ISBN Sertifika No: 11748

Transkript

1 ISBN Sertifika No: GENEL KOORDİNATÖR: REMZİ ŞAHİN AKSANKUR REDAKTE: REMZİ ŞAHİN AKSANKUR SERDAR DEMİRCİ SABRİ ŞENTÜRK Bas m Yeri: UMUT MATBAACILIK - MERTER / STANBUL Bu kitab n tüm bas m ve yay n haklar kartezyen egitim yay nlar na ait olup, tüm haklar sakl d r. K smen de olsa al nt yap lamaz. Metin ve sorular, kitab yay nlayan irketin önceden izni olmaks z n elektronik, mekanik, fotokopi, tarama ya da herhangi bir kay t sistemiyle ço alt lamaz, yay nlanamaz. Turgutreis Mah. Giyimkent Sitesi 8. Sokak A1 Blok B95 No:64-65 ESENLER - STANBUL Tel: (0212) Fax: (0212) Copyright kartezyen egitim yay nlar

2 Konu Anlatım Sistemi Konu anlatımında yeni bir yaklaşım Neden Kartezyen Konu Anlatım Fasikülleri? Öğrencinin Konu Anlatımlı kitaplara yönelmesindeki amaç sınıf ortamında öğrenemediği konuyu kitaptan çalışmaktır. Ancak, sayfalar dolusu konu anlatımı ve peş peşe sayısız örneği öğrencinin tek oturumda hafızasına alması mümkün değildir. Bir yığın halinde verilen bilgileri kavrayamayan öğrenci, 1) Motivasyonunu kaybeder 2) Yılgınlaşır 3) Dersten soğur Bunun yerine basit ve kısa anlatımların ardından öğrenciye öğrendiklerini uygulatmak gerekir sayfalık konu anlatımından sonra verilen testlerin bir sorusunda takılan öğrenci, konu anlatımının neresine bakması gerektiğini bilemez. Kartezyen Konu Anlatım Fasikülleri nde ise öğrenci bir soruda takıldığında eksikliğini tespit etmesi, yardım almaksızın mümkün. Kartezyen Konu Anlatım Sistemi nde! Sayfalar dolusu değil, basit konu anlatımları ile tek sayfalık uygulama testleri, Ezberden kaçınan ve konunun temel prensiplerini kavratmayı amaçlayan anlatım tarzı, Konu anlatımında verilen bilgileri destekleyen Kavrama Soruları, Çözemediği her soruda öğrencinin kendi eksikliğini tespit edebilme imkanı, Çalışmaya bir veya birkaç gün ara verse dahi, öğrencinin çalışmayı bıraktığı yerden eski kazanımlarını unutmaksızın, devam edebilmesi imkanı.

3 Konu Anlatım Sistemi Konu anlatımında yeni bir yaklaşım Kartezyen Konu Anlatım Fasikülleri Özel Bir Dizayna Sahip! Konu Kavrama Bölümü: (Sol Taraf) Konu Anlatımı ve Konu Kavrama soruları içeriyor, amacı ise öğrenciye konunun içeriğini öğretmek. Uygulama Bölümü: (Sağ Taraf) Altı-sekiz soruluk testlerden oluşuyor, amacı ise öğrencinin Konu Kavrama Bölümü nde öğrendiklerini pekiştirmek. Sayfalar Dolusu Konu Anlatımı Yapmadık! Sayfalarca konu anlatımı ve yüzlerce peş peşe örnek soruyu öğrencinin aklında tutmasına imkan yoktur. Öğrencinin Konu Kavrama Bölümü nde (sol taraf) öğrendiklerini, Uygulama Bölümü nde (sağ taraf) tek sayfalık testlerle pekiştirmesini amaçladık. Öğretmenin bir öğrenciye bire bir ders anlatım sistemini model aldık! İdeal konu anlatım sisteminde; 1. Adım: Öğretmen konuya ait bilgileri verir 2. Adım: Bu bilgilere ait örnek uygulamaları yapar 3. Adım: Öğrencinin öğrendiklerine ait uygulamalar yapmasını sağlar Biz de fasiküllerimizde bu temel çalışma sistemini model aldık. Fasiküllerimizde uyguladığımız sistemin bir güzel yanı da şu, Öğrenci test içindeki bir soruda takıldığında yapması gereken şey sadece sol tarafa bakmak!.. MODÜLER ARİTMETİK

4 MODÜLER AR TMET K Modüler Aritmetik A, B, C ve K do al say lar, B 0 olmak üzere, A B C ise A=B.C+K oldu unu bölme kurallar nda ö renmi tik. K A=B.C+K ise A K=B.C dir. Yani A K say s B ile tam bölünür. 3 e bölündü ünde 1 kalan n veren ilk dört do al say y bulunuz. k bir tam say olmak üzere; 3 ile tam bölünen say lar x=3k 3 ile bölündü ünde 1 kalan n veren tam say lar x=3k+1 3 ile bölündü ünde 2 kalan n veren tam say lar x=3k+2 eklinde yaz labilir. x=3k+1, (k ) olmal d r. k=0 için x=3.0+1 ise x=1 k=1 için x=3.1+1 ise x=4 k=2 için x=3.2+1 ise x=7 k=3 için x=3.3+1 ise x=10 Cevap: 1, 4, 7 ve 10 4 e bölündü ünde 2 kalan n veren iki basamakl do al say lardan en küçük 3 tanesini bulunuz. x=4k+2, (k ) olmal d r. k=2 için x=4.2+2 ise x=10 k=3 için x=4.3+2 ise x=14 k=4 için x=4.4+2 ise x=18 Cevap: 10, 14 ve 18 5 ile bölündü ünde 3 kalan n veren en büyük üç negatif tam say y bulunuz. x=5k+3, (k ) olmal d r. k= 1 için x=5.( 1)+3= 2 k= 2 için x=5.( 2)+3= 7 k= 3 için x=5.( 3)+3= 12 Cevap: 2, 7 ve 12 6 ile bölündü ünde 2 kalan n veren en büyük negatif tam say ile en küçük pozitif tam say n n toplam n bulunuz. x=6k+2, (k ) olmal d r. k= 1 için x=6.( 1)+2= 4 k=0 için x=6.(0)+2=2 4+2= 2 Cevap: 2 4

5 soru 1 soru 5 A a dakilerden hangisi 3 ile bölündü ünde 1 kalan n verir? 6 ile bölündü ünde 1 kalan n veren en küçük dört do al say n n toplam kaçt r? A) 68 B) 72 C) 75 D) 80 E) 85 A) 40 B) 42 C) 44 D) 46 E) 48 soru 2 soru 6 4 ile bölündü ünde 3 kalan n veren ilk üç do al say n n toplam kaçt r? 7 ile bölündü ünde 2 kalan n veren en büyük üç negatif tam say n n toplam kaçt r? A) 17 B) 18 C) 19 D) 21 E) 22 A) 34 B) 36 C) 38 D) 42 E) 45 soru 3 A a dakilerden hangisi 3 ile bölündü ünde 2 kalan n verir? A) 9 B) 10 C) 11 D) 12 E) 15 soru 4 A a dakilerden hangisi 5 ile bölündü ünde 1 kalan n verir? A) 43 B) 45 C) 49 D) 53 E) 58 5KARTEZYEN E T M YAYINLARI soru 7 9 ile bölündü ünde 5 kalan n veren en küçük pozitif tam say ile en büyük negatif tam say n n toplam kaçt r? A) 1 B) 0 C) 1 D) 2 E) 3 soru 8 8 ile bölündü ünde 4 kalan n veren en büyük iki negatif tam say n n toplam kaçt r? A) 16 B) 17 C) 18 D) 19 E) 20 1 E 2 D 3 B 4 C 5 A 6 B 7 C 8 A

6 4 ile tam bölünen, tam say lar kümesini bulunuz. k bir tam say olmak üzere; 4 ile tam bölünen say lar x=4k 4 ile bölündü ünde 1 kalan n veren tam say lar x=4k+1 4 ile bölündü ünde 2 kalan n veren tam say lar x=4k+2 4 ile bölündü ünde 3 kalan n veren tam say lar x=4k+3 eklindedir. x=4k, (k ) olmal d r. k= 1 için x=4.( 1)= 4 ) +4 k=0 için x=4.0=0 )+4 k=1 için x=4. 1=4 )+4 k=2 için x=4.2=8 eklinde devam eder. 4 ile tam bölünen tam say lar kümesi ={..., 8, 4, 0, 4, 8, 12,...} 3 ile bölündü ünde 2 kalan n veren tam say lar kümesini bulunuz. Sorunun ünde dilerseniz k'ya daha fazla de- er verebilirsiniz. Ancak bu kadar da için yeterli olacakt r. Cevab olu turan say lar n kaçar kaçar artt na veya azald na dikkat ediniz. x=3k+2, (k ) olmal d r. k= 1 için x=3.( 1)+2= 1 ) +3 k=0 için x=3.0+2=2 )+3 k=1 için x=3.1+2=5 eklinde devam eder. 3 ile bölündü ünde 2 kalan n veren tam say lar kümesi ={..., 4, 1, 2, 5, 8,...} dir. 5 ile bölündü ünde 1 kalan n veren tam say lar kümesini bulunuz. x=5k+1, (k ) olmal d r. k= 2 için x=5.( 2)+1= 9 ) +5 k= 1 için x=5.( 1)+1= 4 ) +5 k=0 için x=5.0+1=1 )+5 k=1 için x=5.1+1=6 eklinde devam eder. 5 ile bölündü ünde 1 kalan n veren tam say lar kümesi ={..., 9, 4, 1, 6,...} d r. 7 ile bölündü ünde 4 kalan n veren tam say lar kümesini bulunuz. x=7k+4, (k ) olmal d r. k= 2 için x=7.( 2)+4= 10 ) +7 k= 1 için x=7.( 1)+4= 3 )+7 k=0 için x=7.0+4=4 )+7 k=1 için x=7.1+4=11 eklinde devam eder. 7 ile bölündü ünde 4 kalan n veren tam say lar kümesi ={..., 10, 3, 4, 11,...} d r. 6

