TRİGONMETRİK FONKSİYONLAR: DİK ÜÇGEN YAKLAŞIMI

TRİGONMETRİK FONKSİYONLAR: DİK ÜÇGEN YAKLAŞIMI Diyelim ki yeryüzünden güneşe lan mesafeyi bulmak istiyruz. Şerit metre kullanmak açıkçası pratik değildir. Bu nedenle bu srunun üstesinden gelmek için basit ölçümlerden başka bir şeye ihtiyacımız var. Açıları ölçmek, uzaklıkları ölçmekten daha klaydır. Örneğin, güneş, yeryüzü ve ayın luşturduğu açıyı, yalnızca bir klla güneşi, diğeriyle ayı işaret ederek aralarındaki açıyı tahmin ederek bulabiliriz. Buradaki anahtar nkta, açılar ve mesafeler arasındaki ilişkileri bulmaktır. Mesafeleri açılardan belirlemenin bir ylu lsaydı, güneşe lan mesafeyi raya gitmek zrunda lmadan bulabilirdik. Trignmetrik fnksiynlar bize ihtiyacımız lan araçları sağlar., dik üçgenin bir açısı ise, zaman trignmetrik ran sin, 'nin karşı tarafının uzunluğunun hiptenüsün uzunluğuna bölünmesi larak tanımlanır. Bu ran, güneş, dünya ve ayın luşturduğu büyük üçgen dahil lmak üzere, herhangi bir benzer dik üçgen içinde aynıdır. (bkz. Bölüm 6., Örnek 61.). Trignmetrik fnksiynlar iki farklı fakat eşdeğer ylla tanımlanabilir: gerçek sayıların fnksiynları (Bölüm 5) veya açıların fnksiynları (Bölüm 6). İki yaklaşım birbirinden bağımsızdır, bu nedenle Bölüm 5 veya Bölüm 6 ilk önce incelenebilir. Farklı uygulamalar için farklı yaklaşımlar gerektiğinden burada her iki yaklaşımı da inceliyruz 6.1 AÇI HESAPLAMASI Bir AOB açısı, rtak bir tepe nktası O lan iki ışın R1 ve R'den luşur (bkz. Şekil 1). Genellikle, bir açı; R1 ışınının R üzerine dönüşü larak yrumlanır. Bu durumda, R1 başlangıç kenar larak adlandırılır ve R açının bitiş kenarı larak adlandırılır. Eğer dönüş saat yönünün tersine lursa, açı pzitif larak kabul edilir. Eğer saat yönünde döndürülürse açı negatif kabul edilir. 1

Açı Hesaplaması Bir açının ölçüsü, R 1 'in R 'ye taşınması için gereken tepe nktasındaki dönme miktarıdır. Sezgisel larak, bu açının ne kadar açık lduğunu gösterir. Açılar için ölçü birimi, derecedir. 1 derece açı ölçüsü, başlangıç kenarının tam devirin 1/60'ını döndürerek luşturulmuştur. Kalkülüs ve diğer matematik dallarında açıları ölçmek için kullanılan dğal yöntem, radyan ölçüsüdür. Bir açının açıklık miktarı, merkezi açının tepe nktası lan ve yarıçapı 1 lan bir çemberin yay uzunluğu ile ölçülür. RADYAN ÖLÇÜMÜNÜN TANIMI: Yarıçapı 1 lan çember, merkezi açının tepe nktasından çizilirse, bu açının radyan (kısaca rad) cinsinden ölçümü, açıya karşılık gelen yay uzunluğudur. (Bkz. Şekil ) Yarıçapı 1 lan çemberin çevresi 'dir, dlayısıyla tam bir dönüm rad ölçüsüne sahiptir. düz bir açı rad ve dik açı / rad ölçüsüne sahiptir. Birim çemberi byunca uzunluğunda bir yaya karşılık gelen bir açı, birimlik radyan ölçüsüne sahiptir. (Bkz. Şekil ).

