verilen toplam cevaplama süresi 75 dakikadır. 3. Bu kitapç ktaki testlerde

Detaylı

Basým Yeri: Ceren Matbaacılık AŞ. Basým Tarihi: Haziran / ISBN Numarası: Sertifika No: 33674

Basým Yeri: Ceren Matbaacılık AŞ. Basým Tarihi: Haziran / ISBN Numarası: Sertifika No: 33674 kapak safası İÇİNDEKİLER. ÜNİTE FNKSİYNLARDA İŞLEMLER VE UYGULAMALARI Fonksionların Simetrileri ve Cebirsel Özellikleri... 4 Tek ve Çift Fonksionlar... 4 Fonksionlarda İşlemler... 6 Konu Testleri -...

Detaylı

Basým Yeri: Ceren Matbaacılık AŞ. Basým Tarihi: Haziran / ISBN Numarası: Sertifika No: 33674

Basým Yeri: Ceren Matbaacılık AŞ. Basým Tarihi: Haziran / ISBN Numarası: Sertifika No: 33674 kapak sayfası İÇİNDEKİLER 7. ÜNİTE POLİNOMLAR Polinom Kavramı ve Polinomlarda İşlemler... 4 Polinom Kavramı... 4 9 Polinomlarda İşlemler... 9 Konu Testleri - - - 4-5... 6 Polinomlarda Çarpanlara Ayırma...

Detaylı

ÖRNEK LİSANS YERLEŞTİRME SINAVI - 1 GEOMETRİ TESTİ. Ad Soyad : T.C. Kimlik No:

ÖRNEK LİSANS YERLEŞTİRME SINAVI - 1 GEOMETRİ TESTİ. Ad Soyad : T.C. Kimlik No: LİSANS YERLEŞTİRME SINAVI - GEOMETRİ TESTİ ÖRNEK Ad Soyad : T.C. Kimlik No: Bu testlerin her hakkı saklıdır. Hangi amaçla olursa olsun, testlerin tamamının veya bir kısmının Metin Yayınları nın yazılı

Detaylı

LYS - 1 GEOMETRÝ TESTÝ

LYS - 1 GEOMETRÝ TESTÝ LYS - 1 GMTRÝ TSTÝ ÝKKT : 1. u testte toplam 3 soru vardýr. 2. evaplamaa istediðiniz sorudan baþlaabilirsiniz. 3. evaplarýnýzý, cevap kaðýdýnýn Geometri Testi için arýlan kýsmýna iþaretleiniz.. Safalar

Detaylı

Kanguru Matematik Türkiye 2017

Kanguru Matematik Türkiye 2017 Kanguru Matematik Türkiye 07 4 puanlýk sorular. Bir dörtgenin köþegenleri, dörtgeni dört üçgene ayýrmaktadýr. Her üçgenin alaný bir asal sayý ile gösterildiðine göre, aþaðýdaki sayýlardan hangisi bu dörtgenin

Detaylı

Sunum ve Sistematik. Bu başlıklar altında uygulamalar yaparak öğrenciye yorum, analiz, sentez yetisinin geliştirilmesi hedeflenmiştir.

Sunum ve Sistematik. Bu başlıklar altında uygulamalar yaparak öğrenciye yorum, analiz, sentez yetisinin geliştirilmesi hedeflenmiştir. Sunum ve Sistematik. BÖLÜM: KARMAŞIK SAYILAR ALIŞTIRMALAR Bu başlık altında her bölüm kazanımlara ayrılmış, kazanımlar tek tek çözümlü temel alıştırmalar ve sorular ile taranmıştır. Özellikle bu kısmın

Detaylı

EĞİTİM - ÖĞRETİM YILI 10. SINIF MATEMATİK DERSİ DESTEKLEME VE YETİŞTİRME KURSU KAZANIMLARI VE TESTLERİ

EĞİTİM - ÖĞRETİM YILI 10. SINIF MATEMATİK DERSİ DESTEKLEME VE YETİŞTİRME KURSU KAZANIMLARI VE TESTLERİ EKİM 07-08 EĞİTİM - ÖĞRETİM YILI 0. SINIF MATEMATİK DERSİ 0... Olayların gerçekleşme sayısını toplama ve çarpma prensiplerini kullanarak hesaplar. 0... Sınırsız sayıda tekrarlayan nesnelerin dizilişlerini

