İSTANBUL TEKNİK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ HELİSEL ÇUBUKLARDA STATİK VE DİNAMİK PROBLEMLERİN KARIŞIK SONLU ELEMANLAR METODU İLE İNCELENMESİ

Transkript

1 İSTANBUL TEKNİK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ HELİSEL ÇUBUKLARDA STATİK VE DİNAMİK PROBLEMLERİN KARIŞIK SONLU ELEMANLAR METODU İLE İNCELENMESİ YÜKSEK LİSANS TEZİ İnş. Müh. Olca OLGUN Anabilim Dalı: İnşaat Mühendisliği Programı: Yapı Mühendisliği Tez Danışmanı: Prof.Dr. Mehmet H. OMURTAG MAYIS 004

2 ÖNSÖZ Böyle bir çalışmayı gerçekleştirebilmem için bana fırsat tanıyan ve yardımcı olan sayın hocam Prof. Dr. Mehmet Hakkı OMURTAG a, tüm mekanik anabilim dalı çalışanlarına, aileme ve dostlarıma teşekkürü bir borç bilirim. Nisan, 004 Olca OLGUN ii

3 İÇİNDEKİLER KISALTMALAR TABLO LİSTESİ ŞEKİL LİSTESİ SEMBOL LİSTESİ ÖZET SUMMARY v vi vii viii ix xiii 1. GİRİŞ Konu Helisel Sistemlerin Analizi Konusunda Yapılan Çalışmalar. ELASTİK ÇUBUK KURAMI 4.1.Yapılan Varsayımlar 4..Helisel Çubuk Geometrisi 4.3.Hareket Denklemleri 6.4.Kinematik Denklemler 9.5.Bünye Bağıntıları FONKSİYONEL ANALİZİ Alan Denklemleri Potansiyellik Koşulu Yönsel Toplam (İç Çarpım) Yönsel Türev (Gateaux Türevi) Fonksiyonelin Oluşturulması Fonksiyonelin Açık Formu 15 iii

4 4. SONLU ELEMANLAR FORMÜLASYONU Yaklaşım Fonksiyonları Eleman ve Kütle Matrisleri Dinamik Analiz 3 5. SAYISAL ÖRNEKLER Statik Problemler Örnek-1: Sabit Dikdörtgen Kesit Problemi Örnek : Değişken Dairesel Kesit Problemi Örnek 3: Değişken Taban Yarıçaplı Helis Problemi 8 5..Dinamik Problemler Örnek-4: Silindirik Yayda Serbest Titreşim Problemi Örnek-5: Silindirik Yayda Serbest Titreşim Problemi Örnek 4 ile Örnek 5'deki Mod Şekillerinin İncelenmesi SONUÇLAR ve TARTIŞMA 41 KAYNAKLAR 4 EKLER 45 ÖZGEÇMİŞ 96 iv

5 KISALTMALAR HL : FORTRAN-90 dilinde hazırlanan bilgisayar programı HL.SON : Program çıktı dosyası HL.DAT : Program bilgi giriş dosyası FEM : Sonlu elemanlar yöntemi TMM : Taşıma matrisi yöntemi Bkz. : Bakınız Örn. : Örnek v

6 TABLO LİSTESİ Sayfa No Tablo 4.1 : Çeşitli kesit geometrileri için kayma gerilmesi katsayıları Tablo 4. : Çeşitli kesit geometrileri için alan ve atalet momenti değerleri Tablo 5.1 : Deplasman ve dönme değerlerinin karşılaştırılması (Örn. 1)... 5 Tablo 5. : Kuvvet ve moment değerlerinin karşılaştırılması (Örn. 1)... 5 Tablo 5.3 : (θ=π/) için deplasman değerlerinin karşılaştırılması (Örn. )... 6 Tablo 5.4 : (θ=π/) için dönme değerlerinin karşılaştırılması (Örn. )... 6 Tablo 5.5 : A mesnedi için kuvvet değerlerinin karşılaştırılması (Örn. 3)... 9 Tablo 5.6 : A mesnedi için moment değerlerinin karşılaştırılması (Örn. 3)... 9 Tablo 5.7 : B mesnedi için kuvvet değerlerinin karşılaştırılması (Örn. 3)... 9 Tablo 5.8 : B mesnedi için moment değerlerinin karşılaştırılması (Örn. 3) Tablo 5.9 : İzotropik yayın serbest titreşim frekansları (Örn. 4)... 3 Tablo 5.10 : İzotropik yayın serbest titreşim frekansları (Örn. 5) vi