7 soru 1 soru 5 5 ile tam bölünen tam say lar kümesi a a dakilerden hangisidir? 8 ile bölündü ünde 3 kalan n veren tam say lar kümesi a a dakilerden hangisidir? A) {..., 7, 2, 3, 8, 13,...} B) {..., 6, 1, 4, 9, 14,...} C) {..., 10, 5, 0, 5, 10,...} D) {..., 9, 4, 1, 6,...} E) {..., 8, 3, 2, 7,...} A) {..., 9, 1, 7, 15,...} B) {..., 10, 2, 6, 14,...} C) {..., 11, 3, 5, 13,...} D) {..., 12, 4, 4, 12,...} E) {..., 13, 5, 3, 11,...} soru 2 soru 6 7 ile tam bölünen tam say lar kümesi a a dakilerden hangisidir? 5 ile bölündü ünde 2 kalan n veren tam say lar kümesi a a dakilerden hangisidir? A) {..., 14, 7, 0, 7, 14,...} B) {..., 13, 6, 1, 8,...} C) {..., 12, 5, 2, 9,...} A) {..., 8, 3, 2, 7,...} B) {..., 7, 2, 3, 8,...} C) {..., 6, 1, 4, 9,...} D) {..., 11, 4, 3, 10,...} E) {..., 10, 3, 4, 11,...} soru 3 4 ile bölündü ünde 1 kalan n veren tam say lar kümesi a a dakilerden hangisidir? A) {..., 8, 4, 0, 4, 8,...} B) {..., 7, 3, 1, 5,...} C) {..., 6, 2, 2, 6,...} D) {..., 5, 1, 3, 7,...} E) {..., 4, 1, 3, 7,...} soru 4 6 ile bölündü ünde 2 kalan n veren tam say lar kümesi a a dakilerden hangisidir? A) {..., 12, 6, 0, 6, 12,...} B) {..., 11, 5, 1, 7,...} C) {..., 10, 4, 2, 8,...} D) {..., 9, 3, 3, 9,...} E) {..., 8, 2, 4, 10,...} 7KARTEZYEN E T M YAYINLARI D) {..., 10, 5, 0, 5, 10,...} E) {..., 12, 6, 0, 6, 12,...} soru 7 9 ile bölündü ünde 5 kalan n veren tam say lar kümesi a a dakilerden hangisidir? A) {..., 10, 1, 8, 17,...} B) {..., 11, 2, 7, 16,...} C) {..., 12, 3, 6, 15,...} D) {..., 13, 4, 5, 14,...} E) {..., 14, 5, 4, 13,...} soru 8 10 ile bölündü ünde 3 kalan n veren tam say lar kümesi a a dakilerden hangisidir? A) {..., 23, 13, 3, 13,...} B) {..., 17, 7, 3, 13,...} C) {..., 16, 6, 4, 14,...} D) {..., 15, 5, 5, 15,...} E) {..., 14, 4, 6, 16,...} 1 C 2 A 3 B 4 C 5 E 6 A 7 D 8 B

8 7 say s n n 5 ile bölümünden kalan 2 dir. Bunu 7=5k+2, (k ) biçiminde ifade edebiliriz. 7=5k+2 ise 7 2=5k 5=5k elde edilir. Yani, 7 2 fark n 5 tam böler. Benzer biçimde, a=m.k+b, (k ) olmak üzere, a=m.k+b ise a b=m.k yani m say s a b fark n tam böler, m (a b) dir. Bu ifadeyi ba nt olarak ifade edersek ={(a, b):m (a b), m +, a, b } ba nt s yans ma, simetri ve geçi me özelliklerini sa lad ndan bir denklik ba nt s d r. (a, b) ikilisi denklik ba nt s n n eleman olan bir ikili oldu undan modül m ye göre a say s b say s na denktir. a b (mod m) biçiminde gösterilir. Yukar daki örnekten, 7 2 (mod 5) yazabiliriz. m ile bölündü ünde ayn kalan veren say lar n kümesine kalan s n f kümesi denir ve "b" kalan n veren ve birbirine denk olan bu say lar n kümesi b, ile tüm kalan s n flar n n kümesi /m ile gösterilir. 5 ile bölündü ünde 3 kalan n veren say lar n kümesini yani 3 kalan s n f kümesini bulunuz. 5 tam say s n n tüm kalan s n flar n n kümesi /5 olup, /5={0, 1, 2, 3, 4} tur. Burada, 0, 5 e tam bölünen say lar n kalan s n f 1, 5 e bölündü ünde 1 kalan n veren say lar n kalan s n f 2, 5 e bölündü ünde 2 kalan n veren say lar n kalan s n f 3, 5 e bölündü ünde 3 kalan n veren say lar n kalan s n f 4, 5 e bölündü ünde 4 kalan n veren say lar n kalan s n f x=5k+3, (k ) k= 2 için x=5.( 2)+3= 7 k= 1 için x=5.( 1)+3= 2 k=0 için x=5.0+3=3 k=1 için x=5.1+3=8 k=2 için x=5.2+3=13 3={..., 7, 2, 3, 8, 13,...} bulunur. Ayn kalan s n f nda bulunan elemanlar birbirine denk oldu- undan, (mod 5) dir. /4 kümesinin elemanlar n bulunuz. Bir say n n 4 ile bölümünden kalan 0, 1, 2 veya 3 olabilece- inden, /4={0, 1, 2, 3} tür. 0, 4 e tam bölünen say lar n kalan s n f 0={..., 8, 4, 0, 4, 8,...} 1, 4 e bölündü ünde 1 kalan n veren say lar n kalan s n f 1={..., 7, 3, 1, 5,...} 2, 4 e bölündü ünde 2 kalan n veren say lar n kalan s n f, 2={..., 6, 2, 2, 6,...} 3, 4 e bölündü ünde 3 kalan n veren say lar n kalan s n f, 3={..., 5, 1, 3, 7,...} 8

9 soru 1 soru 5 6 ile bölündü ünde 2 kalan n veren, 2 kalan s n f kümesi a a dakilerden hangisidir? A a dakilerden hangisi /3 de, 0 kalan s n f kümesinin bir eleman d r? A) 2={..., 7, 1, 5, 11,...} A) 13 B) 15 C) 16 D) 19 E) 22 B) 2={..., 8, 2, 4, 10,...} C) 2={..., 9, 3, 3, 9,...} D) 2={..., 10, 4, 2, 8,...} E) 2={..., 11, 5, 1, 7,...} soru 2 soru 6 7 ile bölündü ünde 4 kalan n veren, 4 kalan s n f kümesi a a dakilerden hangisidir? A a dakilerden hangisi /4 de, 1 kalan s n f kümesinin bir eleman d r? A) 4={..., 11, 4, 3, 10,...} B) 4={..., 10, 3, 4, 11,...} C) 4={..., 9, 2, 5, 12,...} D) 4={..., 8, 1, 6, 13,...} E) 4={..., 7, 0, 7, 14,...} soru 3 A a dakilerden hangisi /6 da, bir kalan s n f de ildir? A) 0 B) 1 C) 3 D) 4 E) 6 soru 4 A a dakilerden hangisi /8 de, bir kalan s n f de ildir? A) 9 B) 7 C) 6 D) 3 E) 2 9KARTEZYEN E T M YAYINLARI A) 167 B) 182 C) 213 D) 240 E) 271 soru 7 A a dakilerden hangisi /5 de, 2 kalan s n f kümesinin bir eleman d r? A) 9 B) 16 C) 18 D) 22 E) 25 soru 8 A a dakilerden hangisi /9 da, 4 kalan s n f kümesinin bir eleman d r? A) 13 B) 23 C) 35 D) 41 E) 45 1 D 2 B 3 E 4 A 5 B 6 C 7 D 8 A

