Z b. rx m X n = 0. rfg. hf, g i := a

Transkript

1 Bölüm 5 Ortogonal Sistemler Bu bölümde Fourier serilerini trigonometrik fonksiyonlardan ve Sturm-Liouville probleminin özfonksiyonlarından daha genel olan fonksiyon sınıfları için tanımlayacağız. 5.1 Fourier Serileri ve Parseval Özdeşliği Genelleştirilmiş Fourier serileri David Hilbert ( ) tarafından 1904 ve 1906 yılları arasında bazı çok önemli çalışmalarda kullanıldı. Fakat Hilbert çalışmalarında Sturm-Liouville problemlerinin özfonksiyonlarını kullanmayarak Fourier serilerini bir adım daha genelleştirdi. Bir önceki bölümden hatırlayacak olursak Fourier katsayılarının hesaplanmasında ihtiyacımız olan kritik özellik ortogonallikti, yani m 6= için Z b a rx m X n = 0 olmasıydı. Hilbert, özfonksiyon olup olmadıklarına bakmaksızın bu özelliği sağlayan fonksiyonların bir kümesini ele aldı. Böyle bir kümeyi düzgün bir şekilde tanımlamak için aşağıdaki gösterimleri sıklıkla kullanacağız. Eğer f ve g fonksiyonları (a, b) aralığında integrallenebilir ise ve r de bu aralıkta sürekli ve pozitif olarak verilmiş bir fonksiyon ise f ile g fonksiyonlarının iç çarpımı olarak, f fonksiyonunun normu da hf, g i := Z b a rfg q kf k := hf, f i olarak tanımlanır. Bu tanımlar tamamen r fonksiyonu bağlıdır ve bu fonksiyona ağırlık fonksiyonu denir. f, g, h integrallenebilir fonksiyonlar ve c bir sabit olmak üzere aşağıdaki birkaç temel özellik kolaylıkla kanıtlanabilir 91

2 9 Bölüm 5. Ortogonal Sistemler 1. hf, g i=hg, f i,. hf + g, hi=hf,hi+hg,hi, 3. hcf, g i=chf, g i. Tanım (a,b) aralığında integrallenebilir fonksiyonların bir ' n dizisi (i) m 6= n için h' m,' n i=0, (ii) her n N için k' n k>0 koşullarını sağlıyorsa buna (a, b) aralığında bir ortogonal sistem denir. Ayrıca ek olarak her n N için k' n k=1 oluyorsa bu sistem ortonormaldir denir. Bir önceki bölümde bir Sturm-Liouville probleminin özfonksiyonlarının ortogonal bir sistem oluşturduğunu gördük. Sırada vereceğimiz örnekler herhangi bir Sturm-Liouville probleminden elde edilmemiştir. Örnek Her n doğal sayısı için ' n (x):= cos(n arccos x) olarak tanımlanan fonksiyonlar r (x):= 1 p 1 x ağırlık fonksiyonuna göre ( 1, 1) aralığında bir ortogonal sistemdir. Gerçekten x = cos t dönüşümü yapılırsa Z p 1 x ' m(x)' n (x)dx = = p cosmt cosnt dt 1 cos t cosmt cosnt dt olduğu görülür ki m 6= n için bu integral sıfıra eşittir. Burada eşitliğin solundaki integralden görüleceği gibi integrand x =±1 için tanımsızdır dolayısıyla integral genelleştirilmiş bir integraldir, genelleştirilmiş integralin limit tanımını kullanarak okuyucu bu eşitliği doğrulamalıdır. Bu ortogonal fonksiyonların her n doğal sayısı için birer polinom belirttiği gösterilebilir ve bu polinomlara Chebyshev polinomları denir, çünkü bu polinomlar ilk kez Pafnuti L vovich Chebyshev ( ) tarafından tanıtılmıştır. Örnek 5.1. ' 0 : [0,1)! R fonksiyonu ' 0 0 olarak tanımlansın. Ayrıca k biçimine sahip herhangi bir m doğal sayısı ve her n = 1,,...,m için ' mn : [0,1)! R fonksiyonları 8 n 1 1, >< m x < n 1 m ise ' mn (x):= n 1 1, >: m x < n m ise 0, diğer durumlarda Yrd. Doç. Dr. Süleyman ÖĞREKÇİ

