ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ LOKAL İNTEGRALLENEBİLİR FONKSİYON UZAYLARINDA KOROVKİN TİPİ YAKLAŞIMLAR.

Transkript

2 ÖET Yüksek Lisans Tezi LOKAL INTEGRALLENE IL IR FONKS IYON UAYLARINDA KOROVK IN T IP I YAKLAŞIMLAR Nilay ŞAH IN Ankara Üniversitesi Fen ilimleri Enstitüsü Matematik Anabilim Dal Dan şman: Prof. Dr. Cihan ORHAN u yüksek lisans tezi dört bölümden oluşmaktad r. Ilk bölüm giriş k sm na ayr lm şt r. Ikinci bölümde, ozitif lineer oeratör ve P.P Korovkin Teoremi hakk nda genel bilgilere yer verilmiştir. Üçüncü bölümde, öncelikle L [a; b] uzay tan t l, L [a; b] uzay nda klasik Korovkin teoremi incelenmiştir. Daha sonra istatistiksel yak nsakl k kavram hat rlat l, L uzay ndaki Korovkin tii yaklaş m teoremlerinin istatistiksel versiyonu verilmiştir. Son bölümde ise, ilk olarak lokal integrallenebilir fonksiyonlar n tan m verili, daha sonra lokal integrallenebilir fonksiyonlar n a¼g rl kl uzay nda Korovkin tii baz yaklaş m teoremleri incelenmiştir. Korovkin Teoreminin tüm lokal integrallenebilir fonksiyonlar n uzay nda gerçeklenmeyi, lokal integrallenebilir fonksiyonlar n bir alt uzay nda gerçeklendi¼gi gösterilmiştir. Ayr ca A Korovkin tii yaklaş m teoremlerinin A istatistiksel yak nsakl k versiyonu incelenmiştir. u bölümün son k sm nda ise A istatistiksel yak nsakl k oran kavram tan mlanm şt r ve A istatistiksel yak nsakl k kavram tan t l, istatistiksel yak nsama oran na ilişkin baz teorem ve sonuçlar verilmiştir. Ayr ca bu sonuçlardan yak nsama oran elde edilmiştir. Temmuz, 56 sayfa Anahtar Kelimeler : Pozitif lineer oeratör dizisi, Korovkin Tii Teorem, lokal integrallenebilir fonksiyon, istatistiksel yak nsakl k i

3 ASTRACT Master Thesis KOROVKIN TYPE APPROXIMATIONS IN THE SPACE OF LOCALLY INTEGRALE FUNCTION Nilay ŞAH IN Ankara University Graduate School of Natural And Alied Sciences Deartment of Mathematics Suervisor: Prof. Dr. Cihan ORHAN This master thesis consists of four chaters. The rst chater is devoted to the introduction. In chater two, some basic information about Korovkin tye theorem and ositive linear oerators has been given. In the third chater, rstly, the sace L [a; b] has been considered and the classical Korovkin tye convergence theorems have been studied. Then, the concet of statistical convergence has been recalled and some Korovkin tye aroximation theorems on L [a; b] saces has been studied via statistical convergence. In the last chater the concet of locally integrable function has been given and then some Korovkin tye aroximation theorems in weighted sace of locally integrable functions have been studied. It has been shown that a Korovkin tye theorem for a sequence of linear ositive oerators acting in weighted sace L ;q (loc) does not hold in all of this sace and it is satis ed only on some subsace. Furthermore the concet of A statistical convergence has been considered and the Korovkin tye aroximation theorems on L ;q (loc) have been studied via A statistical convergence. In nal section of this chater, the concet of A statistical convergence has been given and some theorems and results have been examined. Moreover the classical rates of convergence of the sequence of ositive linear oerators on L ;q (loc) have also been deduced. July, 56 ages Key Words: Sequence of ositive linear oerators, the Korovkin Tye Theorem, locally integrable function, statistical convergence ii

4 TEŞEKKÜR u çal şma konusunu bana vererek de¼gerli bilgi ve önerileriyle beni yönlendiren dan şman hocam, Say n Prof. Dr. Cihan ORHAN (Ankara Üniversitesi Fen Fakültesi) a en içten sayg ve minnetlerimi sunar m. ana sa¼glad ¼g çal şma ortam, deste¼gi ve anlay ş için de ayr ca teşekkür ederim. Yüksek lisans e¼gitimime başlad ¼g m andan itibaren benden deste¼gini esirgemeyen Say n Doç. Dr. Şeyhmus YARDIMCI ya ve haftal k seminerlerimizde benimle birlikte olan arkadaşlar ma ve Ça¼gla CAN a en içten teşekkürlerimi sunar m. Hayat m n her aşamas nda beni hiçbir zaman yaln z b rakmayan ve her zaman destekleyen aileme sonsuz teşekkürler... Nilay ŞAH IN Ankara, Temmuz. iii

5 IÇ INDEK ILER ÖET i ASTRACT ii TEŞEKKÜR iii S IMGELER D I IN I v. G IR IŞ GENEL ILG ILER P. P Korovkin Teoremleri L UAYINDA KOROVK IN TEOREM I L Uzay nda Korovkin Teoremi nin Istatistiksel Versiyonu Istatistiksel Yak nsakl k LOKAL INTEGRALLENE IL IR FONKS IYON UAYLARI 4. Lokal Integrallenebilir Fonksiyonlar Lokal Integrallenebilir Fonksiyon Uzaylar nda Korovkin Tii Teoremler Lokal Integrallenebilir Fonksiyon Uzaylar nda Korovkin Tii Teoremlerin A Istatistiksel Versiyonu A Istatistiksel Yak nsakl k Lokal Integrallenebilir Fonksiyon Uzay nda A Istatistiksel Yaklaş m Oran KAYNAKLAR ÖGEÇM IŞ iv

6 S IMGELER D I IN I st st A (E) jej E C f(ax) n g T (f; x) ft n g C[a; b] q L [a; b] L ;q (loc) L k ;q (loc) Istatistiksel yak nsak diziler uzay A-istatistiksel yak nsak diziler uzay E kümesinin asimtotik yo¼gunlu¼gu E kümesinin eleman say s E kümesinin karakteristik fonksiyonu Cesàro matrisi x dizisinin A matrisi alt ndaki dönüşüm dizisi Pozitif lineer oeratör Pozitif lineer oeratör dizisi [a; b] aral ¼g üzerinde sürekli fonksiyonlar n uzay A¼g rl k fonksiyonu [a; b] aral ¼g nda -inci kuvvetten Lebesgue anlam nda integrallenebilen fonksiyonlar n uzay Lokal integrallenebilir fonksiyonlar n a¼g rl kl uzay Lokal integrallenebilir fonksiyonlar n a¼g rl kl uzay n n alt uzay (L ;q (loc)! L ;q (loc)) + A¼g rl kl lokal uzayda tan ml ozitif lineer oeratör dizilerinin kümesi k:k ;q L ;q uzay ndaki norm k:k L uzay ndaki norm! q (f; ) A¼g rl kl süreklilik modülü st A o (a n ) o (a n ) oran nda A istatistiksel yak nsak st A O (a n ) O (a n ) oran nda A istatistiksel yak nsak st A o (a n ) o (a n ) oran nda A istatistiksel yak nsak st A O (a n ) O (a n ) oran nda A istatistiksel yak nsak v

7 . G IR IŞ Istatistiksel yak nsakl ¼g n kullan ld ¼g önemli bir alan olan Yaklaş m Teorisi, olinomlar n yaklaş m nda, Fonksiyonel Analizin çeşitli alanlar nda, diferensiyel ve integral denklemlerin nümerik çözümlerinde önemli uygulamalara sahitir. Korovkin tii teoremler yaklaş mlar teorisinde temel oluşturmaktad r (Korovkin 96 DeVore 97 Altomare ve Camiti, 994 Cheney, ). C[a; b] uzay sonlu [a; b] aral ¼g nda tan mlanm ş ve bu aral kta sürekli olan tüm fonksiyonlar n uzay n, ayr ca [a; b] uzay da [a; b] aral ¼g üzerindeki tüm s n rl fonksiyonlar n uzay n göstermek üzere ft n g dizisi; C[a; b] uzay n [a; b] uzay içine dönüştüren ozitif lineer oeratörlerin bir dizisi olmak üzere Korovkin e i (x) = x i (i = ; ; ) ile tan ml e i test fonksiyonlar n kullanarak ft n (f)g dizisinin bir f fonksiyonuna düzgün yak nsamas için gerek ve yeter koşullar inceledi (Korovkin, 96). ir [a; b] aral ¼g üzerindeki inci kuvvetten Lebesgue integrallenebilen fonksiyon uzaylar nda Korovkin tii yaklaş m ilk defa Dzyadik (966) taraf ndan incelendi. Daha sonra bu do¼grultuda başka sonuçlar ernau (974), Donner (98), Swetits ve Wood (996) taraf ndan ele al nd. u çal şmalarda tüm sonuçlar sonlu [a; b] aral ¼g nda verildi. u sonuçlar tüm reel eksende verebilmek için belli bir a¼g rl k fonksiyonuna göre lokal integrallenebilen fonksiyon uzaylar göz önüne al nm ş ve bu uzaylarda Korovkin tii yaklaş mlar Gadjiev vd. (3) taraf ndan incelenmiştir. Şühesiz ki Korovkin tii yaklaş mlarda ozitif lineer oeratör dizisi göz önüne al nmaktad r. u oeratör dizisinin yak nsak olmamas durumunda istatistiksel yak nsakl k metodunun işe yarayabilece¼gi ilk defa Gadjiev ve Orhan () taraf ndan gösterilmiştir. u düşünce lokal integrallenebilen fonksiyon uzaylar nda da kullan lm şt r. u konudaki çal şmalar Duman ve Orhan (3-8) taraf ndan ya lm şt r. u tezin amac lokal integrallenebilir fonksiyon uzaylar nda Korovkin tii yaklaş m, istatistiksel yaklaş m ve yak nsakl k oranlar n incelemektir.

