ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ. Aylin AYKUT MATEMATİK ANABİLİM DALI ANKARA Her hakkı saklıdır

Transkript

1 ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ SİNGÜLER POTANSİYELLİ STRUM-LIOUVILLE OPERATÖRLERİ Aylin AYKUT MATEMATİK ANABİLİM DALI ANKARA Her hakkı saklıdır

2 ÖZET Yüksek Lisans Tezi S INGÜLER POTANS IYELL I STRUM-LIOUVILLE OPERATÖRLER I Aylin AYKUT Ankara Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Anabilim Dal Dan şman: Yrd. Doç. Dr. Cafer COŞKUN Bu tez üç bölümden oluşmaktad r. Ilk bölüm giriş k sm na ayr lm şt r. Ikinci bölümde, Schrödinger dalga denkleminin Jost çözümleri elde edilmiştir. Üçüncü bölümde, Jost çözümlerinin varl ¼g ve tekli¼gi araşt r lm şt r. Ekim, 47 sayfa Anahtar Kelimeler : Singüler, Strum-Liouville operatörü, Jost çözümü, Bessel fonksiyonu, Hankel fonksiyonu. i

3 ABSTRACT Master Thesis STRUM-LIOUVILLE OPERATORS WITH SINGULAR POTENTIAL Aylin AYKUT Ankara University Graduate School of Natural and Applied Sciences Department of Mathematics Supervisor: Yrd. Doç. Dr. Cafer COŞKUN This thesis consists of three chapters. The rst chapter is devoted to the introduction. In the second chapter, the Jost solution of Schrödinger wave equation is obtained. In the third chapter, eistence and uniqeness of the Jost solution is investigated. October, 47 pages Key Words: Singular, Strum-Liouville operator, Jost solution, Bessel function, Hankel function. ii

4 TEŞEKKÜR Yüksek lisans tezimi yönetmeyi kabul ederek karş laşt ¼g m güçlüklerde yard mlar n benden esirgemeyen, büyük bir sab r ve titizlikle beni yönlendiren sayg de¼ger hocam, Say n Yrd. Doç. Dr. Cafer COŞKUN (Ankara Üniversitesi Fen Fakültesi Matematik Anabilim Dal ) na, yüksek lisans yapt ¼g m süre boyunca ve hayat m n her aşamas nda bana yard mc olan babama, anneme, kardeşime ve başta Fahriye Zehra Babacan ve Ferda¼g Kahraman olmak üzere sevgili dostlar ma en içten sayg ve teşekkürlerimi sunar m. Aylin AYKUT Ankara, Ekim iii

5 IÇ INDEK ILER ÖZET ABSTRACT TEŞEKKÜR S IMGELER D IZ IN I i ii iii v. G IR IŞ JOST ÇÖZÜMÜ k V() = Durumu lim! (; k; ) = S n r Koşulu Alt nda V () = Durumu.3 4 V () = Durumu lim! e ik f (; k; ) = S n r Koşulu Alt nda V () = Durumu ve f ÇÖZÜMLER IN IN VARLI ¼GI (; k; ) Çözümünün Varl ¼g ve Tekli¼gi f (; k; ) Çözümünün Varl ¼g ve Tekli¼gi KAYNAKLAR ÖZGEÇM IŞ iv

6 S IMGELER D IZ IN I C J H () Y () Kompleks say lar cümlesi basamaktan birinci tür Bessel fonksiyonu bamaktan ikinci tür Hankel fonksiyonu basamaktan ikinci tür Bessel fonksiyonu Gama fonksiyonu v

7 . G IR IŞ Matematik ve zik alan nda pek çok uygulamaya sahip olan spektral teori; fonksiyonel analizin ana dallar ndan biri olup, belirli ters operatörler ve bunlar n genel özelliklerine ilişkindir. Kuantum mekani¼ginin pek çok probleminin çözümünde diferensiyel operatörlerin Jost çözümleri temel oluşturdu¼gundan Kuantum mekani¼ginin gelişmesi ile diferensiyel operatörlerin Jost çözümlerine ilgi artm şt r. Bu alanda Strum-Liouville operatörü yard m yla elde edilen ikinci mertebeden diferensiyel denklemlerin Jost çözümleri ve bu çözümlerin analitik incelemesi önemlidir. q kompleks de¼gerli bir fonksiyon ve h C olmak üzere l (y) := y q () y < diferensiyel ifadesinin ve y () hy () = s n r koşulunun yard m ile L (; ) uzay nda tan ml non-selfadjoint Strum-Liouville operatörü L olmak üzere bu operatörün spektral teorisi ilk olarak 954 y l nda Naimark taraf ndan incelenmeye başlanm şt r. Ayr ca L (; ) uzay nda p; q kompleks de¼gerli fonksiyonlar ve p fonksiyonu (; ) da sürekli diferensiyellenebilir bir fonksiyon olmak üzere y q () hp () h y; < denklemi ve Z K () y () d y () () = s n r koşulu yard m yla üretilen KuadratikSchrödinger operatörler demetini L (h) ile gösterelim. Burada ; C; jj jj 6= olmak üzere K L (; ) olsun. Bairamov vd. (997) ve Bairamov vd. (999a,b,c) çal şmalar nda analitik fonk-

8 siyonlar n birebirlik teoremlerini kullanarak L (h) operatörünün spektral analizini incelmiştir. Bu tezde ise V reel de¼gişkenli ve reel de¼gerli bir fonksiyon, k, l C ve = noktas nda ve! için singülerli¼ge sahip q () = k l (l ) V () potansiyelli () k l (l ) V () () = şeklindeki Strum-Lioville diferensiyel denkleminin Jost çözümlerinin bulunmas, bu çözümlerin analitik özelliklerinin ve asimtotiklerinin incelenmesi amaçlanm şt r.