7 ŞEKİL LİSTESİ Şekil.1 Şekil. Şekil.3 Şekil.4 Şekil.5 Şekil.6 Şekil 4.1 Şekil 4. Şekil 4.3 Şekil 5.1 Şekil 5. Şekil 5.3 Şekil 5.4 Şekil 5.5 Şekil 5.6 Şekil 5.7 Şekil 5.8 Şekil 5.9 Şekil 5.10 Şekil 5.11 Şekil 5.1 Şekil 5.13 Şekil 5.14 Şekil 5.15 Şekil 5.16 Şekil 5.17 Şekil 5.18 Şekil 5.19 Şekil 5.0 Şekil 5.1 : Helis Geometrisi... : Dış Kuvvetler... : İç Kuvvetler... : Kuvvet ve Hız Vektörleri... : Kesit Tesirleri... : Şekil Değiştirmeler... : Değişkenler... : Değişken Kesitte Eleman Rijitlik Matrisi... : Değişken Kesitte Kütle Eleman Matrisi... : Statik Analiz (Örn. 1)... : Statik Analiz (Örn. )... : M t burulma momentinin α=r 1 /r 0 ile değişimi (Örn. )... : M n eğilme momentinin α=r 1 /r 0 ile değişimi (Örn. )... Sayfa No : M b eğilme momentinin α=r 1 /r 0 ile değişimi (Örn. )... 8 : Statik Analiz (Örn. 3)... 8 : M t burulma momentinin β=r 1 /R 0 ile değişimi (Örn. 3) : M n burulma momentinin β=r 1 /R 0 ile değişimi (Örn. 3) : M b burulma momentinin β=r 1 /R 0 ile değişimi (Örn. 3) : Örnek 4 de 1. mod şekli : Örnek 4 de. mod şekli : Örnek 4 de 3. mod şekli : Örnek 4 de 4. mod şekli : Örnek 4 de 5. mod şekli : Örnek 4 de 6. mod şekli : Örnek 5 de 1. mod şekli : Örnek 5 de. mod şekli : Örnek 5 de 3. mod şekli : Örnek 5 de 4. mod şekli : Örnek 5 de 5. mod şekli : Örnek 5 de 6. mod şekli vii

8 SEMBOL LİSTESİ T, M : Kuvvet ve moment vektörleri q, m : Yayılı dış kuvvet ve yayılı dış kuvvet çifti γ, ω : Relatif birim kayma açısı vektörü, relatif birim dönme vektörü u, Ω : Ötelenme vektörü, dönme vektörü s : Yay boyunca ark uzunluğu C, D : Kayma rijitlik tansörü, dönme rijitlik tansörü t, n, b : Frenet birim vektörleri i, j, k : Kartezyen birim vektörleri r : Yer vektörü u t, u n, u b : Frenet koordinatlarında yer değiştirmeler Ω t, Ω n, Ω b : Frenet koordinatlarında dönmeler T t, T n, T b : Frenet koordinatlarında kuvvetler M t, M n, M b : Frenet koordinatlarında momentler I t, I n, I b : Frenet koordinatlarında atalet momentleri χ, τ, p, α : Helisin eğriliği, burulması, birim açıda adımı ve eğimi E, υ, G, ρ : Elastisite modülü, Poisson oranı, kayma modülü, özağırlık A, k : Çubuk kesit alanı, kayma katsayısı b, h, r : Dikdörtgen kesitin genişliği, yüksekliği ve daire kesitin yarıçapı H : Helisin uç noktaları arasındaki düşey mesafe R 1, R 0 : Helisin tavan yarıçapı, taban yarıçapı ϕ : Helisin yatayda taban açısı n : Helisin tur sayısı ψ i : Yaklaşım fonksiyonları µ : Dairesel frekans f : Serbest titreşim frekansı a : İvme vektörü v : Hız vektörü V : Hacim [ k] e : Değişken kesitte eleman rijitlik matrisi [ m] e : Değişken kesitte kütle matrisi [ K] : Sistem matrisi * [ K ] [ M] : İndirgenmiş sistem matrisi : Kütle matrisi viii

