ÖZEL TANIMLI FONKSİYONLAR

Transkript

1 ÖZEL TANIMLI FONKSİYONLAR Fonksionlar ve Özel Tanımlı Fonksionlar Özel tanımlı fonksionlar konusu fonksionların alt bir dalıdır. Bu konuu daha ii anlaabilmemiz için fonksionlar ile ilgili bilgilerimizi tekrar etmemiz gerekir. A ve B boş olmaan iki küme olmak üzere, AB kartezen çarpım kümesinin alt kümelerinin her biri birer bağıntıdır. Bu bağıntılardan; A kümesinin her elemanını B kümesinde bir ve alnız bir elemana eşleen bağıntıa fonksion denir ve f: A B biçiminde gösterilir. A={,,, } ve B={6, 7, 8, 9} olmak üzere β ={(, 6), (, 7), (, 8), (, 9)} β ={(, 6), (, 7), (, 8)} β ={(, 6), (, 7), (, 8), (, 8), (, 9)} bağıntılarından hangileri fonksiondur bulunuz. A b β bağıntısı A kümesinin her b elemanını B kümesinde bir ve 6 alnız bir elemana eşlediğinden fonksiondur A β bağıntısı A kümesindeki "" elemanını B kümesindeki herhangi bir elemana eşlemediğinden ani A kümesinde boşta eleman kaldığından fonksion değildir. β bağıntısı, A kümesindeki "" elemanını B kümesinde hem "7", hem de "8" elemanı ile eşlediğinden fonksion değildir. Cevap: β f g Yukarıda grafikleri verilen f ve g bağıntılarının fonksion olup olmadığını bulunuz. Grafiği verilen bağıntıların fonksion olup olmadığını araştırırken düşe doğru testinden ararlanılabilir. eksenine dik olarak çizilen doğrular grafiği bir noktada kesiorsa bağıntı fonksiondur. eksenine dik olarak çizilen doğrular grafiği bir noktada kestiğinden dolaı f f bağıntısı fonksiondur. g eksenine dik olarak çizilen doğrular grafiği birden fazla noktada kestiğinden dolaı g bağıntısı fonsion değildir. Cevap: f fonksion,g fonksion değil

2 Özel Tanımlı Fonksionlar soru A={,, } ve B={8,, } olmak üzere, A dan B e tanımlanmış aşağıdaki bağıntılardan hangisi fonksiondur? {(, 8), (, )} {(, ), (, )} {(, 8), (, ), (, ), (, )} {(, ), (, ), (, 8)} {(, 8), (, ), (, ), (, )} soru Aşağıda grafikleri verilen bağıntılardan hangisi fonksion değildir? soru A={,,, } ve B={ 5,,, } olmak üzere, A dan B e tanımlanmış aşağıdaki bağıntılardan hangisi fonksiondur? {(, ), (, 5), (, ), (, )} {(, 5), (, ), (, )} {(, ), (, 5), (, )} {(, 5), (, ), (, ), (, )} {(, ), (, 5), (, ), (, )} soru Aşağıda venn şeması ile gösterilen bağıntılardan hangisi fonksiondur? A A f B A 7 5 f B 7 A f f B 6 8 A f B B 5KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI soru 5 Aşağıda grafikleri verilen bağıntılardan hangisi fonksiondur? D A C E 5 B

3 Özel Tanımlı Fonksionlar f: A B biçiminde tanımlanmış bir f fonksionunda, A kümesi fonksionun tanım kümesi, B kümesi fonksionun değer kümesi ve A kümesinin görüntülerinden oluşan f( kümesi ise fonksionun görüntü kümesidir. A={,,, }, B={, 5,, 7,9, } olmak üzere, f: A B ve f()= + fonksionun tanım, değer ve f( görüntü kümelerini bulunuz. f : A B Tanım kümesi Değer kümesi olduğundan, A kümesi fonksionun tanım kümesi, B kümesi fonksionun değer kümesi, A={,,, } kümesinin elemanları için, f()= += f()= +=5 f()= += f()= +=7 f(={, 5,, 7} görüntü kümesidir. f f A B A B Görüntü kümesi Yukarıda venn şeması ile verilen f fonksionunun görüntü kümesini bulunuz. f fonksionunun görüntü kümesi={7, 5, } f : Z R tanımlanmış f fonksionunun tanım ve değer kümelerini bulunuz. f : Z R Tanım kümesi Değer kümesi olduğundan, Z (Tamsaılar kümesi) fonksionun tanım kümesi R (Gerçek saılar kümesi) fonksionun değer kümesidir f()= ve f fonksionunun görüntü kümesi {,, 5} olduğuna göre, fonksionun tanım kümesini bulunuz. {,,5} tanım kümesinin görüntüleri olduğundan, f()= = = ve = f()= = = ve = f()= =5 =6 ve = Tanım kümesi {,, } Cevap: {,,} 6

4 Özel Tanımlı Fonksionlar soru A={,, }, B={,,,,,, } olmak üzere, f:a B ve f()=+ olduğuna göre, f( görüntü kümesi aşağıdakilerden hangisidir? {,,} {,,} {,,} {,,} {,,} soru 5 f : N Z tanımlanmış f fonksionunun tanım kümesi aşağıdakilerden hangisidir? Doğal Saılar Kümesi Tam Saılar Kümesi Rasonel Saılar Kümesi Negatif Tamsaılar Kümesi Gerçek Saılar Kümesi soru soru 6 A={,,, }, B={,,,,5,6} olmak üzere, f : A B ve f()= + olduğuna göre, f( görüntü kümesi aşağıdakilerden hangisidir? {,6} {,,6} {,,6} soru {,5,6} {,,6} A 7 9 f Yukarıda venn şeması ile verilen f fonksionunun görüntü kümesi aşağıdakilerden hangisidir? {6} {6, 8} {6, 8, } {6, 8,, 5} {6, 8,, 5, 7} soru A 5 6 f Yukarıda venn şeması ile verilen f fonksionunun görüntü kümesi aşağıdakilerden hangisidir? {} {,} {,6} {, 8} {, 6, 8} B B 7KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI f : Z + Q tanımlanmış f fonksionunun değer kümesi aşağıdakilerden hangisidir? Doğal Saılar Kümesi Pozitif Tam saılar Kümesi Negatif Rasonel Saılar Kümesi Rasonel Saılar kümesi Negatif gerçel saılar kümesi soru 7 f() = ve f fonksionunun görüntü kümesi {,,} olduğuna göre, fonksionun tanım kümesi aşağıdakilerden hangisidir? {,,7} {,,7} {,,7} soru 8 {,, } {,, } f() = ve f fonksionunun görüntü kümesi {,, 7,6} olduğuna göre, fonksionun tanım kümesi aşağıdakilerden hangisidir? {,,,} {,,,} {,,} {,,, } {,,, } C A C D 5 A 6 C 7 A 8 E

5 Özel Tanımlı Fonksionlar =f() Yukarıda grafiği verilen =f() fonksionunun tanım, değer ve görüntü kümelerini bulunuz. Yandaki grafikte görüldüğü gibi =f() fonksionunun tanım kümesi [,] kapalı aralığıdır. Değer Kümesi:[,] kapalı aralığıdır. =f() Görüntü Kümesi : f(=[, ] diebiliriz. Arıca fonksionun [, ) aralığında pozitif değerler (, ] aralığında negatif değerler aldığını söleebiliriz. = değeri f()= denkleminin köküdür. 5 =f() 5 =f() 6 6 Yukarıda grafiği verilen =f() fonksionunun tanım, değer ve görüntü kümelerini bulunuz. Yukarıda grafiği verilen =f() fonksionu için Tanım Kümesi : (, 6) açık aralığıdır. Değer Kümesi: (, 5) açık aralığıdır. Görüntü Kümesi : (, 5) açık aralığıdır. Burada (6, 5) ve (, ) noktaları dahil olmadığı için aralıkların açık aralık olduğuna dikkat ediniz. Arıca (, ) (,6) için f() > (, ) (,) için f() < =, = ve = değerleri için f()= diebiliriz. 5 =f() f()= ve f( )= değerlerine dikkat edilirse E şıkkındaki f()<f( ) ifadesinin anlış olduğu görülebilir. Cevap: E Yukarıda grafiği verilen =f() fonksionu için aşağıdakilerden hangisi anlıştır? Tanım Kümesi : (, 5] f(=(,] (, ) için f()< (, 5] için f()> f()<f( ) 8

