İŞLEME MERKEZLERİNDE İŞ MİLİ TAKIM TUTUCU TAKIM SİSTEMİNİN DİNAMİK MODELLENMESİ

Transkript

1 12. Ulusal Makina Teorisi Sempozyumu UMTS2005 İŞLEME MERKEZLERİNDE İŞ MİLİ TAKIM TUTUCU TAKIM SİSTEMİNİN DİNAMİK MODELLENMESİ Alper ERTÜRK*, Erhan BUDAK** ve H. Nevzat ÖZGÜVEN* (*) Orta Doğu Teknik Üniversitesi, Makina Mühendisliği Bölümü 06531, ANKARA (**) Sabancı Üniversitesi, Mühendislik ve Doğa Bilimleri Fakültesi 34956, Tuzla, İSTANBUL ÖZET Talaşlı imalat, imalat sanayiinde en yaygın kullanılan üretim yöntemidir. Diğer süreçlerde olduğu gibi, amaç, gerekli kaliteyi en hızlı ve ucuz şekilde elde edebilmektir. Son yıllarda takım tezgahlarının, yüksek devirli iş milleri ve yüksek hızlı eksenler sayesinde potansiyel üretim kapasiteleri oldukça artmıştır. Ancak süreçten gelen sorunlar nedeniyle bu potansiyel kapasitenin büyük bir kısmı genellikle üretimde kullanılamamaktadır. Bu sorunların başında; tırlama türü, kendinden kaynaklı titreşimler nedeniyle ortaya çıkan kararsızlıklar gelmektedir. Bu tür titreşimlerden, hem işlenen yüzeye hem de takım ve tezgaha zarar verdikleri için kaçınmak gerekmektedir. Genel olarak, kesme derinlikleri ve kesme hızları azaltılarak kararsızlık engellenmekte, ancak bu durum da süreç verimini ve üretim kapasitesini düşürmektedir. Tezgah dinamiğinin bilinmesi durumunda, önceden geliştirilmiş modeller yardımı ile kararlılık limitleri bulunabilmektedir. Tezgah dinamiği; ya her iş mili, takım tutucu ve takım kombinasyonu için deneysel olarak ölçülerek bulunabilir ki bu çok zaman alıcı olduğu için pratik değildir, ya da analitik modelleme veya ölçerek her bir bileşen için bulunan dinamik özelliklerden yararlanarak hesaplanabilir. Bu çalışmada; analitik yöntemlerle elde edilen, iş mili, takım tutucu ve takım frekans tepki fonksiyonları ile, deneysel olarak elde edilen bağlantı dinamik özelliklerinden yararlanarak, bütün sistem için gerekli frekans tepki fonksiyonlarının hesaplanması amaçlanmıştır. Bu sayede; her iş mili, takım tutucu ve takım kombinasyonu için, kararlı bölge içerisinde kalacak şekilde en iyi kesme hız ve derinliğini belirlemek mümkün olabilecektir. Bu bildiride, geliştirilen matematik modeller sunulmuş, alt sistemler için bulunan frekans tepki fonksiyonlarına örnekler verilmiştir. Anahtar Kelimeler: Takım tezgahları, tırlama, yapısal titreşimler, talaşlı imalat DYNAMIC MODELLING OF SPINDLE TOOL HOLDER TOOL ASSEMBLY IN MACHINING CENTERS ABSTRACT Machining is the most common manufacturing process used in industry. Similar to the other processes, the main objective is to increase the product quality while reducing the production time and cost. In recent years, potential production capacities of the machine tools have increased considerably as a consequence of the developments in high-speed spindles. However, due to the problems encountered during the machining processes, these capacities cannot be employed in production efficiently. One of the most important problems in machining is the process stability resulting from self-ecited vibrations of the machine tool known as chatter. These vibrations should be avoided since they do not only harm the work-piece, but also the machine tool itself. Generally, in case of an instability problem, cutting speed and depth of cut are reduced, which results in a reduced process efficiency and production capacity. However, previously developed models can be used to obtain the stability limits based on the dynamics of the machine tool. The machine tool dynamics can be determined either eperimentally measuring every spindle tool holder tool combination (which is impractical and time consuming); or by using eperimentally or analytically obtained individual component dynamics. In this study, the objective is to obtain the frequency Erciyes Üniversitesi Kayseri 9-11 Haziran

2 ERTÜRK, BUDAK, ÖZGÜVEN response functions (FRF s) of the spindle tool holder tool assembly, by using analytically obtained component free-free FRF s and eperimentally identified connection dynamic parameters. As a result, it will be possible to determine the optimum spindle speed and depth of cut in a stable region for any spindle tool holder tool combination analytically. In this paper, developed mathematical models are presented and some eamples for the component FRF s are given. Keywords: Machine tools, chatter, structural vibrations, machining processes 1. Giriş Takım tezgahlarının son yıllarda yüksek devirli iş milleri sayesinde artan potansiyel üretim kapasitelerini imalatta kullanabilmek için, bu tür işleme merkezlerinde tırlama (chatter) adı verilen kendinden kaynaklı (selfecited) titreşimler nedeniyle ortaya çıkan kararsızlıklardan kaçınarak, kararsızlıkların olmadığı yüksek