Detaylı

BÝREY DERSHANELERÝ SINIF ÝÇÝ DERS ANLATIM FÖYÜ MATEMATÝK - II

BÝREY DERSHANELERÝ SINIF ÝÇÝ DERS ANLATIM FÖYÜ MATEMATÝK - II BÝREY DERSHANELERÝ SINIF ÝÇÝ DERS ANLATIM FÖYÜ DERSHANELERÝ Konu Ders Adý Bölüm Sýnav DAF No. MATEMATÝK - II EÞÝTSÝZLÝKLER - III MF TM LYS1 15 Ders anlatým föyleri öðrenci tarafýndan dersten sonra tekrar

Detaylı

BÝREY DERSHANELERÝ SINIF ÝÇÝ DERS ANLATIM FÖYÜ MATEMATÝK - I

BÝREY DERSHANELERÝ SINIF ÝÇÝ DERS ANLATIM FÖYÜ MATEMATÝK - I BÝREY DERSHANELERÝ SINIF ÝÇÝ DERS ANLATIM FÖYÜ DERSHANELERÝ Konu Ders Adý Bölüm Sýnav DAF No. MATEMATÝK - I SAYI BASAMAKLARI - II MF TM YGS LYS1 05 Ders anlatým föyleri öðrenci tarafýndan dersten sonra

Detaylı

KÖKLÜ SAYILAR TEST / 1

KÖKLÜ SAYILAR TEST / 1 KÖKLÜ SAYILAR TEST / 1 1. Aþaðýdakilerden hangisi reel sayý deðildir? A) B) C) 0 D) 8 E). 6 2 9 A) 16 B) 18 C) 20 D) 2 E) 0 2. Aþaðýdakilerden hangisi irrasyonel sayýdýr? 6. Aþaðýdakilerden hangisi yanlýþtýr?

Detaylı

MODÜLER ARÝTMETÝK TEST / 1

MODÜLER ARÝTMETÝK TEST / 1 MODÜLER ARÝTMETÝK TEST / 1 1. m Z, x y(mod m) ise xy=m.k, k Z olduðuna göre, aþaðýdaki eþitliklerden hangisi yanlýþtýr? 5. 3x+1 2(mod 7) olduðuna göre, x in en küçük pozitif tam sayý deðeri kaçtýr? A)

Detaylı

Kareli kaðýda çizilmiþ olan. ABC üçgenin BC kenarýna ait yüksekliði kaç birimdir?

Kareli kaðýda çizilmiþ olan. ABC üçgenin BC kenarýna ait yüksekliði kaç birimdir? 8. SINI ÜÇGN YRII NR TTi YÜSÝ üçgenin köþesinden kenarýna ait dikme inþa ediniz. yný iþlemi köþesinden kenarýna ve köþesinden kenarýna da uygulayýnýz. areli kaðýda çizilmiþ olan üçgenin kenarýna ait yüksekliði

Detaylı

MATEMATİK SORU BANKASI

MATEMATİK SORU BANKASI Bu kitap tarafından hazırlanmıştır. MATEMATİK SORU BANKASI ISBN-978-605-6067-8- Sertifika No: 748 Konu Kavrama s e r i s i Üniversiteye Hazırlık & Okula Yardımcı Bu kitabın tüm basım ve yayın hakları na

Detaylı

Polinomlar, Temel Kavramlar, Polinomlar Kümesinde Toplama, Çıkarma, Çarpma TEST D 9. E 10. C 11. B 14. D 16. D 12. C 12. A 13. B 14.

