SÜTUN OLUŞTURMA YAKLAŞIMI İLE BİR HAVAYOLU EKİP ÇİZELGELEME UYGULAMASI

Transkript

1 Gazi Üniv. Müh. Mim. Fak. Der. J. Fac. Eng. Arch. Gazi Univ. Cilt 24, No 1, 43-50, 2009 Vol 24, No 1, 43-50, 2009 SÜTUN OLUŞTURMA YAKLAŞIMI İLE BİR HAVAYOLU EKİP ÇİZELGELEME UYGULAMASI Gözde ÇANKAYA ve Murat ARIKAN * Türkiye Vakıflar Bankası, Atatürk Bulvarı Celal Bayar İş Merkezi 211/16 Kavaklıdere, Ankara * Endüstri Mühendisliği Bölümü, Mühendislik Mimarlık Fakültesi, Gazi Üniversitesi, Maltepe, 06570, Ankara gozde.cankaya@vakifbank.com.tr, marikan@gazi.edu.tr (Geliş/Received: ; Kabul/Accepted: ) ÖZET Ekip çizelgeleme problemi, hava yolu planlamasında karşılaşılan zor ve kapsamlı problemlerden biridir. Ekip çizelgeleme probleminde, her uçuş seferinin en az bir ekip eşleştirmesi tarafından kapsandığı minimum maliyetli eşleştirmeler kümesi bulunmaya çalışılır. Bu çalışmada, ekip çizelgeleme probleminin çözümünde literatürde sıkça kullanılan, değişkenlerin dinamik olarak üretildiği bir sütun oluşturma algoritması kullanılmıştır. Ana problem küme kaplama problemi, alt problem ise en kısa yol problemi olarak formüle edilmiştir. Uygun bir çözüm vermeye yetecek sayıda başlangıç eşleştirmesi bir doğrusal programlama modeli kullanılarak oluşturulmuştur. Ana problem, alt problem ve başlangıç eşleştirmelerini oluşturmada kullanılan model bütünleşik olarak GAMS optimizasyon programında kodlanmış ve bu bütünleşik model iteratif olarak çözülmüştür. Algoritma özel bir havayolu şirketinden alınan verilere uygulanmış ve optimal ekip çizelgeleri oluşturulmuştur. Anahtar Kelimeler: Havayolu ekip çizelgeleme, ekip eşleştirme problemi, küme kaplama problemi, sütun oluşturma algoritması. AN APPLICATION OF AIRLINE CREW SCHEDULING BY USING A COLUMN GENERATION APPROACH ABSTRACT Crew scheduling problem is one of the hardest and most comprehensive problems encountered in airline planning. In crew scheduling problem, it is aimed to find the minimum costly set of pairings in that each flight leg is covered at least by one crew pairing. In this study, a column generation approach that is commonly used in crew scheduling literature in which variables are dynamically generated, is used to solve the problem. The master problem is formulated as a set covering problem while the subproblem is formulated as a shortest path problem. Initial pairings which are sufficient to obtain a feasible solution, are produced using a linear programming model. The master problem, sub-problem and the model used to generate initial pairings are encoded by GAMS optimization program in an integrated manner and this integrated model is solved iteratively. The algorithm is applied to a private airline company s crew scheduling problem using real data and optimal crew schedules are obtained. Keywords: Airline crew scheduling, crew pairing problem, set covering problem, column generation algorithm. 1. GİRİŞ (INTRODUCTION) Havayolu planlaması birbirine bağımlı ve uğraştırıcı birçok planlama aşamasından oluşur. Uçuş çizelgesi oluşturma, filo atama, uçak rotalama, ekip çizelgeleme ve ekip atama; bu planlama aşamalarında karşılaşılan en temel problemlerdir. Bu problemlerin en zorlarından biri de ekip çizelgeleme problemidir. Havayolları için, personel maliyetleri, yakıt maliyetlerinden sonra kontrol edilebilen en büyük maliyet faktörü olduğundan, ekipleri etkin olarak çizelgelemek havayolu planlamasında oldukça büyük önem taşır. Bir havayolu şirketi, belirli bir zaman periyodu içerisinde çeşitli orijin ve hedefleri olan bir dizi uçuş seferi oluşturmak zorundadır. Bu uçuş seferlerini

2 G. Çankaya ve M. Arikan Sütun Oluşturma Yaklaşımı İle Bir Havayolu Ekip Çizelgeleme Uygulaması gerçekleştirmek için, havayolu şirketi, ekiplere ihtiyaç duyacaktır ve her ekibi bir ekip eşleştirmesine ataması gerekecektir. Eşleştirme bir ekibin çizelge periyodu boyunca gerçekleştirmesi gereken uçuş seferleri sıralamasıdır. Ekip çizelgelemede amaç, önceden belirlenen bir uçuş çizelgesindeki tüm uçuş seferlerini tam olarak bir kere kapsayan minimum maliyetli ekip eşleştirmeleri kümesini bulmaktır. Her eşleştirmenin kendisi ile ilişkili bir maliyet değeri vardır ve genellikle şu formül kullanılarak hesaplanır: Eşleştirmedeki Görev Sayısı * PMDG Eşleştirme