VERİ, SAYMA VE OLASILIK

Transkript

1 Ünite 6 VERİ, SAYMA VE OLASILIK Bölüm 6.1. Merkezi Eğilim ve Yayılım Ölçüleri Bu Bölümde Neler Öğreneceğiz? Merkezi eğilim ölçülerinden aritmetik ortalama, tepe değer (mod), ortanca (medyan) kavramlarını ve merkezi yayılım ölçülerinden standart sapma, açıklık ve çeyrekler açıklığı kavramlarını, Merkezi eğilim ve yayılım ölçüleri yardımıyla veri gruplarını yorumlamayı. Neden Öğreneceğiz? Merkezi eğilim ve yayılım ölçülerini kullanarak gerçek/gerçekçi hayat durumlarını yorumlayabiliriz. Örneğin bireylerin başarılarını veya tercihlerini yorumlamada, bir sporcunun veya bir öğrencinin istikrarlı olup olmadığının yorumlanmasında, bir anket sonucunda elde edilen verileri doğru temsil yöntemleri ile göstermek ve birden fazla veri grubunun karşılaştırılmasında merkezi eğilim ve yayılım ölçülerinden yararlanabiliriz.

2 Bölüm 6.1. Merkezi Eğilim ve Yayılım Ölçüleri HAZIR MIYIZ? 1. Aşağıda verilen boşlukları aritmetik ortalama, ortanca, ve tepe değer kavramlarından uygun olanları yazarak doldurunuz. a) Bir veri grubunda verilerin toplamının veri sayısına bölümüne... denir. b) Bir veri grubunda en çok tekrar eden veriye... denir. c) Bir veri grubu küçükten büyüğe sıralandığında ortadaki değere...denir.. Büşra matematik dersi yazılılarında 58, 7 ve 8 almıştır. Büşra nın matematik yazılı notlarının aritmetik ortalaması kaçtır? 3. Bir grupta bulunan iki kişi 5, beş kişi 8, sekiz kişi 4 yaşındadır. Buna göre grubun yaş ortalaması kaçtır? 4. Aşağıdaki veri gruplarının ortanca (medyan) değerlerini bulunuz. a) 7, 99, 1 b) 1, 3, 15, c) 1,, 1,, 1,, 1 5. Aşağıdaki veri gruplarının tepe değerlerini (mod) bulunuz. a), 4, 1, 6, b) 8, 4, 4, 4, 7, 8, 5, 8 c) 4, 5, 6, 4, 5, 6 d) 1,, 3, 4 1

3 Bölüm 6.1. Merkezi Eğilim ve Yayılım Ölçüleri HAZIR MIYIZ? 6. Oyuncak satan bir dükkanın farklı günlerde sattığı top sayıları aşağıda verilmiştir., 5,, 6, 7, 9, 11, 8, 1, 1, 3 Bu verilerin; aritmetik ortalaması..., ortancası..., tepe değeri..., en büyük değeri..., en küçük değeri...dır. 7. Aşağıdaki ifadelerden doğru olanların solunda verilen boşluğa D, yanlış olanlara Y yazınız. Cevaplarınızı nedenleriyle açıklayınız. a. (...) Bir veri grubunda aritmetik ortalama her zaman en büyük değer ile en küçük değer arasındadır. b. (...) Bir veri grubunda ortanca değer veri grubuna ait olmak zorundadır. c. (...) Bir veri grubunda iki farklı tepe değer olabilir. ç. (...) Bir veri grubunun aritmetik ortalaması verilerin büyüklüğünden etkilenir. d. (...) Bir veri grubunun mod ve medyanı verilerin uç değerlerinin büyüklüğünden etkilenmez. 13

4 Bölüm 6.1 Merkezi Eğilim ve Yayılım Ölçüleri Neler Öğreneceğiz? Alt çeyrek, üst çeyrek, çeyrekler açıklığı ve standart sapma kavramlarını Merkezi eğilim ve yayılım ölçülerini kullanarak gerçek/gerçekçi hayat durumlarını yorumlamayı Anahtar Terimler Aritmetik ortalama Ortanca (Medyan) Tepe değer (Mod) En büyük değer En küçük değer Açıklık Standart sapma Alt çeyrek Üst çeyrek Çeyrekler açıklığı Merkezi Eğilim ve Yayılım Ölçüleri Başlarken Herhangi bir dersteki başarı durumunuz hakkında ne düşünüyorsunuz? Başarınız sınıfınızdaki öğrencilerle karşılaştırıldığında ne anlama gelmektedir? Herhangi bir amaca yönelik yapılmış bir anketin sonuçlarını neye göre ve nasıl yorumlamak gerekir? Bir basketbolcunun farklı maçlarda attığı sayılara bakarak istikrarı ve başarısı hakkında nasıl karar verebiliriz? Bu ve buna benzer soruları merkezi eğilim ve merkezi yayılım ölçülerini kullanarak yorumlayabiliriz. Daha önceki yıllarda aritmetik ortalama, ortanca, tepe değer, en büyük ve en küçük değer ve açıklık kavramlarını öğrenmiştik. Şimdi bu kavramları örneklerle hatırlayalım. 1 Bir marketin bir hafta içerisinde sattığı günlük ekmek sayıları aşağıdaki tabloda verilmiştir. Sembol ve Gösterimler X S Q 1 Günler Pazartesi Salı Çarşamba Perşembe Cuma Cumartesi Pazar Satılan Ekmek Sayısı Buna göre günlük ortalama kaç ekmek satıldığını bulmak için verilerin aritmetik ortalamasını hesaplayalım. Q 3 Q Aritmetik ortalamayı hesaplamak için bir hafta boyunca satılan toplam ekmek sayısını gün sayısına bölelim X = = = 5 7 Buna göre bu markette günlük ortalama 5 ekmek satılmıştır. 14

5 Merkezi Eğilim ve Yayılım Ölçüleri Bu veri grubunun ortanca (medyan), tepe değeri (mod), en küçük ve en büyük değer ile açıklığını bulmak için verileri küçükten büyüğe doğru sıralayalım Veri grubunda ortadaki değer dir. Veri grubu sıralandığında ortadaki değer ortanca (medyan) dır. Günlük satılan en fazla ekmek sayısı 45 olduğundan bu verilerin en büyük değerini, en az satılan ekmek sayısı da 15 olduğundan verilerin en küçük değerini gösterir. En büyük değer ile en küçük değer arasındaki fark olan = 3 ise verilerin açıklığını gösterir. Veriler incelendiğinde 15 sayısı 3 kez, sayısı 1 kez, 3 sayısı 1 kez, 35 sayısı 1 kez ve 45 sayısı 1 kez kullanılmıştır. En fazla tekrar eden sayı 15 olduğundan aynı zamanda bu sayı verilerin tepe değerini (mod) gösterir. Tepe değer bazı veri gruplarında birden fazla değer olabileceği gibi bazı veri gruplarında olmayabilir. Örneğin; 1,, 4, 4, 4, 5, 7, 7, 7, 8 veri grubunda 4 ve 7 sayıları diğerlerine göre en çok tekrar etmektedir. Bu nedenle veri grubunun tepe değeri 4 ve 7 dir. 1, 3, 6, 7, 8, 9 ve 1, 1, 1, 3, 3, 3, 6, 6, 6, 8, 8, 8 veri gruplarının tepe değeri yoktur. Çünkü her iki veri grubunun da diğerlerine göre daha çok tekrar eden herhangi bir elemanı yoktur. Sercan ın kütlesiyle (kg) ilgili arkadaşlarının tahminleri şu şekildedir: 46, 48, 44, 53, 47, 43, 44, 44 Bu veri grubunun merkezi eğilim ölçülerini bulalım. Anahtar Bilgi Aritmetik ortalama ( X ), bir veri grubundaki sayıların toplamının verilerin sayısına bölümüdür. x 1, x,..., x n için x X 1 + x + $$$ + x = n n Anahtar Bilgi Ortanca (medyan), bir veri grubu küçükten büyüğe sıralandığında veri grubunu eşit sayıda iki gruba ayıran değerdir. Tepe değer (mod), bir veri grubunda en çok tekrar eden sayıdır. En büyük değer, bir veri grubundaki en büyük sayıdır. En küçük değer, bir veri grubundaki en küçük sayıdır. Açıklık, en büyük değer ile en küçük değer arasındaki farktır. Merkezi eğilim ölçüleri aritmetik ortalama, ortanca ve tepe değerdir. Aritmetik ortalamayı verilerin toplamının veri sayısına bölünmesiyle hesaplayabiliriz. Aritmetik Ortalama: X = = = 46, Sercan ın ağırlık tahminlerinin ortalaması 46,15 kg dir. Anahtar Bilgi Bir veri grubunda aritmetik ortalama, tepe değer (mod) ve ortanca (medyan) merkezi eğilim ölçüleri olarak adlandırılır. 15

6 Bölüm 6.1 Merkezi Eğilim ve Yayılım Ölçüleri Ortanca ve tepe değeri bulmak için veri grubunu küçükten büyüğe sıralamalıyız. Dikkat Bir veri grubunda çift sayıda veri olması durumunda, ortanca; ortadaki iki terimin aritmetik ortalamasıdır. Yani, ortanca değer verilen veri grubunun içinde yer alan bir değer olmak zorunda değildir. 43, 44, 44, 44, 46, 47, 48, 53 Veri grubunda en çok tekrar eden değer 44 olduğundan tepe değeri 44 olur. Verileri sıraladığımızda ortadaki değer ortanca terimdir. Fakat veri grubunda 8 tane yani çift sayıda veri olduğundan ortanca terimi elde ederken ortadaki iki sayının ortalamasını almalıyız. Bu durumda veri grubu için Ortanca (meydan) = = 45 olarak bulunur. 3 İnceleyelim Merkezi eğilim ölçülerini verileri yorumlamada nasıl kullanırız? Bir veri grubunda aritmetik ortalama, ortanca ve tepe değer ne ifade eder? Acil servis çağrı merkezinde çalışan Aylin Hanım, son on gün içinde gelen asılsız ihbar sayılarını aşağıdaki gibi not etmiştir:,, 1,, 3,, 3,, 3, Buna göre merkezi eğilim ölçülerinden hangisinin ya da hangilerin veri grubunu iyi bir şekilde temsil edebileceğini bulalım. İlk olarak merkezi eğilim ölçülerinden aritmetik ortalamayı hesaplayalım: X = = 4 1 Elde ettiğimiz aritmetik ortalama diğerlerine göre sıra dışı bir değer olan ve veri grubunun en büyük değeri olan sayısından etkilenerek, gruptaki diğer tüm değerlerden daha büyük çıkmıştır. Dolayısıyla aritmetik ortalama, bu veri grubunu iyi şekilde temsil etmemektedir. Şimdi de verileri küçükten büyüğe doğru sıralayalım: 1,,,,,, 3, 3, 3, Ortanca değer ortadaki sayıların (5. ve 6. sıradaki) yani ve nin aritmetik ortalaması alınarak bulunur. Veri grubunda en çok tekrar eden değer olduğundan tepe değer, yani mod, dir. Bu durumda ortanca ve tepe değerlerinin günlük gelen asılsız ihbar sayılarını aritmetik ortalamaya göre daha iyi bir şekilde temsil ettiğini söyleyebiliriz. 16

7 Merkezi Eğilim ve Yayılım Ölçüleri Merkezi eğilim ölçülerini aşağıdaki veri grubu için bir grafik üzerinde inceleyelim.,,, 3, 4, 4, 6, 6, 6, 6, 6, 8, 9, 9, 1, 1, 13, 13, 13, 15, 17, 17, 1, 1, 1, 5, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 8, 9, 3, 3 Bu verileri ve tekrar sayılarını sırasıyla x ve y eksenlerine yazarak aşağıdaki grafiği oluşturalım. 6 Tepe değerleri Tekrar sayısı Ortanca Aritmetik ortalama Veri grubu Veri grubunda bulunan 36 verinin tepe değeri grafikte en çok tekrar eden değerler olan 6 ve 5 tir. Ortanca, veri grubunda 36 veri olduğu için grubun ortasındaki 18. ve 19. verilerin aritmetik ortalaması ile bulunur. Grafiği kullanarak 18. ve 19. verileri belirlemek için en küçük veri olan nin sıklık değeri olan 3 ile toplama işlemine başlayıp sırasıyla diğer verilerin sıklık değerleriyle toplama işlemine devam ederek sonucu 18 ve 19 yapan iki veri belirlenir. Bu durumda 18. ve 19. verilerin her ikisinin de 13 olduğu görülmektedir. O halde ortanca 13 tür. Grafikteki her bir veri sıklık değeri ile çarpılarak tüm verilerin toplamı hesaplanır. Bu toplam veri sayısına yani sıklık değerleri toplamına bölünerek aritmetik ortalama X = = olarak bulunur. 17

8 Bölüm 6.1 Merkezi Eğilim ve Yayılım Ölçüleri 4 Bir alışveriş merkezinin (AVM) giriş katında bulunan 13 mağazaya son bir saat içinde gelen müşteri sayıları aşağıdaki gibidir: 5, 6, 4, 4, 7, 8, 6, 141, 1, 4, 8, 7, 11 Buna göre AVM nin bu katına gelen müşteri sayılarını temsil eden en uygun merkezi eğilim ölçüsünü bulalım. Dikkat Bir veri grubunda ortanca ve tepe değer, uç değerlerden aritmetik ortalamaya göre daha az etkilenir. İlk olarak merkezi eğilim ölçülerinden aritmetik ortalamayı hesaplayalım; X = = Veri grubundaki aritmetik ortalamanın, veri grubunun en büyük değeri olan 141 hariç diğer bütün sayılardan büyük olduğu görülmektedir. Aritmetik ortalama bu örnekte olduğu gibi aşırı uç değerlerden kolay etkilendiğinden verilerin genel eğilimini tam olarak temsil etmeyebilir. Bu durumda aşırı uç değerlerden daha az etkilenen tepe ve ortanca değerlerini inceleyelim. Veri grubunun tepe ve ortanca değerlerini bulmak için verileri küçükten büyüğe doğru sıralayalım: 4, 4, 4, 5, 6, 6, 7, 7, 8, 8, 1, 11, 141 En çok tekrar eden veri 4 olduğundan veri grubunun tepe değeri 4 tür. 4 aynı zamanda veri grubunun en küçük değeridir. Ancak buradaki tepe değer en küçük değer olması nedeniyle bu veri grubu için verilerin genel eğilimini tam olarak temsil etmemektedir. Merkezi eğilim ölçülerinden ortanca değerin ise 7 olduğu görülmektedir. Veriler genel olarak incelendiğinde, ortancanın bu veri grubunu aritmetik ortalama ve tepe değere göre daha iyi temsil ettiği görülmektedir. Bazen merkezi eğilim ölçüleri karar vermede yeterli olmayabilir. Bu durumda karar verme sürecinde merkezi yayılım ölçülerinden faydalanırız. Bu durum için aşağıdaki örneği inceleyelim. 18

9 Merkezi Eğilim ve Yayılım Ölçüleri 5 Harun Bey, bir otomobil firmasının İzmir bayiliğini yapmaktadır. Bu firmanın aylık satış hedefi vardır. Harun Bey, aylık hedefi gerçekleştirebilmek için bir satış elemanı almaya karar verir. Aşağıdaki tabloda, kendisine başvuran iki adayın son 1 aya ait sattıkları otomobil sayılarının merkezi eğilim ve yayılım ölçüleri verilmiştir. Aritmetik ortalama Ortanca Tepe değer Açıklık Oğuz 8, Sercan 7, Buna göre a. Harun Bey in satması gereken 9 otomobil olduğu bir ayda hangi satış elemanını tercih etmelidir? b. Satılması gereken 14 otomobil olduğunda Harun Bey hangi satış elemanını tercih etmelidir? Problemde verilenlere göre kişilerin aylık satış ortalamalarını gösteren aritmetik ortalamalar birbirine çok yakın değerlerdir. Bu durumda aritmetik ortalamaya göre karar vermek sağlıklı olmayabilir. a. Oğuz un satış performansına göre ortanca değeri 9 olduğundan son 1 ayın yarısı olan 5 aylık dilimde aylık minimum 9 tane otomobil satışı yaptığı görülmektedir. Sercan ın satışlarının ortancası 6 olduğu için son 1 ayın 5 ayında aylık minimum satışı 6 otomobildir. Harun Bey in bu durumda aritmetik ortalamaları birbirine yakın olan Oğuz ve Sercan dan, Oğuz u seçmesi daha uygun olacaktır. Dikkat Açıklık uç değerlerden etkilenen bir merkezi yayılım ölçüsüdür. Merkezi yayılım ölçülerinden çeyrekler açıklığı uç noktaların büyüklüğünden etkilenmediğinden veri grubunun dağılımı hakkında açıklığa göre daha iyi bilgi vermektedir. b. Oğuz un satış sayılarının en küçük değeri en fazla 6 (tepe değer 6), açıklığı da 5 olduğu için Oğuz un en yüksek aylık satışı en fazla 11 olabilir. Sercan ın satış sayılarının açıklığı 15 olduğundan aylık satış sayısının en küçük değeri sıfır olsa bile en azından bir aylık satış sayısı 15 dir. Bu yüzden Harun Bey in Sercan ı seçmesi uygun olacaktır. 19

10 Bölüm 6.1 Merkezi Eğilim ve Yayılım Ölçüleri Anahtar Bilgi Ortanca Q ile gösterilmektedir. Bir veri grubunda veriler küçükten büyüğe sıralandığında ortanca (medyan), veri grubunu terim sayıları eşit olacak şekilde iki gruba ayırır. Sol tarafta kalan veri grubuna alt grup, sağ tarafta kalan veri grubuna da üst grup denir. Alt grubun ortancasına alt çeyrek (Q 1 ), Üst grubun ortancasına üst çeyrek (Q 3 ) denir. Üst çeyrek ile alt çeyrek arasındaki farka ise çeyrekler açıklığı denir. Örneğin,, 6, 9, 1, 7, 8, 11 değerlerinden oluşan veri grubunun alt çeyreğini, üst çeyreğini ve çeyrekler açıklığını bulmak için öncelikle veriler küçükten büyüğe doğru sıralanır., 6, 7, 8, 9, 1, 11 8 sayısı veri grubunun ortasındaki sayı olduğundan ortanca (Q ) dır. Ortanca veri grubunu alt ve üst çeyrek olmak üzere ikiye ayırmıştır. Bu durumda verileri alt grup:, 6, 7 üst grup: 9, 1, 11 şeklinde yazılır. Alt grubun ortancası 6 olduğundan alt çeyrek Q 1 = 6 Üst grubun ortancası 1 olduğundan üst çeyrek Q 3 = 1 bulunur. Çeyrekler açıklığı ise 1 6 = 4 bulunur. Yukarıdaki tanımlanmış olan terimleri aşağıdaki veri grupları için de inceleyebiliriz. 4, 3, 4, 5, 8, 1, 1, 11, 7, 1 veri grubunun alt ve üst çeyrekleri ile çeyrekler açıklığı; Alt Grup Üst Grup 3, 4, 4, 5, 7, 8, 1, 1, 11, 1 Q = Q = + = 7, 5 Q = 1 3 Çeyrekler açıklığı=q 3 Q 1 =1 4 = 6 olur. Veri grubu 6, 5, 4,,, 11, 14, 5, 9, 5, 18, 16, 3, 13, 1, 7 olursa alt ve üst çeyrekleri ile çeyrekler açıklığı; Alt Grup Üst Grup 5, 5, 6, 7, 9, 11, 1, 13, 14, 16, 18,,, 3, 4, Q1 = = 8 Q = + = 13,5 Q 3 = + = 1 Çeyrekler açıklığı=q 3 Q 1 =1 8=13 olacaktır. 11

11 Merkezi Eğilim ve Yayılım Ölçüleri 6 Ali nin okulda düzenlen kitap kurdu etkinliğinde dokuz gün boyunca kaç sayfa kitap okuduğu aşağıdaki tabloda verilmiştir. Günler Sayfa sayıları Tablodaki veri grubunun alt çeyreğini, üst çeyreğini ve çeyrekler açıklığını bulalım. Verileri öncelikle küçükten büyüğe doğru sıralayalım Ortanca Anahtar Bilgi Alt çeyrek alt grubu eşit sayıda iki gruba; üst çeyrek üst grubu eşit sayıda iki gruba ayırır. Veri grubunun ortanca değeri 7, en küçük değeri ve en büyük değeri ise 3 dir. Alt çeyrek ve üst çeyrek hesaplanırken alt grubun ve üst grubun ortanca değerlerini buluruz Ortanca (medyan) Alt çeyrek Üst çeyrek 4 6 Q1 = = 5 dir. Q3 = + = 9 dur. Veri grubunun çeyrekler açıklığı ise üst ve alt çeyreğin farkı olduğundan, 9 5 = 4 olur. 111

12 Bölüm 6.1 Merkezi Eğilim ve Yayılım Ölçüleri Anahtar Bilgi Standart sapma, bir sayı dizisindeki elemanların aritmetik ortalamaya yakın olup olmadığı hakkında bilgi verir. Standart sapmanın küçük olması veri grubundaki değerlerin aritmetik ortalamaya yakın olduğunu gösterir. Açıklık ve çeyrekler açıklığı da merkezi yayılımı etkileyen değerler hakkında yeterli bilgi vermeyebilir. Bu durumda ise verilerin standart sapması veri grubu hakkında doğru yorum yapmamıza yardımcı olur. Bir veri grubunun standart sapma değeri aşağıdaki adımlar gerçekleştirilerek bulunur. 1. Verilerin aritmetik ortalaması bulunur.. Her bir veri ile aritmetik ortalama arasındaki fark bulunur. 3. Bulunan farkların her birinin karesi alınır ve elde edilen sayılar toplanır. 4. Bu toplam, veri sayısının 1 eksiğine bölünür ve çıkan sonucun karekökü alınır. Anahtar Bilgi Standart sapma, açıklık ve çeyrekler açıklığı merkezi yayılım ölçüleridir. Yukarıdaki adımları uygulayarak standart sapmanın formülünü oluşturalım. Veri grubumuz n elemanlı olsun ve grubun aritmetik ortalaması X olsun. Verilerde x 1, x, x 3,, x n şeklinde ise standart sapma (S); S = ( x1 - X) + ( x - X) + ( x3 - X) ( xn - X) n - 1 ile hesaplanır. Verilen bir veri grubunun standart sapmasının nasıl hesaplandığını bir örnek üzerinde gösterelim. 7 Bir sinema salonunda gösterimde olan bir filmi geçen hafta 1.3 seansında izleyenlerin sayısı aşağıdaki tabloda verilmiştir. Günler İzleyici sayısı İzleyici sayılarından oluşan bu veri grubunun standart sapmasını hesaplayalım. 11

13 Merkezi Eğilim ve Yayılım Ölçüleri Veri grubunun standart sapmasını hesaplayabilmemiz için öncelikle aritmetik ortalamasını bulmalıyız X = = 64 ' tür. 7 Standart sapma değeri için her bir değerin aritmetik ortalamayla farkını ve farkların karelerini bulmalıyız. İnceleyelim Sinema örneğinde her bir seanstaki izleyici sayısı 1 fazla olduğunda aritmetik ortalama ve standart sapma nasıl değişir? Veri (x i ) Aritmetik ortalama Fark: Veri Aritmetik Farkın karesi ( X ) ortalama (xi X (xi X Toplam 118 Veri grubundaki sayıların aritmetik ortalamayla farklarının kareleri toplamı 118 olduğu görülmektedir. Veri grubunun eleman sayısı 7 olduğundan standart sapma; S = Farklarınkareleri toplamı , 5 Veri grubundaki eleman sayıı s - 1 = 7-1 = bulunur. 8 Aynı okuldaki 1-A ve 1-B şubelerini okutan Serpil ve Mine Öğretmen in sınıflarındaki öğrencilerin dakikada okudukları kelime sayılarının aritmetik ortalamaları ve standart sapmaları aşağıdaki tabloda verilmiştir. Şube Aritmetik ortalama (kelime/dk) Standart Sapma 1-A 55 4, 1-B 55 7,9 Buna göre, Serpil ve Mine Öğretmen in öğrencilerinin okuma hızlarıyla ilgili ne söylenebilir? İnceleyelim. 113

14 Bölüm 6.1 Merkezi Eğilim ve Yayılım Ölçüleri Her iki şubedeki öğrencilerin dakikada okudukları ortalama kelime sayısı aynıdır: 55 kelime/dk. Standart sapmaları ise 1-A ve 1-B şubeleri için sırasıyla 4, ve 7,9 dur. Her iki sınıfın aritmetik ortalaması aynı olduğundan okuma hızlarının aynı olduğu düşünülebilir. Ancak standart sapma, bir sayı dizisindeki elemanların aritmetik ortalamaya yakın olup olmadığı hakkında bilgi vermektedir. Bu durumda, 1-A sınıfının standart sapmasının 1-B ye göre küçük olması, 1-A sınıfındaki öğrencilerin okuma hızlarının 1-B deki öğrencilere göre birbirine daha yakın olduğunu göstermektedir. Diğer bir deyişle 1-A sınıfındaki öğrencilerin okuma hızları, 1-B sınıfındaki öğrencilerin okuma hızlarına göre daha az değişiklik/değişkenlik göstermektedir. 9 Damla ve Burcu nun fizik yazılılarından almış oldukları notların aritmetik ortalamaları ve standart sapmaları aşağıdaki tabloda verilmiştir. Aritmetik ortalama Standart sapma Damla 7 1 Burcu 68 3 Öğrencilerden hangisinin yazılı sonuçlarının daha istikrarlı olduğuna karar verelim. 114

15 Merkezi Eğilim ve Yayılım Ölçüleri Standart sapmanın bir veri grubundaki sayıların aritmetik ortalamaya yakınlığı veya uzaklığı ile ilgili bilgi verdiğini biliyoruz. Yani standart sapma ne kadar küçükse veri grubundaki sayılar birbirine o kadar yakındır. Damla nın notlarının aritmetik ortalaması, Burcu nun notlarının aritmetik ortalamasından daha fazla olduğu için Damla nın daha başarılı olduğunu söyleyebiliriz. Fakat Burcu nun notlarının aritmetik ortalaması az olmasına rağmen standart sapması çok küçüktür. Bu ise Burcu nun notlarının aritmetik ortalamaya daha yakın olduğunu gösterir. Dolayısıyla Burcu nun standart sapması küçük olduğundan yazılı notları daha istikrarlıdır. 1 Öğretmenleri Hüseyin ve Cemre den birini matematik yarışmasına seçmek amacıyla farklı günlerde 36 sorudan oluşan 8 adet deneme uygulamıştır. Öğrencilerin denemede yaptıkları net sayıları aşağıdaki tabloda verilmiştir. Öğrenci Deneme Hüseyin Cemre Öğretmenin hangi öğrenciyi matematik yarışmasına seçmesinin daha uygun olacağına karar verelim. 115

16 Bölüm 6.1 Merkezi Eğilim ve Yayılım Ölçüleri Öğretmenin seçim yaparken denemelerde yüksek net yapan ve bu netlerde istikrarlı olan öğrenciyi tercih etmesi gerekmektedir. Hüseyin ve Cemre nin matematik netlerinin aritmetik ortalamalarını hesaplayalım. Hüseyin in netlerinin aritmetik ortalaması: = 1 Cemre nin netlerinin aritmetik ortalaması: = 1 8 Hüseyin ve Cemre nin netlerinin aritmetik ortalamaları aynı olduğundan standart sapmaları da incelenmelidir. Hüseyin in netlerinin standart sapması: S = ( 1-7) + ( 1-9) + ( 1-11) + ( 1-6) + ( 1-13) + ( 1-8) + ( 1-1) + ( 1-14) ( 8-1) = = ( 3) + ( 1) + (- 1) + ( 4) +- ( 3) + ( ) + (- ) + (- 4) ( 8-1) , Cemre nin netlerinin standart sapması: S = ( 1-5) + ( 1-16) + ( 1-9) + ( 1-17) + ( 1-4) + ( 1-9) + ( 1-1) + ( 1-8) ( 8-1) S = S = ( 5) +- ( 6) + ( 1) + (- 7) + ( 6) + ( 1) + (- ) + ( ) ( 8-1) , Hüseyin in yaptığı netlerin standart sapması, Cemre nin netlerinin standart sapmasından daha küçük olduğundan Hüseyin in tercih edilmesi, daha isabetli bir karar olacaktır. 116

