MATEMAT K 6 ÜN TE II NTEGRAL

Transkript

1 ÜN TE II NTEGRAL ntegralin tan m ntegral alma yöntemleri Basit fonksiyonlar n integralleri Rasyonel ifadelerin integrali Trigonometrik de iflken de ifltirme E ri alt nda kalan bölgenin alan Belirli integral ki e ri ile s n rlanan bölgenin alan Örnekler Dönel cisimlerin hacimlerinin bulunmas

2 BU BÖLÜM NELER AMAÇLIYOR? Bu bölümü çal flt n zda (bitirdi inizde) * ntegral hesab n niçin gerekli ol unu ö renecek. * S n rl ve s n rs z fonksiyonlar tan yarak, herhangi bir fonksiyonun s n rl ya da s n rs z olup olmad n söyleyecek. * De iflken de ifltirme kural ile integral almay ö renecek. * K smî integral alma kural ile integral almay ö renecek. * Basit fonksiyonlar n integrallerinin nas l al naca n ö renecek. * Basit kesirlere ay rma yöntemi ile integral almay ö renecek. * Trigonometrik de iflken de ifltirme yöntemi ile integral almay ö renecek. * Basit fonksiyonun ilkelini ö renecek. * E ri alt ndaki alan hesaplamak için parçalama yöntemini ö renecek. * Belirli integral tan m n kavrayacak. * ntegralin 1. temel teoremini ö renecek. * ntegralin. temel teoremini ö renecek. * Daha basit teknik olan, e ri alt ndaki kalan bölgenin alan n integral ile çözmeyi ö renecek. * ki e ri ile s n rl bölgenin alan n integral ile çözmeyi ö renecek. * Dönel cisimlerin hacimleri için integral kullanma yöntemini ö renip, dönel cisimlerin hacimlerini hesaplayabileceksiniz. NASIL ÇALIfiMALIYIZ? * Türev konusunu ö renmeden, integral konusunu çal flmaya bafllamamal s n z. * Tan mlar çok iyi kavray p örnekleri özümseyiniz. * Teoremleri çok iyi kavramal s n z. * ntegral formüllerinin tamam n ezberlemelisiniz. Bolca örnek çözün, hangi soruda nas l bir formül kullanaca n z belirlemelisiniz. * ntegral alma kurallar n ö renmelisiniz. * Çözülen örnekleri siz de çözün. E er çözemiyorsan z hatan z aray n, hatan z bulktan sonra bafltan çözmeye çal fl n. * Yazarak çal flmay unutmay n. 86

3 ÜN TE II. NTEGRAL Türev kavram n n bir e riye üzerindeki bir noktadan çizilen te etin e iminin bulunmas probleminden ortaya ç kt n, türev bir de iflim oran ol undan hareket eden cisimlerin h z ve imeleri ya da buna benzer problemlerin çözümünde kullan l r. ntegral kavram na geometrik bir anlam vermek gerekirse baz düzgün olmayan bölgeler alanlar n n bulunmas probleminden ortaya ç kt n söyleyebiliriz. ntegral, hareket problemleri, dönel cisimlerin hacimleri, ifl, kütle, kütle merkezi ve eylemsizlik momenti bulunmas ; di er bilim dallar ile ilgili pek çok problemlerin çözümünde kullan l r. Türevi f(x) olan bir F(x) fonksiyonuna f(x) in bir ilkel fonksiyonu veya integral denir. S n rl fonksiyonlar : E R ve f:e R bir fonksiyon olsun. f(e) görüntü kümesi f(e) R dir. f(e) nin s n rl ya da s n rs z ol unu inceleyelim. E R ve f:e R bir fonksiyon olsun. x E için a) f(x) M olacak flekilde M R varsa, f fonksiyonu üstten s n rl, b) f(x) m olacak flekilde m R varsa, f fonksiyonu alttan s n rl, c) m f(x) M olacak flekilde m, M R say lar bulunabilirse, f fonksiyonu hem alttan hem de üstten s n rl ya da yaln zca s n rl d r denir. Örnekler : Afla daki tan m ve de er kümesi ile verilen fonksiyonlar n s n rl l k rumlar n inceleyelim. 1. f:r R, f(x) = x +3 fonksiyonu verilsin. x R için x 0 ve x +3 3 f(x) 3 ol undan f fonksiyonu alttan s n rl d r. En büyük alt s n r 3 tür.. f:r R : f(x) = -3x +4 fonksiyonu verildi ine göre; x R için x 0-3x 0 ve -3x f(x) 4 dür. Fonksiyon üstten s n rl d r. f nin en küçük üst s n r 4 olur. 3. f:[-, 4] R, f(x) = x + 1 ise x [-, 4] için - x 4 4 x 16 8 x 3 9 x dür 87

4 9 f(x) 33 olup f fonksiyonu alttan ve üstten s n rl d r. 4. f : (0, π ] R, f(x) = 1 Sinx ise x (0, π ] için 0 < Sinx 1 dir. Sinx 0 için 1 her pozitif reel say dan daha büyük olur. Sinx x (0, π ] için f(x) = 1 M olacak flekilde bir M R bulunamaz. Sinx O halde, f(x) = 1 Sinx 5. f : R R ; f(x) = x -1 fonksiyonu verilsin. x R için x 0 x -1 1 verilen tan m aral nda üstten s n rl de ildir. f(x) -1 dir f fonksiyonu alttan s n rl d r. 6. f : ( 5 8, 9 4 ] R ; f(x) = [ x ] + fonksiyonu verilsin. x ( 5 8, 9 4 ] için 0 [ x ] 0 [ x ] 4 [ x ] + 6 f(x) 6 f fonksiyonu s n rl d r. Örnekler : 1. a) f:r R, f(x) = x + Sinx fonksiyonunun alttan s n rl ol unu gösteriniz. Çözüm : x R için x 0 ve x R için -1 Sinx 1-1 x + Sinx -1 f(x) fonksiyon alttan s n rl ve alt s n r 1 dir. 1. b) f:r R ; f(x)= -3 x +1 fonksiyonunun üstten s n rl ol unu gösteriniz. Çözüm : x R için x 0-3 x 0-3 x +1 1 f(x) 1 fonksiyon üstten s n rl ve üst s n r 1 dir. 88

