G E O M ETR İ. 10. Sınıf. Mehmet ŞAHİN. Nurdan Yalçınkaya

Transkript

1 10. Sınıf G O M TR İ Mehmet ŞHİN M.. Talim ve Terbiye Kurulu aşkanlığı nın tarih ve 334 sayılı kararı ve öğretim yılından itibaren uygulanacak programa göre hazırlanmıştır. RKSİYON Nurdan Yalçınkaya lper Yıldız Oğuzhan Kırıkoğlu İbrahim Orhan PL M Y YIN I LIK n ka ra, 2014 I

2 PLM YYINLRI: Konu nlatımlı / Mehmet ŞHİN Yayına Hazırlama : PLM izgi-grafik Tasarım irimi Yayın ditörü : emil YN Palme Yayıncılık 2014 Yayıncı Sertifika No : ISN : : : : u kitap 5846 sayılı yasanın hükümlerine göre kısmen ya da tamamen basılamaz, dolaylı dahi olsa kullanılamaz, teksir, fotokopi ya da başka bir teknikle çoğaltılamaz. Her hakkı saklıdır, PLM YYINILIĞ aittir. Kitapta kullanılan sistemin tamamı ya da bir kısmı yayınevinin yazılı izni olmaksızın kullanılamaz. GNL ĞITIM YZIT Yayın-ağıtım Sağlık Sokak 17/30 Sıhhiye-NKR Tel Faks II

3 enim Manevi Mirasım İLİM ve KILIR M. Kemal TTÜRK III

4 İTÖR Son yıllarda ilk ve ortaöğretimde uygulanmaya başlanan öğretim programlarının ana felsefesi, yaşam temelli yaklaşımı esas almasıdır. u yaklaşımla, soyut gibi algılanan birçok matematiksel kavram gerçek yaşamla ilişkilendirilmiş, somut hale getirilmiştir. u yaklaşım okullarımızdaki öğretim sürecine tam olarak yerleştirildiği ve uygulandığı zaman öğrencilerimizin derslere olan ilgi ve motivasyonları ciddi bir biçimde artacaktır. Tüm bu gelişmelerin sonucu olarak bilişim toplumunun gerektirdiği becerilere sahip, objektif ve analitik düşünebilen, yaratıcı bir kafa gücüne sahip kuşaklar yetişecektir. öyle yetişen genç insanlar, ezberden uzak kalacak, sağlıklı iletişim kurabilme yetileri gelişecek; kendini iyi tanıyan, çevresiyle barışık bireyler olacaktır. Palme yayıncılığın hazırladığı bu kitap serisinin içeriği yukarıda belirtilen bakış açısı çerçevesinde oluşturulmuştur. yrıca bu kitaplar değişen yeni sınav sistemine (YGS LYS) uygun bir niteliğe sahiptir. Üniversite sınavlarında sorulacak soruların kapsamı ve ağırlık düzeyine uygun bir konu akışı sağlanmıştır. u kitapların hazırlanmasında büyük bir özveriyle bana destek veren Palme Yayıncılık'ın genel müdürü sayın İlhan udak'a teşekkür ederim. Palme Yayıncılık'tan çıkan bu kitap serisinin tüm öğrencilere yararlı olması ve onların gelişimine bir katkı sağlaması dileğiyle... emil YN ayancemil@hotmail.com ylül 2013 nkara IV

