Tek Eklemli Esnek Bağlı Robot Kolunun Modellenmesi, Tasarımı ve Bulanık Mantık ile Kontrolü

Transkript

1 Tek Eklemli Esnek Bağlı Robot Kolunun Modellenmesi, Tasarımı ve Bulanık Mantık ile Kontrolü İsmail H. Akyüz, Selçuk Kizir, Zafer Bingül Mekatronik Mühendisliği Bölümü Kocaeli Üniversitesi,438, Kocaeli, Türkiye Özetçe Bu çalışmada, bağ esnekliği kullanılan malzemenin elastikiyetinden kaynaklanan tek esnek bağlı robot kolu tasarlanmış, üretilmiş ve bulanık kontrolörle kontrol edilmiştir. Deney düzeneğinde uç işlevcide meydana gelen yatay ve dikey titreşimler, yük hücreleri ile, bağın dönme açısı ise motor miline bağlı olan bir enkoderle ölçülmüştür. Esnek bağlı robot kolunun bulanık kontrolör şemasında üç farklı kontrolör yer almaktadır. Birinci kontrolör motor dönme açısını, ikinci kontrolör uç işlevcinin titreşim miktarını kontrol etmektedir. Bir diğer üçüncü kontrolör ise bu iki kontrolörün çıkışlarını birleştirerek motora uygulanacak olan kontrol sinyalini üretmektedir. Kullanılan bulanık kontrolörler sisteme dspace DS3 gerçek zamanlı kontrol kartıyla uygulanmıştır. Konum kontrolünde elde edilen kalıcı durum hatası,2 den küçüktür ve uç işlevcide herhangi bir kalıcı durum hatası oluşmamaktadır. Ayrıca yörünge takibi deneylerinde bağın dönme açısında % den küçük hatalar ve uç işlevcide azda olsa titreşimler gerçekleşmektedir.. Giriş Esnek bağlara sahip mekanizmaların kontrolü, oluşan çeşitli kontrol problemleri nedeniyle oldukça zor ve karmaşıktır. Bu nedenle son yıllarda kontrol mühendisleri esnek bağlara sahip mekanizmaların matematiksel modelinin oluşturulması ve kontrol edilmesi konusunda çalışmaktadırlar. Bu yapılar, hizmet sektöründe, çeşitli uzay uygulamalarında, gantry tipi vinçlerde, atomik kuvvet mikroskoplarında, tıp ve savunma sanayi uygulamalarında sıklıkla kullanılmaktadırlar. Mekanizmalarda esneklik, çeşitli tasarım hataları ve dışsal etkilerle oluşmakta ve uç işlevcide doğrusal olmayan yüksek dereceli titreşimler meydana getirmektedir. Oluşan bu titreşimler robot manipülatörlerinde uç işlevci hassasiyetini azaltmak, oturma zamanını yükseltmek gibi bozucu etkilere neden olarak kontrolör yapısını karmaşık bir hale getirirler. Ancak esnek bağlarla yapılan özel amaçlı robot manipülatörlerinin, yük kapasitesinin arttırma, enerji tüketimini azaltma, üretim maliyetlerini düşürme, hızlı hareket kabiliyeti, çalışma uzayının büyütme ve daha güvenli çalışma ortamları oluşturulma gibi avantajları vardır[]. Bu gibi avantajlar nedeniyle otomasyon endüstrisinde esnek bağlı yapılara olan ihtiyaç gün be gün artmaktadır. Diğer bir taraftan mekanizmadaki esneklik ne kadar artarsa kontrolör tasarımı da o kadar zorlaşmakta olup, geleneksel doğrusal kontrol yöntemleriyle istenilen hassasiyet seviyelerine inilememektedir. Esnek yapıların doğrusal olmayan dinamik özelliklerinden dolayı, bu tip yapıların kontrolünde doğrusal olmayan kontrol yöntemleri kullanılmalıdır. İnsan dilsel bilgisini