5 . a) f: [0, 5] R ; f(x) = x -5x +4 fonksiyonunun s n rl ol unu gösteriniz. Çözüm : f:(x) = x -5x +4 = (x - 5 ) (x - 5 ) x 0, 5 için f(0) = f(5) = 4 ol undan f(x) = (x - 5 ) parabolünün tepe noktas fonksiyonun minumum noktas d r. -9/4 f(x) 4 f fonksiyonu s n rl d r.. b) f:r R ; f(x) = 4+3. Sinx fonksiyonunun s n rl ol unu gösteriniz. Çözüm : x R için -1 Sinx 1-3 Sinx Sinx 7 1 f(x) 7 f s n rl d r. 3. a) f:r R ; f(x) = x -x +1 fonksiyonunun alttan s n rl ol unu gösteriniz. Çözüm : f(x) = (x-1) ; x R için (x-1) 0 f fonksiyonu alttan s n rl d r. 3. b) f: [-1, 3] R ; f(x) = e x fonksiyonunun s n rl olup olmad n bulunuz. Çözüm : f ' (x) = e x >0 ol undan f artan bir fonksiyonr. x -1, 3 için e - < f(x) < e 6 f s n rl d r. 89

6 NTEGRAL ALMA YÖNTEMLER I. De iflken De ifltirme Yöntemi Örnekler : 1. (5x +3x+8) 15.(10x+3) integralini bulunuz. 5x +3x+8 = u diyelim. (10x+3) = (5x +3x+8) 15 (10x+3) = u 15 = u c' u = (5x +3x+8) c '. Sin5x. Cosx =? Sinx = u diyelim. Sin 5 x. Cosx = 1 6 Sin6 x+c ' Cosx = u 5 = u6 6 + c' = 3. x x -1 =? -1 +x = u diyelim. x = x x -1 = u = ln u +c = ln x -1 +c 4. e x x =? x 3 +1 = u diyelim. 3x = e x3 +1.3x = e u = e u +c= e x3 +1 +c' 90

7 5. 8x 1-16x 4 =? 4x = u diyelim. 8x = 8x 1-(4x ) = = Arc sinu +c' 1-u = Arc sin (4x )+c' 6. 6x 9x 4 +4 =? 3x = u diyelim. 6x = u +1 = Arctg u+c' = Arctg (3x )+c 1 7. x +4x +5 = (x+) +1 =? x+ = u diyelim. = (x+) +1 = u = Arctg u+c' +1 = Arctg (x+) +c' 8. =? a -u u = a sin t diyelim. = a cost dt = a cost dt a -u a -a Sin t = a Cost dt a Cost = t+c ' = Arc Sin u a + c' dir. u = a sin t sint = u a t = Arc sin u a 91

8 9 4x. x +5 =? x +5=u, = 4x 4x x +5 = u = u 1/ = 3 u 3 +c = 3 (x +5) 3 +c ' 10. Sin x =?, cos x =? Sin x = 1-Cosx Cos x = 1+Cosx Sin x = 1-Cos x = 1 (1- Cosx) x =u = = 1 Cosu = 1 Sin x = 1-1 Cosx = 1 x - 1 Sinx + c' 4 Cos x = Cosx +1 = 1 Cosx + 1 = 1 4 Sinx + 1 x +c' 9

9 11. Sin 4 x Cos 3 x =? Sin 4 x Cos 3 x = Sin 4 x. Cos x. Cos x = Sin 4 x (1-Sin x) Cos x = Sin 4 x Cos - Sin 6 x Cosx Sinx = u diyelim Cosx = = u 4 - u 6 = u5 u + u7 7 +c' = 1 5 Sin5 x Sin7 x +c ' 1. tgx = Sinx =? Cosx Cosx = u - sinx = Sinx Cosx = - u = - ln u +c ' = -ln Cosx +c ' 13. Cotgx = Cosx Sinx ; Sinx = u Cosx = Cosx Sinx = u = ln u +c ' = ln Sinx +c ' 93

10 14. Arctgx 1+x =? Arctg x = u = 1+x Arctgx = u = u 1+x +c' = (Arctgx) +c 15. Arc Sinx 1-x =? arcsinx = u 1-x = ; ArcSinx 1-x = u = 1 u +c ' = 1 (ArcSinx) +c ' 16. (x+3).sin (x +6x+1) = 1 (4x+6) Sin (x +6x+) x + 6x+1 = u (4x+6) = (x+3) = = 1 Sinu. = Cos u + c' = - 1 Cos (x +6x+1) +c ' 17. e Sinx. Cosx =? Sinx = u Cosx = e Sinx.Cosx = e u = e u + c = e sinx +c ' 18. (lnx) x = u = u3 3 +c' = (lnx)3 +c 3 ' lnx = u 1 x = 94

11 19. Sin 4 x =? Cos x = 1+Cosx (Sin x) = ( 1-Cosx ) = 1-Cosx + Cos x 4 = Cosx Cos x = Cosx (1+Cos4x) = Cosx Cos4x = Cosx Cos4x Sin 4 x = Cosx Cos4x = Cos x Cos 4x = 1 4 x Sinx + 1 Sin 4x + c' x.e 3x + =? 3x + = u 6x = 6x. e 3x + = e u = e u +c ' =e 3x + +c ' 1. Cosx+e x Sinx+e x =? Sinx + e x = u (Cosx + e x ) = Cosx+e x Sinx+e x = ln Sinx+ex +c 95