5 ÖNSÖZ eğerli Öğretmenler, Sevgili Öğrenciler, u kitap Milli ğitim akanlığı Talim ve Terbiye Kurulu aşkanlığı nca kabul edilen Orta Öğretim 10. Sınıf Geometri ersi öğretim programına göre hazırlanmıştır. u program tüm lise türlerinde ortak olup 11. ve 12. sınıfta okuyacakları geometri derslerinin temellerini kapsamaktadır. u kitap Orta Öğretim başarınızı yükseltmek, Üniversiteye girişte yüksek başarı elde etmenizi sağlamak amacıyla hazırlanmıştır. Kitapta her ünite içindeki kavramlar ağırlıklarına göre ayrılmış ve her kavram kavramsal adım, uygulama adımı, pekiştirme adımı ve sınama adımı başlıkları altında incelenmiştir. Her kavramın detaylı bir şekilde ele alındığı bu sisteme Kavramsal Modüler Hücre Sistemi diyoruz. u sistemin doğası gereği kitapta her kavramla ilgili öğrencinin karşılaşabileceği her tür örnek yer almaktadır. Örnekler, öğrenme öğretme sürecine uygun olarak en basit olandan daha çok bilgi içeren türlere doğru ele alınmıştır. Konular işlenirken her ünite içerisinde çok sayıda gerçek yaşamla ilişkilendirilmiş örneklere yer verilmiştir. Ülkemizde ilk kez uygulanan bir sistemle yazılmış olan bu kitabın öğrencilerimize yararlı olacağına inanıyorum. Sağlık ve başarı dileklerimle kim 2013 Mehmet ŞHİN nkara sahinm68@hotmail.com V

6 Ç NK LR Ünite1 ÜZLM GOMTR TML LMNLR V SPT Ç MLR 9-21 Ünite2 O RULRIN O RULTULRI Ünite3 KOOR NT S STM VI

7 Ünite4 O RULR Ünite5 ÜÇGNLR Ünite6 ÖNÜ ÜMLRL GOMTR VII

8 1 ÜZLM GOMTR TML LMNLR V SPT Ç MLR Sayfa No ÜZLM GOMTR TML LMNLR V SPT Ç MLR tkinlikler

9 KVRMSL IM Önerme ÜZLM GOMTRİ TML LMNLR ve İSPT İÇİMLRİ o ru ya da yanl bir hüküm bil-diren ifadelere önerme denir. mir cümleleri, soru cümleleri ve istek cümleleri bir önerme de lidir. spat " ki kenar uzunlu u e it olan üçgen ikizkenard r." cümlesi do ru bir önermedir. "ir dörtgenin üç kö esi vard r." cümlesi yanl bir önermedir. ir önermenin do rulu unun bilinen önermeler yard m yla gösterilmesi i lemidir. ksiyom (Postulat) ir önermenin do rulu unu ispat etmek için daha önceden ispatlanm özelliklere ihtiyaç duyulur. u özellikler ispat edilirken ba ka bir tak m ispatlanm bilgilere, özelliklere ihtiyaç vard r. u ekilde devam edildi inde ispat yap lacak özellik için ispat apaç k olan fakat ispat edilemeyen baz önermeleri kabul etmek gerekecektir. u tür ifadelere, yani do rulu u ispats z kabul edilen önermelere aksiyom denir. Teorem ksiyomlar ve ispat edilmi teoremler yard m yla ispat yap labilen önermelere teorem denir. Teorem Örnekleri ir üçgenin iç aç lar n n ölçülerinin toplam 180 dir. Ters aç lar n ölçüleri e ittir. ki paralel do ru bir ve yaln z bir düzlem içinde bulunur. ir düzlem içinde ayn do ruya dik olan iki do ru birbirine paraleldir. Hipotez ir önermenin do ru ya da yanl oldu unu anlamak için öne sürülen geçici çözüme hipotez (varsay m) denir. Hipotezin eldeki verilere uygun olmas gerekir. Teori irçok gözlem ve deney sonucunda elde edilen verilerle desteklenen bir hipoteze teori (kuram) denir. Teori kökle mi bir hipotezdir. ÜN T 1 ÜZLM GOMTR TML LMNLR ve SPT Ç MLR ksiyomlar basit, anla l r, birbirinden elde edilemeyen ve sonuçlar bak m ndan kendi içinde çeli ki olu turmayan önermelerdir. az ksiyom Örnekleri ir do runun d ndaki bir noktadan geçen ve bu do ruya paralel olan yaln z bir do ru vard r. ÖKL ' N TML POSTULTI üzlem geometri aksiyomatik bir yap d r. üzlem geometrinin kurulabilmesi için gerekli postulatlar Öklid taraf ndan belirlenmi tir. 1. Postulat: Farkl iki noktadan bir ve yaln z bir do ru geçer. ir do ru üzerinde bulunan farkl üç noktadan biri di er ikisinin aras ndad r. ir düzlem içindeki iki noktadan geçen do ru da düzlem içindedir. 2. Postulat: ir do ru parças s n rs z bir ekilde uzat labilir. Kesi en farkl iki düzlemin arakesiti bir do rudur. Her düzlemin do rusal olmayan üç noktas vard r. d Uzay n düzlemsel olmayan en az dört noktas vard r. 9

