(Sopphie Germain Denklemi) çarpanlarına ayırınız. r s + t r s + t olduğunu ispatlayınız olduğunu. + + = + + eşitliğini ispatlayınız.
|
|
|
- Nuray Karakoç
- 8 yıl önce
- İzleme sayısı:
Transkript
1 Sayılar Teorisi Kouları Geel Sıavları SINAV I(IDENTITIES WITH SQUARES) 4 4. a 4b (Sopphie Germai Deklemi) çarpalarıa ayırıız = A ise A ı sadece = durumuda asal olduğuu ispatlayıız.. Sıfırda farklı ardışık 4 pozitif tamsayıı çarpımlarıı hiçbir zama asal olamayacağıı çarpalara ayırma yaparak ispatlayıız. 4. Eğer r s t 5. ( a a ) ispatlayıız. 6. r s t r s t olduğuu ispatlayıız. ise ifadesii üç tam kare ifadei toplamı biçimide yazılabileceğii ( 4 ).( 4 ).( 4 4 ).( 46 4 ).( 58 4) ( 4 4 ).( 6 4 ).( 8 4 ).( 4 4)( 5 4) buluuz. 7. r s t u v ise r s t u v ( r s t u v ) ispatlayıız. ifadesii eşitii olduğuu 8. a b c ab bc ac ( a b) ( b c) ( c a) = eşitliğii ispatlayıız. 9. ( ).( ).( )...( ) = 4 4 ( ) 48 eşitliğii ispatlayıız.. > olmak üzere = olduğua göre < < olduğuu ispatlayıız.. Soru () u kullaarak <... < olduğuu gösteriiz.. < < olduğua göre = olduğuu ispatlayıız = deklemii çözüüz.
2 Sayılar Teorisi Kouları Geel Sıavları ifadesii çarpalarıa ayırıız. Ve buluuz. formudaki tüm asalları sayısıı yalız = durumuda asal olduğuu ispatlayıız. 6. cot ta = a ise cot ta =? SINAV II (IDENTITIES WITH CUBES). a, b, c, d R olmak üzere a b c d = ab bc cd da eşitliği var ise a = b = c = d olması gerektiğii kaıtlayıız.. { a, b, c, d } kümesi elamaları ile { },,,4 kümesii elemaları arasıda her bir elema yalızca tekbir elemaa gidecek şekilde bir eşleşme yapılıyor. Bua göre a. b b. c c. d d. a toplamıı alabileceği e büyük tamsayı değeri kaçtır? Kaıtlayarak gösteriiz. olmak üzere a ( b), b. ( c), c( d ), d. ( a). a, b, c, d çarpımlarıda e az bir taesii te küçük olması gerektiğii kaıtlayıız = eşitliğii 4. kaıtlayıız. a b c abc = a b c. a b c ab ac bc eşitliğii kaıtlayıız. 5. ( ) 6. olmak üzere ifadesii bir bileşik sayı olduğuu 4 kaıtlayıız.(bileşik sayı: asal olmaya) 7. ta cot = a olduğua göre ta cot = a a olduğuu kaıtlayıız Z olmak üzere ( ) ( ) durumuu sağlaya e büyük tamsayıyı ispatlayarak buluuz.(aime 986) =? (AIME 989) a = 4 olmak üzere a a 6 6 a ifadesii eşiti kaçtır?
3 Sayılar Teorisi Kouları Geel Sıavları a, b, c, d C olmak üzere a b c d = a b c d = olduğua göre; a, b, c, d sayı çiftleride birii toplamıı olduğuu kaıtlayıız.(itt 994) SINAV III (MICELLANEOUS ALGEBRAIC IDENTITIES) Z ifadesii 897 ile kalasız bölüebildiğii kaıtlaıyıız.(etvos 989) sayısıı p > 5. olacak şekilde bir çarpaı olduğu bilidiğie göre p sayısıı buluuz.(imo,99).... =... 4 dekliğii ispatlayıız. olarak verile Katala 4. (mod) ise =? 5. > y olmak üzere 6. (a) y y < (b) > ( 5555) >. y ifadesii ve olduğuu kaıtlayıız. ifadesii ispatlayıız. ifadesii 7 ile bölümüde kalaı buluuz. 8. Teorem(Mersee Asalları): asal ise Z sayısı da asal olmalıdır. Teoremi ispatlayıız. 9. Teorem(Fermat Asalları): asal ise Z sayısı i bir tam kuvveti olmalıdır. Teoremi ispatlayıız ifadesii çarpalara ayırıız A =... ifadesii B =... ifadesie kalasız bölüebildiğii kaıtlayıız.
4 Sayılar Teorisi Kouları Geel Sıavları ifadesii 946 ile kalasız bölüdüğüü kaıtlayıız. ( Z ). k k k k Z,, Z olmak üzere... k k = ifadesii... ile kalasız bölüebildiğii kaıtlayıız. SINAV IV (LOGARITHMS). log ab 4 a log ab i eşitii buluuz. b.,5.log ( ) 9 = 4 deklemii çözüüz. log log4 y log4 z =. log log9 y log9 z = deklem sistemii çözüüz. log 4 log6 y log6 z = log cos log cos = 6 6 deklemii çözüüz. A log 6 B log 7 A a. B b = c dekliğii sağlaya 5. 6 = = olsu. Bua göre tamsayıları buluuz. 6. a > olmak üzere < < a ike > olduğuu kaıtlayıız. log a 7. log π logπ > eşitsizliğii kaıtlayıız. 8. < < olmak üzere log > log eşitsizliğii kaıtlayıız ifadesii eşitii buluuz. log 996! log 996! log 996! log 996! Varsayalım, < < olsu. Bua göre; log log... log ifadesii eşitii buluuz. 5. ( log y log y ) = 6. deklem sistemii çözüüz.. y = 64 o o o. S = log ta log ta... log ta 89 ifadesii e sade halii buluuz.. ( log ).( log 4 ).( log4 5 )...( log5 5 ) =? 4. log 4 bir rasyoel sayıdır. Buluuz
5 Sayılar Teorisi Kouları Geel Sıavları SINAV V (ARITHMETİC DIVISION ALGORITHM). Varsayalım r Z sayısı 59, 47, ve sayılarıı d > ile bölümüde ortak d r kaçtır?(ahsme-976). kala olsu. Bu göre durumuu sağlaya tüm pozitif tamsayıları buluuz.. Eğer 7 ise 7 ( 5 4) olduğuu kaıtlayıız. 4. Herhagi bir tamsayıı karesii k veya k formuda olduğuu kaıtlayıız. a b ise a ve b olduğuu kaıtlayıız. 5. Eğer 6. Tüm kearları birer tamsayı ola bir dik üçgede kearlarda birii uzuluğuu ile bölümüde kalaı olduğuu gösteriiz. 4 5 verilmiş olsu. Bua göre 4, 8 7,, ifadeleride 7. hagileri 5 ile kalasız bölüebilir. Gösteriiz. 8. p, p, p 4,5,7 de başka herhagi bir asal üçlü buluamayacağıı formuda kaıtlayıız. 9. ( ) ile kalasız bölüebile ve ( ).( 4 ) ( 57) formuda yazılabile e büyük pozitif tamsayıyı buluuz. 4 formuda yazılabile iki tamsayıı çarpımıı yie( 4 ) formuda yazılabileceğii gösteriiz. 6 formuda yazılabile sosuz çoklukta asal sayı olduğuu kaıtlayıız.... p bir asal sayı olmak üzere; eğer ve sayılarıda herhagi biri asal sayı ise diğerii bileşik bir sayı olduğuu kaıtlayıız. 4 formuda olup; ve 5 ile kalasız olarak bölüebile sosuz çoklukta sayı. buluabileceğii kaıtlayıız. 4. olacak şekilde seçilecek herhagi bir tamsayıı pozitif bileşik sayı şeklide yazılabileceğii gösteriiz. ifadesii ile kalasız olarak bölüemeyeceğii gösteriiz , y N olmak üzere. ( ) y. ( y ) ( ) biçimide ola acak y ve y durumuu da sağlaya sosuz çoklukta,y sayısıı buluabileceğii kaıtlayıız. 5
