HEAT TRANSFER II WEEK

Transkript

1 HEAT TRANSFER II WEEK PROBLEM 1 Water at 27 C flows with a mean velocity of 1 m/s through a 1000 m long pipe of 0.25 m inside diameter. a) Determine the pressure drop over the pipe length and the corresponding pump power requirement, if the pipe surface s smooth b) If the pipe is made of cast iron and its surface is clean, determine the pressure drop and pump power requirement PROBLEM 2 An engine oil flows through a bundle of 25 smooth tubes each length L=2.5 m and diameter D=10 mm. a) If oil at 300 K and a total flow rate of 24 kg/s is in fully developed flow through the tubes, what is the pressure drop and pump power requirement b) Compute and plot pressure drop an pump power requirement as a function of flow rate for 10<m<30 kg/s Additional information on presure drop equations: Java solution Darcy_friction.java import java.io.*; public class Darcy_friction public static double f_haaland(double Re,double eod) //Haaland equation double f1=-1.8*math.log10(math.pow((eod/3.7),1.11)+6.9/ Re); f1=1.0/(f1*f1);

2 public static double f_moody(double Re,double eod) // Moody equation // 4000<Re<107 and e/d <0.01 double f1=5.5e-3*(1+math.pow((2e4*eod+1e6/re),(1.0/3.0))); public static double f_wood(double Re,double eod) // Wood equation // Re>10000 and any e/d double a=0.52*eod+0.094*math.pow(eod,0.225); double b=88.0*math.pow(eod,0.44); double C=1.62*Math.pow(eod,0.134); double f1=a+b*math.pow(re,-c); public static double f_churchill(double Re,double eod) // Churchill equation // for all values of Re and e/d double A=Math.pow((-2.457*Math.log(Math.pow((7.0/Re),0.9)+0.27*eod)),16); double B=Math.pow(( /Re),16); double f1=8.0*math.pow((math.pow((8.0/re),12)+1.0/math.pow((a+b),1.5)),(1.0/12.0)); public static double f_chen(double Re,double eod) // Chen equation // for all values of Re and e/d double A = Math.log10(Math.pow(eod,1.1098)/ (5.8506/Math.pow(Re,0.8981))); double f1=-2.0*math.log10(eod/ *a/re); f1=1.0/(f1*f1); public static double f_swamee(double Re,double eod) //Swamee-Jain equation double A=Math.log10(eod/ /Math.pow(Re,0.9)); double f1=0.25/(a*a); public static double f_zigrand(double Re,double eod) //Zigrang and Sylvester Equation // for 4000<Re<108 and <e/D<0.05 double A=Math.log10(eod/ /Re*Math.log10(eod/3.7+13/Re)); double f1=-2.0*math.log10((eod)/ *a/re); f1=1.0/(f1*f1);

3 public static double f_romeo(double Re,double eod) // Romeo - Royo - Monzon Equation (2002) double A=Math.log10(eod/ /Re*Math.log10(Math.pow((eod/7.7918),0.9924)+Math.pow(5.3326/( Re),0.9345))); double f1=-2.0*math.log10((eod)/ *a/re); f1=1.0/(f1*f1); public static double f_serghides(double Re,double eod) //Serghides equation // for Re>2100 and any e/d double A1=-2.0*Math.log10(eod/ /Re); double B1=-2.0*Math.log10(eod/ *A1/Re); double C1=-2.0*Math.log10(eod/ *B1/Re); double f1=a1-((b1-a1)*(b1-a1))/(c1-2.0*b1+a1); f1=1.0/(f1*f1); public static double f_goudar(double Re,double eod) //Goudar Sonnad equation // for Re>2100 and any e/d double a=2/math.log(10); double b=eod/3.7; double d=math.log(10.0)/5.02*re; double s=b*d+math.log(d); double q=math.pow(s,(s/(s+1))); double g=b*d+math.log(d/q); double z=math.log(q/g); double dla=(g/(g+1))*z; double dcfa=dla*(1+z/2.0/((g+1)*(g+1)+(z/3)*(2.0*g-1))); double f1=a*(math.log(d/q)+dcfa); f1=1.0/(f1*f1); public static double f_turhan(double Re,double eod) //Turhan equation double ai[]= , , , , , , ;