10 ÜN T 1 ÜZLM GOMTR TML LMNLR ve SPT Ç MLR KVRMSL IM 3. Postulat: Merkezi ve yar çap verilen bir çember çizilebilir. M: çemberinin merkezi, M r r: çemberin yar çap 4. Postulat: ütün dik aç lar e ittir. 5. Postulat: ir do ruya d ndaki bir noktadan yaln z ve yaln z bir tek paralel do ru çizilebilir. d Yukar da verilen aksiyomlar n (postulatlar n) apaç k, ku kusuz oldu u aç kt r. Herhangi bir postulat ele ald m zda bunun yanl olabilece ini dü ündürecek bir veri yoktur. o ru olduklar aç kt r. u be postulat temel olarak iki kavrama dayanmaktad r. Nokta ve do ru. Nokta ve do runun tan ms z terimler oldu unu 9. s n f geometri derslerinden biliyorsunuz. Tan ms z terimlerden geriye gitmek mümkün olmad ndan aksiyomlar n ispat n yapmakta mümkün de ildir. u be postulat temel olarak iki kavrama dayanmaktad r. Nokta ve do ru. Nokta ve do runun tan ms z terimler oldu unu 9. s n f geometri derslerinden biliyorsunuz. Tan ms z terimlerden geriye gitmek mümkün olmad ndan aksiyomlar n ispat n yapmakta mümkün de ildir. Öklid'in 5 temel aksiyomu düzlem geometrinin ba lang ç noktas d r. ksiyomlar do ruluklar bak m ndan herhangi bir ku kuya yol açmayacak derecede apaç k, net ifadelerdir. ncak 5. postulat ilk zamanlardan beri üpheyle kar lanm ve yüzy llar boyunca do rulu u tart lm t r. e inci postulat üzerinde yorumlar getiren en önemli alimlerden ikisi Nasuriddin Tusi ve Ömer Hayyam'd r. Nasuriddin Tusi ve Ömer Hayyam' n Öklid'in paralellik aksiyomu olarak be inci aksiyomuna getirdikleri yorumlar Öklid Geometrisi d nda geometrilerin varl n n ilk göstergeleridir. Ömer Hayyam' n uclid'in lemanlar n n Zorlu u Üzerine adl eseri Öklid d geometrilerin varl na ilk aç lan kap d r y l nda Riemann düzlem geometrinin "ir do ruya d ndaki bir noktadan yaln z ve yaln z bir tek paralel do ru çizilebilir" aksiyomunu "ir noktadan d ndaki bir do ruya hiçbir paralel do ru çizilemez." eklinde ve "ir do ru parças do rusal bir çizgi üzerinde sürekli uzat labilir." aksiyomunu da "ir do ru s n rs zd r ama sonsuz de ildir." eklinde de i tirmi tir. Riemann' n bu ekilde kurmu oldu u geometriye eliptik geometri denir. Rus matematikçi Lobachevsky 5. postulat n do ru olmad n iddia ederek onu de i tirmi tir. 5. postulat n yerine "ir düzlem üzerinde bulunan bir d do rusuna, d ndaki bir noktas ndan d do rusuyla kei meyen birden fazla do ru çizilebilir." postulat n ileri sürmü tür. Lobachevsky'nin bu ekilde kurdu u geometriye Lobachevsky geometrisi veya hiperbolik geometri denir. üzlem geometride liptik geometride üçgeni ekiller küre yüzeyine çizilir. m ^Wh+ m ^Wh+ m ^ X h= 180 küresel üçgeninde m ^Wh+ m ^Wh+ m ^ X h> 180 Hiperbolik geometride ekiller bir at e eri üzerine çizilir. m ^Wh+ m ^Wh+ m ^ X h<

