YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI III Final Çalışma Soruları Soru ) Aşağıda verilen adım geçiş matrisli Markov Zincirini ele alın..5.5..8 P=.5.75.6. a) Markov Zincirindeki haberleşen sınıfları yazın. b) Markov Zincirinin durumlarının geçici mi yoksa yineleyen durum mu olduğunu yazın. Eğer geçici durum ise neden geçici, yineleyen durum ise niye yineleyen olduğunu açıklayın. c) Limit (kararlı hal) dağılımı var mıdır?varsa niye var? Yoksa neden yok? Açıklayın. Eğer limit (kararlı hal) dağılımı varsa, bulun. Soru ) Aşağıda verilen Markov Zincirini düşünün. P a) Yukarıda verilen Markov Zincirindeki Haberleşen Sınıfları yazın ve her bir durumun yinelemeli mi yoksa geçici mi olduğuna karar verin. b) P için Durağan Dağılım var olup, olmadığını yazın. Varsa neden var? Yoksa neden yok? c) Eğer varsa limit (kararlı hal) dağılımını bulun. Soru ) Bir sekreterin adet şemsiyesi vardır ve sekreter şemsiyeleri evi ve ofisi arasındaki seyahatlerinde kullanmaktadır. Sekreter sabah evinden ofisine, akşam ise ofisinden evine yaya olarak gitmektedir. Sekreter evden yada ofisten çıkarken eğer yağmur yağıyorsa ve o an bulunduğu yerde (ev yada ofis) bir şemsiye varsa, yanına şemsiyesini alır. Aksi halde (yağmur yağmıyorsa veya yağsa bile alabileceği bir şemsiye yoksa) yanına şemsiye almaz. Varsayalım ki geçmişten bağımsız olarak yağmur yağma olasılığı.'tür. İp ucu: X n, sekreterin ev ve ofis arasındaki n. seyahatinde başlangıç yerindeki (ofis yada ev) şemsiye sayısı olsun. a) Verilen süreci Kesikli Zaman Markov Karar olarak modelleyin ve geçiş diyagramını çizin. b) j terimleriyle sekreterin ıslandığı zamanın oranını hesaplayın.
Soru ) Cep telefonu sektöründe çok yoğun bir rekabet söz konusudur. M-cell ve Z-cell isimli iki şirket, pazarı kontrol etmek için sürekli bir birleriyle rekabet halindedir. Her iki şirket de müşterilerine yıllık servis garantisi sunmaktadır. Her yılın sonunda müşterilerin bir bölümü servis antlaşmasını yenilemekte, kalan bölümü ise diğer şirkete kaymaktadır. M-cell müşterilerinin operatörlerine sadık kalma ve servis antlaşması yenileme eğilimi %8, ve diğer şirkete geçme eğilimi % 'dir. Z-cell müşterilerinin ise yaklaşık % 7'i antlaşma yenileme; %'u ise diğer şirkete geçme eğilimindedir. a) Verilen sürecin geçiş diyagramını çizin ve P matrisini yazın. b) Varsayalım ki Bay Hızlımesaj 5 yılı başında Z-cell ile bir servis antlaşması yenilemiştir. Bay Hızlımesaj'ın 6 yılı başında Z-cell ile antlaşma yenileme olasılığı kaçtır? c) Bayan Kısamesaj 5 yılı başında M-cell şirketinin müşterisi olmuştur. Bayan Kısamesaj'ın 8 yılının başında Z-cell şirketi ile bir servis antlaşması yapma olasılığı nedir? d) Varsayalım ki bir müşteri 5 yılının başında hangi şirketle antlaşma yenileyeceğine karar verememiş; ancak. olasılıkla M-cell ile,.6 olasılıkla ise Z-cell ile