17 MATEMATİK ATÖLYESİ Bu atölye çalışmasında merkezi eğilim ve yayılım ölçülerinin günlük hayat durumlarını modelleme ve karar vermede nasıl kullanılacağının, öğrencilerin kitap okuma performanslarının karşılaştırılması bağlamında incelenmesi amaçlanmıştır. Araç ve Gereçler: Hesap makinesi veya elektronik tablo yazılımı Kütüphane Bir lisede kütüphanecilik kulübü düzenlediği etkinlikte en çok kitap okuyan üç öğrenciye ödül vermeyi planlamaktadır. Kütüphane kayıtları incelenerek Pelin, Ersin, Ayten, Beril ve Ziya nın toplamda en çok kitap ödünç alan öğrenciler olduğu tespit edilmiştir. Aşağıda bu öğrencilerin aylara göre ödünç aldıkları kitap sayıları verilmiştir. Aylar Ekim Kasım Aralık Ocak Şubat Mart Nisan İsimler Pelin Ersin Ayten Beril Ziya Aşağıdaki tabloda istenilen merkezi eğilim ve yayılım ölçülerini hesaplayınız. Pelin Ersin Ayten Beril Ziya En büyük değer En küçük değer Ortanca Tepe değer Açıklık Alt çeyrek Üst çeyrek Çeyrekler açıklığı Aritmetik ortalama Standart sapma Kütüphanecilik kulübünün ödüllendireceği üç öğrenci kimler ve hangi sıralama ile olmalıdır? Neden? 117

18 MATEMATİK ATÖLYESİ Bu atölye çalışmasında merkezi eğilim ve yayılım ölçülerinin günlük hayat durumlarını modelleme ve karar vermede nasıl kullanılacağının üç basketbol oyuncusunun performanslarının yorumlanması bağlamında incelenmesi amaçlanmıştır. Araç ve Gereçler: Hesap makinesi veya elektronik tablo yazılımı Basketbol Yaşadığı şehrin belediye basketbol takımının koçluğunu yapan Fatih Bey in transfer etmeyi düşündüğü Turgay, Erdem ve Mert in oynadıkları son 9 maçta attıkları basket sayıları aşağıdaki tabloda verilmektedir. Maçlar Oyuncu Turgay Erdem Mert Aşağıdaki tabloda istenilen merkezi eğilim ve yayılım ölçülerini hesaplayınız. Turgay Erdem Mert En büyük değer En küçük değer Ortanca Tepe değer Açıklık Alt çeyrek Üst çeyrek Çeyrekler açıklığı Aritmetik ortalama Standart sapma Siz bu takımın koçu olan Fatih Bey in yerinde olsaydınız ve takıma istikrarlı bir oyuncu transfer etmek isteseydiniz hangi oyuncuyu tercih ederdiniz? Gerekçelerinizle açıklayınız. 118

19 Merkezi Eğilim ve Yayılım Ölçüleri 11 Matematik öğretmeni olan Kübra Hanım, her yıl TÜBİTAK tarafından gerçekleştirilen matematik olimpiyatlarında okullarını temsil etmek üzere iki öğrenci seçmektedir. Yıl içinde yaptığı on sınavdan ilk üçe giren Dilara, Enes ve Kıvanç ın bu sınavlardan aldıkları notlar aşağıda verilmiştir. Dilara Enes Kıvanç Kübra Hanım, matematik olimpiyatında okullarını temsil etmeleri için hangi iki öğrenciyi seçmelidir? Öncelikle her üç öğrencinin aldıkları notların aritmetik ortalamasını bulalım Dilara nın aritmetik ortalaması = 1 = 79 Enes in aritmetik ortalaması = = Kıvanç ın aritmetik ortalaması = = 79 1 Aritmetik ortalamalardan seçilecek iki kişiden birincisinin Enes olacağı anlaşılmaktadır. İkincisi için aritmetik ortalama ile karar veremeyeceğiz. Çünkü Dilara ve Kıvanç ın aritmetik ortalamaları eşittir. İkinci öğrenciyi belirleyebilmek için standart sapmalarına bakalım. Dilara nın notlarının standart sapması; S = ( 81-79) + ( 83-79) + ( 79-79) + ( 78-79) + ( 74-79) + ( 77-79) + ( 75-79) + ( 83-79) + ( 8-79) + ( 78-79) 1-1 Kıvanç ın notlarının standart sapması; S = ( 88-79) + ( 75-79) + ( 95-79) + ( 63-79) + ( 7-79) + ( 61-79) + ( 88-79) + ( 89-79) + ( 75-79) + ( 86-79) ,. 11, 83 dir. Dilara nın notlarının standart sapması Kıvanç ın standart sapmasından daha küçük olduğu için Dilara, Kıvanç a göre daha istikrarlı bir not dağılımına sahiptir. Bu yüzden olimpiyatlarda okulu temsilen Enes ile birlikte ikinci olarak Dilara nın seçilmesi daha uygun olacaktır. 119

20 Bölüm 6.1 Merkezi Eğilim ve Yayılım Ölçüleri 1 Ayşe ile Zeynep aynı okulun farklı iki şubesinde okumaktadır. Zeynep ve Ayşe nin Türkçe dersinin ortak yapılan sınavından aldıkları notlar ve bulundukları sınıfların bu sınava ait aritmetik ortalamaları ve standart sapmaları aşağıdaki tabloda verilmiştir. Aldığı not Aritmetik ortalaması Sınıfın Standart sapması Ayşe Zeynep 8 65 Kızların bulunduğu sınıf mevcutları aynı ise kimin sınıf içindeki başarı sıralaması daha iyidir? Ayşe ile Zeynep in Türkçe dersinin sınavından aldıkları notlar ve sınıflarının aritmetik ortalamaları eşittir. Sınıfların standart sapmaları farklı olduğundan sınav notlarının sınıf içindeki dağılımları da farklıdır. Ayşe nin bulunduğu sınıfın standart sapması, Zeynep in bulunduğu sınıfın standart sapmasından daha küçük olduğu için; bu sınıfın notları aritmetik ortalamaya diğer sınıfın notlarına göre daha yakındır. Yani Ayşe nin sınıfında aritmetik ortalamaya yakın olan öğrenci sayısı, Zeynep in sınıfındaki aritmetik ortalamaya yakın olan öğrenci sayısından daha fazladır. Böylece Ayşe daha çok öğrenciyi geride bırakmıştır. O halde aynı notlara sahip olan kızlardan Ayşe nin sınıf içi sıralaması Zeynep e göre daha iyidir. 1

21 Merkezi Eğilim ve Yayılım Ölçüleri KENDİMİZİ SINAYALIM Kavrama ve Muhakeme 1. Kütüphanecilik kulübü öğrencilerinden on beşinin aylık okudukları kitap sayıları aşağıda verilmiştir. 3, 6, 5, 7, 9, 9, 9, 7, 7, 15, 1, 13, 9, 4, 5 Bu veri grubu ile ilgili aşağıda verilen boşluklara aritmetik ortalaması, ortancası, tepe değeri ve açıklığı ifadelerinden uygun olanı yazınız. a. Okunan kitap sayılarının... 7 dir. b. Okunan kitap sayılarının... 1 dir. c. Okunan kitap sayılarının... 9 dur. ç. Okunan kitap sayılarının... 8 dir. 3. Akın ile Batuhan aynı yerde çalışan iki berberdir. İkisinin de bir hafta boyunca tıraş ettikleri müşteri sayısı aşağıdaki tabloda verilmiştir. Pazartesi Salı Çarşamba Perşembe Cuma Cumartesi Akın Batuhan Hangi berberin müşteri sayısı günlere göre daha fazla değişkenlik göstermektedir? Cevabınızı nedenleriyleaçıklayınız.. Bir beyaz eşya firmasına ait iki bayinin bir yıl boyunca haftalık ortalama sattıkları beyaz eşya sayısı ve standart sapmaları aşağıdaki tabloda verilmiştir. Aritmetik ortalama Standart Sapma 4. Çocuklar için tişört üretimi yapan Osman Bey, tişörtlerin üzerine hangi çizgi film karakterlerinin baskısını yapacaklarına dair bir anket uygulamaya karar verir. Bu anketin sonuçlarının değerlendirmesinde aşağıda verilen merkezi eğilim ve yayılım ölçülerinden hangisini kullanmalıdır? Cevabınızı nedenleriyle açıklayınız. Bayi ,7 Bayi 78 3,9 Hangi bayi daha iyi satış yapmaktadır? Neden? a. Aritmetik ortalama b. Tepe değer c. Ortanca ç. Standart sapma d. Çeyrekler açıklığı 11

22 Merkezi Eğilim ve Yayılım Ölçüleri KENDİMİZİ SINAYALIM Alıştırmalar 1. 3, 7, 6, 19, 34, 58, 6, x, 36, 4, 4, 38 Yukarıdaki verilerin tepe değerlerinden biri 7 olduğuna göre, bu veri grubunun aritmetik ortalamasını, ortancasını, standart sapmasını, açıklığını, alt çeyreğini, üst çeyreğini ve çeyrekler açıklığını belirleyiniz.. Bir belediye otobüsü kendi güzergâhında bir günde 9 sefer yapmaktadır. Haftanın belirli bir gününde taşıdığı yolcu sayıları aşağıdaki tabloda verilmiştir. Sefer No Yolcu sayısı Yolcu sayılarının merkezi eğilim ve yayılım ölçülerini hesaplayınız. 3. Bir simitçinin beş gün boyunca sattığı simit sayıları şöyledir: 75, 1, 9, 4, 8 dir. Bu sayıların standart sapmasını bulunuz. 1

23 Merkezi Eğilim ve Yayılım Ölçüleri BÖLÜM ÖZETİ Merkezi Eğilim Ölçüleri Aritmetik Ortalama X, bir veri grubundaki sayıların toplamının verilerin sayısına bölümüdür. x1, + x xn x1, x,..., xn için X = dir. n Ortanca (medyan), bir veri grubu küçükten büyüğe sıralandığında veri grubunu eşit sayıda iki gruba ayıran değerdir. Tepe değer (mod), bir veri grubunda en çok tekrar eden sayıdır. Bir veri grubunda aritmetik ortalama, tepe değer (mod) ve ortanca (medyan) merkezi eğilim ölçüleri olarak adlandırılır. Merkezi Yayılım Ölçüleri Açıklık, bir veri grubundaki en büyük değer ile en küçük değer arasındaki farka denir. Çeyrekler Açıklığı, bir veri grubunda veriler küçükten büyüğe sıralandığında ortanca (medyan) terim, veri grubunu terim sayıları eşit olacak şekilde iki gruba ayırır. Sol tarafta kalan veri grubuna alt grup, sağ tarafta kalan veri grubuna da üst grup denir. Alt grubun ortancasına alt çeyrek (Q 1 ), Üst grubun ortancasına üst çeyrek (Q 3 ) denir. Üst çeyrek ile alt çeyrek arasındaki farka ise çeyrekler açıklığı denir. Standart Sapma, n elemanlı bir veri grubu grubunun aritmetik ortalaması X olsun. Verilerde x 1,x,x 3,...,x n şeklinde ise standart sapma (S); S = ( x1- X) + ( x - X) + ( x3- X)...( xn - X) n - 1 ile hesaplanır. Merkezi Eğilim Ve Yayılım Ölçülerinin Yorumlanması Bir veri grubunda ortanca ve tepe değer, uç değerlerden aritmetik ortalamaya göre daha az etkilenir. Açıklık uç değerlerden etkilenen bir merkezi yayılım ölçüsüdür. Çeyrekler açıklığı ise uç noktaların büyüklüğünden etkilenmediğinden veri grubunun dağılımı hakkında açıklığa göre daha iyi bilgi vermektedir. Alt çeyrek alt grubu eşit sayıda iki gruba, üst çeyrek üst grubu eşit sayıda iki gruba ayırır. Standart sapma, bir sayı dizisindeki elemanların aritmetik ortalamaya yakın olup olmadığı hakkında bilgi verir. Standart sapmanın küçük olması veri grubundaki değerlerin aritmetik ortalamaya yakın olduğunu gösterir. 13

24 Bölüm Merkezi Eğilim ve Yayılım Ölçüleri BÖLÜM DEĞERLENDİRME 1. Aşağıdaki ifadelerde boşlukları uygun şekilde doldurunuz. a. Veri grubundaki değerlerin toplanarak veri sayısına bölünmesiyle elde edilen değere... denir. b. Bir veri grubunda en çok tekrar eden değere o veri grubunun... denir. c. Aritmetik ortalama, ortanca ve tepe değer ölçüleri olarak adlandırılır. ç. Son çeyrek ile ilk çeyrek arasındaki fark değerini verir. d. Açıklık ve standart sapma... ölçüleri olarak adlandırılır. e. Bir veri grubunda en büyük değer ile en küçük değer arasındaki farka... denir.. Bir mahallede küçük bir bakkal dükkânı olan Ferhat Amca, 7 günlük sattığı ürünlerden elde ettiği gelirleri bir sonraki hafta değerlendirmek için aşağıdaki şekilde bir deftere yazıyor. 4. Bir sınıf öğretmeni öğrencileri için gezi planlamaktadır. Sınıfa gidilebilecek gezi yerleri için bir anket uygulanacaktır. Öğretmen, bu anket sonuçlarını aşağıdaki merkezi eğilim yayılım ölçülerinden hangisini kullanarak değerlendirmelidir? A) Aritmetik ortalama B) Çeyrekler açıklığı C) Tepe değer D) Ortanca E) Standart Sapma 5. Bir okuldaki Kızılay kulübünün başkanlık seçimine dokuz aday katılmaktadır. Bu adayların kulüp üyelerinden aldıkları oylar aşağıdaki gibidir. 9, 8, 7, 8, 9, 8, 1, 9, 7 Alınan oy sayılarından oluşan bu veri grubunun en büyük değer, en küçük değer, aritmetik ortalama, ortanca, tepe değer ve açıklığını bulunuz. Bu veri grubundan en büyük ve en küçük değeri çıkardıktan sonra merkezi eğilim ölçülerini yeniden belirleyiniz. Bu durumda veri grubundaki en küçük ve en büyük değer; merkezi eğilim ölçülerinden hangisini en çok etkilemektedir? 1.gün.gün 3.gün 4.gün 5.gün 6.gün 7.gün 11 TL 8 TL 15 TL 95 TL 97 TL 19 TL 4 a. Ferhat Amca geçen haftanın verilerine göre bir günde ortalama ne kadar kazanmıştır? b. Ferhat Amca en fazla kazandığı 4 TL den en az kazandığı 8 TL yi çıkarırsa istatistiksel olarak neyi bulmuş olur? 3. Tarih öğretmeni Rıza Bey in 9. sınıflar için yaptığı ortak sınavın sonuçlarına göre 5 öğrencisi olan A şubesinin aritmetik ortalaması 65, 8 öğrencisi olan B şubesinin aritmetik ortalaması 55 ve 7 öğrencisi olan C sınıfının aritmetik ortalaması 67 dir. Buna göre bu şubelerde sınava giren tüm öğrenciler düşünüldüğünde sınavın aritmetik ortalaması kaçtır? 6. 6, 9, 1, 8, 1, 1, 1, 11, 1 veri grubuna göre; açıklık, alt çeyrek, üst çeyrek ve çeyrekler açıklığını bulunuz. 7. Bir hastanede 11 Nisan 13 Perşembe günü doğan çocukların boy ölçümleri aşağıdaki gibidir. 4 cm, 46 cm, 5 cm, 48 cm, 47 cm, 46 cm ve 49 cm dir. Bu veri grubunun; a. En küçük ve en büyük değerini bulunuz. b. Açıklığını bulunuz. c. Ortancasını bulunuz. ç. Alt ve üst çeyreğini bulunuz. d. Çeyrekler açıklığını bulunuz. 14

25 Bölüm Merkezi Eğilim ve Yayılım Ölçüleri BÖLÜM DEĞERLENDİRME 8. 4 soruluk matematik testinden on öğrencinin net sayıları 35, 7, 5, 3, 8, 3, 18, 3, 6, 1 şeklindedir. Bu veri grubunun en küçük ve en büyük değer, açıklık, ortanca, alt ve üst çeyrek ve çeyrekler açıklığını bulunuz adet yaş değerinin olduğu ve bu değerlerin aritmetik ortalamasının, ortancasının 18 ve çeyrekler açıklığının olacağı bir veri grubu oluşturunuz. 1. Kuyumcu Servet Bey sattığı ürünlerle ilgili televizyon ve radyo kanallarına reklam veriyor. 9. Günümüzde en tehlikeli hastalıklardan biri olan şeker hastalığı insanların yaşamlarını olumsuz etkilemektedir. Özel bir hastanede 35 erkek üzerinde yapılan açlık kan şekeri (mg/dl) ölçümleri aşağıdaki tabloda verilmiştir. Açlık kan şekeri (mg/dl) Erkek sayısı Bu verilerin alt çeyrek değerinden büyük, üst çeyrek değerinden küçük değerlere sahip erkekler şeker hastalığına aday olduğuna göre, grupta şeker hastalığına aday kaç erkek vardır? 1. a + 1, a + 3, a + 4, a + 6, a + 1 Veri grubunun alt çeyreği ile üst çeyreğinin toplamı 16 olduğuna göre Tv reklamını izleyen müşteriler Radyo reklamını duyan müşteriler 1.gün.gün 3.gün 4.gün TV reklamını izleyen müşteriler ve radyo reklamını duyan müşteriler kuyumcu Servet Bey in işyerine gelip ürün alıyorlar. Sizce ürünlerin tanıtımı için hangi reklam daha istikrarlıdır? 13. Aşağıdaki veri gruplarından hangisinin standart sapması daha büyüktür? a), 5, 3, 35 b) 1, 1, 14, 16 c) 45, 46, 47, 48 ç) 6, 1, 18, 4 d) 3, 33, 36, 39 a. a değerini bulunuz. b. Alt ve üst çeyreği bulunuz. c. Veri grubuna 18 sayısı eklenirse elde edilen yeni veri grubunun çeyrekler açıklığını bulunuz. 15

26 Bölüm Merkezi Eğilim ve Yayılım Ölçüleri BÖLÜM DEĞERLENDİRME 14. Caner in matematik ve fizik derslerinden aldığı notlar ile sınıfın bu derslerdeki aritmetik ortalamaları ve standart sapmaları aşağıdaki tabloda verilmiştir. Aldığı not Aritmetik ortalaması Sınıfın Standart sapması Matematik Fizik Aşağıda verilen durumlara uygun birer veri grubu oluşturunuz. a. Tepe değeri, ortancasından büyük olan b. Tepe değeri, aritmetik ortalamasından büyük olan c. Standart sapması sıfır olan ç. Aritmetik ortalama, ortanca ve tepe değeri eşit olan Buna göre Caner in hangi derste sınıf içerisindeki başarı sıralaması daha iyidir? öğrencinin bulunduğu bir sınıfta kimya ve coğrafya derslerinin yazılı notları aşağıdaki gibidir. Kimya: 45, 5, 6, 4, 31, 58, 48, 17, 57, 55, 55, 57, 3, 5, 59, 49, 17, 68, 37, 5, 35, 56, 59, 4 Coğrafya: 6, 65, 53, 64, 57, 8, 3, 74, 35, 78, 6, 1, 45, 5, 9, 6, 15, 7, 49, 57, 6, 5, 43, 15 a. Her bir ders için sınıfın aritmetik ortalamasını ve standart sapmasını hesaplayınız. b. Sınıftaki öğrencilerden Aydın, kimya ve coğrafya derslerinin her ikisinden de 85 almıştır. Aydın ın hangi dersteki başarı sırası daha iyidir? Neden? 18. Aşağıda verilen aritmetik ortalama, ortanca, tepe ve açıklık değerleri için beş sayılık bir veri grubu oluşturunuz. Aritmetik ortalama Ortanca Tepe değer Açıklık Veri grubu Veri Grubu 1 Veri Grubu Veri Grubu Matematik Öğretmeni Celal Hoca. dönemin son yazılısında öğrencilerine 18 soruluk bir test sınavı uygulamıştır. Öğrencilerinden 3 kişi 18 soruya, kişi 17 soruya, 4 kişi 16 soruya, 8 kişi 14 soruya ve 3 kişi de 1 soruya doğru cevap vermiştir. Doğru cevap sayılarının oluşturduğu sayı dizisinin; a. Standart sapmasını bulunuz. b. Çeyrekler açıklığını bulunuz. 16

27 Ünite 6 VERİ, SAYMA VE OLASILIK Bölüm 6.. Verilerin Grafikle Gösterilmesi Bu Bölümde Neler Öğreneceğiz? Verileri; sütun, histogram, çizgi ve daire grafikleriyle göstermeyi Grafikler yardımıyla veriler hakkında yorum yapmayı Kesikli ve sürekli veri türlerini Serpme ve kutu grafikleri oluşturularak yorumlamayı Neden Öğreneceğiz? Ülkemizdeki nüfus artışı dikkate alınarak önümüzdeki 15- yıl içindeki yakıt tüketimimiz ne olacaktır? 1 yıl boyunca ülke nüfusunun durumuna göre 1 yıl sonraki durum ne olabilir? gibi soruları elimizdeki verileri uygun grafiklerle göstererek ve yorumlayarak cevaplayabiliriz. Veriler farklı grafik türleriyle özetlenebilir ve yorum yapılabilir. Yapılan yorumların isabetli olabilmesi verilerin uygun grafiklerle gösterilmesine bağlıdır.

28 Bölüm 6.. Verilerin Grafikle Gösterilmesi HAZIR MIYIZ? 1. Aşağıdaki sütun grafiği basketbol okul takımında olan Ahmet ile Taha nın maçlarda attığı sayıları göstermektedir. Grafiğe göre; Basket Sayısı 4 Ahmet 18 Taha Maçlar 1. Maç. Maç 3. Maç 4. Maç a. Ahmet en az sayı hangi maçta atmıştır? b. Taha en fazla sayı hangi maçta atmıştır? c. Ahmet ve Taha toplam en az sayı hangi maçta atmışlardır? ç. Tüm maçlarda Ahmet ve Taha dan hangisi toplamda daha çok sayı atmıştır?. Kastamonu ilinin bir haftalık sıcaklık grafiği aşağıdaki çizgi grafiğinde verilmiştir. Bu grafiğe göre; Sıcaklık Pazartesi Salı a. Haftanın en sıcak günü hangisidir? b. Haftanın en soğuk günü hangisidir? Çarşamba Perşembe Cuma Cumartesi Pazar Günler c. Hangi ardışık iki gün arası en fazla sıcaklık değişimi olmuştur? 18

29 Bölüm 6.. Verilerin Grafikle Gösterilmesi HAZIR MIYIZ? 3. Mavi kapak kampanyasına katılan 9. sınıfların bir haftada topladığı mavi kapak sayıları aşağıdaki daire grafiğinde gösterilmiştir. 75 Mavi kapak / A 9 / B 9 / C Bu grafikte verilenlere göre; a. Toplam kaç mavi kapak toplanmıştır? b. 9/A sınıfını topladığı mavi kapak sayısını bulunuz. c. 9/B sınıfının topladığı mavi kapak sayısını bulunuz. 4. Aşağıdaki boşlukları uygun ifadelerle doldurunuz. a. Bir veri grubunda en büyük değer ile en küçük değer arasındaki farka... denir. b. Küçükten büyüğe sıralanmış veri grubunu ortadan iki eşit gruba ayıran terime... denir. c. Veri grubunda alt grubu iki eşit gruba ayıran terime..., üst grubu iki eşit gruba ayıran terime... denir. ç. Üst çeyrek ile alt çeyrek arasındaki farka... denir. 19

30 Bölüm 6. Verilerin Grafikle Gösterilmesi Neler Öğreneceğiz? Gerçek hayat durumunu yansıtan veri gruplarını uygun grafik türleri ile temsil ederek yorumlamayı Grafikleri Yorumlama Başlarken Günlük yaşantımızda grafikler; gazetelerde, dergilerde, televizyon programlarında, broşürlerde, sınav sonuç belgelerinde, internet gibi farklı ortamlarda verileri özetlemek için kullanılır. Örneğin; Bir ay süresince altın fiyatlarındaki ve petrol fiyatlarındaki değişikliği, Yaşa ve cinsiyete göre ihtiyaç duyulan günlük kalori miktarı, Anahtar Terimler Kesikli ve sürekli veri Sütun Grafiği Çizgi grafiği Daire grafiği Histogram İki şehrin aylık ortalama yağış ve sıcaklık miktarı, Bir giyim şirketinin ürün türüne göre aylık üretim miktarı, Öğrencilerin sınavlarda almış olduğu notlar gibi verileri daha etkili bir şekilde özetlemede ve karşılaştırmada grafikleri çok sık kullanırız. Bu bölümde veri gruplarını özetlemede kullanılabilecek uygun grafik türlerinden sütun, çizgi, daire grafiklerine ve histograma yer verilecek ve grafikler yardımıyla veriler hakkında yorumlar yapılacaktır. Verileri grafiklerle göstermek veriler arasında karşılaştırma ve yorumlamada en etkili yollardan biridir. Sütun Grafiği Belirli bir zaman aralığında bazı veri gruplarının gelişimini veya veri gruplarını karşılaştırmak amacıyla sütun grafiği kullanılabilir. Sütun grafiğinde veriler sütunlar veya çubuklarla gösterilir. Yatay ve düşey şekilde oluşturulan eksenler isimlendirilir. 13

31 Grafikleri Yorumlama 1 Salih proje çalışmasında Türkiye de her bölgeden seçtiği birer ilin bir günlük sıcaklıklarını karşılaştıracaktır. Seçtiği illerin bir günlük hava sıcaklık tahmini değerlerini internetten bularak aşağıdaki tabloyu oluşturmuştur. İstanbul Ankara İzmir Antalya Samsun Erzurum Diyarbakır Sıcaklık Veriler yardımıyla sütun grafiğini oluşturup sıcaklıkları karşılaştıralım. İllerin tahmini sıcaklıklarını karşılaştırmak için sütun grafiğini kullanabiliriz. Bunun için eksenleri Sıcaklık ve İller şeklinde isimlendiririz. İllerin hava sıcaklık değerlerini ise sütun şeklinde aşağıdaki gibi gösteririz. Sütun grafiğinin başlığını ise İllerin bir günlük tahmini sıcaklık değerleri yazabiliriz. İllerin bir günlük tahmini sıcaklık değerleri Sıcaklık ( C) İller İstanbul Ankara izmir Antalya Samsun Erzurum Diyarbakır Oluşturulan sütun grafiğine göre verileri karşılaştırabilir ve yorumlayabiliriz. Buna göre en sıcak il Diyarbakır, en soğuk il ise Erzurum olurken İzmir ve Antalya nın sıcaklıklarının eşit olduğu görülmektedir. 131

32 Bölüm 6. Verilerin Grafikle Gösterilmesi Yükseköğretime Geçiş Sınavıyla (YGS) ilgili veriler internet adresinde yayınlanmaktadır. Aşağıdaki tabloda Temel Matematik testine ilişkin 1, 11 ve 1 yıllarına ait doğru cevap sayısı 35-4 aralığında olan öğrencilerin sayıları verilmektedir. Öğrenci Sayısı Doğru Cevap Sayısı Tablodaki verileri sütun grafiğine dönüştürerek yorumlayalım. Yatay eksene doğru cevap sayılarını ve öğrenci sayılarını dikey eksene yazabiliriz. Buna göre tablodaki verileri aşağıdaki gibi bir sütun grafiğine dönüştürebiliriz. Temel Matematik 4-35 Doğru Sayısı Aday Dağılımı Doğru cevap sayısına göre öğrenci dağılımı 5 Aday sayısı Doğru cevap sayısı Tabloda bulunan verilerle oluşturulan sütun grafiği, yıllara göre YGS de Temel Matematik testinde doğru cevap veren aday sayılarının dağılımını göstermektedir. Grafik incelendiğinde testte 37 soru doğru yapan aday sayısının en düşük değerinin 11 yılında, en yüksek değerinin ise 1 yılında olduğu görülmek- 13