Derece larak ölçülen tam devir 60 ve radyan cinsinden rad lduğu için, bu iki açı ölçüm yöntemi arasında aşağıdaki basit ilişkiyi elde ederiz. DERECE VE RADYAN ARASINDAKI İLİŞKİ 1. Dereceyi radyana dönüştürmek için ile çarpılır.. Radyanı dereceye dönüştürmek için ile çarpılır. Bir radyanın byutu hakkında fikir edinmek için, şuna dikkat edin: 1 rad 57.96 ve 1 0.01745 rad açısının 1 radyan ölçümü Şekil 4'te gösterilmiştir. ÖRNEK 1: Radyan ve Derece Arasında Dönüştürme (a) 60 i radyan cinsinden ifade ediniz. (b) 6 rad ı derece cinsinden ifade ediniz. ÇÖZÜM: Terminlji ile ilgili bir nt: Ölçüsü 0 lan bir açı demek için genellikle 0 lik açı cümleciğini kullanırız. Ayrıca, bir açısı için, nın ölçüsü veya rad demek için veya yazarız. Açının birimi verilmediği zaman, açının radyan cinsinden ölçüldüğü varsayılır.

STANDART POZİSYONDAKİ AÇILAR Eğer bir açı xy-düzleminde tepe nktası rijin ve başlangıç kenarı ise pzitif x-ekseni üzerinde çizilirse, bu açı standart knumdadır. Şekil 5 standart pzisynlardaki açıları örneklemektedir. Standart knumdaki iki açı, kenarları aynı ise kterminaldir (Kterminal: Başlangıç ve bitim kenarları aynı lan açılar). Şekil 5 de (a) ve (c) kterminaldir.. ÖRNEK : Kterminal Açılar (a) Standart pzisynda =0 açısı ile kterminal lan açıları bulunuz. (b) Standart pzisynda açısı ile kterminal lan açıları bulunuz. ÇÖZÜM: (a) ile kterminal lan pzitif açıları bulmak için, 60 'ın herhangi bir katını ekleriz. Böylece: 0 + 60 = 90 ve 0 + 70 = 750 = 0 ile kterminaldir. ile kterminal lan negatif açıları bulmak için, 60'ın herhangi bir katını çıkarırız. 0-60 = - 0 ve 0-70 = - 690 = 0 ile kterminaldir. (Bkz. Şekil 6) ŞEKİL 6 4

(b) ile kterminal lan pzitif açıları bulmak için, 'nin herhangi bir katını ekleriz. Böylece: 7 1 ve 4 ile kterminaldir. ile kterminal lan negatif açıları bulmak için, 'nin herhangi bir katını çıkarırız. Böylece: 5 11 ve 4 ile kterminaldir. (Bkz. Şekil 7). ŞEKİL 7 ÖRNEK : Kterminal Açılar 0 ve 60 derece arasında ve standart pzisynda, 190 açı ölçüsü ile kterminal lan açıyı bulunuz. ÇÖZÜM: 60'ı, 190'den istediğimiz kadar çıkarabiliriz ve elde edilen açı 190 ile kterminal lacaktır. Snuçta 190-60 = 90 ve 190 - (60) = 570 gibi. 0 ile 60 arasındaki istediğimiz açıyı bulmak için, 60'ı 190'dan gerektiği kadar çıkarırız. Bunu yapmanın etkili bir ylu, 60'nin 190'e kaç kez girdiğini, yani 190'i 60'a bölüp, kalanını da aranan açı larak belirlemektir. Görüldüğü üzere 190, 60 e bölündüğünde kalan kısmı 10'dur (Şekil 8). 10 istenilen açıdır. ŞEKİL 8 5

ÇEMBERSEL YAY UZUNLUĞU Radyan ölçüsü lan bir açı, bir çemberin çevresinin kadarlık parçasına eşit lan bir yaya karşılık gelmektedir. Böylece, yarıçapı r lan çemberde, yay uzunluğu s; açısına karşılık gelmektedir (Şekil 9). ŞEKİL 9 ÇEMBERSEL YAY UZUNLUĞU r yarıçaplı bir çemberde yay uzunluğu s, radyan merkez açısına karşılık gelmektedir: s = r için çözüm yapıldığında aşağıdaki önemli frmül elde edilir: Bu frmül herhangi bir yarıçapı r lan bir çemberi kullanılarak radyan ölçüsünü tanımlamamızı sağlar. açısının radyan ölçüsü s / r dir. Burada s, r yarıçaplı bir çemberde a karşılık gelen çembersel yay uzunluğudur. (Bkz. Şekil 10). ŞEKİL 10 6

