ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ FUZZY HALKALAR VE FUZZY İDEALLER ÜZERİNE. Deniz Pınar DENİZ MATEMATİK ANABİLİM DALI

Transkript

1 ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ FUZZY HALKALAR VE FUZZY İDEALLER ÜZERİNE Deniz Pınar DENİZ MATEMATİK ANABİLİM DALI ANKARA 2011 Her hakkı saklıdır

2 ÖZET Yüksek Lisans Tezi FUZZY HALKALAR VE FUZZY IDEALLER ÜZER INE Deniz P nar DEN IZ Ankara Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Anabilim Dal Dan şman: Doç.Dr. Erdal GÜNER Bu tez dört bölümden oluşmaktad r. Ilk bölüm giriş k sm na ayr lm şt r. Ikinci bölümde, baz temel kavramlar verilmiştir. Üçüncü bölümde, yar halkalarda fuzzy ideallik, fuzzy k-ideallik, -Öklidyen fuzzy k-ideallik, asal fuzzy k-ideallik ve seviye ideallik kavramlar verilerek baz özellikleri ele al nm şt r. Son bölümde, halkalarda fuzzy ideallik, -Öklidyen fuzzy ideallik ve asal fuzzy ideallik kavramlar verilerek baz özellikleri incelenmiştir. Temmuz 2011, 65 sayfa Anahtar Kelimeler : Fuzzy ideal, Fuzzy k-ideal, Asal fuzzy ideal, Asal fuzzy k-ideal, -Öklidyen fuzzy ideal, -Öklidyen fuzzy k-ideal. i

3 ABSTRACT Master Thesis ON FUZZY RINGS AND FUZZY IDEALS Deniz P nar DEN IZ Ankara University Graduate School of Natural And Applied Sciences Department of Mathematics Supervisor: Assoc.Prof.Dr. Erdal GÜNER This thesis consists of four chapters. The rst chapter is devoted to the introduction. In the second chapter, some fundamental concepts are given. In the third chapter, the concepts of fuzzy ideality, fuzzy k-ideality, -Euclidean fuzzy k-ideality, prime fuzzy k-ideality and level ideality in semirings are given and some characterisations of these are mentioned. In the last chapter, the concepts of fuzzy ideality, -Euclidean fuzzy ideality and prime fuzzy ideality in rings are given and some characterisations of these are investigated. July 2011, 65 pages Key Words: Fuzzy ideal, Fuzzy k-ideal, Prime fuzzy ideal, Prime fuzzy k-ideal, -Euclidean fuzzy ideal, -Euclidean fuzzy k-ideal. ii

4 TEŞEKKÜR Bu çal şma konusunu bana veren ve araşt rmalar m n her aşamas nda en yak n ilgi ve önerileriyle beni yönlendiren dan şman hocam, Say n Doç.Dr. Erdal GÜNER (Ankara Üniversitesi Fen Fakültesi) e, çal şmalar m s ras nda de¼gerli zaman n ay ran, çal şmalar ma destek olan Say n Prof. Dr. Ali Bülent EK IN (Ankara Üniversitesi Fen Fakültesi) e, bana akademisyenli¼gi sevdiren, benim için bir hocadan öte ailemden biri olarak gördü¼güm Say n Doç.Dr. Nejat EKMEKC I (Ankara Üniversitesi Fen Fakültesi) ye, her durumda yan mda olan de¼gerli arkadaş m Araş.Gör. Pelin POŞPOŞ (Aksaray Üniversitesi Fen Fakültesi) a ve bana her zaman destek olan aileme en içten sayg ve teşekkürlerimi sunar m. Deniz P nar DEN IZ Ankara, Temmuz 2011 iii

5 IÇ INDEK ILER ÖZET i ABSTRACT ii TEŞEKKÜR iii S IMGELER D IZ IN I v 1. G IR IŞ TEMEL KAVRAMLAR YARI HALKALARDA FUZZY IDEALLER ÜZER INE Yar Halkalarda Fuzzy K- Idealler Yar Regüler Yar Halkalar Öklidyen Fuzzy K- Idealler Seviye Idealleri Asal Fuzzy K- Idealler HALKALARDA FUZZY IDEALLER ÜZER INE Halkalarda Fuzzy Idealler Öklidyen Fuzzy Idealler Asal Fuzzy Idealler KAYNAKLAR ÖZGEÇM IŞ iv

6 S IMGELER D IZ IN I R; S Yar halka H Halka A t A fuzzy kümesinin üyelik fonksiyonu Fuzzy seviye alt kümesi \ Fuzzy kümelerde kesişim [ Fuzzy kümelerde birleşim Karakteristik fonksiyon A c AnB A k B A A kümesinin tümleyeni A fark B kümesi Iki fuzzy idealin k-çarp m A kümesinin k-kapan ş v

7 1. G IR IŞ Öncelikle "Fuzzy" kelimesi ne anlama gelir? "Fuzzy" sözcü¼gü dilimizde "bulan k" veya "belirsiz" anlam na gelmektedir. Peki fuzzy küme teorisi matematikteki hangi sorunu çözmektedir? Kümeleri 1879 y l nda ilk defa tan mlayan Cantor Bir nesne kümenin ya eleman d r ya da de¼gildir demiş ve matematik dünyas bu küme tan m çerçevesinde bilgilerini örmeye başlam şt r. Cantor un yapt ¼g bu tan ma göre matematiksel düşüncede kesin s n rlar çizilmek zorunda kal nm şt r. Fakat bu düşünce tarz n n hayatta ço¼gu olay aç klayamad ¼g n gören Azeri bilim adam L.A. Zadeh 1965 y l nda fuzzy küme tan m n yapm ş ve al ş lm ş küme tan m ndan s yr larak küme tan m n daha da genelleştirmiştir. Zadeh, uzun, k rm z, dura¼gan gibi s fatlar n ikili üyelik fonksiyonuyla (eleman n, kümenin eleman olmas durumunda "1", de¼gilse "0" de¼gerini ald ¼g fonksiyon) ifade edilen klasik kümeler yerine, dereceli üyelik fonksiyonuyla ifade edilen bulan k kümeler tan mlamas n önermiştir. Bulan k küme teorisi, belirsizlik in bir tür biçimlenişi, formüllendirilmesi olmakla beraber, bir çeşit çok-de¼gerli küme kavram d r. Fakat işlemleri, di¼ger küme işlemlerinden farkl l klar göstermektedir. Kümedeki her bir birey, çift-de¼gerli küme kavram nda oldu¼gu gibi üye ya da üye de¼gil olarak de¼gil, bir dereceye kadar üye olarak görülmektedir. Örne¼gin, 1.90 m. boyundaki bir adam uzun adamlar kümesinin bir üyesidir m. boyundaki bir adam ve 2.10 m. boyundaki bir adam da bu kümenin bir üyesidir. Baz amaçlar için, onlar bu kümenin üyesi ya da üyesi de¼gil şeklinde s n and rmak yeterli olmayabilir. Bu gibi durumlarda, onlar n üyelik de¼gerlerini, dereceli olarak, boylar na göre tan mlamak uygun olabilir. Bulan k küme kavram, hassasiyetin artt r lmas aç s ndan, klasik küme kavram na göre daha uygun olan yeni bir araç sa¼gl yor olarak görülebilir. Fuzzy küme kavram n n getirdi¼gi yaklaş m, klasik küme de kullan lan üyelik kavram n bir kenara b rak p yerine tamamen yenisini koymak de¼gil, iki-de¼gerli üyeli¼gi çok-de¼gerlili¼ge taş yarak genelleme yapmakt r. Böylece eleman olanlar eleman olmayanlardan ay ran kesinli¼gi ortadan kald rmakt r. 1

8 Fuzzy küme kavram ile Cantor un yapt ¼g küme kavram n n aras ndaki fark bir örnek ile vermeye çal şal m. Bir s n ftaki ö¼grencilerin yeşil gözlü olmalar na göre bir küme oluştural m. Verilen bu özellik düşünüldü¼günde ö¼grencilerin üzerindeki yeşil gözlü olma özelli¼gi kişiye göre de¼gişecektir. Dolay s yla Cantor un kurdu¼gu küme teorisinde bu özellikteki kümeyi kurmak oldukça zor olacakt r. Fakat fuzzy kümeler kurulurken ö¼grencilerin yeşil gözlü olmalar na veya olmamalar na göre kümeye [0,1] (burada "0" eleman n kümeye ait olmad ¼g nda, "1" ise kümeye ait oldu¼gunda ald ¼g de¼ger olmakla beraber, aradaki de¼gerler eleman n kümeye ne kadar ait oldu¼gunu gösterir.) üyelik de¼gerleri verilecek ve bu üyelik de¼gerleri dünyadaki herkese göre ayn olacak şekilde ayarlanacakt r. Dolay s yla kümeyi kurmak daha kolay olacakt r. Bu ve bunun gibi günlük hayatta fuzzy kümelerinin rahatl kla aç klayabildi¼gi örnekler ço¼galt labilir. Fuzzy kümeler, günümüzde birçok alanda kullan lmaktad r. Bulan k mant k kullanan sistemlerle metrolar n işleyisi kontrol ediliyor, televizyonlar n al c lar ayarlan yor, kameralar görüntüye odaklan yor, klimalar, çamaş r makinalar, elektrikli süpürgeler ayarlan yor, buzdolaplar n n buzlanmas engelleniyor, asansörler ve tra k lambalar programlan yor, otomobillerin motorlar, süspansiyonlar, emniyet ren sistemleri kontrol ediliyor, robot kollar yönlendiriliyor, hatta çiçek düzenlemesi yap l yor. Fuzzy küme teorisi Rosenfeld (1971) taraf ndan fuzzy cebirsel yap lara taş narak bir grubun fuzzy alt grubu tan mlanm şt r. Das (1981) seviye alt gruplar üzerine çal şm ş ve daha sonra birçok bilim adam taraf ndan bu kavram geliştirilmiştir. Wang-Jin Liu (1982) bir halka içindeki fuzzy idealleri tan mlam ş ve daha sonra Mukherjee ve Sen (1987), Malik ve Mordeson (1990) da asal fuzzy ideal kavram n ortaya ç karm şlard r. T.K.Dutta ve B.K.Biswas (1995) ise yar halkalarda fuzzy ideal ve asal fuzzy ideal kavramlar üzerinde çal şarak, yar halkalar n fuzzy k-ideallerini ve asal fuzzy k-ideallerini elde etmişlerdir. Ayr ca Koç ve Balkanay (2002) halkalardaki -Öklidyen L-fuzzy ideallik, Wiliams ve Latha (2006) ise yar halkalardaki -Öklidyen fuzzy k-ideallik kavramlar n vermişlerdir. 2

