ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ ALT DİZİLERİN TOPLANABİLMESİ. Emre TAŞ MATEMATİK ANABİLİM DALI ANKARA 2010

Transkript

1 ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ ALT DİZİLERİN TOPLANABİLMESİ Emre TAŞ MATEMATİK ANABİLİM DALI ANKARA 200 Her hakkı saklıdır

2 ÖZET Yüksek Lisans Tezi ALT D IZ ILER IN TOPLANAB ILMES I Emre TAŞ Ankara Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Anabilim Dal Dan şman: Prof.Dr. Cihan ORHAN Bu tez beş bölümden oluşmaktad r. Ilk bölüm giriş k sm na ayr lm şt r. Ikinci bölümde, toplanabilme teorisinin baz temel kavramlar na yer verilmiştir. Üçüncü bölümde, verilen bir dizinin altdizilerinin toplanabilmesinden dizinin yak nsakl ¼g elde edilmiştir. Bunun yard m yla serilerin yak nsakl ¼g için yeni bir kriter verildi. Dördüncü bölümde, ilk olarak bir dizinin altdizileri ile (0; ] aral ¼g aras nda birebir bir eşleme kurulmuştur. Bunun yard m yla verilen bir dizinin yak nsakl ¼g, C toplanabilmesi ve Riesz toplanabilmesi ile onun altdizilerinin s ras yla yak nsakl ¼g, C toplanabilmesi ve Riesz toplanabilmesi aras ndaki ilişkiler incelenmiştir. Son bölümde ise, verilen bir dizinin regüler bir A matrisi ile toplanabilen altdizilerinin oluşturdu¼gu kümenin Lebesgue ölçüsü incelenmiştir. 200, 4 sayfa Anahtar Kelimeler : Altdizi, Lebesgue ölçüsü, regüler toplanabilme metodu, altdizilerin toplanabilmesi, Buck-Pollard özelli¼gi i

3 ABSTRACT Master Thesis SUMMABILITY OF SUBSEQUENCES Emre TAŞ Ankara University Graduate School of Natural And Applied Sciences Department of Mathematics Supervisor: Prof.Dr. Cihan ORHAN This thesis consists of ve chapters. The rst chapter is devoted to the introduction. In the second chapter, some basic concept of summability theory has been recalled. In the third chapter, convergence of a given sequence has been obtained from summability of its subsequences.by using this, a new criterion was given for convergence of series. In the fourth chapter, rstly an one to one correspondence has been established between subsequences of a sequence and the interval (0; ]. Then by using the correspondence, a relationship between the convergence of a given sequence and its subsequences has been examined. Similar problem for C summability and Riesz summability of a sequence has also been considered. In the nal chapter, the Lebesgue measure of the set of A summable subsequences of a given sequence has been examined. 200, 4 pages Key Words: Subsequence, Lebesque measure, regular summability method, summability of subsequences, Buck-Pollard property ii

4 TEŞEKKÜR Bu çal şma konusunu bana veren, araşt rmalar m n her aşamas nda engin bilgilerini benden hiçbir zaman esirgemeyen ve matematiksel düşünme yetene¼gimi geliştirmeme yard mc olan dan şman hocam Say n Prof. Dr. Cihan ORHAN a, yüksek lisans e¼gitimim boyunca ad na yak ş r bir şekilde her konuda yard mlar n esirgemeyen hocam Say n Doç. Dr. Şeyhmus YARDIMCI ya, özgüvenimi art ran her konuda bana yard mc olan de¼gerli hocam Araş. Gör. Ismail GÖK e, lisans e¼gitimim boyunca yan mda olan sevgili hocam Yrd. Doç. Dr. Özlem G IRG IN ATLIHAN a, haftal k seminerlerimiz boyunca benimle birlikte olan arkadaşlar ma ve özellikle lisans ve yüksek lisans e¼gitimim boyunca maddi manevi deste¼gini esirgemeyen çok de¼gerli arkadaşlar m Tu¼gba YURDAKAD IM, Elif UYANIK ve Mehmet B ILAL e ve hayat m boyunca yan mda oldu¼gu gibi çal şmalar m süresince de fedakarl klar göstererek beni destekleyen aileme ve Zehra TÜFEKÇ I ye en içten duygular mla teşekkür ederim. Bu tez "TÜB ITAK-2228 Yüksek Lisans Burs Program " taraf ndan desteklenmiştir. Emre TAŞ Ankara, Temmuz 200. iii

5 IÇ INDEK ILER ÖZET i ABSTRACT ii TEŞEKKÜR iii S IMGELER D IZ IN I v. G IR IŞ 2. TEMEL KAVRAMLAR 2 3. ALTD IZ ILER IN TOPLANAB ILMES I VE D IZ IN IN YAKINSAKLI ¼GI 4 4. ALTD IZ ILER IN YAKINSAKLI ¼GI VE CESÀRO TOPLANAB ILMES I 4. Temel Sonuçlar 4.2 Altdizilerin Yak nsakl ¼g Altdizilerin Cesàro Toplanabilmesi Altdizilerin Riesz Ortalamas ALTD IZ ILER IN T-TOPLANAB ILMES I 34 KAYNAKLAR 39 ÖZGEÇM IŞ 4 iv

6 S IMGELER D IZ IN I N Do¼gal say lar kümesi ' Sonlu diziler s n f E E kümesinin kapan ş R n (t) Rademacher fonksiyonlar a k % (a k ) dizisi artarak sonsuza yak nsar a k & 0 (a k ) dizisi azalarak s f ra yak nsar Lebesgue ölçüsü N Normal say lar kümesi c A A [x] C h:h:y: x t A matrisinin toplanabilirlik alan x dizisinin A toplanabilen altdizilerine karş l k gelen noktalar n kümesi Cesàro matrisi Hemen her yerde t 2 (0; ] noktas n n ikili aç l m na karş l k gelen x dizisinin altdizisi! Reel ya da kompleks terimli tüm diziler uzay Ax := f(ax) n g x dizisinin A matrisi alt ndaki dönüşüm dizisi R Reel say lar kümesi E E kümesinin karakteristik fonksiyonu v

7 . G IR IŞ Bir dizinin yak nsak olup olmad ¼g n anlamak herzaman kolay olmayabilir. Böyle bir durumda altdizilerin belli bir kümesinin regüler bir matris ile toplanabildi¼gini göstermek daha kolay olabilir ve bu şekilde dizinin yak nsak oldu¼gu sonucuna ulaşmak mümkündür. Bu tezin amac verilen bir dizinin yak nsakl ¼g ve toplanabilmesi ile altdizilerinin yak nsakl ¼g ve toplanabilmesi aras ndaki ilişkiyi incelemektir. Bu düşünce ilk olarak reel terimli diziler için Buck (943) taraf ndan ortaya at ld. Buck, Reel terimli s n rl bir dizinin her altdizisini toplayabilen regüler bir A matris metodu varsa dizinin yak nsak oldu¼gunu göstermiştir.daha sonra bu teorem Agnew (944) taraf ndan kompleks terimli dizilere genişletildi. Bir dizinin her altdizisi yak nsak ise dizinin yak nsak oldu¼gu biliniyor. Buck ve Pollard (943), Tsuchikura (950) verilen bir dizinin altdizileri ile (0; ] aral ¼g aras nda birebir bir eşleme kurup her altdizisi kavram yerine hemen her altdizisi kavram n koyarak verilen bir dizinin yak nsakl ¼g ve C toplanabilmesi ile yak nsak altdiziler ve C toplanabilen altdizilerden oluşan kümelerin Lebesgue ölçüsünü incelemiştir. Örne¼gin; Bir dizinin hemen her altdizisi yak nsak ise dizinin yak nsak oldu¼gu gösterilmiştir. Keogh ve Petersen (96) benzer düşünceleri Riesz ortalama matrisi için genelleştirmiştir. Daha sonra H. Miller (982) verilen bir dizinin regüler bir A matrisi ile toplanabilen altdizilerin oluşturdu¼gu kümenin Lebesgue ölçüsünü incelemiştir.

