ÜNİTE. MATEMATİK-1 Doç.Dr.Erdal KARADUMAN İÇİNDEKİLER HEDEFLER ÖZDEŞLİKLER, DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "ÜNİTE. MATEMATİK-1 Doç.Dr.Erdal KARADUMAN İÇİNDEKİLER HEDEFLER ÖZDEŞLİKLER, DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER"

Transkript

1 HEDEFLER İÇİNDEKİLER ÖZDEŞLİKLER, DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER Özdeşlikler Birinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler Yüksek Dereceden Denklemler Eşitsizlikler MATEMATİK-1 Doç.Dr.Erdal KARADUMAN Bu üniteyi çalıştıktan sonra; Denklem, sabit ve değişken kavramlarını öğrenecek, Günlük hayatta karşılaştığınız matematiksel problemleri denklem olarak yazabilecek, Birinci, ikinci dereceden denklemlerin çözüm kümelerini bulabilecek ve yüksek dereceden denklemlerin çözümleri ile ilgili genel bilgiler edinecek, Birinci ve ikinci dereceden eşitsizliklerin çözüm kümelerini bulabileceksiniz. ÜNİTE 3

2 GİRİŞ Matematik ve uygulamalı bilimlerde pek çok problemin çözümü, bir denklemin çözümüne indirgenerek belirlenir. Bu yüzden denklem çözümleri büyük öneme sahiptir. Fakat her tür denklemin çözümünde uygulanacak genel bir kural yoktur. Bu nedenle denklemleri çeşitli sınıflara ayırarak çözüm yolları ararız. Bu kesimde, bazı özdeşlikler ve binom açılımını verdikten sonra birinci ve ikinci dereceden denklemlerin çözümleri üzerinde duracağız. Diğer yandan denklemler kadar önemli olan bir konu da doğrusal programlamada da kullanılan eşitsizlikler konusudur. ÖZDEŞLİKLER Tanım 3.1. Farklı değerler alabilen yani değişebilen büyüklüğe değişken(bilinmeyen), daima aynı kalan büyüklüğe sabit ve bazen sabit bazen de değişken olarak ele alınan büyüklüğe de parametre denir. Örneğin çemberin çevresi, dır. Burada, ve sabit ise değişkendir. Tanım 3.2. Değişken, sabit, parametre ve bunların toplamları, farkları, çarpımları, bölümleri, kare kökleri gibi bazı işlemleri içeren fakat eşitlik ve eşitsizlik içermeyen ifadelere cebirsel ifade denir ifadeler cebirsel ifadelerdir. gibi Tanım 3.3. Değişkenlerin(bilinmeyenlerin) her değeri için bir birine eşit olan cebirsel ifadelere özdeştir denir. İki ifadenin özdeşliği sembolü ile gösterilir. Ancak, eşitliğin hangi durumlarda özdeşlik olduğu bilindiğinden özdeşlikler için de sembolünü kullanacağız. Örneğin, ve ifadelerini göz önüne alalım. Dikkat edersek, için ifadesi ile ifadesi aynı değerleri alır. Atatürk Üniversitesi Açıköğretim Fakültesi 2

3 Bu yüzden için olup bu ifadeler özdeştir deriz. Özdeş ifadeler işlem sonucunu etkilemediğinden bazı problemlerde, verilen bir ifadenin(varsa) özdeşini kullanarak problemi daha kolay çözebiliriz. ederiz. iki terimlisinin kuvvetleri ile ilgili bazı özdeşlikleri aşağıdaki gibi elde için,. dır. Bu şekilde devam ederek olmak üzere, olduğunu gösterebiliriz. Bu eşitliğe binom açılımı(iki terim açılımı) denir. Burada, olmak üzere, ve şeklinde tanımlanır ve n faktöriyel olarak okunur. Özel olarak dir. Buna göre, ve olur. Bu açıklamalardan sonra binom açılımını kısaca şeklinde ifade edebiliriz ifadesinin binom açılımını bulunuz. Çözüm: Binom açılımında alırsak, Atatürk Üniversitesi Açıköğretim Fakültesi 3

4 elde ederiz. Yukarıdaki örnekten de görüldüğü gibi binom açılımı ile ilgili aşağıdaki özellikleri sıralayabiliriz. 1. tane terim vardır. 2. İlk terim dır ve in kuvvetleri birer azalırken nin kuvvetleri birer artar ve son terim dir. 3. Herhangi bir terimde ile nin kuvvetlerinin toplamı dir. 4. Baştan ve sondan eşit uzaklıktaki terimlerin katsayıları eşittir. 5. terimin katsayısı Benzer şekilde ifadesinin açılımını bulmak için ifadesinde yerine yazmak yeterlidir. Buna göre için, dir. elde ederiz. Ayrıca, aşağıdaki özdeşliklerin doğruluklarını sağ taraftaki çarpmaları yaparak kolayca görebiliriz. (iki kare farkı) (iki küp farkı). Benzer olarak tek sayı olmak üzere, Atatürk Üniversitesi Açıköğretim Fakültesi 4

5 şeklindedir. Diğer taraftan, çift doğal sayı ise ifadesini çarpanlara ayırmak mümkündür. Ancak, bunun için yukarıda verilen kural geçerli değildir dır. ifadesinde çift doğal sayı olduğundan yukarıdaki formülü kullanamayız. Ancak bu ifadeyi bildiğimiz özdeşliklere benzeterek çarpanlara ayırabiliriz. Buna göre, ( ) olarak yazabiliriz. Burada sağ taraftaki son ifadenin iki kare farkı olduğunu anımsarsak, elde ederiz ( ) ( )( ) ifadesini en sade halde yazınız. Çözüm: olur. Uyarı: Özellikle ikinci dereceden denklemlerin çözümlerinde yararlanacağımız önemli bir özdeşlik aşağıdaki gibidir. şeklindedir ve olmak üzere, ve ise olarak yazabiliriz Atatürk Üniversitesi Açıköğretim Fakültesi 5

6 BİRİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEMLER Konunun daha iyi anlaşılması için aşağıdaki örneği dikkatli bir şekilde inceleyelim ve eşitliklerini göz önüne alalım. Dikkat edilirse, birinci eşitlik in her değeri için sağlandığından bir özdeşliktir. İkinci eşitlik ise sadece değeri için sağlanır. Tanım 3.4. Bilinmeyen içeren ve bilinmeyenlerin belli bazı değerleri için sağlanan eşitliklere denklem denir. Bir denklemde, değişkenlerin eşitliği sağlayan değerlerine denklemin çözümleri veya kökleri denir. Bulunan çözüm(lerin) oluşturduğu kümeye de verilen denklemin çözüm kümesi denir. Bununla beraber bazı eşitlikler bilinmeyenlerin hiçbir değeri için sağlanmayabilir. Bu durumda verilen denklemin çözüm kümesi boş kümedir denir ve veya ile gösterilir. Denklemler çeşitli sınıflara ayrılarak çözüm yolları aranır. Bu sınıflandırmalardan ikisi bilinmeyen sayısı ve bilinmeyenlerin en yüksek derecesine göre yapılır. Sadece tek bir bilinmeyen içeren denklemlere bir bilinmeyenli denklem, iki bilinmeyen içeren denklemlere iki bilinmeyenli denklem ve n- bilinmeyen içeren denklemlere n- bilinmeyenli denklem denir. Örneğin, bir bilinmeyenli denklem, iki bilinmeyenli denklem, ise 4- bilinmeyenli bir denklemdir. Tanım 3.5. ve olmak üzere şeklinde yazılabilen bir denkleme birinci dereceden bir bilinmeyenli denklem denir. Böyle bir denklemde - e bilinmeyen ve ye katsayı denir. denkleminin çözümü; şeklinde olup çözüm kümesini { } olarak buluruz. Atatürk Üniversitesi Açıköğretim Fakültesi 6

7 3.7. denkleminin çözüm kümesini bulunuz. Çözüm: ise olur. Buradan, olarak buluruz. O halde, çözüm kümesi { } olur denkleminin çözüm kümesini bulalım. Çözüm: ise olur. Buradan, olarak buluruz. O halde, çözüm kümesi olur denkleminin çözüm kümesini bulunuz. Çözüm: Bu tip denklemlerin çözümü araştırılırken bilinmeyenler eşitliğin bir tarafına sabitlerde eşitliğin diğer tarafına atılır. Buna göre, olarak buluruz. O halde, çözüm kümesi olur. Uyarı: Bir denklemi çözdükten sonra bulduğumuz çözümlerin denklemi sağlayıp sağlamadığını kontrol etmek yararlı olacaktır Çözüm: denkleminin çözüm kümesini bulunuz. olarak buluruz. Şimdi bulduğumuz bu kökü verilen denklemde yerine yazalım. Atatürk Üniversitesi Açıköğretim Fakültesi 7

8 olur. O halde, verilen denklem doğru çözülmüştür denkleminin çözüm kümesini bulalım. Çözüm: Bazı denklemler birinci dereceden olmamasına rağmen birinci dereceden denklemler yardımı ile çözülür. çelişkisini elde ederiz. O halde, verilen denklemin çözümü(kökü) yoktur. Yani, dir denklemini çözünüz. Çözüm: İlk olarak sol taraftaki toplama işlemini yapalım. yazarız. Buradan, Atatürk Üniversitesi Açıköğretim Fakültesi 8

9 elde ederiz. Diğer yandan bu tip denklemlerde çözüm olarak bulunan sayının paydayı sıfır yapmamasına dikkat etmek gerekir. Buna göre, için verilen denklemde paydalar sıfır olmaz. O halde, verilen denklem için olur denklemini çözünüz. Çözüm: ise yazarız. Buradan, elde ederiz Bir mağaza elindeki gömleklerin sini tanesi 50 TL den, geriye kalanların tanesini 55 TL den satarak toplam 2960 TL gelir elde etmiştir. Buna göre, mağazada kaç gömlek vardır? Çözüm: Mağazadaki gömlek sayısı olsun. O halde, tane gömleğin si ve buradan elde edilen gelir olur. Geriye kalan gömlek, ve buradan elde edilen gelir de olur. Böylece, toplam gelir 2960 TL ise bir bilinmeyenli denklemini yazarız. Bu denklemi çözersek, Atatürk Üniversitesi Açıköğretim Fakültesi 9

