ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ FONKSİYON DİZİLERİNİN İSTATİSTİKSEL YAKINSAKLIĞI. Özge ŞEN MATEMATİK ANABİLİM DALI

Transkript

1 ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ FONKSİYON DİZİLERİNİN İSTATİSTİKSEL YAKINSAKLIĞI Özge ŞEN MATEMATİK ANABİLİM DALI ANKARA 2007 Her Haı Salıdır

2 ÖZET Yüse Lisans Tezi FONKSİYON DİZİLERİNİN İSTATİSTİKSEL YAKINSAKLIĞI Özge ŞEN Anara Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Matemati Anabilim Dalı Danışman: Prof. Dr. Cihan ORHAN Bu tez dört bölümden oluşmatadır. İl bölüm giriş ısmına ayrılmıştır. İinci bölümde sırasıyla fonsiyon dizilerinin düzgün yaınsalığı ve yaınsalığı oruyan fonsiyon dizileri avramlarına ilişin bazı bilinen sonuçlar hatırlatılmıştır. Üçüncü bölümde fonsiyon dizileri için istatistisel anlamda notasal ve düzgün yaınsalı, µ-istatistisel ve µ-yoğunluta yaınsalı avramları verilmiş ve lasi analizde iyi bilinen ve iinci bölümde verdiğimiz bazı temel sonuçların istatistisel benzerleri elde edilmiştir. Son bölümde ise I-yaınsalı avramı verilip fonsiyon dizilerinin I-yaınsalığı incelenmiştir. 2007, 36 sayfa Anahtar Kelimeler: Notasal ve düzgün yaınsalı, yoğunlu, istatistisel yaınsalı, µ-istatistisel yaınsalı, µ-yoğunluta yaınsalı, ideal yaınsalı. i

3 ABSTRACT Master Thesis STATISTICAL CONVERGENCE OF FUNCTION SEQUENCES Özge ŞEN Anara University Graduate School of Natural and Applied Sciences Department of Mathematics Supervisor: Prof. Dr. Cihan ORHAN This thesis consists of four chapters.the first chapter is devoted to the introduction. In chapter two, we study the uniform convergence of function sequences as well as the convergence preserving function sequences. In chapter three, we consider the statistically and µ-statistically pointwise convergent and uniformly convergent function sequences. We also give some results analogues to those given in Analysis. In the final chapter, we recall I-convergence and examine the I-convergence of function sequences. 2007, 36 pages Key Words: Pointwise convergence, uniformly convergence, density, statistical convergence, µ-statistical convergence, convergence in µ-density, ideal convergence. ii

4 TEŞEKKÜR Bu çalışma onusunu bana veren ve araştırmalarımın her aşamasında en yaın ilgi ve önerileriyle beni yönlendiren danışman hocam, Sayın Prof. Dr. Cihan ORHAN (Anara Üniversitesi Fen Faültesi) a en içten saygılarımla teşeürlerimi sunarım. Ayrıca, Sayın Arş. Gör. Özlem GİRGİN ATLIHAN ile her zaman yanımda olan ve desteğini hiç esirgemeyen canım aileme teşeür ederim. Özge ŞEN Anara, Temmuz 2007 iii

5 İÇİNDEKİLER ÖZET..... ABSTRACT TEŞEKKÜR.. SİMGELER DİZİNİ. i ii iii v 1. GİRİŞ TEMEL KAVRAMLAR Fonsiyon Dizileri ve Düzgün Yaınsalı Yaınsalığı Koruyan Fonsiyon Dizileri 7 3. İSTATİSTİKSEL YAKINSAK FONKSİYON DİZİLERİ İstatistisel Yaınsalı İstatistisel Cauchy Dizisi μ- İstatistisel ve μ-yoğunluta Yaınsalı μ- İstatistisel ve μ-yoğunluta Yaınsa Fonsiyon Dizileri μ- İstatistisel Yaınsalığı Koruyan Fonsiyon Dizileri I-YAKINSAK FONKSİYON DİZİLERİ I-Yaınsalı I-Yaınsalı Fonsiyon Dizileri.. 31 KAYNAKLAR ÖZGEÇMİŞ.. 36 iv

6 Anahtar Kelimeler: Banach örgüleri, s ra ya nsal, s ra süreli operatör, operatör normu, s ra s n rl norm. i

7 Key Words: : Banach lattices, order convergence, order continuous operators, operator norm, order-bounded norm. ii

8 ÖNSÖZ iii

9 IÇ INDEK ILER iv

10 S IMGELER D IZ IN I N R jaj A c c c 0 st (A) h:h: A B(D) B(D) C 1 A 4 B P (N) B(x; ) Do¼gal Say lar Kümesi Reel Say lar Kümesi A Kümesinin Eleman Say s A Kümesinin Tümleyeni Ya nsa Diziler Uzay S f ra Ya nsa Diziler Uzay Istatistisel Ya nsa Diziler Uzay A Kümesinin Do¼gal Yo¼gunlu¼gu Hemen Her Için A Kümesinin Karateristi Fonsiyonu D Üzerindei S n rl Fonsiyonlar n Uzay B(D) Uzay n n Al ş lm ş Supremum Normu Cesáro Matrisi A ve B Kümelerinin Simetri Far Do¼gal Say lar n Kuvvet Kümesi Merezi x; Yar çap Olan Aç Yuvar v

11 1. G IR IŞ Il olara 1951 y l nda Steinhaus taraf ndan Polonya da yap lan bir onferansta tan t lan ve yine ayn y l Fast taraf ndan geliştirilen Istatistisel Ya nsal avram matemati¼gin bir ço alan ile olan ilişisi nedeniyle uzun süredir bir ço matematiçinin ilgilendi¼gi önemli bir onu haline gelmiştir. Connor 1990 ve 1992 y llar ndai çal şmalar nda yo¼gunlu avram yerine sonlu toplamsal bir üme fonsiyonunu ullanara istatistisel ya nsal ¼g daha da genelleştirmiştir. Bu yüse lisans tezinde, reel say lar n bir alt ümesi üzerinde tan ml, reel de¼gerli fonsiyon dizileri için istatistisel, istatistisel ve yo¼gunluta ya nsal tan mlar n ullanara Analizde iyi bilinen baz lasi sonuçlar n istatistisel benzerlerini elde edece¼giz. Bu sayede bilinen baz sonuçlar n daha zay f oşullar alt nda da gerçelenebilece¼gini gösterece¼giz. Son olara fonsiyon dizilerinin I-ya nsal ¼g n inceleyece¼giz. 1

12 2. TEMEL KAVRAMLAR Bu bölümde fonsiyon dizilerini, özellile fonsiyon dizilerinin düzgün ya nsal ¼g na ilişin özellilerini inceleyece¼giz. Ayr ca ya nsal ¼g oruyan fonsiyon dizilerinden bahsedece¼giz. 2.1 Fonsiyon dizileri ve düzgün ya nsal Bu s m düzgün ya nsa fonsiyon dizilerine ayr lm şt r. Tan m ümesi olsun. A R ve F (A), A üzerinde tan ml reel de¼gerli fonsiyonlar n s : N! F (A) şelinde tan mlanan s fonsiyonuna fonsiyon dizisi ad verilir (Rudin 1953) : Tan m (f n ) A R üzerinde tan ml fonsiyonlar n bir dizisi olsun. (f n ) dizisinin f fonsiyonuna A üzerinde notasal ya nsa olmas için gere ve yeter oşul her " > 0 ve herbir x 2 A verildi¼ginde her n n o için j f n (x) f(x) j< " olaca biçimde en az bir n o say s n n var olmas d r (Rudin 1953) : Tan m (f n ) A R üzerinde tan ml fonsiyonlar n bir dizisi olsun. (f n ) dizisinin f fonsiyonuna A üzerinde düzgün ya nsa olmas için gere ve yeter oşul her " > 0 verildi¼ginde her n n o ve her bir x 2 A için j f n (x) f(x) j< " olaca biçimde en az bir n o say s n n var olmas d r (Rudin 1953) : Bu tan mdan aşa¼g dai sonucu olayca elde edebiliriz. Teorem f n ve f fonsiyonlar A R üzerinde süreli olsunlar. (f n ) dizisinin f fonsiyonuna A üzerinde düzgün ya nsa olmas için gere ve yeter şart 2