33 Grafikleri Yorumlama tedir. Testte 4 soruyu doğru cevaplayan aday sayısının yıllara göre azaldığı görülmektedir. Testte yıllara göre adayların en fazla kaç soruya doğru cevap verdiğine grafikte görebiliriz. Grafikte 1, 11 ve 1 yıllarında 35 soruya doğru cevap veren aday sayısı en fazla iken 4 soruya doğru cevap veren aday sayısı en azdır. Veri Türleri Sayısal veriler sürekli ve kesikli olmak üzere ikiye ayrılır: Sürekli veri, belli aralıkta bütün değerleri alabilir. Bir insanın ağırlığı, boyu, oda sıcaklığı sürekli veriye örnek olarak verilebilir. Kesikli veri ise belli bir aralıkta her değeri alamaz. Kişi sayısı, alınan kitap sayısı ve bir çokgenin kenar sayısı kesikli veriye örnek olarak verilebilir. 3 Yavuz, Serdar, Ahmet ve Dilşah ın, Tarih, Eğitim, Edebiyat ve Felsefe alanıyla ilgili son bir yılda okudukları kitap sayıları aşağıdaki tabloda verilmiştir. Alan Kişi Yavuz Serdar Ahmet Dilşah Tarih Eğitim Edebiyat Felsefe Öğrencilerin alanlarla ilgili okudukları kitapların sayılarını karşılaştırmak için uygun grafiği oluşturalım ve yorumlayalım. 133

34 Bölüm 6. Verilerin Grafikle Gösterilmesi Öğrencilerin okudukları kitap sayılarının alanlara göre karşılaştırılması gerektiğinden uygun grafik türü sütun grafiğidir. Bu verilerle aşağıdaki sütun grafiğini oluşturabiliriz Okunan kitap sayısı Yavuz Serdar Ahmet Dilşah Alan Tarih Eğitim Edebiyat Felsefe Grafikten şu yorumlar yapılabilir: a. Tarih alanında Serdar, eğitimde Ahmet, edebiyatta Yavuz ve felsefede ise Dilşah arkadaşlarına göre daha fazla kitap okumuştur. b. Serdar, Yavuz ve Dilşah en çok tarih alanındaki kitapları okumuş, Ahmet ise daha çok eğitim ile ilgili kitap okumuştur. Siz de yatay eksende alan yerine kişileri yerleştirerek sütun grafiğini yeniden oluşturunuz. Histogram Bir sınavda alınan puanların belirli bir aralıkta olan öğrenci sayılarını belirlemek ve sınıfın genel başarı durumu hakkında yorum yapmak için histogram oluşturabiliriz. Histogram oluşturulurken aralıklar ve bu aralıktaki veri sayıları belirlenir ve sütun grafiği şeklinde gösterilir. Histogramda bir eksene aralıklar, diğer eksene ise bu aralıktaki veri sayıları yazılır. 134

35 Grafikleri Yorumlama 4 Matematik öğretmeni Mustafa Bey, yaptığı sınavda öğrencilerin aldığı sonuçları aşağıdaki sütun grafiğinde göstermiştir Puan 6 Derya Alper Ali Fatma Erdal Selçuk Ramazan Levent Orhan Faruk Enver Şule Yağmur Ebru Ergün Zehra Tuğba Hasan Sevgi Rezzan Öğrenciler Belirli bir aralıkta not alan öğrencilerin sayılarını görmek istemektedir. Notları sıfırdan başlatarak veri genişliği 1 ar puan olacak şekilde sınav sonuçlarını özetleyen histogramı çizelim. Sütun grafiğindeki veri genişliği 1 ve notları 1 puandan başlatacağımızda oluşacak grupları ve bu gruplardaki öğrenci sayısını gösteren aşağıdaki tabloyu oluşturalım. Grup Genişliği Öğrenciler Öğrenci Sayısı Alper Ali Selçuk Fatma, Tuğba, Ebru Ramazan, Yağmur 61-7 Derya, Levent, Şule, Sevgi Orhan, Faruk, Zehra, Hasan Erdal, Enver, Ergün Rezzan 1 Tablodan da görüldüğü gibi her bir grupta kaç öğrenci olduğu belirlenmiş oldu. 135

36 Bölüm 6. Verilerin Grafikle Gösterilmesi Anahtar Bilgi Histogramda sütun grafiğinden farklı olarak sütunlar arasında herhangi bir boşluk yoktur ve sütunların uzunluğu ilgili grupta bulunan verilerin sayısını gösterir. Eksenleri puan aralıkları ve öğrenci sayısı olan histogram aşağıdaki gibi oluşturulur. Öğrenci sayısı Puan aralıkları Oluşturulan histogramdan belli puan aralıklarında not alan öğrenci sayılarını görmek sütun grafiğine göre daha kolaydır. 8 öğrencinin 61-8 puan aldığı görülmektedir. Ayrıca 9 puan üzerinde not alan bir öğrenci ve 81 puan üzerinde not alan 4 öğrenci bulunmaktadır. Sınıfta sınavdan 5 puan üzerinde alan öğrenci sayısının ise 14 olduğu ve sınıfın yarısından fazlasının 5 puan üzerinde not aldığı yorumları yapılabilir. 5 Bir deprem araştırmasında bir belediyeye ait sınırlar içindeki binaların yaşları araştırılıyor ve aşağıdaki sonuçlar elde ediliyor. Bina yaşı Bina sayısı 1 yaş 43 yaş 6 3 yaş 59 4 yaş 7 5 yaş 85 6 yaş 66 7 yaş 84 8 yaş 85 9 yaş 96 1 yaş 76 Bina yaşı Bina sayısı 11 yaş 71 1 yaş 8 13 yaş yaş 6 15 yaş yaş yaş yaş yaş 45 yaş 3 Bina yaşı Bina sayısı 1 yaş 45 yaş 35 3 yaş 4 4 yaş 44 5 yaş 3 5 yaş aralıklar için bina sayılarını grafikle göstermek isteyen araştırmacı şirket hangi grafik türünü tercih ederse uygun grafik türünü kullanmış olur? 136

37 Grafikleri Yorumlama Grup genişliği 5 olacak şekilde verileri gruplayabiliriz. Verileri grupladığımızda aşağıdaki tablo oluşur. Bina yaşı Bina sayısı 1-5 yaş yaş yaş yaş yaş 198 Tabloda binaların yaşları aralıklar şeklinde ve her aralıktaki bina sayısı gösterilmiştir. Eksenlerden biri bina yaşını diğerini ise bina sayısını gösterecek şekilde histogramı oluşturursak Bina sayısı Bina yaşı Histograma bakılarak en çok sayıda binanın 6-1 yaş aralığında, en az sayıda binanın ise 1-5 yaş aralığında olduğu görülmektedir. Bu durumda belediye sınırlarındaki binaların yaklaşık olarak yarısının 1-1 yıllık olduğunu söyleyebiliriz. 137

38 Bölüm 6. Verilerin Grafikle Gösterilmesi Çizgi Grafiği Bir ülkenin bir yıllık ihracat ve ithalat değerleri, borsada bir aylık altın ve paranın değerleri ve illerin bir haftalık tahmini hava sıcaklık değerleri gibi bir veri grubunun belirli bir zaman aralığındaki değişimini göstermede çizgi grafiği kullanılabilir. Grafik, yatay eksene zaman aralığı, düşey eksene ise veriler yazılarak oluşturulur. 6 Aşağıdaki tabloda Ankara ya ait 5 günlük tahmini en düşük ve en yüksek sıcaklık değerleri verilmiştir. Gün En Düşük Sıcaklık ( C) En Yüksek Sıcaklık ( C) Pazartesi 1 14 Salı 7 13 Çarşamba 4 11 Perşembe 4 1 Cuma 5 1 Ankara nın beş günlük tahmini hava sıcaklığındaki değişimi grafikle inceleyelim. Hava sıcaklığındaki değişimi zamana göre inceleyeceğimizde uygun grafik çizgi grafiği olacaktır. Grafiği oluşturabilmek için yatay eksene günleri, dikey eksene ise sıcaklık değerleri yazılır. Tablodaki her güne ait sıcaklık değerleri işaretlenir ve değerler bir çizgi ile birleştirilir. Ankara nın 5 günlük tahmini hava sıcaklığı Sıcaklık Pazartesi Salı Çarşamba Perşembe Cuma En yüksek sıcaklık ( C) En düşük sıcaklık ( C) Günler 138

39 Grafikleri Yorumlama Grafikte bir önceki güne göre hava sıcaklığındaki değişim izlenebilir. Grafiğe göre sıcaklığın en yüksek ve en düşük değerleri çarşamba gününe kadar düşeceği ve çarşambadan sonra da artacağı görülmektedir. 7 Türkiye İstatistik Kurumu (TÜİK) aylık olarak ülkemizin ihracat ve ithalat değerlerini açıklamaktadır. Aşağıdaki tabloda son bir yıla ait ihracat ve ithalat değerleri verilmiştir. Dönem Aylara göre İhracat Aylara göre İthalat (Milyon $) (Milyon $) Mart Şubat Ocak Aralık Kasım Ekim Eylül Ağustos Temmuz Haziran Mayıs Nisan Mart Ülkemizin aylara göre ihracat ve ithalat değerlerindeki değişimi inceleyelim. 139

40 Bölüm 6. Verilerin Grafikle Gösterilmesi İhracat ve ithalat değerleri değişimleri incelemek için çizgi grafiğini tercih edebiliriz. Çünkü Mart-1 ayından Mart-13 ayına kadar bir önceki aya göre ithalat değerlerindeki değişimi rahat bir şekilde görülebilir. Aşağıda ihracat ve ithalat değerlerini gösteren çizgi grafiği verilmiştir Ülkemizin İhracat ve İthalat değerlerindeki değişim Mar. 1 Nis. 1 May. 1 Haz. 1 Tem. 1 Ağu. 1 Eyl. 1 Eki. 1 Kas. 1 Ara. 1 Oca. 13 Şub. 13 Mar. 13 İhracat İthalat Grafikten görüldüğü gibi ihracat ve ithalat değerleri aylara göre azalan ve artan bir şekilde değişim göstermektedir. İhracat değerleri Şubat ve Mart 13 aylarında bir önceki aya göre bir artış görülürken Aralık ve Ocak aylarında bir düşüş olmuştur. Benzer şekilde ithalat değerlerin de Mayıs 1, Temmuz 1, Eylül 1, Kasım 1, Şubat 13 ve Mart 13 aylarında bir önceki aya göre artış görülmüştür. İhracat ve ithalat değerlerini karşılaştırmak içinde sütun grafiğini de kullanabiliriz Mar. 1 Nis. 1 May. 1 Haz. 1 Tem. 1 Ağu. 1 Eyl. 1 Eki. 1 Kas. 1 Ara. 1 Oca. 13 Şub. 13 Mar. 13 İhracat İthalat Sütun grafiğine göre bütün aylarda ithalat değerinin ihracat değerinden büyük olduğu görülmektedir. İhracaat değeri, en düşük olan Ocak 13 te olurken ithalat değeri en yüksek Mayıs 1 de olmuştur. 14

41 Grafikleri Yorumlama Daire Grafiği Bir verinin bütün veri grubu içerisindeki oranını göstermek için daire grafiği kullanılır. Her bir verinin bütün verilerin toplamına oranı hesaplanır ve daire içerisinde ayırdığı bölge işaretlenir. 8 Kuşaklar buluşuyor adlı projeye katılan Emir, tanıdığı yaşlı kişilerle görüşerek, ses kayıtları topluyor. Ahmet, Hüseyin ve Ömer Dede, Fatma ve Zehra Teyze ile görüşmeler yapan Emir görüşmelerini ses kayıt cihazına kaydediyor. Aşağıdaki tabloda yapılan görüşme dakikalarına göre daire grafiğiyle gösterelim. Ahmet Dede Hüseyin Dede Ömer Dede Fatma Teyze Zehra Teyze 18 dk 16 dk 4 dk 3 dk 3 dk Emir tarafından kişilerle yapılan görüşme sürelerinin birbiriyle karşılaştırılması için öncelikle sürelerin daire grafiği içerisinde ne kadarlık yer oluşturacağını hesaplamalıyız. Her bir verinin daire diliminde göstereceği merkez açıyı hesaplayıp grafiği çizelim. Emir in toplamda kaç dakikalık görüşme kaydı aldığını bulmak için bütün süreleri toplayalım = 1 dakika (Emir in toplam görüşme süresi) 1 dakikalık görüşme dairede 36 lik bölgeyi tarayacaktır. Emir in her bir kişi ile yapacağı görüşme süresinin daire diliminin açısını bulmak için orantı kurmalıyız. Ahmet Dede yi gösteren dilim açısı Hüseyin Dede yi gösteren dilim açısı Ömer Dede yı gösteren dilim açısı Fatma Teyze yi gösteren dilim açısı 18 1 x 4 1 z 16 1 y x = 36 orantısından = 54 y = 36 orantısından = 48 z = 36 orantısından = 7 3 m = 1 36 orantısından m =

42 Bölüm 6. Verilerin Grafikle Gösterilmesi orantısındandır. Bulunun açıları kulla- Zehra Teyze yi gösteren dilim açısı narak daire grafiği çizelim. 3 1 n n = 36 = 9 Zehra Teyze Fatma Teyze Ahmet Dede Hüseyin Dede Ömer Dede Anahtar Bilgi Her daire grafiği, sütun grafiğine dönüştürülebilir; fakat parçanın bütün içindeki oranını görmek istiyorsak daire grafiği daha uygundur. Daire grafiğinde Emir in her bir kişi ile yaptığı görüşme sürelerinin dağılımı görülmektedir. Zehra Teyze 9 lik açıyı oluşturduğundan Emir, Zehra Teyze ile toplam görüşme süresinin dörtte biri zamanda görüşme yapmıştır. Grafiğe göre en fazla Zehra Teyze ile görüşme yapılırken en az Hüseyin Dede ile görüşme yapılmıştır. Veriler arasında karşılaştırma yapmak amacıyla sütun grafiğini de kullanabiliriz. Sütun grafiğini yatay ekseni Emir in görüştüğü kişiler, dikey ekseni de görüşme yapılan dakikalar temsil edecek şekilde çizelim. Görüşme dakikası Ahmet Dede Hüseyin Dede Ömer Dede Fatma Teyze Sütun grafiğinde de benzer yorumlar yapabiliriz. Zehra Teyze Kişiler Ahmet Dede Hüseyin Dede Ömer Dede Fatma Teyze Zehra Teyze 14

43 Grafikleri Yorumlama 9 Bir ailenin aylık harcama miktarları aşağıdaki tabloda verilmiştir. Giderler TL Kira 5 Gıda 75 Giyim 5 Eğitim 15 Diğer Ailenin kira, gıda, giyim, eğitim ve diğer harcama giderlerinin toplam harcamadaki oranlarını grafikle gösterelim. Ailenin her bir harcamasının toplam giderdeki yerini veya oranını belirlemek için en uygun grafik türü daire grafiğidir. Daire grafiğini oluşturmak için öncelikle her bir harcamanın toplam gidere oranı elde edilir. Oranları aşağıdaki tablo yardımıyla hesaplayalım. Toplam gider: = 185 TL Giderler TL Gider/toplam gider Kira 5 5 x x (. 97 Gıda y = ( y Giyim 5 5 z = ( z Eğitim t = ( t Diğer m = ( m Toplam

44 Bölüm 6. Verilerin Grafikle Gösterilmesi Tabloda görüldüğü gibi ailenin giderlerinin toplam giderleriyle oranı kullanılarak her bir gidere karşılık gelen daire diliminin merkez açıları belirlenmiştir. Tablodaki değerleri kullanarak daire grafiğini oluşturabiliriz. Kira Gıda Giyim Eğitim Diğer Grafikte görüldüğü gibi ailenin gıda gideri, toplam giderde en fazla yer alırken eğitim gideri en azdır. Eğitim ve kira giderleri yaklaşık olarak tüm harcamaların yarısı kadardır. 1 Türkiye İstatistik Kurumu nun (TÜİK) yaptığı araştırmaya göre 8 ve 1 yıllarında yaşlara göre sigara kullanma yüzdeleri aşağıdaki tabloda verilmiştir. Yaş aralığı ,4 18, ,3 34, ,6 36, ,3 31, ,7 19, ,3 9,3 Yaş gruplarına göre sigara kullanma oranlarını karşılaştırmak için hangi grafik tercih edilmelidir? 144

45 Grafikleri Yorumlama Yaş gruplarındaki sigara kullanım oranlarını 8 ve 1 yıllarına göre karşılaştırdığımızdan uygun grafik türü sütun grafiği olur. Sütun grafiğinde eksenlerin birinide yaş aralıklarını, diğerini ise sigara kullanım yüzdelerini gösterelim. Elimizdeki verilere göre aşağıdaki sütun grafiği oluşturulur. 8 ve 1 yıllarına ait yaşlara göre sigara kullanım oranları Yüzde Yaş Grafikte görüldüğü gibi, 8 yılında sigara kullanımının en fazla olduğu yaş aralığı 5-34 ve 1 yılanda ise aralığındadır. Ayrıca tüm yaş gruplarında 8 yılına göre 1 yılında sigara kullanım oranlarında azalma olmuştur. 145

46 Grafikleri Yorumlama KENDİMİZİ SINAYALIM Kavrama ve Muhakeme 1. Bayan çantası üreten Mehmet Bey in yılın ilk altı ayına ait üretim miktarları tabloda verilmiştir kişilik A okulunun ve 15 kişilik B okulunun kız ve erkek sayıları daire grafiklerinde gösterilmiştir. AYLAR OCAK ŞUBAT MART NİSAN MAYIS HAZİRAN ÇANTA SAYISI Aylara göre üretimi gösteren uygun grafik hangisidir? Neden? Kız 4% Erkek 6% Kız 6% Erkek 4% A okulu B okulu. Şaziye Hanım, annesinin kan şekerini 7 gün boyunca her sabah ölçüp sırasıyla 8, 11, 1, 98, 9, 1, 9 olarak görmüştür. Verilerin değişimini gösterecek en uygun grafik türü hangisi olabilir? Neden? Grafiklere bakan Mehmet A okulundaki erkek sayısının B okulundaki erkeklerin sayısından daha fazla, B okulundaki kızların sayısının da A okulundaki kızların sayısından daha fazla olduğu yorumunu yapmıştır. Mehmet in yorumu doğru mudur? Doğru değilse nerede hata yapmıştır? 3. Doğrusal bir yolda geri dönmeden ilerleyen bir bisikletlinin harekete başladıktan sonraki her saatte aldığı yol aşağıda verilmiştir saat.saat 3.saat 4.saat 1 km 1 km 1 km 9 km Bisikletlinin zamana göre başladığı yere uzaklığını aşağıdaki çizgi grafiğinde gösteren Ahmet nerede hata yapmıştır? Başlangıç noktasına uzaklık Saat 5. Aşağıdaki grafikte 5-11 yılları arası Aydın ilinde yıllara göre pamuk ekim alanı, üretim miktarları ve ürün verimliliğini gösteren çizgi grafiği verilmiştir Aydin İli Pamuk Üretimi Ekim Alanı (bin hektar) Üretim (bin ton) Dekara Verim (kg) Aşağıdaki ifadelerden doğru olanların yanına (D), yanlış olanların yanına (Y) yazınız. a. (...) Standart sapması en küçük olan veri grubu mavi çizgiyle gösterilendir. 146

47 KENDİMİZİ SINAYALIM Grafikleri Yorumlama b. (...) Pamuk üretim miktarının açıklığı 5 bin tondur. c. (...) Yeşil çizgiyle gösterilen veri grubunun tepe değeri yoktur. ç. (...) Kırmızı çizgiyle gösterilen veri grubunun ortancası dür. 7. Murat ın bir gününü nasıl değerlendirdiğine yönelik verdiği cevaplar aşağıdaki tabloda verilmiştir. Aktivite Saat Okul 5 Yemek 6. Bir sınıftaki tüm öğrencilerin gelecekte tercih etmek istedikleri meslekler konusunda yapılan araştırmada elde edilen sonuçlar aşağıdaki sütun grafiğinde gösterilmiştir. Sayı Doktor Avukat Öğretmen Mühendis Meslek Yolculuk 1 Televizyon-bilgisayar 3 Ders çalışma 3 Uyku 8 Diğer Bu tablodaki verileri kullanarak aşağıdaki daire grafiğini çizen Murat nerede hata yapmıştır? Grafiğe göre aşağıdaki ifadelerden doğru olanların yanına (D), yanlış olanların yanına (Y) yazınız. a. (...) Sınıf mevcudu dir. b. (...) Öğretmen olmak isteyen öğrenci sayısı avukat olmak isteyen öğrenci sayısının katıdır. c. (...) Sınıfta en fazla, öğretmen olmak isteyen öğrenci vardır. Okul Yemek Yolculuk Televizyon Bilgisayar Ders Çalışma Uyku Diğer ç. (...) Elde edilen sonuçlar daire grafiğinde gösterilirse avukat olmak isteyenlere ait daire diliminin merkez açısı 45 olur. d. (...) Avukat ve öğretmen olmak isteyen öğrencilerin toplam sayısı sınıfın %5 sini oluşturmaktadır. 147

48 Grafikleri Yorumlama KENDİMİZİ SINAYALIM Alıştırmalar 1. Aşağıdaki sütun grafiğinde Spor Toto Süper Ligi 11-1 sezonunun ilk dört takımına ait galibiyet, mağlubiyet ve beraberlik sayıları verilmiştir. Ligde galibiyet 3 puana, beraberlik 1 puana ve mağlubiyet puana karşılık gelmektedir. Sayı Beşiktaş Galibiyet Takım Fenerbahçe Trabzonspor Galatasaray Beraberlik 8 Mağlubiyet Bu grafiğe göre aşağıdaki boşlukları doldurunuz. 3. Aşağıdaki grafik 13 yılında herhangi bir şehirde metrekareye düşen yağış miktarını (kg/m ) olarak göstermektedir aylar Ocak Şubat Mart Nisan Mayıs Haziran Temmuz Ağustos Eylül Ekim Kasım Aralık Buna göre aşağıdaki soruları cevaplandırınız. a. Yağış miktarlarına ait veri grubunun ortancasını bulunuz. b. Veri grubunun açıklığını bulunuz. c. Veri grubunun çeyrekler açıklığını bulunuz. a. Her bir takım sezon boyunca... maç yapmıştır. b. Galibiyet sayıları ile mağlubiyet sayıları arasındaki fark en çok olan takım... dır. c. Puanlamaya göre.... takımı en çok puanı elde etmiştir. ç. Puanlamaya göre... takımı en az puanı elde etmiştir.... ile... takımlarının galibiyet sayıları eşittir. 148

49 KENDİMİZİ SINAYALIM Grafikleri Yorumlama 3. Bir ildeki A,B,C ve D okullarından TÜBİTAK Proje Sergisi ne fizik, kimya, sosyoloji ve tarih derslerinden gönderilen proje sayıları aşağıdaki grafikte verilmiştir A B C D Fizik Kimya Sosyoloji Tarih Uygulamalar 1. Türkiye İstatistik Kurumu nun (TUİK) internet sitesini ziyaret ederek ülkemizdeki son 1 yıldaki enflasyon verilerine ulaşınız. Elle ettiğiniz verilere uygun grafiği çizerek yorumlayınız.. Ülkemizin 1 yılına ait tahıl üretim verilerini elde ediniz ve uygun grafikle gösteriniz. Grafiğe göre problem cümleleri oluşturunuz. Bu grafiğe göre aşağıdaki boşlukları uygun şekilde doldurunuz. a. Dört okuldan toplam... adet proje gönderilmiştir. b. A okulunun fizik projesinin sayısının, B okulunun... sosyoloji projesi sayısına oranı dır.... c. Sergideki sosyoloji projelerinin %... C okuluna aittir. ç. Kimya proje sayılarının standart sapması... dır. 149

50 Bölüm 6. Verilerin Grafikle Gösterilmesi Neler Öğreneceğiz? İki sayısal değişken (nicelik) arasındaki ilişkiyi serpme grafiği ile göstermeyi ve yorumlamayı 6... Serpme Grafiği Başlarken İki değişken arasında nasıl bir ilişki vardır? Değişkenlerden biri artarken veya azalırken diğerinde nasıl bir değişim olur? Bu soruların cevaplarını ararken grafiklerden yararlanırız. Bu bölümde serpme grafiği yardımı ile veriler arasındaki ilişkiler incelenecektir. Anahtar Terimler Serpme grafiği Pozitif yönlü ilişki Negatif yönlü ilişki İlişkisizlik İki sayısal değişken (nicelik) arasındaki ilişkiyi göstermek için serpme grafiği kullanılır. Serpme grafiği oluşturulurken eksenlere değişkenler yazılır ve değerler koordinat düzleminde (x, y) koordinatları gibi ele alınır. Değişkenler arasındaki ilişikinin olup olmadığı grafik üzerinden yorumlanabilir. Serpme grafiği genel olarak üç şekilde yorumlanabilir. 1. Durum: Pozitif yönlü ilişki Değişkenlerin biri artarken diğer değişken de artıyorsa bu iki değişken arasında pozitif yönlü ilişki vardır. Örneğin Matematik sınavı için çalışma süresini artırırsan daha yüksek not alırsın. şeklindeki cümlede çalışma süresiyle alınan not arasında pozitif yönlü bir ilişki vardır. İki değişken arasındaki pozitif yönlü ilişkiyi gösteren serpme grafiği yandaki gibi gösterilebilir.. Durum: Negatif yönlü ilişki Değişkenlerden biri artarken diğer değişken azalıyorsa bu iki değişken arasında negatif yönlü ilişki vardır. Örneğin Otomobil yol aldığında depodaki yakıt azalır. cümlesinde alınan yol ile yakıt miktarı arasında negatif yönlü ilişki vardır. İki değişken arasındaki negatif yönlü ilişkiyi gösteren serpme grafiği yandaki gibi gösterilebilir. 15

51 Serpme Grafiği 3.Durum: İlişkisiz Değişkenler arasında artma veya azalmayla ilgili herhangi bir ilişki söz konusu olmadığında değişkenler ilişkisizdir ve serpme grafiği yandaki gibi olur. 1 Mehmet in -1 yaş arasında kütlesi ve boy uzunluğu aşağıdaki tabloda verilmiştir. Yaş Boy (cm) Kütle (kg) Mehmet in boy ve kütlesi arasındaki ilişkiyi grafik yardımıyla inceleyelim. Anahtar Bilgi Serpme grafiğinde, bir nokta birden fazla veriyi temsil edebilir. Örneğin; boy ağırlık grafiğinde aynı boy ve ağırlıkta olan bütün öğrenciler tek nokta ile gösterilir. İki değişken arasındaki ilişkiyi göstermek için serpme grafiğini oluşturalım. Serpme grafiğini oluşturmak için; değişkenlerden boy uzunluğunu (cm) x ekseninde, ağırlığı (kg) ise y ekseninde gösterelim. Mehmet in boy ve ağırlık değerlerini yani; (87,14), (95,16), (15,17), (11,), (113,5), (119,8), (14, 9), (13,34) ve (135,35) noktalarını düzlemde işaretleyelim. Ağırlık (kg) Boy (cm) Serpme grafiğinde görüldüğü gibi Mehmet in boy ve ağırlığı arasında pozitif yönlü bir ilişki vardır. 151

52 Bölüm 6. Verilerin Grafikle Gösterilmesi İstanbul un yılları arasında aylara göre ortalama yağışlı gün sayısı ve ortalama sıcaklıkları aşağıdaki tabloda verilmiştir. Ocak Şubat Mart Nisan Mayıs Haziran Temmuz Ağustos Eylül Ekim Kasım Aralık Ortalama Yağışlı Gün Sayısı Ortalama Sıcaklık ( C) İstanbul a ait yağışlı gün sayısı ile sıcaklık arasındaki ilişkiyi grafikle gösterelim. İki değişkenin birbirine göre durumunu incelemek için serpme grafiği oluşturulur. Serpme grafiğini çizmek için; değişkenlerden ortalama yağışlı gün sayısını x ekseninde, ortalama sıcaklık ( C) ise y ekseninde gösterelim. Tabloda verilen değerler; (16,9), (14,9), (1,1), (11,16), (7, 1), (5, 6), (4,8), (4,8), (5,4), (9,19), (11,14) ve (16,11) düzlemde nokta olarak işaretleyelim Ortalama Sıcaklık ( C) Ortalama Yağışlı Gün Sayısı Grafikte de görüldüğü gibi ortalama sıcaklık ile aylık yağışlı gün sayısı arasında negatif yönlü bir ilişki vardır. Yani, ortalama sıcaklık düştükçe yağışlı gün sayısı artmaktadır. Ayrıca tabloda 1 ayın sıcaklığı ve yağışlı gün sayısı verildiği halde, grafikte 11 nokta vardır. Bunun sebebi; temmuz ve ağustos aylarının verileri aynı olduğundan tek nokta ile gösterilmesidir. 15

