Hardy-ttlewood Maksmal Oeratörü Üzerdek Çalışmaları İcelemes BÜ Fe Blmler Dergs ISSN 5-85 BU Joural of Scece 7 () 8 7 () 8 HARDY-ITTEWOOD MAKSİMA OPERATÖRÜ ÜZERİNDEKİ ÇAIŞMAARIN İNEENMESİ Ferat DEMİR, Serhat Berat EFE* Dcle Üverstes, Mühedslk Fakültes, Elektrk Elektrok Mühedslğ Bölümü, 8 Dyarbakır Özet: Hardy-ttlewood Maksmal oeratörüü temel özellkler fade edlmştr ebesgue uzaylarıda, değşke üstlü ebesgue uzaylarıda ve Sobolev uzaylarıda Hardy-ttlewood maksmal oeratörü ç yaıla çalışmalar celemştr Kayaklar kısmıda çok sayıda makale ve kta verlmştr Makale so, araştırma kısmıda, k t logartmk koşulu dekly satlamıştır Bu koşullar, metrk-ölçümlü (metrc-measure) uzaylarıda maksmal foksyou sıırlığı ç öemldr Alıa souçlar, maksmal foksyou k ağırlıklı sıırlı olması ç yeterllk şartıı verr Aahtar Kelmeler: Hardy-ttlewood Maksmal oeratör, Sobolev uzayları, regulart, k ağırlıklı kestrmler AN OVERVIEW OF HARDY-ITTEWOOD MAXIMA OPERATOR Abstract: Basc roertes of Hardy- ttlewood Maxmal oerator are stated A overvew has bee made o Hardy ttlewood Maxmal oerator for ebesgue saces, ebesgue saces wth varable exoet, ad Sobolev saces A comrehesve lst of aers ad books are gve at refereces At the ed of the aer, the lace of vestgato, we rove a equvalece of two logarthmc codtos whch are essetal for the Hardy-ttlewhood maxmal oerator to be bouded the varable exoet metrc-measure ebesgue saces Alyg the obtaed equvalece, we state the boudedess of maxmal fucto the two weghted case Keywords: Hardy- ttlewood Maxmal oerator, Sobolev saces, regularty, two weghted estmated *Sorumlu yazar beratefe@dcleedutr
BÜ Fe Bl Dergs 7,()-8 / Ferhat DEMİR/Serhat Berat EFE GİRİŞ Hardy-ttlewood maksmal oeratörü (geellkle kısaca maksmal oeratör der) aalzde kullaıla öeml br oeratördür Bu oeratör sgular tegralde, dferasyel deklemler teorsde ve dğer oeratörler kotrol etmek ç kullaılır [, ] Bu oeratörü -boyutlu durumu lk kez 9 da İglz matematkçler GH Hardy ve JE ttlewood u br makalesde görüldü [] Daha sora -boyutlu aalogu 99 da NWeer tarafıda çalışıldı Bu makale kesrl Hardy-ttlewood maksmal oeratörü le lgl herhag br çalışma olmayı, klask Hardy- ttlewood maksmal oeratörü üzerde yaıla br çalışmadır Bu makalede ebesgue ölçümü le gösterlecektr f : R R lokal olarak tegralleeble br foksyo olmak üzere, Hardy ttlewood maksmal oeratörü Mf ( x) su f ( y) dy () r B( x, r) B( x, r) olarak taımlaır Burada B( x, r ), x merkezl ve yarıçaı r ola yuvarları (ball) göstermektedr Suremumda bu yuvarlar veya bua dek olarak r ler üzerde alımaktadır Maksmal Oeratörüü taımlamaı brde fazla yolu vardır Öreğ x -merkezl yuvarlar yere x oktasıı çere yuvarlar (merkez olmaya maksmal oeratör) ya da yuvarlar yere ekselere