6 Özel Tanımlı Fonksionlar soru 5 =f() soru Yukarıda grafiği verilen =f() fonksionunun tanım kümesi aşağıdakilerden hangisidir? (,] [,) [,] [, 5] (, 5] =f() Yukarıda grafiği verilen =f() fonksionunun görüntü kümesindeki tamsaıların toplamı kaçtır? 5 6 soru soru =f() Yukarıda grafiği verilen =f() fonksionunun görüntü kümesi aşağıdakilerden hangisidir? (,] [,6) [,) [, ] (, ) soru =f() Yukarıda grafiği verilen =f() fonksionunun tanım kümesi aşağıdakilerden hangisidir? (,] [,) (,) (, ) [, ) soru 7 =f() Yukarıda grafiği verilen =f() fonksionunun görüntü kümesi aşağıdakilerden hangisidir? (,7) [,7) [,] (, ] (, ) 9KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI C D B E 5 D 6 C 7 A 8 D =f() Yukarıda =f() fonksionunun grafiği verilmiştir. Buna göre, f() eşitsizliğinin aralığı aşağıdakilerden hangisidir? (,] [,6) [,] [, ) (, ) soru 7 =f() Yukarıda =f() fonksionunun grafiği verilmiştir. Buna göre, f() eşitsizliğinin aralığı aşağıdakilerden hangisidir? [, ) (,) (, ) (, ] (, ) soru 8 6 =f() Yukarıda grafiği verilen =f() fonksionu için hangisi anlıştır? f( )=f()= f()=f(6)= f(7) < f( ) > f() f() < f( )

7 Özel Tanımlı Fonksionlar Birebir, Örten ve İçine Fonksionlar: f: A B, f fonksionunun tanım kümesindeki her farklı elemanın f altındaki görüntüsü birbirinden farklı ise (, A ve için f( ) f( )) f birebir fonksiondur. f: A B, f fonksionunun değer kümesi görüntü kümesine eşit ise f örtendir. Değer kümesi görüntü kümesine eşit değilse f içine fonksiondur. f A B Yukarıda venn şeması ile verilen f fonksionunun birebir ve örtenliğini inceleiniz. f A B Yukarıda venn şeması ile verilen f fonksionunun birebir ve örtenliğini inceleiniz. f A B Yukarıdaki şemaa göre f()=f()=9 olduğundan dolaı f birebir fonksion değildir. Değer kümesi {5, 7, 9}, görüntü kümesi {5, 7, 9} ve değer kümesi ile görüntü kümesi eşit olduğundan f fonksionu örtendir. f A B f()= f()= f()= Yukarıdaki şemaa göre f() f() f() olduğundan f fonksionu birebirdir. Değer kümesi {,,, } ve görüntü kümesi {,, } ve değer kümesi ile görüntü kümesi farklı olduğundan f fonksionu örten değil içine fonksiondur. f g Grafiği verilen fonksionların birebir ve örtenliği araştırılırken eksenine paralel doğrular çizilir. Bu doğrular grafiği bir noktada kesior ise fonksion birebirdir. Doğrular grafiği en az bir noktada kesior ise örtendir. f eksenine paralel çizilen doğrular grafiği sürekli bir noktada kestiği için f fonksionu birebir örtendir. R R tanımlanmış ukarıda grafiği verilen f ve g fonksionlarının birebir ve örtenliğini araştırınız. g eksenine paralele çizilen doğrular grafiği bazı erlerde iki noktada kestiğinden fonksion birebir değil. Bazı erlerde ise hiç kesmediğinden dolaı fonksion içinedir. f: Z R tanımlanmış f()= fonksionunun birebir ve örtenliğini araştırınız. f f()= = ve f( )=( ) = Z R f()=() = ve f( )=( ) = f()=f( ) ve f()=f( ) olduğundan f birebir değil. Değer küme- side görüntü kümesinden farklı olduğundan f örten değil içine fonksiondur.

8 Özel Tanımlı Fonksionlar soru Aşağıda venn şeması ile gösterilen fonksionlardan hangisi birebir ve örtendir? f f A B A 5 B A f f B A B A f B 5 6 soru Aşağıda verilen fonksionlardan hangisi örten fonksiondur? f: N R, f()=+ f: Z Z, f()= + f: R R, f()= f: Z R, f()=+ f: N R, f()= soru 5 Aşağıda grafiği verilen fonksionlardan hangisi birebir fonksiondur? soru Aşağıda venn şeması ile gösterilen fonksionlardan hangisi birebir ve içine fonksiondur? f f A B A 5 B KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI A f B A f A B 8 f B soru 6 Aşağıda grafiği verilen fonksionlardan hangisi içine fonksiondur? soru Aşağıda verilen fonksionlardan hangisi birebirdir? f: R R, f()=+ f: R R, f()= +5 f: Z N, f()= f: Z Z, f()= + f: R R, f()= + E B A C 5 E 6 C

9 Özel Tanımlı Fonksionlar A ve B birbirinden farklı iki küme olmak üzere, f:a R ve g:b R fonksionları için (f+g), (f g), (f.g) ve A B R tanımlıdır. (f+g)()=f()+g() (f g)()=f() g() (f.g)()=f().g() f f() () =, g() g g() f g fonksionları A, B, C birer küme olmak üzere, f:a B ve g:b C fonksionları ile (gof): A C fonksionuna g ile f fonksionunun bileşkesi denir ve gof ile gösterilir. (gof)()=g(f()) dir. A={,,, }, B={,, 6, 7} ve f:a R, g: B R olmak üzere, f()=+, g()= + olduğuna göre, (f+g)() fonksionunun görüntü kümesini bulunuz. A B={, } (f+g): A B R dir. (f+g)()=f()+g() =++ += ++ (f+g)()= +.+= (f+g)()= +.+=9 Görüntü kümesi={, 9} Cevap:{, 9} f()=+, g()= olduğuna göre, (f g)() ve (f.g)() kaçtır bulunuz. f()=.+=9 ve g()=. = (f g)()=f() g()=9 =8 (f.g)()=f().g()=9.=9 Cevap:8 ve 9 f()=+, g()=+7 olduğuna göre, (fog)() bileşke fonksionunu bulunuz. (fog)()=f(g()) f(g())=.g()+ =.(+7)+=6++=6+ Cevap:6+ f()= + ve g()=+5 olduğuna göre, (gof)() bileşke fonksionunu bulunuz. (gof)()=g(f()) g(f())=.f()+5 =( +)+5= +9+5= + Cevap: +

10 Özel Tanımlı Fonksionlar soru A={,, }, B={,,,, } ve f: A R, g: B R olmak üzere, f()=, g()=+ olduğuna göre, (f g)() görüntü kümesi aşağıdakilerden hangisidir? {,, } { 5, } {,, } {, } {,, } soru 5 f()=5 ve g()= 7 olduğuna göre, (fog)() bileşke fonksionu aşağıdakilerden hangisidir? soru A={,,, 5}, B={,, 6, 8, } ve f: A R, g: B R olmak üzere, f()=+, g()= olduğuna göre, (f.g)() fonksionunun görüntü kümesi aşağıdakilerden hangisidir? soru 6 f()= + ve g()=+ olduğuna göre, (fog)() bileşke fonksionu aşağıdakilerden hangisidir? {5,} {5,} {,7} {,5} {,} KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI soru f()= + ve g()=+ olduğuna göre, (f+g)() aşağıdakilerden hangisidir? soru 7 f()=+ ve g()=5+ olduğuna göre, (gof)() bileşke fonksionu aşağıdakilerden hangisidir? soru f()=+7 ve g()= olduğuna göre, f () aşağıdakilerden hangisidir? g soru 8 f() = ve g()= olduğuna göre, (gof)() bileşke fonksionu aşağıdakilerden hangisidir? B A A C 5 E 6 D 7 B 8 E

11 Özel Tanımlı Fonksionlar f: A B, birebir ve örten =f() fonksionunun tersi f : B A, =f () şeklinde tanımlanır. Bir fonksionun tersi bulunurken genellikle aşağıdaki adımlar izlenir; ) =f() biçiminde azılarak alnız bırakılır. ) alnız bırakıldıktan sonra gördüğümüz ere f () vea ve f() gördüğümüz erlere ise değişkenini azarak tersini buluruz. f()=+. adım: f() = + olduğuna göre, f () bulunuz. f() = f() erine azılır f() = erine. adım: = f () f () azılır. Cevap: - - f ()= f: R {} R {} olmak üzere, f()= + fonksionunun tersini bulunuz. f: R {} R {} olmak üzere, = f() + olduğuna göre f() =f() fonksionunun tersini bulunuz. Uarı. adım: f()= + ( ).f()=+.f() f()=+.f() =f()+ (f() )=f()+ = f() + f(). adım: erine f () ve f() erine azıoruz. f () = + Cevap: - + f ()= - = f() + ifadesinde değişkeni alnız bırakılmış olduğundan, erine f () ve f() erine de azılarak f() fonksionun tersi bulunabilir. = f() + ise f ()= + f() - + Cevap: f ()= - b f()=a+b biçimindeki doğrusal fonksionların tersi f () = a f()= a + b biçimindeki kesirli fonksionların tersi d + b f () = c + d c a biçiminde alınabilir. f()=+ ve g()= + olduğuna göre f () ve g () fonksionlarını bulunuz. f()=a+b ise b f () = olduğundan, a f()=+ ise f () = a+ b d+ b g() = ise g () = olduğundan, c + d c a + + = = g() ise g () + Cevap: f () =,g () =