8 2. TEMEL KAVRAMLAR Bu bölümde çal şmam z n temelini oluşturan toplanabilme metodunu tan mlayarak A toplanabilme ve regüler matris tan mlar n verece¼giz. Tan m 2.!, reel ya da kompleks terimli tüm dizilerin uzay ve E! alt vektör uzay olmak üzere E uzay na bir dizi uzay denir. Bir E dizi uzay ndan reel veya kompleks cisme tan ml lineer bir f fonksiyoneline toplanabilme metodu denir. E¼ger E yak nsak diziler uzay n içeriyor ve lim x = L oldu¼gunda f(x) = L oluyorsa f fonksiyoneline regüler toplanabilme metodu denir. Tan m 2.2 A = (a nk ) reel ya da kompleks terimli sonsuz bir matris ve x = (x k ) bir dizi olmak üzere her n 2 N için serisi yak nsak ise X a nk x k (Ax) n := X a nk x k olmak üzere Ax := f(ax) n g dizisine x dizisinin A dönüşüm dizisi denir (Maddox 970).! A := fx 2! : f(ax) n g dizisi mevcutg ve c A := fx 2! A : f(ax) n g dizisi yak nsakg kümelerini tan mlayal m. E¼ger f : c A! K fonksiyonelini f(x) = lim(ax) n şeklinde n tan mlarsak f bir toplanabilme metodudur. E¼ger lim(ax) n = L ise x dizisi L n de¼gerine A toplanabilirdir denir. E¼ger A matrisi key yak nsak bir diziyi, limitini de koruyarak yak nsak bir diziye dönüştürüyor ise A matrisine regüler matris denir. Regüler matrisler aşa¼g daki teorem ile karakterize edilirler. 2

9 Teorem 2. (Silverman-Toeplitz) Bir A = (a nk ) matrisinin regüler olmas için gerek ve yeter koşul; X (i) jjajj := sup ja nk j < n (ii) lim a nk = 0 (her k için) n! X (iii) lim a nk = n! olmas d r (Boos 2000). Örne¼gin 8 < c nk = : ; k n n 0 ; k > n biçiminde tan mlanan birinci mertebeden C = (c nk ) Cesàro matrisi regülerdir. Tan m 2.3 ' = fx = (x k ) 2! : 9k 0 2 N 3 8k k 0 ; x k = 0g kümesine sonlu diziler s n f ad verilir. Tan m 2.4 Bir yan şart alt nda verilen bir dizinin A toplanabilmesinden dizinin yak nsakl ¼g n elde etti¼gimiz teoreme Tauberian teoremi ad verilir. 3

10 3. ALTD IZ ILER IN TOPLANAB ILMES I VE D IZ IN IN YAKINSAKLI ¼GI Bilindi¼gi gibi bir dizinin her altdizisi yak nsak ise bu dizi yak nsakt r. Bu bölümde dizinin yak nsakl ¼g için daha genel bir koşul verece¼giz ve bunun da yard m yla serilerin yak nsakl ¼g için yeni bir kriter elde edece¼giz. Bu do¼grultuda ilk olarak Steinhaus un bir sonucunu ispats z olarak verelim. Lemma 3. Regüler bir matrisin toplayamayaca¼g terimleri 0 ve lerden oluşan en az bir dizi vard r (Steinhaus 9). Teorem 3. Reel terimli bir dizinin her altdizisini toplayabilen regüler bir A matris metodu varsa dizi yak nsakt r (Buck 943). Ispat. Ispat yapmak için verilen bir x dizisinin raksak oldu¼gunu varsayal m. Burada kendimizi s n rl dizilere k s tlayabiliriz. x 0 n = x n lim inf x n lim sup x n lim inf x n olsun. Buradan lim inf x 0 n = 0, lim sup x 0 n = olur. Dolay s yla s ras yla ve 0 de¼gerlerine yak nsayan altdizilerini seçebiliriz. x 0 n ve x 0 n ayr k Şimdi de (x 0 n) dizisinin kopyas diyece¼gimiz (x n) dizisini 8 >< x n = >: ; n = k 0 ; n = k x 0 n ; di¼ger durumlarda biçiminde oluştural m. (x n) ve (x 0 n) ayn limit noktalar na sahip ve lim (x n x 0 n) = 0 4

11 oldu¼gundan bu iki dizi benzer davran r. (x n) dizisinin terimleri aras nda sonsuz çoklukta 0 ve vard r. Lemma 3. den A regüler metodu taraf ndan toplanamayan bir x r n altdizisini seçebiliriz. (n ) bir s f r dizisi olmak üzere x 0 n = x n + n oldu¼gundan x 0 r n dizisi A toplanabilir de¼gildir. Böylece (x n ) dizisinin A toplanamayan bir (x rn ) altdizisini elde ederiz. Bu ise bir çelişkidir. O halde (x n ) dizisi yak nsakt r. Teoremin ispat nda kendimizi s n rl dizilere k s tlam şt k. E¼ger (x n ) dizisi s n rs z olmas durumunda ne yapabiliriz? Bu soruya Buck (956) cevap vermiştir. (x n ) s n rs z ve A = (a nk ) regüler matrisi verilsin. Gösterece¼giz ki A toplanamayan bir (x rn ) = (x 0 n) altdizisi vard r. S n rs z dizilerin toplanabilmesinde, regüler dönüşümlerin s n f do¼grudan iki alt s n fa ayr l r. Bunlar (üçgensel metodlar gibi) bütün s n rs z dizilere uygulanabilen ve di¼geri sadece kesin artmayan s n rs z dizilere uygulanand r. Birinci durumda key s n rs z bir x dizisinin T (x 0 ) dönüşüm dizisi s n rs z ( ve kesinlikle raksak) olacak biçimde x 0 altdizisine sahip olaca¼g n gösterece¼giz. Ikinci durumda ise T matrisinin tan m bölgesinde olmayan bir x 0 altdizisini oluşturaca¼g z. Durum. A = (a nk ) matrisinin sonsuz çoklukta sat r ' kümesine ait olsun. A regüler ise bunlar n uzunluklar düzgün s n rl de¼gildir. Daha kolay anlaş labilmesi için a nk yerine a(n; k) notasyonunu kullanal m. Kesin artan (n j ) ve (k j ) dizilerini seçelim öyle ki a(n j ; k j ), n j -inci sat rdaki s f r olmayan son terim olsun. x = (x n ) s n rs z oldu¼gundan k j X a (n j ; k) x 0 k j, j = ; 2; ::: olacak biçimde bir x 0 = (x 0 n) altdizisi seçilebilir. E¼ger y 0 = A(x 0 ) ise ve böylece y 0 s n rs zd r. Dolay s yla raksakt r. y 0 n j j olur 5

12 Durum 2. E¼ger.durum uygulanmazsa A = (a nk ) matrisinin sonlu çoklukta sat r ' kümesine aittir. Yani n n 0 ise sonsuz çoklukta k için a(n; k) 6= 0 olur. Şimdi x dizisinin bir x 0 altdizisini seçelim öyle ki ja (; )j 2 jx 0 j ja (; )j, ja (; 2)j 2 jx 0 2j ja (; 2)j, ja (2; 2)j 2 jx 0 2j ja (2; 2)j, ve genel olarak ja (n; k)j 2 jx 0 kj ja (n; k)j, n = ; 2; :::; k gerçeklensin. E¼ger n n 0 ise sonsuz çoklukta k için a(n; k) 6= 0 oldu¼gundan bu k do¼gal say lar n k < k 2 < k 3 < ::: biçiminde artan bir dizi ile ifade edebiliriz. Böylece ja (n; k i )j 6= 0 olmak üzere ja (n; k i )j 2 x 0 k i ja (n; k i )j, i = ; 2; ::: elde edilir. Böylece ja (n; k i )j x 0 ki ; lim sup ja (n; k i )j x 0 ki ; i lim sup ja (n; k) x 0 kj ; k olur. Mutlak de¼ger fonksiyonu sürekli oldu¼gundan lim sup a (n; k) x 0 k ; k elde edilir. Yani lim sup k a (n; k) x 0 k veya lim sup k a (n; k) x 0 k bulunur. Dolay s yla (a (n; k) x 0 k ) dizisinin limiti s f rdan fakl veya mevcut de¼gildir. Böylece X bu diziyi genel terim kabul eden a (n; k) x 0 k serisi raksakt r. Buna göre x0 altdizisi A matrisinin tan m bölgesinde yer almaz. Sonuç olarak bu teorem s n rs z dizilere genelleştirilemez. 6