10 /m de yani (mod m) ye göre bir say n n hangi kalan s n f na ait oldu unu bulmak için say m ye bölünüp kalana bak l r. I. /5 te 4 ün kalan s n f n, II. /4 te 2 nin kalan s n f n, III. /7 de 1 in kalan s n f n bulunuz. /m de m den küçük do al say lar kalan s n f n temsil etmektedir. I oldu undan 4 say s 4 kalan s n f ndad r. II. 2 say s, /4 te 2 kalan s n f ndad r. III. 1 say s, /7 de 1 kalan s n f ndad r. I. /6 da 13 say s n n kalan s n f n II. /4 de 20 say s n n kalan s n f n, bulunuz. I. 13 say s n n /6 da hangi kalan s n f na ait oldu unu bulmak için, 13=6k+m, (k ) yazarak k=2 için 13=6.2+m 1=m oldu undan 1 kalan s n f na ait oldu unu söyleyebiliriz. Di er yöntem ise, 13 say s n 6 ya bölüp kalan bulmakt r say s 1 kalan s n f ndad r. II say s, /5 te 0 kalan s n f ndad r. I. /5 te 4 say s n n kalan s n f n II. /7 de 38 say s n n kalan s n f n, bulunuz. Negatif say larda bölme i lemi yaparak kalan bulmak yerine, nun ündeki yöntemi tercih edebilirsiniz. I. 4 say s n n, 5 ile bölümünden kalan bulmak için, 4 5k+m, (k ) yaz l r. k= 1 için 4=5.( 1)+m 1=m 4 say s /5 te 1 kalan s n f ndad r. II. 38=7k+m, (k ) k= 6 için 38=7.( 6)+m 42 38=m 4=m 38 say s /7 de 4 kalan s n f ndad r. 10

11 soru 1 /7 de, 3 say s hangi kalan s n f ndad r? soru 5 /9 da, 108 say s hangi kalan s n f ndad r? A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4 A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4 soru 2 /6 da, 2 say s hangi kalan s n f ndad r? soru 6 /6 te, 4 say s hangi kalan s n f ndad r? A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4 A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 KARTEZYEN E T M YAYINLARI soru 3 /8 de, 5 say s hangi kalan s n f ndad r? soru 7 /8 de, 15 say s hangi kalan s n f ndad r? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4 soru 4 /5 de, 48 say s hangi kalan s n f ndad r? soru 8 /10 da, 85 say s hangi kalan s n f ndad r? A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4 A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 1 D 2 C 3 E 4 D 5 A 6 B 7 B 8 E 11

12 /m de ayn kalan s n f nda olan elemanlar birbirine denktir. /m de yap lan i lemlerde bir say n n ayn kalan s n f ndaki dengi yaz larakta i lem yap labilir. x ve y tam say lar /m de ayn kalan s n f na ait ise x y (mod m) dir. Mesela /5 te 1, 6, 11, 16 say lar ayn kalan s n f nda olduklar ndan (mod 5) tir. /6 da 3, 52 ve 26 say lar n n hangi kalan s n flar na ait olduklar n bulunuz. 3<6 oldu undan, /6 da 3 say s 3 kalan s n f ndad r kalan 4 oldu undan, 52 say s /6 da 4 kalan s n f ndad r. 26 say s n n hangi kalan s n f na ait oldu unu bulmak için; 26=6.k+m (k ve m ) k= 5 için m=4 bulunuz. 26 say s /6 da 4 kalan s n f ndad r. A a da verilen say lardan hangileri /5 de 17 say s na denktir, bulunuz. I. 42 III. 23 V. 13 II. 2 IV nin 5 ile bölümünden kalan 2 oldu u için /5 de 17 2 dir. I. 42 nin 5 ile bölümünden kalan 2 oldu undan, 42 2 ve (mod 5) II. 2 2 ve 2 17 (mod 5) III. /5 te 23 3 oldu undan (mod 5) IV. /5 te oldu undan (mod 5) V. /5 te 13 2 oldu undan (mod 5) /10 da 28 say s na denk olan en küçük iki pozitif tam say y ve en büyük iki negatif tam say y bulunuz. /10 da 28 8 oldu u için, 28'e denk olan say lar n 8 kalan s n f nda olmas gerekti ine dikkat ediniz. 28 say s /10 da 8 kalan s n f na aittir. /10 için 28 8 dir. /10 dan 8 kalan s n f n n elemanlar, x=10k+8, (k ) k= 2 için x=10.( 2)+8= 12 k= 1 için x=10.( 1)+8= 2 k=0 için x=10.0+8=8 k=1 için x=10.1+8=18 8={..., 12, 2, 8, 18,...} /10 da, 28 8 (mod 10) ve (mod 10) 8 ve 18 en küçük iki pozitif tam say (mod 10) ve 28 2 (mod 10) 12 ve 2 en büyük iki negatif tam say d r. 12

13 soru 1 A a dakilerden hangisi /4 de 15 say s na denktir? soru 5 A a dakilerden hangisi /5 te 14 say s na denktir? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 6 A) 1 B) 4 C) 9 D) 14 E) 18 soru 2 A a dakilerden hangisi /5 de 124 say s na denktir? soru 6 A a dakilerden hangisi /4 te 22 say s na denktir? A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4 A) 3 B) 6 C) 11 D) 13 E) 16 KARTEZYEN E T M YAYINLARI soru 3 A a dakilerden hangisi /7 de 10 say s na denktir? soru 7 A a dakilerden hangisi /8 de 27 say s na denktir? A) 24 B) 35 C) 43 D) 58 E) 65 A) 2 B) 13 C) 26 D) 31 E) 33 soru 4 A a dakilerden hangisi /6 da 46 say s na denktir? soru 8 A a dakilerden hangisi /9 da 10 say s na denktir? A) 13 B) 20 C) 22 D) 24 E) 25 A) 19 B) 23 C) 25 D) 35 E) 43 1 C 2 E 3 A 4 C 5 A 6 B 7 B 8 D 13

14 /m de ayn kalan s n f nda olan say lar biririne denktir. Kalan s n flar n birer aile olarak de erlendirebiliriz. Ayn kalan s n f nda olanlar ayn ailedendir ve i lemlerde birbirlerinin yerine geçebilirler. 1 3 say s n n /5 teki de erini bulunuz. /5 te 1 ile 6 ayn kalan s n f nda olduklar ndan, 1 6 (mod 5) dir (mod5) 3 3 Cevap: say s n n mod 7 deki de erini bulunuz. mod 7 ye göre 3 say s ile 24 say s ayn kalan s n f nda olduklar ndan, 3 24 (mod 7) (mod7) 4 4 Cevap: say s n n mod 5 deki de erini bulunuz (mod 5) 3 8 4(mod5) 2 2 Cevap: 4 3 say s n n mod 11 deki de erini bulunuz. 4 mod 11 e göre 3 ile 8 ayn kalan s n f nda olduklar ndan, 3 8 2(mod11) 4 4 Cevap: 2 14

15 1 4 soru 1 say s n n /5 teki de eri kaçt r? A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) soru 5 1 say s n n mod 7 deki de eri kaçt r? A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) soru 2 say s n n mod 5 teki de eri kaçt r? A) 4 B) 3 C) 2 D) 1 E) 0 soru say s n n mod 11 deki de eri kaçt r? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 KARTEZYEN E T M YAYINLARI 1 5 soru 3 say s n n mod 7 deki de eri kaçt r? A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4 soru 7 2 say s n n mod 5 deki de eri kaçt r? 3 A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) soru 4 say s n n mod 9 daki de eri kaçt r? A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 soru 8 4 say s n n mod 13 deki de eri kaçt r? 5 A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8 1 E 2 A 3 D 4 B 5 C 6 B 7 A 8 D 15

16 A a daki ifadelerden hangileri do rudur, ara t r n z. I (mod 6) ifadesinin aç l m, I (mod 6) II (mod 7) III (mod 10) IV (mod 5) 25=6k+1, (k ) biçimindedir. 25=6k+1 ise k 24=6k oldu undan 25 1 (mod 6) ifadesi do rudur. II (mod 7) ise 45 7k+3, (k ) 45=7k+3 ise k 42 7k do ru oldu undan, 45 3 (mod 7) ifadesi do rudur. III (mod 10) ise 14 10k+6, (k ) 14=10k+6 ise k 20 10k do ru oldu undan, 14 6 (mod 10) ifadesi do rudur. IV (mod 5) ise 68 5k+4 68=5k+4 ise k 64 5k e itli i 64 say s 5 in kat olmad ndan yanl t r (mod 5) ifadesi yanl t r, do rusu 68 3 (mod 5) olmal d r. x 1 (mod 4) denkli ini sa layan en küçük pozitif tam say y bulunuz. x 1 (mod 4) ise x 4k+1, (k ) k=0 için x=4.0+1 x=1 Cevap: 1 x 3 (mod 5) denkli ini sa layan en küçük pozitif tam say ile en büyük negatif tam say y bulunuz. x 3 (mod 5) ise x 5k+3, (k ) k=0 için x=5.0+3=3 k= 1 için x=5.( 1)+3= 2 x in en küçük pozitif tam say de eri 3 en büyük negatif tam say de eri 2 dir. 16