8 . GENEL ILG ILER u bölümde tezin içeri¼ginde kullan lacak olan önemli tan mlar, teoremler ve semboller tan t lacakt r. Ilk olarak bize gerekli olan baz fonksiyon uzaylar n tan tal m. C[a; b]; sonlu [a; b] aral ¼g üzerinde sürekli tüm fonksiyonlar n uzay d r. f C[a; b] için kfk C[a;b] = su jf (x)j olacak şekildeki al ş lm ş suremum normu ile birlikte x[a;b] C[a; b] bir anach uzay (yani, tam normlu uzay) olur. D R olmak üzere (D), D üzerindeki tüm s n rl fonksiyonlar n uzay d r. u uzay üzerindeki al ş lm ş suremum normu kfk (D) = su jf (x)j xd şeklindedir ve bu norma göre (D) uzay bir anach uzay olu bu norma göre yak nsakl k düzgün yak nsakl kt r. ir (f n ) fonksiyon dizisinin bir g fonksiyonuna düzgün yak nsamas f n g ile gösterilir. Tan m. X ve Y reel de¼gerli fonksiyonlar n iki uzay olsun. E¼ger X uzay ndan al nm ş herhangi bir f fonksiyonuna Y uzay nda bir ve yaln z bir g fonksiyonu karş l k getiren bir T kural varsa; bu takdirde X uzay nda bir oeratör tan mlanm şt r, denir ve bu durum g (x) = T (f; x) şeklinde gösterilir. X uzay na T oeratörünün tan m kümesi denir ve X = D (T ) ile gösterilir. u durumda T (f; x) = g (x), Y uzay n n bir eleman olu, g fonksiyonlar n n kümesine T oeratörünün de¼ger kümesi denir ve bu küme R (T ) ile gösterilir. R (T ) Y oldu¼gu aç kt r. X uzay lineer oldu¼gunda lineer oeratör tan m n verebiliriz. Tan m. f ve f, X fonksiyon uzay nda herhangi iki fonksiyon ve her ; R için T oeratörü; T ( f + f ; x) = T (f ; x) + T (f ; x)

9 koşulunu sa¼gl yorsa bu takdirde T oeratörüne lineer oeratör denir. u tan mdan da aç kça görülece¼gi gibi T (; x) = olur. Lineer oeratörler kümesi içinde önemli bir alt s n f ozitif lineer oeratörlerdir. Tan m.3 X + = ff X : f (x) g ve Y + = fg Y : g (x) g olsun. E¼ger, X uzay nda tan mlanm ş T lineer oeratörü X + kümesindeki herhangi bir f fonksiyonunu ozitif fonksiyona dönüştürüyor ise T oeratörüne ozitif lineer oeratör denir. T ozitif lineer oeratörü için T X + Y + sa¼glan r. Yani; f (x) oldu¼gunda T (f; x) olur. O halde, her x için f (x) g (x) oldu¼gunda, T (f; x) T (g; x) olu, böylece ozitif lineer oeratör monotondur.. P.P. Korovkin Teoremleri 95 y l nda H. ohman, tolam şeklindeki ozitif lineer oeratörler dizisinin sürekli bir f fonksiyonuna yaklaşmas roblemini incelemiştir. H. ohman, x [; ] için k;n oldu¼gunda T n (f; x) = nx f ( k;n ) P k;n (x) P k;n (x) k= ozitif lineer oeratör dizisinin [; ] aral ¼g nda f fonksiyonuna düzgün yak nsak olabilmesi için yani, T n (f; x) f (x) olmas için gerek ve yeter koşul T n (; x) (.) T n (t; x) x (.) T n t ; x x (.3) oldu¼gunu göstermiştir. 953 y l nda P.P. Korovkin genel bir teorem isatlam ş ve göstermiştir ki ohman n koşullar genel durumda da gerçeklenir. 3

10 Teorem.. T n : C[a; b]! C[a; b] ile tan ml ft n g ozitif lineer oeratör dizisi olmak üzere yukar daki (.),(.) ve (.3) koşullar n gerçekliyor ise o takdirde C[a; b] uzay ndaki her f fonksiyonu için n! iken T n (f; x) f (x), a x b olur (Korovkin 953). Sonuç.. E¼ger ft n g ozitif lineer oeratörler dizisi, [a; b] aral ¼g nda T n (; x) T n (t x) ; x koşullar n sa¼gl yor ise bu takdirde C[a; b] uzay ndaki f fonksiyonu için n! iken T n (f; x) f (x), a x b olur (Korovkin 96). Aşa¼g daki örnek ernstein olinom dizisinin yukar daki teoremi gerçekledi¼gini gösterir. Örnek.. f C(; ) olmak üzere, n (f; x) = nx f k= k n n x k ( x) n k,n N k ile tan mlanan ernstein olinomlar için n (; x) = ; n (t; x) = x ve n t ; x = x + x x n (Lorentz 986) oldu¼gundan, f n g ozitif oeratörler dizisi için Teorem.. gerçeklenir. 4

11 3. L P UAYINDA KOROVK IN TEOREM I u bölümde önce L uzay n n tan m verili, L uzay ndaki Korovkin Teoremi incelenecektir. Daha sonra istatistiksel yak nsakl k kavram ele al n, L uzay ndaki Korovkin Teoreminin istatistiksel versiyonu verilecektir. Tan m 3. L [a; b] uzay n n elemanlar, ölçülebilir fonksiyonlar olu modülleri -inci kuvvetten ( ) Lebesgue anlam nda integrallenebilen fonksiyonlard r. O halde bir f L [a; b] için b jf (x)j dx < olur. u uzaydaki norm, a kfk = b a jf (x)j dxa < şeklinde tan mlan r. Şimdi ileride s kça kullanaca¼g m z bir lemmay inceleyelim. Lemma 3. (Luzin Teoremi) f L [a; b] ise her " > için kf gk < " olacak şekilde C[a; b] uzay nda sürekli, bir g fonksiyonu vard r yani; C[a; b] uzay L [a; b] uzay nda yo¼gundur (Royden 968). Teorem 3. T n : L [a; b]! L [a; b] ile tan ml ft n g ozitif lineer oeratör dizisi olsun. E¼ger, (i) kt n k düzgün s n rl, yani; her n N için kt n k C olacak biçimde bir C > mevcut ise (ii) = ; ; için kt n (t ; x) x k!, (n! ) 5

12 sa¼glan yorsa, bu takdirde her f L [a; b] için; kt n (f; x) f (x)k! gerçeklenir (Dzyadik 966). Isat Lemma 3. den her f L [a; b] için kf sürekli bir g fonksiyonu alal m. gk < " olacak şekilde C[a; b] de g C[a; b] oldu¼gundan; her " > için öyle bir > bulabiliriz ki her x; t [a; b] için jt sa¼glan r. xj < oldu¼gunda, jg (t) g (x)j < " (3.) Ayr ca g fonksiyonu [a; b] aral ¼g nda sürekli oldu¼gundan s n rl d r. O halde öyle bir C > say s bulabiliriz ki, her x [a; b] için jg (x)j C sa¼glan r. jt xj oldu¼gunda ise (t x) olaca¼g ndan, (t x) jg (t) g (x)j jg (t)j + jg (x)j C + C C (3.) elde edilir. Dolay s yla, (3.) ve (3.) eşitsizliklerinden her x; t [a; b] için; yazabiliriz. (t x) jg (t) g (x)j " + C Di¼ger taraftan; ozitif lineer oeratörlerin monotonlu¼gunu ve lineerli¼gi kullanarak; kt n (f; x) f (x)k = kt n (f g + g; x) f (x) g (x) + g (x)k kt n (f g; x)k + kt n (g; x) g (x)k + kf gk kt n (jf gj ; x)k + kt n (g; x) g (x)k + kf gk kf gk kt n (; x)k + kt n (g; x) g (x)k + kf gk " M + kt n (g; x) g (x)k + " 6

