ÇOKGENSEL BÖLGELERİN ALANI

Transkript

1 ÇOKGENSEL BÖLGELERİN ALANI Çevresi cm. olan bir üçgensel bölgenin alanı en çok kaç cm olabilir? UYARI:Çevreleri sabit üçgensel bölgelerden alanı en büyük olan, eşkenar üçgendir. a 3 a=4, ABC)= 4 3 cm 4 Kenar uzunlukları tamsayı ve çevresi 8 br. olan üçgensel bölgenin alanı kaç br. dir? Kenar uzunlukları: a=b=3, c= olmalıdır. ABC)= u ( u a)( u b)( u c) 4... ABC ) b. c.sin A a. c.sin B a. b. sin C a. b. c ABC ) uu au bu c = u.r 4. R A A ABC AB AC ADE AD AE - 7 -

2 Bir üçgende her kenarortay, üçgeni alanları eşit iki bölgeye ayırır. Bir üçgende üç kenarortay, üçgeni alanları eşit altı bölgeye ayırır. Bir üçgende üç orta taban, üçgeni alanları eşit dört bölgeye ayırır. Yükseklikleri eşit üçgensel bölgelerin alanlarının oranı, tabanlarının oranına eşittir. Üçgenin iç bölgesindeki her hangi bir P noktasından kenarlara paraleller çizildiğinde: A ABC S S dir. S3 Tabanları aynı üçgensel bölgelerin alanları oranı, yüksekliklerinin oranına eşittir. Benzer üçgensel bölgelerin alanlarının oranı, benzerlik oranının karesine eşittir. Herhangi bir P[AC] için : BD DC ve AK // PD alınırsa A dir. ABKP APKC AABC BC = CD, DA = AE, EB = BF, DEF)=8.S ABC)=ACD)=S BDA)=BAE)=.S DEB)=DBF)=4.S

3 Pisagor teo. BC =6 +8, BC =0 b. c 8.6 ABC)= 4 ABC)=u.r=.r=4, r= veya r=u-a=-0= a. r 0. BIC)= 0.YOL: BIC ) CIA) AIB) a b c BIC ) 4, BIC)=0 0 4 ABC ) u Çevresi 4 cm. olan bir ikizkenar dik üçgenin alanı kaç cm dir? Alanı sayıca çevresine eşit olan üçgenin içteğet çemberinin yarıçapı kaç birimdir? ABC)=u.r, Ç(ABC)=u u.r=.u, r= Kenar uzunlukları, 3 ve 0 birim olan üçgensel bölgenin alanı kaç birim karedir? ABC ) u( u a)( u b)( u c) =66 br..9. r yarıçaplı bir çemberin dışına, kenarları bu çembere teğet olan bir üçgen çiziliyor. Üçgenin çevresi Ç cm. ve alanı A cm ise A Ç oranı kaçtır? Ç=u ve A=u.r olduğundan; Ç u A u. r r a=c=x dersek, b=x olur. (Pisagor teo.) x+x+x =x(+ )=4 4 x= ( ) x. x [( )] ABC)= 4(3 ) PDB PKA ve TEC TFA (AKA) ABC)=KDEF)=6.0=

4 ABD ve ABC de Pisagor teo. 5 = + BD, BD =9 0 = + BC, BC =6 DC = BC - BD =6-9=7 ADC)= DC. AB = 7.=4 PBE FBA ve PBD FBC (KAK) benzerliklerinden; PE BP PD FA BF FC olur. PD =. PE ve BPD)= DCFP)=3.BPD)=3.=6 [BP] çizildiğinde; AE = EB olduğundan, PAE)=PEB)= BD = DC olduğundan, PBD)=PDC)=8 PEBD)=S=PEB)+PBD)=+8=0 BEC, 30,60,90 dik üçgeni. BC =. EC ACD, 30,60,90 dik üçgeni. AC =. DC ABC)= BC. AC.sin 60 o = =.. EC.. DC.sin 60 o = =. EC. DC.sin 60 o DEC)= EC. DC.sin 60 o =4 ABC)=4.DEC)=4.4=96 S=. S.S