12 Özel Tanımlı Fonksionlar soru f()= olduğuna göre, f () aşağıdakilerden hangisidir? soru 5 f:r {5} R {}, f()= + 5 olduğuna göre, f () aşağıdakilerden hangisidir? soru soru 6 f()= olduğuna göre, f () aşağıdakilerden hangisidir? f:r { } R {}, f()= + olduğuna göre, f () aşağıdakilerden hangisidir? soru f()= olduğuna göre, f () aşağıdakilerden hangisidir? KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI soru 7 f:r {} R {}, = f() + f() olduğuna göre, =f() fonksionunun tersi aşağıdakilerden hangisidir? soru soru 8 f()=6+ olduğuna göre f () aşağıdakilerden hangisidir? f:r {} R {}, f()= f() + olduğuna göre, =f() fonksionunun tersi aşağıdakilerden hangisidir? B C E A 5 B 6 A 7 D 8 B 5

13 Özel Tanımlı Fonksionlar f:r R, f()= + olduğuna göre, f() fonksionunun tersini bulunuz. ) f()= + ifadesinde değişkenini alnız bırakalım. = f() = (f() ) = + (f() ) ) f() erine erine f () azalım, f ()=( ) + Cevap: f ()=( ) + f: [, ) [, ), f()= + olduğuna göre, f() fonksionunun tersini bulunuz. ) f()= + ifadesinde değişkenini alnız bırakalım. f() = (f() ) = (f() ) + = ) f() erine erine f () azalım, f ()=( ) + Cevap: f ()=( ) + f: R R, f()= +olduğuna göre, f() fonksionunun tersini bulunuz. ) f()= + ifadesinde değişkenini alnız bırakalım. f() = + f() = f() = ) f() erine erine f () azalım, f ()= Cevap:f ()= f: [, ) [, ), f()= +5 olduğuna göre f() fonksionunun tersini bulunuz. ) f()= +5 ifadesinde değişkenini alnız bırakalım. f() = + 5 f() = + + f() = ( ) + f() = ( ) f() in tanım kümesi [, ) olduğundan, olmalı o halde f() = ve ) f() erine erine f () azalım, = + f() f ()= + Cevap:f ()= + 6

14 Özel Tanımlı Fonksionlar soru soru 5 f:r R, f()= + olduğuna göre, f() fonksionunun tersi aşağıdakilerden hangisidir? f:r R, f()= 8 olduğuna göre, f() fonksionunun tersi aşağıdakilerden hangisidir? (+) ( ) + (+) ( ) + ( ) soru soru 6 f:r R, f()= 5 + olduğuna göre, f() fonksionunun tersi aşağıdakilerden hangisidir? f:r R, f()= 5 + olduğuna göre, f() fonksionunun tersi aşağıdakilerden hangisidir? (+) 5 ( ) 5 + (+) 5 ( ) 5 + ( ) soru f:[, ) [, ), f()= + olduğuna göre, f() fonksionunun tersi aşağıdakilerden hangisidir? KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI soru 7 f:[, ) [, ), f()= + olduğuna göre, f() fonksionunun tersi aşağıdakilerden hangisidir? ( ) ( ) + (+) (+) + ( ) soru soru 8 f:[5, ) (. ], f()= 5 olduğuna göre, f() fonksionunun tersi aşağıdakilerden hangisidir? f:[, ) [, ), f()= 6+ olduğuna göre, f() fonksionunun tersi aşağıdakilerden hangisidir? ( 5) + (+5) + (+) 5 (+) + 5 ( ) A D B D 5 E 6 E 7 B 8 B 7

15 Özel Tanımlı Fonksionlar f:r (, ), f()= + + olduğuna göre, ) f()= + + ifadesinde i alnız bırakalım. f() fonksionunun tersini bulunuz. + =f() +=log (f() ) = +log (f() ) ) f() erine, erine f () azalım, f ()= +log ( ) (a b =c ise b=log a c) olduğunu hatırlatırız. Cevap: f ()= +log ( ) f:r (, ), f()=e + olduğuna göre, f() fonksionunun tersini bulunuz. ) f()=e + ifadesinde i alnız bırakalım. e + =f()+ +=log e (f()+) +=ln(f()+) = +ln(f()+) ) f() erine erine f () azalım. f ()= +ln(+) Cevap: f ()= +ln(+) f:(, ) R, f()=log ( )+ olduğuna göre, f() fonksionunun tersini bulunuz. ) f()=log ( )+ ifadesinde i alnız bırakalım. log ( )=f() = f() =+ f() ) f() erine erine f () azalım, f ()= + Cevap:f ()=+ f:(, ) R, f()=ln(+) olduğuna göre, f() fonksionunun tersini bulunuz. ) f()=ln(+) ifadesinde i alnız bırakalım. ln(+)=f()+ +=e f()+ = +e f()+ ) f() erine erine f () azalım. f ()= +e + Cevap:f ()= +e + 8

16 Özel Tanımlı Fonksionlar soru soru 5 f:r (, ), f()= + olduğuna göre, f() fonksionunun tersi aşağıdakilerden hangisidir? f:(, ) R, f()= +log olduğuna göre, f() fonksionunun tersi aşağıdakilerden hangisidir? + log (+) log ( ) +log + + +log log + soru f:r (, ), f()=5 olduğuna göre, f() fonksionunun tersi aşağıdakilerden hangisidir? soru 6 f:(, ) R, f()= log ( ) + olduğuna göre, f() fonksionunun tersi aşağıdakilerden hangisidir? log 5 +log 5 log 5 (+) log ( )+ log (+) soru f:r (, ), f()=e olduğuna göre, KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI soru 7 f:(, ) R, f()=ln( ) olduğuna göre, f() fonksionunun tersi aşağıdakilerden hangisidir? f() fonksionunun tersi aşağıdakilerden hangisidir? e + e +ln ln ln(+) e + e + e ln(+) +ln soru soru 8 f:r (, ), f()=e + olduğuna göre, f() fonksionunun tersi aşağıdakilerden hangisidir? f:(, ) R, f()=ln( )+ olduğuna göre, f() fonksionunun tersi aşağıdakilerden hangisidir? e + e + + ln( ) ln( ) +ln( ) e + e + + e +ln(+) +ln(+) D E C E 5 A 6 B 7 A 8 A 9

17 Özel Tanımlı Fonksionlar Grafik Bilgisi Doğrusal fonksion: f()=a+b biçimindeki doğrusal fonksionların grafiğini çizerken doğru üzerindeki noktanın koordinatlarını bulmak eterlidir. f()= doğrusunun grafiğini çiziniz. değişkenine herhangi değer vererek doğru üzerindeki noktanın koordinatlarını bulalım. f()= = ise f()=. = (, ) noktası = ise f()=. = (, ) noktası (,) ve (, ) noktaları grafiğin geçtiği noktalardır. +=8 doğrusunun grafiğini çiziniz. Parabol Grafikleri = için.+=8 =8 8 (,8) noktası = için +=8 = (,) noktası (,8) ve (,) noktaları grafiğin geçtiği noktalardır. f()=a +b+c fonksionunun grafiğini çizerken. a> ise parabolün kolları ukarı doğru a< ise parabolün kolları aşağı doğru olur.. Tepe noktası: T(r, k) r= b ve k=f(r) ile bulunur. a. f()= denkleminin kökleri bulunarak eksenini kestiği noktalar varsa bulunur. f()= +5 fonksionunun grafiğini çizelim. a=> ise kollar ukarı doğru. b r = = = a. k=f(r)=f()=.+5 = 8+5= Tepe noktası:(, ) f()= + fonksionunun grafiğini çizelim. a= < ise kollar aşağı doğru. b r = = = a.( ) k=f()= +. = Tepe noktası: (,) f()= += ( )= = vea = (, ) ve (, )

18 Özel Tanımlı Fonksionlar soru f()=+ fonksionun grafiği aşağıdakilerden hangisidir? soru f()= 6+ fonksionun grafiği aşağıdakilerden hangisidir? 6 6 soru Aşağıdaki grafiklerden hangisinde fonksion anlış verilmiştir? KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI soru Aşağıdaki grafiklerden hangisinde fonksion anlış verilmiştir? += = = = +6 f()=+ f()= += =6 9 = 6 6 = + E D B C

