İÇİNDEKİLER 1. TEMEL KAVRAMLAR

Transkript

1 OİMPİYTR İÇİN ÜZM GOMTRİ İÇİNKİR 1. TM KVRMR çıortay Özellikleri 6 lanchet Teoremi 44 Yükseklikler ve Çevrel Çember 48 uler oğrusu 61 eibnitz Teoremi 78 okuz Nokta Çemberi (uler Çemberi) 85 uler ağıntıları 91 arnot Teoremi 99 Problemler ÜÇGN KOPYM(TŞIM) PROMRİ ve İN ÖNÜŞÜMR Üçgen Kopyalama Yöntemi 108 fin önüşüm Yöntemleri 159 Problemler OĞRUSIK ve NOKTŞIK Kuvvet merkezi ve rianchon Teoremi 182 irkaç Önemli oğrusallık-noktadaşlık Problemi 183 Homoteti 195 Menelaüs ve eva Teoremleri 205 Gergonne, Nagel, emoine Noktaları 225 esargues Teoremi 248 Pascal Teoremi 251 Pappus Teoremi 254 Problemler 255

2 TM KVRMR ç ortay Özellikleri lanchet Teoremi Yükseklikler ve Çevrel Çember uler o rusu eibnitz Teoremi okuz Nokta Çemberi (uler Çemberi) uler a nt lar arnot Teoremi Problemler u bölümde; bir üçgenin aç ortaylar, yükseklikleri ve kenar orta dikmeleri ile ilgili özellikleri inceleyece iz. uler o rusu, eibnitz Teoremi gibi geometrideki ilginç özellikleri, bunlar n baz problemler üzerinde uygulan lar n görece iz. 1.

3 6 O MP YTR Ç N ÜZM GOMTR PROMR Problem 1.1: ir üçgenin iç aç ortaylar tek noktada kesi ir ve bu nokta üçgenin iç te et çemberinin merkezidir. Gösteriniz. M I M I K K ekil 1.1 ekil 1.1 ve kö elerinin iç aç ortaylar I noktas nda kesi sin. I noktas ndan üçgenin kenarlar na çizilen dikmelerin ayaklar K, ve M olmak üzere IK IM ve IK I dir. olay s yla, IM I dir. uradan, IM I olup MI I, yani I do rusu aç s n n aç ortay d r. ( ekil 1.1 ) öylece, üçgenin iç aç ortaylar n n bir noktada kesi tiklerini gösterdik. yr ca, IK IM I oldu u göz önüne al n rsa, I merkezli ve IK yar çapl çemberin üçgenin kenarlar na te et oldu u aç kt r. u sayede, üçgene içten te et bir çemberin çizilebilece ini de ispat etmi olduk. ( ekil 1.1 ) ç te et çembere k saca iç çember, I harfi ile gösterilen iç te et çemberin merkezine iç merkez de denmektedir. o dir. 2 l t rmalar 1.1: ir üçgenin iki iç aç ortay aras ndaki aç n n ölçüsü; 90 o ile 3. aç n n ölçüsünün yar s n n toplam na e ittir. Gösteriniz. Yani ekil 1.1 ya göre, I 90

4 TM KVRMR 7 Problem 1.2: ir üçgenin iki d aç ortay ve üçüncü aç s n n iç aç ortay tek noktada kesi irler. u nokta üçgenin d te et çemberlerinden birinin merkezidir. Gösteriniz. kö esinin d aç ortay ile kö esinin iç aç ortay I b noktas nda kesi sin. I b noktas ndan üçgenin kenarlar na (ya da bunlar n uzant lar na) çizilen dikmelerin ayaklar K, ve M olsun. IbM Ib ve IbM IbK oldu undan, Ib IbK d r. uradan kolayca I b IK b dik üçgenlerinin e li i I KI, yani O do rusu aç s n n d aç ortay d r. ( ekil 1.2 ) gösterilebilir. olay s yla b b öylece iki d aç ortay ve 3. aç n n iç aç ortay n n tek noktada kesi ti ini göstermi olduk. yr ca, IbM Ib IbK oldu u göz önüne al n rsa, I b merkezli ve IbK yar çapl çemberin, üçgenin kenarlar na (ya da onlar n uzant lar na) te et oldu u aç kt r. ( ekil 1.2 ) Tüm bunlarla birlikte, üçgene d tan te et bir çemberin çizilebilece ini de ispat etmi olduk. M M I b I b I b I c K K ekil 1.2 ekil 1.2 ekil 1.2 I a enzer muhakeme ile üçgenin di er kenarlar na da d tan te et olan çemberlerin çizilebilece i gösterilebilir. u çemberlerin merkezleri genellikle I a, I b ve I c harfleri ile gösterilirler. te et çembere k saca d çember, d te et çemberin merkezine de d merkez denmektedir. ( ekil 1.2 ) l t rmalar 1.2.1: ir üçgenin iki d aç ortay aras ndaki aç n n ölçüsü 90 o ile 3. aç n n ölçüsünün o dir. 2 yar s n n fark na e ittir. Gösteriniz. ekil 1.2 ya göre, Ib 90

