T.C. SÜLEYMAN DEMİREL ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ DEJENERE HELİSLER ÜZERİNE

Transkript

1 T.C. SÜLEYMAN DEMİREL ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ DEJENERE HELİSLER ÜZERİNE Zafer ŞANLI Danışman: Prof. Dr. A. Ceylan ÇÖKEN YÜKSEK LİSANS TEZİ MATEMATİK ANABİLİM DALI ISPARTA-2009

2 Fen Bilimleri Enstitüsü Müdürlüğüne Bu çalışma, jürimiz tarafından MATEMATİK ANABİLİM DALI'nda oybirliği ile YÜKSEK LİSANS TEZİ olarak kabul edilmiştir. Başkan : Prof. Dr. M. Kemal SAĞEL Mehmet Akif Ersoy Üniversitesi Fen-Ed. Fak. Matematik Bölümü Üye : Prof. Dr. A. Ceylan ÇÖKEN (Danışman) Süleyman Demirel Üniversitesi Fen- Ed. Fak. Matematik Bölümü Üye : Doç. Dr. Nihat AYYILDIZ Süleyman Demirel Üniversitesi Fen- Ed. Fak. Matematik Bölümü ONAY Bu tez 16/04/2009 tarihinde yapılan tez savunma sınavı sonucunda, yukarıdaki jüri üyeleri tarafından kabul edilmiştir..../.../2009 Prof. Dr. Mustafa KUŞCU Enstitü Müdürü

3 IÇ INDEK ILER IÇ INDEK ILER...i ÖZET...ii ABSTRACT...iii TEŞEKKÜR...iv S IMGELER D IZ IN I...v 1. G IR IŞ TEMEL KAVRAMLAR Simetrik Bilineer Formlar Yar -Riemann Manifoldlar LORENTZ MAN IFOLDLARINDA s-dejenere E ¼GR ILER Bir s-dejenere E¼gri Için Frenet Çat s Bir s-dejenere E¼gri Için Cartan Çat s R n 1 MINKOWSKI UZAYINDA s DEJENERE E ¼GR ILER R n 1 Minkowski Uzay nda s-dejenere E¼griler Için Cartan Çat s R 4 1 Minkowski Uzay nda 2-Dejenere Helisler R 5 1 MINKOWSKI UZAYINDA s DEJENERE HEL ISLER R 5 1 Minkowski Uzay nda 2-Dejenere Helisler R 5 1 Minkowski Uzay nda 3-Dejenere Helisler KAYNAKLAR...45 ÖZGEÇM IŞ...46 i

4 ÖZET Yüksek Lisans Tezi DEJENERE HEL ISLER ÜZER INE Zafer ŞANLI Süleyman Demirel Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Anabilim Dal Jüri: Prof. Dr. M. Kemal SA ¼GEL Prof. Dr. A. Ceylan ÇÖKEN (Dan şman) Doç. Dr. Nihat AYYILDIZ Bu çal şma beş bölümden oluşmaktad r. Birinci bölümde konunun zikle olan ilgisi hakk nda genel bilgi verilmiştir. Ikinci bölümde, simetrik bilineer formlar ve yar -Riemann manifoldlar ile ilgili temel tan m ve teoremler verilmiştir. Üçüncü bölümde, Lorentz manifoldlar ndaki s dejenere e¼griler için Frenet çat s ve Cartan çat s elde edilmiştir. Daha sonra ise s dejenere e¼griler için varl k ve teklik teoremleri ele al nm şt r. Dördüncü bölümde, R n 1 Minkowski uzay ndaki s ve tekli¼gi ifade edilerek, R 4 1 Minkowski uzay ndaki 2 dejenere e¼griler için Cartan çat s n n varl ¼g dejenere helis denklemleri incelenmiştir. Beşinci ve son bölümde ise, R 5 1 Minkowski uzay ndaki 2 dejenere ve 3 dejenere helis denklemleri elde edilmiştir. Anahtar kelimeler: Minkowski Uzay, s-dejenere E¼gri, Frenet Çat s, Cartan Çat s. 2009, 45 sayfa ii

5 ABSTRACT M.Sc. Thesis ON DEGENERATE HELICES Zafer ŞANLI Süleyman Demirel University Graduate School of Applied and Natural Sciences Department of Mathematics Thesis Committee: Prof. Dr. M. Kemal SA ¼GEL Prof. Dr. A. Ceylan ÇÖKEN (Supervisor) Assoc. Prof. Dr. Nihat AYYILDIZ This thesis consists of ve chapters. In the rst chapter, it was given general information about the subject s relations with physics. In the second chapter, some fundamental de nitions and theorems about symmetric bilinear forms and Semi-Riemannian manifolds are given. In the third chapter, it is obtained that Frenet frame and Cartan frame of s-degenerate curves in Lorentzian manifolds. Then existence and uniqueness theorems for s-degenerate curves are examined. In the fourth chapter, by expressing the existence and uniqueness of Cartan frames for s-degenerate curves in R n 1 Minkowski spaces, the equation of 2-degenerate helices are examined. In the fth and the last chapter, it is obtained that the equation of 2-degenerate and 3-degenerate helices in R 5 1 Minkowski space. Keywords: Minkowski Space, s-degenerate Curve, Frenet Frame, Cartan Frame. 2009, 45 pages iii

6 TEŞEKKÜR Çal şmalar m boyunca de¼gerli yard m ve katk lar yla beni yönlendiren, k ymetli tecrübelerinden ve bilgilerinden faydaland ¼g m, çal şmam n her aşamas nda beni destekleyen dan şman hocam Prof. Dr. A. Ceylan ÇÖKEN e teşekkür ederim. Ayr ca tezimin hiçbir aşamas nda beni yaln z b rakmayan aileme sonsuz sevgi ve sayg lar m sunar m. Zafer ŞANLI ISPARTA, 2009 iv

7 S IMGELER D IZ IN I R Reel say lar cismi V Reel vektör uzay b Simetrik bilineer form g Skalar çarp m Rad (V) V vektör uzay n n s f r uzay r V Rad (V) nin boyutu Direkt toplam? Ortogonal direkt toplam M Yar -Riemann Manifoldu Yar -Riemann Manifoldunun indeksi T p (M) p 2 M noktas ndaki tanjant uzay R n (M) r k i i n-boyutlu -indeksli yar -Öklid uzay M manifoldu üzerindeki vektör alanlar n n kümesi M manifoldu üzerindeki Koneksiyon i: e¼grilik i: Cartan e¼grili¼gi v

8 1. G IR IŞ Teorik zikte uzayzaman(spacetime) kavram 3-boyutlu uzay ile 1-boyutlu zaman uzay n tek bir Lorentz manifoldu üzerinde birleştiren matematiksel bir modeldir. Uzayzaman kavram, Albert Einstein taraf ndan 1905 ve 1907 y llar nda temelleri at lan Özel ve Genel Relativite Teorileri için temel niteli¼gindedir. Dolay s yla graviton ve foton gibi çok küçük parçac klar n bu uzayda ald klar yollar n incelenmesi önemlidir. Uzayzamanda ş ks (lightlike) hiperyüzeylerin geometrisi, gravitasyon zi¼ginde ve matemati¼ginde oldu¼gu kadar Genel Relativite nin gelişmesinde de önemli bir rol oynam şt r. Genel olarak uzayzaman kavram karadeliklerin, asimptotik düzlem sistemlerinin ve gravitasyonal dalgalar n ola¼gan yap s n da anlamak için gereklidir (Ferrandez vd. 2003). Iş ks hiperyüzeylerin çal ş lmas için ilk olarak bu hiperyüzeylerin üzerinde yatan e¼grilerin incelenmesi gereklidir. Bu ba¼glamda Lorentz uzay formalar ndaki ş ks e¼griler bir çok zikçi ve matematikçi taraf ndan çal ş lm şt r. Iş ks e¼griler ile ilgili ilk kapsaml çal şma 1969 y l nda zikçi W.B. Bonnor taraf ndan yap lm şt r. Bu çal şma daha sonralar A. Bejancu taraf ndan Lorentz manifoldlar na genelleştirilmiştir. Ancak bir ş ks hiperyüzey üzerinde ş ks e¼griler d ş nda farkl tipte e¼griler de bulunmaktad r. Bunlar ise yüksek mertebeden türevleri ş ks olan uzays e¼griler, yani s-dejenere e¼grilerdir. A. Ferrandez, A. Gimenez ve P. Lucas 2003 y l nda yapt klar bir çal şmada Lorentz uzay formlar ndaki s-dejenere e¼grileri s: mertebeden türevi ş ks, s den küçük mertebedeki türevleri uzays (spacelike) olan e¼griler olarak tan mlam şlard r. Bu ba¼glamda klasik ş ks e¼griler 1-dejenere e¼grilerdir. A. Ferrandez vd., bu çal şmalar nda Bonnor un Minkowski uzayzaman ndaki ş ks e¼griler için olan çat s n bir s-dejenere e¼gri boyunca genelleştirerek yeni bir çat elde etmişlerdir. Ayr ca n-boyutlu Lorentz uzay formlar ndaki s-dejenere helisleri karakterize ederek 4-boyutta bu e¼griler için tam bir s n and rma yapm şlard r. 1