Maliyeti = Max TAFB Faktör * TAFB (1) Toplam Görev Maliyeti PMDG (pairing minimum duty guarantee), görev periyodunun uzunluğuna bakılmaksızın bir eşleştirmedeki her görev için personele ücret ödenmesinin garantilendiği minimum saat sayısı; TAFB Faktör, üsten uzakta geçen toplam zaman (TAFB) ile ilişkili bir kesir; Toplam Görev Maliyeti, eşleştirmedeki tüm görev periyotlarının maliyetleri toplamıdır [1]. Görev maliyeti de eşleştirme maliyetininkine benzer bir formül ile hesaplanır. MDG Görev Maliyeti = Max Uçuş Görev Süresi Faktörü * Uçuş Görev Süresi (2) Uçuş Zamanı Burada; MDG (minimum duty guarantee); bir görev deki personel için ücretin garantilenmiş minimum saat sayısını, Uçuş Görev Süresi Faktörü; görev periyoduna ait uçuş görev süresiyle ilişkili bir kesiri, Uçuş Zamanı ise görev periyodunda gerçekleşen gerçek uçuş zamanının toplam saatlik değerini ifade eder [1]. Günlük, haftalık ve uzun dönemli olmak üzere, üç tip ekip eşleştirme problemi vardır. Ekip çizelgeleme süreci, günlük ekip eşleştirmelerinin optimize edilmesi ile başlar. Günlük problemde, tüm uçuş seferlerinin haftanın her günü gerçekleşeceği varsayılmıştır. Günlük problemin çözümü, tek bir günde tüm uçuş seferlerinin kapsandığı bir eşleştirmeler kümesinden oluşur. Günlük problemde, eşleştirmeler, tek bir görev periyodundan oluşurlar, bu nedenle çoklu görev periyotlarından oluşan eşleştirmelerde yer alan uzun mola periyotları günlük eşleştirmelerde yer almaz ve eşleştirmelerin maliyeti içerdiği bir günlük görev periyodunun maliyetine eşit olur [1]. Ekip eşleştirme optimizasyonu problemine uygun bir çözüm bulabilmek için, eşleştirmeler FAA tüzüklerine, sendika sözleşme şartlarına ve diğer havayolu kurallarına uymak zorundadır. Türkiye de havayolu şirketleri ekip çizelgelerini oluştururken, Sivil Havacılık Genel Müdürlüğü tarafından hazırlanan Uçucu Ekip Uçuş Görev ve Dinlenme Süreleri ile Uygulama Esasları Talimatı nı dikkate almaktadırlar. Ekip çizelgeleme problemi matematiksel olarak, bir küme ayrıştırma ya da küme kaplama modeli olarak formüle edilmektedir. Doğrusal olmayan bir maliyet yapısına sahip olduğu ve oluşturulabilecek olası eşleştirme sayısının çok fazla olması nedeniyle, çözümü zor bir problemdir. NP-zor yapıda olan bu problemin çözümünü kolaylaştırmak için literatürde çok sayıda farklı yöntem önerilmiştir. Literatürde ekip çizelgeleme problemi genellikle, sütun oluşturma algoritmaları, özellikle genetik algoritma ve tavlama benzetimine dayanan metasezgisel teknikler, şebeke çözüm teknikleri ve ayrıştırma algoritmaları kullanılarak çözülmüştür [1]. Yan ve Tu [2] bir şebeke modeli ile, Emden-Weinert ve Proksch [3] tavlama benzetimi ile, Cavique vd. [4] tabu arama algoritması ile ekip çizelgeleme problemine çözüm getiren çalışmalar yapmışlardır. Vance vd. [5], Dantzig-Wolfe ayrıştırma algoritmasını kullanarak, ilk aşamada uçuş seferlerinden görev periyotlarını, ikinci aşamada ise görev periyotlarından eşleştirmeleri elde ederek, küme ayrıştırma algoritmalarına göre daha sıkı bir doğrusal programlama sınırı sağlamışlardır. Kornilakis ve Stamatopoulos [6], ilk aşamada eşleştirmelerin bir öncelikle derinlik yaklaşımı ile oluşturulduğu, ikinci aşamada ise oluşturulan eşleştirmelerin optimal maliyete yakın bir alt kümesinin seçildiği iki aşamalı bir çözüm prosedürü önermişler ve bir küme kaplama problemi olarak formüle ettikleri modeli genetik algoritma aracılığıyla çözmüşlerdir. Özdemir ve Mohan [7], çok sayıda probleme özgü kısıtı gösteren bir uçuş çizgesine genetik algoritma uygulamışlardır. Kesme kaybı probleminden yola çıkarak büyük çaplı tamsayılı doğrusal programlama modellerinin çözümünde kullanılan ve ayrıştırma algoritmalarının özel bir bileşeni olan sütun oluşturma algoritmaları, ekip çizelgeleme problemlerinin çözümünde de başarılı bir şekilde uygulanmaktadır. Literatürde sütun oluşturma algoritmasını havayolu ekip eşleştirme problemine uygulayan ilk çalışma Minoux tarafından yapılmıştır [8]. Desaulniers vd. [9], sütun oluşturma algoritmasının ana problemini bir küme ayrıştırma modeli, alt problemini ise çok ürünlü bir akış şebekesi olarak modellemişlerdir. Klabjan vd. [10], probleme, haftalık bir zaman ekseni boyunca uçuş planlarının tekrarını en büyüklemeyi amaçlayan ikinci bir amaç eklemişlerdir. Yan ve Chang [11] ise, sütun oluşturma yöntemini, havayolu kabin ekibi çizelgeleme problemini çözmede kullanmışlardır. Cordeau vd. [12], ekip çizelgeleme ve uçak rotalama problemlerini eş zamanlı olarak çözebilmek için önerdikleri yaklaşımda, sütun oluşturma algoritmasından faydalanmışlardır. Bu çalışmada, ekip eşleştirme problemi olarak adlandırılan, havayolu şirketinin belli bir zaman periyodu içerisinde gerçekleştirmesi gereken uçuş seferlerine, ekipleri optimal olarak atama problemini çözebilmek için literatürde sıkça kullanılan bir sütun 44 Gazi Üniv. Müh. Mim. Fak. Der. Cilt 24, No 1, 2009