53 Serpme Grafiği 3 Aşağıdaki tabloda ilimize ait plaka numaraları ve rakımları verilmiştir. İl Plaka Rakım (m) İl Plaka Rakım (m) Adana 1 3 Isparta Ankara 6 89 İstanbul 34 1 Antalya 7 39 Kars Bilecik Kastamonu 37 8 Bingöl Kayseri Denizli 354 Muğla Diyarbakır 1 66 Sakarya Erzurum Tokat Gaziantep 7 85 Van Hakkâri 3 17 Yalova 77 3 İllerin plaka numaraları ile rakımları arasında ilişki olup olmadığını, varsa nasıl bir ilişki olduğunu grafikle gösterelim. Bunu biliyor muydunuz Rakım, herhangi bir nesnenin belirli bir düzeye göre yüksekliği olarak tanımlanır. Bir ilin rakımı, deniz seviyesine göre yüksekliğidir. İllerin plaka numaraları ile rakımları arasında bir ilişki olup olmadığı, varsa nasıl bir ilişki olduğunu anlamak için serpme grafiği çizilelim Plaka kodu İllerin plaka numaraları ile rakımları arasında ilişki olmadığı görülmektedir. Sadece serpme grafiği kullanılarak verilerin hangi illere ait olduğu hakkında yorum yapamayız. İllerin plaka numaraları farklı olduğundan grafikteki her nokta farklı bir ili göstermektedir. Rakım (m) 153

54 Bölüm 6. Verilerin Grafikle Gösterilmesi 4 Türkiye nin -1 yılları arası 13 yılllık ithalat-ihracat rakamlarının serpme grafiği aşağıda verilmiştir. 16 İthalat rakamları (milyon dolar) İhracat rakamları (milyon dolar) Grafiğe göre ülkemizin ihracat ve ithalat verileri arasındaki ilişkiyi yorumlayalım. İhracat ve ithalat verilerini gösteren serpme grafiğinde yatay eksen ihracat, düşey eksen ise ithalat rakamlarını göstermektedir. Grafiğe göre aşağıdaki yorumları yapabiliriz; İthalat ve ihracat rakamları arasında pozitif yönlü bir ilişki vardır. Yani, ihracat rakamları arttıkça, ithalat rakamları da artmaktadır. İhracat rakamlarının 5 milyon doları geçmediği, ithalat rakamlarının ise 16 milyon doları geçmediği görülmektedir. 154

55 MATEMATİK... ATÖLYESİ Bu atölye çalışmasında teknoloji yardımıyla iki veri grubu arasındaki ilişkiyi belirlemede kullanılan serpme grafiği çizilerek yorumlanacaktır. Araç ve Gereçler: Bilgisayar veya elektronik tablolama yazılımı Okuma ve Problem Çözme Becerisi Öğrencilerin problem çözme becerisi ile okuma becerisi arasındaki ilişkiyi incelemek amacıyla öğrencilere test uygulanmıştır. 14 öğrencinin problem çözme ve okuma becerisi testinden aldıkları puanlar aşağıdaki tabloda verilmiştir. Öğrenciler Problem çözme puanları Okuma becerisi puanları İki veri grubu arasındaki ilişkiyi gösteren serpme grafiğini teknoloji yardımıyla çizebilir ve yorumlayabiliriz. Aşağıdaki adımları uygulayınız. Adım 1 Elektronik tablolama yazılımında aşağıdaki ekranda görüldüğü gibi A ve B sütunlarına verilen değerleri yazınız. Adım A ve B sütunlarındaki değerleri seçiniz. Adım 3 Elektronik tablolama yazılımının ekle menüsündeki grafik türlerinden serpme grafiğine uygun olan seçeneği seçiniz (Microsoft Office yazılımda Dağılım seçeneğidir. Diğer yazılımlarda uygun olanı seçebilirsiniz.). Elde ettiğiniz grafiğe göre öğrencilerin problem çözme ve okuma becerileri arasındaki ilişkiyi yorumlayınız. Elektronik tablolama yazılımını kullanarak derste daha önceden çizdiğiniz grafikleri elektronik ortamda oluşturunuz. Bu yazılımı kullanarak tüm sınıfınızın herhangi iki dersten aldığı sınav notlarını ikişer ikişer karşılaştırınız. Hangi derslerin başarıları arasında nasıl bir ilişki vardır? 155

56 Serpme Grafiği KENDİMİZİ SINAYALIM Kavrama ve Muhakeme 1. Aşağıdaki grafikleri karşılarındaki ifadelerden uygun olanla eşleştiriniz. a.. Aşağıdaki serpme grafiğinde yedi futbol takımının bir sezon boyunca attıkları ve yedikleri goller verilmiştir. Yediği gol sayısı Attığı gol sayısı Bu grafiğe göre aşağıdaki ifadelerin doğru olanların yanına (D), yanlış olanların yanını (Y) yazınız. a. (...) Takımların attıkları gol sayısı ile yedikleri gol sayısı arasında pozitif yönlü bir ilişki vardır. b. b. (...) Takımların attıkları gol sayısı ile yedikleri gol sayısı ilişkisizdir. c. (...) Takımların attıkları gol sayısı 45 ile 7 arasındadır. ç. (...) Yedikleri gol sayısı 3 ile 4 arasında olan 4 takım vardır. c. (...) Negatif yönlü ilişki (...) İlişkisiz (...) Pozitif yönlü ilişki 156

57 KENDİMİZİ SINAYALIM Serpme Grafiği 3. Gayrimenkul zengini Ahmet Bey 7 adet iş yerini kiraya verecektir. Bu işyerlerinin kira bedelleri ve aylık aidat ücretleri TL olarak aşağıdaki tabloda verilmiştir. A B C D E F G Aidat Kira Kira bedelleri ve aylık aidat ücretleri arasındaki ilişkiyi gösteren en uygun grafiği çiziniz. Bu grafikten yararlanarak kira bedeli ile aidat ücreti arasındaki ilişkiyi yorumlayınız. Alıştırmalar 1. Aşağıdaki serpme grafiğinde 13 kişilik Gül ailesine ait boy kilo grafiği veriliyor. Soruları grafikteki verileri dikkate alarak cevaplandırınız. Boy (cm) Aşağıdaki tabloda bir oto yıkamacının bir haftada yıkadığı araba sayısı ile harcadığı su miktarı verilmiştir. Araba sayısı Harcadığı su miktarı (litre) 1. gün. gün 3. gün 4. gün 5. gün 6. gün 7. gün Yıkadığı araba sayısı ile harcadığı su miktarları arasındaki ilişkiyi gösteren en uygun grafiği oluşturarak iki değişken arasındaki ilişkiyi belirleyiniz. 4 Kütle (kg) a. İdeal kiloya sahip kişiler, boy uzunluğu kütlesinden 1 fazla olan kişiler olduğuna göre Gül ailesinde ideal kiloda olan kaç kişi vardır? b. Boy uzunluğu değeri ile kütle değeri arasındaki farkın 1 den fazla olduğu kişiler zayıf kişiler olduğuna göre Gül ailesinde zayıf olan kaç kişi vardır? c. Boy uzunluğu değeri ile kütle değeri arasındaki farkın 1 den az olduğu kişiler zayıf kişiler olduğuna göre Gül ailesinde zayıf olan kaç kişi vardır? 157

58 Serpme Grafiği KENDİMİZİ SINAYALIM. Aşağıdaki serpme grafiğinde; Sercan ın köyündeki 15 ağılda bulunan keçi ve koyun sayıları karşılaştırılmıştır. Keçi sayıları Koyun sayıları Keçi sayıları Aşağıdaki tabloyu grafiğe göre doldurunuz Koyun sayıları Aşağıda farklı iki değişkenin serpme grafiği verilmiştir. Yatay eksen A, dikey eksen B değişkenini göstersin. 8 B Grafiğe göre aşağıdaki boşlukları uygun şekilde doldurunuz. a. İki değişken arasında yönlü ilişki vardır. b. A değişkeni arttıkça, B değişkeni. c. B değişkeni azaldıkça, A değişkeni ç. A nın 8 den ve B nin de den küçük olduğu durum vardır. Uygulamalar Aşağıdaki tabloda bir ailenin 6 ay boyunca ödediği elektrik ve su faturaları verilmiştir. Aylar Elektrik faturası (TL) Su faturası (TL) Elektrik ve su faturası arasındaki ilişkiyi gösteren en uygun grafiği çizerek, grafiğe uygun iki problem yazınız A 158

59 KENDİMİZİ SINAYALIM Serpme Grafiği 4. Bir fabrikada çalışan 15 kişinin yaşlarını ve çalışma yıllarını gösteren serpme grafiği aşağıda verilmiştir. 5. Aşağıdaki serpme grafiğinde Türkiye nin bazı yıllara ait bal ihracatı ve ithalatı gösterilmiştir. Süre (yıl) Yaş Bal ithalatı (bin ton) Bal ihracatı (bin ton) Grafiğe göre aşağıdaki boşlukları uygun şekilde doldurunuz. a. Fabrikada çalışan işçilerin yaşı ile çalışma süreleri arasındaki ilişki.dir. b. Yaşı 3 dan büyük olan.. tane işçi vardır. c. Çalışma süresi 1 yıldan az olan.tane işçi vardır. ç. Yaşı 4 tan az olup çalışma süresi 8 yıldan fazla olan.. tane işçi vardır. I. İhracat rakamları arttıkça ithalat rakamları da artmaktadır. II. İthalat ve ihracat rakamları arasında ilişki yoktur. III. Tablodaki veriler 8 yıla ait olabilir. IV. 15 milyon ton bal ihracatının yapıldığı yıl 8 bin ton bal ithalatı yapılmıştır. Yukarıdaki ifadelerden hangisi/hangileri kesinlikle doğrudur? A) I-II B) II-IV C) I-II-III D) III-IV E) II-III 159

60 Bölüm 6. Verilerin Grafikle Gösterilmesi Neler Öğreneceğiz? Bir veri grubuna ait kutu grafiğini çizmeyi ve yorumlamayı Veri gruplarını karşılaştırmada kutu grafiğini kullanmayı Anahtar Terimler Kutu grafiği Ortanca (medyan) En küçük değer En büyük değer Alt çeyrek Üst çeyrek Kutu Grafiği Başlarken Merkezi eğilim ve yayılım ölçüleri yardımıyla veriler hakkında yorumlar yapabiliriz. Veri grubu, ortanca, alt çeyrek, üst çeyrek, en küçük değer ve en büyük değerler bulunarak bir grafik halinde gösterilebilir. Elde edilen grafik verilerin genel dağılımı hakkında bizlere bilgi verir. Bu bölümde verilerin dağılımını gösteren kutu grafiği oluşturulacak ve yorumlanacaktır. Merkezi eğilim ve yayılım ölçüler yardımıyla veriler hakkında yorumlar yapabiliriz. Veri grubunda, ortanca, alt çeyrek, üst çeyrek, en küçük değer ve en büyük değerler bulunarak bir grafik halinde gösterilebilir. Elde edilen grafik verilerin genel dağılımı hakkında bizlere bilgi verir. Bu bölümde verilerin dağılımını gösteren kutu grafiği oluşturulacak ve yorumlanacaktır. Bir veri grubundaki en küçük değer, en büyük değer, alt çeyrek, üst çeyrek ve ortanca değerlerini gösteren grafiğe kutu grafiği denir. Kutu grafiği oluşturulurken aşağıdaki adımlar izlenir; Veriler küçükten büyüğe doğru sıralanır, En küçük değer, en büyük değer, ortanca (medyan), alt çeyrek ve üst çeyrek hesaplanır, Sayı doğrusu çizilir, Sayı doğrusu üzerinde en küçük ve en büyük değer işaretlenir ve kutu grafiğinin uç noktalarını gösterir, Sayı doğrusu üzerinde alt çeyrek ve üst çeyrek, kutunun kenarları olarak alınır, Veri grubunun ortanca (medyan) değeri kutunun içinde işaretlenir, Oluşan grafik verilerin dağılımı gösteren kutu grafiğidir. En küçük değer Alt çeyrek Ortanca (Medyan) Üst Çeyrek En büyük değer 16

61 Kutu Grafiği Yukarıdaki kutu grafiğine göre veri grubunda en küçük değer 1, en büyük değer 46, alt çeyrek 18, üst çeyrek 34 ve ortanca (medyan) ise 8 dir. 1 Bir okul kantininde 9 günlük satılan su sayıları, şeklindedir. Bu verileri gösteren kutu grafiğini çizelim. Önce verileri küçükten büyüğe sıralayalım; Kutu grafiğini çizmemiz için gerekli olan en küçük değer, alt çeyrek, ortanca, üst çeyrek, en büyük değer verilerini belirleyelim. Alt grup Üst grup En küçük değer Alt çeyrek Ortanca (medyan) Üst çeyrek En büyük değer 161

62 Bölüm 6. Verilerin Grafikle Gösterilmesi Elde edilen sayıları sayı doğrusu üzerinde işaretleyip kutu grafiğini oluşturalım ,5 165 En küçük değer Alt çeyrek Ortanca (medyan) Üst çeyrek En büyük değer En küçük ve en büyük değer kutu grafiğinin uç noktalarını, alt çeyrek ve üst çeyrek kutunun köşelerini ve ortanca (medyan) değeri ise kutu grafiğinde şekildeki gibi gösterilir. Ankara daki Anadolu Medeniyetleri Müzesi ne gelen ziyaretçi sayısının aylara göre aşağıdaki gibidir: 15, 54, 171, 866, 315, 567, 774, 95, 65,, 41, 1415 Müzeye gelen ziyaretçi sayılarını gösteren kutu grafiğini çizelim. Kutu grafiğini çizmek için önce verileri küçükten büyüğe sıralayalım. 15, 1415, 171,, 315, 41, 54, 567, 65, 774, 866, 95 Veri grubunun en küçük değer, alt çeyrek, ortanca, üst çeyrek, en büyük değerini belirleyelim. 16

63 Kutu Grafiği Alt grup Üst grup En küçük değer Alt çeyrek Ortanca Üst çeyrek En büyük değer Bulduğumuz verileri sayı doğrusu üzerinde işaretleyip kutu grafiğini oluşturalım Alt Ortanca Üst çeyrek (medyan) çeyrek En küçük değer En büyük değer Kutu grafiği incelendiğinde verilerin dağılımının en büyük değere ve ortanca değerin üst çeyreğe daha yakın olduğu görülmektedir. 3 Devlet tiyatrolarında oynanan iki oyunun on gün boyunca seyirci sayıları tabloda verilmiştir. 1. gün. gün 3. gün 4. gün 5. gün 6. gün 7. gün 8. gün 9. gün A oyunu B oyunu gün Verilere göre oyunların seyirci sayılarını kutu grafiğinde göstererek yorumlayınız. 163

64 Bölüm 6. Verilerin Grafikle Gösterilmesi Verileri küçükten büyüğe sıralayalım. A oyunu için veriler: 371, 44, 615, 6, 69, 7, 77, 71, 76, 85 B oyunu için veriler: 35, 35, 36, 381, 395, 41, 4, 458, 64, 648 Veri gruplarının en küçük değer, alt çeyrek, ortanca, üst çeyrek, en büyük değerini belirleyelim. A oyunu; En küçük değer Alt çeyrek Ortanca (medyan) Üst çeyrek En büyük değer B oyunu; En küçük değer Alt çeyrek Ortanca (medyan) Üst çeyrek En büyük değer Bulduğumuz verileri sayı doğrusu üzerinde işaretleyip kutu grafiğini oluşturalım A oyunu için kutu grafiği B oyunu için kutu grafiği Kutu grafiğine baktığımızda; A oyununda veriler en büyük değere, B oyununda veriler en küçük değere doğru yığılma göstermiştir. A oyununda ortanca, üst çeyreğe alt çeyreğe göre daha yakındır. B oyununda ise ortanca, alt çeyreğe üst çeyreğe göre daha yakındır. B oyunundaki veriler; A oyununa ait verilere göre birbirine daha yakındır. 164

65 Kutu Grafiği 4 Ahmet Bey A ve B bahçelerine dikmek için eşit boyda domates fideleri almıştır. Fidelerin yarısını A bahçesine diğer yarısını daha fazla güneş alan B bahçesine dikmiştir. Ahmet Bey in iki hafta sonra her iki bahçesindeki fidelerinin boylarının (cm) dağılımları aşağıdaki kutu grafiğinde gösterilmektedir Anahtar Bilgi Kutu grafikleri verileri 4 bölüme ayırır. Verilerin yaklaşık olarak yığılmaları şu şekildedir: %5 i en küçük değer - alt çeyrek arası %5 i alt çeyrek - ortanca arası %5 i ortanca - üst çeyrek arası %5 i üst çeyrek - en büyük değer arası A bahçesi B bahçesi Bu grafiklere göre; a. A bahçesindeki fidelerin yaklaşık yüzde kaçı, B bahçesinde yetişen fidelerin boylarıyla aynıdır? b. B bahçesindeki fidelerin yaklaşık yüzde kaçı 5 cm ile 11 cm arasındadır? a. Kutu grafiklerine göre bakarak A ve B bahçelerinde yetişen fideler hakkında yorum yapacak olursak 4 cm ile 6 cm arasında iki bahçede de yetişen fideler bulunmaktadır. 4-6 cm arası yetişen bitkiler A bahçesine ait verilerin ortanca değeri ile en büyük değeri arasında olduğundan A bahçesindeki fidelerin yaklaşık %5 si B bahçesindekiler kadar yetişmiştir. b. B bahçesindeki fidelere baktığımızda alt çeyrek 5 cm, üst çeyrek 11cm olduğundan verilerin yaklaşık %5 si 5-11 cm arasındadır. 165

66 Bölüm 6. Verilerin Grafikle Gösterilmesi 5 Şekilde A ve B şehirlerinin yaz aylarındaki günlük ortalama sıcaklıklarının kutu grafikleri gösterilmiştir A şehri B şehri Buna göre; a. Şehirlerin sıcaklık verilerine göre en büyük değer, en küçük değer, ortanca, açıklık ve çeyrekler açıklığı değerlerini bulunuz. b. Her iki şehrin sıcaklığının 5 nin altına düştüğü gün sayısı yaklaşık yüzde kaç oranındadır? c. Hangi şehir genellikle daha sıcaktır? Soruda A ve B şehirlerinin yaz aylarındaki sıcaklıklarını gösteren kutu grafikleri verilmiştir. Öncelikle grafiklerden elde edebileceğimiz verileri bulalım. a. A şehrinin kutu grafiğine bakıldığında; En küçük değer, alt çeyrek, ortanca 5, üst çeyrek 35 ve en büyük değer 4 bulunur. Buradan A şehrinin açıklığı 4 =, çeyrekler açıklığı 35 =13 bulunur. B şehrinin kutu grafiğine bakıldığında; En küçük değer 15, alt çeyrek 17, ortanca, üst çeyrek 5 ve en büyük değer 3 bulunur. Buradan B şehrinin açıklığı 3 15 = 15, çeyrekler açıklığı 5 17 = 8 bulunur. b. A şehrine baktığımızda ortanca 5 olduğundan 5 nin altına düşen gün sayısı yaklaşık olarak %5 dir. B şehrine baktığımızda üst çeyrek 5 olduğundan ortlama sıcaklığın 5 nin altına düşen gün sayısı yaklaşık %75 tir. 166

67 Kutu Grafiği c. Grafiklere bakıldığında B şehrinin ortalama sıcaklığının (ortanca) nin altına düşen gün sayısı yaklaşık olarak %5 dir. Buna karşılık A şehrinin yaz aylarına ait günlük ortalama sıcaklıklarının tümü nin üstündedir. O halde A şehri yaz aylarında B şehrinden daha sıcaktır. 6 Verilere göre kutu grafiğini oluşturabiliriz. Kutu grafiği verildiğinde ise grafiğe uygun veri grupları oluşturabiliriz. Aşağıda bir kutu grafiği verilmektedir İnceleyelim Veri grubundaki bütün verilerin eşit olması durumunda kutu grafiği nasıl olur? Sizce bu kutu grafiğine uygun veriler neler olabilir? Kutu grafiğini incelediğimizde, veri grubunun en büyük değeri 1, üst çeyreği 8, ortancası 3 ve alt çeyreği ise dir. Kutu grafiğinde en küçük değer, kutunun en solundaki değere karşılık gelmektedir. Bu duruma göre verileri gösteren kutu grafiğinde en küçük değer ile alt çeyrek eşittir. Bu grafiğe ait veriler örneğin aşağıdaki şekilde olabilir. {,,,,,, 3, 3, 8, 8, 8, 8, 9, 1} Siz de aynı grafiği çizdiren başka bir veri grubu oluşturunuz. 167

68 Kutu Grafiği KENDİMİZİ SINAYALIM Kavrama ve Muhakeme 1. 9-A ve 9-B sınıfındaki öğrencilerin 1 temel eserden kaç tane kitap okudukları dikkate alınarak aşağıdaki kutu grafiği çizilmiştir. Bu kutu grafiğine göre aşağıdaki ifadelerden doğru olanların yanına (D), yanlış olanların yanına (Y) yazınız. 9 - A Yukarıdaki kutu grafiğini temsil eden veri grubu hangisi olabilir? a. 5, 48, 4, 18, 95, 8 b. 18, 4, 95, 8, 7, 65, 5, 68 c. 95, 5, 45, 8, 6, 18, 4 ç. 4, 95, 5, 19, 8, 5, 18, 46, B d. 8, 5, 4, 17, 95, 18, Aşağıda bir balıkçının günlük tuttuğu balık sayılarının kutu grafiği verilmiştir. a. (...) 9-A sınıfında kitapların hepsini okuyan öğrenci vardır. b. (...) 9-B sınıfında üst çeyrek 45 tir. c. (...) 9-A sınıfının alt çeyrek değerinin, 9-B sınıfının alt çeyrek değerine oranı 3/ dir. ç. (...) 9-B sınıfının ortancası 6 tır. d. (...) 9-B sınıfının çeyrekler açıklığı 1 dur. e. (...) 9-A sınıfında öğrenciler en az 3 kitap okumuştur.. Hakan 7, 11, 17,, 3 veri grubu yardımıyla aşağıdaki kutu grafiğini çizmiştir Hakan, grafiği doğru mu çizmiştir? Yanlış çizdiyse nerede hata yapmıştır? Bu grafiğe göre aşağıdaki ifadelerden doğru olanların yanına (D), yanlış olanların yanına (Y) yazınız. a. (...) Balıkçının bir günde tuttuğu balık sayısı en fazla 8 dir. b. (...) Günlük tutulan balık sayılarının ortancası 35 tir. c. (...) Günlük tutulan balık sayılarının çeyrekler açıklığı 63 tür. ç. (...) Günlük tutulan balık sayılarının yaklaşık %5 si 3 ile 4 arasındadır. d. (...) Günlük tutulan balık sayılarının 17 ile 3 arasında veri sayısı 4 ile 8 arasındaki veri sayısı aynıdır. e. (...) Grafiğe bakılarak günlük tutulan balık sayılarının tepe değeri bulunabilir. 168

69 KENDİMİZİ SINAYALIM Kutu Grafiği 5. Aşağıda iki benzin istasyonundan günlük benzin alan araba sayıları verilmiştir. Bu grafiklere göre aşağıdaki boşlukları doldurunuz. 7. Aşağıdaki ifadelerden doğru olanların yanına (D), yanlış olanların yanına (Y) yazınız. A istasyonu B istasyonu a. (...) Kutu grafiği çizilirken ortanca değer belirlenir. b. (...) Kutu grafiği çizilirken verilerin açıklığı hesaplanmalıdır. a. A istasyonundan günde en fazla... araba benzin almıştır. b. B istasyonundan günde en az... araba benzin almıştır. c. A istasyonunun yaklaşık %... verisi, B istasyonunun verileri ile aynı aralıktadır. ç. B istasyonunun verilerinin çeyrekler açığı, A istasyonunun çeyrekler açığından... fazladır. d. A istasyonunun verilerinin ortanca değeri ile B istasyonunun verilerinin... değeri birbirine eşittir. c. (...) Kutu grafiğinde üst çeyrek ortancadan küçük bir değer alır. ç. (...) Alt çeyrek ile ortanca bazı kutu grafiklerinde aynı çizgiyi gösterebilir. Alıştırmalar 1. Aşağıdaki kutu grafiğine göre verilen boşluklara uygun değerleri yazınız. 6. Aşağıdaki veri grupları ile bu veri gruplarına ait olan kutu grafiklerini eşleştiriniz. a b. En büyük değer:... En küçük değer:... c. ç. Ortanca:... Alt çeyrek:... Üst çeyrek:... (...), 4, 6, 8, 1, 1, 14 (...),,, 8, 1, 1, 14 Çeyrekler açığı:... (...), 4, 6, 1, 1, 1, 1 (...) 4, 4, 4, 1, 1, 1, 1 169

70 Kutu Grafiği KENDİMİZİ SINAYALIM. Bowling oyunu oynayan Cem in aldıkları puanlar aşağıdaki kutu grafiğinde gösterilmektedir. Puanların çeyrekler açıklığı 4 olduğuna göre, puanların ortancasını bulunuz. 4. Aşağıdaki çizilen kutu grafikleri için örnek veri grupları oluşturunuz. a. 6 a 4b a + b En küçük değer: 3. 9/A ve 9/B sınıflarının sınav sonuçları kutu grafiklerinde verilmiştir. 9 / A 15 9 / B En büyük değer: Alt çeyrek: Üst çeyrek: Ortanca (Medyan): Veriler {..} Verilen kutu grafiklerine göre; b. a. Sınıflarda en yüksek ve en düşük alınan notları bulunuz. b. 9/B sınıfı öğrencilerinin yaklaşık yüzde kaçı 9/A sınıfı öğrencileri ile aynı aralıkta puan almıştır? c. 9/A sınıfının yaklaşık yüzde kaçı 65-7 aralığında not almıştır? ç. 9/B sınıfının yaklaşık yüzde kaçı aralığında not almıştır? En küçük değer: En büyük değer: Alt çeyrek: Üst çeyrek: Ortanca (Medyan): Veriler {..} 17

71 BÖLÜM ÖZETİ Veri Türleri Sayısal veriler sürekli ve kesikli olmak üzere ikiye ayrılır. Sürekli veri, belli aralıkta bütün değerleri alabilir. Bir insanın ağırlığı, boyu, oda sıcaklığı sürekli veriye örnek olarak verilebilir. Kesikli veri, belli bir aralıkta her değeri alamaz. Kişi sayısı, alınan kitap sayısı ve bir çokgenin kenar sayısı kesikli veriye örnek olarak verilebilir. Grafik Türleri Verileri grafiklerle göstermek, veriler arasında karşılaştırma ve yorumlamada en etkili yollardan biridir. Grafik türlerini aşağıdaki şekilde gösterilebilir. Sütun Grafiği, belirli bir zaman aralığında bazı veri gruplarının gelişimini veya veri gruplarını karşılaştırmak amacıyla kullanılabilir. Sütun grafiğinde veriler sütunlar veya çubuklarla gösterilir. Yatay ve düşey şekilde oluşturulan eksenler isimlendirilir. Histogram, oluşturulurken aralıklar ve bu aralıktaki veri sayıları belirlenir ve sütun grafiği şeklinde gösterilir. Histogramda bir eksene aralıklar, diğer eksene ise bu aralıktaki veri sayıları yazılır. Histogramda sütun grafiğinden farklı olarak sütunlar arasında herhangi bir boşluk yoktur ve sütunların uzunluğu ilgili grupta bulunan verilerin sayısını gösterir. Çizgi grafiği, borsada bir aylık altın ve paranın değerleri ve illerin bir haftalık tahmini hava sıcaklık değerleri gibi bir veri grubunun belirli bir zaman aralığındaki değişimini göstermede kullanılır. Grafik, yatay eksene zaman aralığı, düşey eksene ise veriler yazılarak oluşturulur. Daire grafiğinde veriler bütün içerisindeki oranları veya yüzdeliği gösterir. He bir verinin bütün verilerin toplamına oranı hesaplanır ve dairenin içerisinde ayırdığı bölge işaretlenir. Serpme grafiği, İki farklı değişken arasındaki ilişkiyi vurgulamak için kullanılır. Serpme grafiği oluşturulurken eksenlere değişkenler yazılır ve değerler koordinat düzleminde nokta ile gösterilir. Serpme grafiği; pozitif yönlü ilişki, negatif yönlü ilişki ve ilişkisiz olmak üzere üç şekilde yorumlanabilir. Kutu grafiği veri grubunda, ortanca, alt çeyrek, üst çeyrek, en küçük değer ve en büyük değerler bulunarak oluşturulmaktadır. Oluşturulan grafik verilerin genel dağılımı hakkında bizlere bilgi verir. 171