9 . JOST ÇÖZÜMÜ V reel de¼gişkenli ve reel de¼gerli bir fonksiyon, k, l C ve q () = l (l ) V () potansiyeli = noktas nda ve! da singülerli¼ge sahip olmak üzere; a) V () hemen hemen her yerde sürekli Z b) j V () j d = M (c) < (c > ) c Z c c) j V () j d = N c < (c > ) (.) (:) koşullar n sa¼glayan () k l (l ) V () () = (.) (:) Schrödinger dalga denklemi incelenecektir.. k V() = Durumu (:) diferensiyel denkleminde [k V ()] ifadesi ihmal edilirse (:) denklemi () l (l ) () = (..) ikinci basamaktan de¼gişken katsay l bir denklem halini al r. l (l ) =! olmak üzere, 3

10 ()! () = olarak yaz l rsa, = e t de¼gişken de¼giştirmesi yap l r ve = D denilirse = D D olarak bulunur. O halde D D! () = r r! = karakteristik deklemi elde edilir. Buradan (::) denkleminin temel çözümleri l ve l olarak bulunur. Bu durumda () = l l ifadesi de (:) denkleminin bir çözümüdür. (:) denklemi! için ' () = l ( ()) (..) ' () = l ( ()) koşullar n sa¼glayan iki çözüme sahiptir. = l eşitli¼gini kullanarak (:) denklemini () " k 4 V () # () = (..3) şeklinde ele almak daha uygun olacakt r. yerine al n rsa, ' () çözümü ' () çözümüne, benzer biçimde ' () çözümü de ' () çözümüne dönüşür. 4

11 Şimdi ' (; k; ) = () () (..4) yaz larak ve katsay lar n elde etmek için Lagrange yöntemi kullan lacakt r. Buna göre (::4) eşitli¼ginde her iki taraf n de¼gişkenine göre türevi al n rsa ' (; k; ) = p () () p () = () () () bulunur. Burada p () p () = (..5) al nmak üzere ikinci mertebeden türev al ns n. Bu durumda ' (; k; ) = = = = () () h i () 3 () () () () () () 4 () () ' (; k; ) () 4 () 3 () elde edilir. 5

12 Bu ifadeler (:) denkleminde yerine yaz l rsa, () () = V () k ' (; k; ) (..6) denklemi bulunur. Şimdi (::5) ve (::6) denklem sistemi ele al ns n. sistemin katsay lar determinant olmak üzere = = = olup Gram-Schmidt yöntemi uygulan rsa p () = [V () k ] ' (; k; ) = V () k ' (; k; ) ve () = [V () k ] ' (; k; ) = k V () ' (; k; ) denklemleri bulunur. 6

13 (::) koşulundan lim () =! lim () =! oldu¼gu görülebilir. Buradan ve Z ifadeleri elde edilir. () d = Z ) () () = [V () k Z ) () = Z () d = Z ) () () = ) () = ] ' (; k; ) d [V () k ] ' (; k; ) d Z [k Z Z [V () k ] ' (; k; ) d V ()] ' (; k; ) d [k V ()] ' (; k; ) d [k V ()] ' (; k; ) d 7

14 Bu ifadeler (::4) denkleminde yerine yaz l rsa, ' (; k; ) = 3 4 Z V () k ' (; k; ) d Z k V () ' (; k; ) d 5 = Z k = = Z Z Z V () k ' (; k; ) d V () ' (; k; ) d V () ' (; k; ) k ' (; k; ) d " Voltera tipi integral denklemi elde edilir. # p k V () ' (; k; ) d Teorem... (::) koşulu alt nda ' (; k; ) çözümü vard r ve tektir. Ispat. durumda Bunun için = i ile gösterilmek üzere ve 6= olsun. Bu = i = i = e ilog = = olup < olmak üzere yaz labilir. Gerçekten; = < < ) < (..7) 8

15 < ) < (..8) ) < dolay s yla (::7) ve (::8) ifadelerinden < ) < (..9) bulunur. (::9) ifadesi de göz önüne al nararak = (..) eşitsizli¼gi elde edilir. Şimdi X ' (; k; ) = ' (n) (; k; ) (..) n= olsun. ' () (; k; ) = olmak üzere, n için al n rsa ' (n) (; k; ) = Z " # p k V () ' (n) (; k; ) d Z ' () (; k; ) = Z = p [k V ()] ' () (; k; ) d p [k V ()] d 9

16 oldu¼gu görülür. Buradan ' () (; k; ) = sa¼glan r ve dolay s yla jj jj jj jj Z Z Z Z Z " " # p k # p k p k k V () d p k V () d V () d V () d V () d ' () (; k; ) jj Z k V () d eşitsizli¼gi elde edilir. P reel de¼gerli ve azalmayan bir fonksiyon olmak üzere P () = Z k V () d olarak tan mlayal m. (:) koşullar alt nda P () = Z k V () d Z Z k jv ()j d = k N () eşitsizli¼gi gerçeklenir.