5 TM KVRMR 75 Problem 1.54: kizkenar olmayan üçgeninde I, H, O s ras yla iç merkez, diklik merkezi ve çevrel merkez olsun. I // HO için gerek ve yeter art 120 o olmas d r, gösteriniz. (IMO onglist 1992) 120 o olan üçgenini çizelim. I iç aç ortay, çevrel çemberi de kessin. noktas, yay n n orta noktas oldu undan O dir. yn zamanda H oldu undan O // H d r. 240 o ve 120 o oldu undan O 120 o, O 30 o dir. öylece O dik üçgeninde O 2 O dir. üçgeninin a rl k merkezi G olmak üzere, HGO do rusal oldu- undan (uler do rusu) ~ H G HG OG ve 2 dir. una göre H 2. O O G olup H O dir. O O e it yar çaplar oldu undan H O elde edilir. u ise HO dörtgeninin bir paralelkenar olmas demektir. // HO elde edilir. H G 30 Tersine olarak, // HO ise O // H oldu undan HO dörtgeni bir paralelkenard r ve H O O olur. H 2. O oldu undan O 2 O elde ederiz. u halde 60 O O 30 o olup 120 o bulunur. ekil 1.54

6 76 O MP YTR Ç N ÜZM GOMTR PROMR Problem 1.55: ar aç l üçgeninin ortik üçgeni olsun. üçgeninin iç te et çemberi, kenarlara K,, M noktalar nda te et ise KM ve üçgenlerinin ayn uler do rusuna sahip oldu unu gösteriniz. u problem, alkan M.O 1990 da herhangi bir üçgeni için sorulmu tur. akat kan tlanmas istenen özellik sadece dar aç l üçgenlerde geçerlidir. üçgeninin diklik merkezini H ile gösterelim. Problem 1.33 den dolay H noktas üçgeninin iç te et çemberinin merkezidir. una göre KM üçgeninin çevrel çemberinin merkezi de H olur. HM dörtgeni bir deltoit oldu undan H M dir. yr ca H oldu undan M // dir. enzer ekilde HKM, HK dörtgenlerinin de birer deltoit oldu unu kullanarak K //, KM // paralelliklerini de yazabiliriz. öylelikle ~ KM (..) benzerli i olup bu üçgenlerin uler do rular birbirine paraleldir. (Neden?) üçgeninin uler do rusu diklik merkezi H noktas ndan geçecektir. KM üçgeninin uler do rusu da çevrel çemberin merkezi olan H noktas ndan geçecektir. O halde bu iki uler do rusu çak kt r. H K M K H M ekil 1.55 ekil o olan geni aç l üçgeninin ortik üçgeni olsun. üçgeninin l t rmalar 1.55: noktas na göre d te et çemberi, kenarlara K,, M noktalar nda te et ise KM ve üçgenlerinin ayn uler do rusuna sahip oldu unu gösteriniz.

