Dpartmnt o Mchanical Enginring MAK 0 MÜHENDİSLİKTE SAYISAL YÖNTEMLER BÖLÜM - HATA VE HATA KAYNAKLARI SORULAR ÇÖZÜMLER & MATLAB PROGRAMLAMA Doç. Dr. Ali Rıza YILDIZ Arş. Gör. Emr DEMİRCİ 7.0.0 7.0.0 MAK 0 Mühndislikt Sayısal Yöntmlr
Dpartmnt o Mchanical Enginring.: Ondalık kısım için üç han kullanarak /7 işlmi il (/7). işlminin sonuçlarını mukays diniz. Aynı soruyu bş han kullanarak cvaplayınız. Çözüm.: Ondalık kısım için üç han 7 =,000 =,00 7 Ondalık kısım için bş han 7 =,00000 =,00006 7 7.0.0 MAK 0 Mühndislikt Sayısal Yöntmlr 7.0.0
Dpartmnt o Mchanical Enginring.: Üstl onksiyonun Taylor srisin açılımı X x x! x! x!... olduğuna gör x: için, a) İlk trimin alınması il oluşacak ksm hatasını, mutlak v izai hata olarak hsaplayınız. b) Grçk dğrd üç hanlik yuvarlatma hatasını bulunuz. c) İlk trimin alınması v üç hanlik yuvarlatma yapılması durumunda toplam hatayı hsaplayınız. d) Aynı işlmlri x:-, -0, -, -0 için tkrarlayınız. Grkirs bunun için bir bilgisayar programı yazınız. Sonuçları mukays diniz. 7.0.0 MAK 0 Mühndislikt Sayısal Yöntmlr 7.0.0
Dpartmnt o Mchanical Enginring Çözüm.: a) Ksm Hatası X O h x x x!! x! x 0 x O h! n, Oh 0 x n! x Oh 6. 067 n x 0 x x 0 n x 0 0, Mutlak Hata v İzai Hatalar x İZAFİ 8., c 6.7!!! 8. 6.7 8.086 MUTLAK x MUTLAK c x 8.086 8. 0.907 7.0.0 MAK 0 Mühndislikt Sayısal Yöntmlr 7.0.0
Dpartmnt o Mchanical Enginring b) dijitlik yuvarlatma il =0.8x0 olur. Buda =8 dr. Hata=8.-8=0. dir. c) 0, 0.00 0 0.00 0.00 0 0.0, 0.00 0 0.00 0.00 0.0 0.000 0.000!!!!! 0.000 0.000 0.0 0.000 0.000. 0 0 8., 8., 0.060 0.060! Hata 8. - 8. 89.9 7.0.0 MAK 0 Mühndislikt Sayısal Yöntmlr 7.0.0
Dpartmnt o Mchanical Enginring d) KESME O h x x x - x 8., MUTLAK İZAFİ x MUTLAK c! x 0 0 0 6.07 x.708 8. 0.9076 c!! 8..708.708!.708 KESME O h x x x -0 x 8., 0 MUTLAK İZAFİ x MUTLAK c! x 0 0 0 8. c! 8..708 -.87 x -.87 8. -0. 9607 0 0 0!! 9 7.0.0 MAK 0 Mühndislikt Sayısal Yöntmlr 7.0.0 6
Dpartmnt o Mchanical Enginring KESME O h x x x - x 8., MUTLAK İZAFİ x MUTLAK c! x 0 0 0 68. c! 8. 6.7-96.96 x -96.96 8. -0.086!! 6.7 KESME O h x x x - 0 x 8., 0 MUTLAK İZAFİ x MUTLAK c! x 0 0 0 68. c! 8.. -6.9 x -6.9 8. -6. 0 0 0!!. 7.0.0 MAK 0 Mühndislikt Sayısal Yöntmlr 7.0.0 7