12 . e x 1+e x =? u = e x = e x e x 1+(e x ) = 1+u = Arctgu + c = Arctg ex +c ' 3. Cos 4 x. Sin 3 x = Cos 4 x. (1-Cos x) Sinx = Cos 4 x Sinx - Cos 6 xsinx = - u 4 + u 6 Cosx = u -Sinx = = - u5 5 + u7 +c 7 ' = - Cos 5 x 5 + Cos 7 x 7 + c ' 4. Sin 6 x. Cos 5 x = Sin 6 x (1-Sin x). Cosx = Sin 6 x. (1-Sin x + Sin 4 x) Cosx Sinx = u Cosx = = u 6 - u 8 + u 10 = u7 7-9 u9 + u c' Sin 7 x 7-9 Sin9 x Sin11 x + c ' 96

13 5. tg3x = Sin3x Cos3x = -1 3 u = ln u Cos3x = u -3Sin3x = = - 1 ln Cos3x +c' 3 6. x +6x+10 = (x+3) +1 = u +1 4 = x+3 = = Arctg u +c ' = Arctg (x+3) +c ' 7. 1-(x+) = x+ = u = = Arc Sin u+c = Arc Sin(x+) + c ' dir. 1-u 8. tgx Cos x = u = u + c = 1 tg x+c ' tgx = u 1 Cos = x 9. e x. Sine x. Cose x = u = u +c Sine x = u e x. Cose x = e x Sine x Cos x e = (Sinex ) + c ' 97

14 30. Sin 3 x = Sin x. Sinx = (1-Cos x) Sinx Cosx = u ise - Sinx = = Sinx - Cos x Sinx = - Cosx + Cos 3 x 3 +c ' = - Cosx + Cos x.cosx 3 +c ' = - Cosx + (1- Sin x) Cosx 3 +c ' = -Sin x Cosx - Cosx+ c ' (x+1). x +x+5 = (x+1) (x+1) +4 (x+1) +4 = u (x+1) = = 1 u = 1 u 1/ = 1 u 3 3 +c ' = 1 3 u3 +c ' = 1 3 (x+1) +4 +c ' 3. e x +1 e x = e x + e -x -x = u - = ise e -x = - e u e x -e -x +c ' =e x - 1 e x + c'. K smi ntegralleme Yöntemi = - e u +c' = - e -x + c' f, g bir [a, b] aral nda türevli iki fonksiyon olsun. (f.g)' = f '.g+g'.f f.g' = (f.g)' - f '.g f(x). g' (x) = f(x). g(x) - g(x). f ' (x) f(x) = u, g(x) = V dersek udv = u.v - v * 98

15 Örnekler : 1. xe x ifadesini hesaplay n z. Çözüm : x.e x = x.e x - e x = xe x -e x +c ' u = x e x. = dv = e x = v * formülünde yerine koyal m. x e x = x. e x - e x =xe x -e x +c '. x.sinx ifadesini hesaplay n z. Çözüm : x.sinx = -x.cosx + Cosx = -x Cosx + Sinx + c ' u = x ; Sinx = dv = ; -Cosx = v 3. x.lnx ifadesini hesaplay n z. Çözüm : x.lnx = 1 x lnx - 1 x. 1 x = 1 x lnx x +c ' u = lnx ; dv = x = 1 x ; v = x 99

16 4. e x.cosx ifadesini hesaplay n z. Çözüm : u = e x ; dv = Cosx = e x ; v = Sinx e x. Cosx = e x. Sinx - e x. Sinx =e x. Sinx - e x. Cosx + e x. Cosx e x. Cosx = e x (Sinx - Cosx) + c ' e x. Cosx = 1 ex (Sinx - Cosx) + c ' 5. ln x ifadesini hesaplay n z. Çözüm : ln x = x. ln x -.x. 1 x = x. lnx - = x ln x - x + c' u = lnx ; dv = 1 1 x = ; v = x 6. Arctgx ifadesini hesaplay n z. Çözüm : Arctgx = x.arctg x - x. 1 1+x u = Arctg x ; dv = 1 = x.arctgx - 1 x x +1 = 1+x ; v = x = x.arctgx - 1 ln x +1 +c ' = x.arctgx - 1 ln(x +1)+c ' 100

17 7. Sinx. Cosx ifadesini hesaplay n z. Çözüm : u = Sinx = Cosx u. dv = u.v - dv = Cosx v = Sinx v Sinx Cosx = Sin x- Sinx Cosx Sinx Cosx = Sin x Sinx Cosx = 1 Sin x + c' 8. x Cosx ifadesini hesaplay n z. Çözüm : u = x = x x Sinx - dv = Cosx v = Sinx Sinx. x x Sinx- x Sinx = x Sinx -x Cosx + Sinx + c' 101

18 9. x e x ifadesini hesaplay n z. Çözüm : u = x = x dv = e x v = e x udv = uv - v k smi integrasyondan, x e x = x e x - e x.x =x e x - e x.x xe x integrali için yine k smi integrasyon uygulayal m. u = x dv = e x = v = e x xe x = xe x - e x = xe x -e x + c fiimdi yerine yazal m. x e x = x e x - (xe x -e x + c') =x e x -x e x + e x + c' olarak bulunur. 10

19 BAS T FONKS YONLARIN NTEGRALLER VE ÖRNEKLER 1. a = ax+c (a R) a) = x+c'. x n = xn+1 n+1 +c' (n -1) a) 3 x = 3. x+1 +c = 3x c = x 3 +c' b) 4x = 4 x3 3 +c' 3. 1 x = ln x +c' ; 1 u = ln u +c' a) Cosx Sinx = u = ln Sinx +c' u = Sinx = Cosx 103