Polinomlar, Temel Kavramlar, Polinomlar Kümesinde Toplama, Çıkarma, Çarpma TEST D 9. E 10. C 11. B 14. D 16. D 12. C 12. A 13. B 14. 1. Ünite: Polinomlar Polinomlar, Temel Kavramlar, Polinomlar Kümesinde Toplama, Çıkarma, Çarpma 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Polinomlarda Bölme, Bölüm ve Kalan Bulma 1 1 1 1 1 1 1 1 1

Detaylı

II. DERECEDEN DENKLEMLER Test -1

II. DERECEDEN DENKLEMLER Test -1 II. DERECEDEN DENKLEMLER Test -. 5 {, 5} {, 5} { 5, } {, 5} {, 5} 5. 5 {,, } {,, } {,, } {,, } {,, }.. 5 7 7 5 5,, 5 5, 5 5, 5 5, 6. 7. 5 95 { 5,, } {,, 5} { 5,, 9} {,, 5} { 9,, 5} 6 66 {, } {,, } {,,

Detaylı

Dik koordinat sisteminde yatay eksen x ekseni (apsis ekseni), düşey eksen ise y ekseni (ordinat ekseni) dir.

Dik koordinat sisteminde yatay eksen x ekseni (apsis ekseni), düşey eksen ise y ekseni (ordinat ekseni) dir. ANALĐTĐK GEOMETRĐ 1. Analitik Düzlem Bir düzlemde dik kesişen iki sayı doğrusunun oluşturduğu sisteme analitik düzlem denir. Analitik düzlem, dik koordinat sistemi veya dik koordinat düzlemi olarak da

Detaylı

İÇİNDEKİLER. Ön Söz...2. Noktanın Analitik İncelenmesi...3. Doğrunun Analitiği Analitik Düzlemde Simetri...25

İÇİNDEKİLER. Ön Söz...2. Noktanın Analitik İncelenmesi...3. Doğrunun Analitiği Analitik Düzlemde Simetri...25 İÇİNDEKİLER Ön Söz...2 Noktanın Analitik İncelenmesi...3 Doğrunun Analitiği...11 Analitik Düzlemde Simetri...25 Analitik Sistemde Eşitsizlikler...34 Çemberin Analitik İncelenmesi...40 Elips...58 Hiperbol...70

Detaylı

4. 5. x x = 200!

4. 5. x x = 200! 8. SINIF COÞMY SORULRI 1. ÖLÜM 3. DÝKKT! u bölümde 1 den 10 a kadar puan deðeri 1,25 olan sorular vardýr. 1. adým (2) 2. adým (4) 1. x bir tam sayý ve 4 3 x 1 7 5 x eþitsizliðinin doðru olmasý için x yerine

Detaylı

1-A. Adı Soyadı. Okulu. Sınıfı LYS-1 MATEMATİK TESTİ. Bu Testte; Toplam 50 Adet soru bulunmaktadır. Cevaplama Süresi 75 dakikadır.

1-A. Adı Soyadı. Okulu. Sınıfı LYS-1 MATEMATİK TESTİ. Bu Testte; Toplam 50 Adet soru bulunmaktadır. Cevaplama Süresi 75 dakikadır. -A Adı Soadı kulu Sınıfı LYS- MATEMATİK TESTİ Bu Testte; Toplam Adet soru bulunmaktadır. Cevaplama Süresi 7 dakikadır. Süre bitiminde Matematik Testi sınav kitapçığınızı gözetmeninize verip Geometri Testi

Detaylı

Ortak Akıl MATEMATİK DENEME SINAVI

Ortak Akıl MATEMATİK DENEME SINAVI Ortak Akıl LYS MATEMATİK DENEME SINAVI 0505- Ortak Akıl Adem ÇİL Ali Can GÜLLÜ Ayhan YANAĞLIBAŞ Barbaros GÜR Barış DEMİR Celal İŞBİLİR Deniz KARADAĞ Engin POLAT Erhan ERDOĞAN Ersin KESEN Fatih TÜRKMEN

Detaylı

LYS MATEMATİK DENEME - 1

LYS MATEMATİK DENEME - 1 LYS MATEMATİK DENEME - BU SORULAR FİNAL EĞİTİM KURUMLARI TARAFINDAN SAĞLANMIŞTIR. İZİNSİZ KOPYALANMASI VE ÇOĞALTILMASI YASAKTIR, YAPILDIĞI TAKDİRDE CEZAİ İŞLEM UYGULANACAKTIR. LYS MATEMATİK TESTİ. Bu testte