72 Bölüm 6.. Verilerin Grafikle Gösterilmesi BÖLÜM DEĞERLENDİRME 1. Matematik öğretmeni Yakup Bey ile biyoloji öğretmeni Demet Hanım dersine girdikleri beş 9. Sınıf şubesinin I. dönem not ortalamalarını karşılaştırmak istiyorlar. Aşağıdaki tabloda bu sınıfların her iki dersten dönem ortalamaları verilmiştir öğrenciye en çok sevdikleri kitap türleriyle ilgili bir anket uygulanmıştır. Anket sonucunun kitap türlerine göre dağılımını gösteren daire grafiği aşağıda verilmiştir. 9-A 9-B 9-C 9-D 9-E Matematik Biyoloji Yakup Bey ve Demet Hanım iki derse ait bu verileri uygun grafikle gösteriniz. 1 Şiir 6 Ekonomi 4 Felsefe Tarih Edebiyat. Aşağıdaki histogramda bir şehir terminaline gün içinde giriş yapan otobüs sayıları verilmiştir. Otobüs sayısı Saatler a. Bu histograma göre bu terminale gün içinde kaç otobüs girmiştir? b. Terminale en fazla hangi saatler arası otobüs girmiştir? c. Terminale en az otobüs hangi saatler arasında girmiştir? ç. Saat arası kaç otobüs terminale giriş yapmıştır? Felsefe ve edebiyat türündeki kitapları seven öğrenci sayıları eşit olduğuna göre, yukarıdaki grafikte belirtilen kitap türlerini seven öğrenci sayılarını ayrı ayrı bularak, daire grafiğini sütun grafiğine dönüştürünüz. 4. Aşağıdaki histogramda aynı apartmanda oturan öğrencilerin okullarının apartmana olan uzaklıkları verilmiştir Öğrenci sayısı Uzaklık 17

73 Bölüm 6.. Verilerin Grafikle Gösterilmesi BÖLÜM DEĞERLENDİRME Bu histograma göre aşağıdaki soruları cevaplayınız. a. Histogramın veri genişliği nedir? b. Histogram kaç gruptan oluşmaktadır? c. Apartmanda bulunan öğrenci sayısı kaçtır? ç. En uzak okula giden en çok kaç öğrenci vardır? d. En çok öğrenci ne kadar uzaklık aralığındaki okullara gitmektedir? e. 5 m den daha uzak okula giden kaç öğrenci vardır? f m uzaklıkta okula giden en fazla kaç öğrenci olabilir? g. 3-4m uzaklıktaki okula giden en az kaç öğrenci olabilir? 5. Aşağıdaki grafikte Mehmet Amca nın yetiştirdiği kümes hayvanlarının sayısını gösteren daire grafiği verilmiştir. Tavuk sayısı horoz sayısından 4 fazla ise kaz sayısını bulunuz. 6. Aşağıda A ve B mağazalarının aylık müşteri sayılarını gösteren bir tablo verilmektedir. A B Ocak Şubat Mart Nisan Mayıs Haziran Temmuz Ağustos Eylül Ekim Kasım Aralık Buna göre; a. Her iki mağazaya ait bu verileri gösterebileceğimiz uygun bir grafik çiziniz. b. Bu veriler çizdiğiniz grafik türünden başka bir grafik türünde de gösterilebilir mi? c. Bu verileri her iki mağazanın mevsimlerdeki müşteri sayılarını gösterecek şekilde uygun bir grafik türünde gösteriniz. ç. Sınıf arkadaşlarınıza sorulmak üzere; yalnızca yukarıda birinci maddede çizdiğiniz grafikten faydalanarak cevaplayabilecekleri iki soru oluşturunuz. Hindi 1 Horoz &'(') %$! 7 Kaz -") &$! 4 Tavuk "#$! 15!"#$% 173

74 Bölüm 6.. Verilerin Grafikle Gösterilmesi BÖLÜM DEĞERLENDİRME 7. Aşağıdaki çizgi grafiğinde 3 öğrencinin matematik sınavlarından aldığı notlar verilmiştir. Verilen grafiğe göre aşağıdaki boşlukları doldurunuz Notlar 1. Sınav. Sınav 3. Sınav Adnan Orhan Ali Yazılılar a. Ali... sınavdan en yüksek notu almıştır. b. 3. sınavdan en yüksek notu alan öğreci... dır. c.. sınavda 1. sınava göre notunu arttıran öğrenci...dır. ç. Notları en az değişkenlik gösteren öğrenci...dır. d. İki sınavda da en yüksek notu alan öğrenci... dır. 8. Bir istasyondan bir günde yapılan yedi tren seferinin yolcu sayıları aşağıdaki sütun grafiğinde verilmiştir. Kişi Sayısı Sefer. Sefer 3. Sefer Bu grafiğe göre, 4. Sefer 5. Sefer 6. Sefer 7. Sefer Bayan Erkek Seferler a. Yapılan yedi seferde toplam erkek yolcu sayısı, toplam bayan yolcu sayısından kaç fazladır? b. 5. Seferde yolculuk yapan yolcu sayısı, tüm yolcuların yüzde kaçıdır? 9. Bir sınıftaki öğrencilerin tercih edecekleri meslekleri ve o mesleği kaç öğrencinin tercih edeceğini gösteren grafikler aşağıda verilmiştir. Sütun grafiğinden yararlanarak daire grafiğindeki dilimlerin hangi mesleklere ait olduğunu ve bütün içindeki oranlarını bulunuz Öğretmen Doktor Mühendis Akademisyen 1. Cemil in kalem kutusunda farklı renklerde kalemleri vardır. Aşağıdaki grafikte kalemlerin sayısının renklerine göre dağılımı verilmiştir. Sayı Kırmızı Sarı Mor Yeşil Siyah Beyaz Renkler Bu grafiğe göre, aşağıdaki soruları cevaplayınız. 174

75 Bölüm 6.. Verilerin Grafikle Gösterilmesi BÖLÜM DEĞERLENDİRME a. Kalemlerin yüzde kaçı kırmızıdır? b. Mor ve siyah kalemlerin sayısının, bütün kalemlerin sayısına oranını yazınız. c. Cemil en az kaç kalem daha alırsa bütün renklerdeki kalem sayısını eşitleyebilir? 1. Aşağıdaki daire grafiğinde bir üniversitede öğrenim görmekte olan tüm öğrencilerin fakültelere dağılımı gösterilmiştir. Buna göre aşağıdaki ifadelerin doğru olanların yanına (D), yanlış olanların yanına (Y) koyunuz. ç. Sütun grafiği ile verilen kalem sayıları, bir daire grafiği ile gösterilebilir mi? D Fakültesi %33 A Fakültesi %8 11. İnsan vücudunda bulunan elementlerin yüzdelik oranları yaklaşık olarak grafikte verilmiştir. %1 %3 %%1%1 C Fakültesi % B Fakültesi %17 a. ( ) A fakültesinde 35 öğrenci var ise üniversitede öğrenim gören öğrencilerin sayısı 1.5 dür. %65 b. ( ) Daire grafiğinde B fakültesinin merkez açısı 17 derecedir. c. ( ) Grafik yanlış çizilmiştir. Çünkü daire grafiğinde değerlerin toplamı 36 olmalıdır. Oksijen Karbon Hidrojen Azot ç. ( ) Daire grafiğinde C fakültesinin merkez açısı yaklaşık 79 derecedir. Kalsiyum Fosfor Diğer Bu grafiğe göre, aşağıdaki soruları cevaplayınız. a. 8 kg olan birinin vücudunda yaklaşık olarak ne kadar oksijen vardır? b. Vücudunda bulunan karbon ile kalsiyum miktarının toplamı 13 kg olan biri, yaklaşık olarak kaç kg dır? 175

76 Bölüm 6.. Verilerin Grafikle Gösterilmesi BÖLÜM DEĞERLENDİRME 13. Türkiye de -1 yılları arasında üretilen kömürlerin belirli miktarı elektrik üretimi için termik santrallere, geri kalan kısmı da yakacak olarak kullanılması için piyasaya sürülmektedir. - 1 yılları arasında termik santrallere ve piyasaya sürülen kömür miktarlarını gösteren çizgi grafiği aşağıda verilmiştir. 14. Okulunuzun bulunduğu ilin son beş günlük sıcaklıklarını Meteoroloji genel müdürlüğünün adresinde elde ederek bu verilere uygun bir grafik türünde gösteriniz. İlinizin bu sıcaklıkları ile merak ettiğiniz başka bir ilin son beş günlük sıcaklıklarını karşılaştırabileceğiniz grafik türlerini belirterek bu karşılaştırmayı gösteriniz. Milyon ton Aşağıda verilen çizgi grafiğinde x-eksenini geçen süreyi göstermektedir Yıl : Termik santrallere gönderilen kömür miktarı : Piyasaya sürülen kömür miktarı Buna göre aşağıdaki ifadelerin doğru olanların yanına (D), yanlış olanların yanına (Y) koyunuz (,) (15,5) (5,5) (34,) (45,) (51,) Geçen süre a. ( ) Piyasaya sürülen kömür miktarlarının standart sapması, termik santraline gönderilenlerden daha küçüktür. Bu grafiğe uygun bir gerçek hayat problemi yazınız. b. ( ) yılında toplam 3 milyon ton kömür üretilmiştir. c. ( ) Termik santrallerine verilen kömür miktarlarının veri açıklığı, 5 milyondan daha küçüktür. ç. ( ) Bu dokuz yıl süresince piyasaya sürülen kömür miktarlarının aritmetik ortalaması, termik santrale verilenlerden daha büyüktür. 176

77 Bölüm 6.. Verilerin Grafikle Gösterilmesi BÖLÜM DEĞERLENDİRME 16. Aşağıda ifadeler ve bu ifadeler için oluşturulan üç farklı grafik görmektesiniz. Açıklamaları en uygun grafik ile eşleyiniz. 17. Bir durağa bir saat içinde gelen belli sayıda otobüsten inen ve binen yolcu sayılarının serpme grafiği aşağıda verilmiştir a. Binen yolcu sayısı b. İnen yolcu sayısı Aşağıdaki boşlukları grafiğe göre doldurunuz. a. Grafikte en az... tane otobüse ait bilgiler verilmiştir. b. Bir defada inen yolcu sayısı en fazla... dir. c. c. Bir defada binen yolcu sayısı en az... dir. ç. 5 yolcunun indiği durumda otobüse... yolcu binmiştir. d. Toplam bütün otobüslere binen yolcu sayısı en az... dır. (...) Öğrencilerin fizik dersi sınavı için ders çalışma süresi ve bu sınavdan aldığı puan arasındaki ilişkiyi gösteren grafiktir. (...) Gün içinde içilen su miktarı ile televizyon izleme süresi arasındaki ilişkiyi gösteren grafiktir. (...) Cep telefonlarının konuşma süresi ile pillerinde kalan enerji düzeyi arasındaki ilişkiyi gösteren grafiktir. 177

78 Bölüm 6.. Verilerin Grafikle Gösterilmesi BÖLÜM DEĞERLENDİRME 18. Aşağıda A ve B değişkenlerinin serpme grafiği verilmiştir. B değerleri A değeri Aşağıdaki tabloda boş bırakılan yerleri grafiğe uygun şekilde doldurunuz. a. Oynadıkları maçlarda skoru aynı olan tane maç vardır. b. Toplam attıkları gol sayısı en az..olabilir. c. Toplam yedikleri gol sayısı en çok olabilir. ç. En az.tane maçı yenmişlerdir. d. En çok.tane maçta yenilmişlerdir. e. İki değişken arasındaki ilişki durumu. tır.. 1 öğrencinin tarih dersi ile fizik dersi not ortalamaları aşağıdaki tabloda verilmiştir. A B Tarih Fizik Öğrencilerin tarih dersindeki başarılarının fizik dersindeki başarılarıyla ilişkili olup olmadığını anlamak için hangi grafik türü kullanılmalıdır? Verileri belirlediğiniz grafik türüne uygulayarak yorumlayınız. 19. Aşağıda, Can ın mahallede yaptıkları son 1 maçta, bulunduğu takımın attığı ve yediği gol sayılarını karşılaştıran serpme grafiği verilmiştir. Yedikleri gol sayısı Attıkları gol sayısı Aşağıdaki ifadelerde boş yerleri uygun şekilde doldurunuz. 1. Zeynep 1 yaşındadır. Ailesi farklı yıllarda yaptığı ölçümlerle aşağıdaki boy-ağırlık tablosunu oluşturmuştur. Boy(cm) Ağırlık(kg) Zeynep in boy-ağırlık ilişkisini incelemek için uygun bir grafik çiziniz. 178

79 Bölüm 6.. Verilerin Grafikle Gösterilmesi BÖLÜM DEĞERLENDİRME. 13 YGS sınavına giren 15 öğrencinin matematik ve tarih derslerindeki netleri aşağıdaki grafikte verilmiştir. Matematik Dersi Net Sayısı Tarih Dersi Net Sayısı a. Grafiği kullanarak değişkenler arasındaki ilişkiyi yorumlayınız. 3. Bir oto galeri A ve B marka arabaların satışı için internet sitesine ilan verir. Bu ilan için bir hafta süresince siteyi ziyaret eden kişi sayısını gösteren grafiğe aşağıda yer verilmiştir. Kişi sayısı (x1) Günler B Marka A Marka b. Tarih netlerinin aritmetik ortalamasını bulunuz. c. Matematik netlerinin aritmetik ortalamasını bulunuz. a. A marka otomobil için günler ve siteyi ziyaret eden kişi sayısı arasındaki ilişkiyi yorumlayınız. b. B marka otomobil için günler ve siteyi ziyaret eden kişi sayısı arasındaki ilişkiyi yorumlayınız. c. A marka otomobil ilanını bir haftada toplam kaç kişi ziyaret etmiştir. ç. Günlere göre B marka otomobil ilanını ziyaret eden kişi sayısını veri grubu olarak kabul edersek bu veri grubunun açıklığı ile ortancası arasındaki farkı bulunuz. 179

80 Bölüm 6.. Verilerin Grafikle Gösterilmesi BÖLÜM DEĞERLENDİRME 4. Aşağıda verilen serpme grafiğini kullanarak üç farklı problem yazınız Depoda kalan yakıt miktarı Verilen kutu grafiğine göre verilerin yaklaşık yüzde kaçı 7 ile 8 arasında değildir? A) 1 B) 5 C) 5 D) 75 E) Kat edilen yolu (km) 7. Aşağıdaki ifadelerde doğru olanların yanına (D), yanlış olanların yanına (Y) yazınız. 5. Aşağıdaki serpme grafiğine uygun gerçek hayat problemi yazınız (...) Çeyrekler açığı verilerin yaklaşık %5 sini içerir. (...) En küçük değerle alt çeyrek arasındaki veri sayısı, ortanca ile üst çeyrek arasındaki veri sayısına her zaman eşittir. (...) Kutu grafiğine bakılarak verilerin en küçük değere veya en büyük değere doğru yığıldığı hakkında yorum yapabiliriz. 18

81 Bölüm 6.. Verilerin Grafikle Gösterilmesi BÖLÜM DEĞERLENDİRME 8. Verilen kutu grafiğinde en küçük değer, en büyük değer, alt çeyrek, üst çeyrek, ortanca değerlerini bulunuz Okul sezonunun açılmasıyla okul çantaları raflarda yerini alıyor. Çanta satan bir mağazanın sahibi olan Sinan ın vitrininde bulunan çantaların fiyatları; boyutuna, kullanılan malzemeye ve işçiliğe göre değişmektedir. Çantacı Sinan ın vitrininde bulunan çantaların fiyatları TL olarak aşağıda verilmiştir. 4, 9, 34, 39, 9, 34, 5, 65, 99, 19, 4, 9, 65, 5, 34, 75, 79, 4 Verilere göre; a. Ortanca değerini bulunuz. b. Alt ve üst çeyrek değerlerini bulunuz. c. Açıklığı bulunuz. 9. Aşağıda 6 kişilik bir sınıftaki öğrencilerin dakikada okudukları kelime sayıları verilmiştir. ç. Bu verileri bir grafikle gösterecek olursak hangi tür grafik tercih edilmelidir? Çiziniz. 13, 115, 1, 13, 11, 7, 15, 133, 19, 15, 35, 14, 119, 13, 13, 16, 1, 15, 119, 17, 18, 19, 13, 134, 133, 16 a. Bu verileri kutu grafiğinde gösteriniz. b. Veri setindeki en büyük ve en küçük değeri çıkararak oluşturulan yeni veri setini bir kutu grafiğinde gösteriniz. c. Yukarıda çizdiğiniz her iki grafiği inceleyerek bu veri setindeki en küçük-en büyük değerin kutu grafiğine nasıl bir etkisi olmuştur. 31. Aşağıdaki kutu grafiğine göre soruları cevaplandırınız a. Ortanca değeri bulunuz. b. Alt ve üst çeyrek değerlerini bulunuz. c. En büyük ve en küçük değeri bulunuz. 181

82 Bölüm 6.. Verilerin Grafikle Gösterilmesi BÖLÜM DEĞERLENDİRME 3. Sevda nın ilk yazılılardan aldığı notlar aşağıdaki gibidir. Sevda nın bu notlarını gösteren kutu grafiğini çiziniz. 75, 45, 8, 6, 55, 7, 66, 85, 68, 79, Bir çiçekçinin mayıs ayında sattığı gül ve karanfil sayılarına dair veriler şu şekildedir. Satılan gül sayısı: 1, 15, 13,, 1, 1, 14, 8, 17, 1, 16, 1, 9, 13,, 14, 16, 15, 13, 11, 11, 1, 1, 1, 13, 9, 13, 7, 17, 8, 7 Satılan karanfil sayısı: 8, 13, 1, 1, 15, 17, 6, 9, 1, 1, 15, 5, 7, 13, 1, 5, 1, 8, 7, 11, 6, 9, 1, 13, 1, 11, 14, 1, 9, 7, 4 a. Satılan gül sayılarının tepe değerini bulunuz. b. Satılan gül ve karanfil sayılarını birlikte gösteren kutu grafiğini çiziniz. 33. Bir işyerinde çalışan işçilerin yaşları ile ilgili kutu grafiği verilmiştir yaşları arasında 5 kişi var ise 4 yaşından küçük en çok kaç kişi vardır?

83 Ünite 6 VERİ, SAYMA VE OLASILIK Bölüm 6.3. Olasılık Bu Bölümde Neler Öğreneceğiz? Deney, örnek uzay ve olay kavramlarının ne olduğunu Eş olasılıklara sahip olayların olasılığını hesaplamayı Ayrık ya da ayrık olmayan olayların tanımlanmasını ve olasılıklarının hesaplanmasını Bir olayın tümleyeninin tanımını ve olasılıklarının hesaplanmasını Neden Öğreneceğiz? Günlük hayatta karşımıza çıkan pek çok olay önceki bölümlerde incelediğimiz durumlardan farklı olarak bir kesinlik belirtmez. Örneğin, hava durumu tahminleri, şans oyunlarında kazanma veya kaybetme, sigortacılıkta riskli durumlar, tıbbi riskler ele alınabilir. Bu tür durumlarda çıkarım yapabilmek için tahminler yürütmek, bütün ihtimalleri göz önünde bulundurmak ve buna göre karar vermek gerekebilir. Olasılık ve ilgili kavramlar bize doğru kararlar vermede yardımcı olur. Geleceği bilemeyiz ancak olasılık kavramını kullanarak bir olayın ne derece gerçekleşebileceği veya gerçekleşmeyeceğiyle ilgili değerlendirme yapabiliriz.

84 Bölüm 6.3. Olasılık HAZIR MIYIZ? 1. Havaya atılan madeni bir para yere düştüğünde paranın üstte kalan yüzünü gözlemlersek karşılaşabileceğimiz durumların kümesini yazınız. 3. Aşağıda verilen olayları eşit veya farklı olasılıklara sahip olmalarına göre değerlendiriniz. Farklı olarak değerlendirdiğiniz durumda hangisinin olasılığının daha büyük olduğunu belirtiniz. a. 15 erkek ve 15 kız öğrenciden oluşan bir sınıf listesinden rastgele bir öğrenci seçiliyor. Seçilen öğrencinin kız olması ile erkek olması. b. Bir torbada 15 i sarı 5 i mavi olmak üzere 4 tane bilye bulunmaktadır. Torbadan rastgele seçilen bir bilyenin sarı olması ile mavi olması.. Aşağıdaki olaylardan her birinin gerçekleşme olasılığını kesin, kuvvetle olması beklenir, olabilir de olmayabilir de, olması pek beklenmez, imkansız sıfatlarından biri ile nitelendiriniz. a. Yarın yağmur yağması b. Bir Türk futbol takımının bu yıl UEFA Kupası nı kazanması c. Bir kişinin İstanbul dan Ankara ya hiç dinlenmeden koşarak gitmesi ç. Bir öğrencinin yükseköğretime Geçiş Sınavı nda tüm soruları doğru cevaplandırması d. Suya düşen bir taşın ıslanması e. Sınıfın kapısından içeri girecek ilk öğrencinin erkek olması 4. Bir okulda, iki satranç grubu bulunmaktadır. Birinci grup 15 tane erkek; ikinci grup ise 15 tane kız öğrenciden oluşmaktadır. Buna göre aşağıdaki olayların olasılıklarını değerlendiriniz. a. Birinci gruptan seçilen bir öğrencinin erkek olması. b. İkinci gruptan seçilen bir öğrencinin kız olması. c. İkinci gruptan seçilen bir öğrencinin erkek olması. ç. İki grup birleştirildikten sonra rastgele seçilen bir öğrencinin kız olması. f. Sınava çok iyi hazırlanan bir öğrencinin sınavda başarılı olması 5. Bir olayın gerçekleşme olasılığı 1/3 ise, bu olayın gerçekleşmeme olasılığı nedir? 184

85 Basit Olayların Olasılıkları Basit Olayların Olasılıkları Başlarken Bir çoğumuz olasılık kavramını farkında olarak ya da olmayarak kullanırız. Geleceği bilemeyiz ama bir olayın olasılığını matematiksel olarak belirleyip ona göre seçimimizi yapabiliriz. Bir hastanın kendisi için çok önemli bir ameliyatı kabul edip etmeme konusunda kararsız kaldığını düşünün. İstatistiki veriler o ameliyatın başarı oranının %89 olduğunu söylüyor ise o hastanın kararını nasıl vermesini beklersiniz? Korkmanıza gerek yok! Sizden önceki 99 kişi zaten öldü! Doktor! Bu ameliyatta başarı şansı %1 deniyor, korkuyorum! Hava durumu genellikle hava tahmin raporu olarak verilir. Burada neden tahmin denildiğini hiç düşündünüz mü? Hafta sonu ailenizle birlikte pikniğe gideceğinizi varsayalım. Cuma günü bulunduğunuz yerin hava durumunu öğrenmek için girdiğiniz Meteoroloji Genel Müdürlüğünün internet sitesinde ( sizin bulunduğunuz şehrin cumartesi gününe ait verileri parçalı bulutlu, en yüksek sıcaklık 15 C, yağış ihtimali % şeklinde olduğuna göre, pikniğe gitme kararı verir misiniz? Neler Öğreneceğiz? Deney, örnek uzay ve basit olay kavramlarını Ayrık ve ayrık olmayan olaylar ve olasılıklarını Bir olayın tümleyeni ve tümleyeninin olasılığını Anahtar Terimler Deney Örnek uzay Olay Basit olay Çıktı Kesin olay İmkânsız olay Ayrık olay Ayrık olmayan olay Tümleyen Bunu biliyor muydunuz? Bir A olayının olma olasılığını gösteren P(A) ifadesindeki P harfi olasılık teriminin Latince karşılığı olan Probabiliter kelimesinin baş harfidir. Sigortacılar risk yönetimi yaparlarken olasılığı temel olarak alırlar. Bir aracın sigortasını yaparken, müşterinin yaşı, daha önce kaza yapıp yapmadığı, aracın marka ve modeli, aracın plakasının hangi şehre ait olduğu gibi bilgiler müşterinin kaza riskinin hesaplanması ve buna bağlı olarak sigorta bedelinin belirlenmesinde önemlidir. 185

86 Bölüm 6.3 Olasılık Gün boyunca kesin, imkânsız, muhtemel olarak nitelendirdiğimiz olaylarla karşılaşıyoruz. Örneğin bir taşı suya atalım. Bu taşın ıslanması kesin, havada asılı kalması ise imkansızdır. Öte yandan taş, nişan alınan bir hedefe isabet edebilir ya da etmeyebilir. Bildiğiniz gibi gerçekleşmesi kesin olan olayların olasılığı 1; gerçekleşmesi imkânsız olan olayların olasılığı ise olarak tanımlanmıştır. Olasılık kavramı kesin veya imkansız dışındaki olaylar için de bir olabilirlik ölçüsü tanımlar. Bu ölçü ile 1 arasında bir gerçek sayı olarak ifade edilir ve olayın olasılığı adını taşır. Bir A olayının olasılığı P(A) ile gösterilir. Söz gelimi bugün yağmurun yağması, yolda yürürken ilk gördüğümüz arabanın kırmızı olması, sınıfın kapısından giren ilk öğrencinin erkek olması olaylarının ile 1 arasında birer olasılık değeri vardır. Gerçekleştirilen deneyin karmaşıklığına bağlı olarak bazı olayların olasılığının kesin olarak hesaplanması mümkün olmayabilir. Örneğin, bir basketbol oyuncusunun bir serbest atışta sayı kaydetmesinin olasılığı tanımlı olmasına rağmen bu değer tam olarak bilinemez. Ancak bu oyuncunun son iki senedeki serbest atışlardaki isabet oranına dayalı olarak bir tahmin yürütülebilir. Sıkça karşılaşılan bir deneydeki olayların olasılıkları yukarıdaki örnekteki gibi istatistik kullanılarak tahmin edilebilir. 3. Dünya savaşının çıkması veya iki arkadaşın yıl sonra bir yerde karşılaşması gibi, sıkça tekrarlanmayan veya gözlem imkânının sınırlı olduğu deneylerle ilgili olayların olasılıklarını hesaplanması mümkün değildir. Sonuçları gözlemlenebilir ya da kavranabilir olaylara deney adı verilir. Bir deneyle ilişkilendirilebilecek farklı tüm sonuçların oluşturduğu kümeye örnek uzay denir. Örnek uzayın her alt kümesine olay, her bir elemanına (tek elemanlı alt kümelerine) basit olay ya da çıktı denir. 186

87 Basit Olayların Olasılıkları Örneğin, altı yüzlü bir zarın bir kere atılması deneyinin örnek uzayı {1,, 3, 4, 5, 6} dır. Zarın 3 ten küçük olması bir olaydır. Çift sayı olması da bir olaydır. Zarın 5 gelmesi ise basit bir olaydır. Yazı-Tura oyununda paranın bir kez atılması bir deneydir. Bu deneyin örnek uzayı {Yazı, Tura} dır. Paranın yazı gelmesi veya tura gelmesi birer basit olaydır. Bir sınıfta 1 erkek ve kız öğrenci vardır. Sınıftan rastgele bir öğrenci seçelim. Seçilen bu öğrencinin cinsiyeti söz konusuysa örnek uzay {Kız, Erkek} olur. Öğrencinin gözlük kullanıp kullanmadıği söz konusu olduğunda ise örnek uzay {Gözlüklü, Gözlüksüz} olur. Bu öğrencinin kim olduğuyla ilgileniyorsak örnek uzay 3 öğrenciden oluşan kümedir. Seçilen bir öğrencinin yoklama listesindeki ilk öğrenci olma olayının örnek uzayı eş olası 3 elemandan oluşan kümedir. Her öğrencinin seçilme şansı aynı olduğundan aradığımız olasılık değeri olur. Öğrencinin cinsiyetinin söz konusu olduğu durumda 3 1 ise örnek uzay iki elemandan oluşmaktadır. Fakat {Kız, Erkek} örnek uzayındaki olaylar 1 eş olası olmadığından seçilen bir öğrencinin erkek olma olasılığı dir diyemeyiz. Bu olasılık, sınıftaki erkek öğrenci sayısının sınıftaki tüm öğrencilerin sayısına oranı dikkate 1 alınarak PErkek ( ) = olarak tanımlanır. 3 Bir torbada bulunan a tane topun tam olarak b tanesi beyaz ise ve her topun seçilme şansı aynı ise rastgele seçilen bir topun beyaz olma olasılığı PBeyaz ( ) = b a olarak tanımlanır. Bir örnek uzaya ait A olayının gerçekleşme olasılığı, A olayını temsil eden kümenin eleman sayısının, örnek uzayın eleman sayısına oranı olarak s( A) hesaplanır. PA ( ) = se ( ) Olma ve olmama olasılığı eşit İmkansız olay 1 ya da,5 Kesin olay Olmaması Olması muhtemel muhtemel P(A) 1 187

