Mukavemet-I. Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş

Transkript

1 Mukavemet-I Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş

2 Bölüm 6 Kirişlerde ve İnce Cidarlı Elemanlarda Kayma Gerilmeleri Kaynak: Cisimlerin Mukavemeti, F.P. Beer, E.R. Johnston, J.T. DeWolf, D.F. Mazurek, Çevirenler: A. Soyuçok, Ö. Soyuçok.

3 6.1 Giriş Normal gerilmeler M eğilme çiftiyle, kayma gerilmeleri V kesme kuvvetiyle üretilir. Kirişlerin mukavemet tasarımında önde gelen ölçüt, normal gerilmelerin maksimum değeridir. Bununla birlikte, kısa kirişlerin tasarımında kayma gerilmeleri önemli olabilir ve bu bölümün konusudur.

4 6.1 Giriş x bileşenleri y eksenine göre momentler z eksenine göre momentler Düşey simetri düzlemli, prizmatik bir kirişin bir enine kesiti üzerine uygulanan elementer normal ve kesme kuvvetleri, sırasıyla, M eğilme çiftine ve V kesme kuvvetine eşdeğerdir. y bileşenleri: z bileşenleri:

5 6.1 Giriş Kübik eleman düşey simetri düzlemi üzerinde olup τxz sıfırdır. x eksenine dik iki yüzün her birine bir σx normal gerilmesi ve τxy kayma gerilmesi uygulanır. Bir elemanın düşey yüzlerine τxy uygulandığı zaman, aynı elemanın yatay yüzlerine de eşit gerilmeler uygulanmalıdır. Buradan, enine yüklemeye maruz bir elemanda, boyuna kayma gerilmelerinin de mevcut olması gerektiği anlaşılır.

6 6.1 Giriş Bileşik kirişin serbest ucuna bir P enine yükü uygulandığında, tahtaların birbirine göre kaydıkları gözlenir. Aynı bileşik kirişin serbest ucuna bir M kuvvet çifti uygulanırsa, tahtalar eş merkezli çember yayı şeklinde eğilirler ve birbirlerine göre kaymazlar. Böylece, basit eğilmeye maruz bir kirişte kesme oluşmaması olgusu gerçeklenmiş olur.

7 6.1 Giriş Çelik gibi bir malzemeden yapılmış bir kirişe P enine yükü uygulandığında, herhangi bir kayma ortaya çıkmadığı halde düşey ve yatay düzlemlerde gerilme oluşur. Lifleri arasındaki kesme direnci zayıf olan ahşap kirişlerde, kesmeden kaynaklanan kırılma genellikle bir boyuna düzlemde ortaya çıkar.

8 6.2 Bir Kiriş Elemanının Yatay Yüzündeki Kesme Kuvveti Kiriş, düşey simetri eksenine sahiptir. Parantez içindeki integral y = y1 çizgisinin üstünde kalan kiriş kesitinin tarafsız eksene göre birinci momentidir ve Q ile gösterilir.

9 6.2 Bir Kiriş Elemanının Yatay Yüzündeki Kesme Kuvveti CDD C üst elemanı yerine C D D C alt elemanı kullanılsa yine aynı sonuç elde edilir. Çünkü, iki elemanın birbirlerine uyguladıkları ΔH ve ΔH kesme kuvvetleri eşit ve zıt yönlüdür. Buradan, y = y1 çizgisinin altında yer alan parçanın Q birinci momentinin, çizginin üstünde kalan parçanınkine eşit büyüklükte ve ters işarette olduğu anlaşılır. Bu iki momentin toplamı, tüm kesitin merkezi eksene göre momentine eşittir. Yani, sıfırdır.

10 6.2 Bir Kiriş Elemanının Yatay Yüzündeki Kesme Kuvveti Birim uzunluk başına yatay kesme kuvveti, q harfi ile gösterilir ve soldaki denklemin iki yanı Δx e bölünerek elde edilir: Q, q nun hesaplandığı noktanın üstünde veya altında kalan parçasının tarafsız eksene göre birinci momenti, I ise tüm kesit alanının merkezi eylemsizlik momentidir.

11 Örnek 6.01 Çiviler arasında 25 mm mesafe olduğuna ve kirişteki düşey kesme kuvveti V = 500 N olduğuna göre, her bir çivideki kesme kuvvetini belirleyiniz.