5 BED DFC (AA) DC =3. BD olduğundan; DFC)=9.BED)=9.S AE = DF =3. BE olduğundan; DAE)=3.DEB) DEAF)=.DAE)=6.S ABC)=BED)+DEAF)+DFC) =S+6.S+9.S=6.S DEAF ) 6. S 3 ABC ) 6. S 8 ABC)= BC. AE =4 br DBC)= BC. AF =6 br EBC)= BC. EH = br ABE)+ECD)=ABC)+ABC)-.EBC) = 6 br Sabit bir MON açısı ve içinde sabit bir P noktası veriliyor. PMON paralelkenarının alanı cm iken P den geçen değişken doğrular ve açının kenarlarının oluşturduğu üçgensel bölgelerden alanı en küçük olan kaç cm dir? ABP, ACK, ADL, AET üçgenlerinin benzerliği (KAK) ve benzerlik oranlarından; ABP)=S dersek, BCKP)=3.S, CDLK)=5.S ve DETL)=7.S olur. AET)=S+3S+5S+7S=6S=80 S=5 CDLK)=5S=5.5=5 cm NPK)=S, MTP)=S ve PMON)=S dersek; S=. S.S = olduğundan, S +S toplamının en küçük olması için S =S olmalıdır. Bu durumda; S=.S =.S olacağından TOK)=4 cm UYARI: S =S olması için, TP = PK olmalıdır. TK//MN çizildiğinde, P orta nokta olur

6 ABD CAD (AA) ; AB CA r r 3 4, S S r r 9 6 [BF] çizilirse: AFE)=0.S EFB)=6.S BFD)=8.Ü DFC)=0.Ü ABD)=0.S+6.S+8.Ü=6.S+8.Ü=8.X ADC)=0.X=0.S+0.Ü AFC)=0.S AEC)=0.S+0.S=30.S= 0.8=90 ADF ABT ve AFE ATC (AA) benzerliklerinden; AF DF FE AT BT TC DF =. FE, ADF)=, DBTF)=6 S=3 EBDF)=ABD)-AEF)= =64-30=34 S.S nin en büyük değeri kaçtır? a S +S = Toplamları sabit iki sayının çarpımlarının en büyük olması için eşit olmaları gerekir. S =S = 3 S.S = 4.ABC)=9.DEPK)=9.4 ABC)=9-77 -

7 AG =. GH ve GH = GF FH = 3 AH, ATP ABC TP = 3 BC BC FH = TP olduğundan, AH = çıkar ki; ABC ikizkenar dik üçgendir. BC ABC)= BC. AH = 8 4 BC BC 4. 8 DEPT)= DE = 3 = UYARI: 4.ABC)=9.DEPT) APL, LKC eş ikizkenar dik üçgenler. AB =. PB BKLP)=44= için BK = AC = DF =4 DTM, NSF ikizkenar dik üçgen. DT = TS = SF =4 MNST)= TS =39 ARS, PQC ikizkenar dik üçgen. AR = RQ = QC AC = 6, RQ = PQRS)=( ) =8 CDF CBE (AKA) CF = CE, FCE ikizkenar dik üçgen. FCE)= FC =00 ve FC =0 ABCD)= DC =56 ve DC =6 FDC dik üçgeninde Pisagor teo. 0 = DF +6, DF = BE =

8 [DE] çizildiğinde; CBP) BP DBP ) olduğundan; CPE) PE DPE) DPE)= br dir. DAE) AE BAE) olduğundan; DEC) EC BEC) DAE) DAE) 4 ve 3 8 DAE)=/5, S=+/5=7/5 FBC üçgeninde, AD kesenine ait Menelaüs teo. CP.. ve CP 6 3 PF PF APC)= 7 6.AFC) AF = 3. AB ve AFC)= 3.ABC) APC)= 7.ABC)=BQA)=CRB) PQR)=ABC)-3.APC) =ABC)- 7 6 ABC)= 7 ABC) DAF, CBE ikizkenar dik üçgenler. AD = DF = EB = BC =k, EF =k PK, PK =k/ PT 3 PEF)= EF. PK k PEF) 4 ABCD) 6 k k. k. 4 k 4 ABCD) ADF)=ABE)= 4 ABCD) CFE)= 8 5. ABCD) 3. ABCD) AFE)=ABCD)- 8 8 =3 ABCD)=8-79 -