9 2005 y l nda Rus zikçiler D.Y. Tsipenyuk ve V.A. Andreev taraf ndan "5-Dimensional Extended Space Model" isimli bir çal şma yap lm şt r. Bu çal şmada 4-boyutlu Minkowski uzay bir S aral ¼g ile birlikte ele al narak, Einstein n Özel Relativite Teorisini 5-boyutlu bir uzay üzerine genelleştirmişlerdir. Haz rlanan bu çal şmada ilk olarak Ferrandez vd. taraf ndan s-dejenere e¼griler boyunca Frenet ve Cartan çat lar elde edilerek R 4 1 Minkowski uzay ndaki s-dejenere helisler incelenmiştir. Daha sonra ise elde edilen Cartan çat s yard m yla 5-boyutlu R 5 1 Minkowski uzay ndaki s-dejenere helislerin diferensiyel denklemleri hesaplanm şt r. 2

10 2. TEMEL KAVRAMLAR Bu bölümde çal şmaya esas olan tan m ve teoremler verilecektir. 2.1 Simetrik Bilineer Formlar Tan m V bir reel vektör uzay olsun. b : V V! R dönüşümü 8 1 ; 2 2 R ve 8u; v; w 2 V için i) b(u; v) = b(v; u) ii) b( 1 u + 2 v; w) = 1 b(u; w) + 2 b(v; w) b(u; 1 v + 2 w) = 1 b(u; v) + 2 b(u; w) özelliklerine sahip ise b dönüşümüne V reel vektör uzay üzerinde bir simetrik bilineer form denir (O Neill, 1983). Tan m V bir reel vektör uzay ve b bir simetrik bilineer form olsun. E¼ger 8v 2 V için b(; v) = 0 olacak şekilde V nin s f rdan farkl bir vektörü varsa b simetrik bilineer formuna V üzerinde dejeneredir, aksi halde non-dejeneredir denir (Ferrandez vd., 2003). Tan m V bir reel vektör uzay ve b bir simetrik bilineer form olmak üzere Rad (V) = f 2 V : b (; v) = 0; v 2 Vg olarak tan mlanan altvektör uzay na b simetrik bilineer formuna göre V nin s f r uzay (radikali) denir. Ayr ca Rad(V) altuzay n n boyutuna da b nin s f rl k derecesi denir ve r V ile gösterilir (Ferrandez vd., 2003). Lemma Bir V reel vektör uzay üzerinde tan ml b simetrik bilineer formunun non-dejenere (dejenere) olmas için gerek ve yeter şart Rad(V) = f0g (Rad(V) 6= f0g) olmas d r (Duggal ve Bejancu, 1996). 3

11 Tan m Bir V reel vektör uzay üzerinde tan mlanan simetrik bilineer form b olsun. E¼ger i) 8v 2 V ve v 6= 0 için b (v; v) > 0 (b (v; v) < 0) ise b simetrik bilineer formuna pozitif (negatif) tan ml ; ii) 8v 2 V için b (v; v) 0 (b (v; v) 0) ise b simetrik bilineer formuna pozitif (negatif) yar -tan ml ; iii) 8v 2 V için b (v; w) = 0 iken w = 0 oluyorsa b simetrik bilineer formuna non-dejenere denir (O Neill, 1983). Tan m V bir reel vektör uzay ve b : V V! R bir simetrik bilineer form olsun. b : W W! R negatif tan ml olacak şekildeki en büyük boyutlu W V altuzay n n boyutuna b simetrik bilineer formunun indeksi denir ve ile gösterilir (O Neill, 1983). Tan m Bir V reel vektör uzay üzerinde tan mlanan non-dejenere simetrik bilineer forma V üzerinde bir skalar çarp m ad verilir. Bu taktirde (V;g) ikilisine skalar çarp ml vektör uzay denir (O Neill, 1983). Tan m Bir V reel vektör uzay üzerindeki skalar çarp m g olsun. E¼ger bir v 2 V vektörü için g (v; v) = 1 ise v vektörüne bir birim vektör denir (Ferrandez vd., 2003). 4

12 Tan m (V;g) bir skalar çarp m uzay olsun. Bir v 2 V vektörüne i) g (v; v) > 0 veya v = 0 ise uzays (spacelike) vektör ii) g (v; v) < 0 ise zamans (timelike) vektör iii) v 6= 0 iken g (v; v) = 0 ise ş ks (null-lightlike) vektör denir. Ayr ca v vektörünün içinde bulundu¼gu kategoriye, v vektörünün Kozsul karakteri ad verilir (O Neill, 1983). Tan m V bir vektör uzay ve U ve W uzaylar da V nin altuzaylar olsun. Bu taktirde U W = fu + w : u 2 U;w 2 Wg olarak tan ml uzaya U ve W altuzaylar n toplam uzay ad verilir (Ho man ve Kunze, 1971). Tan m (V;g) bir skalar çarp m uzay olsun. E¼ger u; v 2 V vektörleri için g (u; v) = 0 oluyorsa bu vektörlere ortogonaldirler denir ve u? v biçiminde gösterilirler (O Neill, 1983). Tan m (V;g) bir skalar çarp m uzay ve V vektör uzay n n iki altuzay da U ve W olsun. E¼ger 8u 2 U ve 8w 2 W için g (u; w) = 0 oluyorsa U ve W altuzaylar ortogonaldirler denir ve U? W şeklinde yaz l r (O Neill, 1983). Tan m Bir (V;g) skalar çarp m uzay n n U \ W = f0g şart n sa¼glayan iki ortogonal altuzay U ve W olsun. Bu taktirde U ve W altuzaylar n ortogonal direkt toplam U? W olarak yaz l r (Ferrandez vd., 2003). Önerme Bir (V;g) skalar çarp m uzay n n bir altuzay W olsun. Bu taktirde i) boy (W) + boy W? = boy (V) ii) W?? = W iii) Rad (W) = Rad W? = Rad W \ W? dir (Duggal ve Bejancu, 1996). 5

13 Sonuç Bir (V;g) skalar çarp m uzay n n bir altuzay W olsun. Bu taktirde aşa¼g daki ifadeler denktir: i) W non-dejenere bir altuzayd r. ii) W? non-dejenere bir altuzayd r. iii) W ve W? birbirini tümleyen ortogonal altuzaylard r. iv) W ve W? altuzaylar n n ortogonal direkt toplam V uzay d r, yani V = W? W? dir (Duggal ve Bejancu, 1996). Tan m Bir (V;g) skalar çarp m uzay n n birbirine dik birim vektörlerin oluşturdu¼gu E = fe 1 ; :::; e n g kümesine V nin bir ortonormal baz denir (Duggal ve Bejancu, 1996) Yar -Riemann Manifoldlar Tan m M bir diferensiyellenebilir manifold olsun. 8p 2 M noktas ndaki tanjant uzay T p (M) olmak üzere g p : T p (M) T p (M)! R (v p ; w p )! g p (v p ; w p ) şeklinde tan ml sabit indeksli, simetrik, bilineer, non-dejenere (0; 2) tensörüne M üzerinde bir metrik tensör denir (O Neill, 1983). Tan m M bir diferensiyellenebilir manifold olsun. E¼ger M manifoldu bir g metrik tensör ile donat lm ş ise M manifolduna bir yar -Riemann manifoldu denir (O Neill, 1983). 6