88 Bölüm 6.3 Olasılık Dikkat Bu bölümde aksi belirtilmediği sürece zar, altı yüzlü ve hilesiz olarak ele alınacaktır. 1 Bir zarın ve bir paranın birlikte atılması deneyinin örnek uzayını bulalım. Zarın üzerine gelecek her sayı için paranın iki farklı konumu olacağından örnek uzayda toplam 6 = 1 eleman olmalıdır. Bu elemanların karıştırılmadan yazılması için aşağıdaki gibi bir tablo oluşturabiliriz. Para Zar Y T İki zarın birlikte atılması deneyinin örnek uzayını bulalım. Bir zardaki her sayı için diğer zarda 6 farklı durum olacağından 36 farklı sonuç olmalıdır. Bu sonuçları aşağıdaki gibi bir tablo ile gösterebiliriz. 1. Zar Zar

89 Basit Olayların Olasılıkları Böyle bir tabloyu bu şekilde hazırlamak her zaman pek pratik olmayacağı için benzer durumlarda aşağıdaki gibi bir tablo kullanılabilir: İki zar (1,1) (1,) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) (,1) (,) (,3) (,4) (,5) (,6) 3 (3,1) (3,) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) 4 (4,1) (4,) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6) 5 (5,1) (5,) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6) 6 (6,1) (6,) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6) 189

90 MATEMATİK ATÖLYESİ Bu atölye çalışmasının amacı bir deneyin sonuçlarını inceleyerek olasılık değerini tahmin etmektir. Araç Gereçler : Raptiye, kalem, kağıt Adım 1 Bir raptiyeyi sivri tarafından tutarak hızlı bir şekilde düz bir zeminde çevirerek bırakınız. Bu işlemi 5 defa yapınız. Adım Raptiyenin dik geldiği her seferinde aşağıdaki resmin yanına bir çentik ( ) atınız. Adım 3 Raptiyenin yan geldiği her seferinde aşağıdaki resmin yanına bir çentik ( ) atınız. Adım 4 Çıkan sonuçlar arasında nasıl bir ilişki gördünüz? Açıklayınız. Adım 5 Deneye bu şekilde devam edilirse raptiyenin yan ve dik gelme olasılıkları arasında nasıl bir ilişki olmasını beklersiniz? Açıklayınız. Adım 6 Yukarıdaki deneyi bir madeni para ile yazı ve tura gelme durumlarını kaydederek tekrarlayın. Paranın yazı ve tura gelme olasılıkları arasında nasıl bir ilişki olmasını beklersiniz? Açıklayınız. 19

91 Basit Olayların Olasılıkları 3 Bir madeni paranın arka arkaya 3 kez atılması deneyinde oluşan örnek uzayı bulalım. Bir madeni paranın üç kez arka arkaya atılması deneyinde oluşabilecek tüm sonuçları aşağıdaki gibi bir diyagram (şema) çizerek gösterebiliriz. Y Y T Y T Y T YYY YYT YTY YTT T Y T Y T Y T TYY TYT TTY TTT Bu şekildeki gösterime ağaç diyagramı (şeması) yöntemi denir. O halde; E = {YYY, YYT, YTY, TYY, YTT, TYT, TTY, TTT} dir. Art arda yapılan madeni para atma deneyinde paranın Bir kez atılması sonucu örnek uzayın eleman sayısı, İki kez atılması sonucu örnek uzayın eleman sayısı 4, İnceleyelim Bir para art arda n defa atılırsa sonuç sayısı kaç olur? Açıklayınız. Üç kez atılması sonucu örnek uzayın eleman sayısı 8 dir. 191

92 Bölüm 6.3 Olasılık 4 Aşağıda verilen olayları yazalım. a. Bir madeni paranın art arda 3 kez atılması deneyinde üst yüze en az iki yazı gelmesi. b. Bir zar atıldığında üst yüze asal sayı gelmesi. c. Bir zar iki kez art arda atıldığında üst yüze aynı sayıların gelmesi. ç. Üç madeni para aynı anda atıldığında ilk ikisinin tura üçüncüsünün yazı gelmesi. a. En az iki yazı gelmesi istendiği için yazı sayısı ya da 3 olabilir. Buna göre istenen olay {YYT, YTY, TYY, YYY} dir. b. Zarın üzerindeki sayılardan asal olanların kümesi {, 3, 5} dir. c. {(1, 1), (, ), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6)} ç. Sıra belirtildiği için bu sadece bir şekilde gerçekleşebilir. O halde olay {TTY} dir. 5 7 arkadaş yapılması gereken bir işi kimin yapacağını belirlemek için kısa çöpü çekme oyunu oynayacaklardır. İlk kibrit çöpünü çeken kişinin bu işi yapacak kişi olma olasılığını bulalım. Kısa çöpü çeken işi yapacağına göre ilk kişinin işi yapma durumu 7 çöp arasından kısa olan bir tanesini seçmesiyle gerçekleşir. Bu durumda olasılık 1 olur. 7 19

93 Basit Olayların Olasılıkları 6 Bir zarın atılması deneyinde zarın üst yüzüne gelen sayının a. 5 olma olasılığı b. asal sayı olma olasılığı nedir? Bulalım. a. Zarın üst yüzüne gelen sayının 5 olma olayına A diyelim. Bu durumda S(A) = 1 sa ( ) 1 olur. Buna göre PA ( ) = = dır. se ( ) 6 b. İstenilen çıktılar, 3 ve 5 tir. Asal sayı gelme olayına B dersek, sb ( ) 3 1 PB ( ) = = = olur. se ( ) 6 7 Bir fabrikada üretilen buhar kapanlarının % 1 u bozuk olarak çıkmaktadır. Bu fabrikadan bir buhar kapanı alacak olan bir işletmenin sağlam buhar kapanı alma olasılığını bulalım. Her 1 adet buhar kapanından 9 tanesinin sağlam olduğu düşünülürse olasılığı 9 9 PA ( ) = = olarak bulunur

94 Bölüm 6.3 Olasılık 8 Bir kutuda 5 kırmızı, 3 yeşil ve mavi kalem vardır. Bu kutudan, kutuya bakmaksızın rastgele alınan bir kalemin yeşil olma olasılığını bulalım. Torbada = 1 tane kalem vardır. s(e) = 1 olur. Yeşil kalem seçilmesi olayı A ise torbada 3 tane yeşil kalem olduğundan s(a) = 3 tür. Bu durumda; sa ( ) 3 PA ( ) = = olur. se ( ) 1 9 İki arkadaş bir düzgün dörtyüzlünün sadece bir yüzüne işaret koyarak zar gibi kullanacaklardır. Eğer üst yüze gelen yüzlerde işaret yoksa atan kişi 1 puan kazanacaktır. Buna göre, bir kişinin ilk atışta puan kazanma olasılığını bulalım. İstenen durumun gerçekleşmesi için düzgün dörtyüzlünün işaretli yüzün üzerine gelecek şekilde düşmesi gerekir. Sadece bir yüzü işaretli olduğuna göre istenen durumun olma olasılığı 1 tür

95 Basit Olayların Olasılıkları 1 İki zar aynı anda atılıyor. Zarların üst yüzüne gelen sayıların; a. aynı olması b. birisinin diğerinden 3 fazla olması c. çarpımının çift olması olasılıklarını hesaplayalım. Daha önce kullandığımız iki zar atılma deneyinin bütün çıktılarını gösteren tabloyu kullanalım (1,1) (1,) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) (,1) (,) (,3) (,4) (,5) (,6) 3 (3,1) (3,) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) 4 (4,1) (4,) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6) 5 (5,1) (5,) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6) 6 (6,1) (6,) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6) Tabloya göre; a. Aynı sayıların elde edildiği 6 durum vardır. Bunlar (1,1), (,), (3,3), (4,4), (5,5) ve 6 1 (6,6) dır. Dolayısıyla aynı sayıların gelme olasılığı = dır b. Sayılardan birisinin diğerinden 3 fazla olduğu durumlar (1,4), (4,1), (,5), (5,), (3,6) ve (6,3) olmak üzere 6 tanedir. O halde bu olayın olasılığı da c. Sayıların çarpımının çift olması için birisinin çift olması yeterlidir (1,1) (1,) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) (,1) (,) (,3) (,4) (,5) (,6) 3 (3,1) (3,) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) 4 (4,1) (4,) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6) 5 (5,1) (5,) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6) 6 (6,1) (6,) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6) = dır. 6 Bu ise tam olarak 7 durumun istenen şartı sağladığı anlamına gelir. Bu durumda çarpımın çift olma olasılığı = tür

96 Bölüm 6.3 Olasılık Bir Olayın Tümleyeni Cem ve Selin oynadıkları bir oyunun kuralları gereği attıkları iki zarın toplamı 1 ve üzeri ise oyunu Selin kazanacak, aksi takdirde Cem kazanacaktır. Oyunu Selin in kazanma olasılığını düşünelim. Daha önce kullandığımız iki zarın birlikte atılma deneyinin örnek uzayını aşağıdaki tabloda gösterebiliriz (1,1) (1,) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) (,1) (,) (,3) (,4) (,5) (,6) 3 (3,1) (3,) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) 4 (4,1) (4,) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6) 5 (5,1) (5,) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6) 6 (6,1) (6,) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6) Soruda zarların üst yüzüne gelen sayıların toplamlarıyla ilgilendiğimiz için tabloyu farklı durumlardaki toplamlar şeklinde düzenleyecek olursak aşağıdaki tabloyu elde edebiliriz Bu tablodan da görülebileceği üzere bu 36 farklı durumdan toplamları 1 ve üzeri 6 1 olan 6 durum vardır. O halde Selin in oyunu kazanma olasılığı PS ( ) = = dır Peki Selin zarları attıktan sonra oyunu Selin in değil de Cem in kazanma olasılığı nedir? 196

97 Basit Olayların Olasılıkları Oyunu Cem in kazanabilmesi için tablodaki toplamı 1 dan küçük olan sayılar yani diğer 3 durum dikkate alınmalıdır. Bu durumda oyunu Cem in kazanma olasılığı 3 5 PC ( ) = = dır Cem in oyunu kazanma olayı 3 elemanlı bir küme ve Selin in oyunu kazanma olayı 6 elemanlı bir kümedir. Bu iki küme birlikte yazıldığında bu olayın evrensel kümesi elde edilir. Bunu küme gösterimi ile E A A şeklinde belirtebiliriz. Bu örnekte olduğu gibi bir A olayının çıktılarının dışında örnek uzayın bütün çıktılarını içeren olaya A olayının tümleyeni denir ve A ı ile gösterilir. Dikkat edilirse oyuna Selin in ve Cem in devam etmeleri olaylarının olasılıkları toplamı = 1 dir. Kümeler konusundan hatırlanacağı üzere s(a) + s(a ı ) = s(e) dir. 6 6 Bunu herhangi bir A olayının olasılığı için P(A) + P(A ı ) = 1 şeklinde yazabiliriz. Bir başka ifadeyle bir A olayının gerçekleşme olasılığı ile A olayının tümleyeninin gerçekleşme olasılıklarının toplamı 1 dir. Diğer bir ifadeyle bir olayın veya tümleyeninin gerçekleşmesi kesin olaydır. Buna göre bir A olayının olmama olasılığı (tümleyeninin olasılığı) P(A ı ) = 1 P(A) formülüyle bulunabilir. Bu oyunun kuralını şöyle değiştirelim: Atılan zarların toplamı 1 ve üzeri ise Selin, 7 veya daha az ise Cem kazansın. Atılan bir çift zar sonucunda Selin ve Cem in aynı anda kazanmaları mümkün değildir. Bu şekilde, aynı anda gerçekleşemeyen iki olaya ayrık olaylar denir. Örneğin, bir sınıftan seçilen bir öğrencinin erkek olması veya pembe renk nüfus cüzdanı olan bir öğrenci olması olayları, pembe renk nüfus cüzdanı olan bir erkek öğrenci olmayacağı için ayrık olaylardır. 197

98 Bölüm 6.3 Olasılık 11 MATEMATİK kelimesinin harflerinin arasından seçilen bir harfin A veya K harfi olma olasılığını bulalım. Seçilen harfin A olmasını P(A) ile K olmasını da P(K) ile gösterelim. Bu harf aynı anda hem A hem de K harfi olamayacağı için bu olaylar ayrık olaylardır. MATEMATİK kelimesinin 9 harfinden si A olduğu için PA ( ) = dur. Benzer şekilde PK ( ) 9 1 = dur. 9 Seçilen harfin A veya K olma olayını incelediğimizde ikisini beraber ele almamız gerekir Diğer bir ifadeyle, istenilen olayda 3 farklı sonuç olacağı için PAveyaK ( ) = + = = olacaktır. Burada dikkat edilirse PAveyaK ( ) = + = + = P( A) + P( K) şeklinde yazabiliriz İki ayrık A ve B olayı için A veya B olayının olasılığı bu olayların olasılıklarının toplamıdır. Bu durum aşağıdaki gibi ifade edilir: P(A veya B) = P(A) + P(B) 1 İki zarın birlikte atılması deneyinde gelen sayıların toplamının 7 olması veya aynı sayılar gelmesi olasılığını bulalım. İki zarın birlikte atılması deneyinde gelen sayıların toplamı 7 olmasını A, aynı sayılar olmasını ise B ile gösterelim. Gelen sayıların toplamı 7 ise iki sayının da aynı olması mümkün değildir. Bu nedenle bu olaylar ayrık olaylardır. İstenen olayın olasılığı ise PAveyaB ( ) = P( A) + P( B) = + = = olarak bulunur Bir zar atılması deneyinde gelen sayının bir asal sayı veya tek sayı olma olaylarını sırasıyla P(A) ve P(T) ile gösterelim. Soruda istenen olay, sayının asal ya da tek olma durumlarını 4 içereceği için {1,, 3, 5} kümesi ile gösterilebilir. Bu durumda PAveya ( T) = = 6 3 olur. Olayları ayrı ayrı ele alacak olursak; asal olma olayı {, 3, 5} olduğundan, ola- 198

99 Basit Olayların Olasılıkları 3 1 sılığı PA ( ) = = dir. Aynı şekilde tek olması olayı {1, 3, 5} olduğu için, olasılığı PT ( ) = = dir. Bu iki olayın olasılıklarının toplamının olmadığına dikkat ediniz. 6 3 Bunun nedeni olayların ayrık olaylar olmayışıdır. 3 ve 5 sayıları hem asal hem de tek sayı olduğundan, istenen olayın olasılığını bulmak için toplama yapılması yanlış bir sonuç ortaya çıkarır. 13 Bir okçunun atış yaptığı bir hedefi vuramama olasılığı dir. Buna göre hedefi vurma olasılığını bulalım. 5 ı PA ( ) + PA ( ) = 1 ı 3 PA ( ) = 1 PA ( ) = 1 = bulunur den 5 ye kadar olan sayılardan rastgele seçilen bir sayının 5 ile tam bölünmeme olasılığını bulalım. 5 ve 5 in katı olan sayılar 5 ile bölünebilir. 1 den 5 ye kadar olan sayılardan 5 e bölünebilen 1 tane sayı vardır: 5, 1, 15,. Seçilen sayının 5 ile bölünebilme olasılığı 1 1 = dir. O halde sayının 5 ile bölünmeme olasılığı = dur

100 Bölüm 6.3 Olasılık 15 Milli Piyango İdaresi nin ülkemizde yasal olarak oynanmasına imkân tanıdığı şans oyunlarından biri sayısal lotodur. Bu oyun 1 den 49 a kadar olan sayılardan seçilecek olan 6 tanesini doğru tahmin etmeye dayalıdır. Bu oyun birçok yerde bilgisayar programları yardımıyla 6 sayının rastgele belirlenmesi sonucu da oynanabiliyor. Sayısal Loto çekilişi yapılırken çekilen ilk sayının bilgisayara kupon doldurtan bir kişinin oynadığı kuponda olma olasılığını hesaplayalım. İstenen olayın çıktı sayısı kupon dolduran kişinin belirlediği 6 sayıyı içerir. Örnek uzay ise 49 sayıdan oluştuğu için ilk sayının kuponda olma olasılığı 6 dur. 49 Ah azizim ah! Matematiğe yeteri kadar değer verilmiyor. Aslında konuya devlet el atmalı ve matematik bilmeyenlerden vergi toplamalı. Ee, sayısal loto var ya! 11

101 Basit Olayların Olasılıkları Sonuçları gözlemlenebilir ya da kavranabilir olaylara deney adı verilir. Bir deneyle ilişkilendirilebilecek farklı tüm sonuçların oluşturduğu kümeye örnek uzay denir. Örnek uzayın herhangi bir alt kümesine ise bir olay denir. Örnek uzayın her bir elemanına (tek elemanlı alt kümesine) basit olay denir. Bir A olayının olasılığı P(A) ile gösterilir. Bir örnek uzaya ait A olayının gerçekleşme olasılığı, A olayını temsil eden kümenin eleman sayının örnek uzayın sa ( ) eleman sayına oranı olarak hesaplanır. PA ( ) = se ( ) Bir olayın olasılığı en az, en çok 1 olur. P(A) 1 Olasılığı olan olaylara imkânsız olay, 1 olan olaylara kesin olay denir. Olasılıkları eşit olan olaylara eş olası olay adı verilir. Ortak elemanları olmayan kümeler ile temsil edilen olaylara ayrık olaylar denir. İki olayın ortak elemanı varsa bu olaylar ayrık olmayan olaylardır. A ve B olayları ayrık olaylar ise A veya B olayının gerçekleşme olasılığı bu olayların olasılıklarının toplamıdır. P(A veya B) = P(A) + P(B) Herhangi bir örnek uzaya ait bir A olayının kapsadığı sonuçlar dışında kalan tüm sonuçların kümesini temsil eden olaya A olayının tümleyeni denir ve A şeklinde gösterilir. A olayı ile A olayı ayrık olaylardır. P(A) + P(A ) = 1 BÖLÜM ÖZETİ 111

102 Bölüm Olasılık BÖLÜM DEĞERLENDİRME 1. Aşağıdaki ifadeleri inceleyerek doğru (D), yanlış olanların başına (Y) yazınız. Cevabınızı açıklayınız. a. (.) Aynı deneydeki ayrık A veya B olaylarının gerçekleşme olasılığı bu olayların olasılıklarının toplamıdır. b. (.) Bir zar atıldığında üst yüze gelen sayının çift veya 4 ten büyük gelme olasılığı 5/6 dır. c. (.) Aynı deneydeki herhangi A veya B olaylarının gerçekleşme olasılığı her zaman bu olayların olasılıkları toplanarak bulunur. ç. (.) Ayrık olaylar her zaman birbirinin tümleyenidir. d. (.) Birbirinin tümleyeni olan olaylar ayrık olaylardır. ç. Aynı deneye ait iki olayın olasılıkları toplamı 1 ise bu olaylar birbirlerinin dir. d. A ve B olayları birbirinin tümleyeni ise P(A) dir. e. Aynı anda gerçekleşemeyen iki olaya denir. 4. Bir zar atıldığında 4 ten büyük bir sayı gelme 1 olasılığı 3 tür. İçinde iki kırmızı, bir beyaz özdeş büyüklükte 3 bilye bulunan torbadan kırmızı bilye çekme olasılığı ise tür. Bu iki olayın olasılığı 3 toplamı 1 olduğuna göre bu olaylar birbirlerinin tümleyenidir. Yukarıdaki ifadenin doğru ya da yanlış olduğunu nasıl savunursunuz? Açıklayınız.. Aşağıdaki metinde boş bırakılan yerleri doldurunuz. Bir olayın gerçekleşme şansının ölçüsü... olarak adlandırılır. Bu değer ile arasındadır. Bir olayın gerçekleşme şansı yoksa bu duruma denir ve olasılık değeri dır. Olasılık değeri 1 olan olaya ise denir. 3. Aşağıdaki ifadelerde boş bırakılan yerleri doldurunuz. a. Bir deneydeki tüm sonuçların kümesine adı verilir. b. Örnek uzayın herhangi bir alt kümesine denir Bir para atıldığında yazı gelmesi olasılığı dir. Bir 1 zar atıldığında çift sayı olasılığı da dir. Bu iki olayın ortak çıktıları olmadığı için ayrık olaylardır. Buna göre bir para atıldığında yazı gelmesi veya bir zar 1 1 atıldığında çift gelmesi olasılığı + = 1 dir. Yukarıdaki ifadede çelişkili bir durum söz konusudur. Yapılan hesaba göre bir para ile bir zar atıldığında kesinlikle paranın yazı veya zarın çift gelmesi gerekir. Ama bu iki durumun gerçekleşmeme olasılığı vardır. Bu durumu nasıl açıklarsınız? c. Bir olayın gerçekleşme olasılığı, örnek uzayın eleman sayısına oranıdır. 11

103 BÖLÜM DEĞERLENDİRME Bölüm Olasılık 6. Aşağıdaki gerçek sayıların hangileri bir olasılık belirtebilir? Sebebini açıklayınız. 1,5 r, İki öğrenci grubundan birincisi tamamen erkeklerden, ikincisi tamamen kızlardan oluşmaktadır. a. Birinci gruptan seçilen bir öğrencinin erkek olma olasılığı kaçtır? A B C Ç D E Seçilen kartın üzerinde tek sayı yazması Seçilen kartın üzerinde çift sayı yazması Seçilen kartın üzerinde çift veya 3 e bölünebilen bir sayı yazması Seçilen kartın üzerinde bir asal sayı yazması Seçilen kartın üzerinde tek veya bir asal sayı yazması Seçilen kartın üzerinde veya 3 ten büyük bir çift sayı yazması b. İkinci gruptan seçilen bir öğrencinin kız olma olasılığı kaçtır? c. İki grup birleştirildiğinde, birleşik gruptan seçilen öğrencinin erkek olma olasılığı,5 olur mu? Cevabınızı açıklayınız verilerine göre Türkiye deki spor kulüplerinin sayısı yandaki tabloda verilmiştir. Bilgisayar yardımıyla rastgele belirlenecek bazı kulüplere kanuni denetlemeler yapılacaktır. Buna göre belirlenecek ilk kulübün; a. İhtisas kulübü olma 8. Doğu Karadeniz de yer alan Kaçkar Dağları nda çeşit ağaç yetiştiği bilinmektedir. Bu ağaç türlerinden biri köknar ağacıdır. Bu dağlardan rastgele 1 seçilen bir ağacın köknar ağacı olma olasılığı midir? Cevabınızı açıklayınız. b. Okul spor kulübü veya müessese spor kulübü olma c. Gençlik spor kulübü olmama olasılıklarını hesaplayınız. Gençlik spor kulübü 8559 Müessese spor kulübü 1174 İhtisas spor kulübü Üzerlerinde dan 9 a kadar rakamlar yazılı bir deste karttan rastgele bir kart seçiliyor. Bu deney üzerinde tanımlı çeşitli olaylar aşağıdaki tabloda verilmiştir. Tüm olayların olasılıklarını hesaplayınız ve birbirlerinin tümleyeni olan olayları yazınız. Okul spor kulübü 1383 Askeri spor kulübü 11 Toplam

104 Veri, Sayma ve Olasılık ÜNİTE DEĞERLENDİRME I 1. Aşağıdakilerden hangisi merkezi yayılım ölçüsüdür? A) Aritmetik ortalama B) Çeyrekler açıklığı C) Tepe değer D) Ortanca E) Ağırlıklı ortalama 5. Bir basketbolcunun 6 maç boyunca attığı basket sayıları; 1, 1, 1, 15, 1, 15 şeklindedir. 7. maçta kaç basket atarsa bu verilerin tepe değeri 1 olur? A) 1 B)1 C)15 D) 16 E) 18. Bir mağazanın dokuz gün boyunca günlük yaptığı satış miktarları (TL) ; 15, 1, 1, 11, 1, 15, 95, 115,15 şeklindedir. Bu satış miktarlarının ortancası kaçtır? A) 1 B) 15 C) 115 D) 1 E) Bir basketbolcunun 1 maç boyunca attığı basket sayıları, 9,1,7,9,13,14,9,1,5,1 şeklindedir. Bu sayıların aritmetik ortalaması, tepe değerinden kaç fazladır? A) B) 1 C) D) 3 E) 4 3. Öğretmenin bir dönemde iki yazılı ve bir sözlü sınav yaptığı fizik dersinde yazılılardan 53 ve 8 alan Zafer in not ortalamasının 7 olması için sözlü notu kaç olmalıdır? A)7 B) 73 C) 75 D) 77 E) 8 7., 1,, 3, x Verilen sayı grubunda x değeri seçeneklerden hangisi olursa grubun standart sapması en yüksek olur? A) 11 B) 16 C) D) 3 E) Ali 1,14,1,18,16,, sayılarının aritmetik ortalamasını hesaplamaktadır. Hesaplamayı yaptıktan sonra sayılardan birini unuttuğunu farketmiş ve o sayıyı ekleyerek bir daha aritmetik ortalamayı hesaplamıştır. Her iki durumda da aritmetik ortalama aynı çıktığına göre; Ali nin unuttuğu sayı kaçtır? 8. x +, x 7, y + 8 ve z + 1 sayılarının standart sapması sıfır olduğuna göre; x + y + z toplamı kaçtır? A) 13 B) 14 C) 18 D) E) A) 1 B)14 C) 16 D) 18 E) 114

105 Veri, Sayma ve Olasılık ÜNİTE DEĞERLENDİRME I 9. a, a + 3 ve a + 6 sayılarının standart sapması kaçtır? A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) , 1, 8, 16, 11 Verilen veri grubunun çeyrekler açıklığı aşağıdakilerden hangisidir? A) 1 B) C) 4 D) 5 E) Ahmet, Ersoy ve Metin milli atlettirler. Bu üç atletin 1 metre koşu antrenmanlarında koştuğu sürelerin aritmetik ortalamaları ve standart sapmaları aşağıdaki tabloda verilmiştir. Aritmetik ortalama (saniye) Standart sapma Ahmet 1 3, Ersoy 1,1 Metin 13 1, Bu tablo yorumlanarak aşağıdakilerden hangisi söylenemez? A) Ahmet ve Ersoy un başarıları aynıdır. B) Ersoy, Metin den daha başarılıdır. C) Ersoy, Ahmet ten daha istikrarlıdır. 11. I. Tepe değer II. Ortanca III. Aritmetik ortalama Yukarıdakilerin tümünün mevcut olduğu bir veri grubunda bunlardan hangisi/hangileri bu veri grubunun elemanı olmayabilir? D) Metin in koştuğu sürelerin standart sapması en düşük olduğundan en başarılı atlettir. E) Ahmet, Metin den daha başarılıdır? A) Yalnız I B) Yalnız II C) Yalnız III D) I ve II E) II ve III 1. 3, 7, x 5, 4, y + 3, 3, 7 veri grubunun tepe değeri 4 ise x + y =? A) 4 B) 7 C) 8 D) 1 E)

106 Veri, Sayma ve Olasılık ÜNİTE DEĞERLENDİRME I 14. Dört öğrencinin girmiş olduğu 1 deneme sınavında yaptıkları netlerin aritmetik ortalamaları ile standart sapmaları aşağıdaki tabloda verilmiştir. Netlerin aritmetik ortalamaları Standart sapma Ceylan 35 3, Ali 35 4,1 Buket 9 5,1 Erdinç 7 3, A) En az müşterisi olan A pastanesidir. B) En çok müşterisi olan B pastanesidir. C) A pastanesinin müşteri sayısı diğerlerine göre daha istikrarlıdır. D) B pastanesinin müşteri sayısı diğerlerine göre daha istikrarlıdır. E) C pastanesinin müşteri sayısı diğerlerine göre daha istikrarlıdır. Bu tabloya göre aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur? A) Ceylan ve Erdinç in başarıları eşittir. B) Buket in deneme sonuçlarından beş tanesi 9 netin altındadır. C) Ali, Erdinç ten her denemede 8 net fazla yapmıştır. D) Ceylan ın deneme sonuçları, Ali nin deneme sonuçlarına göre, birbirine daha yakındır. E) Standart sapması en yüksek olan Buket en başarılı öğrencidir sayının standart sapması 7 dir. Bu 15 sayının her birinin 4 katı alınırsa yeni standart sapma ne olur? A) B) 11 C) 8 D) 19 E) Öğretmen, Esra ya aşağıdaki 13 sayıyı vermiş ve standart sapması en küçük olan 1 sayıdan oluşan bir veri grubu oluşturmasını istemiştir. 1,, 5, 8, 9, 11, 17, 19, 1, 3, 6, 35, Üç pastanenin bir ay boyunca günlük müşteri sayılarının aritmetik ortalaması ve standart sapması aşağıdaki şekildedir. Aritmetik ortalama Standart sapma A pastanesi 1,7 B pastanesi,9 C pastanesi 3,1 Esra hangi üç sayıyı silerse öğretmenin istediğini yapmış olur? A) 1,, 5 B) 8, 6, 36 C) 8, 9, 11 D) 1,, 36 E) 1, 35, 36 Bu tabloya göre aşağıdakilerden hangisi doğrudur? 116