3 Sütun Oluşturma Yaklaşımı İle Bir Havayolu Ekip Çizelgeleme Uygulaması G Çankaya ve M. Arikan oluşturma algoritmasından yararlanılmıştır. Çalışma da, her olası uygun ekip eşleştirmesine bir maliyet değer atanarak, tüm uçuş seferlerini en az bir kere kapsayan minimum maliyetli ekip eşleştirmeleri kümesi, eşleştirmelerin dinamik olarak oluşturulduğu bir sütun oluşturma yöntemiyle elde edilmiştir. 2. SÜTUN OLUŞTURMA ALGORİTMASI (COLUMN GENERATION ALGORITHM) Sütun oluşturma algoritması büyük boyutlu doğrusal programları çözmek için kullanılan etkili bir algoritmadır. Bazı doğrusal programlarda, değişkenlerin yani simplex algoritmasındaki sütunların sayısı milyonları bulabilmektedir. Algoritma, büyük boyutlu doğrusal programlarda değişkenlerin çoğu simplex algoritmasında temelde olmayacağı ve optimal sonuçta sıfır değerini alacağı için, problemi çözerken değişkenlerin sadece bir alt kümesinin dikkate alınmasının yeterli olduğu düşüncesine dayanmaktadır. Algoritma, bir doğrusal program çözülürken işe sadece temelde olan değişkenlerle başlayıp, daha sonra temele girmesi gereken diğer değişkenleri belirlemek için indirgenmiş maliyeti kullanır. Sütun oluşturma algoritmaları, bir ana problem ve bir alt problem olmak üzere iki aşamadan oluşur. Ana problem, değişkenlerin sadece bir alt kümesini dikkate alan orijinal problem; alt problem ise ana probleme gönderilmek üzere yeni bir değişken tanımlamak için oluşturulan yeni bir problemdir. Algoritma şu şekilde çalışır: Ana problem, uygun bir çözüm bulmaya yetecek belirli sayıda değişken ile çözülür. Bu problemin çözümünden ana problemdeki her kısıt için bir dual değişken değeri elde edilir. Bu dual değişkenler daha sonra alt problemin amaç fonksiyonunda kullanılır. Alt problem çözülür. Eğer alt problemin amaç fonksiyonu değeri negatif ise, negatif indirgenmiş maliyetli bir değişken (sütun) tanımlanır. Bu değişken daha sonra ana probleme eklenir ve ana problem yeniden çözülür. Ana problemi yeniden çözmek yeni bir dual değerler kümesi oluşturur ve süreç hiçbir negatif indirgenmiş maliyetli değişken oluşturulmayana kadar tekrarlanır. Alt problemin çözümü negatif olmayan bir indirgenmiş maliyetle döndüğünde, ana probleme bulunan çözümün optimal olduğu sonucuna varılır. Sütun oluşturma algoritmasının en bilinen örneği kesme kaybı problemi olmakla birlikte; ekip çizelgeleme, ekip eşleştirme problemi, filo atama, araç rotalama gibi havayolu planlamasının her aşamasında karşılaşılan büyük boyutlu doğrusal programların çözümünde sıklıkla kullanılmaktadır Sütun Oluşturma Algoritmasının Havayolu Ekip Çizelgeleme Problemine Uygulanması (Application of Column Generation Algortihm to the Airline Crew Scheduling Problem) Havayolu ekip çizelgeleme probleminde, ana problem genellikle bir küme kaplama ya da küme ayrıştırma modeli ile formüle edilir. Bu iki problem temelde aynı problemler olmakla birlikte, küme kaplama modeli; küme ayrıştırmanın gevşetilmiş halidir. Alt problem ise şebeke akış modellerinden biriyle formüle edilir. Literatürde en sık kullanılan alt problem tipi, en kısa yol problemidir. Çünkü alt problem, uçuş çizelgesindeki her uçuş seferinin bir düğüm olarak yer aldığı, uçuş seferleri arasındaki olası bağlantıların oklarla gösterildiği, personelin konumlandığı merkez üssünde başlayan ve burada sonlanan bir uçuş şebekesindeki en kısa yolları bulmayla ilgilenmektedir. Şebekedeki her yol bir eşleştirmeye karşılık gelmektedir. Alt problemin amacı, bu şebekede yasal eşleştirme olma kısıtlarını sağlayan minimum negatif indirgenmiş maliyetli eşleştirmeyi bulmaktır. Minimum indirgenmiş maliyetli eşleştirme aynı