9 2.TEMEL KAVRAMLAR Bu bölümde daha sonraki bölümler için temel teşkil eden kavramlar ele al nm şt r. Tan m 2.1 X boş olmayan bir küme ve I = [0; 1] olsun. A : X taraf ndan karakterize edilen,! [0; 1] fonksiyonu A = f(x; A (x)) : x 2 Xg X I kümesine X de bir fuzzy küme denir. 8x 2 X için A (x) de¼gerine x in A ye ait olma derecesi denir (Zadeh 1965). X : X kümesi,! [0; 1] fonksiyonu, 8x 2 X için X (x) = 1 olarak tan mlan rsa X fuzzy X = f(x; 1) : x 2 Xg şeklinde yaz labilir.? : X kümesi! [0; 1] fonksiyonu, 8x 2 X için? (x) = 0 olarak tan mlan rsa boş fuzzy? = f(x; 0) : x 2 Xg şeklinde yaz labilir. 3

10 Not 2.1 X de herhangi iki fuzzy küme A ve B olsun. 8x 2 X için (1) A B () A (x) B (x) (2) A = B () A (x) = B (x) (3) A c () c A (x) = 1 A(x) (4) A B = A \ B c () A B (x) = minf A (x); B c(x)g. Tan m 2.2 A ve B; X kümesinin iki fuzzy alt kümesi olsun. A [ B fuzzy alt kümesi 8x 2 X için (A [ B)(x) = maxfa(x); B(x)g şeklinde tan mlan r. Tan m 2.3 A ve B; X kümesinin iki fuzzy alt kümesi olsun. A \ B fuzzy alt kümesi 8x 2 X için (A \ B)(x) = minfa(x); B(x)g şeklinde tan mlan r. Uyar 2.1 A; X de herhangi bir fuzzy küme olmak üzere A \ A c =? ve A [ A c = X olmak zorunda de¼gildir. Örnek 2.1 X = fa; b; cg bir küme ve X in herhangi iki fuzzy alt kümesi A = f(a; 0:3); (b; 0:6); (c; 0:5)g; B = f(a; 0:2); (b; 0:7); (c; 0:4)g olmak üzere (A [ B)(x) = maxfa(x); B(x)g = f(a; 0:3); (b; 0:7); (c; 0:5)g (A \ B)(x) = minfa(x); B(x)g = f(a; 0:2); (b; 0:6); (c; 0:4) 4

11 A c = f(a; 0:7); (b; 0:4); (c; 0:5)g d r. Fakat (A [ A c )(x) = f(a; 0:7); (b; 0:6); (c; 0:5)g 6= X (A \ A c )(x) = f(a; 0:3); (b; 0:4); (c; 0:5)g 6=? oldu¼gu görülür. Tan m 2.4 X, Y iki küme ve f : X alt kümesi olmak üzere 8 >< B(y) = >:! Y bir fonksiyon olsun. A; X in bir fuzzy sup A(x); f 1 (y) 6= 0 x2f 1 (y) 0; di¼ger hallerde şeklinde tan mlanan B ye A n n f alt ndaki görüntüsü denir ve f(a) ile gösterilir. Y nin herhangi bir B fuzzy alt kümesi verilsin. 8x 2 R için A(x) = B(f(x)) şeklinde tan mlanan X in bir A fuzzy alt kümesine B nin f alt ndaki ters görüntüsü denir ve f 1 (B) ile gösterilir. 5

12 3.YARI HALKALARDA FUZZY IDEALLER ÜZER INE Bu bölümde yar halkalarda fuzzy k-ideallik, yar regülerlik, -Öklidyenlik, seviye ideallik ve asal ideallik kavramlar verilerek özellikleri araşt r lm şt r. 3.1 Yar Halkalarda Fuzzy K- Idealler Bu k s mda yar halkalarda fuzzy k-ideallik kavram verilerek baz karakterizasyonlar incelenmiştir. Tan m Bir yar halka; s ras yla + ve ile gösterilen, birleşimli işlemler ile birlikte, aşa¼g daki şartlar sa¼glayan boş kümeden farkl bir R cümlesidir. (i) Birinci işlem de¼gişmeli bir işlemdir. (ii) 8x 2 R için x + 0 = x ve x0 = 0x = 0 olacak biçimde 0 2 R vard r. (iii) Ikinci işlem, birinci işlem üzerine sa¼gdan ve soldan da¼g l r. Bu k s mda R ve S yar halkalar gösterecektir. Tan m A, R yar halkas n n boş olmayan bir alt kümesi olsun. E¼ger 8x; y 2 A ve 8r 2 R için (i) x + y 2 A (ii) rx 2 A (veya sa¼g için xr 2 A) ise, A alt kümesi R yar halkas n n sol (veya sa¼g) ideali ad n al r. 6

13 E¼ger A alt kümesi R yar halkas n n hem sol hem sa¼g ideali ise, A ya iki tara ideal veya k saca R yar halkas n n ideali denir. Tan m A, bir S yar halkas n n bir sol (sa¼g) ideali olsun. E¼ger 8a 2 A, 8x 2 S için x + a 2 A (veya sa¼g için a + x 2 A) iken x 2 A oluyorsa, A idealine S yar halkas n n bir sol (sa¼g) k-ideali denir. A; S yar halkas n n hem sol k-ideali hem sa¼g k-ideali ise,a idealine S yar halkas n n k-ideali denir. Tan m A, bir S yar halkas n n bir fuzzy alt kümesi olsun. 8x; y 2 S için (i) A(x + y) minfa(x); A(y)g (ii) A(xy) A(y) (veya sa¼g için A(xy) A(x)) ise, A ya S yar halkas n n bir fuzzy sol (sa¼g) ideali denir. E¼ger A, S yar halkas n n hem fuzzy sol hem de fuzzy sa¼g ideali ise, A ya fuzzy ideal denir. Bu durumda A, aşa¼g daki şartlar sa¼glar: (i) A(x + y) minfa(x); A(y)g (ii) A(xy) maxfa(x); A(y)g UYARI: Bir yar halkada fuzzy ideal tan m, halkalardaki fuzzy ideal tan m n n bir genellemesidir. Buradan; bir halkan n her fuzzy ideali, bir yar halkan n fuzzy idealidir. Fakat karş t her zaman do¼gru de¼gildir. Tan m A, bir S yar halkas n n bir fuzzy sol (sa¼g) ideali olsun. E¼ger 8x; y 2 S için x + y 2 S iken A(x) minfa(y); A(x + y)g 7

14 ise, A ya bir fuzzy sol (sa¼g) k-ideal denir. E¼ger A, S yar halkas n n hem fuzzy sol k-ideali hem de fuzzy sa¼g k-ideali ise, A ya bir fuzzy k-ideal denir. Bu durumda 8 x; y 2 S için A(x) minfa(y); maxfa(x + y); A(y + x)gg şart sa¼glan r. Önerme A, S yar halkas n n bir fuzzy k-ideali olmak üzere, 8x 2 S için A(0) A(x) dir. Ispat: A, S yar halkas n n bir fuzzy k-ideali oldu¼gundan A(y) minfa(x); A(x+y)g dir. Bu eşitsizlikte y = 0 al n rsa, istenilen elde edilir. Örnek N yar halkas n n bir A fuzzy alt kümesi 8 >< A(x) = >: 0:3; x tek say ise 0:5; x çift say ise 1; x = 0 ise şeklinde tan mlans n. Bu durumda A, N yar halkas n n bir fuzzy k-idealidir. Çözüm: Öncelikle A fuzzy alt kümesinin N yar halkas n n bir fuzzy ideali oldu¼gunu gösterelim. Bunun için A n n (i) A(x + y) minfa(x); A(y)g (ii) A(xy) maxfa(x); A(y)g 8