10 olarak bulunur. İKİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEMLER Tanım 3.6. ve olmak üzere şeklinde yazılabilen bir denkleme ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem denir. Böyle bir denklemde - e bilinmeyen, ve ye denklemin katsayıları denir. Ayrıca, ya denklemin baş katsayısı ve 2 ye denklemin derecesi denir. Genel olarak ikinci dereceden bir denklemin kökleri katsayılar yardımı ile şu şekilde belirlenir. (diskriminant) olmak üzere, nın aşağıdaki üç durumu irdelenir. 1. ise, ve gibi farklı iki reel kök vardır. 2. ise, şeklinde tek(iki katlı) reel kök vardır. 3. ise, tanımlı olmayacağından denkleminin reel kökü yoktur. Şimdi inceleyelim. nın bu üç durumunu göz önünde bulundurarak aşağıdaki örnekleri denkleminin köklerini araştırınız. Çözüm: denkleminde olup olduğundan verilen denklemin Atatürk Üniversitesi Açıköğretim Fakültesi 10

11 ve gibi iki reel kökü vardır. Yani, dir denkleminin köklerini araştırınız. Çözüm: denkleminde olup, olduğundan verilen denklemin reel kökü yoktur denkleminin köklerini araştırınız. Çözüm: denkleminde olup olduğundan verilen denklemin gibi iki katlı reel kökü vardır. Yani, dir. Bazen diskriminant a ihtiyaç duymadan da ikinci dereceden denklemlerin köklerini araştırabiliriz. Bu durumu aşağıdaki örneklerle inceleyelim denkleminin köklerini araştırınız. Çözüm: ise bu ifade özdeş olarak, şeklinde yazılabilir. Buradan veya olmalıdır. O halde verilen denklemin köklerini, ve olarak buluruz. Yani, { } olur. Atatürk Üniversitesi Açıköğretim Fakültesi 11

12 3.19. denkleminin köklerini araştırınız. Çözüm: ise bu ifade özdeş olarak, şeklinde yazılabilir. Buradan veya olmalıdır. O halde verilen denklemin köklerini, ve olarak buluruz. Yani, olur denkleminin köklerini araştırınız. Çözüm: ise yazarız. Ancak, karesi olan hiçbir reel sayı olmadığından denkleminin reel kökü yoktur. Yani, olur. NOT: Birinci dereceden denklemlerde olduğu gibi bazı denklemleri ikinci dereceden olmamalarına rağmen ikinci dereceden denklemlere dönüştürerek çözümlerini araştırabiliriz. Bunun için aşağıdaki örnekleri inceleyelim denkleminin köklerini araştırınız. Çözüm: Verilen denklemi özdeş olarak yazabiliriz. Burada alırsak denklemi şeklinde ikinci dereceden denklem olur. Buradan, şeklinde olduğundan bu son denklemin gibi iki katlı reel kökü vardır. Diğer yandan olduğundan yazarsak olur ki bu eşitliği sağlayan hiçbir reel sayı yoktur. O halde denkleminin reel kökü olmaz. Yani, dir denkleminin köklerini araştırınız. Çözüm: alırsak denklemi şeklinde ikinci dereceden denklem halini alır. Buradan, Atatürk Üniversitesi Açıköğretim Fakültesi 12

13 olduğundan bu son denklemin ve gibi iki reel kökünü buluruz. Diğer yandan olduğundan yazarsak olur ki bu eşitliği sağlayan hiçbir reel sayı yoktur. yazarsak olur. Buradan elde ederiz. O halde denkleminin çözüm kümesini olarak buluruz denkleminin çözüm kümesini araştırınız. Çözüm: Bu tip denklemlerde verilen ifadeyi kare kökten kurtarmak için her iki tarafın karesini alırız. Buna göre, ikinci dereceden denklemi elde edilir. Buradan, olup olarak buluruz. Şimdi bu köklerin verilen denklemi sağlayıp sağlamadığına bakalım. için çelişkisi ortaya çıkar. O halde verilen denklemin kökü değildir. için olduğundan verilen denklemin kökü olur. Yani, dır denkleminin çözüm kümesini araştırınız. Çözüm: düzenlemeleri yaparsak, denkleminde sol tarafta paydaları eşitleyip gerekli Atatürk Üniversitesi Açıköğretim Fakültesi 13

14 ikinci dereceden denklemini elde ederiz. Bu denklemin köklerini ise, olarak buluruz. ve YÜKSEK DERECEDEN DENKLEMLER Derecesi 2 den büyük denklemlerin çözümleri karmaşık işlemler içerdiğinden burada sadece genel bazı bilgiler vereceğiz. Teorem 3.1. (Cebirin Esas Teoremi) dereceden bir denklemin en fazla tane kökü vardır. Bu teorem dereceden bir denklemin reel kökünün olmayabileceğini ancak en az bir kompleks sayı kökünün olduğunu ifade eder. Teorem (Rasyonel Kök Teoremi) 3.2. olmak üzere denkleminin olmak üzere şeklinde bir rasyonel kökü varsa katsayısını ve katsayısını böler. Bu teorem katsayıları tamsayılar olan polinom denklemlerin kökleri olabilecek rasyonel sayıları belirlemek için uygun bir yöntem verir. Bu sayıların verilen polinom denklemlerin kökü olup olmadığı denenir. Diğer yandan, eğer ise denkleminin tamsayı çözümlerini ın bölenleri arasında ararız denkleminin köklerini araştırınız. Çözüm: Rasyonel kök teoremine göre olduğundan verilen denklemin varsa tamsayı(rasyonel) köklerini nin bölenleri olan sayıları arasında arayacağız. Buna göre 1 için verilen denklem olduğundan 1 bu denklemin bir kökü değildir. Benzer olarak, ±2 için ve olduğundan de verilen denklemin kökü değildir. Ancak için eşitliği sağlandığından, denklemin kökü olur. ifadesi e bölünür. Bu durumda Atatürk Üniversitesi Açıköğretim Fakültesi 14

15 eşitliğini elde ederiz. O halde denkleminin diğer kökleri ifadesinin kökleri olur. Dikkat edilirse bu ifadede olmak üzere olduğundan reel kök yoktur. Böylece, denkleminin tek tamsayı(rasyonel) kökü dir denkleminin köklerini araştırınız. Çözüm: şeklinde yazabiliriz. Buradan her bir çarpanı ayrı ayrı sıfıra eşitlersek, ve olarak buluruz. EŞİTSİZLİKLER Birinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Eşitsizlikler Birinci dereceden bir bilinmeyenli denklemlerin çözümlerini araştırırken bu denklemlerin tek bir çözümünün olduğunu belirtmiştik. Ancak eşitsizliklerde tek çözümden söz etmek mümkün değildir. Çünkü eşitsizliklerin çözüm kümeleri aralıklar olarak bulunur. Örneğin, ifadesini göz önüne alalım. Bu ifade yerine yazılacak her bir reel sayıya göre negatif, sıfır veya pozitif bir reel sayı olur. Örneğin, için, için ve için 0 değerini alır. Buna göre, bu ifadeyi sıfır yapan sayıları denkleminin kökü ile, negatif yapan sayıları ile ve pozitif yapan sayıları ile ifade ederiz. Tanım 3.7. reel sayılar ve olmak üzere, biçimindeki ifadelere birinci dereceden bir bilinmeyenli eşitsizlikler denir. Bu eşitsizliklerin her hangi birini sağlayan reel sayıların kümesine de o eşitsizliğin çözüm kümesi denir. Atatürk Üniversitesi Açıköğretim Fakültesi 15

16 Birinci dereceden bir bilinmeyenli eşitsizliklerin çözüm kümesi araştırılırken ilk olarak verilen eşitsizlik birinci dereceden bir bilinmeyenli denklem gibi düşünülüp kökü bulunur. Daha sonra eşitsizliklerin işaret tablosu denilen ve aşağıdaki gibi düzenlenen tablodan yararlanılır. Buradan, nın işaretine göre verilen eşitsizliğin çözüm kümesi belirlenir. (veya ) eşitsizliğinin çözüm kümesine katılırsa (veya ) eşitsizliğinin çözüm kümesi bulunur. Diğer yandan birinci dereceden denklemlerde olduğu gibi bazı eşitsizlikler birinci dereceden olmadığı halde birinci dereceden eşitsizlikler yardımı ile çözülür. Bu durumda eşitsizlikteki her bir ifadenin ayrı ayrı işareti incelenir eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz. Çözüm: ise olur. O halde işaret tablosu, şeklinde olup aralık olacağından eşitsizliğinin çözüm kümesi işaret tablosundaki pozitif ) olur eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz. Atatürk Üniversitesi Açıköğretim Fakültesi 16

17 Çözüm: Bu eşitsizliğin çözüm kümesini bulmak için pay ve paydanın ayrı ayrı işaretlerini inceleyip bölümün işaretini göz önüne alacağız. Buna göre, olur. O halde işaret tablosu, ise ve ise şeklinde düzenlenir. İşaret tablosuna göre, ifadesinin negatif veya sıfıra eşit olduğu aralıklar, ( ve aralıklarıdır. Böylece çözüm kümesi, ( olur. Burada dikkat edilirse, için ifadesi tanımlı olmadığından çözüm kümesine dahil edilmedi eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz. Çözüm: Bu eşitsizliğin çözüm kümesini bulmak için verilen ifadedeki her bir çarpanın ayrı ayrı işaretlerini inceleyip çarpımın işaretini göz önüne alacağız. Buna göre, olur. O halde işaret tablosu, ise ve ise şeklinde düzenlenir. İşaret tablosuna göre, ifadesinin pozitif veya sıfıra eşit olduğu aralık, [ ] aralığıdır. Böylece çözüm kümesi, [ ] olur. Atatürk Üniversitesi Açıköğretim Fakültesi 17