4 double f1=ai[0]*math.log10(math.pow(eod,ai[1]))+ ai[2]*math.log10(math.pow(re,ai[3] ))+ ai[4]*math.log10(math.pow(eod,ai[5])*math.pow(re,ai[6] )); f1=1.0/(f1*f1); public static double fx(double X,double Re,double eod) // colebrook equation to solve // friction factor for turbulent flow 2000 < Re double xx=2.0*math.log10(eod/ /re*x)+x; return xx; public static double dfx(double X,double Re,double eod) //derivative of colebrook equation double xx; xx = 1+2.0/(eod/ /Re*X)/Math.log(10.0)*2.51/Re; return xx; public static double f_colebrook(double Re,double eod) // solution of the colebrook equation // by using newton method double fi=f_goudar(re,eod); double xx=1.0/ Math.pow(fi,0.5); int nmax=50; double tolerance=1.0e-20; for(int i=0;i<nmax;i++) double fx1=fx(xx,re,eod); double dfx1=dfx(xx,re,eod); xx-=fx1/dfx1; if(math.abs(fx1)<tolerance) double ff=1.0/(xx*xx); return ff; double ff=1.0/(xx*xx); return ff; public static double[][][] calculate() double eod[]=1e-8,1e-6,1e-4,1e-2,1e-1; double Re[]=new double[51]; double dx1=( )/10.0; double dx2=( )/10.0; double dx3=(1e6-1e5)/10.0; double dx4=(1e7-1e6)/10.0; double dx5=(1e7-1e6)/10.0; double dx[]=dx1,dx2,dx3,dx4,dx5,dx5; double xx=0; int i=0,j=0,k=0,l=0;

5 int n=eod.length; double a[][][]=new double[12][n][51]; double x[]=new double[51]; xx=2100.0; for(i=0;i<51;i++) l=i/10; x[i]=xx; xx+=dx[l]; //System.out.println("i="+i+"dx="+dx[l]+"x="+x[i]); //System.out.println("x=\n"+Matrix.toStringT(x)); for(k=0;k<12;k++) for(j=0;j<n;j++) for(i=0;i<51;i++) if(k==0) a[k][j][i]=f_colebrook(x[i],eod[j]); else if(k==1) a[k][j][i]=f_haaland(x[i],eod[j]); else if(k==2) a[k][j][i]=f_moody(x[i],eod[j]); else if(k==3) a[k][j][i]=f_wood(x[i],eod[j]); else if(k==4) a[k][j][i]=f_churchill(x[i],eod[j]); else if(k==5) a[k][j][i]=f_chen(x[i],eod[j]); else if(k==6) a[k][j][i]=f_swamee(x[i],eod[j]); else if(k==7) a[k][j][i]=f_zigrand(x[i],eod[j]); else if(k==8) a[k][j][i]=f_serghides(x[i],eod[j]); else if(k==9) a[k][j][i]=f_goudar(x[i],eod[j]); else if(k==10) a[k][j][i]= f_romeo(x[i],eod[j]); else if(k==11) a[k][j][i]= f_turhan(x[i],eod[j]); //end of i Re //end of j eod //end of k(equation) return a; public static double[][][] error() double eod[]=1e-8,1e-6,1e-4,1e-2,1e-1; int n=eod.length; double a[][][]=calculate(); double error[][][]=new double[12][n+1][52]; int i=0,j=0,k=0,l=0; double xx=0; double x[]=new double[51]; double dx1=( )/10.0; double dx2=( )/10.0; double dx3=(1e6-1e5)/10.0; double dx4=(1e7-1e6)/10.0; double dx5=(1e7-1e6)/10.0; double dx[]=dx1,dx2,dx3,dx4,dx5,dx5; xx=2100.0; for(i=0;i<51;i++) l=i/10; x[i]=xx; xx+=dx[l]; //System.out.println("i="+i+"dx="+dx[l]+"x="+x[i]);