13 Do¼gal olarak bu teoremdeki dizinin reel olmas koşulunun at l p at lamayaca¼g sorusunu sorabiliriz. Agnew (944) taraf ndan gösterildi ki dizinin reel olmas koşulu at labilir. Teorem 3.2 A regüler bir matris ve (x n ) s n rl kompleks terimli bir dizi olsun. Bu X taktirde (x n ) dizisinin en az bir (y n ) altdizisi vard r öyle ki Y n = a nk y k dönüşüm dizisinin limit noktalar kümesi olan L Y, (x n ) dizisinin limit noktalar kümesi olan L x kümesini içerir (Agnew, 944). Ispat. L x, s n rl kompleks terimli (x n ) dizisinin limit noktalar kümesi olsun. Kompleks düzlem ayr labilir ve L x kapal bir küme oldu¼gundan L x kümesinin E = L x olacak biçimde ( sonlu veya sonsuz ) bir E altkümesi vard r. Şimdi u ; u 2 ; u 3 ; ::: E kümesinin bütün noktalar ndan oluşan bir dizi olsun. E sonlu bir küme olmas durumunda u ; u 2 ; u 3 ; ::: noktalar farkl de¼gildir. Dizinin elemanlar n u ; u ; u 2 ; u ; u 2 ; u 3 ; :::; u ; u 2 ; :::; u n ; ::: () şeklinde s ralayal m ve bunlar v ; v 2 ; v 3 ; ::: ile gösterelim.(v n ) dizisi L x kümesindeki noktalar n bir dizisidir ve dizinin limit noktalar kümesi L x kümesidir. Her p = ; 2; 3; ::: için x (np ); x (np2 ); x (np3 ); ::: (2) biçimindeki v p limitine sahip olan (x n ) dizisinin bir altdizisini gözönüne alal m. Takibi kolaylaşt rmak için a nk yerine a(n; k) notasyonunu kullanal m. A regüler oldu¼gundan Silverman-Toeplitz şartlar sa¼glan r. Böylece p = ; 2; 3; ::: için k X p ja(n p ; k)j < p, X k=k p+ ja(n p ; k)j < p (3) 7

14 olacak biçimde n < n 2 < n 3 < ::: ve k < k 2 < k 3 < ::: dizileri vard r. O halde k p+ X a(n p ; k) = X a(n p ; k) k X p a(n p ; k) X a(n p ; k) = + p (4) k=k p+ k=k p+ + elde edilir. Burada ( p ) dizisi, p! 0, (p! ) olacak biçimde bir dizidir. Şimdi de verilen bir (x n ) dizisinin y(n) altdizisini aşa¼g daki gibi seçelim. edelim ki p sabit olmak üzere k k p için y(k) = x k ve y(k + ); :::; y(k p+ ) Kabul jy(k) v p j < p, k p < k k p+ (5) koşulunu sa¼glayacak biçimde (2) ifadesindeki diziden seçilsin. (x n ) s n rl oldu¼gundan jx n j B olacak biçimde bir B 2 R vard r ve dolay s yla tümevar mla tan mlanan y(n) altdizisi s n rl d r ve böylece her p = ; 2; 3; ::: için Y n = X a nk y k biçiminde bir dönüşüme sahiptir. k X p Y np = a(n p ; k)y k + X k=k p+ + a(n p ; k)y k + k p+ X k=k p+ a(n p ; k)y k (6) olur. (6) ifadesinin ikinci k sm ndaki ilk iki terimin herbiri B p ile s n rland ¼g ndan Y np = p + k p+ X k=k p+ a(n p ; k)y k olur. Ayr ca k p+ X k=k p+ a(n p ; k)y k = v p k p+ X k=k p+ a(n p ; k) + k p+ X k=k p+ = v p ( + p ) + p = v p + p a(n p ; k)(y k v p ) 8

15 olur. Bundan dolay Y np ve vp dizileri ayn limit noktalar na sahiptir ve buradan Y np dizisinin limit noktalar kümesi ile Lx, (x n ) dizisinin limit noktalar kümesi ayn d r. Dolay s yla as l dizimiz olan (Y n ) dizisinin limit noktalar kümesi olan L Y, L x kümesini içerir ve ispat tamamlan r. Sonuç olarak as l elde etmek istedi¼gimiz genişletmeyi verebiliriz. Sonuç 3. (x n ) s n rl kompleks terimli bir dizi olmak üzere her altdizisini toplayabilen regüler bir matris varsa (x n ) dizisi yak nsakt r (Agnew 944). Ispat. Aksini kabul edelim. Yani (x n ) s n rl raksak bir dizi ise L x ve böylece L Y en az iki farkl nokta içermelidir ve bundan dolay (y n ) altdizisi A toplanamaz. Bu ise hipotezle çelişir. Dolay s yla kabulümüz yanl şt r. Bu sonuç bize Teorem 3. in kompleks terimli dizilere genişletilebilece¼gini söyler. Sonuç olarak aşa¼g daki Tauberian teoremini verebiliriz. Sonuç 3.2 Regüler bir A matris metodu taraf ndan toplanabilen bir dizinin yak nsak olmas için gerek ve yeter şart her altdizisinin de A toplanabilir olmas d r (Buck 943). Şimdi de diziler için verdi¼gimiz bu kriter yard m yla seriler için benzer bir kriter elde edelim. Sonuç 3.3 Bir serinin elemanlar n n paranteze al nmas yla oluşturulan her seriyi toplayabilen regüler bir A matris toplanabilme metodu varsa P x n serisi yak nsakt r (Buck 943). Ispat. Bir serinin A toplanabilmesi k smi toplamlar dizisinin A toplanabilmesiyle verilebilir. X x n = x + x 2 + ::: n= 9

16 serisinin k smi toplamlar dizisi (s n ) ise s n = x k ile verilir. Verilen serinin elemanlar n aşa¼g daki gibi paranteze alal m. X x n = (x + ::: + x n ) + (x n + + ::: + x n2 ) + ::: + (x np+ + ::: + x np+ ) + ::: n= her p = ; 2; 3; ::: için p = x np+ + ::: + x np+ al rsak X x n = ::: + p + ::: n= olur. Bu serinin k smi toplamlar dizisi T p = ::: + p = s np olur. s np dizisinin (sn ) dizisinin bir altdizisi oldu¼gu aç kt r. Bu şekilde paranteze alarak elde etti¼gimiz her k smi toplamlar dizisi as l k smi toplamlar dizisinin altdizisidir. Sonuç 3.2 den P x n serisi yak nsakt r. Sonuç 3.4 Teorem 3. i raksak olan (0; ; 0; ; :::) dizisine uygularsak Steinhaus un bir sonucu olan Lemma 3. i elde ederiz. 0

17 4. ALTD IZ ILER IN YAKINSAKLI ¼GI VE CESÀRO TOPLANAB ILMES I Bu bölümde bir dizinin yak nsakl ¼g, C toplanabilmesi ve Riesz toplanabilmesi ile onun altdizilerinin s ras yla yak nsakl ¼g, C toplanabilmesi ve Riesz toplanabilmesi aras ndaki ilişkiyi inceleyece¼giz. Yani hangi şartlar alt nda bir dizinin yak nsakl ¼g ve toplanabilmesinden onun altdizilerinin yak nsakl ¼g ve toplanabilmesine geçmek ve karş t olarak uygun altdiziler için sa¼glanan bu özelliklerin as l dizi için gerektirilip gerektirilmedi¼gini gösterece¼giz. Bu ba¼glamda C toplanabilir bir dizinin hemen her altdizisinin C toplanabilmesi için iki farkl yeter koşul verece¼giz ve Riesz matrisi için benzer sonuçlar inceleyece¼giz. 4. Temel Sonuçlar Bu k s mda, bu bölüm boyunca ihtiyaç duyaca¼g m z temel tan m ve sonuçlar verece¼giz. Tan m 4.. a k 2 f0; g olmak üzere serisinin toplam na ikili aç l m denir ve 0; a a 2 a 3 ::: biçiminde gösterilir. X a k 2 k Her t 2 [0; ] noktas t = 0; a a 2 a 3 ::: biçiminde ikili aç l ma sahiptir. Baz noktalara iki farkl ikili aç l m karş l k gelir. Örne¼gin 2 = 0; 0::: ve 2 = 0; 000::: biçiminde ifade edilebilir. Daha genel olarak h = ; 3; :::; 2 m olmak üzere h 2 m formundaki noktalara iki farkl ikili aç l m karş l k gelir (Nathanson 964). Böyle bir durumda sonsuz çoklukta içeren ikili aç l m tercih edece¼giz. Ikili aç l mlar, (0; ] aral ¼g ile bir dizinin altdizilerini eşlememizde büyük öneme sahiptir.