Detaylı

İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER

İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER İkinci Dereceden Denklemler a, b ve c reel sayı, a ¹ 0 olmak üzere ax + bx + c = 0 şeklinde yazılan denklemlere ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem denir. Aşağıdaki denklemlerden

Detaylı

MATEMATİK MATEMATİK-GEOMETRİ SINAVI LİSANS YERLEŞTİRME SINAVI-1 TESTİ SORU KİTAPÇIĞI 08

MATEMATİK MATEMATİK-GEOMETRİ SINAVI LİSANS YERLEŞTİRME SINAVI-1 TESTİ SORU KİTAPÇIĞI 08 LİSNS YRLŞTİRM SINVI- MTMTİK-GMTRİ SINVI MTMTİK TSTİ SRU KİTPÇIĞI 08 U SRU KİTPÇIĞI LYS- MTMTİK TSTİ SRULRINI İÇRMKTİR. . u testte 0 soru vardýr. MTMTİK TSTİ. evaplarýnýzý, cevap kâðýdýnın Matematik Testi

Detaylı

MATEMATİK TESTİ LYS YE DOĞRU. 1. Bu testte Matematik ile ilgili 50 soru vardır.

MATEMATİK TESTİ LYS YE DOĞRU. 1. Bu testte Matematik ile ilgili 50 soru vardır. MTMTİK TSTİ LYS-. u testte Matematik ile ilgili 0 soru vardır.. evaplarınızı, cevap kâğıdının Matematik Testi için ayrılan kısmına işaretleyiniz.. u testteki süreniz 7 dakikadır.. a, b, c birer reel sayı

Detaylı

3. Çarpýmlarý 24 olan iki sayýnýn toplamý 10 ise, oranlarý kaçtýr? AA 2 1 1 2 1. BÖLÜM

3. Çarpýmlarý 24 olan iki sayýnýn toplamý 10 ise, oranlarý kaçtýr? AA 2 1 1 2 1. BÖLÜM 7. SINIF COÞMAYA SORULARI 1. BÖLÜM DÝKKAT! Bu bölümde 1 den 10 a kadar puan deðeri 1,25 olan sorular vardýr. 3. Çarpýmlarý 24 olan iki sayýnýn toplamý 10 ise, oranlarý kaçtýr? 2 1 1 2 A) B) C) D) 3 2 3

Detaylı

MAT 103 ANALİTİK GEOMETRİ I FİNAL ÇALIŞMA SORULARI

MAT 103 ANALİTİK GEOMETRİ I FİNAL ÇALIŞMA SORULARI MAT 103 ANALİTİK GEOMETRİ I FİNAL ÇALIŞMA SORULARI SORU 1. Köşeleri (1,4) (3,0) (7,2) noktaları olan ABC üçgeninin bir ikizkenar dik üçgen (İpucu:, ve vektörlerinden yararlanın) SORU 2. Bir ABC üçgeninin

Detaylı

DOĞAL SAYILARLA İŞLEMLER

DOĞAL SAYILARLA İŞLEMLER bilgi Üslü Doğal Sayılar DOĞAL SAYILARLA İŞLEMLER Bir bardak suda kaç tane molekül vardýr? Dünya daki canlý sayýsý kaçtýr? Ay ýn Dünya ya olan uzaklýðý kaç milimetredir? Tüm evreni doldurmak için kaç kum

Detaylı

T.C. Ölçme, Seçme ve Yerleştirme Merkezi

T.C. Ölçme, Seçme ve Yerleştirme Merkezi T.C. Ölçme, Seçme ve Yerleştirme Merkezi LİSANS YERLEŞTİRME SINAVI-1 MATEMATİK TESTİ 11 HAZİRAN 2017 PAZAR Bu testlerin her hakkı saklıdır. Hangi amaçla olursa olsun, testlerin tamamının veya bir kısmının

Detaylı

T.C. Ölçme, Seçme ve Yerleştirme Merkezi

T.C. Ölçme, Seçme ve Yerleştirme Merkezi T.C. Ölçme, Seçme ve Yerleştirme Merkezi LİSANS YERLEŞTİRME SINAVI-1 MATEMATİK TESTİ 11 HAZİRAN 2017 PAZAR Bu testlerin her hakkı saklıdır. Hangi amaçla olursa olsun, testlerin tamamının veya bir kısmının

Detaylı

Temel Kavramlar 1 Doğal sayılar: N = {0, 1, 2, 3,.,n, n+1,..} kümesinin her bir elamanına doğal sayı denir ve N ile gösterilir.

