: Bir d do rusu üzerinde; A, B, C ve D noktalar alal m. d. n n uzunlu u denir ve. d d1 d2 F G. E, F d G, H d ve ise. d // d 1 2

Save this PDF as:

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download ": Bir d do rusu üzerinde; A, B, C ve D noktalar alal m. d. n n uzunlu u denir ve. d d1 d2 F G. E, F d G, H d ve ise. d // d 1 2"

Transkript

1 VI. ÖLÜM ÜZLEME VEKTÖRLER YÖNLÜ RU PRÇSI Tan m : üzlemde ve noktalar verilsin. [] n n dan e do ru önlendirildi ini düflünelim. öle do ru parçalar na, önlü do ru parçalar denir. önlü do ru parças, ile gösterilir. Yönlü do ru parças nda; bafllang ç noktas, ise bitim noktas d r. Tan m : ir d do rusu üzerinde;,, ve noktalar alal m. d do rusuna, ve önlü do ru parçalar n n tafl c s ; d do rusunun düzlemindeki konumuna da ve n n do rultusu denir. önlü do ru par- irbirine paralel olan do rular n do rultular an d r. ças nda ön, dan e do rudur. ve noktalar aras ndaki uzakl a, n n uzunlu u denir ve ile gösterilir. ir önlü do ru parças ; önü, uzunlu u ve do rultusu ile bellidir. E d Tan m : Tafl c lar an vea paralel olan önlü do ru parçalar na, paralel önlü do ru parçalar denir. d d d 1 E F G H,,, d ise // E, F d G, H d ve ise 1 d // d 1 EF // GH Tan m : Yönleri z t ve tafl c lar an vea birbirine paralel olan önlü do ru parçalar na, z t (ters) önlü do ru parçalar denir. d d1 d // z t önlü do ru parçalar d r. afllang ç ve bitim noktas an olan önlü do ru parças, ile gösterilir. önlü do ru parças n n uzunlu u s f r, önlü ve do rultusu belirsizdir. 135

2 Tan m : o rultular ve önleri an, uzunluklar eflit olan önlü do ru parçalar na, efl önlü do ru parçalar denir. ve efl önlü do ru parçalar fleklinde gösterilir. ve // ve = az l r. önlü do ru parças na d fl ndaki E noktas ndan EF // ve EF = olacak flekilde bir önlü do ru parças çizilir. urada, EF olur. d 1 E F d EF : Yandaki flekilde;, ve d dir. Uç noktalar, ve olan önlü do ru parçalar n azal m. : önlü do ru parças nda; bafllang ç, bitim noktas d r. önlü do ru parças nda; bafllang ç, bitim noktas d r. d do rusu önlü do ru parças n n do rultusudur. Yönü dan e do rudur.,, ve önlü do ru parçalar nda, bafllang ç ve bitim noktalar n söleiniz. d do rusu ukar da az lan önlü do ru parçalar n n tafl c s d r. d : fiekilde; d 1 // d ve = EF = KL = birim, = GH = MN = 1 birim ise birbirine efl önlü do ru parçalar n ve z t önlü do ru parçalar n azal m. E F d 1 H G K L M N d : EF ile KL ve ile MN n n önleri ve do rultular an, uzunluklar eflit oldu undan; EF KL ve MN d r. ve EF n n do rultular an, uzunluklar eflit olmas na karfl n önleri z t oldu undan; / EF d r. ile GH ;, EF, KL ile MN an önlü do ru parçalar d r. ile GH ;, EF, KL ile MN z t önlü do ru parçalar d r. üzlemde önlü do ru parçalar kümesinde tan ml efl ( ) olma ba nt s n n, denklik ba nt s oldu unu gösterelim. 1. Her önlü do ru parças kendine eflittir. dir. (ans ma özelli i). üzlemin her, önlü do ru parçalar için, olur. ( simetri özelli i) 3. üzlemin her, ve önlü do ru parçalar için, ve EF EF EF olur. (geçiflme özelli i) Yönlü do ru parçalar aras ndaki efl ( ) olma ba nt s n n; ans ma, simetri ve geçiflme özellikleri oldu undan, denklik ba nt s d r. u nedenle önlü do ru parçalar kümesinde efl olma ba nt s, kümei denklik s n flar na a r r. 136

3 LIfiTIRMLR 1. Yandaki önlü do ru parças n n; bafllang ç noktas n, bitim noktas n, do rultusunu, önünü belirtiniz. d. Yandaki üçgeninin kenarlar n n orta noktalar ;, E ve F dir. irbirine efl önlü do ru parçalar n az n z. F E 3. Yandaki eflkenar dörtgeninden ararlanarak, afla da az lan ba nt lar n do ru a da anl fl olduklar n belirtiniz. a. b. c. d. VEKTÖR Tan m : Yönlü do ru parçalar aras ndaki efl olma denklik ba nt s ile ar lan denklik s n flar n n her birine, vektör denir. Vektörler Áu, Áv, Áw,... gibi harflerle gösterilir. Áu vektörü, önlü do ru parças na denk olan bütün önlü do ru parçalar n n temsilcisi olan vektördür. Tan m : afllang ç ve bitim noktas an olan vektörlere, s f r vektörü denir.... Á0 ile gösterilir. ir vektör; önü, do rultusu ve uzunlu u de iflmemek üzere er de ifltirebilir. öle vektörler, eflit vektörlerdir. Áu ve Áq eflit vektörler ise, Áu = Áq fleklinde gösterilir. vektörünün uzunlu u (normu), vea ile gösterilir. Normu (uzunlu u) 1 birim olan vektörü, birim vektör denir. Örne in; = 5 birim ise = 5 birimdir. = 5 birim ise = 5 birimdir. ve vektörlerinin do rultular ve önü an, uzunluklar eflit oldu undan, = vektörüdür. o rultular an önleri z t olan vektörlere ise, z t (ters) vektörler denir. fiekildeki EF ve GH, z t vektörlerdir. E u u u... F EF... u G F E G H M K GH v KL v v H MN... v d N L 137

4 Yandaki flekilde; ve vektörleri do rultular an, uzuklar eflit z t vektörler olup, = az l r. : Yandaki flekilde, paralelkenar nda eflit vektörleri azal m. : []//[] ve = = ve =, []//[] ve = = ve =, = ve,, noktalar do rusald r. = ve = olur. P NL T K ÜZLEME VERTÖRLER Tan m : nalitik düzlemde, ( 1, 1 ) ve (, ) noktalar verilsin. vektörüne eflit ve bafllang ç noktas orijin olan vektörüne, vektörünü çizelim. vektörünün er (vea konum) vektörü denir. = P oldu undan, P paralelkenard r. P(a,b) ise a= 1 ve b= 1 olur. u durumda; ( 1, 1 ) ve (, ) olmak üzere, vektörünün er vektörü, ( 1, 1 )=(a,b) olur. =(a,b) fleklinde gösterilir. a reel sa s na, P konum vektörünün birinci bilefleni; b reel sa s na da ikinci bilefleni denir. ir Vektörün Normu (Uzunlu u) =(a,b) vektörü verilsin. P = a + b bileflenleri cinsinden az l r. =(a,b) er vektörünün uzunlu u (normu), P vea P ile gösterilir. P P dik üçgeninden, nalitik düzlemde her ( 1, 1 ) noktas na, =( 1, 1 ) er vektörü karfl l k gelir. Her vektöre de analitik düzlemde bir nokta karfl l k gelir. vektörü erine Á vektörü de az labilir. : (,3), (3,5) noktalar verilior. nün er vektörünün bileflenlerini bularak uzunlu unu hesaplaal m. olur. P : =( 1, 1 )=(3,5 3)=(1,) P = =(1,) den, vektörünün birinci bilefleni 1 ve ikinci bilefleni vektörünün normu, P = P = a + b = 1 + = 5 birim bulunur. : (, 3) ve (a, 1) noktalar verilior. =5 birim ise a reel sa lar n bulal m. : =(a,1+3) = (a ) + 4 = 5 (a ) = 9 oldu undan a = 5 vea a = 1 bulunur. P P 5 3 ( 1, 1 ) P (, ) P(a, b) 3 P(a, b) P 138

5 ki Vektörün Eflitli i Á( 1, 1 ) ve Á(, ) vektörleri verilsin. Á = Á 1 = ve 1 = dir. : Á=(a+b,4), Á=( 1,b a) vektörleri verilior. Á=Á ise a+b de erini bulal m. : Á = Á (a+b,4) = ( 1,b a) a+b = 1 ve 4 = b a olur. a + b = 1 = 4 b = 1 ve a = 3 tür. uradan, a+b = 3+1 = bulunur. : (3,a) ve (b, ) noktalar verilior. = ( 3,) ise a+b de erini bulal m. : = (b 3, a) = ( 3,) b 3 = 3 b = 0, a = a = 4 a + b = 4 olur. ki Vektörün Toplam ve Fark nalitik düzlemde, Á=( 1, 1 ) ve Á=(, ) vektörleri verilsin. Á + Á = ( 1 +, 1 + ) ve Á Á = ( 1, 1 ) fleklinde tan mlan r. fiekilde, ve vektörlerinin toplam paralelkenar kural na göre vektörüdür. ( 1, 1 ) Á = ( 1, 1 ) = (, ) Á = (, ) paralelkenar nda, ( 1 +, 1 + ) dir. u durumda, Á + Á = Á = ( 1 +, 1 + ) ve (, ) = Á Á = ( 1, 1 ) olur. (X 1, +, + ) 1 (, ) : Á = ( 3,4) ve Á = (1,) vektörleri verilsin. Á + Á ve Á Á vektörlerini bulal m. ( 3, 4) + = (, 6 ) 6 4 : Á = ( 3,4) ve Á = (1,) vektörleri için, Á + Á = ( 1 +, 1 + ) = ( 3+1,4+)=(,6) Á Á = ( 1, 1 ) = ( 3 1,4 )=( 4,) olur. = ( 4, ) (1, ) : (1,) ve ( 3, ) noktalar ile Á = ( 1,5) vektörü verilior. + Á ve Á vektörlerini bulal m. : = Á Á = ( 3 1, ) = ( 4, 4) olur. Á + Á = ( 4, 4) + ( 1,5) = ( 4 1, 4 + 5) = ( 5,1) ve = ( 1,5) ( 4, 4) = ( 1 + 4,5 + 4) = (3,9) bulunur. 139