13 yazabiliriz. g fonksiyonu sürekli oldu¼gundan; (3.) eşitsizli¼ginden; kt n (g; x) g (x)k = kt n (g (t) g (x) + g (x) ; x) g (x)k kt n (g (t) g (x) ; x)k + kt n (g (x) ; x) g (x)k kt n (jg (t) g (x)j ; x)k + jg (x)j kt n (; x) k kt n (jg (t) g (x)j ; x)k + C kt n (; x) k olu, (3.) eşitsizli¼gini ve oeratörün lineerli¼gini kullanarak;! kt n (jg (t) g (x)j ; x)k T (t x) n " + C ; x = " T n (; x) + C T n (t x) ; x = " T n (; x) + " " + C T n (t x) ; x = " (T n (; x) ) + " + C T n (t x) ; x " k(t n (; x) )k + " + C T n (t x) ; x elde edilir. Tn (t x) ; x = Tn t ; x xt n (; x) + x T n (; x) = T n t ; x x x [T n (; x) x] +x [T n (; x) ] oldu¼gundan son durumda a < b için, kt n f fk " kt n (; x) k + + M Tn t ; x x b [T n (; x) x] +b [T n (; x) ] + C kt n (; x) k 7

14 elde edilir. Korovkin koşullar ndan dolay ; n! için eşitsizli¼gin sa¼g taraf a yak nsar. öylece istenilen sonuç elde edilir. 3. L [a; b] Uzay nda Korovkin Teoreminin Istatistiksel Versiyonu u bölümde önce istatistiksel yak nsakl k kavram inceleni, daha sonra L uzay nda Korovkin teoreminin istatistiksel versiyonu verilecektir. 3.. Istatistiksel Yak nsakl k u k s mda bir dizinin istatistiksel yak nsakl ¼g incelenecektir. Tan m 3.. K N kümesini alal m. (K) = lim jfk n : k K gj limiti mev- n n cut ise bu limite K kümesinin asimtotik yo¼gunlu¼gu denir (Niven and uckerman 98). urada E N olmak üzere jej ile E kümesinin kardinal say s gösterilmektedir. Tan m 3.. x = (x k ) bir dizi olsun. Her " > için, lim n n jfk n : jx k Lj "gj = olacak şekilde bir L say s varsa x dizisi L say s na istatistiksel yak nsakt r denir ve st lim x = L ile gösterilir (Fast 95, Steinhaus 95). Şimdi bir " > için E " = fk : jx k Lj "g dersek E" bu kümenin karakteristik fonksiyonu olmak üzere st lim x = L olmas için gerek ve yeter koşul her " > için lim n C E" (k) n = olmas d r. urada C = (c nk ) Cesáro matrisi olu; 8 < c nk = ; k n n : ; k > n ile tan mlan r. 8

15 Örnek >< x k = >: k ; k = m 5 ; k 6= m (m = ; ; :::) şeklinde tan mlanan x = (x k ) dizisini inceleyelim. Her " > için, lim n n jfk n : jx k 5j "gj lim n n jfk n : x k 6= 5gj lim n = n n elde edilir. O halde, st lim x = 5 bulunur. Önerme 3.. ir x = (x k ) dizisinin bir L say s na istatistiksel yak nsak olmas için gerek ve yeter koşul (K) = olacak biçimde bir K N için lim kk x k = L olmas d r (Šalát 98, Fridy 985, Connor 988). x ve y iki istatistiksel yak nsak dizi ve R olmak üzere xy = (x k y k ) ve x = (x k ) dizileri de istatistiksel yak nsak dizilerdir. x dizisinin bir L say s na yak nsak olmas ayn L say s na istatistiksel yak nsak olmas n gerektirdi¼gi aç kt r. O halde istatistiksel yak nsakl k, yak nsakl ¼g n bir genişletilmesidir. Yani; al ş lm ş anlamda yak nsak olan her dizi istatistiksel yak nsakt r. Fakat Örnek 3.. den görülebilece¼gi gibi s n rs z raksak baz diziler de istatistiksel yak nsak olabilmektedir. Şimdi, L [a; b] uzay ndaki ozitif lineer oeratör dizisinin Korovkin tii yaklaş m teoreminin istatistiksel versiyonunu inceleyelim. Teorem 3.. T n : L [a; b]! L [a; b] ile tan ml ft n g ozitif lineer oeratör dizisi olsun. E¼ger; (i) kt n k düzgün s n rl, yani; her n için kt n k C olacak biçimde bir C > mevcut ise (ii) = ; ; için st lim kt n (t ; x) x k = 9

16 şartlar sa¼glan yorsa, bu takdirde her f L [a; b] için; st lim kt n (f; x) f (x)k = elde edilir (Gadjiev ve Orhan ). Isat (ii) şart ndan " > verildi¼ginde = ; ; için n (") mevcuttur ve K ( = ; ; ) ; yo¼gunluklu alt küme olmak üzere her n K ve n > n ( = ; ; ) için kt n (t ; x) x k < " (3.3) gerçeklenir. (K \ K \ K ) = oldu¼gundan n > maxfn ; n ; n g olmak üzere (3.3) eşitsizli¼gi n K := K \ K \ K için de sa¼glan r. Hiotezden, C > olmak üzere kt n k C (n = ; ; :::) koşulunu sa¼glayan bir C sabiti mevcuttur. Luzin Teoreminden; f L [a; b] verildi¼ginde kf gk < " olacak biçimde g C[a; b] mevcuttur. uradan T n oeratörünün lineerli¼gini ve monotonlu¼gunu kullanarak; kt n (f; x) f (x)k kt n (f g; x)k + kt n (g; x) g (x)k + kf gk " (C + ) + kt n (g; x) g (x)k (3.4) elde edilir. g fonksiyonu [a; b] aral ¼g nda sürekli oldu¼gundan; her x [a; b] ve bir M > için jg(x)j M yazabiliriz. öylece; kt n (g; x) g (x)k kt n (g (t) g (x) + g (x) ; x) g (x)k kt n (jg (t) g (x)j ; x)k + jg (x)j kt n (; x) k kt n (jg (t) g (x)j ; x)k + M kt n (; x) k elde edilir. g C[a; b] oldu¼gundan; her t; x [a; b] için M ve ozitif bir sabit olmak üzere jg (t) g (x)j < " + M (t x)

17 yazabiliriz. u durumda; a < b olmak üzere kt n (jg (t) g (x)j ; x)k = T n " + M (t x) ; x " (T n (; x) ) + M T n (t x) ; x " (kt n (; x) k + ) + M Tn t ; x x +b kt n (t; x) xk + b kt n (; x) k (3.5) (3.3) dan n K ve n > max fn o ; n ; n g için (3.5) deki son eşitsizlik (3.4) de yerine yaz ld ¼g nda n! için; st lim kt n (f; x) f (x)k = elde edilir.

18 4. LOKAL INTEGRALLENE IL IR FONKS IYON UAYLARI u bölümde önce lokal integrallenebilir fonksiyonlar n tan m ya l daha sonra lokal integrallenebilir fonksiyonlar n a¼g rl kl uzay nda Korovkin tii baz yaklaş m teoremleri incelenecektir. Her x R için = + x a¼g rl kl fonksiyonu olmak üzere; lokal integrallenebilir fonksiyonlar n a¼g rl kl uzay L ;q (loc) ile gösterilecektir. 4. Lokal Integrallenebilir Fonksiyonlar u k s mda lokal integrallenebilir fonksiyonlar tan t l, ilerideki isatlar m zda kullanaca¼g m z baz notasyonlar verilecektir. Tan m 4.. < x < için = + x a¼g rl k fonksiyonu olmak üzere, h > ve f ölçülebilir bir fonksiyon olsun. M f, f fonksiyonuna ba¼gl bir sabit ve olmak üzere, h x h h jf (t)j M f (4.) koşulunu sa¼glayan f fonksiyonlar n n uzay na lokal integrallenebilir fonksiyonlar n a¼g rl kl uzay denir ve L ;q (loc) ile gösterilir. L ;q (loc) uzay, kfk ;q = su <x< h x h h jf (t)j (4.) normu ile tan ml lineer normlu bir uzayd r. L ;q (loc) uzay n kendi içine dönüştüren tüm lineer ozitif oeratörlerin uzay n (L ;q (loc)! L ;q (loc)) + ile gösterece¼giz.