15 şartlar n sa¼glamas gerekir. x ve y çift say lar olsun i) 0:5 = A(x + y) minfa(x); A(y)g = minf0:5; 0:5g = 0:5 ii) 0:5 = A(xy) maxfa(x); A(y)g = maxf0:5; 0:5g = 0:5 x çift say, y tek say olsun i) 0:3 = A(x + y) minfa(x); A(y)g = minf0:5; 0:3g = 0:3 ii) 0:5 = A(xy) maxfa(x); A(y)g = maxf0:5; 0:3g = 0:5 x ve y tek say lar olsun i) 0:3 = A(x + y) minfa(x); A(y)g = minf0:3; 0:3g = 0:3 ii) 0:3 = A(xy) maxfa(x); A(y)g = maxf0:3; 0:3g = 0:3 x = 0, y tek say olsun i) 0:3 = A(y) minfa(0); A(y)g = minf1; 0:3g = 0:3 ii) 1 = A(0) maxfa(0); A(y)g = maxf1; 0:3g = 1 x = 0, y çift say olsun i) 0:5 = A(y) minfa(0); A(y)g = minf1; 0:5g = 0:5 ii) 1 = A(0) maxfa(x); A(y)g = maxf1; 0:5g = 1 9

16 x = y = 0 olsun i) 1 = A(0) minfa(0); A(0)g = minf1; 1g = 1 ii) 1 = A(0) maxfa(0); A(0)g = maxf1; 1g = 1 Böylece A bir fuzzy idealdir. Şimdi A n n bir fuzzy k-ideal oldu¼gunu gösterelim. Bunun için (iii) A(x) minfa(x + y); A(y)g oldu¼gunu göstermeliyiz. x ve y çift say lar olsun 0:5 = A(x) minfa(x + y); A(y)g = minf0:5; 0:5g = 0:5 x çift say, y tek say olsun 0:5 = A(x) minfa(x + y); A(y)g = minf0:3; 0:3g = 0:3 x ve y tek say lar olsun 0:3 = A(x) minfa(x + y); A(y)g = minf0:5; 0:3g = 0:3 x = 0, y tek say olsun 1 = A(0) minfa(y); A(y)g = minf0:3; 0:3g = 0:3 x = 0, y çift say olsun 10

17 0:5 = A(x) minfa(x + y); A(y)g = minf0:5; 0:5g = 0:5 x = y = 0 olsun 0:5 = A(x) minfa(x + y); A(y)g = minf0:5; 0:5g = 0:5 y çift say, x tek say olsun 0:5 = A(x) minfa(x + y); A(y)g = minf0:5; 0:5g = 0:5 y = 0, x tek say olsun 0:5 = A(x) minfa(x + y); A(y)g = minf0:5; 0:5g = 0:5 y = 0, x çift say olsun 0:5 = A(x) minfa(x + y); A(y)g = minf0:5; 0:5g = 0:5 oldu¼gundan A bir fuzzy k-idealdir. Örnek N yar halkas nda bir B fuzzy alt kümesi 8 >< B(x) = >: 1; x 7 veya x = 0 0:5; 5 x < 7 0; 0 < x < 5 şeklinde tan mlans n. Bu durumda B, N yar halkas n n bir fuzzy idealidir fakat fuzzy k-ideali de¼gildir. Çözüm: B fuzzy alt kümesinin N yar halkas n n bir fuzzy ideali oldu¼gu kolayl kla gösterilebilir. Fakat; 11

18 0 < x < 5 ve y 7 için 0 = B(x) minfb(x + y); B(y)g = minf1; 1g oldu¼gundan, B, N yar halkas n n fuzzy k-ideali de¼gildir. Tan m Bir S yar halkas n n herhangi bir A alt kümesi için, 8 < 1; x 2 A A (x) = : 0; x =2 A şeklinde tan mlanan A fonksiyonuna, A n n karakteristik fonksiyonu denir. Teorem I, S yar halkas n n bir alt kümesi ve I ; I kümesinin karakteristik fonksiyonu olsun. I, S yar halkas n n bir k-idealidir () I ; S yar halkas n n bir fuzzy k-idealidir. Ispat: ): I, S yar halkas n n bir k-ideali olsun. I fonksiyonunun S yar halkas n n bir fuzzy ideali olmas için, önce (i) I (x + y) minf I (x); I (y)g şart n n sa¼gland ¼g n gösterelim. I bir k-ideal oldu¼gundan bir idealdir. Bundan dolay x,y 2 I ise x + y 2 I d r. Buradan I (x + y) = 1 minf1; 1g = 1 d r. I bir k-ideal oldu¼gundan bir idealdir. Bundan dolay x 2 I; y =2 I ise x + y =2 I d r. Buradan I (x + y) = 0 minf1; 0g = 0 d r. I bir k-ideal oldu¼gundan bir idealdir. Bundan dolay x =2 I; y =2 I ise x + y =2 I d r. Buradan I (x + y) = 0 minf0; 0g = 0 d r. 12

19 Şimdi de (ii) I (xy) maxf I (x); I (y)g şart n n sa¼gland ¼g n gösterelim. I bir k-ideal oldu¼gundan bir idealdir. Buradan I (xy) = 1 maxf1; 1g = 1 d r. Bundan dolay x,y 2 I ise xy 2 I d r. I bir k-ideal oldu¼gundan bir idealdir. Bundan dolay x 2 I; y =2 I (y 2 S ) ise xy 2 I d r. Buradan I (xy) = 1 maxf1; 0g = 1 d r. I bir k-ideal oldu¼gundan bir idealdir. Bundan dolay x =2 I ( x 2 S); y 2 I ise xy 2 I d r. Buradan I (xy) = 1 maxf0; 1g = 1 d r. I bir k-ideal oldu¼gundan bir idealdir. Bundan dolay x =2 I; y =2 I ise xy =2 I d r. Buradan I (xy) = 0 minf0; 0g = 0 d r. Böylece (i) ve (ii) den dolay I fonksiyonu S yar halkas n n bir fuzzy idealidir. I, S yar halkas n n bir k-ideali oldu¼gundan 8y 2 I, 8x 2 S için x + y 2 I iken x 2 I d r. Böylece I (x) = 1 minf I (x + y); I (y)g = minf1; 1g = 1 dir. Aksi durumda minf I (x + y); I (y)g = 0 I (x) d r. Dolay s yla I bir fuzzy k-idealdir. 13

20 (: I fonksiyonu S yar halkas n n bir fuzzy k-ideali olsun. Bu durumda (i) I (x + y) minf I (x); I (y)g şartlar sa¼glan r. (ii) I (xy) maxf I (x); I (y)g (iii) I (x) minf I (y); I (x + y)g (i) den I (x + y) minf I (x); I (y)g = 1 olsun. Bu durumda minf I (x); I (y)g = 1 oldu¼gundan x; y 2 I olur. Böylece (i) den x + y 2 I d r. (ii) den I (xy) maxf I (x); I (y)g = 1 olsun. maxf I (x); I (y)g = 1 oldu¼gundan ya x 2 I,y =2 I ya y 2 I,x =2 I ya da x; y 2 I d r. E¼ger x 2 I ve y =2 I ise xy 2 I, x =2 I ve y 2 I ise xy 2 I ve x; y 2 I ise xy 2 I olaca¼g ndan I kümesi S yar halkas n n bir idealidir. Şimdi I idealinin bir k-ideal oldu¼gunu gösterelim. 8y 2 I, 8x 2 S için x + y 2 I olsun. Bu durumda I (x) minf I (y); I (x + y)g = 1 d r. Böylece I (x) = 1 ve dolay s yla x 2 I olur. Böylece I, S yar halkas n n bir k-ideali dir. Önerme A, S yar halkas n n bir fuzzy k-ideali olsun. 8x; y 2 S için x + y = 0 =) A(x) = A(y) dir. 14

21 Ispat: A; S yar halkas n n fuzzy k-ideali oldu¼gundan A(x) minfa(x + y); A(y)g = minfa(0); A(y)g = A(y) ve A(y) minfa(x + y); A(x)g = minfa(0); A(x)g = A(x) oldu¼gundan A(x) = A(y) dir. Teorem A bir S yar halkas n n bir fuzzy alt kümesi ve A 0 = fx 2 S : A(x) = A(0)g olsun. k-idealidir. E¼ger A, S yar halkas n n bir fuzzy k-ideali ise A 0 ; S yar halkas n n bir Ispat: Önce A bir fuzzy k-ideal olmak üzere, A 0 n S yar halkas nda bir ideal oldu¼gunu gösterelim. 8x; y 2 A 0 olsun. Bu durumda A(x + y) minfa(x); A(y)g = A(0) d r: Di¼ger taraftan; A(0) = A(0 (x + y)) A(x + y) 15

22 d r. Böylece A(x + y) = A(0) d r. Dolay s yla x + y 2 A 0 olur. Bu ise ideal olma şartlar n n ilkidir. E¼ger s 2 S ve x 2 A 0 ise; A(sx) A(x) = A(0) d r. Di¼ger taraftan A(0) = A(0 (sx)) A(sx) d r. Böylece A(sx) = A(0) d r. Dolay s yla sx 2 A 0 olur. O halde A 0, S yar halkas n n bir idealidir. Şimdi A 0 idealinin bir k-ideal oldu¼gunu gösterelim. 8x 2 S, 8a 2 A 0 için a + x 2 A 0 olsun. A(x) minfa(a + x); A(a)g = A(0) d r. Di¼ger taraftan oldu¼gundan A(0) A(x) A(x) = A(0) d r. Buradan da x 2 A 0 oldu¼gu ortaya ç kar. Böylece A 0, S yar halkas n n bir k-idealdir. 16