13 c n = sup j f n (x) x2a f(x) j eşitli¼gi ile tan mlanan (c n ) dizisinin bir s f r dizisi olmas d r (Rudin 1953) : Şimdi ya nsal ¼g n düzgün olmas halinde limit fonsiyonunun ne gibi özellilere sahip oldu¼gunu görelim. Teorem f n fonsiyonlar A ümesi üzerinde süreli fonsiyonlar olsunlar. (f n ) dizisi f fonsiyonuna A üzerinde düzgün ya nsa ise f fonsiyonu A üzerinde sürelidir (Rudin 1953) : Ispat: (f n ) dizisi f fonsiyonuna A üzerinde düzgün ya nsa oldu¼gundan her " > 0 için öyle bir n o do¼gal say s bulunabilir i her n n o ve her x 2 A için j f n (x) f(x) j< " 3 sa¼glan r. x 0 2 A olsun f n0 fonsiyonu x 0 da süreli oldu¼gundan öyle bir > 0 say s vard ri jx x 0 j < şart n sa¼glayan her x 2 A için j f n0 (x) f n0 (x 0 ) j< " 3 sa¼glan r. f(x) f(x 0 ) = f(x) f n0 (x) + f n0 (x) f n0 (x 0 ) + f n0 (x 0 ) f(x 0 ) oldu¼gundan, A n n jx x 0 j < şart n sa¼glayan x elemanlar için jf(x) f(x 0 )j jf(x) f n0 (x)j + jf n0 (x) f n0 (x 0 )j + jf n0 (x 0 ) f(x 0 )j " 3 + " 3 + " 3 = " 3

14 bulunur. Bu ise f nin x 0 da süreli oldu¼gunu gösterir. x 0 ey seçildi¼ginden f fonsiyonu A üzerinde sürelidir. O halde Teorem nin hipotezleri alt nda, yaz labilir. n o lim lim f n (x) x!x o n!1 = lim lim f n (x) n!1 x!x 0 Bu teoremden şu sonucu ç arabiliriz: Terimleri süreli fonsiyonlar olan (f n ) dizisi f fonsiyonuna notasal ya nsa oldu- ¼gunda f limit fonsiyonu süreli de¼gil ise (f n ) dizisi f fonsiyonuna düzgün ya nsa de¼gildir. Aşa¼g dai sonuç yuar dai teoremin bir arş t olara düşünülebilir. Teorem (Dini T eoremi) (f n ) reel say lar n ompat bir D altümesi üzerinde süreli ve monoton fonsiyonlar n bir dizisi olsun. Ayr ca (f n ) dizisinin D üzerinde süreli bir f fonsiyonuna notasal ya nsa oldu¼gunu abul edelim. Bu durumda D üzerinde (f n ) ; f fonsiyonuna düzgün ya nsat r (Rudin 1953) : Ispat: (f n ) monoton azalan olsun ve g n (x) = f n (x) f(x) yazal m. Hipotezden g n fonsiyonu süreli bir fonsiyondur. Ayr ca (g n ) dizisi s f r fonsiyonuna D üzerinde notasal ya nsat r. Şimdi gösterelim i (g n ) dizisi s f r fonsiyonuna D üzerinde düzgün ya nsat r. g n! 0 (D üzerinde) oldu¼gundan her " > 0 ve her x 2 D için en az bir n x say s 4

15 vard r öyle i her n n x için 0 g n (x) " 2 sa¼glan r. g nx ; x 2 D notas nda süreli oldu¼gundan her " > 0 için x eleman n içeren en az bir J (x) aç ümesi vard r öyle i t 2 J (x) için jg nx (t) g nx (x)j < " 2 sa¼glan r. Bu durumda monotonlutan dolay her t 2 J (x) ve n n x için 0 g n (t) g nx (t) = g nx (t) g nx (x) + g nx (x) jg nx (t) g nx (x)j + jg nx (x)j " 2 + " 2 = " yani; 0 g n (t) " elde edilir. D [ x2d J(x) olup D ümesi ompat oldu¼gundan, Heine-Borel teoremi uyar nca D ümesi, D J(x 1 ) [ J(x 2 ) [ ::: [ J(x m ) olaca şeilde sonlu bir aç örtüye sahiptir. N = mas fn x1 ; n x2 ; :::; n xm g seçerse her t 2 D ve n N olaca şeilde en az bir N say s bulunur öylei 0 g n (t) " bulunur. O halde D üzerinde g n 0 elde edilir. Böylece ispat tamamlan r. Bazen limit fonsiyonunu ullanmadan düzgün ya nsal ¼ga den bir ritere ihtiyaç duyulur. Bu riteri aşa¼g dai tan m ve teorem ile ifade edebiliriz. Tan m (f n ) bir A ümesi üzerinde tan ml fonsiyonlar n bir dizisi olsun. Her " > 0 için, her m; n n 0 oldu¼gunda her x 2 A için j f m (x) f n (x) j< " olaca şeilde bir n 0 2 N say s mevcut ise bu durumda (f n ) bir Düzgün Cauchy dizisidir denir (Rudin 1953) : Teorem (f n ) bir A ümesi üzerinde tan ml fonsiyonlar n bir dizisi olsun. (f n ) dizisinin A üzerinde düzgün Cauchy dizisi olmas için gere ve yeter oşul (f n ) dizisinin A üzerinde düzgün ya nsa olmas d r (Rudin 1953) : 5

16 Ispat: (f n ) dizisi f fonsiyonuna A üzerinde düzgün ya nsa olsun. Bu durumda her " > 0 verildi¼ginde öyle bir n o 2 N say s bulunabilir i her n n o ve her x 2 A için j f n (x) f(x) j< " 2 olur. E¼ger m; n n 0 seçilirse her x 2 A için j f m (x) f n (x) j = j f m (x) f(x) + f(x) f n (x) j jf m (x) f(x)j + jf n (x) f(x)j < " sa¼glan r. Bu da (f n ) dizisinin düzgün Cauchy dizisi oldu¼gunu gösterir. Karş t olara (f n ) dizisi bir düzgün Cauchy dizisi olsun. Bu durumda reel terimli (f n (x)) dizisi bir Cauchy dizisidir. R dei her Cauchy dizisi ya nsa oldu¼gundan (f n (x)) dizisi bir f(x) say s na ya nsar. Dolay s yla A üzerinde f(x) = lim f n (x) eşitli¼gi yard m yla bir f fonsiyonu tan mlanm ş olur. " > 0 verilsin. (f n ) düzgün Cauchy dizisi oldu¼gundan öyle bir n o 2 N say s bulunabilir i her m; n n 0 ve her x 2 A için j f m (x) f n (x) j< " olur. Böylece her x 2 A ve her m > n 0 için j f m (x) f(x) j= lim n!1 j f m (x) f n (x) j " gerçelenir. Bu da (f n ) dizisinin f fonsiyonuna A üzerinde düzgün ya nsa oldu¼gunu gösterir. Böylece ispat tamamlan r. Şimdi verece¼gimiz teorem hangi hallerde integral ile limit alma işlemlerinin s ras n de¼giştirebilece¼gimizi vermetedir. Teorem (f n ) ; [a; b] aral ¼g üzerinde reel de¼gerli ve s n rl fonsiyonlar n bir dizisi olsun. f n fonsiyonlar [a; b] üzerinde integrallenebilen fonsiyonlar ve (f n ) dizisi f fonsiyonuna düzgün ya nsa ise f fonsiyonu [a; b] üzerinde integrallenebilir- 6

17 dir ve Z b lim n!1 a ile gösterilir (Rudin 1953) : f n (x)dx = Z b a lim f n(x)dx = n!1 Z b a f(x)dx Teorem Bir s n rl I aral ¼g üzerinde tan ml f n fonsiyonlar bu aral üzerinde süreli türevlere sahip olsun. (f n ) dizisi f fonsiyonuna notasal ya nsa ve 0 türev dizisi bir g fonsiyonuna düzgün ya nsa ise I üzerinde g = f dür. f 0 n Yani, gerçelenir (Rudin 1953) : lim f 0 0 n (x) = lim f n (x) n!1 n!1 2.2 Ya nsal ¼g Koruyan Fonsiyon Dizileri Bu s mda ya nsal ¼g oruyan fonsiyon dizilerini inceleyece¼giz. R reel say lar ümesini gösterme üzere S, R nin apal bir alt ümesi ve f : S! R ( = 1; 2; 3:::) olma üzere F = (f ) bir fonsiyon dizisi olsun. Tan m Terimleri S den al nan ya nsa her x = (t ) dizisi için F (x) dizisi de ya nsa oluyor ise F dizisine S üzerinde ya nsal ¼g oruyan veya onservatif fonsiyon dizisi denir (Kol 1999) : E¼ger onservatif F dizisi, ayn zamanda S üzerindei ya nsa dizilerin limit de¼gerlerini de oruyor ise bu durumda S üzerinde regüler fonsiyon dizisi ad n al r. Örne¼gin ; f (t) = t +1 fonsiyon dizisi onservatif ve regülerdir. Faat g (t) = e t fonsiyon dizisi [0; 2] apal aral ¼g nda onservatif de¼gildir. Teorem F = (f ), [a; b] R apal aral ¼g nda tan ml fonsiyonlar n bir dizisi olsun. Aşa¼g dai ii ifade birbirine dentir. 7