18 Şimdi de (0; ] aral ¼g ile verilen bir dizinin altdizileri aras nda birebir bir eşlemeyi nas l yapaca¼g m z ifade edelim. Key bir (s n ) dizisini gözönüne alal m. Aşa¼g daki gibi (0; ] aral ¼g ile onun altdizileri aras nda birebir bir dönüşüm elde edebiliriz. t = 0; a a 2 a 3 ::: ile aral ¼g n bir t noktas n n sonsuz ikili aç l m n gözönüne alal m. Buna göre altdiziyi şöyle seçeriz: Aç l mdaki a j = ise s j terimini alal m ve a j = 0 ise s j terimini atal m. Karş t önerme aç kt r. Örne¼gin (s kn ) = (s 2 ; s 3 ; s 4 ; :::) altdizisini gözönüne alal m. Bu taktirde bu altdiziye karş l k gelen ikili aç l m 2 olur. = 0; 0::: Şimdi Lebesgue ölçüsü anlam nda (s n ) dizisinin altdizileri için hemen hepsi veya hemen hiçbiri kavramlar n kullanabiliriz. (s n ) dizisinin altdizilerine karş l k gelen ikili aç l mlar n oluşturdu¼gu noktalar n kümesinin Lebesgue ölçüsü ise altdizilerinin hemen hepsi kavram n ve benzer şekilde bu kümenin ölçüsü 0 ise hemen hiçbiri kavram n kullanaca¼g z. Burada elde edece¼gimiz sonuçlar daha genel için do¼gru oldu¼gu aç k olmas na ra¼gmen kolayl k için reel say dizilerine s n rlar z. Bu k s mda ele alaca¼g m z bütün kümeler (0; ] aral ¼g n n altkümeleri olarak gözönüne al nacakt r. Tan m 4..2 n = ; 2; 3; ::: ve 0 t için R n Rademacher fonksiyonu 8 < R n (t) = : ( ) k+ ; k 2 n < t < k+ 2 n, k = 0; ; :::; 2 n 0 ; di¼ger durumlarda biçiminde tan mlan r. Aşa¼g da Rademacher fonksiyonunun baz özelliklerini verelim. (i) D, (0; ] aral ¼g ndan h 2 m biçimindeki bütün noktalar n say labilir kümesini ç kard ¼g m zda geriye kalan küme olsun. için a k = +R k(t) 2, k = ; 2; ::: olur. Bu taktirde her t = 0; a a 2 a 3 ::: 2 D 2

19 (ii) Z 0 8 < 0 ; j < k R j (t) R k (t) dt = : ; j = k oldu¼gu biliniyor. Rademacher fonksiyonunun di¼ger özellikleri için (Hill, 945), (Kacmarz ve Steinhaus, 935) ve (Knopp, 922) de bulunabilir. Tan m 4..3 S (0; ) ve t = 0; a a 2 a 3 ::: olmak üzere S kümesinin bir t noktas n n sonsuz bir ikili aç l m olsun. Bu durumda a i lerin sonlu say da de¼gişmesiyle elde edilen nokta da S kümesine ait ise S kümesine homojen küme ad verilir (Visser 938). Şimdi de as l amac m za giderken araç olarak kullanaca¼g m z birkaç özellik verelim. Lemma 4.. Homojen bir küme 0 veya ölçülüdür (Visser 938). Burada ele alaca¼g m z kümeler homojendir. Lemma 4..2 S kümesinin Lebesgue ölçüsü olsun. Bu taktirde S, ölçüsü olan ve t 2 E ise t 2 E koşulunu sa¼glayan bir E altkümesine sahiptir (Buck ve Pollard 943). Teoremlerimizin ispat nda büyük öneme sahip olan aşa¼g daki sonucu verelim. Lemma 4..3 (x k ) reel terimli bir dizi, her k 2 N için a k > 0 ve a k % olsun. Bu taktirde X n= gerçeklenir (Knopp 922). x n a n serisi yak nsak ise a n x j! 0, (n! ) j= Ispat. b n = j= x j a j olsun. O halde x n = a n (b n b n ) ; a 0 = b 0 = 0; olur. Abel 3

20 k smi toplam formülünden x j = j= Xn a j (b j b j ) = (a j a j+ ) b j + a n b n j= j= elde edilir.her n 2 N için a n > 0 oldu¼gundan her iki taraf a n ile çarpal m. a n Xn x j = b n (a j+ a j ) b j (7) a n j= j= Xn gerçeklenir ve a j+ a j 0 oldu¼gundan a n (a j+ a j ) = olup hipotezden b n! L, (n! ) olur. E¼ger 8 < c nj = : j= a n (a j+ a j ) ; j n 0 ; d:d tan mlarsak C = (c nj ) matrisi regülerdir. O halde (Cb) n = Xn (a j+ a j ) b j! L a n j= olur. Böylece (7) ba¼g nt s ndan a n x j! L j= L = 0, (n! ) elde edilir. X Lemma 4..4 s 2 k serisinin yak nsak veya raksak olmas na göre X s k R k (t) serisi s ras yla ölçüsü veya 0 olan bir küme üzerinde yak nsakt r (Buck ve Pollard 943). Lemma 4..5 X k 2 s 2 k serisi yak nsak olsun. Bu taktirde h.h. t için lim n! n gerçeklenir (Buck ve Pollard 943). s k R k (t) = 0 (8) 4

21 Ispat. X k 2 s 2 k serisi yak nsak ise Lemma 4..4 den h.h t için X yak nsakt r. Di¼ger taraftan Lemma 4..3 de a n = n al n rsa h.h t için s k R k (t) k serisi n s k R k (t)! 0 elde edilir. Böylece ispat tamamlan r. Tan m 4..4 f n : E! R fonksiyonlar n dizisi olmak üzere M E kümesi için (M) = 0 ve EM kümesinde f n! f ise (f n ) fonksiyon dizisi E üzerinde f fonksiyonuna hemen hemen yak nsakt r denir (Nathanson 964). Bu tan m yard m yla Reel Analizde iyi bilinen aşa¼g daki teoremi verebiliriz. Teorem 4.. ( Egorov Teoremi ) f n : E! R ölçülebilir fonksiyonlar n bir dizisi olmak üzere f n, f fonksiyonuna hemen hemen yak nsak olsun. Bu durumda her > 0 için i) (E r E ) < ii) E üzerinde f n f koşullar n sa¼glayan bir E E kümesi vard r (Nathanson 964). Teorem 4..2 ( Bessel Eşitsizli¼gi ) (e k ), bir X iççarp m uzay nda ortonormal bir dizi olsun. Buna göre her x 2 X için jhx; e k ij 2 kxk 2 (Bessel Esitsizligi) gerçeklenir. Burada hx; e k i iççarp mlar na x eleman n n (e k ) ortonormal dizisine göre Fourier katsay lar ad verilir (Kreyzig 2007). 5

22 Lemma 4..6 lim n! n s k R k (t) = L (t) (9) limiti h.h.y mevcut olsun. Bu taktirde h.h.y L (t) = 0 ve lim n! n 2 s 2 k = 0 (0) gerçeklenir. Ispat. Egorov teoreminden (9) ifadesi pozitif ölçülü bir A kümesi üzerinde düzgün yak nsak olmak zorundad r. Böylece bir M > 0 için jl(t)j M, t 2 A olur. Bununla birlikte bu eşitsizli¼gi sa¼glayan noktalar n kümesi homojendir. Dolay s yla Lemma 4.. den L (t), h.h.y s n rl d r. Aç k bir şekilde L (t) integrallenebilirdir. O halde olsun. Şimdi bir > 0 say s seçelim ve s ras yla Z 0 L (t) dt = a () L (t) a > L (t) a < jl (t) aj koşullar n sa¼glayan I, I 2, I 3 kümelerini gözönüne alal m. Bu kümeler homojendir. Bunlar n birleşiminin ölçüsü oldu¼gundan bunlar n en az birinin ölçüsü olmal d r. E¼ger I ya da I 2 kümesinin ölçüsü ise () gerçeklenmez. Böylece h.h.y jl (t) aj olur öyle ki ölçüsü olan bir B kümesi üzerinde L(t) = a olur. 6