ÖRNEK 4: Yay Uzunluğu ve Açı Ölçüsü (a) Yarıçapı 10 m lan ve merkez açısı 0 lan bir çemberin yay uzunluğunu bulun. (b) 4 m yarıçaplı bir çemberdeki merkezi açı a 6 m uzunluğunda bir yay karşılık gelmektedir. 'nın radyan cinsinden ölçüsünü bulunuz. ÇÖZÜM: (a) Örnek 1(b) den rad dır. Buna göre yayın uzunluğu: (b) srfrmülünden s 6 r 4 rad. Daire Diliminin Alanı r yarıçaplı dairenin alanı A = r dir. Merkezi açısı lan dairenin bir diliminin alanı, tüm dairenin alanının / kadarlık parçası lan alana sahiptir. DAİRE DİLİMİNİN ALANI A dairenin alanı 1 r r = Yarıçapı r lan dairenin, merkezi açısı radyan lan bir diliminin alanı 1 A r ŞEKİL 11 ÖRNEK 5: Daire Diliminin Alanı Dairenin yarıçapı m ise, merkez açısı 60 lan bir dairenin diliminin alanını bulunuz. ÇÖZÜM: Daire diliminin alanı frmülünü kullanabilmek için radyan cinsinden dilimin merkez açısını bulmalıyız: NOT: A 60 60 180 rad rad. Böylece, daire diliminin alanı 1 1 1 A r m r frmülünün geçerli labilmesi için açısının radyan cinsinden lması gerekmektedir. 7

Dairesel Hareket Bir nktanın Şekil 1'de gösterildiği gibi bir daire byunca hareket ettiğini varsayalım. Nktanın hareketini tanımlamanın iki ylu vardır: dğrusal hız ve açısal hız. Dğrusal hız, kat edilen mesafedeki değişim hızıdır. Bu nedenle dğrusal hız, kat edilen mesafenin geçen zamana bölümüdür. Açısal hız, merkez açısı nın değişim hızıdır. Bu nedenle açısal hız, bu açısal değişimin geçen zamana bölünmesiyle elde edilen radyan sayısıdır. ŞEKİL 1 DOĞRUSAL HIZ VE AÇISAL HIZ Bir nktanın yarıçapı r lan bir daire byunca hareket ettiğini ve dairenin merkezinden nktaya kadar lan ışının t zamanında radyanından geçtiğini varsayalım. t zamanında, nktanın kat ettiği mesafe s = r lsun. Bu durumda, cismin hızı Açısal Hız Dğrusal Hız r s v t ; Yunaca mega harfidir. ÖRNEK 6: Dğrusal ve Açısal Hızın Bulunması Bir çcuk, her 10 saniyede 15 devir hızıyla, fit uzunluğunda bir askıda bir taşı döndürmektedir. Taşın açısal ve dğrusal hızlarını bulunuz. ÇÖZÜM: 10 saniye içinde, açısı 15 x = 0 radyan ile değişir. Yani taşın açısal hızı 8

Taşın 10 saniye içinde seyahat ettiği mesafe s 15 r 15 90 ft. Böylece taşın dğrusal hızı: Açısal hızın daire yarıçapına değil, yalnıza açısına bağlı lduğuna dikkat ediniz. Bununla birlikte, açısal hız ve r yarıçapı biliyrsak, dğrusal hızı aşağıdaki gibi bulabiliriz: s r v r r t t t DOĞRUDAL VE AÇISAL HIZ ARASINDAKİ İLİŞKİ Bir nkta yarıçapı r lan dairede açısal hız ile hareket ediyr ise, dğrusal hızı v şu şekilde verilir: v r ÖRNEK 7: Açısal Hızdan Dğrusal Hızın Bulunması Bir kadın, tekerlekleri 6 inç çapında lan bir bisiklet sürüyr. Tekerlekler dakika başına 15 devirde dönerse, seyahat ettiği hızı mi/h larak bulun. ÇÖZÜM: Tekerleklerin açısal hızı 15 50 rad min Tekerleklerin yarıçapı 1 inç lduğu için (çapın yarısı); dğrusal hız: v r 1 50 10, 10. in. min Ayak başına 1 inç, mil başına 580 feet ve saat de 60 dakika lduğundan, saatte mil hızı; 10, 10. in. min 60 min h 61, 61 in. h 9. 7 mi h 1 in. fit 580 ft mi 6, 60 in. mi 9