6 for(k=1;k<12;k++) for(j=0;j<n;j++) error[k-1][j+1][0]=eod[j]; for(i=0;i<51;i++) error[k-1][0][i+1]=x[i]; error[k-1][j+1][i+1]=(a[k][j][i]-a[0][j][i])/a[0][j][i]*100; //end of i Re //end of j eod //end of k(equation) return error; public static void create_data() throws IOException PrintWriter cfout=new PrintWriter(new BufferedWriter(new FileWriter("a.txt"))); double eod[]=1e-8,5e-8,1e-7,5e-7,1e-6,5e-6,1e-5,5e-5,1e-4,5e-4,1e-3,5e-3,1e-2,5e-2; int n2=eod.length; double x[]=new double[2001]; double dx1=( )/500.0; double dx2=( )/500.0; double dx3=(1e6-1e5)/500.0; double dx4=(1e7-1e6)/500.0; double dx5=(1e7-1e6)/500.0; double dx[]=dx1,dx2,dx3,dx4,dx5,dx5; double xx=2100.0; int l=0; for(int i=0;i<2001;i++) l=i/500; x[i]=xx; xx+=dx[l]; //System.out.println("i="+i+"dx="+dx[l]+"x="+x[i]); int n3=x.length; double a[]=new double[n3]; int i,j; for(j=1;j<(n2-1);j++) for(i=0;i<2001;i++) cfout.println(x[i]+" "+eod[j]+" "+f_colebrook(x[i],eod[j])); //end of i Re //end of j eod cfout.close(); public static void plot() double e[][][]=error(); int n1=e.length; int n2=e[0].length; int n3=e[0][0].length; Plot pp[]=new Plot[n1];

7 double a[][]=new double[n2][n3]; double eod[]=new double[n2]; double Re[]=new double[n3]; String s[]="haaland","moody","wood","churchill","chen","swamee","zigrand","serghides","goudor", "Romeo"; double xx=0; double x[]=new double[51]; double dx1=( )/10.0; double dx2=( )/10.0; double dx3=(1e6-1e5)/10.0; double dx4=(1e7-1e6)/10.0; double dx5=(1e7-1e6)/10.0; double dx[]=dx1,dx2,dx3,dx4,dx5,dx5; xx=2100.0; int l=0; for(int i=0;i<51;i++) l=i/10; x[i]=xx; xx+=dx[l]; //System.out.println("i="+i+"dx="+dx[l]+"x="+x[i]); int i,j,k; for(k=1;k<11;k++) for(j=0;j<(n2-1);j++) eod[j]=e[k-1][j+1][0]; for(i=0;i<51;i++) a[j][i]=e[k][j+1][i+1]; //end of i Re if(j==0) pp[k]=new Plot(x,a[j]); pp[k].setplabel(s[k]+" denklemi"); pp[k].setxlabel("re"); pp[k].setylabel("f_hata %"); else pp[k].adddata(x,a[j]); System.out.println(Matrix.toString(x)); //end of j eod pp[k].plot(); //end of k(equation) public static void plot_f() double eod[]=1e-8,5e-8,1e-7,5e-7,1e-6,5e-6,1e-5,5e-5,1e-4,5e-4,1e-3,5e-3,1e-2,5e-2; int n2=eod.length; double x[]=new double[2001]; double dx1=( )/10.0; double dx2=( )/10.0; double dx3=(1e6-1e5)/10.0; double dx4=(1e7-1e6)/10.0;

8 double dx5=(1e7-1e6)/10.0; double dx[]=dx1,dx2,dx3,dx4,dx5,dx5; double xx=2100.0; int l=0; for(int i=0;i<201;i++) l=i/200; x[i]=xx; xx+=dx[l]; //System.out.println("i="+i+"dx="+dx[l]+"x="+x[i]); int n3=x.length; double a[]=new double[n3]; int i,j; for(i=0;i<2001;i++) a[i]=f_colebrook(x[i],eod[0]); //end of i Re Plot pp=new Plot(x,a); pp.setplabel("moody diagramı"); pp.setxlabel("re"); pp.setylabel("f"); pp.setxlogscaleon(); pp.setylogscaleon(); for(j=1;j<(n2-1);j++) for(i=0;i<2001;i++) a[i]=f_colebrook(x[i],eod[j]); //end of i Re pp.adddata(x,a); //end of j eod pp.plot(); public static void main(string arg[]) throws IOException double Re= ; double eod= ; double f=f_colebrook(re,eod); System.out.println("f : "+f); String s[]="haaland","moody","wood","churchill","chen","swamee","zigrand","serghides","goudor", "Romeo","Turhan"; double e[][][]=error(); for(int i=0;i<12;i++) System.out.println("Equation : "+s[i]); System.out.println(Matrix.toString(e[i])); System.out.println("========================="); //create_data();

9 EXCEL çözümü : pipe_ht.xls Newton-Raphson root finding Solution of Colebrook-White equation Re 6000 eps/d eod Sergides equation A B C X f sergides Colebrook-White root finding by Newton-Raphson method f(x)=x+2log10(eod/ /re *X) X E E E E E E E E E E E fx/dx=1+2*(2.51/re)/(eod/ /re *X)