3 5.1. Fourier Serileri ve Parseval Özdeşliği 93 olarak tanımlansın. Bu fonksiyonların r 1 ağırlık fonksiyonuna göre ortogonal bir sistem oluştururdukları kolayca gösterilebilir yılında Albert Haar ( ) tarafından tanıtılan bu fonksiyonlara Haar fonksiyonları diyoruz. Şekil 5.1: Örnek de tanıtılan Haar fonksiyonlarının bazı örnekleri. Örnek Her ortogonal sistem her ' n yerine k' n k 1 ' n yazılarak normalleştirilebilir, yani ortonormal bir sisteme dönüştürülebilir. Örnek ile verilen Chebyshev polinomları için Z 1 Z k' 0 k 1 º = p dx = dt = º 1 1 x 0 ve n > 1için Z 1 k' n k = 1 cos (n arccos x) p dx = 1 x 0 cos nt dt = º

4 94 Bölüm 5. Ortogonal Sistemler olduğundan r 1 º ' 0, r º ' 1, r º ',..., r º ' n,... fonksiyonları ortonormal bir sistem belirtir. Haar fonksiyonları için de k' 0 k=1ve olduğu gösterilebilir, bu durumda k' mn k = Z 1 0 ' mn = 1 m ' 0,' 11,..., p m' mn,... fonksiyonları ortonormal bir sistem oluşturur. Bu bölümde tanımladığımız ortogonal sistem kavramının ve bu bölümün devamında elde edeceğimiz teorisinin çok kullanışlı iki genelleştirilmesi vardır. Bunlardan birincisi kavramı (a, b) aralığı yerine sonsuz da olabilen aralıklara taşımaktır, bu durumda karşılaşılan genelleştirilmiş integraller dikkatlice incelenmeli ve normun varlığı garanti altına alınmalıdır. Diğer genelleştirme ise fonksiyonları kompleks değerli kabul etmektir, bu durumda iç çarpım tanımındaki fgçarpımı f g ile değişir ve iç çarpımın yukarıda sıralanan özelliklerden ilki hf, g i=hg, f i biçimini alır. Biz şimdi Fourier serilerini genel ortogonal sistemler üzerine genelleştirmek için reel değerli fonksiyonları ele alacağız. Tanım 5.1. Eğer (a,b) aralığında f integrallenebilir bir fonksiyon ve {' n } bu aralıkta bir ortogonal sistem ise bu durumda c n := 1 k' n k hf,' ni sabitlerine f fonksiyonunun {' n } ortogonal sistemine göre Fourier katsayıları denir, c n ' n serisine de onun {' n } ortogonal sistemine göre Fourier serisi denir. Örnek n bir tamsayı olmak üzere {e inx } sistemi r 1 ağırlık fonksiyonuna göre ( º, º) aralığında ortogonaldir, ayrıca º e inx e inx dx = º olduğundan dizideki her fonksiyonun normu p º olur. Bu durumda f fonksiyonu (a, b) aralığında reel veya kompleks değerli bir fonksiyon ise bu sisteme göre Fourier katsayıları c n = f (x)e inx dx º Yrd. Doç. Dr. Süleyman ÖĞREKÇİ

