Ders 8 in Özeti YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI III. Markov Süreçleri Ders 9. Bir Markov Zincirinin Sınıflandırılması. Örnek: Kumarbazın İflası

Transkript

1 Ders 8 in Özeti YÖEYLEM ARAŞTIRMASI III Markov Süreçleri Ders 9 Durağan Dağılım Koşulsuz olasılık dağılımı (n) P Uzun Dönem Analizi Limit (Kararlı Hal) Dağılımı,,..., Bir Markov Zincirinin Sınıflandırılması Bir Markov Zincirinde lim pi n olup olmadığı sorusunu yanıtlamak için Markov Zincirinin durumlarını sınıflandırmalıyız. TAIM (Erişilebilirlik): Eğer n olmak üzere bazı adımlar (n) için pi ise, durum i den durum ye erişilebilir. () ii Örneğin, i durumundan, durumuna geçiş mümkündür. p P( X i / X i) Durum i ye sadece kendisinden erişilebilir. Örnek: Kumarbazın İflası 4 Kumarbazın iflasında: ( den ye erişilebilir olarak okuyun.) ( dan e erişilemez olarak okuyun.) 4 p p P p p p p 4

2 Haberleşen Durumlar TAIM (Haberleşen Durumlar): Eğer i ve i ise i ve durum ikilisi haberleşir. Kumarbazın iflasında:,,,,,, p p P p p p p 4 4 eden? Durum ve durum 4, yutucu durum olarak adlandırılır. Haberleşen Sınıflar TAIM (Haberleşen Sınıflar): Eğer bir durum kümesi aşağıdaki şartları sağlıyorsa haberleşen bir sınıfı oluşturur: a) Kümedeki tüm durumlar bir biriyle haberleşir b) Kümenin dışındaki hiçbir durum, kümede yer alan bir durumla haberleşmez. Haberleşen Sınıf: Örnek Kumarbazın iflası problemindeki haberleşen sınıflar nelerdir? Örnek P p p P p p p p 4

3 İndirgenemezlik TAIM (İndirgenemezlik): Eğer bir Makov zincirinde sadece tek bir haberleşen sınıf varsa, bu markov zincirine indirgenemez denir. Yinelenebilirlik TAIM (Yinelenebilirlik): Eğer i. durumda başladığında zincir, olasılığıyla i. duruma dönecekse, durum i nin yinelenebilir olduğu söylenir. Kumarbazın iflasındaki M.Z. indirgenemezdir. Örnek Aşağıdaki M.Z. ni düşünün Durum, yinelenebilirdir. Durum, yinelenebilirdir. Durum, yinelenebilirdir. Yinelenebilirlik!!! Eğer bir durum i yinelenebilir ve durum ile haberleşebilir ise, durum de yinelenebilirdir. Buna göre yinelenebilirlik bir sınıf özelliğidir: Aynı sınıftaki tüm durumlar ya yinelenebilir yada yinelenemezdir. Geçici Durum: Yinelenemeyen duruma, geçici durum denir. Kumarbazın iflasında durum, ve geçici durumdur

4 Periyodiklik Periyodiklik TAIM (Bir M.Z. nin periyodu): Bir durum i nin periyodu d(i), Pii olmak kaydıyla tüm n lerin en büyük ortak bölenidir. Aynı haberleşen sınıftaki tüm durumlar aynı periyoda sahiptir. Durumları periyodik olan bir sınıf periyodiktir.. Benzer şekilde durumları aperiyodik olan bir sınıf aperiyodiktir. Sonuç olarak tüm durumları aperiyodik olan Markov Zinciri, aperiyodiktir. Periyodiklik Periyodiklik 4 Periyodik 4 Aperiyodik {,} Aperiyodik {,4} Periyodik {6,7,8} Aperiyodik 4

5 Limit (Kararlı Hal) Dağılımı TEOREM: Herhangi bir sonlu, tüm durumları yinelenebilir, aperiyodik, ve indirgenemez KZMZ için, a) lim p vardır ve başlangıç durumu i den bağımsızdır. n i b) Limit dağılımı aşağıdaki denklem sistemi çözülerek bulunabilir ormalizasyon denklemi i p ve i i i i,,..., a, M.Z. nin limit dağılımı denir.. Durağan Dağılım TAIM (Durağan Dağılım): Varsayalım ki başlangıç durum dağılımı verilsin. Eğer n olmak üzere herhangi bir zamanda M.Z. nin de bulunma olasılığı P( X ) n tüm =,,...; için ise, ya durağan dağılım denir.,,,..., Örnek- Durağan Dağılım Aşağıdaki M.Z. ni dikkate alın. P..9 Bu M.Z. nin kararlı hal dağılımı yoktur, çünkü periyodu dir. (eden?) Örnek- Durağan Dağılım Bu M.Z. nin durağan dağılımı var mıdır? Varsayalım ki M.Z. nin başlangıç dağılımı.5,.5,.45 olsun. (4) (4) P.5,.5, ,.5,.45.5,.5,.45, () P ().5,.5,.45 P (5) (5), for all n Buna, bir durağan dağılımdır. 5