17 soru 1 soru 5 A a da verilen denkliklerden hangisi yanl t r? A a dakilerden hangisi x 1 (mod 4) denkli ini sa lar? A) 19 4 (mod 5) B) 21 2 (mod 6) C) 23 3 (mod 5) D) 32 4 (mod 7) E) 35 3 (mod 4) A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8 soru 2 soru 6 A a da verilen denkliklerden hangisi yanl t r? A) 9 1 (mod 10) B) 13 3 (mod 4) C) 6 3 (mod 9) D) 21 4 (mod 5) E) 16 1 (mod 10) x 3 (mod 6) denkli ini sa layan en büyük negatif tam say kaçt r? A) 5 B) 4 C) 3 D) 2 E) 1 soru 3 KARTEZYEN E T M YAYINLARI soru 7 A a da verilen denkliklerden hangisi do rudur? A) 56 0 (mod 7) B) 63 1 (mod 4) C) 70 5 (mod 8) D) 75 1 (mod 4) E) 80 4 (mod 6) x 1 (mod 3) denkli ini sa layan en küçük pozitif tam say kaçt r? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 soru 4 soru 8 A a da verilen denkliklerden hangisi do rudur? A) 15 2 (mod 4) B) 20 3 (mod 6) C) 25 5 (mod 6) D) 27 6 (mod 9) E) 30 3 (mod 10) x 2 (mod 11) denkli ini sa layan en büyük negatif tam say kaçt r? A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9 1 B 2 E 3 A 4 C 5 B 6 C 7 A 8 E 17

18 x 4 (mod 5) denkli ini sa layan iki basamakl en büyük pozitif tam say y bulunuz. x 4 (mod 5) ise x=5k+4, (k ) k=19 için x=5.19+4=99 dur. Cevap: 99 x 3 (mod 6) denkli ini sa layan iki basamakl en büyük negatif tam say y bulunuz. x 3 (mod 6) ise x=6k+3, (k ) k= 3 için x=6.( 3)+3 = 18+3 = 15 dir. Cevap: 15 x 2 (mod 4) denkli ini sa layan iki basamakl en küçük iki pozitif tam say n n toplam n bulunuz. x 2 (mod 4) ise x=4k+2, (k ) k=2 için x=4.2+2=10 k=3 için x=4.3+2= =24 bulunur. Cevap: 24 x 14 (mod 8) denkli ini sa layan iki basamakl en büyük pozitif tam say y bulunuz. 14 say s (mod 8) e göre 6 kalan s n f nda oldu undan, x 14 (mod 8) ifadesinde 14 yerine 6 yazabiliriz. x 6 (mod 8) x=8k+6, (k ) k=11 için x= x=94 Cevap: 94 18

19 soru 1 soru 5 x 2 (mod 3) denkli ini sa layan iki basamakl en küçük pozitif tam say kaçt r? x 4 (mod 6) denkli ini sa layan iki basamakl en küçük iki pozitif tam say n n toplam kaçt r? A) 10 B) 11 C) 12 D) 13 E) 14 A) 22 B) 24 C) 25 D) 26 E) 28 soru 2 soru 6 x 3 (mod 4) denkli ini sa layan iki basamakl en büyük pozitif tam say kaçt r? x 3 (mod 7) denkli ini sa layan iki basamakl en büyük iki negatif tam say n n toplam kaçt r? A) 95 B) 96 C) 97 D) 98 E) 99 A) 29 B) 28 C) 27 D) 26 E) 25 KARTEZYEN E T M YAYINLARI soru 3 soru 7 x 1 (mod 5) denkli ini sa layan iki basamakl en büyük negatif tam say kaçt r? x 20 (mod 6) denkli ini sa layan iki basamakl en küçük pozitif tam say kaçt r? A) 12 B) 13 C) 14 D) 15 E) 16 A) 12 B) 13 C) 14 D) 15 E) 16 soru 4 soru 8 x 1 (mod 9) denkli ini sa layan iki basamakl en küçük negatif tam say kaçt r? x 18 (mod 5) denkli ini sa layan iki basamakl en büyük pozitif tam say kaçt r? A) 99 B) 98 C) 97 D) 96 E) 95 A) 95 B) 96 C) 97 D) 98 E) 99 1 B 2 E 3 C 4 B 5 D 6 A 7 C 8 C 19

20 a, b ve k tam say lar ve m bir sayma say s olmak üzere, a b (mod m) ise a+k b+k (mod m) a k b k (mod m) a. k b. k (mod m) dir. x 1 7 (mod 5) denkli ini sa layan en küçük pozitif tam say y bulunuz. x 1 7 (mod 5) ise 7 2 (mod 5) oldu undan, x 1 2 (mod 5) yazabiliriz, x 3 (mod 5) x=5k+3, (k ) k=0 için x=5.0+3=3 bulunur. Cevap: 3 3x 2 (mod 4) denkli ini sa layan en küçük pozitif tam say y bulunuz. Sorunun ünü üç yoldan yapabiliriz. I. yol: 3x 2 (mod 4) ise 3x=4k+2, (k ) k=1 için 3x=6 x=2 II. yol: 3x 2 (mod 4) ise (3).3x (3).2 (mod 4) 9x 6 (mod 4) (9 1 (mod 4) ve 6 2 (mod 4) oldu undan) 1.x 2 (mod 4) ve x=2 dir. III. yol: 3x 2 (mod 4) ise x 2 3 (mod 4) (2 6 (mod 4) oldu undan) x 6 3 (mod 4) x 2 (mod 4) ve x=2 dir. Cevap: 2 3x+3 x+1 (mod 5) denkli ini sa layan en küçük pozitif tam say y bulunuz. 3x+3 x+1 (mod 5) ise 3x x 1 3 (mod 5) 2x 2 (mod 5) 2x=5k 2, (k ) k=2 için 2x= x=8 x=4 tür. Cevap: 4 20

21 soru 1 soru 5 x 3 5 (mod 6) denkli ini sa layan en küçük pozitif tam say kaçt r? 3x 1 (mod 5) denkli ini sa layan en küçük iki pozitif tam say n n toplam kaçt r? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 A) 7 B) 8 C) 9 D) 10 E) 11 soru 2 soru 6 x 10 3 (mod 4) denkli ini sa layan en küçük pozitif tam say kaçt r? 5x+2 3x+7 (mod 11) denkli ini sa layan en küçük pozitif tam say kaçt r? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8 KARTEZYEN E T M YAYINLARI soru 3 soru 7 2x 3 (mod 5) denkli ini sa layan en küçük pozitif tam say kaçt r? x 4 2 4x (mod 7) denkli ini sa layan en küçük pozitif tam say kaçt r? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 soru 4 soru 8 4x 3 (mod 9) denkli ini sa layan en küçük pozitif tam say kaçt r? 4x+1 2x 4 (mod 9) denkli ini sa layan en büyük negatif tam say kaçt r? A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7 A) 7 B) 6 C) 5 D) 4 E) 3 1 B 2 A 3 D 4 A 5 C 6 E 7 C 8 A 21

22 /4 te karekökü olmayan say lar bulunuz. /4 teki kalan s n flar kümesi={0, 1, 2, 3} tür. 0.0=0 (mod 4) 1.1=1 (mod 4) 2.2=0 (mod 4) 3.3=1 (mod 4) 0 n karekökü 0 ve 2 dir. 1 in karekökü 1 ve 3 tür. 2 ve 3 ün /4 te karekökü yoktur. /5 te karekökü olmayan say lar bulunuz. /5 teki kalan s n flar kümesi={0, 1, 2, 3, 4} tür. 0.0=0 (mod 5) 1.1=1 (mod 5) 2.2=4 (mod 5) 3.3=4 (mod 5) 4.4=1 (mod 5) 0 n karekökü 0 d r. 1 in karekökü 1 ve 4 tür. 4 ün karekökü 2 ve 3 tür. 2 ve 3 ün /5 te karekökü yoktur. /4 te x 2 =0 denkleminin kümesini bulunuz. x 2 0 (mod 4) denkleminin kümesinin elemanlar mod 4 e göre 0 n kareköküdür. (mod 4) te 0 n karekökü 0 ve 2 oldu undan, Ç.K={0, 2} dir. Cevap: Ç.K={0, 2} 2x (mod 5) denkleminin kümesini bulunuz. 2x (mod 5) 2x 2 12 (mod 5) 2x 2 2 (mod 5) x 2 1 (mod 5) (mod 5) te 1 in karekökü 1 ve 4 tür. Ç.K={1, 4} Cevap: Ç.K={1, 4} 22