Temel Kavramlar 1 Doğal sayılar: N = {0, 1, 2, 3,.,n, n+1,..} kümesinin her bir elamanına doğal sayı denir ve N ile gösterilir. Temel Kavramlar 1 Doğal sayılar: N = {0, 1, 2, 3,.,n, n+1,..} kümesinin her bir elamanına doğal sayı denir ve N ile gösterilir. a) Pozitif doğal sayılar: Sıfır olmayan doğal sayılar kümesine Pozitif Doğal

Detaylı

BÖLÜM 24 TÜREV VE UYGULAMALARI TÜREV VE UYGULAMALARI TÜREV VE UYGULAMALARI

BÖLÜM 24 TÜREV VE UYGULAMALARI TÜREV VE UYGULAMALARI TÜREV VE UYGULAMALARI TÜREV VE UYGULAMALARI TÜREV VE UYGULAMALARI YILLAR 966 967 968 969 97 97 97 975 976 977 978 980 98 98 98 98 985 986 987 988 989 990 99 99 99 99 995 996 997 998 006 007 ÖSS / ÖSS-I ÖYS / ÖSS-II 5 6 6 5

Detaylı

LYS - 1 MATEMATÝK TESTÝ

LYS - 1 MATEMATÝK TESTÝ LYS - 1 MATEMATÝK TESTÝ DÝKKAT : 1. Bu ese oplam 50 soru vardýr.. Cevaplamaa isediðiniz sorudan baþlaabilirsiniz.. Cevaplarýnýzý, cevap kaðýdýnýn Maemaik Tesi için arýlan kýsmýna iþareleiniz.. Safalar

Detaylı

1. Böleni 13 olan bir bölme iþleminde kalanlarýn

1. Böleni 13 olan bir bölme iþleminde kalanlarýn 4. SINIF COÞMAYA SORULARI 1. BÖLÜM 3. DÝKKAT! Bu bölümde 1 den 10 a kadar puan deðeri 1,25 olan sorular vardýr. 1. Böleni 13 olan bir bölme iþleminde kalanlarýn toplamý kaçtýr? A) 83 B) 78 C) 91 D) 87

Detaylı

PENDİK ANADOLU İMAM HATİP LİSESİ EĞİTİM VE ÖĞRETİM YILI 10.SINIF MATEMATİK DERSİ YILLIK PLANI

PENDİK ANADOLU İMAM HATİP LİSESİ EĞİTİM VE ÖĞRETİM YILI 10.SINIF MATEMATİK DERSİ YILLIK PLANI PENDİK ANADOLU İMAM HATİP LİSESİ 0-0 EĞİTİM VE ÖĞRETİM YILI 0.SINIF MATEMATİK DERSİ YILLIK PLANI EYLÜL EKİM. Gerçek katsayılı ve tek değişkenli polinomu kavram olarak örneklerle açıklar, polinomun derecesini,

Detaylı

MAT355 Kompleks Fonksiyonlar Teorisi I Hafta Kompleks Sayıların Cebirsel ve Geometrik Özellikleri

MAT355 Kompleks Fonksiyonlar Teorisi I Hafta Kompleks Sayıların Cebirsel ve Geometrik Özellikleri 1. KOMPLEKS SAYILAR 1.1. Kompleks Sayıların Cebirsel ve Geometrik Özellikleri Tanım 1. x, y R olmak üzere (x, y) sıralı ikililerine kompleks sayı denir. Burada x, z nin reel kısmı, ve y, z nin imajiner

Detaylı

BÖLÜM 5 TÜREV ALMA KURALLARI

BÖLÜM 5 TÜREV ALMA KURALLARI BÖLÜM 5 TÜREV ALMA KURALLARI ~ Türevin Tanýmý ~ Saðdan ve Soldan Türev ~ Türevin Süreklilikle Ýliþkisi ~ Türev Alma Kurallarý ~ Özel Tanýmlý Fonksiyonlarýn Türevi ~ Alýþtýrmalar ~ Test ~ Türevde Zincir

Detaylı

( KARMAŞIK SAYI MODÜL VE ÖZELLİKLERİ İKİ KARMAŞIK SAYI ARASI UZAKLIK DÜZLEMDE BELİRTTİĞİ BÖLGELER ) 1) z = z = i.z = z =... 2) z 1.