zamanda ana problemin amaç değerinin iyileştirebilme potansiyeli olan bir eşleştirme anlamına gelmektedir. Alt problemin ana problemle olan bağlantısını ise dual değişkenler sağlamaktadır. Ana problemde her bir uçuş seferini ifade eden kısıtlara ilişkin dual değerler, alt problemin amaç fonksiyonunda eşleştirmelerin indirgenmiş maliyetlerinin hesaplanmasında kullanılmaktadır. Alt problemde her bir eşleştirmeye karşılık gelen değişkenlere ilişkin indirgenmiş maliyetler, o eşleştirmenin maliyetinden karını çıkartarak elde edilir. Ana problemden gelen dual değerler eşleştirmelerin karlarına karşılık gelmektedir. Eşleştirmelerin maliyetleri ise günlük ekip eşleştirmeleri göz önünde bulundurulacağı için (1) ve (2) formülasyonlarından yola çıkarak aşağıdaki gibi elde edilir: PMDG, Eşleştirme Maliyeti = Max TAFB Faktör*TAFB, (3) Toplam Uçuş Zamanı 3. BİR HAVAYOLU ŞİRKETİNİN GÜNLÜK EKİP EŞLEŞTİRME PROBLEMİ İÇİN BİR SÜTUN OLUŞTURMA ALGORİTMASININ KULLANILMASI (AN IMPLEMENTATION OF A COLUMN GENERATION ALGORITHM FOR AN AIRLINE COMPANY S DAILY CREW PAIRING PROBLEM) Bu çalışmada, merkez üssü İstanbul olan özel bir havayolu şirketi için günlük ekip eşleştirme problemi sütun oluşturma algoritması kullanılarak çözülmüştür. Çalışmada havayolunun sadece yaz dönemi iç hatlar tarifesine ait uçuş çizelgesinden haftanın her günü gerçekleştirilen 42 uçuş seferi seçilmiştir. Haftanın her günü tekrar eden bu uçuş seferleri dışında havayolunun haftanın belirli günleri ya da sadece bir Gazi Üniv. Müh. Mim. Fak. Der. Cilt 24, No 1,

4 G. Çankaya ve M. Arikan Sütun Oluşturma Yaklaşımı İle Bir Havayolu Ekip Çizelgeleme Uygulaması günü gerçekleştirilen uçuş seferleri de vardır. Burada bir temel oluşturması açısından günlük ekip eşleştirme probleminin çözülmesi amaçlanmıştır. Daha sonra, haftalık istisnalar ve diğer uçuş seferleri de modele eklenerek uzun dönemli bir çizelge elde edilebilir. Kısıtlar (Constraints) Çalışmada ele alınan havayolu şirketinin ekip planlama bölümü, ekip çizelgelerini SHGM nün Uçucu Ekip Uçuş Görev ve Dinlenme Süreleri ile Uygulama Esasları Talimatı (SHT-6A.50 Rev. 04) nı dikkate alarak hazırlamaktadır. Bu nedenle, alt problemde bu talimatnamedeki kısıtlamalar esas alınmıştır. Buna göre; bir görev periyodu içinde gerçekleştirilen kısa mola periyodu en az 30 dk en fazla 300 dk olmalıdır. Bir görev periyodunda geçen toplam zaman, yani azami uçuş görev süresi en fazla 14 saat (840 dk) olmalıdır. Bir görevde gerçekleşen uçuş seferlerine ait toplam gerçek uçuş zamanı en fazla 8 saat (480 dk) olmalıdır. Uçuş görevi için hazırlık yapılması ile ilk uçuş seferi arasında gerçekleşen brief periyot en az 60 dk, uçuş görevinde bulunan son uçuş seferinin sona ermesinden itibaren geçen süre ise en az 30 dk olmak zorundadır. Bu nedenle brief ve debrief periyotları da dikkate almak için bir görevde gerçekleşen uçuş seferlerine ait toplam gerçek uçuş zamanı en fazla 6,5 saat (390 dk) olmalıdır. Bir görevdeki inişlerin sayısı en fazla 5 olmalıdır. Maliyet Yapısı (Cost Structure) Günlük ekip eşleştirme probleminde eşleştirmeler bir görev periyodundan oluştuğu için, görev periyodu kısıtları aynı zamanda ekip eşleştirme kısıtları olmaktadır. Benzer şekilde eşleştirme maliyetleri, görev periyodu maliyetlerine eşit olacaktır. Bu nedenle, Uçuş Görev Süresi TAFB e eşittir. Eşleştirme maliyetlerinin hesaplanmasında kullanılan parametrelerin aldığı değerler: Uçuş Görev Süresi Faktörü = TAFB Faktör = 0,6 ve MDG = 3 saat =180 dk dır. 180, Eşleştirme Maliyeti = Max TAFB * 0.6, (4) Toplam Uçuş Zamanı Eşleştirmenin maliyeti, eşleştirmede üsten uzakta geçen toplam zamanın %60 ı kadardır. Eğer bir eşleştirmede gerçekleşen toplam gerçek uçuş zamanı bu değerden büyükse, bu fazladan bir maliyet getireceğinden, eşleştirmenin maliyeti de bu değer kadar alınır. Bu değer ise her eşleştirme için belirlenen üç saatlik alt sınır değerinden az olmamalıdır. Bu nedenle eşleştirmenin maliyeti hesaplanırken bu üç değerden maksimum olanı alınmalıdır. Uçuş Çizelgesi (Flight Schedule) Özel bir havayolu şirketinden alınan iç hatlar yaz dönemi tarifesine ait 42 uçuş seferinden oluşan uçuş çizelgesi Tablo 1 de gösterilmiştir. Merkez üssü konumundaki şehir İstanbul olduğundan, eşleştirmeler oluşturulurken başlangıç ve bitiş şehrinin, IST kodlu İstanbul şehri olması gerekmektedir. Ayrıca uçuş seferleri sıralanırken şehir ve zaman öncelikleri de göz önünde bulundurulmalıdır Sütun Oluşturma Algoritmasının Uygulanması (The Application of Column Generation Algorithm) Çalışmada, ele alınan havayolu şirketinin günlük ekip eşleştirme problemini çözmek için kullanılan sütun oluşturma algoritmasının ana problemi, ekip Tablo 1. Uçuş çizelgesi.