9 1. ÖZET Çubuk Geometrisi Bu araştırmada ele alınacak problemler uzay çubuk ortamından oluşmaktadır. Silindirik helisel çubukta çubuk eksenine bağlı olarak hareketli (, tnb, ) ile sabit takım (, ijk, ) arasındaki dönüşüm bağıntıları: [ R( ϕ)/ c( ϕ) ] [ p( ϕ)/ c( ϕ) ] [ R( ϕ)/ c( ϕ) ] [ p( ϕ)/ c( ϕ) ] [ p( ϕ)/ c( ϕ) ] [ R( ϕ)/ c( ϕ) ] i = sin( ϕ) t cos( ϕ) n+ sin( ϕ) b j=+ cos( ϕ) t sin( ϕ) n cos( ϕ) b (A.1) k = t+ b ya da, [ R( ϕ)/ c( ϕ) ] ϕ [ R( ϕ)/ c( ϕ) ] ϕ [ p( ϕ)/ c( ϕ) ] t = sin( ) i+ cos( ) j+ sin( ϕ) k n= cos( ϕ) i sin( ϕ) j b=+ [ p( ϕ)/ c( ϕ) ] sin( ϕ) i [ p( ϕ)/ c( ϕ) ] cos( ϕ) j+ [ R( ϕ)/ c( ϕ) ] k (A.) şeklindedir. Burada R silindir yarıçapı, p birim açıda helisin adım yüksekliği, ϕ x ekseninden ölçülen açı ve dersek, p = Rtan( α ) biçiminde ifade edilir. Alan Denklemleri ve Fonksiyonel c( ϕ) = R ( ϕ) + p ( ϕ) dϕ dir. Eğer helisin eğimine α Bu araştırmada çubuk malzemesinin elastik, homojen ve izotrop olduğu; birinci mertebe kuramının geçerli olduğu; çubuk kesitinde kayma ve geometrik merkezlerin çakıştığı; kesitin asal eksenleri ile çubuk eksenine bağlı (t,n,b) eksenlerinin aynı olduğu varsayılmıştır. Böylece çubuk ekseni üzerindeki bir noktanın yer değiştirmesi ile buradaki kesit dönmesi, u() s = ut + u n + ub ve ( ) t n Ω s = Ω + Ω + Ω b dir. Burada s yay boyunca ark uzunluğudur. Gerilme bileşkeleri, T() s = Tt + Tn + Tb ve M() s = Mt + Mn + M b (A.3) ix

10 olarak gösterilir. (A.3) de T kuvvetleri, M momentleri gösterir. Şu halde uzaysal çubuğa ait hareket denklemleri, dt dm ρau + p= 0 ; + t T ρiω + m= 0 (A.4) dir. Burada ρ elemanın öz ağırlığı olup, A kesit alanı ve I atalet momentleri, ( ) A= ρd A, I = Iij, Iij = ρxx i jd A i j, A A (i, j = t,n,b) Inn = ρxb d A, Ibb = ρxnd A, Itt = Inn + Ibb, A A (A.5) şeklinde hesaplanır. Kinematik denklemler, dω d ve = u ω 0 + t Ω γ = 0 (A.6) olup bünye bağıntıları, M+ Dω = 0 ve T+ Cγ = 0 (A.7) dır. (A.7) de kaymaya ve dönmeye karşı gelen rijitliklerin tersi, C 1 ' k/ga 0 0 ' = 0 k /GA /EA ve 1/ EI 0 0 b 1 D 0 1/ EIn 0 (A.8) = 0 0 1/ EI t dır. Daha sonra yukarıdaki alan denklemleri ve fonksiyonel analizi yöntemi kullanılarak karışık sonlu eleman formülasyonu için uygun yapıdaki fonksiyonel, dt dm I( y) = u, [, ], + t Ω T Ω ,, D M M C T T 1 1 ρ Aµ [ uu, ] ρ Iµ [ ΩΩ, ] + ( T Tˆ), u + ( M Mˆ ), Ω + [ uˆ, T] + Ωˆ, M σ σ ε ε (A.9) biçiminde elde edilmiştir. Denklem (A.9) da, ε ve σ alt indisli terimler sırasıyla geometrik ve dinamik sınır koşullarını tanımlamaktadır. x