17 Şimdi n için ' (n ) (; k; ) (n )! jj n [P ()]n (..) oldu¼gu kabul edilirse ve dp () = k V () olaca¼g ndan (::) eşitsizli¼gi de kullan larak, ' (n) (; k; ) = jj jj Z Z Z = jj n " # p k p k Z = n! jj n [P ()] n p k V () P () n d (P ()) (n )! V () ' (n V () ' (n bulunur. Böylece tümevar m yöntemi gere¼gince her n için elde edilmiş olur. ' (n) (; k; ) jj n ) (; k; ) d ) (; k; ) d (n )! jj n [P ()]n d [P ()] n X n= jj n X [P ()]n serisi yak nsak oldu¼gundan karş laşt rma testi gere¼gince ' (n) (; k; ) n= serisi yak nsak olup,

18 X ' (n) (; k; ) n= X ' (n) (; k; ) n= X n= = n! jj n [P ()] n X n= = P () e [P ()] n n! jj n eşitsizli¼gi gerçeklenir.. lim! (; k; ) = S n r Koşulu Alt nda V () = Durumu (::3) diferensiyel denkleminde V () ifadesi ihmal edilsin. Bu durumda (::3) denklemi () " k 4 halini al r. (::) diferensiyel denkleminin # () = (..) lim (; k; ) = (..)! (::) koşulu alt ndaki çözümü, J (k; ) = X n= ( ) n k n n! (n ) (..3) basamaktan birinci çeşit Bessel Fonksiyonu olmak üzere (; k; ) = [ (; k; )] V ()= = k ( ) J (k; ) şeklindedir (Bateman 953).

19 (::) denkleminde () = u (..4) de¼gişken de¼giştirmesi yap ls n. Gerekli işlemler yap larak d u d du d k u = denklemi elde edilir. Tekrar t = k de¼gişken de¼giştirmesi ile denklem t d u dt tdu dt t u = (..5) halini al r. (::5) denklemi basamaktan bir Bessel diferensiyel denklemdir. (::5) denklemi u u t u biçiminde yaz ls n. (::6) denkleminde çözümü arans n. u (t) = u t = (..6) X c n t nr (..7) n= Buna göre (::7) ifadesinin t de¼gişkenine göre birinci ve ikinci mertebeden türevleri al n p (::5) denkleminde yerine yaz l rsa c (r ) t r r c (r ) t r r c t r r c (r ) t r X c t r c t r c n (n r) (n r ) t nr oldu¼gu görülür. X c n (n r) t nr n= X X c n t nr c n t nr = n= n= n= 3

20 Bu ifade düzenlenirse olur ve buradan c r t r c (r ) t r X c X n (n r) (n r ) (n r) c n t nr = n= n= c r t r c (r ) t r X cn (n r) c n t nr = n= (..8) elde edilir. c s f rdan farkl seçilebildi¼ginden t r ifadesinin katsay s s f ra eşitlenerek r = indisel denklemine ulaş l r. Bu denklemin kökleri ise r = ve r = d r. r = (::8) denkleminde yerine yaz l rsa c ( ) X t (n ) n= c n t nr = ve X c ( ) t [n (n ) c n c n ] t n = n= bulunur. Di¼ger terimlerin katsay lar n n s f ra eşitlenmesi ile c = olur ve indirgeme formülü elde edilir. Buradan n (n ) c n c n = ; (n ) c n = ( ) n c n n! ( ) ( ) ::: ( n) olup c 3; c 5 ; ::: katsay lar c e ba¼gl oldu¼gu için c 3 = c 5 = ::: = c n halde = bulunur. O u (t) = X c n t n = c t n= X n= ( ) n c n n! ( ) ( ) ::: ( n) (..) elde edilir. 4

21 Burada >, = i ve > olmak üzere (n ) = (n ) (n ) = (n ) (n ) (n ) = (n ) (n ) ::: [(n ) (n )] [(n ) (n )] = ( ) ( ) ::: (n ) ( ) ) (n ) (n ) = ( ) ( ) ::: (n ) sa¼glan r ve bu sonuç (::) ifadesinde yerine yaz l rsa u (t) = c t X n= ( ) n t n ( ) n n! (n ) oldu¼gu görülür. t = k ve () = u de¼gişken de¼giştirmeleri göz önüne al n rsa (; k; ) = c k X n= ( ) n k n ( ) n! (n ) elde edilir. c key oldu¼gundan c = k al narak (; k; ) = k ( ) çözümü bulunur ve (::3) ifadesi kullan l rsa X n= ( ) n k n n! (n ) (..) (; k; ) = k ( ) J (k) (..) olarak elde edilmiş olur. 5

22 r = çözümü içinse c = k al narak ( ; k; ) = k ( ) J (k) (..3) elde edilir. Lemma... (::) ve (::3) çözümleri lineer ba¼g ms zd r. Ispat. ( ) ( ) = sin (Bateman 953)ve W [J (k) ; J (k)] = sin k (Watson 948). eşitliklerinden yararlan larak W [ (; k; ) ; ( ; k; )] = (; k; ) ( ; k; ) (; k; ) ( ; k; ) = k ( ) k ( ) J (k) J (k) J (k) kj (k) i J (k) J (k) J (k) kj (k) = k J (k) J (k) J (k) J (k) = ( ) ( ) W [J (k) ; J (k)] = sin (k) sin k = elde edilir. W [ (; k; ) ; ( ; k; )] 6= oldu¼gundan ispat tamamlanm ş olur. Şimdi (; k; ) = () (; k; ) () ( ; k; ) (..4) yaz larak ve katsay lar n elde etmek için Lagrange yöntemi kullan ls n. 6