19 Özel Tanımlı Fonksionlar Grafik Bilgisi ) Üstel Fonksion grafikleri aşağıdadır, a> olmak üzere, f()=a fonksionu <a< olmak üzere, f()=a fonksionu f()=a ) logaritma Fonksionu grafikleri aşağıdadır, a> olmak üzere, f()=log a fonksionu <a< olmak üzere f()=log a fonksionu f()=log a kavrama çalışması I) =log grafiği II) = grafiği III) =. =log = grafiği = IV) log grafiği V) =ln grafiği VI) =e grafiği = ln =e =log = denkleminin kaç tane kökü vardır bulunuz. Bu denklemin ünü apmanız oldukça zordur. Ama ve bağıntılarının grafiklerini anı koordinat sisteminde çiziniz, kesiştikleri nokta saısından denklemin kaç tane kökü olduğunu bulabiliriz. = = = denkleminin bir tane kökü vardır. Cevap: tane

20 Özel Tanımlı Fonksionlar soru Aşağıda verilen grafiklerden hangisinde fonksion anlış verilmiştir? =5 = soru =, = 5, =log, = log eğrilerinin grafikleri aşağıda verilmiştir. I) = II) f()=log soru =log = =log Aşağıdaki grafiklerden hangisinde fonksion anlış verilmiştir? = = KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI III) = 5 IV) =log Buna göre ukarıdaki grafiklerden hangilerinde fonksion anlış verilmiştir? I ve III II ve IV I ve IV soru II ve III I ve II =5 denkleminin kaç tane kökü vardır? = =log soru 5 = denkleminin kaç tane kökü vardır? =e E C B D 5 C

21 Fonksionlar ve Özel Tanımlı Fonksionlar f:[, ] R, f()=+ olduğuna göre, f() fonksionunun görüntü kümesini bulunuz. f()=+ doğrusal fonksionun grafiğini [, ] aralığında çizerek görüntü kümesini bulalım, f( )=.( )+= f()=.+=7 Grafikten görülebileceği gibi f() in 7 görüntü kümesi [, 7] olur. Cevap:[, 7] f:[, ) R, f()= olduğuna göre, f() fonksionunun görüntü kümesini bulunuz. f()= fonksionunun grafiğini [,) aralığında çizelim, f( )=( ) =9 f()= =6 6 9 f()= Grafikten görülebileceği gibi f() in görüntü kümesi [, 6) olur. Cevap:[, 6) f:r R, f()= +5 olduğuna göre, f() fonksionunun görüntü kümesini bulunuz. f()= +5 parabolünün tepe b noktası r = ve k=f(r) ile bulunabilir. a r = = k=f()= 8+5= Grafikten f() in görüntü kümesinin [, ) olduğu görülebilir. Cevap:[, ) f : R R, f()= olduğuna göre, f() fonksionunun görüntü kümesini bulunuz. f()= f()= fonksionunun görüntü kümesi (, ) olur. Cevap:(, )

22 Fonksionlar ve Özel Tanımlı Fonksionlar soru soru 5 f:[,) R, f()= olduğuna göre, f() fonksionunun görüntü kümesi aşağıdakilerden hangisidir? f:r R, f()= +7 olduğuna göre, f() fonksionunun görüntü kümesi aşağıdakilerden hangisidir? [,) [,] (,] (, ) [, ) (, ) (, ) [, ) (6, ) [6, ) soru soru 6 f : [,5] R, f()= + olduğuna göre, f() fonksionunun görüntü kümesi aşağıdakilerden hangisidir? f:r R, f()= +6 olduğuna göre, f() fonksionunun görüntü kümesi aşağıdakilerden hangisidir? [,9] [,] [,9) [ 9, ] [ 9, ] (,] (,) (,9] (6, ) [6, ) soru f : [ 5, ) R, f()= olduğuna göre, KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI soru 7 f:r R, f()= olduğuna göre, f() fonksionunun görüntü kümesi aşağıdakilerden hangisidir? f() fonksionunun görüntü kümesi aşağıdakilerden hangisidir? [,5] (,5] [,5) [, 5] [ 5, ) (, ] (, ) [, ) (, ) (, ] soru soru 8 f : [, ) R, f()= olduğuna göre, f() fonksionunun görüntü kümesi aşağıdakilerden hangisidir? f:r R, f()=e olduğuna göre, f() fonksionunun görüntü kümesindeki en küçük tamsaı kaçtır? [,] [,) [,6) [, 6) [, 6] A E D D 5 E 6 C 7 B 8 C 5

23 Özel Tanımlı Fonksionlar Artan ve Azalan fonksionlar Bir fonksionun tanım kümesinden seçilen her ve değeri için; < olmak üzere, I) f( ) < f( ) ise f fonksionu artan, II) f( ) > f( ) ise f fonksionu azalan, III) f( ) = f( ) ise f fonksionu sabit fonksiondur. Örneğin, =f() =g() Yukarıdaki grafikte verilenlere göre, Yukarıdaki grafikte verilenlere göre, = için f( )=, = için f()= = için g( )=, = için g()= < ve f( ) < f() olduğundan f() artandır. < olmasına rağmen g( ) > g() olduğundan g() azalandır. kavrama çalışması I) f( ) a b f( ) (a,b) aralığında seçilen herhangi < için f( )<f( ) olduğundan fonksion artan. II) a f( ) f( ) (a,b) aralığında seçilen herhangi < için f( )>f( ) olduğundan fonksion azalan. b III) a b (a,b) aralığında seçilen herhangi < için f( )=f( ) olduğundan fonksion sabit diebiliriz. 5 6 =f() Yukarıda grafiği verilen fonksionunun artan azalan ve sabit olduğu aralıkları bulunuz. f:r R, f()= +5 fonksionunun artan olduğu aralığı bulunuz. ( 5, ) için değerleri artarken değerleri azaldığı için f() azalan. (, ) için değerleri artarken değerleri de arttığı için f() artan (, 6) için değerleri artarken değerleri değişmediği için f() sabit olur. f()= +5 parabolünün tepe noktası b r = = = ve a. k=f(r)=f()= 8+5= ile bulunabilir. Kolları ukarı doğru olan fonksionun grafiği ardımıla artan olduğu aralık (, ) diebiliriz. Cevap: (, ) Grafiği verilen =f() fonksionunun azalan olup pozitif değerler aldığı aralığı bulunuz. =f() Grafik incelendiğinde (,) aralığında azalan ve pozitif + + değerler aldığını görebiliriz. =f() Cevap: (, ) 6

24 Özel Tanımlı Fonksionlar soru soru I) II) f: R R, f()= 6+ fonksionunun artan olduğu aralık aşağıdakilerden hangisidir? 6 (, ) (,) (, ) (, ) (, ) III) IV) 6 Yukarıda grafiği verilen fonksionlardan hangileri tanım aralığının tümünde artandır? I ve II II ve III I ve IV II ve IV III ve IV soru 5 f: R R, f()= ++5 fonksionunun azalan olduğu aralık aşağıdakilerden hangisidir? (, ) (, ) (,) (, ) (, ) soru I) II) III) IV) KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI soru 6 Yukarıda grafiği verilen =f() fonksionunun artan olup, pozitif değerler aldığı aralık aşağıdakilerden hangisidir? Yukarıda grafiği verilen fonksionlardan hangileri tanım aralığının tümünde azalandır? (, ) (,) (,) (, ) (, ) I ve II II ve III I ve III II, III ve IV I, III ve IV soru soru 7 6 =f() =f() Yukarıda grafiği verilen =f() fonksionunun azalan olduğu aralık aşağıdakilerden hangisidir? Yukarıda grafiği verilen =f() fonksionunun azalan olup, negatif değerler aralığı aralık aşağıdakilerden hangisidir? (, ) (,) (,) (, 6) (, 6) (, ) (, ) (,) (, ) (, ) D B C A 5 E 6 B 7 D 7