23 Lemma 4..2 den B kümesinden t 0 ve t 0 noktalar n seçebiliriz. (9) dan lim n! n lim n! n s k R k (t 0 ) = a s k R k ( t 0 ) = a elde edilir. Bunlar toplay p R k (t 0 ) + R k ( t 0 ) = 0 oldu¼gunu kullan rsak a = 0 bulunur ve (8) eşitli¼gini elde ederiz. Şimdi S m;n (t) = s k R k (t) olsun. Bu durumda k=m S 2 m;n (t) = = s j s k R j (t) R k (t) j;k=m s 2 k + 2 k=m mj<kn X s j s k R j (t) R k (t) (2) olur. Hemen her t için (8) sa¼glan rsa Egorov teoreminden pozitif ölçülü bir E kümesinde de düzgün olarak sa¼glanmal d r. X Z M = 2 s j s k mj<kn E R j (t) R k (t) dt olmak üzere Z gerçeklenir. b jk = Z Sm;n 2 (t) dt = (E) s 2 k + M (3) E k=m R j (t) R k (t) dt olmak üzere Schwarz eşitsizli¼ginden E jmj 2 X mj<kn s 2 js 2 k! 2 X mj<kn b 2 jk! 2 (4) elde edilir. j < k < için R j (t) R k (t) fonksiyonlar n n (0; ) aral ¼g üzerinde ortonormal 7

24 oldu¼gunu bu bölümün baş nda söylemiştik. O halde E, E kümesinin karakteristik fonksiyonu olmak üzere Bessel eşitsizli¼ginden X j<k< b 2 jk Z 0 [ E (t)] 2 dt = (E) eşitsizli¼gini elde ederiz. Yeterince büyük bir m de¼geri için X mj<k< b 2 jk! 2 (E) 4 olur. (4) den jmj j;k=m s 2 js 2 k! 2 (E) 2 (E) 2 j=m s 2 j olur. Daha sonra (3) den Z E S 2 m;n (t) dt (E) 2 s 2 j (5) j=m eşitsizli¼gi elde edilir. Bu sayede sabit bir m de¼geri için E kümesi üzerinde düzgün olarak lim n! n 2 S2 m;n(t) = 0 gerçeklenir. (5) den lim n! n 2 s 2 j = 0 j=m elde ederiz ve böylece ispat tamamlan r. 4.2 Altdizilerin Yak nsakl ¼g Bu k s mda Bölüm 3 den farkl olarak her altdizisi kavram yerine hemen her altdizisi kavram n alarak altdizilerin yak nsakl ¼g ndan dizinin yak nsakl ¼g n elde edece¼giz. 8

25 Teorem 4.2. (s n ) dizisi raksak ise hemen her altdizisi de raksakt r (Buck ve Pollard 943). Ispat. Yak nsak altdizilere karş l k gelen noktalar n kümesi C olsun. Yak nsak bir dizinin sonlu çoklukta teriminin birbiriyle yer de¼giştirmesiyle yak nsakl k de¼gişmez. Bundan dolay C kümesi homojendir ve dolay s yla ölçüsü 0 veya olur. Kabul edelim ki ölçüsü olsun. Lemma 4..2 den t 0 ve t 0 say lar C kümesine ait olacak şekilde k 2 n formunda olmayan bir t 0 say s seçebiliriz. t 0 ve t 0 say lar n n ikili aç l mlar hiçbir yerde ayn olmad ¼g için bu noktalara karş l k gelen altdiziler ayn terim içermez. Dolay s yla (s n ) dizisinin herbir terimi, altdizilerinin birinin veya di¼gerinin içinde yer al r. Böylece (s n ) dizisini iki altdiziye ay rd k ve t 0 2 C ve t 0 2 C oldu¼gundan her biri yak nsakt r. Bunlar n limit noktalar s 0 ve s 00 olsun. (s n ) dizisinin yak nsak her altdizisi ya s 0 ya da s 00 de¼gerine yak nsak olmal d r. s 0 (s 00 ) de¼gerine yak nsak altdizilere karş l k gelen noktalar n kümesi C 0 (C 00 ) olsun. C 0 ve C 00 homojen ve C = C 0 [ C 00 oldu¼gundan birinin ölçüsü olmal d r. Kabul edelim ki C 0 kümesinin ölçüsü olsun. Bu şu anlama gelir: C 0 kümesinden bir t 0 seçilebilir öyle ki (s n ), herbiri ayn limit de¼gerine yak nsak iki altdiziye ayr labilir. Dolay s yla her altdizisi yak nsakt r ve böylece (s n ) dizisinin kendisi yak nsakt r. Bu ise teoremimizin hipotezi ile çelişir. Bundan dolay (C) = 0 olmal d r. Bu düşünceyi benzer şekilde serilere de taş yabiliriz. X Sonuç 4.2. a k serisinin terimlerinin paranteze al nmas yla oluşturulan serilerin hemen hepsi yak nsak ise seri yak nsakt r. Ispat. (s n ) k smi toplamlar dizisi olmak üzere seriyi n ; n 2; ::: uzunlu¼gundaki bloklara ay r rsak ortaya ç kan serinin k smi toplamlar, (s n ) dizisinin bir altdizisi olan (s n ; s n +n 2 ; :::) dizisidir. Teorem 4.2. den dolay bu altdizilerin hemen hepsi yak nsak ise dizi yak nsakt r. Dolay s yla serimiz yak nsakt r. 9

26 4.3 Altdizilerin Cesàro Toplanabilmesi Bu k s mda C toplanabilen bir dizi ile onun altdizilerinin C toplanabilmesi aras ndaki ilişkiyi inceleyece¼giz. Teorem 3. den bir dizi yak nsak de¼gil ise bu dizinin C toplanabilir olmas bütün altdizilerinin de C toplanabilmesini gerektirmez. Bu k s mda C toplanabilen bir dizinin hangi şartlar alt nda hemen her altdizisinin C toplanabilmesini gerektirdi¼gini inceleyece¼giz. Bölüm 2 de verdi¼gimiz Cesàro matrisinin tan m n hat rlatarak işe başlayal m. Bilindi¼gi gibi 8 < c nk = : ; k n n 0 ; k > n ile tan ml C = (c nk ) matrisine birinci mertebeden Cesàro matrisi denir. Teorem 4.3. (s n ), L de¼gerine C toplanabilir ve X s 2 k k 2 < (6) ise hemen her altdizisi de L de¼gerine C toplanabilirdir (Buck ve Pollard 943). Ispat. (s n ) dizisinin hemen her altdizisinin Cesàro anlam nda yak nsakl ¼g problemi h.h. t için lim n! s k 2 [ + R k (t)] [ + R 2 k (t)] = L (7) koşuluna indirgenir. Gerçekten limit içerisindeki ifade (s n ) dizisinin hemen her alt- 20

27 dizisinin aritmetik ortalamas n verir. Limit içerisindeki ifadeyi n s k + n + n s k R k (t) R k (t) (8) biçiminde tekrar yazabiliriz. lim n! n s k R k (t) = 0, h.h.y lim n! n X X k 2 s 2 k k 2 < ise Lemma 4..5 den h.h.y < oldu¼gundan Lemma 4..3 ve Lemma 4..4 den R k (t) = 0 olur. Di¼ger taraftan hipotezden lim n! n (7) elde edilir. Bu da ispat tamamlar. s k = L olur ve Burada (6) şart n n at l p at lamamas ya da en az ndan zay at l p zay at lamayaca¼g sorusu sorulabilir. Ileride bu şart n tamamen at lamayaca¼g n fakat di¼ger taraftan bu şart n zay at labilece¼gini gösterece¼giz. Şimdi de altdizilerin C toplanabilmesi için Tsuchikura (950) taraf ndan verilen di¼ger bir yeter şart verelim. Teorem (s n ) dizisi L de¼gerine C toplanabilir ve n s 2 2 k = o log log n, (n! ) (9) ise (s n ) dizisinin hemen her altdizisi de L de¼gerine C toplanabilirdir (Tsuchikura 950). Ispat. Kolayca görülüyor ki (s n ) dizisi C toplanabilir olmak üzere (7) limitinin h.h.y mevcut olmas h.h t için lim n! n s k R k (t) = 0 2

28 koşuluna denktir. B n = s 2 k, S n (t) = s k R k (t), S n (t) = max kn js k (t)j, (n = ; 2; :::) olsun. > 0, 2 k < n 2 k olmak üzere n nin en az bir de¼geri için js n (t)j > n koşulunu sa¼glayan bütün t noktalar n n kümesini E k Şimdi G k = t : S 2 k (t) > 2 k, (k = ; 2; :::), (k = ; 2; :::) ile gösterelim. olsun. O halde E k G k (k = ; 2; :::) oldu¼gu aç kt r. Öyleyse her > 0 için X jg k j < (20) koşulu sa¼glan rsa hemen her yerde jsn(t)j n ispat tamamlayabiliriz. (20) ifadesini ispat etmek için! 0, (n! ) ; sonucuna var r z ve böylece Z 0 e asn(t) dt 32e 2 a2 B n, a > 0 (2) Marcinkiewicz-Zygmund eşitsizli¼gini kullanaca¼g z (Tsuchikura 95). t 2 G k olsun. O halde S 2 (t) > 2 k, k = ; 2; ::: k olur. a > 0 oldu¼gundan a2 k < as 2 k (t) e a2k Z < e as 2 k (t) Z e a2k dt < e as 2 k (t) dt 0 (G k ) e a2k < 0 Z e as 2 k (t) dt 0 22