14 Tan m Bir M yar -Riemann manifoldu üzerindeki g metrik tensörünün indeksine yar -Riemann manifoldunun indeksi denir (O Neill, 1983). Tan m M bir yar -Riemann manifoldu olsun. 0 boym olmak üzere e¼ger = 0 ise M ye Riemann manifoldu; n 2 için = 1 ise M ye Lorentz manifoldu denir (O Neill, 1983). Tan m n-boyutlu Öklid uzay R n verilsin. 0 n olmak üzere tamsay s için R n üzerindeki metrik tensör g (v p ; w p ) = X nx v i w i + v i w i i=1 i=+1 olarak tan mlan rsa bu uzay n-boyutlu yar -Öklid uzay olarak adland r l r ve R n ile gösterilir. Özel olarak n 2 için = 1 ise R n 1 uzay na n-boyutlu Minkowski uzay denir (O Neill, 1983). Tan m r 2 n ve m = n 2r olmak üzere R n nun bir baz B= fl 1 ; N 1 ; :::L r ; N r ; W 1 ; :::; W m g i; j 2 f1; :::; rg, ; 2 f1; :::; mg ve 8 < " = : 1 ; 1 r 1 ; r + 1 m olmak üzere e¼ger < L i ; L j > = < N i ; N j > = 0 ; < L i ; N i > = " i < L i ; N j > = 0; i 6= j; < L i ; W > = < N i ; W > = 0 ; < W ; W > = " şartlar n sa¼gl yorsa B baz na bir yar -ortonormal baz ad verilir (Ferrandez vd., 2003). 7

15 Tan m Bir V vektör uzay n n bir baz fe 1 ; :::; e n g olsun. E¼ger det [e 1 :::e n ] > 0 ise bu baza pozitif yönlendirilmiş; e¼ger det [e 1 :::e n ] < 0 ise negatif yönlendirilmiş denir (O Neill, 1983). Tan m Bir V vektör uzay n n iki baz e = fe 1 ; :::; e n g ve f = ff 1 ; :::; f n g olarak verilmiş olsun. Bu taktirde e i = nx a ij f j j=1 olmak üzere A = [a ij ] matrisi için det A > 0 ise V nin e ve f bazlar ayn yönlendirmeye sahiptirler denir. Burada ayn yönlendirmeye sahip olma ba¼g nt s V nin tüm bazlar n n kümesinde bir denklik ba¼g nt s d r ve V nin yönlendirmeleri olarak adland r lan iki denklik s n f n belirtir. Ayr ca bu baz içeren yönlendirme [fe 1 ; :::; e n g] ile gösterilir (O Neill, 1983). Tan m Bir M yar -Riemann manifoldu için bir U M komşulu¼gu üzerinde = fx 1 ; :::; x n g bir koordinat sistemi ve oi (p) = hn@ 1 j p ; n j p olsun. Her p 2 M noktas na T p (M) nin yönlendirmesini eşleyen ve 8 p 2 M için p nin baz koordinat komşuluklar nda = olacak şekilde p de bir bulunmas anlam nda diferensiyellenebilir bir fonksiyonuna M nin bir yönlendirilmesi denir (O Neill, 1983). Tan m M bir yar -Riemann manifoldu olsun. E¼ger M nin en az bir yönlendirmesi varsa M ye yönlendiredirilebilirdir denir. Buna göre M yi yönlendirmek belli bir yönlendirmeyi seçmek anlam ndad r (O Neill, 1983). 8

16 Önerme M ve N iki yar -Riemann manifoldu ve : M! N diferensiyellenebilir bir dönüşüm olsun. E¼ger : I! M bir e¼gri ise : I! N dir. Bu taktirde 8t 2 I için d( 0 (t)) = ( ) 0 (t) olur (O Neill, 1983). Tan m M ve N birer yar -Riemann manifoldu ve : M! N diferensiyellenebilir bir fonksiyon olsun. E¼ger 8v p ; w p 2 T p (M) için g(d(v p ); d(w p )) = g(v p ; w p ) ise fonksiyonuna bir izometri denir (O Neill, 1983). Özel olarak bir : R n! R n izometrisine bir yar -Öklid transformasyonu, = 1 olmas halinde de bir Lorentz transformasyonu ad verilir (Dodson ve Poston, 1977). Önerme M ve N iki yar -Riemann manifoldu ve : M! N bir izometri olsun. Bu taktirde 8X; Y 2 (M) için d(r X Y ) = r d(x) d(y ) olur (O Neill, 1983). 9

17 Tan m X; F (t) ve A (t) s ras yla 0 X = x 1 (t) x 2 (t). x n (t) 1 0 ; F (t) = C B f 1 (t) f 2 (t). f n (t) 1 0 ; A (t) = C B a 11 (t) a 12 (t) : : : a 1n (t) a 21 (t) a 22 (t) : : : a 2n (t)..... : : : a n1 (t) a n1 (t) : : : a nn (t) 1 C A matrisleri ile gösterilirse o zaman birinci mertebeden dx i dt = nx a ij (t) x j (t) + f i (t) ; j=1 1 i n lineer denklem sistemi X 0 = A (t) X + F (t) (2.1) olarak yaz labilir. E¼ger 2.1 sistemi homojen ise. dx dt = A (t) X (2.2) olur (Özer ve Eser, 2000). Tan m Herhangi bir I aral ¼g ndaki çözüm vektörü, elemanlar bu aral kta 2.1 sistemini sa¼glayan diferensiyellenebilir fonksiyonlar olan 2 3 x 1 (t) x X = 2 (t) x n (t) sütun matrisidir (Özer ve Eser, 2000). 10

18 Tan m t 0 herhangi bir I aral ¼g nda bir nokta ve 1 i n için b i ler verilen sabitler olmak üzere x 1 (t 0 ) x X (t 0 ) = 2 (t 0 ) ve X 0 = B. C x n (t 0 ) olarak tan mlans n. O zaman b 1 b 2. b n 1 C A X 0 = AX + F (t) X (t 0 ) = X 0 (2.3) problemine bu aral kta bir başlang ç-de¼ger problemi denir (Özer ve Eser, 2000). Teorem A (t) ve F (t) matrislerinin elemanlar t 0 noktas n içeren bir I aral ¼g üzerinde sürekli fonksiyonlar olsunlar. Bu taktirde 2.3 başlang ç-de¼ger probleminin tek bir çözümü vard r (Özer ve Eser, 2000). 11

19 3. LORENTZ MAN IFOLDLARINDA s-dejenere E ¼GR ILER Bu bölümde, ilk olarak bir Lorentz manifoldundaki s-dejenere e¼gri kavram tan mlarak, bir s-dejenere e¼gri boyunca Frenet çat s ve Cartan çat s elde edilecektir. Daha sonra ise bu tip e¼griler için varl k ve teklik teoremleri ifade edilecektir. 3.1 Bir s-dejenere E¼gri Için Frenet Çat s Tan m (M n 1 ; r) bir yönlendirilmiş Lorentz manifoldu ve : I! M n 1 bir diferensiyellenebilir e¼gri olsun. boyunca her V vektör alan n n kovaryant türevi V 0 ile gösterilsin. Ayr ca t 2 I ve i = 1; :::; n olmak üzere E i (t) = span 0 (t); 00 (t); :::; (i) (t) ve d = max fi : boy(e i (t)) = i; 8t 2 Ig olarak tan mlans n. E¼ger her t 2 I ve 1 i d için boyrad(e i (t)) sabit, her j < s için Rad(E s ) 6= f0g ve Rad(E j ) = f0g olacak şekilde bir 1 < s d say s varsa e¼grisine bir s-dejenere( ş ks ) e¼gri denir (Ferrandez vd., 2003). Yukar daki tan ma göre klasik ş ks e¼griler 1-dejenere e¼grilerdir. Bu yüzden bu çal şmada Lorentz uzaylar ndaki s > 1 için s-dejenere e¼griler incelenecektir. Buradaki di¼ger önemli bir nokta da bu tip e¼grilerin uzays e¼griler olmas gerekti¼gidir. Lorentz manifoldlar ndaki s-dejenere e¼griler için Frenet çat s n elde etmeden önce temel niteli¼ginde olan aşa¼g daki lemmay inceleyelim. 12

20 Lemma (V; h; i) bir bilineer uzay ve V nin bir hiperdüzlemi F olsun. Bu taktirde r F = boyrad(f) ve r V = boyrad(v) olmak üzere aşa¼g daki ifadeler sa¼glan r: i) r F = 0 ve r V = 1 ise V = F?span flg olacak şekilde bir L ş ks vektörü vard r. ii) r F = r V 2 f0; 1g ise V = F?span fw g olacak şekilde ş ks olmayan bir W vektörü vard r. Ayr ca Rad(V) = f0g ise W işaretine göre tektir. iii) L 2 Rad(F) ve E non-dejenere olmak üzere r F = 1; r V = 0 ve F = E? L ise öyle bir N ş ks vektörü vard r ki, " = 1 olmak üzere < L; N > = " ve V = (span flg span fng)? E dir (Ferrandez vd., 2003). Ispat: i) r F = 0 oldu¼gunda Lemma gere¼gince F non-dejenere bir hiperdüzlemdir. Dolay s yla key bir L vektörü için F? = span flg olmak üzere V = F? F? yaz labilir. Di¼ger taraftan r V = 1 oldu¼gundan Rad(V) F? sokma(inclusion) dönüşümü 13