25 Özel Tanımlı Fonksionlar Tek ve Çift Fonksionlar Tek fonksion: Her gerçek saısı için f( )= f() şartını sağlaan fonksionlara "tek fonksion" denir. f()= fonksionunun tek fonksion olduğunu bulunuz. erine azarak f( )=( ) = f()= ve f()= f()=f( ) olduğundan f() tek fonksiondur. Aşağıda verilen fonksionlardan hangileri tek fonksiondur, bulunuz. I) f()= II) f()= III) f()=+5 IV) f()= + V) f()= I) f( )=( )= = f() olduğundan f() tek fonksiondur. II) f( )=( ) ( )= += ( )= f() olduğundan f() tek fonksiondur. III) f( )=( )+5= +5 ve f( ) f() olduğundan f() tek fonksion değildir. IV) f( )=( ) +( )= = ( +)= f() olduğundan f() tek fonksiondur. V) f( )=( ) 5 +( )+5= 5 +5 ve f( ) f() olduğundan f() tek fonksion değildir. Cevap: I, II ve IV Uarı,,, sin, tan, cot gibi fonksionlar temel tek fonksion örnekleridir. sin( )= sin, tan( )= tan, cot( )= cot olduğunu hatırlaalım. Aşağıda verilen fonksionlardan hangileri tek fonksiondur, bulunuz. a) f()= +5 b) f()= +sin+5 c) f()=.tan d) f()=.sin tan e) f()= a) f( )=( ) +5= +5 ve f( ) f() tek fonksion değil b) f( )=( ) +sin( )+5= sin+5 ve f( ) f() tek fonksion değil c) f( )=( ) tan( )=. tan= tan ve f( ) f() tek fonksion değil d) f( )=( ).sin( )=. sin=sin ve f( ) f() tek fonksion değil e) tan ( ) ( tan) tan f( ) = = = = f() olduğundan, ( ) tan f()= tek fonksiondur. Cevap: e 8

26 Özel Tanımlı Fonksionlar soru soru 5 Aşağıdakilerden hangisi tek fonksiondur? Aşağıdakilerden hangisi tek fonksion değildir? sin tan cot sin +sin soru soru 6 Aşağıdakilerden hangisi tek fonksiondur? Aşağıdakilerden hangisi tek fonksiondur? tan+5 +sin.tan.cot soru KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI soru 7 Aşağıdakilerden hangisi tek fonksiondur? Aşağıdakilerden hangisi tek fonksion değildir? sin + tan + cot tan +sin soru soru 8 Aşağıdakilerden hangisi tek fonksion değildir? Aşağıdakilerden hangisi tek fonksiondur? B E D E B 5 E 6 D 7 C 8 D 9

27 Özel Tanımlı Fonksionlar f() tek fonksion olmak üzere, f( )= ve f( )= olduğuna göre, f()+f() kaçtır, bulunuz. f() tek fonksion olduğuna göre, f( )= f() koşulunu sağlar. f( )= f() ise f()= f( )= f()= ise f()= f()+f()=( )+( )= 7 olur. Cevap: 7 Uarı Tek fonksion grafikleri orjine göre simetriktir. Bunu 8 f()= anda grafiği verilen f()= fonksionunu inceleerek görmee çalışalım. f()= ve f( )= f( )= f() dir. f()=8 ve f( )= 8 8 f( )= f() dir. f() in grafiği orijine göre simetriktir. f()= +(a ) + olduğuna göre, a kaçtır? f() in tek fonksion olmasını engelleen ifadesinin fonksionda eralmaması gerekir. Bu nedenle li terimin katsaısı a = olmalıdır. O halde a= dir Cevap: I) II) Grafikler incelendiğinde I ve III deki grafiklerin orijine göre simetrik olduğunu dolaısıla tek fonksionlara ait olduğunu söleebiliriz. II ve IV deki grafiklerin ise orijine göre simetrik olmadığını görebiliriz. Cevap: I ve III III) IV) Yukarıda grafiği verilen fonksionlardan hangileri tek fonksiondur, bulunuz.

28 Özel Tanımlı Fonksionlar soru f() tek fonksion olmak üzere, f( )=5 ve f( )= olduğuna göre, f()+f() kaçtır? 8 8 soru 5 f() fonksionun grafiği başlangıç noktası (orijine) göre simetriktir., f()=(a ) +5 +(b ) +c olduğuna göre, a+b+c toplamı kaçtır? soru 6 Aşağıdakilerden hangisi tek fonksion grafiğidir? soru f() tek fonksion olmak üzere, f( 7)= ve f()= olduğuna göre, f(7)+f( ) kaçtır? 7 5 KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI soru f() tek fonksion olmak üzere, f()= +(a+) olduğuna göre, f(a) kaçtır? soru 7 Aşağıdakilerden hangisi f()= + olabilir? fonksionun grafiği 5 5 soru f() in grafiği başlangıç noktasına (orijine) göre simetriktir. f()= 5 +(a ) ++b olduğuna göre, a+b toplamı kaçtır? 5 7 A B D C 5 D 6 E 7 C

29 Özel Tanımlı Fonksionlar Çift fonksion: Her gerçek saısı için f( )=f() şartını sağlaan fonksiona çift fonksion denir. f()= fonksionunun çift fonksion olduğunu bulunuz. f() fonksionunda erine azarsak, f( )=( ) = =f() f()= ve f( )= f()=f( ) olduğundan f() çift fonksiondur. Aşağıda verilen fonksionlardan hangileri çift fonksiondur, bulunuz. I) f()= II) f()= +5 III) f()=+6 IV) f()= V) f() = + I) f( )=( ) = =f() olduğundan f() çift fonksiondur. II) f( )=( ) +5= +5=f() olduğundan f() çift fonksiondur. III) f( )=( )+6= +6 ve f() f( ) olduğundan f() çift fonksion değildir. IV) f( )==f() olduğundan f() çift fonksiondur. ve f() f( ) olduğundan ( ) + + V) f( ) = = f() çift fonksion değildir. Cevap: I, II ve IV Uarı,, cos, gibi fonksionlar temel çift fonksion örnekleridir. cos( )=cos olduğunu hatırlaalım. Arıca sıfır fonksionu hariç sabit fonksionlar çift fonksiondur. f()= fonksionu hem tek hem çift koşulunu sağlaan özel bir fonksiondur. Aşağıda verilen fonksionlardan hangileri çift fonksiondur, bulunuz. a) f()=.cos b) f()= + c) f()= + +6 d) f()=.sin e) f()=e +e Uarı a) f( )=( ).cos( )=.cos= f() f() tek fonksiondur. b) f( )= +( )= f() tek vea çift fonksion değildir. c) f( )=( ) +( ) +6= +6 f() tek vea çift fonksion değildir. d) f( )=( ).sin( )=. sin= f() f() tek fonksiondur. e) f( )=e ( ) +e ( ) =e +e =f() f() çift fonksiondur. Cevap: e Bir fonksion tek vea çift olmak zorunda değildir.

30 Özel Tanımlı Fonksionlar soru soru 5 Aşağıdakilerden hangisi çift fonksiondur? Aşağıdakilerden hangisi çift fonksion değildir? cos sin cos+5 soru soru 6 Aşağıdakilerden hangisi çift fonksiondur? Aşağıdakilerden hangisi çift fonksiondur? cos+ tan+.cos.cot soru KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI soru 7 Aşağıdakilerden hangisi çift fonksiondur? Aşağıdakilerden hangisi çift fonksiondur? cos + tan + tan+sin soru soru 8 Aşağıdakilerden hangisi çift fonksion değildir? Aşağıdakilerden hangisi çift fonksiondur? D E C A 5 D 6 E 7 B 8 B

31 Özel Tanımlı Fonksionlar f() çift ve g() tek fonksion olmak üzere, f( )=5 ve g( )= olduğuna göre, f()+g() kaçtır, bulunuz. f() çift fonksion olduğuna göre, f()=f( )=5 g() tek fonksion olduğuna göre, g()= g( )= f()+g()=5+( )= Cevap: Uarı Çift fonksion grafikleri -eksenine göre simetriktir. Bunu anda grafiği verilen f()= fonksionunu inceleerek görebiliriz. f()= f()= ve f( )= f()=f( ) dir. f()= ve f( )= f()=f( ) dir. f() in grafiği eksenine göre simetriktir. f()= +(a ).sin+5 olduğuna göre, a kaçtır, bulunuz. f() in çift fonksion olmasını engelleen sin ifadesinin fonksionda er almaması gerekir. Bu nedenle sin in katsaısı a = olmalıdır. O halde a= tür. Cevap: I) II) Grafikler incelendiğinde, I ve IV deki grafiklerin eksenine göre simetrik olduğunu dolaısıla çift fonksionlara ait olduklarını söleebiliriz. II deki grafik ne eksenine ne de orijine göre simetrik olduğundan tek vea çift fonksion grafiği değildir. III) IV) III deki grafik orijine göre simetrik olduğundan tek fonksion grafiğidir. Cevap: I ve IV Yukarıda grafiği verilen fonksionların hangileri çift fonksiondur, bulunuz.