kontrat imzalamayı düşünmektedir. Bu müşterinin 8 yılının başında Z-cell ile servis kontratı yapma olasılığı nedir? Soru 5) Bir öğrenci her sabah evinden koşuya çıkmaktadır. Öğrenci, eşit olasılıkla evden ya ön kapıdan yada arka kapıdan çıkmaktadır. Öğrenci evden çıkarken koşu ayakkabısı giyer (veya öğrencinin çıktığı kapıda ayakkabı yoksa koşuya yalınayak gider). Öğrenci koşudan döndüğünde yine eşit olasılıkla ön yada arka kapıdan eve girer ve koşu ayakkabılarını kapıya bırakır. Eğer öğrencinin çift koşu ayakkabısı varsa, öğrencinin yalınayak koştuğu zamanın oranı nedir? İpucu: X n,n. günün başında öğrencinin ayrıldığı kapının önündeki ayakkabı çifti sayısı olsun. Soru 6) Bir sunucu bilgisayar her saatin sonunda kontrol edilmektedir. Kontrol sonucunda sunucunun ya çalıştığı yada bozuk olduğu görülür. Eğer kontrolde sunucunun çalıştığı görülürse, sunucunun sonraki saat çalışır durumda kalma olasılığı.9'dır. Eğer kontrolde sunucunun bozuk olduğu görülürse, sunucu tamir edilir ve bu tamir işlemi saatten uzun sürebilir. Her ne zaman sunucu çalışmaz durumdaysa, sunucunun ne kadar zamandır bozuk olduğuna bakılmaksızın, sunucunun saat sonra hala bozuk olma olasılığı.5'tir. (a) Her saat sonunda sunucunun durumunun neden bir Markov zinciri olduğunu açıklayın. (b) Markov zincirinin -adım geçiş olasılık matrisini yazın ve geçiş diyagramını çizin. (c) Sunucunun anında çalışır durumda olduğu verildiğinde, saat sonra yine çalışır durumda olma olasılığını bulun. (d) anında sunucunun çalışır durumda olma olasılığı.7'dir. Sunucun saat sonra bozuk olma olasılığını bulun.
Soru 7) Aşağıdaki, Markov zincirlerini ele alın. P, P, P a) Yukarıda verilen Markov zincirlerini sınıflandırın ve Markov zincirlerinin Ergodik yada Sonlu Markov zinciri olup olmadığına karar verin. b) P 'nin durağan durumunun var olup olmadığını, varsa neden? yoksa neden? açıklayın. c) Eğer varsa, P 'nin limit (kararlı hal) ve/veya durağan durum dağılımını bulun. Soru 8) Aşağıda -adım geçiş matrisleri verilen Markov Zincirlerinin Ergodik yada Sonlu olup, olmadığını belirleyin. a) P b) P 9) Protect Sigorta Şirketi, müşterilerini kaza geçmişlerine göre poliçe fiyatlandırması yapmaktadır. Son yıl süresince her hangi bir kaza yapmamış olan bir müşterinin poliçe ücreti yıllık TL'dir. Son iki yılın her birinde kaza yapmış bir müşterinin poliçe ücreti yıllık TL'dir. Son iki yılın sadece birinde kaza yapmış bir müşterinin poliçe ücreti ise yıllık TL'dir. Geçen yıl kaza yapmış bir müşterinin, bu yıl da kaza yapma olasılığı % 'dir. Eğer müşteri geçen yıl kaza yapmamışsa, bu yıl da kaza yapma olasılığı sadece % 'dur. a) Sigorta şirketinin poliçe ücretlendirme sistemini Markov zinciri olarak modelleyin ve geçiş diyagramını çizin. b) Uzun dönemde sigorta şirketinin bir müşterisinin ortalama poliçe masrafı ne kadar olur? Hesaplayın.