21 olmas n gerektirir ki bu halde Rad(V) = span flg = F? V = F?span flg olur. ii) Ilk olarak r F = r V = 0 olsun. Bu taktirde V ve F non-dejenere uzaylar olup, W vektörü F hiperyüzeyinin ş ks olmayan birim normal vektörü olmak üzere V = F?span fw g olarak yaz labilir. Şimdi de r F = r V = 1 oldu¼gunu kabul edelim. E non-dejenere bir altuzay ve L ş ks bir vektör olmak üzere F = E?span flg oldu¼gu gözönüne al n rsa V = E? E? olarak yaz labilir. Di¼ger taraftan boy(e? ) = 2 oldu¼gundan, Rad(E) = span flg ve W 2 E? ş ks olmayan bir vektör olmak üzere E? = span flg span fw g olur. Bu taktirde V = E? E? = E? fspan flg span fw gg = fe?span flgg span fw g olup 14

22 E\span fw g = f0g oldu¼gundan V = E?span fw g elde edilir. iii) r V = 0 ve r F = 1 olsun. Yukar daki ispatta oldu¼gu gibi E? = span flg span fw g ve oldu¼gu gözönüne al n rsa F = E?span flg V = E? E? elde edilir. Di¼ger taraftan Rad(V) = f0g oldu¼gundan < L; W > 6= 0 d r. Buna göre N = olarak tan mlans n. Bu taktirde " < W; W > (W < L; W > 2 < L; W > L) < N; N > = < " <W;W > (W L); " <W;W > (W L) > <L;W > 2<L;W > <L;W > 2<L;W > <W;W >2 (< W; W > + < L; L > 2 <W;W > < L; W >) <L;W > 2 4<L;W > 2 2<L;W > = " 2 = 1 <L;W > 2 (< W; W > < W; W >) = 0 ve " <W;W > < L; N > = < L; (W L) > <L;W > 2<L;W > " <W;W > = (< L; W > <L;W > 2<L;W > = " < L; L >) 15

23 olup, N 2 E? dir. Bu taktirde V =span flg span fng? E parçalanmas elde edilmiş olur (Ferrandez vd., 2003). Teorem (M n 1 ; r) bir yönlendirilmiş Lorentz manifoldu ve : I! M n 1 bir s-dejenere e¼gri olsun. E¼ger d = n ve s d ise M n 1 de e¼grisi boyunca 0 = k 1 W 1 W 0 1 = k 2 W 2 W 0 i = k i W i 1 + k i+1 W i+1 ; 2 i s 2 W 0 s 1 = k s 1 W s 2 + "k s L L 0 = "k s+1 L + k s+2 W s W 0 s = "k s+3 L "k s+2 N (3.1) N 0 = k s 1 W s 1 "k s+1 N k s+3 W s + k s+4 W s+1 Ws+1 0 = "k s+4 L + k s+5 W s+2 Wj 0 = "k s+3 W j 1 + k j+4 W j+1 ; s + 2 j m 1 Wm 0 = k m+3 W m 1 denklemlerini sa¼glayan tek bir F = fw 1 ; :::; W s vard r (Ferrandez vd., 2003). 1 ; L; W s ; N; W s+1 ; :::; W m g kümesi Ispat: e¼grisi bir s-dejenere e¼gri oldu¼gundan tan m gere¼gince, 0 ş ks olmayan bir vektör olup, k 1 > 0 ve W 1 bir birim uzays vektör olmak üzere 0 = k 1 W 1 (3.2) yaz labilir. Bu taktirde 16

24 E 2 = span f 0 ; 00 g = span f 0 g span f 00 g = E 1 span f 00 g olup, Lemma nin (ii) ş kk gere¼gince E 2 = E 1? span fw 2 g olacak şekilde bir W 2 birim uzays vektörü vard r. Ayr ca W 2 seçimi gere¼gince, f 0 ; 00 g ile fw 1 ; W 2 g ayn yönlendirmeye sahip olacak şekilde tektir. Bu düşünce ile haraket edilerek ve Lemma nin (ii) ş kk kullan larak boyunca her 1 i s 1 için 0 ; :::; (i) ile fw 1 ; :::; W i g ayn yönlendirmeye sahip olacak şekilde ortonormal uzays vektörlerin bir fw 1 ; :::; W s 1 g kümesi elde edilir. 0 = k 1 W 1 oldu¼gundan, her iki taraf n türevi al n rsa 00 = k 0 1W 1 + k 1 W 0 1 olup olaca¼g ndan W 0 1 = 00 k 0 1 W 1 k 1 = 00 k 1 k k 1 k 1 = 1 k 1 00 k1 0 0 k1 2 W span f 0 ; 00 g = span fw 1 ; W 2 g olarak bulunur. Bu taktirde W 0 1 = 1 W W 2 (3.3) olarak yaz labilir. (3:3) ifadesinin her iki taraf, s ras yla, W 1 ve W 2 ile çarp l rsa < W 0 1; W 1 > = 1 < W 0 1; W 2 > = 2 17

25 olur. Di¼ger taraftan < W 1 ; W 1 >= 1 oldu¼gundan bu ifadenin de her iki taraf n n türevi al n rsa 2 < W 0 1; W 1 >= 0 olup 1 = 0 olarak elde edilir. < W 1 ; W 2 > = 0 oldu¼gundan, yine her iki taraf n türevi al n rsa < W 0 1; W 2 > = < W 1 ; W 0 2 > olup k 2 = < W 0 1; W 2 > = < W 1 ; W 0 2 > dersek 2 = k 2 olarak bulunur. Bu taktirde W 0 1 = k 2 W 2 (3.4) olarak elde edilir. Benzer şekilde, (3:4) ifadesinin türevi al n r, (3:2) ve (3:3) eşitlikleri de gözönünde bulundurulursa W 00 1 = k 0 2W 2 + k 2 W 0 2 olup W 0 2 = W 00 1 k 0 2 W 2 k 2 = W 00 1 k 2 k 0 2 W 0 1 k = 1 0 k2 0 k 2 k 1 = 1 1 k 2 k k k 2 k 2 1 k k0 2 k 1 k k 1 k1 00+2(k0 1) 2 + k0 k1 3 1 k0 2 0 k1 2k 2 olaca¼g ndan W span f 0 ; 00 ; 000 g = span fw 1 ; W 2 ; W 3 g olarak bulunur. Dolay s yla 18

26 W 0 2 = 1 W W W 3 (3.5) olarak yaz labilir. (3:5) ifadesi, s ras yla, W 1 ; W 2 ve W 3 ile iç çarp l rsa < W 0 2; W 1 > = 1 < W 0 2; W 2 > = 2 < W 0 2; W 3 > = 3 olur. O halde, yukar da oldu¼gu gibi 1 = k 2 ; 2 = 0; 3 = k 3 olup W 0 2 = k 2 W 1 + k 3 W 3 (3.6) olarak bulunur. Bu taktirde 2 i s 2 ve i + 1 6= j için ifadeleri gözönüne al n rsa, < W 0 i ; W i > = 0; < Wi 0 ; W j > = 0; < W 0 i ; W i+1 > = Wi ; W 0 i+1 = ki+1 W 0 i = k i W i 1 + k i+1 W i+1 ; 2 i s 2 (3.7) elde edilir. Şimdi boy (Rad (E s )) = 1 olmak üzere E s = E s 1 span (s) olarak alal m. Burada yine Lemma nin (i) ş kk kullan larak 19