10 f colebrook Goudar-Sonnad Equation equation a b d s q g z delta_la delta_cfa X f Goudar-Sonnad Makale: BORULARDAKİ SÜRTÜNME KAYIPLARI ANALİZİNDE DARCY-WEİSBACH SÜRTÜNME KATSAYISI HESAPLARINDA COLEBROOK-WHITE DENKLEMİ

11 YERİNE GEÇECEK DÖNGÜSEL OLMAYAN ÇÖZÜMLÜ DENKLEMLERİN HATA ANALİZİ Dr. M. Turhan Çoban EGE Üniversitesi, Mühendislik Fakultesi, Makina Mühendisliği Bölümü, Bornova, İZMİR ÖZET Borulardaki sürtünme basınç kayıpları Darcy-Weisbach formula ile hesaplanır. Bu basınç kaybını hesaplamak için f, Darcy sürtünme katsayısının hesaplanması gereklidir. Türbülanslı akışlarda Darcy sürtünme katsayısının hesaplanmasında en geçerli yöntem Colebrook-White denklemidir, ancak bu denklem sayısal kök bulma yöntemleri kullanılarak çözülebilen bir denklemdir. Colebrook-White denklemine yaklaşım yapan ve direk olarak çözülebilen çeşitli denklemler mevcuttur. Bu denklemlerin bazılarının Colebrook-White denklemiyle kıyaslandığında hata yüzdeleri çok küçük olduğundan, direk olarak bu denklemin yerine kulanılmaları mümkündür. Yazımızda çeşitli Darcy sürtünme faktörü denklemlerinin Colebrook White denklemine gore göreceli hatası irdelenmiştir. Anahtar Kelimeler : Darcy-Weichbach basınç düşümü, boru içi basınç düşümü, Colebrook denklemi ABSTRACT Pressure drop in pipes can be calculated by using Darcy-Weisbach formula. In order to use this formula, Darcy friction factor should be known. The best approximation to Darcy friction factor for turbulent flow is given by Colebrook-White equation. This equation can only be solved by numerical root finding methods which requires relatively costly computer calculations. There are several other approximation equations to Darcy friction factor with some relative error compared to Colebrook- White equation. In some of this equations the error percentage is so small that they can be directly used in place of Colebrook equation. In this study relative errors of several equations re-evaluated. Key-words: Darcy Weichbach pressure drop formula, pressure drop in pipes, Colebrook equation, friction factors 1. GİRİŞ Borulardaki sürtünme basınç kayıpları genellikle Darcy-Weisbach formülü ile hesaplanır. 2 L V P f (1) D 2 Bu denklemde P basınç düşümü, f sürtünme katsayısı, L boru boyu, D boru çapı, V akışkan hızı ve yoğunluktur. Denklemdeki f sürtünme katsayısı akış rejimine bağlıdır. Laminer akış şartlarında (Reynold sayısı Re<2100) Hagen-Poiseuille denklemiyle hesaplanır VD Re (2) Bu denklemdeki vizkozitedir, Re Reynold sayısı olarak adlandırılan boyutsız hız parametresidir. 64 f (3) Re Bu denklemde sürtünme katsayısı Re sayısı ile lineer olarak değişmektedir. Geçiş bölgesi ve Tam türbülanslı bölgeye geldiğimizde, sürtünme katsayısını Colebrook-White denklemi ile tanımlayabiliriz.