32 Özel Tanımlı Fonksionlar soru soru 5 f() çift fonksion olmak üzere, f( )= ve f()= olduğuna göre, f()+f( ) toplamı kaçtır? Aşağıdakilerden hangisi çift fonksion grafiğidir? 5 5 soru f() tek, g() çift fonksion olmak üzere, f( )= ve g( )= olduğuna göre, f()+g() toplamı kaçtır? 6 soru KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI soru 6 Aşağıdakilerden hangisi f()= + fonksionun grafiği olabilir? f() çift fonksion olmak üzere, f()= +(a )tan+ olduğuna göre, f(a) kaçtır? soru f() in grafiği eksenine göre simetriktir. f()=(a ) +(a ) +(b )+b+ olduğuna göre, a+b toplamı kaçtır? A E D A 5 D 6 C 5

33 Özel Tanımlı Fonksionlar Fonksionların En Geniş Tanım Kümesi Fonksionların en geniş tanım kümelerini bulmak için fonksionda erine azılabilen tüm reel(gerçek) saıları bulmamız gerekir. Fonksionları birer makine ve tanım kümelerini ise fonksionların içine atılacak maddeler olarak düşünürsek, fonksionun en geniş tanım kümesini bulma işlemi, fonksion makinesini bozacak olan maddeleri tanım kümesinden çıkarmak olarak ifade edilebilir. Bu işlemi aparken fonksionların apısını bilmek gerekir. ) Polinom Fonksionlar: P()=a n n +a n n a +a ifadesinde n bir doğal saı ve a n, a n,... a, a birer reel saı olmak üzere, polinom fonksionların tanım kümesi tüm reel saılardır. f()= + 5+ fonksionunun en geniş tanım kümesini bulunuz. f() polinom fonksion olduğuna göre, tanım kümesi tüm reel saılardır. Cevap: R g() f() = biçimindeki kesirli ifadeler içeren fonksion- h() ) Rasonel Fonksionlar: g() ve h() polinom fonksion olmak üzere larda padaı sıfır apan değerleri (h()=) için fonksion tanımsızdır. f()= + fonksionunun en geniş tanım kümesini bulunuz. f()= + fonksionunda padaı sıfır apan değer = ifadesinden = olarak bulunabilir. = değerini tanım kümesinden çıkarmamız gerekir. Bu nedenle tanım kümesi R {} dir. Cevap: R {} + f()= fonksionunun en geniş tanım kümesini bulunuz. + f()= fonksionunda padaı sıfır apan değerler = ifadesinden = vea = dir. Cevap: R {,} f()= + + n fonksionunun en geniş tanım kümesi tüm f()= + + n fonksionunun tanım kümesi tüm reel saı- reel(gerçek) saılar olduğuna göre, n tamsaısı en az kaçtır, bulunuz. lar ise ++n= denkleminin kökü oktur. II. derece denkleminin köklerinin olmaması için =b ac< olmalıdır. =..n< 6<n <n olur. n en az 5 tir. Cevap: 5 6

34 Özel Tanımlı Fonksionlar soru f()= + fonksionunun en geniş tanım kümesi aşağıdakilerden hangisidir? R (,) (, ) (, ) Ø soru 5 f()= fonksionunun en geniş tanım kümesi aşağıdakilerden hangisidir? {,} R {,} R {} (, ) R soru f()= +5 5 fonksionunun en geniş tanım kümesi aşağıdakilerden hangisidir? (, ) (,) ( 5, ) R Ø soru 6 + f()= fonksionunun en geniş tanım kümesi aşağıdakilerden hangisidir? 5 {,5} {5} R {,5} R {5} Ø soru KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI soru 7 f()= + f()= fonksionunun en geniş tanım kümesi aşağıda- kilerden hangisidir? fonksionunun tanımsız apan değerleri kümesi aşağıdakilerden hangisidir? (, ) {} (, ) R R {} {,,} {,} {,} {,} {,,} soru soru 8 f()= 5 fonksionunun en geniş tanım kümesi aşağıda- f()= + m + + fonksionunun en geniş tanım kümesi tüm kilerden hangisidir? R { 5} (5, ) R {5} R Ø reel(gerçek) saılar olduğuna göre m nin alabileceği en küçük tamsaı değeri kaçtır? A D E C 5 B 6 C 7 A 8 C 7

35 Özel Tanımlı Fonksionlar ) Köklü fonksionlar f()= n g() fonksionunun tanımlı olduğu erler ) n çift ise g() eşitsizliğini sağlaan değerler. Bunun nedeni 6 vea 8 gibi ifadelerin reel saı olmamasıdır. ) n tek ise g() in tanımlı olduğu değerler olarak söleebiliriz. f()= fonksionunun en geniş tanım kümesini bulunuz. Karekök, derecesi olan köktür. Bu nedenle eşitsizliğini sağlaan değerleri tanım kümesini oluşturur. ve olur. Cevap: [, ) f()= fonksionunun en geniş tanım kümesini bulunuz. ifadesinde kökün derecesi ani tek saı olduğundan içerisindeki ifadenin tanımlı olduğu erler araştırılır. ifadesi polinom olduğundan tüm reel saılar için tanımlıdır. Cevap: R + f()= fonksionunun en geniş tanım kümesini bulunuz. + ifadesinde kökün derecesi ani çift olduğundan + olmalıdır. + + En geniş Tanım kümesi: (, ] (, ) vea R (,] Cevap: R (,] f()= + 5 fonksionunun + 5 ifadesinde kökün derecesi 5 ani tek saı olduğun- en geniş tanım kümesini bulunuz. dan içerisindeki ifadenin tanımlı olduğu erler araştırılır. + için = ve = tanımsız apan değerdir En geniş Tanım kümesi: R {} Cevap: R {} 8

36 Özel Tanımlı Fonksionlar soru f()= fonksionunun, en geniş tanım kümesi aşağıdakilerden hangisidir? soru 5 f()= fonksionunun, en geniş tanım kümesi aşağıdakilerden hangisidir? R (, ) (, ) [, ) (,] (,] (, ) (,) (, ) (,) [, ) R {} (, ) soru f()= fonksionunun, en geniş tanım kümesi aşağıdakilerden hangisidir? soru 6 f()= fonksionunun, 5 en geniş tanım kümesi aşağıdakilerden hangisidir? (,] (, ) (, ) [, ) Ø R R {5} [,5] (,5] [,5) soru KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI soru 7 f()= fonksionunun, en geniş tanım kümesi aşağıdakilerden hangisidir? f()= fonksionunun, + en geniş tanım kümesi aşağıdakilerden hangisidir? Ø R (.] (,) [, ) R {} R { } (, ) (,) (,) soru f()= 5 7 fonksionunun, en geniş tanım kümesi aşağıdakilerden hangisidir? soru 8 f()= 5 fonksionunun, + en geniş tanım kümesi aşağıdakilerden hangisidir? [7, ) (7, ) (.7) (,7] R R { } R {} R (, ) (, ] D A B E 5 A 6 E 7 B 8 C 9

37 Özel Tanımlı Fonksionlar f()= 5 fonksionunun en geniş tanım kümesini bulunuz. 5 ifadesinde kökün derecesi ani çift olduğundan, 5 olmalıdır. 5 ( 5)(+) En geniş Tanım kümesi: (, ] [5, ) vea R (,5) Cevap:(, ] [5, ) + f()= fonksionunun 6 en geniş tanım kümesini bulunuz. + 6 ifadesinde kökün derecesi ani tek olduğundan içerisindeki ifadenin tanımlı olduğu erler araştırılır. + için 6= ve ( )(+)= 6 = ve = En geniş Tanım kümesi: R {,} Cevap:R {,} f()= fonksionunun 9 en geniş tanım kümesini bulunuz. 9 ifadesinde kökün derecesi ani çift olduğundan, 9 olmalıdır. = 9 ( )( + ) 9 En geniş Tanım kümesi: (, ] (, ) Cevap:(,] [, ) f()= 6 + fonksionunun en geniş tanım kümesini bulunuz. + 6 ifadesinde kökün derecesi ani çift olduğundan, + 6 olmalıdır. + 6 ( )( + ) = En geniş Tanım kümesi: [,) [, ) Cevap:[,) [, )

38 Özel Tanımlı Fonksionlar soru f()= fonksionunun, en geniş tanım kümesi aşağıdakilerden hangisidir? soru 5 f()= 5 fonksionunun, en geniş tanım kümesi aşağıdakilerden hangisidir? (, ) [, ) (, ] [, ) (, ] (, ) (, ) (, ) [,] R {,} R {,} (, ) (, ) soru f()= fonksionunun, en geniş tanım kümesi aşağıdakilerden hangisidir? soru 6 + f()= fonksionunun, + en geniş tanım kümesi aşağıdakilerden hangisidir? (, ] [, ) (, ] [, ) [,] (, ] (, ) soru KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI R {, } R {,} R {,} soru 7 R {,} R f()= 5 5 fonksionunun, en geniş tanım kümesi aşağıdakilerden hangisidir? [,5] [5, ) (, ] (, ) R + f()= fonksionunun, tanımsız apan değerlerinin kümesi aşağıdakilerden hangisidir? R {,} {,} {,} {, } soru soru 8 f()= 7 + fonksionunun, en geniş tanım kümesi aşağıdakilerden hangisidir? fonksionunu, tanımsız apan doğal sa- f()= 5 ılar kaç tanedir? R {} R (, ) R {} Ø B C E B 5 C 6 A 7 B 8 C