19 Şimdi s kça kullanaca¼g m z baz notasyonlar ifade edelim. Her a; b R için; kf; L (a; b)k = b a b a jf (t)j (4.3) kf; L ;q (a; b)k = su axb kf; L ;q (jxj a)k = su jxja kf; L (x h; x + h)k kf; L (x h; x + h)k (4.4) (4.5) tan mlayabiliriz. u do¼grultuda L ;q (loc) uzay ndaki norm kfk ;q = su <x< kf; L (x h; x + h)k (4.6) ile ifade edilir (Gadjiev vd. 3). Tan m 4.. k f, f fonksiyonuna ba¼gl ozitif bir sabit olmak üzere; kf k f q ; L (x h; x + h)k lim jxj! = (4.7) koşulunu sa¼glayan f fonksiyonlar n n uzay n L k ;q (loc) ile gösterece¼giz. urada L k ;q (loc) uzay L ;q (loc) uzay n n bir alt uzay d r. k f = oldu¼gunda L k ;q (loc) yerine L ;q (loc) yaz l r (Gadjiev vd. 3). 4. Lokal Integrallenebilir Fonksiyon Uzaylar nda Korovkin Tii Teoremler u bölümde lokal integrallenebilir fonksiyon uzaylar nda Korovkin tii teoremler inceleni, Korovkin şartlar n n tüm lokal uzayda gerçeklenmeyi, lokal uzay n bir alt uzay nda sa¼glanaca¼g incelenecektir. 3

20 T n : L ;q (loc)! L ;q (loc) ile tan ml ozitif lineer oeratör dizisi olmak üzere; (i) (ii) kt n k düzgün s n rl yani; her n için kt n k C olacak biçimde bir C > mevcut olsun. m = ; ; için lim kt n (t m ; x) x m k n! ;q = şartlar n sa¼glas n. u durumda; her bir f L ;q (loc) için lim kt nf fk n! ;q = gerçekleni gerçeklenmeyece¼gi sorulabilir. Şimdi bu sorunun cevab n n negatif oldu¼gunu gösterelim. Teorem 4.. T n : L ;q (loc)! L ;q (loc) ile tan ml ozitif lineer oeratörlerin bir dizisi ft n g olmak üzere, yukar daki (i) ve (ii) şartlar n sa¼glas n. u durumda lim su kt n f f k (4.8) n! eşitsizli¼gi gerçeklenecek biçimde bir f ). L ;q (loc) bulabiliriz (Gadjiev ve Ibikli Isat T n oeratörünü aşa¼g daki gibi tan mlayal m: 8 >< x f x + T n (f; x) = ( ) ; n x n + >: f (x), d:d 4

21 T n oeratörünün ozitif lineer oeratör oldu¼gu aç kt r. jt n fj C kt n fk ;q = su xr n su x xn t f t + C dt (t+ ) A x jf (t)j C + su x<n x jf (t)j C + su x>n x f t + C dt A jf (t)j C n su xn + su x>n x x jf (t)j f t + C C dt A + su x<n x, jf (t)j t t + < C! su xr x jf (t)j C + su xr x + su xr 3 kfk ;q x elde edilir. u durumda (i) şart sa¼glan r. Şimdi (ii) şart n n sa¼gland ¼g n gösterelim. kt n (t m ; x) x m k ;q normunu göz önüne al, 5

22 m = için; jt n (; x) j = x x + < yazabiliriz. L ;q (loc) tan m ndan, jt n (; t) j C kt n (; x) k ;q = su xr x + x elde edilir. Suremum ve T n oeratörünün tan m ndan; jt n (; t) j C jt n (; t) j C su xr x = su + x x[n ;n] x + x jt n (; t) j C + su x=[n ;n] x + x = su x[n ;n] x t (t+ ) + x j j C C + su x=[n ;n] = su x[n ;n] x x + x t (t+ ) + x C 6

23 yazabiliriz. Şimdi < t < ) < t < (t+ ) (t+ ) ) < t (t+ ) < oldu¼gunu kullanarak, kt n (; x) k ;q = su xr x su x[n ;n] jt n (; t) j C x < su x[n ;n] + x + x t (t+ ) + x C!, (n! ) + n elde ederiz. m = için, 8 >< T n (t; x) = >: x ( ) x + ; x [n ; n] x ; x = [n ; n] 9 >= >; elde edilir. t > için t t + t = t t t + t yazabiliriz. öylece 7

24 jt n (; t) tj C kt n (t; x) xk ;q = su xr x + x t (t+ ) t C jt tj C su x[n ;n] x + su + x x=[n ;n] t t C (t+ ) x + x = su x[n ;n] su x[n ;n] su x[n ;n] x x jtj x + x + = su x[n ;n] + x + x C + x ; x + x C t x + n + + n elde edilir. Eşitsizli¼gin sa¼g taraf s f ra yak nsar. öylece sol taraf da s f ra yak nsar. Son olarak m = için; 8 T n t ; x >< x x + = ( ) >: ; x [n ; n] x ; x = [n ; n] 8

25 olacakt r. uradan, Tn t ; x x = x x! (n! ) elde edilir. öylece (ii) şart sa¼glan r. Şimdi kt n f f k ;q > gerçeklenecek şekilde bir f fonksiyonu bulaca¼g z. unun için 8 >< f (x) = >: x ; x x ; x [ (k ; k] [ (k; k + ] k= k= ; x < olacak şekilde bir f L ;q (loc) fonksiyonu tan mlayal m. jt n (f ; t) f (t)j C kt n (f ; x) f (x)k ;q = su xr x + x eşitli¼ginde T n oeratörü ve suremum tan m ndan; kt n (f ; x) f (x)k ;q = su x[n ;n] x t f (t + h) f (t) (t+ ) + x C n t f t + (t+ ) f (t) C n + n 9

26 elde edilir. Integrasyon aral ¼g ndan; n t n ) n t + n + yazabiliriz. u durumda f fonksiyonunun tan m n kullanarak; f t + = t + ve f (t) = t oldu¼gu son eşitsizlikte yerine yaz l rsa; n t n için n t C kt n (f ; x) f (x)k ;q n + n n n C n + n n + n = n! + n, (n! ) elde edilir. u da isat tamamlar. Teorem 4.. den görüldü¼gü gibi Korovkin şartlar tüm L ;q (loc) uzay nda gerçeklenmez. Şimdi Korovkin şartlar n n L ;q (loc) uzay n n bir alt uzay olan L k ;q (loc) uzay nda gerçeklenebilece¼gini gösterelim. Öncelikle ilgili teoremin isat nda kullanaca¼g m z bir lemmay inceleyelim. Lemma 4.. T n : L ;q (loc)! L ;q (loc) ile tan ml ozitif lineer oeratörlerin bir dizisi ft n g olmak üzere ; lim kt n (t m ; x) x m k n! ;q =, (m = ; ; )

27 sa¼glans n. u durumda reel eksende sürekli, s n rl bir f fonksiyonu ve a < b için; lim kt nf f; L ;q [a; b]k n! ;q = (4:9) sa¼glan r (Gadjiev vd. 3). Isat f, kaal aral kta düzgün sürekli bir fonksiyon oldu¼gundan, her " > için en az ndan bir = (") > vard r öyle ki jt t R için jf(t) Ayr ca f(x)j < " gerçeklenir. xj < koşulunu sa¼glayan her x [a; b]; f reel eksende s n rl oldu¼gundan, öyle bir M > say s bulabiliriz ki her x [a; b] için jf(x)j M yaz labilir. jt xj oldu¼gunda ise (t x) olaca¼g ndan; (t x) jf(t) f(x)j < jf(t)j + jf(x)j M M elde edilir. öylece her x [a; b] ve t R için; jf(t) f(x)j < " + M (t x) (4.) elde edilir. Di¼ger taraftan T n oeratörünün lineerli¼gi ve monotonlu¼gunu kullanarak; kt n f fk ;q = kt n (f(t) f(x) + f(x); x) f(x)k ;q kt n (f(t) f(x); x)k ;q + kt n (f(x); x) f(x)k ;q kt n (jf(t) f(x)j ; x)k ;q + M kt n (; x) k ;q (4.) yaz l r. (4.) eşitsizli¼ginden;

28 kt n (jf(t) f(x)j ; x)k ;q = =! T (t x) n " + M ; x ;q " T n(; x) + M T n (t x) ; x ;q " T n(; x) + " " + M T n (t x) ; x ;q " + " k(t n (; x) )k ;q + M Tn (t x) ; x ;q (4.) elde edilir. Ayr ca Tn (t x) ; x ;q = Tn t ; x xt n (; x) + x T n (; x) ;q = T n t ; x x x [T n (; x) x] +x [T n (; x) ] ;q oldu¼gundan (4.) ve (4.) eşitsizli¼ginden, a < b için; kt n f fk ;q " kt n (; x) k ;q + + M Tn t ; x x b [T n (; x) x] +b [T n (; x) ] ;q + M kt n (; x) k ;q bulunur. Hiotezden eşitsizli¼ginden sa¼g taraf s f ra yak nsayaca¼g ndan sol taraf da s f ra yak nsar, yani kt n (f; x) f(x)k ;q! elde edilir. Şimdi L k ;q (loc) uzay nda Korovkin şartlar n n gerçeklendi¼gini gösterelim.