20 4. e x =e x +c' ; e u = e u +c' a) x e x = 1 e u = 1 ex +c' u = x = x = x b) Sinx e Cosx = - e u = -e Cosx +c' 5. u = Cosx = - Sinx - = Sinx a x = 1 lna ax +c' ; a u = 1 ln u a u +c' a) x = 1 ln x +c' 3 x +. x = a u = 1 ln x + 3 x + +c' u = x + = x 6. Sinx = - Cosx +c ; Sin u = - Cos u + c' a) x Sinx = Sin u. = 1 Sin u u = x = x = x = -1 Cos x +c' 104

21 b) Sin3 x = 1 3 Sin u = Cos 3x + c' u = 3x = 3 3 = 7. Cosx = Sinx +c' ; Cos u = Sin u + c' a) Cos x = Cos u. = 1 Cos u u = x = = = 1 Sin x +c' b) x Cos x 3 = Cos u. 3 = 1 3 Cos u u = x 3 = 3x 3 =x = 1 3 Sin x3 +c' 8. Cos x = Sec x = tanx +c' ; Sec u = tan u +c' a) Sec x = Sec u. = 1 Sec u u = x = 1 tan x +c' = = 105

22 9. Sinx = Cosec x = -Cotx+c' ; Cosecu = -Cot u+c' a) Cosec 3x = Cosec u. 3 = 1 3 Cosec u. u = 3x = 3 3 = = -1 3 Cot 3x +c' x = Arc tanx +c' ; Arc tan u+c' 1+u a) 1+9x = 1+(3x) = /3 1+u = u u = 3x = 3 3 = = 1 3 arc tan3x+c' 11. tanx = -ln Cosx +c' ; tan u = -ln Cosu +c' a) tanx = 1 tan u. = - 1 ln Cosx +c u = x = 106

23 1. Cotx = ln Sinx +c' ; Cot u = ln Sinu +c' a) Cot 3x = 1 3 Cot u = 1 3 ln Sin3x +c' u = 3x 3 = 13. = arc Sinx+c' ; = arc Sinu+c' 1-x 1-u a) = / 1-4x 1-u = 1 arc Sinx +c' u = 4x =(x) u = x = = 14. u +a = 1 a arc tan u a +c' a) x +9 = 1 3 arc tan x 3 +c' u =x u = x a = 9 a = 3 107

24 15. u -a = 1 a log u-a u+a +c (E er u >a ) u -a = 1 log a-u a a+u +c (E er u < a ) a) x 4x -9 = 1.3 u = 4x u = x a = 9 a = 3 u < a 4 < 9 log 3-x 3+x +c' 16. a -u = arc Sin u a +c' a) = arc Sinx +c' 1-x u =x ise u = x = a = 1 a = 1 b) 9-4x = arc Sin x 3 +c' u =4x ise u = x = a = 9 a = 3 108

25 Basit Kesirlere Ay rma Yöntemi RASYONEL FADELER N NTEGRAL P(x) = a 0 x 0 + a 1 x 1 + a x a n x n Q (x)= b 0 x 0 +b 1 x 1 +b x b m x m olmak üzere P(x) Q(x) rasyonel fonksiyon denir. biçimindeki fonksiyonlara P(x) fleklindeki fonksiyona rasyonel fonksiyon denir. Rasyonel fonksiyonda Q(x) paydaki polinomun derecesi paydadaki polinomun derecesinden küçük ise bu kesir basit kesirdir. E er paydaki polinomun derecesi paydadaki polinomun derecesinden büyük veya eflit ise, verilen kesrin pay ndaki polinom paydas ndaki polinoma bölünerek verilen fonksiyon bir polinom ile basit kesrin toplam fleklinde ifade edilir. Yani, d p(x) d Q(x) ise, P(x) Q(x) Örnek : = B(x) + K(x) Q(x) fleklinde yaz l r. x 3-4x +x+3 x -x- = x x -x- x 4 +5x 3 +8x +5x+1 x +3x+ =x +x+ x x +3x+ P(x) Q(x) = B(x) + K(x) Q(x) K(x) Q(x) integralinde B(x) in integrali kolayca al nabilir. in integralini almak için bir tak m basit kesirlerin toplam biçiminde yazmam z gerekir. Bu toplam T(x) ile gösterirsek Q(x) in çarpanlar n n rumuna göre : 109

26 I. Durum : Q(x) in çarpanlar aras nda (ax+b) gibi birinci dereceden çarpanlar varsa K(x) Q(x) Örnek : kesri A terimlerinin da l m fleklinde yaz l r. ax+b x (x-1) (x+1) ifadesini basit kesirlerine ay ral m. Çözüm : x (x-1) (x+1) = A x-1 (x+1) + B x+1 (x-1) = (A+B) x+ A-B (x-1) (x+1) x= (A+B) x+ A-B Belirsiz katsay lar teoremine göre (Belirsiz katsay lar teoremi iki polinomun eflit olabilmesi için ayn dereceli terimlerinin katsay lar eflit olmal d r. A+B = A+B = A-B = 0 A- B = A = A = 1 ve B = 1 dir. x (x-1) (x+1) = 1 x x+1 bulunur. II. Durum : Q(x) in çarpanlar aras nda (ax+b) m biçiminde olanlar varsa bunlar n her biri için T(x) toplam nda A 1 ax+b + A (ax+b) A m m olarak ifade edebilece imiz (ax+b) m - terim toplam bulunur. Örnek : Çözüm : x+1 (x-1) 3 ifadesini basit kesirlerine ay r. x+1 (x-1) 3 = A 1 x-1 (x-1) + A (x-1) (x-1) + A 3 (x-1) 3 (1) = 110 x+1 = (x -x+1) A 1 +A x-a +A 3 x+1 = A 1 x -A 1 x+a 1 +A x-a +A 3 x+1= A 1 x +(-A 1 +A )x+a 1 -A +A 3 A 1 =0, A -A 1 = 1 ; A 1 -A +A 3 = 1 A 1 = 0, A = 1, A 3 = x+1 (x-1) 3 = 0 x (x-1) + (x-1) 3 olarak basit kesirlere ayr l r.