11 KVRMSL IM YÖNTM V K L ÇISINN SPT TÜRLR spat yöntemi ve ispat biçimi kavramlar birbirlerinden farkl anlamlara sahiptir. ir geometri teoreminin içeri ine göre do rudan ispat yöntemi, dolayl ispat yöntemi veya ba ka özel yöntemler kullanabilir. spat yönteminden, teoremin içeri ine göre hangi teknik yakla m n kullan laca anla lmal d r. spat biçimi ise bir teorem belli bir yöntemle ispatlan rken izlenen sürecin ekil aç s ndan nas l sunulaca n belirtir. ir teorem ispat yöntemi belli iken ispat iki kolonlu ispat, ak diyagraml ispat veya paragraf ispat biçimleri ile sunulabilir. 1 o rudan spat Yöntemi o rudan ispat yönteminde hipotezden hareket edip bilinen do ru önermeler yard m yla do rudan hükme ula l r. p ve q iki önerme olmak üzere p ( q önermesinin do rulu u gösterilirken, p ( s 1, s 1 ( s 2,..., s n ( q önermelerinin do rulu u gösterilir ve hükmün do rulu u gösterilmi olur. SPT Ç MLR ki Kolonlu spat içimi ki kolonlu ispat biçiminde birinci kolonda ifadeler ba l bulunur. S ra numaras vererek ad m ad m son ifadeye kadar yaz l r. kinci kolonda ise Gerekçeler ad alt nda birinci kolon numaralar na paralel olacak ekilde birinci kolondaki her ifadenin gerekçesi yaz l r. uradaki gerekçeler, tan m, aksiyom (postulat), teorem ve özellikler olabilir. ki kolonlu ispat biçimi a a daki bile enlere sahip olmal d r. i. Orijinal teorem, önerme vb. ifadeler. ii. 1 o rudan spat Olmayana rgi Yöntemiyle spat Tümden Gelim Çeliflki ulma Yöntemiyle ispat SPT YÖNTMLR olaylı spat Verilen bilgilerin ak diyagram eneme Yöntemiyle spat Tümevarım ksine Örnek Verme Yöntemiyle spat ÜN T 1 ÜZLM GOMTR TML LMNLR ve SPT Ç MLR iii. spatta verilenlerin yeni ifadeleri 2 olayl spat Yöntemi iv. spattaki her ad m destekleyen nedenler ir teoremin ispat için bir tek yol yoktur. Teoremin ispat n yapmak için do rudan ispat yöntemi uygun olmayabilir. öyle bir durumda dolayl ispat yöntemi kullan l r. p ( q önermesinin do rudan ispat yöntemi ile ispat edilemedi i durumlarda p ( q / q' ( p' (p ( q nun kar t tersi q' ( p') denkli i yard m yla q' ( p' önermesi ispat edilerek p ( q önermesinin do rulu u gösterilmi olur. v. spat yap lan ifade 2 k iyagraml spat içimi u ispat biçimi kutular içine yaz lan aç klamalar ve bunlar n d ndaki oklar n yönlendirilmesiyle olu ur. Verilenler, özellikler, teoremler, postulatlar ve tan mlar kutular n alt na veya yan na yaz l r. u ak diyagram bilgisayar programc lar taraf ndan s kça kullan l r. u ispat biçiminde her ad m kolay ve aç k olarak görüldü- ünden cebirsel ve geometrik ispatlara uygulanmas kolayd r. 11