12 2. SÜRTÜNME DENKLEMLERİ VE HATA ANALİZİ Colebrook-White denklemi (1937)[4] 1 ( / D) log 10 f 3.7 Re f (4) Bu denklem ek olarak yüzey pürüzlülüğünün () de fonksiyonudur. Denklemden de görüleceği gibi, Colebrook-White denkleminin direk olarak çözümü mevcut değildir. Çözüm için sayısal kök bulma metodlarını kullanmamız gerekir. Örnek olarak Newton Raphson kök bulma metodunu kullanırsak, denklemin çözümünü aşağıdaki gibi gerçekleştirebiliriz: 1 X f (5) ( / D) 2.51 f ( X ) X 2log 10 X 3.7 Re (6) 2.51 df ( X ) 1 2 Re dx ( / D) 2.51 X (7) 3.7 Re f ( X ) k X k 1 X k k 0,..., n df ( X ) (8) dx k Bu denklem döngüsel çözüm gerektirir. Aynı zamanda bir ilk tahmin değerine de ihtiyaç gösterir. İlk Tahmin değeri çözümden çok uzaksa çözümün başarılı olamama olasılığı da mevcuttur. İlk tahmin değeri için burada verilen yaklaşım formüllerinden birisi kullanılabilir. Temel olarak Haaland denklemi gibi iterative yaklaşım gerektirmiyen denklemler Colebrook-White denkleminin çözümünde ilk tahmin değeri olarak kullanılmaktaydı. Ancak yeni geliştirilen ve aşağıda listelenen denklemlerin bazıları sonuç olarak Colebrook-White denklemi sonuçlarıyla oldukça yakın sonuçlar vermektedir. Belli hassasiyet seviyesinin altına indiğimizde Colebrook-White denkleminin iteratif kök bulma metodları kullanılarak çözülmesi gereği tamamen ortadan kalkmaktadır. Boru basınç düşümü analizlerinin bilgisayar ortamında yapıldığı günümüzde bu özellik bilgisayar hesaplamalarında zaman kazanma ve hesaplamaların daha basit MS excell gibi ortamlarda hesaplanabilmesi kolaylığı sağlaması açısından oldukça önemlidir. Aşağıda çeşitli Colebrook-White denklemi yaklaşım formülleri verilmiştir. Haaland denklemi (1983) [23] ( / D) log 10 f 3.7 Re (9) Moody denklemi(1944) [9] 6 1/ f 5.5x10 1 2x10 / D Re (10) Wood denklemi (1966) [18] Geçerlilik bölgesi : Re>10000, 10-5 < / D <0.04 a 0.53 b 88 C / D / D (11) 0.44 / D (12) / D (13) f a b Re C (14)

13 Churchill denklemi (1977) [3] Geçerlilik bölgesi : Tüm değerler için geçerlidir A 2log B Re ( / D) Re 0.9 1/12 16 (15) (16) / 2 f 8 ( A B) Re (17) Chen denklemi (1979) [2] Geçerlilik bölgesi : Tüm değerler için geçerlidir ( / D) log 10 (18) Re A 1 ( / D) A 2log 10 (19) Re f / D Swamee-Jain denklemi (1976) [14] Geçerlilik bölgesi : 5000>Re>10 7, < ( / D) 5.74 A log Re (20) 0.25 f 2 A (21) Zigrang - Sylvester denklemi (1982) [20] Geçerlilik bölgesi : Tüm değerler için geçerlidir ( / D) 13 A log Re (22) ( / D) 5.02 A B log Re (23) 1 ( / D) 5.02B 2log 10 f 3.7 Re (24) Serghides denklemi (1984) [22] Geçerlilik bölgesi : Tüm değerler için geçerlidir ( / D) 12 A 2log 10 (25) 3.7 Re ( / D) 2.51A B 2log Re (26) ( / D) 2.51B C 2log Re (27) 2 1 ( B A) A f C 2B A (28) Goudar- Sonnad denklemi (2008)[21] Geçerlilik bölgesi : Tüm değerler için geçerlidir 2 a ln(10) (29) ( / D) b 3.7 (30) <0.05

14 ln(10) d Re 5.02 s bd ln(d) ( s /( s1)) q s g b* d ln( d / q) q z ln g g g 1 z LA CFA LA z / 2 (31) (32) (33) (34) (35) (36) 1 2 ( g 1) z / 32 g 1 (37) 1 d aln CFA (38) f q Romeo Denklemi (2002) [11] Geçerlilik bölgesi : Tüm değerler için geçerlidir ( / D) A log 10 (39) Re ( / D) A B log 10 (40) Re 1 f ( / D) B 2log Re (41) Bu denklemlerin Colebrook-White denklemine ne kadar yaklaştığını irdelemek amacıyla bu denkleme göre hata miktarları Re sayısının ve (/D) oranının fonksiyonu olarak hesaplanmıştır. Hata terimi ( f _ ColebrookWhite f ) % hata x100 (42) f _ ColebrookWhite Denklemi ile hesaplamıştır. 3. SONUÇLAR Sonuçlar grafik formunda sunulmuştur. Hata analizinden elde edilen başlıca sonuçlar aşağıdaki gibi özetlenebilir: Geçiş bölgesinde hata daha yüksektir, türbülans arttıkça(daha büyük Re sayıları için) hata küçülmektedir. Hata Miktarlarına göre sıralama yapılacak olursa en iyiden başlayarak : Goudar-Sonnad denklemi, Serghides denklemi, Romeo denklemi, Ziagrand denklemi ve Chen denklemidir. Geri kalan denklemlerde hata miktarı daha büyük olduğundan burada listelenmemiştir. Hata derecesi olarak karşılaştırma yapıldığında Goudar-Sonnad denklemi %10-12 Seviyesine varan küçük hatayla nerdeyse bire bir Colebrook-White denklemi sonuçlarını aynen oluşturmaktadır. Ondan sonraki en iyi denklem olan Serghides denklemi de %10-4 hata seviyesiyle paratik olarak kullanılabilir bir denklemdir. Bu denklemler yeterince hassas olduğundan Colebrook-White denkleminin iterative çözüm gereksinimi ortadan kalkmış görünmektedir.