29 Teorem 4.. T n : L ;q (loc)! L ;q (loc) ile tan ml ozitif lineer oeratör dizisi ft n g olmak üzere; (i) (ii) kt n k düzgün s n rl yani; her n için kt n k C olacak biçimde bir C > mevcut olsun. m = ; ; için lim kt n (t m ; x) x m k n! ;q = şartlar n sa¼glas n. u durumda, her f L k ;q (loc) için, lim kt nf fk n! ;q = (4:3) gerçeklenir (Gadjiev vd. 3). Isat L k ;q(loc) L ;q (loc) ve k f ozitif bir sabit olmak üzere; kf k f q; L (x h; x + h)k lim jxj! q(x) = elde edilir. u durumda. f L k ;q (loc) ise F = f E¼ger, F fonksiyonu için (4.3) sa¼glan rsa (ii) den k f q L ;q (loc) yazabiliriz. kt n f fk ;q kt n F F k ;q + k f kt n q qk ;q kt n F F k ;q + k f kt n k ;q + k f T n x x ;q yaz labilir. öylece f L ;q(loc) için teoremi isatlamak yeterlidir. Key bir " > verilsin. O halde jxj x eşitsizli¼gini gerçekleyen her x için h x h h jf(t)j < " (4.4) eşitsizli¼gi gerçeklenecek biçimde bir x o noktas bulabiliriz. Luzin teoreminden bilindi¼gi üzere [ x h; x + h] sonlu aral ¼g nda sürekli bir ' 3

30 fonksiyonu mevcuttur ve kf '; L ( x ; x )k < " (4.5) eşitsizli¼gi sa¼glan r. Şimdi M(x ) = maxf max j' (x)j ; g jxj<x +h olsun. h" < min M (x ) ; h (4.6) olacak şekilde bir > alal m. öylece 8 >< g(x) = >: '(x), jxj x + h, jxj x + h lineer ; d:d: olacak biçimde sürekli bir g fonksiyonu tan mlayabiliriz. (i),(4.4),(4.5),(4.6) ve Minkowski eşitsizli¼gini kullanarak, Luzin teoremi yard m yla; kf gk ;q kf g; L ;q ( x ; x )k + kf g; L ;q (jx j x + h + )k + kf g; L ;q (x ; x + h + )k + kf g; L ;q ( x h ; x )k " + kf g; L ;q (x h; x + h + )k + kf g; L ;q ( x h ; x + h)k " + kf '; L ;q (x h; x + h)k + kf; L ;q (x + h; x + h + )k + kg; L ;q (x + h; x + h + )k + kf; L ;q ( x h ; x h)k + kg; L ;q ( x h ; x h)k + kf '; L ;q ( x h; x + h)k yazabiliriz. 4

31 jg(x)j M(x ) ve < h oldu¼gu son eşitsizlikte dikkate al n rsa; kf gk ;q 4" + M(x ) + kf; L;q (x + h; x + 3h)k h + kf; L ;q ( x 3h; x h)k 6" + " (q (x o + h)) = " (6 + (q (x + h))) = C " elde edilir; burada C = 6 + q (x + h) al nm şt r. Yani, f L ;q(loc) ve " > oldu¼gunda; kf gk ;q < C " (4.7) eşitsizli¼gini sa¼glayan [a; b] aral ¼g nda sürekli bir g fonksiyonu bulabiliriz. q(x) = + x oldu¼gundan M(x ) n tan ml oldu¼gu yerde jxj > x için, M(x ) q (x ) < " ve g (x) = (4.8) olacak şekilde bir x > x noktas alal m. Şimdi (ii), (4.7), (4.8) ve Lemma 4.. i kullanarak; kt n f fk ;q kt n (f g)k ;q + kt n g gk ;q + kf gk ;q C kf gk ;q + kf gk ;q + kt n g gk ;q (C + ) kf gk ;q + kt n g g; L ;q ( x ; x )k + kt n g g; L ;q (jxj x )k (C + ) " + kt n g g; L ;q ( x ; x )k + kt n g g; L ;q (jxj x )k (C + ) " + kt n g g; L ;q (jxj x )k (C + ) " + kt n g; L ;q (jxj x )k 5

32 elde edilir. Her x R için jg(x)j M(x ) oldu¼gundan; kt n g; L ;q (jxj x )k M(x ) kt n ; L ;q (jxj x )k M(x ) kt n k ;q + M(x ) k; L ;q (jxj x )k yazabiliriz. öylece, kt n f fk ;q (C + ) " + M(x ) kt n k ;q + M (x ) q (x ) elde edilir. M(x ) q(x ) < " ve kt n k ;q! (n! ) oldu¼gundan; lim kt nf fk n! ;q = elde edilir. Teorem 4..3 T n : L ;q (loc)! L ;q (loc) ile tan ml ozitif lineer oeratör dizisi ft n g olmak üzere; (i) (ii) kt n k düzgün s n rl yani; her n N için kt n k C olacak biçimde bir C > mevcut olsun. m = ; ; için lim kt n (t m ; x) x m k n! ;q = şartlar n sa¼glas n. u durumda, bir " > ve q (x) = + jxj +", olmak üzere her f L ;q (loc) için, gerçeklenir (Gadjiev vd. 3). lim su kt n f f; L (x h; x + h)k n! xr + jxj +" = +x lim = jxj! q (x) 6

33 Isat Sabit bir x o R noktas için f L ;q (loc) olmak izere kt n f f; L (x h; x + h)k a n = su jxj>x + x olsun. O halde (ii) den (a n ) dizisi s n rl d r. Lemma 4.. den sabit bir x noktas için; kt n f f; L (x h; x + h)k b n = su jxjx + x dersek b n! ; (n! ) ; gerçeklendi¼gini gösterece¼giz. Luzin teoreminden [ x h; x + h] aral ¼g nda kf ' ; L ( x h; x + h)k < " (4.9) eşitsizli¼gini sa¼glayan sürekli bir ' fonksiyonu mevcuttur. Şimdi 8 >< G (x) = >: ' ( x h) ; x x h ' (x) ; jxj x + h ' (x + h) ; x x + h olacak şekilde tüm reel eksende sürekli bir G fonksiyonu tan mlayal m. Teoremin hiotezinden ve (4.9) dan b n = kt n f f; L ;q ( x ; x )k kt n (f G) ; L ;q ( x ; x )k + kt n G G; L ;q ( x ; x )k + kf G; L ;q ( x ; x )k kt n k k(f ' ) ; L ;q ( x h; x + h)k + kf ' ; L ;q ( x h; x + h)k + kt n ' ' ; L ;q ( x h; x + h)k = (kt n k + ) k(f ' ) ; L ;q ( x h; x + h)k + kt n ' ' ; L ;q ( x h; x + h)k 7

34 yazabiliriz. Teoremin (ii) şart, Lemma 4.. ve Luzin teoreminden; lim b n = (4.) n! elde edilir. Tüm bu sonuçlardan; kt n f f; L (x h; x + h)k kt n f f; L (x h; x + h)k su xr + jxj +" = su <x< + jxj +" kt n f f; L (x h; x + h)k su jxj<x + jxj +" kt n f f; L (x h; x + h)k + su jxjx + jxj +" = b n su jxj<x + x + jxj +" + a n su jxjx + x + jxj +" b n su jxj<x + x + a n su jxjx + x + jxj +" = b n + x + an su jxjx + x + jxj +" elde edilir. Hiotezden ve (4.) den istenilen sonuç gerçeklenir. öylece isat tamamlan r. Şimdi, > için q (x) = +jxj + a¼g rl k fonksiyonunu tan mlayal m. f ölçülebilir bir fonksiyon olmak üzere L ;q (loc) uzay kfk ;q = su <x< q (x) jf (t)j C x sonlu normu ile tan ml bir uzayd r. öylece a; b R için (a < b) L ( ; ) L ;q (loc) L ;q (loc) L (a; b) 8

35 oldu¼gu kolayca görülebilir. C ( ; ) uzay kfk C = su jf (x)j <x< normu ile tan ml, reel eksendeki tüm sürekli ve s n rl f fonksiyonlar n n uzay d r. Şimdi ilerideki teoremlerimizde s kça kullanaca¼g m z ve önemli bir teorem olan Luzin teoreminin L ;q (loc) uzay ndaki versiyonunu inceleyelim. Lemma 4.. f L ;q (loc) olmak üzere; " > verildi¼ginde > için kf gk ;q < " koşulunu sa¼glayan C ( Ibikli ). Isat kf gk ;q = su xr ; ) uzay nda bir g fonksiyonu mevcuttur (Gadjiev ve h jf h x h gj dtc A oldu¼gunu biliyoruz. h = seçi; jf gj C kf gk ;q = su xr x q (x) eşitli¼gini kullanal m. Suremum tan m n kullanarak; su jxjx q (x) x jf (t)j C x + x jf (t)j C (4.) yazabiliriz. (4.) eşitsizli¼ginin sa¼g nda Luzin teoremini kullan rsak; her " > için, su jxjx q (x) x jf (t) g (t)j C x + x jf (t) g (t)j C < " 9

36 olacak biçimde sürekli g fonksiyonu bulabiliriz. öylece; su jxjx q (x) x jf (t)j C < " (4.) elde edilir. L ;q (loc) uzay ndaki fonksiyonlar n tan m ndan; jf (t)j C M f x yazabiliriz. u durumda; su jxj>x q (x) jf (t)j C M f su jxj>x q (x) (4.3) x elde edilir. Her " > için; su jxj>x q (x) < " (4.4) gerçeklenecek biçimde bir x > noktas seçebiliriz. ununla birlikte tüm reel eksende sürekli bir g fonksiyonunu 8 >< >: g (x) ; her x x ; x + g x + ; her x x + g x ; her x x şeklinde tan mlayal m. Tan mlad ¼g m z g fonksiyonu x ; x + aral ¼g nda g ile çak ş kt r. Dolay s yla; (4.), (4.3) ve (4.4) eşitsizliklerinden; 3