12 ÜN T 1 ÜZLM GOMTR TML LMNLR ve SPT Ç MLR KVRMSL IM 3 Paragraf spat içimi Paragraf ispat biçiminde ispat boyunca detayl aç klamalara yer verilir. spat istenen her ad m n gerekçesi ayr nt lar yla yaz l r. a da verilen teoremin ispat, üç farkl ispat biçimi kullan larak yap lm t r. enzer teoremler bu ispat biçimleri kullan larak ve uygun yerlerde bo luklar b rak larak verilir. "irbirini bütünleyen e iki aç dik aç d r." 1 ki kolonlu ispat biçimi fadeler Gerekçeler 1) i= i 1) Verilen 2) ve 2) Verilen bütünler aç lar 3) i+ i= 180 3) ütünler aç tan m ndan 4) i+ i= 180 4) 3'te i= i al nd ndan 5) 2 i = 180 5) Toplama i leminin Verilen: * i= m _ i ve büü t nler aç lar stenen : ve dik aç lar. m`j= verilen m ` j m`j+m`j=180 Yerine koyma metodu TK NL K ve verilen m`j+m`j=180 ütünler aç lar n tan m ndan 2m`j=180 Toplama iflleminin özelli i m`j= 90 Çarpma/bölme iflleminin özelli i ütünler aç lar özelli inden 6) i = 90 6) Çarpma bölme 1. ekilde ll = (n + p) birim ll = (m + p) birim ve i lemlerinin özelli ini kullanarak 5. ifadenin her iki yan n n 2 ile bölünmesinden 7) i = 90 7) 6'da i= i al nd ndan 8) ve dik aç lar 8) ik aç tan m ndan m^ h = ^m + nh dir. [] ve [] nin herbiri di erinin kenarorta dikmesi ll 4 ve =, ll 3 ll.ll = 3888 br 2 oldu una göre, ll ve ll yi bulunuz. m+n n+p m+p 2 k diyagraml ispat biçimi 12

13 KVRMSL IM 2. ekilde lmql = lmrl lnql = lnpl, [SM] [RQ] R ÖRNK ÜN T 1. [SN] [QP] ise, lsrl = lspl oldu unu gösteriniz. 3 Paragraf ispat biçimi M S Q N P ir üçgende bir d aç n n ölçüsü kendisine kom u olmayan iki iç aç n n ölçüleri toplam na e ittir. üçgeni için m ^ h = m^x h+ m^w h Teoremini ak diyagraml ispat biçimiyle ispatlayal m. ÇÖZÜM Verilen üçgeni için m() + m() + m() = 180 m() + m() = 180 ÜZLM GOMTR TML LMNLR ve SPT Ç MLR i= m _ i ve büü t nler aç lar verilen i= i verildi inden ve bütünler iki aç n n ölçüleri toplam 180 oldu undan i yerine i yaz larak 4 m() + m() + m() = m() + m() m() + m() = m() i+ i=180 elde edilir. uradan 2 i = 180 olur ve sadele tirme yap larak i = 90 bulunur. i er taraftan i= i oldu undan i= 90 elde edilir. O hâlde, dik aç tan m ndan ve dik aç lard r. 13

14 ÜN T 1 ÜZLM GOMTR TML LMNLR ve SPT Ç MLR 1. ekilde m^ h= 90 ve ile tümler aç lar ise m^ h= m^ h oldu unu gösteriniz. & & 2. F, [] tabanl G, [] PKİŞTİRM IMI & tabanl H, [] tabanl ikizkenar üçgenlerdir. nin & ikizkenar üçgen oldu unu gösteriniz. 4. ikizkenar üçgen, ll = ll R ve S s ras yla [] ve [] nin orta noktalar ise, mrs ^ h= msr ^ h oldu unu gösteriniz.. 5. ekilde ll = ll, lql = lpl ise, mq ^ h= mp ^ h oldu- F G unu gösteriniz. H P R S Q 3. dikdörtgeninde ve F s ras yla [O] ve [] nin orta noktalar ise, ll = lfl oldu unu gösteriniz 6. ekilde [] nin orta noktas ve [P] [] oldu una göre, lpl = lpl oldu unu gösteriniz. P F 14

