ÜÇGEN ÜÇGEN. Doğrusal olmayan A, B, C gibi üç nokta verildiğinde bu noktaları uç kabul eden doğru parçalarının birleģimine ABC üçgeni denir.

Transkript

1 ÜÇGEN ÜÇGEN Doğrusal olmayan A, B, C gibi üç nokta verildiğinde bu noktaları uç kabul eden doğru parçalarının birleģimine C üçgeni denir. C=[] [BC] [AC] dir. Üçgende bir dıģ açının ölçüsü kendisine komģu olmayan iki iç açının ölçüleri toplamına eģittir. Üçgende iç açıların ölçüleri toplamı 180 o, dıģ açıların ölçüleri toplamı 360 o dir. SONUÇLAR: KarĢılıklı ikiģer açıları eģ olan üçgenlerin üçüncü açıları da eģtir. Dik üçgende dik açı en büyük açıdır. Diğer açılar dar açı olup ölçüleri toplamı 90 o dir. x+83 0 =138 0, x=50 Bir üçgenin en az iki açısı dar açıdır. Doğruya dıģındaki bir noktadan bir tek dikme çizilebilir. A+B+C=180 0 biliniyor. A-B=15 0 ve B-C=30 0 verilmiģ. B=A-15 0, A C=30 0, C=A-45 0 A+A A-45 0 =180 0, 3A=400 A=

2 3x+50 0 =5x, x=50 0, x= y=90 0, y=0 0 (0 0 +x) =180 0, x=5 0 VEYA: 70 x= , x=5 0 4x+5x=180 0, 9x=180 0, x=0 0 y+3x=5x, y=x, y=.0 0, y=40 0 ΔPAC de mc=45 0 ΔCBD de x=135 0 ΔDEF de y=75 0 CD Paralelkenar x+4=180, x= y+30 0 =180 0, y=50 0 EĢitliğini gösteriniz. y+a=t, a=t-y a+z=x, x=t-y+z

3 EĢitliğini gösteriniz. a+k=c, k=c-a b+x=k=c-a, x=c-a-b A =15 0, x= =9 0 x=74 o -35 o =39 o AD AE 80 x= =130 0, ma=70 0 DAE ikizkenar dik üçgen. ma D de: x+ 45 o ma o ADC de: 45 7 x+7 o =45 o, x=18 o o md=me=45 o ma 7 o

4 ÜÇGENDE AÇI-KENAR BAĞINTILARI Bir üçgende büyük kenar karģısında büyük açı bulunur. Bir üçgende bir kenarın uzunluğu, diğer iki kenar uzunluğu farkından büyük, toplamından küçüktür. Bir üçgende büyük açı karģısında büyük kenar bulunur. AC BC AC ma < 90 0 ise: mc< mb< ma AC BC AC BC AC ma > 90 0 ise: AC BC AC CD AD BD C deki tüm açılar hesaplandığında: D de; mb < ma < md AD < BD < ADC de; ma < mc < md DC < AD < AC Ġki eģitsizlikten : DC < AD < BD bulunur. Bir noktanın bir doğruya uzaklığı, o noktadan doğruya çizilen dikmenin uzunluğudur. 1) x in alabileceği tamsayı değerleri? 5-1 < x < 5+1, 7 < x < 17 9 tane ) ma < 90 o ise: 7 < x < 13 5 tane 3) ma > 90 o ise: Bd, Cd ve d ise A noktasının, d doğrusu üzerindeki dik izdüģümü B noktasıdır. AC 13 < x < 17 3 tane

5 mc < ma < mb olduğundan : 8 < x < < x < 19+8, 11 < x < 7 eģitsizliklerinden 11 < x < 19 bulunur. 7 tane değer alabilir. Bir üçgende en uzun kenar, çevrenin üçte birinden büyük, yarı çevreden küçüktür. Çevresi 4 birim olan üçgende en uzun kenar tamsayı olarak 9,10,11 birim olabilir. Kenar uzunlukları tamsayı ve çevresi 77 birim olan ikizkenar üçgenin tabanı en çok kaç birim olabilir? x+y=77 ve 77/3 < y < 77/ den y=37 bulunur. Kenar uzunlukları tamsayı, çevresi 113 br. olan kaç tane ikizkenar üçgen çizilebilir? Kenar uzunluklarını x, x ve y ile gösterirsek; x+y=113 ve x > y olduğundan y nin alabileceği tamsayı değerleri 1, 3, 5, 7,, 55 dir. n-1=55, n=8 tane değer alır. 4 4 x 3, 8 < x < 1 Çevresi 1cm. ve kenar uzunlukları tamsayı olan kaç çeģit üçgen çizilebilir? Üçgende kenar eģitsizliğinden, üç değiģik üçgen çizilebileceği görülür. I. üçgenin kenar uzunlukları: 4,4,4 II. üçgenin kenar uzunlukları: 5,5, III. üçgenin kenar uzunlukları: 3,4,5 Pd olmak üzere AP + PB toplamı en küçüktür. AP + PB = AP + PB = BaĢka bir K noktası için ; AK + KB > olur