37 jf g j C jf g j C kf gk ;q su jxjx x jf q (x) g j C + su jxj>x x q (x) jfj C su jxjx x q (x) jg j C + su jxj>x x q (x) + su jxj>x x " 3 + " 3 + " 3 = " q (x) elde edilir. u da isat tamamlar. Lemma 4..3 T n : L ;q (loc)! L ;q (loc) ile tan ml ozitif lineer oeratör ft n g dizisi olmak üzere; (i) (ii) kt n k düzgün s n rl yani; her n için kt n k C olacak biçimde bir C > mevcut olsun. m = ; ; için lim kt n (t m ; x) x m k n! ;q = şartlar n sa¼glas n. u durumda, her f C ( ; ) için; lim kt nf fk n! ;q = sa¼glan r (Gadjiev ve Ibikli ). 3

38 Isat kfk C = su jf (x)j olu; f sürekli bir fonksiyon oldu¼gundan; her " > için xr en az ndan bir = (") > vard r öyle ki jt xj < koşulunu sa¼glayan her x; t R için jf(t) f(x)j < " gerçeklenir. jt xj oldu¼gunda ise (t x) olaca¼g ndan; jf(t) f(x)j < jf(t)j + jf(x)j kfk C kfk C (t x) elde edilir. öylece her x; t R için; (t x) jf(t) f(x)j < " + kfk C (4.5) elde edilir. Di¼ger taraftan T n oeratörünün lineerli¼gi ve monotonlu¼gunu kullanarak; kt n f fk ;q = kt n (f(t) f(x) + f(x); t) f(x)k ;q kt n (f(t) f(x); t)k ;q + kt n f (x) f (x)k ;q kt n (jf(t) f(x)j ; t)k ;q + kfk C kt n (; x) k ;q (4.6) yaz l r. (4.5) eşitsizli¼ginden; kt n (jf(t) f(x)j ; t)k ;q =! T (t x) n " + kfk C ; t ;q " T n(; t) + kfk C T n (t x) ; t ;q " kt n k ;q + kfk C Tn (t x) ; t ;q " kt n k ;q Tn (t x) ; t C + kfk C su jxjx x q (x) 3

39 Tn (t x) ; t C + kfk C su jxj>x x q (x) yazabiliriz. < q (x) iken q(x) > kullanarak; ve (t x) < iken (t x) < oldu¼gunu kt n (jf(t) f(x)j ; t)k ;q < " kt n k ;q + kfk C su jxjx x T n Tn (t x) ; t C ; t C + kfk C su jxj>x x q (x) < " kt n k ;q + kfk C su jxjx + kfk C su jxj>x < " kt n k ;q + kfk C su jxjx x x Tn (t x) ; t C jt n (; t)j C x q (x) + kfk C kt n k ;q su jxj>x q (x) Tn (t x) ; t C elde edilir. Son eşitsizlik (4.6) eşitsizli¼ginde yerine yaz l ; Lemma 4.. den q(x) su jxj>x < " oldu¼gu kullan l rsa, n! için eşitsizli¼gin sa¼g taraf s f ra yak nsar. öylece istenilen sonuç elde edilir. 33

40 Teorem 4..4 T n : L ;q (loc)! L ;q (loc) ile tan ml ozitif lineer oeratör dizisi ft n g olmak üzere; (i) (ii) kt n k düzgün s n rl yani; her n N için kt n k C olacak biçimde bir C > mevcut olsun. m = ; ; için lim kt n (t m ; x) x m k n! ;q = şartlar n sa¼glas n. u durumda, her f L ;q (loc) için; lim kt nf fk n! ;q = gerçeklenir (Gadjiev ve Ibikli ). Isat (i) şart ndan dolay her n N için kt n k C, Lemma 4.. oldu¼gunu kullanarak; kt n f fk ;q kt n f g; tk ;q + kt n g gk ;q + kf gk ;q (C + ) kf gk ;q + kt n g gk ;q g C ( n! için elde edilir. ; ) fonksiyonu bulabiliriz. Lemma 4.. ve Lemma 4..3 ü kullanarak lim kt nf fk n! ;q = 4.3 Lokal Integrallenebilir Fonksiyon Uzaylar nda Korovkin Tii Teoremlerin A- Istatistiksel Versiyonu u k s mda önce A-istatistiksel yak nsakl k kavram tan t l ; A-istatistiksel yak nsakl k kullan larak a¼g rl kl fonksiyon uzaylar üzerinde tan ml ozitif lineer oeratör dizisi için Korovkin tii yaklaş m teoremleri incelenecektir. 34

41 4.3. A- Istatistiksel Yak nsakl k u k s mda bir dizinin A-istatistiksel yak nsakl ¼g incelenecektir. Tan m 4.3. A = (a nk ) negatif olmayan regüler bir matris olmak üzere; her " > için lim X n! k: jx k Lj" a nk = olacak biçimde bir L say s varsa x = (x k ) dizisi L say s na A-istatistiksel yak nsakt r denir ve st A lim x = L ile gösterilir (Connor 989, Kolk 993, Miller 995). st A ile tüm A-istatistiksel yak nsak dizilerin uzay n gösterece¼giz. Şimdi bir " > için E " = fk N :j x k L j "g dersek E" bu kümenin karakteristik fonksiyonu olmak üzere st A her " > için lim n! (A E" (k)) n = lim n! X k lim x = L olmas için gerek ve yeter koşul a nk E" (k) = olmas d r. Aç kça görülüyor ki A-istatistiksel yak nsakl k tan m nda A matrisi yerine C Cesàro matrisi al n rsa, istatistiksel yak nsakl k elde edilir. öylece yo¼gunluk tan m da X A-yo¼gunluk tan m na genişletilebilir. Dolay s yla A (E) = lim a nk mevcut ise n E kümesi A-yo¼gunlu¼ga sahitir diyece¼giz (Freedman ve Sember 98). st A ke O halde lim x = L olmas için gerek ve yeter koşul her " > için A (E " ) = olmas d r. Lemma 4.3. A = (a nk ) negatif olmayan regüler tolanabilme matrisi için lim max fa n nkg = gerçekleniyorsa; A-istatistiksel yak nsakl k klasik anlamdaki yak nsakl ktan daha kuvvetlidir (Kolk k 99). A-istatistiksel yak nsakl k normlu uzaylar için de verilebilir. 35

42 Tan m 4.3. (X; k:k) bir normlu uzay ve u = (u k ) dizisi X de bir dizi olsun. E¼ger; her " > için A fk N : ku k u k "g = oluyorsa; (u k ) dizisi u X eleman na A-istatistiksel yak nsakt r denir (Kolk 99). Şimdi Korovkin Teoremini A istatistiksel yak nsakl k yard m yla bir benzerini inceleyelim. Lemma 4.3. A = (a nk ) negatif olmayan regüler tolanabilme matrisi olsun. T n : L ;q (loc)! L ;q (loc) ile tan ml ft n g ozitif lineer oeratör dizisi olsun. T n oeratörü f (y) = y ( = ; ; ) için st A lim n kt n f f k ;q = (4.7) koşulunu sa¼glas n. u durumda reel eksende sürekli bir f fonksiyonu için st A lim n kt n f f; L ;q (a; b)k = gerçeklenir (Duman ve Orhan 3). Isat f, kaal aral kta düzgün sürekli bir fonksiyon oldu¼gundan, her " > için en az ndan bir = (") > vard r öyle ki jt t R için jf(t) Ayr ca f(x)j < " gerçeklenir. xj < koşulunu sa¼glayan her x [a; b]; f reel eksende s n rl oldu¼gundan, öyle bir M > say s bulabiliriz ki her x [a; b] için jf(x)j M yaz labilir. jt xj oldu¼gunda ise (t x) olaca¼g ndan; (t x) jf(t) f(x)j < jf(t)j + jf(x)j M M elde edilir. öylece her x [a; b] ve t R için; jf(t) f(x)j < " + M (t x) (4.8) elde edilir. 36

43 Di¼ger taraftan T n oeratörünün lineerli¼gi ve monotonlu¼gunu kullanarak; kt n f fk ;q = kt n (f(t) f(x) + f(x); x) f(x)k ;q kt n (f(t) f(x); x)k ;q + kt n (f(x); x) f(x)k ;q kt n (jf(t) f(x)j ; x)k ;q + M kt n (f ; x) f k ;q yaz l r. (4.8) eşitsizli¼ginden; kt n (jf(t) f(x)j ; x)k ;q = =! T (t x) n " + M ; x ;q " T n(f ; x) + M T n (t x) ; x ;q " T n(f ; x) + " " + M T n (t x) ; x ;q " + " k(t n (f ; x) f )k ;q + M Tn (t x) ; x ;q elde edilir. Tn (t x) ; x ;q = Tn t ; x x T n (; x) + x T n (; x) ;q = T n t ; x x x [T n (; x) x] +x [T n (; x) ] ;q yazabiliriz. C = maxfjaj ; jbjg olmak üzere; kt n f fk ;q " + (" + M) kt n f f k ;q + M kt n f f k ;q + C kt n f f k ;q +C kt n f f k ;q elde edilir. M H = max ; C M + " + M; 4CM 37