9 (Kenar uzunlukları tamsayı) EF//AB çizildiğinde; 0 =x +(y+z) =x +y +z +yz 5 =x +z ve y +yz=75, y(y+z)=75 y=7, z=9 ve x= olmalıdır. ABCDE)=BCDE)+ABE)= = 76 [EF] orta taban olup, EF =/ EF EM DC MC 4 DMC)=4.DME) DEC)= DMC)=4/5=CLB)=AKB)=DPA) PKLM)=S=4-4.4/5=4/5 ABCD) UYARI: S= 5 DEF DAC (AA) benzerliğinden; S EF EF, 3S AC ( ) S =S 3 olduğundan, S =.S dir. CE =. AE AC = ve AE =4 olur. EF =

10 OA OD OC OF 3 olduğundan, AD//CF ve ADFC bir yamuktur. AB = BC ve DE = EF olduğundan, ADFC) AEC)=DBF)= [AC] çizildiğinde; ADC) CAB) AGC)= ve CAE)= AGC)+CAE)=GAEC) =5+38+PQRS) ADC) CAB) ABCD)=50 89+PQRS)=50, PQRS)=6 Köşegenleri dik kesişen bir dörtgende köşegenlerin uzunlukları toplamı br. ise bu dörtgenin alanı en çok kaç birim kare olabilir? Köşegenleri dik kesişen dörtgenin alanı; köşegen uzunlukları çarpımının yarısına eşittir. Toplamları olan köşegenlerin çarpımlarının en büyük olması için 6 şar birim olması gerekir. e. f 6.6 ABCD)= 8 br AB =4, AC =3, BC =5, 3 +4 =5 olduğundan ABC dik üçgendir. ABC)= sin x=sin(80-x) olduğundan, EAF)=DBT)=GCH)=ABC)=6 DEFGHT)= =74 br - 8 -

11 FR//BC çizildiğinde; ABC)= TAS)=PBU)=CQR)=ABC)=6 6 ABUT)=5, BCQP)=49, ACRS)=36 PQRSTU)= = Benzerliklerden: RF BE FP PB 3 TF BC FK KB bulunur ki ;, ADE üçgeninde Pisagor teo. 4 + DE =5, DE =3 BD =p, BE =p+3, DC =k, EC =k-3 n A b. c BE. CE, 5=b.c-(p+3)(k-3) h =p.k, 6=p.k ve a.h=b.c, (p+k).4=b.c alınırsa; k=3-7p ve 6=p(3-7p) denkleminden 4 P= bulunur. yerlerine yazıldığında: 7 ABC)=400/7 BP =6x, PK =4x, KF =5x olur. BCF ) ABCD) CKF)= 3 BCF ) ABCD) BPE)= 5 0 PECK)= ABCD) ABCD) ABCD) ABCD) =

12 FD ye, AP, ET, CS ve BK dikmeleri çizildiğinde; CDE)+BAE)=FAD) EKFP)=AKB)+DPC)=6+5=4 DEF)=.BDF) olduğundan, ET =. BK =x BD = DC olduğundan, BK = CS =x DEF ) AF BD CE FB DC ABC ) AB. BC. CA EA CE EA ET CS x x, 3 AP ET AP x, 7x AP 3 APF BKF (AA) benzerliğinden; AF FB AP BK 7 3 ABC AB AC AP DE A A PDE

13 P, ABC üçgeni içinde herhangi bir nokta. PD BC, PE AC, PF AB PD = BC, PE = AC, PF = AB ise DEF)=3.ABC) dir. ABCD)=45 br ise PQRT)=?, KLMN)=? PQRT ) ABCD) 9 7 PQRT ) KLMN ) ABCD) 5 KLMN ) ALIŞTIRMA: r. s. t DEF ). ABC ) PQR) r s t r. s. t r. s r s. t s t. r t. ABC ) O noktası çevrelçember merkezi, H noktası diklik merkezi, BD = DC OD = DE AODH)=9 ise OD =? Y:

14 ÇOKGENLER Ard arda üçü doğrusal olmayan A,A,A 3,,A n noktaları için bu noktaları uç kabul eden doğru parçalarının birleşimine denir. Bir iç açısının ölçüsü 44 o çokgen kaç kenarlıdır? olan düzgün 80, 44 80, n 0 36 [A A ] [A A 3 ] [A n A ]=A A A n n kenarlı konveks bir çokgenin iç açılarının ölçüleri toplamı; (n-)80 o, dış açılarının ölçüleri toplamı; 360 o dir. n>4 olmak üzere n köşeli bir yıldızıl çokgenin köşelerindeki iç açıların ölçüleri toplamı (n-4)80 o dir. Bir dış açısının ölçüsü 40 o olan düzgün çokgen kaç kenarlıdır? , n 9 n 40 Bir iç açısının ölçüsü, bir dış açısının ölçüsünün üç katı olan düzgün çokgen kaç kenarlıdır? 3, 80, 4 80, n 8 kenarlı. 45 n m için, n kenarlı düzgün çokgenin bir iç açısının ölçüsü, m kenarlı düzgün çokgenin bir dış açısının ölçüsüne eşit ise n+m=? ( n ) n m, n mn. m n 4 m n n eşitliği, n=6 ve m=3 doğal sayıları için gerçeklenir. Düzgün altıgenin bir iç açısının ölçüsü, eşkenar üçgenin bir dış açısının ölçüsüne eşittir

15 Üç iç açısı geniş açı olan dışbükey çokgen en çok kaç kenarlıdır? (n-).80 0 < (n-3) n < 7 olmalıdır. En çok 6 kenarlı olabilir. Bir dörtgenin çizilebilmesi için ; kaç tane elemanı verilmelidir? n-3=.4-3=5 tane bağımsız elemanı verilmelidir. En az n-=4-= tanesi uzunluk, En çok n-=4-=3 tanesi açı olabilir. n kenarlı konveks bir çokgenin ; bir köşesinden geçen n-3 tane köşegeni vardır. Tüm köşegenlerinin sayısı n(n-3)/ dir. ÖRNEK; Köşegen sayısı, kenar sayısının iki katı olan çokgen kaç kenarlıdır. n( n 3). n n=7 kenarlı., n -7n=0, n(n-7)=0 n kenarlı konveks bir çokgenin çizilebilmesi için: n-3 tane bağımsız eleman gereklidir. Bunlardan en az n- tanesi uzunluk, en çok n- tanesi açı olmalıdır. Bir üçgenin çizilebilmesi için ; kaç tane elemanı verilmelidir? n-3=.3-3=3 tane bağımsız elemanı verilmelidir. En az n-=3-= tanesi uzunluk, En çok n-=3-= tanesi açı olabilir. AP = CF, BP = DE, PEF)=4 br ise ABCD)=? Verilenlerden ; PE = BD ve PF = AC ABCD)= AC BD EPF)= ABCD)=EPF)=4 br sin PE PF sin =4 br

16 P, K köşegenlerin orta noktaları, e, f köşegenlerin uzunlukları a +b +c +d =e +f +4x (Euler teo.)

17 PARALELKENAR: Köşegen uzunlukları 0 cm. ve 4 cm., bir kenarının uzunluğu 3 cm. olan paralelkenarın çevresi kaç cm.dir? 0 +4 =(3 +x ), x=3, 4x=5 Karşılıklı kenarları paralel olan dörtgene paralelkenar denir. AB // CD ve BC // AD ise ABCD k // dır.. YOL: ABC üçgeninde kenarortay teo: 4.5 =3 +x -, x=3, 4x=5 ABCD paralelkenarında: AB CD ve BC AD Karşılıklı kenarlar eştir. ma=mc ve mb=md Karşılıklı açılar eştir. Komşu açılar bütünler, AO OC ve BO OD dir. Köşegenler birbirini ortalar. Karşılıklı iki kenarı paralel ve eş olan dörtgen, Karşılıklı kenarları eş olan dörtgen, Karşılıklı açıları eş olan dörtgen, Köşegenleri birbirini ortalayan dörtgen Bir paralelkenardır. P,Q,R,S kenarların orta noktaları ise; PQRS paralelkenardır. Ç PQRS AC BD A PQRS A ABCD SDR) PBQ) PAS) RCQ) E ve F kenarların orta noktaları ise: DP PQ QB dir