18 İkinci Dereceden Eşitsizlikler İlk olarak ve olmak üzere üç terimlisinin işaretini inceleyelim. Bunun için önce ikinci dereceden denklemi çözülür. Daha sonra aşağıdaki durumlar irdelenir. 1. ise bu denklemin gibi iki farklı reel kökünün olduğunu ikinci dereceden denklemler kesiminden biliyoruz. Buna göre, ise olmak üzere bu kökler arasında ifadesi negatif, bu kökler dışında ifadesi pozitif değer alır. Yani ifadesinin işaret tablosu, şeklinde olur. 2. ise bu denklemin gibi iki katlı reel kökü var ve olarak yazılır. ve için olduğundan ifadesi dan farklı her reel sayı için ile aynı işaretli bir reel sayı olur. Böylece işaret tablosu, şeklinde olur. 3. ise bu denklemin reel kökü yoktur. ifadesini özdeş olarak [ ] Atatürk Üniversitesi Açıköğretim Fakültesi 18

19 yazabiliriz. Bu eşitliğin sağ tarafında ve olduğundan olur. O halde, [ ] ifadesi her reel sayısı için ile aynı işaretli bir reel sayı olur. Dolayısı ile işaret tablosu, şeklinde olur. Bu açıklamalardan sonra aşağıdaki sonuçları çıkarabiliriz. ve olduğunda ifadesi daima pozitiftir. ve olduğunda ifadesi daima negatiftir ifadesinin işaretini inceleyiniz. Çözüm: olduğundan denkleminin reel kökü yoktur. Buna göre, olduğundan bu ifadenin işaret tablosu şeklinde olur eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz. Çözüm: olduğundan denkleminin Atatürk Üniversitesi Açıköğretim Fakültesi 19

20 gibi iki reel kökü vardır. Buna göre işaret tablosu, şeklinde olup çözüm kümesini olarak buluruz eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz.. Çözüm: Pay ve paydanın işaretini ayrı ayrı inceleyip tek tabloda birleştirelim. ise olduğundan ve reel köklerini buluruz. Benzer olarak, denklemi için de ise olduğundan ve reel köklerini buluruz. Buna göre işaret tablosu, şeklinde olup çözüm kümesini ) ) olarak buluruz. Burada ifadesi ve için tanımsız olduğundan bu noktaların çözüm kümesine dahil edilmediğine dikkat ediniz. Diğer bir eşitsizlik türü de mutlak değer ile ilgili eşitsizliklerdir. Bir sayının mutlak değerini önceki bölümde tanımıştık. Benzer şekilde, cebirsel bir ifadeyi göstermek üzere in mutlak değeri { Atatürk Üniversitesi Açıköğretim Fakültesi 20

21 olarak tanımlanır. Mutlak değerin aşağıdaki özellikleri kullanarak mutlak değer ile ilgili denklem ve eşitsizlikleri çözebiliriz. 1. veya eşitliklerini sağlayan ler, 2. eşitsizliğini sağlayan ler, 3. veya eşitsizliklerini sağlayan ler. Eşitsizlikler ile ilgili aşağıdaki özellikler de problemlerin çözümünde yararlı olacaktır. 1. Bir eşitsizliğin her iki yanına aynı sayı eklenir veya çıkarılırsa eşitsizlik aynı kalır. Yani, olmak üzere dir. 2. Bir eşitsizliğin her iki yanı pozitif bir sayı ile çarpılır veya bölünürse eşitsizlik aynı kalır. Negatif bir sayı ile çarpılır veya bölünürse eşitsizlik yön değiştirir.yani, olmak üzere ise ve dir. ise ve dir denkleminin çözüm kümesini bulunuz. Çözüm: Mutlak değerin özelliğinden olması veya demektir. O halde, ise ve ise olarak bulunur. Böylece çözüm kümesi, { } olur eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz. Atatürk Üniversitesi Açıköğretim Fakültesi 21

22 Bireysel Etkinlik Özdeşlikler, Denklemler ve Eşitsizlikler Çözüm: Mutlak değerin özelliğinden yazarız. Dolayısıyla çözüm kümesi, olur eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz. Çözüm: Mutlak değerin özelliğinden olur. O halde çözüm kümesi, olarak bulunur. Denklem ve eşitsizlik arasındaki fark nedir? Düşününüz. Atatürk Üniversitesi Açıköğretim Fakültesi 22

23 Özet Özdeşlikler, Denklemler ve Eşitsizlikler Bu bölümde; denklem, sabit ve değişken kavramları tanıtıldıktan sonra, matematiksel problemlerin denklem olarak yazılabilmesi, birinci ve ikinci dereceden denklemlerin ve birinci ve ikinci dereceden eşitsizliklerin çözüm kümelerinin belirlenmesi üzerinde duruldu. Ayrıca, yüksek dereceden denklemlerin çözümleri ile ilgili genel bilgiler verildi. Atatürk Üniversitesi Açıköğretim Fakültesi 23

24 DEĞERLENDİRME SORULARI Değerlendirme sorularını sistemde ilgili ünite başlığı altında yer alan bölüm sonu testi bölümünde etkileşimli olarak cevaplayabilirsiniz. 1. ifadesinin özdeşi aşağıdakilerden hangisidir? a) b) c) d) e) 2. ifadesinin en sade şekli aşağıdakilerden hangisidir? a) b) c) d) e) 3. denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir? a) b) c) { } d) e) 4. denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir? a) { } b) { } c) d) { } e) 5. denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir? a) b) c) d) e) Cevap Anahtarı 1.C, 2.D, 3.A, 4.A, 5.A Atatürk Üniversitesi Açıköğretim Fakültesi 24

25 YARARLANILAN VE BAŞVURULABİLECEK DİĞER KAYNAKLAR Kadıoğlu, E., Kamali, M., (2009). Genel Matematik. Erzurum: Kültür Eğitim Vakfı Yayınevi. Sağel, M.K., Aktaş, M., (2003). Genel Matematik 1. Ankara: Pagem Yayıncılık. Özer, O., (2003). Genel Matematik, Eskişehir: Anadolu Üniversitesi Bayraktar, M., (2000). Analiz I. Bursa: Uludağ Üniversitesi Güçlendirme Vakfı Yayını. Sabuncuoğlu, A., Hacısalihoğlu, H. H., Akkaş, S., Özel, Z., (1984). Soyut Matematik. Ankara: Gazi Üniversitesi Yayını. Atatürk Üniversitesi Açıköğretim Fakültesi 25

İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER

İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER İkinci Dereceden Denklemler a, b ve c reel sayı, a ¹ 0 olmak üzere ax + bx + c = 0 şeklinde yazılan denklemlere ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem denir. Aşağıdaki denklemlerden

Detaylı

ÜNİTE. MATEMATİK-1 Prof.Dr.Ekrem KADIOĞLU İÇİNDEKİLER HEDEFLER SAYI KÜMELERİ. Sayılar Üslü Sayılar Köklü Sayılar Aralıklar Mutlak Değer

ÜNİTE. MATEMATİK-1 Prof.Dr.Ekrem KADIOĞLU İÇİNDEKİLER HEDEFLER SAYI KÜMELERİ. Sayılar Üslü Sayılar Köklü Sayılar Aralıklar Mutlak Değer HEDEFLER İÇİNDEKİLER SAYI KÜMELERİ Sayılar Üslü Sayılar Köklü Sayılar Aralıklar Mutlak Değer MATEMATİK-1 Prof.Dr.Ekrem KADIOĞLU Bu üniteyi çalıştıktan sonra; Üslü ve köklü ifadenin, mutlak değerin ne olduğunu

Detaylı

Taşkın, Çetin, Abdullayeva 2. ÖZDEŞLİKLER,DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER

Taşkın, Çetin, Abdullayeva 2. ÖZDEŞLİKLER,DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER MATEMATİK Taşkın, Çetin, Abdullayeva BÖLÜM. ÖZDEŞLİKLER,DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER. ÖZDEŞLİKLER İki cebirsel ifade içerdikleri değişkenlerin (veya bilinmeyenlerin) her değeri içinbirbirine eşit oluyorsa,

Detaylı

ÜNİTE. MATEMATİK-1 Yrd.Doç.Dr.Ömer TARAKÇI İÇİNDEKİLER HEDEFLER DOĞRULAR VE PARABOLLER

ÜNİTE. MATEMATİK-1 Yrd.Doç.Dr.Ömer TARAKÇI İÇİNDEKİLER HEDEFLER DOĞRULAR VE PARABOLLER HEDEFLER İÇİNDEKİLER DOĞRULAR VE PARABOLLER Birinci Dereceden Polinom Fonksiyonlar ve Doğru Doğru Denklemlerinin Bulunması İkinci Dereceden Polinom Fonksiyonlar ve Parabol MATEMATİK-1 Yrd.Doç.Dr.Ömer TARAKÇI

Detaylı

ÜNİTE MATEMATİK-1 İÇİNDEKİLER HEDEFLER ÜSTEL VE LOGARİTMA FONKSİYONLARI. Prof.Dr.Ahmet KÜÇÜK. Üstel Fonksiyon Logaritma Fonksiyonu

ÜNİTE MATEMATİK-1 İÇİNDEKİLER HEDEFLER ÜSTEL VE LOGARİTMA FONKSİYONLARI. Prof.Dr.Ahmet KÜÇÜK. Üstel Fonksiyon Logaritma Fonksiyonu HEDEFLER İÇİNDEKİLER ÜSTEL VE LOGARİTMA FONKSİYONLARI Üstel Fonksiyon Logaritma Fonksiyonu MATEMATİK-1 Prof.Dr.Ahmet KÜÇÜK Bu ünite çalışıldıktan sonra, Üstel fonksiyonun tanımı öğrenilecek Üstel fonksiyonun

Detaylı

(m+2) +5<0. 7/m+3 + EŞİTSİZLİKLER A. TANIM

(m+2) +5<0. 7/m+3 + EŞİTSİZLİKLER A. TANIM EŞİTSİZLİKLER A. TANIM f(x)>0, f(x) - eşitsizliğinin

Detaylı

ÜNİTE. MATEMATİK-1 Doç.Dr.Murat SUBAŞI İÇİNDEKİLER HEDEFLER TÜREV UYGULAMALARI-I

ÜNİTE. MATEMATİK-1 Doç.Dr.Murat SUBAŞI İÇİNDEKİLER HEDEFLER TÜREV UYGULAMALARI-I HEDEFLER İÇİNDEKİLER TÜREV UYGULAMALARI-I Artan ve Azalan Fonksiyonlar Fonksiyonların Maksimum ve Minimumu Birinci Türev Testi İkinci Türev Testi Türevin Geometrik Yorumu Türevin Fiziksel Yorumu MATEMATİK-1

Detaylı

1. BÖLÜM Polinomlar BÖLÜM II. Dereceden Denklemler BÖLÜM II. Dereceden Eşitsizlikler BÖLÜM Parabol

1. BÖLÜM Polinomlar BÖLÜM II. Dereceden Denklemler BÖLÜM II. Dereceden Eşitsizlikler BÖLÜM Parabol ORGANİZASYON ŞEMASI . BÖLÜM Polinomlar... 7. BÖLÜM II. Dereceden Denklemler.... BÖLÜM II. Dereceden Eşitsizlikler... 9. BÖLÜM Parabol... 5 5. BÖLÜM Trigonometri... 69 6. BÖLÜM Karmaşık Sayılar... 09 7.