23 Lemma A ve B, S yar halkas n n iki fuzzy sol k-idealleri olsunlar. durumda A \ B, S yar halkas n n fuzzy sol k-idealidir. Bu Ispat: Önce A \ B nin S yar halkas n n bir fuzzy sol ideali oldu¼gunu gösterelim; 8x; y 2 S için, (A \ B)(x + y) = minfa(x + y); B(x + y)g minfminfa(x); A(y)g; minfb(x); B(y)gg = minfa(x); A(y); B(x); B(y)g = minfminfa(x); B(x)g; minfa(y); B(y)gg = minf(a \ B)(x); (A \ B)(y)g ve (A \ B)(xy) = minfa(xy); B(xy)g minfa(y); B(y)g = (A \ B)(y) d r. Böylece A \ B, S yar halkas n n bir fuzzy sol idealdir. Şimdi A \ B nin, S yar halkas n n bir fuzzy sol k-ideali oldu¼gunu gösterelim. 8x; y 2 S için x + y 2 S olsun. Bu durumda (A \ B)(x) = minfa(x); B(x)g minfminfa(y); A(x + y)g; minfb(y); B(x + y)gg = minfa(y); A(x + y); B(y); B(x + y)g = minfminfa(y); B(y)g; minfa(x + y); B(x + y)gg = minf(a \ B)(y); (A \ B)(x + y)g d r. Dolay s yla A \ B, S yar halkas n n bir fuzzy sol k-idealidir. 17

24 Tan m A ve B, bir S yar halkas n n iki fuzzy ideali olsun. a i ; b i 2 S olmak üzere 8x 2 S için 8 >< sup fminfa(a i ); B(b i ); i = 1; 2gg; x + a 1 b 1 = a 2 b 2 (A k B)(x) = x+a 1 b 1 =a 2 b 2 >: 0; x + a 1 b 1 6= a 2 b 2 şeklinde tan mlanan çarp ma iki fuzzy idealin k-çarp m denir. Lemma E¼ger A ve B, S yar halkas n n fuzzy k-idealleri iseler, A k B A\B d r. Ispat: x 2 S olsun. E¼ger (A k B)(x) = 0 ise ispat aç kt r. Şimdi (A k B)(x) 6= 0 olsun. Bu durumda x + a 1 b 1 = a 2 b 2 olacak biçimde 8a i ; b i 2 S; i = 1; 2 için A(x) minfa(a 1 b 1 ); A(a 2 b 2 )g minfa(a 1 ); A(a 2 )g d r. Benzer şekilde B(x) minfb(a 1 b 1 ); B(a 2 b 2 )g minfb(b 1 ); B(b 2 )g d r. Böylece (A k B)(x) = sup x+a 1 b 1 =a 2 b 2 fminfa(a i ); B(b i ); i = 1; 2gg = sup fminfa(a 1 ); A(a 2 ); B(b 1 ); B(b 2 )gg x+a 1 b 1 =a 2 b 2 minfa(x); B(x)g = (A \ B)(x) elde edilir. 18

25 3.2 Yar Regüler Yar Halkalar Bu k s mda yar regüler yar halka kavram verilerek sa¼glad ¼g özellikleri ele al nm şt r. Tan m S bir yar halka olsun. E¼ger 8a 2 S için a + ax 1 a = ax 2 a olacak biçimde 9x 1 ; x 2 2 S varsa, S yar halkas na yar regülerdir denir. Tan m S bir yar halka ve A S olsun. A alt kümesinin k-kapan ş _ A = fx 2 S : x + a 1 = a 2 ; (a 1 ; a 2 2 A için)g veya _ A = fx 2 S : x + a 2 A; (a 2 A için)g şeklinde tan ml d r. Burada _ A = _ A ve A B S için _ A _ B d r. Lemma S bir yar halka ve A S olsun. E¼ger A, S yar halkas n n bir ideali ise _ A, S yar halkas n n bir k-idealidir. Ispat: i) 8x 1 ; x 2 2 _ A olsun. O halde 9a 1 ; a 2 2 A 3 x 1 + a 1 ; x 2 + a 2 2 A d r. A bir ideal oldu¼gundan (x 1 +x 2 )+(a 1 +a 2 ) 2 A dir. Burada a 1 +a 2 2 A oldu¼gundan x 1 + x 2 2 _ A d r. ii) 8x 2 A _ olsun. O halde 9a 2 A 3 x + a 2 A d r. Herhangi r 2 S için xr; rx 2 A _ oldu¼gunu gösterece¼giz. A bir ideal oldu¼gundan (x+a)r 2 A d r. Böylece xr+ar 2 A d r. Buradan ar 2 A d r. Dolay s yla xr 2 A _ elde edilir. Benzer şekilde rx 2 A _ oldu¼gu gösterilebilir. 19

26 iii) 8x 2 _ A, 8y 2 S için x+y 2 _ A olsun. O halde 9a; b 2 A için x+a; (x+y)+b 2 A d r. A bir ideal oldu¼gundan [(x + y) + b] + a 2 A için y + [(x + a) + b] 2 A oldu¼gu aç kt r. (x + a) + b 2 A oldu¼gundan y 2 _ A d r. Böylece _ A, S yar halkas n n bir k-idealidir. Lemma A, R yar halkas n n herhangi bir ideali olsun. A, R yar halkas n n bir k-idealidir () A = _ A d r. Ispat: ): A, R yar halkas n n bir k-ideali olsun. A _ A oldu¼gu aç kt r. _ A A oldu¼gunu göstermeliyiz. x 2 _ A olsun. Bu durumda 9a 2 A 3 x + a 2 A d r. a; x + a 2 A ve A bir k-ideal oldu¼gundan x 2 A d r. Böylece _ A A ve buradan A = _ A d r. (: A = _ A olsun. A, R yar halkas n n bir ideali oldu¼gundan, Lemma den dolay _ A bir k-idealidir. Dolay s yla A bir k-idealidir. Lemma S bir yar halka ve A; B S olsun. Bu durumda AB = _ A _ B d r. Ispat: (i) A _ A ve B _ B oldu¼gundan, AB _ A _ B ve buradan AB _ A _ B d r. (ii) x 2 _ A ve y 2 _ B olsun. Bu durumda a i 2 A; b i 2 B; i = 1; 2 olmak üzere x + a 1 = a 2 ve y + b 1 = b 2 dir. a 2 b 2 + a 1 b 1 = (x + a 1 )(y + b 1 ) + a 1 b 1 = xy + a 1 (y + b 1 ) + (x + a 1 )b 1 = xy + a 1 b 2 + a 2 b 1 d r. 8i; j 2 f1; 2g için a i b j 2 AB oldu¼gundan xy 2 AB d r. Böylece xy 2 _ A _ B iken xy 2 AB d r. Şimdi z 2 _ A _ B olsun. Bu durumda x i 2 _ A ve y i 2 _ B olmak üzere 20

27 z = n P i=1 x i y i d r. 8i = 1; 2; :::; n için x i y i 2 AB oldu¼gundan z 2 AB d r. O halde _ A _ B AB d r. Buradan da _ A _ B AB = AB elde edilir. Lemma A ve B, S yar halkas n n s ras yla sa¼g ve sol k-idealleri olsunlar. Bu durumda AB A \ B d r. P Ispat: x 2 AB olsun. Bu durumda x+ m P a i b i = n a 0 jb 0 j d r. A, S yar halkas n n bir i=1 sa¼g k-ideali oldu¼gundan, bir sa¼g idealidir. Dolay s yla 8i = 1; :::; m; 8j = 1; :::; n için P a i ; a 0 j 2 A; b i ; b 0 j 2 B iken a i b i ; a 0 jb 0 j 2 A özelli¼gini sa¼glar. Böylece m np a i b i ; a 0 jb 0 j 2 A ve buradan x 2 A elde edilir. Benzer şekilde x 2 AB için x 2 B d r. j=1 i=1 j=1 Böylece x 2 A \ B elde edilir. Teorem Bir S yar halkas yar regülerdir () S yar halkas n n herhangi A sa¼g k-ideali ve herhangi B sol k-ideali için AB = A \ B d r. Ispat: ): a 2 A \ B ve S yar halkas yar regüler olsun. O halde a + ax 1 a = ax 2 a olacak biçimde 9x 1 ; x 2 2 S vard r. A, S yar halkas n n sa¼g k-ideali oldu¼gundan 8x 1 ; x 2 2 S ve 8a 2 A için ax 1 ; ax 2 2 A d r. Buradan 8i = 1; 2 için ax i a 2 AB d r. Böylece a 2 AB = fa 2 S j a + ax 1 a = ax 2 ag elde edilir. Bu ise A \ B AB oldu¼gunu gösterir. Ayr ca Lemma den dolay AB A \ B oldu¼gundan AB = A \ B bulunur. (: A ve B s ras yla S yar halkas n n s ras yla sa¼g ve sol k-idealleri olmak üzere AB = A \ B şart sa¼glans n. (a) S olsun. O halde as + N 0 a; S yar halkas n n a taraf ndan üretilen sa¼g idealidir. Buradan (as + N 0 a), S yar halkas n n bir sa¼g k- idealidir. S yar halkas n n da kendi üzerinde aşikar bir k-ideal oldu¼gunu göz önüne 21