aralel küler alıablr Çoğu zama bu değşklklere rağme bu maksmal oeratörler aslıda brbre dek olurlar Eğer bular yere ekselere aralel dkdörtgeler kullaılırsa değşk souçlar elde edlr [, 4] HARDY-ITTEWOOD MAKSİMA OPERATÖRÜNÜN KASİK ÖZEİKERİ Bu oeratörü lk göze çara bazı özellkler şulardır [] : ) Mf ( x ), Mf ( x) bazı oktalarda veya her yerde sosuz olablr ve Mf ( x) f ( x ) dr ) okal olarak tegralleeble herhag br foksyo ç taımlıdır ) Subleerdr, ya M f g Mf Mg Şmd maksmal oeratörü br özellğ belrte br taım verlecektr Br X toolojk uzayı üzerde br f : X, foksyou verls Eğer ) her br c Rç x X : f ( x) c kümes kaalı küme ( ya da bua dek olarak x X : f ( x) c açık küme) se, bu foksyoa aşağı yarısürekl (lower semcotuous), ) her br c Rç x X : f ( x) c kümes kaalı küme ( ya da bua dek olarak x X : f ( x) c açık küme) se, bu foksyoa yukarı yarısürekl ( uer semcotuous) der [] Dkkat edlecek olursa f ( R ) ç Hardy ttlewood Mf ( x ) loc maksmal foksyou R de aşağı yarısürekldr Buda dolayı R de ölçüleblr br foksyodur f : R, ( ) l f x x x x, e se x dğer yerlerde se () Aalz tegral blgler kullaılarak f ( R ) olduğu halde, her r ç
Hardy-ttlewood Maksmal Oeratörü Üzerdek Çalışmaları İcelemes B(, r) Mf ( x) dx olduğu gösterleblr [5] Hatta f foksyoları, sıırlı ve tegralleebldğ halde bu foksyoları Mf ( x ) oeratörüü tegral olduğuu göstere örek çoktur Öreğ f,, aralığıı karakterstk foksyou ke, x ç Bu örekler Mf c f ( R) ( R) Mf ( x) x olur eştszlğ dama sağladığıı söyleme yalış olduğuu göstermektedr ve f, foksyo olsu Eğer R de ölçüleblr br su x R : f ( x) c () olacak şeklde br c sabt varsa, f R de zayıf uzayıa at foksyouu olduğu söyler [6] T subleer br oeratör ve q, olsu Eğer T, ( R ) de zayıf q ( R ) sıırlı br oeratör ve bua dek olarak herhag ç ve f ( R ) ke : ( ) c x R Tf x f () ( R ) olacak şeklde br c sabt var se T ye zayıf t q, der [6] Bu oeratörü ç sıırlılığıı fade ede ülü Hardy ttlewood-weer teorem ve ç fades aşağıdak gbdr Teorem []: Eğer ve f ( R ) se bu durumda Mf heme heme her yerde soludur q ) Eğer f ( R ) se bu durumda her ç x : ( Mf )( x) c f (4) ( R ) ) Eğer ve f ( R ) se bu durumda Mf ( R ) olur ve Mf c f (5) ( ), R ( R ) olur (4) eştszlğde M oeratörü zayıf t, dır Ya M oeratörü de zayıf uzayıa sıırlıdır (5) eştszlğ satı Marckewcz terolasyo teoremde yaılır () de M oeratörüü lokal olarak tegralleemeyebleceğ görülmektedr Aşağıda verle teorem, hag durumda M oeratörüü lokal olarak tegralleebleceğ le lgl olarak faydalı br durum sumaktadır Teorem [6]: l f( x ) f ( R ) ve l f( x),, (6) olarak taımlası ) Eğer R se f( x) f( x) f ( x) l f ( x) dx (7) Mf ( R ) olur loc )Eğer f desteğ (suort) br B yuvarıda ve B olur Mf ( B ) se bu durumda f ( x) l f ( x) dx (8) HARDY-ITTEWOOD MAKSİMA OPERATÖRÜNÜN REGUARİTE ÖZEİKERİ Sobolev uzayı ( lerde taımı yaılacaktır) ve kısm dferasyel deklemler uygulamaları, maksmal oeratörüü foksyolarıı