23 soru 1 soru 5 /6 da 1 in kareköklerinden biri a a dakilerden hangisidir? A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 0 /5 de x 2 1 denkleminin kümesi a a dakilerden hangisidir? A) {0} B) {1} C) {2} D) {2, 4} E) {1, 4} soru 2 soru 6 /5 da karekökü olmayan say lardan biri a a dakilerden hangisidir? x (mod 4) denkleminin kümesi a a dakilerden hangisidir? A) 0 B) 1 C) 2 D) 4 E) 5 A) {0, 2} B) {1, 2} C) {2, 3} D) {3} E) {2} KARTEZYEN E T M YAYINLARI soru 3 soru 7 /7 de 2 nin kareköklerinden biri a a dakilerden hangisidir? x (mod 5) denkleminin kümesi a a dakilerden hangisidir? A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 5 A) {1, 3} B) {1, 4} C) {0, 4} D) {0, 3} E) {2, 4} soru 4 soru 8 /7 de karekökü olmayan say lardan biri a a dakilerden hangisidir? 2x (mod 6) denkleminin kümesi a a dakilerden hangisidir? A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4 A) {2, 3} B) {1, 3} C) {3} D) {1, 2} E) {3, 4} 1 D 2 C 3 D 4 D 5 E 6 A 7 B 8 C 23

24 /5 te f(x)=3x+1 fonksiyonunun tersi f 1 (x) i bulunuz. f(x)=3x+1 fonksiyonunun tersini bulmak için x i yaln z b rakmaya çal al m. f(x)=3x+1 f(x)+4=3x+1+4 ( (mod 5)) 0 f(x)+4=3x 2.(f(x)+4)=2.3x ( (mod 5)) 2f(x)+8=x (8 3 (mod 5)) 3 2f(x)+3=x ise f 1 (x)=2x+3 tür. Cevap: f 1 (x)=2x+3 /5 de (2x+1).(x 1)=0 denkleminin kümesini bulunuz. /m de m asal say ise, f(x).g(x)=0 denkleminin kümesi f(x)=0 veya g(x)=0 d r. (2x+1).(x 1)=0 ise 2x+1 0 (mod 5) veya x 1 0 (mod 5) 2x+1 0 (mod 5) ise 2x 1 (mod 5) 2x 4 (mod 5) x 2 (mod 5) x 1 0 (mod 5) ise x 1 (mod 5) Ç.K={1, 2} Cevap: {1, 2} 27 3 (mod m) denkli ini sa layan m pozitif tam say lar n bulunuz (mod m) ise (mod m) 24 0 (mod m) ise 24=m.k, (k ) 24 say s m ye tam bölünüyor demektir. 24 ü tam bölen 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 say lar m nin alabilece i de erlerdir. 24= biçiminde yazarak da (3+1).(1+1)=4.2=8 tane pozitif böleni oldu unu bulabilirdik. 24

25 soru 1 soru 5 /4 te f(x)=x+3 fonksiyonunu tersi a a dakilerden hangisidir? /11 de (3x+1).(2x 1)=0 denkleminin kümesi a a- dakilerden hangisidir? A) x+1 B) x+2 C) x+3 D) 2x+1 E) 2x+3 A) {3, 4} B) {4, 5} C) {5, 6} D) {6, 7} E) {7, 8} soru 2 soru 6 /5 te f(x)=3x+2 fonksiyonunu tersi a a dakilerden hangisidir? 18 3 (mod m) denkli ini sa layan m pozitif say lar kaç tanedir? A) x+1 B) x+2 C) 2x+1 D) 2x+2 E) 3x+1 A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 KARTEZYEN E T M YAYINLARI soru 3 soru 7 /7 de f(x)=5x+4 fonksiyonunu tersi a a dakilerden hangisidir? 43 7 (mod m) denkli ini sa layan m pozitif say lar kaç tanedir? A) 5x+2 B) 4x+1 C) 3x+5 D) 3x+4 E) 3x+2 A) 8 B) 9 C) 10 D) 11 E) 12 soru 4 soru 8 /4 te (x 1).(3x 1)=0 denkleminin kümesi a a dakilerden hangisidir? (mod m) denkli ini sa layan m pozitif say lar kaç tanedir? A) {0, 1} B) {1, 3} C) {1, 2} D) {0, 3} E) {2, 3} A) 9 B) 10 C) 12 D) 14 E) 15 1 A 2 C 3 E 4 B 5 D 6 D 7 B 8 E 25

26 /5 de f(x)=2x+4 ve g(x)=4x+3 oldu una göre, (fog)(x) bile ke fonksiyonunu bulunuz. (fog)(x)=f(g(x))=2.g(x)+4 =2.(4x+3)+4 =8x+6+4 =8x+10 (8 3 (mod 5) ve 10 0 (mod 5) oldu undan) (fog)(x)=3x bulunur. Cevap: 3x x ve y birer tam say, x 2 (mod 7) y 3 (mod 7) oldu una göre, x+y toplam n n iki basamakl en küçük do- al say de erini bulunuz. x 2 (mod 7) y 3 (mod 7) x+y=5 (mod 7) x+y=7k+5, (k ) k=1 için x+y=7.1+5=12 Cevap: 12 x iki basamakl bir do al say ; x 1 (mod 5) x 5 (mod 7) oldu una göre, x in en büyük ve en küçük de erinin toplam n bulunuz. x 1 (mod 5) ise x=5k+1, (k ) x 5 (mod 7) ise x=7m+5, (m ) x=5k+1=7m+5 x+9=5k+10=7m+14 x+9=5(k+2)=7(m+2) x+9=ekok (5, 7) x+9=35n, (n ) n=1 için x+9=35 ve x=26 en küçük n=3 için x+9=105 ve x=96 en büyük 26+96=122 Cevap:

27 soru 1 soru 5 /5 de f(x)=3x+1 ve g(x)=2x+2 oldu una göre, (fog)(x) bile ke fonksiyonu a a dakilerden hangisidir? A) x B) x+1 C) x+2 D) x+3 E) 2x+1 a ve b birer tam say, a 5 (mod 8) b 7 (mod 8) oldu una göre, a+b toplam n n en büyük iki basamakl do- al say de eri kaçt r? A) 92 B) 93 C) 94 D) 95 E) 96 soru 2 soru 6 /7 de f(x)=5x+3 ve g(x)=3x+4 oldu una göre, (fog)(x) bile ke fonksiyonu a a dakilerden hangisidir? A) x+4 B) x+3 C) x+2 D) 3x+1 E) 3x+2 x iki basamakl bir do al say, x 2 (mod 5) x 3 (mod 4) oldu una göre, x in en küçük de eri kaçt r? soru 3 /5 de f(x)=2x 3 ve g(x)=x+1 oldu una göre, (gof)(x) bile ke fonksiyonu a a dakilerden hangisidir? KARTEZYEN E T M YAYINLARI A) 25 B) 26 C) 27 D) 28 E) 29 soru 7 x iki basamakl bir do al say, x 1 (mod 3) A) x+3 B) 2x+1 C) 2x+2 D) 2x+3 E) 2x+4 x 2 (mod 5) oldu una göre, x in en büyük de eri kaçt r? A) 93 B) 94 C) 95 D) 96 E) 97 soru 4 soru 8 x ve y birer tam say, x 1 (mod 5) y 2 (mod 5) oldu una göre, x+y toplam n n en küçük iki basamakl do- al say de eri kaçt r? x iki basamakl bir do al say, x 3 (mod 4) x 4 (mod 5) oldu una göre, x in en büyük ve en küçük de erinin toplam kaçt r? A) 10 B) 11 C) 12 D) 13 E) 14 A) 116 B) 118 C) 119 D) 121 E) C 2 C 3 D 4 D 5 A 6 C 7 E 8 B 27

28 Belirli aral klarla veya belirli bir aral k sonunda ayn karakteristik özelli i sergileyen örüntüler ve say dizileri ile ilgili soru lerinde modüler aritmetikten yararlan l r ekil 2. ekil 3. ekil 4. ekil 5. ekil 6. ekil Yukar da verilen örüntüde 199. ekli bulunuz Örüntü ilk dört ekilden sonra ayn karakteri sergilemekte bir döngüye girmektedir. mod 4 e göre dü ünürsek, mod 4 e göre 1 ise ekil mod 4 e göre 2 ise ekil mod 4 e göre 3 ise ekil mod 4 e göre 4 yani s f r ise ekil olur. 199 x (mod 4) denkli inden, 3 x oldu undan 199. ekil olur. Cevap: 1, 3, 8, 10, 9, 1, 3, 8, 10, 9, 1,... Yukar da verilen say örüntüsündeki say y bulunuz. 1, 3, 8, 10, 9, 1, 3, 8, 10, 9, 1,... Örüntü ilk be say dan sonra bir döngüye girmektedir say s n n mod 5 e göre de erini hesaplayal m, 1352 x (mod 5) 2 x oldu undan, Örüntüdeki say (yani örüntü aral ndaki 2. say ) 3. tür. Cevap: 3 1, 2, 3, 2, 1, 1, 2, 3, 2, 1, 1, 2,... Yukar daki say örüntüsünden 264. say y bulunuz. 1, 2, 3, 2, 1, 1, 2, 3, 2, 1, 1,... Örüntü ilk be say dan sonra bir döngüye girmektedir. 264 x (mod 5) denkli inden x 4 bulunur. Örüntüdeki 264. say (yani 4. say ) 2 dir. Cevap: 2 28