27 III. Durum : Q(x) in çarpanlar aras nda diskriminant negatif olan her bir (ax +bx+c) çarpan için T(x) toplam nda bir tane Ax+B ax +bx+c Örnek : x+ (x+1) (x +x+5) Çözüm : x+ (x+1) (x +x+5) = A x+1 (x +x+5) x+ = Ax +Ax+5A+Bx +Bx+Cx+C + Bx+c x +x+5 (x+1) x+ = (A+B) x +(A+B+C) x+5a+c A+B = O C = 1 A+B+C = 1 A = 1 5 terimi bulunur. ifadesini basit kesirlerine ay r. 1-1 = 5 x x+1 x +x+5 5A+C = B = IV. Durum : Q(x) in çarpanlar aras nda bulan her bir (ax +bx+c) n çarpan için T(x) de, A 1 x+b 1 ax +bx +c + A x+b (ax +bx+c) A n x+b n (ax n toplam bulunur. +bx+c) Örnek : x +3 ifadesini basit kesirlerine ay r. (x +x+) Çözüm : x +3 (x +x+) = Ax+B x +x+ (x +x+) + Cx+D (x +x+) x +3 = Ax 3 +Ax +Ax+Bx +Bx+B+Cx+D x +3 = Ax 3 +(A+B)x +(A+B+C)x+(B+D) A = O A = O A+B = B = A+B+C = O C = - B+D = 3 D = -1 1 x +3 (x +x+) = x +x+ + -x-1 olarak basit kesirlerine ayr l r. (x +x+) 111

28 K(x) in derecesi Q(x) in derecesinden küçük olmak üzere örnekler verelim. K(x) Q(x) integraline Örnek : Çözüm : x 3 -x ifadesini hesaplay n z. x 3 -x = x(x -1) = x(x-1) (x+1) 1 x(x-1) (x+1) = A x (x -1) + B x-1 x(x+1) + C x+1 x(x-1) 1 = Ax -A+Bx +Bx+Cx -Cx 1 = (A+B+C) x +(B-C)x-A A+B+C = O A = -1 B-C = O B = 1 - A =1 C = 1 x 3 -x = - x + 1 x x+1 = lnx+ 1 ln x ln x+1 +c' = lnx+ln (x-1) 1. (x+1) 1 +c' Örnek : x (x+1) (x-) ifadesini hesaplay n z. Çöz üm : x (x+1) (x-) = A x+1 (x-) + B x- (x+1) (x-) + C (x-) (x+1) x = Ax - 4Ax+4A+Bx -Bx+Bx-B+Cx+C x = (A+B)x + (-B-4A+C) x+ (4A-B+C) 11

29 A+B = O A = - 9-4A-B+C = B = 9 4A-B+C = O C = 4 3 x (x+1) (x-) = - 9 x x (x-) = - 9 ln x ln x x- +c' = 9 ln x- x x- +c' TR GONOMETR K DE fiken DE fit RME KURALI A) ntegrad nda a -x Bulunan İntegalleri Bulma : çinde a -x den baflka köklü ifade bulunrmayan fonksiyonlar n integrallerini hesaplamak için x = a. Sinu ya da x = a. Cosu de iflken de ifltirmesi yap l r. (O 0 < u < 90 0 ) Örnek : 9 - x =? a = 9 ise a = 3 o halde, x = 3 Sinu buradan, = 3 Cosu olur. 9-x = 9- (3 Sinu) 3 Cosu = 3. 1-Sin u. 3 Cosu. = 9 Cos u. Cosu = 9 Cos u. 113

30 Çözüm : = 9 1+ Cos u = 9. 1 (1+ Cosu). = 9 (u + 1 Sin u) + c' = 9u Sinu + c' fiimdi u ve Sin u de erlerini bulal m. Sinu = Sinu. Cosu ol undan x = 3Sinu Sinu = x 3 buna uygun dik üçgen çizersek Sinu = Sinu. Cosu =. x 3. 9-x 3 = x 9-x 9 Sinu = x 3 ise u = Arc Sin x 3, u ve Sinu da yerine yazarsak, 9-x = 9 u Sinu + c' = 9 (ArcSin x 3 ) olarak bulunur. x 9-x ) + c' 9 B) ntegrad nda x -a Bulunan ntegalleri Bulma : çinde x -a den baflka köklü ifade bulunmayan fonksiyonlar n integralleri için x = a. Secu ya da x = a.cosecu defliken de ifltirmesi yap l r. Örnek : x -4 x =? 114

31 a = 4 ise a = x = Secu x = Cosu = Sinu Cos olur. u Buna göre verilen ifadede yerine yazal m. 4 Cos u -4 4 Cos u. Sinu Cos u = 4-4 Cos u Cos u. Cosu Sinu Cos u. 1-Cos u Cosu. Cosu Sinu Cos u = Sinu Cosu. Sinu Cosu. = tan u. = (tan u+1-1) = (tanu - u) +c' bulunur. fiimdi u ve tanu de erlerini bulal m. x = Cosu ise Cosu = x Bunu yapan dik üçgen çizilirse x -4 = tan u tanu = x -4, Cosu = x ise u = Arc Cos x fiimdi yerlerine yazal m. x -4 x = (tanu - u) + c' = x -4 - Arc Cos x + c' 115

