c

Transkript

1 L ıneer Denklemler ın Tamsayı Çözümler ı Ol ımp ıyat Çalışma Kağıdı c sbelianwordpress@gmail.com Özellikle Bilgisayar Olimpiyatları sınavlarına hazırlanan öğrenci arkadaşların mutlaka bilmesi gereken konulardan birisi de Lineer Denklemlerin pozitif veya neyatif olmayan çözüm sayıları konusudur. Bu çalışma kağıdında genel manası ile bir öğrencinin bilmesi gereken tüm soru çeşitlerine değinilmiştir. Çalışma kağıdının son kısmına eklenen Bilgisayar Olimpiyatı soruları ile konuyu daha iyi kavranmanıza yardımcı olunmuştur. Umarız faydalı bir çalışma olmuştur. Kolay gelsin. SBELIAN Σ 1

2 Genel olarak tekrarlı permütasyon konusu altında verilen bu konuda asıl amacımız x 1 + x x r = n, n Z + n Z + {0} formunda verilen bir lineer denklemin pozitif tamsayı veya negatif olmayan tamsayılardaki çözüm sayılarını bulmak Önce teoremleri ve çözümlü örnekleri dikkatli bir şekilde çalışarak konu sonunda verilen çalışma sorular ile konuyu daha iyi kavramaya çalışınız. Önce bir teoremle başlayalım. Teorem (De Moivre). n pozitif bir tamsayı olmak üzere verilen x 1 + x 2 + x + + x r = n denkleminin pozitif tamsayı çözümlerinin sayısı ( ) n 1 Kanıt. n sayısını n = olarak yazalım. Bu toplamda n tane 1 ve (n 1) tane + işaretinin olduğu açıktır. Buna göre, n toplamını r tane parçaya bölmek için bizim () tane + işaretini seçmemiz yeterli Buna göre seçimimiz ( ) n 1 olacağından ispat tamamlanır. Soru 1. 9 rakamını üç pozitif tamsayının toplamı olarak kaç farklı biçimde yazabiliriz? Mesela, ve birbirinden farklı iki toplamdır. Çözüm 1. Soruyu eğer denklem biçiminde yazarsak, aslında sorulan soru a + b + c = 9 a > 0, b > 0, c > 0 denkleminin çözüm sayısı Öyleyse istenen cevap = = Sonuç. n pozitif bir tamsayı olmak üzere verilen y 1 + y y r = n denkleminin negatif olmayan tamsayılardaki çözüm sayısı ( ) n + Bu belge sbelian.wordpress.com a aittir. 2 c

3 Kanıt. Denklemde y r = x, x r 1 değişken değiştirmesini yaparsak olacağından x x x = n x 1 + x x r = n + r Kanıtın bundan sonrası De Moivre teoreminin bir uygulamasına dönüştüğüne göre ( ) n + çözüm sayısı Soru 2. a + b + c + d = 100, a 0, b 21, c 1, d 1 durumlarını sağlayan kaç farklı (a, b, c, d) tamsayı dörtlüsü seçilebilir? Çözüm 2. Önce uygun değişken değiştermeleri yapalım. a = a + 29, b = b + 20 olarak alırsak yeni denklemimiz a + b + c + d = 50 Bu denkleminde pozitif tamsayı çözümleride ( ) 49 = Soru. 8 katlı bir binanın asansörüne binen 5 kişi asansörden katlara kaç farklı biçimde dağılabilirler? Çözüm. Aslında soruda bulunması istenen sayı x 1 + x x 8 = 5 denkleminin negatif olmayan çözüm sayısıdır. Buna göre cevap = = Soru 4. a + b + c + d 2009 eşitsizliğini sağlayan kaç farklı negatif olmayan tamsayı (a, b, c, d) dörtlüsü vardır? Bu belge sbelian.wordpress.com a aittir. c

4 Çözüm 4. a + b + c + d 2009 denkleminin negatif olmayan tamsayı çözüm dörtlülerinin sayısı a + b + c + d + f = 2009, f 0 denkleminin çözüm dörtlülerinin sayısına eşittir. Benzer biçimde son yazdığımız denklemin çözümlerinin sayısıda a b c d f 1 1 = 2009 denkleminin çözüm sayısı ile aynı olacağına göre istenen cevap ( ) Buraya kadar yaptığımız örneklerde, değişkenlere dair yaptığımız sınırlamalar hep tek yönlüydü. Sıradaki örneğimizde durum biraz daha farklı. Soru 5. a + b + c + d = 100, 1 a 10, b 0, c 2, 20 d 0 olamak üzere verilen denklemin tüm tamsayı çözüm dörtlülerinin sayısını bulunuz. Çözüm 5. Çözümü durum, durum inceleyerek sürdürelim. Eğer, a 1, b 0, c 2, d 20 olarak alırsak denklemimizin (80 ) = farklı çözümü Eğer a 11, b 0, c 2, d 20 olarak alırsak çözüm sayımız ( ) 70 kadar Eğer a 1, b 0, c 2, d 1 olarak alırsak çözüm sayımız ( ) 69 kadar Bu iki durumun kesişimi ise ( ) 59 kadar olacağından birleşim kümesinin eleman sayısı ( ) = Buna göre istenen çözüm sayısı ( ) 69 + ( ) 59 = 75 Genel olarak karşınıza çıkabilecek lineer denklemler ve pozitif tamsayı çözümleri örneklerle açıklandı. Şimdi bir çoğu Tübitak Bilgisayar Olimpiyatları (UBO) birinci aşama sınavında çıkmış çalışma sorularını yapmaya çalışarak konuyu daha iyi kavramaya çalışınız. Bu belge sbelian.wordpress.com a aittir. 4 c

5 Çalışma Soruları 1. 1 ile 1000 arasındaki sayılardan kaç tanesinin rakamlarının toplamı 7 yapar? 2. (5a + 8b + 2c) 15 açıldığında kaç terim elde edilir?. 0 x 1, x 2, x, x 4 7 olduğunda x 1 + x 2 + x + x 4 = 18 denkleminin kaç farklı tamsayı çözümü vardır? adet boş kartın her birinin üzerine kare, daire ve üçgen resmi çizilebilmektedir. Buna göre kaç farklı şekilde 20 karttan oluşan bir demet oluşturulabilir? tane birbirinin aynısı top ve 5 adet birbirinden farklı kutu bulunmaktadır. Her bir kutuda en az 6 adet top bulunacak şekilde topları kaç farklı şekilde kutulara dağıtabiliri? tane birbirinin aynısı top ve 5 adet birbirinden farklı kutu bulunmaktadır. Her bir kutuda en fazla 40 adet top bulunacak biçimde kaç farklı şekilde kutulara dağıtabiliriz? 7. Kırmızı, beyaz ve mavi zarların üçü birden atıldığında, kaç farlı durumda gelen sayıların toplamı 10 yapar? 8. a + b + c + d = 98 eşitliğini sağlayan kaç (a, b, c, d) pozitif tek tamsayı dörtlüsü vardır? (AIME 1998) Çözümler Soruların çözümlerini konu anlatımı içerisindeki örnekleri inceleyerek yapmaya çalışınız. Yapamadığınız sorular için sbelianwordpress@gmail.com adresine mail atabilirsiniz. Bu belge sbelian.wordpress.com a aittir. 5 c