29 soru 1 soru 5 +,, x,,, +,, x,... Yukar da verilen örüntüdeki 25. ekil a a dakilerden hangisidir? A) + B) C) x D) E) 2, 5, 7, 9, 11, 2, 5, 7, 9, 11, 2, 5, 7,... Yukar da verilen say örüntüsündeki say kaçt r? A) 2 B) 5 C) 7 D) 9 E) 11 soru 2 soru 6,,,,,,,,,... Yukar da verilen örüntüdeki 97. ekil a a dakilerden hangisidir? A) B) C) D) E) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 1, 2,... Yukar da verilen say örüntüsündeki 886. say kaçt r? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 soru 3 KARTEZYEN E T M YAYINLARI soru 7,,,, ---, //,,,,... Yukar da verilen örüntüdeki 123. ekil a a dakilerden hangisidir? A) B) C) D) E) Yukar da verilen say örüntüsündeki rakam kaçt r? A) 4 B) 3 C) 2 D) 1 E) 11 soru 4 soru 8 5, 13, 7, 9, 5, 13, 7, 9, 5, 13,... Yukar da verilen say örüntüsündeki 66. say kaçt r? A) 1 B) 5 C) 13 D) 7 E) Yukar da verilen say örüntüsündeki say ile say n n toplam kaçt r? A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 1 E 2 A 3 C 4 C 5 D 6 D 7 D 8 A 29

30 2 43 say s n n 5 ile bölümünden kalan bulunuz. Bu tarz sorular n lerinde say n n 1. kuvvetinden ba layarak verilen mod da de erleri bulunur. 1 veya 0 say lar bulununcaya dek yada bir döngü yakalan ncaya kadar bu i lem devam ettirilir say s n n 5 ile bölümünden kalan bulma sorusunu 2 43 x (mod 5) biçiminde ifade edebiliriz (mod 5) (mod 5) (mod 5) (mod 5) (mod 5) (mod 5) (mod 5) (mod 5) Dikkat ederseniz 2, 4, 3, 1, 2, 4, 3, 1,... eklinde bir örüntü olu tu. Bu durumda yapmam z gereken bu örüntüdeki 43. say y bulmakt r (mod 4) oldu undan, örüntüdeki 43. say (yani 3. say ) 3 olmal d r. Cevap: say s n n 4 ile bölümünden kalan bulunuz. Bu tarz ifadelerde herhangi bir mod de eri 1 ç kacak olursa, örüntüyü bulmu sunuz demektir x (mod 4) (mod 4) (mod 4) (mod 4) (mod 4) 3, 1, 3, 1, 3, 1,... eklinde bir örüntü olu tu. Örüntüdeki 240. say y bulal m (mod 2) örüntüdeki 240. say 1 dir. Cevap: say s n n 7 ile bölümünden kalan bulunuz. Önce 451 say s n n mod 7 ye göre de eri hesaplan r oldu undan (mod 8) x (mod 7) (mod 7) (mod 7) (mod 7) (mod 7) (mod 7) bulunduktan sonra, örüntümüz belli oldu undan 3, 2, 6, 4, 5, 1, 3, 2, 6, 4, 5, 1,... bulmaya devam etmemize gerek yoktur (mod 7) 3, 2, 6, 4, 5, 1, 3, 2,... eklinde bir örüntü olu tu (mod 6) örüntüdeki 453. say (yani 3. say ) 6 d r. Cevap: 6 30

31 soru say s n n 5 ile bölümünden kalan kaçt r? soru say s n n 9 ile bölümünden kalan kaçt r? A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4 A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 soru say s n n 5 ile bölümünden kalan kaçt r? soru say s n n 7 ile bölümünden kalan kaçt r? A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4 A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 KARTEZYEN E T M YAYINLARI soru say s n n 7 ile bölümünden kalan kaçt r? soru say s n n 5 ile bölümünden kalan kaçt r? A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 A) 4 B) 3 C) 2 D) 1 E) 0 soru say s n n 6 ile bölümünden kalan kaçt r? soru say s n n 7 ile bölümünden kalan kaçt r? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4 1 E 2 D 3 C 4 E 5 D 6 A 7 A 8 B 31

32 3 77 say s n n 27 ile bölümünden kalan bulunuz x (mod 27) (mod 27) (mod 27) (mod 27) (mod 27) (mod 27) (mod 27) Gördü ünüz gibi bundan sonraki tüm ifadelerin de eri s f r (0) ç kacakt r. Örüntü yakalamaya çal rken, herhangi bir ifadenin de eri s f r (0) ç karsa örüntü yoktur ve sonuç s f r olur. Cevap: say s n n 8 ile bölümünden kalan bulunuz (mod 8) oldu undan, x (mod 8) yazabiliriz (mod 8) (mod 8) (mod 8) oldu una göre döngü yoktur ve sonuç s f rd r. Cevap: say s n n 12 ile bölümünden kalan bulunuz (mod 12) oldu undan, x (mod 12) yazabiliriz (mod 12) (mod 12) (mod 12) (mod 12) 3 ün tek kuvvetlerinin 3 e, çift kuvvetlerinin 9 a e it oldu u görülüyor (mod 12) Cevap: say s n n 10 ile bölümünden kalan bulunuz (mod 10) oldu undan, x (mod 10) yazabiliriz (mod 10) (mod 10) (mod 10) (mod 10) (mod 10) (mod 10) Tekrarlanan k s m (mod 10) (mod 10) 2 nin kuvvetlerinin ilk dört gruptan sonra bir döngüye girdi i görülüyor. Olu an örüntümüz 2, 4, 8, 6, 2, 4, 8, 6,... eklindedir (mod 4) örüntüdeki 103. say (yani 3. say ) 8 d r. Cevap: 8 32

33 soru say s n n 16 ile bölümünden kalan kaçt r? soru say s n n 14 ile bölümünden kalan kaçt r? A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4 A) 4 B) 5 C) 7 D) 8 E) 11 soru say s n n 125 ile bölümünden kalan kaçt r? soru say s n n 15 ile bölümünden kalan kaçt r? A) 8 B) 5 C) 3 D) 1 E) 0 A) 2 B) 4 C) 6 D) 8 E) 10 KARTEZYEN E T M YAYINLARI soru say s n n 9 ile bölümünden kalan kaçt r? soru say s n n 18 ile bölümünden kalan kaçt r? A) 0 B) 3 C) 5 D) 7 E) 8 A) 10 B) 9 C) 8 D) 7 E) 6 soru say s n n 6 ile bölümünden kalan kaçt r? soru say s n n 20 ile bölümünden kalan kaçt r? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 1 A 2 E 3 A 4 B 5 D 6 C 7 B 8 D 33

34 a n x (mod p) ifadesine benzer sorular n ünde a n n kuvvetlerini mod p ye göre alarak 1, 0 veya döngü yakalamaya çal yoruz. Bu sorular n lerinde Fermat' n küçük teoremini kullanabiliriz. Fermat n küçük teoremine göre, p bir asal say ve a ile p aralar nda asal say lar olmak üzere, a p 1 1 (mod p) say s n n 11 ile bölümünden kalan bulunuz. Ebob (3, 11)=1 oldu undan, 3 ile 11 aralar nda asal ve 11 asal bir say oldu undan Fermat n küçük teoremine göre, (mod 11) (mod 11) 2010 say s 10 un tam kat oldu undan, (mod11) Cevap: say s n n 23 ile bölümünden kalan bulunuz. Ebob (4, 23)=1 ve 23 asal say oldu undan, (mod 23) mod Cevap: toplam n n 5 ile bölümünden kalan bulunuz. Ebob (3, 5)=1 ve Ebob(4, 5)=1 5 asal say oldu undan, (mod 5) ve (mod 5) mod mod mod 5 Cevap: 2 34

35 soru 1 soru say s n n 5 ile bölümünden kalan kaçt r? say s n n 37 ile bölümünden kalan kaçt r? A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4 A) 4 B) 6 C) 10 D) 14 E) 18 soru 2 soru say s n n 7 ile bölümünden kalan kaçt r? toplam n n 7 ile bölümünden kalan kaçt r? A) 6 B) 5 C) 4 D) 1 E) 0 A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 KARTEZYEN E T M YAYINLARI soru 3 soru say s n n 11 ile bölümünden kalan kaçt r? toplam n n 5 ile bölümünden kalan kaçt r? A) 1 B) 2 C) 4 D) 7 E) 9 A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4 soru 4 soru say s n n 13 ile bölümünden kalan kaçt r? A) 5 B) 6 C) 9 D) 10 E) toplam n n 103 ile bölümünden kalan kaçt r? A) 8 B) 11 C) 12 D) 15 E) 18 1 B 2 D 3 A 4 B 5 A 6 D 7 B 8 E 35