ve algılama kabiliyetini sistematik bir biçimde kullanarak, çeşitli doğrusal olmayan kontrol yöntemleri arasında bulunan Bulanık Mantık yaklaşımı bu tip yapıların kontrolünde sıklıkla kullanılmaktadır[2]. Literatürde esnek bağlara sahip yapıların kontrolünde iki farklı yaklaşım olduğu görülmektedir. Bunlar; i) LQG,, Durum Geri besleme ve PID [3-6] olmak üzere geleneksel doğrusal kontrol yöntemleridir. Bu tip doğrusal kontrol yöntemleriyle doğrusal olmayan dinamik davranışlara sahip esnek bağlı yapıların kontrolü istenilen hassasiyette olmamaktadır. ii) Kayma Kipli kontrol, Geri Adımlamalı kontrol, Bulanık Mantıkla kontrol ve Uyarlamalı Ağ Tabanlı Bulanık Mantık Kontrol (ANFIS) [7-] gibi çeşitli doğrusal olmayan kontrol yöntemleridir. Bu çalışmada, esnek bağa sahip tek esnek bağlı robot kolu tasarlanmış, üretilmiş ve manipülatörün uç işlevci titreşim kontrolü ve yörünge takip kontrolü Bulanık Mantıkla gerçekleştirilmiştir. 2. Tek Eklemli Esnek Bağlı Robot Kolu 2.. Esnek Robot Kolunun Matematiksel Modeli Esnek Bağlı Robot Kolunun matematiksel modeli Lagrange Euler hareket denklemlerinden kolaylıkla elde edilebilir[]. Burada matematiksel modelin oluşturulması için öncelikle bağın esneklik katsayısının hesaplanması gerekmektedir. Bağın esneklik katsayısı kısmen deneysel kısmen de hesapsal yöntemlerle aşağıdaki gibi ifade edilir. Tablo : Çubuğun Esneklik Katsayısı Hesabı için gerekli parametreler. SEMBOL L m g h K_Gage Ɵ α D AÇIKLAMA Bağ Uzunluğu Bağ Kütlesi Yerçekimi ivmesi Bağın, ağırlık merkezine olan mesafesi Gergi sensörlerinin kalibrasyon faktörleri Döner tablanın dönme açısı Bağın titreşim açısı Bağın sapma miktarı Bağın sönümlenmemiş doğal frekansı Bağın atalet momenti Döner tablanın atalet momenti Şekil de gösterilen esnek bağın yer değiştirme miktarı olan D, gergi sensörlerinin kalibrasyon faktörüne bağlı olarak küçük titreşim açıları için aşağıdaki gibi ifade edilir,

2 Şekil : Esnek Bağlı Robot Kolu şeması. = Şekil 2 deki basit esnek bağ modeline göre yayın dönme denklemi, () = (2) olarak ifade edilir. Bağ bir ucundan sabitlenerek α açısına başlangıç koşullarına göre verilen herhangi bir titreşim miktarı için, esnek bağın sönülmenmiş doğal frekansı deneysel olarak aşağıdaki eşitlikte olduğu gibi ifade edilebilir. = (3) Buradan Eşitlik (2) ve (3) te elde edilen ifadelerin birleştirilmesiyle, esnek bağın esneklik katsayısı, = (4) olarak ifade edilir. Burada esnek bağın atalet momenti olup, olarak hesaplanır. = (5) Yukarıda verilenlere göre sistem enerji tabanlı Lagrange yöntemiyle şu şekilde modellenebilir; Lagrange hareket denklemleri; = Ѵ () = (2) Ө Ө = (3) Basit hareketler için aşağıdaki şekilde ifade edilebilir; + + h sin + = (4) ( + ) + h sin + = (5) Yukarıdaki eşitlikte τ motorun ürettiği torku göstermektedir. Tork motorun terminallerine uygulanan gerilim ile elde edilmektedir. Bu durumda sistemin girişi olarak motora uygulanan gerilimi υ seçebiliriz. Tork la gerilim arasındaki