44 al n rsa; her n N için kt n f o f; L ;q (a; b)k ;q < " + H nkt n f f k ;q + kt n f f k ;q + kt n f f k ;q yazabiliriz. r > verildi¼ginde " < r olacak biçimde bir " > seçelim ve n o D = n : kt n f f k ;q + kt n f f k ;q + kt n f f k ;q r " H n o D = n : kt n f f k ;q r " 3H n o D = n : kt n f f k ;q r " 3H n o D = n : kt n f f k ;q r " 3H (4.9) kümelerini tan mlayal m.d D [ D [ D 3 oldu¼gu aç kt r. Dolay s yla (4.9) ukullanarak; X k:kt k f f;l ;q(a;b)kr a nk X kd yazabiliriz. (4.7) ve (4.3) dan istenilen sonuç elde edilir. a nk X kd a nk + X kd a nk + X kd 3 a nk (4.3) Teorem 4.3. A = (a nk ) negatif olmayan regüler tolanabilme bir matris olsun. T n : L ;q (loc)! L ;q (loc) ile tan ml ozitif lineer oeratör dizisi ft n g olmak üzere, (i) A fn N : kt n k Hg = olacak biçimde bir H > mevcut olsun. (ii) = ; ;, için f (t) = t olmak üzere, st A lim n! kt n f f k ;q = gerçeklensin. u durumda her f L k ;q (loc) için; st A lim n kt n f fk ;q = (4.3) gerçeklenir (Duman ve Orhan 3). Isat f L k ;q (loc) ise F = f k f q L ;q (loc) yazabiliriz. F fonksiyonu için 38

45 (4.3) eşitli¼gi sa¼glan rsa (ii) den kt n f fk ;q kt n F F k ;q + k f kt n q qk ;q kt n F F k ;q + k f kt n f f k ;q + k f kt n f f k ;q gerçeklenir. Dolay s yla, f fonksiyonu için de sa¼glan r. Yani, teoremi f L ;q (loc) için isatlamak yeterlidir. Key bir " > verilsin. O halde jxj x eşitsizli¼gini gerçekleyen her x için h x h h jf (t)j < " (4.3) eşitsizli¼gi gerçeklenecek biçimde bir x noktas bulabiliriz. u durumda [ x h; x + h] sonlu aral ¼g nda sürekli bir ' fonksiyonu için Luzin teoreminden, kf '; L ( x h; x + h)k < " (4.33) eşitsizli¼gi sa¼glan r. Şimdi M(x ) = maxf max j' (x)j ; g jxj<x +h olsun. h" < min M (x ) ; h (4.34) olacak şekilde bir > alal m. öylece, 8 >< g(x) = >: '(x) ; jxj x + h ; jxj x + h lineer ; d:d: olacak biçimde tüm reel eksende sürekli bir g fonksiyonu tan mlayabiliriz. (4.3), (4.33),(4.34) ve Minkowski eşitsizli¼gini kullanarak, Luzin teoremi yard m yla; 39

46 kf gk ;q kf g; L ;q ( x ; x )k + kf g; L ;q (jx j x + h + )k + kf g; L ;q (x ; x + h + )k + kf g; L ;q ( x h ; x )k " + kf g; L ;q (x h; x + h + )k + kf g; L ;q ( x h ; x + h)k " + kf '; L ;q (x h; x + h)k + kf; L ;q (x + h; x + h + )k + kg; L ;q (x + h; x + h + )k + kf; L ;q ( x h ; x h)k + kg; L ;q ( x h ; x h)k + kf '; L ;q ( x h; x + h)k yazabiliriz. jg(x)j M(x ) ve < h oldu¼gu son eşitsizlikte dikkate al n rsa; kf gk ;q 4" + M(x ) + kf; L;q (x + h; x + 3h)k h + kf; L ;q ( x 3h; x h)k 6" + " (q (x + h)) = " (6 + (q (x + h))) = C " (4.35) elde edilir, burada C = 6 + q (x + h) al nm şt r. q(x) = + x oldu¼gundan M(x ) n tan ml oldu¼gu yerde jxj > x için, M(x ) q (x ) < " ve g (x) = (4.36) olacak şekilde bir x > x noktas alal m. Şimdi, E := fn N : kt n k Hg kümesini alal m. (i) den A (E) = elde edilir. öylece " > verildi¼ginde, (4.35) ve (4.36) eşitsizliklerini kullanarak n E için, 4

47 kt n f fk ;q kt n (f g)k ;q + kt n g gk ;q + kf gk ;q kt n k kf gk ;q + kf gk ;q + kt n g gk ;q < (H + ) kf gk ;q + kt n g g; L ;q ( x ; x )k + kt n g g; L ;q (jxj x )k < (H + ) C " + kt n g g; L ;q ( x ; x )k + kt n g g; L ;q (jxj x )k elde edilir. jg(x)j M(x ) oldu¼gundan; kt n f fk ;q < (H + ) C " + kt n g g; L ;q ( x ; x )k + M (x ) q (x ) < K" + kt n g g; L ;q ( x ; x )k yazabiliriz. urada K = (H + ) C + olarak al nm şt r. Şimdi, key bir r > verildi¼ginde K" < r olacak biçimde bir " > seçelim. öylece; X X a nk ke:kt k f fk ;q r ke:kt k g g;l ;q( x ;x )k r K" a nk elde edilir. öylece; her f L ;q (loc) için Lemma 4.3. den st A lim n kt n f fk ;q = gerçeklenir. Teorem A = (a nk ) negatif olmayan regüler tolanabilir bir matris olsun. T n : L ;q (loc)! L ;q (loc) ile tan ml oziti lineer oeratör dizisi olmak üzere; Teorem 4.3. deki (i) ve (ii) şartlar n sa¼glas n. O halde q a¼g rl k fonksiyonu için, 4

48 +x lim = olmak üzere her f L jxj! q (x) ;q (loc) için st A lim n su xr gerçeklenir (Duman ve Orhan 3). kt n f f; L (x h; x + h)k = q (x) Isat Hiotezden bir " > verildi¼ginde jxj x şart n sa¼glayan her x için +x q (x) < " olacak biçimde bir x noktas alal m. f L ;q (loc) alal m. a n := kt n f f; L ;q (jxj > x )k olsun. (i) şart ndan, E := fn N : kt n k Hg kümesinin her A yo¼gunlu¼gu dir. Her n E için a n M olacak biçimde bir M > vard r. Gerçekten a n = su jxj>x su jxj>x su xr h x h h x x h h h h h h jt n f fj + x jt n fj jt n fj + + x h + x + su xr x h h h x jfj h h jfj + x = kt n fk ;q + kfk ;q kfk ;q kt n k ;q +, (kt n k H) M sa¼glan r. Luzin teoreminden; [ x h; x + h] aral ¼g nda kf '; L ( x h; x + h)k < " (4.37) eşitsizli¼gini sa¼glayan sürekli bir ' fonksiyonu mevcuttur. 4

49 Şimdi reel eksende sürekli bir G fonksiyonunu şöyle tan mlayal m: 8 ' ( x >< h) ; x x h G (x) = ' (x) ; jxj < x + h : >: ' (x + h) ; x x + h n E ve f L ;q (loc) alal m. Hiotezden ve (4.37) eşitsizli¼ginden; b n = kt n f f; L ;q ( x ; x )k kt n (f G) ; L ;q ( x ; x )k + kt n G G; L ;q ( x ; x )k + kf G; L ;q ( x ; x )k kt n k kf G; L ;q ( x h; x + h)k + kt n G G; L ;q ( x ; x )k + kf G; L ;q ( x ; x )k = (kt n k + ) kf '; L ( x h; x + h)k + kt n G G; L ;q ( x ; x )k (4.38) elde edilir. Di¼ger yandan; her n E için kt n f f; L (x h; x + h)k u n = su xr q (x) kt n f f; L (x h; x + h)k su jxj<x q (x) kt n f f; L (x h; x + h)k + su jxjx q (x) = b n su jxj<x + x q (x) + a n + x su jxjx q (x) b n + x + x + an su jxjx q (x) (4.39) elde edilir. Dolay s yla; (4.37), (4.38), (4.39) den n E ve f L ;q (loc) için; u n < (H + ) q (x + ) " + q (x + ) kt n G G; L ;q ( x ; x )k + M " = K" + q (x + ) kt n G G; L ;q ( x ; x )k 43

50 elde edilir. urada K = (H + ) q (x + ) + H al nm şt r. r > verildi¼ginde K" < r olacak biçimde bir " > seçelim. öylece; yazabiliriz. Lemma 4.3. den, X ke:u k r a nk X ke:kt k G G;L ;q( x ;x )k r K" q(x +) st A lim n u n = a nk elde edilir. u da isat tamamlar. Şimdi Korovkin teoreminin klasik versiyonunu sa¼glamayan ancak Teorem 4.3. yi sa¼glayan bir ozitif lineer oeratör dizisi örne¼gi verece¼giz. Örnek 4.3. P n : L ;q (loc)! L ;q (loc) olmak üzere h > için; 8 < P n (f; x) = : x (h) f (x + h) ; (n ) x n + f (x), d:d (4.4) şeklinde tan ml düzgün s n rl ve ozitif lineer oeratör dizisi olan (P n ) dizisini alal m. = ; ; olmak üzere; f (y) = y için; lim kp nf f k n! ;q = olmas na ra¼gmen öyle bir f L ;q (loc) vard r ki lim kp nf fk n! ;q = koşulu sa¼glanmaz. Ancak; her f L k ;q (loc) için sa¼glan r (Gadjiev vd. 3). Şimdi; (u n ) dizisi s f ra A-istatistiksel yak nsak olan ancak yak nsak olmayan bir reel say dizisi ve (P n ) dizisi de (4.4) ile tan ml olmak üzere, T n : L ;q (loc)! L ;q (loc) 44