(flight schedule) Uçuş Seferi Kalkış Şehri Varış Şehri Kalkış Zamanı Varış Zamanı Uçuş Seferi Kalkış Şehri Varış Şehri Kalkış Zamanı Varış Zamanı 1 IST ADA 16:55 18:10 22 DIY IST 17:00 18:45 2 ADA IST 18:40 20:00 23 IST GZT 10:40 12:05 3 IST ANK 09:55 10:45 24 GZT IST 12:35 14:05 4 IST ANK 11:10 12:00 25 IST IZM 06:55 07:45 5 ANK IST 15:30 16:25 26 IST IZM 18:30 19:30 6 ANK IST 16:15 17:10 27 IZM IST 08:25 09:20 7 IST ANT 12:20 13:25 28 IZM IST 20:00 20:55 8 IST ANT 18:45 19:50 29 IST TRB 19:15 20:45 9 IST ANT 20:50 21:55 30 IST TRB 19:55 21:25 10 ANT IST 13:55 15:00 31 TRB IST 21:15 22:50 11 ANT IST 20:20 21:25 32 TRB IST 21:55 23:35 12 ANT IST 22:30 23:40 33 ANK DIY 13:30 14:50 13 IST BOD 07:25 08:30 34 DIY ANK 15:35 16:55 14 IST BOD 15:30 16:35 35 ANK ERZ 12:30 13:50 15 BOD IST 09:00 10:10 36 ERZ ANK 14:20 15:45 16 BOD IST 17:05 18:15 37 ANK TRB 20:50 21:55 17 IST DLM 20:30 21:35 38 TRB ANK 11:35 12:45 18 DLM IST 22:05 23:15 39 ANK VAN 11:15 12:45 19 IST DIY 15:30 17:10 40 VAN ANK 13:25 15:00 20 IST DIY 14:50 16:30 41 IST TRB 09:35 11:05 21 DIY IST 17:40 19:25 42 TRB IST 22:25 00:00 46 Gazi Üniv. Müh. Mim. Fak. Der. Cilt 24, No 1, 2009

5 Sütun Oluşturma Yaklaşımı İle Bir Havayolu Ekip Çizelgeleme Uygulaması G Çankaya ve M. Arikan çizelgeleme probleminin en yaygın formülasyonu olan küme kaplama problemidir. Alt problem ise, bölüm 2.1 de belirtildiği gibi, bir en kısa yol problemidir. Eşleştirmeleri alt problem aracılığıyla oluşturarak, ana problemin amaç değerini yani toplam eşleştirme maliyetini azaltma potansiyeli olan eşleştirmeler, her aşamada ana probleme gönderilmiş ve adım adım optimal çözüme yaklaşılmıştır. Böylece değişkenler dinamik olarak oluşturulmuş olup, başlangıçta tüm değişkenleri oluşturmaya gerek kalmadan, problemin optimal olarak çözülmesi sağlanmıştır. Bu sayede hesaplama karmaşıklığı da ortadan kaldırılmıştır Başlangıç eşleştirmelerinin oluşturulması (Generation of initial pairings) Olası tüm uygun eşleştirmeleri dikkate almak yerine yasal eşleştirmelerin tüm uçuş seferlerini en az bir kere kapsayan küçük bir alt kümesi belirlenerek ana problem çözülmüştür. Başlangıç eşleştirmeleri, ana problemin uygun bir çözümle sonlanmasına yetecek sayıda oluşturulmalıdır. Bunun için başlangıç eşleştirmeleri oluşturulurken yasal eşleştirme olma kısıtları göz önünde bulundurulmuş ve tüm uçuş seferlerinin başlangıçta oluşturulan bu eşleştirmeler tarafından en az bir kere kapsanması sağlanmıştır. Başlangıç eşleştirmeleri literatürde genellikle, uygun bir çözüm veren sezgisel bir yöntem kullanılarak ya da manuel olarak oluşturulmaktadır. Burada ise başlangıç eşleştirmeleri, bir doğrusal programlama model yapısı kullanılarak oluşturulmuştur. Böylece başlangıç eşleştirmelerini elde etmek büyük boyutlu uçuş çizelgeleri için de pratik hale getirilmiştir. Başlangıç eşleştirmelerini oluşturmada kullanılan matematiksel model yapısı aşağıdaki gibidir. Min z M (5) st.. X (,k) 1 jiçin (6) i,k X(j,i,k) 1 jiçin (7) i,k X (0,j,k) M (8) j,k X (j,43,k) M (9) j,k X (,k) X (j,i,k) 0 j, k için (10) i i f(i)* X (,k) 390 kiçin (11) (f (i) + r ())*X (,k) 840 kiçin (12) X (,k) 5 kiçin (13) X (,k) 4 kiçin (14) gösteren 0-1 değişkeni; f(i), i uçuş seferinin uçuş periyodunu; r(), i ve j uçuş seferleri arasındaki mola periyodunu; M, başlangıç eşleştirmelerinin sayısını;, uçuş seferlerini; k ise eşleştirmeleri temsil etmektedir. Kısıt (6) ve (7), her j uçuş seferinin en az bir eşleştirme tarafından kapsanmasını, Kısıt (8) ve (9) tüm eşleştirmelerin merkez üssü olan İstanbul da başlayıp sonlandırılmasını, Kısıt (10), her eşleştirmede tüm uçuş seferlerine giren ve çıkan ok sayısının eşit olmasını, böylece çizelgenin devamlılığını sağlamaktadır. Kısıt (11) ve (12), her eşleştirme için toplam uçuş süresi ve görev süresi kısıtını, Kısıt (13) ve (14) ise her eşleştirmede