28 al n rsa; (as + N 0 a) = (as + N 0 a) \ S = (as + N 0 a)s = (as + N 0 a)s = as bulunur. Böylece a = a a 2 as + N 0 a (as + N 0 a) = as d r. Benzer şekilde a 2 Sa bulunur. O halde a 2 as \ Sa olup, as \ Sa = assa = assa asa oldu¼gundan a 2 asa elde edilir. Bu ise a + ax 1 a = ax 2 a olacak biçimde 9x 1 ; x 2 2 S in var oldu¼gunu gösterir. Böylece ispat tamamlan r. Teorem Bir S yar halkas yar regülerdir () S yar halkas n n herhangi A fuzzy sa¼g k-ideali ve herhangi B fuzzy sol k-ideali için A k B = A \ B d r. Ispat: ): S bir yar regüler yar halka olsun. Lemma den dolay A k B A\B dir. Şimdi a 2 S olsun. S yar halkas yar regüler oldu¼gundan a + ax 1 a = ax 2 a olacak biçimde 9x 1 ; x 2 2 S vard r. k-çarp m tan m ndan dolay ; (A k B)(x) = sup fminfa(a i ); B(b i ); i = 1; 2gg (x = a; a i = ax i ve b 1 = b 2 = a) x+a 1 b 1 =a 2 b 2 minfa(ax i ); B(a); i = 1; 2g minfa(a); B(a)g = (A \ B)(a) d r. Böylece A k B A \ B elde edilir. O halde A k B = A \ B d r. 22

29 (: C ve D s ras yla S yar halkas n n sa¼g ve sol k-idealleri olsunlar. Teorem den dolay C ve D s ras yla S yar halkas n n fuzzy sa¼g k-ideali ve fuzzy sol k- idealidirler. Di¼ger taraftan Lemma den dolay CD C \ D d r. Şimdi C \ D CD oldu¼gunu gösterelim. x 2 C \ D olsun. Bu durumda C (x) = D (x) = 1 dir. Buradan 1 = minf C (x); D (x)g = ( C \ D )(x) = ( C k D )(x) d r. O halde 8i = 1; 2 için x + a 1 b 1 = a 2 b 2 şart n sa¼glayan a i ; b i ler göz önüne al n rsa; ( C k D )(x) = sup x+a 1 b 1 =a 2 b 2 fminf C (a i ); D (b i ); i = 1; 2gg = 1 oldu¼gundan C (a i ) = 1 = D (b i ) bulunur. Böylece i = 1; 2 için a i 2 C ve b i 2 D dir. O halde x 2 CD d r. Dolay s yla CD = C \ D d r. O halde Teorem den dolay S yar halkas yar regülerdir. 3.3 Öklidyen Fuzzy K- Idealler Bu k s mda fuzzy k-ideal olma şartlar na yeni bir şart eklenmesi ile elde edilen, Öklidyen fuzzy k-ideal kavram ele al nm şt r. Tan m S bir yar halka ve ; S nin sabit olmayan bir fuzzy alt kümesi olsun. E¼ger S nin bir fuzzy ideali 23

30 (a) 8x; y 2 S için (x) minfmaxf(x + y); (y + x)g; (y)g (b) Herhangi x; y 2 S (y 6= 0) için; r = 0 ya da maxf(r); (r)g maxf(y); (y)g şart n sa¼glayan, x = yq + r olacak biçimde 9q; r 2 S vard r. şartlar n sa¼gl yorsa, ya -Öklidyen fuzzy k-ideal denir. Örnek N [ f0g = N 0 yar halkas nda, : N 0! [0; 1] fuzzy alt kümesi ve : N 0 8 >< (x) = >:! [0; 1] fuzzy alt kümesi 0; x = 0 1 ; x = 3; 5; 7; ::: 3 1 ; di¼ger hallerde jxj 8 >< (x) = >: 1; x = 0 1 ; x çift say 3 0; x tek say şeklinde tan mlans nlar. k-idealidir. Bu durumda ; N 0 yar halkas n n bir -Öklidyen fuzzy Çözüm: Öncelikle fuzzy alt kümesinin, N 0 yar halkas n n bir fuzzy ideali oldu¼gunu göstermeliyiz. Bunu için nin (i) (x + y) minf(x); (y)g şartlar n sa¼glamas gerekir. Buna göre, (ii) (xy) maxf(x); (y)g 24

31 x ve y çift say lar olsun i) 1 3 = (x + y) minf(x); (y)g = minf1 3 ; 1 3 g = 1 3 ii) 1 3 = (xy) maxf(x); (y)g = maxf1 3 ; 1 3 g = 1 3 x çift say, y tek say olsun i) 0 = (x + y) minf(x); (y)g = minf 1 3 ; 0g = 0 ii) 1 3 = (xy) maxf(x); (y)g = maxf1 3 ; 0g = 1 3 x ve y tek say lar olsun i) 1 3 = (x + y) minf(x); (y)g = minf0; 0g = 0 ii) 0 = (xy) maxf(x); (y)g = maxf0; 0g = 0 x = 0, y tek say ise i) 0 = (y) minf(0); (y)g = minf1; 0g = 0 ii) 1 = (0) maxf(0); (y)g = maxf1; 0g = 1 x = 0, y çift say olsun i) 1 3 = (y) minf(0); (y)g = minf1; 1 3 g = 1 3 ii) 1 = (0) maxf(0); (y)g = maxf1; 1 3 g = 1 x = y = 0 olsun 25

32 i) 1 = (0) minf(0); (0)g = minf1; 1g = 1 ii) 1 = (0) maxf(0); (0)g = maxf1; 1g = 1 Böylece, N 0 yar halkas n n bir fuzzy idealdir. Şimdi nin fuzzy k-ideal olmas için (iii) (x) minf(x + y); (y)g şart n sa¼glamas gerekir. Buna göre, x ve y çift say lar ise 1 3 = (x) minf(x + y); (y)g = minf1 3 ; 1 3 g = 1 3 d r. Di¼ger durumlarda benzer şekilde gösterilebilir. Böylece bir fuzzy k-idealdir. Şimdi N 0 yar halkas n n fuzzy k-idealinin, bir -Öklidyen fuzzy k-ideal oldu¼gunu gösterelim. Bunun için; herhangi x; y 2 N 0 (y 6= 0)için r = 0 ya da maxf(r); (r)g maxf(y); (y)g şart n sa¼glayan, x = yq + r olacak biçimde 9q; r 2 N 0 var oldu¼gunu göstermeliyiz. Her rasyonel say n n iki tamsay aras nda olmas özelli¼gini kullan rsak; 0 6= y; x 2 N 0 olmak üzere x = 2 Q oldu¼gundan, ard ş k iki tamsay n n aras ndad r. O halde y = m + "; 0 " < 1 olacak biçimde m 2 N 0 seçebiliriz. q = m iken q 2 N 0 d r. 26

33 r = x yq oldu¼gunu göz önüne al rsak; 0 6= y; x 2 N 0 ve q 2 N 0 ald ¼g m zdan, N 0 bir yar halka oldu¼gu için r 2 N 0 d r. Böylece x y = = m + " = q + " oldu¼gundan x = yq + y" elde edilir. Buradan r = x yq = yq + y" yq = y" bulunur. E¼ger r = 0 ise x = yq olaca¼g ndan uygun q lar bulunur. E¼ger r 6= 0 ise, ve fuzzy alt kümelerinin tan mlar n ve y 6= 0 oldu¼gunu dikkate alarak; maxf(r); (r)g maxf(y); (y)g kural n n sa¼gland ¼g n gösterelim. r 6= 1; y 6= 1 olmak üzere r ve y tek say olsun 1 3 = maxf0; 1 3 g = maxf(r); (r)g maxf(y); (y)g = maxf0; 1 3 g = 1 3 d r. r = 1 = y durumuna bakamay z. Çünkü r = y" şart sa¼glanmaz. r = 1; y 6= 1 tek say olsun 1 = maxf0; 1g = maxf(1); (1)g maxf(y); (y)g = maxf0; 1 3 g = 1 3 d r. 27

34 y = 1; r 6= 1 tek say durumuna bakamay z. Çünkü r = y" şart sa¼glanmaz. r = 1; y 6= 0 çift say olsun 1 = maxf0; 1g = maxf(1); (1)g maxf(y); (y)g = maxf 1 3 ; 1 g d r. Burada jyj y = 1 olamayaca¼g ndan istenilen elde edilir. y = 1; r 6= 0 çift say durumuna bakamay z. Çünkü r = y" şart sa¼glanmaz. y 6= 0; r 6= 0 çift say lar olsun maxf 1 3 ; 1 jrj g = maxf(r); (r)g maxf(y); (y)g = maxf1 3 ; 1 jyj g d r. r = y" ve 0 " < 1 oldu¼gu göz önüne al n rsa r y oldu¼gu aç kt r. jrj jyj ve buradan 1 jrj 1 jyj dir. Burada Böylece r 6= 1 tek say ve y 6= 0 çift say olsun 1 3 = maxf0; 1 3 g = maxf(r); (r)g maxf(y); (y)g = maxf1 3 ; 1 g d r. Burada jyj r = y" ve r 6= 1 oldu¼gundan y = 2 olamaz. Dolay s yla istenilen elde edilir. y 6= 1 tek say ve r 6= 0 çift say ise maxf 1 3 ; 1 jrj g = maxf(r); (r)g maxf(y); (y)g = maxf0; 1 3 g = 1 3 d r. y 6= 0 oldu¼gundan r = y = 0 durumuna bakamay z. r = 0; y 6= 0 çift say olsun 1 = maxf1; 0g = maxf(0); (0)g maxf(y); (y)g = maxf 1 3 ; 1 jyj g d r. r = 0; y 6= 1 tek say olsun 28