18 AE EF EK EF EK ED, EB Y.G: DAE, CEB ikizkenar üçgen. DA = DE =x, CE = CB =x DC =x=, x=6 Y.G: ABC PAF (KAK) ' AA CC' BB' DD' FP = AC = DEC ve DAE ikizkenar üçgenleri benzer.(aa) x x, x +5x-36=0 Y.G: CBF, AEB, DEF ikizkenar üçgen. AE =6, CF =4, DE =0 (x-4)(x+9)=0, x=4-89 -

19 DİKDÖRTGEN: Bir açısı dik açı olan paralelkenara dikdörtgen denir. Tüm açılarının ölçüleri 90 o dir. Köşegen uzunlukları eşittir. e =f =a +b Küçük dikdörtgenin boyutlarına x ve y dersek, 4x=3y ve 7.x.y=756, x.y=08 olmaktadır. x=9 ve y= Çevre=4 cm.!!! Dışındaki bir P noktası içinde geçerlidir. Benzerlikten x x ve AK = BK = CK = DK PB = BK = KP eşitliklerinden; AK = KP AKP ikizkenar üçgen. makp=70 0, x=55 0 x -x-=0 5 x=

20 Ç(ABP)=Ç(APC)=Ç(BPC) ise BP =? E den, AD ye AP dikmesini çiz. ABPC dikdörtgen olmalıdır. BP =8 dir. APE dik üçgeninde pisagor teo. AB = AD ise x=? +6 =x, x= 0 AFE CFD (A.A) AE DC AF FC EF FD AC 3 AD, AF 3 AD AF. AC AD eşitliği sağlandığından 3 DF AC dir. x=90 o UYARI: PQ. AB = RS. AD.4= RS.8, RS = - 9 -

21 KARE: Komşu iki kenarının uzunlukları eşit olan dikdörtgene kare denir. AOE ikizkenar. ma =45 0, y=67,5 x+y=90 0, x=,5 Köşegenler dik olarak kesişirler ve kenarlarla 45 o lik açı yaparlar. A ABCD e a e a Y.G: AEP AED (KKK) meap= mead =,5, x=45 0 PEB üçgeninde; mb =45 0, x= =5 0 Y.G: EBC, EAD ikizkenar üçgen. mceb =mdea =75 0, x=

22 mcde =mced =67,5 CDE ikizkenar üçgen. CD = CE = ABC CPD (AKA) BC = DP =4= FB AB = PC =9 DF =3 Y.G: DCE FBE FAD (AA) mope =moep =67,5, OPE ikizkenar. OP = OE [OP], ACF de orta taban. OP = CDF DAE (KAK), mcpe =90 o DPF DAE (AA) a DPF ) DF 3 DAE) 0 DE a 3 a a DAE)=, DPF)= Kare şeklindeki bir bahçenin çevresi, yine kare şeklindeki başka bir bahçenin çevresinden m. fazla, alanı ise 05 m. fazladır. Büyük karenin bir kenarının uzunluğu kaç metredir? 4.a=4.b+, a-b=3 ; a =b +05 (a-b)(a+b)=05 3(a+b)=05, a+b=35 a=9, b=