7 ÜÇGN KOPYM (T IM) PROMR V N ÖNÜ ÜMR 137 Problem 2.28: üçgeninin iç te et çemberinin merkezinden geçen bir do ru [], [] kenarlar n s ras yla P, Q noktalar nda kesiyor. PQ bir kiri ler dörtgeni ise PQ P Q oldu unu ispatlay n z. Çözümler: Çözüm 1: ç te et çember üçgenin kenarlar na,, noktalar nda te et olsun. [ n üzerinden ' olacak ekilde bir ' noktas alal m. I ' üçgenini, I üçgeninin I noktas etraf nda IQ üçgeninin iç aç lar toplam n- döndürülmesi ile elde edilmi gibi de dü ünebiliriz. I I dersek ' I olur.. o PQ bir kiri ler dörtgeni oldu undan PQ olur. ' dan IQ ' olup IQ ' üçgeni ikizkenar d r. una göre IQ ' Q ' Q Q (1) I ' üçgenini olu tura- e itli i elde edilir. enzer ekilde I üçgenini I noktas etraf nda döndürerek l m. u durumda PI ' P ' P P (2) elde edilir. (1) ve (2) taraf tarafa toplan rsa PI IQ Q P Q P olup PQ P Q elde edilir. P I Q P I Q ekil 2.28 ekil 2.28

8 138 O MP YTR Ç N ÜZM GOMTR PROMR Çözüm 2: ç aç ortaylar n kesim noktas I oldu undan PI I, QI I yaz labilir.. o o PQ bir kiri ler dörtgeni oldu undan QP 180 2, PQ d r. [PQ] üzerinden P P olacak ekilde bir noktas al rsak P P olur. öylece I I olup I bir kiri ler dörtgeni olur. olay s yla Q I olur. Q üçgeninde iç aç lar toplam ndan Q olup Q Q elde edilir. Problem 2.29: ir kiri ler dörtgeni ve merkezi [] kenar üzerinde olan bir çember veriliyor. i er üç kenar çembere te et oldu una göre oldu unu ispatlay n z. (IMO 1985) Çözümler: Çözüm 1: Çemberin dörtgeninin kenarlar na te et oldu u noktalar,, G olsun. [ n üzerinden ' olacak ekilde bir ' noktas alal m. O ' üçgenini, O üçgeninin O noktas etraf nda döndürülmesi ile elde edilmi gibi de dü ünebiliriz. ' O O o olur. kiri ler dörtgeni oldu undan d r. ' iç aç lar toplam ndan dersek GO O üçgeninin O ' d r. ' O üçgeni ikizkenar olup öylece O ' G (1) ' G olacak ekilde bir ' elde edilir. enzer ekilde üzerinden alal m. O üçgeninin O noktas etraf nda döndürülmesi ile elde edilmi gibi de dü ünebiliriz. uradan O ' G G' G (2) oldu unu görebiliriz. (1) ve (2) e itliklerini taraf tarafa toplarsak bulunur. O' G üçgenini, G G O ekil 2.29 O ekil 2.29

9 3.ÖÜM: O RUSIK ve NOKT IK 187 Problem 3.3: te etler dörtgeninin iç te et çemberi, [], [], [], [] kenarlar na s ras yla,, G, H noktalar nda te et ise,, GH do rular n n ya noktada ya da paralel olaca n kan tlay n z. Önce te etler dörtgeninde GH // ise // olaca n gösterelim. HG ~ oldu undan H H yaz l r. akat den çembere çizilen te et parçalar n n uzunluklar e it G G oldu undan H G dir. öylece H G olur. yr ca dir. Tüm bu e itliklerle birlikte, bir te etler dörtgeninde oldu undan bulunur. una göre orant s sa lan r ve dolay s yla // olur. Sonuç olarak,, GH do rular n n herhangi ikisi paralel ise üçüncüsü de bunlara paralel olmak zorundad r. Herhangi iki do ru paralel iken üçüncü do ru, bu paralelleri kesemez. ( ekil 3.3 ) P H H G ekil 3.3 G ekil 3.3 imdi de ile do rular n n bir P noktas nda kesi ti ini varsayal m. GH n n da bu P noktas ndan geçti ini kan tlayaca z. ikizkenar üçgen oldu undan P d r. ile