32 C) ntegrad nda a +x Bulunan ntegalleri Bulma : çinde a +x den baflka köklü ifade bulunmayan fonksiyonlar n integralleri için x = a. tan u ya da x = a.cot u de iflken de ifltirmesi yap l r. Örnek : x. x +9 =? Çözüm : x = a.tan u ol una göre x = 3 tan u tan u = x 3 ve = 3 cos olur. u = x. x +9 = 3 Cos u 9. Sin u Cos u. 3 1 Cos u 3 Cos u (3tan u). (3tan u) +9 = = 3 Cos u. Cos 3 u 7 Sin u 3 Cos u 9 tan u 9 (tan u+1) 1 Cos u = 1 9 Cosu Sin u = 1 9 dt t = -1 9t + c' =- 1 9 sin u + c' Sin u = x x +9 yerine yazal m. x. x +9 = - x +9 9x + c' olarak bulunur. 116

33 ntegrad nda Sin x ve Cosx in Rasyonel fadeleri Bulunan ntegralleri Bulma: tan x =u de iflken de ifltirmesi yap l r. Daha sonra Sinx, Cosx ve in de u cinsinden de erlerini hesaplay n z. Dik üçgen yard m yla, Sin x = u 1+u ve Cos x = 1 1+u olur. Sinx = u 1+u Cos x = 1-u 1+u olur. (Yar m aç formülünden) u = tan x ise = Cos x 1 = 1+u olur. Örnek : 1 1+Sinx =? Çözüm : u = tan x ise Sinx = u 1+u = 1+u integralinde yerine yazarsak, 1+u 1+u +u. 1+u = (u+1) = - + c' olur. u+1 u = tan x ol undan = - tan x c' olur. 117

34 lkel Fonksiyon : [a,b] aral nda tan ml iki fonksiyon f ve F olsun. [a,b] nin her noktas nda F nin türevi varsa F' (x) = f(x) ise F fonksiyonuna, f nin ilkeli denir. Örnekler : Türevi f(x) ile verilen fonksiyonlar n ilkeli olan F(x) fonksiyonlar n hesaplay n z. f(x)= F(x)+c' 1. f(x) = 4x 3 ise F(x) =?. f(x) = Cosx ise F(x) = Sinx+c' f(x) = x e x x 3 = 4. x c' =x 4 +c ' f(x) = 1 ise F(x) = Arc Sinx +c' 1-x f(x) = a x F(x) = 1 lna.ax + c' yani a x = 1 lna.ax +c' -x F(x) = e x - x 3 + c' yani, xex = e x - x 3 + c' f(x) = -1 x F(x) = 1 x + c', yani -1 x = - 1 x = 1 x + c' f(x)= -1 F(x) =-arc Sinx+c' yani - 1 =-Arc Sinx+c' 1-x 1-x 8. f(x) = 1 Cos x F(x) = tan x + c' yani 1 = tanx + c' Cosx 9. f(x)=sinx Cosx F(x) = 1 Sin x +c' yani Sinx.Cosx = 1 Sin x +c' 10. f(x) =5 Cos(5x+1) F(x) = Sin (5x+1)+c' yani 5.Cos (5x+1)=Sin (5x+1)+c' 11. f(x) = - 1 Sin x F(x) = Cotx +c' yani - 1 Sin = Cotx + c' x 118

35 Örnekler : E R ALTINDA KALAN BÖLGEN N ALANI 1. f:r R ; f(x) = x do rusu x = 0, x=1 do rular ve x-ekseni ile s n rlanan bölgenin alan n bulunuz. I. Ad m : [0, 1] aral n 4 eflit parçaya bölelim. fiekildeki dikdörtgenlerin alanlar toplam A 1 (T) ile gösterelim. A 1 (T) = = 3 8 dir. fiekildeki dikdörtgenlerin alanlar toplam n U 1 (T) ile gösterelim. U 1 (T) = = 5 8 dir. 119

36 A 1 (T) U 1 (T) dir. II. Ad m : [0,1] aral n 8 eflit parçaya bölelim. A (T) = = 7 16 U (T) = = 9 16 A 1 (T) A (T) ve U 1 (T) U (T) Her iki ad mda da A 1 (T), A (T) arad m z bölgenin alan ndan daha küçük, U 1 (T), U (T) den daha büyük ol u görülür. 10

37 III. Ad mda : A 1 (T) A (T) A 3 (T) U 1 (T) U (T) U 3 (T) olacakt r. n. Ad m : [0, 1] aral n n eflit parçaya bölelim. U n (T) ve A n (T) yi bulal m. A n (T) = 1 n. 1 n + 1 n. n + 1 n. 3 n n. (n-3) n 1 n [ (n-3) + (n-) + (n-1)] = 1 n. (n-1).n A n (T) = n-1 n + 1 n. (n-1) n = n-1 n 11

38 U n (T) = 1 n. 1 n + 1 n. n + 1 n. 3 n n (n-3) n + 1 n. (n-) n + 1 n (n-1) n + 1 n. 1 = 1 n (n-3) + (n-) + (n-1)+n = 1 n. (n+1).n = n+1 n U n (T) = n+1 n Böylece A 1 (T) A (T) A 3 (T)... A n (T), n büyüdükçe artan bir alanlar dizisi. U 1 (T) U (T) U 3 (T)... U n (T), n büyüdükçe azalan bir alanlar dizisi elde edilir. Lim A n (T) = Lim n-1 n = 1 Lim U n (T) = Lim n+1 n = 1 bulunur. A n (T) alt toplamlar ile U n (T) üst toplamlar n n yaklaflt ortak limit olan 1/ say s, arad m z alan verir.. f:r R, f(x) = x e risi, x = 0, x = 4 do rular ve x-ekseni ile s n rlanan bölgenin alan n bulunuz. [0, 4] aral n n - eflit parçaya bölelim. A n (T) = 4 n. f 4 n + 4 n.f.4 n + 4 n f 3.4 n n f (n-1 n 4 = 4 n (4 n ) + 4 n (8 n ) + 4 n (1 n ) n [4.(n-1) n ] = 43 n 3 [ (n-1) ] = 64 6 (n-1). n (n-1) n 3 = 64 6.n3-3n +n n 3 1 Hat rlatma : n = n(n+1).(n+1) 6