23 Üç eş kareden oluşan dikdörtgende; BP CE çizilirse; Karenin köşegenleri çizildiğinde; BP ED PE AD mp =md =90 o olduğundan EBP ADE (KAK) dir. Öyleyse n=m olur. x=90-m, y=45+n, z=45 ; x+y+z=80 o AOB BFE (A.K.A), mobf =60 o, OBF eşkenar üçgen. AOF ikizkenar üçgen. maof =50 o moaf =5 o x= =30 0 AP = AD = DQ = PQ Q, C, E doğrusal. x=? DAP ikizkenar. mapd =madp =67,5 DAP DQP (KKK), mqdp =67,5, mqdc =45 QD = DC, QDC ikizkenar. mdqc =67,5 DEQ ikizkenar. mdeq =45 o ACH ikizkenar. mahc =75 0, y=30 0 ACP ikizkenar. mcpa =5 0, x=

24 CBE ABG (KAK), CD üzerinde, DP =4 alınırsa; mgab +mbec =x=90 o PDA EBA (KAK), PA = AE mpfa =mfap =90- olur ki, PFA ikizkenar. PF = PA = AE =0 APB BTC CQD (AKA) BT =7, PT =x=3, CT =4, CQ =7, QT =3 QTP ikizkenar dik üçgen. mapq =45 o AE = a, DE = 3 a, DAE de Öklit teo: EF = a EF, 3 ED

25 EŞKENAR DÖRTGEN: Komşu iki kenar uzunluğu eşit olan paralelkenara eşkenar dörtgen denir. Köşegenleri birbirini dik olarak ortalar. Köşegenleri açıortaydır. EDC, EKD ikizkenar üçgen. makc =90 0 CAK,,5, 67,5, 90 dik üçgeninde; CK =, AK =x dersek, x= mcaf =8 0, macb =36 0, x=54 0 AOB dik üçgeninde; AO =, OB =6, AB = OH =6., OH = 5 Y.G: EDC ve EKD ikizkenar üçgen. Y:35 o 44 dairenin alanı=. r

26 YAMUK: AB//CD Yalnız iki kenarı birbirine paralel olan dörtgene yamuk denir. a c h S EF. h r s p. q S p q x a. h a c y c. h a c OPQ, AB // PQ // CD AE ED, BF FC ise : [EF] Orta taban, EF // AB // CD a c a c EF KL [EF] orta taban ise; APKD)=PBCK) EK LF c EL KF a PQ a. c a c e +f =b +d +a.c (Euler teo.) S S x a c x

27 Y.G: BEC dik üçgen, Hipotenüse ait kenarortayı, orta taban ABCD yamuk, CD =6, DK =0, DE =5, AB =9 ise AK =?, DF =? DC DE DEC KEA (A.A) AK EK 6 AK 5 5 DFC KFB 6 DF 9 0 DF AK =8 (A.A) DF =8 BK =9 DC BK DF FK DE =x, CF =y dersek; Ç(EFCD)= EF +y+3+x, Ç(ABFE)=9+6-y+ EF +4-x Ç(EFCD)=Ç(ABFE) eşitliğinden x+y=8 bulunur. x 4, 3x=y olduğundan y 6 6 x= DE = DE EA =4- ve EA bulunur. CE//DB çizilirse; DPC BPE (A.A) DC EB DP PB 3 DC = AE, 5 DC =3 AB DAB)=50, ABCD)=30+50=80 ACE dik üçgeninde: AE =a+c=0 orta taban =

28 İKİZKENAR YAMUK: Paralel olmayan kenarları eşit uzunlukta olan yamuğa ikizkenar yamuk denir. Tabana komşu açılar eştir. e =f =a.c+b DEB dik üçgeninde; EB = DEA BFC (KKK) eşliğinden DEBF)=ABCD) ABCD)=9.=08 Köşegenleri dik olan ikizkenar yamukta : a c h, S h dir. AB ye, ED ve CF dikmeleri inildiğinde; AE = FB =8 olur. Çemberde teğet özelliğinden, AD = BC =7 dir. AH BD çizilirse ; BH =5 AED dik üçgeninde, DE =5=r, r=5/ ABD dik üçgeninde Öklit teo. x =5.0=00, x=0-99 -