12 Örnek 6.01

13 6.3 Bir Kirişteki Kayma Gerilmelerinin Belirlenmesi ΔH, yüzün ΔA alanına bölünerek elemanın yatay yüzündeki τ ort ortalama kayma gerilmesi bulunur. D noktasından geçen enine ve yatay düzlemlerdeki τxy ve τyx eşit olduğundan, yukarıdaki ifade D1 D2 çizgisi boyunca τxy nin ortalama değerini temsil eder.

14 6.3 Bir Kirişteki Kayma Gerilmelerinin Belirlenmesi Kirişin üst ve alt yüzlerinde τyx = 0 dır. Çünkü bu yüzlere hiç kuvvet uygulanmaz. Dolayısıyla, enine kesitin üst ve alt kenarları boyunca aynı zamanda τxy = 0 dır. Kiriş kesitinin genişliği yüksekliğine göre küçük kaldığı sürece, kayma gerilmesi C1C2 çizgisi boyunca çok az değişir.

15 6.4 Yaygın Kiriş Tiplerindeki τxy Kayma Gerilmeleri Kiriş kesitinin genişliği yüksekliğine göre küçük kaldığı sürece, kirişin herhangi bir noktasındaki kayma gerilmesi aşağıdaki formülle hesaplanabilir:

16 6.4 Yaygın Kiriş Tiplerindeki τxy Kayma Gerilmeleri Denkleme göre, bir dikdörtgen kirişin enine kesitindeki kayma gerilmesi dağılımı paraboliktir. y = 0 için maksimum kayma gerilmesi elde edilir:

17 6.4 Yaygın Kiriş Tiplerindeki τxy Kayma Gerilmeleri Yukarıdaki denklem bir kirişin aa veya bb kesiti üzerindeki τxy kayma gerilmesinin ortalama değerini belirlemek için kullanılabilir. Pratikte, genellikle tüm kesme yükünün perde tarafından taşındığı varsayılır. Kesitteki kayma gerilmesinin maksimum değerinin iyi bir yaklaşımı, V perdenin kesit alanına bölünerek elde edilebilir:

18 Örnek kn/m 20 kn 90 mm 2.4 m 1.2 m Ahşap kirişin emniyet kayma gerilmesi τem = 1.75 MPa olduğuna göre, elde edilen tasarımın kayma gerilmeleri açısından kabul edilebilirliğini kontrol ediniz (Örnek Problem 5.7).

19 Örnek kn 20 kn 2.4 m 1.2 m 20 kn Kesme diyagramından Vmaks = 20 kn olduğu görülür. Kirişin b genişliği 90 mm dir ve h yüksekliği daha önce 366 mm olarak bulunmuştur kn -24 τmaks < τem. Tasarım kabul edilebilir kn

20 Örnek 6.03 Çelik kirişin emniyet kayma gerilmesi τem = 90 MPa olduğuna göre, elde edilen tasarımın kayma gerilmeleri açısından kabul edilebilirliğini kontrol ediniz (Örnek Problem 5.8).

21 Örnek 6.03 Kesme diyagramından Vmaks = 58 kn olduğu görülür. Pratikte tüm kesme yükünü perdenin taşıdığı varsayılabilir. Profilin perde değerleri Ek C den bulunur: τmaks < τem. Tasarım kabul edilebilir.

22 *6.5 Dar Dikdörtgen Kirişte Gerilme Dağılımının Ek İncelemesi V kesme kuvveti sabit ve P ye eşit olduğundan: Kayma gerilmeleri sadece tarafsız yüzeye olan y mesafesine bağlıdır. Yükün uygulama noktasından ölçülen mesafeden bağımsızdır. Tarafsız yüzeyden aynı mesafede yer alan bütün elemanlar aynı kesme deformasyonuna maruzdur. Düzlem kesitler düzlem kalmazken, farklı kesitlerdeki D ve D noktaları arasındaki mesafe aynı kalır. Yani, εx ve dolayısıyla σx kayma gerilmelerinden etkilenmez.