11 Sonlu Elemanlar Formülasyonu u yer değiştirme, Ω dönme, M moment ve T kesme kuvveti değerleri bilinmeyenler olup üç boyutlu koordinat takımında her düğüm noktasında 1 adet bilinmeyen bulunmaktadır. Bunlar ut = ψψ i j,..., olacak biçimde doğrusal verilmiş yaklaşım i=1 fonksiyonları kullanılarak, 1 x ψ 1 = ( L x ) ve ψ = (A.10) L L ile ifade edilecektir. (A.10) da L sonlu çubuk elemanının boyunu ifade eder. Böylece çubuk elemanı içinde herhangi bir noktadaki değişkenler, u = uψ + uψ 1 1 Ω = Ωψ + Ωψ 1 1 Τ = Τψ 1 1+ Τψ ; (A.11) M = M1ψ1+ Mψ e biçiminde tanımlanır. Daha sonra eleman matrisi k e ile kütle matrisi m üretilir. Sistem matrisi K e e ve sistem kütle matrisi M de kodlama tekniği ile k ile m den elde edilir. Dinamik Analiz Tek serbestlik dereceli sistemlerde serbest titreşim eşitliği aşağıdaki gibi yazılabilir: mx + kx = 0 (A.1) Bunun harmonik titreşimlerine ait çözümü, x = asin( µ t) (A.13) şeklindedir. Şimdi (A.1) de (A.13) yerleştirilirse, ( k µ ) m a = 0 (A.14) elde edilir. Çok serbestlikli sistemlerde (A.14) bir denklem takımı olarak, ([ K] µ [ M]){ w} = { 0} (A.15) biçiminde karşımıza çıkar ve bir özdeğer problemine dönüşür. Denklem takımı (A.15) in bir çözümünün olabilmesi için katsayılar determinantı sıfıra eşit olmalıdır. Aksi durum trivial çözümdür. Burada µ çubuğun serbest titreşim frekansı, w (u, Ω) ise yer değiştirme/dönme tipinde bir kolon vektördür. Karışık sonlu elemanlar yönteminde (A.15) in açık yazımı: xi

12 { } { } 11 1 = [ 1] [ ] [ ] [ ] { } {} [ K ] [ K ] [ 0] [ 0] F 0 µ (A.16) K K 0 m w 0 biçimindedir. (A.16) da {F} gerilmeler sonucu oluşan kuvvetler/momentlere ait kolon vektör olup indirgeme yöntemi kullanılarak, problemin sınır koşullarına göre indirgenmiş denklem takımı: ( K * µ [ m] ){ w } = { 0} (A.17) T şeklinde ifade edilir. (A.17) de [ K ] = [ K ] [ K ] [ K ] 1 [ K ] olup, [K * ] a indirgenmiş sistem matrisi denir. (A.17) denklemi bir özdeğer probleminin çözümüyle hesaplanır. Bu çalışmada, helisel çubukların statik ve dinamik analiz problemleri karışık sonlu elemanlar formülasyonu ile çözülerek, analitik çözümlerle ve diğer yöntemlerden bulunmuş sonuçlarla karşılaştırılmıştır. Bu amaçla FORTRAN 90 dilinde yazılmış bir bilgisayar programı geliştirilmiş; programın doğruluğu ve hassasiyeti bilinen sonuçlarla karşılaştırılmıştır. Elde edilen sonuçlara göre karışık sonlu elemanlar yöntemi ile kurulan model, kullanılan diğer metotlara oranla deneysel ve teorik çalışmalarla elde edilen sonuçlara daha yakın değerler vermiştir. xii

13 SUMMARY The Rod Geometry The rod problems considered in this study are in the three dimensional space. The necessary transformations between unit vectors for Frenet (, tnb, ) and Cartesian (, ijk, ) system are: [ R( ϕ)/ c( ϕ) ] [ p( ϕ)/ c( ϕ) ] [ R( ϕ)/ c( ϕ) ] [ p( ϕ)/ c( ϕ) ] [ p( ϕ)/ c( ϕ) ] [ R( ϕ)/ c( ϕ) ] i= sin( ϕ) t cos( ϕ) n+ sin( ϕ) b j=+ cos( ϕ) t sin( ϕ) n cos( ϕ) b (A.1) k = t+ b and the inverse transformations are: [ R( ϕ)/ c( ϕ) ] ϕ [ R( ϕ)/ c( ϕ) ] ϕ [ p( ϕ)/ c( ϕ) ] t = sin( ) i+ cos( ) j+ sin( ϕ) k n= cos( ϕ) i sin( ϕ) j b=+ [ p( ϕ)/ c( ϕ) ] sin( ϕ) i [ p( ϕ)/ c( ϕ) ] cos( ϕ) j+ [ R( ϕ)/ c( ϕ) ] k (A.) where R is the radius of base circle, p represents step for unit angle, ϕ shows the dynamic rotation angle and helix, p is defined as p = Rtan( α ). Field Equations and Functional c( ϕ) = R ( ϕ) + p ( ϕ) dϕ. If α shows the slope of the In this study several assumptions are made such as the rod material is ideally elastic, homogeneous and isotropic; there is one-to-one relationship between the state of stress and state of strain; the primary axis of the cross section of the rod coincides with the (t,n,b) coordinate axis. With these approaches, displacement and rotation of any point on the rod axis can be defined as: u() s = ut + u n + ub and ( ) t n Ω s = Ω + Ω + Ω b where s is the arc length along the curve. Similarly, force and moment resultants can be written as: T() s = Tt + Tn + Tb and M() s = Mt + Mn + M b (A.3) where T shows the force vector and M shows the moment vector. At this point equations of motion of the space rod is defined as: dt dm ρau + p= 0 ; + t T ρiω + m= 0 (A.4) xiii