15 Şekil 1 Goudar denkleminin Colebrook-White denklemiyle karşılaştırılmasındaki % hata miktarı Şekil 2 Serghides denkleminin Colebrook-White denklemiyle karşılaştırılmasındaki % hata miktarı

16 Şekil 3 Romeo denkleminin Colebrook white denklemiyle karşılaştırılmasındaki % hata miktarı Şekil 4 Zigrang denkleminin Colebrook white denklemiyle karşılaştırılmasındaki % hata miktarı

17 Şekil 5 Chen denkleminin Colebrook white denklemiyle karşılaştırılmasındaki % hata miktarı 4. REFERANSLAR 1. Barr, D.I.H., Solutions of the Colebrook-White functions for resistance to uniform turbulent flows., Proc. Inst. Civil. Engrs. Part 2. 71, Chen, N.H., An Explicit Equation for Friction factor in Pipe, Ind. Eng. Chem. Fundam., Vol. 18, No. 3, , Churchill, S.W., Friction factor equations spans all fluid-flow ranges., Chem. Eng., 91, Colebrook, C.F. and White, C.M., Experiments with Fluid friction roughened pipes.,proc. R.Soc.(A), 161, Haaland, S.E., Simple and Explicit formulas for friction factor in turbulent pipe flow., Trans. ASME, JFE, 105, Liou, C.P., Limiations and proper use of the Hazen-Williams equations., J. Hydr., Eng., 124(9), , Manadilli, G., Replace implicit equations with sigmoidal functions., Chem.Eng. Journal, 104(8), McKeon, B.J., Swanson, C.J., Zagarola, M.V., Donnelly, R.J. and Smits, A.J., Friction factors for smooth pipe flow., J.Fluid Mechanics, Vol.541, 41-44, Moody, L.F., Friction factors for pipe flows., Trans. ASME, 66,641, Nikuradse, J. Stroemungsgesetze in rauhen Rohren. Ver. Dtsch. Ing. Forsch., 361, Romeo, E., Royo, C., and Monzon, A., Improved explicit equations for estimation of the friction factor in rough and smooth pipes. Chem. Eng. J., 86, , Round, G.F., An explicit approximation for the friction factor-reynolds number relation for rough and smooth pipes., Can. J. Chem. Eng., 58, , Schlichting, H., Boundary-Layer Theory,McGraw Hill, New York, Swamee, P.K. and Jain, A.K., Explicit equation for pipe flow problems., J. Hydr. Div., ASCE, 102(5), , U.S. Bureau of Reclamation., Friction factors for large conduit flowing full. Engineering Monograph, No. 7, U.S. Dept. of Interior, Washington, D.C, 1965.

18 16. Von Bernuth, R. D., and Wilson, T., Friction factors for small diameter plastic pipes. J. Hydraul. Eng., 115(2), , Wesseling, J., and Homma, F., Hydraulic resistance of drain pipes. Neth. J. Agric. Sci., 15, , Wood, D.J., An Explicit friction factor relationship., Civil Eng., 60-61, Zagarola, M. V., Mean-flow Scaling of Turbulent Pipe Flow, Ph.D.thesis, Princeton University, USA, Zigrang, D.J. and Sylvester, N.D., Explicit approximations to the Colebrook s friction factor., AICHE J. 28, 3, 514, Goudar, C.T. and Sonnad, J.R., Comparison of the iterative approximations of the Colebrook-White equation, Hydrocarbon Processing, August 2008, pp Serghides, T.K., Estimate friction factor accurately, Chem. Eng. 91, 1984, pp White, Frank M., Fluid Mechanics, Fourth Edition, McGrawHill, 1998, ISBN