27 E s = E s 1 span flg olacak şekilde tek olmayan bir L ş ks vektör alan bulunabilir. s 6= n oldu¼gunda E n in non-dejenere olmas sebebiyle E s+1 = E s span (s+1) dir. Şimdi boyrad (E s+1 ) = 1 oldu¼gunu ispatlayal m. Kabul edelim ki boyrad (E s+1 ) = 0 olsun. Bu taktirde Lemma nin (iii) ş kk gere¼gince < W i ; N > =< N; N > = 0; < L; N > = "; " = 1 (3.8) ve E s+1 = span fw 1 ; :::; W s 1 ; L; Ng olacak şekilde bir tek N ş ks vektörü vard r. Bu taktirde W 0 s 1 2 fw 1 ; :::; W s 1 ; Lg olup, (3:7) ifadesi gözönüne al n rsa W 0 s 1 = s 2 W s 2 + s L (3.9) yaz labilir. < W s 1 ; W s 2 > = 0 oldu¼gundan, her iki taraf n türevi al n rsa < W 0 s 1; W s 2 > = < W s 1 ; W 0 s 2 > (3.10) olur. (3:10) eşitli¼ginde (3:7) kullan larak, W 0 s 2 ve (3:9) ifadeleri yerlerine yaz l rsa 20

28 < Ws 0 1; W s 2 > = < W s 1 ; Ws 0 2 > < s 2 W s 2 + s L; W s 2 > = < W s 1 ; k s 2 W s 3 + k s 1 W s 1 > s 2 < W s 2 ; W s 2 > + s < L; W s 2 > = k s 2 < W s 1 ; W s 3 > k s 1 < W s 1 ; W s 1 > olup s 2 = k s 1 bulunur. (3:8) eşitli¼gini gözönüne al p, (3:9) denklemini N ile iç çarparsak < W 0 s 1; N > = s 2 < W s 2 ; N > + s < L; N > den bulunur. Böylece (3:9) ifadesi s = "k s W 0 s 1 = k s 1 W s 2 + "k s L (3.11) olarak elde edilir. Son olarak, benzer düşünceyle L 0 2 Span fw 1 ; :::; W s 1 ; L; Ng olaca¼g ndan Xs 1 L 0 = i W i + s L + s+1 N i=1 olarak yaz labilir. Bu ifadenin de her iki taraf N ile çarp l p, (3:8) ifadeleri gözönüne al n rsa Xs 1 < L 0 ; N > = i < W i ; N > + s < L; N > + s+1 < N; N > eşitli¼ginden i=1 21

29 s = "k s+1 dir. O halde L 0 = "k s+1 L elde edilir. Böylece türev al narak fonksiyonlar olmak üzere j = 1; :::; s + 1 için k j fonksiyonlar belirli 0 = k 1 W 1 W 0 1 = k 2 W 2 W 0 i = k i W i 1 + k i+1 W i+1 ; 2 i s 2 W 0 s 1 = k s 1 W s 2 + "k s L L 0 = "k s+1 L (3.12) denklemleri elde edilmiş olur. Ancak L 2 span 0 ; :::; (s) oldu¼gundan 1 i s için i 6= 0 olmak üzere L = ::: + s (s) yaz labilir. Bu taktirde L 0 = ::: + s 1 (s) + s (s+1) = "k s+1 L 2 span 0 ; :::; (s) bulunur. Bu ise bize (s+1) 2 span 0 ; :::; (s) oldu¼gunu gösterir ki, bu ifade boyrad (E s+1 ) = 0 olmas ile çelişir. Bu taktirde boyrad (E s+1 ) = 1 olup, Lemma nin (ii) ş kk kullan larak 0 ; :::; (s+1) ile fw 1 ; :::; W s 1 ; L; W s g ayn yönlendirmeye sahip olacak şekilde bir W s vektör alan bulunur. n > s + 1 oldu¼gundan 22

30 Rad (E s+2 ) = 0 dir. Gerçekten e¼ger Rad (E s+2 ) = 1 ise, bu taktirde Lemma nin (ii) ş kk gere¼gince E s+1 e ortogonal bir W s+1 birim uzays vektör alan vard r ki E s+2 = E s+1 span fw s+1 g dir. Buradan da türev al narak W 0 s 1 = k s 1 W s 2 + "k s L L 0 = "k s+1 L + k s+2 W s (3.13) bulunur. Rad (E s+2 ) = span flg oldu¼gundan < L; (s+1) > = < L; (s+2) > = 0 dolay s yla da elde edilir. Buradan ve (3:13) den < L 0 ; (s+1) > = 0 < L 0 ; (s+1) > = < "k s+1 L + k s+2 W s ; (s+1) > = "k s+1 < L; (s+1) > +k s+2 < W s ; (s+1) > olup < W s ; (s+1) > = 0 bulunur. Yani W s 2 Rad (E s+1 ) olur ki bu W s bir uzays vektör oldu¼gundan bu bir çelişkidir. Böylece Rad (E s+2 ) = 0 ve hn; Li = "; hn; W i i = 0 olacak şekilde bir tek N vard r. 23

31 E¼ger 0 ; :::; (s+2) ve fw 1 ; :::; W s 1 ; L; W s ; Ng ayn yönlendirilmeye sahip olacak şekilde bir " seçelirse s + 2 = n oldu¼gunda işlem sonland r l r. Aksi taktirde i > s + 2 için boyrad (E i ) = 0 olup ayn yönlendirme kural ile m = n 2 için ortonormal uzays vektörlerin bir fw s+1 ; :::; W m g sistemi elde edilir. W m vektör alan ise fw 1 ; :::; W s 1 ; L; W s ; N; W s+1 ; :::; W m g pozitif yönlendirmeye sahip olacak şekilde seçilir. Bu çat ya göre fk 1 ; :::; k m+3 g fonksiyonlar belirli fonksiyonlar olmak üzere (3:2), (3:4), (3:6), (3:7), (3:10) eşitliklerinde oldu¼gu gibi, s ras yla, L 0 ; Ws; 0 N 0 ; Ws+1; 0 Wj; 0 Wm 0 ifadeleri şu şekilde hesaplanabilir: L 0 2 span fw 1 ; :::; W s 1 ; L; W s g oldu¼gundan Xs 1 L 0 = i W i + s L + s+1 W s (3.14) i=1 olarak yaz labilir. Bu ifadenin her iki taraf n önce N sonra da W s ile çarp l rsa Xs 1 < L 0 ; N > = i < W i ; N > + s < L; N > + s+1 < W s ; N > i=1 s 1 X < L 0 ; W s > = i < W i ; W s > + s < L; W s > + s+1 < W s ; W s > i=1 den s = "k s+1 ve s+1 = k s+2 olarak, di¼ger katsay lar da s f r olarak bulunur. Bu ifadeler (3:14) de yerine yaz l rsa L 0 = "k s+1 L + k s+2 W s (3.15) elde edilir. W 0 s 2 span fw 1 ; :::; W s 1 ; L; W s ; Ng oldu¼gundan Xs 1 W 0 s = i W i + s L + s+1 W s + s+2 N (3.16) i=1 24

32 olarak yaz labilir. < W s ; L > = 0 oldu¼gundan < W 0 s; L > = < W s ; L 0 > dir. Burada (3:15) den < W s ; L 0 > = < W s ; "k s+1 L + k s+2 W s > = "k s+1 < W s ; L > k s+2 < W s ; W s > ve (3:16) dan < Ws; 0 L > = < s P 1 i W i + s L + s+1 W s + s+2 N; L > i=1 = s P 1 i=1 i < W i ; L > + s < L; L > + s+1 < W s ; L > + s+2 < N; L > + s+2 < N; L > eşitlikleri yerine yaz l rsa s+2 = "k s+2 bulunur. (3:16) denkleminin her iki taraf n n N ile çarp m al n rsa < W 0 s ; N > = < s P 1 i W i + s L + s+1 W s + s+2 N; N > i=1 = s P 1 i=1 i hw i ; Ni + s hl; Ni + s+1 hw s ; Ni + s+2 hn; Ni olup s = "k s+3 olarak bulunur. Bu ifadeler (3:16) de yerine yaz l rsa W 0 s = "k s+3 L "k s+2 N (3.17) bulunur. N 0 2 span fw 1 ; :::; W s 1 ; L; W s ; N; W s+1 g oldu¼gundan Xs 1 N 0 = i W i + s L + s+1 W s + s+2 N + s+3 W s+1 (3.18) i=1 25

33 yaz labilir. < N; N > = 0 oldu¼gundan < N 0 ; N > = 0 d r. Dolay s yla (3:18) ifadesi N ile çarp m al nd ¼g nda s = 0 bulunur. < N; W s 1 > = 0 oldu¼gundan, < N 0 ; W s 1 > = < N; Ws 0 1 > olup, burada (3:12) ve (3:18) yerine yaz l rsa s 1 = k s olur. < N; W s > = 0 oldu¼gundan < N 0 ; W s > = (3:17) ve (3:18) yerine yaz ld ¼g nda < N; W 0 s > olup, burada s+1 = k s+3 elde edilir. (3:18) eşitli¼gi, s ras yla, L ve W s+1 ile iç çarp l rsa s+2 = "k s+1 ve s+3 = k s+4 bulunur. Bu ifadeler (3:18) de yerlerine yaz l rsa N 0 = k s 1 W s 1 "k s+1 N k s+3 W s + k s+4 W s+1 (3.19) denklemi elde edilir. W s span fw 1 ; :::; W s 1 ; L; W s ; N; W s+1 ; W s+2 g oldu¼gundan Xs 1 Ws+1 0 = i W i + s L + s+1 W s + s+2 N + s+3 W s+1 + s+4 W s+2 (3.20) i=1 26