10 188 O MP YTR Ç N ÜZM GOMTR bütünler oldu undan bunlar n sinüsleri de e ittir. olay s yla sin P sin P dir. P ve P üçgenlerinde sinüs teoremi uygulan rsa P sin P sin P P sin P sin P olur. (1) ve (2) den P (3) P (1) (2) elde edilir. GH ile nin kesi imi P' P ' H (4) G oldu u gösterilebilir. P P P P 1 P ' P ' P ' P ' P' P elde edilir. O halde P ve P ' noktalar çak kt r.,, GH do rular ayn P nok- olup tas ndan geçer. P ' olsun. enzer i lemler ile H, G dir. (3), (4) e itliklerinden ve orant özelliklerinden Problem 3.4: ir dörtgenin kar kenar çiftlerinin orta noktalar n birle tiren do ru parçalar ile kö egenlerin orta noktalar n birle tiren do ru parças n n tek noktada kesi ti ini ve bu üç do ru parças n n her biri di erini ikiye böldü ünü gösteriniz. dörtgeninde K,, M, N, üzerinde bulunduklar kenarlar n orta noktalar ve X,Y üzerinde bulunduklar kö egenlerin orta noktalar olsun. NK ve oldu undan N K 1 2 NK ~ (K..K) ve NK // dir. enzer ekilde M //, NM //, K // oldu u gösterilebilir. öylece NK // M ve NM // K olup KMN bir paralelkenard r. olay s yla [KM] ve [N] kö e-

11 256 O MP YTR Ç N ÜZM GOMTR P ve Q do rular n n kesi imi olsun. PQ ve üçgenleri homotetik oldu undan çevrel çemberleri noktas nda te ettir. Paralellikten dolay PQ P PRQ olup PQR ve dörtgenleri çemberseldir. öylece ve PQR nin çevrel çemberleri noktas nda te et olur. P R Q Problem 3.57: ekil 3.56 ar aç l üçgeninde [] nin orta noktas M dir. [M] do ru parças üzerinden PM M olacak ekilde bir P noktas al n yor. P den ye çizilen dikme aya H d r. H dan P ye çizilen dik do ru ile nin kesi imi Q dur. H dan P ye çizilen dik do ru ile nin kesi- imi R dir. QHR üçgeninin çevrel çemberinin ye H noktas nda te et oldu unu gösteriniz. (IMO Shortlist 1991) P ile QH n n kesi imi, P ile RH n n kesi imi olsun. PM M M oldu undan P 90 o dir. öylece PH bir dikdörtgen olur. PH oldu undan PH dikdörtgenin çevrel çemberi do rusuna H noktas nda te ettir. P ile nin kesi imi, P ile nin kesi imi G P GP olsun. G // oldu unu (bkz l t rmalar 3.24) biliyoruz. olay s yla dir. HQ// P P ve HR// G oldu undan P P Q H, GP P R H dir. u e itliklerden Q R H elde edilir. Yani // QR dir. öylelikle H ve QRH üçgenleri, H noktas n benzerlik merkezi kabul eden iki homotetik üçgen olup çevrel çemberleri H noktas nda birbirine te ettir. olay s yla QRH üçgeninin çevrel çemberinin do rusuna H da te et oldu unu anlar z. H

12 3.ÖÜM: O RUSIK ve NOKT IK 257 G P R Q Problem 3.58: H M ekil 3.57 olan üçgeninde bir çember, nin çevrel çemberine içten te et ve kenarlara da P, Q noktalar nda te et ise [PQ] do ru parças n n orta noktas n n nin iç te et çemberinin merkezi oldu unu gösteriniz. (IMO 1978) [PQ] nun orta noktas I ve çevrel çembere de te et olan çemberin merkezi O olsun. ekil 3.58 deki gibi iç te et çemberinin merkezi O olan ~ üçgenini çizelim. O ve I noktalar n n homotetik olarak e lenik oldu unu gösterece iz. Simetriden dolay, I, O, noktalar do rusald r. noktas homoteti merkezi olan ~ benzerli inin oran k dir. IP,, PO, dik P I O Q üçgenleri benzer olduklar ndan P O dir. u iki e itlikten I k elde edilir. O I P I O ve olup ekil 3.58

13 264 O MP YTR Ç N ÜZM GOMTR KYNKÇ 1) Plane Geometry, V. Prosolov 2) hallenging Problems in Geometry,. Posamentier,. Salkind 3) Mathematical Olympiads : Olympiad Problems from round the World, T. ndreescu, Z. eng 4) The IMO ompendium,. jukic, V. Jankovic, I. Matic, N. Petrovic 5) US Mathematical Olympiads Summer Program (MOSP) Problems 6) sian Pasific Mathematical Olympiad Problems 7) alkan Mathematical Olympiad Problems 8) 9)