hız ve kesme derinliklerinin bulunması gerekmektedir. Bunu sağlayabilmek için kararlılık diyagramları elde edilmelidir. Bu bildiride bu amaçla yürütülen bir çalışma sunulmaktadır. Bildirinin ilk kısmında; işleme merkezlerinde titreşim sorunlarıyla karşılaşmadan üretim yapabilmek için gerekli olan kararlılık diyagramları nın elde edilişi, bunların pratik kullanımdaki önemi ve takım ucu frekans tepki fonksiyonunun (FTF sinin) kararlılık diyagramları üzerindeki etkisi hakkında özet bilgi verilmektedir. Bu diyagramları oluşturmak için gerekli olan takım ucu FTF sinin elde edilmesinde kullanılan yöntemlerden söz edildikten sonra, bu çalışmada önerilen yöntemin teorisi sunulmakta ve uygulaması gösterilmektedir. 2. Takım Tezgahlarında Kararlılık İşleme merkezlerinde kendinden kaynaklı titreşimler olmaksızın imalat yapılabilmesi için, öncelikli olarak kararlılık diyagramlarının elde edilmesine gerek vardır. Bu diyagramlar sayesinde, verilen bir iş militakım tutucu - takım (MTT) kombinasyonu için, titreşim problemlerine neden olmayan kesme derinliği - iş mili devir hızı eşlemesi pratik olarak yapılabilmektedir. Şekil 1 de, kararlılık diyagramlarının bir örneği görülmektedir. Sınırın altındaki bölgede tırlamasız imalat yapılabilirken, sınırın üstünde kalan kesme derinliği - devir hızı eşlemelerinde tırlama kaçınılmaz olmaktadır. Bu diyagramların en önemli yararlarından birisi de kesme derinliğinin çok yüksek olduğu ceplere karşı gelen kesme hızlarını da göstermesidir. Bu sayede tırlama olmadan hem kesme ve ilerleme hızları hem de derinlik çok fazla arttırılabildiği için, işleme süresinde çok önemli düşüşler sağlanabilir. Şekil 1. Tipik bir kararlılık diyagramı Kendinden kaynaklı titreşimler oluşmadan üretim yapabilecek işleme koşullarını belirleyen bu diyagramlar, doğal olarak iş mili - takım dinamiğinin bir fonksiyonudur. Derine inerek kararlılığın nasıl elde edildiğini anlamak, takım tezgahlarında yüksek devirli üretim sürecine bir kapalı döngü kontrol problemi olarak bakmayı gerektirmektedir. Bilindiği gibi bazı girdilere sistemin kararsız yanıt vermesi, kapalı döngü kontrol sistemlerinin doğasında bulunan bir durumdur. Bu noktada gerekli olan, sistemin kararlılık sınırlarını elde etmektir. Konuyla ilgili ilk çalışmalar Tlusty [1] ve Tobias [2] tarafından birbirinden bağımsız olarak ve neredeyse aynı dönemde yayınlanmıştır. Daha sonra Merrit [3] Nyquist kararlılık kriterini kullanarak yeni bir teori önermiştir. Tlusty [4], kesme kuvvetlerinin yönü ve benzeri ayrıntıları da göz önünde bulundurarak çalışmasını geliştirmiştir. Bu çalışmaya dayanarak, MTT kombinasyonu için kararlılık diyagramlarının oluşturulmasında kullanılan temel ilişki şu şekilde yazılmıştır: UMTS2005 C:1 S:

3 12. Ulusal Makina Teorisi Sempozyumu UMTS2005 b lim 1 = 2 m K Re ( ) f [ G ω ] Burada; K f, talaş kalınlığı yönündeki kesme kuvveti katsayısı; m, takım ucundaki ortalama diş sayısı; G(ω), MTT sisteminin takım ucu direkt FTF si ve b lim kritik kesme derinliğidir. Re[G(ω)], karmaşık bir fonksiyon olan G(ω) nın gerçek kısmını ifade etmektedir. Bu denklem sayesinde, belirli bir iş mili devir hızındaki kritik kesme derinliği değeri (b lim ) hesaplanabilmektedir. Takip eden çalışmalarda, Tlusty [5-6] tırlamanın önceden tahmini için analitik çözümün zorluğunu göz önünde tutarak frezeleme süreci için yaklaşık bir sayısal model ve zaman boyutunda benzetimler oluşturmuştur. Frezeleme süreçlerinde takım sürekli döndüğü ve kesici uçlar sırayla kesmeye girip çıktıkları için kararlılık analizleri çok daha karmaşıktır. Minis [7] frezeleme işlemi süreç kararlılığı çözümünde Floquet Teoremini ve Fourier serilerini kullanarak diyagramların oluşturulması açısından önemli bir adım atmıştır. Bu sayısal çalışmaların sonrasında, Budak [8] frezeleme işleminde süreç kararlılığını çözmek için analitik bir yöntem sunmuştur. Daha sonra Budak [9-10] rejeneratif kesme kuvveti harmoniklerini ve tezgah-iş parçasının iş mili yönündeki değişken dinamiğini hesaba katan çalışmaları yayınlamıştır. Kararlılık limitlerinin analitik olarak elde edilmesi için gereken takım ucu FTF si G(ω), deneysel ya da teorik olarak elde edilebilir. 