107 Veri, Sayma ve Olasılık ÜNİTE DEĞERLENDİRME II 1. İstanbul da yaşayan 15 kişiye işe hangi araçla gittiği sorulmuş ve verilen cevaplarla aşağıdaki daire grafiği oluşturulmuştur. % 1% 4% % 8% Metrobüs Metro Otobüs Deniz Otobüsü Ticari taksi C) Metrobüs 39 Metro Otobüs Deniz Otobüsü Ticari taksi Hususi araç Hususi araç Bu daire grafiğinin; y ekseni kişi sayısını belirtecek şekilde bir sütun grafiğine dönüştürülmüş hali aşağıdakilerden hangisidir? A) D) Metrobüs 44 Metro Otobüs Deniz Otobüsü Ticari taksi Hususi araç Metrobüs Metro Otobüs Deniz Otobüsü Ticari taksi Hususi araç E) B) Metrobüs Metro Otobüs Deniz Otobüsü 3 Ticari taksi Hususi araç Metrobüs Metro Otobüs Deniz Otobüsü Ticari taksi Hususi araç 117

108 Veri, Sayma ve Olasılık ÜNİTE DEĞERLENDİRME II. Beş arkadaş paralarını bir araya getirmişlerdir. Bununla ilgili sütun grafiği aşağıda verilmiştir Para miktarı (TL) Orhan Selim Sedat Aydın Mahmut Kişiler Bu veriler daire grafiğiyle gösterildiğinde, Sedat ın verdiği para miktarını gösteren daire diliminin merkez açısı kaç derece olur? A) 75 B) 8 C) 85 D) 9 E) Bir sınıftaki öğrencilerin aldıkları dönem ödevi dağılımlarını gösteren sütun grafiği aşağıda verilmiştir. Öğrenci Sayısı Matematik Geometri Tarih Fizik Biyoloji Coğrafya Kimya Dersler Yukarıdaki sütun grafiği daire grafiğine dönüştürülürse Matematik dersine ait daire diliminin merkez açısı kaç derece olur? A) 7 B) 6 C) 48 D) 36 E) Şikayet edilen ürün sayısı Markalar A marka B marka C marka D marka Buzdolabı Çamaşır M. Bulaşık M. Yukarıda, hafta içi bir günde 4 farklı markanın beyaz eşyalarıyla ilgili yapılan şikâyet sayılarının sütun grafiği verilmiştir. I. En çok D markalı üründen şikâyet edilmiştir. II. C markalı beyaz eşyalarla ilgili şikayet sayılarının standart sapması en düşüktür. III. B markalı üründen şikâyet olmuştur. IV. A markalı beyaz eşaylarla ilgili şikayet sayılarını açıklığı 6 dır. Yukarıdakilerden hangileri doğrudur? A) I II B) II III C) I II IV D) I II III E) I II III IV Çiçek Sayı Gül 5 Papatya Orkide 5 Yasemin 15 Bir çiçekçinin hazırladığı bukete koyduğu çiçek sayıları yanda verilmiştir. Bu çiçekler bir daire grafiğinde gösterilecek olursa yaseminleri gösteren daire dilimin merkez açısı ne olur? A) 4 B) 8 C) 9 D)1 E)16 118

109 Veri, Sayma ve Olasılık ÜNİTE DEĞERLENDİRME II 6. Son yıla ait nüfus değişimini grafikle görselleştirmek isteyen bir istatistikçi aşağıdaki grafiklerden hangisini kullanmalıdır? A) Çizgi grafiği B) Serpme grafiği 9. Grubun ortanca değeri aşağıdakilerden hangisidir? A) 55 B) 6 C) 65 D) 7 E) 75 C) Histogram D) Daire grafiği E) Kutu grafiği 1. Grubun standart sapması yaklaşık olarak aşağıdakilerden hangisidir? soruları aşağıda verilen grafikteki bilgileri kullanarak cevaplayınız. Öğrenci sayısı Notlar Şekildeki sütun grafiğinde öğrencilerin aldığı notlara karşılık o notun kaç öğrenci tarafından alındığı verilmiştir. A) 6,9 B) 7,1 C) 7,3 D) 7,5 E) 7,7 11. Grubun alt çeyrek ve üst çeyrek değerleri hangi seçenekte doğru verilmiştir? Alt çeyrek Üst çeyrek A) 55 6 B) 6 65 C) 6 7 D) 65 7 E) Grubun aritmetik ortalaması aşağıdakilerden hangisidir? A) 55 B) 6 C) 65 D) 7 E) Grubun tepe değeri aşağıdakilerden hangisidir? A) 55 B) 6 C) 65 D) 7 E)

110 Veri, Sayma ve Olasılık ÜNİTE DEĞERLENDİRME II soruları aşağıda verilen grafikteki bilgileri kullanarak cevaplayınız. Notlar Erdem Derya Orhan İbrahim Matematik Fizik Kimya Özlem Öğreciler Aşağıdaki grafikte beş öğrencinin matematik, fizik ve kimya yazılılarından aldığı notlar verilmiştir. 1. Matematik notlarının aritmetik ortalaması aşağıdakilerden hangisidir? A) 65 B) 66 C) 67 D) 68 E) Grafiğe göre hangisi yanlıştır? A) Ortalaması en yüksek ders fiziktir. B) Ortancası en düşük ders kimyadır. C) Açıklığı en yüksek olan ders fiziktir. D) Çeyrekler açığı en yüksek olan ders matematiktir. E) Matematik ve fizik derslerinde tepe değer yoktur Bir sınıftaki öğrencilerin akşam yattıkları saatler aşağıdaki histogramda gösterilmiştir. Öğrenci sayısı : 19:59 arası : :59 arası 1: 1:59 arası : :59 arası 3: 3:59 arası 4: 1: arası Saat 13. Fizik notlarlarının açıklığı kaçtır? A) 5 B) 55 C) 6 D) 65 E) Sınıfta kaç öğrenci vardır? A) 1 B) C) 3 D) 4 E) Kimya ders notlarının tepe değeri kaçtır? A) 4 B) 45 C) 6 D) 7 E) Saat.3 ile 1.3 arası yatan en fazla kaç kişi olabilir? A) 6 B) 8 C) 1 D) 1 E) Saat.3 dan sonra yatan öğrenci sayısı en az kaç olabilir? A) 5 B) 6 C) 8 D) 11 E)

111 Veri, Sayma ve Olasılık ÜNİTE DEĞERLENDİRME III 1. Bir sınıfın matematik yazılısı notları tabloda verilmiştir Verilerin histogramda gösterilmiş şekli aşağıdakilerden hangisi olur? A) B) C) D) İki kırtasiyenin okullarının açık olduğu aylarda yapmış oldukları satış miktarlarını gösteren çizgi grafikleri aşağıda verilmiştir. Satış miktarı (bin TL) Eylül Ekim Kasım Aralık Ocak Şubat Mart Nisan Mayıs Haziran Buna göre; aşağıdakilerden hangisi yanlıştır? A). kırtasiyenin aylık satış miktarlarının tepe değeri 3 bin TL dir. 1. Kırtasiye. Kırtasiye B) 1. kırtasiyenin aylık satış miktarlarının açıklığı 3 bin TL dir. C) 1. kırtasiye en fazla satışı Eylül ayında yapmıştır. D). kırtasiyenin aylık satış miktarlarının açıklığı 6 bin TL dir. E). kırtasiyenin aylık satış miktarlarının ortancası 6,5 bin TL dir. E)

112 Veri, Sayma ve Olasılık ÜNİTE DEĞERLENDİRME III 3. Hastanede bir bebeğin ateşinin belli saatlerde ölçüm sonuçları aşağıdaki çizgi grafiğinde verilmiştir. Sıcaklık (C ) , Grafiğe göre hangisi yanlıştır? Saat A) En düşük vücut sıcaklığı saat. da ölçülmüştür. B) En yüksek vücut sıcaklığı saat. de ölçülmüştür. C) En fazla artış 1.-. saatleri arasında olmuştur. D) En fazla düşüş saatleri arasında olmuştur. E) Bebeğin vücut sıcaklığı verilen saatlerde yalnız bir defa 38 Colmuştur. 4. Çizgi grafiğinde Türkiye de 8-1 yılları arasında üretilen bazı tahıllara ait üretim miktarları verilmiştir. Üretim miktarı (Bin ton) Yıl Buğday Arpa Mısır Buna göre aşağıdaki ifadelerden hangisi yanlıştır? A) Tahıl miktarlarındaki açıklık en fazla buğdaya ait verilerdedir. B) En istikrarlı üretim mısırda olmuştur. C) Tahıl miktarlarındaki açıklık en az mısıra ait verilerdedir. D) Buğdaya ait verilerin ortancası ve aritmetik ortalaması diğer iki tahılın ortancası ve aritmetik ortalamasından daha yüksektir. E) En istikrarlı üretim buğdayda olmuştur. 111

113 Veri, Sayma ve Olasılık ÜNİTE DEĞERLENDİRME III 5. Aşağıdaki, sütun grafiklerinde gösterilen veri setlerinin hangisinin standart sapması en büyüktür? A) B) C) D) E) Beş arkadaşın ağırlık- boy tablosu ve serpme grafiği aşağıda verilmiştir. Ali Doğu Aslı Tuba Cemil Boy (cm) Ağırlık (kg) Ağırlık(kg) Boy(cm) Verilenlere göre okla gösterilen kişi aşağıdakilerden hangisidir? A ) Ali B ) Doğu C ) Aslı D ) Tuba E ) Cem 6. Bir okuldaki öğrencilerin YGS başarıları ile LYS başarıları arasındaki ilişkiyi incelemek isteyen okul idaresi hangi grafik türünü kullanmalıdır? A) Çizgi grafiği B) Serpme grafiği C) Sütun grafiği D) Daire grafiği E) Kutu grafiği 1113

114 Veri, Sayma ve Olasılık ÜNİTE DEĞERLENDİRME III 8. Selçuk un girdiği denemelerde Türkçe ve Matematik derslerinde yaptığı net sayılarının serpme grafiği aşağıdaki şekildedir. Matematik netleri Türkçe netleri I. Matematik dersinden yaptığı en fazla net sayısı 35 tir. II. Türkçeden yaptığı en az net sayısı 5 tir. III. Net sayıları arasında pozitif yönlü ilişki vardır. IV. Sadece1 denemeye girmiştir. V. Türkçe netlerinin tepe değeri 35 tir. Yukarıdaki ifadelerden kaç tanesi kesinlikle doğrudur? A) 1 B) C) 3 D) 4 E) 5 9. Bir sınıftaki öğrencilerin boy-ağırlık serpme grafiği aşağıdaki şekildedir. 1. Ağırlık (kg) Boy (cm) Yukarıdaki grafiğe bakılarak aşağıdakilerden hangisi bulunabilir? A) Sınıftaki öğrenci sayısı B) Boyların aritmetik ortalaması C) Ağırlıkların tepe değeri D) Öğrencilerin boyları ve ağırlıkları arasındaki ilişki E) Boyların ortanca değeri Alışveriş yapan müşteri sayısı 1 (13,1) 1 (15,9) 8 (8,8) (17,8) 6 (1,5) 4 (5,4) (9,4) (3,) (6,) Mağazaya giren müşteri sayısı Yukarıda 9 farklı mağazaya belli zaman diliminde giren müşteri sayısı ile bu müşterilerden alışveriş yapanların serpme grafiği verilmiştir. Mağazalardan alışveriş yapmadan çıkan toplam kaç kişi vardır? A) 3 B) 3 C) 34 D) 36 E)

115 Veri, Sayma ve Olasılık ÜNİTE DEĞERLENDİRME III Fizik dersi Coğrafya dersi Yukarıda bir sınıftaki öğrencilerin coğrafya dersi notları ile fizik dersi notları karşılaştıran serpme grafiği verilmiştir. Grafiğe göre aşağıdakilerden hangisi kesinlikle yanlıştır? A) Fizik dersinin notlarının tepe değeri 8 dir. B) 14 öğrencinin notları karşılaştırılmıştır. C) Fizik dersinden en yüksek not 9 dır. D) Değişkenler arasında negatif yönlü ilişki vardır. E) Coğrafya dersinden en düşük not dir. 1. 1, 9, 1, 6, 7, 3, 6, 5 Verilerinin kutu grafiği aşağıdakilerden hangisidir? soruları aşağıda verilen grafikteki bilgileri kullanarak cevaplayınız. Ahmet Mehmet Yukarıdaki kutu grafikleri iki futbolcunun farklı sezonlarda attıkları golleri göstermektedir. Bu grafiklere göre aşağıdaki soruları cevaplandırınız. 13. Aşağıdaki ifadelerden hangisi yanlıştır? A) Ahmet in attığı gollerin alt çeyreği 1 dur. B) Mehmet in attığı gollerin ortancası 8 dir. C) Ahmet in attığı gollerin çeyrekler açıklığı Mehmet in attığı gollerin çeyrekler açığının katıdır. D) Ahmet in attığı gollerin en küçük değeri 9 dur. E) Ahmet in attığı gollerin açıklığı, Mehmet in attığı gollerin açıklığının yarısıdır. A) B) 14. Aşağıdakilerden ifadelerden hangisi yanlıştır? C) D) A) Ahmet in attığı gollerin yaklaşık %5 si 9 ile 1 arasındadır. B) Mehmet in attığı gollerin yaklaşık %5 si 8 ile 14 arasındadır E) C) Ahmet in attığı gollerin yaklaşık %75 i 1 ile 14 arasındadır. D) Mehmet in attığı gollerin yaklaşık %5 i 5 ile 11 arasındadır. E) Ahmet in attığı gollerin yaklaşık %5 si 1 ile 13 arasındadır. 1115

116 Veri, Sayma ve Olasılık ÜNİTE DEĞERLENDİRME III Yukarıdaki kutu grafiğini temsil eden veri grubu hangisi olabilir? A) 7, 11, 13, 19, B) 7, 19, 13, 11,, 19 C) 19, 11, 7, 8, 1,, 13 D), 11, 13, 7, 17, 19, 1 Yukarıdaki kutu grafiği bir sınıftaki öğrencilerin aldıkları notlar kullanılarak oluşturulmuştur. Her öğrencinin birbirinden farklı puanlar aldığı bir sınıfta 7 ten düşük alan 1 öğrenci var ise sınıf mevcudu kaç olabilir? A) B) C) 5 D) 3 E) 36 E), 19, 1, 13, 11, 14, 7,

117 Veri, Sayma ve Olasılık ÜNİTE DEĞERLENDİRME IV 1. Bir sınıf başkanlığı seçiminde Ali, Osman ve Ayşe adaylığını koymuştur. Ali veya Osman ın seçilme 3 olasılığı ; Osman veya Ayşe nin seçilme olasılığı 5 6 olduğuna göre, Osman ın sınıf başkanı olma 13 olasılığı kaçtır? 5. Bir çift zar atıldığında üst yüze gelen sayıların toplamının 7 den küçük veya asal olma olasılığı kaçtır? 11 A) 18 B) C) 36 D) 15 8 E) 1 5 A) 13 6 B) 65 4 C) 65 6 D) 13 1 E) 3 1. İki zar atılması deneyinde örnek uzayın eleman sayısı kaçtır? A) 1 B) 4 C) 6 D) 36 E) İki madeni para aynı anda havaya atılıyor. Üst yüze iki tura gelme olasılığı kaçtır? A) 1 B) 4 1 C) 3 D) 6 1 E) Bir deneyin olasılık değeri aşağıdakilerden hangisi olamaz? A) B) 13 C) 1 D) 15 1 E) 7. Bir zar atıldığında üst yüzüne 3 ten küçük ve çift sayı gelme olasılığı kaçtır? A) 1 B) 4 1 C) 3 D) 6 1 E) İki hilesiz zar atılması deneyinde aşağıdakilerden hangisi gözlemlenemez? A) (1,6) B) (,4) C) (6,5) D) (6,8) E) (5,3) 8. A = {1,, 3, 4} ve B = {3, 4, 5, 6, 7} kümeleri veriliyor. A B Kartezyen çarpımından alınan bir elemanın (x, x) şeklinde olma olasılığı kaçtır? A) 1 B) 14 1 C) 4 D) 1 1 E)

118 ÜNİTE DEĞERLENDİRME IV 9. A = {, 1, 1,, 3} kümesinden rastgele sayı seçiliyor. Bu sayıların çarpımının negatif olma olasılığı kaçtır? A) 5 1 B) 5 C) 1 D) 5 3 E) Rasgele iki zar atılıyor. Zarların üst yüzüne gelen sayılardan en az birisinin 6 gelme olasılığı kaçtır? A) B) 36 C) 18 5 D) 4 1 E) 9 1. Bir torbada 5 kırmızı, 4 sarı ve 3 beyaz bilye vardır. Bu torbadan rastgele bir bilye çekildiğinde beyaz veya kırmızı olma olasılığı kaçtır? A) 1 B) 3 1 C) 3 D) 4 1 E) A, B ve C üç ayrık olaydır ve birleşimleri bir örnek 3 uzay belirtir. PA ( ) + PB ( ) = ve PB ( ) + PC ( ) = 4 5 olduğuna göre, P(B) nedir? A) B) C) D) E) Hilesiz bir zarın iki yüzü mavi, bir yüzü sarı ve üç yüzü kırmızı renk ile boyanmıştır. Bu zar atıldığında üst yüzüne sarı veya mavi gelme olasılığı kaçtır? A) 3 1 B) 4 1 C) 3 D) 1 E) Tüm iki basamaklı sayılar aynı cins kâğıt parçalarına yazılıp bir şapkanın içine atılıyor. Bu şapkanın içinden çekilen karttaki sayının 11 ile bölünebilen bir sayı olma olasılığı kaçtır? A) 1 B) 15 1 C) 11 D) 5 1 E) Bir çift zar atıldığında üste gelen sayıların çarpımı 1 olduğuna göre, bu sayılardan birinin tek, birinin çift sayı olma olasılığı kaçtır? A) 4 1 B) 1 C) 18 1 D) 4 3 E)

119 CEVAP ANAHTARI 5. ÜNİTE: Dik Üçgen ve Trigonometri, Üçgenin Alanı ve Vektörler Bölüm Adı: 5.1. Dik Üçgen ve Trigonometri Hazır mıyız? 1.a b. 6 1.c. 5 3.a. 15.b. 6.c. 18.ç. 3 3.a. " 3, - 3, 4 D D 3.b. { 6} 4.a. 6,4 4.b. 1,8 4.c.41,5 4.ç. 4.d. 4.e ABD + CBA, 3 D D ABD + CAD 6. a-c; d-e, b-ç 7. d Konu Adı: Dik Üçgen KENDİMİZİ SINAYALIM Kavram ve Muhakeme: 1.a. Y 1.b. Y 1.c. Y 1.ç. D 1.d. D.a. k.b. (p + k).c. k.ç. (p+k).d. c.e. k.f. (p+k) 3.a. D 3.b. Y Alıştırmalar: 1.a. 5 1.b. 7 1.c. 3 1.ç..a. x = 4, y = 5, z = 4 5.b. x = 1, y = 5, z = 5.c. x = 4, y = 3, z = 6 3. b, c 4. a b. 4.c a b a b.3 Uygulama ve Problem Çözme: a.1 4.b. 4.c a b a. 9. b a b. D Konu Adı: Dik Üçgende Dar Açıların Trigonometrik Oranları KENDİMİZİ SINAYALIM Kavram ve Muhakeme: 1.a. D 1.b. Y 1.c. D.a. BC = a 3.b. DE = a, 3 a EF =.c. LM a a 3 a =, KL =.ç. TS =.d. PH = a, VH = a 3 3.I, IV 4.a. D 4.b. Y 4.c. Y 4.ç.Y Alıştırmalar: 1. sina = 4, tana =, cosc =, cotc =.a b. 3.a b. 3.c. 4. x = 5, y = , z = 5, k = 1 5. x = 4, y =, z =, k = 4 6.a. 3 6.b Uygulama ve Problem Çözme: 1.a. 1.b a b h = 1, v = ,88. A(1, tan4 ) B(cot4, 1) C(1, tan11 ) D(cot11, 1) E(cos11, sin11 ) 1.a. 8 3 b , Konu Adı: Kosinüs Teoremi KENDİMİZİ SINAYALIM Alıştırmalar: 1.a b Uygulama ve Problem Çözme: 1.a b. 1.c.. m ( W A ) = 6, m( W D) = , x = y = z 1. 6, < x < Bölüm Değerlendirme x > z > y , d a, c Bölüm Adı: 5.. Üçgenin Alanı Hazır mıyız? 1 1.a. Y 1.b. D 1.c. Y 1.ç. D 1.d. D 1.e. Y 1.f. D 1.g. D.a. 1.b a. 3.b. 1 3.c. 3.ç. 1 3.d. 3.e. 3.f. 4.a. 3 4.b. 3 5.a b c. 3 5 Konu Adı: Üçgenin Alanı KENDİMİZİ SINAYALIM Kavrama ve Muhakeme: 1.a. Y 1.b. Y 1.c. D 1.ç. D 1.d. D 1.e. Y 1.f. Y 1.g. D.a. D.b. Y.c. Y.ç. Y.d. D 3. I ve III 4. II ve III Alıştırmalar: Uygulama ve Problem Çözme: , Konu Adı: 5... Sinüs Teoremi KENDİMİZİ SINAYALIM Kavrama ve Muhakeme: 1. sinb, c. I ve II Alıştırmalar: 1.a. 5 1.b. 1 1.c. 6.a..b..c. 3.a. 3.b Uygulama ve Problem Çözme: , x =, y =, Trabzon a ulaşır Bölüm Değerlendirme x > z > y , D a, c Bölüm Adı: 5.3 Vektörler ve Vektörlerde İşlemler Konu Adı: Vektörler HAZIR MIYIZ?.a. 1 b. 5 c. 5 ç. 5 KENDİMİZİ SINAYALIM.a.(6,), (4,3) b. a + b 4.a.(- 3,4) b.(- 3,- 8) c.(6,4) 3 5. ± 6. 3 ± 34 Konu Adı: 5.3. Vektörlerde İşlemler KENDİMİZİ SINAYALIM Kavrama ve Muhakeme 1.a.Y b. Y c. Y ç. D d. D e. D f. D. başlangıç, bitiş 3. birim 4. uzunluğu 5. bileşenleri 6. Yönü değişmez, büyüklüğü 7. yönü ve büyüklüğü Alıştırmalar , (15,- 18) 7. 8.a. 5 b a = 8, 1 b = 9 veya a = 9, b = , , ± a. (9, - 16) b. (, 6) 14. (- 9, 7) 15. AD 16. AA 3 17.a. AC b. BA 18. (4,1) =

120 Ünite Değerlendirme I 1.D.D 3.D 4.B 5.C 6.A 7. C 8.D 9.A. 1. B 11.A 1. E 13. D 14. E 15. B 16. D 17. C Ünite Değerlendirme II 1.E. D 3.B 4. D 5. E 6. D 7. D 8. B 9. B 1. C 11. A 1.C 13. A 14. D 15. z > x > y 16. C 17. C Ünite Değerlendirme III 1. E. B 3. C 4. D 5. B 6. D 7. B 8. B 9. C 1. D 11. C 1. D 13. E 14. C 15. D 16. B 17. C 18. A 19. C. C 6. ÜNİTE: VERİ, SAYMA VE OLASILIK Bölüm Adı: 6.1 Merkezi Eğilim ve Yayılım Ölçüleri Hazır mıyız? 1. a. Aritmetik ortalama 1.b. Tepe değer 1.c. ortanca a. 1 4.b. 7,5 4.c. 1 5.a. 5.b. 4 ve 8 5.c. Yoktur. 5.d. Yoktur. 6. 6, 6, 6, 1, 1 7.a. D 7.b. Y 7.c. D 7.ç. D 7.d. Y Konu Adı: Merkezi Eğilim ve Yayılım Ölçüleri KENDİMİZİ SINAYALIM Kavrama ve Muhakeme 1.a. Ortancası 1.b. Açıklığı 1.c. Tepe değeri 1.ç. Aritmetik ortalaması. Aritmetik ortalaması büyük olduğundan Bayi 3. Akın ın müşterilerinin sayısı, standart sapması daha büyük olduğundan değişkenlik göstermektedir. 4. b Alıştırmalar 1. x=7, Aritmetik Ortalama: 33, Ortanca: 3,5 Standart Sapma:1,69 Açıklık: 39, Alt Çeyrek: 6 Üst Çeyrek: 39 Çeyrekler Açıklığı: 13. Tepe Değer: 53 Aritmetik Ortalama: 46 Ortanca:5 Standart Sapma:1,76 Alt Çeyrek: 35,5 Üst Çeyrek: 54 Açıklık: 3 Çeyrekler Açıklığı: 18,5 3., Bölüm Değerlendirme 1.a. Aritmetik Ortalama 1.b. Tepe Değeri 1.c. Merkezi Eğilim 1.ç. Çeyrekler Açıklığı 1.d. Merkezi Yayılım 1.e. Açıklık.a. 19.b. Açıklık 3. 6, C 5. En küçük değer: I. 1 II. En büyük değer: I. 9 II. Aritmetik Ortalama: I. 7,3 II. 8 Ortanca: I.8 II.8 Tepe Değer: I. 8 ve 9 II.8 Açıklık: I.8 II. En çok aritmetik ortalama etkilenmiştir. 6. 6, 8,5 1, a. 4, 5 7.b. 8 7.c ç. 46, 49 7.d , 35, 3, 6,5 3, 3, a. 3 1.b. 5,11 1.c TV reklamı 13. ç 14. Matematik 15. a. Kimya Aritmetik Ortalama: 46,875 Kimya Standart Sapma: 13,39 Coğrafya Aritmetik Ortalama: 46,875 Coğrafya Standart Sapma: 1,65 15.b. Kimyanın standart sapması daha küçük olduğundan notlar ortalamaya daha yakındır. Bu yüzden daha çok kişiyi geride bırakmıştır. 16. a.,5 16.b.,5 17. a., 3, 4, 5, b. 5, 9, 15, c. 5, 5, 5, ç. 1, 3, 3, 3, Veri Grubu 1: 11, 14, 14, 17, 19 Veri Grubu : 6, 6, 8, 83, 88 Veri Grubu 3: 15, 19, 3 5, 5 Bölüm Adı: 6. Verilerin Grafikle Gösterilmesi Hazır mıyız? 1. a. 4. Maç 1.b. 1. Maç 1.c. 3. Maç 1.ç. Taha.a. Cuma.b. Çarşamba.c. Çarşamba-Perşembe 3.a b c. 6 4.a. Açıklık 4.b. Ortanca 4.c. Alt çeyrek, üst çeyrek 4.ç. Çeyrekler açıklığı Konu Adı: Grafikleri Yorumlama KENDİMİZİ SINAYALIM Kavrama ve Muhakeme 1. Çizgi grafiğidir. Çünkü zamana göre değişim söz konusudur.. Çizgi grafiğidir. Çünkü zamana göre değişim söz konusudur. 3. Bisikletli sürekli ilerleği için başladığı yere uzaklığı sürekli artacaktır. Ahmet bu grafikte bisikletlinin her saatte aldığı yolu göstermiştir. 4. Mehmet in ilk yorumu yanlış, ikinci yorumu doğrudur. Hesaplamalar yapıldığında A okulundaki kız öğrenci sayısı 4, B okulundaki kız öğrenci sayısı 9; A okulunun erkek öğrenci sayısı 6, B okulunun erkek öğrenci sayısı 6 bulunur. Dolayısıyla okullardaki erkek öğrenci sayıları eşit ve B okulunu kız öğrenci sayısı A okulundan daha fazladır. 5.a. D 5.b. Y 5.c. D 5.ç. D 6.a. Y 6.b. D 6.c. D 6.ç. Y 6.d. D 7. En büyük dilim uyku olmalı. Dilimlerde de hata var ders çalışmayla uyku süreleri aynı olmasına rağmen dilimler farklı. Alıştırmalar 1.a b. Galatasaray 1.c. Galatasaray 1.ç. Beşiktaş 1.d. Beşiktaş-Trabzon 3.a. 59,5.b. 79.c. 4,5 3.a b. 3.c.15 3.ç. 4 Konu Adı: 6... Serpme Grafiği KENDİMİZİ SINAYALIM Kavrama ve Muhakeme 1.a. Pozitif Yönlü İlişki 1.b. Negatif Yönlü İlişki 1.c. İlişkisiz.a. Y.b. D.c. Y.ç. D 3. Serpme grafiği, pozitif yönlü ilişki 4. Serpme grafiği, pozitif yönlü ilişki Alıştırmalar 1. a. 4 1.b. 3 1.c. 6. Koyun Sayıları Keçi Sayıları a. Negatif 3.b. Azalır 3.c. Artar 3.ç. 4 Uygulamalar 1. Soru 1: Elektrik faturası kaç ay 5 TL den az gelmiştir. Soru : Faturalar arasındaki farkın TL den az olduğu kaç ay vardır?.a. Pozitif ilişki.b. 8.c. 1.ç. 3. E