36 1!+2!+3! ! toplam n n 5 ile bölümünden kalan bulunuz. 1! 1 1 (mod 5) 2! 2 2 (mod 5) 3! 6 1 (mod 5) 4! 24 4 (mod 5) 5! (mod 5) 6! (mod 5) ! 0 (mod 5) 1!+2!+3!...+57! (mod 5) 8 (mod 5) 1!+2!+3!...+57! 3 (mod 5) dir. Cevap: say s n n birler basama ndaki rakam bulunuz. Bir say n n 10 ile bölümünden kalan birler basama ndaki rakam verir x (mod 10) (mod 10) (mod 10) oldu undan, (mod10) dur. Cevap: k+2 say s n n 7 ile bölümünden kalan bulunuz (mod 7) 16 6k+2 2 6k+2 x (mod 7) Ebob(2, 7)=1 ve 7 asal oldu undan, (mod 7) dir. k 6k (mod 7) dur. Cevap: 4 m iki basamakl bir do al say, 3 m 2 (mod 5) oldu una göre, m say s n n alabilece i en küçük de eri bulunuz (mod 5) (mod 5) (mod 5) (mod 5) 4 lü grup 3 m 2 (mod 5) oldu undan, m say s n n 4 ün kat ndan 3 fazla olmas gerekir. m=4k+3, (k ) k=2 için m=4.2+3=11 en küçük de eridir. Cevap: 11 36

37 soru 1 soru 5 1!+2!+3! ! toplam n n 6 ile bölümünden kalan kaçt r? 3 4k+3 say s n n 5 ile bölümünden kalan kaçt r? A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4 A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 soru 2 soru 6 0!+1!+2! ! toplam n n 7 ile bölümünden kalan kaçt r? k+1 say s n n 11 ile bölümünden kalan kaçt r? A) 5 B) 6 C) 7 D) 9 E) 10 A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 soru say s n n birler basama ndaki rakam kaçt r? KARTEZYEN E T M YAYINLARI soru 7 m iki basamakl bir say, A) 2 B) 4 C) 5 D) 6 E) 8 2 m 2 (mod 7) oldu una göre, m say s n n alabilece i en küçük de er kaçt r? A) 10 B) 11 C) 12 D) 13 E) 14 soru 4 soru say s n n birler basama ndaki rakam kaçt r? A) 3 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9 m iki basamakl bir say, 27 m 3 (mod 11) oldu una göre, m say s n n alabilece i en büyük de er kaçt r? A) 95 B) 96 C) 97 D) 98 E) 99 1 C 2 E 3 D 4 E 5 C 6 D 7 A 8 C 37

38 Bugün günlerden Cuma ise 5 gün önce günlerden neydi, 10 gün sonra hangi gün olur gibi veya saat dan 100 saat sonra saat kaç olur gibi zaman problemlerini modüler aritmetik yard m yla çözebiliriz. Bugün günlerden Sal oldu una göre, 58 gün sonra hangi gün oldu unu bulunuz. Bir hafta 7 gün oldu undan gün problemlerinde mod 7 ye göre i lem yapar z. Bu nda ilk günümüz Çar amba olaca ndan örüntümüzün Çar amba, Per embe, Cuma, Cumartesi, Pazar, Pazartesi, Sal,... eklinde oldu una dikkat ediniz. 58 gün sonray bulmak için önce 58 say s n mod 7 ye göre hesaplayal m (mod 7) oldu undan, 58 gün sonras 2 gün sonras na denk gelmektedir. Örüntümüz Çar amba, Per embe, Cuma, Cumartesi, Pazar, Pazartesi, Sal,... eklinde oldu undan iki gün sonras Per- embe'ye denk gelir. Cevap: Per embe Bugün günlerden Pazartesi oldu una göre, 167 gün öncenin hangi gün oldu unu bulunuz. 167 gün öncesi dendi ine göre, örüntümüzü olu turmak için günleri geriye do ru saymal y z. Örüntümüz Pazar, Cumartesi, Cuma, Per embe, Çar amba, Sal, Pazartesi,... eklinde olmal d r. 167 x (mod 7) 167 gün öncesi 6 gün öncesine denk gelmektedir. Örüntümüz, Pazar, Cumartesi, Cuma, Per embe, Çar amba, Sal, Pazartesi,... eklinde oldu nudan 6. gün Sal d r. Cevap: Sal u an saat d r. Bundan 100 saat sonra saat kaçt r, bulunuz. 24 saatlik zaman dilimi kullan ld nda, saat problemlerinde mod 24 e göre i lem yapar z. 100 x (mod 24) saat sonras, 4 saat sonraya denk gelmektedir =00.00 Cevap:

39 soru 1 soru 5 Bugün günlerden Cuma oldu una göre, 66 gün sonra hangi gün olur? Bugün günlerden Cumartesi oldu una göre, 300 gün önce hangi gün olur? A) Pazartesi B) Sal C) Çar amba D) Per embe E) Cuma A) Per embe B) Cuma C) Cumartesi D) Pazar E) Pazartesi soru 2 soru 6 Bugün günlerden Çar amba oldu una göre, 200 gün sonra hangi gün olur? Bugün günlerden Per embe oldu una göre, 203 gün önce hangi gün olur? A) Cuma B) Cumartesi C) Pazar D) Pazartesi E) Sal A) Çar amba B) Per embe C) Cuma D) Cumartesi E) Pazar soru 3 KARTEZYEN E T M YAYINLARI soru 7 Bugün günlerden Per embe oldu una göre, 312 gün sonra hangi gün olur? A) Per embe B) Cuma C) Cumartesi D) Pazar E) Pazartesi uan saat oldu una göre, 50 saat sonra saat kaçt r? A) B) C) D) E) soru 4 soru 8 Bugün günlerden Pazartesi oldu una göre, 43 gün önce hangi gün olur? A) Pazar B) Pazartesi C) Sal D) Çar amba E) Per embe uan saat oldu una göre, 80 saat önce saat kaçt? A) B) C) D) E) A 2 C 3 E 4 A 5 D 6 B 7 A 8 E 39

40 90 say s n n mod 12 ye göre de erini bulal m saat sonra 6 saat sonras na denk gelir Bir analog saatte, saat 7.00 yi göstermektedir. Buna göre, 90 saat sonra saat kaçt r, bulunuz (mod 12) oldu undan, saat 01.00'i gösterir. Cevap: Analog saatlerde sabah 7 ile ak am 7 (Yani 19) ay rt edilemedi inden mod 12 ye göre i lem yap l r. 5 günde bir nöbet tutan asker ilk nöbetini Sal günü tuttu una göre, 7. nöbetini hangi gün tutar, bulunuz. Asker ilk nöbetini tuttu undan dolay 7 1=6 nöbetlik zaman dilimini hesaplamam z gerekir. Her nöbet aras nda 5 gün oldu undan, 6 nöbetlik zaman dilimi; 6.5=30 gün sonras d r. 30 gün sonras n n hangi güne denk geldi ini bulmak için mod 7'ye göre i lem yapar z gün sonraki 7. nöbeti, 2 gün sonras ile ayn güne denk gelmektedir. lk nöbetini Sal tuttu una göre iki gün sonras Per embe dir. Cevap: Per embe 6 günde bir nöbet tutan doktor ilk nöbetini Pazartesi tuttu una göre, 14. nöbetini hangi günde tutar, bulunuz. lk nöbetini tuttu undan, 14 1=13 nöbetlik zaman dilimi sonras n hesaplayal m =78 78 x (mod 7) nöbetini 1 gün sonras ile ayn günde yani Sal günü tutar. Cevap: Sal 40

41 soru 1 soru 5 Bir analog saatte saat 5'i göstermektedir. 99 saat sonra saat kaçt r? 8 günde bir nöbet tutan hem ire, ilk nöbetini Cumartesi tuttu- una göre, 13. nöbetini hangi gün tutar? A) 7.00 B) 8.00 C) 9.00 D) E) A) Çar amba B) Per embe C) Cuma D) Cumartesi E) Pazar soru 2 soru 6 Bir analog saatte saat 8'i göstermektedir. 80 saat sonra saat kaçt r? 3 günde bir kontrole giden hasta, ilk kontrole Çar amba günü gitti ine göre, 10. kontrolüne hangi gün gider? A) 1.00 B) 2.00 C) 3.00 D) 4.00 E) 5.00 A) Sal B) Çar amba C) Per embe D) Cuma E) Cumartesi soru 3 KARTEZYEN E T M YAYINLARI soru 7 Bir analog saatte saat 12'yi göstermektedir. 132 saat sonra saat kaçt r? 10 günde bir spor salonuna giden bir ki i, ilk kez Pazar günü gitti ine göre, 8. kez hangi gün gider? A) B) 1.00 C) 2.00 D) 3.00 E) 4.00 A) Pazar B) Pazartesi C) Sal D) Çar amba E) Per embe soru 4 soru 8 4 günde bir nöbet tutan asker ilk nöbetini Pazartesi tuttu una göre, 7. nöbetini hangi gün tutar? 5 günde bir arabas n y katan bir ki i ilk kez Çar amba günü arabas n y katt na göre, 33. kez hangi günde y kat r? A) Pazar B) Pazartesi C) Sal D) Çar amba E) Per embe A) Cumartesi B) Pazar C) Pazartesi D) Sal E) Çar amba 1 B 2 D 3 A 4 E 5 B 6 A 7 A 8 D 41