35 1 = maxf1; 0g = maxf(r); (r)g maxf(y); (y)g = maxf0; 1 3 g = 1 3 d r. r = 0; y = 1 olsun 1 = maxf1; 0g = maxf(0); (0)g maxf(1); (1)g = maxf0; 1g = 1 d r. Örnek N 0 yar halkas nda 1 : N 0 8 >< 1 (x) = >:! [0; 1] fuzzy alt kümesi 0; x = 0 1 ; di¼ger hallerde jxj ve : N 0! [0; 1] fuzzy alt kümesi 8 >< (x) = >: 1; x = o 1 ; x çift say 3 0; x tek say şeklinde tan mlans nlar. Bu durumda, bir fuzzy k-idealdir. Fakat bir 1 -Öklidyen fuzzy k-ideal de¼gildir. Çözüm: nin bir fuzzy k-ideal oldu¼gu bir önceki örnekte gösterilmişti. Şimdi N 0 yar halkas n n fuzzy k-idealinin, 1 -Öklidyen fuzzy k-ideal olmad ¼g n gösterelim. Bunu göstermek için herhangi x; y 2 N 0 (y 6= 0) için; r = 0 ya da maxf(r); (r)g maxf(y); (y)g şart n sa¼glayan, x = yq + r olacak biçimde 9q; r 2 N 0 var olmad ¼g n ispatlamal y z. y çift say ve r tek say olsun. Bu durumda maxf0; 1 jrj g = maxf(r); (r)g maxf(y); (y)g = maxf1 3 ; 1 jyj g 29

36 d r. Burada x = yq + r ve r = y" oldu¼gu dikkate al n p, y = 36; " = 1 4 seçilirse r = 9 ç kar. Bu de¼gerler yukar daki eşitsizlikte yerlerine yaz l rsa maxf0; 1 9 g maxf1 3 ; 1 36 g bulunur. Bu ise N 0 yar halkas n n fuzzy k-idealinin, 1 -Öklidyen fuzzy k-ideal olmad ¼g n gösterir. 3.4 Seviye Idealleri Bu k s mda seviye ideal kavram verilerek fuzzy k-idealler ile aralar ndaki özellikler incelenmiştir. Tan m bir R kümesinin herhangi fuzzy alt kümesi ve t 2 [0; 1] olsun. t = fx 2 R : (x) tg kümesine nün bir seviye alt kümesi denir. E¼ger ; R yar halkas n n fuzzy ideali ise, t = fx 2 R : (x) tg ye nün seviye ideali denir. Önerme 3.4.1, R yar halkas n n bir fuzzy sol (veya sa¼g) k-idealidir() t 6=? olacak biçimde herhangi t 2 [0; 1] için t = fx 2 R : (x) tg, R yar halkas n n bir sol (veya sa¼g) k-idealidir. Ispat: ):, R nin bir fuzzy sol k-ideali olsun. 8x; y 2 t için (x + y) minf(x); (y)g t dir. Böylece x + y 2 t elde edilir. 30

37 Üstelik 8r 2 R ve 8x 2 t için (rx) (x) t dir. Dolay s yla rx 2 t dir. O halde t, R yar halkas n n bir sol idealidir. Şimdi 8a 2 t ; 8x 2 R için x + a 2 t olsun. O halde (a) t ve (x + a) t dir. ; R yar halkas n n fuzzy sol k-ideali oldu¼gundan (x) minf(x + a); (a)g ve buradan (x) t bulunur. Böylece x 2 t dir. Dolay s yla t ; R yar halkas n n bir sol k-idealidir. (: t 6=? olacak biçimde herhangi t 2 [0; 1] için t = fx 2 R : (x) tg; R yar halkas n n bir sol k-ideali olsun. Gösterilebilir ki ; R yar halkas n n bir sol fuzzy idealidir. Şimdi herhangi x; a 2 R için x + a 2 R ve (a) t 1 ; (x + a) t 2 (t i 2 [0; 1]) olsun. E¼ger t = minft 2 ; t 1 g denilirse, a 2 t ve x + a 2 t d r. t ; R yar halkas n n sol k-ideali oldu¼gundan x 2 t dir. Bu ise (x) minf(x + a); (a)g demektir. Teorem I; R yar halkas n n herhangi sol (veya sa¼g) k-ideali olsun. Bu durumda t 2 [0; 1] için t = I olacak biçimde R yar halkas n n bir fuzzy sol (veya sa¼g) k-ideali vard r (Baik ve Kim 2000). Teorem ; R yar halkas n n bir fuzzy sol (veya sa¼g) k-ideali olsun. Bu durumda nün s < t şart n sa¼glayan herhangi iki seviye sol (veya sa¼g) k-idealleri olan s ve t birbirine eşittir () s (x) < t olacak biçimde 9x 2 R yoktur. Ispat: ): s < t 2 [0; 1] ve s = t olsun. E¼ger s (x) < t olacak biçimde 9x 2 R varsa t ; s in alt kümesi olur. Bu ise kabulümüzle çelişir. 31

38 (: s (x) < t olacak biçimde 9x 2 R mevcut olmas n. s < t oldu¼gunda t s dir. E¼ger x 2 s ise (x) s ve (x) t oldu¼gundan (x) t dir. Buradan x 2 t ve s t bulunur. Böylece istenilen elde edilir. Teorem f : R! S bir örten homomor zm ve #; S üzerinde bir fuzzy sol k-ideal olsun. Bu durumda # nin f alt ndaki ters görüntüsü olan ; bir fuzzy sol k-idealdir. Ispat: 8x; y 2 S olsun. (i) (x + y) minf(x); (y)g oldu¼gunu gösterelim: (x + y) = #(f(x + y)) = #(f(x) + f(y)) minf#(f(x)); #(f(y)) = minf(x); (y)g (ii) (xy) (y) oldu¼gunu gösterelim: (xy) = #(f(xy)) = #(f(x)f(y)) #(f(y)) = (y) (iii) (x) minfmaxf(x + y); (y + x)g; (y)g oldu¼gunu gösterelim: (x) = #(f(x)) minfmaxf#(f(x) + f(y)); #(f(y) + f(x))g; #(f(y))g = minfmaxf#(f(x + y)); #(f(y + x))g; #(f(y))g = minfmaxf(x + y); (y + x)g; (y)g 32

39 Böylece bir fuzzy sol k-idealdir. Önerme f : R kümesi olsun. Bu durumda 8t 2 (0; 1] için! S bir fonksiyon ve ; R yar halkas n n bir fuzzy alt (f()) t = \ 0<s<t f( t s) dir. Ispat: ): y 2 (f()) t olsun. Bu durumda dir. t (f())(y) = sup (z) z2f 1 (y) Böylece 0 < s < t olmak üzere 8s 2 (0; 1] için (x 0 ) > t s olacak şekilde 9x 0 2 f 1 (y) vard r. Buradan y = f(x 0 ) 2 f( t s ) d r. Dolay s yla y 2 \ t 0<s<t s) dir. (: Şimdi y 2 \ f( t s) olsun. Bu durumda 0 < s < t olmak üzere 8s 2 (0; 1] için 0<s<t y 2 f( t s ) iken y = f(x 0 ) olacak biçimde 9x 0 2 t s vard r. Buradan (x 0 ) t s ve x 0 2 f 1 (y) dir. Böylece (f())(y) = sup (z) z2f 1 (y) sup ft sg 0<s<t = t d r. Dolay s yla y 2 (f()) t dir. Teorem f : R! S örten homor zm ve de R yar halkas n n bir fuzzy 33

40 sol k-ideali olsun. nün f alt ndaki homomor k görüntüsü olan f() nün S yar halkas n n bir fuzzy sol k-idealidir. Ispat: Önerme den dolay f() nün boş kümeden farkl her seviye alt kümesinin, S yar halkas n n bir sol k-ideali oldu¼gu gösterilmelidir. (f()) t ; 8t 2 [0; 1] için f() nün boş kümeden farkl seviye alt kümesi olsun. E¼ger t = 0 ise, (f()) t = S (seviye alt kümesi tan m ndan) dir. t 6= 0 oldu¼gunu düşünelim. Önerme den dolay (f()) t = \ f( t s) dir. Buradan 80 < s < t için f( t s ) boş kümeden farkl d r. 0<s<t Böylece 80 < s < t için t s, fuzzy sol k-idealinin boş kümeden farkl bir seviye alt kümesidir. ; R yar halkas n n bir fuzzy sol k-ideali oldu¼gundan, Önerme den dolay t s, R yar halkas n n bir sol k-idealidir. f örten bir homomor zm oldu¼gundan f( t s ); S yar halkas n n bir sol k-idealidir. Buradan sol k-ideallerin kesişimi olan (f()) t de S yar halkas n n bir sol k-idealidir. Tan m I; R yar halkas n n bir sol (veya sa¼g) k-ideali ve Aut(R) ise R nin bütün otomor zmlerinin kümesi olsun. 8f 2 Aut(R) için f(i) = I ise, I sol (veya sa¼g) k-idealine karakteristik denir. Tan m 3.4.3, R yar halkas n n bir fuzzy sol (veya sa¼g) k-ideali olmak üzere, 8x 2 R ve f 2 Aut(R) için (f(x)) = (x) ise, fuzzy sol (veya sa¼g) k-idealine fuzzy karakteristik denir. Teorem ; R yar halkas n n bir fuzzy sol (veya sa¼g) k-ideali ve f : R! R bir örten homomor zm olsun. Bu durumda 8x 2 R için f (x) = (f(x)) ile tan mlanan 34