5 5.1. Fourier Serileri ve Parseval Özdeşliği 95 biçiminde ve Fourier serisi c n e inx 1 biçimindedir. Bu seriye f fonksiyonunun ( º, º) aralığında kompleks Fourier serisi denir. Eğer f reel bir fonksiyon ise her n sayısı için c n = c n olduğuna dikkat edin. Buradan itibaren sadece reel değerli fonksiyonları ele alacağız. Temel sorumuz bir fonksiyonun Fourier serisinin kendisine yakınsak olup olmadığı sorusudur, yani f (x) = c n ' n (5.1.1) eşitliğinin sağlanıp sağlanmadığı sorusudur. İlk akla gelen nokta, Fourier in de 1809 yılında dikkat çektiği gibi, {' n } ortogonal sisteminde bu eşitliği sağlatmaya yetecek kadar fonksiyonun bulunamayabileceği durumudur. Örneğin {sin x,sinx,...,sinnx,...} sistemi ( º, º) aralığında ortogonaldır fakat (5.1.1) eşitliği f 1 için sağlanmaz, çünkü bu durumda tüm Fourier katsayıları sıfır olur. Bu durumu daha yakından görmek için şöyle bir örnek de verebiliriz. c 1, c ve c 3 ile bir p R 3 noktasının koordinatlarını gösterelim. ' 1 = (1,0,0), ' = (0,1,0) ve ' 3 = (0,0,1) ortogonal vektörleri için p = (c 1,c,c 3 ) noktası 3X c n ' n biçiminde gösterilir. Fakat keyfi bir p noktası {' 1,',' 3 } ten daha küçük olan bir sistemde bu şekilde ifade edilemez, örneğin p = (0,0,1) noktası {' 1,' } ortogonal sisteminde ifade edilemez. Bu örneklere benzer şekilde integrallenebilir fonksiyonlarla çalışırken {' n } ortogonal sistemini korrdinat sistemimiz gibi düşünebiliriz. Bu durumda Fourier katsayıları da koordinatlarımız olacaktır. Bu durumda da {' n } yeteri kadar geniş bir ortogonal sistem değilse keyfi bir f fonksiyonu için (5.1.1) eşitliği sağlanamayabilir. Gerçekten, pozitif normlu bir f fonksiyonu her bir ' n ile ortogonal oluyorsa onun tüm Fourier katsayıları sıfır olacağından (5.1.1) eşitliği sağlanmaz. Bu durumda aşağıdaki tanımı yapmak anlamlıdır. Tanım Bir ortogonal sistem başka bir ortogonal sistemin bir öz alt kümesi değise, yani her n sayısı için hf,' n i=0 olması kf k=0 olmasını gerektiriyorsa, bu sisteme bir tam ortogonal sistem denir. Yukarıdaki açıklamalardan genel durumda Fourier serilerinin yakınsaklığı için ortogonal sistemin tam olmasının gerekliliği anlaşılıyor. Peki verilen bir ortogonal sistemin tam olup olmadığı nasıl anlaşılır? Bu konuda Tanım fazla ipucu

6 96 Bölüm 5. Ortogonal Sistemler vermez, bu soruyu cevaplamak için önce yine R Öklid uzayında gözlem yapalım. Eğer p R 3 noktasının orijine uzaklığını kpk ile gösterirsek Pisagor teoremi gereği kpk = 3X kc n ' n k = 3X cn k' nk eşitliği sağlanır. Bu özdeşiliğin her p R 3 için {' 1,',' 3 } sisteminden daha küçük bir ortogonal sistemde sağlanmayacağı açıktır. Tersine, her p R 3 için bu eşitlik sağlandığından {' 1,',' 3 } sisteminin tam olduğu açıktır. Ayrıca bir p noktası her ' n vektörüne ortogonal ise bu durumda c n = p ' n = 0 olacağından Pisagor teoreminden kpk=0 olduğu görülür. Şimdi bir f fonksiyonunun sıfır fonksiyonuna olan uzaklığını fonksiyonun normu ile, yani q kf k= rf ölçtüğümüzü varsayalım, bu durumda Pisagor teoreminden kf k = cn k' nk (5.1.) eşitliği elde edilir. Bu eşitliği ilk defa 1799 yılında kuvvet serileri için Marc Antoine Parseval-Deschenes ( ) ifade etmiştir, günümüzde bu eşitliğe Parseval özdeşliği diyoruz. Az önce yaptığımız gözlemlerin sonucu olarak bir ortogonal sistemin tam olması için gerek ve yeter koşulun o sistemde Parseval özdeşliğinin sağlanması olduğunu düşünebiliriz, bu doğrudur. Bunun yeterlilik kısmını kolayca ispatlayabiliriz, gereklilik kısmını ispatlamak için biraz daha araştırma yapmaya ihtiyacımız var. Teorem Eğer (a, b) aralığında integrallenebilir olan her f fonksiyonu için {' n } sistemine göre (5.1.) ile verilen Parseval özdeşiliği sağlanıyorsa bu durumda {' n } sistemi tamdır. İspat Eğer {' n } sistemi tam değilse pozitif normlu ve her bir ' n fonksiyonuna ortogonal olan bir f fonksiyonu vardır. Fakat bu durumda her n için f fonksiyonunun Fourier katsayıları sıfır olacağından 0 <kf k = cn k' nk=0 çelişkisi elde edilir. Á Bu sonuç doğrultusunda şu soruyu sorabiliriz: bir ortogonal sistem verlidiğinde, her integrallenebilir f fonksiyonu için Parseval özdeşliğinin sağlanıp sağlanmadığını nasıl söyleyebiliriz? Fakat bu durumda daha önce sorduğumuz sorudan hareket edip kolay olmayan başka bir soruya atlamış oluruz yılında Jorgen Pedersen Gram ( ) bir yaklaşım problemi üzerinde çalışırken Fourier serileri hakkında beklenmedik bir şey keşfetti, ne yapmamız gerektiği hakkında bize bir ipucu verecek olan bu keşife sıradaki bölümde değineceğiz. Yrd. Doç. Dr. Süleyman ÖĞREKÇİ