) Bir firmada çalışan bir işçinin maaş yapısı aşağıdaki -adım geçiş olasılık matrisli Markov zinciriyle karakterize edilebilir. ( maaş kademesi A, B, C; durumla gösterilir ve durum geçişleri her yıl açığa çıkar.) / P / / 8 / / / 8 / a) Bu matrisle ilişkili geçiş diyagramını çizin. b) Eğer bir işçinin başlangıçta A durumunda bulunma olasılığı /, B durumunda olma olasılığı /8 ve C durumunda olma olasılığı /8 olarak verilirse; bu işçinin yıl sonra ( geçiş sonra) C durumunda sonlanma olasılığı nedir? c) Bu Markov zinciri indirgenemez mi? Neden? yada neden değil? Geçici yada yutucu bir durum var mı? Eğer varsa isimlendirin. d) Firmada çok fazla sayıda çalışan bulunduğu ve firmanın uzun zamandır faaliyet gösterdiği verildiğinde, belirli bir işçinin maaş kademesi A'da, B'de ve C'de bulunma olasılığı nedir? e) Maaş kademeleri için maaş seviyeleri: A:, TL B:, TL C: 5, TL Ortalama işçi maaşını hesaplayın. ) İki ürün düşünün. Ürün ya $ yada $ dan alıcı bulur. Eğer ürün bugün $ dan satılırsa, yarın da $ dan satılma şansı.8 dir. Eğer ürün bu gün $ dan satılırsa, yarın da $ dan satılma şansı.9 dır. Ürün ya $ yada 5$ a alıcı bulur. Eğer ürün bu gün $ dan satılırsa, yarın da $ dan satılma şansı.9 dır. Eğer bu gün 5$ dan satılırsa, yarın da 5$ dan satılma şansı ise.85 tir. Ortalama olarak hangi ürünün daha yüksek fiyattan satılır? Tüm ilk geçiş zamanlarını bulun ve yorumlayın.
Soru ) Her haftanın başlangıcında bir makine ya çalışır yada bozuk durumdadır. Eğer makine haftanın başından sonuna çalışırsa, $ lık bir gelir getirir. Eğer makine hafta süresinde bozulursa, o hafta için bir gelir üretemez. Eğer makine hafta başında çalışıyorsa, makinenin bozulma şansını düşürmek için bakım uygulayabiliriz. Eğer bakım uygulanırsa çalışan bir makinenin hafta boyunca bozulma şansı.; eğer bakım uygulanmazsa çalışan bir makinenin hafta boyunca bozulma şansı.7 olacaktır. Bakım maliyetleri haftalık $ dır. Eğer makine hafta başında bozuksa hafta başında tamir ettirilmeli yada yenisiyle değiştirilmelidir. Hem tamir hem de yenileme işlemi vakit geçirmeden (anında) gerçekleştirilir. Bir makinenin tamir maliyeti $ dır ve tamir edilmiş bir makinenin hafta boyunca bozulma olasılığı. tür. Bozuk bir makineyi yenileme maliyeti 9$ dır, ancak yeni makinenin gelecek haftaki operasyonun başından sonuna çalışacağı garanti edilir. haftalık tamir, yenileme ve bakım politikası belirlenmeye çalışılmaktadır. Birinci haftanın başlangıcında makinenin çalıştığını varsayın. Dinamik programlamayı kullanarak haftalık bir periyod için beklenen net kârı en büyükleyen tamir, yenileme ve bakım politikasını belirleyin. Soru ) Bir TV imalatçısı. adet TV imalatı için bir süpermarket ile büyük bir kontrat imzalamıştır. Kontrata göre imalatçı önümüzdeki ay boyunca her ay 75. adet TV teslimatı yapacaktır. Kontrata göre geç teslimat kabul edilemez. Önemli miktarda hazırlık maliyeti söz konusu olduğu için imalatçı 75. adetlik partiler halinde üretim yapmaktadır. Parti başına hazırlık maliyeti ise 5. TL dir. İmalatçı ilk ay. adetlik TV siparişinin tümünü imal etmenin optimal olmayabileceğini bilmektedir, çünkü parti (75. adetlik) TV yi ay boyunca stokta bulundurmanın maliyeti. TL dir. Benzer şekilde imalatçı her ay tam olarak teslimat miktarı kadar yani parti (75. adet) TV üretmenin de optimal olmayabileceğini bilmektedir, çünkü önemli miktarda hazırlık maliyeti söz konusudur. İmalatçı, toplam maliyetini (toplam stok ve toplam hazırlık maliyeti) minimize etmek için her ay kaç adet TV üretmesi gerektiğine karar vermek zorundadır. İmalatçının problemini bir dinamik programlama problemi olarak formüle ederek, çözün. (İpucu: Parti biriminde düşünün) 5