18 (i) F ; [a; b] üzerinde onservatiftir. (ii) F ; [a; b] üzerinde süreli bir fonsiyona düzgün ya nsat r (Kol 1999) : Ispat : (i) =) (ii) : F, [a; b] üzerinde onservatif olsun. Bu durumda her t 2 [a; b] için lim f (t) = f (t) olaca şeilde bir f fonsiyonu vard r. O halde F, f fonsiyonuna [a; b] üzerinde notasal ya nsat r. f fonsiyonunun [a; b] üzerinde süreli oldu¼gunu gösterme istiyoruz. Bunun için f fonsiyonunun bir t 0 2 [a; b] notas nda süreli olmad ¼g n abul edelim. Bu durumda [a; b] aral ¼g nda limu = t 0 oldu¼gunda lim f( u ) 6= f(t 0 ) olaca biçimde bir (u ) dizisi vard r. [a; b] üzerinde F! f oldu¼gundan, öşegenleştirme yöntemini (Bartle 1964) ullanara bir (n ) artan indis dizisi inşa edebiliriz öyle i, (m ) = N n (n ) sonsuz oma üzere gerçelenir. Şimdi bir (t i ) dizisini 8 < t o, i = m t i = : u, i = n lim [f n (u ) f (u )] = 0 ile tan mlayal m. O halde lim i t i = t 0 gerçelenir. Faat lim f m (t m ) = lim f m (t 0 ) = f (t 0 ) ve lim f n (t n ) = lim [f n (u ) f (u )] + lim f (u ) = lim f (u ) 6= f (t 0 ) olmas F nin onservatif olmas ile çelişir. O halde f sürelidir. 8

19 Şimdi [a; b] üzerinde F f oldu¼gunu yani ya nsal ¼g n düzgün oldu¼gunu gösterelim. Kabul edelimi F, f fonsiyonuna [a; b] üzerinde düzgün ya nsa olmas n. Bu durumda N n (n ) sonsuz oma üzere en az bir (n ) indis dizisi için jf n (t ) f (t )j 2" 0 ( 2 N) olaca şeilde bir " 0 > 0 ve t 2 [a; b] vard r. Di¼ger yandan x = (t ) dizisi s n rl oldu¼gundan bir (t i ) ya nsa alt dizisine sahiptir. Bu limit de¼gerine L diyelim. limt i = L ise f süreli oldu¼gundan limf (t i ) = f (L) gerçelenir. Böylece i i 0 i için jf (t i ) f (L)j < " 0 olaca şeilde bir i 0 indisi vard r. i i 0 için, f ni (t i ) f (L) f ni (t i ) f (t i ) jf (t i ) f (L)j (1) 2" 0 " 0 = " 0 elde ederiz. Şimdi bir z = (u j ) dizisini 8 < t i, j = n i u j = : L, j 6= n i ile tan mlayal m. O halde lim j u j = L oldu¼gu aç t r. F (z) dizisinin indisleri N n (n i ) de olan altdizileri f (L) de¼gerine ya ns yor, faat f ni u ni = f ni t i alt dizisi (1) den dolay f (L) de¼geine ya nsam yor. Bu ise F nin onservatif olmas ile çelişir. O halde [a; b] üzerinde F dizisi f fonsiyonuna düzgün ya nsat r. 9

20 (ii) =) (i) : F ; [a; b] üzerinde süreli bir f fonsiyonuna düzgün ya nsa olsun. (f ) f oldu¼gundan her " > 0 için öyle bir n 1 = n 1 (") vard r i her n 1 ve her t 2 [a; b] için, jf (t) f (t)j < " 2 sa¼glan r. Şimdi x = (t ), [a; b] aral ¼g nda ya nsa bir dizi olsun. Her " > 0 için lim t = t 0 ise f süreli oldu¼gundan lim f(t ) = f(t 0 ) gerçelenir. O halde her " > 0 için bir n 2 = n 2 (") vard r öyle i n 2 için, jf (t ) f (t 0 )j < " 2 sa¼glan r. Böylece n 0 = mas fn 1 ; n 2 g derse her n 0 için jf (t ) f (t 0 )j jf (t ) f (t )j + jf (t ) f (t 0 )j " gerçelenir. Bu ise lim f (t ) = f (t 0 ) oldu¼gunu göterir. Bu da ispat tamamlar. Teorem taraf ndan apsanan aşa¼g dai teorem, lasi analizde s ça ulland ¼g m z Kapal bir aral ta süreli bir fonsiyon dizisinin düzgün ya nsa olmas halinde limit fonsiyonu da bu apal aral ta sürelidir (Rudin 1953) teoreminin tamamlay c s olara da düşünülebilir. Teorem F = (f ) foniyon dizisi [a; b] apal aral ¼g nda (veya R dei her apal aral ta) f fonsiyonuna düzgün ya nsa olsun. f fonsiyonunun [a; b] de (veya R de) süreli olmas için gere ve yeter şart F dizisinin [a; b] de (veya R de) onservatif olmas d r (Kol 1999) : Sonuç F = (f ), R de tan ml fonsiyonlar n bir dizisi olsun. O halde F fonsiyon dizisinin ; R üzerinde onservatif olmas için gere ve yeter şart F fonsiyon 10

21 dizisinin [a; b] R üzerinde süreli bir fonsiyona düzgün ya nsa olmas d r (Kol 1999) : Şimdi fonsiyon dizilerinin regülerli¼gini inceleyelim. F ; [a; b] üzerinde regüler ise her t 2 [a; b] için limf (t) = t olur. Teorem de (ii) =) (i) nin ispat nda f (t) = t al rsa aşa¼g dai sonuçlar elde ederiz. Teorem F = (f ), [a; b] R apal aral ¼g nda tan ml fonsiyonlar n bir dizisi olsun. O halde F foniyon dizisinin [a; b] üzerinde regüler olmas için gere ve yeter şart F dizisinin [a; b] üzerinde f (t) = t fonsiyonuna düzgün ya nsa olmas d r (Kol 1999) : Sonuç F = (f ), R de tan ml fonsiyonlar n bir dizisi olsun. O halde F foniyon dizisinin R üzerinde regüler olmas için gere ve yeter şart F fonsiyon dizisinin [a; b] R üzerinde f (t) = t fonsiyonuna düzgün ya nsa olmas d r (Kol 1999) : Aşa¼g dai verilen örnete olayca görülüyor i Teorem ve Teorem de her bir f yaz lamaz. süreli olmayabilir ve Sonuç in iinci sm nda [a; b] yerine tüm R 8 < 1, t = Örne f (t) = : 0, t 6= fonsiyon dizisinde her bir f süresiz olup her [a; b] apal aral ¼g için f (t) 0 oldu¼gu olayca görülebilir. O halde F = (f ) onservatiftir faat regüler de¼gildir. 11

22 3. ISTAT IST IKSEL YAKINSAK FONKS IYON D IZ ILER I Bu bölümde önce istatistisel ya nsal ¼g ve sonra istatistisel ya nsa fonsiyon dizilerini inceleyece¼giz. istatistisel ya nsal ¼g tan t p 3.1 Istatistisel Ya nsal N do¼gal say lar ümesini gösterme üzere bir A N altümesi verilsin ve f n : 2 Ag ümesi A n ile, A ümesinin eleman say s da jaj ile gösterilsin. Tan m Bir A N altümesi için lim n 1 n ja nj limiti mevcut ise bu limit de¼gerine A ümesinin yo¼gunlu¼gu (veya\dogal yogunlugu") denir. (A) ile gösterilir. Ayr ca (a n ) pozitif tamsay lar n bir dizisi ve A = fa n : n 2 Ng olma üzere (A) mevcut ise (A) = lim n n a n ile verilir (Niven and Zuc er man 1980) : Örne¼gin; (N) = 1; (fm 2 : m 2 Ng) = 0; (fm 2 : m 2 Ng) = 1 2 ; (f2m + 1 : m 2 Ng) = 1 2 oldu¼gu olayl la görülebilir. A asal say lar n oluşturdu¼gu bir üme olsun; n den üçü yada eşit olan asal say lar n n say s n ln n den üçü veya eşit olaca¼g ndan 1 (A) = lim jf n : asalgj lim 1 n = 0 olup (A) = 0 elde edilir. Hatta n n n n ln n do¼gal say lar n her bir sonlu alt ümesi de s f r yo¼gunluludur. Ayr ca (A [ A c ) = 1 gerçelenir. Şimdi istatistisel ya nsal tan m n verelim. Tan m x = (x ) reel yada omples terimli bir dizi olsun. E¼ger her " > 0 için (f : jx Lj "g) = 0 olaca şeilde bir L say s varsa, bu durumda x dizisi L say s na istatistisel ya nsat r denir ve x! L (stat) veya st limx = L şelinde gösterilir (Salat 1980) : Istatistisel ya nsal tan m ndan da anlaş laca¼g üzere, e¼ger x dizisi bir L say s na 12