Detaylı

ÜNİTE. MATEMATİK-1 Prof.Dr.Ahmet KÜÇÜK İÇİNDEKİLER HEDEFLER TÜREV VE TÜREV ALMA KURALLARI. Türev Türev Alma Kuralları

ÜNİTE. MATEMATİK-1 Prof.Dr.Ahmet KÜÇÜK İÇİNDEKİLER HEDEFLER TÜREV VE TÜREV ALMA KURALLARI. Türev Türev Alma Kuralları HEDEFLER İÇİNDEKİLER TÜREV VE TÜREV ALMA KURALLARI Türev Türev Alma Kuralları MATEMATİK-1 Prof.Dr.Ahmet KÜÇÜK Bu üniteyi çalıştıktan sonra Burada türevin tanımı verilecek, Geometride bir eğrinin bir noktadaki

Detaylı

Özdeşlikler, Denklemler ve Eşitsizlikler

Özdeşlikler, Denklemler ve Eşitsizlikler Özdeşlikler, Denklemler ve Eşitsizlikler Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV ÜNİTE Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; temel özdeşlikleri ve binom açılımını, birinci ve ikinci dereceden denklem çözümlerini

Detaylı

Yeşilköy Anadolu Lisesi

Yeşilköy Anadolu Lisesi Yeşilköy Anadolu Lisesi TANIM (KONUYA GİRİŞ) a, b, c gerçel sayı ve a ¹ 0 olmak üzere, ax 2 + bx + c = 0 biçimindeki her açık önermeye ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem denir. Bu açık önermeyi

Detaylı

Matematikte karşılaştığınız güçlükler için endişe etmeyin. Emin olun benim karşılaştıklarım sizinkilerden daha büyüktür.

Matematikte karşılaştığınız güçlükler için endişe etmeyin. Emin olun benim karşılaştıklarım sizinkilerden daha büyüktür. - 1 - ÖĞRENME ALANI CEBİR BÖLÜM KARMAŞIK SAYILAR ALT ÖĞRENME ALANLARI 1) Karmaşık Sayılar Karmaşık Sayıların Kutupsal Biçimi KARMAŞIK SAYILAR Kazanım 1 : Gerçek sayılar kümesini genişletme gereğini örneklerle

Detaylı

Değişken içeren ve değişkenlerin belli değerleri için doğru olan cebirsel eşitliklere denklem denir.

Değişken içeren ve değişkenlerin belli değerleri için doğru olan cebirsel eşitliklere denklem denir. 1 DENKLEMLER: Değişken içeren ve değişkenlerin belli değerleri için doğru olan cebirsel eşitliklere denklem denir. Bir denklemde eşitliği sağlayan(doğrulayan) değerlere; verilen denklemin kökleri veya

Detaylı

Denklemler İkinci Dereceden Denklemler. İkinci dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler. a,b,c IR ve a 0 olmak üzere,

Denklemler İkinci Dereceden Denklemler. İkinci dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler. a,b,c IR ve a 0 olmak üzere, Bölüm 33 Denklemler 33.1 İkinci Dereceden Denklemler İkinci dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler a,b,c IR ve a 0 olmak üzere, ax 2 + bx + c = 0 biçimindeki her açık önermeye ikinci dereceden bir bilinmeyenli

Detaylı

TAMSAYILAR. 9www.unkapani.com.tr. Z = {.., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, } kümesinin her bir elemanına. a, b, c birer tamsayı olmak üzere, Burada,

TAMSAYILAR. 9www.unkapani.com.tr. Z = {.., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, } kümesinin her bir elemanına. a, b, c birer tamsayı olmak üzere, Burada, TAMSAYILAR Z = {.., -, -, -, 0,,,, } kümesinin her bir elemanına tamsayı denir. Burada, + Z = {,,,...} kümesine, pozitif tamsayılar kümesi denir. Z = {...,,,,} kümesine, negatif tamsayılar kümesi denir.

Detaylı

TEMEL KAVRAMLAR. SAYI KÜMELERİ 1. Doğal Sayılar

TEMEL KAVRAMLAR. SAYI KÜMELERİ 1. Doğal Sayılar TEMEL KAVRAMLAR Rakam: Sayıları ifade etmeye yarayan sembollere rakam denir. Bu semboller {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} kümesinin elemanlarıdır., b ve c birer rakamdır. 15 b = c olduğuna göre, + b + c

Detaylı

Lineer Bağımlılık ve Lineer Bağımsızlık

Lineer Bağımlılık ve Lineer Bağımsızlık Lineer Bağımlılık ve Lineer Bağımsızlık Yazar Öğr.Grv.Dr.Nevin ORHUN ÜNİTE 5 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; Vektör uzayı ve alt uzay yapısını daha iyi tanıyacak, Bir vektör uzayındaki vektörlerin

Detaylı

İÇİNDEKİLER BASİT EŞİTSİZLİKLER. HARFLİ İFADELER Harfli İfadeler ve Elemanları Eşitsizlik Sembolleri ve İşaretin Eşitsizlik İfadesi...

İÇİNDEKİLER BASİT EŞİTSİZLİKLER. HARFLİ İFADELER Harfli İfadeler ve Elemanları Eşitsizlik Sembolleri ve İşaretin Eşitsizlik İfadesi... İÇİNDEKİLER HARFLİ İFADELER Harfli İfadeler ve Elemanları... 1 Benzer Terim... Harfli İfadenin Terimlerini Toplayıp Çıkarma... Harfli İfadelerin Terimlerini Çarpma... Harfli İfadelerde Parantez Açma...

Detaylı

Buna göre, eşitliği yazılabilir. sayılara rasyonel sayılar denir ve Q ile gösterilir. , -, 2 2 = 1. sayıdır. 2, 3, 5 birer irrasyonel sayıdır.

Buna göre, eşitliği yazılabilir. sayılara rasyonel sayılar denir ve Q ile gösterilir. , -, 2 2 = 1. sayıdır. 2, 3, 5 birer irrasyonel sayıdır. TEMEL KAVRAMLAR RAKAM Bir çokluk belirtmek için kullanılan sembollere rakam denir. 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 sembolleri birer rakamdır. 2. TAMSAYILAR KÜMESİ Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,... }

Detaylı

Lineer Denklem Sistemleri

Lineer Denklem Sistemleri Lineer Denklem Sistemleri Yazar Yrd. Doç.Dr. Nezahat ÇETİN ÜNİTE 3 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; Lineer Denklem ve Lineer Denklem Sistemleri kavramlarını öğrenecek, Lineer Denklem Sistemlerinin

Detaylı

SAYILAR DOĞAL VE TAM SAYILAR

SAYILAR DOĞAL VE TAM SAYILAR 1 SAYILAR DOĞAL VE TAM SAYILAR RAKAM: Sayıları ifade etmek için kullandığımız 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 sembollerinden her birine rakam denir. Soru: a ve b farklı rakamlar olmak üzere a + b nin alabileceği

Detaylı

İKİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEMLER,, olmak üzere 2. ÜNİTE. İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER, EŞİTSİZLİKLER ve FONKSİYONLAR

İKİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEMLER,, olmak üzere 2. ÜNİTE. İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER, EŞİTSİZLİKLER ve FONKSİYONLAR - 1-2 ÜNİTE İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER, EŞİTSİZLİKLER ve FONKSİYONLAR ÖĞRENME ALANI CEBİR İKİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEMLER,, olmak üzere Şeklindeki açık önermelere, ikinci dereceden bir bilinmeyenli

Detaylı

İl temsilcimiz sizinle irtibata geçecektir.

İl temsilcimiz sizinle irtibata geçecektir. Biz, Sizin İçin Farklı Düşünüyor Farklı Üretiyor Farklı Uyguluyoruz Biz, Sizin İçin Farklıyız Sizi de Farklı Görmek İstiyoruz Soru Bankası matematik konularını yeni öğrenen öğrenciler için TMOZ öğretmenlerince

Detaylı

Örnek...3 : Aşağıdaki ifadelerden hangileri bir dizinin genel terim i olabilir? Örnek...4 : Genel terimi w n. Örnek...1 : Örnek...5 : Genel terimi r n

Örnek...3 : Aşağıdaki ifadelerden hangileri bir dizinin genel terim i olabilir? Örnek...4 : Genel terimi w n. Örnek...1 : Örnek...5 : Genel terimi r n DİZİLER Tanım kümesi pozitif tam sayılar kümesi olan her fonksiyona dizi denir. Örneğin f : Z + R, f (n )=n 2 ifadesi bir dizi belirtir. Diziler değer kümelerine göre adlandırılırlar. Dizinin değer kümesi

Detaylı

Projenin Adı: Metalik Oranlar ve Karmaşık Sayı Uygulamaları

Projenin Adı: Metalik Oranlar ve Karmaşık Sayı Uygulamaları Projenin Adı: Metalik Oranlar ve Karmaşık Sayı Uygulamaları Projenin Amacı: Metalik Oranların elde edildiği ikinci dereceden denklemin diskriminantını ele alarak karmaşık sayılarla uygulama yapmak ve elde

Detaylı

Örnek...3 : Aşağıdaki ifadelerden hangileri bir dizinin genel terim i olabilir?