7 5.. Bir Yaklaşım Problemi Bir Yaklaşım Problemi Verilen bir {' n } ortogonal sistemi ve bir N doğal sayısı için Gram şu problemi ele aldı: ilk N tane ortogonal fonksiyonu kullanarak verilen integrallenebilir bir f fonksiyonuna k n ' n lineer kombinasyonuyla en iyi yaklaşımı sağlayan k n katsayıları nelerdir? (Aslında Gram bu çalışmasında ortogonal değil lineer bağımsız bir sistem ele almıştı ve bu lineer bağımsız sistemi ortogonal bir sisteme çevirmek için bir method bulmuştu, bu method daha sonra 1907 yılında Schmidt tarafından da keşfedildi.) Burada Gram bu problemi ele alırken yaklaşımdaki hatayı E N := f k n ' n olarak tanımlamıştı, yani aradığı k n katsayıları bu E N ifadesini minimize edecek sayılardı. Sıradaki teoremle Gram ın elde ettiği sonucu veriyoruz. Teorem 5..1 (Gram, 1883) f fonksiyonu (a, b) aralığında integrallenebilir olsun, ayrıca {' n } de bu aralıkta ortogonal bir sistem olsun. Bu durumda verilen bir N doğal sayısı için yukarıda tanımlanan E N ifadesinin minimum değeri kf k cn k' nk (5..1) olur. Ayrıca bu minimum değere her n için k n = c n olduğunda, yani her bir k n katsayısı f fonksiyonunun (a,b) aralığında {' n } ortogonal sistemine göre Fourier katsayısına eşit olduğunda ulaşılır. İspat Sabit k n sayıları için æ N := P N k n ' n tanımlayalım, m 6= n için hf,' n i=0 olduğunu kullanarak E N =kf æ N k = hf æ N, f æ N i = hf, f i hæ N, f i hf,æ N i+hæ N,æ N i = kf k hf,æ N i+hæ N,æ N i = kf k k n hf,' n i+ kn h' n,' n i olduğu görülür. Tanım 5.1. gereği hf,' n i=c n k' n k olduğundan bu eşitliğin sağ tarafı kf k + k n k' n k k n c n k' n k =kf k + kn k' n k c n k' n k cn k' nk