23 istatistisel ya nsa ise, bu durumda L say s n n herhangi bir " > 0 omşulu¼gunda dizinin sonsuz çoluta terimi bulunuren bu onşulu¼gun d ş nda da, indis ümesinin yo¼gunlu¼gu s f r olma oşuluyla, yine diziye ait sonsuz çoluta terim bulunabilir. Bu durum istatistisel ya nsal ¼g n bilinen anlamdai ya nsal tan daha genel oldu¼gunu göstermetedir. Dolay s yla ya nsa dizilerin uzay n c ile ve istatistisel ya nsa diziler uzay n da st ile gösterece olursa, bu durumda c st oldu¼gu olayca görülür. Aşa¼g dai örne bu apsaman n arş t n n do¼gru olamayaca¼g n göstermetedir. Örne x = (x ) dizisinin genel terimi 8 < 1 ; = m 2 x = : 0 ; 6= m 2 şelinde tan mlans n. Bu durumda tan m uyar nca st lim x = 0 olur. Faat buradai x dizisi lasi anlamda ya nsa de¼gildir. Hatta ya nsa her dizi s n rl d r faat istatistisel ya nsa dizilerin s n rl olmas geremez. Örne x = (x ) dizisinin genel terimi 8 < p ; = m 2 x = : 0 ; 6= m 2 şelinde tan mlans n. Bu durumda yine st lim x = 0 olmas na ra¼gmen x dizisi üstten s n rs zd r. Teorem Bir x = (x ) dizisinin bir L say s na istatistisel ya nsa olmas için gere ve yeter oşul fn ; 2 Ng = 1 ve lim x n = L olaca şeilde en az bir (n ) indis dizisinin mevcut olmas d r (Salat 1980, Fridy 1985, Connor 1988) : 13

24 O halde Teorem den st limx = L olmas için gere ve yeter oşul her " > 0 için (K) = 1 olaca şeilde öyle bir K N altümesi ve n 0 = n 0 (") 2 N say s vard ri n n 0 olaca şeilde her n 2 K için jx Lj < " sa¼glan r. K sacas s f r yo¼gunlulu indis ümesi d ş nda (bir yo¼gunlulu indis ümesi üzerinde) x dizisi L de¼gerine lasi anlamda ya nsa ise bu durumda x dizisi bir L de¼gerine istatistisel ya nsat r. E¼ger ( 2 N : P () geçerli de¼gil) = 0 ise bu durumda P () hemen her için geçerlidir denir ve saca h.h. yaz l r. Dolay s yla yuar dai düşünceleri de ullan rsa şunu yazabiliriz: Bir x = (x ) dizisinin bir L say s na istatistisel ya nsa olmas için gere ve yeter oşul " > 0 verildi¼ginde h.h. için jx Lj < " olmas d r. Teorem Istatistisel ya nsa bir dizinin limiti bir tetir. Ispat: x = (x ) dizisinin L 1 ve L 2 say lar na istatistisel ya nsad ¼g n abul edelim. O halde her " > 0 verildi¼ginde en az bir A N ümesi ve n 0 (") say s bulabiliriz öyle i (A) = 1 ve her > n 0 (") ve 2 A için jx L 1 j < " sa¼glan r. Ayn 2 zamanda bir B N ümesi ve n 1 (") say s vard r öyle i (B) = 1 ve her > n 1 (") ve 2 B için jx L 2 j < " sa¼glan r. n 2 2 (") say s n n 2 (") = mas fn 0 (") ; n 1 (")g al rsa (A \ B) = 1 olma üzere her > n 2 (") ve 2 A \ B için jl 1 L 2 j jl 1 x j + jl 2 x j " 2 + " 2 = " sa¼glan r. Buradan jl 1 L 2 j = 0 bulunur. Böylece L 1 = L 2 olup ispat tamamlan r. 3.2 Istatistisel Cauchy Dizisi Klasi analizde bildi¼gimiz lasi anlamda Cauchy Dizisi avram n n istatistisel 14

25 benzeri de 1985 y l nda Fridy taraf ndan aşa¼g dai gibi tan mlanm şt r. Tan m x = (x ) reel veya omples terimli bir dizi olsun. E¼ger her " > 0 için lim n 1 n jf n : jx x N j "gj = 0 olaca şeilde bir N = N (") say s mevcut ise bu durumda x dizisine Istatistisel Cauchy Dizisi denir (Fridy 1985) : Tan m uyar nca bir x dizisi istatistisel Cauchy dizisi ise bu durumda her " > 0 için h.h. için jx x N j < " gerçelenece biçimde bir N = N (") say s vard r. Böylece istatistisel ya nsal için bir başa araterizasyon aşa¼g dai gibi verilmiştir. Teorem Bir x = (x ) dizisi için aşa¼g dai önermeler dentir. (i) x dizisi istatistisel ya nsat r. (ii) x dizisi istatistisel Cauchy dizisidir. (iii) h.h. için x = y olaca şeilde ya nsa bir y = (y ) dizisi vard r (Fridy 1985) : 3.3 Istatistisel ve Yo¼gunluta Ya nsal Connor 1990 y l ndai çal şmas nda yo¼gunlu avram n ölçü avram ile de¼giştirere istatistisel ya nsal ¼g n bir genişlemesini vermiştir. Burada al nan yo¼gunlu¼gu N uzay n n altümelerinin bir cebiri üzerinde tan ml, sonlu toplamsal bir üme fonsiyonu olup; (i) A sonlu ise (A) = 0 (ii) (N) = 1 15

26 (iii) A B ve (B) = 0 ise (A) = 0 özellilerini gerçeler. Yuar dai şeilde tan ml [0; 1] aral ¼g nda de¼gerler alan bu yo¼gunlu¼guna bundan sonra ölçü ad verilecetir. Faat bu avram n bilinen anlamdai ölçüden farl oldu¼guna diat edilmelidir. Tan m ( yogunluta ya{nsal{) Bir x = (x n ) dizisinin bir L say s na yogunluta ya nsa olmas için gere ve yeter oşul (A) = 1 ve x dizisi L de¼gerine A ümesi boyunca ya nsa olaca biçimde bir A 2 ümesinin mevcut olmas d r ve x! L ( yogunlu) şelinde gösterilir. Burada x dizisinin A ümesi boyunca L de¼gerine ya nsa olmas ; her " > 0 için her 2 A ve > N (") olma üzere jx Lj < " olaca biçimde bir N (") say s n n mevcut olmas d r (Connor1990) : Tan m ( istatistisel ya{nsal{) Bir x = (x n ) dizisinin bir L say s na istatistisel ya{nsa olmas için gere ve yeter şart her " > 0 için (f : jx Lj "g) = 0 olmas d r ve saca st limx = L şelinde gösterilir (Connor1990) : Sonsuz matrisler yard m yla yuar dai özellileri gerçeleyen sonlu toplamsal bir ölçü oluşturma mümündür. Bunu verebilme için önce baz avramlar hat rlatal m. A = (a n ) sonsuz bir matris olsun. E¼ger A matrisi tüm ya nsa dizileri, limitleri oruyara yine ya nsa bir diziye dönüştürüyor ise bu matrise regüler matris denir ve regüler matrisler aşa¼g dai Silverman-Toeplitz teoremi ile araterize edilirler. 16

27 (Silverman gere ve yeter şart T oeplitz T eoremi) : Bir A = (a n ) matrisinin regüler olmas için i: A = sup n 1P ja n j < 1 =1 ii: lim n a n = 0 (her için) iii: lim n 1P (a n ) = 1 =1 oşullar n n sa¼glanmas d r. Şimdi T = (t n ) negatif olmayan regüler bir matris olsun. Her n 2 N ve bir A N P için n (A) = 1 t n A () olma üzere n =1 o = A N : lim n (A) = 0 veya lim n (A) = 1 şelinde al ns n.ayr ca n n P T :! [0; 1] fonsiyonunu T (A) = lim n (A) = lim tn A () olaca şeilde n n tan mlayal m. Bu durumda T ve yuar dai tan mlar n oşullar n sa¼glar. E¼ger T yerine C 1 Cesàro matrisi al n rsa bu durumda istatistisel ya nsal tan m elde edilir. Teorem Bir dizi yogunluta ya nsa ise istatistisel ya nsat r (Connor 1990) : Ispat: x! r( yogunlu) olsun. Bu durumda (A) = 1 ve (x r) A 2 c 0 olaca şeilde bir A 2 ümesi mevcuttur. O halde her " > 0 için f 2 A : jx rj "g ümesi sonludur. Buradan f 2 A : jx rj "g = 0 elde edilir. Ayr ca C = f : jx rj "g = f 2 A : jx rj "g [ f 2 A c : jx rj "g f 2 A : jx rj "g [ A c eşitsizli¼ginden (C) f 2 A : jx rj "g + fa c g (2) 17