Örnek...3 : Aşağıdaki ifadelerden hangileri bir dizinin genel terim i olabilir? DİZİLER Tanım kümesi pozitif tam sayılar kümesi olan her fonksiyona dizi denir. Örneğin f : Z + R, f (n )=n 2 ifadesi bir dizi belirtir. Diziler, değer kümelerine göre adlandırı - lırlar. Dizinin değer

Detaylı

1. BÖLÜM Mantık BÖLÜM Sayılar BÖLÜM Rasyonel Sayılar BÖLÜM I. Dereceden Denklemler ve Eşitsizlikler

1. BÖLÜM Mantık BÖLÜM Sayılar BÖLÜM Rasyonel Sayılar BÖLÜM I. Dereceden Denklemler ve Eşitsizlikler ORGANİZASYON ŞEMASI 1. BÖLÜM Mantık... 7. BÖLÜM Sayılar... 13 3. BÖLÜM Rasyonel Sayılar... 93 4. BÖLÜM I. Dereceden Denklemler ve Eşitsizlikler... 103 5. BÖLÜM Mutlak Değer... 113 6. BÖLÜM Çarpanlara Ayırma...

Detaylı

: Matematik. : 9. Sınıf. : Sayılar. : (6) Ders Saati

: Matematik. : 9. Sınıf. : Sayılar. : (6) Ders Saati MATEMATİK DERS PLÂNI Dersin adı Sınıf Öğrenme Alanı : Matematik : 9. Sınıf : Sayılar Başlangıç Tarihi :.. /../. Alt Öğrenme Alanı : Mutlak Değer Önerilen Süre : (6) Ders Saati Öğrenci Kazanımları /Hedef

Detaylı

biçimindeki ifadelere iki değişkenli polinomlar denir. Bu polinomda aynı terimdeki değişkenlerin üsleri toplamından en büyük olanına polinomun dereces

biçimindeki ifadelere iki değişkenli polinomlar denir. Bu polinomda aynı terimdeki değişkenlerin üsleri toplamından en büyük olanına polinomun dereces TANIM n bir doğal sayı ve a 0, a 1, a 2,..., a n 1, a n birer gerçel sayı olmak üzere, P(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 +... + a n 1 x n 1 +a n x n biçimindeki ifadelere x değişkenine bağlı, gerçel (reel)

Detaylı

ÜNİTE. MATEMATİK-1 Doç.Dr.Murat SUBAŞI İÇİNDEKİLER HEDEFLER TÜREV UYGULAMALARI-II

ÜNİTE. MATEMATİK-1 Doç.Dr.Murat SUBAŞI İÇİNDEKİLER HEDEFLER TÜREV UYGULAMALARI-II HEDEFLER İÇİNDEKİLER TÜREV UYGULAMALARI-II Fonksiyonların Bükeyliği Maksimum - Minimum Problemleri Belirsiz Haller MATEMATİK-1 Doç.Dr.Murat SUBAŞI Bu üniteyi çalıştıktan sonra; Fonksiyonların grafiklerinin

Detaylı

TEMEL KAVRAMLAR A: SAYI Sayıları ifade etmeye yarayan sembollere rakam denir. Ör: 0,1,2,3,4,5,6 Rakamların çokluk belirtecek şekilde bir araya getirilmesiyle oluşturulan ifadeler ifadesine sayı denir.

Detaylı

KPSS MATEMATİK KONU ANLATIMLI SORU BANKASI ANKARA

KPSS MATEMATİK KONU ANLATIMLI SORU BANKASI ANKARA KPSS MATEMATİK KONU ANLATIMLI SORU BANKASI ANKARA İÇİNDEKİLER Matematiğe Giriş... Temel Kavramlar... Bölme - Bölünebilme Kuralları... 85 EBOB - EKOK... Rasyonel Sayılar... Basit Eşitsizlikler... 65 Mutlak

Detaylı

a = b ifadesine kareköklü ifade denir.

a = b ifadesine kareköklü ifade denir. KAREKÖKLÜ SAYILAR Rasyonel sayılar kümesi sayı ekseninde sık olmasına rağmen sayı eksenini tam dolduramamaktadır;çünkü sayı doğrusu üzerinde görüntüsü olduğu halde rasyonel olmayan sayılar da vardır. Karesi

Detaylı

ÜNİTE: RASYONEL SAYILAR KONU: Rasyonel Sayılar Kümesinde Çıkarma İşlemi

ÜNİTE: RASYONEL SAYILAR KONU: Rasyonel Sayılar Kümesinde Çıkarma İşlemi ÜNTE: RASYONEL SAYILAR ONU: Rasyonel Sayılar ümesinde Çıkarma şlemi ÖRNE SORULAR VE ÇÖZÜMLER. işleminin sonucu B) D) ki rasyonel sayının farkını bulmak için çıkan terimin toplama işlemine göre tersi alınarak

Detaylı

Rasyonel Sayılarla İşlemler. takip edilir.

Rasyonel Sayılarla İşlemler. takip edilir. Matematik Bir Bakışta Matematik Kazanım Defteri Rasyonel Sayılarla İşlemler Özet bilgi alanları... RASYONEL SAYILARLA ÇOK ADIMLI İŞLEMLER Çok adımlı işlemlerde şu sıra takip edilir : Parantez içindeki

Detaylı

Rakam : Sayıları yazmaya yarayan sembollere rakam denir.

Rakam : Sayıları yazmaya yarayan sembollere rakam denir. A. SAYILAR Rakam : Sayıları yazmaya yarayan sembollere rakam denir. Sayı : Rakamların çokluk belirten ifadesine sayı denir.abc sayısı a, b, c rakamlarından oluşmuştur.! Her rakam bir sayıdır. Fakat bazı

Detaylı

ASAL SAYILAR - TAM BÖLENLER - FAKTÖRİYEL Test -1

ASAL SAYILAR - TAM BÖLENLER - FAKTÖRİYEL Test -1 ASAL SAYILAR - TAM BÖLENLER - FAKTÖRİYEL Test -1 1. ve y aralarında asal iki doğal sayıdır. 7 y 11 olduğuna göre, y farkı 5. 364 sayısının en büyük asal böleni A) 3 B) 7 C) 11 D) 13 E) 17 A) B) 3 C) 4

Detaylı

DENKLEM SİSTEMLERİ. ifadesinde a sayısı bilinmeyenin katsayısı ve b ise sabit sayıdır.

DENKLEM SİSTEMLERİ. ifadesinde a sayısı bilinmeyenin katsayısı ve b ise sabit sayıdır. DENKLEM SİSTEMLERİ 1) BİRİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEMLER: a,bϵ R ve olmak üzere; şeklindeki denklemlere birinci dereceden bir bilinmeyenli denklem denir. Bu tür denklemlerde sadece bir bilinmeyen

Detaylı

Viyana İmam Hatip Lisesi Öğrenci Seçme Sınavı - Matematik

Viyana İmam Hatip Lisesi Öğrenci Seçme Sınavı - Matematik Viyana İmam Hatip Lisesi Öğrenci Seçme Sınavı - Matematik 1. Ünite: Geometriden Olasılığa 1. Bölüm: Yansıyan ve Dönen Şekiller, Fraktallar Yansıma, Öteleme, Dönme Fraktallar 2. Bölüm: Üslü Sayılar Tam

Detaylı

2. Matematiksel kavramları organize bir şekilde sunarak, bu kavramları içselleştirmenizi sağlayacak pedagojik bir alt yapı ile yazılmıştır.

2. Matematiksel kavramları organize bir şekilde sunarak, bu kavramları içselleştirmenizi sağlayacak pedagojik bir alt yapı ile yazılmıştır. Sevgili Öğrenciler, Matematik ilköğretimden üniversiteye kadar çoğu öğrencinin korkulu rüyası olmuştur. Buna karşılık, istediğiniz üniversitede okuyabilmeniz büyük ölçüde YGS ve LYS'de matematik testinde

Detaylı

İç-Çarpım Uzayları ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv. Dr. Nevin ORHUN

İç-Çarpım Uzayları ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv. Dr. Nevin ORHUN İç-Çarpım Uzayları Yazar Öğr. Grv. Dr. Nevin ORHUN ÜNİTE Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; R n, P n (R), M nxn vektör uzaylarında iç çarpım kavramını tanıyacak ve özelliklerini görmüş olacaksınız.

Detaylı

3 7 üs(kuvvet) 5 2 ( 4 3 ( 7 5 (

3 7 üs(kuvvet) 5 2 ( 4 3 ( 7 5 ( Bu konuda üslü sayılarla ilgili kazanımları maddeler halide işleyeceğiz Normalde 8 sınıf matematik kazanımları üslü sayılar konusunda negatif üs kavramı ile başlamasına rağmen bu çalışma kağıdında 6sınıf

Detaylı

MATEMATİK SORU BANKASI. ezberbozan serisi GEOMETRİ 30. KPSS tamamı çözümlü. eğitimde

MATEMATİK SORU BANKASI. ezberbozan serisi GEOMETRİ 30. KPSS tamamı çözümlü. eğitimde ezberbozan serisi MATEMATİK GEOMETRİ KPSS 2017 SORU BANKASI eğitimde tamamı çözümlü 30. Kerem Köker Kenan Osmanoğlu Levent Şahin Uğur Özçelik Ahmet Tümer Yılmaz Ceylan KOMİSYON KPSS EZBERBOZAN MATEMATİK

Detaylı

2. ÜNİTE RASYONEL,ÜSLÜ VE KÖKLÜ SAYILAR

2. ÜNİTE RASYONEL,ÜSLÜ VE KÖKLÜ SAYILAR 2. ÜNİTE RASYONEL,ÜSLÜ VE KÖKLÜ SAYILAR KONULAR 1. RASYONEL SAYILAR 2. Kesir Çeşitleri 3. Kesirlerin Sadeleştirilmesi 4. Rasyonel Sayılarda Sıralama 5. Rasyonel Sayılarda İşlemler 6. ÜSLÜ İFADE 7. Üssün

Detaylı

1.DERECEDEN DENKLEMLER. (Bu belgenin güncellenmiş halini bu adresten indirebilirsiniz)

1.DERECEDEN DENKLEMLER.  (Bu belgenin güncellenmiş halini bu adresten indirebilirsiniz) .DERECEDEN DENKLEMLER Rüstem YILMAZ 546 550 86 48 destek@sinavdestek.com www.sinavdestek.com (Bu belgenin güncellenmiş halini bu adresten indirebilirsiniz) JET Yayınları 8 Ağustos 07 0. Bir Bilinmeyenli

Detaylı

İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ Bölüm 1 KÜMELER Bölüm 2 SAYILAR

İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ Bölüm 1 KÜMELER Bölüm 2 SAYILAR İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ III Bölüm 1 KÜMELER 11 1.1. Küme 12 1.2. Kümelerin Gösterimi 13 1.3. Boş Küme 13 1.4. Denk Küme 13 1.5. Eşit Kümeler 13 1.6. Alt Küme 13 1.7. Alt Küme Sayısı 14 1.8. Öz Alt Küme 16 1.9.