6. DİK ÜÇGENLERİN TRİGONOMETRİSİ Trignmetrik Oranlar, Özel Üçgenler, Dik Üçgenlerin Trignmetri Uygulamaları Bu bölümde, dik üçgenlerin kenarlarının belirli ranları, trignmetrik ranlar larak adlandırılan, incelenecek ve bazı uygulamaları verilecektir. Trignmetrik Oranlar Dar açılarından biri lan dik üçgeni düşünün. Trignmetrik ranlar aşağıdaki gibi tanımlanmıştır (bkz. Şekil 1) Hiptenüs Karşı Kmşu ŞEKİL 1 TRİGONOMETRİK ORANLAR karşı sin hiptenüs hiptenüs csc karşı kmşu cs hiptenüs hiptenüs sec kmşu karşı tan kmşu kmşu ct karşı Bu ranlar için kullandığımız kısaltmaların tam adları: sinüs, ksinüs, tanjant, ksekant, sekant, ktanjant dır. açısına sahip herhangi bir iki dik üçgen benzer lduğu için, bu ranlar üçgenin byutuna bakılmaksızın aynıdır. Trignmetrik ranlar sadece açısına bağlıdır (bkz Şekil ). Şekil- 10

ÖRNEK 1: Trignmetrik Oranların Bulunması Şekil 'teki açısının altı trignmetrik ranları bulunuz. ÇÖZÜM: sin cs 5 tan 5 csc ct 5 ÖRNEK : Trignmetrik Oranların Bulunması cs ise, dar açısına sahip dik üçgeni çiziniz ve için geri kalan 5 trignmetrik ranı 4 bulunuz. ÇÖZÜM: Özel Üçgenler sin cs, kmşu kenarın hiptenüse ranı larak tanımlandığından dlayı, hiptenüsün uzunluğu 4 ve kmşu kenarın uzunluğu lan bir dik üçgen çizebiliriz. Karşı kenara x dersek, Pisagr tereminden dir. Böylece: ranları bulmak için kullanırız. 7 4 cs 4 4 csc sec 4 7 dir. Ardından Şekil 4 deki üçgeni tan ct Bazı dik üçgenler, Pisagr tereminden klayca hesaplanabilen ranlara sahiptir. Sıkça kullanıldığından, bu kısımda bahsedilecektir. İlk üçgen, 1 birim uzunluğa sahip kare içersine köşegen çizilmesiyle elde edilir. (bkz Şekil 5). Pisagr teremine göre köşegen uzunluğu 7 dir. Ortaya çıkan üçgen 45, 45 ve 90 açılarına sahiptir (ya da 4, 4 ve ). Şekil 6 daki gibi ikinci üçgeni elde etmek için, kenar uzunluğuna sahip ABC eşkenar üçgeninin tabanına dik açırtay DB çizebiliriz. Pisagr 7 11

teremine göre DB kenarının uzunluğu dür. ABC üçgeninin DB açırtayı lduğu için 0, 60 ve 90 açılarına sahip üçgeni elde ederiz (ya da 6, ve ). Şimdi Şekil 5 ve 6 'daki özel üçgenleri 0, 45 ve 60 ölçülerindeki açılar için trignmetrik ranları hesaplamak için kullanabiliriz (yada 6, 4 ve ). Tablda listelenmiştir. Bu özel trignmetrik ranlar sık kullanıldığı için bilinmesinde fayda vardır. Tabii ki, elde edildiği üçgenleri hatırlarsak, daha klayca hatırlanabilirler. Diğer açıların trignmetrik ran değerlerini bulmak için hesap makinesi kullanırız. Trignmetrik ranlarda kullanılan matematiksel yöntemler (nümerik yöntemler) dğrudan bilimsel hesap makinelerine kdlanmıştır. Örneğin, SIN tuşuna basıldığında, hesap makinesi verilen açının sinüs değerini bir yaklaşımla hesaplar. Hesap makineleri sinüs, ksinüs ve tanjant değerlerini verir; diğer ranlar aşağıdaki çarpamaya göre ters ilişkileri kullanarak bunlardan klaylıkla hesaplanabilir: 1

Bu ilişkilerin trignmetrik ranların tanımından klayca rtaya çıktığını kntrl edebilirsiniz. sin t yazdığımızda, radyan ölçüsü t lan açının sinüsü demek isteriz. Örneğin, sin1, radyan ölçüsü 1 lan açının sinüsü anlamına gelir. Bu sayının yaklaşık değerini bulmak için hesap makinesi kullanırken, hesap makinesi radyan mduna ayarlanır ve aşağıdaki değer bulunur: sin1 0.841471 Ölçüsü 1 lan açının sinüsünü bulmak istersek, hesap makinesi derece mduna ayarlanır ve aşağıdaki değer bulunur: sin1 0.017454 Dik Üçgenlerin Trignmetriye Uygulamaları Üçgen altı parçaya sahiptir: üç açı ve kenar. Bir üçgeni çözmek demek, üçgen hakkında bilinen bilgilerin hepsini belirlemek demektir; bir başka ifadeyle, üç kenarın uzunluklarını ve üç açının ölçülerini belirlemektir. ÖRNEK : Dik Üçgenin Çözümü Şekil 7 'de gösterilen ABC üçgeni için a ve b değerlerini bulunuz. ÇÖZÜM: Görüldüğü üzere geriye kalan açı 60 dir. a 'yı bulmak için, a 'yı önceden bildiğimiz uzunluklar ve açılara ilişkilendiren bir eşitlik ararız. ŞEKİL 7 sin 0 a 1 lduğu bilindiğine göre: 1 a 1sin 0 1 6 Benzer şekilde, cs0 b 1 lduğu bilindiğine göre: b 1cs0 1 6 1

Şekil 8, dik üçgende hiptenüs r ve dar açı bilgisini biliyrsak; a ve b uzunlukları a rsin b rcs ŞEKİL 8 Trignmetrik ranları kullanarak dik üçgenleri çözebilme özelliği, rta bulma, haritacılık, astrnmi ve mesafelerin ölçülmesindeki birçk prblemin temelinde yer almaktadır. Bu bölümde yapılan uygulamalar daima dik üçgenleri içermektedir, ancak snraki üç bölümde görebileceğimiz gibi, trignmetri dik üçgen lmayan üçgenlerin çözümünde de faydalıdır. Bir snraki örneği tartışmak için bazı terminljiye ihtiyacımız var. Bir gözlemci bir nesneye bakıyrsa, zaman gözlemcinin gözünden nesneye dğru lan çizgiye görüş hattı denir (Bkz. Şekil 9). Gözlemlenen nesne yatayın üstündeyse, görüş hattıyla yatay arasındaki açıya yükseliş açısı denir. Nesne yataydan aşağıda ise, görüş hattı ile yatay arasındaki açıya, alçalış açısı denir. Bu bölümdeki örnek ve alıştırmalardan birçğunda, zemin seviyesinde varsayımsal bir gözlemci için yükseliş ve alçalış açısı verilecektir. Görüş hattı, eğimli bir düzlem veya bir yamaca benzer fiziksel bir nesneyi izliyrsa, eğim açısı terimini kullanırız. Bir snraki örnek, trignmetrinin ölçüm prblemine yönelik önemli bir uygulamasıdır: Uzun bir ağacın yüksekliğini tırmanmak zrunda kalmadan ölçüyruz! Örnek basit lmasına 14

rağmen snuç, trignmetrik ranların bu tür prblemlere nasıl uygulandığını anlamada temel önem taşır. ÖRNEK 4: Ağacın Yüksekliğinin Bulunması Dev bir çınar ağacı, 5 ft uzunluğunda bir gölge luşturuyr. Güneşin yükseliş açısı 5.7 ise ağacın yüksekliğini bulun. ÇÖZÜM: Ağacın yüksekliği h lsun. Şekil 10'dan şunu görüyruz: h tan 5.7 5 Tanjantın tanımından h 5tan 5.7 5 ile çarp h 5 0.4817 56 Hesap makinesi kullan Snuç larak, ağacın yüksekliği yaklaşık 56 ft'dir. ŞEKİL 10 ÖRNEK 5: Dik Üçgenleri İçeren Bir Prblem Bir binanın tabanından 500 fit uzaktaki bir nktadan bir gözlemci, binanın en üstünün yükseliş açısının 4 lduğunu ve binanın üzerindeki bir bayrak direğinin tepesinin yükseliş açısının 7 lduğunu bulmuştur. Binanın yüksekliğini ve bayrak direğinin uzunluğunu bulun. ÇÖZÜM: Şekil 11, durumu göstermektedir. Binanın yüksekliği, Örnek 4 'te ağacın yüksekliğini bulduğumuz şekilde bulunur. ŞEKİL 11 h tan 4 500 Tanjantın tanımından 15

h 500tan 4 500 ile çarp h 500 0.445 Hesap makinesi kullan Binanın yüksekliği yaklaşık larak ft dir. Bayrak direğinin uzunluğunu bulmak için önce yerden direğin tepesine kadar lan yüksekliği bulalım. k tan 7 500 h 500tan 7 h 500 0.5095 55 Bayrak direğinin uzunluğunu bulmak için, h 'yi k 'dan çıkarıyruz. Snuç larak, bayrak direğinin uzunluğu yaklaşık larak 55 = ft dir. 6. AÇILARIN TRİGONOMETRİK FONKSİYONLARI Açıların Trignmetrik Fnksiynları, Herhangi Bir Açıda Trignmetrik Fnksiynların Değerlendirilmesi, Trignmetrik Belirleyiciler, Üçgen Alanları Önceki bölümde, dar açılar için trignmetrik ranlar tanımlandı. Bu kısımda tüm açılar için trignmetrik ranları açılardaki trignmetrik fnksiynları tanımlayarak genişletilecektir. Bu fnksiynlarla mutlaka dar açı lması gerekmeden pratik prblemler de çözülebilecektir. Açıların Trignmetrik Fnksiynu POQ, dar açılı dik üçgen lmak üzere Şekil 1(a) da gösterilmektedir. nın standart pzisyndaki knumu Şekil 1(b) de gösterilmektedir. Hiptenüs Karşı kmşu ŞEKİL 1 P = P (x, y); nın uç nktasıdır. POQ üçgeninde karşı kenarın uzunluğu y ve kmşu kenarın uzunluğu x dir. Pisagr Teremimini kullanarak hiptenüsün değerinin r x y dir. Snuç larak; 16

y x y sin cs tan r r x Diğer trignmetrik fnksiynlar için benzer şekilde hesaplanabilmektedir. Açıların trignmetrik fnksiynlarını aşağıdaki gibi tanımlıyruz (Bkz. Şekil ). ŞEKİL TRİGONOMETRİK FONKSİYONLARIN TANIMI standart pzisynda bir açı ve P(x,y) uç kenarda nkta lmak üzere, eğer r x y rijinden P(x,y) nktası arasındaki uzaklık ise y sin r cs r csc, y 0 r sec, x y x x r tan, x 0 0 ct, y 0 y x x y 0'a bölme tanımlanmamış bir işlem lduğundan belirli trignmetrik fnksiynlar belirli açılar için tanımlanmamıştır. Örneğin tan 90 y x x = 0 lduğu için tanımsızdır. Trignmetrik fnksiynların tanımlanamayacağı açılar, 0 açısının uç nkta tarafındaki bir nktanın x veya y krdinatının 0 lduğu açılardır. Bunlar kadran (çeyrek) krdinat eksenleri ile sınırları lan açılardır. açılardır; Önemli nkta; trignmetrik fnksiynların değerlerinin P(x,y) nktasının seçimine bağlı lmadığıdır. Bunun nedeni eğer Px,y Şekil ^ deki gibi uç nkta üzerinde başka bir nkta ise POQ ve P OQ üçgenleri benzerdir. Trignmetrik Fnksiynların Herhangi Bir Açıyla Değerlendirilmesi Tanım gereği, açısı I. Bölgenin in uç tarafında ise bütün trignmetrik fnksiynların değerlerinin hepsinin pzitif lduğunu görülmektedir. [ r her zaman pzitiftir çünkü başlangıç nktasından P(x,y) nktasına lan uzaklıktır.] nın uç kenarı II. Bölgede ise x negatif ya 17

pzitiftir. Snuç larak sin ve csc pzitif, diğer trignmetrik fnksiynlar negatif değerlere sahiptir. Aşağıdaki tablda diğer bilgileri kntrl edebilirsiniz. TRİGONOMETRİK FONKSİYONLARIN İŞARETLERİ Bölge Pzitif Fnksiynlar Negatif Fnksiynlar I Hepsi Hiçbiri II sin,csc cs, sec, tan, ct III tan, ct sin, csc, cs, sec **********Gerçel Sayıların Trignmetrik Fnksiynlar ile İlişkisi****** Birim çemberini kullanarak tanımlanmış trignmetrik fnksiynlar daha önce incelemişti (Bölüm 5). Bir açının trignmetrik fnksiynlarıyla nasıl ilişkili lduklarını görmek için, krdinat düzlemindeki birim çember ile başlayalım. P(x,y) birim çemberde uzunluğu t lan bir yay tarafından belirlenen uç nkta lsun. Snra t, çemberin merkezinde bir açısının karşısına yer almaktadır. P nktasından x ekseni üzerinde Q nktasına dikey çizgi çizersek, OPQ üçgeninin şekli gösterildiği gibi uzunlukları x ve y lan bir dik üçgen çizilir. 18