29 DİK YAMUK: Paralel olmayan kenarlarından biri tabana dik olan yamuğa dik yamuk denir. Köşegenleri dik olan dik yamukta: AED)=BEC)=, 8.EDC)= AEDC)=8 ABCD)=8+.+8=50 h =a.c dir. DAB dik üçgeninde Öklit teo. AE =8., AE =4 ADC dik üçgeninde Öklit teo. 8 =4. EC, EC =6 h =a.c den; 6 = DC.4, DC =9 B den DC ye dikme inilirse; 6 +5 = BC, BC = 6 BEC dik üçgeninde, BC = +6, BC =

30 DÜZGÜN BEŞGEN: DÜZGÜN ALTIGEN: S 5 R a 5 5 R a, a 3 r, 3a S 3 a R 0 5, r R 6 5 4!!! Altı tane eşkenar üçgenden oluşan şekil bir düzgün altıgendir. Y.G: AEF ikizkenar üçgen. Karşılıklı kenarları paralel ve eşit olan altıgen veriliyor. Köşeleri altıgenin köşeleri ve alanı altıgenin alanının yarısı olan üçgen hangisidir? Y.G: Bir P noktası alınarak oluşturulacak PDEF, PDCB ve PBAF paralelkenarlarının [DF], [FB] ve [BD] köşegenleri kullanılır. Y:FDB Kenar uzunlukları 0 br. olan düzgün onikigenle, düzgün altıgenin alanları farkı kaç birimkaredir? Y.G: DCB ikizkenar üçgen. Y.G: Onikigen= Altıgen=50 3 Y:

31 Çevreleri eşit bir eşkenar üçgen ve düzgün altıgenden, üçgensel bölgenin alanı br iken çokgensel bölgenin alanı kaç br dir? Eşkenar üçgenin bir kenarı x ise, Altıgenin bir kenarı x/ dir. x 3 br ise 4 x br dir. 4 [PR], kenarlı düzgün çokgenin [PQ], 8 kenarlı düzgün çokgenin bir kenarı iken, [QR] kaç kenarlı düzgün çokgenin bir kenarıdır? 8, kenarlı veya; 84 kenarlı

32 ABCD kare. ABCD)=5 cm. DEFC eşkenardörtgen. DEFC)=0 cm. Taralı alan kaç cm.dir? ABCD kare. BCD)=64 cm. E,F,G,H,K,L,M,N kenarların orta noktaları. Taralı alan kaç cm.dir? BCD)=64 cm. AB =4 ABCD)=a.a=5 cm. DC =5 DEFC)=a.h=0 cm. EH =4 AE = HE = HN = NM = cm. dir. Taralı alan = +. 6 cm EHD dik üçgeninde pisagor teo: DH +4 =5 DH =3 HC = Taralı alan bir yamuk olduğundan ; (5 )4 Taralı alan = 4 cm

33 DP EF çizildiğinde ; DAE DPE (AKA) DA = DP ve AE = EP =4 DP = DC bulunduğundan DPF DCF olur ki PF = FC =6 dır. A ( DEFG) a. h A ( ABC ) (a).(h) a. h EF = EP + PF = AE + CF =4+6=0 ABCD karesinde ; ED açıortay ise ; EF = AE + FC dir

34 ÇÖZÜMLÜ ÖRNEKLER:.. ABC herhangi bir üçgen. ABDE ve BCGH birer kare. DM = MH AC =36 br. ise BM =x kaç br.dir? Verilenlere göre EC kaç cm.dir? EDC dik üçgeninde [EC] hipotenüsüne ait [DP] kenarortayı çizildiğinde ; EP = DP = PC (MUHTEŞEM ÜÇLÜ) DK//BH ve HK//BD çizildiğinde ; Oluşan BDKH paralelkenarında Köşegenler biri birini ortalayacağından DK = DM m(bdk)=m(abc) ABC BDK (K.A.K) DK =AC =36 DM =8 birimdir. Bir dik üçgende, hipotenüse ait kenarortay hipotenüsün yarısına eşittir. DPC ikizkenar üçgeninin DPC dış açısının ölçüsü, ACB açısının (DAC açısının) ölçüsüne eşit bulunur ki ADP ikizkenar bir üçgendir. EC =. DP olduğundan EC = cm.dir. EK BİLGİ; MD AC olduğu da aynı şekilde görülebilir