Dpartmnt o Mchanical Enginring - 0.000 - - - - - - - - - - 0.00 0-0.00 0-0.00 0-0.00-0.0 0-0.0 0-0.0 0 -! 0.000! 0.0! 0.000! 0.000 0.00 0.060-0! 0.000-0 -0-0 0.0 0.00 0.0000 0.000 8! 0.000! 0.0000 6-0 -0-0! 0.0000-0 0.000 8-0 - 0-0 6-0.00 0-0.00 0-0.00 0-0 0.000-0.00 0-0.00 0-0.00 0 - - - -! 0.00! 0.00! 0.0000! 0.0000 0.000 0.0000 8 6 0.000 8 6 0.000 0.0000 0.0080 8-0 - 0-0 6-0! 0.000! 0.000! 0.000! 0.0000 8 6 7.0.0 MAK 0 Mühndislikt Sayısal Yöntmlr 7.0.0 8
Dpartmnt o Mchanical Enginring - - -0-0 - - -0-0 -0! 0 0 -! 0 96 - - - -!!!. 0 0 8. - Hata - Hata -0-0 -0! - - -! - 0-0 - 0-0!! 0 00 000 89 0.00678-.0900 0.00 0!!! 0.00 0 0.00 0 0.00 0 0.00 0 0.00 0 0.0 0 0.00 0 0.0 0.000 0.00 0.00 0-0 8. 8.96, Hata.90-7 -0 9-96 9.99999969, Hata.060-89 0.00 0 0.99996 0 0 0 0 0.000 0.00 0 6 0 890000000006 7.0.0 MAK 0 Mühndislikt Sayısal Yöntmlr 7.0.0 9
Dpartmnt o Mchanical Enginring.: Aşağıdaki işlmlrd üç hanlik yuvarlatma il mydana gln izai hataları bulunuz. a).8 0 6.98 0 /.8 0 8 =? b).8 0 /8.8 0 8 /.06 0 =? Çözüm.: a) Grçk dğr.8 0 6.98 0 /.8 0 8 = 79.876 Yaklaşık dğr =.70 0 İzai hata = 79.876.70 0 79.876 7.0.0 MAK 0 Mühndislikt Sayısal Yöntmlr 7.0.0 0
Dpartmnt o Mchanical Enginring b) Grçk dğr.8 0 6.98 0 /.8 0 8 =.8 0 Yaklaşık dğr =. 0 İzai hata =.8 0.8 0.8 0 7.0.0 MAK 0 Mühndislikt Sayısal Yöntmlr 7.0.0
Dpartmnt o Mchanical Enginring.: π sayısının hsabı için Archimds çokgnlri kullanmıştır. Çapı birim olan bir dair için çiziln çokgnin knar sayısı arttıkça çokgnin çvrsi π sayısına yaklaşacaktır. n knarlı bir çokgnin çvrsi l n il göstrilirs l n+ = n l n / n n =,,, 6, için poligonların çvrsini (dolayısıyla π sayısını) hsaplayınız. Oluşan hataları bulunuz. Bu soru için bir bilgisayar programı hazırlayınız. l = alabilirsiniz. 7.0.0 MAK 0 Mühndislikt Sayısal Yöntmlr 7.0.0
Dpartmnt o Mchanical Enginring Çözüm. - MATLAB: %Archimds çokgnlri kullanılarak Pi sayısının hsaplanması clar,clc l()=*sqrt(); %l Başlangıç dğri or n=:6 l(n+)=(^n)*sqrt(*(-sqrt(-(l(n)/^n)^))); hata(n+)=pi-l(n+); nd n=:6; L=l(:7); % n='dn n=6'ya kadar bulunan Poligon çvrsi dğrlri Hata=hata(:7); % n='dn n=6'ya kadar bulunan Hata dğrlri print('n=%.0 dğri için Poligon çvrsi = %., Hata dğri = %. \n',[n;l;hata]) 7.0.0 MAK 0 Mühndislikt Sayısal Yöntmlr 7.0.0
Dpartmnt o Mchanical Enginring.: Sürtünm katsayısını tayin tmk üzr yapılan bir ğik düzlm dnyind ölçüln dğrlr v ölçüm hataları θ = ±, M = 60 ± gr, m = 0 ± gr olarak vrildiğin gör sürtünm katsayısını μ s = M sin θ m M cos θ bağıntısına gör hsaplayınız, hatasını bulunuz. ğik düzlm dnyind 60 ± gr., m = 0 ± 7.0.0 MAK 0 Mühndislikt Sayısal Yöntmlr 7.0.0
Dpartmnt o Mchanical Enginring Çözüm. μ s = μ s M M + μ s m m + μ s θ θ μ s = sin θ M cos θ + m M sin θ M cos θ M + M cos θ + sin θ m M sin θ Mcos θ θ μ s = sin θ m M sin θ + M cos θ M M + cos θ M cos θ m sin θ m M sin θ + Mcos θ θ μ s =,86 0.00,9 0 0,00 + 8,7 0,07 μ s = 0,0 μ s = M sin θ m M cos θ = 0,78 ± 0,0 7.0.0 MAK 0 Mühndislikt Sayısal Yöntmlr 7.0.0
Çözüm. - MATLAB: BURSA TECHNICAL UNIVERSITY (BTU) Dpartmnt o Mchanical Enginring %Sürtünm katsayısı hsabında hatanın bulunması clar,clc syms M thta m Ms=(M*sin(thta)-m)/(M*cos(thta)); %Ms= Sürtünm katsayısı %Ölçüm hataları: DM=0.00; % [kg] Dm=0.00; % [kg] Dthta=0.07; % [radyan] %Sürtünm katsayısının hsaplanmasındaki hata DMs=di(Ms,M)*DM+di(Ms,m)*Dm+di(Ms,thta)*Dthta; Ms=subs(Ms,{M,m,thta},{0.60,0.00,0.78}) Hata=subs(DMs,{M,m,thta},{0.60,0.00,0.78}) 7.0.0 MAK 0 Mühndislikt Sayısal Yöntmlr 7.0.0 6
Dpartmnt o Mchanical Enginring.6: x = cos(x) onksiyonunun x 0 = π/ civarındaki Taylor srisi açılımının n = dan 6 ya kadar olan trimlrini kullanarak, x = π/ noktasında onksiyonunun v türvinin dğrlrini bulunuz. Çözüm.6 Grçk dğr: π/ = cos(π/) = 0.. drc Taylor srisi açılımı x = cos π sin π x = x 0 + x 0! x π x x 0 π = cos π sin π π π = 0.98 7.0.0 MAK 0 Mühndislikt Sayısal Yöntmlr 7.0.0 7
Dpartmnt o Mchanical Enginring İzai hata:. drc Taylor srisi açılımı ε = 0. 0.98 0. = 0.0 x = x 0 + x 0! x x 0 + x 0! x x 0 π = cos π sin π x π cos π = 0.978 İzai hata: ε = 0. 0.978 0. = 0.00 7.0.0 MAK 0 Mühndislikt Sayısal Yöntmlr 7.0.0 8
Dpartmnt o Mchanical Enginring Aynı şkild,, v 6. mrtb için işlmlr yapılırsa aşağıdaki gibi bir tablo ld dilir Mrtb, n ( π ) ε 0.98669 0.0 0.9779 0.00 0.998697.6 0 0.00007. 0 0.000000 6.08 0 6 0.99999998.0 0 6 7.0.0 MAK 0 Mühndislikt Sayısal Yöntmlr 7.0.0 9
Dpartmnt o Mchanical Enginring Çözüm.6 - MATLAB: %Taylor srisi açılımı il onksiyon hsabı clar,clc ormat long syms x g=cos(x); %Soruda vriln onksiyon r=subs(g,x,pi/); % Grçk dğr or n=:6 (n)=taylor(g,n+,pi/); % Taylor srisi hsabı hata(n)=(r-(n))/r; % Hata hsabı nd =subs(,x,pi/); hata=subs(hata,x,pi/); n=:6; print('%.0. mrtb için onksiyon dğri=%.8, Hata dğri = %.8 \n',[n;;hata]) 7.0.0 MAK 0 Mühndislikt Sayısal Yöntmlr 7.0.0 0