TRANSPORT PROBLEMI için GELIsTIRILMIs VAM YÖNTEMI

Transkript

1 Yönetm, Yl 9, Say 28, Ekm , TRANSPORT PROBLEMI ÇIN GELIsTIRILMIs VAM YÖNTEMI Dr. Erhan ÖZDEMIR I.Ü. Teknk Blmler M.Y.O. L.GIRIs V AM transport problemlerne en düsük malyetl baslangç çözüm bulunmasnda çok kullanlan br yöntemdr. Dengelenms transport problemler çn VAM yöntem, bütün satr ve sütunlar da en düsük k brm malyet arasndak farklar almakla baslar. Daha sonra en büyük fark veren satr ve sütuna mümkün olan maksmum saydak brm en az malyetl hücreye dagtlr. Daha sonra ortaya çkan sfr arz veya talep sütunu ptal ederek gerye kalan satr ve sütun farklar alnarak dagtma devam edlr. Iptal edlmems tek br satr veya sütun kalncaya kadar slem sürdürüür. Bu suretle dagtm tamamlanms olur. Dejenerasyon durumu kontrol edldkten sonra MüD I (Modfed Dstrbuton Method) veya atlama tas (Steppng Stone) yöntemlernn br le optmallk kontrolü yaplr (5). Eger toplam arz toplam talebe veya ters brbrne est olmadg zaman dengelenmems transport problem ortaya çkar. Bu durumda, talep arzdan fazla se sfr brm malyetl yapay depo eklenr. Eger arz talepten fazla se sfr brm malyetl yapay pazar yaratlarak ortaya çkan fazlalk fark, bu yapay pazar veya depoya atanr. Böylece dengelenmems problem sfr brm malyetl hücreler bulunan satr veya sütunlu den- gelenms problerne dönüsür. Genellkle bu sfr brm malyetl hücreler nedenyle VAM yöntem y br baslangç çözümü vermez. Bu güçlügün üstesnden geleblmek çn Goyal, yapay satr veya sütunlardak sfr malyet yerne mevcut brm tasma malyetler arasndan en büyük olann atamay önermstr (I). Bu öneml degsklkle, brmlern yapay satr ve sütunlara dagtmna en az öncelk verlr. Bunun sonucu olarak genellkle daha az malyetl br baslangç çözümü elde edlr.. Smd de Ramakrshnan'n Goyal degsklg üzernde yaptg ve daha düsük malyetl baslangç çözümü veren önersn tantalm (4). 1. Malyet matrsnn her sütunundak en küçük brm malyet sütunundak dger malyetlerden çkarlr. 2. Bu ndrgenms matrstek en büyük brm tasma malyet yapay sütuna yerlestrlr. 3. Yapay sütunda dahlolmak üzere satrlar çnde en düsük brm malyet satrdak dger malyetlerden çkarlr. 4. Yapay sütundak en düsük malyet dgerlernden çkarlr. 5. Indrgenms matrse VAM uygularn. Yukarda görüleceg gb Ramakrslnan önersnde, lk matrs dört asamada ndrgenms br matrse çevrlr ve sonra VAM uygularn. Smd Goyal'n makalesnde verlen örnek problemn baslangç çözümünü srasyla VAM 20

2 yöntem ve Goyal le Ramalcrshnan önerlerne göre verelm. Tablo: 1. P P3a 50 LO14 P D D3 D Tablo: Elde edlen malyet matrsnn satrlarndak en küçük malyet dger brmlerden çkardktan sonra yapay sütundak en düsük malyet bu sütundak dger brm malyetlerden çkaralm. PPP3 O6 OO9(6) 313(0) Yapay 1O6(3) VAM (25) 12(30) (45) töntem P 19 Yapay 10(40) 0(25) P P3 21(5) O50 14(10) 21(20) P3 a Yapay le Baslangç çözümü Tablo: 1.2. Tablo: 1.1. Goyal yaklasm le baslangç çözümü Toplam malyet P = 1745 P Bu ndrgenms malyet matrsne VAM uygulandg zaman asagdak baslangç çözümü elde edlr. Bu çözüm ayn zamanda optmal çözümdür. D D3 D bj (5)10(40) (50) 12(25) Yapay P 1921 P P3 O50 14(5) 0(25) a Tablo: Toplam malyet = UYGULAMA Toplam malyet = 65 Ramakrslnan yaklasm le baslangç çözümü: Malyet matrsnn sütunlarndak en J küçük malyet dger brmlerden D çkaralm ve yapay sütuna mevcut en büyük brm malyet ata D3 D b yalm. a. Dengelenms Transport Problem Yukarda kurallar verlen Ramalcrshnan önersn dengelenms br transport problemne uygulayalm. Problem asagdak gb verlms olsun (2). 4P PP a Tablo:2 Tablo: 1.3. P 6O 9 Yapay 43 OP3 97 P9 Malyet matrsnn sütunlarndak en küçük malyet dger brmlerden çkaralm. 21