23 Buna göre (::4) eşitli¼ginde her iki taraf n de¼gişkenine göre türevi al n rsa (; k; ) = () (; k; ) () (; k; ) (..5) () ( ; k; ) () ( ; k; ) bulunur. Burada () (; k; ) () ( ; k; ) = (..6) al nmak üzere ikinci mertebeden türev al ns n. Bu durumda (; k; ) = () (; k; ) () (; k; ) () ( ; k; ) () ( ; k; ) elde edilir. Bu ifadeler (::4) denkleminde yerine yaz l rsa () (; k; ) () (; k; ) () ( ; k; ) () ( ; k; )!! k 4 = V () (; k; ) () (; k; ) k 4 () ( ; k; ) denklemi bulunur. (; k; ) ve ( ; k; ) çözümleri (::) denklemini sa¼glad ¼g ndan () (; k; ) () ( ; k; ) () ( ; k; ) (..7) = V () (; k; ) oldu¼gu görülür. Şimdi (::6) ve (::7) denklem sistemi ele al ns n. sistemin katsay lar determinant olmak üzere 7

24 = (; k; ) ( ; k; ) (; k; ) ( ; k; ) = olup Gram-Schmidt yöntemi uygulan rsa () = ( ; k; ) V () (; k; ) ( ; k; ) = ( ; k; ) V () (; k; ) ve () = (; k; ) (; k; ) V () (; k; ) = (; k; ) V () (; k; ) eşitlikleri bulunur. (::) koşulundan oldu¼gu görülebilir. Bu koşullar alt nda lim () =! lim () =! Z (y) dy = ) () () = Z Z ) () = ( ( Z ( ; k; y) V () (; k; y) dy ; k; y) V () (; k; y) dy ; k; y) V () (; k; y) dy 8

25 ve Z (y) dy = ) () () = ) () = Z Z Z (; k; y) V (y) (; k; y) dy (; k; y) V (y) (; k; y) dy (; k; y) V (y) (; k; y) dy ifadeleri elde edilir. Bu ifadeler (::4).denkleminde yerine yaz l rsa (; k; ) = (; k; ) bulunur ve Z ( Z (; k; ) ( ; k; y) V (y) (; k; y) dy ; k; ) (; k; y) V (y) (; k; y) dy G (; k; ; y) = [ (; k; ) ( ; k; y) ( ; k; ) (; k; y)] (..8) tan mlanmak üzere, (; k; ) = (; k; ) Z G (; k; ; y) V (y) (; k; y) dy elde edilmiş olur. 9

26 .3 4 V () = Durumu (:) diferensiyel denkleminde h 4 i V () ifadesi ihmal edilirse bu denklem () k () = (.3.) ikinci basamaktan diferensiyel denklem halini al r. Burada D k D = karakteristik denklemi elde edilir. (:3:) denkleminin temel çözümleri e ik ve e ik olarak bulunur. Buradan f (; k; ) = e ik e ik ifadesi de (:) denkleminin bir çözümüdür. Bu durumda (:) denklemi! için f (; k; ) = e ik ( o ()) (.3.) f (; k; ) = e ik ( o ()) koşullar n sa¼glayan iki çözüme sahiptir. f (; k; ) = () e ik () e ik (.3.3) yaz larak ve katsay lar n bulmak için bu Lagrange yöntemi kullan ls n. (:3:3) eşitli¼ginde her iki taraf n de¼gişkenine göre türevi al n rsa f (; k; ) = () e ik () ( ik) e ik () e ik () (ik) e ik (.3.4) bulunur.

27 Burada () e ik () e ik = (.3.5) al nmak üzere ikinci mertebeden türev al n rsa f (; k; ) = () ( ik) e ik () k e ik () (ik) e ik () k e ik elde edilir. Bu ifadeler (:) denkleminde yerine yaz l rsa = () ( ik) e ik () k e ik () (ik) e ik () k e ik k # () e ik () e "V ik () 4 () e ik () e ik denklemi bulunur. Burada e ik ve e ik çözümleri (:3:).denklemini sa¼glad ¼g ndan () ( ik) e ik () (ik) e ik = " V () 4 # f (; k; ) (.3.6) elde edilir. Şimdi (:3:5)ve (:3:6) denklem sistemi ele al ns n. sistemin katsay lar determinant olmak üzere e = ik e ik ( ik) e ik (ik) e ik = ik olup Gram-Schmidt yöntemi uygulan rsa () = = h V () 4 e ik i f (; k; ) (ik) e ik " ik # ik eik V () 4 f (; k; )

28 ve () = e ik ( ik) e ik hv () 4 i f (; k; ) = ik e ik " ik V () 4 # f (; k; ) eşitlikleri elde edilir. (:3:) koşulundan olup lim () =! lim () =! ve Z (y) dy = ) () lim t! (t) Z Z ) () = Z ifadeleri elde edilir. (y) dy = ) () lim t! (t) = ) () = Z Z Z Z h i ik eiky V (y) 4 f (; k; y) dy y h i ik eiky V (y) 4 f (; k; y) dy y h i ik eiky V (y) 4 f (; k; y) dy y h i e iky V (y) 4 f (; k; y) dy ik y h i e iky V (y) 4 f (; k; y) dy ik y h i e iky V (y) 4 f (; k; y) dy ik y

29 Bu ifadeler (:3:3) denkleminde yerine yaz l rsa Z f (; k; ) = e ik e ik ik eiky V (y) 4 y Z e ik ik e iky V (y) 4 y!! f (; k; y) dy f (; k; y) dy bulunur ve sin (y ) = eik(y ) e i ik(y ) (Alfaro 965 s.5) eşitli¼gi kullan larak f (; k; ) = e ik k Z biçiminde bir denklem elde edilmiş olur. sin (y ) V (y) 4 y Teorem.3. f (; k; ) çözümü vard r ve tektir. Ispat. olmak üzere n için g (; k; ) = e ik! f (; k; y) dy (.3.7) g n (; k; ) = k Z sin k (y ) " V (y) 4 y # g n (; k; y) dy al n rsa n = için olur. g (; k; ) = k Z sin k (y ) " V (y) 4 y # g (; k; y) dy 3