gerçekleşecek uçuş seferi sayısının alt ve üst sınırını ifade etmektedir. Yukarıdaki model GAMS optimizasyon programı ile çözdürülerek, yapılan denemeler sonrasında oluşturulan 17 adet başlangıç eşleştirmesinin, problemin uygun bir çözümle sonlanmasına yetecek sayıda olduğu sonucuna varılmıştır. Oluşturulan başlangıç eşleştirmeleri Tablo 2 de görülmektedir. Ana probleme başlangıç eşleştirmeleriyle bulunan çözümün amaç değeri 5309 olup, bu çözüm uygun bir çözümdür. Tablo 2. Başlangıç eşleştirmeleri (Initial pairings) Başlangıç Eşleştirmeleri Eşleştirme Maliyetleri Uçuş Seferleri X X X X X X X X X X X X X X X X X Ana problem (Master problem) Sütun oluşturma algoritmasının ana probleminin matematiksel formülasyonu aşağıdaki gibi bir küme kaplama modelidir: Bunun dışında eşleştirmeler, herhangi bir programlama dili tabanlı bir eşleştirme üreteci kullanılarak da elde edilebilir. Modelde kullanılan notasyonlardan X(,k), i ve j uçuş seferlerinin k eşleştirmesi tarafından kapsanıp kapsanmadığını Gazi Üniv. Müh. Mim. Fak. Der. Cilt 24, No 1,

6 G. Çankaya ve M. Arikan Sütun Oluşturma Yaklaşımı İle Bir Havayolu Ekip Çizelgeleme Uygulaması Minz ck ( )* xk ( ) (15) subject to nt k 1 nt k 1 aik (, )* xk ( ) 1 i1,...42 (16) xk ( ) 0 k1,... nt (17) aik (, ) 0,1 i1,...42, k1,... n (18) Burada, k, eşleştirme indisini; x(k), k eşleştirmesinin optimal çözümde yer alıp almayacağını gösteren pozitif değişkeni; a(i,k), i uçuş seferinin k eşleştirmesi tarafından kapsanıp kapsanmadığını gösteren parametreyi; c(k), k eşleştirmesinin maliyetini; n t, t.inci iterasyondaki eşleştirmelerin sayısını; t, mevcut iterasyonu belirtmektedir. Çalışmada ana problemin küme kaplama modeli olarak formüle edilmesinin nedeni bu modelde kısıtların küme ayrıştırma modeline göre gevşetilmiş olmasıdır. Problem için oluşturulan başlangıç eşleştirmelerinin sayısı 17 olduğundan, t. İterasyondaki eşleştirme sayısını gösteren n t parametresi, başlangıçta 17 değerini almaktadır. Her iterasyonda alt problem aracılığı ile yeni bir eşleştirme oluşturularak n t parametresi güncellenmektedir. Ana problemde amaç (15), toplam eşleştirme maliyetlerinin minimize edilmesini; Kısıt (16) ise her uçuş seferinin en az bir eşleştirme tarafından kapsanmasını sağlamaktır Alt problem (Sub problem) En kısa yol problemi olan alt problem, uçuş çizelgesindeki 42 uçuş seferinin her birinin bir düğüm olarak yer aldığı, uçuş seferleri arasındaki olası bağlantıların oklarla gösterildiği, merkez üssü olan İstanbul şehrinde başlayan ve sonlanan bir uçuş şebekesindeki en kısa yolları bulmayla ilgilenmektedir. Bu şebeke sadece uçuş seferleri arasındaki öncelikler ve mola süreleri dikkate alınarak oluşturulmuştur. Şebekedeki her yol bir eşleştirmeye karşılık gelmektedir. Amaç, bu şebekede merkez üssü olan İstanbul da başlayıp İstanbul da sonlanan ve yasal eşleştirme olma kısıtlarını sağlayan minimum negatif indirgenmiş maliyetli eşleştirmeyi bulmaktır. Ana problem den gelen dual değerler eşleştirmelerin karlarına karşılık gelmektedir. Eşleştirmelerin maliyetleri ise, Eş. (4) formülasyonuna göre hesaplanmaktadır. Burada oluşturulacak eşleştirmelere ilişkin maliyet değerleri yukarıda açıklanan maliyet yapısından ötürü doğrusal olmadığı için, alt problemin çözümünde bu yapı doğrusallaştırılmıştır. Alt problemin matematiksel formülasyonu aşağıdaki gibidir: t M in z = V - d(i) * X() (19) subject to V 0.6 * (f (i) + r ()) * X () (20) V f (i) * X () (21) V 180 (22) X ()= X (j,i) i 1,..., 42 (23) j i i j X(0,i)=1 (24) X(i,43)=1 (25) f (i) * X () 390 (26) (f (i) + r ())*X () 840 (27) X () 5 (28) X () 4 (29) Bu modelde d(i), ana problemden alt probleme gönderilen uçuş seferlerine ilişkin dual değerleri; x(), i ve j düğümleri arasında bir bağlantı mümkünse 1 değilse 0 değerini alan karar değişkenini; V, her bir eşleştirmeye ait (4) no lu formüle göre hesaplanan maliyet değerini ifade etmektedir. Alt problemi çözebilmek için oluşturulan şebekede, her bir uçuş seferiyle ilişkili 42 adet düğüm vardır. Bunlara ilaveten her eşleştirmenin İstanbul da başlamasını ve sonlanmasını sağlayan iki adet düğüm bulunmaktadır (0 ve 43 no lu düğümler). Bu nedenle şebekede toplam 44 adet düğüm bulunmaktadır. Ardı ardına gelebilecek uçuş seferlerini birbirine bağlayan mola