3. Kararlılık Diyagramları ve Frekans Tepki Fonksiyonu Bir MTT kombinasyonu için, kararlılık diyagramı elde edilmeden, gelişigüzel bir devir hızı ve kesme derinliğine karar verip üretime başlamanın gerek takım ve tezgah, gerekse işlenecek parça için son derece sakıncalı bir durum yaratabileceği Şekil 1 den de görülmektedir. Diyagramda kararsız bölgede bulunan devir hızı - kesme derinliği eşlemelerinin meydana getirdiği kendinden kaynaklı titreşimler, yüzey kalitesindeki düşüş ve oluşan gürültünün ötesinde takım ucunda fazla aşınma ve kimi zaman kırılmalara neden olabilmektedir. Örneğin, kararlılık diyagramı Şekil 1 deki gibi olan bir sistemde, diyagram elde edilmeden, 9mm derinliğinde kesme yapabilmek için 8000 d/d civarı bir hız seçilmiş olsun. Sistemdeki kararsızlık, uygulama esnasında fark edildiğinde, kullanıcı buna engel olmak için hızı azaltmaya başlayacak ve 7500 d/d civarında kendinden kaynaklı titreşimlerin genliği düştüğünde bu hız seçilerek üretimde kullanılacaktır. Ancak hız azaltıldığında, titreşim genliğiyle birlikte süreç verimi ve üretim kapasitesi de düşecektir. Bu, ekonomik açıdan istenmeyen bir durumdur. Diyagrama bakıldığında, kesme derinliğini değiştirmeden, iş mili devir hızını 8500 d/d civarına çıkararak da kararlı üretimin sağlanabileceği görülür. Ayrıca, bu örnekteki diyagrama dikkatli bakıldığında, diyagramın maksimum hızına karşılık gelen bölgenin en kararlı bölge olduğu görülmektedir. Başka bir deyişle, iş mili hız sınırı engel oluşturmuyorsa, diyagramın en yüksek hız değeri olan d/d civarında çok daha derin kesmenin kararlı bir biçimde yapılması mümkündür. Ancak bu tür kararlılık diyagramları elimizde olduğu zaman hızı azaltmak yerine artırmak seçeneğini gündeme getirebileceğimiz ve böylece zaman ve kapasite açısından önemli bir kazanç sağlayabileceğimiz açıktır. İş mili devir hızı ve eksenel kesme derinliğinin aynı anda maksimize edilmesi, zamanın, dolayısıyla kapasitenin kullanımı açısından elbette en ideal durumdur. Yukarıda; belirli bir MTT kombinasyonuyla üretim yapılmaya başlamadan önce kararlılık diyagramının elde edilmesinin, bu diyagramın kesme derinliği ve devir hızı seçiminde verimli bir biçimde kullanılmasının önemi vurgulanmıştır. Kararlılık diyagramlarını üretim verimliliğini artırmada kullanmanın bir diğer ve daha ileri düzey olan yolu ise, MTT sisteminin dinamiğinde değişiklikler yaparak kararlılık diyagramını şekillendirmektir. Hatırlanacağı gibi, kritik kesme derinliği, takım ucu direkt FTF si G(ω) nın gerçek kısmıyla ters orantılıdır. İlk bakışta görülen, elde bulunan bir MTT sisteminin kararlılık diyagramında kritik kesme sınırını maksimize etmek için, sistemin takım ucundaki FTF sinin gerçek kısmını minimize etmek gerektiğidir. Sistem dinamiğini değiştirmek ve istenilen davranışı elde edebilmek için farklı seçenekler üzerinde durulabilir. Varolan bir MTT kombinasyonunun dinamiğinde Erciyes Üniversitesi Kayseri 9-11 Haziran

4 ERTÜRK, BUDAK, ÖZGÜVEN değişiklik yapmak için uygulanabilecek en basit ve pratik yollardan biri, takımın takım tutucu dışında kalan uzunluğunu değiştirmektir. Her ne kadar küçük bir değişiklik gibi görünse de, bu tarzda bir değişikliğin, takım ucundaki FTF yi fark edilir bir biçimde değiştirdiği örnek uygulamalarda gözlenmiştir [11-14]. Bu sayede, belirli bir hızdaki kritik kesme derinliğini artırabilmek mümkün olmaktadır. Ayrıca, bu tür değişiklikler ilginç sonuçlar doğurmaktadır. Her ne kadar takım ucu dinamik direngenliğini artırmak için, takımın, takım tutucu içinde kalan kısmını uzun tutmak gerektiği düşünülse de, dinamik titreşim sönümleyici etkisi olarak bilinen titreşim olayı, kimi zaman tam tersi durumları daha direngen kılmaktadır [11-12]. Kritik kesme derinliğini artırmanın ötesinde, diyagramın en kararlı bölümünü iş milinin maksimum hızına kaydırmak amaçlı bir değişiklik de süreç verimini artırmaya yönelik yararlı uygulamalardandır. Takımın, tutucu içinde kalan boyundan başka, takımın kendisini (çap ve boyunu) ve takım tutucuyu değiştirmek de G(ω) yı değiştirecek [15] ve böylece kararlılık diyagramında oynamalar yapabilmek mümkün olacaktır. Takım takım tutucu arasındaki bağlantı parametrelerinin, takım tutucu üzerindeki tork artırılarak (ya da azaltılarak) değiştirilmesi de MTT sistem dinamiğinde değişikliklerle sonuçlanmaktadır [16,17]. Aynı durum, takım tutucu ve iş mili arasındaki bağlantı parametreleri için de geçerlidir [18]. Her ne kadar şu ana kadar söz edilen değişiklikler kadar pratik olmasa ve sadece tezgah ve iş mili tasarımı sürecinde uygulanabilecek bir seçenek de olsa, iş mili parametrelerinde değişiklikler yapmak da sistem dinamiğini değiştirmenin yollarından biridir. Bu parametreler; iş mili parçalarının boy ve çapları, rulmanların yatak üzerindeki konumları ve üzerlerine binen eksenel ilk yükler olarak düşünülebilir. Belirli bir MTT sistemi için kararlılık diyagramını elde etmedeki gerekliliği ve üzerinde oynama yapmaya en uygun değişken olması, takım ucu FTF si G(ω) nın elde edilmesinin, neye göre ve nasıl değiştiğinin bulunmasının, kısacası doğasına hakim olunmasının önemini artırmaktadır. Basit bir biçimde kararlılık diyagramlarını elde etmek için aynı basitlikte G(ω) yı elde etmek gerekmektedir. G(ω) yı tümüyle deneysel bir yöntem kullanarak elde etmek, her farklı iş mili - takım tutucu - takım kombinasyonu için takım ucunda ölçüm yapmayı gerektirmektedir. Diğer bir ifadeyle, tezgahta üretilen parçanın değişmesi durumunda, çoğunlukla takım tutucu ve/veya takım da değişeceğinden, üretim durdurulup deney düzeneği yeniden kurularak G(ω) nın yeniden elde edilmesi gerekmektedir. İmalatın bu şekilde bölünmesi süreç verimliliğini azaltacağı gibi, tezgah üzerinde her seferinde titreşim testi yapmak da pratik bir uygulama değildir. Bilgisayar ortamında MTT sisteminin bileşenlerini modellemek ve bunları birleştirerek sonlu eleman analizi ile G(ω) yı elde etmeye çalışmak da aynı şekilde zaman kaybına yol açan bir uygulamadır. Bu zaman kaybını azalmak için, Schmitz ve Burns [19], daha önceki Duncan [20], Bishop ve Johnson [21] ile Ewins [22] ve Ferreira nın [23] çalışmalarını temel alarak, takım ucu FTF sini elde etmek için bileşenlerin FTF lerini birleştirmeyi önermişlerdir. Buna göre takım ucu FTF si G(ω); takımın analitik modellemesi, iş mili - takım tutucu sisteminin deneysel FTF ölçümü ve bağlantı parametrelerinin kullanımıyla elde edilmektedir. Tezgahta, iş mili - takım tutucu sistemi için yalnızca bir deneysel ölçüm yapılmaktadır. Bağlantı parametreleri ise tek bir MTT kombinasyonu için deneysel olarak bulunmakta ve farklı kombinasyonlar için takım ucu FTF sinin elde edilmesinde kullanılmaktadır. Schmitz in bu yöntemi, önceki seçeneklere göre önemli ölçüde zaman kazandırmakla birlikte deneysel ağırlıklı bir yöntemdir. Bu yöntemde, FTF leri analitik olarak elde edilen tek bileşen kesici takımdır. İş mili ve takım tutucu, birleşik bir sistem olarak ele alınmakta ve takımla bağlandıkları noktadaki FTF, titreşim testleriyle bulunmaktadır. Bu bildiride, MTT sisteminin bileşenleri (alt sistemleri) olan iş mili, takım tutucu ve takımın her birinin, ayrı ayrı analitik olarak modellenmeleriyle elde edilen FTF lerinin, bağlantı noktalarındaki dinamik parametreler yardımıyla birleştirilerek G(ω) nın elde edilişi için iki ayrı yöntem sunulmaktadır. Bu yöntemler, sistemin kesici takım dışındaki bileşenlerinin FTF lerini de analitik olarak elde ederek dikkate alıyor olmaları ve UMTS2005 C:1 S:

5 12. Ulusal Makina Teorisi Sempozyumu UMTS2005 deneyselliği en aza indirmeleri yönünden önem taşımaktadır. 4. Dinamik Esneklik Matris Birleştirilmesi Şekil 2 de MTT sistemini oluşturan bileşenler ve bağlantı noktaları gösterilmektedir. A altsistemi kesici takımı, B alt-sistemi takım tutucuyu, C alt-sistemi iş milini ve D altsistemi iş milinin tezgah üzerindeki yatağını göstermektedir. [ C ] [ D ] H = N P H L = N P L m: 5,6,7 n: 5,6,7 (7) m: 8,9 n: 8,9 (8) Burada, H, L, N ve P, aşağıdaki eşitliklerle tanımlanan, dinamik esneklik olarak ifade edilen FTF lerdir: m = H fn (9) m = L (10) θ = N f (11) m n Şekil 2. Alt-sistemler ve bağlantı noktaları Bu alt-sistemlerin serbest sınır koşullarındaki FTF matrislerini şu şekilde yazabiliriz: [ A] [ B] [ ] [ A11] [ A12 ] [ A ] [ A ] = [ B33] [ B34 ] [ B ] [ B ] = [ C55 ] [ C56 ] [ C57 ] [ 65 ] [ 66 ] [ 67 ] [ C ] [ C ] [ C ] C = C C C [ D] [ D88 ] [ D89 ] [ D ] [ D ] = (1) (2) (3) (4) Yukarıdaki matrislerin her bir elemanı, 22 boyutunda alt-matrislerdir ve açılımları aşağıdaki şekilde yazılabilir: [ A ] H L = N P m: 1,2 n: 1,2 (5) θ = P m (12) m n Dinamik esneklikler, m noktasındaki doğrusal ya da açısal yer değişimini, n noktasındaki kuvvet ya da moment ile ilişkilendirmektedir. Eşitlik (1) (4) ile tanımlanan FTF matrislerini kullanarak, her bir alt-sistemin tek başına ve serbest sınır koşullarındaki kuvvet yer değiştirme ilişkisi matrisler halinde yazılabilir. Örneğin, kesici takım, yani A alt-sistemi için: { } [ A] { f } A = (13) [ θ θ ] A = (14) A [ ] f = f m f m (15) A yazmak mümkündür. Burada, 1 ve 2, serbest sınır koşullarındaki kesici takımın (A altsisteminin) 1 ve 2 noktalarındaki doğrusal yer değişimini; θ 1 ve θ 2, aynı sistemin yine 1 ve 2 noktalarındaki açısal yer değişimini göstermektedir. f 1 ve f 2 ile m 1 ve m 2 ise, serbest sınır koşullarındaki A alt-sistemine 1 ve 2 noktalarında etki eden, sırasıyla, kuvvet ve momentleri ifade etmektedir. T T [ B ] H L = N P m: 3,4 n: 3,4 (6) Bileşenlerin serbest sınır koşulları için yazılan bu denklemlerden tüm sistemin 1 noktası ndaki kuvvet yer değiştirme Erciyes Üniversitesi Kayseri 9-11 Haziran