6 Vektörler Kümesinde Toplama flleminin Özellikleri üzlemde vektörler kümesi V olsun: 1. Á, Á V için Á, Á V dir. ki vektörün toplam ine bir vektör oldu undan, V vektörler kümesi toplama ifllemine göre kapal d r. Á=( 1, 1 ) ve Á=(, ) ise Á +Á=( 1 +, 1 + )=( 0, 0 )=Á V dir.. Á, Á V için Á + Á = Á + Á dür. V kümesinde toplama iflleminin de iflme özelli i vard r. Á=( 1, 1 ) ve Á=(, ) ise Á +Á=( 1 +, 1 + )=( + 1, + 1 )= Á + Á olur. 3. Á, Á, Á V için Á + (Á + Á)=(Á + Á) + Á dür. V kümesinde toplama iflleminin birleflme özelli i vard r. Á=( 1, 1 ), Á=(, ) ve Á=( 3, 3 ) ise, Á + (Á + Á)=( 1, 1 )+( + 3, + 3 )=( , )=( 1 +, 1 + )+( 3, 3 ) = (Á + Á) + Á oldu u görülür. 4. Á V için Á + Á0 = Á0 + Á = Á olur. Á0 vektörü, toplama iflleminin birim (etkisiz) eleman d r. Á=( 1, 1 ) ve Á0=(0,0) ise Á +Á0=( 1 +0, 1 +0)=( 1, 1 )=Á olur. 5. Á V için Á + Á = Á + Á = Á0 olacak flekilde, Á = Á vard r. Á vektörüne, Á vektörünün toplama ifllemine göre tersi denir. Á=( 1, 1 ) ve Á= Á =( 1, 1 ) ise Á +Á=( 1 1, 1 1 )=(0,0)= Á0 dür. Á=( 1, 1 ) vektörünün toplama ifllemine göre tersi, Á =( 1, 1 ) vektörüdür. ir Vektörün ir Reel Sa ile Çarp m V vektörler kümesinde her Á = ( 1, 1 ) vektörü ve k R için k.á = k.( 1, 1 ) = (k. 1,k. 1 ) fleklinde tan mlan r. k.á = Á olsun. k < 0 ise, Á ile Á ters önlü ve Á = k Á, k > 0 ise, Á ile Á an önlü ve Á = k Á, k = 0 ise, Á = Á0 olur. k 0 ve Á = k.á ise; Á ve Á vektörlerinin do rultular an oldu undan, Á // Á dür. : Á = ( 1,) ve Á = (,3) vektörleri verilior. Á 3Á vektörünü bulal m. : Á = ( 1,), = (,3) vektörleri için, Á 3Á = ( 1,) 3(,3) = (,4) + ( 6, 9) = ( 6,4 9) = ( 8, 5) olur. : Á = (, 1), Á = (3,1) ve Á = (1, 4) vektörleri verilior. Á + Á = Á ise ve reel sa lar n bulal m. Á + Á = Á + 3 = 1 + = 4 : Á=(, 1), Á=(3,1) ve Á=(1, 4) vektörleri için, (, 1)+(3,1)=(1, 4) (, )+(3,)=(1, 4) (+3, +)=(1, 4) olur. uradan, denklem sistemi elde edilir. u sistemin çözümünden, 140 = 13 5, = 7 5 bulunur.

7 VEKTÖRLER N R REEL SYI LE ÇRPIMININ ÖZELL KLER Á=( 1, 1 ) ve Á=(, ) vektörleri verilsin. k, p R ise: 1. k.(á+á)=ká+ká dür. k.(á+á)=k.( 1 +, 1 + )=(k 1 +k,k 1 +k )=(k 1,k 1 )+(k,k )=k.( 1, 1 )+k.(, )=k.á+ká olur.. (k+p)á=ká+pá dür. (k+p)á=(k+p)( 1, 1 ) = ((k+p). 1, (k+p). 1 )=(k 1 +p 1, k 1 +p 1 ) = (k 1, k 1 ) + (p 1, p 1 ) = k.( 1, 1 ) + p.( 1, 1 ) = ká+pá olur. 3. k.(p.á) = p.(k.á) = (k.p)á dür. k.(p.á) = k.(p.( 1, 1 )) = k.(p 1,p 1 ) = (kp 1,kp 1 ) = (kp)( 1, 1 ) = k.p.á olur Á = 1( 1, 1 ) = ( 1, 1 ) = Á 1.Á = 1( 1, 1 ) = ( 1, 1 ) = Á 0.Á = 0( 1, 1 ) = (0,0) = Á0 k.á0 = k(0,0) = (0,0) = Á0 olur. K VEKTÖRÜN PRLELL Á Á0, Á Á0 ve k 0 olmak üzere, Á=k.Á Á // Á dür. Á=( 0, 0 ) ve Á=( 1, 1 ) ise ( 0, 0 )=k( 1, 1 ) ( 0, 0 )=(k 1,k 1 ) 0 = k 1 ve 0 = k 1 eflitliklerinden, 0 1 = 0 1 = k olacakt r. ulunan oran, iki vektörün paralellik flart d r. : Á= (a 1,) ve Á (3, 4) vektörleri verilior. Á // Á ise Á vektörünün normunu bulal m. : // Á Á=kÁ dür. (a 1,)=k(3, 4) (a 1,)=(3k, 4k) a 1=3k ve = 4k olur. uradan, a 1 3 = 4 = k a = 1 bulunur. 9 Á= 1 dir. Á vektörünün normu, Á = olur = 5 4 = 5 1, = 3, : (3, ), ( 1,5) noktalar ile Á=(a, a+1) vektörleri verilior. // Á ise a de erini bulal m. : = = ( 1,5) (3, )=( 1,5)+( 3,)=( 4,7) 4 // Á 8a 4=7a 14 a= a = 7 a +1 3 bulunur. : Á=(,1), Á=( 1,4) ve Á=(0, 3) vektörleri verilior. + 3 vektörünün uzunlu- unu bulal m. : = Á Á=( 1,4) (,1)=( 3, 3) ve = Á Á= (0, 3) ( 1,4)=(1, 7) bulunur. + 3 = ( 3,3)+3(1, 7)=( 6+3,6 1)=( 3, 15) bulunur. Vektörün uzunlu u ise, + 3 = ( 3) +( 15) = = 34 = 3 6 birim 141

8 LIfiTIRMLR 1. nalitik düzlemde; ( 1,3), (, 3) ve ( 1, 4) noktalar verilior., ve vektörlerinin bileflenlerini bulunuz.. Á=(3,5), Á=(0, 4), Á=( 7,0) ve Á=(, 5) vektörlerini analitik düzlemde gösteriniz. 3. (,5) ve (1,1) noktalar verilior. vektörünü ve konum (er) vektörünü analitik düzlemde gösteriniz. vektörünün normunu bulunuz. 4. (7, 5) ve (a, 3) noktalar verilior. =17 ise a reel sa lar n bulunuz. 5. (,3), ( 5, 1), (a, ) ve (4,b) noktalar verilior. = ise a ve b reel sa lar n bulunuz. 6. Á=(3, 1) ve Á=(6,11) vektörleri verilior. a) Á ve Á vektörlerinin toplama ifllemine göre terslerini bulunuz. b) Á + Á ve Á Á vektörlerini bulunuz. c) ve vektörlerini bulunuz. 7. (,7), ( 6,3) ve ( 3,4) noktalar verilior. a) + ve vektörlerini bulunuz. b) ve 3 + vektörlerini bulunuz. 8. Á + Á= ( 4, 5) ve Á 3Á=( 18, 5) ise Á ve Á vektörlerini bulunuz. 9. = (8, 3) ve Á= ( 1, 9) ise Á nu hesapla n z. 10. Á= ( 1, ), Á= (4, 1) ve Á= ( 16, 11) vektörleri verilior. Á + Á= Á eflitli ini sa laan ve reel sa lar n bulunuz. 11. Á=(3, 1) ve Á=(a+1, 3 a) vektörleri verilior. Á // Á ise a de eri kaçt r? 1. =(5, 8) ve Á=(3, k) vektörleri verilior. Á // Á ise k de eri kaçt r? 13. (7, 4) ve (4, a) noktalar ile Á= (6, 8) vektörü verilior. // Á ise vektörünün uzunlu- unu bulunuz. 14

9 R M VEKTÖR Tan m : Uzunlu u 1 birim olarak vektöre, birim vektöre denir. Á = 1 birim ise, Á vektörü birim vektördür. : Á= 5 1, vektörünün birim vektör oldu unu gösterelim : Á = = birim olur = = 1 u durumda Á vektörü birim vektördür. nalitik düzlemde Áe 1 = (1, 0) ve Áe = (0, 1) birim vektörlerine, taban birim vektörler denir. u vektörler; standart (temel vea baz) birim vektörleri olarak da adland r l r. Áe 1 ata birim vektörü, ÁΙ ile Áe düfle birim vektörü, Áj ile gösterilir. ir Á vektörü ile an önde ve do rultuda ÁΙ gibi bir birim vektör vard r. Á=( 1, 1 ) vektörü ile an do rultu ve e = (0, 1) e 1 = (1, 0) öndeki birim vektör, ÁÁΙ = 1. vea = ( 1, 1 ) ÁÁΙ = , dir. Çünkü I 1 ÁÁΙ = birim = = ve ÁÁΙ = k.á k = > 0 = 1. oldu undan, ÁÁΙ ile Á vektörleri an önde ve do rultudad r. : Á=( 1, ñ3) vektörü ile an do rultudaki birim vektörleri bulal m. : Á=( 1, ñ3) vektörü için, Á = ( 1) + ( 3) = dir. Á ile an öndeki birim vektör, ÁΙ 1 = Á ile ters öndeki birim vektör, ÁΙ = 1. = 1 ( 1, 3) = 1, 3 1. = 1 ( 1, 3) = 1, ve bulunur.

10 VEKTÖRLER N L NEER LEfi M Tan m : Á ve Á vektörleri verilsin., R olmak üzere.á +.Á= Á ise Á vektörüne, Á ve Á vektörlerinin lineer bileflimi denir. V vektörler kümesinin her eleman Á ve Á vektörlerinin lineer bileflimi fleklinde az labiliorsa; {Á, Á} kümesi V kümesini gerer (örter) denir. Örne in, Á= ( 5, 3) ve Á= (, 7) vektörleri için, Á= Á Á= ( 1, 1) Á= 4Á+3Á= ( 14, 33) vektörleri Á ve Á vektörlerinin lineer bileflimidir. : Á=(, 3) vektörünü, Á= ( 1,3) ve Á= (1, ) vektörlerinin lineer bileflimi fleklinde azal m. : Á= (, 3) vektörü Á= ( 1, 3) ve Á= (1, ) vektörlerinin lineer bileflimi ise;, R olmak üzere, Á= Á+Á dür. (, 3)= ( 1, 3)+(1, ) ve (, 3) = ( +, 3 ) olur. + = denklem sisteminde, = 1 ve = 3 olur. uradan, Á= Á 3Á fleklinde az l r. 3 = 3 : Á = ( 1, 0) ve Á=(0,) vektörleri verilior. {Á, Á} kümesinin V= RR vektörler kümesini gerdi ini gösterelim. : Á V için Á + Á = Á = (a,b) olsun. ( 1, 0) + (0, ) = (a, b) (, 0) + (0, ) = (a, b) (, )=(a, b) den = a ve = b bulunur. Á vektörü, Á ve Á vektörlerinin lineer bileflimi fleklinde az ld ndan {Á, Á} kümesi V vektörler kümesini gerer. üzlemde her Á = ( 1, 1 ) vektörünü taban birim vektörlerin lineer bileflimi fleklinde azabiliriz. fiekilden; = P +P = 1 Áe Áe olur. = (1, 1 ) 1 e Çünkü Á = ( 1, 1 )= 1 (1,0)+ 1 (0,1) = 1 Áe Áe fleklinde de ifade edilebilir. Á= 1 Áe Áe vektörlerindeki 1 Áe 1 vektörüne, vektörünün ata e bilefleni; 1 Áe vektörüne de, düfle bilefleni denir. e 1 1 e P 1 : Á= ( 7, 6) vektörünü Áe 1 ve Áe vektörlerinin lineer bileflimi olarak azal m. : Á= ( 7, 6)= 7(1, 0) + 6(0, 1)= 7 Áe 1 + 6Áe olur. : Á= Áe 1 5Áe ve Á= 3 Áe 1 + 4Áe vektörleri verilior. Á+Á normunu bulal m. : Á= Áe 1 5Áe =(, 5) ve Á= 3 Áe 1 + 4Áe = ( 3, 4) tür. Á+Á=( 3) Áe 1 +( 5+4)Áe = Áe 1 Áe =( 1, 1) oldu undan, Á+Á = ( 1) + ( 1) = birimdir. 144