29 olur. (2) eşitsizli¼ginden (G k ) e a2k 32e 2 a2 B 2 k elde edilir ve a = 2k B 2 k al n rsa (G k ) 32e 2 2 2(k ) 2 B 2 k = 32e 2 8 (2 k ) 2 B 2 k (22) olur. Di¼ger taraftan (9) ifadesinden yeterince büyük k (> k 0 diyelim) için B 2 k (2 k ) log log 2 k elde edilir. Sonuç olarak (22) eşitsizli¼ginden yak nsak bir serinin genel terimi olan elde edilir ve (20) ispatlan r. (G k ) 32e 2 log log 2k = 32 (k log 2) 2, k k 0 Şimdi de C toplanabilme için Teorem 4.2. in benzerini ispat edece¼giz. C toplanabilme metodu regüler oldu¼gundan kümelerimizin homojen oldu¼gunu tekrar vurgulayal m. Teorem (s n ) dizisinin hemen her altdizisi C toplanabilir ise (s n ) dizisinin kendisi de bir L de¼gerine C toplanabilirdir. Dolay s yla hemen her altdizisi de L de¼gerine C toplanabilirdir (Buck ve Pollard 943). Ispat. Hipotezden n! için (8) deki ifade h.h.t için yak nsakt r. Lemma 4..5 den (8) ifadesinin paydas h.h.t için de¼gerine yaklaş r. O halde n (t) = n s k [ + R k (t)] (23) ifadesi ölçüsü olan bir C kümesi üzerinde yak nsakt r. Lemma 4..2 den C küme- 23

30 sine ait olan t 0 ve t 0 noktalar n seçebiliriz. Dolay s yla R k (t 0 ) + R k ( t 0 ) = 0 oldu¼gunu da kullan rsak n (t 0 ) + n ( t 0 ) = 2 n s k bulunur. Sol taraftaki terimler yak nsak oldu¼gundan lim n! n Lemma 4..6 dan n s k = L elde edilir. s k R k (t) (24) ifadesi h.h.t için 0 de¼gerine yak nsakt r ve (23) den h.h. t için lim n (t) = L n! elde edilir. Bu da ispat tamamlar. Sonuç 4.3. Teorem ün hipotezleri alt nda lim n! n 2 s 2 k = 0 (25) gerçeklenir (Buck ve Pollard 943). Ispat. (24) deki seri h.h.t için yak nsak oldu¼gundan Lemma 4..6 dan (25) elde edilir. Şimdi kendisi ve hemen her altdizisi C toplanabilen bir dizi örne¼gi verelim. Örnek 4.3. s n = ( ) n n 4 ile tan ml (s n ) dizisini gözönüne alal m. X s k k = X ( ) k k 4 k = X ( ) k k 3 4 alterne serisi yak nsakt r. Lemma 4..3 den (C s) n! 0, (n! ) ; olur. Di¼ger 24

31 taraftan X s 2 k k = X 2 k 2 k = X 2 k 3 2 harmonik serisi yak nsak oldu¼gundan Teorem 4.3. gere¼gince (s n ) dizisinin hemen her altdizisi 0 de¼gerine C toplanabilirdir. Şimdi de C toplanabilen fakat altdizilerinin hemen hiçbiri dizi örne¼gi verelim. C toplanamayan bir Örnek s n = ( ) n n 2 ile ta nml (s n )dizisini gözönüne alal m. Lemma 4..3 den (s n ) dizisi 0 de¼gerine C toplanabilirdir fakat n 2 s 2 k = n 2 k = n (n + ) 2n 2! 2 6= 0 oldu¼gundan (25) gerçeklenmez. Dolay s yla Sonuç 4.3. den (s n ) dizisinin hemen hiçbir altdizisi C toplanabilir de¼gildir. (s n ) dizisi s n rl ise (6) şart n sa¼glad ¼g aç kt r. Şimdi Teorem 4.3. ve Teorem den aşa¼g daki teoremi kolayca elde ederiz. Teorem S n rl bir dizinin C toplanabilmesi için gerek ve yeter şart hemen her altdizisinin C toplanabilmesidir Altdizilerin Riesz Ortalamas Bir önceki k s mda Buck ve Pollard (943) taraf ndan Cesàro toplanabilme metodu için verilen Teorem 4.3. ve Teorem ün benzerini Riesz ortalamas için verece¼giz. Bu amaçla ilk olarak Riesz ortalama matrisini tan mlay p ihtiyaç duyaca¼g m z özelliklerini verelim. 25

32 Tan m 4.4. p 0 > 0, n için p n 0 ve P n = 8 < r nk = : p k olmak üzere k=0 p k P n ; 0 k n 0 ; d:d: biçiminde tan ml matrise Riesz matrisi veya a¼g rl kl ortalama matrisi denir ve (R; p k ) ile gösterilir. P n! ; (n! ) ; olmas d r (Boos 2000). Böyle bir matrisin regüler olmas için gerek ve yeter şart Lemma 4.4. (R; p k ) regüler bir Riesz matrisi olsun. E¼ger X ( P n p n ) 2 < ve (s k ) dizisi s n rl ise lim n! P n p k s k R k (t) = 0 k=0 gerçeklenir (Keogh ve Petersen 96). (h:h:y:) Ispat. Lemma 4..3 ve Lemma 4..4 den ispat aç kt r. Lemma k = 0; ; 2; ::: için p k p k+ olmak üzere (R; p k ) regüler bir Riesz matrisi ve P k p k L P n p n, (n = 0; ; 2; :::; k = 0; ; 2; :::; n) ise Xn k=0 P k p k jp k gerçeklenir (Keogh ve Petersen 96). P n p k+ j M Ispat. Hipotezden Xn k=0 P k p k jp k P n p k+ j L P n p n Xn k=0 jp k P n p k+ j L P n p n p n p 0 P n elde edilir ve böylece ispat tamamlan r. 26

33 Şimdi de verilen bir dizinin altdizilerini incelememizde bize kolayl k sa¼glayacak olan normal say lar tan mlayal m. Tan m (Normal Say lar) t 2 (0; ] ve t = Bu durumda N = ( t 2 (0; ] : lim n! n X n= kümesine normal say lar kümesi denir (Athreya 2006). ) e i (t) = 2 i= e n(t) 2 n, e n (t) 2 f0; g ; olsun. Teorem 4.4. Normal say lar kümesi ölçülüdür. Buradan = 0; a a 2 ::: sonsuz bir ikili aç l m olmak üzere (n), say s n n ikili aç l m nda ilk n teriminde bulunan lerin say s ise (n) = n + o(n) gerçeklenir. 2 Böylece n > n 0 için k n 3n koşulunu sa¼glayan (s kn ) altdizilerine ölçülü bir küme karş l k gelir. Dolay s yla incelemelerimizi n > n 0 için k n 3n koşulunu sa¼glayan altdizilere k s tlayabiliriz. Şimdi Teorem 4.3. in benzerini verebiliriz. Teorem (R; p n ), p n+ p n > 0, her n = 0; ; 2; ::: (26) X pn 2 < (27) n=0 P n p n P kn p kn P n < L, her n 0 ve k n = 0; ; 2; :::; 3n (28) koşullar n sa¼glayan regüler bir Riesz matrisi olsun. Bu taktirde (R; p n ) toplanabilen s n rl bir dizinin hemen her altdizisi de ayn de¼gere (R; p n ) toplanabilirdir (Keogh ve Petersen 96). 27