39 U n (T) = 4 n. f ( 4 n ) + 4 n.f.4 n + 4 n f 3.4 n +... n 4 f n.4 n = 4 n. ( 4 n ) + 4 n (.4 n ) + 4 n (3.4 n ) n (n.4 n ) = 4 3 n 3 [ n ] = n3 +3n +4 n 3 [0, 4] aral n n eflit parçaya bölerek alt toplam ve üst toplam bulk. Lim A n (T) = Lim n3 + 3n +n n 3 = 64 6 Lim n 3 +3n +n n 3 = = 18 6 = 64 3 Lim U n (T) = Lim n3 +3n +4 n 3 = 64 6 Lim n 3 + 3n +4 n = 64 3 S = Lim A n (T) = U n (T) = 64 3 birim bulunur. Lim 13

40 3. f : R ; f(x) = x 3 e risinin x = 0 dan x = 1 e kadar, alt nda kalan bölgenin alan n bulal m. [0, 1] aral n n- eflit alt aral a bölelim. A n (T) = 1 n. f 1 n + 1 n f n + 1 n f 3 n n. f n-1 n = 1 n.(1 n ) n ( n ) n (3 n ) n. (n-1 n )3 = 1 n 4 [ (n-1) ] = 1 n 4 [ (n-1)] = 1 n 4 [(n-1).n ] = n4 -n 3 +n 4n 4 A n (T) = n4 -n 3 +n 4n 4 bulunur. U n (T) = 1 n f 1 n + 1 n f n + 1 n f 3 n n f n n = 1 n (1 n )3 + 1 n f( n )3 + 1 n f(3 n ) n (n n )3 = 1 n 4 [ n 3 ] = 1 n 4 [ n] = 1 n ( n(n+1) ) 4 = n (n+1) 4n 4 = n4 +n 3 +n 4n 4 U n (T) = n4 +n 3 +n 4n 4 14

41 Lim A n Lim U n (T) = Lim n 4 -n 3 +n 4n 4 (T) = Lim n 4 +n 3 +n 4n 4 = 1 4 = 1 4 O hâlde verilen bölgenin alan S = 1 4 br dir. Genel olarak : f(x) fonksiyonunun x=a dan x=b ye kadar e ri alt nda kalan alan n bulmak için [a, b] aral n a = x 0, x 1, x,..., x n = b noktalar ile n tane alt aral a ay r yoruz. Tabanlar bu alt aral klar olan alt ve üst dikdörtgenlerin alanlar toplamlar n A n (T) = f(x 0 ). (x 1 -x 0 ) + f(x 1 ). (x - x 1 ) f(x i ) (x i+1 - x i )+... n-1 f(x n-1 ). (x n - xn-1) = f(x i ). ( x i+1 -x i ) i=0 U n (T) = f(x 1 ). (x 1 -x 0 ) + f(x ). (x - x 1 ) f(x i ) (x i+1 - x i )+... n + f(x n ) (x n - xn-1) = f(x i ). ( x i -x i-1 ) olarak yazar z. i =1 A n (T), U n (T)) nin limitleri varsa ve birbirlerine eflitse bu ortak limit, fonksiyonunun e ri alt nda kalan alan na eflittir. m i = E.B.A.S. {f(x) x [x i-1,x i ]} M i = E.K.Ü.S f(x) x [x i-1,x i ] E.B.A.S : en büyük alt s n r. E.K.Ü.S : En küçük üst s n r. D x i = x i -x i-1 denirse alt ve üst toplamlar. A n (T) = n i=1 m i x i,u n (T) = n i=1 M i x i dir. f : [a,b] R s n rl bir fonksiyon olsun. Alt ve üst toplamlar n dizisi ayn bir S limitine yak nsarlarsa yani Lim (A n (T) = Lim (U n (T))= f, fonksiyonunun integrali al nabilir denir. S'ye f'nin, [a,b] ar l nda a' dan b'ye belirli integrali ad verilir. b b S = f veya S= f(x) biçiminde gösterilir. S ise a a 15

42 E er Örnekler : 1. Lim A n (T) Lim U n Yani, fonksiyonunun bu aral kta integrali yoktur. (T) ise fonksiyonunun [a,b] de integrali al namaz. f : R [0, 1] ; f(x) = Sinx fonksiyonunun x = 0 dan x = π ye kadar e ri alt nda kalan alan n yaklafl k de erini bulunuz. Çözüm : 0, π aral n iki eflit alt aral a ay ral m. R (T) = π 4. f(π 6 ) + π 4. f(π 3 ) = π 4. Sin π 6 + π 4. Sin π 3 = π 4 Aral k say s n artt rd n z zaman bul umuz toplam arad m z alana daha çok yaklafl r = (1+ 3 )π 8 bulunur. f : R R ; f(x) = x fonksiyonunun e risi, x = 1, x = 4 do rular ve 4 x- ekseni ile s n rlanan bölgenin alan n bulunuz. Çözüm : 16