8 98 Bölüm 5. Ortogonal Sistemler halini alır. Bu son ifadenin minimum değerini k n = c n için alacağı açıktır, bu değer de (5..1) ile verildiği gibidir. Á Bu sonuç bize integrallenebilir bir fonksiyona yaklaşmanın en iyi yolununun onun Fourier serisini kullanmak olduğunu söyler ki bu da oldukça ilginç ve beklenmedik bir sonuçtur. Bu teoremin sonucu olarak artık integrallenebilir keyfi bir fonksiyona N inci Fourier kısmi toplamı olan s N ile yaklaşırken oluşan hata payının N!1için sıfır olmasını umabiliriz. Gerçekten Teorem 5..1 gereği kf s N k =kf k cn k' nk olduğunu gördük, eşitliğin sağ tarafının N!1iken sıfır olması için gerek ve yeter koşulun Parseval özdeşliğinin sağlanması olduğu açıkça görünüyor. Sonuç 5..1 f fonksiyonu (a,b) aralığında integrallenebilir, {' n } bu aralıkta ortogonal bir sistem ve s N de f fonksiyonunun {' n } sistemine göre N inci Fourier serisi kısmi toplamı olsun. Bu durumda N!1iken kf s N k!0 olması için gerek ve yeter koşul f için Parseval özdeşliğinin sağlanmasıdır. Bu sonuç Parseval özdeşliğinin önemini açık bir şekilde gösteriyor. Buraya kadar gördüğümüz gibi bu özdeşlik hem ortogonal sistemlerin tamlığı hem de Fourier serilerinin yakınsaklığı konularında kilit öneme sahip. Bunun dışında bizim değinmeyeceğimiz, Fourier serilerinin terim terim integrallenmesi, bazı değişik serilerin toplamlarının hesaplanması gibi, başka problemlerin de çözümünde Parseval özdeşliğinden faydalanılır. Daha sonra Parseval özdeşliğine döneceğiz, şimdi daha basit bir sonuç elde edelim. Her N doğal sayısı için (5..1) ile verilen ifade negatif olmadığından E N in minimum değeri de negatif olamaz. Ayrıca burada N keyfi olduğundan aşağıdaki sonuç elde edilmiş olur. Bu sonuç ilk defa 188 yılında Friedrich Wilhelm Bessel ( ) tarafından trigonometrik ortogonal sistem için kanıtlanmıştır. Bessel eşitsizliği denilen bu sonuç Parseval özdeşliğinin kolay olan kısmıdır, bir sonraki bölümde bu sonucu kullanarak Bölüm 3 te bıraktığımız bir eksikliği gidereceğiz. Sonuç 5.. (Bessel Eşitsizliği) f fonksiyonu (a, b) aralığında integrallenebilir ve {' n } de bu aralıkta ortogonal bir sistem ise bu durumda eşitsizliği sağlanır. cn k' nk kf k (5..) 5.3 Fourier Serilerinin Düzgün Yakınsaklığı Çalıştığımız probleme bu bölümde kısa bir ara verip Fourier serilerinin düzgün yakınsaklığını (Teorem 3.1.) kanıtlayacağız. Uygun bir değişken dönüşümü ile genel Yrd. Doç. Dr. Süleyman ÖĞREKÇİ

9 5.3. Fourier Serilerinin Düzgün Yakınsaklığı 99 duruma geçilebileceğinden bir f :( º, º)! R fonksiyonu için kanıt yeterli olacaktır. Bu durumda 1, cos x, sin x,..., cosnx, sinnx,... (5.3.1) ortogonal sisteminde çalışacağız. Teorem (Heine, 1870) Kendisi sürekli ve türevi parçalı sürekli olan bir f : [ º, º]! R fonksiyonu f ( º) = f (º) eşitliğini sağlasın. Bu durumda f fonksiyonunun ( º, º) aralığında (5.3.1) ortogonal sistemine göre Fourier serisi kendisine düzgün yakınsaktır. İspat Eğer her bir n 1için a n sinnx + b n cosnx M n ve P 1 M n <1olacak şekilde M n sayıları bulabilirsek, Weierstrass-M testi gereği 1 a 0 + (a n cosnx + b n sinnx) serisinin düzgün yakınsaklığını elde etmiş oluruz. Şimdi, keyfi r ve s reel sayıları için 0 (r s) = r rs+ s olduğundan hareketle rs r + s (5.3.) ve buradan da (r + s) = r + rs+ s (r + s ) eşitsizliklerini gözlemleyelim. Bu son eşitsizlik gereği (a n cosnx + b n sinnx) (a n cos nx + b n sin nx) (a n + b n ) olduğu görülür. Ayrıca bu son eşitsizlik ve (5.3.) eşitsizliği gereği n 1için q a n cosnx + b n sinnx (an + bn) < q n (an + bn) 1 n n + n (an + b n ) eşitsizliği elde edilir. M n sayılarını yukarıdaki eşitsizliğin sağ tarafındaki ifade olarak tanımlayalım, P 1 n serisi yakınsak olduğundan n (an + b n ) serisinin yakınsak olduğunu göstermek yeterlidir. Şimdi, n 1 için f 0 fonksiyonunun ( º,º) aralığında Fourier katsayıları nb n ve na n olur, gerçekten kısmi integrasyonla Z 1 º f 0 (x)cosnxdx = 1 f (x)cosnxø º + nf(x)sinnxdx º º º º º = 1 f (º)cosnº f ( º)cos( nº) + nf(x)sinnxdx º = n º = nb n º f (x)sinnxdx º