6 ERTÜRK, BUDAK, ÖZGÜVEN ilişkisine ulaşabilmek için, şekilde görülen 4 bağlantı noktasındaki (a, b, c ve d) kuvvet yer değiştirme ilişkileri yazılmalıdır. Bu da öncelikli olarak bu bağlantı noktalarındaki dinamik parametreleri tanımlamayı gerektirmektedir. Her bir bağlantı noktasının dinamiğini tanımlamak için 4 parametreye gereksinim vardır. Bunlar, 2 direngenlik, 2 sönüm (açısal ve doğrusal) katsayılarıdır. Her bağlantı noktası için dinamik direngenlik matrisini aşağıdaki şekilde yazabiliriz: kj + i ω cj 0 K j = 0 kθj i ω c + θj (j: a,b,c,d ) (16) Burada k ve c, sırasıyla direngenlik ve sönüm katsayılarını, i ise birim sanal sayıyı göstermektedir. Bağlantı dinamik esneklik matrisi (16) da ilk satır doğrusal, ikinci satır açısal dinamiği göstermektedir. Her bağlantı noktasında iki farklı ilişki yazmak mümkündür. Örneğin, kesici takım (alt-sistem A) ve takım tutucu (alt-sistem B) arasındaki bağlantı noktası olan a da şu iki matris denklemini yazabiliriz: f = [ Ka ] m2 θ 3 θ2 f f = 2 3 m2 m3 (17) (18) A ve B alt-sistemleri arasındaki bağlantı için yazılan yukarıdaki eşitlikler, diğer bağlantı noktaları için de yazıldığında 4 bağlantı noktası için toplam 8 matris eşitliği elde edilir. Bu eşitlikler, alt-sistemlerin serbest sınır koşulları için yazılan kuvvet yer değiştirme matris eşitlikleri ile birlikte çözüldüğünde, birleşmiş haldeki MTT sistemi nin takım ucu olan 1 noktası için aşağıdaki ilişki elde edilir: 1 f1 = [ α1] θ1 m1 (19) Burada [α 1 ], dinamik esneklik şeklinde yazılan, sistemin takım ucu FTF matrisidir (yani, dinamik esneklik matrisidir) ve aşağıdaki şekilde bulunur: [ ] [ A ] [ A ] [ E] [ A ] α = (20) [ E] = [ F] [ B ] [ G] [ J] 34 [ F] [ A ] [ B ] [ K ] a 1 1 (21) = + + (22) [ G] [ C ] 1 [ R] = (23) 65 [ R] [ S] [ T] [ C ] [ D ] = + + (24) [ S] [ C ] [ D ] [ K ] 1 = + + (25) c 1 [ T] [ U] [ V] = (26) [ U] [ C ] [ D ] [ W][ S] = + (27) [ V] = [ Q] [ W] [ C ] + [ D ] [ Q] [ C ] [ D ] [ K ] (28) = + + (29) d [ W] [ C ] [ C ] 1 = (30) [ J ] [ B ] 1 [ Y] = (31) 43 [ Y] [ I] [ G] [ C ] [ T] [ C ] = (32) [ I] [ B ] [ C ] [ K ] 1 = + + (33) b Dinamik esneklik matrisi [α 1 ] i elde etmek için kullanılan bu denklemlerdeki altmatrislerin her biri 22 boyutunda olduğundan, matris tersi alma işlemleri, çok sayıda olmalarına karşın sayısal hesaplamalarda sorun yaratmayacaktır. Kararlılık diyagramları için gerekli olan G(ω), sistemde, takım ucunun (1 noktasının) doğrusal yer değişimini ( 1 ), kuvvetle (f 1 ) ilişkilendiren FTF dir: = G( ω) f (34) 1 1 UMTS2005 C:1 S:

7 12. Ulusal Makina Teorisi Sempozyumu UMTS2005 Dolayısıyla G(ω), (20) (33) kullanılarak elde edilen takım ucu dinamik esneklik matrisi [α 1 ] in ilk elemanıdır. 5. Empedans Matris Birleştirilmesi Sistemin takım ucu doğrusal FTF sinin elde edilmesi için kullanılabilecek diğer bir seçenek olan bu yöntem; literatürde [24] altsistemlerin rijit olarak bağlandığı durumlar için yaygın olarak kullanılan empedans matris birleştirilme yönteminin, alt-sistemlerin elastik bağlantı elemanlarıyla bir araya getirilmesi durumu için uyarlanmış bir şeklidir. eşitlik (35) ve benzeri şekilde yazılabilecek dinamik esneklik matrislerinin terslerinin alınmasıyla elde edilir: [ z ] [ ] A α A 1 AH AL AN AP = = [ z ] [ ] B α B 1 BH BL BN BP = = [ z ] [ ] C α C 1 CH CL CN CP = = (40) (41) (42) Bu yöntemin uygulanabilmesi için, öncelikle (1) (8) eşitlikleriyle verilen alt-sistemlerin FTF matrisleri aşağıdaki şekilde düzenlenir. [ z ] [ ] D α D 1 DH DL DN DP = = (43) A alt-sisteminin dinamik esneklik matrisi: [ α ] A [ αah ] [ αal ] [ α ] [ α ] = AN AP (35) Eşitlik (40) (43) ile gösterilen empedans matrislerini birleştirmekte kullanılacak olan ve bağlantı matrisi olarak adlandırabileceğimiz dinamik direngenlik matrisi aşağıdaki şekildedir: Burada; [ α ] AH [ α ] AL H H = H21 H 22 L L = L21 L 22 (36) (37) [ K ] [ K ] [ 0] [ 0] [ ] = K θ (44) Bu bağlantı matrisi; doğrusal ve açısal olmak üzere her biri 99 boyutunda olan iki altmatristen oluşur. Doğrusal direngenlik ve sönüm elemanlarını içeren doğrusal bağlantı matrisi ve bileşenleri aşağıda verilmiştir: [ α ] AN [ α ] AP N N = N21 N 22 P P = P21 P 22 (38) (39) Bu eşitliklerde, H, L, N ve P, eşitlik (9) (12) ile tanımlanan, doğrusal ve açısal yer değiştirmeleri kuvvet ve momentlerle ilişkilendiren dinamik esneklik değerlerdir. B, C ve D alt sistemlerinin dinamik esneklik matrisleri de benzer şekilde yazılabilir. Alt-sistemler olan A, B, C ve D nin serbest sınır koşullarındaki empedans matrisleri; [ ] [ 0] [ 0] 11 K K = [ 0] K K [ 0] K K K 0 Ka K = a 0 Ka K a Kb Kb 0 22 K Kb Kb 0 = 0 0 K c (45) (46) (47) Erciyes Üniversitesi Kayseri 9-11 Haziran