28 bulunur. (2) eşitsizli¼ginde sa¼g taraf s f ra eşit oldu¼gundan (C) = 0 bulunur. Buradan " ey oldu¼gundan st lim x = r elde edilir. Bu teoremin arş t her zaman do¼gru de¼gildir. Bu yeter şart n nezaman gerçelenece¼gi aşa¼g dai teorem ile verilmiştir. Teorem yogunluta ya nsal ile istatistisel ya nsal l ¼g n birbirlerine den olmas için, ölçüsü, s f r ölçülü ümeler için toplamsal özelli¼ge sahip olmal d r (Connor 1990) : Tan m fa i g i2n s f r ölçülü ümelerin bir olesiyonu verildi¼ginde herbir i 2 N için ja i B i j < 1; B = S B i 2 ve (B) = 0 oşullar n gerçeleyen bir fb i g i2n olesiyonu mevcut ise bu durumda ölçü fonsiyonuna s f r ölçülü ümeler için toplamsal özelli¼ge sahiptir denir. Burada sembolü simetri far göstermetedir (Connor 1990) : Teorem ölçüsü, s f r ölçülü ümeler için toplamsal özelli¼ge sahip olsun. E¼ger (x r ) ; yogunluta ya{nsa dizilerin say labilir bir olesiyonu ise bu durumda (f (n) : n 2 Ng) = 1 ve her bir r 2 N için limx r n (n) limiti mevcut olaca şeilde bir : N! N dizisi vard r (Connor 1992) : Istatistisel Cauchy dizisi avram ndai benzer düşünce ullan lara aşa¼g dai tan m ve teorem verilmiştir. Tan m Her " > 0 için f : jx x n j "g = 0 olaca şeilde bir n = n (") say s varsa, bu durumda x = (x ) reel terimli dizisine Cauchy dizisi ad verilir (Connor 1992) : Teorem Bir x dizisinin şart Cauchy dizisi olmas d r (Connor 1992) : istatistisel ya nsa olmas için gere ve yeter 18

29 3.4 Istatistisel ve Yo¼gunluta Ya nsa Fonsiyon Dizileri Bu s mda yogunluta ya nsal ve istatistisel ya nsal avramlar n reel say lar n bir D altümesi üzerinde tan ml fonsiyon dizilerine ataraca¼g z. D R ve (f n ); D üzerinde tan ml reel de¼gerli fonsiyonlar n bir dizisi olsun. Tan m ( yogunluta notasal ya{nsal{) (f n ) dizisinin f : D! R fonsiyonuna D üzerinde yo¼gunluta notasal ya nsa olmas için gere ve yeter şart her " > 0 ve her x 2 D için n n 0 ve n 2 K x oldu¼gunda j f n (x) f(x) j< " olaca şeilde (K x ) = 1 özelli¼gine sahip bir K x 2 altümesi ve bir n 0 = n 0 ("; x) 2 K x say s n n mevcut olmas d r ve saca f n! f( yogunlu) ile gösterilir (Duman and Orhan 2001) : Tan m ( yogunluta duzgun ya{nsal{) (f n ) dizisinin f : D! R fonsiyonuna D üzerinde yo¼gunluta düzgün ya nsa olmas için gere ve yeter oşul her " > 0 için n n 0 ve n 2 K oldu¼gunda her x 2 D için j f n (x) f(x) j< " olaca şeilde (K) = 1 özelli¼gine sahip bir K 2 altümesi ve bir n 0 =n 0 (") 2 K say s n n mevcut olmas d r ve saca f n f( yogunlu) şelinde gösterelir (Duman and Orhan 2001) : Tan m ( istatistisel notasal ya{nsal{) (f n ) dizisinin f : D! R fonsiyonuna D üzerinde istatistisel notasal ya nsa olmas için gere ve yeter şart her " > 0 ve her x 2 D için (fn :j f n (x) f(x) j "g) = 0 olmas d r ve saca f n! f( stat) şelinde gösterelir (Duman and Orhan 2001) : 19

30 Tan m ( istatistisel duzgun ya{nsal{) (f n ), D üzerinde tan ml s n rl fonsiyonlar n bir dizisi olsun. E¼ger st lim n f n f B(D) = 0 ise, bu durumda (f n ) dizisi f : D! R fonsiyonuna D üzerinde istatistisel duzgun ya{nsat{r denir (Duman and Orhan 2001) : Bu durumda f n f( stat) yazaca¼g z. Yani; D üzerinde f n f( stat) olmas için gere ve yeter oşul st lim(sup j f n (x) n x2d f(x) j) = 0 olmas d r. Buradai B(D) normu, D üzerindei s n rl fonsiyonlar n uzay olan B(D) üzerindei al ş lm ş supremum normudur. Tan mlardan görüldü¼gü gibi, D üzerinde yo¼gunluta notasal ya nsa her fonsiyon dizisi istatistisel notasal ya nsat r, ayr ca s n rl fonsiyonlar için yo¼gunluta düzgün ya nsa her fonsiyon dizisi de istatistisel düzgün ya nsat r. E¼ger ölçüsü s f r ölçülü ümeler için toplamsal özelli¼ge sahip ise, bu durumda Teorem uyar nca yo¼gunluta düzgün ya nsal ile istatistisel düzgün ya nsal den olacat r. Teorem ile verilen, elemanlar bir D R bölgesinde süreli olan fonsiyonlar dizisinin düzgün ya nsad ¼g limit fonsiyonunun da D üzerinde süreli olmas, lasi analizde iyi bilinen bir sonuçtur. Şimdi aşa¼g da elde edece¼gimiz teorem, bu sonucun yo¼gunlu anlam nda bir genişlemesini vermetedir. Teorem Her bir n için f n fonsiyonlar bir D R üzerinde süreli olsun. E¼ger D üzerinde f n f( yogunlu) ise, bu durumda f fonsiyonu da D üzerinde sürelidir(duman and Orhan 2001) : 20

31 Ispat: D üzerinde f n f( yogunlu) olsun bu durumda her " > 0 için (K) = 1 özelli¼gine sahip bir K 2 altümesi ve bir n 0 = n 0 (") 2 K say s vard r öyle i her bir x 2 D ve n n 0 olaca şeildei her n 2 K için j f n (x) f(x) j < " gerçelenir. 3 Hipotezden her n için f n fonsiyonlar bir D R üzerinde süreli oldu¼gundan f n0 fonsiyonu bir x 0 2 D notas nda süreli olup en az bir > 0 say s mevcuttur, öyle i her bir x 2 D için j x x 0 j< oldu¼gunda j f n0 (x) f n0 (x 0 ) j< " gerçelenir. 3 Şimdi j x x 0 j< oşulunu sa¼glayan D dei tüm x elemanlar için, j f(x) f(x 0 ) j j f(x) f n0 (x) j + j f n0 (x) f n0 (x 0 ) j + j f n0 (x 0 ) f(x 0 ) j < " elde edilir. Burada x 0 2 D ey oldu¼gundan, f fonsiyonu D üzerinde sürelidir i bu da istenilen sonuçtur. Teorem in bir sonucu olara ise aşa¼g daini elde ederiz. Sonuç Her bir n için f n fonsiyonu bir D R altümesi üzerinde süreli ve ölçüsü s f r ölçülü ümeler için toplamsal özelli¼ge sahip olsun. E¼ger D üzerinde f n f( stat) ise, bu durumda f fonsiyonu D üzerinde sürelidir. Aşa¼g dai örne hem Teorem in hem de Sonuç in arş tlar n n her zaman için do¼gru olmayaca¼g n göstermetedir. Örne K 2 altümesi (K) = 1 oşulunu gerçelesin. Her bir n 2 N için f n : [0; 1]! R fonsiyonu 8 < f n (x) = : 1 ; n =2 K ise 2nx ; n 2 K ise 1+n 2 x 2 şelinde tan mlans n. Bu durumda [0; 1] üzerinde f n! f = 0( yogunlu) olur. O halde f n! f = 0( stat) bulunur. Her bir f n ve f fonsiyonlar [0; 1] üzerinde süreli olmalar na ra¼gmen, c n = mas 0x1 j f n(x) 21 f(x) j= 1 ve

32 st lim c n = 1 6= 0 oldu¼gundan Tan m uyar nca (f n ) dizisinin [0; 1] üzerindei istatistisel notasal ya nsal ¼g düzgün olamaz. Analizdei bir di¼ger önemli sonuç olan ve Teorem ile verdi¼gimiz Dini teoreminin istatistisel benzerini şu şeilde elde edebiliriz: Teorem ölçüsü s f r ölçülü ümeler için toplamsal özelli¼ge sahip ve (f n ); reel say lar n ompat bir D altümesi üzerinde süreli ve monoton azalan fonsiyonlar n bir dizisi olsun. Ayr ca D üzerinde f n! f( stat) olaca şeilde süreli bir f fonsiyonu mevcut olsun. Bu durumda D üzerinde f n f( (Duman and Orhan 2001) : stat) gerçelenir Ispat: g n (x) = f n (x) f(x) yazal m. Hipotezden D üzerinde her bir g n fonsiyonu süreli, monoton azaland r ve g n! 0( stat) gerçelenir ayn zamanda ölçüsü s f r ölçülü ümeler için toplamsal özelli¼gine sahip oldu¼gundan g n! 0( yogunlu) yazabiliriz. O halde her " > 0 ve her bir x 2 D için (K x ) = 1 özelli¼gine sahip bir K x 2 altümesi ve bir n x := n("; x) 2 K x say s mevcut, öyle i n n x oşulunu sa¼glayan her n 2 K x için 0 g nx (x) < " gerçelenir. Di¼ger taraftan g nx fonsiyonu x 2 D notas nda süreli oldu¼gundan, her " > 0 2 için x eleman n içeren en az bir J(x) aç ümesi vard r, öyle i J(x) dei tüm t ler için j g nx (t) g nx (x) j< " olur. Şimdi " > 0 say s verilsin. Bu durumda 2 monotonlutan dolay, her t 2 J(x) ve n n x olaca şeildei her n 2 K x için 0 g n (t) g nx (t) = g nx (t) g nx (x) + g nx (x) j g nx (t) g nx (x) j + jg nx (x)j < " elde edilir. D [ x2d J(x) olup D ümesi ompat oldu¼gundan, Heine-Borel teoremi uyar nca D ümesi, D J(x 1 ) [ J(x 2 ) [ ::: [ J(x m ) olaca şeilde sonlu bir aç örtüye sahiptir. Şimdi K = K x1 \ K x2 \ ::: \ K xm ve N = mas fn x1 ; n x2 ; :::; n xm g derse (K) = 1 olma üzere her t 2 D ve n N olaca şeildei her n 2 K için 22