10 100 Bölüm 5. Ortogonal Sistemler ve benzer şekilde Z 1 º f 0 (x)sinnxdx = na n º º olduğu görülür. Bu durumda, (5.3.) trigonometrik ortogonal sisteminin normu p º olduğundan, f 0 fonksiyonu için Bessel eşitsizliği kullanılırsa n (a n + b n ) 1 º º (f 0 ) elde edilir ki bu da eşitliğin solundaki serinin yakınsak olduğunu gösterir. Á 5.4 Ortalamada Yakınsaklık Gram ın elde ettiği sonuç sonrasında 1907 yılında Ernst Fischer ( ) yeni bir çeşit yakınsaklık kavramı tanımladı. Tanım (a,b) aralığında integrallenebilir f fonksiyonlarının {f n } dizisi için n!1iken kf f n k!0 oluyorsa bu dizi n!1iken f fonksiyonuna ortalamada yakınsaktır denir, bu durum l.i.m.f n = f olarak gösterilir. Bu tanımda l.i.m. ifadesi "limit in the means" ifadesinin kısaltılmışıdır. Bu tanım ışığında Gram ın sonuçlarından olan Sonuç 5..1 aşağıdaki şekilde yeniden ifade edilebilir. Teorem f fonksiyonu (a,b) aralığında integrallenebilir ve {' n } de bu aralıkta ortogonal bir sistem olsun. Bu durumda f fonksiyonunun bu ortogonal sisteme göre Fourier serisinin kendisine ortalamada yakınsak olması için gerek ve yeter koşul f fonksiyonu için Parseval özdeşliğinin sağlanmasıdır. Artık çok önemli olan Parseval özdeşliğinin kanıtı meselesine geçebiliriz. Bunun özel bir durum olan trigonometrik ortogonal sistem için kanıtı birbirinden bağımsız olarak 1893 yılında Charles Jean de la Vallee Poussin ( ), 1896 yılında Aleksandr Mikhailovich Liapunov ( ) ve 1903 yılında Adolf Hurwitz ( ) tarafından verilmiştir. Biz şimdi kanıtı daha genel olarak (px 0 ) 0 + ( r q)x = 0 a 1 X (a) b 1 X 0 (a) = 0 a X (b) + b X 0 (b) = 0 düzgün Sturm-Liouville probleminin özfonksiyonları tarafından oluşturulan ortogonal sistemde vereceğiz. Bu kanıtı detaya girmeden verip teknik detayları okuyucuya bırakacağız, ayrıca Sturm-Liouville problemleriyle bağlantılı olmayan keyfi ortogonal sistemler için kanıt bir sonraki bölümde Riesz-Fischer teoreminin kanıtıyla verilmiş olacak. Yrd. Doç. Dr. Süleyman ÖĞREKÇİ

11 5.4. Ortalamada Yakınsaklık 101 Teorem 5.4. f :[a,b]! R integrallenebilir bir fonksiyon ve {X n } de [a,b] aralığında düzgün bir Sturm-Liouville probleminin özfonksiyonlarının dizisi olsun. Bu durumda kf k = cn kx nk Parseval özdeşliği sağlanır ve f fonksiyonunun {X n } sistemine göre Fourier serisi f fonksiyonuna ortalamada yakınsar. İspat Aşağıdakilerin sağlandığını varsayalım: 1. f fonksiyonuna yeterince küçük > 0 için [a, a + ) [ (b,b] aralığında özdeş olarak sıfır olan parçalı sürekli bir g fonksiyonu ile istenilen yakınlıkta yaklaşılabilsin.. Köşeleri yuvarlayarak, g fonksiyonuna C 1 sınıfından olan ve h(a) = h(b) = h 0 (a) = h 0 (b) = 0 koşulunu sağlayan bir h fonksiyonuna istenilen yakınlıkta yaklaşılabilsin. 3. Yeterince büyük N sayısı için, h fonksiyonuna f in {X n } e göre N inci Fourier kısmi toplamı ile istenilen yakınlıkta düzgün olarak yaklaşılabilsin. 4. N!1iken kf h N k!0 olsun. Bu kabuller sonucunda, h N terimi P N k n X n biçimine sahip olduğuna dikkat ederek, f in {X n } e göre N inci Fourier kısmi toplamını s N ile gösterirsek Teorem gereği 0 kf s N k kf h N k olduğu görülür. Böylece l.i.m.s N = f elde edilir ve f fonksiyonu {X n } e göre Parseval özdeşliğini sağlar. Bu durumda kanıtı tamamlamak için yukarıdaki dört varsayımın sağlandığı gösterilmelidir, bunlar okuyucuya bırakılmıştır. Á Bu sonucu Teorem ile karşılaştırısak şunu farkederiz: integrallenebilir bir fonksiyonun Fourier serisi için ortalamada yakınsaklık her zaman sağlanır, fakat noktasal yakınsaklık için bazı ek koşullar gereklidir. Aşağıdaki sonuç ile Teorem 5.4. in trigonometrik ortogonal sistem için ifadesini veriyoruz, kanıtı da Teorem 5.4. in detaylı kanıtından kolaylıkla görülebilir. Teorem f :( º, º)! R integrallenebilir fonksiyonunun bu aralıktaki Fourier serisi 1 a 0 + (a n cosnx + b n cosnx) olsun. Bu durumda 1 º º f = 1 a 0 + (an + b n ) Parseval özdeşliği sağlanır, (5.3.1) ortogonal sistemi tamdır, ve yukarıdaki Fourier serisi f fonksiyonuna ortalamada yakınsaktır.