121 Konu Adı: Kutu Grafiği KENDİMİZİ SINAYALIM Kavrama ve Muhakeme 1.a. D 1.b. Y 1.c. D 1.ç. Y 1.d. Y 1.e. Y. Yanlış çizmiştir. Alt ve üst çeyrek yanlış belirlenmiştir. 3. C 4.a. D 4.b. D 4.c. Y 4.ç.D 4.d.D 4.e.Y 5.a. 4 5.b. 3 5.c. %5 5.ç. 5 5.d. En küçük 6. ç, c, b, a 7.a. D 7.b. Y 7.c. Y 7.ç. D Alıştırmalar 1. En küçük değer: 1 En büyük Değer: 46 Alt Çeyrek: 18 Üst Çeyrek: 34 Ortanca: 8 Çeyrekler Açıklığı: a. 9/A sınıfında; en yüksek 7, en düşük 9/B sınıfında; en yüksek 8, en düşük 45 3.b. % 75 3.c. % 5 3.ç. % 5 4. a. En küçük değer: 1 En büyük Değer: 9 Alt Çeyrek: 3 Üst Çeyrek: 9 Ortanca: 8 Veriler: {1, 3, 5, 8, 8, 9, 9} 4.b. En küçük değer: 1 En büyük Değer: 9 Alt Çeyrek: 3 Üst Çeyrek: 9 Ortanca: 9 veya 3 Veriler: {1, 3, 9, 9, 9, 9} (ortanca 9 için) 6.. Bölüm Değerlendirme.a. 5.b c ç Şiir: 6, Felsefe: 8, Ekonomi: 4, Tarih: 1, Edebiyat: 8 4.a. 5 4.b. 9 4.c ç. 4.d e f. 1 4.g a.. Sınav 7.b. Adnan 7.c. Ali 7.ç. Adnan 7.d. Adnan 8. a. 5 8.b. %19 1. a. %15,6 1.b. 1,4 1.c d. Evet 11.a b a. D 1.b. Y 1.c. Y 1.ç. D 13.a. D 13.b. D 13.c. Y 13.ç. Y 16. c, a, b 17.a b. 17.c ç d a. 19.b c ç d e. İlişkisiz.a. Negatif ilişki.b.,7.c. 17,47 3. a. Pozitif İlişki 3.b. Negatif İlişki 3.c ç D 7. D, Y, D 8. 6, 16, 9, 15, 1 3.a. 36,5 3.b. 9,65 3.c. 8 3.ç. Kutu Grafiği 31.a b. 4, 8 31.c., a. 1 ve 13 Bölüm Adı: 6.3 Olasılık Hazır mıyız? 1. {yazı, tura}.a. olabilir de olmayabilir de b. olması pek beklenmez c. olması pek beklenmez ç. olması pek beklenmez d. kesin e. olabilir de olmayabilir de f. kuvvetle olması beklenir 3.a. eşit b. farklı. Mavi olma olasılığı daha büyük 4.a. kesindir b. kesindir c. imkansızdır ç. erkek olmasına eşit ve 1 dir Bölüm Değerlendirme 1.a. D b. Y c. Y ç. D d. D. Olasılık, ve 1, imkansız olay,, kesin olay 3.a. örnek uzay b. olay c. olayın eleman sayısının ç. tümleyeni d. P(A)+P(A )=1 e. ayrık olaylar 7.a. 1 b. 1 c. eğer kız ve erkek öğrencilerin sayısı eşitse,5 olur. 8. Her türe ait ağaç sayısına göre cevap değişir. Ünite Değerlendirme I 1. B. C 3. D 4. C 5. B 6. B 7. A 8. E 9. A 1. D 11. E 1. D 13. D 14. D 15. C 16. C 17. E Ünite Değerlendirme II 1. B. B 3. A 4. D 5. E 6. A 7. C 8. D 9. C 1. C 11. C 1. E 13. A 14. A 15. D 16. E 17. D 18. A Ünite Değerlendirme III 1. C. D 3. E 4. E 5. D 6. B 7. A 8. A 9. D 1. C 11. D 1. D 13. C 14. D 15. D 16. C Ünite Değerlendirme IV 1. B. D 3. B 4. D 5. C 6. B 7. D 8. D 9. D 1. C 11. D 1. D 13. B 14. D 15. E

122 A açı: Aynı doğru üzerinde bulunmayan, başlangıç noktaları ortak iki ışının kesişimi. Işınlar açının kolları, ortak başlangıç nokta da açının köşesi olarak adlandırılır. açı-kenar-açı (A.K.A.) eşlik kuralı: İki üçgenin köşeleri arasında kurulan bire bir eşlemede, karşılıklı ikişer açı ve bu açıların arasında kalan kenarların eşliğini ifade eden kural. açıklık: Bir veri grubunda en büyük değer ile en küçük değer arasındaki fark. açıortay: Bir açıyı iki eş açıya ayıran ışın. ağırlık merkezi (üçgen): Bir üçgenin kenarortaylarının kesiştiği nokta. ağırlıklı ortalama: Bir veri grubundaki her bir verinin belirli bir ağırlık değeri ile çarpımının toplamının verilerin sayısına bölünmesi ile elde edilen değer. akış diyagramı ispat biçimi: Geometride, bir teoremin ispatında ifadelerin mantıksal bir sıra içinde ve bu ifadelerin gerekçelerinin ise hemen altlarındaki kutularda yer aldığı gösterim biçimi. alan: Bir yüzeyin bulunduğu düzlemde kapladığı yer. Bir yüzeyi kaplamak için gerekli birim karelerin sayısı. alt çeyrek: Bir veri grubunda veriler küçükten büyüğe sıralandığında ortanca terim, veri grubunu terim sayıları eşit olacak şekilde iki gruba ayırır. Sol tarafta kalan veri grubu alt grup olmak üzere, alt grubun ortancasına alt çeyrek denir. alt küme: Bir A kümesinin elemanlarından bazılarının oluşturduğu küme. Boş küme ( ) ve kümenin kendisi de A kümesinin bir alt kümesidir altın oran: Değeri = 1, olan bir irrasyonel sayı. analitik düzlem: Dik kesişen iki koordinat doğrusunun oluşturduğu yapının belirttiği düzlem. Analitik düzlem üzerindeki her bir nokta elemanları gerçek sayı olan sıralı ikililere karşılık gelir. aritmetik ortalama: Bir veri grubundaki sayıların toplamının, veri sayısına bölünmesi ile elde edilen değer. asal sayı: 1 ve kendisinden başka pozitif tam sayı böleni olmayan doğal sayı. ayrık kümeler: Ortak elemanı olmayan kümeler. Sözlük B bağımlı değişken: Bağımsız değişkene bağlı olarak değeri değişen değişken. bağımsız değişken: Bağımlı değişkenlerde bir değişime neden olmak için manipüle edilen değişken. benzer terimler: Aynı değişkenleri içeren ve bu değişkenlerin kuvvetlerinin aynı, katsayıların aynı veya farklı olduğu terimler. bileşen: Bir bileşim ya da birleşimi oluşturan öğelerden her biri. bire bir fonksiyon: Tanım kümesindeki her bir elemanın görüntüsünün diğer elemanların görüntülerinden farklı olduğu fonksiyonlar. birim fonksiyon: Tanım kümesindeki her değeri kendisiyle eşleyen fonksiyon. boş küme: Hiç elemanı olmayan küme. bilimsel gösterim: 1 a < 1, a R, b Z olmak üzere bir sayının a 1 b şeklindeki gösterimi. birim çember: Merkezi (, ) noktası (orijin) ve yarıçapı 1 birim olan çember. birleşim kümesi: İki kümenin elemanlarının tamamının oluşturduğu küme. bütünler açılar: Ölçüleri toplamı 18 olan iki açı. Ç çelişki: Doğruluğu (veya yanlışlığı) kabul edilen durum ilgili tutarsızlık. çelişki yöntemiyle ispat: Verilen ifadenin tersinin doğru olduğunu kabul edip bir çelişki elde etmeye dayalı ispat biçimi. çevrel çember: Bir çokgenin tüm köşelerinden geçen çember. Örneğin, bir üçgenin kenar orta dikmelerinin kesim noktası üçgenin çevrel çemberinin merkezidir. çeyrekler açığı: Üst çeyrek ile alt çeyrek arasındaki fark. çizgi grafiği: İlgili verilerin bir dizi nokta (sıralı ikili) ile gösterildiği ve bu noktaların düz çizgilerle birleştirildiği bir tür grafik. Çizgi grafiği genellikle bir niceliğin zamana bağlı değişimini göstermek için kullanılır. çözüm kümesi: Bir denklemi ya da eşitsizliği sağlayan tüm değerlerin oluşturduğu kümesi.

123 daire grafiği: Bir niceliğin bütün içindeki oranının daire üzerinde dilimlerle ifade edildiği grafik türü. D değer kümesi: Fonksiyonun tanımlı olduğu çıktı değerlerinin oluşturduğu küme. denklem: İçinde en az bir bilinmeyenin bulunduğu eşitlik. değişim oranı (hızı): Bir nicelikteki değişimin, başka bir niceliğin değişimine oranı. değişken: Bir problem ya da bir dizi işlem bağlamında değişen (farklı değerler alan) değer. dış açı: Bir çokgende herhangi bir iç açının bütünleyeni. dış açıortay: Bir çokgenin bir dış açısını iki eş parçaya ayıran ışın. dış merkez: bk. dış teğet çemberin merkezi. dış teğet çemberin merkezi (üçgen): Üçgenin iki dış açıortayı ile bu dış açılara komşu olmayan iç açısının açıortayının kesim noktası. dik açı: Ölçüsü 9 olan açı. diklik merkezi: Üçgenin yüksekliklerin kesim noktası. dik kenar: Dik üçgende dik açıyı oluşturan kenarlardan her biri. dik üçgen: İç açılarından biri 9 olan üçgen. dikey doğru testi: Bir grafiğin x-eksenine dikey doğrular çizilerek bir grafiğin fonksiyon grafiği olup olmadığını anlama yöntemi. doğrusal fonksiyon: Tanım ve değer kümesi reel sayılar olan f(x) = ax + b (a ve b R) biçimindeki fonksiyon. doğru orantı: Değişkenlerden biri artarken (veya azalırken), diğerinin de arttığı (veya azaldığı) orantı. E eş üçgenler: Karşılıklı açıları ve kenarları eş olan üçgenler. eşit fonksiyon: Tanım ve görüntü kümeleri aynı, tanım kümesindeki her bir elemanın görüntüsünün de aynı olduğu fonksiyonlar. eşit kümeler: Elemanları aynı olan kümeler. eşitlik: İçinde = sembolü bulunan matematik cümlesi. eşitsizlik: İçinde <, >,, veya sembollerinden en az birinin bulunduğu matematik cümlesi. etkisiz eleman: Bir küme ve üzerinde bir işlem tanımlandığında kümedeki her elemanı verilen işleme göre yine kendisine dönüştüren eleman. evren: İçinde bir cismin bulunabileceği yerlerin tümünü gösteren kavram, bütün var olanları içinde bulunduran şey. evrensel küme: Üzerinde işlem yapılan tüm kümelere ait elemanları içine alan küme. F - G - H fonksiyon: Bir kümenin (tanım kümesinin) her bir elemanını başka bir kümenin (değer kümesinin) bir ve yalnız bir elemanına eşleyen ilişki. görüntü kümesi: Tanım kümesindeki elemanların fonksiyon altındaki görüntülerinin oluşturduğu küme. grup genişliği: Bir histogramda açıklık değerinin grup sayısına bölümüne en yakın tam sayı. Örneğin açıklk ı! 9 = 58,. 6 " grup genişliği. grup sayıı s! 5 gerçek sayılar: Doğal sayılar, tam sayılar, rasyonel sayılar ve irrasyonel sayılar kümesinin hepsini kapsayan ve R ile gösterilen sayı kümesi. hipotenüs: Bir dik üçgende dik açının karşısındaki kenar. histogram: Veri genişlikleri eşit olan farklı aralıklardaki veri sayılarını gösteren grafik türü. eş açı: Ölçüleri eşit olan açılar. eş doğru parçaları: Uzunlukları eşit olan doğru parçaları. eşkenar üçgen: Üç kenarının uzunlukları birbirine eşit olan üçgen.

124 iç ters açı: Paralel iki doğruyu kesen üçüncü bir doğrunun iki yanında ve paralellerin içinde altlı üstlü ortaya çıkan dört açıdan her biri. iç açı: Bir çokgenin ardışık iki kenarının oluşturduğu ve çokgenin içinde bulunan açı. İ iç açıortay: Bir çokgenin bir iç açısını iki eş parçaya ayıran ışın. iç merkez: bk. iç teğet çemberin merkezi. iç teğet çemberin merkezi (üçgen): Bir üçgende iç açıortayların kesiştiği nokta. a c içler dışlar çarpımı: = olmak üzere a ve d değerlerinin (dışlar) b ve c değerleriyle çarpımının eşit olması: b d a d = b c ilişkisizlik: Değişkenler arasında artma veya azalmayla ilgili herhangi bir ilişki söz konusu olmadığında bu durum ilişkisizlik olarak adlandırılır. iki kolonlu ispat biçimi: Geometride, bir teoremin ispatında ifade ve ifadelerin gerekçelerinin karşılıklı iki sütun şeklinde yer aldığı ispat biçimi. iki kümenin farkı: Bir kümede olup diğerinde olmayan elemanların kümesi. ikizkenar üçgen: Kenarlarından herhangi ikisi eş olan üçgen. imkansız olay: Gerçekleşme olasılığı olmayan olay. irrasyonel sayılar: İki tam sayının birbirine bölümü şeklinde yazılamayan sayılar. ispat: Bilinen matematiksel kural, özellik, sonuç veya tanımları kullanarak bir yargının doğru veya yanlış olduğunun gösterilmesi. K kapsama: Bir kümenin başka bir kümenin elemanlarının hepsini içermesi. karekök: Bir sayının eş iki çarpanından biri. kartezyen çarpım: İlk bileşeni A kümesinden ikinci bileşeni B kümesinden alınarak oluşturulan sıralı ikililerin kümesi. kesin olay: Olma/gerçekleşme olasılığı 1 olan olay. kesişim kümesi: İki kümenin ortak elemanlarının oluşturduğu küme. kenar-açı-kenar (K. A. K.) eşlik kuralı: İki üçgen arasında kurulan birebir eşlemede, karşılıklı ikişer kenar ve bu kenarların oluşturduğu açıların eşliğini ifade eden kural. kenar-kenar-kenar (K.K.K.) eşlik kuralı: İki üçgenin köşeleri arasında kurulan birebir eşlemede, karşılıklı kenarların eşliğini ifade eden kural. kenarortay: Üçgenin bir köşesini karşısındaki kenarın orta noktasına birleştiren doğru parçası. kesikli veri: Sürekli verilerin aksine, sonlu veya sayılabilir belli bir aralıkta her değeri alamayan veriler. Örneğin; kişi sayısı, araç sayısı vb. Kosinüs Teoremi: Üçgenin iki kenar uzunluğu ve bu kenarların oluşturduğu açının ölçüsü ile üçüncü kenarının uzunluğu arasındaki ilişkiyi ifade eden teorem. koordinat düzlemi: bk. analitik düzlem. koordinat doğrusu: Gerçek sayıların, bir doğrunun noktaları ile bire bir eşleştirilmesi ile oluşturulan sayı doğrusu. kutu grafiği: Bir veri grubundaki en küçük değer, en büyük değer, alt çeyrek, üst çeyrek ve ortanca değerlerini gösteren bir tür grafik. küme: İyi tanımlanmış birbirinden farklı nesnelerden oluşan topluluk. kümenin elemanları: Bir kümeyi oluşturan nesneler. L M N liste yöntemi: Küme elemanlarının, küme parantezleri içinde her eleman arasına virgül konularak liste şeklinde herhangi bir sırayla verildiği gösterim biçimi. medyan: bk. ortanca. merkezi eğilim ölçüsü: Bir sayı dizisini temsil eden tepe değer, ortanca ve aritmetik ortalama değerleri. merkezi yayılım ölçüsü: Bir sayı dizisindeki terimlerin birbirine yakınlığını veya uzaklığını belirten standart sapma, açıklık ve çeyrekler açıklığı değerleri. mod: bk. tepe değer.

125 mutlak değer: Bir gerçek sayının sayı doğrusu üzerinde sıfıra olan uzaklığı. x, x < mutlak değer fonksiyonu: f: R " R, f( x) = - + ( x, x ifadesi ile tanımlanan ve tanım kümesindeki her gerçek sayıyı, sayı doğrusu üzerinde orijine olan uzaklığına eşleyen fonksiyon. negatif yönlü ilişki: İki farklı değişkenden biri artarken diğer değişken azalıyorsa bu iki değişken arasındaki ilişkiye negatif yönlü ilişki. O oran: İki çokluğun (niceliğin) bölme şeklinde birbiri ile a karşılaştırılması: a : b, b orantı: İki ya da daha fazla oranın eşitliği. orta dikme: Bir doğru parçasına orta noktasından dik olan doğru. ortak özellik yöntemi: Bir kümeyi elemanlarının taşıdığı şartları veya özellikleri belirterek ifade eden gösterim biçimi. ortanca: Bir veri grubu küçükten büyüğe sıralandığında veri grubunu eşit sayıda iki gruba ayıran değer. örten fonksiyon: Değer kümesindeki her elemanın tanım kümesinden en az bir elemanla eşleştiği fonksiyon. P - R paradoks: Doğru olduğu varsayıldığında çelişki ürettiği gibi yanlış olduğu varsayıldığında da çelişki üreten yargısal ifade. paragraf ispat biçimi: Geometride, bir teoremin ispatının paragraf şeklinde detaylı açıklamaların birlikte verildiği ispat biçimi. parçalı tanımlı fonksiyon: Tanım kümesinin ayrık alt kümelerinde farklı kurallarla tanımlı olan fonksiyonlar. Pisagor Teoremi: Bir dik üçgende, hipotenüs (c) ile dik kenarların (a ve b) uzunlukları arasındaki ilişkiyi ifade eden teorem: ABC D dik üçgeni c = a + b pozitif yönlü ilişki: İki farklı değişkenden biri artarken diğer değişkende artıyorsa bu iki değişken arasındaki ilişkiye pozitif yönlü ilişki denir. rasyonel sayı: a, b Z (b ) ve a, b aralarında asal olmak a üzere, şeklinde bir kesir olarak ifade edilebilen sayı. b sabit: Değişmeden kalan değer. sabit fonksiyon: Tanım kümesinin bütün elemanlarını değer kümesinden yalnızca bir eleman ile eşleyen fonksiyon. saçılma grafiği: bk. serpme grafiği. serpme grafiği: İki farklı değişken arasındaki ilişkinin yönünü ve kuvvetini gözlemlemek için verilerin sıralı ikililer olarak grafik üzerinde gösterildiği grafik türü. S sıralı ikili: A kümesinden alınan bir a elemanı ile B kümesinden alınan bir b elemanı kullanılarak oluşturulan (a, b) şeklindeki yeni eleman. simetrik fark: (A B) ve (B A) kümelerinin birleşimi: (A B) (B A) Sinüs Teoremi: Üçgenin kenar uzunlukları ve bu kenarların karşılarındaki açı ölçülerinin sinüs değerleri arasındaki ilişkiyi ifade eden teorem. sonlu küme: Eleman sayısı bir doğal sayı ile ifade edilebilen küme. sonsuz: Verilmiş olan her büyüklükten daha büyük olan. sonsuz küme: Sonlu olmayan küme. standart sapma: Bir sayı dizisindeki elemanların aritmetik ortalamaya yakın olup olmadığı hakkında bilgi veren merkezi yayılım ölçüsü. sürekli veri: Kesikli verilerin aksine belli bir aralıkta bütün değerleri alabilen veriler. Örneğin; bir cismin kütlesi ve boyu, zaman, uzaklık vb. sütun grafiği: Verilerin eksenler üzerinde sütunlarla veya çubuklarla ifade edildiği grafik türü. Tanım kümesi: Bir fonksiyonun tanımlı olduğu küme. teorem: Doğruluğu ya da yanlışlığı bir akıl yürütmeler silsilesi ile ispatlanabilen matematiksel ifade. T tepe değer: Bir veri grubunda en çok tekrar eden değer. ters orantı: Değişkenlerden biri artarken diğeri azalan orantı.

126 trigonometrik oranlar: Bir dik üçgenin kenar uzunlukları arasındaki oranlar. tümler açılar: Ölçüleri toplamı 9 olan açılar. tümleyen küme: İstenen kümede olmayıp evrensel kümede olan elemanların kümesi. uzay: bk. evren. U - Ü üçgen: Doğrusal olmayan üç noktayı, ikişer ikişer birleştiren doğru parçalarının oluşturduğu geometrik şekil. üçgenin dış teğet çemberleri: Bir üçgende kenarlara dıştan teğet olan çemberler. üçgen eşitsizliği: Bir üçgende, herhangi iki kenar uzunluğunun toplamının üçüncü kenarın uzunluğundan büyük olması. üst çeyrek: Bir veri grubunda veriler küçükten büyüğe sıralandığında ortanca terim, veri grubunu terim sayıları eşit olacak şekilde iki gruba ayırır. Sağ tarafta kalan veri grubu üst grup olmak üzere, üst grubun ortancasına üst çeyrek denir. V - Y Venn şeması: Küme elemanlarının kapalı bir eğri veya çokgenin içinde, her bir elemanın yanına birer nokta konularak gösterildiği gösterim biçimi. vücut kitle indeksi: Vücut kütlesinin (kg) boy uzunluğunun (m) karesine oranı ile hesaplanan ve bir insanın vücudundaki yağ oranının tahmini göstergesi olan bir ölçü. yardımcı çizim: Bir teoremi ispatlayabilmek ya da bir problemi çözebilmek için kullanılan ek çizim. yatay doğru testi: x-eksenine paralel doğrular çizerek verilen fonksiyon grafiğinden fonksiyonun bire bir veya örtenliğini ortaya koymakta kullanılan bir yöntem. yöndeş açı: Paralel iki doğru bir kesenle kesildiğinde, kesenin aynı tarafında kalan aynı yönlü açılar. yükseklik: Üçgenin bir köşesinden karşı kenara indirilen dik doğru parçası.

127 Kaynakça Angel, A. R., Abbott, C. D., & Runde, D. C. (4). A Survey of Mathematics with Applications. New York, NY: Addison- Wesley. Aufmann, R. N., Lockwood, J. S., Nation, R. D., & Clegg, D. K. (1). Mathematical Excursions ( nd ed.). Boston: Brooks/ Cole Cengage Learning. Bello, I. (9). Basic college Mathematics (3 rd ed.). New York: McGraw-Hill Companies. Boyer, B. C., Merzbach, U.C. ve Asimov, I. (1991). A History of Mathematics. New York: John Wiley & Sons. Baki, A. (8). Kuramdan Uygulamaya Matematik Eğitimi. Trabzon: Harf Yayıncılık. Barnes A. (7). Encyclopedia of Trigonometry. Delhi: Global Media. Cajori F. (198). A History of Mathematical Notations: Volume 1, Notations In Elementary Mathematics. London: The Open Court Company Publishers. Cajori F. (193). A History of Elementary Mathematics. London: Macmillan. DeVilliers, M. (5). A Generalization of the nine-point circle and Euler line. Pythagoras, 61, Gökdal, F. (1999). Heron ve Brahmagupta Formülleri. Matematik Dünyası,, -4. Göker, L., (1997). Matematik Tarihi ve Türk İslam Matematikçilerinin Yeri. İstanbul: MEB Yayınları. Keijzer, R., Abels, M., Wijers, M., Brinker, L. J., Shew, J. A., Cole, B. R., & Pligge, M. A. (6). Ratios and rates. Mathematics in Context. Chicago: Encyclopædia Britannica, Inc. Krebs, E. R. (4). Groundbreaking Scientific Experiments, Inventions and Discoveries of the Middle Ages and the Renaissance. London: Greenwood Pub. Lial, M. L., Hornsby, J., & McGinnis, T. (1). Beginning and intermediate algebra (5 th ed.). Boston: Pearson Education. McKeague, C. P. (1). Basic Mathematics (7 th ed.). Belmont: Brooks/Cole Cengage Learning. Miller, J., O Neill, M., & Hyde, N. (9). Basic college mathematics ( nd ed.). New York: McGraw-Hill Companies. Murdock, J., Kamischke, E., ve Kamischke, E. (7). Discovering Algebra: An Investigative Approach ( nd ed.). Emeryville, CA: Key Curriculum Press. Pickover, C. A. (9). The Math Book. New York: Sterling Publishing. Serra, M. (8). Discovering Geometry: An Investigative Approach. Emeryville, CA: Key Curriculum Press. T.C. Milli Eğitim Bakanlığı Talim ve Terbiye Kurulu Başkanlığı. (13). Ortaöğretim Matematik Dersi (9, 1, 11 ve 1. Sınıflar) Öğretim Programı. Ankara: T.C. Milli Eğitim Bakanlığı. Topdemir, G. H. (11). Hipparkhos ve Trigonometrinin Doğuşu. Bilim ve Teknik, 58, Türk Dil Kurumu. (1). Yazım Kılavuzu. Ankara: Türk Dil Kurumu Yayınları. Türk Dil Kurumu. (11). Türkçe Sözlük. Ankara: Türk Dil Kurumu Yayınları. Verma, S. (8). The Little Book of Maths Theorems, Theories & Things. Sydney: New Holland Publishers. Wells, D. (11). Geometrinin Gizli Dünyası. İstanbul: Doruk Yayınları. Yağcı, M. (4). Fermat-Toricelli Noktası. Matematik Dünyası, 1,

128 Görsel Kaynakçası Ünite No Sayfa No Görselin Alındığı Web Sayfası Orijinal çizim Orijinal çizim Orijinal çizim Orijinal çizim 5 85 Orijinal çizim Orijinal çizimler Orijinal çizim Orijinal çizim Orijinal çizim Orijinal çizim Orijinal çizim Orijinal çizim Orijinal çizim Orijinal çizimler 5 89 Orijinal çizimler Orijinal çizimler Orijinal çizim Orijinal çizim Orijinal çizimler Orijinal çizimler 5 9 Orijinal çizimler 5 91 Orijinal çizimler 5 94 Orijinal çizim 5 95 Orijinal çizimler 5 96 Orijinal çizimler Ünite No Sayfa No Görselin Alındığı Web Sayfası Orijinal çizimler 5 9 Orijinal çizimler Orijinal çizim Orijinal çizim Orijinal çizim 5 95 Orijinal çizim Orijinal çizim Orijinal çizim Orijinal çizimler 5 96 Orijinal çizim Orijinal çizimler Orijinal çizim Orijinal çizim Orijinal çizim Orijinal çizim Orijinal çizim Orijinal çizim Orijinal çizim Orijinal çizim Orijinal çizim Orijinal çizim

129 Ünite No Sayfa No Görselin Alındığı Web Sayfası Orijinal çizimler Orijinal çizim Orijinal çizim Orijinal çizim Orijinal çizim Orijinal çizim Orijinal çizim Orijinal fotoğraf Orijinal çizim Ünite No Sayfa No Görselin Alındığı Web Sayfası Orijinal çizim Orijinal çizim Orijinal çizim 6 19 Orijinal çizim Orijinal çizim Orijinal çizim

130