ilişki aşağıdaki gibi ifade edilebilir. = + = (6) Burada motorun açısal hızı, armatür akımı, motor direnci ve motor sabitleridir. Bununla birlikte; = (7) Eşitlik (6) ve (7) den motorun ürettiği tork aşağıdaki gibi elde edilir; = Ɵ (8) burada = dır. Sistemin durum değişkenleri aşağıdaki gibi seçilmek üzere; = = = (9) = şeklinde seçersek, sistemi durum denklemleri cinsinden ifade edebiliriz. = = Şekil 2: Esnek Bağın basit modeli[]. Burada sistemin Kinetik ve Potansiyel enerjisi; = +, Ѵ = Ѵ + Ѵ (6) Ѵ = h cos + (7) Ѵ = (8) = (9) = ( + ) () olarak hesaplanır. Burada, Ѵ sistemin yer çekimine göre potansiyel enerjisini, Ѵ esnek bağın potansiyel enerjisini, döner tablanın kinetik enerjisini ve bağın kinetik enerjisini göstermektedir. = + (2) = + + h sin ( + ) şeklinde yazabiliriz. Burada sistem girişi motor gerilimi (υ), sistem çıkışları, bağın dönme açısı ( = ) ve uç işlevcideki titreşim açısı ( = ) olarak seçilirse. Esnek bağlı robot manipülatörünün durum uzayı modeli aşağıdaki gibi elde edilebilir. Burada; = + (2) = + (22)

3 = h sin ( + 2 ) h h dir. = h 2.2. Esnek Bağlı Robot Kolunun Tasarımı ve Katı Modelinin Oluşturulması Esnek robot kolunun katı modeli SolidWorks te tasarlanmış ve birebir ölçülerde üretilmiştir. Mekanizmada kullanılan esnek bağ, 66 alüminyum alaşımlı 4 mm uzunluğunda mm kalınlığında levhadan oluşmaktadır. Burada kullanılan bağın esnekliği üretildiği malzemenin elastikiyet modülünden kaynaklanmaktadır. 66 alaşımlı bağın elastikiyet modülü 6,9x / dir. Ayrıca tasarlanan kontrolörü test etmek amacıyla uzunlukları 6 mm ve 8 mm olan iki bağ daha vardır. Toplam ağırlığı azaltmak amacıyla esnek bağın haricinde robot manipülatörünün diğer parçaları da 66 alaşımlı alüminyum levhalardan üretilmiştir. Bu sayede toplam sistemin ağırlığı 456,62 gr olarak ölçülmüştür. Esnek bağlı robot manipülatörünün ölçülen diğer parametreleri Tablo 2 de gösterilmektedir. Ayrıca esnek bağlı robot kolunun oluşturulan katı modeli ve fiziksel görünümü Şekil 3 ve Şekil 4 de gösterilmektedir. Tablo 2: Esnek Bağlı Robot Kolunun fiziksel parametreleri. SEMBOL AÇIKLAMA DEĞER Esnek Bağın atalet momenti,43 Döner tablanın atalet momenti,5 Motor direnci 7,3 Ω Motor endüktansı,832 mh Dişli oranı 66 Motor sabiti,26 N/(rad/s) m Esnek bağın kütlesi,435 kg g Yerçekimi ivmesi -9,8 / h Bağın ağırlık merkezine olan,4864 m uzaklığı L Bağın uzunluğu,4 m 3. Esnek Bağlı Robot Manipülatörü İçin Kontrolör Tasarımı Bu bölümde esnek bağlı robot kolu için Bulanık kontrolör tasarım detayları ve ds3 gerçek zamanlı kontrol kartıyla beraber kullanılan Bulanık kontrolörün Simulink te oluşturulan gerçek zamanlı model detayları verilecektir. Şekil 3: Esnek bağlı robot kolunun katı modeli. 