6 Kd olmak üzere farkı en büyüktür. AK - BK = BaĢka bir P noktası için ; AP - PB < olur. Kenar uzunlukları verilen Ģekildeki CD dörtgeninde ; AC + BD köģegen uzunlukları toplamının alabileceği değerler nedir? C üçgeninde ; 10-9 < AC < < AC < 19 ADC üçgeninde ; < AC < < AC < 8 öyleyse < AC < 19 dur.!!! EK BİLGİ: D üçgeninde ; 13-9 < BD < < BD < BCD üçgeninde ; < BD < < BD < 5 öyleyse 5 < BD < dir. Üçgenin iç bölgesinde, köģelerden uzaklıkları toplamı en küçük olan nokta S dir. (Steiner) Fermat noktası. Üçgenin kenarları üzerine ve dıģına çizilen eģkenar üçgenlerin üçüncü köģelerini C nin karģı köģelerine birleģtiren doğruların kesim noktasıdır. < AC < 19 5 < BD < eģitsizlikleri taraf tarafa toplandığında ; 7 < AC + BD < 41 bulunur.!!! EK BİLGİ : KöĢegenlerin kesim noktası olan P, köģelerden uzaklıkları en küçük olan noktadır

7 ÜÇGENLERDE EġLĠK C DEF eģlemesinde : ma=md mb=me ve mc=mf DE BC EF ise C DEF AC DF AC, CB CD ise x=? C ikizkenar: CBD ikizkenar: x=70 o -40 o =30 o mb=mc=70 o mb=md=70 o, mc=40 o K.A.K EŞLİĞİ: KarĢılıklı ikiģer kenarları ve bu kenarların oluģturduğu açıları eģ olan iki üçgen eģtir. Bir doğru parçasının orta dikmesi üzerindeki noktalar uçlardan eģit uzaklıktadır. Verilen iki noktadan eģit uzaklıkta bulunan noktaların geometrik yeri, bu iki noktayı uç kabul eden doğru parçasının orta dikme doğrusudur. OA OB OC ve //OC ise x=? 0 ikizkenar: ma=mb=65 o mcob=65 o içters COB ikizkenar: mb=mc=x=57,5 o A.K.A EŞLİĞİ: KarĢılıklı ikiģer açıları ve bu açıların ortak kenarları eģ olan iki üçgen eģtir. Y.G: POA POB ve QOA QOB (K.A.K) Ġkizkenar üçgenin taban açıları eģtir. Ġki açısı eģ olan üçgen bir ikizkenar üçgendir. Açıortay üzerindeki noktalar açının kenarlarından eģit uzaklıktadır

8 KesiĢen iki doğrudan eģit uzaklıkta bulunan noktaların geometrik yeri, oluģturdukları açıların açıortay doğrularıdır. [OP, açı ortay PA OA ve [PB OB ise; PA = PB ve OA = OB dir. Y.G: OPA OPB (A.K.A) D ve EAC eģkenar üçgen. x=? DAC BAE (K.A.K) ΔDAC de; md+60 o +mbac+mc=180 o PC dörtgeninde; x=md+mbac+mc=10 o K.K.K EŞLİĞİ: KarĢılıklı tüm kenarları eģ olan iki üçgen eģtir. KarĢılıklı birer dik kenarları ve hipotenüsleri eģ olan dik üçgenler eģtir. SONUÇLAR: Bir eģkenar üçgenin tüm açılarının ölçüleri 60 o dir. Tepe açısının ölçüsü 60 o olan üçgen bir eģkenar üçgendir. Bir açısının ölçüsü 30 o olan dik üçgende,30 o lik açı karģısındaki kenar hipotenüsün yarısıdır. BD DC, PD BC, [AP açıortay, PT, PK AC iken 1 AT AC = AK BT = 1 ( - AC )= CK [AP açıortay olduğundan; APT APK (A.K.A) AT = AK ve PT = PK DP orta dikme olduğundan; PDB PDC (K.A.K) ve PB = PC KarĢılıklı birer dik kenarları ve hipotenüsleri eģ olan dik üçgenler eģ olacağından PTB PKC olur ki TB = KC = AT + TB ve AC + CK = AK AT = AK = 1 ( + AC ) BT = CK = 1 ( - AC ) ve bulunur