23 *6.5 Dar Dikdörtgen Kirişte Gerilme Dağılımının Ek İncelemesi V kesme kuvveti sabit ve P ye eşit olduğundan: Serbest uçtan x kadar mesafedeki normal gerilmeler, M = -Px yazılarak elde edilir: Uygulamada, ortaya çıkan modelle karşılaşılması düşük bir bir ihtimaldir. Ama Saint-Venant ilkesine göre yukarıdaki denklemler kullanılabilir.

24 *6.5 Dar Dikdörtgen Kirişte Gerilme Dağılımının Ek İncelemesi Dikdörtgen kesitli bir kiriş, çok sayıda tekil yüke maruz kaldığında, yüklerin uygulama noktaları arasında bulunan kesitlerdeki normal ve kayma gerilmelerini belirlemek için süperpozisyon ilkesi kullanılabilir.

25 *6.5 Dar Dikdörtgen Kirişte Gerilme Dağılımının Ek İncelemesi Kiriş bir yayılı yüke maruz kaldığında, kesme kuvveti kirişin uçlarına olan mesafeye göre değişir. Kayma deformasyonları D1 ve D1 veya D2 ve D2 gibi, farklı kesitlerin karşı gelen mesafeleri, bunların yüksekliğine bağlı olarak değişir. Önceki denklemler kullanıldığında ortaya çıkan hata küçüktür.

26 Örnek Problem 6.1 Birbirine tutkallanmış üç tahtadan yapılmış AB kirişi, simetri düzleminde gösterilen yüklemeye maruzdur. Her bir tutkallı bağlantının genişliği 20 mm olduğuna göre, kirişin n-n kesitindeki her bir bağlantının ortalama kayma gerilmesini belirleyiniz. Kesit merkezinin konumu şekilde gösterilmiştir ve merkezi eylemsizlik momenti I = 8.63 x 10-6 m 4 olarak verilmiştir.

27 Örnek Problem 6.1 n-n Kesitindeki Düşey Kesme Kuvveti. a Bağlantısındaki Kayma Gerilmesi. b Bağlantısındaki Kayma Gerilmesi.

28 Örnek Problem kn 5 kn 12 kn 90 mm m Açıklığı 3 m ve nominal genişliği 100 mm (gerçek genişliği = 90 mm) olan AB ahşap kirişi, gösterilen üç tekil yüke maruzdur. Kullanılan ahşap için σem = 12 MPa ve τem = 0.8 MPa olduğuna göre, kirişin gerekli minimum d yüksekliğini belirleyiniz.

29 Örnek Problem 6.2 Maksimum Kesme Kuvveti ve Eğilme Momenti. Emniyet Normal Gerilmesine Göre Tasarım. Kayma Gerilmesinin Kontrolü.

30 Örnek Problem 6.2 Emniyet Kayma Gerilmesine Göre Tasarım.

31 6.6 Keyfi Şekilli Bir Kiriş Elemanda Boyuna Kesme Kuvveti Soldaki sandık kirişte, tahtaların birleştiği yatay yüzeylerdeki q birim uzunluk başına kesme kuvvetini belirleyebiliyoruz. Tahtalar sağdaki kirişteki gibi düşey yüzeyler boyunca birleştirilirse, q yu belirleyebilir miyiz? Geniş başlıklı kirişlerde kayma gerilmelerinin τxy düşey bileşenlerinin perdede sabit olduğunu ve başlıklarda ihmal edilebileceğini gördük. Peki başlıklardaki τxz yatay bileşeni?

32 6.6 Keyfi Şekilli Bir Kiriş Elemanda Boyuna Kesme Kuvveti

33 Örnek mm mm 18 mm 112 mm Kare sandık kirişte çiviler arasındaki mesafe 44 mm olduğuna ve kiriş V = 2.5 kn büyüklüğündeki bir düşey kesme kuvvetine maruz kaldığına göre, her bir çivideki kesme kuvvetini belirleyiniz.

34 Örnek mm 18 mm mm 112 mm mm

35 6.7 İnce Cidarlı Elemanlarda Kayma Gerilmeleri Bu bölümde, yukarıdaki formüller geniş başlıklı kirişlerin başlığı ve sandık kiriş veya inşaat boruları gibi ince cidarlı elemanların cidarlarındaki kayma akısını ve ortalama gerilmelerini hesaplamak için kullanılacaktır.