3 3 Tablo:2.1. P O4 128 P3 OO 8 P Malyet matrsnn satrlarndak en küçük malyet dger brmlerden çkaralm. Yapay D3 D Tablo:3.!. PPP3 O4 O8 O 4 Smd de satrlardak en küçük malyet dger brm malyetlerden çkaralm. 3 Tablo:2.2. P O4 P3 OO 412 8O P Smd de sütunlardak en küçük malyet dger brm malyetlerden çkarp yapay satrdak en düsük malyet bu satrdak dger malyetlerden çkaralm. Bu ndrgenms matrse VAM yöntemn uygularsak asagda malyetl tabloda görülen optmal alternatf baslangç çözümü elde Yapay D D3 Tablo:3.2. edlr. (4) PPP3 O O4 (4) 4O 12(0) (72) PPP3 24(41) 8(56) (5) a (41) Tablo:2.3. Bu ndrgenms malyet matrsne VAM yöntemn uygularsak asagda orjnal malyetler le gösterlen tablodak baslangç çözümü elde edlr. Toplam malyet = 2744 = Dual formun deger = elde edlr. D bj D3 D Yapay Tablo:3.3. b. Dengelenmems Transport Problem 1. Yukarda kurallar verlen Ramakrshnan önersn dengelenmems br transport problemne uygulayalm. Problem asagdak gb verlms olsun. P3 P 4O (77) (5) 61 24() O (30) 8(56) (61) a P P P3 a 61 P Tablo: Alternatf Optmal baslangç çözüm Toplam malyet = 2504 = Dual formun deger = elde edlr. 2. Smd de yukarda kurallar verlen Ramakrshnan önersne göre yapay pazar olan dengelenmems br transport problemne uygulayalm. Problem asagdak gb verlms olsun. 22

4 P a P P2 Tablo:4. brm235malyetlerden çkaralm. Smd de sütunlardak en küçük malyet dger Optmal baslangç çözüm Toplam malyet = 2424 = Dual formun deger = elde edlr. 3. Asagdak yapay pazar gerektren br dengelenmems Transport Problem alnarak Ramakrslnan önersne göre çözülmüstür. (3) D bj D2 D3 Tablo: P a P2 P P4 P O 12 4 P2 P3 O O 8 8 Tablo:4.1. Yapay Malyet matrsnn satrlarndak en küçük J malyet dger Dbrmlerden çkarp yapay sütundak en küçük malyet bu sütundak dger brm D2 D3 b malyetlerden çkaralm. Malyet matrsnn sütunlarndak en küçük malyet dger brmlerden çkaralm. Yapaya P O (0) OO3 4 P2 P3 7O P Tablo:5.L. 2 II Tablo:4.2. 4O 72 Yapay P 412 OO 8O8(0) 102 P2 P (4) (8) a Bu ndrgenms malyet matrsne VAM yöntemn uygularsak asagda orjnal malyetler le gösterlen tablodak baslangç çözümü elde edlr. P 4 8(72) (21) P2P3 8(76) (5) 0(20) 8O76 Yapay O77 (41) a 82 J Tablo:4.3. Her satrda sfr malyet oldugu çn satrlardak en küçük malyet dger brm malyetlerden çkardgmz zaman yne ayn ndrgenms matrs elde edlr. Yapay sütundak elemanlarda est olduklar çn çkarma slemnden sonra sfr malyetl hücreler elde edlmstr. Bu ndrgenms malyet matrsne V AM yöntemn uygularsak asagda orjnal malyetler le gösterlen tablodak baslangç çözümü elde edlr. P 3(5) 1(20) 4 25 P2 P3 9(17) 9 3 5(25) 2(25) Tablo:5.2. P4 Yapay a 2(8) O( 10) 40 8 O 20 5 O

5 Baslangç çözüm Toplam Malyet = 379 = Dual formun deger = elde edlr. VAM Yönetm le çözüldügünde se baslangç çözümü optmal ve 311 olarak bulunmaktadr. SONUÇ ve YORUM: Makalenn grs bölümünde VAM yöntem verlp, Goyal ve Ramakrshnan önerler tantlp, Goyal'n makalesnde verms oldugu örnek problem aynen alnmstr. Goyal makalesnde bu örnek problem VAM le ve kend önersne göre çözerek sonuçlar karslastrms ve Yam'dan daha düsük malyetl br baslangç çözümü elde etmstr. Ramakrshnan'da kend makalesnde Goyal'n verdg örnek problem ele alp kend önersne göre çözmüs ve sonuçlar karslastrmstr. Ramakrshnan, Goyal'den daha düsük malyetl, hatta optmal baslangç çözümü elde etmstr (Tablo: ). Ramalcrshnan ayrca son ndrgenms malyet tablosuna (Tablo: 1.3.1) V AM' uyguladgnda sadece sfr malyetl hücrelere atama yapldgn görmüs ve Smpleks Yöntemn optmal tablosunun da bu durumu sagladgn söylemstr. Gerçekten ayn problem Smpleks yöntem le çözüldügünde ZfCj satrndak ndrgenms malyet rakamlar Ramakrshnan'n son ndrgenms tablosundak hücre malyetler le ayndr. Uygulama bölümünün lk örneg olan dengelenms transport problemne (Tablo:2.) Ramakrshnan önersn uyguladgmz zaman Tablo:2.2.'dek ndrgenms malyet matrs elde edlmstr. Bu matrse VAM yöntem uygulanarak tek tabloda alternatf optmal baslangç çözümü elde edlmstr. Esas problem olan Tablo:2. 'ye VAM yöntem uygulanrsa yne tek tabloda alternatf baslangç çözümü bulunmaktadr. Ancak Tablo:2.2.'de Smpleks optmal tablosunda verms oldugu ndrgenms malyet rakamlarna ulaslamamstr. çünkü bu dengelenms problem smpleks le çözülürse x 'x 13,x2 ve x 19 temel ds degskenlerne kars gelen ndrgenms malyetlern srasyla 4,8,0 ve oldugu görülmektedr. Bunun sebeb de D2P2 ve D3P2 gb sfr malyetl olmayan hücrelere atama yapmak zorunda kalnmasdr. Fakat su görülmüstür k pratk olarak son ndrgenms matrsde sfr malyetl hücrelere mümkün olan en fazla brm atanmstr ve hesaplamalarda daha küçük tam saylarla slem yaplmstr. Yne uygulama bölümünün dengelenmems transport problem ksmnda brnc örnekte yapay depo eklenmes gereken ayn brm malyetl problem çözülmüstür (Tablo:3.). Bu problemde yapay depo çnde çkarma slem yapablmek çn Ramakrshnan'n önersndek 1. ve 3. maddelern yerler degstrlerek Tablo:3.2. ndrgenms matrs elde edlmstr. Bu matrsn elemanlar da tam olarak smpleks optmal ZfCj satrndak elemanlara karslk gelmemektedr. Indrgenms matrse VAM uyguladg zaman tek tabloda optmal alternatf baslangç çözümüne ulaslmaktadr (Tablo:3.3.). Tablo:3.'de verlen orjnal problem e dogrudan V AM uygulandg zaman se toplam malyet = 2744 olarak bulunmaktadr ve optmal çözüme varablmek çn br terasyon daha gerekmektedr. Ayn bölümdek knc örnek se yapay pazar gerektren br dengelenmems problemdr (Tablo:4.). Bu probleme Ramakrshnan'n kend makalesnde verdg örnegn çözümünde oldugu gb önerler dogrultusunda hareket edlerek çözülmüs ve Tablo:4.2.'de verlen ndrgenms matrs elde edlmstr. Bu tablodak rakamlar yne optmal smpleks tablosundak ndrgenms matrse VAM uygulandgnda Tablo:4.3.'de verlen optmal alternatf baslangç çözümü elde edlmstr. Son üçüncü örnekte se baska br dengelenmems ve pazar gerektren problem alnmstr. Bu probleme orjnal VAM uygulandgnda tek tabloda optmal baslangç çözümü elde edlmstr (toplam malyet = 311). Halbuk ayn probleme Ramakrshnan önersnn uygulanmasyla elde edlen Tablo:5.2.'de görülen daha yüksek malyetl baslangç çözümüne ulaslmaktadr. 24

6 Sonuç olarak, Ramakrshnan kend makalesnde önersnn uygulanmas halnde, V AM le Goyal'den daha düsük malyetl baslangç çözümüne ulaslacag ddasnda bulunmustur. Halbuk yukarda verlen örneklerden görüleceg gb bu ddann genellestrlmes mümkün degldr. KAYNAKÇA. GOYAL,S.K., (1984), "Improvng VAM for Unbalanced Transpotaton Problems", J.OpI.Res.Soc. VoI.3S, No. 12, s Levn, R.I., Krkpatrck, C.A., Rubn D.S., (1982), "Quanttatve Approaches to Management" McGraw-Hll Book Comp., Ffth Ed., s Lucey, T.,( 1988), "Quanttatve Technques", DP Puplcatons Ltd., London NW LO 7UL, Thrd Edton, s Ramakrshnan,C.S., (I 988), "An Improvement to Goyal's Modfcd VAM for the Unbalanced Transportaton Problem", J.Opl. Res.Soc. Vol.39.No.6, s O. 5. Tulunay,Y., (1982), "Isletme Matematg", Önsöz Basm ve Yaynclk KoII.St., Istanbul, s.269. NOTLAR. Bu bölümdek problemlern çözümünde "AB:QM Verson 4.0 Sang M.Lee Unversty of Nebraska-Lncoln, 1990" kullanlmstr. PAZARLAMA ARASTIRMALARI... GENISLETILMIS S. BASK Prof. Dr. Kemal KURTULUS Isteme Adres: I.Ü. Isletme Fakültes Isletme Iktsad Ensttüsü - Avelar TeL.: (0212) Fax: (0212)