34 yaz labilir. (3:20) ifadesi s ras yla N ve W s+2 ile iç çarp l rsa s = "k s+4 ; s+4 = k s+5 ve di¼ger katsay lar s f r olmak üzere (3:20) denklemi W 0 s+1 = "k s+4 L + k s+5 W s+2 (3.21) olarak bulunur. s + 2 j m 1 için i = 0; i = 1; :::; s 1 s = s+1 = 0 olup < W 0 j; W j 1 > = k j+3 ; eşitlikleri gözönüne al n rsa, < W 0 j; W j+1 > = k j+4 W 0 j = k j+3 W j 1 + k j+4 W j+1 ; s + 2 j m 1 (3.22) denklemi elde edilir. Son olarak < W m ; W m 1 > = 0 oldu¼gundan < W 0 m; W m 1 > = < W m ; W 0 m 1 > dir. Burada (3:22) den W 0 m 1 ve W 0 m yerine yaz l rsa W 0 m = k m+3 W m 1 (3.23) bulunur (Ferrandez vd., 2003). 27

35 Böylece, bu çat ya göre e¼grilik fonksiyonlar ve Frenet denklemleri şu şekilde tan mlanabilir: Tan m (M1 n ; r) bir yönlendirilmiş Lorentz manifoldu ve : I! M1 n bir s-dejenere e¼gri olsun. Bu taktirde d = n ve s d olmak üzere (3:1) denklemini sa¼glayan F = fw 1 ; :::; W s 1 ; L; W s ; N; W s+1 ; :::; W m g kümesine boyunca Frenet çat s denir. Ayr ca fk 1 ; :::; k m+3 g fonksiyonlar na ve (3:1) denklemlerine de s ras yla e¼grisinin F Frenet çat s na göre e¼grilik fonksiyonlar ve Frenet denklemleri ad verilir (Ferrandez vd., 2003). Buradan şu sonuç verilebilir: Lemma s-dejenere e¼grilerin s tipi e¼grinin parametresine ba¼gl de¼gildir (Ferrandez vd., 2003). Ispat: Kabul edelim ki t ve t farkl iki parametre olsun. Bu taktirde (t) = t (t) olarak yaz labilir. Bu ifadenin t ye göre türevi al n rsa 0 (t) = t 0 (t) : 0 t 00 (t) = t 00 (t) : 0 t 2 + t 0 (t) : 00 t 000 (t) = t 000 (t) : 0 t + 2t 0 (t) t 00 (t) + t 00 (t) : 00 t + 2 t 0 (t) : 000 t olup bu şekilde devam edilirse (i) (t) = ix x ij (t) (j) j=1 t 28

36 bulunur. Dolay s yla E i = span 0 (t) ; :::; (i) (t) = span n 0 t ; :::; (i) t o elde edilir ki bu eşitlik s-dejenere bir e¼grinin s tipinin, e¼grinin parametresine ba¼gl olmad ¼g n gösterir (Ferrandez vd., 2003). Teorem M n 1 bir Lorentz manifoldu olmak üzere : M n 1! M n 1 bir izometri ve (t) = ( ) (t) olsun. Bu taktirde her V vektör alan için D t ve D t s ras yla ve e¼grileri boyunca kovaryant türevleri göstermek üzere D dt d (t) (V (t)) = d (t) D dt V (t) dir (Ferrandez vd., 2003). Ispat: Önerme den d (t) ( 0 (t)) = ( ) 0 (t) = 0 (t) oldu¼gu gözönüne al nd ¼g nda, Önerme gere¼gince d (t) r 0 (t)v (t) = r d(t) ( 0 (t))d (t) (V (t)) = r 0 (t)d (t) (V (t)) 29

37 elde edilir. Bu taktirde D dt d (t) (V (t)) = r 0 (t)d (t) (V (t)) = r d(t) ( 0 (t))d (t) (V (t)) = d (t) r 0 (t)v (t) = d (t) D dt V (t) olup D dt d (t) (V (t)) = d (t) D dt V (t) olarak elde edilmiş olur. Buradan şu sonuç verilebilir: Sonuç M n 1 bir Lorentz manifoldu ve : M n 1! M n 1 bir Lorentz transformasyonu olsun. Bu taktirde : I! M n 1 ve : I! M n 1 e¼grileri için < (i) (t) ; (j) (t) > = < (i) (t) ; (j) (t) > olmas Lorentz transformasyonlar alt nda bu tip e¼grilerin invaryant kald ¼g n, dolay s yla da e¼grinin s-tipinin bir Lorentz transformasyonu alt nda de¼gişmedi¼gini gösterir (Ferrandez vd., 2003). 30

38 3.2. Bir s-dejenere E¼gri Için Cartan Çat s Bu bölümde bir Lorentz manifoldu üzerinde bulunan s-dejenere e¼gri için Lorentz transformasyonlar alt nda e¼griliklerinin say s minimum olacak şekilde bir Frenet çat s elde edilecektir. Teorem n = m + 2 ve s > 1 olmak üzere : I! M n 1 bir s-dejenere e¼gri ve her t için 0 (t) ; 00 (t) ; :::; (n) (t) sisteminin T (t) (M n 1 ) tanjant uzay n gerdi¼gini kabul edelim. Bu taktirde 0 = W 1 W 0 1 = 1 W 2 W 0 i = i W i 1 + i+1 W i+1 ; 2 i s 2 W 0 s 1 = s 2 W s 2 + L L 0 = s+1 W s W 0 s = " s L " s 1 N (3.24) N 0 = "W s 1 s W s N + s+1 W s+1 Ws+1 0 = " s+1 L + s+2 W s+2 Wj 0 = j W j 1 + j+1 W j+1 ; s + 2 j m 1 Wm 0 = m W m 1 denklemini sa¼glayacak şekilde tek bir Frenet çat s vard r (Ferrandez vd., 2003). Ispat: Genelli¼gi bozmamak için n n yay-uzunlu¼gu parametresine sahip bir e¼gri oldu¼gunu kabul edelim. Bu taktirde W 1 = 0 ve k 1 = 1 olur. Ayr ca k s = " olarak al nmas yla Lemma

39 fw 1 ; :::; W s 1 ; Lg kümesinin tek olarak belirlenebilece¼gini gösterir. O halde geriye sadece W s vektörünün elde edilmesi kal r. boyrad (E s+1 ) = 1 oldu¼gundan Lemma gere¼gince tek olmayan öyle bir W s vektörü vard r ki 0 ; :::; (s) ; (s+1) ile fw 1 ; :::; W s 1 ; L; W s g ayn yönlendirmeye sahiplerdir. Buna göre kabul edelim ki W s ve W s Frenet çat s üreten vektör alanlar, yani iki farkl fw 1 ; :::; W s 1 ; L; W s ; N; W s+1 ; :::; W m g! f1; k 2 ; :::; k s = 1; k s+1 ; :::; k m+3 g W1 ; :::; W s 1 ; L; Ws ; N ; Ws+1; :::; Wm! 1; k 2 ; :::; k s = 1; ks+1; :::; km+3 olsunlar. Bu taktirde f : I! R diferensiyellenebilir bir fonksiyon olmak üzere W s = fl + W s (3.25) olsun. Di¼ger taraftan N 2 span 0 ; :::; (s) ; (s+1) ; (s+2) = span fw 1 ; :::; W s 1 ; L; W s ; Ng oldu¼gundan N = 1 L + 2 W s + 3 N (3.26) olarak yaz labilir. Ayr ca Lemma gere¼gince özel olarak " = 1 olarak al n rsa < N ; L > = 1; < N ; W s > = < N ; N > = 0 ve < N; L > = 1; < N; W s > = < N; N > = 0 32