30 Burada jkj jsin k (y )j < y jkj y ejbjyb (.3.8) gerçeklenir (Alfaro 965). (:3:8) eşitsizli¼gi kullan larak jg (; k; )j = jkj < Z Z e jbjyb jsin k (y )j V (y) 4 e iky dy y y jkj y V (y) 4 e by dy y elde edilir. Q reel de¼gerli bir fonksiyon ve b < olmak üzere Q () = Z " V (y) 4 y olarak tan mlans n. (:) koşullar alt nda # y jkj y e(jbjb)y dy jq ()j = Z Z Z Z " # V (y) 4 y y jkj y e(jbjb)y dy V (y) 4 y y jkj y e(jbjb)y dy e (jbjb)y jv (y)j ydy jv (y)j ydy < gerçeklenir. 4

31 E¼ger oldu¼gu kabul edilirse ve g n (; k; ) < e b [CQ ()] n (n )! (.3.9) dq () dy = " V (y) 4 y # y jkj y e(jbjb)y olmak üzere ve (:3:9) eşitsizli¼ginden jg n (; k; )j jkj Z jsin k (y e b [CQ ()] n (n)! )j V (y) 4 jg n y (; k; y)j dy bulunur. Böylece tümevar m yöntemi gere¼gince 8 n için ) jg n (; k; )j e b [CQ ()] n P elde edilmiş olur. Buna göre e b [CQ ()] n serisi yak nsak oldu¼gundan karş laşt rma (n)! n= P testinden g n (; k; ) serisi yak nsak olup n= (n)! jf (; k; )j X jg n (; k; )j < n= n= X n= e b [CQ ()] n (n)! X = e b [CQ ()] n = e b e Q () (n)! eşitsizli¼gi gerçeklenir. 5

32 .4 lim! e ik f (; k; ) = S n r Koşulu Alt nda V () = Durumu H () ; basamaktan ikinci tür Hankel fonksiyonu olmak üzere (::5) Bessel diferensiyel denkleminin koşulu alt nda çözümü, biçimindedir. Gerçekten, f (; k; ) = lim! eik f (; k; ) = (.4.) k i( ) () e H (k) (.4.) J (k) ve J (k) çözümleri lineer ba¼g ms z oldu¼gundan bu çözümlerin lineer kombinasyonlar da (::4) denkleminin bir çözümü olur. Buna göre; Y (k) = cos kj (k) J (k) sin k (.4.3) olarak tan mlan rsa (:4:3) fonksiyonu da (::5) denkleminin bir di¼ger çözümüdür. Burada Y ile tan mlanan fonksiyon basamaktan ikinci tür Bessel Fonksiyonu ad n al r (Pala 6). J ve Y foksiyonlar n n lineer ba¼g ms zl ¼g ndan (::5) denkleminin bir di¼ger çözümü de biçimde elde edilir. Buradan f (; k; ) = AJ (k) BY (k) A = k i ( ) e ve seçimleri yap l p, B = i k i( ) e 6

33 k! için ve J (k) Y (k) cos k k sin k k ifadeleri dikkate al n rsa ve (:4:) koşulundan dolay f (; k; ) = k i ( ) e [J (k) iy (k)] elde edilir (Olver 974). H () fonksiyonu basamaktan ikinci tür Hankel Fonksiyonu olmak üzere H () (k) = J (k) iy (k) (Bateman 953). şeklinde tan mlan r. Böylece (:4:3) çözümüne ulaş l r. Ayn şekilde f (; k; ) = k i( ) () e H (k) bir di¼ger çözümdür. Lemma.4..f (; k; ) ve f (; Ispat. k; ) çözümleri lineer ba¼g ms zd r. W [f (; k; ) ; f (; k; )] = f (; k; ) f (; k; ) f (; k; ) f (; k; ) ( k = i e i( ) k k H ( k) ( k e i( ) k k H (k) k i e i( ) H ( k) k = ( i) e i i ( k) H (k) H (k) H (k) H (k) = ( i) e i k olur. iw [H (k) ; H (k)] ) H (k) e i( ) ) e i( ) (k) H (k) 7

34 Burada W [H (k) ; H (k)] = şeklindedir. Gerçekten, n h (sin ) e i k ( ) ( ) i o W [J ; J ] (.4.4) H ( k) == ei ( ) J (k) ( ) J (k) i sin (.4.5) olmak üzere W [H (k) ; H (k)] = H (k) H (k) H (k) H (k) = e i (sin ) J (k) J (k) h i e i ( ) kj (k) ( ) kj (k) e i kj (k) kj (k) h io olup = e i ( ) J (k) ( ) J (k) n (sin ) e i k k W [f (; k; ) ; f (; k; )] = ( i) e i n (sin ) e i k k = (sin ) = ik h ( ) ( ) i W [J (k) ; J (k)] i h ( ) ( ) i o W [J ; J ] sin k e i k e i o elde edilir. Böylece W [f (; k; ) ; f (; k; )] 6= oldu¼gundan ispat tamamlanm ş olur. Şimdi f (; k; ) = () f (; k; ) () f (; k; ) (.4.6) al narak ve katsay lar n bulmak için Lagrange yöntemini kullanal m. 8