6 ot Eğer sadece ve sadece p i i and i İse sonlu durum indirgenemez bir M.Z. nin durağan durumu vardır.!!!bir sonlu durum, indirgenemez ve aperiyodik M.Z. nin kararlı hal dağılımını nasıl bulduğunuzu hatırlayın. i i Durağan Dağılımın Bulunması Buna göre verilen örnekte durağan dağılım aşağıdaki gibi bulunur:,,,, and, Durağan Dağılım π.5,.5,.45 dağılımının, örnekte bizim seçtiğimiz başlangıç dağılımıyla aynı olduğuna dikkat edin. ÖEMLİ: Her limit (kararlı hal) dağılımı, aynı zamanda durağan dağılımdır, ancak her durağan dağılım, bir kararlı hal dağılımı DEĞİLdir. Kararlı Hal Dağılımı ve Durağan Hal Dağılımı Yukarıdaki örnekte kararlı hal dağılımı yoktur, çünkü M.Z. aperiyodiktir. Verilen M.Z. nin periyodu dir: P P..9, n (n, tek sayı)..9, n (n, çift sayı)..9 6

7 Yorum Kararlı hal dağılımı var olsun yada olmasın π,,..., M.Z. nin her bir durumda geçirdiği zamanın oranı olarak yorumlanabilir. Örneğin,, M.Z. nin durumunda geçirdiği zamanın oranı.5, durum de geçirdiği zamanın oranı.5 ve durum de geçirdiği zamanın.45 olarak düşünülebilir. Özet Eğer kısaca özetlersek,. ler ya kararlı hal (limit) yada durağan olasılıklardır.. Eğer M.Z. Sonlu, indirgenemez ve aperiyodik ise tek bir kararlı hal dağılımı vardır.. Her durağan dağılım, kararlı hal dağılımı değildir; ancak her kararlı hal dağılımı aynı zamanda durağan dağılımdır. 4. Durağan dağılım aşağıdaki denklemleri çözerek bulunabilir: i pi ve i i 5. Hem durağan ve hem de karar hal dağılımı aynı şekilde yorumlanabilir: her bir durumda geçirilen zamanın oranı i Örnek Kola Turka / Coca Cola? Varsayalım ki tüm kola endüstrisinde sadece iki marka kola söz konusudur: Kola Turka ve Coca Cola. En son Kola Turka satın alan bir müşterinin, bir sonraki seferde yine Kola Turka satın alma şansı % 9 dır. En son Coca Cola satın alan bir müşterinin bir sonraki alışverişinde yine Coca Cola satın alma şansı ise % 8 dir. Türkiye deki Kola içenlerin sayısının milyon kişi olduğu tahmin edilmektedir. Her iki şirketin de kola üretim maliyeti.5 TL/şişe ve satış fiyatı TL/şişe dir. Kola Turka üreticileri müşterilerinin Coca Cola ya kaymalarını % dan % 5 e düşürecek bir reklam kampanyası planlamaktadır. Varsayalım ki her bir kolasever herhangi bir haftada kola satın almaktadır ve şirket reklam kampanyasını yıl boyunca sürdürecek ve bunun maliyeti de milyon TL olacaktır. Kola Turka reklam kampanyasını yapmalı mı? Çözüm X n : n. satın alımda müşterinin satın alacağı Kola markası olsun. X n, Eğer bir müşterinin n. alacağı kola, Kola Turka ise, Eğer bir müşterinin n. alacağı kola, Coca Cola ise P

8 Çözüm Uzun dönemden sonra Kola Turka ve Coca Cola alan müşterilerin oranı ve i bulalım: π = πp ve Çözüm Buna göre uzun dönemde sonra Cola Turka içenlerin oranı /, ve Coca Cola içenlerin oranı / tür. Şimdi Cola Turka nın yıllık kârını hesaplayalım. Yılda satılan cola sayısı = 5 (,,)=5,,.9...8,, ve Yıllık ortalama kâr (Cola Turka) = (,5)(5,,) 7,, YTL Çözüm KAMPAYADA SORA Kampanyadan sonraki yeni -Adım Geçiş Matrisi.95.5 P kamp. sonra..8 Kararlı Hal denklemleri: , Yıllık ortalama kâr (Cola Turka) =.8(,5)(5,,),, 9,8, YTL Sonuç: Reklam kampanyası yap 8