15 7. "ir aç n n aç ortay üzerindeki herhangi bir noktan n aç n n kenarlar na K olan uzakl klar birbirine P e ittir." teoreminin ispat M ak diyagraml ispat biçimiyle a a da verilmi tir. una göre, a a da verilen O L ispatta bo yerleri uygun ekilde doldurunuz. 8. o ru ya da yanl kesin bir hüküm bildiren ifadelere önerme denir. a daki ifadelerden hangisi bir önerme de ildir? I. spat yapal m! II. ir üçgenin iç aç lar dar aç d r. III = 52 IV. örtgenin iç aç lar n n ölçüleri toplam 360 dir. V. örtgenin dört kö egeni vard r. 9. a da birbirini tümleyen e iki aç n n herbirinin ölçüsü 45 dir." önermesinin ispat iki kolonlu ispat biçimiyle verilmi tir. una göre, bo b rak lan yerleri doldurunuz. Oi= Oi, 45 O ve O tümler O 45 aç lar, mo _ i = 90 fadeler Gerekçeler 1. Oi= Oi 1. Verilen 2. O ve O tümler aç lar 2. Verilen 3. Oi+ Oi= O i+ Oi= Oi mo _ i = mO _ i = mo _ i = Oi= Oi= PKİŞTİRM IMI 10. ekilde [O, O nin aç ortay m _ i = a, mf _ i = b ve mk _ i = i ise, a i b = + oldu unu 2 ak diyagraml ispat biçimiyle ispat ediniz. 11. üçgeninde Ii= Ii Ii= Ii ise, mi _ i i = oldu unu iki kolonlu ispat biçimiyle ispat ediniz. 12. üçgeninde i = 90, [] [], m _ i = 225, ve = h oldu una göre, = 2 2. h oldu unu paragraf ispat yöntemiyle ispat ediniz. O, h I F K 22,5 ÜN T 1 ÜZLM GOMTR TML LMNLR ve SPT Ç MLR 15

16 ÜN T 1 ÜZLM GOMTR TML LMNLR ve SPT Ç MLR 13. ekilde [] // [] ve ll = ll ise, nin aç s n n aç ortay oldu unu gösteriniz. 14. ekilde [PS] [] ve Q noktas Q [] olacak ekilde de i ken bir nokta ise, lpql lpsl oldu unu gösteriniz. P Q S PKİŞTİRM IMI 16. ekilde ll = ll, ll = ll ise, m^ h = m^ h oldu unu gösteriniz. 17. ekilde [] aç s n n, [] aç s n n aç ortay d r. & de = ise, ll = ll oldu unu gösteriniz. 15. üçgeninin d na ekildeki gibi e kenar üçgenler çiziliyor. kenar üçgenlerin a rl k merkezleri K, L, M ise KLM üçgeninin e kenar üçgen oldu- unu gösteriniz. F K M L 18. dikdörtgen ll = ll, [] ve [] nin kesim noktas P; [] nin orta noktas oldu una göre, [P] [] oldu unu gö P 16

17 19. üçgeninde m ^ h=, m ^ h= 2 [N] aç ortay, lnl = x, ll = y oldu una göre, ll = x + y oldu unu gösteriniz. 20. ekilde paralelkenar ve F paralelkenar oldu una göre, F ninde paralelkenar oldu unu gösteriniz. F y x N PKİŞTİRM IMI x+y 22. F dikdörtgen ve ll = lfl ise, nin paralelkenar oldu unu gösteriniz. 23. ve e kenar üçgenler oldu una göre, i = 120 oldu unu paragraf ispat biçimiyle ispat ediniz. F ÜN T 1 ÜZLM GOMTR TML LMNLR ve SPT Ç MLR 21. kare, [] kö egen ll = lql, [PQ] [] oldu una göre, lql = lqpl = lpl oldu unu gösteriniz. Q P 24. üçgeninde i = 90, [] [], m _ i = 15 = h ise, = 4h oldu unu paragraf ispat yöntemiyle ispat ediniz. h 15 (Y. Gösterme: [] nin orta noktas olsun. [] çizilirse, = = dir.) 17