6 Sayılar Teorisi Kouları Geel Sıavları SINAV VI (DECIMAL SCALE).... ifadesii asal olmadığıı kaıtlayıız. tae. İki basamaklı bir tamsayı basamakları toplamıa bölüdüğüde kala e fazla kaç olabilir?.,7 kesirler ciside ifade ediiz. 4. (AIME 989) Z ve d { } Z olarak veriliyor. =, d 5d5d 5d5... olduğua göre kaçtır? 8 5. (AIME988) Küpüü so basamağı 888 ile bite e küçük pozitif tamsayı kaçtır? 6. (AIME988) f : Z Z ve k Z olmak üzere f k foksiyou k sayısıı basamaklarıı kareleri toplamıı ifade etmektedir. Bua göre; içi f k f f k f kaçtır? ( ) = ise 998 N 7. (IMO 988) N Z olmak üzere ifadesii eşiti N sayısıı basamaklarıı kareleri toplamıa eşit olduğua göre; üç basamaklı tüm N sayılarıı buluuz. 8. (IMO 96) S Z olmak üzere S sayısıı birler basamağı 6 dır. Acak bu 6 rakamı siliip sayıı e başıa yazıldığıda S sayısı 4 katıa çıktığıa göre; S sayısıı alabileceği e küçük sayı değeri kaçtır? A =,,,..., kümesii elamaları içeriside 9. (IMO 99) { } toplama işlemie girdikleri zama souca elde işlemi yapılmada ulaşıla kaç ardışık tam sayı ikilisi vardır?. (AIME 987) Toplamlarıda elde işlemi yapılmada souca gidile ikililere varsayalım Basit Sayılar diyelim (öreği;, 59,...vb). Bua göre toplamları 49 ola kaç tae basit sayı ikilisi vardır?. (AIME 994) Z ve P( ) de sayısıı sıfırda farklı basamaklarıı çarpımı olmak üzere veriliyor. Bua göre; S = P() P()... P(999) ifadesii eşitii buluuz.. E soldaki basamağı kapatıldığıda değeri ilk değerii sie eşit ola bir tamsayıı e sol basamağı 6 ise bu sayıları geel formuu buluuz.. (IMO 968) N olmak üzere sayısıı basamakları çarpımı olduğua göre bu durumu sağlaya sayılarıı buluuz. 4. A = 49,4489,444889,..., dizisii tüm elemalarıı bir tam tae 4 tae 8 kare olduğuu kaıtlayıız. 5. (AIME 99) < r < ve S kümesi de tüm r R elemalarıı kümesi olmak üzere her bir r, abcabcabc... =, abc biçimidedir. Bua göre S kümesii elemalarıı e düşük terimleri kesri biçimide yazabilmek içi kaç farklı payı yazılmasıa gerek vardır. 6. a, b Z olmak üzere a =... b =...5 ise a. b ifadesii bir tam kare olduğuu kaıtlayıız. m tae m tae 6
7 Sayılar Teorisi Kouları Geel Sıavları 7. olmak üzere tüm basamaklı sayıları toplamıı tae tae tae 9 tae olduğuu kaıtlayıız. 8. Z olmak üzere farkıı bir tam kare olduğuu kaıtlayıız.. SINAV VII (NON-DECIMAL SCALE ) ifadesii 6 tabaıa göre yazıız. 6 4,4 r olarak verile ifadei bir tam kare ifade olduğuu gösteriiz... (AIME 986) A = {,, 4,9,,,,... } dizisii elemaları belli bir sisteme göre dizilmişlerdir. Bua göre dizii. elemaıı buluuz., < 4. (AHSME 99) < olmak üzere = olarak, veriliyor. Bua göre = 5 durumu kaç değeri içi doğrudur? 5. A = {,,,, 7 } kümesii elemalarıı öyle üç gruba ayırıız ki her birii toplamı diğerleri ile ayı olsu. 6. : sayısıı tam değerii temsil etmek üzere = 45 deklem sistemii çözüüz.(not: soruu çözümü olmayabilir eğer yoksa ispat ediiz.). a, b, c N olmak üzere SINAV IX (WELL-ORDERING PRINCIPLE) a b = 4c olduğua göre a = b = c olduğuu kaıtlayıız. a b a b. (IMO 988) a, b Z olmak üzere ifadesi de bir tamsayı ise ifadesii bir ab ab tam kareye eşit olduğuu kaıtlayıız.. a b = 4c ifadesii tüm sayı çözümlerii buluuz. 4. y z = yz eşitliğii sadece = y = z = olduğuda sağladığıı kaıtlayıız. 5. y ( z w ) = dekliğii sağlaya, y, z, w tamsayılarıı olmadığıı kaıtlayıız. 7
8 Sayılar Teorisi Kouları Geel Sıavları SINAV X (MATHEMATICAL INDUCTION) 6. 7 ifadesii tüm N sayıları içi 69 sayısıı bir tam katı olduğuu tümevarım metodu ile kaıtlayıız.. ( ) ( ) ifadesii bir çift sayı olduğuu ve = b b,. k Z bir tek sayı ise 4. s k Z olmak üzere, [ s, ] Z eşitliğii var olduğuu kaıtlayıız. N olduğuu kaıtlayıız. s aralığıı i bir tam kuvvetii içerdiğii kaıtlayıız. 5. Taım: f =, f =, f = f f, olarak taımlaa dizi bir Fiboacci dizisidir. Bu taıma göre f. f = f olarak verile eşitliği kaıtlayıız. 6. Verile herhagi bir karei = 4,6,7,8... parça yei kareye bölüebileceğii kaıtlayıız.( Kareler farklı olmak zoruda değildir.) 7. Matemaya ülkeside bozuk paralar veya 5 matelira olarak verilmektedir. Bua göre 8 matelirada büyük veya eşit ola her para üstüü bozuk para ciside ödeebileceğii kaıtlayıız. 8. (USAMO 978) Herhagi bir N sayısı eğer = a a... ak biçimide yazılabiliyor ve... = eşitliği de sağlaıyorsa sayısıa iyi sayı a a a k diyelim. ile 7 arasıdaki tamsayıları birer iyi sayı oldukları bilidiğie göre ola her sayısıı iyi sayı olduğuu kaıtlayıız.( a, a,..., a k birbiride farklı olmak zoruda değildir.) ( ) 9. N, olmak üzere; < olduğuu kaıtlayıız a. a =, b = 4 ve b a =, b = 4 N olarak veriliyor. a > b999 olduğuu kaıtlayıız. π.... = cos eşitliğii kaıtlayıız.( N ). si tae kök işareti. si eşitsizliğii kaıtlayıız.( Z, R ). N olmak üzere; 4. ( ) ( )... > olduğuu kaıtlayıız. toplamıı 9 ile kalasız bölüebildiğii kaıtlayıız , < N > eşitsizliğii kaıtlayıız. k 6. k Z olmak üzere ifadesi bir tamsayıya eşit ise ifadesii de bir tamsayı k olduğuu kaıtlayıız. 4 = eşitliğii 7. Sophie Germai eşitliğii kullaarak gösteriiz. Daha sora bu eşitliği kullaarak ifadesii farklı asal çarpaı olduğuu kaıtlayıız. 8
9 Sayılar Teorisi Kouları Geel Sıavları 8. olmak üzere; f f... f = f eşitliğii kaıtlayıız.. SINAV XI (CONGRUENCES) sayısıı 7 ile bölümüde kalaı buluuz ( 8765) ifadesii 4 ile bölümüde kalaı buluuz.. 7 olduğuu modüler metot ile gösteriiz ( ) ( 5555 ) olduğuu gösteriiz. olduğuu gösteriiz. 7 sayısıı birler basamağıı buluuz. S =,5, 4, 48,... dizisii elemaları hem 7. (AIME 994) Arta bir dizi ola { } sayısıı pozitif bir tam katı hem de tam karede bir eksiktir. Bua göre dizii 994. terimii ile bölümüde kalaı buluuz. 5y, y tamsayı ikilisii = eşitliğii sağlaya herhagi bir buluamayacağıı kaıtlayıız. y 5 = eşitliğii sağlaya herhagi bir (, ) buluamayacağıı kaıtlayıız.. 7 y = eşitliğii sağlaya herhagi bir (, ) buluamayacağıı kaıtlayıız.. 7 a b olduğua göre 7 a ve 7 b olduğuu kaıtlayıız. y pozitif tamsayı ikilisii y pozitif tamsayı ikilisii. ifadesii sağda ilk iki basamağıı buluuz.. Bir tam kare tamsayıı basamaklarıı sayı değerleri toplamıı 99 sayısıa eşit olamayacağıı kaıtlayıız y z, y, z, y, z üçlülerii = Z dekliğii sağlaya buluamayacağıı kaıtlayıız. 5. 6ab47 sayısı eğer 99 ile kalasız bölüebiliyor ise; a ve b değerlerii buluuz. 6. =,,,... olmak üzere bir tam sayıı ile kalasız bölüebilmesi içi sayıı soda basamağıı ile kalasız bölüebilmesi gerektiğii kaıtlayıız. 7. > içi ( ) ifadesii 8. durumuu sağlaya Z sayılarıı buluuz. 9. (USAMO 979) Z, i =,,... olmak üzere i ifadesii kalasız böldüğüü gösteriiz.... = 599 deklemii sağlaya kaç farklı (,,,..., ) permütasyou buluabilir? 4. (PUTNAM 986) olarak verile ifadei birler basamağıı buluuz. a, a, a, a4,... a elemaları tamsayılar ola bir küme olsu. Öyle ki herhagi bir elema kümede çıkarıldığıda kala elamaları tamamı kullaılarak elemaları toplamı birbirie eşit ola elemalı iki küme elde edilebildiğie göre; a = a =... = a olduğuu kaıtlayıız.. (PUTNAM 97) Varsayalım { } 9