9 AC ye BT dikmesi çizildiğinde: QRA ATB (A.K.A) AT =7 DSC CTB (A.K.A) CT =3 x= AT + TC =7+3=10 FAC BAE (K.A.K) FAC ve OC de açılar toplamı hesaplanırsa mboc=90 o bulunur. [LK] ve [KT], FBC ve BCE de orta taban olup, tabana paralel ve tabanın yarısına eģittir. AK = KS olacak Ģekilde AK uzatılırsa; SC paralelkenarından ACS EAF (K.A.K) ve AK = AS = EF bulunur. ACDE kare. FD =? OA OB ve OC // BD ise x=? BC ye DT dikmesi çizildiğinde; C DTC (A.K.A) BC = DT =4 DTBF dikdörtgeninde; DT = FB =4 =5+4=9= CT FD = BT =4+9=13 AOB üçgeninde; 3 0 +mb+80 0 =180 0 mb=68 0 =ma AOB ikizkenar. moca =3 0 içters açılar. OCA üçgeninde; 3 0 +x=68 0, x=

10 Ç(C)=? AD BD ise x=? ADB ikizkenar. mb=mbad=x=mdac C üçgeninde; x+x+66 0 =180 0, x=38 0 BD = BE =z çizelim: BDE ikizkenar; md=me=80 o medc=40 o, EDC ikizkenar, ED = EC DE = DF çizelim: DFE ikizkenar; mf=me=80 o madb=mfdb=60 0 olur ki ADB FDB (A.K.A), AD = DF =x AD = DF = DE = EC =x mc=macb=40 o C ikizkenar, = AC =x+y Ç(C)= + BC + AC =(x+y)+(z+x)+(x+y)=3x+y+z BC AD ise y nin x türünden eģiti? C ikizkenar. macb=x ACD üçgeninde ; md+y=x, md=x-y D ikizkenar. mb=md=x-y (x-y)+x+y=180 0, 3x-y=180 0 y=3x BD BE ise AD EC? Y.G: Bir önceki soruda: DE = EC bulunmuģtu. DE = DF çizildiğinde eģlikten; AD = DF AD = DF = DE = EC AC ve AD // BC ise x=? madb=mdbc=x içters. C ikizkenar; mb=mc=x x x=180 0, x=

11 AC ise x=? madb=mbde=y dersek; ACD üçgeninde macb=x+y C ikizkenar mc=macb=x+y EBD üçgeninde y+15 0 =x+y, x=15 0 AOB ikizkenar. ma=mb=70 0 BOC ikizkenar. mb=mc=55 0 mc= =15 0 AC, BE DC, BD FC C ikizkenar. mb=mc=55 0 EBD DCF (K.A.K) mbed=mcdf ve medb=mdfc mbed+medb=15 0 = medb+ mcdf medb+x+mcdf=180 0, x=180 0 x=55 0 AC, AF FE, BD BE x=? AFE ikizkenar. me=ma=x EBD ikizkenar. me=md=x, mdba=x BAC ikizkenar. mc=x, x+x+x=180 0 x=36 0 AE AF ise d nin, b ve c türünden eģiti? EBD üçgeninde; mdea=b+d EAF ikizkenar. me=mf=b+d=mcfd FCD üçgeninde; (b+d)+d=c d=(c-b)/ - 3 -

12 ÜÇGENLERDE BENZERLĠK C DEF eģlemesinde: ma=md mb=me ve mc=mf C DEF dir. k, benzerlik oranıdır. BC AC k ise DE EF DF A açısı ortak, mc=md verilmiģ. ADE ACB (A.A) AD AE DE AC BC K.A.K BENZERLİĞİ: KarĢılıklı ikiģer kenarları orantılı, bu kenarların oluģturduğu açıları eģ olan üçgenler benzerdir. A.A BENZERLİĞİ: KarĢılıklı ikiģer açıları eģ olan üçgenler benzerdir. mb=md ve mc=me yöndeģ açılar. ADE C (A.A) AD AE DE AC BC AD DB AE EC ise DE // BC ve AD AE AC 1 BC DE dir. ve A açısı ortak. ADE C (K.A.K) DE 1 BC, DE ve BC mb=md olduğundan DE//BC dir

13 ORTA TAN: Üçgenin iki kenarının orta noktalarını birleģtiren doğru parçası, üçüncü kenara paralel olup uzunluğu kenar uzunluğunun yarısıdır. Üçgenin bir kenarının orta noktasından ikinci kenara çizilen paralel doğru, üçüncü kenarı ortalar. BD = DC ve AP = PD ise EC AE ve BP 3 PE dir. DF//BE çizilirse; [DF], CBE de orta taban; EF = FC, BE = DF [PE], ADF de orta taban; AE = EF, DF = PE eģitliklerinden EC = AE ve BP =3 PE dir. [DE] ve [DF], C de orta taban olup DE =5 ve DF =4 dir. AEDF paralel kenar. Ç(AEFD)= + AC =18 AC yi çizer, EF yi P de kestirirsek: [EP], C nin, [PF] de CAD nin orta tabanı olur. AE ED ve // EF // CD için x=? EF uzatılır, EF ile P de kesiģtirilirse; [EP], ADC de orta taban EP =13/ [FP], C de orta taban FP =9/ x= [SR], ADC nin, [PQ], C nin orta tabanıdır