36 6.7 İnce Cidarlı Elemanlarda Kayma Gerilmeleri Burada τort, bir düşey kesitteki τzx kayma gerilmesinin ortalama değerini temsil eder. τxz = τzx olduğundan, başlığın enine bir kesitindeki herhangi bir noktadaki kayma gerilmesinin τxz yatay bileşeni yukarıdaki ortalama gerilme ifadesinden elde edilebilir.

37 6.7 İnce Cidarlı Elemanlarda Kayma Gerilmeleri Yukarıdaki denklem, yükler elemanın bir simetri düzleminde uygulandığı sürece, sandık kirişlerde, yarım borularda ve diğer ince cidarlı elemanlardaki kayma gerilmelerini belirlemek için kullanılabilir. Her durumda, kesit elemanın yüzeyine dik olmalıdır. Denklem, bu yüzeyin teğeti doğrultusundaki kayma gerilmesinin bileşenini verir.

38 6.7 İnce Cidarlı Elemanlarda Kayma Gerilmeleri Kesitin verilen bir noktasındaki τ kayma gerilmesiyle kesitin bu noktasındaki t kalınlığının çarpımı q ya eşittir. Herhangi bir kesitte V ve I sabit olduğundan, q sadece Q birinci momentine bağlıdır ve kesit üzerinde çizilebilir.

39 *6.8 Plastik Deformasyonlar Eğilme momentinin en büyük değeri, B sabit ucunda oluşur ve M = PL ye eşittir. PL MY (maksimum elastik moment) olduğu sürece, normal gerilme akma mukavemetini aşmaz. Artan yük sonucu B ve B noktalarında akma başlar ve serbest uca doğru yayılır.

40 *6.8 Plastik Deformasyonlar Malzemenin elastoplastik olduğunu varsayalım. Yukarıdaki denklemden elastik çekirdeğin kalınlığının yarısını, yy belirleriz. yy x eğrisini çizerek, elastik ve plastik bölgeler arasındaki sınırı buluruz.

41 *6.8 Plastik Deformasyonlar PL < 3/2 MY olduğu sürece, denklemin tanımladığı parabol, BB çizgisini keser. Ancak, PL = 3/2 MY olduğunda, yani PL = Mp olduğu zaman, x = L için yy = 0 olur. Bu, kesitin tam plastik olduğunu gösterir. Bu noktada plastik mafsal oluştuğunu ifade ederiz. P = Mp/L yükü, kirişin taşıyabileceği en büyük yüktür.

42 *6.8 Plastik Deformasyonlar Parça tamamen plastik bölgede yer alırsa, yüzlerdeki normal gerilmeler düzgün dağılır ve σy akma mukavemetine eşittir. Bu yüzden, ΔH yatay kuvvetinin sıfır olması gerekir. τyx ve τxy C noktasında sıfırdır. Bu noktadaki V = P düşey kesme kuvveti EE üzerinde yayılır.

43 Örnek Problem mm 108 mm /2 = mm x 10 6 mm 4 W250 X 101 çekme çelik kirişteki düşey kesme kuvveti 200 kn olduğuna göre, üst başlıkta, kirişin kenarından 108 mm mesafede bulunan bir a noktasındaki yatay kayma gerilmesini belirleyiniz. Çekme çelik kesitin boyutları ve diğer geometrik verileri Ek C de verilmektedir.

44 Örnek Problem mm 108 mm /2 = mm x 10 6 mm 4

45 Örnek Problem mm 108 mm 18 mm x 300 mm /2 = mm Kaynaklar 108 mm Önceki sorudan farklı olarak, kaynaklı plakalar ilave edilmiştir. 164 x 10 6 mm 4 W250 X 101 çekme çelik kirişteki düşey kesme kuvveti 200 kn olduğuna göre, üst başlıkta, kirişin kenarından 108 mm mesafede bulunan bir a noktasındaki yatay kayma gerilmesini belirleyiniz. Çekme çelik kesitin boyutları ve diğer geometrik verileri Ek C de verilmektedir.

46 Örnek Problem 6.4

47 Örnek Problem 6.5 Kalıptan çekilmiş ince cidarlı kiriş alüminyumdan yapılmış olup, 3 mm lik düzgün bir cidar kalınlığına sahiptir. Kirişteki kesme kuvveti 5 kn olduğuna göre, (a) A noktasındaki kayma gerilmesini, (b) kirişteki maksimum kayma gerilmesini belirleyiniz (Not: Verilen boyutlar kirişin dış ve iç yüzeyleri arasındaki orta çizgiden ölçülmüştür).