( KARMAŞIK SAYI MODÜL VE ÖZELLİKLERİ İKİ KARMAŞIK SAYI ARASI UZAKLIK DÜZLEMDE BELİRTTİĞİ BÖLGELER ) 1) z = z = i.z = z =... 2) z 1. BİR KARMAŞIK SAYININ MUTLAK DEĞERI (MODÜLÜ) Karmaşık düzlemde, bir karmaşık sayıya karşılık gelen noktanın (A noktasının), başlangıç noktasına uzaklığına bu sayının mutlak değeri (modülü) denir ve z şeklinde

Detaylı

6. SINIF MATEMATIK KAZANIM ODAKLI SORU BANKASI

6. SINIF MATEMATIK KAZANIM ODAKLI SORU BANKASI 6. SINIF MATEMATIK KAZANIM ODAKLI SORU BANKASI Tudem Eğitim Hiz. San. ve Tic. A.Ş 1476/1 Sokak No: 10/51 Alsancak/Konak/ÝZMÝR Yazarlar: Tudem Yazý Kurulu Dizgi ve Grafik: Tudem Grafik Ekibi Baský ve Cilt:

Detaylı

DİKKAT! SORU KİTAPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ A OLARAK CEVAP KÂĞIDINIZA İŞARETLEMEYİ UNUTMAYINIZ. MATEMATİK SINAVI MATEMATİK TESTİ

DİKKAT! SORU KİTAPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ A OLARAK CEVAP KÂĞIDINIZA İŞARETLEMEYİ UNUTMAYINIZ. MATEMATİK SINAVI MATEMATİK TESTİ DİKKAT! SORU KİTAPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ A OLARAK CEVAP KÂĞIDINIZA İŞARETLEMEYİ UNUTMAYINIZ. MATEMATİK SINAVI MATEMATİK TESTİ. Bu testte 50 soru vardır.. Cevaplarınızı, cevap kâğıdının Matematik Testi için arılan

Detaylı

7. f(x) = 2sinx cos2x fonksiyonunun. π x 3 2 A) y = 9. f(x) = 1 2 x2 3x + 4 eğrisinin hangi noktadaki teğetinin D) ( 10 3, 4 9 ) E) ( 2 3, 56

7. f(x) = 2sinx cos2x fonksiyonunun. π x 3 2 A) y = 9. f(x) = 1 2 x2 3x + 4 eğrisinin hangi noktadaki teğetinin D) ( 10 3, 4 9 ) E) ( 2 3, 56 , 006 MC Cebir Notları Gökhan DEMĐR, gdemir@ahoo.com.tr Türev TEST I 7. f() = sin cos fonksionunun. f()= sin( + )cos( ) için f'() nin eşiti nedir? A) B) C) 0 D) E) için erel minimum değeri nedir? A) B)

Detaylı

MATEMATİK MATEMATİK-GEOMETRİ SINAVI LİSANS YERLEŞTİRME SINAVI-1 TESTİ SORU KİTAPÇIĞI 10

MATEMATİK MATEMATİK-GEOMETRİ SINAVI LİSANS YERLEŞTİRME SINAVI-1 TESTİ SORU KİTAPÇIĞI 10 LİSNS YRLŞTİRM SINVI- MTMTİK-GOMTRİ SINVI MTMTİK TSTİ SORU KİTPÇIĞI 0 U SORU KİTPÇIĞI LYS- MTMTİK TSTİ SORULRINI İÇRMKTİR. . u testte 0 soru vardýr. MTMTİK TSTİ. evaplarýnýzý, cevap kâðýdýnın Matematik

Detaylı

MATEMATÝK TESTÝ. Pozitif n tam sayýlarý için, 10,23 0, 4 1,023 0,04. n! = (n. iþleminin sonucu kaçtýr? R(n) 2).