42 Bir doktor hastanede 4 günde bir nöbet tutmaktad r. Doktor 3. nöbetini Sal günü tuttu una göre, 11. nöbetini hangi gün tutar, bulunuz. 3. nöbetini tuttu undan geriye, 11 3=8 nöbet vard r. 8.4=32 gün Doktorun 10. nöbeti Sal gününden 4 gün sonraya Cumartesi gününe denk gelmektedir. Cevap: Cumartesi 4 gün çal p 1 gün izin yapan bir i çi Pazartesi günü izin yapm t r. Bu izin gününden sonraki 4. izin günü hangi güne denk gelir bulunuz. 4 gün çal p 1 gün izin yapan i çi 5 günde bir izin yap yor demektir. zin yapt ktan sonraki 4. izin günü soruldu undan, 4.5=20 gün 20 x (mod 7) Pazartesiden sonraki 6. gün Pazar oldu undan 4. izin günü Pazar'a denk gelir. Cevap: Pazar 3 gün çal p 2 gün izin yapan bir hem ire Çar amba günü çal maya ba lad na göre, 40 gün sonra çal p çal mad n bulunuz. Çal ma günü: Ç ve zin günü: olsun, Ç Ç Ç Ç Ç Ç biçiminde be li gruplar halinde devam edecektir. 40 gün sonra 41. gün oldu undan, Kalan 1 oldu undan be li ÇÇÇ grubunun birinci gününe denk gelir, yani hem ire 40 gün sonra çal yor. Cevap: Çal yor 42

43 soru 1 soru 5 5 günde bir nöbet tutan Asker 2. nöbetini Per embe tuttu una göre, 8. nöbetini hangi gün tutar? A) Cumartesi B) Pazar C) Pazartesi D) Sal E) Çar amba 5 gün çal p 1 gün izin yapan bir i çi, Per embe günü izin yapm t r. Bu izin gününden sonraki 3. izin günü hangi güne denk gelir? A) Cuma B) Cumartesi C) Pazar D) Pazartesi E) Sal soru 2 soru 6 6 günde bir ilac n alan bir hasta 4. ilac n Pazartesi oldu una göre, 15. ilac n hangi gün al r? A) Pazartesi B) Sal C) Çar amba D) Per embe E) Cuma KARTEZYEN E T M YAYINLARI 6 gün çal p 1 gün izin yapan bir i çi Pazartesi izin yapm t r. Bu izin gününden sonraki 5. izin günü hangi güne denk gelir? A) Cumartesi B) Pazar C) Pazartesi D) Sal E) Çar amba soru 3 soru 7 4 günde bir bak ma giren makina 2. bak m na Sal günü girdi- ine göre, 9. bak m na hangi gün girer? 2 gün çal p 2 gün izin yapan bir i çi Pazartesi çal maya ba lad na göre, a a daki günlerin hangisinde izinlidir? A) Pazar B) Pazartesi C) Sal D) Çar amba E) Per embe A) 13 gün sonra B) 22 gün sonra C) 41 gün sonra D) 48 gün sonra E) 53 gün sonra soru 4 soru 8 8 günde bir nöbet tutan doktor 10. nöbetini Çar amba günü tuttu una göre, 6. nöbetini hangi gün tutmu tur? 4 gün çal p 2 gün izin yapan bir i çi Cumartesi izin gününe ba lad na göre, a a daki günlerin hangisinde izinlidir? A) Sal B) Çar amba C) Per embe D) Cuma E) Cumartesi A) 20 gün sonra B) 33 gün sonra C) 46 gün sonra D) 63 gün sonra E) 66 gün sonra 1 A 2 D 3 C 4 E 5 D 6 C 7 B 8 E 43

44 Günlük hayat ilgilendiren a a daki gibi sorular n ünü kodlama yap p, periyot (Tekrarlanma aral ) yakalayarak kolayca çözebiliriz. 3 gün çal p 1 gün izin yapan bir i çi 14 gün içinde en çok kaç gün izin yapar, bulunuz. Çal ma günü: Ç zin günü: olsun, Ç Ç Ç dörtlü bir grup oldu undan 14 ün içinde en çok izin günü olmas için izin günü ile ba layal m. Günler Çal ma ve zin Drumlar Ç Ç Ç Ç Ç Ç Ç Ç Ç Ç Yukar daki tablodan da görüldü ü gibi en çok 4 gün izin yapabilir. Cevap: 4 4 gün çal p 2 gün izin yapan bir i çi 1 y l içerisinde en çok kaç gün izin yapar bulunuz. (1 y l=365 gün al n z.) En çok izin yap lan gün soruldu u için y la izin yaparak girdi ini varsayal m. Bir boya fabrikas nda 2 gün sar renk, 3 gün k rm z renk ve 4 gün mavi renk boya üretilmektedir. Üretime haftan n ilk günü sar boya ile ba layan fabrika 53. gün hangi renk boya üretir, bulunuz. Ç Ç Ç Ç Ç Ç Ç Ç... biçiminde 6 l gruplar halinde devam edecektir tane 6 grup oldu undan ve her grupta 2 izin günü oldu- undan 60 x 2=120 izinli gün Ayr ca artan 5 günden ilk iki günü izin günü oldu undan, 120+2=122 gün izin yapar. Cevap: 122 Üretim s ras n kodlayal m, Sar : S, K rm z : K Mavi: M olsun. S S K K K M M M M S S K K K M M M M 9 lu gruplar halinde gitmektedir S S K K K M M M M Kalan 8 oldu undan fabrika mavi renk üretim yapmaktad r. Cevap: Mavi A B C D Yukar da A, B, C ve D duraklar n n güzergah verilmi tir. Garajdan ç k p A, B, C, D duraklar na bir gidip bir gelen otobüsün u rad 123. dura bulunuz. A B C D Otobüs A dura ndan ba layarak yukar da verilen s rada duraklara u ruyor. A B C D C B A B C D C B A B..... biçiminde 6 l gruplar halinde kodlama yapabiliriz A B C D C B Kalan 3 oldu undan otobüsün u rad 123. durak C dura d r. Cevap: C 44

45 soru 1 soru 5 4 gün çal p 1 gün izin yapan bir i çi 32 günde en çok kaç gün izin yapar? A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9 Ezgi 2 gün Matematik, 1 gün Geometri, 1 gün Türkçe, 1 gün Fizik, 1 gün Kimya s ras yla derslerine çal maktad r. Çal maya Matematik ile ba layan Ezgi 38. gün hangi derse çal - r? A) Matematik B) Geometri C) Türkçe D) Fizik E) Kimya soru 2 soru 6 5 gün çal p 1 gün izin yapan bir i çi 63 günde en çok kaç gün izin yapar? A) 10 B) 11 C) 12 D) 13 E) 14 Bir tekstil fabrikas nda 3 gün kazak, 2 gün pantolon, 1 gün gömlek, 1 gün ceket, 1 gün palto s ras yla üretim yap lmaktad r. Üretime kazak ile ba layan fabrika 100. gün a a dakilerden hangisini üretir? A) Kazak B) Pantolon C) Gömlek D) Ceket E) Palto soru 3 4 gün çal p 2 gün izin yapan bir i çi 50 günde en çok kaç gün izin yapar? A) 15 B) 16 C) 18 D) 19 E) 20 KARTEZYEN E T M YAYINLARI soru 7 Yukar daki kl levha sar renkten ba layarak sa a do ru tek tek yan p sönüyor. K rm z k yand ktan sonra tekrar sar k yan yor. Buna göre, levha çal t r lmaya ba lad ktan sonra yanan 78. renk nedir? A) Sar B) Mavi C) Turuncu D) Ye il E) K rm z soru 4 soru 8 6 gün çal p, 2 gün izin yapan bir i çi 57 günde en çok kaç gün izin yapar? A) 14 B) 15 C) 16 D) 17 E) 18 Yukar daki kl levha sar renkten ba layarak sa a do ru tek tek yan p sönüyor. K rm z k yand ktan sonra bu sefer sola do ru klar turuncu, ye il,... s ras yla yanmaktad r. Buna göre, levha çal t r lmaya ba lad ktan sonra yanan 251. renk nedir? A) Sar B) Mavi C) Ye il D) Turuncu E) K rm z 1 C 2 B 3 C 4 B 5 A 6 B 7 C 8 C 45

46

47

48