33 0 g n (t) < " bulunur. O halde D üzerinde g n 0( yogunlu) olup bu ise g n 0( stat) olmas n geretirir. Böylece ispat tamamlan r. Teorem ile verdi¼gimiz fonsiyon dizilerinin al ş lm ş anlamdai düzgün ya nsal ¼g n araterize eden teorem, Cauchy riteri olara bilinir. S radai teorem istatistisel düzgün ya nsal için bir Cauchy riteri vermetedir. Teorem (f n ); D üzerinde s n rl fonsiyonlar n bir dizisi ve de ölçüsü s f r ölçülü ümeler için toplamsal özelli¼ge sahip olsun. Bu durumda D üzerinde (f n ) dizisinin istatistisel düzgün ya nsa olmas için gere ve yeter oşul her " > 0 için n ( n : o fn f B(D) n(") < " ) = 1 (3) olaca şeilde bir n(") 2 N say s n n mevcut olmas d r. Uyar : (3) özelli¼gini sa¼glayan (f n ) dizisine diyece¼giz. istatistisel duzgun Cauchy dizisi Ispat: Gerelili. (f n ) dizisinin D üzerinde tan ml bir f fonsiyonuna istatistisel düzgün ya nsa oldu¼gunu abul edelim ve " > 0 say s verilsin. Bu durumda n o ( n : f n f B(D) < " ) = 1 sa¼glan r: Şimdi fn(") f 2 B < " olaca şeilde 2 bir n(") 2 N say s seçelim. f n f n(") B f n f B + f f n(") B eşitsizli¼gini ullanara ( n : fn f n(") B < " ) = 1 elde ederiz. " > 0 say s ey oldu¼gundan (f n ); D üzerinde istatistisel düzgün Cauchy dizisi olma zorundad r. Yeterlili. (f n ) dizisinin D üzerinde istatistisel düzgün Cauchy dizisi oldu¼gunu abul edelim. Ayr ca x 2 D notas n sabit tutal m. O halde her " > 0 için, ( n :j f n (x) f n(") (x) j< " ) = 1 olaca şeilde bir n(") 2 N say s vard r. Böylece ff n (x)g bir Cauchy dizisi olur. Teorem uyar nca ff n (x)g ; istatistisel ya nsat r. O halde her bir x 2 D için st lim f n (x) = f(x) yani (fn :j f n (x) f(x) j "g) = 0 olaca biçimde D üzerinde tan ml bir f fonsiyonu 23

34 vard r. Buradan D üzerinde f n! f( stat) elde edilir. Şimdi bu istatistisel notasal ya nsal ¼g n istatistisel düzgün olaca¼g n gösterece¼giz. Ayn zamanda ölçüsü, s f r ölçülü ümeler için toplamsal özelli¼ge sahip oldu¼gundan (K) = 1 oşulunu sa¼glayan bir K 2 altümesi vard r, öyle i n n(") olaca şeildei her n 2 K için fn f B(D) n(") < " elde edilir. O halde her " > 0 için (K) = 1 2 özelli¼gine sahip bir K 2 altümesi ve n(") 2 N say s mevcuttur, öyle i m; n n(") olaca şeildei her m; n 2 K ve her x 2 D için j f n (x) f m (x) j< " eşitsizli¼gi gerçelenir. Bu son yazd ¼g m z eşitsizlitei n yi sabit tutara m 2 K indisleri üzerinden limit al rsa, her " > 0 için (K) = 1 özellili bir K 2 altümesi ve n(") 2 N say s vard r, öyle i n n 0 olaca şeildei her n 2 K ve her x 2 D için j f n (x) f(x) j< " bulunur. Buradan D üzerinde f n f( yogunlu) olup bu ise f n f( stat) olmas n geretirir. Bir fonsiyon dizisinin düzgün ya nsal ¼g alt nda limit ile integral operatörlerinin yer de¼giştirebilece¼gini biliyoruz. Şimdi istatistisel düzgün ya nsal ¼g ullanara bu özelli¼gin orunaca¼g n gösteren aşa¼g dai teoremi ispats z olara verelim. Teorem ölçüsü s f r ölçülü ümeler için toplamsal özelli¼ge sahip olsun. E¼ger [a; b] aral ¼g üzerinde (f n ) dizisi, bir f fonsiyonuna istatistisel düzgün ya nsa ve (f n ) fonsiyonlar [a; b] aral ¼g üzerinde integrallenebilir fonsiyonlar ise, bu durumda f fonsiyonu da [a; b] üzerinde integrallenebilirdir. Üsteli, st lim Z b f n (x)dx = Z b st lim f n (x)dx = Z b a a a f(x)dx eşitli¼gi gerçelenir (Duman and Orhan 2001) : Teorem ölçüsü s f r ölçülü ümeler için toplamsal özelli¼ge sahip olsun. Ayr ca her bir f n fonsiyonunun [a; b] üzerinde süreli türevlere sahip oldu¼gunu abul edelim. E¼ger [a; b] üzerinde f n! f( stat) ve f 0 n f( stat) ise, bu durumda [a; b] üzerinde f n f( stat) olur; burada f; [a; b] de türevlenebilir bir fonsiyon olup f 0 = g gerçelenir (Duman and Orhan 2001) : 24

35 3.5 Istatistisel Ya nsal ¼g Koruyan Fonsiyon Dizileri Kol 1999 y l ndai çal şmas nda, ya nsal ¼g oruyan fonsiyon dizilerini gözönüne alm şt r. Biz de bu bölümde istatistisel limit operatörü yard m yla Kol un elde etti¼gi sonuçlar n istatistisel benzerlerini verere istatistisel ya nsa fonsiyon dizilerinin istatistisel limit fonsiyonlar n n sürelili¼gi için dizisel bir araterizasyon elde edece¼giz. Tan m D R ve (f n ), D üzerinde tan ml reel de¼gerli fonsiyonlar n bir dizisi olsun. E¼ger D dei istatistisel ya nsa her bir x = (x n ) dizisi için ff n (x n )g dönüşüm dizisi de istatistisel ya nsa ise, bu durumda (f n ) dizisine D üzerinde istatistisel ya nsal ¼g oruyan (veya istatistisel onservatif ) fonsiyon dizisi ad verilir. E¼ger (f n ) ayn zamanda istatistisel ya nsa dizilerin limit de¼gerlerini de oruyorsa, bu durumda (f n ); D üzerinde istatistisel regüler fonsiyon dizisi ad n al r (Duman and Orhan 2001) : Kolayca görülebilir i; (f n ); D üzerinde onservatif bir fonsiyon dizisi ise, bu durumda istatistisel onservatiftir. Faat aşa¼g dai örne bu önermenin arş t n n her zaman do¼gru olmad ¼g n göstermetedir: Örne N n K sonsuz elemanl ve (K) = 1 olaca şeilde bir K 2 altümesi verilsin. Her bir n 2 N için f n : [0; 1] 8 < 0; n 2 K ise f n (x) = : 1; n =2 K ise! R fonsiyonu ile tan mlans n. [0; 1] aral ¼g nda st lim x = L olaca şeilde herhangi bir x = (x n ) dizisi alal m. Bu durumda her " > 0 için (fn :j f n (x n ) 0 j "g) = (NnK) = 0 oldu¼gundan st lim f n (x n ) = 0 bulunur. Dolay s yla (f n ) dizisi [0; 1] üzerinde istatistisel onservatiftir, faat (f n ) dizisinin onservatif olmad ¼g aç t r. 25