3.. Bulanık Mantık Teorisi Bulanık mantıkta önermeler, bildiğimiz klasik mantıkta olandan farklı olarak, kısmen doğru veya kısmen yanlış olabilirler. Bu nedenle bazı durumlarda problemleri klasik mantıkla çözmek yerine bulanık mantık tercih edilir. Bulanık mantığın kullandığı kümeler ve kümeleri kullanarak oluşturulan kurallar kesin matematiksel ifadelerdir. Bulanık küme kuramı kontrolör tasarımı sırasında elde edilen verilerden sistem hakkında bilgi edinme konusunda çok başarılı sonuçlar üretebilir[3]. Kontrolör tasarımı sırasında elde edilen bilgiler belirsiz, eksik, kesin olmayan veya bulanıksa, bulanık mantık teorisi bu kesin olmayan bilgilerden yaklaşık sonuçlar çıkarma konusunda matematiksel araçlar sağlar[4]. İnsanların dilsel ifadeleri bulanık mantıkta üyelik dereceleri olarak sınıflandırılmaktadır. Klasik küme kuramında bir eleman ya var olan kümeye tamamen aittir (μ ()=) ya da bu kümenin tamamen dışındadır (μ ()=). Aksine bulanık mantıkta elemanların kümeye aidiyetlikleri dan e kadar değişen üyelik dereceleri ile tanımlanır. Eğer bir elemanın üyelik derecesi ise eleman kümeye ait, ise kümeye ait değil olarak ifade edilir. Bu durumda klasik kümeleri bulanık kümelerin özel bir durumu olarak kabul edebiliriz. χ A A Şekil 4: Klasik küme, Bulanık küme Bulanık Kontrolör Tasarımı x Bu çalışmada Bulanık Mantıkla Kontrolör tasarımı için Matlab ın Bulanık Mantık Araç kutusu kullanılmıştır. Esnek bağı kontrol etmek için oluşturulan üyelik fonksiyonları ve kural tabloları MATLAB-FIS (Fuzzy Inference System) editörü kullanılarak oluşturulmuştur. Tasarım sonucunda oluşturulan dosya Simulik te kullanılarak ana kontrolör yapısı gerçekleştirilmiştir. Ve dspace ds3 gerçek zamanlı kontrol kartına gömülmüştür. Şekil 5 te de görüldüğü üzere esnek bağı kontrol etmek amacıyla üç adet bulanık kontrolör kullanılmıştır. Bu µ A A ~ x

4 kontrolörlerden birincisi bağın dönme açısının hatasını (Ө) ve bu hatanın değişimini (Ө ), ikincisi bağın titreşim miktarının hatasını (α) ve bu hatanın değişimini () giriş olarak kabul edip, oluşturulan kural tablosu ve üyelik fonksiyonlarına göre iki farklı çıkış üretmektedirler. Üçüncü bir diğer bulanık kontrolör ise bu iki kontrolörün çıkışlarını giriş olarak kabul edip bunları sentezleyerek, motorun sürülmesi için gerekli olan PWM sinyalinin doluluk oranını belirlemektedir[5]. Kullanılan konum kontrolörünün girişleri olan Ө açısı hatası için [-9,9] aralığında değişen ve Ө bu açının hata sinyali için [-4,4] aralığında değişen dokuzar tane üçgen üyelik fonksiyonu tanımlanmıştır[-4,-3,-2,-,,,2,3,4]. Üyelik Derecesi te tde theta Şekil 6: Bulanık Kontrolör I için oluşturulan üyelik fonksiyonları (Ө açısı hatası için, Ө hatanın değişimi için ve çıkış için) Şekil 5: Bulanık Mantık Kontrolör şeması. Titreşim miktarı kontrolörü olan ikinci kontrolörün girişleri olan α da ki titreşim miktarı hatası için [-4,4] aralığında değişen ve bu titreşim miktarının hata sinyali için [-4,4] aralığında değişen dokuzar tane üçgen üyelik fonksiyonu tanımlanmıştır [-4,-3,-2,-,,,2,3,4]. Bu iki kontrolörün çıkış değerleri için [-,] aralığında değişen yine dokuzar tane üçgen üyelik fonksiyonları tanımlanmıştır [-4,-3,-2,-,,,2,3,4]. Ve