11 ki Vektörün Lineer a ml l Tan m : üzlemde s f rdan farkl Á ve Á vektörleri verilsin. k 1 Á + k Á= Á0 eflitli ini sa laan en az biri s f rdan farkl k 1 ve k reel sa lar varsa, Á ve Á vektörlerine, lineer (do rusal) ba ml vektörler denir. k 1 ve k nin en az biri s f rdan farkl ve k 1 Á + k Á= Á0 ise Á= u durumda düzlemde Á ve Á vektörleri lineer ba ml ise Á // Á olur..á vea Á= k.á ise, Á // Á dür. : Á= (3, 4) ve Á= ( 9, 1) vektörlerinin lineer ba ml oldu unu gösterelim. : k 1 Á + k Á= Á0 k 1 (3, 4) + k ( 9, 1)= (0, 0) (3k 1 9k, 4k 1 + 1k )= (0, 0) 3k 1 9k = 0 denklem sisteminin k 1 = 3k fleklindeki sonsuz çözümü oldu undan, 4k 1 +1k = 0 Á ve Á vektörleri lineer ba ml d r vea Á= 3Á oldu undan, Á // Á dür. ulunan bu sonuç, vektörlerin lineer ba ml oldu unu gösterir. : Á= Áe 1 + Áe ve Á=m Áe 1 6Áe vektörleri lineer ba ml ise m de erini bulal m. : Á= Áe 1 + Áe = ( 1, ) ve Á=m Áe 1 6Áe = (m, 6) bulunur. Á ve Á vektörleri lineer k k 1 ba ml ise Á // Á ve 1 m = 6 olmal d r. uradan, m= 3 bulunur. : üzlemdeki her vektörün s f r vektörü ile lineer ba ml oldu unu gösterelim. : Á= ( 1, 1 ) olsun. k 1, k R olmak üzere k 1 Á + k Á0 = Á0 eflitli i, k 1 = 0 ve k 0 için daima sa lan r. Tan m gere ince, Á ve Á0 vektörleri lineer ba ml d r. Lineer a ml Vektörler Kümesi V= {Á 1, Á, Á 3,..., Á n } vektörler kümesi ile k 1, k, k 3,...,k n R sa lar verilsin. k 1, k, k 3,...,k n reel sa lar ndan en az biri s f rdan farkl olmak üzere k 1 Á 1 + k Á + k 3 Á k n Á n = Á0 eflitli i sa lan orsa V kümesine, lineer (do rusal) ba ml vektörler kümesi denir. : Á= (6, 4) ve Á= ( 9, 6) vektörleri verilior. {Á, Á} kümesinin lineer ba ml küme oldu unu gösterelim. : 6 oldu undan, Á // Á dür. u durumda k 1 Á + k Á= Á0 eflitli inde k 1 ve k den 9 = 4 6 en az biri s f rdan farkl d r. hâlde, {Á, Á} kümesi lineer ba ml bir kümedir. : Á= (1, ), Á= ( 1, 3) ve Á= (4, ) vektörleri verilior. {Á, Á, Á} kümesinin lineer ba- ml oldu unu gösterelim. :,, z R için; Á + Á + zá= Á0 (1, ) + ( 1, 3) + z(4, )= (0, 0) ( +4z, +3 z) = (0, 0) + 4z = 0 denklem sistemi elde edilir. z= k olsun. u de eri denklemlerde erine azal m. + 3 z = 0 = 4k denklem sistemi elde edilir. u sistemin çözümünden; = k, = k bulunur. + 3 = k Á + Á + zá= Á0 sisteminde;, ve z den en az biri için s f rdan farkl çözümünün oldu u görülür. 145

12 uradan; k=1 al rsak, Á + Á + Á= Á0 olur. u durumda {Á, Á, Á} kümesi lineer ba ml bir kümedir. Á + Á + Á= Á0 Á = Á Á fleklinde Á vektörü, Á ve Á vektörlerinin lineer bileflimi olarak az labilir. üzlemde bu üç vektör lineer ba ml oldu undan herhangi birini di er ikisinin lineer bileflimi fleklinde azabiliriz. 35 : Á = (k 1, ) ve Á= (, k+1) vektörleri lineer ba ml iki vektör ise pozitif k sa s kaçt r? Tan m : ir eleman Á0 vektörü olan her vektör kümesi Lineer ba ml bir vektör kümesidir. : Áϑ= (Á0, (m 1) Áa 1, (n ) Áa, (k 3) Áa 3 ) vektör kümesi verilsin Áϑ vektörü lineer ba ml bir vektör kümesi ise m+n+k toplam kaçt r? : Á // Á olmal d r. 35 k 1 = k k 1=. k = 36 k= +6 bulunur. k= 6 IR + : t.á0 + (m 1) Áa 1, (n ) Áa, (k 3) Áa 3 = Á0 t= 1 ve m 1= 0, n = 0, k 3 = 0 m= 1 n= k= 3 oldu undan t= 1 kabul edilirse t 0 olup eflitlik sa land ndan m+n+k= 1++3= 6 bulunur. u durumda Áϑ vektörü lineer ba ml bir vektördür. ki Vektörün Lineer a ms zl Tan m : üzlemde Á Á0 ve Á Á0 olmak üzere k 1 Á + k Á= Á0 eflitli ini sa laan aln z k 1 = k = 0 de erleri varsa Á ve Á vektörlerine, lineer ba ms z vektörler denir. : Á= (, 5) ve Á= (3, 7) vektörlerinin lineer ba ms z olduklar n gösterelim. : k 1 Á + k Á= Á0 k 1 (, 5) + k (3, 7)= (0, 0) (k 1 + 3k, 5k 1 + 7k )= (0, 0) eflitli inden, k 1 + 3k = 0 5k 1 + 7k = 0 sistemi elde edilir. u denklem sisteminin bir tek çözümü, k 1 = k = 0 d r. hâlde, Á ve Á vektörleri lineer ba ms zd r. ki vektör lineer ba ms z ise, paralel de il, ani k R olmak üzere Á k.á dür. : Standart vektörlerin lineer ba ms z oldular n gösterelim. : Áe 1 = (1, 0) ve Áe = (0, 1) için, k 1 Áe 1 + k Áe = Á0 k 1 (1, 0) + k (0, 1)= (0, 0) (k 1, k )= (0, 0) k 1 = k = 0 d r. urada, Áe 1 ve Áe vektörlerinin lineer ba ms z oldu u görülür. u durumda birbirine dik olan iki vektörün lineer ba ms z iki vektör oldu unu söleebilir misiniz? 146

13 LIfiTIRMLR 1. fla daki vektörlerin birim vektör oldu unu gösteriniz. a. Á= 1 b. Á= (cosα, sinα) c. Á=, 3 3 5, 4 5. Á= a, a + 7 vektörü birim vektör ise a reel sa lar n n toplam n bulunuz Á= (1, 7) vektörü ile an do rultudaki birim vektörleri bulunuz. 4. fla daki vektörleri taban (standart) birim vektörlerin lineer bileflimi olarak az n z. a. Á= (3, 0) b. Á= ( 5, 7) c. Á= (, 0) 5. Á= (5, 1), Á= (, 7) ve Á= (5, 3) vektörleri verilior. Á + Á= Á ise ve de erlerini bulunuz. 6. Á= Áe 1 + 3Áe, Á= 5Áe 1 Áe vektörleri verilior. 3Á 5Á vektörünü ve uzunlu unu bulunuz. 7. Á= (k 1, 3), Á= (1, k+1) vektörleri lineer ba ml ise k de erlerini bulunuz. 8. Á= (3, 1), Á= (, a) ve Á= (b, 1) vektörleri verilior. = ise a + b kaçt r? 9. Á= (1, ), Á= (3, 1) ve Á= ( 3, 8) vektörleri verilior..á +.Á= Á eflitli ini sa laan ve de erlerinin toplam kaçt r? 10. Á= (m + 1, 3) ve Á= (m, ) vektörleri lineer ba ml ise m kaçt r? 11. (3, 4), (, 1), (m, 7) ve (4, m + 9) noktalar verilior. // ise m de eri kaçt r? 147

ÜN TE IV. DÜZLEMDE VEKTÖRLER

ÜN TE IV. DÜZLEMDE VEKTÖRLER ÜN TE IV. DÜZLEMDE VEKTÖRLER 1. YÖNLÜ DO RU PRÇSI I. Yönlü Do ru Parças n n Tan m I I. Yönlü Do ru Parças n n Uzunlu u III. Yönlü Do ru Parças n n Tafl y c s IV. S f r Yönlü Do ru Parças V. Paralel Yönlü

Detaylı

ÜN TE I. ANAL T K DÜZLEM

ÜN TE I. ANAL T K DÜZLEM ÜN TE I. ANAL T K DÜZLEM 1. G R fi. SAYI DO RUSU. ANAL T K DÜZLEM 4. K NOKTA ARASINDAK UZAKLIK 5. B R DO RU PARÇASININ ORTA NOKTASININ KOORD NATLARI 6. B R DO RU PARÇASINI, VER LEN B R ORANDA BÖLEN NOKTALARIN

Detaylı

ÜN TE II. UZAYDA VEKTÖR, DO RU VE DÜZLEM N ANAL T K NCELENMES

ÜN TE II. UZAYDA VEKTÖR, DO RU VE DÜZLEM N ANAL T K NCELENMES ANAL T K GEOMETR ÜN TE II. UZAYDA VEKTÖR, DO RU VE DÜZLEM N ANAL T K NCELENMES 1. ANAL T K UZAY. ANAL T K UZAY D A D K KOORD NAT EKSENLER VE ANAL T K UZAY I. Analitik uzayda koordinat sistemi II. Analitik

Detaylı

ÜÇGEN LE LG L TEMEL KAVRAMLAR

ÜÇGEN LE LG L TEMEL KAVRAMLAR III. ÖLÜM ÜÇGN L LG L TML KVRMLR Tan m (Çokgen) : n > olmak üzere, bir düzlemde 1,, 3,..., n gibi birbirinden farkl, herhangi üçü do rusal olmayan n nokta verilsin. Uç noktalar d fl nda kesiflmeyen [ 1

Detaylı

Homoteti (Homothety) DÖNÜfiÜMLERLE GEOMETR. Düzlemde M sabit bir nokta ve k bir reel say olmak

Homoteti (Homothety) DÖNÜfiÜMLERLE GEOMETR. Düzlemde M sabit bir nokta ve k bir reel say olmak ÖNÜfiÜLRL GTR ¾ Homoteti (Homothet) üzlemde sabit bir nokta ve k bir reel sa olmak üzere; P = + k.(p ) ÖRNK üzlemde (5, 6) noktas n n (, 7) merkezli ve k = oranl homoteti ini bulal m. eflitli ini sa laan

Detaylı

MATEMAT K TEST. 3. a ve b reel say lar olmak üzere, 3 a = 4 ve 3 2a b 3 = 8 oldu una göre,

MATEMAT K TEST. 3. a ve b reel say lar olmak üzere, 3 a = 4 ve 3 2a b 3 = 8 oldu una göre, MTMT K TST KKT! + u testte 80 soru vard r. + u test için ar lan cevaplama süresi 5 dakikad r. + evaplar n z, cevap ka d n n Matematik Testi için ar lan k sma iflaretleiniz.. a, b, c pozitif reel sa lard

Detaylı

Do ufl Üniversitesi Matematik Kulübü nün

Do ufl Üniversitesi Matematik Kulübü nün Matematik ünas, 003 Güz o ufl Üniversitesi Matematik Kulübü Matematik Yar flmas /. ölüm o ufl Üniversitesi Matematik Kulübü nün üniversitenin ö retim üelerinin de katk - lar la düzenledi i liseleraras

Detaylı

Yukar daki kare ve dikdörtgene göre eflitlikleri tan mlay n z. AB =... =... =... =...

Yukar daki kare ve dikdörtgene göre eflitlikleri tan mlay n z. AB =... =... =... =... Üçgen, Kare ve ikdörtgen MTEMT K KRE VE KÖRTGEN Kare ve ikdörtgenin Özellikleri F E Kare ve dikdörtgenin her kenar uzunlu u birer do ru parças d r. Kare ve dikdörtgenin kenar, köfle ve aç say lar eflittir.

Detaylı

ÜN TE III. ÇEMBER N ANAL T K NCELENMES

ÜN TE III. ÇEMBER N ANAL T K NCELENMES ÜN TE III. ÇEMBER N ANAL T K NCELENMES 1. G R fi. ÇEMBER N DENKLEM 3. MERKEZLER R J NDE, EKSENLER ÜZER NDE V E YA EKSENLERE T E E T LAN ÇEMBERLER N DENKLEM 4. ÇEMBER N GENEL DENKLEM 5. VER LEN ÜÇ NKTADAN

Detaylı

ÜN TE I. KON KLER N ANAL T K NCELENMES

ÜN TE I. KON KLER N ANAL T K NCELENMES ÜN TE I. KON KLER N ANAL T K NCELENMES 1. G R fi. EL PS I. Tan mlar II. Elipsin eksenleri ve özel noktalar a. Asal eksen b. Yedek eksen c. Merkezil elips d. Elipsin köfleleri e. Elipsin odak noktalar f.

Detaylı

Do ufl Üniversitesi Matematik Kulübü Matematik Bireysel Yar flmas 2005 Soru ve Yan tlar

Do ufl Üniversitesi Matematik Kulübü Matematik Bireysel Yar flmas 2005 Soru ve Yan tlar Matematik ünyas, 2005 Yaz o ufl Üniversitesi Matematik Kulübü Matematik ireysel Yar flmas 2005 Soru ve Yan tlar 1. Maliyeti üzerinden yüzde 25 kârla sat lan bir mal n sat fl fiyat ndan yüzde onluk bir

Detaylı

ege yayıncılık Parabolün Tan m ve Tepe Noktas TEST : 49 1. Afla daki fonksiyonlardan hangisinin grafi i bir parabol belirtir?

ege yayıncılık Parabolün Tan m ve Tepe Noktas TEST : 49 1. Afla daki fonksiyonlardan hangisinin grafi i bir parabol belirtir? Parabolün Tan m ve Tepe Noktas TEST : 9. Afla daki fonksionlardan hangisinin grafi i bir parabol belirtir? 5. Afla daki fonksionlardan hangisi A(,) noktas ndan geçer? A) f() = B) f() = f() = + f() =. f()

Detaylı

ÖRNEK 1: Üç basamakl 4AB say s, iki basamakl BA say s n n 13 kat ndan 7 fazlad r. Buna göre, BA say s kaçt r? ÖRNEK 2:

ÖRNEK 1: Üç basamakl 4AB say s, iki basamakl BA say s n n 13 kat ndan 7 fazlad r. Buna göre, BA say s kaçt r? ÖRNEK 2: MATEMAT K SAYILAR - I ÖRNEK : Üç basamakl 4AB sa s, iki basamakl BA sa s n n kat ndan fazlad r. Buna göre, BA sa s kaçt r? A) B) 25 C) 2 D) 2 E) 2 (ÖSS - ) ÖRNEK 2: Dört basamakl ABCD sa s, üç basamakl

Detaylı

2. Afla daki çokgenlerden hangisi düzgün. 1. Afla dakilerden hangisi çokgen de ildir? çokgen de ildir? A) B) A) B) C) D) C) D)

2. Afla daki çokgenlerden hangisi düzgün. 1. Afla dakilerden hangisi çokgen de ildir? çokgen de ildir? A) B) A) B) C) D) C) D) Ad : Soyad : S n f : Nu. : Okulu : Çokgenler Dörtgenler MATEMAT K TEST 15 1. Afla dakilerden hangisi çokgen de ildir? 4. Afla daki çokgenlerden hangisi düzgün çokgen de ildir? 2. Afla daki çokgenlerden

Detaylı

Do ufl Üniversitesi Matematik Kulübü Matematik Bireysel Yar flmas 2004 Soru ve Yan tlar

Do ufl Üniversitesi Matematik Kulübü Matematik Bireysel Yar flmas 2004 Soru ve Yan tlar o ufl Üniversitesi Matematik Kulübü Matematik ireysel Yar flmas 2004 Soru ve Yan tlar Soru. S f rdan farkl bir a say s için sonsuz ondal klarla oluflan ifadesinin de eri nedir? ise, Soru 2. 0 < < 0 olmak

Detaylı

DO RUNUN ANAL T K NCELENMES

DO RUNUN ANAL T K NCELENMES II. ÖLÜM D RUNUN NL T K NELENMES Düzleme vea uzaa noktalar n erinin belirtilmesi amac la çeflitli sistemler gelifltirilmifltir. Geometrinin temel eleman olan nokta, sa ikilisi vea üçlüsüle temsil eilmifltir.

Detaylı

GEOMETR 7 ÜN TE III S L ND R

GEOMETR 7 ÜN TE III S L ND R ÜN TE III S L ND R 1. S L ND R K YÜZEY VE TANIMLAR 2. S L ND R a. Tan m b. Silindirin Özelikleri 3. DA RESEL S L ND R N ALANI a. Dik Dairesel Silindirin Alan I. Dik Dairesel Silindirin Yanal Alan II. Dik

Detaylı

GEOMETR 7 ÜN TE II P RAM T

GEOMETR 7 ÜN TE II P RAM T ÜN TE II P RAM T 1. P RAM TLER N TANIMI. DÜZGÜN P RAM T a. Tan m b. Düzgün Piramidin Özelikleri. P RAM D N ALANI a. Düzgün Olmayan Piramidin Alan b. Düzgün Piramidin Alan 4. P RAM D N HACM 5. DÜZGÜN DÖRTYÜZLÜ

Detaylı

6. SINIF MATEMAT K DERS ÜN TELEND R LM fi YILLIK PLAN

6. SINIF MATEMAT K DERS ÜN TELEND R LM fi YILLIK PLAN SAYLAR Do al Say lar Parças ve fl n 6. SNF MATEMAT K DERS ÜN TELEND R LM fi YLLK PLAN Süre/ KAZANMLAR Ders AÇKLAMALAR 1. Do al say larla ifllemler yapmay gerektiren problemleri çözer ve kurar. Do al say

Detaylı

Yönlü doğru parçası: Zıt yönlü doğru parçaları: Eş yönlü doğru parçaları: Örnek-1. Paralel yönlü doğru parçaları:

Yönlü doğru parçası: Zıt yönlü doğru parçaları: Eş yönlü doğru parçaları: Örnek-1. Paralel yönlü doğru parçaları: Yönlü doğru parçası: Zıt yönlü doğru parçaları: Eş yönlü doğru parçaları: Örnek-1 Paralel yönlü doğru parçaları: 1 Örnek-2 Vektör: Örnek-3 Sıfır vektörü: Eşit vektörler: Örnek-4 Bir vektörü bir reel sayı

Detaylı

MATEMAT K 1 ÜN TE II KÜMELER

MATEMAT K 1 ÜN TE II KÜMELER ÜN TE II KÜMELER 1. TANIM 2. KÜMELER N GÖSTER M a) Liste yöntemi ile gösterimi b) Venn flemas ile gösterimi c) Ortak özelik yöntemi ile gösterimi 3. KÜMELER N KARfiILAfiTIRILMASI a) Kümenin elaman say

Detaylı

GEOMETR 7 ÜN TE V KÜRE

GEOMETR 7 ÜN TE V KÜRE ÜN TE V KÜRE 1. KÜRE a. Tan m b. Bir Kürenin Belirli Olmas c. Bir Küre ile Bir Düzlemin Ara Kesiti 2. KÜREN N ALANI 3. KÜREN N HACM 4. KÜREDE ÖZEL PARÇALAR a. Küre Kufla I. Tan m II. Küre Kufla n n Alan

Detaylı

GEOMETR 7 ÜN TE I PR ZMALAR

GEOMETR 7 ÜN TE I PR ZMALAR ÜN TE I PR ZMALAR 1. PR ZMAT K YÜZEY VE TANIMLAR 2. PR ZMA a. Tan m b. Prizman n Özelikleri 3. D K PR ZMA a. Tan m b. Dik Prizman n Özelikleri 4. E K PR ZMA a. Tan m b. E ik Prizman n Özelikleri 5. DÜZGÜN

Detaylı

ÜN TE II UZAYDA DO RULARIN VE DÜZLEMLER N D KL

ÜN TE II UZAYDA DO RULARIN VE DÜZLEMLER N D KL ÜN TE II UZAYDA DO RULARIN VE DÜZLEMLER N D KL 1. DO RULARIN D KL 2. B R DO RUNUN B R DÜZLEME D KL a. Tan m b. Düzlemde Bir Do ru Parças n n Orta Dikme Do rusu c. Bir Do runun Bir Düzleme Dikli ine Ait