8 ERTÜRK, BUDAK, ÖZGÜVEN Kd 0 Kd 33 K 0 Kc 0 = Kd 0 K d K = 0 Kc 0 (48) (49) [ z ] s [ z ] H [ zh] [ zl] = N P [ zah ] [ 0] [ 0] [ 0] [ 0] [ zbh ] [ 0] [ 0] [ 0] [ 0] [ zch ] [ 0] [ 0] [ 0] [ 0] [ z ] (55) = (56) DH K 0 0 K = c j j j (50) K = k + i ω c j: a,b,c,d (51) Aynı şekilde, açısal bağlantı matrisi (açısal dinamik direngenlik matrisi) de aşağıdaki şekilde yazılabilir: [ ] [ 0] [ 0] 11 K θ Kθ = [ 0] K θ K θ [ 0] K θ K θ (52) Bu matrisin alt matrisleri, doğrusal bağlantı matrisinin alt-matrislerini veren eşitlik (46) (51) de yerine θ yazılarak elde edilebilir. Alt-sistemlerin eşitlik (40) (43) ile verilen serbest sınır koşullarındaki empedans matrisleri ve bağlantı matrisi (44) bir araya getirilerek toplam sistemin empedans matrisi aşağıdaki gibi elde edilir: [ z] [ z ] [ K] = + (53) s [ z ] = (54) s A B C D Burada, işareti, alt-sistem empedans matrislerinin ortak koordinatlar çakışacak şekilde birleştirilmesini simgelemektedir. Ancak, bağlantı noktalarındaki esneklikleri de dikkate aldığımız için ortak koordinat bulunmayacağından, bu birleştirme işlemi aşağıda gösterildiği şekilde olur ve alt sistemlerin fiziksel olarak bağlanması eşitlik (53) te gösterilen toplama işlemiyle sağlanır. [ z ] L [ z ] N [ z ] P [ zal ] [ 0] [ 0] [ 0] [ 0] [ zbl ] [ 0] [ 0] [ 0] [ 0] [ zcl ] [ 0] [ 0] [ 0] [ 0] [ z ] = DL [ zan ] [ 0] [ 0] [ 0] [ 0] [ zbn ] [ 0] [ 0] [ 0] [ 0] [ zcn ] [ 0] [ 0] [ 0] [ 0] [ z ] (57) = (58) DN [ zap ] [ 0] [ 0] [ 0] [ 0] [ zbp ] [ 0] [ 0] [ 0] [ 0] [ zcp ] [ 0] [ 0] [ 0] [ 0] [ z ] = (59) DP Sistemin dinamik esneklik matrisi [α], empedans matrisi [z] nin tersinin alınmasıyla bulunur: [ α ] [ z] 1 = (60) Kararlılık diyagramlarını oluşturmak için gerekli olan FTF (yani G(ω)), takım ucundaki doğrusal yer değiştirmeyle kuvveti ilişkilendirdiğinden, önceki bölümde de söz edildiği gibi, dinamik esneklik matrisi [α] nın ilk elemanıdır. 6. Birleştirme Yöntemleri Üzerine Dinamik Esneklik Matris Birleştirilmesi yönteminde, doğrudan alt-sistemlerin serbest sınır koşullarındaki dinamik esneklik matrisleri kullanılırken; Empedans Matris Birleştirmesi, alt-sistemlerin serbest sınır koşullarındaki empedans matrislerini kullanmaktadır. İlk yöntemde, her bir bağlantı UMTS2005 C:1 S:

9 12. Ulusal Makina Teorisi Sempozyumu UMTS2005 noktası için yer değiştirme bilinmeyenleri tanımlanarak bağlantı denklemleri yazıldığından, sistemin takım ucu dinamik esneklik matrisi [α 1 ] i elde etmek için gerekli olan işlem sayısı fazladır. Ancak bu işlemler, eşitlik (20) (33) te görüldüğü gibi boyutu 22 olan matrislerle yapılmaktadır. İkinci yöntemde ise, bağlantı noktalarında yer değiştirme değişkenleri tanımlamak gibi işlem sayısını artıran işlemler yoktur. Bu yöntemde, elde bulunan alt-sistem dinamik esneklik matrislerinin tersi alınarak, eşitlik (40) (43) ile gösterilen alt-sistem empedans matrisleri elde edilmekte; sonrasında ise bu empedans matrisleri, tek bir matris olan bağlantı matrisi [K] ile birleştirilerek sistemin toplam empedans matrisi [z] oluşturulmaktadır. Sistem empedans matrisi [z] nin tersi, sistem dinamik esneklik matrisi [α] yı vermektedir. Alt sistemlerin empedans matrisleri basit bir toplamayla bir araya gelmemektedir. Bir araya getirme işlemi; çok az adımda gerçekleşmekle birlikte, büyük boyutlu bir sistem empedans matrisi (1818) vermektedir. İlk yöntemle elde edilen 22 boyutlu dinamik esneklik matrisi [α 1 ], sistemin yalnızca takım ucundaki FTF bilgisini içerirken; ikinci yöntemde elde edilen 1818 boyutlu [α] matrisi, sistemin bütün bağlantı noktalarının FTF lerini içermektedir. Ancak sonuçta, takım ucundaki doğrusal yer değişimini bu noktadaki kuvvetle ilişkilendiren FTF (yani G(ω)), her iki matrisin de ilk elemanıdır. Yukarıdaki sistem modelinde, iş mili yatağı da esnek bir parça olarak kabul edilerek, en genel durum için bu bileşenin de dinamik esneklik matrisi (kullanılan yönteme göre, [D] ya da [α D ]) tanımlanarak formülasyonda kullanılmıştır. İş mili yatağının rijit kabul edilmesi durumunda, eşitlik (22) (33) te [D] matrisiyle ilgili terimler sıfır alınır. Benzer şekilde, empedans matris birleştirilmesinde de alt-sistem dinamik esneklik matrisi [α D ] sıfır alınacağından oluşan son empedans matrisinin boyutu 18 den 14 e düşecektir. 7. Takım ve İş Mili Dinamik Özelliklerinin Belirlenmesi Takım, takım tutucu ve iş mili FTF lerini elde etmek, karmaşık geometrileri ve yapıları nedeniyle basit değildir. Şekil 3 te tipik bir freze uygulaması gösterilmektedir. Burada, hem takımın hem de takım tutucunun geometrisi kesme kanalları ve bağlama yapısı nedeniyle karmaşıktır. Şekil 3. İşleme merkezinde tipik bir frezeleme uygulaması Freze takımı geometrisi Şekil 4 te gösterilmiştir. Kıvanç ve Budak [17] bu takımı parçalı kiriş modeli kullanarak modellemişlerdir. Bu modelde, birinci parçanın alan atalet momentleri değişik kanal parametrelerini hesaba katacak şekilde entegrasyon yoluyla elde edilmiştir. Takımın ikinci parçası için standart kiriş modeli kullanılmıştır. İki parça arasındaki süreklilik koşulları yazılarak 88 lik bir özdeğer problemi elde edilmiş ve bunun çözümü sonucunda doğal frekanslar ve biçim fonksiyonları belirlenmiştir. Yapılan deneysel çalışmalar, geliştirilen analitik modeli doğrulamış ve bu modelin takım FTF sini hesaplamada kullanılabileceğini göstermiştir. Şekil 5 te bir freze takımının FTF sinin analitik ve deneysel olarak elde edilmiş değerleri verilmiştir. Ayrıca, basit ve tek parçalı silindirik kiriş denklemleri kullanılarak elde edilen FTF de aynı şekilde gösterilmiştir. İki parçalı kiriş modelinin deneysel ölçümlerle aynı FTF leri verdiği, buna karşılık tek parçalı kiriş modelindeki hatanın kabul edilemeyecek kadar yüksek olduğu görülmektedir. Şekil 4. Freze takım geometrisi Yukarıdaki örnekte, iş mili ve takım tutucunun FTF leri ihmal edilmiş ve sadece takım FTF si hesaba katılmıştır. Bu, genel olarak kabul edilemeyecek bir yaklaşım Erciyes Üniversitesi Kayseri 9-11 Haziran

