r r s r i (1) = [x(t s ) x(t i )]î + [y(t s ) y(t i )]ĵ. (2) r s

Transkript

1 Bölüm 4: İki-Boyutta Hareket(Özet) Bir-boyutta harekeçin geliştirilen tüm kavramlar iki-boyutta harekeçin genelleştirilebilir. Bunun için hareketli cismin(parçacığın) yer değiştirme vektörü xy-düzleminde ifade edilerek işe başlanabilir. Cismin ve t s anlarındaki belirlenen ilk ve son konumu kartezyen koordinatlarda r i r( ) x( )î + y( )ĵ ve r s r(t s ) x(t s )î + y(t s )ĵ vektörleri ile verilmek üzere yerdeğiştirme vektörü aşağıdaki biçimde ifade edilebilir, Şekil 1: y r r s r i (1) [x(t s ) x( )]î + [y(t s ) y( )]ĵ. (2) r r s r i r i r s O x Figure 1: İki-botutta yer değiştirme vektörü r; belirli bir anında r i konumundaki cismin t s anında r s konumuna yerdeğiştirmesini gösteren vektör. Ortalama Hız İki-boyutta hareket eden, bir cismin(parçacığın) belirli bir anındaki konumu r i r( ) ve belirli bir t s anındaki konumu r s r(t s ) olmak üzere parçacığın, t s zaman aralığında, ortalama hızı toplam yerdeğiştirme vektörü r r s r i nin zaman farkına, t t s, oranı biçiminde tanımlanır: v v ort r t r s r i t s (3) İki-boyutta hareket eden bir cismin koordinat sisteminin orjindeki bir gözlemciye göre 1s anında konumu r i (2î + 3ĵ)m, t s 3s anındaki konumu, r s (2ĵ)m ise bu cismin ortalama Mekanik Ders Notları, 1

2 hızını bulunuz. Anlık Hız İki-boyutta hareket eden bir cismin herhangi bir t anındaki andaki anlık hızı v(t), r(t) t t sıfıra yaklaşırken limitine eşittir. oranının v(t) r(t) r(t + t) r(t) lim lim t 0 t t 0 (t + t) t (4) (5) dx(t) î + dy(t) ĵ (6) burada r(t) ifadesi r in t ye bağlı bir fonksiyon olduğunu göstermektedir. Zaman zaman türev işlemi r biçiminde türevi alınan fonksiyonun üzerine nokta koyularak da gösterilir. İki-boyutta hareket eden bir cismin konumu r(t) (2tî + t 2 ĵ)m denklemine göre değişiyor olsun. Herhangi bir andaki hızı nedir? Çözüm. Bu soruyu çözmek için anlık hızın, yörünge fonksiyonu x(t) nin zamana göre birinci mertebeden türevi olarak tanımlandığı gözönüne alınırsa, tanımdan şu bulunur: v(t) r(t + t) r(t) lim t 0 t (2î + 2tĵ)m/s. (7) Mesela, t 1s anında cismin hızı v (2î + 2ĵ)m/s bulunur. Ortalama ve Anlık İvme İki-boyutta ortalama hız ve anlık hız tanımlarına benzer olarak ortalama ivme ve anlık ivme tanımları aşağıdaki gibi yapılabilir. İki-boyutta ortalama ivme a a ort v(t) t (8) Mekanik Ders Notları, 2

3 y v i v s r i v v s r s v i O x Figure 2: İki-botutta hareket eden cismin hızındaki ortalama değişim v. İki-boyutta anlık ivme a(t) v lim t 0 t lim v(t + t) v(t) t 0 (t + t) t (9) d v(t) (10) d 2 r(t) 2 (11) d 2 x(t) 2 î + d2 y(t) 2 ĵ. (12) Konumun zamana göre ikinci mertebeden türevi olan ivme bazen d2 r(t) 2 biçiminde de gösterilir. r(t) ẍ(t)î + ÿ(t)ĵ Bir cismin hızı v(t) (2t 2 î + tĵ)m/s denklemine göre değişiyor olsun. (a)t 0s ile t 2s arası ortalama ivme nedir? (b)herhangi bir andaki ivme nedir? 2-boyutta sabivmeli hareket Bir cisim, zamanla değişmeyen bir a(t) a sabivmesi ile hareket ediyor olsun. Bu durumda, cismin belirli bir anındaki hızı biliniyorsa herhangi bir t s zamanındaki hızı şu şekilde bulunur: ts d v(t) a d v(t) Mekanik Ders Notları, 3 ts a