Detaylı

11. SINIF KONU ANLATIMLI. 2. ÜNİTE: KUVVET ve HAREKET 3. Konu TORK, AÇISAL MOMENTUM ve DENGE ETKİNLİK ve TEST ÇÖZÜMLERİ

11. SINIF KONU ANLATIMLI. 2. ÜNİTE: KUVVET ve HAREKET 3. Konu TORK, AÇISAL MOMENTUM ve DENGE ETKİNLİK ve TEST ÇÖZÜMLERİ 11. SINIF ONU ANAIMI 2. ÜNİE: UVVE ve HAREE 3. onu OR, AÇISA MOMENUM ve DENGE EİNİ ve ES ÇÖZÜMERİ 2 2. Ünite 3. onu ork, Aç sal Momentum ve Denge A n n Yan tlar 1. Çubuk dengede oldu una göre noktas na

Detaylı

ÜN TE III L NEER CEB R

ÜN TE III L NEER CEB R ÜN TE III L NEER CEB R MATR SLER Matrisin ki matrisin eflitli i Toplama ifllemi ve özellikleri Matrislerde skalarla çarpma ifllemi ve özellikleri Matrislerde çarpma ifllemi Çarpma ifllemine göre birim

Detaylı

f : R + R, f(x) = log a 0 < a < 1 için f(x) = log a a. f : ;, 4m R, f(x) = log2 x b. f : R + R, f(x) = log 1, f(2) = 2 2

f : R + R, f(x) = log a 0 < a < 1 için f(x) = log a a. f : ;, 4m R, f(x) = log2 x b. f : R + R, f(x) = log 1, f(2) = 2 2 Fonksionlar f : R R, f() = a Fonksionunun Grafi i f : R R, f() = log a Fonksionunun Grafi i a > için f() = a üstel fonksionunun grafi i andaki gibidir. = a a > için f() = log a fonksionunun grafi i andaki

Detaylı

YGS Soru Bankas MATEMAT K Temel Kavramlar

YGS Soru Bankas MATEMAT K Temel Kavramlar 9. 7 = 3.3.3, 07 = 3.3.3 007 = 3.3.3, 0007 = 3.3.3,... Yukar daki örüntüye göre, afla daki say lar n hangisi 81'in kat d r? A) 00 007 B) 0 000 007 C) 000 000 007 D) 00 000 000 007 13. Ard fl k 5 pozitif

Detaylı

TEMEL MATEMAT K TEST

TEMEL MATEMAT K TEST TEMEL MTEMT K TEST KKT! + u bölümde cevaplayaca n z soru say s 40 t r + u bölümdeki cevaplar n z cevap ka d ndaki "TEMEL MTEMT K TEST " bölümüne iflaretleyiniz. 1. 1 3 1 3 1 2 1 2. 5 + 7 iflleminin sonucu

Detaylı

Do ufl Üniversitesi Matematik Kulübü Matematik Yar flmas 2003 Bireysel Yar flma Soru ve Çözümleri

Do ufl Üniversitesi Matematik Kulübü Matematik Yar flmas 2003 Bireysel Yar flma Soru ve Çözümleri o ufl Üniversitesi Matematik Kulübü Matematik Yar flmas 2003 ireysel Yar flma Soru ve Çözümleri olamayaca ndan (çünkü bir kareköke eflit), y = 1/2 bulunur. olay s yla = y 2 = 1/4. 2a + 4b = 6a 3b oldu

Detaylı

Kavram Dersaneleri 8 SAYILAR - I ÖRNEK 23: ÖRNEK 24: a, 5 ve 6 say taban n göstermek üzere, (123) + (1a2) = (2b2) eflitli inde. b kaçt r?

Kavram Dersaneleri 8 SAYILAR - I ÖRNEK 23: ÖRNEK 24: a, 5 ve 6 say taban n göstermek üzere, (123) + (1a2) = (2b2) eflitli inde. b kaçt r? ÖRNEK 3: x y y Bölme ifllemine göre x en az kaçt r? A) 6 B) 9 C) D) 4 E) 4 ÖRNEK 4: a, ve 6 say taban n göstermek üzere, (3) + (a) = (b) eflitli inde a 6 b kaçt r? A) 0 B) C) D) 3 E) 4 ÇÖZÜM 4: ÇÖZÜM 3

Detaylı

TEMEL MATEMAT K TEST

TEMEL MATEMAT K TEST TML MTMT K TST KKT! + u bölümde cevaplayaca n z soru say s 40 t r + u bölümdeki cevaplar n z cevap ka d ndaki "TML MTMT K TST " bölümüne iflaretleyiniz.. + : flleminin sonucu kaçt r? 4. ört do al say afla

Detaylı

BU ÜN TEN N AMAÇLARI

BU ÜN TEN N AMAÇLARI ÜN TE I UZAY GEOMETR 1. UZAY KAVRAMI 2. UZAYIN TEMEL (KONUM) AKS YOMLARI 3. DÜZLEMDE K DO RUNUN B RB R NE GÖRE KONUMLARI 4. UZAYDA K DO RUNUN B RB R NE GÖRE KONUMLARI 5. UZAYDA B R DO RU LE DÜZLEM N B

Detaylı

BU ÜN TEN N AMAÇLARI

BU ÜN TEN N AMAÇLARI ÜN TE I A. KÜMELER 1. Kümeler Aras liflkiler 2. Kümelerle fllemler a) Birleflim ve Kesiflim fllemi b) ki Kümenin Fark ve Tümleme fllemi ALIfiTIRMALAR ÖZET DE ERLEND RME SORULARI B. DO AL SAYILAR 1. Do

Detaylı

TEST Levhan n a rl G olsun. G a rl n n O F 1 TORK (KUVVET MOMENT ) - DENGE

TEST Levhan n a rl G olsun. G a rl n n O F 1 TORK (KUVVET MOMENT ) - DENGE R (UVVE MME ) - DEE ES -... evhalar dengede oldu una göre, desteklerin oldu u noktalara göre moment al n rsa,...... oldu u görülür. CEVA B d d d d. ucuna göre moment cambaz den ye giderken momenti azald

Detaylı

Koninin Düzlemlerle Kesiflimi Selçuk Demir* / sdemir@bilgi.edu.tr

Koninin Düzlemlerle Kesiflimi Selçuk Demir* / sdemir@bilgi.edu.tr apak onusu: oncelet Teoremleri oni. Uzayda birbirini 0 < < 90 derecede kesen iki de iflik a ve do rusu alal m. Do rulardan birini di erinin etraf nda, diyelim a y nin etraf nda oluflturduklar aç s n bozmadan

Detaylı

TEMEL MATEMAT K TEST

TEMEL MATEMAT K TEST TEMEL MATEMAT K TEST KKAT! + Bu bölümde cevaplayaca n z soru say s 40 t r + Bu bölümdeki cevaplar n z cevap ka d ndaki "TEMEL MATEMAT K TEST " bölümüne iflaretleyiniz. 2 4. 4. 0,5 2. iflleminin sonucu

Detaylı

VEKTÖRLER. DOĞRU PARÇASI: Doğrunun A ve B noktaları ile bunların arasında kalan bütün noktalarından oluşan kümeye [AB] DOĞRU PARÇASI denir.

VEKTÖRLER. DOĞRU PARÇASI: Doğrunun A ve B noktaları ile bunların arasında kalan bütün noktalarından oluşan kümeye [AB] DOĞRU PARÇASI denir. VEKTÖRLER DOĞRU PRÇSI: Doğrunun ve B noktaları ile bunların arasında kalan bütün noktalarından oluşan kümeye [B] DOĞRU PRÇSI denir. Doğrultusu (üzerinde bulunduğu doğru) ve uzunluğundan söz edilebilir.

Detaylı

say s kaç basamakl d r? 2. Bir düzlemde verilen 8 noktadan 4 tanesi ayn do ru üzerindedir. Di er 4 noktadan. 3. n do al say olmak üzere;

say s kaç basamakl d r? 2. Bir düzlemde verilen 8 noktadan 4 tanesi ayn do ru üzerindedir. Di er 4 noktadan. 3. n do al say olmak üzere; . 7 8 say s kaç basamakl d r? ) 2 B) 0 ) 9 ) 8 E) 7 2. Bir düzlemde verilen 8 noktadan 4 tanesi ayn do ru üzerindedir. i er 4 noktadan hiçbiri bu do ru üzerinde bulunmamaktad r ve bu 4 noktadan herhangi

Detaylı

ÜN TE II L M T. Limit Sa dan ve Soldan Limit Özel Fonksiyonlarda Limit Limit Teoremleri Belirsizlik Durumlar Örnekler

ÜN TE II L M T. Limit Sa dan ve Soldan Limit Özel Fonksiyonlarda Limit Limit Teoremleri Belirsizlik Durumlar Örnekler ÜN TE II L M T Limit Sa dan ve Soldan Limit Özel Fonksiyonlarda Limit Limit Teoremleri Belirsizlik Durumlar Örnekler MATEMAT K 5 BU BÖLÜM NELER AMAÇLIYOR? Bu bölümü çal flt n zda (bitirdi inizde), *Bir

Detaylı

LYS MATEMATİK KONU ANLATIM FASİKÜLÜ

LYS MATEMATİK KONU ANLATIM FASİKÜLÜ Ders Adı.ınıf Mezun LY MATEMATİK KONU ANLATIM FAİKÜLÜ TÜREV KAF 0 Konu Bir doğrunun eğimi dik koordinat sisteminde X ekseni ile aptığı pozitif önlü açının tanjantıdır. Örneğin, şekilde verilen d doğrusunun

Detaylı

Taşkın, Çetin, Abdullayeva

Taşkın, Çetin, Abdullayeva BÖLÜM Taşkın, Çetin, Abdullaeva FONKSİYONLAR.. FONKSİYON KAVRAMI Tanım : A ve B boş olmaan iki küme a A ve b B olmak üzere ( ab, ) sıralı eleman çiftine sıralı ikili denir. ( ab, ) sıralı ikilisinde a

Detaylı

Çokgenler. Dörtgenler. Çember. Simetri. Örüntü ve Süslemeler. Düzlem. Geometrik Cisimler

Çokgenler. Dörtgenler. Çember. Simetri. Örüntü ve Süslemeler. Düzlem. Geometrik Cisimler MTEMT K Çokgenler örtgenler Çember Simetri Örüntü ve Süslemeler üzlem Geometrik isimler Temel Kaynak 5 Çokgenler ÇOKGENLER E F En az üç do ru parças n n, birer uçlar ortak olacak flekilde ard fl k olarak

Detaylı

Y ll k Plan MATEMAT K 8. SINIF Ö RETMEN KILAVUZ K TABI

Y ll k Plan MATEMAT K 8. SINIF Ö RETMEN KILAVUZ K TABI ÜNİTELENDİRİLMİŞ YILLIK PLAN MATEMAT K 8. SINIF Ö RETMEN KILAVUZ K TABI 9 SINIF : 8 LEND R LM fi Y I L L I K P L A N ÖRÜNTÜ VE SÜSLEMELER. Do ru, çokgen ve çember modellerinden örüntüler infla eder, çizer

Detaylı

ÜN TE I. A) TEKRAR EDEN, YANSIYAN VE DÖNEN fiek LLER a) Fraktallar b) Yans yan ve Dönen fiekiller ALIfiTIRMALAR ÖZET TEST I-I