14 K.K.K BENZERLİĞİ: KarĢılıklı tüm kenarları orantılı olan üçgenler benzerdir. Üç yada daha fazla paralel doğru bir kesen üzerinde eģ parçalar ayırıyorsa, her kesen üzerinde eģ parçalar ayırır. Ġkiden fazla paralel doğru iki kesen üzerinde karģılıklı orantılı parçalar ayırır. Üçgenin bir kenarına paralel bir doğru diğer iki kenarı farklı noktalarda keserse bu kenarlar üzerinde orantılı parçalar ayırır. BC // DE ise x=?, y=? ADE C (A.A), AD AE DE AC BC 4 x y, x=3,6, y=3, AD // BE // CF iken CBE CAD (A.A) E ACF (A.A) dir. y x z CB CA AC CE CD AE AF EĢitlikleri taraf tarafa toplanırsa; CB y y ve CA AC x z y x z y x y z CT 1 ise PK? P den ye PF dikmesi çizilirse; Açılar hesaplandığında PEK ikizkenar çıkar. [PE], ACT de orta taban. PE =6= PK - 6 -

15 PB // KC // TD ise x=?, y=?, z=?, m=? APB AKC ATD (A.A) AP PB AK AC KC x 15 AK AT AC AD y z KC TD 16 4 z 16 m 36 4 y=10 x=9 m=8, z=16, AE açıortay, BD DC, BE AE ise AC DE dir. Y.G: BE uzatılır, AC ile F de kesiģtirilirse; F ikizkenar ve [DE], BCF de orta taban. C EBD x?, CE? 39 9 x x CE 13 x 9 x=4,5, CE =,5 AE dıģ açıortay, BD DC, BE AE ise AC DE dir. Y.G: BE uzatılır, CA ile F de kesiģtirilirse; AFB ikizkenar ve [ED], BFC de orta taban

16 BE, CD açıortay, BE AE, CD AD ise AC BC DE dir. Y.G: AD ve AE uzatılır, BC ile P ve K da kesiģtirilirse; CPA ve BKA ikizkenar, [DE] de APK da orta taban. AC, P BC, KP PT ise AK AT? Y.G: PE//AC ve PF// çizilirse; EBP ve FPC ikizkenar. [EP], KAT de, [PF], TAK de orta tabandır. = AE + EB AT = EP, AK = PF CD kare, AK KM, EL KM, CM KM AE ED, AK 5, EL 11 ise x=? D den KM ye DP dikmesi çizilirse; [EL], AKPD yamuğunda orta tabandır. 5 DP 11, DP =17 DP = AK + CM, 17=5+x, x=1 DE//AC ; DF//; AE CD ve EB DB AF FC BD DC EĢitlikleri taraf tarafa çarpılırsa; AE AF. 1 bulunur. EB FC - 8 -

17 DAC C (K.A.K) DA CA AC DC BC DP//AC çizilirse; BP = PC =5 ve [EC], FDP de orta taban olup DP =4 [DP], BAC de orta taban olup AC =8 dir. 1 x, x=1,5 4 3 AOB A OB (A.A) AOP A OP AP x 3 A' P' 5 y (A.A) AO A' O AO A' O 1 4 4x-1=5-y, y=17-4x A' B' 1 4 PCE BPD (A.A) ADPE paralel kenar. PE CE, PE. PD = BD. DC BD PD PE = AD ve PD = AE yazılırsa oran 1 bulunur. x+y=x+(17-4x)=17-3x - 9 -

18 CT TB EPC BPA (A.A)? EP PB EC BA 1 PK//EC çizilirse; BKP BCE (A.A) BK BC PK EC BP BE PKT FBT (A.A) eģitliklerinden CT TB 3 PK FB KT BT CK TB KT BCP EĢkenar üçgeni çizildiğinde ; BC = BC m(bcd)=m(pca)=60 0 +m(bca) CD = AC olduğundan (KAK) BCD PCA dır. BD = AP olur ki, P dik üçgeninde : AP = + BP olacağından BD =4 +6 =16+36=5 BD = 13 bulunur. mb=30 0 ve ACD eģkenar üçgen olduğunda: BD = + BC dir