4 v(t s ) v( ) a(t s ) (13) Genelliği kaybetmeden başlangıç anı 0 ve bu andaki hız v( ) v 0 alınırsa t s t olmak üzere, sabit a ivmesi ile 2-boyutta hareket eden bir cismin zamana bağlı en genel hız ifadesi aşağıdaki biçimdedir: v(t) v 0 + at (14) Bu ifadeye göre sabivmeli hareket eden cismin en genel konum(yörünge) fonksiyonu aşağıdaki gibi elde edilir: ts v(t) ts ( v 0 + at) r(t s ) r( ) v 0 (t s ) a(t s ) 2 r(t) r 0 + v 0 t at2 (15) burada r 0 r( ) cismin 0 anındaki konumunu göstermektedir. Sabivmeli cisim için en genel hız ve konum ifadeleri, a a x î + a y ĵ olmak üzere, kartezyen koordinatlarda aşağıdaki biçimde ifade edilebilir. En genel hız bileşenleri, ve en genel konum bileşenleri, v(t) v x (t)î + v y (t)ĵ (16) (v x0 + a x t)î + (v y0 + a y t)ĵ (17) x(t) x(t)î + y(t)ĵ (18) (x 0 + v x0 t a xt 2 )î + (y 0 + v y0 t a yt 2 )ĵ (19) burada t 0s anındaki ilk hız, v 0 v x0 î + v y0 ĵ; ve ilk konum, x 0 x 0 î + y 0 ĵ şeklindedir. Mekanik Ders Notları, 4

5 Düzgün Çembersel Hareket Bir cisim, belirli bir düzlemdeki belirli bir noktadan eşit uzaklıklarda hızının büyüklüğü değişmeden sürekli hareket ediyorsa bu cismin hareketine düzgün çembersel hareket adı verilir. Cismin etrafında döndüğü nokta O ve bu noktadan uzaklığı daima r olmak üzere düzgün çembersel hareket Şekil 3 te gösterilmektedir. Bu şekle göre, çembersel yörünge üzerinde hareket eden cisim belirli bir t 1 anında r 1 konumunda iken başka bir t 2 anında r 2 konumundadır. Cisimin t 1 anındaki çembere teğet hızı v 1 ve t 2 anındaki teğet hızı v 2 şeklindedir. Dikkat: Cismin farklı zamanlardaki konumları farklı vektörlerle ifade edilmesine karşın konum vektörlerinin büyüklüğü sabittir ve çemberin yarıçapına eşittir: r 1 r 2 r. Dikkat: Cismin farklı zamanlardaki hızları farklı vektörlerle ifade edilmesine karşın hız vektörlerinin büyüklüğü sabittir: v 1 v 2 v. r 1 r r 2 r 1 v 1 θ r 2 v v 2 v 1 r 1 θ r r 2 r 1 θ v 2 r 2 v 2 v 1 O r r 1 r 2 v v 1 v 2 Figure 3: İki-boyutta düzgün çembersel hareket yapan noktasal cismin konum ve hız vektörlerinin değişimi; cismin herhangi bir anda O noktasına uzaklığının büyüklüğü ve cismin hızının büyüklüğü değişmezdir, sadece konum vektörünün ve hızın yönleri değişir. v. Konum ve hız vektörlerinin değişimine bakıldığında r 1 ve r 2 vektörü arasındaki açı θ kadar ise hız vektörleri çembere teğet olduğundan ve konum vektörlerine dik olduğundan hemen v 1 ve v 2 vektörleri arasındaki açının da θ olduğu görülmektedir. θ nın θ θ biçiminde yeterince küçük olması durumunda konum fark vektörünün büyüklüğü çemberin açıyı gören yay uzunluğuna yaklaşık eşit olur yani bulunur. Benzer olarak, hız fark vektörünün büyüklüğü de r r θ (20) v v θ (21) olduğundan (20) den- r(t) bulunur. Cismin çembere teğet yöndeki anlık hızı v(t) lim t 0 t kleminden teğet hızın büyüklüğü şöyle bulunur: Mekanik Ders Notları, 5