sonuncu kontrolör olan karar mekanizmasının Ө açısı ve α da ki titreşim miktarı girişi için [-.87,.87] arasında değişen yedişer tane üçgen üyelik fonksiyonları tanımlanmıştır. Bu kontrolörün çıkışı değeri için [-,] aralığında değişen yine yedi üçgen üyelik fonksiyonu tanımlanmıştır. Ana kontrolör yapısında kullanılan bulanık kontrolörler için oluşturulan üyelik fonksiyonları ve kural tabloları aşağıdaki şekillerde gösterilmektedir. Şekil 6-8 deki gibi Bulanık Kontrolörler için üyelik fonksiyonlarının belirlenmesinden sonra kural tablolarının oluşturulması gerekmektedir. Bu çalışmada Bulanık Kontrolör I ve II de hata sinyalleri ve hata sinyallerinin değişimi için dokuzar tane üyelik fonksiyonu kullanıldığından esnek bağı en iyi şekilde kontrol edebilmek için toplam seksen bir adet kural tanımlanması gerekmektedir. Bulanık Kontrolör III girişler toplam yedişer üyelik fonksiyonlarından oluştuğundan bu kontrolör için kırk dokuz adet kural tanımlamak gerekmektedir. Üç kontrolör içinde tanımlanan kurallar Tablo 3 ve 4 te gösterilmektedir. 4. Deneysel Düzenek ve Sonuçlar Esnek bağlı robot kolu dört ana parçadan oluşmaktadır. Bunlar sisteme gerekli torku sağlayan motor, bağın dönme açısını ölçen enkoder, esnek çubuğun titreşim miktarını algılayan yük hücreleri ve sistemin kontrolü için gerekli olan kontrol kartı ve bilgisayar ara yüzüdür. Sistemde kullanılan motor 24 volt Maxon DC servomotor dur. Üyelik Derecesi ae ade alpha Şekil 7: Bulanık Kontrolör II için oluşturulan üyelik fonksiyonları (α daki titreşim miktarı için, titreşim miktarının değişimi için ve çıkış için). Üyelik Derecesi teta alfa pwm Şekil 8: Bulanık Kontrolör III için oluşturulan üyelik fonksiyonları (Ө kontrolörünün çıkışı için, α kontrolörünün çıkışı için, ve PWM çıkışı için). Tablo 3: Bulanık Kontrolör I ve II kural tablosu. /

5 Tablo 4: Bulanık Kontrolör III kural tablosu. / Ayrıca motor 44 mnm durma torku ve 28 mnm anma momenti üretmektedir. Servomotor LMD82T DC motor sürücüsü ile sürülmektedir. Motora bağlı planet dişli /66 çevrim oranına sahiptir. Motor miline motorun dönme açısını ölçmek amacıyla 5 darbe/tur oranına sahip bir enkoder bağlanmıştır. Kullanılan yüksek dişli oranı sayesinde bağ dönme açısının ölçümü için çözünürlüğü, dereceye (33 darbe/tur) çıkmıştır. Bunların dışında esnek bağın titreşimini ölçmek amacıyla iki adet yük hücresi kullanılmıştır. Yük hücrelerinden birincisi bağın yataydaki titreşimlerini, ikincisi dikeydeki titreşimlerini ölçmek için kullanılmıştır. Bu sensörlerin çıkışları INA8P enstrümantal yükselteçleri ile yükseltilmiştir. Yük hücrelerinin voltderece kalibrasyonu yapılmamış olup, ölçülen titreşim miktarı kontrol kartında yüz katına çıkarılıp hassasiyet artırılmıştır. Bulanık Kontrolör Simulink ortamında oluşturulup ds3 gerçek zamanlı kontrol kartına gömülmüştür. Simulink kullanılarak tasarlanan ana kontrolör şeması Şekil 9 da görülmektedir. Kontrolör dört ana bloktan oluşmaktadır. Bunlar; bağ açısı ve titreşim miktarlarının ölçüldüğü ölçüm bloğu, referans giriş sinyallerinin girildiği giriş bloğu, kontrol işlemlerinin gerçekleştirildiği denetleyici bloğu ve motor sürücüsüne uygulanması gereken PWM sinyalinin üretildiği çıkış bloğudur. Tasarlanan Bulanık Kontrolörün birim basamak fonksiyonuna verdiği cevabı incelemek amacıyla kontrolöre farklı geri besleme sinyalleri gönderilip sistemin verdiği cevap incelenmiştir. Bahsedilen cevaplar Şekil de gösterilmektedir. Burada ilk olarak kontrolöre sadece Ө açısı geri beslemesi uygulanmıştır. Şekil 9: Esnek Bağlı Robot Kolu ana kontrolör şeması. de kontrolöre Ө, Ө nın değişimi ve α açısının hatası geri beslemesi uygulanmıştır. Ve son olarak (c) de tüm durumlar geri beslenmiştir. Görüldüğü üzere geri besleme sayısı arttıkça Ө açısının oturma zamanı gecikmektedir. Ancak α açısında ki salınım ve oturma zamanı azalmaktadır. Tüm durumların geri beslenmesi haricindeki durumlarda uç işlevcide yüksek genliklerde salınım oluşmaktadır ve sönümlenememektedir. Ancak tüm durumlar geri beslendiğinde Ө açısı yaklaşık 2,5 saniyede istenilen değere oturmuş, herhangi bir aşma meydana gelmemiş ve kalıcı durum hatası,2 dereceden küçük olmuştur. Şekil : Bulanık Kontrolör şeması. (c) θ açısı hatası (derece) α açısı hatası (mv) kontrol çıkış sinyali Şekil : Bulanık Kontrolöre girilen farklı geri belseme sinyalleri için oluşan kontrolör cevapları.

6 Aynı zamanda α açısı 2,5 saniyede istenilen değere oturmuş, uç işlevcide ölçüm yapılan süre için küçükte olsa bir osilasyon kalmış(daha sonra bu sönümlenmiştir) ve aşma miktarı 3 mv a kadar çıkmıştır. Kontrolörün gürbüzlüğünü test etmek amacıyla, tüm geri beslemelerin yapıldığı durumda esnek bağa darbe sinyali uygulanmıştır. Şekil 2 da uygulanan sinyal ve kontrolör cevabı görülmektedir. Şekil 2: Bulanık Kontrolörün darbe cevabı. Şekilden de anlaşılacağı gibi esnek bağa darbe fonksiyonu uygulandığında kontrolör yaklaşık 2,5 saniye içerisinde uç işlevcideki titreşimi sönümleyerek kararlı duruma geçmiştir. Son olarak esnek bağlı robot kolunun verilen herhangi bir yörüngeye karşı verdiği cevabı incelemek amacıyla, sisteme Kane fonksiyonu referans giriş olarak verilmiştir. 4 2 Darbe fonksiyonu cevabı θ açısı hatası (derece) Darbe fonksiyonu cevabı α açısı hatasi (mv) Kane fonksiyonu θ acisi (derece) Kane fonksiyonu α açısı hatası (mv) Şekil 3: Kontrolörün sürekli referans girişe cevabı. Şekil 3 de görüldüğü üzere Ө açısı girilen referansı % den küçük bir hata ile takip ederken, α açısında 2 mv civarında küçük titreşimler meydana gelmiş, ancak sonunda istenilen değere oturmuştur. 