ÜN TE I. A) TEKRAR EDEN, YANSIYAN VE DÖNEN fiek LLER a) Fraktallar b) Yans yan ve Dönen fiekiller ALIfiTIRMALAR ÖZET TEST I-I ÜN TE I A) TEKRAR EDEN, YANSIYAN VE DÖNEN fiek LLER a) Fraktallar b) Yans yan ve Dönen fiekiller ALIfiTIRMALAR ÖZET TEST I-I B) ÜSLÜ SAYILAR a) Bir Tam Say n n Negatif Kuvveti b) Tekrarl Çarp mlar Üslü

Detaylı

Aç ve Aç Ölçüsü. Üçgen, Kare ve Dikdörtgen. Geometrik Cisimler. Simetri. Örüntü ve Süslemeler

Aç ve Aç Ölçüsü. Üçgen, Kare ve Dikdörtgen. Geometrik Cisimler. Simetri. Örüntü ve Süslemeler MTEMT K ç ve ç Ölçüsü Üçgen, Kare ve ikdörtgen Geometrik Cisimler Simetri Örüntü ve Süslemeler Temel Kaynak 4 ç ve ç Ölçüsü ÇI VE ÇI ÖLÇÜSÜ ç lar n dland r lmas C Resimde aç oluflturulan yerlerin baz lar

Detaylı

PARABOL. çözüm. kavrama sorusu. çözüm. kavrama sorusu

PARABOL. çözüm. kavrama sorusu. çözüm. kavrama sorusu PARABL Bu bölümde birinci dereceden fonksion =f()=a+b ve ikinci dereceden fonksion =f()=a +b+c grafiklerini üzesel olarak inceleeceğiz. f()=a +b+c ikinci dereceden bir bilinmeenli polinom fonksionun grafiği

Detaylı

1. Yukar daki çubuk makarna afla dakilerden hangisinin modelidir? Yukar daki rakamlardan kaç tanesinde dikey do ru modeli vard r?

1. Yukar daki çubuk makarna afla dakilerden hangisinin modelidir? Yukar daki rakamlardan kaç tanesinde dikey do ru modeli vard r? Ad : Soyad : S n f : Nu. : Okulu : 1. Yukar daki çubuk makarna afla dakilerden hangisinin modelidir? Do ru Düzlem Nokta 5. MATEMAT K TEST 19 Ifl n Do ru Do ru parças 2. Afla daki hangi do runun çizgi modeli

Detaylı

Olas l k hesaplar na günlük yaflam m zda s k s k gereksiniriz.

Olas l k hesaplar na günlük yaflam m zda s k s k gereksiniriz. Olas l k Hesaplar (I) Olas l k hesaplar na günlük yaflam m zda s k s k gereksiniriz. Örne in tavla ya da kâ t oyunlar oynarken. ki kap ya üstüste birkaç kez gele atmayan tavlac görmedim hiç. fianss zl

Detaylı

ÜN TE IV. A) DENKLEM S STEMLER a) Bir Bilinmeyenli Rasyonel Denklemler b) Do rusal Denklem Sistemleri ALIfiTIRMALAR ÖZET TEST IV-I

ÜN TE IV. A) DENKLEM S STEMLER a) Bir Bilinmeyenli Rasyonel Denklemler b) Do rusal Denklem Sistemleri ALIfiTIRMALAR ÖZET TEST IV-I ÜN TE IV A) DENKLEM S STEMLER a) Bir Bilinmeyenli Rasyonel Denklemler b) Do rusal Denklem Sistemleri ALIfiTIRMALAR ÖZET TEST IV-I B) ÜÇGENLERDE EfiL K ve BENZERL K a) Üçgenlerde Efllik b) Üçgenlerde Efllik

Detaylı

TANIM : a, a, a, a,..., a R ve n N olmak üzere,

TANIM : a, a, a, a,..., a R ve n N olmak üzere, MATEMAT K TANIM : a, a, a, a,..., a R ve n N olmak üzere, 0 1 2 3 n P(x) = a x n a x n 1... a x 3 a x 2 a x n n 1 3 2 1 a ifadesine reel katsay l POL NOM denir. 0 a, a, a,..., a say lar na KATSAYILAR,

Detaylı

1999 ULUSAL ANTALYA MATEMAT IK OL IMP IYATI B IR INC I AŞAMA SORULARI

1999 ULUSAL ANTALYA MATEMAT IK OL IMP IYATI B IR INC I AŞAMA SORULARI 1999 ULUSL NTLY MTMT IK L IMP IYTI IR IN I ŞM SRULRI Lise 1- S nav Sorular 1. f1; ; 3; :::; 1999g kümesinin, eleman say s tek say olan kaç tane alt kümesi vard r? ) 1999 ) 1998 ) 1998-1 ) 999 ) hiçbiri.

Detaylı

ÜN TE II ÜÇGENLERDE BENZERL K

ÜN TE II ÜÇGENLERDE BENZERL K ÜN TE II ÜÇGENLERDE BENZERL K 1. ÜÇGENLERDE BENZERL N TANIMI. ORANTININ ÖZEL KLER 3. ÜÇGENLERDE BENZERL K TEOREMLER * K.A.K. Benzerlik Teoremi * A.A.A. Benzerlik Teoremi * Verilen Bir Do ru Parças n stenen

Detaylı

AB yönlü doğru parçası belirtilmiş olur. Doğrultusu, uzunluğu ve yönünden söz edilebilir.

AB yönlü doğru parçası belirtilmiş olur. Doğrultusu, uzunluğu ve yönünden söz edilebilir. HAZİNE-1 HAZİNE-2 Doğrunun A ve B noktaları ile bunların arasında kalan bütün noktalarından oluşan kümeye [AB] DOĞRU PARÇASI denir. Doğrultusu (üzerinde bulunduğu doğru) ve uzunluğundan söz edilebilir.

Detaylı

Do al Say lar Do al Say larla Toplama fllemi Do al Say larla Ç karma fllemi Do al Say larla Çarpma fllemi Do al Say larla Bölme fllemi Kesirler

Do al Say lar Do al Say larla Toplama fllemi Do al Say larla Ç karma fllemi Do al Say larla Çarpma fllemi Do al Say larla Bölme fllemi Kesirler Do al Say lar Do al Say larla Toplama fllemi Do al Say larla Ç karma fllemi Do al Say larla Çarpma fllemi Do al Say larla Bölme fllemi Kesirler Kesirlerle Toplama, Ç karma ve Çarpma fllemi Oran ve Orant

Detaylı

F Z K A IRLIK MERKEZ ÖRNEK 1 : ÇÖZÜM 1: Bir cisim serbestçe dönebilece i bir noktadan as l rsa, düfley do rultu daima a rl k merkezinden

F Z K A IRLIK MERKEZ ÖRNEK 1 : ÇÖZÜM 1: Bir cisim serbestçe dönebilece i bir noktadan as l rsa, düfley do rultu daima a rl k merkezinden F Z A IRI EREZ ÖRNE 1 : I m II 2m ütleleri m, 2m olan eflit bölmeli, düzgün ve türdefl I ve II levhalar flekildeki gibi birbirine tutturularak noktas ndan bir iple as l yor. Bu levhalar afla dakilerden

Detaylı

F Z K 3 ÜN TE II HAREKET

F Z K 3 ÜN TE II HAREKET ÜN TE II HAREKET 1. Bir Do ru Üzerinde Konum ve Yer De ifltirme 2. Düzgün Hareket 3. Ortalama H z ve Anî H z 4. Ortalama vme ve Anî vme 5. Sabit vmeli Hareket ÖZET Ö REND KLER M Z PEK fit REL M DE ERLEND

Detaylı

F Z K BASINÇ. Kavram Dersaneleri 42

F Z K BASINÇ. Kavram Dersaneleri 42 F Z BASINÇ ÖRNE : ÇÖZÜ : Özdefl iki tu lan n I, II, III konumlar ndayken yere uygulad klar toplam bas nç kuvvetleri, iki tu lan n a rl klar toplamlar na eflittir. Bu nedenle F = F = F olur. yer I II III

Detaylı

1.BÖLÜM ÇÖZÜM SORU. A= {a, b, {a, b}, {c}} kümesi veriliyor. Afla dakilerden kaç tanesi do rudur? I. a A II. {a, b} A III. {c} A IV. {b} A. V.

1.BÖLÜM ÇÖZÜM SORU. A= {a, b, {a, b}, {c}} kümesi veriliyor. Afla dakilerden kaç tanesi do rudur? I. a A II. {a, b} A III. {c} A IV. {b} A. V. 1.ÖLÜM MTMT K Derginin bu say s nda Kümeler konusunda çözümlü sorular yer almaktad r. u konuda, ÖSS de ç kan sorular n çözümü için gerekli temel bilgileri ve pratik yollar, sorular m z n çözümü içinde

Detaylı

1998 ULUSAL ANTALYA MATEMAT IK OL IMP IYATI B IR INC I AŞAMA SORULARI

1998 ULUSAL ANTALYA MATEMAT IK OL IMP IYATI B IR INC I AŞAMA SORULARI 1998 ULUSL NTLY MTEMT IK OL IMP IYTI IR INC I ŞM SORULRI Lise 1- S nav Sorular 1. T = 1! +! + 3! + ::: + 1997! + 1998! toplam n n son iki basama¼g ndaki rakamlar n toplam kaçt r? ) 13 ) 9 C) 6 D) E) Hiçbiri.

Detaylı

ÇÖZÜM [KB] çizilirse, SORU. Boyutlar 9 cm ve 12 cm olan dikdörtgenin bir düzlem üzerindeki izdüflümü bir do ru parças ise, [KC] [CB] ve

ÇÖZÜM [KB] çizilirse, SORU. Boyutlar 9 cm ve 12 cm olan dikdörtgenin bir düzlem üzerindeki izdüflümü bir do ru parças ise, [KC] [CB] ve GMTR erginin bu sa s na Uza Geometri ve o runun nalitik ncelemesi konular na çözümlü sorular er almakta r. u konua, ÖSS e ç kan sorular n çözümü için gerekli temel bilgileri ve pratik ollar, sorular m

Detaylı

ÖRNEK 2: ÇÖZÜM 2: ÇÖZÜM 1: Verilen ifadeyi iflleme dönüfltürürsek; Toplamlar 77 olan iki say dan biri x ise di eri (77 x) dir.