18 ÜN T 1 ÜZLM GOMTR TML LMNLR ve SPT Ç MLR 25. ekilde i = m _ i = 90 = a, = b, = c, = d ise, a 2 + d 2 = b 2 + c 2 dir. Yukar daki teoremin ak diyagraml ispat n yap n z. 26. ekilde [] [], = a, = b = c, = d ise, a 2 + c 2 = b 2 + d 2 dir. Yukar daki teoremin ispat n paragraf ispat biçimiyle yap n z. a d a b d PKİŞTİRM IMI c b c 28. Kenarlar birbirine dik olan iki aç dan biri dar, di eri geni aç ise, bu aç lar n ölçülerinin toplam 180 dir. Yukar daki teoremin ispat ak diyagraml ispat biçimiyle verilmi tir. k diyagram ndaki bo kutular a a da verilen bilgilerden uygun olanlarla doldurunuz. Verilen: O stenen: [OL [I, [OF [ H I F + = 180 dar aç geni aç spata, [ // [OF, [ // [OL çizerek ba layabiliriz. [ [OF OH i+ H i= 180 [I [OL L FOL H m(fol) = m() = m(o) = 90 m(ohi) = üçgeninde I, içte et çemberin merkezi, I a, d te et çemberin merkezi ise Ii + maiak = 180 dir. Yukar daki teoremin ispat n ak diyagraml ispat biçimiyle yap n z. I I a m(o) = m() = 90 m(ohi) = m(i) = 90 m() + m() + m(i) + m(h) = = =

19 29. Verilen: Kenarlar ayn yönde paralel aç lar Yönde aç lar n ölçüleri e ittir. Toplama ve ç karma i leminin özelli i Tam aç ik kesi en nlar aras ndaki aç F PKİŞTİRM IMI 30. Kenarlar n n biri ayn yönde, di eri ters yönde paralel olan iki aç n n ölçüleri toplam 180 dir. Verilen: [O // [ [ // [O stenen: mo ^ h+ m^ h= = 180 O Yukar daki teoremi iki kolonlu ispat biçiminde kullanarak ispatlay n z. ÜN T 1 ÜZLM GOMTR TML LMNLR ve SPT Ç MLR K F // K,, nin;, nin aç ortay ise, 31. ve e kenar üçgenler [] ise, ll = ll dir. [] [] dir. Yukar daki teoremi paragraf ispat biçimi kullanarak ispatlay n z. Yukar daki teoremi paragraf ispat biçimi kullanarak ispatlay n z. 19

20 ÜN T 1 ÜZLM GOMTR TML LMNLR ve SPT Ç MLR 32. üçgeninde [K iç aç ortay, [K d aç ortay ise, m^ m Kh ^ h = dir. 2 Yukar daki teoremi ak diyagraml ispat biçimi kullanarak yap n z. 33. dik üçgeninin her kö esinin kar kenara göre simetri i al narak üçgeni ede ediliyor. PKİŞTİRM IMI K stenen: lan^ & lan^ & l l lh h = 3 & 34. ekilde ve & PQ e kenar üçgenler oldu- una göre, lpl = lql oldu unu gösteriniz. P Q lan^ & lan^ & l l lh h = 3 kullanarak ispat ediniz. oldu unu paragraf ispat biçimini 35. kare lfl = lfl [] [F] oldu una göre, ll = ll oldu unu gösteriniz. F Verilen: dik üçgen nin [] ye göre simetri i, n n [] ye göre simetri i, nin [] ye göre simetri i 20

21 RS NOTLRI ÜN T 1 ÜZLM GOMTR TML LMNLR ve SPT Ç MLR 21