41 f : R! [0; 1], R yar halkas n n bir fuzzy sol (veya sa¼g) k-idealidir. Ispat: Herhangi x; y 2 R için; f (x + y) = (f(x + y)) = (f(x) + f(y)) minf(f(x)); (f(y))g = minf f (x); f (y)g ve f (xy) = (f(xy)) = (f(x)f(y)) (f(y)) (sa¼g için (f(x))) = f (y) d r. Dolay s yla f ; R yar halkas n n fuzzy sol idealidir. Ayr ca, f (x) = (f(x)) minfmaxf(f(x) + f(y)); (f(y) + f(x))g; (f(y))g = minfmaxf(f(x + y)); (f(y + x))g; (f(y))g = minfmaxf f (x + y); f (y + x)g; f (y)g oldu¼gundan f ; R yar halkas n n bir fuzzy sol k-idealidir Teorem E¼ger R yar halkas n n bir fuzzy sol (veya sa¼g) k-ideali fuzzy karakteristik ise, nün her seviye sol (veya sa¼g) k-ideali karakteristiktir. 35

42 Ispat: ; R yar halkas n n bir fuzzy karakteristi¼gi ve f 2 Aut(R) olsun. Herhangi t 2 [0; 1] için, y 2 f( t ) ise, y = f(x) olmak üzere baz x 2 t ler için (y) = (f(x)) = (x) t oldu¼gundan y 2 t dir. Dolay s yla f( t ) t dir. Şimdi y 2 t olsun. y = f(x) olmak üzere baz x 2 R ler için t (y) = (f(x)) = (x) oldu¼gundan x 2 t ve buradan y 2 f( t ) dir. Böylece t f( t ) dir. O halde f( t ) = t dir. Yukar daki teoremin karş t n göstermek için önce aşa¼g daki lemmay veriyoruz. Lemma ; R yar halkas n n bir fuzzy sol (veya sa¼g) k-ideali ve x 2 R olsun. (x) = t () 8s > t için x 2 t ve x =2 s dir (Baik ve Kim 2000). Teorem ; R yar halkas n n bir fuzzy sol (veya sa¼g) k-ideali olsun. E¼ger nün her seviye sol (veya sa¼g) k-ideali karakteristik ise, fuzzy karakteristiktir. Ispat: x 2 R ve f 2 Aut(R) olsun. E¼ger t 2 [0; 1] olmak üzere (x) = t ise, Lemma den dolay 8s > t için x 2 t ve x =2 s dir. x 2 t ve nün her seviye sol (veya sa¼g) k-ideali karakteristik oldu¼gundan f(x) 2 f( t ) = t dir. 36

43 Kabul edelim ki (f(x)) = s > t olsun. Bu durumda f(x) 2 s = f( s ) dir. f birebir oldu¼gundan x 2 s dir. Bu ise bir çelişkidir. Böylece (f(x)) = t = (x) dir. O halde bir fuzzy karakteristiktir. 3.5 Asal Fuzzy K- Idealler Bu k s mda asal fuzzy k-ideal kavram tan mlanarak özellikleri verilmiştir. Tan m P; S yar halkas n n bir ideali olsun. S yar halkas n n herhangi iki A ve B idealleri için AB P iken A P ya da B P oluyorsa, P ye asal ideal denir. Tan m P; S yar halkas n n bir k-ideali olsun. S yar halkas n n herhangi iki A ve B idealleri için AB P iken A P ya da B P oluyorsa, P ye asal k-ideal denir. Tan m P; S yar halkas n n sabit olmayan bir fonksiyon olan bir fuzzy ideali olsun. S yar halkas n n herhangi iki A ve B fuzzy idealleri için A k B P iken A P veya B P oluyorsa, P ye asal fuzzy ideal denir. Tan m P; S yar halkas n n sabit olmayan bir fonksiyon olan bir fuzzy k-ideali olsun. S yar halkas n n herhangi iki A ve B fuzzy idealleri için A k B P iken A P veya B P oluyorsa, P ye asal fuzzy k-ideal denir. Teorem I, S nin bir alt kümesi ve I ; I kümesinin karakteristik fonksiyonu olsun. I, S yar halkas n n bir asal k-idealidir () I fonksiyonu S nin bir asal fuzzy k-idealidir. 37

44 Ispat: ): I, S yar halkas n n bir asal k-ideali olsun. I 6= S oldu¼gundan I karakteristik fonksiyonu S üzerinde sabit olmayan bir fonksiyondur. I n n asal fuzzy k-ideal olmad ¼g n kabul edelim. O halde A ve B, S nin herhangi iki fuzzy ideali olmak üzere A k B I iken A * I, B * I d r. Böylece S nin A(a i ) I (a i ) ve B(b i ) I (b i ) olmak üzere i = 1; 2 için a i ve b i elemanlar vard r. Buradan A(a 1 ) 6= 0; A(a 2 ) 6= 0 ve B(b 1 ) 6= 0; B(b 2 ) 6= 0 d r. Dolay s yla I (a 1 ) = 0; I (a 2 ) = 0 ve I (b 1 ) = 0; I (b 2 ) = 0 d r. O halde a 1 ; a 2 =2 I ve b 1 ; b 2 =2 I sonucuna var l r. Böylece I, S nin bir k-ideali oldu¼gundan x + a 1 b 1 = a 2 b 2 =2 I olacak biçimde 9x 2 S vard r. O halde I (x) = 0 d r. Buradan (A k B)(x) I (x) oldu¼gundan dolay (A k B)(x) = 0 d r. Fakat (A k B)(x) = sup x+a 1 b 1 =a 2 b 2 fminfa(a i ); B(b i ); i = 1; 2gg = sup x+a 1 b 1 =a 2 b 2 fminfa(a 1 ); A(a 2 ); B(b 1 ); B(b 2 )gg > 0 d r. Bu ise (A k B)(x) = 0 olmas ile çelişir. Buradan istenilen elde edilir. (: I, S yar halkas n n bir asal fuzzy k-ideali olsun. Dolay s yla I 6= S dir. S yar halkas içinde AB I olacak biçimde A; B idealleri verilsin. A k B çarp m n göz önüne alal m. x 2 S olsun. E¼ger ( A k B )(x) = 0 ise ( A k B )(x) I (x) d r. Şimdi ( A k B )(x) 6= 0 olsun. Bu durumda ( A k B )(x) = sup x+a 1 b 1 =a 2 b 2 fminf A (a i ); B (b i ); i = 1; 2gg 6= 0 d r. Buradan S yar halkas içinde x+a 1 b 1 = a 2 b 2 ve i = 1; 2 için A (a i ) 6= 0; B (b i ) 6= 0 olacak biçimde 9a i ; b i elemanlar vard r. Bu ise i = 1; 2 için A (a i ) = 1; B (b i ) = 1 olmas demektir. Böylece i = 1; 2 için a i 2 A ve b i 2 B dir. Buradan A ve B ideal olduklar ndan x + a 1 b 1 = a 2 b 2 2 AB I d r. Bu ise I (x) = 1 demektir. Böylece de 8x 2 S için ( A k B )(x) I (x) d r. O halde A k B I d r. Dolay s yla I bir asal fuzzy k-ideal oldu¼gundan A I ya da B I d r. Buradan A I 38

45 ya da B I elde edilir. Teorem E¼ger P; S yar halkas n n bir asal fuzzy k-ideali ise, P o = fx 2 S : P (x) = P (0)g S yar halkas n n bir asal k-idealidir. Ispat: P; S yar halkas n n bir asal fuzzy k-ideali olsun. Teorem den dolay P, S yar halkas n n bir fuzzy k-ideali oldu¼gundan P 0 ; S nin bir k-idealidir. Şimdi P 0 n asal k-ideal oldu¼gunu gösterelim. I ve J, S nin IJ P o şart n sa¼glayan iki ideali olsunlar. A, B fuzzy ideallerini A(x) = P (0) I (x) ve B(x) = P (0) J (x) olarak tan mlayal m. 8x 2 S için (A k B)(x) P (x) oldu¼gunu gösterelim. E¼ger (A k B)(x) = 0 ise eşitsizli¼gin sa¼gland ¼g aç kt r. (A k B)(x) 6= 0 oldu¼gunu kabul edelim. Bu durumda (A k B)(x) = sup fminfa(a i ); B(b i ); i = 1; 2gg 6= 0 x+a 1 b 1 =a 2 b 2 d r. Buradan i = 1; 2 için A(a i ) = B(b i ) = P (0) d r. Böylece i = 1; 2 olmak üzere A(a i ) = B(b i ) = P (0) için I (a i ) = 1 ve J (b i ) = 1 dir. Buradan i = 1; 2 için a i 2 I ve b i 2 J olmak üzere x + a 1 b 1 = a 2 b 2 2 IJ P o d r. Bu ise P (x) = P (0) demektir. Böylece 8x 2 S için (A k B)(x) P (x) dir. P bir asal fuzzy k-ideal ve A; B fuzzy idealler olduklar ndan; A k B P için A P ya da B P dir. A P olsun. Bu durumda P (0) I P d r. I P o oldu¼gunu gösterelim. Kabul edelim ki I * P o olsun. O halde a =2 P o olacak biçimde a 2 I vard r. Yani P (a) 6= P (0) d r. Böylece P (0) = P (0:a) > P (a) d r. O halde A(a) = P (0) I (a) = P (0) > P (a) d r. Bu ise A P olmas ile çelişkidir. Böylece I P o d r. Benzer şekilde J P o oldu¼gu 39