35 Bu durumda (3::4) eşitli¼ginde her iki taraf n de¼gişkenine göre türevi al n rsa f (; k; ) = () f (; k; ) () f (; k; ) () f (; k; ) () f (; k; ) olur. Burada () f (; k; ) () f (; k; ) = (.4.7) al nmak üzere ikinci mertebeden türev al n rsa f (; k; ) = () f (; k; ) () f (; k; ) () f (; k; ) () f (; k; ) elde edilir. Bu ifadeler (::4) denkleminde yerine yaz l rsa (.4.8) () f (; k; ) () f (; k; ) () f (; k; ) () f (; k; ) " # " # = k 4 () f (; k; ) k 4 () f (; k; ) V () f (; k; ) denklemi bulunur. f (; k; ) ve f (; k; ) çözümleri (::) denklemini sa¼glad ¼g ndan () f (; k; ) () f (; k; ) = V () f (; k; ) (.4.9) oldu¼gu görülür. Şimdi (:4:7).ve (:4:9) denklem sistemi ele al ns n. denklem sisteminin katsay lar determinant olmak üzere f = (; k; ) f (; k; ) f (; k; ) f (; k; ) = ik 9

36 olup Gram-Schmidt yöntemi uygulan rsa () = f (; k; ) V () f (; k; ) ik = V () f (; k; ) ik ve () = f (; k; ) f (; k; ) V () ik = V () f (; k; ) ik eşitlikleri elde edilir. (:4:) koşullar ndan lim () =! lim () =! olup Z (y) dy = ) () lim t! (t) = Z Z ) () = Z V (y) f (; ik V (y) f (; ik V (y) f (; ik k; y) dy k; y) dy k; y) dy 3

37 ve Z (y) dy = ) () lim t! (t) = Z Z ) () = Z V (y) f (; k; y) dy ik V (y) f (; k; y) dy ik V (y) f (; k; y) dy ik ifadeleri elde edilir. Bu ifadeler (:4:4) denkleminde yerine yaz l rsa f (; k; ) = f (; k; ) bulunur ve Z ik f (; Z ik f (; k; y) V (y) f (; k; y) f (; k; y) V (y) f (; k; y) f (; k; ) dy k; ) dy B (; k; ; y) = ik [f (; k; y) f (; k; ) f (; k; y) f (; k; )] (.4.) tan mlanmak üzere f (; k; ) = f (; k; ) Z B (; k; ; y) V (y) f (; k; y) dy (.4.) denklemi elde edilir. 3

38 3. ve f ÇÖZÜMLER IN IN VARLI ¼GI Bu bölümde f ve çözümlerinin varl ¼g ve tekli¼gi incelenecektir. Bunun için öncelikle bize yard mc olacak baz lemmalar verelim. Lemma 3.. (::4) denkleminin (::) ve (3::) çözümlerinin s ras yla aşa¼g daki biçimde yaz labilir. (; k; ) = k (; ; k) f (; k; ) = f (; ; k) Bu durumda k = z olarak tan mlan rsa 8 < j (; ; z)j e jim zj < C jzj jzj < : (C jzj) jzj > (3.) olacak biçimde ya ba¼gl pozitif bir C say s bulmak mümkündür (Alfaro 965). Buna göre jzj > için jzj jzj > jzj olup gerekli düzenlemeler yap l r ve daha sonra her iki taraf n C pozitif kat al n p, kuvveti al n rsa C < C jzj jzj elde edilir. jzj < için de jzj < olup gerekli düzenlemeler yap l r ve her iki taraf n jzj kat al n p, tekrar ayn işlemler uygulan rsa bulunur. C jzj < C jzj jzj 3

39 (3:) ifadesi göz önünde bulundurulursa j (; ; z)j e jim zj < C jzj jzj olup j (; k; )j e jbj < C jkj (3.) elde edilir. Ayn şekilde 8 < (C jf (; ; z)j e Im z jzj) jj ; jzj < < : (C ) jj ; jzj > (3.3) için de bir pozitif C say s bulmak mümkün olup, yukar daki işlemlere benzer işlemler uygulan rsa jf (; ; z)j e Im z < jj C jzj jzj olup jj jf (; k; )j e b C jkj jkj (3.4) elde edilir. Lemma.3.. > y, b = Im k, = Re olmak üzere G (; k; ; y) çekirde¼gi için jg (; k; ; y)j < C () e j yjjbj jj y jj jkj y jkj (3.5) eşitsizli¼gi gerçeklenir. Ispat. v (; k) = ( ) k ep i olarak tan mlans n. 33

40 Ilk olarak ( ; k; ) = oldu¼gunu gösterelim. Buna göre v (; k) ff (; k; ) v ( ; k) (; k; )g (3.6) f (; k; ) = (k) epf i( )g H (k) (3.7) ve v ( ; k) (; k; ) (3.8) = ( ) k ep i k ( ) J (k) olup, (3:7) ve (3:8) ifadeleri toplan p v (;k) kat al n rsa, v (; k) [f (; k; ) f ( ; k) (; k; )] = k ep i [ ( )] H (k) k ( ) J (k) ep fig = k ( i) [ ( )] H (k) ( ) J (k) ep fig elde edilir. Burada (Watson 948) ve H (k) = ei J (k) J (k) i sin ( ) = sin ( ) (Franklin 955) eşitlikleri kullan l rsa; 34