34 Ispat. olsun. Bu ifadeyi açarsak n (t) = p k ( + R k (t)) s k k=0 p k ( + R k (t)) k=0 p k0 s k0 + ::: + p kns kn p k0 + ::: + p kn elde edilir ve (s kn ) dizisinin (R; p kn ) Riesz ortalamas n tan mlar. Ilk olarak s n rl bir (s n ) dizisinin hemen her (s kn ) altdizisinin (R; p kn ) toplanabilece¼gini gösterece¼giz. X 2 sn p n < n=0 P n oldu¼gundan ve Lemma 4..4 den hemen her t için X n=0 s n p n R n (t) P n serisi yak nsakt r. Lemma 4..3 den hemen her t için s k p k R k (t) = o (P n ), k=0 p k R k (t) = o (P n ) k=0 gerçeklenir. Di¼ger taraftan n (t) = p k s k + p k s k R k (t) k=0 k=0 P n P n + P n p k R k (t) k=0 (29) oldu¼gundan hemen her t için lim n (t) = s n! elde edilir. Hemen her t için s n rl diziler üzerinde (R; p k ) metodunun (R; p kn ) metodlar n içerdi¼gini gösterirsek ispat tamamlan r (Petersen 956). 28

35 Öyleyse K ve M birer sabit ve P + k s = sx p kn n=0 olmak üzere hemen her t için Xs p n p n+ p kn n=0 p kn+ P + k n P s < K ve p sp + k s p ks P s < M (30) oldu¼gunu göstermeliyiz (Hardy 949). P + k s P ks < M 0 oldu¼gu aç kt r. Bununla birlikte Teorem 4.4. den s > n 0 için k s 3s olmak üzere (28) ifadesinden her k s 3s için p s P + k s p ks P s = p sp ks p ks P s P + k s P ks M 0 L = M (3) oldu¼gu kolayca görülür. Dolay s yla (30) daki ikinci ifade h.h.y gerçeklenir. Birinci şart için s X U = p n p n+ p kn n=0 p kn+ olsun. Mutlak de¼ger içerisindeki ifadenin paydas n eşitleyip paya p n p kn ekleyip ç karal m ve 0 < p kn p kn+ oldu¼gundan P + k n P s ifadesini U Xs n=0 P + k n P s = U + U 2 p n p kn+ p kn p kn p kn+ s + X P + k n p n=0 kn p n p n+ P s elde edilir. (3) ifadesini kullan rsak hemen her t için U 2 M Xs n=0 P n p n p n p n+ P s elde edilir. Lemma den eşitsizli¼gin sa¼g ndaki toplam s n rl d r. Dolay s yla U 2 s n rl d r. Ayr ca U = Xs n=0 p n P + k n P s p kn p kn+ 29

36 olur.n = 0; ; 2; ::: için p kn+ p kn > 0 oldu¼gundan p P + = 0 olmak üzere U Xs n=0 p n P + k p kn P n p n P + k n + p s P + k s s p ks p s elde edilir. Eşitsizli¼gin sa¼g ndaki toplamda parantez içerisine p n P + k n ifadesini ekleyip ç kar rsak (3) ifadesinden ve p s P + k s p s P + k s oldu¼gundan U Xs n=0 p h i n Xs P + k p kn P n P + k n + s n=0 p n p n p kn P + k n P s + M elde ederiz. Burada Xs n=0 p h i n P + k p kn P n P + k n = s Xs n=0 p n p kn P s p kn = P s Xs p n n=0 olur ve (3) den hemen her t için Xs n=0 P + k n p kn p n p n P s M Xs n=0 P n p n p n p n P s elde edilir. Lemma den ikinci toplam s n rl d r. Böylece U s n rl d r ve dolay s yla (30) un ilk parças hemen her t için gerçeklenir. Bu da ispat tamamlar. Şimdi de Riesz matrisi için Teorem ün benzerini verece¼giz. Bu teoreme geçmeden önce ispat nda kullanaca¼g m z özellikleri verelim. Tan m lim m! X (n) ja m;n a m;n+ j = 0 n= koşulunu sa¼glayan monoton artan pozitif (n) % fonksiyonuna A = (a mn ) matrisinin bir toplanabilme fonksiyonu ad verilir. Lemma f (n) ; (n) = o (f (n)) fonksiyonu A matrisinin toplanabilme fonksi- 30

37 yonu olacak biçimde monoton artan pozitif bir fonksiyon olsun. Bu taktirde X f (n) ja m;n n= a m;n+ j M gerçeklenir (Lorentz 955). Teorem Her n = ; 2; 3; ::: için p n p n > 0 ve ( P n p n ) & 0 ise o(p n p n ) biçimindeki her fonksiyon (R; p n ) matrisi için bir toplanabilme fonksiyonudur (Lorentz 949). Böylece aşa¼g daki sonucu elde ederiz. Lemma ve Teorem den her n için p n p n > 0 ve ( P n p n ) & 0 ise Xn k=0 P k p k p k p k+ P n M her n = 0; ; 2; ::: oldu¼gu aç kt r. Şimdi Teorem ün benzerini verebiliriz. Teorem (R; p k ) matrisi P n p kn p n P kn < L 0 (k n 3n) ; X n=0 ( p n P n ) 2 < ve Teorem ün koşullar n gerçekleyen regüler bir matris olsun. Bu taktirde s n rl bir dizi (R; p k ) toplanamazsa hemen her altdizisi de (R; p k ) toplanamaz (Keogh ve Petersen 96). Ispat. Ilk olarak hemen her t için (R; p kn ) metodlar n n (R; p k ) metodunu içerdi¼gini 3

38 gösterece¼giz. P n p kn p n P + k n = P np kn p n P kn P kn P + k n oldu¼gu aç kt r. Di¼ger taraftan P kn P + k n = Xk n p r r=0 = p kr r=0 k n X 2 p r + Xk n p r r=0 Xk n r=0 r=0 p r R r (t) X olur. (p n P n ) 2 < oldu¼gundan (29) dakine benzer bir düşünceyle P kn P + k n n=0 ifadesi hemen her t için s n rl d r. Yani k n 3n koşulunu sa¼glayan altdiziler için s n rl d r. Buradan hemen her altdizi için P n p kn p n P + k n < M elde edilir.(30) un ilk k sm n n ispat na benzer şekilde Teorem ün yard m yla Xs p kn p n n=0 p kn+ p n+ p n P + k s < K oldu¼gu gösterilebilir. Böylece hemen her t için (R; p kn ) matrisi (R; p k ) matrisinden kuvvetli olur. Dolay s yla (s k ) s n rl bir dizi oldu¼gundan hemen her t için s k p k R k (t) = o (P n ) k=0 olur. (s k ) dizisi (R; p k ) toplanamad ¼g ndan ve (29) dan hemen her t için p k0 s k0 + ::: + p kns kn p k0 + ::: + p kn yak nsak de¼gildir. Di¼ger taraftan (R; p kn ) matrisi (R; p k ) matrisinden kuvvetli oldu¼gundan hemen her t için fs n (t)g altdizileri (R; p k ) toplanamaz. Bu da ispat tamamlar. Özel olarak her k için p k = al n rsa (R; p k ) ortalamas Cesàro ortalamas n verir. 32

39 Dolay s yla Teorem nin koşullar n n Cesàro ortalamas için de sa¼glanaca¼g aç kt r. 33

40 5. ALTD IZ ILER IN T-TOPLANAB ILMES I Bu bölümde s n rl bir dizinin T-toplanabilen altdizilerinin oluşturdu¼gu kümenin Lebesgue ölçüsünü inceleyece¼giz. Bölüm 4 de (0; ] aral ¼g ndaki her noktaya bir ikili aç l m karş l k geldi¼gini ve baz noktalarda örne¼gin 2 için 2 = 0; 0::: ve 2 = 0; 000::: farkl ikili aç l m karş l k geldi¼gini ve bu durumda sonsuz çoklukta içeren ikili aç l m tercih edece¼gimizi belirtmiştik. Bölüm 4 dekine benzer şekilde (0; ) aral ¼g ile verilen bir dizinin altdizileri aras nda bir eşleme kuraca¼g z. Bir x = (x n ) n= dizisi ve t 2 (0; ) olmak üzere bir t = 0; t t 2 t 3 ::: ikili aç l m verilsin. x t ile fn k : k = ; 2; :::g = fj : t j = g koşulunu sa¼glayan x dizisinin (x nk ) altdizisini gösterece¼giz. T regüler bir matris ve x s n rl raksak bir dizi ise ; ft : x t, T toplanabilirg gerçeklenir. Buradaki içerme ba¼g nt s kesin içerme ba¼g nt s d r. x s n rl bir dizi oldu¼gundan Bolzano-Weierstrass teoreminden yak nsak bir altdiziye sahiptir. T regüler oldu¼gundan bu altdizi T toplanabilirdir. Böylece kesin içerme elde edilir. Bu bölümde özel olarak ft : x t, T toplanabilirg kümesinin Lebesgue ölçüsü hakk nda bilgi sahibi olaca¼g z. Bu amaçla aşa¼g daki tan m verelim. Tan m 5.2 E¼ger (x n ) n= dizisinin T toplanabilmesi (x n) n=2 dizisinin ayn de¼gere T toplanabilmesini gerektirirse ve bunun karş t da do¼gru ise regüler T matrisine öteleme alt nda de¼gişmezdir (shift invariant) denir (H. Miller 982). 34