40 d r. Bu taktirde (3:26) eşitli¼gi ve son eşitlikler gözönüne al n rsa < N ; L > = 1 ) < 1 L + 2 W s + 3 N; L > = 1 ) 1 < L; L > + 2 < W s ; L > + 3 < N; L > = 1 olup 3 = 1; < N ; W s > = < 1 L + 2 W s + 3 N; W s > ) 2 = < N ; W s > ve (3:25) eşitli¼ginden < N ; W s > = < N ; W s fl > = < N ; W s > f < N ; L > oldu¼gundan 2 = f; < N ; N > = 0 ) < 1 L + 2 W s + 3 N; 1 L + 2 W s + 3 N > = 0 ) < N; L > < W s ; W s > = 0 ) f 2 = 0 olup 1 = f 2 2 bulunur. Buna göre N = f 2 2 L fw s + N (3.27) olarak bulunur. Ayr ca olup ks+1 = < L 0 ; N > = < L 0 f 2 ; 2 L fw s + N > f 2 = 2 < L0 ; L 0 > f < L 0 ; W s > + < L 0 ; N > 33

41 k s+1 = k s+1 fk s+2 dir. Böylece W s = fl + W s ; N = 1 2 f 2 L + N fw s ve k s+1 = k s+1 fk s+2 (3.28) eşitlikleri elde edilmiş olur. Di¼ger taraftan buradaki f fonksiyonu ks+1 = 0 olacak şekilde seçilebilir. Bu taktirde e¼grilik fonksiyonlar n n yeniden adland r lmas yla, f 1 ; :::; m g belirli fonksiyonlar olmak üzere (3:24) denklemleri elde edilmiş olur (Ferrandez vd.,2003). Tan m s > 1 olmak üzere bir s-dejenere e¼grisi e¼ger (3:24) denklemlerini sa¼gl yorsa bu e¼griye bir s-dejenere Cartan e¼grisi ad verilir. (3:24) denklemi ile verilen çat ya ve e¼grilik fonksiyonlar na da s ras yla e¼grisinin Cartan çat s ve Cartan e¼grilikleri ad verilir (Ferrandez vd., 2003). Lemma E¼ger m > s ise 0 ; 00 ; :::; (n) sisteminin pozitif (negatif) yönlendirilmiş olmas na göre " = 1 olup, s 6= i için i > 0 ve m > 0 ( m < 0) olur. m = s olmas durumunda ise yine 0 ; 00 ; :::; (n) sisteminin pozitif veya negatif yönlendirilmiş olmas na göre " = 1 ve " = 1 olup s 6= i için i > 0 olur (Ferrandez vd., 2003). Tan m M1 n deki bir s-dejenere Cartan e¼grisi olsun. E¼ger bu e¼grinin Cartan e¼grilikleri sabit ise e¼grisine M1 n de bir s-dejenere helis ad verilir (Ferrandez vd., 2003). 34

42 4. R n 1 MINKOWSKI UZAYINDA s-dejenere E ¼GR ILER Bu bölümde, ilk olarak j ler belirli fonksiyonlar ve fw 1 ; :::; W s 1 ; L; W s ; N; W s+1 ; :::; W m g sistemi denklemlerini sa¼glayan bir Cartan çat s olmak üzere R n 1 Minkowski uzay nda bu çat ya sahip bir s- dejenere Cartan e¼grisinin oldu¼gu ifade ve ispat edilecektir. Daha sonra ise R 4 1 Minkowski uzay nda 2-dejenere helisler ele al nacakt r R n 1 Minkowski Uzay nda s-dejenere E¼griler Için Cartan Çat s Lemma r 2 n ve m = n 2r olmak üzere R n nun bir baz B= fl 1 ; N 1 ; :::; L r ; N r ; W 1 ; :::; W m g olsun. 8 p1 2 (L i " i N i ) i = 1; :::; r >< W i r i = r + 1; :::; V i = p1 2 (L i " i N i ) i = + 1; :::; + r >: W i 2r i = + r + 1; :::; n olmak üzere B 0 = fv 1 ; :::; V ; V +1 ; :::; V n g baz n göz önüne alal m. Bu taktirde aşa¼g daki ifadeler denktir: 1) B bir yar -ortonormal bazd r. 2) B 0 bir ortonormal bazd r. 3) B 0 baz eşitli¼gini sa¼glar. 4) B baz X nx V i V j + V i V j = ij =1 =+1 rx " (L i N j + L j N i ) =1 X r mx W i W j + W i W j = ij =1 = r+1 35

43 eşitli¼gini sa¼glar. Burada V pk ; L pk ; N pk ve W pk s ras yla V p ; L p ; N p ve W p vektörlerinin bileşenlerini ve ij standart koordinatlar cinsinden kanonik metri¼gin matrisini göstermektedir (Ferrandez vd., 2003). Teorem i 6= s, m için k i > 0 olmak üzere k 1 ; :::; k m : [ ; ]! R diferensiyellenebilir fonksiyonlar olsunlar. m + 2 = n için R n 1 de bir nokta p ve W 0 1 ; :::; W 0 s 1; L 0 ; W 0 s ; N 0 ; W 0 s+1; :::; W 0 m sistemi T p (R n 1) nin bir pozitif yönlendirilmiş yar -ortonormal baz olsun. taktirde R n 1 de (0) = p olmak üzere, Cartan çat s Bu L (0) = L 0 ; N (0) = N 0 ; W i (0) = W 0 i i 2 f1; :::; mg şartlar n sa¼glayacak şekilde tek bir s-dejenere e¼grisi vard r (Ferrandez vd., 2003). Ispat: Teorem gere¼gince [ ; ] aral ¼g üzerinde tan ml ve teoremin başlang ç koşullar n sa¼glayan, (3:24) denklemlerinin tek bir fw 1 ; :::; W s 1 ; L; W s ; N; W s+1 ; :::; W m g çözümü vard r. (3:24) denklemleri gözönüne al nd ¼g nda do¼grudan hesaplamayla d dt! mx " (L i (t) N j (t)) + (L j (t) N i (t)) + W i (t) W j (t) = 0 =1 oldu¼gu gösterilebilir. O halde fw 1 ; :::; W s 1 ; L; W s ; N; W s+1 ; :::; W m g baz t = 0 da ortonormal oldu¼gundan, r = 1 için Lemma den 36

44 mx "L i (t) N j (t) + L j (t) N i (t) + W i (t) W j (t) = ij ; 8t 2 [ ; ] =1 elde edilir. Lemma tekrar kullan larak her t için fl; N; W i ; :::; W m g in yar -ortonormal oldu¼gu sonucuna var l r. Böylece ispat tamamlanm ş olur (Ferrandez vd., 2003). Teorem i m için k i : [ ; ]! R bir diferensiyellenebilir fonksiyon olmak üzere R n 1 üzerindeki iki s-dejenere Cartan ve e¼grisi f 1 ; :::; m g Cartan e¼griliklerine sahip olsun. Bu taktirde R n 1 nin e¼grisini e¼grisine bijektif olarak eşleyen bir Lorentz transformasyonu vard r (Ferrandez vd., 2003) R 4 1 Minkowski Uzay ndaki s-dejenere Helisler R 4 1 Minkowski uzay nda : I! R 4 1 bir s-dejenere Cartan e¼grisi olsun. O halde (3:24) denklemleri 0 = W 1 (4.1) W1 0 = L (4.2) L 0 = 1 W 2 (4.3) W2 0 = " 2 L " 1 N (4.4) N 0 = "W 1 2 W 2 (4.5) formunda olur. Şimdi e¼grisinin bir s-dejenere helis oldu¼gunu kabul edelim. Bu taktirde Tan m gere¼gince, yukar da verilen Cartan denklemlerindeki 1 ; 2 Cartan e¼grilikleri sabit olaca¼g gözönüne al narak, (4:1) eşitli¼ginin her iki taraf n n türevi al n rsa 00 = W1 0 37

45 elde edilir. Bu ifadede (4:2) yerine yaz l rsa 00 = L (4.6) olur. Benzer şekilde (4:6) eşitli¼ginin her iki taraf n n türevi al n p (4:3) eşitli¼ginde yerine yaz l rsa 000 = 1 W 2 (4.7) olup W 2 = (4.8) olarak bulunur. Kabul gere¼gince 1 Cartan e¼grili¼gi sabit oldu¼gundan, (4:7) denkleminin yine her iki taraf n n türevi al n rsa 4 = 1 W 0 2 olup (4:4) ve (4:6) eşitlikleri yerine yaz l rsa (4) = " " 2 1N (4.9) bulunur. Son olarak 1 ; 2 Cartan e¼griliklerinin sabit oldu¼gu gözönüne al narak, bu denklemin de türevi al n rsa (5) = " " 2 1N 0 olup, burada (4:1), (4:5), ve (4:8) denklemleri yerine yaz l rsa (5) = " " 2 1 ( "W 1 2 W 2 ) = " W 1 + " W 2 = " " = 2"