12 10 Bölüm 5. Ortogonal Sistemler Elbette verilen ortogonal sistem bir Sturm-Liouville probleminden elde edilmemişse yukarıdaki ispatlar geçerli değildir, bu durumda verilen sistemin özelliklerine göre farklı ispat yöntemleri geliştiririlebilir. Örneğin Haar fonksiyonlarının oluşturduğu ortogonal sistem için aşağıdaki sonuç kanıtlanabilir. Teorem Eğer f fonksiyonu [0, 1) aralığında integrallenebilir ise, bu durumda Haar ortogonal sistemine göre f fonksiyonu için Parseval özdeşliği sağlanır. 5.5 Riesz-Fischer Teoremi Daha önce Teorem 5.4. ile integrallenebilir bir fonksiyonun Fourier serisinin yakınsaklığını düzgün bir Sturm-Liouville probleminin özfonksiyonlarına göre kanıtlamıştık. Bu bölümde bu yakınsaklığı keyfi bir {' n } ortogonal sistemine göre kanıtlayacağız. Bir fonksiyonun bir ortogonal sisteme göre Fourier serisinin yakınsak olabilmesi için en azından bu sistemde yeteri kadar fonksiyon bulunması, yani sistemin tam olması gerekiyordu. Fakat doğal olarak akla gelen diğer bir soru da, integrallenebilir fonksiyonlar uzayının bu yakınsama için yeterince geniş olup olmadığıdır, yani keyfi verilen c n sayılarını Fourier serisi katsayıları olarak kabul eden integrallenebilir bir fonksiyon her zaman var mıdır? Bu soruyu ilk soran ve çözen Frigyes Riesz ( ) oldu. Riezs gösterdi ki Riemann anlamında integrallenebilen fonksiyonların uzayı bu anlamda yeterli değil, fakat [a, b] aralığında Lebesgue anlamında karesi integrallenebilir fonksiyonların uzayı yeterlidir. Bu uzayı L (a,b) ile gösteririz, fonksiyonunun karesinin integrallenebilmesi normunun tanımlı olması için gereklidir ve kendisinin integrallenebilmesi yetmez. Gerçekten f (x) = 1/ p x fonksiyonu (0,1) aralığında Lebesgue anlamında integrallenebilirdir fakat karesi öyle değildir, genel durumdu Lebesgue anlamında integrallenebilen fonksiyonların çarpımının da integrallenebilmesi gerekmez. Bu sonucun kanıtı önce 1907 yılında ölçü teorisi argümanlarıyla Riesz tarafından verildi, bundan bir kaç ay sonra Fischer ise L uzayının tam olduğunu kanıtladı. Bu durumda Riesz in teoremi Fischerin teoreminin bir sonucu oluyordu, bundan dolayı bu sonuç Riesz-Fischer teoremi olarak bilinir. Biz burada sadece bu teoremin nasıl Fischer in teoreminin bir sonucu olduğunu göstereceğiz, okuyucunun L (a,b) uzayının yarımetrik yapısını bildiğini varsayıyoruz. Teorem (Riesz-Fischer Teoremi) {' n } sistemi L (a,b) uzayında ortogonal olsun, ayrıca {c n } dizisi de P 1 cn k' nk serisi yakınsak olacak şekilde olsun. Bu durumda L (a,b) uzayında Fourier katsayıları c n sayıları olan bir f fonksiyonu vardır ve kf k = cn k' nk Parseval özdeşliği sağlanır. Ayrıca eğer {' n } tam ise L (a,b) uzayında böyle tek bir f fonksiyonu vardır. Yrd. Doç. Dr. Süleyman ÖĞREKÇİ