Detaylı

MATEMATiKSEL iktisat

MATEMATiKSEL iktisat DİKKAT!... BU ÖZET 8 ÜNİTEDİR BU- RADA İLK ÜNİTE GÖSTERİLMEKTEDİR. MATEMATiKSEL iktisat KISA ÖZET KOLAY AOF Kolayaöf.com 0362 233 8723 Sayfa 2 içindekiler 1.ünite-Türev ve Kuralları..3 2.üniteTek Değişkenli

Detaylı

1 RASYONEL SAYILARDA İŞLEMLER Sorular Sorular DOĞRUSAL DENKLEMLER Sorular DOĞRUSAL DENKLEM SİSTEMLERİ 25

1 RASYONEL SAYILARDA İŞLEMLER Sorular Sorular DOĞRUSAL DENKLEMLER Sorular DOĞRUSAL DENKLEM SİSTEMLERİ 25 İçindekiler RASYONEL SAYILARDA İŞLEMLER. Çözümlü Sorular............................. 2.2 Sorular................................... 5 2 TEK - TERİMLİ veçok-terimli İFADELER 7 2. Çözümlü Sorular.............................

Detaylı

Özdeğer ve Özvektörler

Özdeğer ve Özvektörler Özdeğer ve Özvektörler Yazar Öğr.Grv.Dr.Nevin ORHUN ÜNİTE 9 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; bir lineer dönüşümün ve bir matrisin özdeğer ve özvektör kavramlarını anlayacak, bir dönüşüm matrisinin

Detaylı

Mustafa Özdemir İrtibat İçin : veya Altın Nokta Yayınevi

Mustafa Özdemir İrtibat İçin : veya Altın Nokta Yayınevi 2 Matematik Olimpiyatlarına Hazırlık 4 Mustafa Özdemir MATEMATİK OLİMPİYATLARINA HAZIRLIK 4 (336 sayfa) ANALİZ CEBİR 1 TANITIM DÖKÜMANI (Kitabın içeriği hakkında bir bilgi verilmesi amacıyla bu döküman

Detaylı

Cebirsel Fonksiyonlar

Cebirsel Fonksiyonlar Cebirsel Fonksiyonlar Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV ÜNİTE 4 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; polinom, rasyonel ve cebirsel fonksiyonları tanıyacak ve bu türden bazı fonksiyonların grafiklerini öğrenmiş

Detaylı

8.SINIF CEBirsel ifadeler

8.SINIF CEBirsel ifadeler KAZANIM : 8.2.1.1. Basit cebirsel ifadeleri anlar ve farklı biçimlerde yazar. Hatırlatma 2 + 4y - 5 ifadesi bir cebirsel ifadedir ve değişkenler ve y dir. Cebirsel İfade: İçinde bir veya birden fazla bilinmeyen

Detaylı

Bu tanım aralığı pozitif tam sayılar olan f(n) fonksiyonunun değişim aralığı n= 1, 2, 3,, n,

Bu tanım aralığı pozitif tam sayılar olan f(n) fonksiyonunun değişim aralığı n= 1, 2, 3,, n, DİZİLER Tamamen belirli bir kurala göre sıralanmış sayılar topluluğuna veya kümeye Dizi denir. Belirli bir kurala göre birbiri ardınca gelen bu sayıların her birine dizinin terimi ve hepsine birden dizinin

Detaylı

ÜSLÜ SAYILAR. AMAÇ 1: 6 ve 7. Sınıflarda görmüş olduğumuz üslü ifadelerdeki temel kavramları hatırlama

ÜSLÜ SAYILAR. AMAÇ 1: 6 ve 7. Sınıflarda görmüş olduğumuz üslü ifadelerdeki temel kavramları hatırlama AMAÇ 1: 6 ve 7. Sınıflarda görmüş olduğumuz üslü ifadelerdeki temel kavramları hatırlama KURAL: Bir sayının belli bir sayıda yan yana çarpımının kolay yoldan gösterimine üslü sayılar denir. Örneğin 5 sayısının

Detaylı

BİRİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEMLER

BİRİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEMLER YILLAR 00 00 00 00 00 00 007 008 009 00 ÖSS-YGS - - - - - - - - BİRİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEMLER a,b R ve a 0 olmak üzere ab=0 şeklindeki denklemlere Birinci dereceden bir bilinmeyenli denklemler

Detaylı

İÇİNDEKİLER. Bölüm 2 CEBİR 43

İÇİNDEKİLER. Bölüm 2 CEBİR 43 İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ III Bölüm 1 SAYILAR 13 1.1 Doğal Sayılar 15 1.1.1. Tek ve Çift Sayılar 15 1.1.2. Asal Sayılar 15 1.1.3 Doğal Sayıların Özellikleri 15 1.1.4 Doğal Sayılarda Özel Toplamlar 16 1.1.5. Faktöriyel

Detaylı

YGS - LYS SAYILAR KONU ÖZETLİ ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI

YGS - LYS SAYILAR KONU ÖZETLİ ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI YGS - LYS SAYILAR KONU ÖZETLİ LÜ SORU BANKASI ANKARA ÖN SÖZ Sevgili Öğrenciler, ÖSYM nin son yıllarda yaptığı sınavlardaki matematik sorularının eski sınav sorularından çok farklı olduğu herkes tarafından

Detaylı

FAKTÖRİYEL. TANIM Pozitif ilk n tam sayının çarpımı n = n! biçiminde gösterilir. n Faktöriyel okunur.

FAKTÖRİYEL. TANIM Pozitif ilk n tam sayının çarpımı n = n! biçiminde gösterilir. n Faktöriyel okunur. FAKTÖRİYEL TANIM Pozitif ilk n tam sayının çarpımı 1.2.3 n = n! biçiminde gösterilir. n Faktöriyel okunur. 1!=1 2!=1.2=2 3!=1.2.3=6 4!=1.2.3.4=24 5!=1.2.3.4.5=120 gibi. Özel olarak; 0! = 1 olarak tanımlanmıştır.

Detaylı

Temel Kavramlar 1 Doğal sayılar: N = {0, 1, 2, 3,.,n, n+1,..} kümesinin her bir elamanına doğal sayı denir ve N ile gösterilir.

Temel Kavramlar 1 Doğal sayılar: N = {0, 1, 2, 3,.,n, n+1,..} kümesinin her bir elamanına doğal sayı denir ve N ile gösterilir. Temel Kavramlar 1 Doğal sayılar: N = {0, 1, 2, 3,.,n, n+1,..} kümesinin her bir elamanına doğal sayı denir ve N ile gösterilir. a) Pozitif doğal sayılar: Sıfır olmayan doğal sayılar kümesine Pozitif Doğal

Detaylı

Lineer Dönüşümler ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv.Dr. Nevin ORHUN

Lineer Dönüşümler ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv.Dr. Nevin ORHUN Lineer Dönüşümler Yazar Öğr. Grv.Dr. Nevin ORHUN ÜNİTE 7 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; Vektör uzayları arasında tanımlanan belli fonksiyonları tanıyacak, özelliklerini öğrenecek, Bir dönüşümün,

Detaylı

olsun. Bu halde g g1 g1 g e ve g g2 g2 g e eşitlikleri olur. b G için a b b a değişme özelliği sağlanıyorsa

olsun. Bu halde g g1 g1 g e ve g g2 g2 g e eşitlikleri olur. b G için a b b a değişme özelliği sağlanıyorsa 1.GRUPLAR Tanım 1.1. G boş olmayan bir küme ve, G de bir ikili işlem olsun. (G, ) cebirsel yapısına aşağıdaki aksiyomları sağlıyorsa bir grup denir. 1), G de bir ikili işlemdir. 2) a, b, c G için a( bc)

Detaylı

12-A. Sayılar - 1 TEST

12-A. Sayılar - 1 TEST -A TEST Sayılar -. Birbirinden farklı beş pozitif tam sayının toplamı 0 dur. Bu sayılardan sadece ikisi den büyüktür. Bu sayılardan üç tanesi çift sayıdır. Buna göre bu sayılardan en büyüğü en çok kaç

Detaylı

EĞİTİM - ÖĞRETİM YILI 10. SINIF MATEMATİK DERSİ DESTEKLEME VE YETİŞTİRME KURSU KAZANIMLARI VE TESTLERİ

EĞİTİM - ÖĞRETİM YILI 10. SINIF MATEMATİK DERSİ DESTEKLEME VE YETİŞTİRME KURSU KAZANIMLARI VE TESTLERİ EKİM 07-08 EĞİTİM - ÖĞRETİM YILI 0. SINIF MATEMATİK DERSİ 0... Olayların gerçekleşme sayısını toplama ve çarpma prensiplerini kullanarak hesaplar. 0... Sınırsız sayıda tekrarlayan nesnelerin dizilişlerini

Detaylı

SINIF TEST. Üslü Sayılar A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 A) - 5 B) - 4 C) 5 D) 7. sayısı aşağıdakilerden hangisine eşittir?

SINIF TEST. Üslü Sayılar A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 A) - 5 B) - 4 C) 5 D) 7. sayısı aşağıdakilerden hangisine eşittir? 8. SINIF. Üslü Sayılar - = T olduğuna göre T kaçtır? A) - B) - C) D) 7 TEST.. 0 - işleminin sonucu kaç basamaklı bir sayıdır? A) B) C) 6 D) 7. n =- 7 için n ifadesinin değeri kaçtır? A) - 8 B) - C) 8 D)

Detaylı

Polinomlar, Temel Kavramlar, Polinomlar Kümesinde Toplama, Çıkarma, Çarpma TEST D 9. E 10. C 11. B 14. D 16. D 12. C 12. A 13. B 14.