41 ( ; k; ) = k i [ ( )] e i H (k) ( ) J (k) e i ( = k i [ ( )] e i J (k) i sin i [ ( )] J (k) i sin = k ( ) J (k) ( ) J (k) e i ) olarak bulunur. (3:7) eşitli¼gi (::8) ifadesinde yerine yaz l rsa G (; k; ; y) = elde edilir. f (; k) [ (; k; ) f (; k; y) (; k; y) f (; k; )] (3.9) Şimdi (3:) ve (3:3) eşitsizlikleri (3:9) ifadesinde kullan l rsa jg (; k; ; y)j = jf (; k)j j (; k; ) f (; k; y) (; k; y) f (; k; )j jf (; k)j j (; k; ) f (; k; y)j j (; k; y) f (; k; )j A jkj C jj e jbj C jkj y e by jkj jkj y A jkj C y jj e jbjy C jkj e b jkj y jkj = e jbj y C C y jkj jkj y ( e jbj(y ) C y jkj y C jkj ) bulunur. 35

42 f (t) = t t elde edilir. ile tan mlanan f fonksiyonu artan oldu¼gundan, jg (; k; ; y)j Ce jbj y C C y jkj jkj y Lemma 3.3. < y; > ve b < için B (; k; ; y) için jj jb (; k; ; y)j < C () e jbjby y jj jkj y jkj (3.) eşitsizli¼gi gerçeklenir. Ispat. v (; k) = ( ) k ep i olarak tan mlans n. Ilk olarak f (; k; ) = oldu¼gunu gösterelim. Gerekli işlemlerle v (; k) fik (; k; ) v ( ; k) f (; k; )g (3.) ik (; k; ) = = ik k ( ) k ep k ( ) J (k) i J (k) ep i ) ik (; k; ) = k ep i J (k) (3.3) ve v (; k) f (; k; ) = ( ) ( k) ep k i( ) e H (k) = ( ) k ep i i H (k) 36

43 ) v (; k) f (; k; ) = ( ) k ep i H (k) (3.4) ifadeleri elde edilir. (3:3) ve (3:4) ifadeleri toplan p v (;k) kat al n rsa = f (; k) [ik (; k; ) f (; k) f (; k; )] k ep i n o e i J (k) ( ) H (k) bulunur. Ayr ca H (k) = ei J (k) J (k) i sin eşitli¼gi kullan l rsa e i J (k) ( ) e i J (k) J (k) i sin = i sin J (k) ( ) e i J (k) J (k) i sin = ei ( ) J (k) ( ) J (k) = H ( k) i sin olup ) e i J (k) ( ) H (k) = H ( k) sa¼glan r. Buna göre = v (; k) [ik (; k; ) f (; k) f (; k; )] k ep i H ( k) (3:) ifadesi elde edilir. 37

44 (3:) ifadesi (:4:) de yerine yaz l rsa B (; k; ; y) = i f (; k; y) k f (; k) [ik (; k; ) f ( ; k) f (; k; )] f (; k) [ik (; k; y) f ( ; k) f (; k; y) f (; k; )] = f (; k) [f (; k; ) (; k; y) f (; k; y) (; k; )] ) B (; k; ; y) = bulunur. f (; k) [f (; k; ) (; k; y) f (; k; y) (; k; )] (3.5) Şimdi (:3:) ve (:3:3) eşitsizlikleri ve f (; k) = A jkj (Alfaro 965) kullan l rsa jb (; k; ; y)j A jkj fjf (; k; ) (; k; y)j jf (; k; y) (; k; )jg ( jj A jkj C jkj e b C y e jbjy jkj jkj y jj ) C jkj y e by C e jbj jkj y jkj = Ae bjbjy C y jkj y ( e (jbjby) C y jkj y C jkj jkj jj C jkj ) bulunur. f (t) = elde edilir. t t ile tan mlanan f fonksiyonu artan oldu¼gundan jb (; k; ; y)j C () e bjbjy C y jkj y jj C jkj jkj 38

45 3. (; k; ) Çözümünün Varl ¼g ve Tekli¼gi Şimdi (; k; ) çözümü > için (; k; ) = olsun. n için X n (; k; ) n= n (; k; ) = (; k; ) G (; k; ; y) V (y) n Z (; k; y) dy al n rsa (; k; ) = Z G (; k; ; y) V (y) (; k; y) dy elde edilir. Buradan n = için (3:5) eşitsizli¼gi kullan larak j (; k; )j = Z Z G (; k; ; y) V (y) (; k; y) dy jg (; k; ; y)j jv (y)j j (; k; y)j dy < Z ce jbj e jbjy jkj = ce jbj jkj < ce jbj jkj = Ce jbj jkj Z Z Z y jv (y)j j (; k; y)j dy jkj y e jbjy y jkj y e jbjy y jkj y y jkj y jv (y)j dy jv (y)j j (; k; y)j dy jv (y)j e jbjy c y dy jkj y ve ) j (; k; )j Ce jbj jkj Z y jkj y jv (y)j dy 39

46 eşitsizlikleri elde edilir. P sonlu ve azalmayan bir fonksiyon olmak üzere P () = olarak tan mlans n. (:) koşulundan Z y jv (y)j jkj y dy P (y) = Z y Z y t V (t) dt jkj t t jv (t)j dt < Z y t jv (t)j dt jkj t gerçeklenir. E¼ger j n oldu¼gu kabul edilip (; k; )j < Ce jbj [P ()] n jkj (n )! d dy P (y) = d Z y t V (t) dt dy jkj t = y jkj y V (y) (3..) olmak üzere (3::) eşitsizli¼ginden j n (; k; )j = < Z Z Z G (; k; ; y) V (y) n jg (; k; ; y)j jv (y)j j n ce jbj e jbjy jkj (; k; y) dy (; k; y)j dy y jkj y jv (y)j e jbjy y P n (y) jkj y (n )! dy 4