Şimdi, gerçek sayı t'nin trignmetrik fnksiynlarının tanımına göre; sin t y cs t x açısının trignmetrik fnksiynlarının tanımına göre; kmşu y sin y hiptenüs 1 karşı x cs x hiptenüs 1 Eğer radyan cinsinden ölçülürse = t lur. (Aşağıdaki şekle bakınız.) Trignmetrik fnksiynları tanımlamanın iki ylunu karşılaştırdığımızda, bunların aynı lduğunu görürüz. Başka bir deyişle, fnksiynlar larak, verilen bir reel sayıya özdeş değerler atarlar. (Gerçel sayı bir durumda 'nin radyan ölçüsüdür ya da diğerinin yay uzunluğu t'dir.) Neden trignmetriyi iki farklı yldan inceliyruz? Çünkü farklı uygulamalar trignmetrik fnksiynları farklı şekilde görmemizi gerektirir. ÖRNEK 1: Açıların Trignmetrik Fnksiynlarını Bulma (a) cs 15 (b) tan 90 değerlerini bulunuz. ÇÖZÜM: (a) Şekil 4 den cs 15 = -x / r dir. Fakat cs 45 = x / r ve cs 45 = ise 19

cs15 (b) 90 ve 0 açılar kterminal (eş bitim nktasına sahip açılar) lduklarından Şekil den görüldüğü üzere tan 90 tan 0 dir ve tan0 ise tan 90 Örnek 1'den, dar lmayan açılardaki trignmetrik fnksiynların dar bir açıya karşılık gelen trignmetrik fnksiynlarla aynı değere (işaretleri hariç) sahip lduğunu görüyruz. Bu dar açıya referans açısı denir. REFERANS AÇI standart knumda bir açı lsun. ile ilişkili referans açısı, 'nin uç tarafı ve x-ekseni tarafından luşturulan dar açıdır. Şekil 6, bir referans açı ı bulmak için, açısının uç tarafının bulunduğu bölgenin bilinmesi faydalı lduğunu göstermektedir. ŞEKİL 6: açısı için referans açı ÖRNEK : REFERANS AÇININ BULUNMASI 0

Verilen açıları için referans açılarını bulunuz. 5 (a) (b) 870 ÇÖZÜM: (a) Referans açısı, 5 açısının uç tarafı ve x-ekseni tarafından luşturulan dar açıdır. (Bkz. Şekil7). Bu açının uç tarafı IV. bölgede lduğu için, referans açısı 5 (b) 870 ve 150 kterminaldir ( çünkü 870 (60) = 150). Snuç larak bu açının uç tarafı II. Bölgede lduğu için 180 150 0 VERİLEN BİR AÇI İÇİN TRİGONOMETRİK FONKSİYONUN DEĞERİNİNİ HESAPLANMASI Herhangi bir açısı için trignmetrik fnksiynların değerlerini bulmak için aşağıdaki adımları gerçekleştiririz. 1. açısı ile ilişkili bulunur.. 'nin trignmetrik fnksiynunun işaretini, nin bulunduğu bölgeye göre belirleyin.. 'nin trignmetrik fnksiynunun değeri, işaretin haricinde 'nin trignmetrik fnksiynunun değeri larak aynıdır. ÖRNEK : Referans Açıtı Kullanarak Trignmetrik Fnksiynların Değerinin Bulunması Verilen açıların değerlerini hesaplayınız. 1

(a) sin 40 ve (b) ct 495 ÇÖZÜM: (a) Bu açı uç tarafını Şekil 9'da gösterildiği gibi III Bölgededir. Referans açısı bu nedenle 40-180 = 60'dır ve sin 40'un değeri negatiftir. Böylece (b) 495, 15 ile kterminaldir. Bu açının uç tarafı Şekil 10 da gösterildiği gibi II. bölgededir. Snuç larak referans açı 180-15 = 45 ve ct 495 nin değeri

ÖRNEK 4: Referans Açıtı Kullanarak Trignmetrik Fnksiynların Değerinin Bulunması Verilen açıların değerlerini hesaplayınız. (a) ÇÖZÜM: 16 sin ve (b) sec 4 (a) 16 açısı 4 açısı ile kterminaldir ve bu açılar III. bölgede yer almaktadır. (Bkz. Şekil 11). Snuç larak referans açı 4 dir. sin fnksiynu III.bölgede negatif işarete sahip lduğu için (b) 4 açısı IV.bölgededir ve referans açısı 4 dir. (Bkz. Şekil 1). Bu bölgede sekant fnksiynu pzitif lduğu için Açıların trignmetrik fnksiynları, trignmetrik özdeşlikler larak adlandırılan birkaç önemli denklem aracılığıyla birbirleriyle ilişkilidir. Ters özdeşlikler ile önceden çalışılmıştı. Bu özdeşlikler herhangi bir açıyla için denklemin her iki tarafında tanımlıdır. Pisagr özdeşlikleri Pisagr tereminin bir snucudur.