46 bulunur. Bu taktirde e¼grisi R 4 1 Minkowski uzay nda bir s-dejenere helis ise (5) 2" 1 2 (3) = 0 (4.10) lineer homojen diferensiyel denklemini sa¼glar. Örnek ! > 0 olmak üzere R 4 1 Minkowski uzay nda!; (t) = 1 p!2 + 2! cosh (!t) ;! sinh (!t) ;! sin (t) ;! cos (t) olarak tan ml!; (t) e¼grisi ve 1 =! 2 = 2! 2 2! sabit Cartan e¼griliklerine sahip 2-dejenere bir helistir (Ferrandez vd., 2003). Ispat: " = 1 al narak (4:1), (4:2), (4:3), ve (4:4) denklemleri 0 = W 1 00 = L 000 = 1 W 2 (4) = 1 2 L + 2 1N şeklinde düzenlenirse < 000 ; 000 > = < 1 W 2 ; 1 W 2 > = 2 1 < W 2 ; W 2 > eşitli¼ginden 1 = p < 000 ; 000 > 39

47 ve < (4) ; (4) > = < 1 2 L + 2 1N; 1 2 L + 2 1N > = 1 2 < L; L > < L; N > < N; N > = 2" eşitli¼ginden 2 = < (4) ; (4) > olarak bulunur. Bu taktirde!; (t) e¼grisinin ilk dört türevi bilinirse 1 ve 2 e¼grilikleri hesaplanabilir. O halde 0!; (t) = 00!; (t) = 000!; (t) = (4)!; (t) = 1 p ( sinh (!t) ; cosh (!t) ;! cos (t) ;! sin (t))! p (! cosh (!t) ;! sinh (!t) ;! sin (t) ;! cos (t))! p! 2 (!t) ;! 2 cosh (!t) ; 2! cos (t) ;! 2 sin (t)! p!2 + 2! 3 cosh (!t) ;! 3 sinh (!t) ; 3! sin (t) ; 3! cos (t) oldu¼gundan 1 = p < 000 ; 000 > 1 = ( 2! 4 sinh 2 (!t) + 2! 4 cosh 2 (!t) + 6! 2 sin 2 (t)! ! 2 cos 2 (t)) = ( 2! 4 (cosh 2 (!t) sinh 2 (!t) + 4! 2 (sin 2 (t) + cos 2 (t))) 1 2! = (!2 2! 2 + 2! ) 1 2 =! olur. Di¼ger taraftan 40

48 2 = < (4) ; (4) > ! = 2 + 2! 6 (cosh 2 (!t) sinh 2 (!t) + 6! 2 (sin 2 (t) + cos 2 (t)) 2 2 3! 3 1 =! 2 + f 2! 2 (! 4 4 ) g 2 2 3! 3 1! 2 (! 2 2 ) ( 2 +! 2 ) =! f2 g 2 3! 3 = 2! 2 2! olarak bulunur. 41

49 5. R 5 1 MINKOWSK I UZAYINDA s-dejenere HEL ISLER Bu bölümde 4.2. deki benzer yöntemle (3:24) Cartan denklemleri yard m yla R 5 1 Minkowski uzay nda 2 dejenere ve 3 dejenere helislerin diferensiyel denklemleri hesaplanacakt r R 5 1 Minkowski Uzay nda 2-Dejenere Helisler R 5 1 Minkowski uzay nda : I! R 5 1 e¼grisi bir 2 dejenere Cartan e¼grisi olsun. Bu taktirde (3:24) denklemleri 0 = W 1 (5.1.) W1 0 = L (5.2.) L 0 = 1 W 2 (5.3.) W2 0 = " 2 L " 1 N (5.4.) N 0 = "W 1 2 W W 3 (5.5.) W3 0 = 3 W 2 (5.6.) şeklinde olur. E¼ger e¼grisi bir helis ise Tan m gere¼gince yukar daki 1 ; 2 ve 3 Cartan e¼griliklerini sabittir. Bu taktirde (5:1) eşitli¼ginin her iki taraf n n türevi al n r ve (5:2) eşitli¼ginde yerine yaz l rsa 00 = L (5.7.) elde edilir. Benzer şekilde (5:7) nin türevi al n p (5:3) yerine yaz ld ¼g nda 000 = 1 W 2 olup W 2 = (5.8.) 42

50 bulunur. Kabul gere¼gince 1 Cartan e¼grili¼gi sabit oldu¼gundan (4) = 0 1W W 0 2 = 1 W 0 2 olup, (5:4) ve (5:7) eşitliklerinde yerine yaz ld ¼g nda (4) = 1 (" 2 L " 1 N) = " " 2 1N bulunur. Benzer şekilde 1 ve 2 nin sabit oldu¼gu gözönüne al n rsa (5) = " " 2 1N 0 olur. Bu eşitlikte (5:1), (5:5) ve (5:8) denklemleri kullan l rsa (5) = " " 2 1 ( "W 1 2 W W 3 ) = " W 1 + " W 2 " W 3 = " " " W 3 olup (5) = 2" " W 3 bulunur. Son olarak, bu eşitli¼gin yine türevi al n p (5:6) ve (5:8) denklemlerinde yerine yaz l rsa (6) = 2" 1 2 (4) " W 0 3 = 2" 1 2 (4) " ( 3 W 2 ) = 2" 1 2 (4) " olup (6) = 2" 1 2 (4) + " (5.9.) elde edilir. 43

51 5.2. R 5 1 Minkowski Uzay nda 3-Dejenere Helisler R 5 1 Minkowski uzay nda : I! R 5 1 bir 3-dejenere Cartan e¼grisi olsun. O zaman denklemleri 0 = W 1 (5.10.) W1 0 = 1 W 2 (5.11.) W2 0 = 1 W 1 + L (5.12.) L 0 = 2 W 3 (5.13.) W3 0 = " 3 L " 2 N (5.14.) N 0 = "W 2 3 W 3 (5.15.) şeklinde olur. bir helis e¼grisi oldu¼gu kabul edilirse Tan m gere¼gince Cartan e¼grilikleri sabittir. 2-dejenere helis denkleminin elde edilmesinde oldu¼gu gibi, (5:10) denklemlerinden başlayarak türev al n p, gerekli ifadeler yerlerine yaz l rsa 00 = 1 W = L (4) = W 3 (5) = " " " 1 2 2N (6) = 2" (4) + 2" olup (6) 2" (4) 2" = 0 lineer homojen diferensiyel denklemi elde edilmiş olur. 44

52 6. KAYNAKLAR Bonnor, W.B., Null Curves in Minkowski Space-time. Tensor, N.S., 20, Dodson, C.T.J., Poston, T., Tensor Geometry, Surveys and Reference Works in Mathematics. Pitmann, 598p., London. Duggal, K. L., Bejancu, A., Lightlike Submanifolds of Semi-Riemannian Manifolds and Applications. Kluwer Academic Publishers, 300p., The Netherlands. Ferrandez, A., Gimenez A., Lucas, P., s-degenerate Curves in Lorentzian Space Forms. Journal of Geometry and Physics, 40, Ho man, K. M., Kunze, R. A., Linear Algebra. Prentice-Hall, Inc., 407p., New Jersey. O Neill, B., Semi-Riemannian Geometry with Applications to Relativity. Academic Press, Inc., 468p., New York. Özer, N., Eser, D., Diferensiyel Denklemler (Teori ve Uygulamalar ). Birlik Ofset (2. Bask )., 461s., Eskişehir. Tsipenyuk, D.Y., Andreev, V.A., Dimensional Extended Space Model. Proc. ESA-ESO-CERN Conference/EPS13, Bern, Switzerland, July

53 ÖZGEÇMİŞ Adı Soyadı : Zafer ŞANLI Doğum Yeri ve Yılı : Antalya-1980 Medeni Hali Yabancı Dili : Bekar : İngilizce Eğitim Durumu (Kurum ve Yıl) Lise : Antalya Lisesi, Antalya, Lisans : Süleyman Demirel Üniversitesi, Fen-Ed. Fak., Matematik Bölümü, Isparta, Çalıştığı Kurumlar ve Yıl Mehmet Akif Ersoy Üniversitesi, Fen-Ed. Fak. Matematik Bölümü, Araştırma Görevlisi, Burdur,