okları, tüm eşleştirmelerin merkez üssü İstanbul dan başlamasını sağlayan başlangıç okları ve merkez üssünde sonlanmasını sağlayan bitiş okları olmak üzere üç çeşit ok bulunmaktadır. Şebekedeki her bir uçuş seferinin kalkış ve varış şehri ve zamanları GAMS optimizasyon programına parametre olarak girilmiştir. Modelde yer alan kısıtlar, daha önce de belirtildiği gibi, SHGM tarafından belirlenen ve havayolunun ekip çizelgelerini oluştururken dikkate alması gereken kısıtlardır. Bu kısıtlar, şebekedeki düğüm ve oklar aracılığıyla alt problemde kontrol edilirler. Buna göre Kısıt (23), şebekedeki her düğüme giren ve çıkan ok sayılarının eşit olmasını; Kısıt (24), merkez üssünü ifade eden 0 no lu düğümden çıkan okların toplamının 1 olmasını; Kısıt (25), merkez üssünü ifade eden 43 no lu düğüme giren okların toplamının 1 olmasını sağlamaktadır. Kısıt (26) ile, bir eşleştirmedeki uçuş seferlerine ait toplam gerçek uçuş zamanının en fazla 6,5 saat; Kısıt (27) ile ise, bir eşleştirmenin görev periyodunun en fazla 18 saat olması garanti altına alınmaktadır. Kısıt (28) ve (29), bir eşleştirmedeki inişlerin sayısının, sırasıyla, en az 4 en fazla 5 olmasını sağlamaktadır. (19) ile gösterilen amaç fonksiyonu, şebekedeki tüm eşleştirmeler arasından 48 Gazi Üniv. Müh. Mim. Fak. Der. Cilt 24, No 1, 2009

7 Sütun Oluşturma Yaklaşımı İle Bir Havayolu Ekip Çizelgeleme Uygulaması G Çankaya ve M. Arikan minimum indirgenmiş maliyetli eşleştirmeyi bulmaktadır. V eşleştirme maliyetinin, Eşitlik (4) ile belirtilen üç değerin maksimumu olması; (20), (21) ve (22) ile belirtilen kısıtlarla sağlanmaktadır. Ana problem ve alt probleme ait modeller ve başlangıç eşleştirmelerini elde etmek için oluşturulan matematiksel model, GAMS IDE versiyonu ile bütünleşik kodlanmış olup, bu üç model arasındaki iteratif yapının sağlanması için GAMS optimizasyon programının sunduğu bazı özel yapılardan faydalanılmıştır. Tek bir model çalıştırılarak 3 ayrı modelin çağrılması sağlanmış ve bu 3 model ile sütun oluşturma süreci gerçekleştirilmiştir. Böylece, sadece uçuş seferlerinin kalkış ve varış zaman ve yer bilgileri model parametreleri olarak girilerek, günlük ekip eşleştirmelerinin optimal olarak oluşturulması mümkün hale getirilmiştir. Optimal Ekip Çizelgesi (Optimal Crew Schedule) Sütun oluşturma algoritması sonucunda elde edilen optimal çizelgenin maliyeti 3593 olup oluşturulan eşleştirmeler Tablo 3 teki gibidir. Optimal ekip eşleştirmelerinde yer alan 3 no lu uçuş seferi hem 8 hem 25 no lu eşleştirme, 5 no lu uçuş seferi hem 24 hem 25 no lu eşleştirme, 14 ve 16 no lu uçuş seferleri de hem 10 hem 31 no lu eşleştirmeler tarafından kapsanmaktadırlar. Ancak aynı uçuş seferinin birden fazla eşleştirme tarafından kapsanması, aynı uçuş seferine birden fazla ekibin atanması anlamına gelmektedir. Uygulamada her uçuş seferi tam olarak bir ekip tarafından uçurulacağından, bu tekrarlayan uçuş seferlerini ekiplerin birinden kaldırmak gerekmektedir. Aksi takdirde bu durum, ekibin yani kaynakların gereksiz kullanımına neden olacaktır. Bu nedenle, 14 ve 16 no lu uçuş seferleri Tablo 3. Optimal ekip eşleştirmeleri (Optimal crew pairings) Optimal Çözümde Yer Optimal Ekip Eşleştirmeleri Alan Değişkenler X X X X X X X X X X X maliyette daha fazla azalma sağlayacağı 31 no lu eşleştirmeden, 3 ve 5 no lu uçuş seferleri de 25 no lu eşleştirmeden kaldırılmıştır. 25 no lu eşleştirmede gerçekleştirilmesi gereken 39 no lu uçuş seferi Ankara dan gerçekleşeceği için bir IST - ANK seferi ile personel yolcu olarak Ankara ya taşınacaktır. Oluşturulan yeni çizelge Tablo 4 teki gibidir. 4. SONUÇ (CONCLUSION) Bu çalışmada, günlük havayolu ekip çizelgeleme problemi, iç hatlarda 42 uçuş seferi olan özel bir havayolu şirketi için bir sütun oluşturma algoritması kullanılarak çözülmüştür. Algoritmada, ana problem bir küme kaplama problemi, alt problem ise bir en kısa yol problemi olarak formüle edilmiştir. Sütun oluşturma algoritmasının ana problemi, alt problemi ve başlangıç eşleştirmelerini oluşturan doğrusal model bütünleşik olarak GAMS optimizasyon programında kodlanmış ve bu bütünleşik model iteratif olarak çözülmüştür. Bu Tablo 4. Her uçuş seferinin tam olarak 1 ekip tarafından kapsandığı optimal ekip çizelgesi (Optimal crew schedule