MATEMATÝK TESTÝ. Pozitif n tam sayýlarý için, 10,23 0, 4 1,023 0,04. n! = (n. iþleminin sonucu kaçtýr? R(n) 2). MATEMATÝK TESTÝ. Bu testte 0 soru vardýr.. Cevaplarýnýzý, cevap kaðýdýnýn Matematik Testi için ayrýlan kýsmýna iþaretleyiniz.. 0, 0, 4,0 0,04 iþleminin sonucu kaçtýr? A) 0 B) 9 0 D) 0 E) 0 4. Pozitif n

Detaylı

DOĞRUSAL DENKLEMLER VE KOORDİNAT SİSTEMİ

DOĞRUSAL DENKLEMLER VE KOORDİNAT SİSTEMİ DOĞRUSAL DENKLEMLER VE KOORDİNAT SİSTEMİ Örnek : Taksi ile yapılan yolculukların ücreti taksimetre ile belirlenir Bir taksimetrenin açılış ücreti 2 TL, sonraki her kilometre başına 1 TL ücret ödendiğine

Detaylı

DİKKAT! SORU KİTAPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ A OLARAK CEVAP KÂĞIDINIZA İŞARETLEMEYİ UNUTMAYINIZ. MATEMATİK SINAVI MATEMATİK TESTİ

DİKKAT! SORU KİTAPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ A OLARAK CEVAP KÂĞIDINIZA İŞARETLEMEYİ UNUTMAYINIZ. MATEMATİK SINAVI MATEMATİK TESTİ DİKKAT! SORU KİTAPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ A OLARAK CEVAP KÂĞIDINIZA İŞARETLEMEYİ UNUTMAYINIZ. MATEMATİK SINAVI MATEMATİK TESTİ 1. Bu testte 50 soru vardır.. Cevaplarınızı, cevap kâğıdının Matematik Testi için

Detaylı

Geometri Çalýþma Kitabý

Geometri Çalýþma Kitabý LYS GMTRÝ ÇLIÞM ÝTI LYS Geometri Çalýþma itabý opyright Sürat asým Reklamcýlýk ve ðitim raçlarý San. Tic. Þ u kitabýn tamamýnýn ya da bir kýsmýnýn, kitabý yayýmlayan þirketin önceden izni olmaksýzýn elektronik,

Detaylı

6 II. DERECEDEN FONKSÝYONLAR 2(Parabol) (Grafikten Parabolün Denklemi-Parabol ve Doðru) LYS MATEMATÝK. y f(x) f(x)

6 II. DERECEDEN FONKSÝYONLAR 2(Parabol) (Grafikten Parabolün Denklemi-Parabol ve Doðru) LYS MATEMATÝK. y f(x) f(x) 6 II. DERECEDEN FNKSÝYNLR (Parabol) (Grafikten Parabolün Denklemi-Parabol ve Doðru) LYS MTEMTÝK 1. f(). f() 6 8 T Yukarıda grafiği verilen = f() parabolünün denklemi nedir?( = 6) Yukarıda grafiği verilen

Detaylı

Geometriye Y olculuk. E Kare, Dikdörtgen ve Üçgen E Açýlar E Açýlarý Ölçme E E E E E. Çevremizdeki Geometri. Geometrik Þekilleri Ýnceleyelim

Geometriye Y olculuk. E Kare, Dikdörtgen ve Üçgen E Açýlar E Açýlarý Ölçme E E E E E. Çevremizdeki Geometri. Geometrik Þekilleri Ýnceleyelim Matematik 1. Fasikül ÜNÝTE 1 Geometriye Yolculuk ... ÜNÝTE 1 Geometriye Y olculuk Çevremizdeki Geometri E Kare, Dikdörtgen ve Üçgen E Açýlar E Açýlarý Ölçme Geometrik Þekilleri Ýnceleyelim E E E E E Üçgenler

Detaylı

LYS Matemat k Deneme Sınavı

LYS Matemat k Deneme Sınavı LYS Matematk Deneme Sınavı. abba dört basamaklı, ab iki basamaklı doğal saıları için, abba ab. a b eşitliğini sağlaan kaç farklı (a, b) doğal saı ikilisi vardır? 7 olduğuna göre, a b toplamı kaçtır? 9.,,

Detaylı

Kümeler II. KÜMELER. Çözüm A. TANIM. rnek... 3. Çözüm B. KÜMELERÝN GÖSTERÝLMESÝ. rnek... 1. rnek... 2. rnek... 4. 9. Sýnýf / Sayý..