ÖRNEK 2: ÇÖZÜM 2: ÇÖZÜM 1: Verilen ifadeyi iflleme dönüfltürürsek; Toplamlar 77 olan iki say dan biri x ise di eri (77 x) dir. TAR H MATEMAT K I. DERECEDEN DENKLEMLER ÖRNEK 1: Toplamlar 77 olan iki say dan birinin kat, öbürünün 4 kat na eflittir. Bu say lardan küçük olan kaçt r? A) B) 0 C) 7 D) 4 E) (ÖSS - 1999) ÖRNEK : Kareleri

Detaylı

ANALİTİK GEOMETRİ KARMA / TEST-1

ANALİTİK GEOMETRİ KARMA / TEST-1 NLİTİK GEMETRİ KRM / TEST-. (, ) noktasından geçen ve + = 0 doğrusuna paralel olan doğrunun eksenini kestiği noktanın ordinatı ) ) 7 ) 9 ). = (k 6) + b k = k doğrularının ekseni üzerinde dik kesişmeleri

Detaylı

içinde seçilen noktan n birinci koordinat birincinin geldi i saati, ikinci koordinat ysa

içinde seçilen noktan n birinci koordinat birincinin geldi i saati, ikinci koordinat ysa Tuhaf Bir Buluflma O las l k kuram ilkokullarda bile okutulabilecek kerte basit ve zevklidir. ABD de kimi okullarda 9 yafl ndaki çocuklara bile okutuluyor olas l k kuram. Basit olas l k kuram n anlamak

Detaylı

(ÖSS ) ÇÖZÜM 2:

(ÖSS ) ÇÖZÜM 2: MTEMT K PROLEMLER - II ÖRNEK : ve kentlerinden saatteki h zlar s ras yla V ve V olan (V > V ) iki araç, birbirlerine do ru 2 2 ayn anda hareket ederlerse saat sonra karfl lafl yorlar. u araçlar ayn kentlerden

Detaylı

01 DÖRTGENLER. homoteti dönüflümü d fl bükey dörtgen iç bükey dörtgen orta taban dörtgen

01 DÖRTGENLER. homoteti dönüflümü d fl bükey dörtgen iç bükey dörtgen orta taban dörtgen 01 ÖRTGNLR homoteti dönüflümü d fl büke dörtgen iç büke dörtgen orta taban dörtgen 9 dörtgeni ve temel elemanlar n aç klama, ugulamalar apma, dörtgenlerle ilgili teoremleri ispatlama ve ugulamalar apma,

Detaylı

UZAYDA VEKTÖRLER ve DOĞRU DÜZLEM

UZAYDA VEKTÖRLER ve DOĞRU DÜZLEM UD VEKTÖRLER ve DĞRU DÜLEM. ir küpün ayrıtlarını taşıyan doğrular kaç farklı doğrultu oluşturur? ) ) ) D) 7 E) 8. ir düzgün altıgenin en uzun köşegeni ile aynı doğrultuda kaç farklı kenar vardır?. şağıdaki

Detaylı

Örnek...1 : f (x)=2x 2 5x+6 parabolü K(2,p) noktasından geçiyorsa p kaçtır? Örnek...2 : Aşağıda çeşitli parabol grafikleri verilmiştir incele yi niz.

Örnek...1 : f (x)=2x 2 5x+6 parabolü K(2,p) noktasından geçiyorsa p kaçtır? Örnek...2 : Aşağıda çeşitli parabol grafikleri verilmiştir incele yi niz. a, b,c R,a 0 olmak koşulula f ()=a 2 +b+c fonksionuna ikinci dereceden bir değişkenli fonksion ve bu fonksionun belirttiği eğrie de parabol denir. Uarı ir parabolün grafiği başkatsaı olan a saısına bağlı

Detaylı

( ANALİTİK DÜZLEM NOKTA BÖLGELER İKİ NOKTA ARASI UZAKLIK ORTA NOKTA ÜÇGENİN AĞIRLIK MERKEZİ VE ALANI DEĞERLENDİRME )

( ANALİTİK DÜZLEM NOKTA BÖLGELER İKİ NOKTA ARASI UZAKLIK ORTA NOKTA ÜÇGENİN AĞIRLIK MERKEZİ VE ALANI DEĞERLENDİRME ) NİTİ GEMETRİ 1 ( NİTİ DÜZEM NT ÖGEER İİ NT RSI UZI RT NT ÜÇGENİN ĞIRI MEREZİ VE NI DEĞERENDİRME NİTİ DÜZEM Dİ RDİNT DÜZEMİ İki saı doğrusunun dik kesişmesile oluşan düzleme, dik koordinat düzlemi ve a

Detaylı

G D S 4 2013 MART. Sınıf Ders Ünite Kazanım. 9. sınıf Dil ve Anlatım Türkçenin Ses Özellikleri 1. Türkçedeki seslerin özelliklerini açıklar.

G D S 4 2013 MART. Sınıf Ders Ünite Kazanım. 9. sınıf Dil ve Anlatım Türkçenin Ses Özellikleri 1. Türkçedeki seslerin özelliklerini açıklar. G D S 4 2013 MART Sınıf Ders Ünite Kazanım 9. sınıf Dil ve Anlatım Türkçenin Ses Özellikleri 1. Türkçedeki seslerin ni açıklar. 9. sınıf Dil ve Anlatım Türkçenin Ses Özellikleri 2. Türkçedeki ses uyumlarının

Detaylı

DİKKAT! SORU KİTAPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ A OLARAK CEVAP KÂĞIDINIZA İŞARETLEMEYİ UNUTMAYINIZ. MATEMATİK SINAVI GEOMETRİ TESTİ

DİKKAT! SORU KİTAPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ A OLARAK CEVAP KÂĞIDINIZA İŞARETLEMEYİ UNUTMAYINIZ. MATEMATİK SINAVI GEOMETRİ TESTİ İKKT! SRU KİTPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ LRK VP KÂĞIINIZ İŞRTLMYİ UNUTMYINIZ. MTMTİK SINVI GMTRİ TSTİ 1. u testte 30 soru vardır. 2. evaplarınızı, cevap kâğıdının Geometri Testi için ayrılan kısmına işaretleyiniz.

Detaylı

MATEMAT K LYS ÜN TE KAZANIM TEST / P(x) = (m + n)x 2 + (6 n)x + 2m n + 3. çok terimlisi bir sabit polinom belirtti ine göre, P(3) kaçt r?

MATEMAT K LYS ÜN TE KAZANIM TEST / P(x) = (m + n)x 2 + (6 n)x + 2m n + 3. çok terimlisi bir sabit polinom belirtti ine göre, P(3) kaçt r? LYS MATEMAT K ÜN TE KAZANIM TEST / POL NOMLAR I. I. P= II. P( ) = + III. P( ) = IV. P( ) =. V. P( ) = 7. P() = (m + n) + (6 n) + m n + çok terimlisi bir sabit polinom belirtti ine göre, P() kaçt r? A)

Detaylı

fleklinde okuruz. Pay paydas ndan büyük veya eflit olan kesirlere bileflik kesirler denir.

fleklinde okuruz. Pay paydas ndan büyük veya eflit olan kesirlere bileflik kesirler denir. Kesirler MATEMAT K KES RLER pay kesir çizgisi payda kesri tane tir. Bu kesri beflte iki ya da iki bölü befl fleklinde okuruz. kesrinde, bütünün ayr ld parça say s n gösterir. Yani paydad r. ise al nan

Detaylı

GEOMETR 7 ÜN TE IV KON

GEOMETR 7 ÜN TE IV KON ÜN TE IV KON 1. KON K YÜZEY VE TANIMLAR 2. KON a. Tan m b. Dik Dairesel Koni I. Tan mlar II. Dik Dairesel Koninin Özelikleri III. Dönel Koni c. E ik Dairesel Koni 3. D K DA RESEL KON N N ALANI 4. DA RESEL

Detaylı

2010 oldu¼gundan x 2 = 2010 ve

2010 oldu¼gundan x 2 = 2010 ve ) 444400 say s ndaki rakamlar n yerleri de¼giştirilerek 7 basamakl kaç farkl say yaz labilir? Çözüm : Bu rakamlar n bütün farkl 7 li dizilişlerinin say s 7! olacakt r. Bu dizilişlerin 4!! soldan ilk rakam

Detaylı

POL NOMLAR. Polinomlar

POL NOMLAR. Polinomlar POL NOMLAR ÜN TE 1. ÜN TE 1. ÜN TE 1. ÜN TE 1. ÜN T POL NOMLAR Polinomlar 1. Kazan m: Gerçek kat say l ve tek de i kenli polinom kavram n örneklerle aç klar, polinomun derecesini, ba kat say s n, sabit

Detaylı

Sevdi im Birkaç Soru

Sevdi im Birkaç Soru Sevdi im Birkaç Soru M atematikte öyle sorular vard r ki, yan t bulmak önce çok zor gibi gelebilir, sonradan -saatler, günler, aylar, hatta kimi zaman y llar sonra- yan t n çok basit oldu u anlafl l r.

Detaylı

Dördüncü K s m: Gerçel Say lar Yap s

Dördüncü K s m: Gerçel Say lar Yap s Dördüncü K s m: Gerçel Say lar Yap s 331 13. Gerçel Say lar Kümesi Nihayet gerçel say lar tan mlayaca z. Bir sonraki bölümde gerçel say lar üzerine dört ifllemi ve s ralamay tan mlay p bunlar n özelliklerini

Detaylı

TEK ve ÇOK YÜZEYLİ KAPALI YÜZEYLER ve KATI CİSİMLER 1 TEST

TEK ve ÇOK YÜZEYLİ KAPALI YÜZEYLER ve KATI CİSİMLER 1 TEST ve Ç ÜLİ PLI ÜLR ve S I İSİMLR.. P(a,, ) ukarıdaki dik koordinat sisteminde (,, ) olduğuna göre, dikdörtgenler prizmasının hacmi kaç br tür? nalitik uzayda yukarıdaki dikdörtgenler prizmasının yüzey alanı

Detaylı

ÜN TE II ÇOKGENSEL BÖLGELER N ALANLARI

ÜN TE II ÇOKGENSEL BÖLGELER N ALANLARI ÜN TE II ÇOKGENSEL BÖLGELER N ALANLARI 1. ÇOKGENSEL BÖLGELER N ALANLARI 2. D KDÖRTGEN N ALANI 3. ÜÇGENSEL BÖLGELER N ALANI 4. ÜÇGENSEL ALAN PROBLEMLER ÇÖZÜLÜRKEN KULLANILACAK FORMÜLLER 5. PARALELKENARIN

Detaylı

TEST Lambalar özdefl oldu- 6. K ve L anahtarlar LAMBALAR. ε ε ε. K anahtar aç k iken lambalar n uçlar aras ndaki gerilimler:

TEST Lambalar özdefl oldu- 6. K ve L anahtarlar LAMBALAR. ε ε ε. K anahtar aç k iken lambalar n uçlar aras ndaki gerilimler: AAA ES -. 4. anahtar aç k iken lambalar n uçlar aras ndaki gerilimler: anahtar kapal iken lambalar n uçlar aras ndaki gerilimler: 0 Sö ner Artar De fl i mez I II aln z anahtar kapat l rsa ve lambalar söner.

Detaylı

fonksiyonu, her x 6= 1 reel say s için tan ml d r. (x 1)(x+1) = = x + 1 yaz labilir. Bu da; f (x) = L

fonksiyonu, her x 6= 1 reel say s için tan ml d r. (x 1)(x+1) = = x + 1 yaz labilir. Bu da; f (x) = L Limit Bu bölümde, matematik analizde temel bir görevi olan it kavram incelenecektir. Analizdeki bir çok problemin çözümünde it kavram na gereksinim duyulmaktad r. Bunlardan baz lar ; bir noktada bir e¼griye

Detaylı

6. SINIF MATEMAT K DERS ÜN TELEND R LM fi YILLIK PLAN

6. SINIF MATEMAT K DERS ÜN TELEND R LM fi YILLIK PLAN SAYILAR Kümeler 6. SINIF MATEMAT K DERS ÜN TELEND R LM fi YILLIK PLAN 1. Bir kümeyi modelleri ile belirler, farkl temsil biçimleri ile gösterir. Belirli bir kümeyi temsil ederken afla da belirtilen bafll

Detaylı

MATEMATİK TESTİ LYS YE DOĞRU. 1. Bu testte Matematik ile ilgili 50 soru vardır.