36 Teorem ölçüsü, s f r ölçülü ümeler için toplamsal özelli¼ge sahip ve (f ); bir [a; b] R apal aral ¼g üzerinde tan ml fonsiyonlar n bir dizisi olsun. Bu durumda (f ) dizisinin [a; b] üzerinde istatistisel onservatif olmas için gere ve yeter oşul [a; b] üzerinde (f ) dizisinin süreli bir fonsiyona istatistisel düzgün ya nsa olmas d r (Duman and Orhan 2001) : Ispat: Gerelili. (f ) dizisi [a; b] üzerinde istatistisel onservatif olsun. Her bir t 2 [a; b] için (u ) = (t; t; :::) dizisini seçelim. st lim u = t oldu¼gundan st lim f (u ) mevcut olup her t 2 [a; b] için st lim f (t) = f(t) olaca şeilde bir f fonsiyonu vard r. Iddia ediyoruz i f fonsiyonu [a; b] üzerinde sürelidir. Bunu gösterme için f nin bir t 0 2 [a; b] notas nda süreli olmad ¼g n abul edelim. Bu durumda [a; b] aral ¼g nda limu = t 0 oldu¼gunda limf(u ) 6= f(t 0 ) olaca şeilde bir (u ) dizisi vard r. Ayr ca [a; b] üzerinde f! f( stat) ve ölçüsü, s f r ölçülü ümeler için toplamsal özelli¼ge sahip oldu¼gundan yine [a; b] üzerinde f! f( yogunlu) elde edilir. Dolay s yla her bir j için ff (u j ) f(u j )g! 0( yogunlu) olur. O halde Teorem uyar nca (f() : 2 Ng) = 1 ve her bir j için lim f() (u j ) f(u j ) = 0 olaca şeilde bir : N! N dizisi mevcuttur. Şimdi öşegenleştirme metodunu (Bartle 1964) ullanara (fn : 2 Ng) = 1 ve lim [f n (u ) f(u )] = 0 olaca biçimde bir (n ) indis dizisi seçebiliriz. Şimdi bir x = (t i ) dizisi 8 >< t i = >: t 0 ; i = n ve i te ise u ; i = n ve içift ise 0 ; di¼ger durumlarda ile tan mlayal m. O halde t i! t 0 ( yogunlu) olup buradan st limt i = t 0 i elde edilir. Faat i = n ve i te oldu¼gunda lim f n (t 0 ) = f(t 0 ) ve ayr ca i = n ve i çift ise limf n (u ) = lim [f n (u ) f(u )] + limf(u ) 6= f(t 0 ) bulunur. Buna göre 26

37 ff i (t i )g dizisi, farl ii limit de¼gerine ya nsayan ve indis ümeleri pozitif ölçülü ii ayr alt diziye sahip oldu¼gundan yo¼gunluta ya nsa de¼gildir., s f r ölçülü ümeler için toplamsal özellili oldu¼gundan ff i (t i )g ; istatistisel ya nsa da olamaz. Bu da (f ) dizisinin istatistisel onservatif olmas ile çelişir. Dolay s yla f; [a; b] üzerinde süreli olma zorundad r. Şimdi [a; b] üzerinde f f( stat) oldu¼gunu gösterelim. Kabul edelim i (f ) dizisi f ye istatistisel düzgün ya nsa olmas n. Bu durumda (f ) dizisi f ye [a; b] üzerinde yo¼gunluta düzgün ya nsa da olamaz. Bu nedenle (fn : 2 Ng) = 1 özelli¼gine sahip ey bir (n ) indis dizisi için 2 N olma üzere j f n (t ) f(t ) j 2" 0 olaca şeilde bir " 0 > 0 say s ve t 2 [a; b] say lar vard r. (t ) dizisi s n rl oldu¼gundan (t i ) ya nsa altdizisine sahiptir. Bu limit de¼gerine diyelim. Bu alt dizi istatistisel ya nsa olma zorundad r. O halde st lim i t i = olur. f fonsiyonu süreli oldu¼gundan lim i f(t i ) = f() olur. Böylece i i 0 için j f(t i ) f() j< " 0 olaca şeilde bir i 0 indisi vard r. Ayn i ler için j f ni (t i ) f() jj f ni (t i ) f(t i ) jj f(t i ) f() j " 0 (4) elde edilir. Şimdi (u j ) dizisini 8 >< u j = >: ; j = n i ve j te ise t i ; i = n i ve jçift ise 0 ; di¼ger durumlarda ile tan mlayal m. Bu durumda u j! ( yogunlu) olup bu da st lim u j = olmas n geretirir. Faat j = n i ve j te oldu¼gunda limf ni () = f() ve ayr ca i j = n i ve j çift oldu¼gunda ise (4) uyar nca limf ni (t i ) 6= f() dir. Buna göre i ff i (u j )g dizisi farl ii limit de¼gerine ya nsayan indis ümeleri pozitif ölçülü i ayr altdiziye sahip oldu¼gundan yo¼gunluta ya nsa de¼gildir ve dolay s yla istatistisel ya nsa da olamaz. Bu durum (f ) dizisinin istatistisel on- 27

38 servatif olmas yla çelişir. Dolay s yla [a; b] üzerinde (f ) dizisi f ye düzgün ya nsat r. istatistisel Yeterlili. [a; b] üzerinde f f( stat) olaca şeilde süreli bir f fonsiyonunun mevcut oldu¼gunu abul edelim ve st lim x n = x 0 olaca şeilde terimleri [a; b] a- ral ¼g nda bulunan bir x = (x n ) dizisi alal m. ölçüsü, s f r ölçülü ümeler için toplamsal özelli¼ge sahip oldu¼gundan x n! x 0 ( yogunlu) olur. O halde limx n = x 0 ve (fn : 2 Ng) = 1 oşullar n gerçeleyen bir (n ) indis dizisi mevcuttur. f fonsiyonu x 0 notas nda süreli oldu¼gundan limf(x n ) = f(x 0 ) gerçelenir. Buradan f(x n )! f(x 0 ) ( yogunlu) elde edilir. Şimdi " > 0 verilsin. Bu durumda (K 1 ) = 1 özelli¼gine sahip bir K 1 2 altümesi vard r, öyle i n n 1 olaca şeildei her n 2 K 1 için j f(x n ) f(x 0 ) j< " gerçelenir. Ayr ca 2 ölçüsü, s f r ölçülü ümeler için toplamsal özelli¼ge sahip oldu¼gundan istatistisel düzgün ya nsal ile yo¼gunluta düzgün ya nsal dentir. Böylece (K 2 ) = 1 özelli¼gine sahip bir K 2 2 altümesi ve n 2 K 2 say s vard r, öyle i her t 2 [a; b] ve n n 2 özellili her n 2 K 2 için j f n (t) f(t) j< " gerçelenir. 2 N := mas fn 1 ; n 2 g ve K := K 1 \ K 2 alal m. Bu durumda (K) = 1 olup t = x n alara n N olaca şeildei her n 2 K için j f n (x n ) f(x 0 ) jj f n (x n ) f(x n ) j + j f(x n ) f(x 0 ) j< " elde ederiz. Buradan f n (x n )! f(x 0 ) ( yogunlu) ve böylece st lim n f n (x n ) = f(x 0 ) olma zorundad r i bu da ispat tamamlar. 28

39 Teorem ölçüsü, s f r ölçülü ümeler için toplamsal özelli¼ge sahip ve [a; b] üzerinde f n f( stat) olsun. Bu durumda [a; b] üzerinde f fonsiyonunun süreli olmas için gere ve yeter oşul (f n ) dizisinin istatistisel onservatif olmas d r (Duman and Orhan 2001) : Şimdi fonsiyon dizilerinin istatistisel regülerli¼gini inceleyelim. E¼ger (f ) dizisi [a; b] üzerinde istatistisel regüler ise her t 2 [a; b] için st limf (t) = t olur. Böylece Teorem de f (t) = t alara aşa¼g dai sonucu elde ederiz. Teorem ölçüsü, s f r ölçülü ümeler için toplamsal özelli¼ge sahip ve (f ); [a; b] R apal aral ¼g nda tan ml fonsiyonlar n bir dizisi olsun. Bu durumda (f ) dizisinin [a; b] üzerinde istatistisel regüler olmas için gere ve yeter oşul [a; b] üzerinde (f ) dizisinin f (t) = t ile tan mlanan f fonsiyonuna istatistisel düzgün ya nsa olmas d r (Duman and Orhan 2001) : 29

40 4. I-YAKINSAK FONKS IYON D IZ ILER I Bu bölümde elde edilen sonuçlar, bir öncei bölümde elde edilen baz sonuçlar n genişletilmesidir. 4.1 I-Ya nsal Öncelile yo¼gunlu ve ideal avramlar n hat rlatal m. N = f1; 2; 3; :::g olsun. A N ve j 2 N olma üzere d j (A) = 1 jf j : 2 Agj j olsun. E¼ger (A) = lim d j (A) limiti mevcut ise bu limit de¼gerine A ümesinin yo¼gunlu¼gu denildi¼gini biliyoruz. I P (N) olsun. E¼ger i: ; 2 I ii: A; B 2 I =) A [ B 2 I iii: A 2 I ve B A =) B 2 I ise I ümesine bir ideal denir (Kostyro et al. 2000) : O halde I d = fa N : (A) = 0g olma üzere I d ; N ümesinin altümelerinin oluşturdu¼gu bir idealdir. P (N) den farl ve te nota cümlelerini içeren ideale abul edilebilir(admissible) ideal diyece¼giz. Aç ca görülüyor i I d abul edilebilir idealdir. Tan m I abul edilebilir ideal olsun ve (Y; ) metri uzay n gözönüne alal m. (y n ) dizisinin y ye I ya nsa olmas için gere ve yeter oşul her " > 0 için fn 2 N : (y n ; y) "g 2 I olmas d r ve y n! y (I) şelinde gösterilir (Balcerza et al. 2007) : E¼ger I; N nin tüm sonlu altümelerinin ideali ise yuar dan lasi anlamda ya n- 30