13 5.5. Riesz-Fischer Teoremi 103 İspat Şimdi s N := c n ' n olarak tanımlayalım, bu durumda c n =hf,' n i olmak üzere N!1için ks N f k= 1 olacak şekilde L (a,b) uzayında bir f fonksiyonunun var olduğunu göstermek yeterlidir. Eğer m > n keyfi doğal sayılar ise ks m s n k = mx mx k=n+1 r =n+1 c k h' m,' n i= mx k=n+1 c k olduğu görülür, Bessel eşitsizliği gereği bu ifadenin sağ tarafı yeterince büyük m ve n sayıları için keyfi bir > 0 sayısından küçük kalır. Bu da {s n } dizisinin bir Cauchy dizisi olduğu anlamına gelir, dolayısıyla L (a,b) uzayının tamlığı gereği N!1 için ks N f k=1olacak şekilde L (a,b) uzayında bir f fonksiyonu vardır. Şimdi c n =hf,' n i olduğunu gösterelim. N > n için hs N,' n i=c n olduğundan hareketle, Cauchy-Schwarz eşitsizliğini kullanırsak Ø cn hf,' n i Ø Ø = Ø ØhsN,' n i hf,' n i Ø Ø = Ø ØhsN f,' n i Ø Ø ksn f k olduğu görülür, N!1iken ks N f k=0 olduğundan istenen elde edilmiş olur. Á Yukarıda tanımladığımız norm kavramını bir nevi fonksiyonların sıfıra olan uzaklıkları gibi yorumladık yılında Maurice Frechet ( ) tarafından genel bir uzaklık kavramı tanımladı ve Frechet bu şekilde uzaklık fonksiyonu tanımlanabilen uzayları metrik uzaylar olarak adlandırdı. Bu tanıma göre L uzayı bir metrik uzay oluyordu, o zamanlarda gündemde olan diğer bir metrik uzay ise P 1n=0 k n <1olan {k n} dizilerinin uzayı olan ` uzayı idi. Bu metrik uzayı 1908 yılında Schmidt tanıtmıştır fakat bu uzay üzerinde ilk çalışmalar Hilbert e aittir. Hem Schmidt hem de Frechet L ve ` uaylarının geometrik olarak birbiriyle uyumlu olduğunu farkettiler ve bu durum Riesz-Ficher teoreminin kanıtıyla açıklığa kavuştu. Gerçekten bir tam ortogonal sistem verildiğinde L uzayındaki her f fonksiyonu ile {c n k' n k} dizisi eşlenirse, Riesz-Fischer teoremine gereği L ve ` uzayları arasında bire bir bir eşleme yapılmış olur. Riesz 1913 yılında kendi yayımladığı kitabnda L ve ` uzaylarını Hilbert uzayları olarak adlandırmıştı. Bu uzaylar, daha sonra 190 li yıllarda John von Neumann ( ) tarafından tanımlanıp aksiyomatik olarak teorisi geliştirilecek ve Hilbert uzayı olarak adlandırılacak olan daha geniş bir sonsuz boyutlu uzay kavramının özel birer örnekleri olacaklardır. Fakat teorinin sonu burada gelmemiştir, daha sonra Riesz p > 1 olmak üzere L p uzayı kavramını tanımlayarak önemli bir genişletme yapmıştır. Bu konudaki en etkileyici çalışmalar Stefan Banach ( ) tarafından yapılmıştır ve bunların bazıları kendisinin 193 yılında yayınladığı bir kitapta verilmiştir. Riesz, Frechet, Schmidt, Hilbert ve Banach ın bu çalışmaları Lebesgue integrasyonunun önemini açık bir şekilde göstermiştir. İlk örneği Riesz-Fischer teoremiyle açığa çıkan metrik uzaylar arasındaki bağlantıların araştırılması o yıllarda

14 104 Bölüm 5. Ortogonal Sistemler yeni bir matematik branşının doğmasına sebep olmuştur. Bu branşı, ilk kez Paul P. Levy ( ) tarafından adlandırıldığı şekliyle, fonksiyonel analiz olarak adlandırıyoruz. Yrd. Doç. Dr. Süleyman ÖĞREKÇİ