41 Örnek 5. C matrisi öteleme alt nda de¼gişmezdir. Şimdi bunu gösterelim. x = (x n ) n= dizisi C toplanabilirse olur. Buradan n x k! L, (n! ), x n+ = (n + ) x + x 2 + ::: + x n+ n + n x + x 2 + ::: + x n n oldu¼gundan x n+ n + = x + x 2 + ::: + x n+ n + n x + x 2 + ::: + x n n (n + )! 0, (n! ) yani x n+ n+! 0 olur. Di¼ger bir ifadeyle (x n) n= dizisi C toplanabilirse x n = o (n), (n! ) gerçeklenir. Böylece (x n ) n= dizisi C toplanabilirse x + x 2 + ::: + x n n x 2 + ::: + x n+ n = x n x n+ n! 0, (n! ) elde edilir. Bu ise C Cesàro matrisinin öteleme alt nda de¼gişmeyen regüler bir matris oldu¼gunu söyler. Şimdi de regüler fakat öteleme alt nda de¼gişmez olmayan bir matris örne¼gi verelim. Örnek < ; n = 2m, m = ; 2; ::: t mn = : 0 ; di¼ger durumlarda biçiminde tan mlanan T = (t mn ) regüler matrisini ve x = ; 2 ; ; 2 ; ; 2 ; ; 2 ; ::: 35

42 dizisini gözönüne alal m. O halde (T x) m = x 2m! olur. Fakat dizisinin T de¼gildir. (x n ) n=2 = 2 ; ; 2 ; ; 2 ; ; ; ; ::: 2 limiti yoktur. Dolay s yla regüler T matrisi öteleme alt nda de¼gişmez Ana teoremimizin ispat nda kullanaca¼g m z bir lemma verdikten sonra bu teoremi ifade ve ispat edelim. Lemma 5. T regüler bir matris ve x s n rl bir dizi olsun. Bu durumda T [x] = ft 2 (0; ] : x t, T toplanabilirg kümesi, (0; ] aral ¼g n n Lebesgue ölçülebilir bir altkümesidir (H. Miller 982). Ispat. (0; ] r T [x] kümesinin Lebesgue ölçülebilir oldu¼gunu gösterece¼giz. b ve c sabit reel say lar olsun. Aşa¼g daki kümeleri gözönüne alal m. A b = t 2 (0; ] : lim sup (T (x t )) n > b n! ve A c (n) = ft 2 (0; ] : (T (x t )) n > cg olsun. G aç k bir küme ve N, s f r ölçülü bir küme olmak üzere A c (n) kümesinin G r N biçiminde oldu¼gu görülebilir. Buradan A c (n) kümesi Lebesgue ölçülebilirdir. Dolay s yla A b = [ c>b \ [ M= n=m A c (n)! = [ \ [ M= n=m A b+ (n) k! 36

43 kümesi Lebesgue ölçülebilirdir. Benzer şekilde key sabit bir a reel say s için A 0 a = n t 2 (0; ] : o lim inf (T (x t)) n! n < a kümesi Lebesgue ölçülebilirdir.a < b ise A a;b = A 0 a \ A b olsun. Bu durumda A a;b = t 2 (0; ] : lim inf (T (x t)) n! n < a < b < lim sup (T (x t )) n n! kümesi Lebesgue ölçülebilirdir. Son olarak (0; ] r T [x] kümesi (0; ] r T [x] = [ [A a;b : a < b, a; b 2 Q] [ M şeklinde yaz labilir. Burada M, Lebesgue ölçüsü olan bir kümedir. Bundan dolay (0; ] r T [x] kümesi Lebesgue ölçülebilirdir. Bu da ispat tamamlar. Teorem 5.2 T = (t mn ) öteleme alt nda de¼gişmez regüler bir matris ve x s n rl bir dizi olsun. Bu durumda T [x] kümesinin Lebesgue ölçüsü 0 veya olmal d r (H. Miller 982). Ispat. t = 0; t t 2 t 3 ::: 2 T [x] ve n, pozitif bir tamsay olsun. t 0 = 0; s s 2 :::s n t n+ t n+2 ::: 2 T [x] oldu¼gunu gösterece¼giz. x t ile x t 0 altdizilerinin terimlerinin belli bir yerden sonra ayn oldu¼gu aç kt r. Yani x t 0 = x m ; x m2 ; :::; x mj ; x p ; x p2 ; ::: ve x t = x n ; x n2 ; :::; x nj ; x p ; x p2 ; ::: olur. t 2 T [x] oldu¼gundan x t, bir T limite sahiptir. T matrisinin öteleme alt nda de¼gişmez oldu¼gunu tekrarl olarak kullan rsak (x pi ) i= dizisi T limite sahiptir. Şimdi de (x pi ) i= dizisine T matrisinin öteleme alt nda de¼gişmez olmas n di¼ger taraftan uygularsak x t 0, T limite sahiptir. Dolay s yla t 0 2 T [x] olur. Böylece T [x] homojen bir kümedir. Lemma 4.. ve Lemma 5. den T [x] kümesi 0 veya 37

44 ölçülüdür. Böylece ispat tamamlan r. Sonuç 5. Örnek 5. den C matrisi öteleme alt nda de¼gişmezdir ve böylece Teorem 5.2 den x s n rl bir dizi ise C [x] kümesinin Lebesgue ölçüsü 0 veya gerçeklenir (H. Miller 982). 38

45 KAYNAKLAR Agnew, R. P Summability of subsequences. Bull. Amer. Math. Soc. vol. 50; Athreya, K.B Measure Theory and Probability Theory. Springer, USA Buck, R. C A note on subsequences. Bull. Amer. Math. Soc. vol. 49; Buck, R. C An addendum to " A note on subsequences ". Proc. Amer. Math. Soc. vol. 7; Buck, R. C. and Pollard, H Convergence and summability properties of subsequences. Bull. Amer. Math. Soc. vol. 49; Boos, J Classical and Modern Methods in Summability. Oxford Univ. Press, UK. Hardy, G. H Divergent Series. Oxford Univ. Press, UK. Hill, J. D Summability of sequences of 0 s and s. Annals of Mathematics. vol.46; Kacmarz, S and Steinhaus, H Theorie der orthogonalreihen. Warsaw; Lorentz, G. G Direct theorems on methods of summability (). Canadian J. of Math; Lorentz, G.G. 95. Direct theorems on methods of summability (2). Canadian J. of Math. vol. 3; Lorentz, G.G Borel and Banach properties of methods of summation. Duke Math. J. vol. 22; Keogh, F.R. and Petersen, G.M. 96. Riesz summability of subsequences. Quart. J. Math. Oxford (2) vol. 2; Knopp, K Theorie und Anwendung der unendlichen Reihen. Berlin. Kreyzig, E Introductory to Functional Analysis With Applications. John Willey. Maddox, I. J Elements Of Functional Analysis. Cambridge University Press. 39

46 Miller, H. I On a result of Steinhaus and Buck. Radovi Math. vol.20; Nathanson, I. P Theory of Functions of a Real Variable. New York. Petersen, G.M Summability methods and bounded sequences. J. London Math. Soc. vol.3; Pollard, H Subseries of a convergent series, Bull. Amer. Math. Soc. vol. 49; Steinhaus, H. 9. Some remarks on the generalization of limit. Prace Matematyczno-Fizyczne. vol. 22;2-34. Tsuchikura, T Arithmetic means of subsequences. Tôhoku Mathematical Journals. vol.2; Tsuchikura, T. 95. Remark on the Rademacher system. Proc. Jap. Acad. vol.27, Number 3; Visser, C The law of nought-or-one in the theory of probability, Studia Mathematica. vol.7;

47 ÖZGEÇM IŞ Ad Soyad : Emre TAŞ Do¼gum Yeri : Çankaya Do¼gum Tarihi : Medeni Hali : Bekar Yabanc Dili : Ingilizce E¼gitim Durumu (Kurum ve Y l) Lise : Sokullu Mehmet Paşa Lisesi (2003) Lisans : Ankara Üniversitesi Fen Fakültesi Matematik Bölümü (2008) 4