Polinomlar, Temel Kavramlar, Polinomlar Kümesinde Toplama, Çıkarma, Çarpma TEST D 9. E 10. C 11. B 14. D 16. D 12. C 12. A 13. B 14. 1. Ünite: Polinomlar Polinomlar, Temel Kavramlar, Polinomlar Kümesinde Toplama, Çıkarma, Çarpma 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Polinomlarda Bölme, Bölüm ve Kalan Bulma 1 1 1 1 1 1 1 1 1

Detaylı

TABAN ARĠTMETĠĞĠ. ÇÖZÜM (324) 5 = = = = 89 bulunur. Doğru Seçenek C dir.

TABAN ARĠTMETĠĞĠ. ÇÖZÜM (324) 5 = = = = 89 bulunur. Doğru Seçenek C dir. TABAN ARĠTMETĠĞĠ Kullandığımız 10 luk sayma sisteminde sayılar {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} kümesinin elemanları (Rakam) kullanılarak yazılır. En büyük elemanı 9 olan, 10 elemanlı bir kümedir. Onluk sistemde;

Detaylı

1.GRUPLAR. c (Birleşme özelliği) sağlanır. 2) a G için a e e a a olacak şekilde e G. vardır. 3) a G için denir) vardır.

1.GRUPLAR. c (Birleşme özelliği) sağlanır. 2) a G için a e e a a olacak şekilde e G. vardır. 3) a G için denir) vardır. 1.GRUPLAR Tanım 1.1. G boş olmayan bir küme ve, G de bir ikili işlem olsun. (G, ) cebirsel yapısına aşağıdaki aksiyomları sağlıyorsa bir grup denir. 1) a, b, c G için a ( b c) ( a b) c (Birleşme özelliği)

Detaylı

MATEMATİK ASAL ÇARPANLARA AYIRMA. ÖRNEK 120 sayısını asal çarpanlarına ayırınız. ÖRNEK 150 sayısının asal çarpanları toplamını bulunuz.

MATEMATİK ASAL ÇARPANLARA AYIRMA. ÖRNEK 120 sayısını asal çarpanlarına ayırınız. ÖRNEK 150 sayısının asal çarpanları toplamını bulunuz. MATEMATİK ASAL ÇARPANLARA AYIRMA A S A L Ç A R P A N L A R A A Y I R M A T a n ı m : Bir tam sayıyı, asal sayıların çarpımı olarak yazmaya, asal çarpanlarına ayırma denir. 0 sayısını asal çarpanlarına

Detaylı

ÜSLÜ SAYILAR SİBEL BAŞ AKDENİZ ÜNİVERSİTESİ EĞİTİM FAK. İLKÖĞRT. MAT. ÖĞRT. 2. SINIF

ÜSLÜ SAYILAR SİBEL BAŞ AKDENİZ ÜNİVERSİTESİ EĞİTİM FAK. İLKÖĞRT. MAT. ÖĞRT. 2. SINIF ÜSLÜ SAYILAR SİBEL BAŞ 20120907010 AKDENİZ ÜNİVERSİTESİ EĞİTİM FAK. İLKÖĞRT. MAT. ÖĞRT. 2. SINIF 1 ANLATIMI ÜSLÜ SAYILAR KONU Üslü sayılar konu anlatımı içeriği; Üslü sayıların gösterimi, Negatif üslü

Detaylı

Ders 9: Bézout teoremi

Ders 9: Bézout teoremi Ders 9: Bézout teoremi Konikler doğrularla en fazla iki noktada kesişir. Şimdi iki koniğin kaç noktada kesiştiğini saptayalım. Bunu, çok kolay gözlemlerle başlayıp temel ve ünlü Bézout teoremini kanıtlayarak

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

10.Konu Tam sayıların inşası

10.Konu Tam sayıların inşası 10.Konu Tam sayıların inşası 1. Tam sayılar kümesi 2. Tam sayılar kümesinde toplama ve çarpma 3. Pozitif ve negatif tam sayılar 4. Tam sayılar kümesinde çıkarma 5. Tam sayılar kümesinde sıralama 6. Bir

Detaylı

TEKİRDAĞ SOSYAL BİLİMLER LİSESİ 10. SINIF MATEMATİK DERSİ YILLIK PLANI

TEKİRDAĞ SOSYAL BİLİMLER LİSESİ 10. SINIF MATEMATİK DERSİ YILLIK PLANI 9 Eylül- Eylül 0-07 TEKİRDAĞ SOSYAL BİLİMLER LİSESİ 0. SINIF MATEMATİK DERSİ YILLIK PLANI Veri, Sayma ve Sayma. Olayların gerçekleşme sayısını toplama ve çarpma prensiplerini kullanarak hesaplar. Sıralama

Detaylı

PENDİK ANADOLU İMAM HATİP LİSESİ EĞİTİM VE ÖĞRETİM YILI 10.SINIF MATEMATİK DERSİ YILLIK PLANI

PENDİK ANADOLU İMAM HATİP LİSESİ EĞİTİM VE ÖĞRETİM YILI 10.SINIF MATEMATİK DERSİ YILLIK PLANI PENDİK ANADOLU İMAM HATİP LİSESİ 0-0 EĞİTİM VE ÖĞRETİM YILI 0.SINIF MATEMATİK DERSİ YILLIK PLANI EYLÜL EKİM. Gerçek katsayılı ve tek değişkenli polinomu kavram olarak örneklerle açıklar, polinomun derecesini,

Detaylı

NİSAN 2010 DENEMESİ A)75 B)80 C)85 D)90 E)95 A)0 B)1 C)2 D)3 E)4

NİSAN 2010 DENEMESİ A)75 B)80 C)85 D)90 E)95 A)0 B)1 C)2 D)3 E)4 NİSAN 21 DENEMESİ 1) ABCD dikdörtgeninin AB kenarı üzerindeki M noktasından geçen ve CM doğrusuna dik olan doğru AD kenarını E noktasında kesiyor. M noktasından CE doğrusuna indirilen dikmenin ayağı P

Detaylı

TEOG. Sayma Sayıları ve Doğal Sayılar ÇÖZÜM ÖRNEK ÇÖZÜM ÖRNEK SAYI BASAMAKLARI VE SAYILARIN ÇÖZÜMLENMESİ 1. DOĞAL SAYILAR.

TEOG. Sayma Sayıları ve Doğal Sayılar ÇÖZÜM ÖRNEK ÇÖZÜM ÖRNEK SAYI BASAMAKLARI VE SAYILARIN ÇÖZÜMLENMESİ 1. DOĞAL SAYILAR. TEOG Sayma Sayıları ve Doğal Sayılar 1. DOĞAL SAYILAR 0 dan başlayıp artı sonsuza kadar giden sayılara doğal sayılar denir ve N ile gösterilir. N={0, 1, 2, 3,...,n, n+1,...} a ve b doğal sayılar olmak

Detaylı

ÇARPANLAR ve KATLAR. Uygulama-1. Asal Sayılar. Pozitif Bir Tam Sayının Çarpanlarını Bulma. Aşağıdaki sayıların çarpanlarını (bölenlerini) bulunuz.

ÇARPANLAR ve KATLAR. Uygulama-1. Asal Sayılar. Pozitif Bir Tam Sayının Çarpanlarını Bulma. Aşağıdaki sayıların çarpanlarını (bölenlerini) bulunuz. Asal Sayılar Sadece kendisine ve sayısına bölünebilen 'den büyük tam sayılara asal sayı denir. En küçük asal sayı 2'dir ÇARPANLAR ve KATLAR Uygulama- Aşağıdaki sayıların çarpanlarını (bölenlerini) 36=

Detaylı

ÜNİTE: TAM SAYILAR KONU: Tam Sayılar Kümesinde Çıkarma İşlemi

ÜNİTE: TAM SAYILAR KONU: Tam Sayılar Kümesinde Çıkarma İşlemi ÜNE: AM AYIAR N: am ayılar ümesinde Çıkarma şlemi ÖRNE RAR VE ÇÖZÜMER 1. [(+17) (+25)] + [( 12) (+21)] işleminin sonucu A) 41 B) 25 C) 25 D) 41 Çıkarma işlemi yapılırken çıkanın işareti değişir ve eksilen

Detaylı

LĐMĐT ÖSS ÖYS YILLAR SAĞDAN VE SOLDAN LĐMĐT. ÇÖZÜM: x=2 f(x) de yerine yazılır cevap:7

LĐMĐT ÖSS ÖYS YILLAR SAĞDAN VE SOLDAN LĐMĐT. ÇÖZÜM: x=2 f(x) de yerine yazılır cevap:7 YILLAR 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 ÖSS ÖYS LĐMĐT Tanım : Bir x0 A = [ a,b ] alalım, f: A R ye veya f: A - { x 0 } R ye bir fonksiyon olsun. Terimleri A - { x 0 } kümesine ait ve x

Detaylı

AKADEMİK PERSONEL VE LİSANSÜSTÜ EĞİTİMİ GİRİŞ SINAVI (ALES)

AKADEMİK PERSONEL VE LİSANSÜSTÜ EĞİTİMİ GİRİŞ SINAVI (ALES) 00000000001 AKADEMİK PERSONEL VE LİSANSÜSTÜ EĞİTİMİ GİRİŞ SINAVI (ALES) plam cevaplama süresi 150 akikadır. (,5 saat) SAYISAL BÖLÜM SAYISAL - 1 TESTİ Sınavın bu bölümünden alacağınız standart puan, Sayısal

Detaylı

Örnek...1 : Örnek...5 : n bir pozitif tamsayı ise i 4 n + 2 +i 8 n + 1 2 +i 2 0 n + 6 =?