14 where ρ is the density of the material. If A is the cross-section area and I represents the rotary inertia, this parameters are expressed as: ( ) A= ρd A, I = Iij, Iij = ρxx i jd A i j, A A (i, j = t,n,b) Inn = ρxb d A, Ibb = ρxnd A, Itt = Inn + Ibb, A A (A.5) Kinematical Equations are written as: dω du ω = 0 and + t Ω γ = 0 (A.6) and Constitutive Equations are written as: M+ Dω = 0 and T+ Cγ = 0 (A.7) In (A.7) the inverses of shearing and rotating rigidities are defined as: C 1 ' k/ga 0 0 ' = 0 k /GA /EA and 1/ EI 0 0 b 1 D 0 1/ EIn 0 (A.8) = 0 0 1/ EI t Afterwar, by using the field equations (A.4), (A.6), (A.7) and functional analysis method the following functional has been obtained: dt dm I( y) = u, [, ], + t Ω T Ω ,, D M M C T T 1 1 ρ Aµ [ uu, ] ρ Iµ [ ΩΩ, ] + ( T Tˆ), u + ( M Mˆ ), Ω + [ uˆ, T] + Ωˆ, M σ σ ε ε (A.9) In equation (A.9), the subscripts ε and σ represent the geometric and dynamic boundary conditions. The Finite Element Formulation: u displacement, Ω rotation, M moment and T internal force vectors are described as unknowns in (A.9) and the number of unknowns is 1 at each node of the rod in three dimensional coordinate system. These 1 unknowns are represented with interpolation functions like u t = i=1 i j ψψ,...,. For the finite element formulation linear interpolation functions are used: xiv

15 1 x ψ 1 = ( L x ) and ψ = (A.10) L L where L is the rod finite element length. Thus, the variables at any point of the rod axis are expressed as: u = uψ + uψ 1 1 Ω = Ωψ + Ωψ 1 1 Τ = Τψ 1 1+ Τψ ; (A.11) M = M1ψ1+ Mψ e e Afterwar, the element k and the mass matrix m are found using (A.10) and e (A.11). Global system matrix K and global mass matrix M are derived from k and e m using coding technique. Dynamic Analysis Free vibration equation of a single degree of freedom system can be expressed as follows: mx + kx = 0 (A.1) Assuming the following harmonic solution, x = asin( µ t) (A.13) Eq. (A.13) reduces to the eigenvalue problem: ( k µ ) m a = 0 (A.14) For conservative multi degree of freedom systems, (A.14) can be expressed as: ([ K] µ [ M]){ w} = { 0} (A.15) and this reduces to the general eigenvalue problem. A nontrivial solution of the set Eq. (A.15) is possible only if the determinant of the coefficient matrix vanishes. In this equation µ represents the free vibration frequency of the space rod and w (u, Ω) shows the column vector that hol displacements and rotation components. In mixed finite element model, (A.15) can be written in an open as follows: { } { } { } {} [ K11] [ K1] [ 0] [ 0] F 0 µ = [ 1] [ ] [ ] [ ] (A.16) K K 0 m w 0 xv

16 In Eq. (A.16), {F} is the column vector that hol the force and moment components. Taking out the components of the vector {F} from Eq. (A.16) and using the reduction technique we get: ( K * µ [ m] ){ w } = { 0} (A.17) T where [ K ] = [ K ] [ K ] [ K ] 1 [ K ] and, [K * ] is represented as reduced global system matrix. Eigenvalue problem expressed in Eq. (A.17) is solved and circular frequency values of µ are found. A computer program coded in FORTRAN-90 is developed to prove sensitivity and verification of the method. In conclusion, it is shown that the frequency values derived by mixed finite element method give more sensitive results than other metho. xvi