MATEMATİK TESTİ LYS YE DOĞRU. 1. Bu testte Matematik ile ilgili 50 soru vardır. MTMTİK TSTİ LYS-. u testte Matematik ile ilgili 0 soru vardır.. evaplarınızı, cevap kâğıdının Matematik Testi için ayrılan kısmına işaretleyiniz.. u testteki süreniz 7 dakikadır.. a, b, c birer reel sayı

Detaylı

8.Konu Vektör uzayları, Alt Uzaylar

8.Konu Vektör uzayları, Alt Uzaylar 8.Konu Vektör uzayları, Alt Uzaylar 8.1. Düzlemde vektörler Düzlemdeki her noktası ile reel sayılardan oluşan ikilisini eşleştirebiliriz. Buna P noktanın koordinatları denir. y-ekseni P x y O dan P ye

Detaylı

ÜN TE I YERYÜZÜNDE HAREKET

ÜN TE I YERYÜZÜNDE HAREKET ÜN TE I YERYÜZÜNDE HAREKET 1. A rl k ve Yerin Çekim Alan 2. Serbest Düflme Hareketi 3. At fl Hareketi a) Düfley At fl Hareketi b) Yatay At fl Hareketi c) E ik At fl Hareketi 4. Dönme Haraketi, Yörüngesi

Detaylı

1. Yedi basamakl en küçük do al say kaçt r? 2. Yedi basamakl en büyük do al say kaçt r? 11. Dokuz basamakl en küçük tek do al say kaçt r?

1. Yedi basamakl en küçük do al say kaçt r? 2. Yedi basamakl en büyük do al say kaçt r? 11. Dokuz basamakl en küçük tek do al say kaçt r? Say lar ve fllemler. Yedi basamakl en küçük do al say kaçt r?. Yedi basamakl en büyük do al say kaçt r?. Sekiz basamakl en küçük do al say kaçt r?. Sekiz basamakl en büyük do al say kaçt r?. Dokuz basamakl

Detaylı

( ANALİTİK DÜZLEM NOKTA BÖLGELER İKİ NOKTA ARASI UZAKLIK ORTA NOKTA ÜÇGENİN AĞIRLIK MERKEZİ VE ALANI DEĞERLENDİRME ) dört bölgeye ayrılır.

( ANALİTİK DÜZLEM NOKTA BÖLGELER İKİ NOKTA ARASI UZAKLIK ORTA NOKTA ÜÇGENİN AĞIRLIK MERKEZİ VE ALANI DEĞERLENDİRME ) dört bölgeye ayrılır. NİTİ GEMETRİ 1 ( NİTİ DÜZEM NT ÖGEER İİ NT RSI UZI RT NT ÜÇGENİN ĞIRI MEREZİ VE NI DEĞERENDİRME NİTİ DÜZEM Dİ RDİNT DÜZEMİ İki saı doğrusunun dik kesişmesile oluşan düzleme, dik koordinat düzlemi ve a

Detaylı

SU DALGALARI. 6. I ve II engelleri aras ndaki aç 60 dir. I. KL do rusal dalga I ve II engellerinde flekildeki gibi yans r.

SU DALGALARI. 6. I ve II engelleri aras ndaki aç 60 dir. I. KL do rusal dalga I ve II engellerinde flekildeki gibi yans r. SU DAGAAR MDE SRU DE SRUARN ÇÖZÜMER 4 70 70 40 40 70 do rusal dalga ve engellerinde flekildeki gibi yans r do rusal dalgan n k sm engelinden, k sm ise engelinden flekildeki gibi yans r do rusal dalga ve

Detaylı

NLİTİK EMETRİ lan ve ğırlık Merkezi 5. ölüm Örnek 0 nalitik düzlemde üçgen [] açıorta [] // [] (6 0 (6 (6 (6 0 [H] [] [K] [] H = K = br K ile H üçgenl

NLİTİK EMETRİ lan ve ğırlık Merkezi 5. ölüm Örnek 0 nalitik düzlemde üçgen [] açıorta [] // [] (6 0 (6 (6 (6 0 [H] [] [K] [] H = K = br K ile H üçgenl NLİTİK EMETRİ lan ve ğırlık Merkezi 5. ölüm lan Örnek 0 nalitik düzlemde ( 0 c h b h a h c b ( 0 ( 0 a a h b h a b c h lan( = = = c Yukarıdaki verilenlere göre lan( kaç birimkaredir? 6 8 9 E c b Taban:

Detaylı

ÜN TE II. A. CEB RSEL FADELER, Efi TL K VE DENKLEM 1. Cebirsel fadeler 2. Denklemler ALIfiTIRMALAR ÖZET TEST II-I

ÜN TE II. A. CEB RSEL FADELER, Efi TL K VE DENKLEM 1. Cebirsel fadeler 2. Denklemler ALIfiTIRMALAR ÖZET TEST II-I ÜN TE II A. CEB RSEL FADELER, Efi TL K VE DENKLEM 1. Cebirsel fadeler 2. Denklemler ALIfiTIRMALAR ÖZET TEST II-I B. ÇARPANLAR VE ASAL SAYILAR 1. Do al Say lar n Çarpanlar ve Katlar 2. Bölünebilme Kurallar

Detaylı

6. 5 portakaldan 600 ml portakal suyu ç km flt r. Buna göre, 2 L 400 ml portakal suyu kaç portakaldan ç kar?

6. 5 portakaldan 600 ml portakal suyu ç km flt r. Buna göre, 2 L 400 ml portakal suyu kaç portakaldan ç kar? Ad : Soyad : S n f : Nu. : Okulu : S v lar Ölçme Sütun Grafi i Olas l k TEST. 920 ml = L ml Yukar da verilen eflitli e göre + iflleminin sonucu kaçt r? A) 29 B) 60 C) 69 D) 9 2. Çiftçi Ak n bahçesinden

Detaylı

Geçen bölümde, Zorn Önsav varsay larak yis ralama Teoremi

Geçen bölümde, Zorn Önsav varsay larak yis ralama Teoremi 25. Hausdorff Zincir Teoremi ve Zorn Önsav n n Kan t Tolga Karayayla Geçen bölümde, Zorn Önsav varsay larak yis ralama Teoremi ve yis ralama Teoremi varsay larak Seçim Aksiyomu kan tland. Bu bölümde önce

Detaylı

TAR H MATEMAT K PROBLEMLER - I. Ahmet A A H y l A + (A H) Hasan H. A H y l. Kavram Dersaneleri 56

TAR H MATEMAT K PROBLEMLER - I. Ahmet A A H y l A + (A H) Hasan H. A H y l. Kavram Dersaneleri 56 TAR H MATEMAT K PROBLEMLER - I ÖRNEK 1: Bir lisenin son s n f ö rencileri her grupta eflit say da ö renci olmak üzere 10 gruba ayr l yor. Bu ö renciler 7 gruba ayr lsayd her gruptaki ö renci say s 6 fazla

Detaylı

2. ÜN TE KUVVET VE HAREKET 1. HIZ NED R? NASIL HESAPLANIR? 2. KUVVET NASIL ÖLÇÜLÜR? NASIL GÖSTER L R? 3. B RDEN FAZLA KUVVET N ETK S

2. ÜN TE KUVVET VE HAREKET 1. HIZ NED R? NASIL HESAPLANIR? 2. KUVVET NASIL ÖLÇÜLÜR? NASIL GÖSTER L R? 3. B RDEN FAZLA KUVVET N ETK S . ÜN TE. KUVVET VE HAREKET 1. HIZ NED R? NASIL HESAPLANIR?. KUVVET NASIL ÖLÇÜLÜR? NASIL GÖSTER L R? 3. B RDEN FAZLA KUVVET N ETK S 4. TÜM VARLIKLARI HER ZAMAN ETK LEYEN KUVVET Bir cismin bulundu u noktaya

Detaylı

CO RAFYA. DÜNYA NIN fiekl N N VE HAREKETLER N N SONUÇLARI ÖRNEK 1 :

CO RAFYA. DÜNYA NIN fiekl N N VE HAREKETLER N N SONUÇLARI ÖRNEK 1 : CO RAFYA DÜNYA NIN fiekl N N VE HAREKETLER N N SONUÇLARI ÖRNEK 1 : K rk nc paralel üzerindeki bir noktan n hangi yar mkürede yer ald afla dakilerin hangisine bak larak saptanamaz? A) Gece-gündüz süresinin

Detaylı

CO RAFYA KONUM. ÖRNEK 2 : Afla daki haritada, Rize ile Bingöl il merkezlerinin yak n ndan geçen boylam gösterilmifltir.

CO RAFYA KONUM. ÖRNEK 2 : Afla daki haritada, Rize ile Bingöl il merkezlerinin yak n ndan geçen boylam gösterilmifltir. CO RAFYA KONUM ÖRNEK 1 : Aralar nda 1 lik fark bulunan iki paralel aras ndaki uzakl k de iflmezken, aralar nda 1 lik fark, bulunan iki meridyen aras ndaki uzakl k Ekvator dan kutuplara gidildikçe azalmaktad

Detaylı

Parametrik doğru denklemleri 1

Parametrik doğru denklemleri 1 Parametrik doğru denklemleri 1 A noktasından geçen, doğrultman (doğrultu) vektörü w olan d doğrusunun, k parametresine göre parametrik denklemi: AP k w P A k w P A k w P A k W (P değişken nokta) A w P

Detaylı

- 2-1 0 1 2 + 4a a 0 a 4a

- 2-1 0 1 2 + 4a a 0 a 4a İKİNCİ DERECEDEN FNKSİYNLARIN GRAFİKLERİ a,b,c,z R ve a 0 olmak üzere, F : R R f() = a + b + c şeklinde tanımlanan fonksionlara ikinci dereceden bir değişkenli fonksionlar denir. Bu tür fonksionların grafikleri

Detaylı

MATEMATİK MATEMATİK-GEOMETRİ SINAVI LİSANS YERLEŞTİRME SINAVI-1 TESTİ SORU KİTAPÇIĞI 08

MATEMATİK MATEMATİK-GEOMETRİ SINAVI LİSANS YERLEŞTİRME SINAVI-1 TESTİ SORU KİTAPÇIĞI 08 LİSNS YRLŞTİRM SINVI- MTMTİK-GMTRİ SINVI MTMTİK TSTİ SRU KİTPÇIĞI 08 U SRU KİTPÇIĞI LYS- MTMTİK TSTİ SRULRINI İÇRMKTİR. . u testte 0 soru vardýr. MTMTİK TSTİ. evaplarýnýzý, cevap kâðýdýnın Matematik Testi

Detaylı