BÜ Fe Bl Dergs 7,()-8 / Ferhat DEMİR/Serhat Berat EFE dferasyelleeblme özellkler, düzgülüğüü asıl koruduğuu blme faydalı olacağıı şaret etmektedr Geel olarak dferasyelleeblr br foksyou maksmal foksyou dferasyelleeblr değldr [7], Öcelkle W ( R ) le gösterle Sobolev uzayı, =,,,, ç lk zayıf kısm Df, türevler ve keds ( ) da ola (ya D f ( ) ve f ( )) foksyolarda oluşur [] Df Df, Df,, D f olmak üzere ( f zayıf gradye) bu Sobolev uzayıdak br foksyou ormu f f Df (), olarak taımlaır Kue, Hardy ttlewood maksmal oeratörüü ç, W ( R ) de sıırlı olduğuu göstermştr Kue teorem şu şeklde fade edleblr: Teorem [7]: olsu Eğer, f W ( R ) se bu durumda, Mf W ( R ) ve,,, ç R de heme heme her yerde DMf MDf olur Burada (5) de,, ç DMf c D, f () olur Daha sora, Taaka ve ç Kue teorem daha da gelştrmştr Taaka ı teorem şöyledr: Teorem [8]: Eğer durumda ' f, W R se bu D Mf tegralleeblr foksyo ve D Mf D f () olur Daha sora Kue ve dqust, lokal Hardy ttlewood oeratörüü Sobolov uzayıda sıırlı olduğuu gösterdler Bu teorem fade etmede öce bazı taımlar verlmeldr, R Ökld uzayıda br açık küme; f :, lokal olarak tegralleeblr br foksyo olsu Suremum r dst( x, ) ( dst( x, ) le x ı sıırıa ola uzaklığı kast edlmektedr) şartıı sağlaya tüm r ler üzerde alımak üzere ( ı çde bulua tüm B x, r yuvarları üzerde), M f :, olarak gösterle local Hardy ttlewood maksmal foksyou M f ( x) su f ( y) dy B( x, r) B ( x, r ) olarak taımlaır [9] Burada lokal maksmal foksyouu bölgeye de bağlı olduğu görülmektedr Teorem [9]: olsu Eğer, f W ( ), bu durumda M f W, ( ) ve heme heme her x ç DM f ( x) M Df ( x ) (4) olur Bu uzay üzerde br f foksyoua verle orm f f Df (5),,,, şekldedr HARDY-ITTEWOOD MAKSİMA OPERATÖRÜNÜN DEĞİŞKEN ÜSTÜ EBESGUE UZAYINDAKİ ÖZEİKERİ Şmd de değşke üstlü ebesgue uzayıda maksmal foksyouu sıırlılığı esas olarak e durumda, oa bakalım 4
Hardy-ttlewood Maksmal Oeratörü Üzerdek Çalışmaları İcelemes : R, ölçüleblr br foksyo olsu ( R ) le gösterle değşke üstlü ebesgue uzayı R ( x) f ( x) dx ç şartıı sağlaya foksyolarda oluşur Bu uzaydak br foksyou ormu P () ( x) f f : f ( x) dx () R le taımlaır Daha öce, sabt ke ç maksmal foksyouu sıırlı olduğu fade edlmşt f x : x R ve su x : x R olarak taımlası Teorem []: Eğer olsu ve c ; l () olarak taımlaa log-holder şartıı ve komakt br küme dışıda sabt olursa bu durumda maksmal foksyou ( R ) de sıırlı olur Teorem [, ): üzerde () ve kc şart ( x) l c e olursa ye maksmal foksyou x ( ) () ( R ) de sıırlı olur Daha sora, () koşulu, bularda bağımsız olarak A Nekvda tarafıda yleştrld []: c ( x) ( ) ( x) ( ) c dx 4 HARDY-ITTEWOOD MAKSİMA OPERATÖRÜ İÇİN DENK OGARİTMİK KOŞUAR VE ONARIN İKİ AĞIRIKI KESTİRİMERE UYGUAMAARI Bu bölümde dek logartmk koşullarda söz edlecektr Böyle koşullar so zamalar maksmal foksyou sıırlılığı çalışmalarıda çok yaygı kullaılmaktadır [,, 4, 5, 6, 7, ] Bell olduğu gb [4, 5, 7], eğer üst :, br foksyo, solu varyasyoa sah br Borel ölçümü, ( x), -sıırlı bölge ve aşağıdak ağırlıklı logartmk koşulu sağlaırsa, maksmal foksyo uzaylarıda sıırlı olur: her kü ve her x, y ; ( ) ç koşulu sağlaıyor Taım 4 l ( ) (4) br Borel ölçümü olmak üzere, her kü ve * ( ) ( ) * ç özellğ sağlarsa bu ölçüme k kat (doublg codto) ölçüm der Bu sııf ölçümler kısaca D le belrtlr Taım 4 eğer her kü kümes E E o zama br Borel ölçümü olmak üzere, ç ve ou her alt ç aşağıdak koşul sağlaırsa, E ölçümüü A koşuluu sağladığı söyler Bu fadede, sabtler küüe ve E kümese bağlı değl Burada E 5
BÜ Fe Bl Dergs 7,()-8 / Ferhat DEMİR/Serhat Berat EFE şaret uygu küme ebesgue ölçümüü gösterr Bu çalışmada bz k kat şartıı sağlaya ölçümler ç (4) koşuluu, yce taıa, () logartmk koşulua dek olduğuu satlayacağız Buula da maksmal foksyolar ç k ağırlıklı kestrmler ç daha doğal ve kolay kotrol edleblecek koşullar elde edlecektr Başka br deyşle, makale öeml souçları aşağıdak k teoremdr Teorem 4 Eğer Borel ölçümü D ve şartlarıı sağlarsa, her :, ölçüleblr foksyou ç (4) koşulu () koşulua dektr İsat Öce, () (4) satlayalım br kü olsu, öyle k ve xy, oktaları bu küü herhag oktalar olsu İsatlayalım k, (4) koşulu sağlaır l su l : olsu O zama E olduğu ç l küü şartıı sağlaya ve küüü çe ala ve küle ayı merkez bölüşe br kü olsu Açıktır k, l( ) l Eğer o zama D koşulu le dyeblrz:, l l l l, veya (4) O edele, Eğer l l olursa l l l l l l elde ederz Bz sabt stele kadar küçük kabul edeblrz, bu edele l yazablrz Böylece, her x, y ve ç l buluruz Şmd de x, y ve, O zama (4) de yararlaırsak, l l Böylece, her x, y ve l Elde ederz Burada, ( )l ç () (4) satladı Şmd de (4) () olduğuu satlayalım (4) koşuluu varsayalım D koşulu le aşağıdak eştszlğ söyleyeblrz:, her ayı merkeze sah, küler ç 6
Hardy-ttlewood Maksmal Oeratörü Üzerdek Çalışmaları İcelemes ( ) ( ) (4) eştszlğ yer alır İlerde bz öyle br d d ( l,, ), d l sayısıı bulacağız k her x, y R, d ç l eştszlğ sağlaacaktır Gerçekte de, eğer xy, keyf oktalar, d, se bu oktaları çere e küçük kü olursa d l sayısıı seçme dayaarak ( ) elde ederz (4) eştszlğde yere, yere alırsak ( ) ( ) elde ederz (4) te buluruz: ( ) x l y (4) (44) Smd, (4) koşuluda ve (44) te yazablrz: l l l ( ) (45) Eğer x y l fades sağ ya l olursa, (45) sayısıı aşmayacaktır Demek, seçersek, d ç l d l eştszlğ elde ederz Eğer d olursa aşağıdak geçş açıktır: ( )l d l Böylece, 4 ( )l d her şartıı sağlaya xy, ç 4 l seçersek, eştszlğ elde ederz Baksa br deyşle, (4) () satladı Teorem 4 satladı Teorem 4` uygulayarak ve [7,Teorem ] de yararlaırsak, aşağıdak Teorem 4 satlamış oluruz Teorem 4 : [, ) br ölçüleblr foksyo, olsu ve (), () şartlarıı sağlası v, : (, ) ölçüleblr foksyoları v,, loc ve aşağıdak şartları sağlası: ) A ; ) yeterce büyük sayıdır) m x A ( m - 7
BÜ Fe Bl Dergs 7,()-8 / Ferhat DEMİR/Serhat Berat EFE ) her cu ( x) v dy dx dx sağlaılır; 4) her kü ( x) ç şartı ç m m v x dy dx x dx şartı sağlaılır O zama, öyle başka br sabt vardır k maksmal foksyo ç aşağıdak k ağırlıklı eştszlk doğru olur: v Mf f Teorem 4 satı [7, Theorem ] dek le ayıdırr Sadece, orada () koşuluu yerde (4) koşulu buluuyor Bz se Teorem 4`e dayaarak bu koşulları dek olduğuu satladık Böylece, [7] dek öeml soucu koşullarıda br sadeleştrmş olduk TEŞEKKÜR Prof Dr Farma MAMMADOV`a makale 4 bölümüe katkısıda dolayı teşekkür ederz KAYNAKAR [] Bogachev, V I Measure Theory (st Ed) Srger, (6) [] Kratz,SG ad Parks, H R Geometrc tegrato theory st ed Brkhäuser Bosto, (8) [] Hardy, GH ad ttlewood, JE, A maxmal theorem wth fucto-theoretc alcatos, Acta Math, 54 (9) [4] Guzma, M De, Dfferetato of tegrals, ect Notes Math, Srgler-Verlag New York,, 48 (975) [5] Stroock, D W A cocse troducto to the theory of tegrato Brkhäuser Bosto, (999) [6] u, S, Dg, Y ad Ya, D Sgular Itegrals ad Related Tocs World Scetfc Publshg omay, (7) [7] Kue, J, The Hardy-ttlewood maxmal fucto of a Sobolev-fucto, Israel J Math 7-4 (997) [8] Taaka, HA remark o the dervatve of the oe-dmesoal Hardy-ttlewood maxmal fucto Bull Austral Math Soc 65 5-58 ( ) [9] Kue, J, dqvst, P: The dervatve of the maxmal fucto - J Ree Agew Math 5,), 6-67 (998) [] Deg,Maxmal fucto o geeralzed ebesgue saces, Math Iequal Al 7(), 45-5 (4) [] ruz-urbe,d, Foreza,A ad Neugebauer, J The maxmal fucto o varable saces, A Acad Sc Fe Math 8,-8, ad 9 (4), 47-49 () [] Nekvda, A, Hardy-ttlewood maxmal oerator o 55-65 (4) ( ), Math IequalAl 7() [] Harjulehto, P, Hästö, P ad Pere, M: Varable exoet Sobolev saces o metrc measure saces Fuct Ar om Math 6 79 94 (6) [4] Koklashvl V ad Meskh A Two weghted orm equaltes fort he double hardy trasforms ad strog fractoal maxmal fuctos varable exoet ebesgue saces arxv:7879 () [5] Koklashvl V ad Samko Maxmal ad fractoal oerators weghted - saces Revsta Mathematca Iberoamercaa, (), 49 55 (4) [6] erer, A K O some questos related to the maxmal oerator o varable saces Tras Amer Math Soc 6 49-44, () [7] Mamedov F ad Zere Y, O a two weghted estmato of maxmal oerator the ebesgue sace wth varable exoet Aal d Matematca, Do 7/s--49, -9-6 Gelş Tarh: 8/9/ Kabul Tarh: 6// 8