41 sal ¼g elde ederiz. E¼ger I = I d ise istatistisel ya nsal ¼g elde ederiz. I abul edilebilir oldu¼gundan I; N ümesinin tüm sonlu altümelerini içerir bundan dolay lasi anlamda ya nsal I ya nsal ¼g geretirir. 4.2 I-Ya nsa Fonsiyon Dizileri Bu s mda I ya nsa fonsiyon dizilerini inceleyece¼giz. Tan m (I notasal ya{nsal{ ve I duzgun ya{nsal{) I P (N) abul edilebilir ideal olsun ve (Y; ) metri uzay n alal m. X boş ümeden farl olsun ve f : X! Y; n 2 N için f n : X! Y fonsiyonlar verilsin. (f n ) dizisinin f fonsiyonuna I notasal ya nsa olmas için gere ve yeter oşul her x 2 X için (Y; ) metri¼ginde (f n (x))! f(x) (I) olmas d r (Balcerza et al. 2007) : Yani; f n! f (I) olmas için gere ve yeter oşul her x 2 X ve her " > 0 için en az bir M 2 I vard r öyle i her n =2 M oldu¼gunda (f n (x); f(x)) < " gerçelenmesidir. (f n ) dizisini f fonsiyonuna I düzgün ya nsa (f n f (I)) olmas için gere ve yeter oşul ise her " > 0 için en az bir M 2 I vard r öyle i her n =2 M ve her x 2 X için (f n (x); f(x)) < " sa¼glan r. f n f (I) ise f n! f (I) sa¼glan r. Aşa¼g dai sonuç ise bunun arş t n n özel bir durum için geçerli oldu¼gunu gösteriyor. Teorem I P (N) abul edilebilir ideal ve (X; ), (Y; ) metri uzaylar olsunlar. Her n 2 N için f n : X! Y fonsiyonlar X üzerinde eşsüreli ve f : X! Y fonsiyonu için X üzerinde f n! f (I) oldu¼gunu varsayal m. Bu durumda f; X üzerinde süreli ayr ca X ompat ise f n f (I) gerçelenir (Balcerza et al. 2007) : Ispat: Önce f fonsiyonunun süreli oldu¼gunu gösterelim. x 0 2 X ve " > 0 olsun.(f n ) fonsiyon dizisi eşsüreli oldu¼gundan > 0 say s vard r öyle i her n 2 N 31

42 ve x 2 B (x 0 ; ) için (f n (x); f n (x 0 )) < " 3 sa¼glan r. x 2 fb (x 0; )g eleman n sabitleyelim. f n! f (I) oldu¼gundan, I dai n n 2 N : (f n (x 0 ); f(x 0 )) " o n [ n 2 N : (f n (x); f(x)) " o 3 3 ümsesi N ümesinden farl d r. Dolay s yla öyle bir n 2 N vard r i, (f n (x 0 ); f(x 0 )) < " 3 ve (f n(x); f(x)) < " 3 sa¼glan r. O halde (f(x 0 ); f(x)) (f(x 0 ); f n (x 0 )) + (f n (x 0 ); f n (x)) + (f(x); f(x)) < " 3 + " 3 + " 3 = " olup buradan f sürelidir. Şimdi f n f (I) oldu¼gunu gösterelim. " > 0 olsun. X ompat oldu¼gundan X üzerinde f fonsiyonu düzgün süreli ve f n fonsiyonlar eşdüzgün sürelidir. O halde öyle bir > 0 seçelim i x; x 0 0 < oşulunu sa¼glayan herhangi x; x 2 X için f n (x); f n (x 0 ) < " ve f(x); 3 f(x0 ) < " olsun. X ompat oldu¼gundan 3 fb (x; )g x2x örtüsünden sonlu bir B (x 1 ; ) ; :::; B (x ; ) alt örtüsü seçebiliriz. f n! f (I) oldu¼gunu ullanara M 2 I alal m öyle i her n =2 M ve her i 2 f1; 2; :::; g için (f n (x i ); f(x i )) < " olsun. n =2 M ve x 2 X olsun, baz 3 i 2 f1; 2; :::; g için x 2 B (x i ; ) olur. Buradan (f n (x); f(x)) (f n (x); f n (x i )) + (f n (x i ); f(x i )) + (f(x i ); f(x)) < " 3 + " 3 + " 3 = " olup X üzerinde f n f (I) elde edilir. Böylece ispat tamamlan r. E¼ger I = I d ise! (I) ve (I) s ras yla notasal ve düzgün istatistisel ya nsal olara ounur. 32

43 Tan m I P (N) abul edilebilir ideal ve (X; ), (Y; ) metri uzaylar olsunlar ve f : X! Y; n 2 N için f n : X! Y fonsiyonlar verilsin. (f n ) dizisinin f fonsiyonuna eş istatistisel ya nsa olmas için gere ve yeter oşul her " > 0 için g j;" : X! R ve x 2 X olma üzere g j;" (x) = d j (fn 2 N : (f n (x); f(x)) "g) fonsiyonlar ile verilen (g j;" ) j2n dizisinin s f ra X üzerinde düzgün ya nsa olmas d r ve f n f (I d ) ile gösterilir. Yani; f n f (I d ) olmas için gere ve yeter oşul her "; > 0 için en az bir 2 N say s var öyle i her j ve her x 2 X için d j (fn 2 N : (f n (x); f(x)) "g) < olmas d r. d j operatörü monoton oldu¼gundan " = alabiliriz. Örne f : [0; 1]! R ve f n : [0; 1]! R fonsiyonlar n f (x) = 0; x 2 [0; 1] ve f n = f 1 ng şelinde tan mlayal m. Bu durumda f n f (I d ) faat (f n ) dizisinin f fonsiyonuna düzgün istatistisel ya nsa de¼gildir. Teorem (X; ), (Y; ) metri uzaylar ve f : X! Y; n 2 N için f n : X! Y fonsiyonlar verilsin. x 0 2 X eleman n sabitleyelim. E¼ger X üzerinde f n f (I d ) ve tüm f n fonsiyonlar x 0 da süreli ise f fonsiyonu da x 0 da sürelidir (Balcerza et al. 2007) : Ispat: " > 0 olsun. f n f (I d ) oldu¼gundan her x 2 X için öyle bir 2 N say s vard r i d n 2 N : (fn (x); f(x)) " 3 < 1 sa¼glan r. x 2 X ve 2 E (x) = n : (f n (x); f(x)) < " 3 alal m. d ; P (N) de olas l ölçüsü oldu¼gundan ve n n seçiminden her x 2 X için d (E (x)) > 1 2 bulunur. f 1; f 2 ; :::; f fonsiyonlar x 0 notas nda süreli oldu¼gundan x 2 B (x 0 ; ) ve her i 2 f1; :::; g için (f i (x); f i (x 0 )) < " 3 olur. Biz her x 2 B (x 0; ) için (f(x); f(x 0 )) < " oldu¼gunu gösterece¼giz. x 2 B (x 0 ; ) notas n sabitleyelim. d (E (x)) > 1 2 ve d (E (x 0 )) > 1 2 oldu¼gundan p 2 E (x) \ E (x 0 ) buluruz. Böylece (f(x); f(x 0 )) (f(x); f p (x)) + (f p (x); f p (x 0 )) + (f p (x 0 ); f(x 0 )) < " 33

44 bulunur ve böylece ispat tamamlan r. Örne x 2 [0; 1] için f n (x) = x n olsun. (f n ) fonsiyon dizisi 1 notas nda süresiz olan f fonsiyonuna notasal ya nsat r. Dolay s yla Teorem den f n f (I d ) gerçelenmez. 34

45 KAYNAKLAR Balcerza, M., Dems, K. and Komisarsi, A Statistical convergence and ideal convergence for sequences of functions. J. Math. Anal. Appl. 328; Bartle, R. G Elements of Real Analysis. John Wiley & Sons, Inc., New Yor Connor, J. S The statistical and strong p-cesàro convergence of sequences. Analysis, 8; Connor, J. S Two valued measures and summability. Analysis, 10; Connor, J. S R-type summability methods, Cauchy criteria, P-sets and statistical convergence. Proc. Amer. Math. Soc. 115; Duman, O. and Orhan, C μ-statistically convergent function sequences. Czech. Math. J. 54; Fast, H Sur la convergence statistique. Colloq. Math. 2; Fridy, J. A On statistical convergence. Analysis, 5; Kol, E Convergence-preserving function sequences and uniform convergence. J. Math. Anal. Appl. 238; Kostyro, P.,Salat, T. and Wilczynsi, W I-convergence. Real Anal. Excange 26; Rudin, W Principles of Mathematical Analysis. Mcgraw-Hill, New Yor. Salat, T On statistically convergent sequences of real numbers. Math. Slovaca, 30; Wilczynsi, W Statistical convergence of sequences of functions. Real Anal. Excange 25;