10 ERTÜRK, BUDAK, ÖZGÜVEN olmakla birlikte, takımın çok uzun, ince ve dolayısıyla takım tutucu ve iş miline göre çok esnek olması durumunda uygun bir yaklaşım olabilir. Nitekim yukarıdaki örnekte bahsedilen 4 ağızlı karbür freze takımı 8 mm çapında ve 80 mm uzunluğunda olması nedeniyle oldukça esnektir. Genel bir durum için her alt-sistemin FTF si dikkate alınmalıdır. Bu nedenle, bu bildiride sunulan modellerin her ikisinde de bütün alt sistemlerin FTF leri dikkate alınmaktadır. için elde edilen analitik FTF ile takım tutucu ve tutucuya bağlı takım ucunda ölçülmüş FTF değerleri kullanılarak, FTF birleştirme yöntemiyle elde edilmişlerdir. Bu değerlerden bazıları Tablo 1 de verilmiştir. Tablo 1. Takım ile takım tutucu arasındaki bağlantı parametrelerinin deneysel olarak elde edilen değerleri. Sıkma Torku T=25 Nm T=35 Nm T=45 Nm k (N/m) k q (Nm/rad) c (Ns/m) c q (Nms/rad) Şekil 5. Parçalı kiriş yöntemi ile elde edilen bir freze takım FTF sinin deneysel ölçümle karşılaştırması Şekil 3 te gösterilen iş mili ve tutucu için FTF, darbe testi ile ölçülmüş [17] ve ölçülen FTF nin gerçek ve sanal kısımları Şekil 6 da gösterilmiştir. Takım ve takım tutucu arasındaki bağlantı parametreleri, doğrusal ve açısal direngenlik ve sönüm elemanları olarak modellenmiştir. Bağlantı parametrelerinin değerleri, değişik bağlama koşullarında, takım Analitik olarak elde edilen takım FTF si ile Şekil 6 de verilen deneysel olarak ölçülmüş takım tutucu iş mili FTF si, Tablo 1 de verilen bağlantı parametrelerinin değerleri kullanılarak birleştirilmiş ve bütün sistemin FTF si hesaplanmıştır. Bu FTF Şekil 7 de verilmiştir. Deneysel sonuçlarla karşılaştırıldığında bu yöntem ile FTF lerin oldukça hassas elde edilebileceği anlaşılmaktadır. Şekil 7. İş mili-takım tutucu ve takım FTF lerin birleştirilmesi yöntemi ile elde edilen FTF Şekil 6. Takım tutucu ucunda ölçülen, iş mili ve takım tutucu dinamiğini içeren FTF nin gerçek ve sanal kısımları 8. Sonuç Bu bildiride, işleme merkezlerinde süreç verimliliğinin artırılması açısından önem taşıyan kararlılık diyagramlarının analitik olarak elde edilmesinde kullanılan, iş mili takım tutucu takım sisteminin takım ucundaki frekans tepki fonksiyonu G(ω) yı bulmak için kullanılabilecek iki farklı analitik yöntem sunulmuştur. UMTS2005 C:1 S:

11 12. Ulusal Makina Teorisi Sempozyumu UMTS2005 Yöntemlerden ilki olan Dinamik Esneklik Matris Birleştirilmesi, alt-sistemlerin dinamik esneklik matrislerinin, doğrudan bağlantı noktalarındaki ilişkiler yardımıyla birleştirilmesi esasına dayanmaktadır. Her bir bağlantı noktasında kuvvet yer değiştirmesi ilişkileri yazılarak sistemin takım ucu noktasındaki dinamik esneklik matrisi [α 1 ] elde edilmektedir. Bu yöntemdeki matris işlemleri, 22 boyutundaki matrislerin çarpılması ve terslerinin alınması işlemlerini içermektedir ve işlem sayısı diğer seçeneğe göre çok daha fazladır. İkinci yöntem, Empedans Matris Birleştirilmesi, öncelikli olarak, altsistemlerin dinamik esneklik matrislerinin terslerinin alınmasıyla alt-sistem empedans matrislerini elde etmeyi gerektirmektedir. Daha sonra, alt-sistem empedans matrisleri ve genel bağlantı matrisi tek adımda bir araya getirilerek toplam sistemin empedans matrisi oluşturulmaktadır. Bu matrisin tersini alarak da sistemin dinamik esneklik matrisi [α] elde edilmektedir. Elde edilen dinamik esneklik matrisi, sistemdeki bütün alt sistemlerin ve bağlantı noktalarının dinamik esneklik bilgisini içerdiğinden boyutu önceki yöntemde elde edilen matrise göre büyüktür (1818). Buna karşılık çok daha az işlem gerektirmektedir. Dolayısıyla, önerilen yöntemlerin her birinin avantajlı ve dezavantajlı olduğu noktalar vardır. Bu nedenle, her iki yöntemin de gerçek sistemlere uygulanıp, hesaplama zamanı ve daha da önemlisi matris tersi alma işlemlerinde çıkabilecek sayısal sorunlar açılarından değerlendirilmesi ve hangi koşullarda hangi yöntemin daha uygun olduğunun belirlenmesi, yöntemin verimli kullanımı açısından önemlidir. Alt sistemlerden biri olan takımın, önceki