48 Örnek Problem 6.5 Merkez. Merkezi Eylemsizlik Momenti.

49 Örnek Problem 6.5 a. A daki Kayma Gerilmesi. Kesit ve yükleme, A dan geçen bir düşey çizgiye göre simetrik olduğundan, kayma akısı da simetrik olmalıdır. Mümkün olabilecek kayma akılarından hiçbiri simetrik olmadığından,

50 Örnek Problem 6.5 b. Maksimum Kayma Gerilmesi.

51 *6.9 İnce Cidarlı Elemanlarda Simetrik Olmayan Yükleme; Kayma Merkezi Daha önceki analizlerimiz, düşey bir simetri düzlemine sahip olan elemanlarla ve bu simetri düzleminde uygulanan yüklerle sınırlanmıştı.

52 *6.9 İnce Cidarlı Elemanlarda Simetrik Olmayan Yükleme; Kayma Merkezi M kuvvet çifti vektörü yine kesitin bir asal ekseni doğrultusundadır ve tarafsız eksenle çakışır. Böylece, σx = -My/I denklemi normal gerilmeler için kullanılabilir. Ancak, denklemi kullanılamaz. Çünkü, bu denklem bir düşey simetri düzlemine sahip eleman için çıkarıldı. Eleman, yük etkisinde eğilir ve burulur.

53 *6.9 İnce Cidarlı Elemanlarda Simetrik Olmayan Yükleme; Kayma Merkezi P düşey yükünü kanal eleman burulmaksızın eğilecek şekilde uygulamak mümkün müdür? Mümkünse, P yükü nerede uygulanmalıdır? Eleman burulmadan eğilirse, bir kesitin herhangi bir noktasındaki kayma gerilmesi formülünden hesaplanabilir ve gerilme dağılımı şekildeki gibi oluşur. Kayma Gerilmesi q Kayma Akısı

54 *6.9 İnce Cidarlı Elemanlarda Simetrik Olmayan Yükleme; Kayma Merkezi Kayma Gerilmesi q Kayma Akısı q Kayma Akısı Elemanlar Üzerindeki Bileşke Kuvvetler Kesit alanının küçük bir da elemanı üzerine uygulanan kesme kuvveti: Kanal kirişin AB üst başlığının elemanları üzerine uygulanan kayma kuvvetlerinin bileşkesi:

55 *6.9 İnce Cidarlı Elemanlarda Simetrik Olmayan Yükleme; Kayma Merkezi Kayma Gerilmesi q Kayma Akısı q Kayma Akısı Elemanlar Üzerindeki Bileşke Kuvvetler DE alt başlığı üzerine uygulanan kesme kuvvetlerinin bileşkesi, F ile aynı büyüklükte ve zıt yönlüdür. Dolayısıyla, BD perdesi üzerine uygulanan kesme kuvvetlerinin bileşkesi, V düşey kesme kuvvetine eşittir.

56 *6.9 İnce Cidarlı Elemanlarda Simetrik Olmayan Yükleme; Kayma Merkezi BD perdesi üzerine uygulanan kesme kuvvetlerinin bileşkesi, V düşey kesme kuvvetine eşittir: Elemanlar Üzerindeki Bileşke Kuvvetler Burulmayı Ortadan Kaldıracak V nin yeri F ve F kuvvetleri Fh momentli bir kuvvet çifti oluşturur. V düşey kuvveti e kadar sola kaydırılırsa, bu kuvvet çifti ortadan kaldırılabilir ve eleman burulmaksızın eğilir.

57 *6.9 İnce Cidarlı Elemanlarda Simetrik Olmayan Yükleme; Kayma Merkezi P nin etki çizgisinin, uç kesitin simetri eksenini kestiği O noktasına bu kesitin kayma merkezi adı verilir. Bir P eğik yükü halinde, P yükü kesitin kayma merkezine uygulanırsa, elemanda herhangi bir burulma görülmez. Bu taktirde, P yükü, elemanın burulmasına neden olmayan Pz ve Py bileşenlerine ayrılabilir.