46 gösterilebilir. Teorem P; S yar halkas n n bir fuzzy alt kümesi olsun. P; S yar halkas n n bir asal fuzzy k-idealidir () (i) P o = fx 2 S : P (x) = P (0)g; S yar halkas n n bir asal k-idealidir (ii) Im P = fp (x) : x 2 Sg yaln zca iki elemandan oluşmaktad (iii) P (0) = 1 şartlar sa¼glan r (Ghosh 1998). Örnek N 0 do¼gal say lar yar halkas n n üç tane fuzzy alt kümesi, 8n 2 N 0 için 8 >< P (n) = >: 1 ; n çift say veya s f r 2 1 ; di¼ger haller 4 8 < 3 ; n çift say veya s f r A(n) = 4 : 0; di¼ger haller 8 < B(n) = : 1 ; n 3 ün kat 3 0; di¼ger haller şeklinde tan mlans n. Bu durumda P; N 0 yar halkas n n bir asal fuzzy k-idealidir. Dolay s yla Teorem den P o = fn 2 S : P (n) = P (0)g = 2N 0 bir k-idealdir. Üstelik P o asal k-idealdir ve Im P = f 1 2 ; 1 g yaln zca iki de¼gere sahiptir. Dolay s yla 4 Teorem deki (i) ve (ii) şartlar sa¼glan r. Kabul edelim ki P; (iii) şart n sa¼gla- 40

47 mas n. Bu durumda A k B P iken A(2) = 3 4 > P (2) = 1 2 yani A * P ve B(3) = 1 3 > P (3) = 1 yani B * P elde edilir. 4 Bu ise P nin N 0 yar halkas n n asal fuzzy k-ideali olmas ile çelişir. Dolay s yla (iii) şart sa¼glanmal d r. Bu k s mda özel olarak N do¼gal say lar kümesinin asal fuzzy k-idealleri karakterize edilecektir. Önerme N do¼gal say lar yar halkas 8a 2 N için (a) = fna : n 2 Ng k-ideallerine sahiptir (Sen ve Adhikari 1994). Teorem ; (N; +; :) yar halkas n n bir fuzzy k-ideali olsun. Bu durumda 0 = fna : n 2 Ng olacak biçimde a 2 N vard r (Dutta ve Biswas 1994). Teorem ; 0 = nn 6= (0) (n 2 N) olmak üzere, N yar halkas n n bir fuzzy k-ideali olsun. Bu durumda r; n in farkl pozitif bölenlerinin say s olmak üzere, en çok r tane farkl de¼ger al r. Ispat: d = ebob(a; n), a pozitif bir tamsay ve a 6= 0 olsun. Bu durumda ebob tan m ndan ns = ar + d veya ar = ns + d olacak biçimde 9s; r 2 N vard r. 41

48 E¼ger ns = ar + d ise, (ar + d) = (ns) (n) = (0) (ar) ve, N yar halkas n n bir fuzzy k-ideali oldu¼gundan (d) minf(ar + d); (ar)g = (ar) (a) d r. E¼ger ar = ns + d ise, (ns + d) = (ar) (a) ve, N yar halkas n n bir fuzzy k-ideali oldu¼gundan (ns) (n) = (0) (a) d r. 42

49 Dolay s yla (d) minf(ns + d); (ns)g (a) d r. Böylece her iki durumda da (d) (a) d r. d, a n n bir böleni oldu¼gundan a = dt olacak biçimde 9t 2 N vard r. Buradan (a) = (dt) (d) d r. Böylece herhangi a negatif olmayan tam say s için n in bir d böleninin olmas, (a) = (d) olmas ile ifade edilir. E¼ger a = 0 ise, 0 = nn oldu¼gundan (a) = (0) = (n) dir. Lemma N de (p) ideali asal k-idealdir () p asal say d r (Dutta ve Biswas 1994). Teorem ; N yar halkas n n 0 6= (0) özelli¼gine sahip bir asal fuzzy k-ideali olsun. Bu durumda iki farkl de¼gere sahiptir. Karş t olarak ; p j n oldu¼gunda (n) = 1 ve p - n oldu¼gunda (n) = olacak biçimde N yar halkas n n bir fuzzy alt kümesi ise ; N nin, 0 6= (0) özelli¼gine sahip bir asal fuzzy k-idealidir (Burada p sabit bir asal say ve 1 > d r.). Ispat: ): ; 0 = pn = fpa : a 2 Ng = (p) 6= (0) ile birlikte N yar halkas n n bir asal fuzzy k-ideali olsun. Teorem den dolay 0 ; N in asal k-idealidir. Lemma 43

50 3.5.1 den dolay p asal say d r. p iki farkl bölene sahip oldu¼gundan Teorem den dolay en çok 2 de¼gere sahiptir. (: ; N nin verilen koşulu sa¼glayan bir fuzzy alt kümesi ve x; y 2 N olsun. E¼ger (x) = veya (y) = ise (x + y) minf(x); (y)g dir. E¼ger (x) = 1 ve (y) = 1 ise p j x ve p j y dir. Böylece p j x+y dir. O halde 1 = (x+y) = minf(x); (y)g d r. Buradan (x + y) minf(x); (y)g koşulu sa¼glan r.. E¼ger (x) = ise, (xy) (x) dir. E¼ger (x) = 1 ise p j x dir. Bu durumda p j xy oldu¼gundan (xy) = 1 = (x) dir. Buradan (xy) (x) koşulu sa¼glan r. O halde ; N nin bir fuzzy idealidir. Şimdi fuzzy idealinin fuzzy k-ideal olmas için (x) minf(x + y); (y)g şart n n sa¼gland ¼g n gösterelim. E¼ger (x + y) = veya (y) = ise istenilen elde edilir. (x + y) = 1 ve (y) = 1 olsun. p j x + y ve p j y iken p j x oldu¼gundan (x) = 1 dir. Buradan fuzzy k-ideal olma şart n n da sa¼gland ¼g görülür. Şimdi ; N nin fuzzy k-ideali oldu¼gundan Teorem den dolay 0 ; N nin k- idealidir. x 2 0, (x) = (0) = 1, p j x, x = pn, 9n 2 N, x 2 pn dir. Buradan 0 = pn 6= (0) d r. p sabit bir asal say oldu¼gundan Lemma den dolay 0 ; N in asal k-idealidir. 44

51 ; iki farkl de¼gere sahip oldu¼gundan, ; N yar halkas üzerinde bir sabit fonksiyon de¼gildir. 1 ve 2 iki ideal olmak üzere 1 k 2 iken 1 * ve 2 * olacak biçimde N yar halkas n n fuzzy k-idealleri olsunlar. O halde i = 1; 2 için 1 (a i ) (a i ) ve 2 (b i ) (bi) olacak biçimde 9a i ; b i 2 N vard r. Buradan 1 (a i ) > (a i ) ve 2 (b i ) > (b i ) dir. Bu durumda i = 1; 2 için (a i ) = (b i ) = d r. Bu ise i = 1; 2 için a i ; b i =2 0 oldu¼gunu gösterir. 0 asal k-ideal oldu¼gundan i = 1; 2 için a i b i =2 0 d r. Böylece i = 1; 2 için (a i b i ) = d r. Dolay s yla i = 1; 2 için ( 1 k 2 )(a i b i ) (a i b i ) = d r. Fakat i = 1; 2 için ( 1 k 2 )(a i b i ) minf 1 (a i ); 2 (b i )g > d r. Bu ise ( 1 k 2 )(a i b i ) (a i b i ) = olmas ile çelişkidir. Böylece bir asal fuzzy k-idealdir. 45

52 4. HALKALARDA FUZZY IDEALLER ÜZER INE Bu bölümde halkalarda fuzzy ideallik, -Öklidyenlik, asal fuzzy ideallik kavramlar verilerek aralar ndaki özellikler incelenmiştir. 4.1 Halkarda Fuzzy Idealler Bu k s mda, halkalarda fuzzy ideallik kavram verilerek özellikleri araşt r lm şt r. Tan m H bir halka ve A H olsun. 8x; y 2 A ve r 2 H için (i) x y 2 A (ii) rx 2 A (veya sa¼g için xr 2 A) ise A ya, H halkas n n sol (veya sa¼g) ideali denir. E¼ger A, H halkas n n hem sol hem sa¼g ideali ise A ya iki tara ideal veya k saca H halkas n n ideali denir. Tan m A; H halkas n n bir fuzzy alt kümesi olsun. 8x; y 2 H için (i) A(x y) minfa(x); A(y)g (ii) A(xy) A(y)(veya sa¼g için A(xy) A(x)) ise A ya, H halkas n n bir fuzzy sol (sa¼g) ideali denir. 46

53 E¼ger A, H halkas n n hem fuzzy sol hem de fuzzy sa¼g ideali ise A ya, H halkas n n fuzzy ideali denir. Bu durumda A aşa¼g daki şartlar sa¼glar: (i) A(x y) minfa(x); A(y)g (ii) A(xy) maxfa(x); A(y)g Lemma A; H halkas n n bir fuzzy ideali olsun. 8x 2 H için, (i) A( x) = A(x) (ii) A(0) A(x) dir (Koç ve Balkanay 2004). Önerme A; bir H halkas n n bir fuzzy ideali olsun. 8x; y 2 H için A(x y) = A(0) ) A(x) = A(y) d r. Ispat: A(x) = A(x y ( y)) minfa(x y); A( y)g = minfa(0); A(y)g = A(y) 47