bir çalışmada geliştirilen modelle bulunan frekans tepki fonksiyonuna bir örnek verilmiş ve bulunan fonksiyonun, önceki çalışmada deneysel olarak elde edilen değerlerle uyumlu olduğu gösterilmiştir. Ayrıca; bu modelden elde edilen FTF lerin, deneysel olarak bulunan takım tutucu iş mili FTF si ve bağlantı parametreleriyle birleştirilerek takım ucu FTF sinin bulunuşuna da bir örnek sunulmuş ve bu değerlerin, önceki çalışmada deneysel olarak elde edilen değerlerle karşılaştırılması gösterilmiştir. Bu bildiride sunulan yöntemle; takım tutucu ve iş milinin de matematiksel modellenmesiyle, hiç bir deneysel ölçüme gerek kalmadan takım ucu FTF si, dolayısıyla kararlılık diyagramları tamamen teorik olarak hesaplanabilecektir. Bu yöndeki çalışmalar sürdürülmektedir. 9. Kaynaklar [1] Tlusty, J., Polacek, M, Besipiele der behandlung der selbsterregten Schwingung der Werkzuegmaschinen, FoKoMa, Hanser Verlag, Munchen, [2] Tobias, S.A., Fiswick, W., Theory of Regenerative Machine Tool Chatter, Engineering, c.258, London, [3] Merrit, H.E., Theory of Self-Ecited Machine Tool Chatter, Trans. ASME Journal of Engineering for Industry, c.87, 1965, s [4] Koenigsberger, F. ve Tlusty, J., Machine Tool Structures-c.I: Stability Against Chatter, Permagon Press, [5] Tlusty, J. ve Ismail, F., Basic Nonlinearity in Machining Chatter, Annals of the CIRP, c.30, 1981, s [6] Tlusty, J., Dynamics of High Speed Milling, Trans. ASME Journal of Engineering for Industry, c.113, 1986, s [7] Minis, I. ve Yanushevsky, T., A New Theoretical Approach for the Prediction of Machine Tool Chatter in Milling, Trans. ASME Journal of Engineering for Industry, c.115, 1993, s.1-8. [8] Altıntaş, Y. ve Budak, E., Analytical Prediction of Stability Lobes in Milling, Annals of the CIRP, c.44/1, 1995, s [9] Budak, E., Altıntaş, Y., Analytical Prediction of Chatter Stability Conditions for Multi-Degree of Freedom Systems in Milling. Part I: Modeling, Transactions of ASME, Journal of Dynamic Systems, Measurement and Control, c.120, 1998, s [10] Budak, E., Altıntaş, Y., Analytical Prediction of Chatter Stability Conditions for Multi-Degree of Freedom Systems in Milling. Part II: Applications, Transactions of ASME, Journal of Dynamic Systems, Measurement and Control, c.120, 1998, s [11] Schmitz, T.L. ve Donaldson, R., Predicting High-Speed Machining Dynamics by Substructure Analysis, Annals of the CIRP, c.49/1, 2000, s Erciyes Üniversitesi Kayseri 9-11 Haziran

12 ERTÜRK, BUDAK, ÖZGÜVEN [12] Schmitz, T.L., Davies, M.A. ve Kennedy, M.D., Tool Point Frequency Response Prediction for High-Speed Machining by RCSA, Transactions of ASME Journal of Manufacturing Science and Engineering, c.123, Kasım 2001, s [13] Tlusty, J., Smith, S. ve Winfough, W., Techniques for the use of Long Slender End Mills in High-Speed Machining, Annals of the CIRP, c.45, No.1, 1996, s [14] Smith, S., Winfough, W. ve Halley, J., The Effect of Tool Length on Stable Material Removal Rate in High Speed Milling, Annals of the CIRP, c.47/1, 1998, s [15] Medicus, K.M. ve Schmitz, T.L., Evaluating the Tool Point Dynamic Repeatability for High-Speed Machining Applications, Proceedings of the 16 th Annual ASPE Meeting, s , Kasım 2001, Arlington, VA. [16] Kıvanç, E.B., Modeling Statics and Dynamics of Milling Machine Components, Master of Science Thesis, Sabancı University, Graduate School of Engineering and Natural Sciences, [17] Kıvanç, E.B. ve Budak, E., Structural Modeling of End Mills for Form Error and Stability Analysis, International Journal of Machine Tools and Manufacture, c.44, 2004, s [18] Smith, S., Jacobs, T.P. ve Halley, J., 1999, The Effect of Drawbar Force on Metal Removal Rate in Milling, Annals of the CIRP, c. 48/1, 1999, s [19] Schmitz, T.L. ve Burns T.J., Receptance Coupling for High Speed Machining Dynamics Prediction, Proceedings of the 2003 International Modal Analysis Conference (IMAC-XXI), Kissimmee, FL. [20] Duncan, W.J., Mechanical Admittances and their Applications to Oscillation Problems, Ministry of Supply, Aeronautical Research Concuil Reports and Memoranda No. 2000, London: His Majesty s Stationery Office, [21] Bishop, R.E.D. ve Johnson, D.C., The Mechanics of Vibration, Cambridge University Press, Cambridge, U.K, [22] Ewins, D.J., Analysis of Modified or Coupled Structures Using FRF Properties, Imperial College London, Dynamics Section, Mechanical Engineering, Report No , [23] Ferreira, J. ve Ewins, D., Nonlinear Receptance Coupling Approach Based on Describing Functions, Proceedings of the 14 th International Modal Analysis Conference, s , 1995, Dearborn, Michigan. [24] Ewins, D.J., Modal Testing: Theory and Practice, Research Studies Press, John Wiley&Sons, İngiltere, UMTS2005 C:1 S: