KISITLI OPTİMİZASYON

KISITLI OPTİMİZASYON

SİMPLEKS YÖNTEMİ

Simpleks Yöntemi Simpleks yöntemi iteratif bir prosedürü gerektirir. Bu iterasyonlar ile gerçekçi çözümlerin olduğu bölgenin (S) bir köşesinden başlayarak amaç fonksiyonunun daha iyi bir değere sahip olduğu aynı bölgenin başka bir köşesine gelinir. Bu şekilde daha iyi değerler bulunmaya çalışılır. En uygun çözüme ulaşıldığında iterasyon sona erer.

Simpleks Yöntemi Standart bir maksimizasyon probleminde: Amaç fonksiyonu maksimize edilir. Probleme dahil olan tüm değişkenler 0 veya pozitif olmalıdır. Değişkenleri içeren tüm doğrusal kısıt ifadeleri 0 veya pozitif bir sabitten küçük veya eşit olmalıdır.

Simpleks Yöntemi Simpleks yönteminde aşağıdaki adımlar takip edilir. Geçici değişkenleri kullanarak lineer eşitsizlik sistemini bir lineer denklem sistemine dönüştürülür. Amaç fonksiyonu aşağıdaki formata uygun yazılır. Yani denklemin sağ tarafı 0 olacak şekilde düzenlenir. Burada tüm değişkenler solda ve P katsayısı +1'dir. Bu denklemi denklemlerin en altına yazın. P = c 1 x 1 + c 2 x 2 + + c n x n c 1 x 1 c 2 x 2 c n x n + P = 0 Daha sonra lineer denklem sistemi ile ilişkili ekli matris yazılır ve işlemlere aşağıda verilen adımlara göre halinde devam edilir.

Simpleks Yöntemi 1. Başlangıç simpleks tablosunu oluşturun. 2. Dikey çizginin solundaki son satırda tüm girişleri inceleyerek en uygun çözüme ulaşılıp ulaşılmadığını belirleyin. a. Tüm girişler negatif değilse, en uygun çözüme ulaşılmıştır. 4. adıma geçin. b. Bir veya daha fazla negatif giriş varsa, en uygun çözüme ulaşılamamıştır. 3. adıma geçin. 3. Pivot işlemini gerçekleştirip 2. adıma dönün. 4. Optimal çözümü veya çözümleri belirleyin.

Bir Üretim Problemi Örnek: Aşağıda verilen amaç fonksiyonunu maksimize eden optimal x ve y değerlerini bulunuz. P = x + 1. 2y = x + 6 5 y Kısıtlar: 2x + y 180 x + 3y 300 x, y 0 Çözüm: Bu standart bir maksimizasyon problemi olup simpleks metodu ile çözülebilir. Buna göre verilen bu doğrusal programlama problemi için simpleks başlangıç tablosunu oluşturalım.

Çözüm: Bir Üretim Problemi Öncelikle kısıt fonksiyon ifadelerini yazalım. Sonra kısıt sayısı kadar geçici değişkeni bu kısıt ifadelerine ekleyerek bunların denklem haline getirelim. 2x + y 180 x + 3y 300 Daha sonra amaç fonksiyonunu yeniden yazalım. 2x + y + u = 180 x + 3y + v = 300 x 6 y + P = 0 5

Bir Üretim Problemi Yeniden tanımlanmış amaç fonksiyonunu kısıt denklem sisteminin altına yerleştirip bunu bir simpleks tablosu haline getirelim. 2x + y + u = 180 x + 3y + v = 300 x 6 5 y + P = 0 Böylece bu sistemle ilişkili başlangıç tablosu aşağıdaki gibi olur. 2 1 1 0 0 180 1 3 0 1 0 300 1 6/5 0 0 1 0

Bir Üretim Problemi Böylece ilk simpleks tablosunu elde ederek 1. adım gerçekleştirildi. 2 1 1 0 0 180 1 3 0 1 0 300 1 6/5 0 0 1 0 Şimdi belirlenen prosedürler çerçevesinde problemin çözümünü tamamlayalım.

Bir Üretim Problemi 2 1 1 0 0 180 1 3 0 1 0 300 1 6/5 0 0 1 0 Her iterasyon sonucunda elde edilen tabloda optimal çözüme ulaşılıp ulaşılmadığı kontrol edilir. Örneğin, tablonun son satırında negatif girişler bulunması durumunda elde edilen çözüm optimal değildir.

Bir Üretim Problemi 2 1 1 0 0 180 1 3 0 1 0 300 1 6/5 0 0 1 0 Pivot işlemini gerçekleştirelim. Buna göre - 6/5 girişi tablonun son satırındaki dikey çizginin solundaki en küçük giriş olduğundan tablodaki sol baştan ikinci sütun pivot sütunu olarak belirlenir.

Bir Üretim Problemi Denklemi buraya yazın. 2 1 1 0 0 180 180 1 = 180 1 3 0 1 0 300 300 3 = 100 1 6/5 0 0 1 0 Pivot sütununun her bir pozitif sayısını sabitler sütununda karşılık gelen girişe bölün ve bu şekilde elde edilen oranları karşılaştırın. 300/3 = 100 oranının 180/1 = 180 oranından daha küçüktür. Bunun sonucunda 2. satır pivot satırı olarak belirlenir.

Bir Üretim Problemi Denklemi buraya yazın. 2 1 1 0 0 180 1 3 R 2 1 3 0 1 0 300 1 6/5 0 0 1 0 Pivot sütunun ve satırının kesişim noktasında bulunan 3 sayısı veya girişi pivot elemanıdır. Belirlenen bu elemanı 1 yapacak şekilde 2. satır 1/3 değeri ile çarpılır.

Bir Üretim Problemi R 1 R 2 Denklemi buraya yazın. 2 1 1 0 0 180 R 3 + 6 5 R 2 1/3 1 0 1/3 0 100 1 6/5 0 0 1 0 Pivot sütunu birim sütuna dönüştürmek için temel satır işlemleri yapılır. Burada pivot elemanın üstündeki ve altındaki elamanların 0 yapılması gerekir. Bu yapıldığında birim sütun elde edilmiş olur.

Bir Üretim Problemi 5/3 0 1-1/3 0 80 1/3 1 0 1/3 0 100 3/5 0 0 2/5 1 120 Bu şekilde bir değişken için bir iterasyon tamamlanır. Tablonun son satırı negatif bir sayı içerdiğinden, optimal bir çözüm söz konu değildir. Bu nedenle benzer süreç x değişkeninin bulunduğu sütunda birim sütun meydana getirilinceye kadar devam edilir.

Bir Üretim Problemi 5/3 0 1-1/3 0 80 Denklemi buraya yazın. 1/3 1 0 1/3 0 100 3/5 0 0 2/5 1 120 Elde edilen tabloda - 3/5 girişi tablonun son satırındaki dikey çizginin solundaki en küçük giriş olduğu için tablodaki ilk sütun artık pivot sütunudur. Şimdi bu sütun için bir birim sütun oluşturulması gerekir.

Bir Üretim Problemi Denklemi buraya yazın. 5/3 0 1-1/3 0 80 1/3 1 0 1/3 0 100 3/5 0 0 2/5 1 120 80 5/3 = 48 100 1/3 = 300 Pivot sütununun her bir pozitif sayısını sabitler sütununda karşılık gelen girişe bölün ve bu şekilde elde edilen oranları karşılaştırın. 80 / (5/3) = 48 oranı 100 / (1/3) = 300 oranından daha küçük olduğunu görülür. Bu işlemler sonucunda 1. satır pivot satırı olduğu görülür.

Bir Üretim Problemi 3 5 R 1 5/3 0 1-1/3 0 80 1/3 1 0 1/3 0 100-3/5 0 0 2/5 1 120 Pivot sütunun ve satırının kesişim noktasında bulunan 5/3 sayısı pivot elemanıdır. Belirlenen bu elemanı 1 yapacak şekilde 2. satır 3/5 değeri ile çarpılır.

Bir Üretim Problemi 1 0 3/5-1/5 0 48 R 2 1 3 R 1 1/3 1 0 1/3 0 100 R 3 + 3 5 R 1-3/5 0 0 2/5 1 120 Pivot sütunu birim sütuna dönüştürmek için temel satır işlemleri yapılır. Burada pivot elemanın altındaki elamanların 0 yapılması gerekir. Bu yapıldığında birim sütun elde edilmiş olur.

Bir Üretim Problemi Denklemi buraya yazın. 1 0 3/5-1/5 0 48 0 1-1/5 2/5 0 84 0 0 9/25 7/25 1 148 4/5 Bu şekilde iki değişken için iterasyon tamamlanır. Tablonun son satırına bakıldığında negatif bir sayı olmadığı görülür. Buradan çözümün x için 48, y için 84 ve maksimum kâr 148.8 olarak bulunur.

Bir Üretim Problemi 1 0 3/5-1/5 0 48 0 1-1/5 2/5 0 84 0 0 9/25 7/25 1 148 4/5 Bu durumda, temel değişkenler x, y ve P'dir. X için en uygun değer 48'dir. Y için en uygun değer 84. P için en uygun değer 148,8'dir. Böylece, firma 48 tip-a hediyelik eşya ve 84 tip B hediyelik eşya üreterek 148.80 ile kârı maksimize edecektir. Bu önceki sonuçlarla uyumludur.

Simpleks Yöntemi Standart Minimizasyon Problemleri

( ) Kısıtları ile Minimizasyon Lineer programlama problemlerini çözmek için simpleks yöntemi aşağıdaki koşulları içerecek şekilde geliştirilmişti. 1. Amaç fonksiyonu maksimize edilmesi, 2. İlgili tüm değişkenlerin negatif olmaması, 3. Her bir doğrusal kısıt değişkenleri içeren ifadenin negatif olmayan bir sabitden küçük veya ona eşit olması. Simpleks yönteminin yukarıda listelenen ikinci ve üçüncü koşulları sağlayan minimizasyon problemlerini çözmek için nasıl kullanılacağı burada ele alınacaktır.

Standart Minimizasyon Problemleri Örnek: Aşağıda verilen problemi Simpleks tablo yöntemi ile çözünüz: Minimum C = 2x 3y 5x + 4y 32 x + 2y 10 x, y 0 Bu problem, amaç fonksiyonun en aza indirilmesini içerdiğinden standart bir maksimizasyon probleminden farklılık gösterir. Bununla birlikte standart bir maksimizasyon problemi için diğer tüm koşulların aynen geçerli olduğu unutulmamalıdır.

Standart Minimizasyon Problemleri Simpleks yöntemi kullanarak bu problemi çözmek için amaç fonksiyonu C'yi en aza indiren P = -C'ye dönüşümü yapmak gerekir. Bu haliyle problem maksimizasyon problemi haline gelir. Böylece yeniden düzenlenen doğrusal programlama problemi aşağıdaki gibi yazılabilir. Maksimum C = P = 2x + 3y 5x + 4y 32 x + 2y 10 x, y 0 Bu problem daha önce çözülen problem gibi simpleks yöntemi kullanılarak çözülebilir.

Standart Minimizasyon Problemleri Şimdi burada kısıtlara u ve v geçici değişkenlerini ekleyerek denklemlere dönüştürelim. Bunun yanı sıra amaç fonksiyonunu yeniden düzenleyip kısıtların altına yazalım. Daha sonra sistemin katsayılarını bir tablo haline getirelim. 5x + 4y + u = 32 x + 2y + v = 10 2x 3y + P = 0 5 4 1 0 0 32 1 2 0 1 0 10 2 3 0 0 1 0

Standart Minimizasyon Problemleri 5 4 1 0 0 32 1 2 0 1 0 10 2 3 0 0 1 0 Bu durumda öncelikle tablonun en alt satırına bakarak optimal çözümün olup olmadığını belirlemek gerekir. Bu tablo için baktığımızda tablonun en alt satırında negatif değerler bulunduğu görülmektedir. Bu bakımdan başlangıç çözümü optimal çözüm değildir.

Standart Minimizasyon Problemleri 5 4 1 0 0 32 1 2 0 1 0 10 2 3 0 0 1 0 Bu tablo üzerinden pivot işlemi gerçekleştirelim. Buna göre en alt satırdaki en küçük eleman - 3 girişidir. Yani, tablonun son satırındaki dikey çizginin solundaki en küçük giriş olduğundan tablodaki ikinci sütun pivot sütunudur.

Standart Minimizasyon Problemleri 5 4 1 0 0 32 1 2 0 1 0 10 32 4 = 8 10 2 = 5 2 3 0 0 1 0 Şimdi pivot işlemini gerçekleştirelim. Pivot sütunundaki her bir pozitif sayıyı sabitler sütununda karşılık gelen girişe bölün ve bu şekilde elde edilen oranları karşılaştırın. 10/2 = 5 oranının 32/4 = 8 oranından daha küçük olduğunu görülmektedir. Bu nedenle 2. satır pivot satırıdır.

Standart Minimizasyon Problemleri 5 4 1 0 0 32 1 2 R 2 1 2 0 1 0 10 2 3 0 0 1 0 Pivot satır ve sütunları bulunduktan sonra bunların kesişme elemanı olanı olan 2 değeri pivot elemanı olarak alınır ve bunun değeri 1 yapılacak şekilde pivot satırı ½ değeri ile çarpılır.

Standart Minimizasyon Problemleri R 1 4R 2 5 4 1 0 0 32 ½ 1 0 ½ 0 5 R 3 + 3R 2 2 3 0 0 1 0 Pivot sütunu birim sütuna dönüştürmek için temel satır işlemleri yapılır. Burada pivot elemanın altındaki ve üstündeki elamanların 0 yapılması gerekir. Bu yapıldığında birim sütun elde edilmiş olur.

Standart Minimizasyon Problemleri 3 0 1-2 0 12 ½ 1 0 ½ 0 5 1/2 0 0 3/2 1 15 Bu şekilde bir değişken için iterasyon tamamlanır. Tablonun son satırı negatif bir sayı içerdiğinden, optimal bir çözüm söz konu değildir. Bu nedenle benzer süreç x değişkeninin bulunduğu sütunda birim sütun meydana getirilinceye kadar devam edilir.

Standart Minimizasyon Problemleri 3 0 1-2 0 12 ½ 1 0 ½ 0 5 1/2 0 0 3/2 1 15 12 3 = 4 5 1/2 = 10 Pivot sütununun her bir pozitif sayısını sabitler sütununda karşılık gelen girişe bölün ve bu şekilde elde edilen oranları karşılaştırın. 12 /3= 4, 5/(1/2)= 10 değerinden daha küçük olduğunu görülür. Bu işlemler sonucunda 1. satır pivot satırı olduğu görülür.

Standart Minimizasyon Problemleri 1 3 R 1 3 0 1-2 0 12 ½ 1 0 ½ 0 5 1/2 0 0 3/2 1 15 Pivot sütunun ve satırının kesişim noktasında bulunan 3 sayısı pivot elemanıdır. Belirlenen bu elemanı 1 yapacak şekilde 1. satır 1/3 değeri ile çarpılır.

Standart Minimizasyon Problemleri R 2 1 2 R 1 1 0 1/3-2/3 0 4 ½ 1 0 ½ 0 5 R 3 + 1 2 R 1 1/2 0 0 3/2 1 15 Pivot sütunu birim sütuna dönüştürmek için temel satır işlemleri yapılır. Yani 1. satır ½ ile çarpılıp 2. satırdan çıkarılır. Ayrıca 1. satır ½ ile çarpılıp 3. satıra eklenir.

Standart Minimizasyon Problemleri R 2 1 2 R 1 1 0 1/3-2/3 0 4 0 1-1/6 5/6 0 3 R 3 + 1 2 R 1 0 0 1/6 7/6 1 17 Pivot sütunu birim sütuna dönüştürmek için temel satır işlemler yapıldıktan sonra pivot elemanın altındaki elamanlar 0 yapılır. Bu şekilde birim sütun elde edilmiş olur.

Standart Minimizasyon Problemleri 1 0 1/3-2/3 0 4 0 1-1/6 5/6 0 3 0 0 1/6 7/6 1 17 Son tablodaki temel değişkenleri bulun. Bu durumda, temel değişkenler x, y ve P'dir. x için en uygun değer 4'tür. y için en uygun değer 3'tür. P için en uygun değer 17'dir, bu da C için minimize edilen değerin 17 olduğu anlamına gelir.

Dual Problem Pratik uygulamalarda karşılaştığımız doğrusal programlama problemlerinin bir başka özel biçimi aşağıdaki koşullar ile karakterize edilir. 1. Amaç fonksiyonu minimize edilmesi, 2. İlgili tüm değişkenler negatif olmayan değerler olması, 3. Diğer tüm doğrusal kısıtlar değişkenleri içeren ifadenin negatif olmayan bir sabitden büyük veya ona eşit olacak şekilde yazılması. Bu tür problemlere standart minimizasyon problemleri adı verilir.

Dual Problem Bu tür doğrusal programlama problemlerinin çözümünde, her bir maksimizasyon problemi bir minimizasyon problemi ile ilişkilidir veya bunun tersidir. Verilen problem birincil problem olup genel olarak ikili problem olarak adlandırılır.

Dual Problem Aşağıda verilen problemle ilişkili ikili problemi yazınız. Kısıtlar: Minimum C = 6x + 8y 40x + 10y 2400 10x + 15y 2100 5x + 15y 1500 x, y 0 Birincil Problem

Dual Problem Gerekli tabloları oluşturalım. x y Sabit 40 10 2400 10 15 2100 5 15 1500 6 8 u v w Sabit 40 10 5 6 10 15 15 8 2400 2100 1500 Daha sonra tablodaki sütunları ve satırları birbiriyle değiştiririz. Böylece tablonun üç sütununu u, v ve w değişkenleriyle birlikte elde ederiz.

Dual Problem u v w Sabit 40 10 5 6 10 15 15 8 2400 2100 1500 Geçici değişkenleri içeren tabloyu standart bir maksimizasyon problemi için ilk simpleks tablosu gibi düşünün. Buradan gerekli olan dual problemi yeniden oluşturabiliriz. Maksimum P = 2400u + 2100v + 1500w Kısıtlar: 40u + 10v + 5w 6 10u + 15v + 15w 8 u, v, w 0 Dual Problem

Dual Problem Dualitenin Temel Teoremi: Eğer sadece ilgili dual problemin bir çözümü varsa birincil problem bir çözüme sahiptir. Eğer bir çözüm varsa o zaman: a. Hem birincil hem de ikili problemin amaç fonksiyonları aynı optimal değere sahiptir. b. Birincil problemin en iyi çözümü dual problem ile ilişkilendirilen son simpleks tablosunun son satırındaki geçici değişkenler altında görünür.

Dual Problem Problemin çözümü son örneğimizden tamamlayalım: Maksimum P = 2400u + 2100v + 1500w Kısıtlar: 40u + 10v + 5w 6 10u + 15v + 15w 8 u, v, w 0 Dual Problem

Dual Problem Verilen birincil problemle ilişkili dual problem standart bir maksimizasyon problemidir. Böylece simpleks yöntemiyle devam edebiliriz. İlk olarak, denklemler sistemine denklemler x ve y değişkenlerini tanıtırız ve eşitlikleri denklem olarak yeniden elde ederiz. 40u + 10v + 5w + x = 6 10u + 15v + 15w + y = 8 2400u 2100v 1500w + P = 0

Dual Problem Sonra denklemler sisteminin katsayılarını yazarız. 40u + 10v + 5w + x = 6 10u + 15v + 15w + y = 8 2400u 2100v 1500w + P = 0 Buna göre ilk simpleks tablosu aşağıdaki gibi olur. u v w x y P Sabit 40 10 5 1 0 0 6 10 15 15 0 1 0 8-2400 -2100-1500 0 0 1 0

Dual Problem Problemin çözümü için son tablo elde edilene kadar simpleks yöntemi devam ettirilir. u v w x y P Sabit 1 0-3/20 3/100-1/50 0 1/50 0 1 11/10-1/50 2/25 0 13/25 0 0 450 30 120 1 1140 Birincil Problem İçin Çözüm İkiliğin temel teoremi bize birincil problemin çözümünün x = 30 ve y = 120 olduğunu ve C için minimum değerin 1140 olduğunu söyler.

Ödev-3 (28.3.2018-18.4.2018) Şekilde verilen devrede 3 batarya 30 V luk bir DA kaynağı yardımıyla şarj edilmektedir. Devreden geçen I 1, I 2, I 3, I 4 ve I 5 akımlarının değerleri dirençler yardımıyla sınırlandırılmış olup üst sınır değerleri sırasıyla 22, 8, 6, 4 ve 2 A, bataryaların DA kaynağından çektiği gücün ifadesi ise P=10I 2 +6I 4 +20I 5 olarak verilmektedir. Bunun yanında Kirşof un akım yasası gereği devrede I 1 =I 2 +I 3 ve I 3 =I 4 +I 5 denklemlerinin sağlanması gerekmektedir. Buna göre, bataryalara maksimum güç aktarımı için akım değerlerini Lineer Programlama yardımıyla bulunuz.

Ödev-3 (28.3.2018-18.4.2018) Amaç fonksiyonu: Max P=10I 2 +6I 4 +20I 5 Kısıtlar: 1. I 1 =I 2 +I 3 2. I 3 =I 4 +I 5 3. I 1 22 A 4. I 2 8 A 5. I 3 6 A 6. I 4 4 A 7. I 5 2 A