Kümeler II. KÜMELER. Çözüm A. TANIM. rnek... 3. Çözüm B. KÜMELERÝN GÖSTERÝLMESÝ. rnek... 1. rnek... 2. rnek... 4. 9. Sýnýf / Sayý.. Kümeler II. KÜMLR. TNIM Küme, bir nesneler topluluðudur. Kümeyi oluþturan nesneler herkes tarafýndan ayný þekilde anlaþýlmalýdýr. Kümeyi oluþturan nesnelerin her birine eleman denir. Kümeyi genel olarak,,

Detaylı

İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ Bölüm 1 KÜMELER Bölüm 2 SAYILAR

İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ Bölüm 1 KÜMELER Bölüm 2 SAYILAR İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ III Bölüm 1 KÜMELER 11 1.1. Küme 12 1.2. Kümelerin Gösterimi 13 1.3. Boş Küme 13 1.4. Denk Küme 13 1.5. Eşit Kümeler 13 1.6. Alt Küme 13 1.7. Alt Küme Sayısı 14 1.8. Öz Alt Küme 16 1.9.

Detaylı

Mustafa YAĞCI, yagcimustafa@yahoo.com Parabol Denkleminin Yazılması

Mustafa YAĞCI, yagcimustafa@yahoo.com Parabol Denkleminin Yazılması www.mustafaagci.com.tr, 11 Cebir Notları Mustafa YAĞCI, agcimustafa@ahoo.com Parabol Denkleminin Yazılması B ir doğru kaç noktasıla bellidi? İki, değil mi Çünkü tek bir noktadan geçen istediğimiz kadar

Detaylı

Doðruda Açýlar Üçgende Açýlar Açý - Kenar Baðýntýlarý Dik Üçgen ve Öklit Baðýntýlarý Ýkizkenar ve Eþkenar Üçgen Üçgende Alan

Doðruda Açýlar Üçgende Açýlar Açý - Kenar Baðýntýlarý Dik Üçgen ve Öklit Baðýntýlarý Ýkizkenar ve Eþkenar Üçgen Üçgende Alan Ödev Tarihi :... Ödev Kontrol Tarihi :... Kontrol den :... LYS GOMTRİ Ödev Kitapçığı 1 (M-TM) oðruda çýlar Üçgende çýlar çý - Kenar aðýntýlarý ik Üçgen ve Öklit aðýntýlarý Ýkizkenar ve þkenar Üçgen Üçgende

Detaylı

İKİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEMLER,, olmak üzere 2. ÜNİTE. İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER, EŞİTSİZLİKLER ve FONKSİYONLAR

İKİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEMLER,, olmak üzere 2. ÜNİTE. İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER, EŞİTSİZLİKLER ve FONKSİYONLAR - 1-2 ÜNİTE İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER, EŞİTSİZLİKLER ve FONKSİYONLAR ÖĞRENME ALANI CEBİR İKİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEMLER,, olmak üzere Şeklindeki açık önermelere, ikinci dereceden bir bilinmeyenli

Detaylı

Üç Boyutlu Uzayda Koordinat sistemi

Üç Boyutlu Uzayda Koordinat sistemi Üç Boyutlu Uzayda Koordinat sistemi Uzayda bir noktayı ifade edebilmek için ilk önce O noktasını (başlangıç noktası) ve bu noktadan geçen ve birbirine dik olan üç yönlü doğruyu seçerek sabitlememiz gerekir.

Detaylı

A A A A A A A A A A A

A A A A A A A A A A A LYS MATEMATİK TESTİ. Bu testte 5 soru vardır.. Cevaplarınızı, cevap kâğıdının Matematik Testi için arılan kısmına işaretleiniz.. - - ^- h + c- m - (-5 )-(- ) işleminin sonucu kaçtır? A) B) C) D) 5 E).

Detaylı