10 Sayılar Teorisi Kouları Geel Sıavları =!... ( ). olarak veriliyor. Bua göre,!!! N > olmak!! =!mod olduğuu kaıtlayıız. üzere 6. C(6, k).,, mod ( ) eşitliğii = k, 4k veya 4k k = olduğu durumlarda doğru olduğuu kaıtlayıız. 4. (Polish Mathematical Olympiad) y sayısıı ile kalasız bölüebilmesi içi ve y yerie gelebilecek sayıları buluuz olmak üzere 5 ifadesii 6 ile kalasız bölümesii sağlaya 5 = = tüm değerlerii buluuz. İpucu: ifadesii 5 ile kalasız bölüemeyeceğii kaıtlayıız. 6. k. C (, k ) k = 7. (IMO 975) Varsayalım S { a, a,...} = elemaları pozitif tamsayılarda oluşa arta bir dizi olsu. Bua göre; s içi am =. as y. at formuda yazılabile sosuz çoklukta a m olduğuu kaıtlayıız.(, y Z t > s) SINAV XII (DIVISIBILITY TESTS). (AHSME 99) 9da 9ye kadar ola iki basamaklı sayılar ya yaa yazılarak S = sayısı elde ediliyor. Bua göre s sayısıı böle ü e büyük kuvveti kaçtır? (IMO 975) 4444 sayısıı odalık açılımı yapıldığıda bulua sayısıı basamakları toplamı A ve A sayısıı da basamakları toplamı B ise; B sayısıı basamakları toplamı kaçtır? (A ve B oluk sistemde iki sayıdır.) k. (PUTNAM 95) Varsayalım; f = a. ifadesi. derecede bir polioma 4. eşit olduğua göre, eğer a, a ve f () ifadelerii hepsi tek sayı ise, k = f ( ) = ifadesii rasyoel bir kökü olmadığıı kaıtlayıız. f = f f olduğuu kaıtlayıız. mod 5. (Lagrage 975) f 6 f mod olduğuu kaıtlayıız. 6. (AHSME 99) sayısı eteresa bir sayıdır öyle ki, ve durumuu sağlar. Bua göre; 6 basamaklı kaç eteresa sayı vardır? 7. Eski bir fatura üzeride alıa 88 parça eşyaya karşılık 4, y ytl para verildiği yazmaktadır acak ve y i olduğu basamaklar tahrifatta dolayı okuamamaktadır. Bua göre her bir parça eşyaya e kadar ödemiş olabilir? 8 99 UM C Varsayalım a, a, a,..., a Z a olmak üzere = olarak taımlamış olsu. P a a a k R olmak üzere P( ) = durumuu sağlaya bir ı buluduğuu varsayalım. Bua göre k k ise a.... a. ifadesii de bir tamsayı olduğuu kaıtlayıız. k
11 Sayılar Teorisi Kouları Geel Sıavları SINAV XIII (MORE ON CONGRUENCES) = olarak verile S kümesi elemaları. (IMO 97) S {,,,, 4, 5} çarpımı birbirie eşit ola iki kümeye ayrılabildiğie göre i alabileceği değerleri buluuz.. durumuu sağlaya tüm doğal sayılarıı buluuz... durumuu sağlaya sosuz çoklukta tamsayısı olduğuu kaıtlayıız. p 4. p durumuu sağlaya tüm p asallarıı buluuz. 5. p q ve p,q pq p q asal sayılardır. Bua göre p. q ( a a a a) kaıtlayıız. a Z 6. p asal bir sayı olmak üzere; p 7. ( m, 4) = ise 8. p q ve p,q asal olmak üzere olduğuu p a p!. a olduğuu kaıtlayıız m olduğuu kaıtlayıız. p q q p pq mod olduğuu kaıtlayıız. p 9. p tek asal sayı olmak üzere mod( p) olduğuu kaıtlayıız. Z. p tek asal sayı olmak üzere kaıtlayıız.. p m p p olduğua göre, > olmak üzere p asal bir sayıdır ( ) p m p p olduğuu! mod olduğuu kaıtlayıız.. p > ve p asal olmak üzere....( p ).4...( p ) ( ) mod( p) olduğuu kaıtlayıız ( ) k 7 olduğuu kaıtlayıız. SINAV XIV (EULER THEOREM). 7 ifadesii so iki basamağıı buluuz.. (IMO 978) m, N m < olarak veriliyor. 978 m ifadesii so üç basamağı sırası ile 978 ifadesii so üç basamağıa eşit olduğua göre m i alabileceği e küçük değer kaçtır?. (IMO 984) Öyle bir (a,b) ikilisi buluuz ki; a. b a b 7 ile bölümeyecek. a. b a b a b ( p ) 7 7 ile bölüebilecek, şartlarıda ikisii de sağlası. 4. (USAMO 98) k. ifadesii birleşik bir sayı olmasıı sağlaya k Z biçimide bir sayıı her Z içi buluabileceğii kaıtlayıız. 5. a = 7 ve a 7 a = ise a elemaıı so iki basamağıı buluuz. 6. ( m, ) = olmak üzere ( ) φ φ m mod m olduğuu kaıtlayıız. toplamıı böle tüm N sayılarıı buluuz.! 8. = k, Z, k Z ise ( ) olduğuu kaıtlayıız.
12 Sayılar Teorisi Kouları Geel Sıavları toplamıı 7 ile bölümüde kala kaçtır? olduğuu kaıtlayıız. SINAV XV (MISCALLENEOUS PROBLEMS INVOLVING INTEGERS) ( m )!. ifadesii m, Z { } içi tamsayılar kümesii bir elemaı olduğuu m!! kaıtlayıız ifadesii ile kalasız bölüebildiğii kaıtlayıız.. A Z olmak üzere A sayısı da A sayısıı basamaklarıı yer değiştirilmesi ile oluşturula yei bir sayıdır. Bua göre eğer A A = ise A sayısıı ile kalasız bölüebildiğii kaıtlayıız. 4. Bazı pozitif tamsayıları toplamı 996 olduğua göre bu sayıları çarpımlarıı maksimum değeri kaçtır? 5. r R olmak üzere r Z biçimide yazılabile tüm pozitif tamsayıları buluuz. r toplamıı buluuz. 7. 7! ise ma =? tae ifadesii 864 ile kalasız bölüebildiğii kaıtlayıız. 9. 4! olduğuu gösteriiz. > içi bir bileşik sayı ise. = eşitliğii sağlaya R değerlerii buluuz.. = 999!! eşitliğii sağlaya kaç tamsayı değeri vardır?. (PUTNAM 948) Z olmak üzere = 4 olduğuu kaıtlayıız.. 6, N olduğuu kaıtlayıız. 4. a,b,c bir üçgei kearları olmak üzere ; ( ab bc ca) ( a b c) 4( ab bc ca) olduğuu kaıtlayıız. a 5. (IMO 979) a, b N öyle ki... b = ise 979 a olduğuu kaıtlayıız. 6. Sosuz sayıda tam kare üçgesel sayı (,,,.) buluduğuu kaıtlayıız. 7. ( m )! ( )! ifadesii bir tamsayıya eşit olduğuu kaıtlayıız. m!! 8. N olmak üzere (!)! ifadesii!! ile kalasız bölüebileceğii kaıtlayıız. 9. (OLYMPIADA MATHEMATICA ESPANOLA 985) Z olmak üzere... olduğuu kaıtlayıız.
13 Sayılar Teorisi Kouları Geel Sıavları a b = ise ( a b a ab b ). (, ) SINAV XVI (GCD AND LCM), = veya olması gerektiğii kaıtlayıız.. (IMO 959) 4 kesrii her N içi sadeleşemeye bir kesir olduğuu 4 kaıtlayıız. S =,4,6,... dizisii elemaları a =, =,,,.... (AIME 985) { } olarak veriliyor. Eğer (, ) 4., d = a a ise ma d kaçtır? m m m N ve m tek sayı olduğua göre, = olduğuu gösteriiz. 5. Ardışık seçile iki Fiboacci sayısıı aralarıda asal olduklarıı kaıtlayıız. 6. Hiçbir tek Fiboacci sayısıı 7 ile kalasız bölüemeyeceğii gösteriiz. 7. C Katala sayıları olarak taımlası. C = C(, ) ise C ifadesii bir tamsayıya eşit olduğuu kaıtlayıız. C,, C,, C,5,..., C, dizii elemalarıı e büyük 8. N ve ortak böleii buluuz. 9. a N olmak üzere; ( b a ) ( ) durumuu sağlaya b N sayılarıı (ispat ederek) buluuz. a ve b ; a b =, N bağıtısı ile veriliyor. Bua göre.. EBOB a, b = olduğuu gösteriiz. F = ifadesi bize. Fermat Sayısı ı verir. Bua göre ( m ) F, F =?. Geel terimi a 6 =, =,,,... ifadesii e büyük ortak böleii buluuz. p. p bir asal sayı olmak üzere p olduğuu kaıtlayıız.