5. Sonuçlar referans θ açısı Bu çalışmada esnek bağlı tek eklemli robot kolunun konum kontrolü için bulanık kontrolör tasarlanmış ve uygulanmıştır. Geliştirilen bulanık kontrolör sayesinde esnek bağlı robot kolunun,2 dereceden hassas konum kontrolü gerçekleştirilmiştir. Aynı kontrolörle yapılan yörünge takibinde ise tatmin edici sonuçlar elde edilmiştir. Uç işlevcideki titreşim bağın sonundaki bir yük hücresi ile ölçüldüğünden, yapılan üç deneyde de gerek dişli kutusundaki boşluklardan gerek sisteme dışarıdan etkiyen bozucu etkenlerden gerekse de doğrusal olmayan sürtünmelerden dolayı kontrolör, uç işlevcide oluşan bazı küçük titreşimlere karşı duyarsız kalmaktadır. Bu titreşimlerin azaltılması için uç işlevcideki ivme ve hız bilgilerinin elde edilmesi gerekmektedir. Böylelikle elde edilen sonuçlar daha da iyileştirilebilir. 6. Kaynakça [] Lewis, F.L., et. al., 999: Robotics Mechanical Engineering HandbookEd. Frank KreithBoca Raton: CRC Press LLC, 5-6 [2] Lee, J.X. Vukovich, G., 998: Fuzzy logic control of flexible link manipulators-controller designand experimental demonstrations, 998 IEEE International Conference on Systems, Man, and Cybernetics 2, [3] Cannon, R.H., Schmitz, E.,Jr. 984: Initial experiments on the end-point control of a flexible one-link robot. International Journal of Robotics Research 3, [4] Trautman, C., Wang, D., 995: Experimental control of a single flexible link with a shoulder joint. IEEE International Conference On Robotic and Automation, [5] Tien, L.L., Schaffer, A.A., Hirzinger, G. 27: MIMO State Feedback Controller for a Flexible Joint Robot with Strong Joint Coupling. IEEE International Conference on Robotics and Automation, [6] Tzu Ho, M., Wei Tu, Y. 25: PID Controller Design for a Flexible-Link Manipulator. 44th IEEE Conference on Decision and Control, and European Control Conference, [7] Kitamura, Y., Iwabuchi, K., Nonami, K., Nishimura, H. 996: Positioning control of flexible arm using frequency-shaped sliding mode control. Third International Conference on Motion and Vibration Control, [8] Huang, J.,W., Shan Lin, J., 28: Backstepping Control Design of a Single-Link Flexible Robotic Manipulator. The International Federation of Automatic Control Seoul, Korea 7, [9] Siddique, M.N.H., Tokhi, M.O. 26: GA-based Neural Fuzzy Control of Flexible-link Manipulators. Journal of Engineering Letters 3 [] Jang, J.-S.R. 993: ANFIS: Adaptive-Network-based fuzzy inference systems. IEEE Transactions on Systems, Man and Cybernetics 23, [] (Erişim Tarihi: 4/3/2) [2] otary/srv2_flexgage_pis_38.pdf (Erişim Tarihi: 4/3/2) [3] Bingul, Z., Cook, G.E., Strauss, A. 2: Application of Fuzzy Logic to Spatial Thermal Control in Fusion Welding. IEEE Transactions on Industry Applications 36, [4] J.R. Jang., C.T. Sun, E. Mizutani, 997: Neuro-Fuzzy and Soft Computing, a computational approach to learning and machine intelligence, Prentice Hall [5] Gupta N.K.; Easwara Prasad G.L.; Park H.W.; Yang H.S.; Park Y.P.; Kim S.H., 999: Position and vibration control of a flexible robot manipulator using hybrid controller, Robotics and Autonomous Systems 28, 3-4. [6] Kizir, S., Bingül, Z., Akyüz, İ. H., 29: Tek Esnek Eklemli Robot Kolunun Modellenmesi, Tasarımı ve Bulanık Mantık ile Kontrolü, Türkiye Otomatik Kontrol Konfreransı 29