47 = Ce jbj jkj = Ce jbj jkj = Ce jbj jkj = Ce jbj jkj Z y jv (y)j jkj y Z P n P n (y) (n )! dy (y) d (P (y)) (n )! P n (y) j ; P () = (n)! P n () (n)! bulunur. Böylece tümevar m prensibi gere¼gince 8 n için ) j n (; k; )j Ce jbj P n () jkj (n)! elde edilir. Buna göre X n (; k; ) serisi yak nsak olup n= j (; k; )j X j n (; k; )j < n= = Ae jbj jkj = Ae jbj jkj X A n= (CP ())n (n)! X (CP ()) n n= e Cp () (n)! e jbj jkj gerçeklenir. Teorem 3... jkj! için j (; k; ) (; k; )j = o e jbj sa¼glan r. 4

48 Ispat. X j (; k; ) (; k; )j = (; k; ) n (; k; ) (; k; ) n= < Ae jbj e Cp () jkj olup j (; k; ) (; k; )j < Ae jbj jkj e Cp () elde edilir. Burada jkj! için P () = < Z Z a y jv (y)j jkj y dy < Z a y jv (y)j dy jkj y jv (y)j jkj y dy Z a Z a y jv (y)j dy < y y jv (y)j jkj y dy sa¼glan r ve gerçeklenir. P () < Z a y jv (y)j dy O jkj 4

49 3. f (; k; ) Çözümünün Varl ¼g ve Tekli¼gi Teorem 3.. (3:8) koşulu alt nda f (; k; ) çözümü vard r ve tektir. Ispat: f (; k; ) = olsun. n için X f n (; k; ) n= Z f n (; k; ) = f (; k; ) B (; k; ; y) V (y) f n (; k; y) dy al n rsa f (; k; ) = Z B (; k; ; y) V (y) f (; k; y) dy elde edilir. Buradan n = için (3:) eşitsizli¼gi kullan larak, jf (; k; )j = Z Z B (; k; ; y) V (y) f (; k; y) dy jb (; k; ; y)j jv (y)j jf (; k; y)j dy < Z ce b e jbjy y jkj y jj C jkj y jv (y)j e by dy jkj y = c e jkj jj jj Z A jkj jj jj jkj e jbjyby y jv (y)j dy jkj y ve jf (; k; )j c e jkj jj A jkj eşitsizlikleri elde edilir. jj Z e jbjyby y jv (y)j dy jkj y 43

50 Q sonlu bir fonksiyon ve b < olmak üzere Q () = Z olarak tan mlans n. (:) koşulu alt nda e (jbjb)y yv (y) jkj y dy jq ()j = = Z Z e (jbjb)y yv (y) jkj y dy e (jbjb)y jv (y)j ydy = Z Z e (jbjb)y jv (y)j jv (y)j ydy < y jkj y dy gerçeklenir. E¼ger jj jkj jf t (; k; )j < Ce b (Q ()) t jkj (t )! (3..) oldu¼gu kabul edilirse ve d dy Q (y) = d dy Z y e (jbjb)s olmak üzere (3::) eşitsizli¼ginden, sv (s) yv (y) ds = e(jbjb)y jkj s jkj y jf t (; k; )j = < Z Z Z B (; k; ; y) V (y) f t jb (; k; ; y)j jv (y)j jf t ce b e jbjy y jkj y (; k; y) dy (; k; y)j dy jj jj jkj jj jkj y jv (y)j Ce by (Q (y)) t jkj y (t )! 44

51 jj jkj = Ce b jkj jj jkj = Ce b jkj jkj = Ce b jkj = Ce b jkj jkj Z Z jj CQ (y) t t! jj CQ () t jbjyby y jv (y)j e jkj y (Q (y)) t dy (t )! jbjyby y jv (y)j e f d [Q (y)]g jkj y elde edilir. Böylece tümevar m yöntemi gere¼gince 8 t için t! j ; lim y! Q (y) = jj jkj ) jf t (; k; )j < Ce b CQ () t jkj t! P elde edilir. Buna göre jj Ce b jkj CQ() t serisi mutlak yak nsak oldu¼gundan Weierstrass M-testinden f n (; k; ) serisi düzgün yak nsakt r. jkj t! n= P Ayr ca n= jf (; k; )j X jf n (; k; )j < n= X jkj Ce b jkj X CQ () t n= jj jkj < Ce b jkj n= jj jkj = Ce b e CQ() jkj t! jj CQ () t t! eşitsizli¼gi sa¼glan r. 45

52 KAYNAKLAR Alfaro, V.D. and Regge, T Potential Scattering. North-Holland Publishing Company, Amsderdam. Bairamov, E., Çakar, Ö. and Krall, A.M Spectrum and spectral singularities quadratic pencil of a Schrödinger operators with a general boundary condition, J. Di erential Equations 5, Bateman, H Higher Transcendental Functions Volume II. Mcgraw-Hill Book Company, New York. Pala, Y. 6. Modern Uygulamal Diferensiyel Denklemler. Nobel Yay n Da¼g t m, Ankara. Watson, G.N A Treatise on the Theory of Bessel Functions. The Macmillan Company, New York. 46

53 ÖZGEÇM IŞ Ad Soyad : Aylin AYKUT Do¼gum Yeri : Konya Do¼gum Tarihi :..983 Medeni Hali : Bekar Yabanc Dili : Ingilizce E¼gitim Durumu (Kurum ve Y l) Lise : Selçuklu Anadolu Lisesi () Lisans : Ankara Üniversitesi Fen Fakültesi Matematik Bölümü (7) Yüksek Lisans : Ankara Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Anabilim Dal (Eylül 7-Ekim ) 47