Örnek...1 : Örnek...5 : n bir pozitif tamsayı ise i 4 n + 2 +i 8 n + 1 2 +i 2 0 n + 6 =? KARMAŞIK SAYILAR Karmaşık saılar x 2 + 1 = 0 biçimindeki denklemlerin çözümünü apabilmek için tanım lanm ıştır. Örnek...2 : Toplamları 6 ve çarpımları 34 olan iki saı bulunuz. a ve b birer reel saı ve

Detaylı

2. Dereceden Denklemler

2. Dereceden Denklemler . Dereceden Denklemler Yazım hataları olabilir. Tam olarak tashih edilmemiştir. Hataları osmanekiz000@gmail.com mail adresine bildirilseniz makbule geçer.. a + b + 5c = c(a + b) ise a b =? C: 9. ( 4) (

Detaylı

8.Konu Vektör uzayları, Alt Uzaylar

8.Konu Vektör uzayları, Alt Uzaylar 8.Konu Vektör uzayları, Alt Uzaylar 8.1. Düzlemde vektörler Düzlemdeki her noktası ile reel sayılardan oluşan ikilisini eşleştirebiliriz. Buna P noktanın koordinatları denir. y-ekseni P x y O dan P ye

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

ÜNİTE. MATEMATİK-1 Prof.Dr.Abdullah KOPUZLU İÇİNDEKİLER HEDEFLER LOGARİTMİK VE ÜSTEL FONKSİYONLARIN İKTİSADİ UYGULAMALARI

ÜNİTE. MATEMATİK-1 Prof.Dr.Abdullah KOPUZLU İÇİNDEKİLER HEDEFLER LOGARİTMİK VE ÜSTEL FONKSİYONLARIN İKTİSADİ UYGULAMALARI HEDEFLER İÇİNDEKİLER LOGARİTMİK VE ÜSTEL FONKSİYONLARIN İKTİSADİ UYGULAMALARI Logaritmik ve Üstel Fonksiyonların İktisadi Uygulamaları Bileşik Faiz Problemleri Nüfus Problemleri MATEMATİK-1 ProfDrAbdullah

Detaylı

Başlayanlara AKTİF MATEMATİK

Başlayanlara AKTİF MATEMATİK KPSS - YGS - DGS - ALES Adayları için ve 9. sınıfa destek 0 dan Başlayanlara AKTİF MATEMATİK MEHMET KOÇ ÖNSÖZ Matematikten korkuyorum, şimdiye kadar hiç matematik çözemedim, matematik korkulu rüyam! bu

Detaylı

II. DERECEDEN DENKLEMLER Test -1

II. DERECEDEN DENKLEMLER Test -1 II. DERECEDEN DENKLEMLER Test -. 5 {, 5} {, 5} { 5, } {, 5} {, 5} 5. 5 {,, } {,, } {,, } {,, } {,, }.. 5 7 7 5 5,, 5 5, 5 5, 5 5, 6. 7. 5 95 { 5,, } {,, 5} { 5,, 9} {,, 5} { 9,, 5} 6 66 {, } {,, } {,,

Detaylı

sayısının tamkare olmasını sağlayan kaç p asal sayısı vardır?(88.32) = n 2 ise, (2 p 1

sayısının tamkare olmasını sağlayan kaç p asal sayısı vardır?(88.32) = n 2 ise, (2 p 1 TAM KARELER 1. Bir 1000 basamaklı sayıda bir tanesi dışında tüm basamaklar 5 tir. Bu sayının hiçbir tam sayının karesi olamayacağını kanıtlayınız. (2L44) Çözüm: Son rakam 5 ise, bir önceki 2 olmak zorunda.

Detaylı

AKILLI. sınıf. Musa BOR

AKILLI. sınıf. Musa BOR AKILLI sınıf. Musa BOR AFG Matbaa Yayıncılık Kağ. İnş. Ltd. Şti. Buca OSB, BEGOS. Bölge / Sk. No: Buca-İZMİR Tel:.. - Faks: 6 6 Bu kitabın tüm hakları AFG Matbaa Yay. Kağ. İnş. Teks. Paz. İm. San. ve Tic.

Detaylı

8. SINIF MATEMATIK KAZANIM ODAKLI SORU BANKASI

8. SINIF MATEMATIK KAZANIM ODAKLI SORU BANKASI 8. SINIF MATEMATIK KAZANIM ODAKLI SORU BANKASI Tudem Eğitim Hiz. San. ve Tic. A.Ş 1476/1 Sokak No: 10/51 Alsancak/Konak/ÝZMÝR Yazarlar: Tudem Yazý Kurulu Dizgi ve Grafik: Tudem Grafik Ekibi Baský ve Cilt:

Detaylı

13.Konu Reel sayılar

13.Konu Reel sayılar 13.Konu Reel sayılar 1. Temel dizi 2. Temel dizilerde toplama ve çarpma 3. Reel sayılar kümesi 4. Reel sayılar kümesinde toplama ve çarpma 5. Reel sayılar kümesinde sıralama 6. Reel sayılar kümesinin tamlık

Detaylı

Çarpanlar ve Katlar

Çarpanlar ve Katlar 8.1.1. Çarpanlar ve Katlar 8.1.2. Üslü İfadeler 8.1.3. Kareköklü İfadeler 8.2.1. Cebirsel İfadeler ve Özdeşlikler 8.1.1.1 Verilen pozitif tam sayıların çarpanlarını bulur; pozitif tam sayıları üslü ifade

Detaylı

T. C. Manisa Celal Bayar Üniversitesi Kırkağaç Meslek Yüksekokulu Öğretim Yılı Güz Yarıyılı MATEMATİK Dersi Final Sınavı Çalışma Soruları

T. C. Manisa Celal Bayar Üniversitesi Kırkağaç Meslek Yüksekokulu Öğretim Yılı Güz Yarıyılı MATEMATİK Dersi Final Sınavı Çalışma Soruları T. C. Manisa Celal Bayar Üniversitesi Kırkağaç Meslek Yüksekokulu 016-017 Öğretim Yılı Güz Yarıyılı MATEMATİK Dersi Final Sınavı Çalışma Soruları 1) 3. [15 3(8: )] 9 =? a) 16 b) 14 c) 0 d) 14 e) 16 6)

Detaylı

ANADOLU ÜNİVERSİTESİ AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ İLKÖĞRETİM ÖĞRETMENLİĞİ LİSANS TAMAMLAMA PROGRAMI. Lineer. Cebir. Ünite 6. 7. 8. 9. 10

ANADOLU ÜNİVERSİTESİ AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ İLKÖĞRETİM ÖĞRETMENLİĞİ LİSANS TAMAMLAMA PROGRAMI. Lineer. Cebir. Ünite 6. 7. 8. 9. 10 ANADOLU ÜNİVERSİTESİ AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ İLKÖĞRETİM ÖĞRETMENLİĞİ LİSANS TAMAMLAMA PROGRAMI Lineer Cebir Ünite 6. 7. 8. 9. 10 T.C. ANADOLU ÜNİVERSİTESİ YAYINLARI NO: 1074 AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ YAYINLARI

Detaylı

Alıştırmalar 1. 1) Aşağıdaki diferansiyel denklemlerin mertebesini ve derecesini bulunuz. Bağımlı ve bağımsız değişkenleri belirtiniz.

Alıştırmalar 1. 1) Aşağıdaki diferansiyel denklemlerin mertebesini ve derecesini bulunuz. Bağımlı ve bağımsız değişkenleri belirtiniz. Alıştırmalar 1 1) Aşağıdaki diferansiyel denklemlerin mertebesini ve derecesini bulunuz. Bağımlı ve bağımsız değişkenleri belirtiniz. Denklem Mertebe Derece a) 2 1 ( ) 4 6 c) 2 1 d) 2 2 e) 3 1 f) 2 4 g)

Detaylı

p sayısının pozitif bölenlerinin sayısı 14 olacak şekilde kaç p asal sayısı bulunur?

p sayısının pozitif bölenlerinin sayısı 14 olacak şekilde kaç p asal sayısı bulunur? 07.10.2006 1. Kaç p asal sayısı için, x 3 x + 2 (x r) 2 (x s) (mod p) denkliğinin tüm x tam sayıları tarafından gerçeklenmesini sağlayan r, s tamsayıları bulunabilir? 2. Aşağıdaki ifadelerin hangisinin

Detaylı

LYS MATEMATİK DENEME - 1

LYS MATEMATİK DENEME - 1 LYS MATEMATİK DENEME - BU SORULAR FİNAL EĞİTİM KURUMLARI TARAFINDAN SAĞLANMIŞTIR. İZİNSİZ KOPYALANMASI VE ÇOĞALTILMASI YASAKTIR, YAPILDIĞI TAKDİRDE CEZAİ İŞLEM UYGULANACAKTIR. LYS MATEMATİK TESTİ. Bu testte

Detaylı

EĞİTİM-ÖĞRETİM YILI 8. SINIF MATEMATİK DERSİ KAZANIMLARININ ÇALIŞMA TAKVİMİNE GÖRE DAĞILIM ÇİZELGESİ SÜRE

EĞİTİM-ÖĞRETİM YILI 8. SINIF MATEMATİK DERSİ KAZANIMLARININ ÇALIŞMA TAKVİMİNE GÖRE DAĞILIM ÇİZELGESİ SÜRE Ay 2016 2017 EĞİTİM-ÖĞRETİM YILI 8. SINIF MATEMATİK DERSİ KAZANIMLARININ ÇALIŞMA TAKVİMİNE GÖRE DAĞILIM ÇİZELGESİ SÜRE Hafta ÖĞRENME ALANI ALT ÖĞRENME ALANI KAZANIMLAR EYLÜL 3 4 Sayılar ve İşlemler Çarpanlar

Detaylı

EŞĐTSĐZLĐKLER MATEMATĐK ĐM. Eşitsizlikler YILLAR /LYS. 14) Özel olarak. x >x ÖZELLĐKLER.

EŞĐTSĐZLĐKLER MATEMATĐK ĐM. Eşitsizlikler YILLAR /LYS. 14) Özel olarak. x >x ÖZELLĐKLER. YILLAR 00 00 00 00 006 007 008 009 00 0 ÖSS-YGS - - - - - / - /LYS EŞĐTSĐZLĐKLER =y,,, y,,, < y y,,, > y,,, y (tarif et ) ÖZELLĐKLER ) > veya < 0

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı