Bölüm 3 HAREKETLİ ORTALAMALAR VE DÜZLEŞTİRME YÖNTEMLERİ

Transkript

1 Bölüm HAREKETLİ ORTALAMALAR VE DÜZLEŞTİRME ÖNTEMLERİ Bu bölümde üç basi öngörü yönemi incelenecekir. 1) Naive, 2)Oralama )Düzleşirme Geçmiş Dönemler Şu An Gelecek Dönemler * Öngörü yönemi seçildiken sonra, geçmiş dönemlerdeki gözlenen değerlerine uygulanır ve gelecek dönem(ler) için öngörü değerleri hesaplanabilir. Seçilen öngörü modeli (meodu) geçmiş dönemler de uygulanarak o dönemler için elde edilecek öngörü değerleri ile gerçekleşmiş olan gözlem değerleri mukayese edilerek, öngörü haaları, e, hesaplanabilir. Seçilmiş olan öngörü modellerini değerlendirirken izlenecek iyi bir sraeji aşağıdaki işlem basamaklarını içerir. 1. Öngörü yönemi, analizi yapan kişinin eldeki verinin özelliği ile ilgili düşünce ve görüşleri doğrulusunda seçilmiş olmalıdır. 2. Eldeki veri iki parçaya ayrılmalıdır. Bir bölümü düşünülen yönemle model uydurulmak, diğer bölümü ise modeli es amacıyla öngörü yapılacak dönemleri içermelidir.. Model aracılığı ile öngörü değerleri hesaplanan dönemler için haa erimleri hesaplanıp, modelin performans ölçüü olarak kullanılacak kriere göre MAD, MPE, MAPE, MSE den biri veya birkaçı hesaplanmalıdır. 4. Uygulanan modelin iyi olup olmadığı kararlaşırılmalıdır. Naive Modeller Bu modeller, eldeki en son gözlem değerinin bir sonraki dönem için en iyi öngörü değeri olarak alınabileceği varsayımını yapan modellerdir. Naive modellerinin en basii +1 =.(1) formülü ile öngörü değeri belirleyen modeldir. Bu modele göre hesaplanacak öngörü değerleri deki değişimleri çok yakından izler. 1

2 Örnek 1 Aşağıda bir ürüne ilişkin saış mikarları verilmişir. Eldeki veri 7 yılın mevsimler iibariyle saış mikarını gösermekedir. Bu verinin ilk yıllık bölümü (24 mevsimlik bölümü) ise modeli es amaçlı kullanacakır. F1 e1 F2 e2 F e F4 e4 F5 e5 F e ,0 5, , 221, ,0-10, , -15, ,2-72, , 185, ,5-87, ,0-100, , -208, , 5, ,5-12, ,5 287, ,5 112, ,7-51, , -40, ,7 27, ,5 2, , 71, ,0-0, ,5-7, ,0-150, , 5, ,5 87, , 2, , -278, ,5 187, ,5-47, ,, ,0 0, ,5 7, , -20, ,5 87, ,5-511, ,5 2, ,5 2, ,5 7,5 MSE (son 4 dönem) MSE (Tüm e ler)

3 Saışlar Böylece 25 = 24 =50 olur. e 25 = =850-50=200 olarak hesaplanır. Benzeri şekilde 2 = 25 =850 ve e 2 =00-850= = 2 =00 ve e 27 =450-00= = 27 =450 ve e 28= =250 olarak hesaplanır. Bu büyüklüke öngörü haaları daha farklı modeller denememiz gerekliliğinin işarei olarak algılanabilir. Eldeki serinin grafiğini dikkale inceleyip, saışların zaman içinde arığını söyleyebiliriz. Seri zaman içinde arış (azalış) göseriyorsa böyle serilere durağan olmayan (non-saionary) seriler denir. ani serinin oralaması zaman içinde değişmekedir veya bir rendi vardır. Eğer poziif rendi olan bir seriye (1) ile verilen modeli uygulamaka ısrar edersek öngörü değerleri uarlı bir şekilde gerçek değerden küçük çıkacakır. Trend fakörünü de dikkae alan bir düzenleme ile bir başka naive model elde edilebilir. +1 = +( ).(2) (2) ile önerilen modelde bir dönem öncesinin değerine önceki iki dönem arasındaki fark da eklenerek ardışık mevsimler arasındaki değişim hesaba dahil edilmişir. Bir anlamda (1) ile verilen modele rend ekisi eklenerek iyileşirilme çabasına girilmişir. Buna göre: 25 = 24 +( 24-2 )=50+(50-400)=00 ve e 25 =850-00=-50 olur. 2 = 25 +( )= 850-(850-50)=1050 ve e 2 = = =00+(00-850)=50 ve e 27 =450-50= =450+(450-00)=00 ve e 28 =700-00=400 olarak hesaplanır.

4 Bu seriye (2) ile verilen modelin uygulanışı sonunda da başarıya ulaşığımız söylenemez. Modeli iyileşirme gayrelerimizi sürdürürsek +1 =. () 1 ile verilen bir model daha önerebiliriz. Bu model değişim mikarı yerine değişim oranlarını kullanan bir modeldir. () ile modelin kullanımı ile = 24. = 50. = 105 ve e 25 = =-20 olur Eldeki zaman serisi grafiği bir kez daha incelenirse, serinin mevsimlik ekiler de içerdiği gözlemlenebilir. Eğer mevsimlik ekiler güçlü ise +1 = - (4) uygun bir model olabilir. Bu modele göre de bir önceki yılın ilkbahar, örneğin, mevsimi saışları bir sonraki yılın ilkbahar mevsimi saışları için öngörü değeri olarak alınabilir denmekedir. 25 = 21 =750, e 25 = =100 2 = 22 =500, e 2 =00-500= = 2 =400, e 27 = =50 28 = 24 =50, e 28 =700-50=50 olarak hesaplanır. (4) numaralı modele iyileşirme amaçlı bir başka ekleme daha yapılabilir. (4) rend ekisini göz ardı emekedir. Ardışık yıllardaki değişimleri de dikkae alan bir model +1 = - +( ).(5) olabilir. (5) numaralı model kullanılarak 25 = 21 +( )=750+( )=50, e 25 = = 22 +( )=500+( )=00, e 2 =0 27= 2 +( 2-1 )=400+(400-50)=450, e 27 =0 28 = 24 +( )=50+(50-00)=700, e 28 =0 Bulunur ki bu şimdiye kadar denenen modellerin en iyisi olmuşur. Burada en iyi model son dör döneme uygulanan modellerin her biri için hesaplanan MSE değerleri dikkae alınarak belirlenmişir. Bir başka model de ( 1 ) + ( 1 2 ) + ( 2 ) + ( 4) +1 = + 4 ( 4 = ) + () 4 4

5 şeklinde verilebilir. Bu model bir önceki yılın, örneğin, ilkbahar mevsim değerinin üsüne, bir önceki yıldaki mevsimden mevsime oluşan değişimlerin oralamasını eklemekedir. () numaralı model kullanılarak hesaplamalar yapılırsa = 21 + = = ,5 = 72,5 4 4 olur ve e 25 =850-72,5=87,5 olur. Naive modellerin sayısı ve karmaşıklığı, modeli oluşuran kişinin bu konudaki yaraıcılık gücüne bağlı olarak değişir. Naive modeller daha karmaşık modellerin başarısını es emeke baz alınabilir. ukarıdaki abloda F1-F başlığı alında verilen değerler (1)-() ile numaralanan modellerin uygulanması sonucunda elde edilen öngörü değerlerini, e1-e başlıkları alıdakiler de bu modellerin öngörü haalarını gösermekedir.mse değerleri de öngörü haalarının karelerinin oralamalarıdır. ORTALAMAA DAALI ÖNGÖRÜ ÖNTEMLERİ İşleme yöneimi çoğunlukla soklarla ilgili öngörülerin günlük, hafalık ve aylık olarak güncellenmesini iserler. İşlemelerin soklarında yüzlerce farklı ürün olabilir. Bunların her biri için karmaşık öngörü modellerinin oluşurulması çok zor ve anlamsız olabilir. Böyle durumlarda ve kısa dönemlik öngörünün gerekli olduğu hallerde basi, hızlı sonuç almaya elverişli modeller kullanmak daha anlamlıdır. Durum böyle ise oralamaya dayalı modellerin veya düzleşirme modellerinin kullanılması avsiye edilir. BASİT ORTALAMALAR Önceki dönemin gözlem değerlerinin basi arimeik oralaması bir sonraki dönemin, dönem (+1) in, öngörü değeri olarak alınabilir. + i i= 1 = 1.(7) eni dönemlerin gözlem değerleri oluşukça bir sonraki dönemin öngörü değeri (7) numaralı model kullanılarak hesaplanabilir. Eğer veri dosyasının büyümesi sorun yaraırsa (7) numaralı modele alernaif olarak + 2 = (8) önerilebilir. Bu modelin kullanılmasının geirdiği kolaylık verinin muhafazası açısından önemlidir. (8) numaralı modelin kullanımda iki verinin elde olması yeerlidir. Bunlardan biri bir önceki öngörü değeri, diğeri de aynı dönemde gerçekleşen değerdir, yanı + 1 ve +1 in bilinmesi + 2 nin hesaplanmasını olanaklı hale geirmekedir. 5

6 Basi arimeik oralama modellerinin kullanımı ile durağan zaman serileri için güvenilir öngörü değerlerinin verilmesi mümkündür. Örnek: Aşağıda bir nakliye şirkeinin kullanıldığı araçları hafalık yakı ükeimleri verilmişir Bu zaman serisinin aşağıda verilen grafiğini incelediğimizde serinin durağan bir özellik aşıdığını söyleyebiliriz. Eldeki 0 hafalık serinin ilk 28 hafasına model uygulayarak son iki hafa için öngörü değerleri hesaplanırsa: Time Series Plo of Index = i = = ve e 2 = 2-2 = = i= = = 2 28(281.2) + 02 = ve e0=0-0 = =. 1 olarak hesaplanır.

7 HAREKETLİ ORTALAMALAR + 1 ( k 1 ) =..(8) k + şeklinde verilen öngörü modeline k dönemlik harekeli oralama modeli denir. Bu model yeni gözlem değeri elde edildiğinde oralama hesabına bu yeni değeri ilave ederken, bir önceki oralamaya dahil edilen en eski dönem değerini hesapan düşürür. Böylece en son k dönemin gözlem değerlerinin oralaması öngörü değeri olarak alınır. k=5 alarak yukarıdaki zaman serisi için 5 dönemlik harekeli oralamalar hesaplanırsa aşağıdaki öngörü değerleri ve öngörü haaları hesaplanabilir. MA(5) e * * 2 21 * * 07 * * * * 5 25 * * 28 28,8-21, ,4 -, , -1, , 1, ,2 1, ,2 24, , -18, ,4-48, ,4 1, ,8 27, ,4-12, ,4-2, ,8-5, ,8, ,2 1, , 40, Burada =2 dönemi için, örneğin, öngörü değeri 5 dönemlik harekeli oralamalar kullanılarak hesaplanırsa: ( ) ( ) = = 5 5 Benzeri şekilde 2 = 21. 7

8 ( ) ( ) 0 = = = 272 olur. 5 5 Moving Average Plo for Variable Acual Fis Moving Average Lengh 5 Accuracy Measures MAPE 7,50 MAD 20,584 MSD 22, Index Beş dönemlik harekeli oralamalar kullanarak elde eiğimiz öngörü haalarının AC fonksiyonu grafiğini (aşağıdaki grafik) incelendiğinde e serisinin bir whie-noise sersi olmadığı görülebilmekedir. ani bu model iyi bir öngörü modeli olamaz. 1,0 0,8 0, Auocorrelaion Funcion for e (wih 5% significance limis for he auocorrelaions) Auocorrelaion 0,4 0,2 0,0-0,2-0,4-0, -0,8-1,0 1 2 Lag 4 5 8

9 ÇİFT HAREKETLİ ORTALAMALAR (DOUBLE MOVING AVERAGES) Eldeki zaman sersi doğrusal rendi olan bir zaman sersisi ise çif harekeli oralama kullanarak öngörü değerleri oluşurmak uygun bir yönem olabilir. Bunu aşağıdaki veriye uygulayarak açıklamaya çalışalım. Önce k dönemlik harekeli oralamalar alınarak M değerleri hesaplanır. Aşağıda MA() süunundaki değerler k= alınarak hesaplanmış değerlerdir. Harekeli oralamalar aracılığı ile hesaplanacak M değerleri aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanır. M ( k 1 ) = + 1 =.() k Daha sonra da Harekeli oralamamalın harekeli oralamaları alınır. Aşaşğıdaki abloda DMA() süununda yer alan değerler de yine k= alınarak ve ' ( M + M 1 + M M + k 1 ) M = (10) k formülü kullanılarak hesaplanmış değerlerdir. a = M + (11) ' ' ( M M ) = 2M M b 2 ' = ( M M ) (12) ( k 1) + p = a + b p (1) burada k= harekeli oralamalarda kullanılan dönem sayısı; p= kaç dönem sonrasına öngörü yapılacağını belirir am sayı. Tablodaki F süunu p=1 alınarak hesaplanmış öngörü değerleridir. Hafa MA() DMA() a b F e 1 54 * * * * * * 2 58 * * * * * * 5 5 * * * * * * * * * * * * , , ,

10 Örneğin: F 1 = a 15 +pb 15 =722+1(5)=727; F 1 = a 15 +pb 15 =722+4(5)=742 olur. Çif harekeli oralamalar yönemi ile elde edilen öngörü haalarından hesaplana MSE=. dır, buna karşın MA() ile hesaplanan öngörü haalarının MSE değeri 12.8 dir. Time Series Plo of ; MA(); DMA() Variable MA() DMA() Daa Index

11 ÜSTEL DÜZLEŞTİRME METOTLARI Basi Üsel Düzleşirme: (Durağan Seriler için) + 1 = α + (1 α F 0<α<1 (1) F ) (1) numaralı formül değişik α değerleri ile kullanılarak aşağıdaki abloda verilen öngörü değerlerine ulaşılmışır. α =1.7 alınarak hesaplanan öngörü değerleri MINITAB arafından belirlenen opimum(!) α kullanılarak hesaplanan öngörü değerleridir. Opimum çözümde başlangıç öngörü değeri program içindeki bir algorima yardımı ile belirlenmekedir. Son iki süundaki değerlerin oluşumunda bizim seçim hakkımız ve müdahale imkanımız yokur. No: Basi üsel düzleşirme modelinde α düzleşirme fakörünün 0. en büyük çıkması (1) numaralı modelin eldeki veri için uygun olmadığının belirisidir. F(α=0.1) e1 F(α=0.) e2 F(α=1.7) e ,74-8, ,242-14, ,52 0, ,5-1, ,7 14, ,5-5,5 5, 84,4 411,1-54, , ,815 41,24 -,24 0,815-1, ,4-244,4 7,4-17,4 125,12-10, , -11, 270,58 2, , , ,1-57,1 288,2 1,71 2,12-72, ,11-52,11 25,2 24,704 85,58 50, ,07-1,07 40, ,118,84-185, ,21-227,21 25,047-10,047 20,171 80, ,45 45,505 12,41 207,581 55,8 1, ,045 10,55 1,8 2,02 55,0 14, ,141-28,141 45,787-10, ,85-20, ,27-125,27 2, ,715 28,0 47, ,74 187,20 07,08 242,14 77,125 2, ,515 18, ,84 7,1 418,85-187, , 1,7 511,14-111,14 8,77-18, ,527-48, ,45-4,45 24,207 -,77 00,74 20,2 87, ,21 7,1 275, ,07 5, 515,11 24,887 71,8-4, ,87 52,124 5,045-15,045 4,04-21, ,088-5,088 52,418-12,418 47,81 5, ,78 202,22 44,7 185,0 78, , ,002 81,8 575,87 274,01 885, 51,27 Aşağıdaki grafikler sırasıyla α=0.1, 0. ve 1.7 değerleri kullanılarak hesaplanan öngörü değerleri ile eldeki zaman serisi değerlerinin aynı eksenler sisemindeki çizimleridir. 11

12 Single Exponenial Smoohing Plo for Variable Acual Fis 700 Smoohing Consan Alpha 0, Accuracy Measures MAPE 8,0 MAD 1, MSD 2814, Index Single Exponenial Smoohing Plo for Variable Acual Fis 700 Smoohing Consan Alpha 0, Accuracy Measures MAPE 5,7 MAD 1,4 MSD 255, Index

13 Single Exponenial Smoohing Plo for Variable Acual Fis Smoohing Consan Alpha 1,7005 Accuracy Measures MAPE 0,0 MAD 112, MSD 152, Index

14 Hol ikili Üsel Düzleşirme Modeli : (Doğrusal Trendi Olan Seriler İçin) = ( = β ( L L 1 ) + (1 β ) T 1 (15) + p = L pt (1) L T α + 1 α)( L T ) (14) F + α= 0. ve β= 0.1 alınarak hesaplanan L, T ve F değerleri aşağıdaki abloda verilmişir. L T F e 500,08 1,08 25,812 24, ,7 1,4 55,75-5,75 250,8 15,74 7,40-12,40 400,485 17, ,121 47, ,55 1,11 8,55, ,04 1,74 422,72-72, ,518 10, ,88-217, ,07 8,5541 2,1-2, ,8 8,475 52,27-2, ,22 8,15 0,14-10, ,77,204 5,8-15, ,282-1,84 18,74-18, ,42 2,142 2,417 1, ,044,85 08,5 241, ,2 8,1707 0,428-40, ,52 4,07 8,47-1, ,724 10,0884 4,0 200, ,8 1,4 41,812 10, ,004 11, ,8-72, ,8 8,428 42, , ,175 1,02 47,2 12, ,4 20,8177 4, , ,81 17,542 55,451-5, , 12, ,77-184, ,225 15,58 541,75 108, ,1 2,421 58,884 20,11 14

15 Double Exponenial Smoohing Plo for Variable Acual Fis 700 Smoohing Consans Alpha (level) 0, Gamma (rend) 0, Accuracy Measures MAPE 4,7 MAD 127,2 MSD 220, Index

16 α= 1.7 ve β= alınarak hesaplanan L, T ve F değerleri aşağıdaki abloda verilmişir. (Burada α nın 1 den büyük çıkması bir olumsuzluk işareidir. Büün düzleşirme kasayıları 0 ile 1 arasında olmalıdır. Burada α nın 1 den büyük olmasının nedeni, MINITAB de opimum α ve β değerlerini bulup bu çarpanlar aracılığı ile öngörü hesabı yapırmak isememizdir.) L T F e 500 0,28-5,51 7,105 12, ,77-78,75-2,2 7, ,45-4,04 22,78 2, ,02-2,80 221,11 178, ,01-5,18 487,22-7, ,555-8,51 8,402 -, ,7-45, ,4-84, ,52-2,757 7,7 202, ,527 -,71 405,84-55, ,5-28,57 278,55 71, ,2-41,,71-1, ,45 -,44 44, 105, ,1-17, 187,0 212, ,41-15, ,55 24, ,172-0,8 550,88-200, , -25,77 184,42 5, ,112-4,474 28,22 281, ,07-18,407 74,8-184, ,851-18,8 407,72-7, ,41-20,8 75,85-25, ,4 0,817 11,70 288, ,21-2,52 74,1-44, ,8-18,57 717,75-217, ,8-14,045 4,0 5, ,85 2,58 42,41 220, ,27,2 800,47 4,521 1

17 Double Exponenial Smoohing Plo for Variable Acual Fis Smoohing Consans Alpha (level) 1,711 Gamma (rend) 0,04515 Accuracy Measures MAPE 4,8 MAD 10,7 MSD 24, Index

18 Winers Üsel Düzleşirme Modeli: (Doğrusal Trendi ve Mevsimlik Ekileri Olan Seriler İçin) L = α + ( 1 α)( L 1 + T 1 ) (17) S T s = ( L L 1 ) + (1 β ) T 1 β (18) γ (1) S = + ( 1 γ ) S s L F + p = L + pt ) S s+ p ( (20) α=0.4, β= 0.1 ve γ=0. alınarak hesaplanan L, T, S ve F değerlerei aşağıdaki abloda verilmişir. L T S F e ,217-40,878 1,11 52,582-2, ,475-45,4 1,2052 4,5-14, ,1-44,057 0, ,0 24, ,04 -,1 0,84 1,45 20, ,027-1,751 1, ,45 42, ,52 -,02 1, ,418-8, ,8 -,727 0, ,87-14, ,272-28,5 0, ,28 101, ,25-27,741 1, ,4, ,10-25,422 1,228 28,4, ,28-24,421 0, ,58 18, ,15-2,728 0, ,4-51, ,714-20,77 1, ,04 184, ,1-11,01 1,4 25,1 20, ,88-5,18 0, ,74 120, ,484-7,528 0,82 02,21-52, ,482-4,58 1,445 44,1 10, ,118-2,18 1, ,08 7, ,0 1, 0, ,20 5, ,45 2,8 0,87 40,44, ,47 2,505 1, ,281-1, ,04,5701 1,422 58, , ,24 10,5 0, ,42 87, ,22 8,781 0, ,544-2, ,01,558 1, ,42-87, ,8,401 1,518 75, ,58 18

19 Winers' Mehod Plo for Muliplicaive Mehod Variable Acual Fis Smoohing Consans Alpha (level) 0,4 Gamma (rend) 0,1 Dela (seasonal) 0, Accuracy Measures MAPE 20, MAD 8, MSD 11520, Index Aynı zaman serisine uygulanan üsel düzleşirme modellerinden en başarılı olanı, MAPE, MAD ve MSD krierlerinin her birine göre, Winers modeli olmuşur. (Aşağıdaki abloya bakınız.) Basi Üsel Hol Winers α=0.1 α=0. α=1.7 α=0., β=0.1 α =1.7, β=0.045 α=0.4, β=0.1, γ=0. MAPE MAD MSD