6 v(t) θ(t) r lim t 0 t (22) rw (23) θ(t) burada lim t 0 t w(t) v(t) r ifadesi ile tanımlanan w ya cismin açısal hızı adı verilir. Düzgün çembersel harekette cismin hızının büyüklüğü değişmemesine karşın hızın yönü sürekli değişmektedir. Bu değişimin yönü şekilden hemen görüleceği üzere daima çemberin merkezine doğrudur. Bu hız değişimini ifade eden merkeze doğru olan anlık ivmesinin büyüklüğü şu şekilde bulunur v(t) a(t) lim t 0 t v lim t 0 v2 r θ(t) t (24) vw (25) Bu şekilde, yönü daima çemberin merkezine doğru olan ivmeye merkezcil ivme adı verilir. Dikkat: Düzgün çembersel hareket yapan cismin teğet hızının büyüklüğü sabit kalmak üzere, çemberin yarıçapı azaldıkça açısal hızı artar, ve yarıçap arttıkça açısal hız azalır. Uç bir örnek olarak teğet hızın büyüklüğü sabit kalacak biçimde çemberin çapını sıfıra küçültmek mümkün değildir. Tersine olarak, açısal hızın büyüklüğü sabit kalacak şekilde yarıçap arttıkça teğet hız artar ve yarıçap azaldıkça teğet hız azalır. Dünyanın Güneş etrafında bir dönüşü için geçen sürenin 360 gün olduğunu ve yarıçapı r km olacak biçimde yaklaşık olarak düzgün çembersel bir hareket yaptığını var sayınız. Bu durumda, Dünyanın açısal hızının, teğet hızının ve merkezcil ivmesinin büyüklüğünü SI birim sisteminde hesaplayınız. Bir elektronun, bir proton çevresindeki teğet hızının büyüklüğünün v m/s olduğunu ve yarıçapı r m olan çembersel bir yörüngede düzgün çembersel bir hareket yaptığını var sayınız. Bu durumda, elektronun açısal hızının, teğet hızının ve merkezcil ivmesinin büyüklüğünü SI birim sisteminde hesaplayınız. (26) Mekanik Ders Notları, 6

7 Alıştırmalar 1. Bir cismin konumu zamanın bir fonksiyonu olarak, r(t) tî + 2t 2 ĵmetre olarak ifade ediliyor olsun. (a) ilk iki saniyelik hareketine göre cismin ortalama hızını hesaplayınız. (b) t 2s anında cismin anlık hızı nedir? (c) t 2s anında cismin anlık ivmesini hesaplayınız. (e) cismin t 0s anındaki ilk hızını hesaplayınız. 2. Bir cismin yerden yatayla 60 0 açı yapacak biçimde fırlatıldığını varsayınız. Cismin maksimum yüksekliğinin 30m olması için hangi ilk hızla atılması gerekir? (Hava sürtünmesi önemsiz kabul edilebilir, yerçekimi ivmesi g 10m/s 2 dir.) katlı bir binanın teras katının yaklaşık 150m yükseklikte olduğunu varsayınız. Teras katından yatayla π/6 derece açı yapacak biçimde 200m/s ilk hız ile fırlatılan bir cismin (a) havada kalma süresini hesaplayınız. (b) Cisim yere çarptığı anda hızı kaç m/sdir? (c) cismin çıkabileceği en yüksek noktanın yerden yüksekliğini hesaplayınız. 4. Sabit bir a (0.1î 10ĵ)m/s 2 ivmesi ile hareket eden bir cismi göz önüne alınız. Cismin t 1s anındaki konumu r 100ĵm ve hızı v (10î + 10ĵ)m/s ise (a) cismin t 0s anındaki ilk hızı ve konumu nedir? (b) cismin t 10s anındaki hızı ve konumu nedir? (c) cismin konumunun y-bileşeni sıfıra eşit olduğunda konumunun x-bileşeni nedir? 5. xy düzleminde hareket eden bir noktasal cismin konumu zamana göre r(t) [(2t 3 5t)î + (6 7t 4 )ĵ]m denklemiyle verilsin. t 4s anında (a) r?, (b) v?, (a) a?. 6. Yelkenli bir tekne donmuş bir göl üzerinde rüzgar yardımı ile sabivmeyle hareket ederken belirli bir t anında teknenin hızı (10î 5ĵ)m/s olarak ölçülmüş olsun. Bu andan 5s sonra tekne göl üzerinde durmuş olsun. Buna göre, teknenin durma anına kadar ivmesini hesaplayınız. 7. Bir futbol maçında kalecinin degaj vuruşu ile top 3s havada kalmış ve 50m öteye düşmüş olsun. Top kalecinin ayağını yerden 1m yükseklikte terk etmiş ise topun ilk hızının büyüklüğü nedir? 8. Galileo, Two New Science(İki Yeni Bilim) adlı kitabında eğik atış için 450 den eşit miktarda eksik veya fazla açılarda atışlar için uçuş menzili eşittir. şeklinde bir önermede bulunmuştur. Bu önermenin doğruluğunu gösteriniz. 9. Dünyanın kendi ekseni etrafında dönmesi sebebi ile 40 0 enlemde bulunan bir kişinin ivmesini hesaplayınız. 10. Bir elektronun m/s hızla yarıçapı r m olan bir yörüngede düzgün çembersel hareket yaptığını varsayınız. Buna göre elektronun ivmesini hesaplayınız. Mekanik Ders Notları, 7