43 [1, 4] aral n [1, ], [, 3], [3, 4] alt aral klar na ayr lan ve bu aral klarda 3/, 7/3, 11/3 say lar n gelifli güzel seçelim. R(T) = f(3/). (-1) + f( 7 3 ). (3-) + f(11 3 ) (4-3) = = 761 5, bulunur. 144 f fonksiyonu [a, b] aral nda integrali al nabilen bir fonksiyon olsun. [a, b] aral n a = x 0, x 1, x,..., x i,..., x n = b noktalar ile n tane alt aral a ay ral m. alt aral k [x i-1, x i ] ve t i [x i-1, x i ] ol una göre R n (T) = f(t1).(x 1 -x 0 ) + f(t ) (x -x 1 )+...+f(ti) (x i -x i-1 )+...+f(tn) (x n-x n-1 )= n f(ti) (x i -x i-1 ) toplam na f' nin [a,b] aral na ait bir Riemann toplam denir. i=1 Riemann toplam n n U n (T) ve A n (T) üst ve alt toplamlar dizisi ile ilgisi: n n i=1 A n (T) = m i xi, A n (T) = M i x i idi. i=1 fonksiyonun [x i-1,x 1 ] aral ndaki EBAS ve EKÜS s ras yla m i ve M i ol undan m i f(t i ) M i ba nt s sa lan r. x i -x i-1 = x i > 0 ol undan m i x i f(t i ) xi M i. x i ve n i=1 m i xi n i=1 f(t i ) x i n i=1 M i x i elde edilir. A n (T) R n (T) U n (T) 0 R n (T) - A n (T) U n (T) - A n (T) biçiminde yaz labilir. Lim (R n (T)- A n (T)) Lim (U n (T) - A n (T)) f nin [a,b] aral nda integrali al nabiliyorsa Lim R n (T) = Lim A n (T) = Lim U n (T) a b Lim f(x) dir. ( U n (T)-A n (T)) = 0 d r. 17

44 BEL RL NTEGRAL f : [a, b] R s n rl bir fonksiyon olsun. [a, b] yi a = x 0, x 1, x,..., x n = b noktalar ile n tane alt aral a bölelim. R n (T)Riemann toplam S gibi bir limite yak n s yorsa yani n Lim R n (T) = Lim f(t i ). xi = S ise f fonksiyonunun [a, b] i=1 aral nda integrali al nabilir, ve S'ye f nin [a, b] aral nda a dan b'ye b belirli integrali denir. f(x) ile gösterilir. a 1. f fonksiyonu [a,b] aral nda s n rl de ilse bu aral kta integrali al namaz.. f fonksiyonu [a, b] aral nda s n rl ve bu aral kta süreksiz ol u noktalar n say s sonlu ise f fonksuyonu [a, b] aral nda integrallenebilirdir. 3. f fonksiyonu [a, b] aral nda s n rl ve bu aral kta süreksiz ol u noktalar n say s sonlu de il ise f fonksiyonu [a, b] aral nda integrallenemez. Örnekler : π 1. Cosx ; Cosx fonksiyonu [0, π] aral nda sürekli ol undan integrallenebilir x ; f(x) = x 1 fonksiyonu [0, ] aral nda Lim f(x) = Lim 1 x = tan ms z ol undan [0, 1] de s n rl de ildir. Fonksiyonun bu aral kta integrali yoktur. π 3. -π Sinx x ; f(x) = Sinx x fonksiyonu [-π, π] aral nda f(x) fonksiyonunun [-π, π] aral nda süreksiz ol u noktalar n say s sonlu ol undan integrali al nabilir. 18

45 4 4. [ x ] ; f(x) = [ x ] fonksiyonunu [-5, 4] aral nda -5, -4, -3, -, -1, -5 0, 1,, 3, 4 noktalar nda (9 -tane) sürekli de ildir. Fakat bu aral kta s n rl ol undan integrali vard r. Örnekler : Afla daki integrallerin var olup olmad klar n araflt ral m. π 1. π Cotg x ; f(x) = Cotgx fonksiyonunu [ π, π] aral nda s n rl olmad ndan integrali yoktur. Lim x π Cotgx = tan ms zd r.. π 3 tanx x ; f(x) = tanx x fonksiyonu [- π 3, π 3 ] aral nda s n rl ve sürekli - π 3 ol undan integrali vard r x -1 ; f(x) = x 1 fonksiyonu [-1, 1] x = 0 noktas nda süreksizdir. Süreksiz ol u nokta say s sonlu ol undan integrallenebilir (x - x+5) ; f(x) = x - x+5 = (x-1) +3 fonksiyonu [0, ] da sürekli ve s n rl ol undan integrallenebilir. 19

46 Teorem : f ve g fonksiyonlar [a, b] aral nda integrallenebilir iki fonksiyon ve k R verilsin. b b b a) (f(x) + g(x) = f(x) + g (x) a a a b b b) k f(x) = k f(x) (k R) a a b c b c) a f(x) = a f(x) + f(x), c [a, b] c d) b f(x) = - a f(x) a b e) a f(x) = 0 -a f) x [a, b] için f(x) g(x) a b f(x) b a g(x) 130

47 I. Temel Teorem : f, [a, b] de sürekli ve F, [a, b] de F(x) = F(t) dt ile tan mlanm fl ise, [a,b] de F'nin türevi vard r ve x [a, b] için F ' (x) = f(x) dir. F (x) = f(t) dt integrali, türevi f(x)'e eflit olan bir F(x) fonksiyonur. a x F fonksiyonuna f'nin ilkel fonksiyonu; F'yi bulmak için yap lan iflleme f'nin belirsiz integralini alma ifllemi denir. a b. Temel Teorem : f, a,b de sürekli bir fonksiyon, F(x), f(x) in bir ilkeli yani F ' = f(x) ise b a f(x) = F(b) -F (a) dir. 131