58 Örnek 6.05 b = 100 mm, h = 150 mm ve t = 4 mm olduğuna göre, düzgün kalınlıklı kanal kesitin O kayma merkezini belirleyiniz.

59 Örnek 6.05

60 Örnek 6.06 Kanal kesitin O kayma merkezinde uygulanan 10 kn luk V düşey kesme kuvvetinin neden olduğu kayma gerilmesi dağılımını belirleyiniz.

61 Örnek 6.06 Başlıklardaki Kayma Gerilmeleri.

62 Örnek 6.06 Perdedeki Kayma Gerilmeleri.

63 Örnek 6.06 Kesit Üzerindeki Gerilme Dağılımı.

64 Örnek 6.07 Gerilme yığılmalarını ihmal ederek, BD perdesinin orta çizgisinin sağında 28.5 mm lik bir mesafede yer alan, kesitin C merkezinde uygulanan 10 kn luk V kesme kuvvetinin neden olduğu maksimum kayma gerilmesini belirleyiniz.

65 Örnek 6.07 Kayma Merkezinde Eşdeğer Kuvvet-Kuvvet Çifti Sistemi. Eğilme Kaynaklı Gerilme.

66 Örnek 6.07 Burulma Kaynaklı Gerilmeler. Kombine Gerilmeler.

67 *6.9 İnce Cidarlı Elemanlarda Simetrik Olmayan Yükleme; Kayma Merkezi Elemanın yönelimi, P yükü, kesitin Cz asal merkezi eksenlerinden birine dik olacak şekilde ise, M kuvvet çifti vektörü Cz boyunca yönlenir ve tarafsız eksenle çakışır. Eleman burulmaksızın eğilecekse, P yükünün uygulama noktasını belirleyeceğiz.

68 *6.9 İnce Cidarlı Elemanlarda Simetrik Olmayan Yükleme; Kayma Merkezi F1 ve F2 O noktasından geçtiğinden, kesitteki V kesme kuvveti olan bileşkeleri de O dan geçmelidir. P yükünün etki çizgisi, yükün uygulandığı kesitin O köşesinden geçerse, eleman burulmaz.

69 *6.9 İnce Cidarlı Elemanlarda Simetrik Olmayan Yükleme; Kayma Merkezi Kesitin OA düşey parçası üzerine uygulanan elemanter kesme kuvvetlerinin bileşkesi, V kesme kuvvetine eşittir ve OB yatay parçası üzerindeki kesme kuvvetlerinin bileşkesi sıfırdır.

70 *6.9 İnce Cidarlı Elemanlarda Simetrik Olmayan Yükleme; Kayma Merkezi Z profillere uygulamada sık rastlanır. Kesiti herhangi bir simetri eksenine sahip değildir ama bir simetri merkezine sahiptir. O noktası HH doğru parçasını iki eşit parçaya ayırmak üzere, kesitin herhangi bir H noktasına başka bir H noktası karşı gelir. O simetri merkezi, kesitin merkezi ile çakışır ve aynı zamanda kesitin kayma merkezidir.

71 *6.9 İnce Cidarlı Elemanlarda Simetrik Olmayan Yükleme; Kayma Merkezi Yüklerin, kesitin asal eksenlerinden birine dik bir düzlemde uygulandığını ve bu eksenin aynı zamanda kesitin tarafsız ekseni olduğunu varsayıyoruz. H ve H noktalarındaki kayma gerilmeleri aynı büyüklükte ve aynı doğrultudadır. Aynı şekilde, df kesme kuvvetleri de eşittir ve O ya göre eşit ve zıt yönlü momentlere sahiptir. Bu, kesitteki V kesme kuvvetinin O dan geçen bir çizgi boyunca yönlendiği anlamına gelir. Yani, O noktası kesitin kayma merkezidir.

72 Örnek Problem 6.6 Gösterilen yükleme için, düzgün t kalınlıklı, ince cidarlı DE köşebent profildeki kayma gerilmesi dağılımını belirleyiniz.

73 Örnek Problem 6.6 Kayma Merkezi. İnce cidarlı bir köşebent profilin kayma merkezinin, kesitin köşesinde yer aldığını biliyoruz. P yükü D de uygulandığından, profilin burulmaksızın eğilmesine neden olur. Asal Eksenler.