İSPAT: İlk Pisagr özdeşliğini ispatlayalım. Şekil 1 deki kullanarak Snuç larak y x x y sin cs 1 r r r sin cs 1 x y r (Pisagr teremi) dir. (Her ne kadar şekilde dar açı gösterilse de, bütün açıları için ispatın geçerli lup lmadığını kntrl etmelisiniz). ÖRNEK 5: Bir Trignmetrik Fnksiynların Bir Diğeri Tarafından İfade Edilmesi (a) sin ı cs ile ifade ediniz. (b) açısı II.bölgede ise tan ı sin ile ifade ediniz. ÇÖZÜM: (a) İlk Pisagr özdeşliğini kullanarak sin 1 cs 4

Snucun işareti bulunduğu bölgeye bağlıdır. Eğer açısı I. yada II. bölgede ise sin nın işareti pzitiftir ve sin 1 cs Eğer açısı III. yada IV. bölgede ise sin nın işareti negatiftir ve sin 1 cs (b) tan sin cs lduğu için cs ı sin ile ifade etmeliyiz. cs 1 sin II.bölgede cs negatif lduğu için, cs 1 sin sin sin tan cs 1sin ÖRNEK 6: Trignmetrik Fnksiynun Hesaplanması Eğer tan ve III.bölgede ise cs bulunuz. ÇÖZÜM 1: tan nın cs ile ifadesine ihtiyacımız var. tan 1sec özdeşliğinden sec tan 1. III.bölgede sec negatif lduğu için; Snuç larak, sec tan 1 cs = 1 1 sec tan 1 1 1 1 1 1 9 ÇÖZÜM : Bu srun, Bölüm 6.'deki Örnek 'nin yöntemi kullanılarak daha klay çözülebilir. İşaretin haricinde, herhangi bir açının trignmetrik fnksiynlarının değerleri dar açıdan (referans açısı) lanlarla aynı lduğunu hatırlayın. Dlayısıyla, bir anlığına işareti görmezden gelelim, dar açı ile tan ü sağlayan bir dik üçgeni çizelim. (Bkz. Şekil 14). Pisagr teremi ile bu üçgenin hiptenüsünün uzunluğu 1 lacaktır. Şekil 14 deki üçgenden cs 1 lduğunu hemen fark edebiliriz. III.bölgede negatif lduğu için 5

cs 1 ÖRNEK 7: Trignmetrik Fnksiynun Hesaplanması Eğer sec ve IV.bölgede ise diğer beş trignmetrik fnksiynu hesaplayınız ÇÖZÜM: sec ile Şekil 15 deki gibi bir dik üçgen çizebiliriz. nın IV:bölgede lduğuna dikkat ederek, sin 1 cs tan csc sec ct 1 Bu bölümü, trignmetrik fnksiynların bir uygulamasıyla snuçlandırıyruz. Uygulamada dar açı lması gerekmemektedir. Üçgenin alanı A; A 1taban yükseklik larak hesaplanır. Eğer iki kenarı ve aradaki bir açısını biliyrsak, trignmetrik fnksiynları kullanarak yüksekliği bulabiliriz ve bundan da alanı bulabiliriz. Eğer dar açısı ise; Şekil 16(a) daki gibi üçgenin yüksekliği h bsin dır. Alan 6

1 1 A taban yükseklik absin ŞEKİL 16 Eğer dar açısı değilse; Şekil 16(b) de görüldüğü üzere üçgenin yüksekliği h bsin 180 bsin Bunun nedeni, 'nin referans açısının 180 - açısı lmasıdır. Buna göre üçgenin alanı; 1 1 A taban yükseklik absin ÜÇGENİN ALANI Üçgenin alanı A a ve b kenarları ile açısı ile 1 A absin ÖRNEK 8: Üçgenin Alanını Bulmak Şekil 17 deki üçgenin alanını bulunuz. ÇÖZÜM: Verilen üçgende 10 cm ve cm lan kenarların arasındaki açı 10dir. Buna göre 7

1 A absin 1 10 sin10 =15sin 60 15 1 cm 8