in which each flight leg is covered exactly 1 crew) Ekipler Eşleştirmeler Ekipler Eşleştirmeler IST ANK 11:10 12:00 IST ADA 16:55 18:10 1.ekip 2.ekip 3.ekip 4.ekip 5.ekip ANK DIY 13:30 14:50 ADA IST 18:40 20:00 6.ekip DIY ANK 15:35 16:55 IST DLM 20:30 21:35 ANK TRB 20:50 21:55 DLM IST 22:05 23:15 TRB IST 22:25 00:00 IST DIY 15:30 17:10 IST ANK 09:55 10:45 DIY IST 17:40 19:25 7.ekip ANK ERZ 12:30 13:50 IST ANT 20:50 21:55 ERZ ANK 14:20 15:45 ANT IST 22:30 23:40 ANK IST 16:15 17:10 IST TRB 09:35 11:05 IST BOD 15:30 16:35 TRB ANK 11:35 12:45 BOD IST 17:05 18:15 8.ekip ANK IST 15:30 16:25 IST ANT 18:45 19:50 IST IZM 18:30 19:30 ANT IST 20:20 21:25 IZM IST 20:00 20:55 IST IZM 06:55 07:45 ANK VAN 11:15 12:45 9.ekip IZM IST 08:25 09:20 VAN ANK 13:25 15:00 IST GZT 10:40 12:05 IST TRB 19:55 21:25 10.ekip GZT IST 12:35 14:05 TRB IST 21:55 23:35 IST DIY 14:50 16:30 IST BOD 07:25 08:30 DIY IST 17:00 18:45 BOD IST 09:00 10:10 11.ekip IST TRB 19:15 20:45 IST ANT 12:20 13:25 TRB IST 21:15 22:50 ANT IST 13:55 15:00 Gazi Üniv. Müh. Mim. Fak. Der. Cilt 24, No 1,

8 G. Çankaya ve M. Arikan Sütun Oluşturma Yaklaşımı İle Bir Havayolu Ekip Çizelgeleme Uygulaması şekilde bir kodlama yapısı, algoritmanın uygulanabilirliği ve kullanılan sütun oluşturma algoritması da çözüm zamanı açısından oldukça büyük yarar sağlamaktadır. Bu sayede, ele alınan havayolu şirketinde mevcut durumda manuel olarak yapılan ve işgücü-saat açısından fazla kaynak kullanımına neden olan ekip çizelgeleme sürecinde bir iyileşme sağlanabilecektir. Sözkonusu havayolu şirketi ekip çizelgelerini manuel olarak hazırladığından, oluşturulan ekip çizelgeleri sezgisel olup, optimallikten uzaktır. Bu çalışmada, ele alınan havayolu şirketinin günlük ekip çizelgeleri, GAMS optimizasyon programı aracılığıyla çok kısa sürede optimal olarak oluşturulmuştur. Ayrıca, geliştirilen GAMS kodu ile farklı problemler sadece seferlerin kalkış/varış zaman ve yerlerinde yapılacak bir değişiklikle kolayca çözülebilecektir. Bu açıdan, çizelgeleri oluşturan personelin de kolaylıkla kullanabileceği özelliktedir. Sonuç olarak, havayolu şirketi için optimal ekip eşleştirmeleri oluşturulmuş ve etkin bir ekip çizelgesi elde edilmiştir. Oluşturulan her ekip eşleştirmesine bir ekip atanacağından, bu uçuş seferlerini gerçekleştirebilmesi için havayolunun toplam 11 adet uçuş ekibine ihtiyacı olduğu belirlenmiştir. KAYNAKLAR (REFERENCES) 1. Gopalakrishnan, B., Johnson, E. L., Airline Crew Scheduling: State-of-The-Art, Annals of Operations Research, 140 (1): (2005). 2. Yan, S. Y., Tu, Y. P., A Network Model for Airline Cabin Crew Scheduling, European Journal of Operational Research, 140 (3): (2002). 3. Emden-Weinert, T., Proksch, M., Best Practice Simulated Annealing for The Airline Crew Scheduling Problem, Journal of Heuristics, 5 (4): (1999). 4. Cavique, I., Rego, C., Themido, I., Subgraph Ejection Chains and Tabu Search for The Crew Scheduling Problem, Journal of The Operational Research Society, 50 (6): (1999). 5. Vance, P.H., Barnhart, C, Johnson, E.L., Et Al., Airline Crew Scheduling: A New Formulation and Decomposition Algorithm, Operations Research, 45 (2): (1997). 6. Kornilakis, H., Stamatopoulos, P., Crew Pairing Optimization with Genetic Algorithms, Lecture Notes in Artificial Intelligence, 2308: (2002). 7. Özdemir, H. T., Mohan, C. K., Flight Graph Based Genetic Algorithm for Crew Scheduling in Airlines, Information Sciences, 133 (3-4): (2001). 8. Minoux, M., Column Generation Techniques in Combinatorial Optimisation, A New Application to Crew-Pairing Problems, Proceedings XXIVth AGIFORS Symposium, Strasbourg, France, (1984). 9. Desaulniers, G., Desrosiers, J., Dumas, Y., Solomon, M. M., Soumis, F., Daily Aircraft Routing and Scheduling, Management Science, 43(6): (1997). 10. Klabjan, D., Johnson, E. L., Nemhauser, G. L., et al., Airline Crew Scheduling with Regularity, Transportation Science, 35 (4): (2001). 11. Yan, S., Chang, J., Airline Cocpit Crew Scheduling, European Journal of Operational Research, 136: (2002). 12. Cordeau, J.F., Stojkovic, G., Soumis, F., Et Al., Benders Decomposition for Simultaneous Aircraft Routing and Crew Scheduling, Transportation Science, 35 (4): (2001). 50 Gazi Üniv. Müh. Mim. Fak. Der. Cilt 24, No 1, 2009