14 Sayılar Teorisi Kouları Geel Sıavları SINAV XVIII (TELESCOPIC CANCELATION). N olmak üzere; ifadesii yi kalasız böldüğüü gösteriiz.. log log log...log 4 =?..... P ise P =? = D = 4... ( ). ise D içi kapalı bir form buluuz. 5..!.!.! ! toplamıı buluuz < olduğuu kaıtlayıız. 4 6 π π 4π 7. P = cos cos cos ise P? = a b ise a ve b tamsayılarıı buluuz..... ( ) SINAV XIX (SUMS, PRODUCTS, RECURSIONS) ( ). = eşitliğii kaıtlayıız = eşitliğii kaıtlayıız... (AIME 994)... 4 toplamıı buluuz = S ise S N olduğuu kaıtlayıız Orji oktasıda kalka bir kelebek birim yukarı, birim sağa, 4 birim aşağı, birim sola, birim yukarı... şeklide bir rota ile uçmaktadır. Bua göre bu kelebek 6 uçuşuu hagi koordiat oktasıda bitirir.... toplamıı eşitii buluuz toplamıı buluuz ( )... = eşitliğii kaıtlayıız. = eşitliğii kaıtlayıız (Gramm e göre). = 4
15 Sayılar Teorisi Kouları Geel Sıavları ifadesii eşitii buluuz k. = 4. olduğuu gösteriiz. k k k =. csc csc 4 csc8... csc = cot cot eşitliğii kaıtlayıız. SINAV XX (RECURSIONS). = 7 ve =., ise içi kapalı bir form buluuz.. = ve = , ise içi kapalı bir form buluuz.. = ve =., ise içi kapalı bir form buluuz. 4. = 7 ve =, ise içi kapalı bir form buluuz. 5. = ve =, ise içi kapalı bir form buluuz = ve = ise içi kapalı bir form buluuz. 7. = ve = 5 5 ise içi kapalı bir form buluuz. 8. = ve = ise içi kapalı bir form buluuz = ise içi kapalı bir form buluuz. = ve. a = 5 ve a j = a j a j, j ise a j içi kapalı bir form buluuz.. (AIME 994) Eğer ise = ve 9 = 94 ise 94 elemaıı ile bölümüde kala kaçtır?. = ve =, > ise içi kapalı bir form buluuz.. = ve =, > ise = olduğuu kaıtlayıız. = SINAV XXI (EQUATIONS IN ONE VARIABLE).. = si deklemii çözüüz. ( 8 5) ( ) = deklemii çözüüz.. = ise i yaklaşık değeri kaçtır? =. deklemii çözüüz = 54 deklemii çözüüz = deklemii çözüüz = deklemii çözüüüz. 5 5 = deklemii çözüüz. = deklemii çözüüz = 4 deklemii çözüüz. 5
16 Sayılar Teorisi Kouları Geel Sıavları π a. cos ifadesii eşiti ise ab=? 5 b. si = eşitliğii sağlaya kaç reel sayısı vardır? a b a. = 6 deklemii e göre çözüüz. a a b 7 5 = 68 deklemii çözüüz = deklemii çözüüz. si cos 5. = 7 deklemii çözüüz. 7. = ise kaçtır? 8. si = log e deklemii kaç reel çözümü vardır? 9. = deklemii çözüüz.. = 4deklemii çözüüz.. = olarak verile deklemi çözüüz.. = deklemii çözüüz.. ( 9 ) 99 9.( ) = deklemii çözüüz. 4. = 98 deklemii çözüüz. SINAV XXII (SYSTEM OF EQUATION). ( y).( z) ( y z) ( y ) ( z).( z y). deklem sistemii çözüüz.. a, b, c R ve a. b. c olmak üzere y z = a y ( z ) = b deklem sistemii çözüüz. z ( y) = c 6
17 Sayılar Teorisi Kouları Geel Sıavları y y = 8 deklem sistemii çözüüz. = y y 4. y. y = 9 deklem sistemii çözüüz. = 74 ( ) ( y ) ( )( y ) y = 8 sistemii çözüüz. y = 6.. =,. =,,. =,. = deklem sistemii çözüüz. 7. y. z = y z. = 4 deklem sistemii çözüüz. z. y = y z u = y z u = deklem sistemii çözüüz. y z u = 5 y z u = = 8 = 68 deklem sistemii çözüüz. = 48 y y y z z yz z SINAV XXIII (REMAINDERFACTOR THEOREMSPOLYNOMIALS) P poliomu P P. = durumuu sağlamaktadır. bölüdüğüde 6 kalaıı verdiğie göre ( 9) buluuz.. P,. derecede bir poliom olmak üzere P( ) ifadesii eşitii buluuz. P poliomu ( ) ile bölüdüğüde vereceği kalaı P k =, k =,,, 4,..., ise k ile 7
18 Sayılar Teorisi Kouları Geel Sıavları Katsayıları tamsayılar ola bir P( ) poliomuda i alacağı 4 farklı değer içi P( ) = 7 ise P( ) poliomuu hiçbir zama 4 e eşit olamayacağıı kaıtlayıız. 4.. derecede bir poliom ola P( ) veriliyor. P() =, P() =, P() =, P(4) = 5 ise P(6)? 5. f kaçtır? 6. 4 poliomu veriliyor. 5 = P poliomu vermektedir. Bua göre 7. ( ) ( ) ( 5 ) bölüdüğüde kala f i f, P poliomuu ( ) olarak verile elde edilecek kalaı buluuz. ile bölümüde kala ile bölüüce 4 kalaıı ile bölümüde kala kaçtır? P poliomu ( ) ile bölüdüğüde SINAV XXIV (VIETE S FORMULAE). α, β, γ sayıları = deklemii kökleri ise toplamıı α β γ buluuz = deklemii kökleri a,b,c ise a b c, a b c, a b c toplamlarıı buluuz.. (USAMO 97) y z = y z = sistemii tüm (reelyadacomple) çözümlerii buluuz. y z =.. a a a = r. r r ve r, r,..., r R olarak 4. veriliyor. Bua göre. a. a olduğuu gösteriiz (USAMO 984) 8 k 984 = deklemii kökler çarpımı ise k değerii buluuz p q = deklemii çift katlı kökü var olduğua göre, p q toplamıı buluuz. α, α, α,, α değerleri = deklemii kökleri olduğua göre 7. α α... α toplamıı buluuz. 8. Varsayalım α, β, γ elemaları = deklemii kökleri olsu bua göre ve α β γ toplamlarıı buluuz. α β γ 9. α, β R sayıları 5 7 = deklemlerii sağlıyorsa α β toplamıı buluuz. 5 = α α α β β β 8
19 Sayılar Teorisi Kouları Geel Sıavları SINAV XXV (LANGRANGE S INTERPOLATION). p =, p =, p =, p( 4) = 5 durumlarıı sağlaya. derecede p( ) poliomuu buluuz. p =, p =, p =, p 4 = 5, p 5 = 5 durumlarıı sağlaya 4. derecede. p( ) poliomuu buluuz.. p p p p p =, =, = 4, 4 = 5, 5 = 8 durumlarıı sağlaya 4. derecede p( ) poliomuu buluuz. 9
( 1) ( ) işleminde etkisiz eleman e, tersi olmayan eleman t ise te kaçtır? a) 4/3 b) 3/4 c) -3 d) 4 e) Hiçbiri
V MERSİN MATEMATİK OLİMPİYATI (ÜNV ÖĞR) I AŞAMA SINAV SORULARI ( Nisa 8) de ye taımlı, birebir ve örte f ve g foksiyoları her bir içi koşuluu sağlası g( a ) = ve f ( ) ( ) ( ) f = g a 4 = a ise a sayısı
VII. OLİMPİYAT SINAVI. Sınava Katılan Tüm Talebe Arkadaşlara Başarılar Dileriz SORULAR k polinomu ( )
Sıava Katıla Tüm Talebe Arkadaşlara Başarılar Dileriz SORULAR 2 997. ( )( )( ) ( ) ( ) k x x x... k. x... 997. x poliomu ( ) a x a x... a x, a 0 ve k < k
Problem 1. Problem 2. Problem 3. Problem 4. PURPLE COMET MATEMATİK BULUŞMASI Nisan 2010 LİSE - PROBLEMLERİ
PURPLE COMET MATEMATİK BULUŞMASI Nisa 2010 LİSE - PROBLEMLERİ c Copyright Titu Adreescu ad Joatha Kae Çeviri. Sibel Kılıçarsla Casu ve Fatih Kürşat Casu Problem 1 m ve aralarıda asal pozitif tam sayılar
OLİMPİYAT SINAVI. 9 x.sin x + 4 / x.sin x, 0 x π İfadesinin alabileceği en küçük tamsayı değeri kaçtır? A) 14 B) 13 C) 12 D) 11 E) 10
. ( ) ( ) 9 x.si x + 4 / x.si x, 0 x π İfadesii alabileceği e küçük tamsayı değeri A) 4 B) 3 C) D) E) 0. Yuvarlak bir masa etrafıda otura 5 şövalye arasıda rasgele seçile 3 taeside e az ikisii ya yaa oturma
POLİNOMLAR. reel sayılar ve n doğal sayı olmak üzere. n n. + polinomu kısaca ( ) 2 3 n. ifadeleri polinomun terimleri,
POLİNOMLAR Taım : a0, a, a,..., a, a reel sayılar ve doğal sayı olmak üzere P x = a x + a x +... + a x + a x + a biçimideki ifadelere x e bağlı reel katsayılı poliom (çok terimli) deir. 0 a 0 ax + a x
Tümevarım_toplam_Çarpım_Dizi_Seri. n c = nc i= 1 n ca i. k 1. i= r n. Σ sembolü ile bilinmesi gerekli bazı formüller : 1) k =1+ 2 + 3+...
MC formülüü doğruluğuu tümevarım ilkesi ile gösterelim. www.matematikclub.com, 00 Cebir Notları Gökha DEMĐR, gdemir@yahoo.com.tr Tümevarım_toplam_Çarpım_Dizi_Seri Tümevarım Metodu : Matematikte kulladığımız
İÇİNDEKİLER. Ön Söz Polinomlar II. ve III. Dereceden Denklemler Parabol II. Dereceden Eşitsizlikler...
İÇİNDEKİLER Ö Söz... Poliomlar... II. ve III. Derecede Deklemler... Parabol... 9 II. Derecede Eşitsizlikler... 8 Trigoometri... 8 Logaritma... 59 Toplam ve Çarpım Sembolü... 7 Diziler... 79 Özel Taımlı
POLİNOMLARDA İNDİRGENEBİLİRLİK. Derleyen Osman EKİZ Eskişehir Fatih Fen Lisesi 1. GİRİŞ
POLİNOMLARDA İNDİRGENEBİLİRLİK Derleye Osma EKİZ Eskişehir Fatih Fe Lisesi. GİRİŞ Poliomları idirgeebilmesi poliomları sıfırlarıı bulmada oldukça öemlidir. Şimdi poliomları idirgeebilmesi ile ilgili bazı
ORTALAMA EŞĐTSĐZLĐKLERĐNE GĐRĐŞ
ORTALAMA EŞĐTSĐZLĐKLERĐNE GĐRĐŞ Lokma Gökçe Olimpiyat problemlerii çözümüde eşitsizlik teorisi öemli bir yer tutar. Baze bir maksimum miimum değer problemide, baze bir geometrik eşitsizlik kaıtıda, baze
MATEMATİK ÖĞRETMENİ ALIMI AKADEMİK BECERİ SINAVI ÇÖZÜMLERİ
MTEMTİK ÖĞRETMENİ LIMI KDEMİK EERİ SINVI ÇÖZÜMLERİ SÜLEYMNİYE EĞİTİM KURUMLRI MTEMTİK ÖĞRETMENİ LIMI KDEMİK EERİ SINVI ÇÖZÜMLERİ SORULR. li ile etül ü de içide buluduğu 4 erkek ve 6 bayada oluşa bir grupta
1. GRUPLAR. 2) Aşağıdaki kümelerin verilen işlem altında bir grup olup olmadığını belirleyiniz.
Sorular ve Çözümleri 1. GRUPLAR 1) G bir grup olmak üzere aşağıdaki eşitlikleri gösteriiz. i) e G birim elema olmak üzere e 1 = e. ii) a G olmak üzere (a 1 ) 1 = a. iii) a 1, a 2,, a G içi (a 1 a 2 a )
DİZİLER - SERİLER Test -1
DİZİLER - SERİLER Test -. a,,,,, dizisii altıcı terimi. Geel terimi, a ola dizii kaçıcı terimi dir? 6. Geel terimi, a! ola dizii dördücü terimi 8 8 6. Geel terimi, a k k ola dizii dördücü terimi 6 0 6
Venn Şeması ile Alt Kümeleri Saymak
Ve Şeması ile lt Kümeleri Saymak Osma Ekiz Bu çalışmada verile bir kümei çeşitli özellikleri sağlaya alt küme veya alt kümlerii ve şeması yardımıyla saymaya çalışacağız. Temel presibimiz aradığımız alt
( KÜME LİSTE, ORTAK ÖZELLİK, ŞEMA YÖNTEMİ ELEMAN SAYISI BOŞ, SONLU, SONSUZ KÜME ALT KÜME VE ÖZELLİKLERİ ) ... BOŞ KÜME. w w w. m a t b a z.
KÜME KAVRAMI Küme matematiği taımsız bir kavramıdır. Acak kümeyi, iyi taımlamış kavram veya eseler topluluğu diye tarif edebiliriz. Kümeler A, B, X, K,... gibi büyük harflerle Bir kümeyi oluştura eseleri
BAĞINTI VE FONKSİYON
BAĞINTI VE FONKSİYON SIRALI N-Lİ x, x, x,..., x tae elema olsu. ( x, x, x,..., x ) yazılışıda elemaları sırası öemli ise x, x, x,..., x ) e sıralı -li deir. x, x, x,..., x ) de ( x (, x, x ( x, ) sıralı
+ y ifadesinin en küçük değeri kaçtır?
PROBLEMLER: 9 Sıavı 5 a, a, a,..., a Z, 0 a k olmak üzere, 95 sayısı faktöriyel tabaıda 5. k 95 = a+ a.! + a.! +... + a.! biçimide yazılıyor. a kaçtır? (! =...( ) ) 0 ( B ) ( C ) ( D ) ( E ). Bir ABC üçgeide
TÜME VARIM Bu bölümde öce,kısaca tümevarım yötemii, sorada ÖYS de karşılamakta olduğumuz sembolüü ve sembolüü ele alacağız. A. TÜME VARIM YÖNTEMİ Tümevarım yötemii ifade etmede öce, öerme ve doğruluk kümesi
Diziler ve Seriler ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV
Diziler ve Seriler Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV ÜNİTE 7 Amaçlar Bu üiteyi çalıştıkta sora; dizi kavramıı taıyacak, dizileri yakısaklığıı araştırabilecek, sosuz toplamı alamıı bilecek, serileri yakısaklığıı
OLĐMPĐYATLARA HAZIRLIK ĐÇĐN DOĞRUSAL ĐNDĐRGEMELĐ DĐZĐ PROBLEMLERĐ ve ÇÖZÜMLERĐ (L. Gökçe)
OLĐMPĐYATLARA HAZIRLIK ĐÇĐN DOĞRUSAL ĐNDĐRGEMELĐ DĐZĐ PROBLEMLERĐ ve ÇÖZÜMLERĐ (L. Gökçe) Matematikte sayı dizileri teorisii ilgiç bir alt kolu ola idirgemeli diziler kousu olimpiyat problemleride de karşımıza
BASAMAK ATLAYARAK VEYA FARKLI ZIPLAYARAK İLERLEME DURUMLARININ SAYISI
Projesii Kousu: Bir çekirgei metre, metre veya 3 metre zıplayarak uzuluğu verile bir yolu kaç farklı şekilde gidebileceği ya da bir kişii veya (veya 3) basamak atlayarak basamak sayısı verile bir merdivei
POLĐNOMLAR YILLAR ÖYS
YILLAR 4 5 6 7 8 9 ÖSS - - - - - - ÖYS POLĐNOMLAR a,a,a,..., a P () = a + a +... + a R ve N olmak üzere; ifadesie Reel katsayılı.ci derecede bir değişkeli poliom deir. P()= a sabit poliom, (a ) P()= sıfır
1. TEMEL KAVRAMLAR Derleyen: Osman EKİZ ( )
. TEMEL KAVRAMLAR Derleye: Osma EKİZ Bu çalışmaı temelii Jiri Herma, Rada Kucera, Jaromir Simsa., Elemetary Problems ad Theorems i Algebra ad Number Theory isimli kitap oluşturmaktadır. İlgili bölümü çevirisi
p sayısının pozitif bölenlerinin sayısı 14 olacak şekilde kaç p asal sayısı bulunur?
07.10.2006 1. Kaç p asal sayısı için, x 3 x + 2 (x r) 2 (x s) (mod p) denkliğinin tüm x tam sayıları tarafından gerçeklenmesini sağlayan r, s tamsayıları bulunabilir? 2. Aşağıdaki ifadelerin hangisinin
BÖLÜM II. Asal Sayılar. p ab ise p a veya p b dir.
BÖLÜM II Asal Sayılar Taım. p > tam sayısıı de ve ediside başa bölei yosa bu sayıya asal sayı deir. de büyü asal olmaya sayılara da bileşi sayı deir. Teorem. Eğer p bir asal sayı ve p ab ise p a veya p
KOMBİNASYON: ve r birer pozitif doğal sayı olmak üzere r olsu. farklı elemaı r elemalı alt kümelerii sayısıa i r 2. Örek:! C(,r) = r!. r! li kombiasyou deir ve gösterilir. C(,r) = r P(,r)! = = r r! r!.
Matematik Olimpiyatları İçin
KONU ANLATIMLI Matematik Olimpiyatları İçi İdirgemeli Diziler, Kombiatorik ve Cebirsel Uygulamaları LİSE MATEMATİK OLİMPİYATLARI İÇİN Lokma Gökçe, Osma Ekiz İdirgemeli Diziler ve Uygulamaları Lokma Gökçe,
ASAL ÇARPANLARINA AYIRMA ÇÖZÜMLÜ SORULAR
ASAL ÇARPANLARINA AYIRMA ÇÖZÜMLÜ SORULAR 1) 60 sayısıı asal çarpalarıa ayrılmış şekli aşağıdakilerde hagisidir? A)..5 D)..5 B)..5 E)..5 C)..5 1.Yötem: 60 180 90 45 60..5 tir. 15 5 5 1.Yötem: Öğrecilerimizi1.Yötemde
Bu doküman Kâtip Çelebi tarafından 1632 de yazılan ve İbrahim Müteferrika nın eklemeleri ile Matbaa-ı Amire de basılan Kitabı-ı Cihannüma nın
( KÜME LİSTE, ORTAK ÖZELLİK, ŞEMA YÖNTEMİ ELEMAN SAYISI BOŞ, SONLU, SONSUZ KÜME ALT KÜME VE ÖZELLİK- LERİ ) ... BOŞ KÜME. w w w. m a t b a z.
KÜME KAVRAMI Küme matematiği taımsız bir kavramıdır. Acak kümeyi, iyi taımlamış kavram veya eseler topluluğu diye tarif edebiliriz. Kümeler A, B, X, K,... gibi büyük harflerle gösterilir. Bir kümeyi oluştura
8. Bir aritmetik dizide a 2 = 2, a 7 = 8 ise, ortak fark aşağıdakilerden
MC TEST I Seriler ve Diziler www.matematikclub.com, 2006 Cebir Notları Gökha DEMĐR, gdemir2@yahoo.com.tr 8. Bir aritmetik dizide a 2 = 2, a 7 = 8 ise, ortak fark aşağıdakilerde hagisidir? A) 0,8 B) 0,9
PROJE RAPORU. PROJENİN ADI: Karmaşık Sayıların n. Dereceden Kökler Toplamı ve Trigonometrik Yansımaları
PROJE RAPORU PROJENİN ADI: Karmaşık Sayıları. Derecede Kökler Toplamı ve Trigoometrik Yasımaları PROJENİN AMACI: Karmaşık sayıı karekökleri toplamı sıfırdır. Peki. derecede kök toplamı içi de geçerli miydi?
n ile gösterilir. 0) + ( n 1) + ( n 2) + + ( n n) =2n Örnek...4 : ( 8 3) = ( 8 Örnek...5 : ( 7 5) + ( 7 6) + ( 8 7) + ( 9 8) + ( 10
KOMBİNASYON tae esei r taesii seçimie elemaı r li kombiasyoları deir ve C(,r) veya ( ile gösterilir. 1) ( ) = ( 0) =1 r) C(;r)= ( r) =! ( r)!.r! 2) ( 1) = ( 1) = 3) ( r) = ( r) 4) ( a) = ( b) (r ) ise
SAYILAR DERS NOTLARI Bölüm 1 / 3 SAYILAR DERS NOTLARI KONU BASLIKLARI:
www.testhae.com SAYILAR DERS NOTLARI Bölüm / 3 SAYILAR DERS NOTLARI KONU BASLIKLARI: -RAKAM -SAYI -DOGAL SAYILAR -SAYMA SAYILARI -ÇFT DOGAL SAYILAR -TEK DOGAL SAYILAR -ARDISIK DOGAL SAYILAR -ARDISIK ILK
2.2. Fonksiyon Serileri
2.2. Foksiyo Serileri Taım.. Herhagi bir ( u (x reel (gerçel değerli foksiyo dizisi verilsi. Bu m foksiyo dizisii tüm terimlerii toplamıa, yai u m (x + u m+ (x + u m+2 (x + u m+3 (x + + u m+ (x + = k=m
BÖLÜM III. Kongrüanslar. ise a ile b, n modülüne göre kongrüdür denir ve
BÖLÜM III Kogrüaslar Taım 3. N sabit bir sayı, a, b Z olma üzere, eğer ( a b) ise a ile b, modülüe göre ogrüdür deir ve a b(mod ) şelide gösterilir. Asi halde, yai F ( a b) ise a ile b ye modülüe göre
İleri Diferansiyel Denklemler
MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferasiyel Deklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulumak veya kullaım koşulları hakkıda bilgi içi http://ocw.mit.edu/terms web sitesii ziyaret ediiz.
n ile gösterilir. 0) + ( n 1) + ( n 2) + + ( n n) =2n Örnek...4 : ( 8 3) = ( 8 Örnek...5 : ( 7 5) + ( 7 6) + ( 8 7) + ( 9 8) + ( 10
KOMBİNASYON tae esei r taesii seçimie elemaı r li kombiasyoları deir ve C(,r) veya ( ile gösterilir. 1) ( ) = ( 0) =1 r) C(;r)= ( r) =! ( r)!.r! 2) ( 1) = ( 1) = 3) ( r) = ( r) 4) ( a) = ( b) (r ) ise
n, 1 den büyük bir sayma sayısı olmak üzere,
KÖKLÜ SAYILAR, de üyük ir sayma sayısı olmak üzere, x = α deklemii sağlaya x sayısıa α ı yici derecede kökü deir. x m = x m O halde tersi düşüülürse, ir üslü sayıı üssü kesirli ise, o sayı köklü sayı içimide
Temel Kavramlar 1 Doğal sayılar: N = {0, 1, 2, 3,.,n, n+1,..} kümesinin her bir elamanına doğal sayı denir ve N ile gösterilir.
Temel Kavramlar 1 Doğal sayılar: N = {0, 1, 2, 3,.,n, n+1,..} kümesinin her bir elamanına doğal sayı denir ve N ile gösterilir. a) Pozitif doğal sayılar: Sıfır olmayan doğal sayılar kümesine Pozitif Doğal
6. BÖLÜM VEKTÖR UZAYI VEKTÖR UZAYI VEKTÖR UZAYLARI
6. BÖLÜM VEKTÖR LARI -BOYUTLU (ÖKLİT) I Taım: Eğer pozitif bir tam sayı ise sıralı -sayı, gerçel sayılar kümesideki adet sayıı (a 1, a 2,, a ) bir dizisidir. Tüm sıralı -sayılarıı kümesi -boyutlu uzay
h)
ĐZMĐR FEN LĐSESĐ TÜMEVARIM-DĐZĐLER-SERĐLER ÇALIŞMA SORULARI TÜME VARIM:. Aşağıdaki ifadelerde geel bir kural çıkarabilir misiiz? a) p()= ++4 poliomuda değişkeie 0,,,, değerleri verdiğimizde elde edile
H.L.Royde Real Aalysis çeviri ve düzeleme Prof.Dr.Hüseyi Çakallı Kısım Bir Reel Değişkeli Foksiyolar Teorisi Prof.Dr.Hüseyi Çakallı 3 H.L.Royde Real Aalysis çeviri ve düzeleme Prof.Dr.Hüseyi Çakallı Reel
E³tszlkler Ders Notlar-I
E³tszlkler Ders Notlar-I wwww.sbelia.wordpress.com E³itsizlikleri çözerke sklkla saylar ve matematiksel ifadeleri kar³la³trrz. Yada bize verile bir matematiksel ifadei e büyük yada e küçük de erii bulmaya
TEMEL KAVRAMLAR. a Q a ve b b. a b c 4. a b c 40. 7a 4b 3c. a b c olmak üzere a,b ve pozitif. 2x 3y 5z 84
N 0,1,,... Sayı kümesine doğal sayı kümesi denir...., 3,, 1,0,1,,3,... sayı kümesine tamsayılar kümesi denir. 1,,3,... saı kümesine sayma sayıları denir.pozitif tamsayılar kümesidir. 15 y z x 3 5 Eşitliğinde
KÖKLÜ İFADELER. = a denklemini sağlayan x sayısına a nın n inci. Tanım: n pozitif doğal sayı olmak üzere kuvvetten kökü denir.
1 Taı: pozitif doğal saı olak üzere kuvvette kökü deir. KÖKLÜ İFADELER = a dekleii sağlaa saısıa a ı ici = a dekleide = a, tek ise a 0 ; = ± a, çift ise Uarı: = ise, a = a olarak gösterilir. a ifadesie
TÜMEVARIM. kavrayabilmek için sonsuz domino örneği iyi bir modeldir. ( ) domino taşını devirmek gibidir. P ( k ) Önermesinin doğru olması halinde ( 1)
TÜMEVARIM Matematite ulladığımız teoremleri ispatlamasıda pe ço ispat yötemi vardır. Özellile doğal sayılar ve birço ouda ispatlar yapare tümevarım yötemii sıça ullaırız. Tümevarım yötemii P Öermesii doğruluğuu
Ders 2: Küme Teorisi, Örnek Uzay, Permütasyonlar ve Kombinasyonlar
Ders 2: üme Teorisi, Örek Uzay, Permütasyolar ve ombiasyolar üme avramı üme İşlemleri Deey, Örek Uzay, Örek Nokta ve Olay avramları Örek Noktaları Sayma Permütasyolar ombiasyolar Parçalamalar (Partitio)
İSTANBUL İL MİLLİ EĞİTİM MÜDÜRLÜĞÜ BİLİM OLİMPİYATLARI 2018 SINAVI
ÖGRENCİNİN ADI SOYADI : T.C. KİMLİK NO : OKULU / SINIFI : SINAVA GİRDİĞİ İLÇE: SINAVLAİLGİLİUYARILAR: İSTANBUL İL MİLLİ EĞİTİM MÜDÜRLÜĞÜ BİLİM OLİMPİYATLARI 018 SINAVI Kategori: Lise Matematik Soru Kitapçık
TAMSAYILAR. 9www.unkapani.com.tr. Z = {.., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, } kümesinin her bir elemanına. a, b, c birer tamsayı olmak üzere, Burada,
TAMSAYILAR Z = {.., -, -, -, 0,,,, } kümesinin her bir elemanına tamsayı denir. Burada, + Z = {,,,...} kümesine, pozitif tamsayılar kümesi denir. Z = {...,,,,} kümesine, negatif tamsayılar kümesi denir.
0 1 2 n 1. Doğu Akdeniz Üniversitesi Matematik Bölümü Mate 322
Bölüm 3. İkici Mertebede Lieer ve Sabit Katsaılı Diferesiel Deklemler 4 3. Geel Taımlar ( ) ( ) ( ) a ( ) + a ( ) + a ( ) +... + a ( ) + a ( ) = f ( ) () 0 şeklideki bir deklem. mertebede lieer deklem
TEMEL KAVRAMLAR. SAYI KÜMELERİ 1. Doğal Sayılar
TEMEL KAVRAMLAR Rakam: Sayıları ifade etmeye yarayan sembollere rakam denir. Bu semboller {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} kümesinin elemanlarıdır., b ve c birer rakamdır. 15 b = c olduğuna göre, + b + c
T. C. Manisa Celal Bayar Üniversitesi Kırkağaç Meslek Yüksekokulu Öğretim Yılı Güz Yarıyılı MATEMATİK Dersi Final Sınavı Çalışma Soruları
T. C. Manisa Celal Bayar Üniversitesi Kırkağaç Meslek Yüksekokulu 016-017 Öğretim Yılı Güz Yarıyılı MATEMATİK Dersi Final Sınavı Çalışma Soruları 1) 3. [15 3(8: )] 9 =? a) 16 b) 14 c) 0 d) 14 e) 16 6)
(3) Eğer f karmaşık değerli bir fonksiyon ise gerçel kısmı Ref Lebesgue. Ref f. (4) Genel karmaşık değerli bir fonksiyon için. (6.
Problemler 3 i Çözümleri Problemler 3 i Çözümleri Aşağıdaki özellikleri kaıtlamaızı ve buu yaıda daha fazla soyut kaıt vermeizi isteyeceğiz. h.h. eşitliğii ölçümü sıfır ola bir kümei tümleyei üzeride eşit
Yrd.Doç. Dr. Mustafa Akkol
komşuluğu: Taım: ; isteildiği kadar küçük seçilebile poziti bir sayı olmak üzere a a açık aralığıa a R sayısıı komşuluğu deir Örek : Taım: a a a a ve 0 00 olsu ' i 0 00 0 00 999 00 : Z R bir dizi deir
ISBN - 978-605-5631-60-4 Sertifika No: 11748
ISBN - 978-605-563-60-4 Sertifia No: 748 GENEL KOORDİNATÖR: REMZİ ŞAHİN AKSANKUR REDAKTE: REMZİ ŞAHİN AKSANKUR SERDAR DEMİRCİ SABRİ ŞENTÜRK Basm Yeri: EVOS BASIM - ANKARA Bu itab tüm basm ve yay halar
Fonksiyonlarda Limit. Dizi fonksiyonu, tanım kümesindeki bütün 1, 2, 3,, n, sayma sayılarına, sırasıyla
Foksiyolarda Limit Foksiyolarda it: Bu bölümde y f ( ) foksiyou ve sayısı verildiğide, bağımsız değişkei sayısıa (solda veya sağda) yaklaşırke ya da sosuza yaklaşırke, foksiyou da bir L sayısıa (veya ya
TÜBİTAK TÜRKİYE BİLİMSEL VE TEKNİK ARAŞTIRMA KURUMU BİLİM ADAMI YETİŞTİRME GRUBU ULUSA L İLKÖĞRETİM MA TEMATİK OLİMPİYADI DENEME SINAVI.
TÜBİTAK TÜRKİYE BİLİMSEL VE TEKNİK ARAŞTIRMA KURUMU BİLİM ADAMI YETİŞTİRME GRUBU ULUSA L İLKÖĞRETİM MA TEMATİK OLİMPİYADI DENEME SINAVI Birici Bölüm DENEME-4 Bu sıav iki bölümde oluşmaktadır. * Çokta seçmeli
f n dµ = lim gerçeklenir. Gösteriniz (Bu teorem Monoton yakınsaklık teoreminde yakınsaklık f n = f ve (f n ) monoton artan dizi
4.2. Pozitif Foksiyoları İtegrali SOU : f ), M +, A) kümeside bulua foksiyoları mooto arta dizisi ve h.h.h. f = f ise f dµ = f dµ gerçekleir. Gösteriiz Bu teorem Mooto yakısaklık teoremide yakısaklık yerie
ASAL SAYILAR - TAM BÖLENLER - FAKTÖRİYEL Test -1
ASAL SAYILAR - TAM BÖLENLER - FAKTÖRİYEL Test -1 1. ve y aralarında asal iki doğal sayıdır. 7 y 11 olduğuna göre, y farkı 5. 364 sayısının en büyük asal böleni A) 3 B) 7 C) 11 D) 13 E) 17 A) B) 3 C) 4
İDEAL ÇARPIMLARI (IDEAL PRODUCTS)
T.C. ÇANAKKALE ONSEKİZ MART ÜNİVERSİTESİ FEN EDEBİYAT FAKÜLTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ (IDEAL PRODUCTS) 070216013 TUĞBA ÖZMEN 080216038 AYŞE MUTLU 080216064 SEVİLAY HOROZ Nil ehri, Düyaı e uzu ehridir (6.650
2. Matematiksel kavramları organize bir şekilde sunarak, bu kavramları içselleştirmenizi sağlayacak pedagojik bir alt yapı ile yazılmıştır.
Sevgili Öğreciler, Matematik ilköğretimde üiversiteye kadar çoğu öğrecii korkulu rüyası olmuştur. Bua karşılık, istediğiiz üiversitede okuyabilmeiz büyük ölçüde YGS ve LYS sıavlarıda matematik testide
TÜME VARIM ve DİZİLER ÜNİTE 4. ÜNİTE 4. ÜNİTE 4. ÜNİTE 4. ÜNİT
TÜME VARIM ve DİZİLER ÜNİTE 4. ÜNİTE 4. ÜNİTE 4. ÜNİTE 4. ÜNİT TÜME VARIM Tüme varım. Kazaım : Tüme varım yötemii açılar ve uygulamalar yapar. Toplam ve Çarpım Sembolü. Kazaım : Toplam sembolüü ve çarpım
Mustafa Özdemir İrtibat İçin : veya Altın Nokta Yayınevi
2 Matematik Olimpiyatlarına Hazırlık 4 Mustafa Özdemir MATEMATİK OLİMPİYATLARINA HAZIRLIK 4 (336 sayfa) ANALİZ CEBİR 1 TANITIM DÖKÜMANI (Kitabın içeriği hakkında bir bilgi verilmesi amacıyla bu döküman
LİNEER OLMAYAN DENKLEMLERİN SAYISAL ÇÖZÜM YÖNTEMLERİ-2
LİNEER OLMAYAN DENKLEMLERİN SAYISAL ÇÖZÜM YÖNTEMLERİ SABİT NOKTA İTERASYONU YÖNTEMİ Bu yötemde çözüme gitmek içi f( olarak verile deklem =g( şeklie getirilir. Bir başlagıç değeri seçilir ve g ( ardışık
ÜNİVERSİTEYE GİRİŞ SINAV SORULARI
ÜNİVERSİTEYE GİRİŞ SINAV SORULARI 1. 1999 ÖSS a, b, c pozitif gerçel (reel) sayılar olmak üzere a+ b ifadesindeki her sayı 3 ile çarpılırsa aşağıdakilerden hangisi elde c edilir? 3 a+ b A) B) c a+ 3b C)
{ 1 3 5} { 2 4 6} OLASILIK HESABI
OLASILIK HESABI Bu derste, uygulamalarda sıkça karşılaşıla, Olasılık Uzaylarıda bazılarıa değieceğiz ve verilmiş bir Olasılık Uzayıda olasılık hesabı yapacağız. Ω. Ω solu sayıda elemaa sahip olsu. Ω {
sayısının tamkare olmasını sağlayan kaç p asal sayısı vardır?(88.32) = n 2 ise, (2 p 1
TAM KARELER 1. Bir 1000 basamaklı sayıda bir tanesi dışında tüm basamaklar 5 tir. Bu sayının hiçbir tam sayının karesi olamayacağını kanıtlayınız. (2L44) Çözüm: Son rakam 5 ise, bir önceki 2 olmak zorunda.
TOPOLOJİK TEMEL KAVRAMLAR
TOPOLOJİK TEMEL KAVRAMLAR 1.1. Kümeler ve Foksiyolar A ı bir elemaıa B i yalız bir elemaıı eşleye bağıtıya bir foksiyo deir. f : A B, Domf = U A ve ragef B dir. Taım 1.1.1. f : A B foksiyou içi V A olsu.
1. BÖLÜM. Sayılarda Temel Kavramlar. Bölme - Bölünebilme - Faktöriyel EBOB - EKOK. Kontrol Noktası 1
1. BÖLÜM Sayılarda Temel Kavramlar Bölme - Bölünebilme - Faktöriyel EBOB - EKOK Kontrol Noktası 1 Isınma Hareketleri 1 Uygun eşleştirmeleri yapınız. I. {0, 1, 2,..., 9} II. {1, 2, 3,...} III. {0, 1, 2,
140. 2< a< 1 ise kesrinin değeri aşağıdakilerden hangisi olamaz? (3,7) a 1,9 2,4 2,7 3,2 3,7. a a c b ve c a a b c
138. a ve b gerçel sayılardır. a < a, 6a b 5= 0 b ne olabilir? (11) 4 5 8 11 1 139. < 0 olmak üzere, 4 3. =? ( 3 ) a 1 140. < a< 1 ise kesrinin değeri aşağıdakilerden hangisi olamaz? (3,7) a 1,9,4,7 3,
LYS MATEMATİK DENEME - 1
LYS MATEMATİK DENEME - BU SORULAR FİNAL EĞİTİM KURUMLARI TARAFINDAN SAĞLANMIŞTIR. İZİNSİZ KOPYALANMASI VE ÇOĞALTILMASI YASAKTIR, YAPILDIĞI TAKDİRDE CEZAİ İŞLEM UYGULANACAKTIR. LYS MATEMATİK TESTİ. Bu testte
Permütasyon Kombinasyon Binom Aç l m. Olas l k ve statistik. Karmafl k Say lar
0 0 0 Gerçek Say lar Kümesii Geiflletme Gere i Kümesi Aalitik Düzlemde Gösterilmesi Efllei i Modülü da fllemler ki Karmafl k Say Aras daki Uzakl k Karmafl k Say Geometrik Yeri Kutupsal Gösterimi Karmafl
BÖLÜM 3 YER ÖLÇÜLERİ. Doç.Dr. Suat ŞAHİNLER
BÖLÜM 3 YER ÖLÇÜLERİ İkici bölümde verileri frekas tablolarıı hazırlaması ve grafikleri çizilmesideki esas amaç; gözlemleri doğal olarak ait oldukları populasyo dağılışıı belirlemek ve dağılışı geel özelliklerii
Örnek...3 : Aşağıdaki ifadelerden hangileri bir dizinin genel terim i olabilir? Örnek...4 : Genel terimi w n. Örnek...1 : Örnek...5 : Genel terimi r n
DİZİLER Tanım kümesi pozitif tam sayılar kümesi olan her fonksiyona dizi denir. Örneğin f : Z + R, f (n )=n 2 ifadesi bir dizi belirtir. Diziler değer kümelerine göre adlandırılırlar. Dizinin değer kümesi
Bağıntı YILLAR ) AxB BxA. 2) Ax(BxC) = (AxB)xC. 4) s(axb) = s(bxa) = s(a).s(b)
Bağıtı YILLAR 00 00 00 005 006 007 008 009 00 0 ÖSS-YGS - - - - - - - - - BAĞINTI ÖZELLĐKLER: SIRALI ĐKĐLĐ: (a,) şeklideki ifadeye ir sıralı ikili yada kısaca ikili deir (a,) sıralı ikiliside a ya irici
SAYILAR DOĞAL VE TAM SAYILAR
1 SAYILAR DOĞAL VE TAM SAYILAR RAKAM: Sayıları ifade etmek için kullandığımız 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 sembollerinden her birine rakam denir. Soru: a ve b farklı rakamlar olmak üzere a + b nin alabileceği
Atatürk Anadolu. Temel Kavramlar Üzerine Kısa Çalışmalar
Atatürk Anadolu Lisesi M A T E M A T İ K Temel Kavramlar Üzerine Kısa Çalışmalar KONYA \ SELÇUKLU 01 MATEMATİK 1. TEMEL KAVRAMLAR 1.1. RAKAM Sayıların yazılmasında kullanılan sembollere rakam denir. Onluk
3. Bir kabı, biri 17 diğeri 55 litre su alan ölçeklendirilmemiş iki kap yardımıyla tam olarak 1 litre suyla nasıl doldurursunuz açıklayınız. (10 P.
0..006 MAT3 AYRIK MATEMATİK ARASINAV SORULARI Numarası :..................................... Adı Soyadı :...................................... F,. Fiboacci sayısıı gösterme üzere, ( 0 P.) (a) F + = F
6. loga log3a log5a log4a. 7. x,y R olmak üzere;
log. 5 5 0 olduğuna göre, değeri kaçtır? A) 5 B) 0 C) 6 8 E) 6. loga loga log5a loga eşitliğini sağlaan a değeri kaçtır? 5 A) 5 5 B) 5 5 C) 5 E) 5. loga logb logc ifadesinin eşiti aşağıdakilerden a c A)
11.Konu Tam sayılarda bölünebilme, modüler aritmetik, Diofant denklemler
11.Konu Tam sayılarda bölünebilme, modüler aritmetik, Diofant denklemler 1. Asal sayılar 2. Bir tam sayının bölenleri 3. Modüler aritmetik 4. Bölünebilme kuralları 5. Lineer modüler aritmetik 6. Euler
VI. OLİMPİYAT SINAVI SORULAR
SORULAR 1. N sayısı 1998 basamaklı ve tüm basamakları 1 olan bir doğal sayıdır. Buna göre N sayısının virgülden sonraki 1000. basamağı kaçtır? A)0 B)1 C)3 D)6 E) Hiçbiri. n Z olmak üzere, n sayısı n sayısına
biliniyordu: Eğer 2 a 1 bir asal sayıysa, o zaman S = 2 a 1 (2 a 1) yetkin bir sayıdır. Bunu toplayalım: O halde
SAYILAR DÜNYASINDA GEZİNTİLER H. Turgay Kaptaoğlu Bu yazıda deri teorilere imede sayıları çoğulula da tamsayıları ilgiç özellileride bahsedeceğiz. Bu özellileri hiçbiri yei değil; yüzyıllar, hatta biyıllar
sorusu akla gelebilir. Örneğin, O noktasından A noktasına hareket, OA sembolü ile gösterilir
BÖLÜM 1: VEKTÖRLER Vektörleri taımlamak içi iki yol vardır: uzayda oktalara karşılık gele bir koordiat sistemideki oktalar veya büyüklük ve yöü ola eseler. Bu kısımda, ede iki vektör taımıı buluduğu açıklaacak
11. SINIF KONU ÖZETLİ SORU BANKASI
. SINIF MATEMATİK KONU ÖZETLİ SORU BANKASI Mil li Eği tim Ba ka lı ğı Ta lim ve Ter bi ye Ku ru lu Baş ka lı ğı ı 4.8. ta rih ve sa yı lı ka ra rı ile ka bul edi le ve - Öğ re tim Yı lı da iti ba re uy
{ x,y x y + 19 = 0, x, y R} = 3 tir. = sonlu kümesinin 32 tane alt kümesinde
1. Aşağıdaki kümelerden hangisi sonsuz küme belirtir? A) A = { x 4 < x < 36,x N} B) B = { x 19 < x,x asal sayı} C) C = { x x = 5k,0 < x < 100,k Z} D) D = { x x = 5, x Z} E) E = { x x < 19,x N}. A, B ve
LİNEER CEBİR DERS NOTLARI. Ayten KOÇ
LİNEER CEBİR DERS NOTLARI Aye KOÇ I MATRİSLER I.1. Taım F bir cisim olmak üzere her i = 1,2,..., m, j = 1,2,..., içi aij F ike a11 a12... a1 a21 a22... a 2 M M... M am1 am2... am (1) şeklide dikdörgesel
1994 ÖYS. 6. x, y, z sıfırdan büyük birer tam sayı ve 2x+3y-z=94 olduğuna göre, x in en küçük değeri kaçtır?
99 ÖYS. Üç basamaklı abc sayısının birler basamağı tür. Birler basamağı ile yüzler basamağı değiştirildiğinde oluşan yeni sayı, abc sayısından 97 küçüktür. Buna göre, abc sayısının yüzler basamağı kaçtır?.,
Cahit Arf Matematik Günleri 10
Cahit Arf Matematik Günleri 0. Aşama Sınavı 9 Mart 0 Süre: 3 saat. Eğer n, den büyük bir tamsayı ise n 4 + 4 n sayısının asal olamayacağını gösteriniz.. Çözüm: Eğer n çiftse n 4 +4 n ifadesi de çift ve
18.06 Professor Strang FİNAL 16 Mayıs 2005
8.6 Professor Strag FİNAL 6 Mayıs 25 ( Pua) P,..., P R deki oktalar olsu. ( ai, ai2,..., a i) P i i koordiatlarıdır. Bütü P i oktasıı içere bir cx +... + cx = hiperdüzlemi bulmak istiyoruz. a) Bu hiperdüzlemi
DİKKAT! SORU KİTAPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ A OLARAK CEVAP KÂĞIDINIZA İŞARETLEMEYİ UNUTMAYINIZ. MATEMATİK SINAVI MATEMATİK TESTİ
DİKKAT! SORU KİTAPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ A OLARAK CEVAP KÂĞIDINIZA İŞARETLEMEYİ UNUTMAYINIZ. MATEMATİK SINAVI MATEMATİK TESTİ 1. Bu testte 50 soru vardır.. Cevaplarınızı, cevap kâğıdının Matematik Testi için
TĐCARĐ MATEMATĐK - 5.2 Bileşik Faiz
TĐCARĐ MATEMATĐK - 5 Bileşik 57ÇÖZÜMLÜ ÖRNEKLER: Örek 57: 0000 YTL yıllık %40 faiz oraıyla yıl bileşik faiz ile bakaya yatırılmıştır Bu paraı yılı souda ulaşacağı değer edir? IYol: PV = 0000 YTL = PV (
12-A. Sayılar - 1 TEST
-A TEST Sayılar -. Birbirinden farklı beş pozitif tam sayının toplamı 0 dur. Bu sayılardan sadece ikisi den büyüktür. Bu sayılardan üç tanesi çift sayıdır. Buna göre bu sayılardan en büyüğü en çok kaç
6. Ali her gün cebinde kalan parasının (2009) a, b ve c farklı pozitif tamsayılar, 9. x, y, z pozitif gerçek sayılar,
1. 9 2 x 2 ifadesinin açılımında sabit x terim kaç olur? A) 672 B) 84 C) 1 D) -84.E) -672 6. Ali her gün cebinde kalan parasının %20 sini harcamaktadır. Pazartesi sabahı haftalığını alan Ali ni Salı günü
6. BÖLÜM VEKTÖR UZAYLARI
6. BÖLÜM VEKTÖR UZAYLARI -BOYUTLU (ÖKLİT) UZAYI Taım: Eğer pozitif bir tam sayı ise sıralı -sayı, gerçel sayılar kümesideki adet sayıı (a, a,, a ) bir dizisidir. Tüm sıralı -sayılarıı kümesi -boyutlu uzay
Analiz II Çalışma Soruları-2
Aaliz II Çalışma Soruları- So gücelleme: 04040 (I Aşağıdaki foksiyoları (ilgili değişkelere göre türevlerii buluuz 7 cos π 8 log (si π ( si ta e 9 4 5 6 + cot 0 sec sit t si( e + e arccos ( e cos(ta (II
1. Tabanı 2a büyük eksenli, 2b küçük eksenli elips ile sınırlanan ve büyük eksene dik her kesiti kare olan cismin 16ab 2 hacmini bulunuz.
MAT -MATEMATİK (5-5 YAZ DÖNEMİ) ÇALIŞMA SORULARI. Tabaı a büyük ekseli, b küçük ekseli elips ile sıırlaa ve büyük eksee dik her kesiti kare ola cismi 6ab hacmii buluuz. Cevap :. y = ve y = eğrileri ile
Sivas Fen Lisesi Ortaokul 2. Matematik Olimpiyatı Sınavı A A) 55 B) 50 C) 45 D) 40 E) 35
Sivas Fen Lisesi Ortaokul 2. Matematik Olimpiyatı Sınavı A 1. ABC üçgeninde BF BD, EC CD olacak şekilde AC kenarı üzerinde E noktası, o BC m(ba C) 70 ise m(fd E) kaç derecedir? AB kenarı üzerinde F noktası,
MATEMATİK. Doç Dr Murat ODUNCUOĞLU
MATEMATİK Doç Dr Murat ODUNCUOĞLU Mesleki Matematik 1 TEMEL KAVRAMLAR RAKAM Sayıları yazmak için kullandığımız işaretlere rakam denir. Sayıları ifade etmeye yarayan sembollere rakam denir. Rakamlar 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9
Örnek...3 : Aşağıdaki ifadelerden hangileri bir dizinin genel terim i olabilir?
DİZİLER Tanım kümesi pozitif tam sayılar kümesi olan her fonksiyona dizi denir. Örneğin f : Z + R, f (n )=n 2 ifadesi bir dizi belirtir. Diziler, değer kümelerine göre adlandırı - lırlar. Dizinin değer
İstatistik ve Olasılık
İstatistik ve Olasılık Ders 3: MERKEZİ EĞİLİM VE DAĞILMA ÖLÇÜLERİ Prof. Dr. İrfa KAYMAZ Taım Araştırma souçlarıı açıklamasıda frekas tablosu ve poligou isteile bilgiyi her zama sağlamayabilir. Verileri