51 oeratör dizisini T n (f; x) = ( + u n ) P n (f; x) ile tan mlayal m. Dikkat edelim ki A; lim max fa nk g = olacak biçimde negatif olmayan regüler bir n k matris ise A istatistiksel yak nsakl k klasik anlamdaki yak nsakl ktan daha kuvvetlidir (Kolk 99). u yüzden böyle bir (u n ) dizisi kurmak mümkündür. Genelli¼gi bozmaks z n (u n ) dizisinin negatif olmad ¼g n kabul edebiliriz ve (T n ) Teorem 4.3. deki tüm şartlar sa¼glar. Dolay s yla; her f L k ;q (loc) için, kt n f f k ;q = k( + u n ) P n f f k ;q = kp n f + u n P n f f k ;q kp n f f k ;q + u n kp n f k ;q yazabiliriz. uradan Lemma 4.3. i ve st A lim u n = oldu¼gunu kullanarak, her n f L k ;q (loc) için, st A lim kt n f fk n ;q = gerçeklenir. 4.4 Lokal Integrallenebilen Fonksiyon Uzaylar nda A- Istatistiksel Yaklaş m Oran u bölümde lokal integrallenebilen fonksiyon uzay nda tan ml ozitif lineer oeratörlerin A istatistiksel yak nsakl k oran yla yaklaş m yöntemini incelenecektir. Daha öncesinde A istatistiksel yak nsakl k oran ve A istatistiksel s n rl l k oran kavramlar tan t larak bu kavramlara ilişkin bir tak m sonuçlar elde edilecektir. 45

52 Tan m 4.4. A = (a jn ) negatif olmayan regüler bir matris, (a n ) ozitif reel say lar n artmayan bir dizisi olsun. Her " > için lim j a j n:jx n X Lj" a jn = koşulunu sa¼gl yorsa x = (x n ) dizisi L say s na o (a n ) oran{nda A yak{nsakt{r denir ve x n L = st A o (a n ) (n! ) biçiminde gösterilir. E¼ger her " > için lim j X n:jx n Lj"a n a jn = koşulu sa¼glan yorsa x = (x n ) dizisi L say s na o (a n ) oran{nda A istatistiksel istatistiksel yak{nsakt{r denir ve x n L = st A o (a n ) (n! ) biçiminde gösterilir (Duman vd. 3). Tan m 4.4. A = (a jn ) negatif olmayan regüler bir matris (a n ) ozitif reel say lar n artmayan bir dizisi olsun. Her " > için su j a j X n:jx nj" a jn < koşulu sa¼glan yorsa x = (x n ) dizisi O (a n ) oran{nda A denir ve x n = st A O (a n ) (n! ) biçiminde gösterilir. E¼ger X lim a jn = j n:jx n LjMa n istatistiksel s{n{rl{d{r olacak biçimde bir ozitif M say s varsa x = (x n ) dizisi O (a n ) oran{nda A istatistiksel s{n{rl{d{r denir ve x n = st A (Duman vd. 3). O (a n ) (n! ) biçiminde gösterilir R üzerinde tan ml = + x bir a¼g rl k fonksiyonu ve > ve f L (loc) için a¼g rl kl süreklilik modülü! q (f; ) = su jx tj biçiminde tan ml d r (Duman ve Orhan 8). jf (x) f (t)j 46

53 Şimdi a¼g rl kl süreklilik modülünün baz özelliklerini verelim: a) f L (loc) için! q (f; ) b) f L (loc) )! q (f; )! q (f; ) c) c > ve f L (loc) için! q (f; c) c! q (f; ) d) [c], c nin tam de¼gerini göstermek üzere bir c > ve f L (loc) için! q (f; c) ( + [c])! q (f; ) e) x; t R olmak üzere herl (loc) için jf (t) f (x)j! q (f; jt xj) özellikleri sa¼glan r. Şimdi bu bölümdeki isatlar m zda s kça kullanaca¼g m z bir lemmay inceleyelim. Lemma 4.4. T n : L ;q (loc)! L ;q (loc) ile tan ml ozitif lineer oeratör dizisi olsun. Tüm reel eksende s n rl ve sürekli her f fonksiyonu için ve f (t) = ; ' (x) = (t x) ; C = su axb ve C = su axb jf (x)j olmak üzere; her n N ve bir > için, kt n f f; L ;q (a; b)k C! q (f; ) kt n f f k ;q + C! q (f; ) gerçeklenir (Duman ve Orhan 8). + C! q (f; ) kt n ' x k ;q + C kt n f f k ;q Isat Tüm reel eksende s n rl sürekli bir f fonksiyonu ve x [a; b] alal m. oeratörünün lineerli¼gini ve monotonlu¼gunu kullanarak, her n N ve > için T n jt n (f; x) f (x)j jt n (f (t) f (x) + f (x) ; x) f (x)j jt n (f (t) f (x) ; x) + T n (f (x) ; x) f (x)j jt n (f (t) f (x) ; x)j + jf (x)j jt n (f ; x) f (x)j 47

54 yaz labilir. = + x kullanarak; oldu¼gundan; T n oeratörü ve süreklilik modülünün özelli¼gini jt n (f; x) f (x)j T n (jf (t) f (x)j ; x) + jf (x)j jt n (f ; x) f (x)j T n (! q (f; jt xj) ; x) + jf (x)j jt n (f ; x) f (x)j jt xj = T n! q f; ; x + jf (x)j jt n (f ; x) f (x)j = T n (! q (f; c) ; x) + jf (x)j jt n (f ; x) f (x)j ft n (( + [c])! q (f; ) ; x)g + jf (x)j jt n (f ; x) f (x)j jt xj = T n +! q (f; ) ; x + jf (x)j jt n (f ; x) f (x)j jt xj! q (f; ) T n (f ; x) +! q (f; ) T n ; x + jf (x)j jt n (f ; x) f (x)j =! q (f; ) ft n (f ; x) + f (x) f (x)g jt xj +! q (f; ) T n ; x + jf (x)j jt n (f ; x) f (x)j! q (f; ) ft n (f ; x) f (x)g +! q (f; ) f (x)! jt xj +! q (f; ) T n ; x + jf (x)j jt n (f ; x) f (x)j! q (f; ) jt n (f ; x) f (x)j +! q (f; ) +! q (f; ) T n (' (x) ; x) + jf (x)j jt n (f ; x) f (x)j elde edilir. urada c = jt xj al nm şt r. öylece kt n f f; L ;q (a; b)k ;q! q (f; ) su kt n f x[a;b] bulunur. Sonuç olarak; +! q (f; ) f k ;q +! q (f; ) su x[a;b] su kt n ' x k ;q + su jf (x)j kt n f x[a;b] x[a;b] f k ;q kt n f f; L ;q (a; b)k ;q C! q (f; ) kt n f f k ;q + C! q (f; ) + C! q (f; ) kt n ' x k ;q + C kt n f f k ;q 48

55 elde edilir. öylece isat tamamlan r. Teorem 4.4. A = (a jn ) negatif olmayan regüler bir tolanabilme matrisi ve (a n ) ve (b n ) ozitif artmayan iki dizi olsun. T n : L ;q (loc)! L ;q (loc) ile tan ml ozitif lineer oeratör dizisi alal m. f tüm reel eksende s n rl, sürekli bir fonksiyon olmak üzere, (i) kt n f f k ;q = st A o (a n ) ; (n! ) (ii)! q (f; n ) = st A o (b n ) ; (n! ) ; n = q kt n ' x k ;q şartlar n sa¼glar. öylece C n = maxfa n ; b n g için kt n f f; L ;q (a; b)k ;q = st A o (c n ), (n! ) elde edilir (Duman ve Orhan 8). enzer sonuç o yerine O al nd ¼g nda da sa¼glan r. Isat Lemma 4.4. den her n N için; = n = q kt n ' x k ;q seçilirse; kt n f f; L ;q (a; b)k ;q C! q (f; n ) kt n f f k ;q + C! q (f; n ) C +! q (f; n ) kt n ' x k ;q qkt n ' x k ;q +C kt n f f k ;q = C! q (f; n ) kt n f f k ;q + C! q (f; n ) +C kt n f f k ;q (4.4) elde edilir. Şimdi " > verildi¼ginde; D = D = D = n o n N : kt n f f; L ;q (a; b)k ;q " n N :! q (f; n ) kt n f f k ;q " 3C n N :! q (f; n ) " 6C 49

Daha göster