Bölüm 2 Soruları ve Cevapları Alıştırma 2.3. 1. Aşağıdakileri küme notasyonu (gösterimi) ile yazınız. (a) 34 ten büyük tüm reel sayılar kümesi Çözüm: {x x > 34} (b) 8 den büyük 65 ten küçük tüm reel sayılar kümesi Çözüm: {x 8 < x < 65} 2. S1 = {2, 4, 6}; S2 = {7, 2, 6}; S3 = {4, 2, 6} ve S4 = {2, 4} kümeleri verildiğine göre aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur? (a) S1 = S3 D (d) 3 S2 D (g) S1 S4 D (b) S1 = R (tüm reel sayılar kümesi) Y (e) 4 S4 Y (h) S2 D (c) 8 S2 Y (f) S4 R D (i) S3 {1, 2} Y 3. Önceki problemde verilen dört kümeye göre aşağıdakileri bulunuz. (a) S1 S2 = {2,4,6,7} (c) S2 S3 = {2,6} (e) S4 S2 S1 = {2} (b) S1 S3 = {2,4,6} (d) S2 S4 = {2} (f) S3 S1 S4 = {2,4} 4. Aşağıdaki ifadelerden hangileri geçerlidir? (a) A A = A D (c) A = A D (e) A = D (b) A A = A D (d) A U = U D (f) A U = A D (g) A nın tamamlayıcısı A dır. D 5. A = {4, 5, 6}; B = {3, 4, 6, 7} ve C = {2, 3, 6} verildiğine göre dağıtıcı yasayı doğrulayınız. Dağıtıcı Yasa: A (B C) = (A B) (A C) ve A (B C) = (A B) (A C) idi. A (B C) = {4, 5, 6} {3, 6} = {3, 4, 5, 6} ve (A B) (A C) = {3, 4, 5, 6, 7} {2, 3, 4, 5, 6} = {3, 4, 5, 6}. A (B C) = {4, 5, 6} {2, 3, 4, 6, 7} = {4, 6} ; ve (A B) (A C) = {4, 6} {6} = {4, 6}. 6. Dağıtıcı yasayı Venn şeması yoluyla doğrulayınız.
7. S = {5, 6, 7} kümesinin alt kümelerini yazınız. S1 = {5}, S2 = {6}, S3 = {7}, S4 = {5,6}, S5 = {5,7}, S6 = {6,7}, S7 = {5,6,7}, S8 = 8. S = {1, 3, 5, 7} kümesinin tüm alt kümelerini tek tek yazınız. Toplam kaç tane alt küme vardır? S1 = {1}, S2 = {3}, S3 = {5}, S4 = {7}, S5 = {1,3}, S6 = {1,5}, S7 = {1,7}, S8 = {3,5}, S9 = {3,7}, S10 = {5,7}, S11 = {1,3,5}, S12 = {1,3,7}, S13 = {1,5,7}, S14 = {3,5,7}, S15 = {1,3,5,7}, S16 =. 9. Örnek 6: U nun tamamlayıcısı boş kümedir ( U = ) şeklindedir. Ancak boş küme herhangi bir kümenin alt kümesi olduğuna göre, aynı zamanda U nun bir alt kümesi olmak zorundadır. Bir yandan U nun tamamlayıcısı terimi U ya ait değil düşüncesini, öte yandan da U nun alt kümesi terimi U ya ait olma düşüncesini gerektirmektedir. nın bunların her ikisi birden olması paradoksal görünmektedir. Bu paradoksu nasıl çözersiniz? U nun tamamlayıcısı U = {x x U}. Burada U nun içinde değil ifadesi ile gösterilir. simgesi x ın bir elemanını U kümesi ile ilişkilendirir. Buna karşılık U nun bir alt kümesidir dediğimiz zaman U nun içinde simgesi ile gösterilir. Bu da alt kümeyi (yani ) U ya bağlar. Bu nedenle aslında iki farklı kavramımız var ve aslında bir paradoks yoktur. Alıştırma 2.4. 1. S1 = {3, 6, 9}; S2 = {a, b} ve S3 = {m, n} verildiğinde aşağıdaki Kartezyen çarpımları bulunuz. (a) S1 S2 = {(3,a), (3,b), (6,a), (6,b) (9,a), (9,b)} (b) S2 S3 = {(a,m), (a,n), (b,m), (b,n)} (c) S3 S1 = {(m,3), (m,6), (m,9), (n,3), (n,6), (n,9)} 2. Önceki problemde verilen bilgilere dayanarak S1 S2 S3 kartezyen çarpımını bulunuz. S1 S2 S3 = {(3,a,m), (3,a,n), (3,b,m), (3,b,n), (6,a,m), (6,a,n), (6,b,m), (6,b,n), (9,a,m), (9,a,n), (9,b,m), (9,b,n)} 3. Genelde, S1 S2 = S2 S1 eşitliği doğru mudur? Hangi koşullar altında bu iki Kartezyen çarpımı eşit olur. Hayır, ancak S1 S2 iken 4. Aşağıdaki, dörtgensel koordinat düzlemine çizilenlerin her biri bir fonksiyonu temsil eder mi? (a) Bir çember Hayır (c) Bir dikdörtgen Hayır (b) Bir üçgen Hayır (d) aşağı eğimli bir doğru Evet 5. y = 5 + 3x fonksiyonunun önalanı {x 1 x 9} kümesi olduğuna göre fonksiyonun ardalanını bulunuz ve bir küme olarak ifade ediniz. Ardalan = {y 8 y 32} 6. y = x 2 fonksiyonunda önalan tüm negatif olmayan sayılar kümesi olduğunda ardalan ne olur? Açıklama
0 ne negatif ne de pozitiftir ancak negatif ve pozitif sayılar 0 a göre tanımlanır. Bu nedenle Negatif olmayan sayılar kümesi 0 dahil pozitif sayılar kümesidir. Pozitif olmayan sayılar kümesi 0 dahil negatif sayılar kümesidir. O halde örneğin pozitif (negatif) sayılar kümesi ile pozitif (negatif) olmayan sayılar kümesi arasındaki fark 0 dan ileri gelir. 7. Firma teorisi kapsamında iktisatçıları toplam maliyetin (C) toplam çıktı miktarının (Q) b,r fonksiyonu olduğunu varsayalar, yani C = f(q). (a) Fonksiyon tanımına göre, her bir maliyet değerinin tek bir çıktı düzeyi ile mi ilişkilendirilmesi gerekir? Hayır (b) Her bir çıktı düzeyi tek bir maliyet düzeyine mi sahip olmalıdır? Evet 8. Bu sorudan sorumlu değilsiniz. Alıştırma 2.5. 1. Aşağıdaki fonksiyonların grafiğini çizin (her biri için önalanı negatif olmayan reel sayılar olarak alın). (a) y = 16 + 2x (b) y = 8 2x (c) y = 2x + 12 2. Problem 12de (a) ve (b) şıklarında verilen fonksiyonlar arasındaki en önemli fark nedir? Bu farklılık grafiğe nasıl yansımaktadır? (a) ve (c) şıklarında verilen fonksiyonlar arasındaki en önemli farklılık nedir? Bu farklılık grafiğe nasıl yansımaktadır? Denklemler (a) ve (b) x in katsayısının işareti bakımından farklıdır pozitif (negatif) bir işaret yukarı (aşağı) yönlü eğim anlamına gelir. Denklemler (a) ve (c) sabit terimleri bakımından farklıdırç daha yüksek bir sabit terim daha büyük bir dikey kesim noktası demektir. 3. Aşağıda verilen fonksiyonların grafiğini çizin (her biri için önalanı 5 x 5 alın.). Bilindiği üzere x 2 teriminin katsayısının işareti karesel fonksiyonun bir tepe ye mi yoksa bir vadi ye mi sahip olup olmadığını belirler. Bu soruda hangi işaret bir tepeye hangi işaret bir vadiye işaret eder? Sezgisel bir açıklama getirmeniz yeterlidir.
4. y = 36/x fonksiyonunun grafiğini x ve y nin sadece pozitif değerler aldığını varsayarak çizin. Daha sonra her iki değişkenin de negatif değerler aldığını varsayın. Çizeceğiniz kinci grafik ilk grafiğe göre nasıl bir değişikliğe uğrar? 5. Aşağıdaki ifadeleri kısaltın. (a) x 4 x 15 = x 19 (b) x a x b x c = x a+b+c (c) x 3 y 3 z 3 = (xyz) 3 6. (a) 3 3 x x = x 6 (b) ( x 1/ 2 1/ 3 2 / 3 x = x 1/6 ifadelerini kısaltın. 7. m / n n m n m x ( x olduğunu gösterin (her bir aşamadaki kuralı açıkça yazın.). Çözüm: Kural VI ve V kullanılarak şöyle kanıtlanır: Kural V: x 1/ n n x ve Kural VI: ten m n m n ( x. Buna göre m / n m 1/ n n m n m ( x ( x yazılabilir. Yine bu iki kuralı kullanarak m / n 1/ n m n m ( ( x yazarız. 8. Chiang ve Wainwright (2005) deki VI. ve VII. kuralları kanıtlayın.