39 Özel Tanımlı Fonksionlar ) Logaritma fonksionu f()=log g() h() ifadesinde h()>, g()> ve g() olmalıdır. Bu şartları sağlaan tüm saılar f() fonksionunun en geniş tanım kümesini oluşturur. f()=log (+) fonksionunun en geniş tanım kümesini bulunuz. logaritmanın tabanı g()=> olduğu için h()=+> koşulunu sağlaan saıları bulmamız eterlidir. +> ise > Cevap:(, ) f()=log(5 ) fonksionunun en geniş tanım kümesini bulunuz. Taban, azılmadığına göre dur. O halde 5 > eşitsizliğini sağlaan saıları bulmamız eterlidir. 5 > ise (5 )(5+)>, =5 vea = 5 işaret tablosu apılırsa Cevap:( 5,5) f()=log ( ) fonksionunun en geniş tanım kümesini bulunuz. >, > ve koşulunu sağlaan saılar f() in tanım kümesini oluşturur. > ise > O halde, << ve olmalıdır. Cevap:(,) {} f()=ln + 5 fonksionunun en geniş tanım kümesini bulunuz. ln tabanı e=, 7... olan logaritma çeşitidir. Tanım kümesi bulmak anı şekilde gerçekleştirilir. Taban e olduğuna göre > eşitsizliğini sağlaan saıları bulmamız eterlidir. + 5 = +5= = = Cevap:( 5,)

40 Özel Tanımlı Fonksionlar soru soru 5 f()=log ( ) fonksionunun, en geniş tanım kümesi aşağıdakilerden hangisidir? f()=log ( ) fonksionunun, en geniş tanım kümesi aşağıdakilerden hangisidir? R (, ) [, ) (, ) (, ) (,) (,) (,) {} (, ) (, ) soru soru 6 f()=log(5 ) fonksionunun, en geniş tanım kümesi aşağıdakilerden hangisidir? f()=log ( 9) fonksionunun, en geniş tanım kümesi aşağıdakilerden hangisidir? R (5, ) [5, ) (,5) (,5] (, ) (, ) (, ) {} (,) (,) {} soru KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI soru 7 f()=log (6 ) fonksionunun, en geniş tanım kümesi aşağıdakilerden hangisidir? f()=ln + 7 fonksionunun, en geniş tanım kümesi aşağıdakilerden hangisidir? (, ) (,) (,) (, ) (, ) (,7) (,7) (7, ) (, ) (,7) soru soru 8 f()=log( 5) fonksionunun, en geniş tanım kümesi aşağıdakilerden hangisidir? f()=ln( 5+6) fonksionunun, en geniş tanım kümesi aşağıdakilerden hangisidir? R (5, ) (,5) (,) (5, ) (, ) (5, ) ( 6,) (, 6) ( 6,) (, ) (,6) B D C E 5 C 6 A 7 B 8 A

41 Özel Tanımlı Fonksionlar f()= ve g()= + olduğuna göre, (fog)() ve (gof)() fonksionlarının en geniş tanım kümelerini bulunuz. (fog)()=f(g())= + Tanım Kümesi: R { } (gof)()=g(f())= = ( ) + Tanım Kümesi: R {} Cevap:R { } ve R {} f()= + ve g()= olduğuna göre, (fog)() fonksionunun en geniş tanım kümesini bulunuz. = + (fog)()=f(g()) ( ) = olmalı, ise En geniş Tanım kümesi [, ) Cevap:[, ) f() = ve g()=log + olduğuna göre, (gof)() fonksionunun tanım kümesini bulunuz. (gof)()=g(f())= log + + > olmalı, En geniş Tanım kümesi:(, ) (, ) Cevap:(, ) (, ) (gof)()=( ) 6 olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi anlıştır, bulunuz. f()= ve g()= 6 olabilir. f()=( ) ve g()= olabilir. f()=( ) ve g()= olabilir. f()=( ) ve g()= olabilir. f()=( ) 6 ve g()= olabilir. Şıklarda verilen fonksionların bileşkesi alındığında d şıkkındaki fonksionların bileşkesinin ( ) 8 çıktığını görebilirsiniz. Cevap:d

42 Özel Tanımlı Fonksionlar soru soru 5 f()=+ ve g()= olduğuna göre, (fog)() fonksionunun en geniş tanım kümesi aşağıdakilerden hangisidir? f()=log ve g()= 5 olduğuna göre, (fog)() fonksionunun en geniş tanım kümesi aşağıdakilerden hangisidir? R R {} R {} R { } (,) (,5) (5, ) (,5) ( 5,) (, 5) soru soru 6 f()=+ ve g()= olduğuna göre, (gof)() fonksionunun en geniş tanım kümesi aşağıdakilerden hangisidir? f()= ve g()=log olduğuna göre, (gof)() fonksionunun en geniş tanım kümesi aşağıdakilerden hangisidir? R R {} R { } R {} (,) (, ] (, ) (, ] [, ) (, ) (, ) (,) [,] soru f()= ve g()= + olduğuna göre, (fog)() fonksionunun en geniş tanım kümesi aşağıdakilerden hangisidir? (, ] (, ) (, ] [, ) (, ) (, ) R {} [,) KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI soru 7 (fog)()=(+) 8 olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi anlıştır? f()= 8 ve g()=+ olabilir. f()= ve g()=(+) olabilir. f()= ve g()=(+) 5 olabilir. f()= ve g()=(+) olabilir. f()= ve g()=(+) 8 olabilir. soru f()= ve g()= olduğuna göre, (gof)() fonksionunun en geniş tanım kümesi aşağıdakilerden hangisidir? (,] (, ) [, ] [, ) (, ] soru 8 (gof)()= olduğuna göre, ( + ) aşağıdakilerden hangisi doğrudur? f()=+ ve g()= olabilir. f()= ve g()= olabilir. f()=(+) ve g()= f()=(+) ve g()= olabilir. olabilir. f()=(+) 8 ve g()= olabilir. B C A E 5 B 6 C 7 C 8 E 5

43 Özel Tanımlı Fonksionlar Grafiklerin Ötelenmesi c>, =f()+c nin grafiği, =f() in grafiğinin -ekseni bounca c birim ukarı ötelenmesi ile =f() c nin grafiği, =f() in grafiğinin -ekseni bounca c birim aşağı ötelenmesi ile oluşur. kavrama çalışması = nin grafiğini kullanarak, = + ve = in grafiklerini çizelim. = + = = kavrama çalışması = nin grafiğini kullanarak, =+ ve = ün grafiklerini çizelim. = =+ = c>, =f( c) nin grafiği, =f() in grafiğinin ekseni bounca c birim sağa ötelenmesi ile =f(+c) nin grafiği, =f() in grafiğinin ekseni bounca c birim sola ötelenmesi ile oluşur. kavrama çalışması = nin grafiğini kullanarak, =( ) ve =(+) in grafiklerini çizelim. =( ) =(+) = kavrama çalışması =ln nin grafiğini kullanarak, =ln( ) ve =ln(+) ün grafiklerini çizelim. =ln( ) =ln(+) 6

44 Özel Tanımlı Fonksionlar soru = soru = Yukarıda = eğrisinin grafiği verilmiştir. Buna göre, = + fonksionunun grafiği aşağıdakilerden hangisidir? soru = KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI Yukarıda = doğrusunun grafiği verilmiştir. Buna göre, =+ doğrusunun grafiği aşağıdakilerden hangisidir? soru = Yukarıda = eğrisinin grafiği verilmiştir. Buna göre, =( ) fonksionunun grafiği aşağıdakilerden hangisidir? Yukarıda = doğrusunun grafiği verilmiştir. Buna göre, = doğrusunun grafiği aşağıdakilerden hangisidir? A B C C 7

45 Özel Tanımlı Fonksionlar =f() Yukarıda =f() fonksionunun grafiği verilmiştir. Buna göre, =f()+ fonksionunun grafiğini çiziniz. =f()+ =f() =f()+ fonksionunun grafiği, =f() in grafiği birim ukarı ötelenerek çizilebilir. =f() =f() =f() Yukarıda =f() fonksionunun grafiği verilmiştir. Buna göre, =f() fonksionunun grafiğini çiziniz. =f() fonksionunun grafiği, =f() in grafiği birim aşağı ötelenerek çizilebilir. =f() =f(+) =f() Yukarıda =f() fonksionunun grafiği verilmiştir. Buna göre, =f(+) fonksionunun grafiğini çiziniz. =f(+) fonksionunun grafiği, =f() in grafiği birim sola ötelenerek çizilebilir. =f() =f() =f( ) Yukarıda =f() fonksionunun grafiği verilmiştir. Buna göre, =f( ) fonksionunun grafiğini çiziniz. =f( ) fonksionunun grafiği, =f() in grafiği birim sağa ötelenerek çizilebilir. 8

46 Özel Tanımlı Fonksionlar soru = soru = Yukarıda = eğrisinin grafiği verilmiştir. Buna göre, = + fonksionunun grafiği aşağıdakilerden hangisidir? Yukarıda = eğrisinin grafiği verilmiştir. Buna göre, aşağıdakilerden hangisinde fonksion anlış verilmiştir.? =( ) = = =(+) =( ) soru =f() Yukarıda =f() eğrisinin grafiği verilmiştir. Buna göre, aşağıdakilerden hangisinde fonksion anlış verilmiştir? f() f()+ f() f(+) f() KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI soru =f() Yukarıda =f() eğrisinin grafiği verilmiştir. Buna göre, aşağıdakilerden hangisinde fonksion doğru verilmiştir? =f( ) =f() =f() =f()+ =f()+ B D C A 9

47 Özel Tanımlı Fonksionlar =f() =f( ), f() in grafiğinin birim sağa ötelenmesi ile çizilebilir. =f( ) =f( )+, f( ) nin grafiğinin birim ukarı ötelenmesi ile çizilebilir. =f( )+ Yukarıda =f() in grafiği verilmiştir. Buna göre, f( )+ fonksionunun grafiğini çiziniz. =f() =f(+), f() in grafiğinin birim sola ötelenmesi ile çizilebilir. =f(+), f(+) ün grafiğinin birim aşağı ötelenmesi ile çizilebilir. Yukarıda =f() in grafiği verilmiştir. Buna göre, f(+) fonksionunun grafiğini çiziniz. =f() Yukarıda =f() in grafiği verilmiştir. Buna göre, a) f( ) b) f( )+ fonksionlarının grafiklerini çiziniz. f( ), f() in grafiğinin birim sola, birim aşağı ötelenmesi ile çizilebilir. a) f( )+, f() in grafiğinin birim sağa, birim ukarı ötelenmesi ile çizilebilir. b) =f() f( )+, f() in grafiğinin birim sağa, birim ukarı ötelenmesi ile çizilebilir. a) f(+)+, f() in grafiğinin birim sola, birim aşağı ötelenmesi ile çizilebilir. b) Yukarıda =f() in grafiği verilmiştir. Buna göre, a) f( )+ b) f(+) fonksionlarının grafiklerini çiziniz. 5

48 Özel Tanımlı Fonksionlar soru =f() soru Yukarıda =f() eğrisinin grafiği verilmiştir. Buna göre, =f( )+ fonksionunun grafiği aşağıdakilerden hangisidir? Yukarıda =f() eğrisinin grafiği verilmiştir. Buna göre, aşağıdakilerden hangisinde fonksion anlış verilmiştir? f(+)+ f( ) f(+)+ soru f() KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI f( ) f(+) soru =f() Yukarıda =f() eğrisinin grafiği verilmiştir. Buna göre, =f(+) fonksionunun grafiği aşağıdakilerden hangisidir? Yukarıda =f() eğrisinin grafiği verilmiştir. Buna göre, f( )+ fonksionunun grafiği aşağıdakilerden hangisidir? A D D B 5

49 Özel Tanımlı Fonksionlar =f() ile = f() fonksionlarının grafikleri Fonksionu " " ile çarpmak fonksionun her görüntüsünün işaretini değiştireceği için eksenine göre simetrik bir grafik oluşturur. = f() =f() =f() ile =f( ) fonksionlarının grafikleri i " " ile çarpmak her in işaretini değiştireceği için eksenine göre simetrik bir grafik oluşturur. =f() =f( ) a) b) =f() = f() =f( ) Yukarıda =f() fonksionunun grafiği verilmiştir. Buna göre, a) f() b) f( ) fonksionlarının grafiğini çiziniz. =f() = f() Yukarıda =f() fonksionunun grafiği verilmiştir. Buna göre, = f() fonksionunun grafiğini çiziniz. =f() Hem, hem de eksenine göre simetri almak demek, orijine göre simetri almak demektir. =f() eğrisinin orijine göre simetriği aradığımız grafiktir. Yukarıda =f() fonksionunun grafiği verilmiştir. Buna göre, = f( ) fonksionunun grafiğini çiziniz. = f( ) 5

50 Özel Tanımlı Fonksionlar soru =f() soru =f() Yukarıda =f() eğrisinin grafiği verilmiştir. Buna göre, = f() fonksionunun grafiği aşağıdakilerden hangisidir? Yukarıda =f() doğrusunun grafiği verilmiştir. Buna göre, =f( ) fonksionunun grafiği aşağıdakilerden hangisidir? soru KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI soru =f() Yukarıda =f() eğrisinin grafiği verilmiştir. Buna göre, =f( ) fonksionunun grafiği aşağıdakilerden hangisidir? Yukarıda =f() doğrusunun grafiği verilmiştir. Buna göre, = f( ) fonksionunun grafiği aşağıdakilerden hangisidir? B A A E 5

51 Özel Tanımlı Fonksionlar Parçalı Fonksion Tanım kümesinin alt aralıklarında farklı kurallarla tanımlanmış fonksionlara parçalı fonksion denir. Parçalı fonksionları içine atılan maddeleri türüne göre arıştırarak farklı işlemlere tabi tutan bir makine olarakta düşünebiliriz. Örneğin; +, f() = fonksionu, < f şeklindeki bir fonksion makinesi olarak düşünebiliriz. ise < ise Makinee atılan şartını sağlaan saılar için + işlemi, < şartını sağlaan saılar için işlemi apılacaktır. + = değeri f() fonksionunun kritik noktası olarak adlandırılır., > f() = +, olduğuna göre, a) f() b) f() c) f() değerlerini bulunuz. a) > için f()= olduğuna göre, f()=. = = b) için f()=+ olduğuna göre f()=+= c) için f()=+ olduğuna göre f()=+= Cevap:a) b) c), f() = 5, < < olduğuna göre,, f(5)+f()+f( ) toplamının değeri kaçtır? için f()= ve f(5)=.5= << için f()=5 ve f()=5 için f()= ve f( )= = 5 f(5)+f()+f( )=+5+( 5)= Cevap: a, f() = ve f()+f( )=7, < olduğuna göre, a kaçtır bulunuz. +, tek ise f() =, çift ise olduğuna göre, f(7)+f(6) toplamı kaçtır bulunuz. için f()=a olduğundan, = için f()=a. =a < için f()= olduğundan, = için f( )= = 5 f()+f( )=a 5=7 a= a= tek ise f()=+ olduğundan =7 için f(7)=7+= çift ise f()= olduğundan, =6 için f(6)=6 =5 f(7)+f(6)=+5=5 Cevap: Cevap:5 5

52 Özel Tanımlı Fonksionlar soru, f() = +, < olduğuna göre, f() kaçtır? 6 8 soru 5 5, f() = ve f()+f()=7 a +, < olduğuna göre, a kaçtır? 6 5 soru +, > f() =, olduğuna göre, f( ) kaçtır? soru 6 +, > f( ) = b, < < ve f()+f()+f( )=, olduğuna göre, b kaçtır? 5 soru + f() = <,, KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI soru 7 5, çift ise f() = +, tek ise olduğuna göre, f( ) kaçtır? olduğuna göre, f()+f(5) toplamı kaçtır? 9 5 soru +, f() =, < olduğuna göre, f()+f()+f() toplamı kaçtır? soru 8 +, asal saı ise f() =, asal saı değil ise olduğuna göre, f(7)+f(8) toplamı kaçtır? 5 D B C A 5 E 6 A 7 D 8 B 55

53 Özel Tanımlı Fonksionlar, f() =, < olduğuna göre, (fof)() kaçtır bulunuz. (fof)()=f(f()) olduğundan önce f() ın değerini bulalım. < için f()= olduğundan f()= = f(f())=f() ün değeri, için f()= ve f()=. =.6=8 Cevap: 8 +, +, f() = ve g() =, <, < olduğuna göre, (fog)() kaçtır bulunuz. (fog)()=f(g()) olduğundan önce g() ün değerini bulalım. < için g()= olduğundan g()= = f(g())=f() in değeri, için f()=+ ve f()=+= Cevap:,, f() = ve g() = +, <, < olduğuna göre, (fog)() fonksionunu bulunuz. (fog)()=f(g()) dir. Kritik noktalar f() + g() (fog)() + ( )=6 ( )=, (fog)() = 6, < +, <,, f() = ve g() = +, <, < olduğuna göre, (f+g)() fonksionunu bulunuz. Kritik noktalar f() + g() (f+g)() , (f + g)() =, < +, < 56